Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

Amalie Emmy Noether (1882-1935)

Faglig-pedagogisk dag, UiO31.10.2013

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

”The most important woman in mathematical history, since thehigher education of women began.”

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

Max Noether

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

Erlangen

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

David Hilbert Felix Klein

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

Universitetet i Göttingen, v̊aren 1915:

Filologene ved universitetet forsøker å blokkere ansettelsen aven kvinne:

”Hva vil v̊are soldater tenke, n̊ar de kommer tilbake tiluniversitetet og oppdager at de skal undervises av en kvinne?”

Hilberts svar:

”Jeg kan ikke se at kandidatens kjønn er noe argument mot åansette henne som privatdosent. Tross alt er vi et universitet,ikke en badeanstalt.”

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

”Hun er komplett uegoistisk og helt uten behov forselvhevdelse. Hun krever aldri noe for seg selv, men setter sinestudenters arbeid foran alt.”

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

Brym Mawr College, Pennsylvania

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

M. Carey Thomas Library ved Bryn Mawr College,hvor Emmy Noethers aske er begravd.

”The most important woman in mathematical history,since the higher education of women began.”

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

En perpetum mobile, det ideelle bildet av en konserveringslov.

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

Albert Einstein skrev til David Hilbert:

”I g̊ar mottok jeg en meget interessant avhandling ominvarianter. Jeg er imponert over at slike ting kan forst̊as p̊a ens̊a generell m̊ate. Den gamle garde i Göttingen burde lære littav Frøken Noether!! Hun kan sine saker!”

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

Noethers teorem

Dersom et fysisk system har en kontinuerlig (differensiabel)symmetri-egenskap, s̊a finnes en tilhørende størrelse som erkonstant i tid (en konserveringslov).

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

”Lyset beveger seg mellom to gitte punkter langs den kortestevei.” (Pierre de Fermat)

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

Pierre-Louis Moreau de Maupertuis (1698-1759), franskmatematiker, filosof og lærd. Maupertuis regnes somopphavsmannen til prinsippet om den minste virkning.

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

Leonhard Euler (1707-1783)

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

Virkningen til et fysisk system er en funksjonal som til en banei rommet som systemet følger tilordner et reelt tall.

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

Klassisk mekanikk postulerer at ethvert fysisk system vil følgeen bane som gir den minste virkning.Vi beskriver systemet ved en Lagrangefunksjon L, f.eks.kinetisk energi minus potensiell energi, og virkningen er da gittved

S =

∫γ

L dt

Prinsippet om den minste virkning gir at systemet vil utvikleseg langs en bane γ som minimerer dette integralet.

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

Eksempel p̊a bruk av prinsippet om den minste virkning;vertikalt ballkast:Kastes ved tiden t = 0, lander ved tiden t = T .Lagrange-funksjon:

L = 12 m(ẋ2 + ẏ 2 + ż2)−mgz

Rand-betingelser: x(t) = y(t) = z(t) = 0 for t = 0 og t = T .Fysisk bane:

x(t) = y(t) ≡ 0, z(t) = v0t − 12 gt2

z(T ) = v0T − 12 gT2 = 0

som gir v0 =12 gT

og dermedz(t) = 12 gTt −

12 gt

2

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

Betrakter alternativ bane

z(t) = 12 gTt −12 gt

2 + ∆z(t) = 12 gt(T − t) + ∆z(t)

hvor ∆z(t) måler avviket fra den fysiske banen.

Vi skal vise at prinsippet for den minste virkning gir at∆z(t) = 0.

Vi har

ż = 12 gT − gt +d∆z

dt= 12 g(T − 2t) +

d∆z

dt

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

Virkningen er gitt ved

S =

∫ T0

12 m(ẋ

2 + ẏ 2 + ż2)−mgz dt

=

∫ T0{12 m[ẋ

2 + ẏ 2 + (d∆z

dt)2 + g(T − 2t)d∆z

dt

+ 14 g2(T − 2t)2]−mg∆z − 12 mg

2t(T − t)}dt

Det fjerde leddet kan integreres ved delvis integrasjon

S =

∫ T0

12 mg(T − 2t)

d∆z

dtdt

= 12 mg(T − 2t)∆z∣∣∣T0

+

∫ T0

mg∆z(t) dt

=

∫ T0

mg∆z(t) dt

som kanselleres mot sjette ledd i S .

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

Dette gir

S =

∫ T0

12 m[ẋ

2 + ẏ 2 + (d∆z

dt)2]dt

+

∫ T0

12 mg

2[ 14 (T − 2t)2 − t(T − t)]dt

Minste virkning gir: ẋ = ẏ = (d∆zdt ) = 0

Vi har x(0) = y(0) = ∆z(0) = 0

Det følger at x(t) = y(t) = ∆z(t) = 0 overalt.

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

Noethers teorem

Dersom et fysisk system har en kontinuerlig (differensiabel)symmetri-egenskap, s̊a finnes en tilhørende størrelse som erkonstant i tid (en konserveringslov).

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

Noethers teorem

La S [x ] =∫ 1

0 L(x , ẋ) dt være en virkning for kurverx = (x1, x2) : [0, 1]→ R2, og anta at L er invariant undervirkningen av 1-parametergruppa {φs}. Da er størrelsen Idefinert ved

I =n∑

i=1

∂L

∂ẋi

∂φs(x)

∂s

∣∣∣s=0

konservert, dvs. dIdt = 0 langs fysiske baner.

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

La x(t) = (x1(t), x2(t)) : [0, 1]→ R2 være en kurve i planetslik at x(0) = P og x(1) = Q. Lengden av kurven er gitt vedintegralet

S =

∫ 10

L dt =

∫ 10

√(ẋ1)2 + (ẋ2)2 dt

Vi sier at φ : R2 → R2 er en symmetri forLagrange-funksjonen L dersom

L(ẋ1, ẋ2) = L(ẏ1, ẏ2)

hvor y = φ ◦ x .

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

To eksempler p̊a familier av symmetrier:

Translasjoner:

φs((x1, x2)) = (x1, x2) + s(v1, v2)

Den euklidske metrikken L er invariant under dissesymmetriene, med konserveringslov T · (v1, v2) = konstant.Rotasjoner:

φs(x1, x2) =

(cos s sin s− sin s cos s

)(x1x2

)med konserveringslov T× (x1, x2) = konstant.

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

Dersom begge disse konserveringslovene skal være oppfylt, måkurven være en rett linje.

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

Variasjonsregning

For å bevise Noethers teorem trenger vi variasjonsregning. Enfunksjonal er en avbildning som til en funksjon tilordner et reelttall. Variasjonsregningen har som mål å finne en funksjon slikat funksjonalen antar sin maksimale eller minimale verdi.Variasjonsregningen ble introdusert av Johann Bernoulli, ogutviklet av Euler.

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

Et standard eksemplet p̊a et variasjonsregnings-problem er åfinne den korteste vei mellom to punkter. Normalt vil dettevære den rette linja, men dersom vi skal løse problemet p̊a enmer generell flate enn i planet, er ikke løsningen s̊a opplagt.

Men det klassiske problemet i variasjonsregningen erbrachistochron-problemet.

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

Brachistochron-problemet

Johann Bernoulli addresserte brachistochron-problemet i ActaEruditorum i juni 1696. Problemet dreier seg om å finne kurvensom gir den raskeste veien, friksjonsløst og under konstantgravitasjon, mellom to punkter, det ene høyere opp enn detandre.

Vi skal komme tilbake til løsningen av dette problemet littsenere.

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

Bevis for Noethers teorem

La L = L(t, u(t), u̇(t)) være en Lagrangefunksjon og

I =∫ ba L(t, u, u̇)dt en funksjonal. Vi skal finne en funksjon

u = u(t) som minimerer integralet.

Definisjon

Den første variasjonen av I langs en ”liten” funksjonh = h(t) med h(a) = h(b) = 0 er gitt ved

δI = lim�→0

1

�

∫ ba

L(t, u + �h, u̇ + �ḣ)− L(t, u, u̇)dt

=

∫ ba

(∂L

∂uh +

∂L

∂u̇ḣ)dt

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

Ved partiell derivasjon har vi

d

dt(∂L

∂u̇h) =

d

dt(∂L

∂u̇)h +

∂L

∂u̇ḣ

og kombinasjonen av disse gir oss

δI =

∫ ba

(∂L

∂uh +

d

dt(∂L

∂u̇h)− d

dt(∂L

∂u̇)h)dt

=

∫ ba

(∂L

∂uh − d

dt(∂L

∂u̇)h)dt

=

∫ ba

(∂L

∂u− d

dt(∂L

∂u̇)) · h dt

siden ∫ ba

d

dt(∂L

∂u̇h)dt =

∂L

∂u̇h(b)− ∂L

∂u̇h(a) = 0− 0 = 0

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

Det betyr at for at δI = 0 (som betyr at vi har funnet enminimal løsning) må L tilfredsstille Euler-Lagrange-likningen

∂L

∂u− d

dt(∂L

∂u̇) = 0

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

Et eksempel

La L(t, x , ẋ) = 12 m(ẋ)2 − U(x), (kinetisk + potensiell energi).

Euler-Lagrange-likningen gir

∂L

∂x− d

dt(∂L

∂ẋ) = −U ′(x)−mẍ = F −ma = 0

som er presis Newtons andre lov.

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

Brachistochron-problemet

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

Startpunkt (0, 0). Hastigheten er gitt ved 12 mv2 = mgh, dvs.

v =√−y (n̊ar vi dropper konstanter).

Vi hards

dt=

d

dt

√1 + (

dy

dx)2dx

som med likningen

Tid =

∫ b0

s

vdt

gir Lagrangefunksjon

L =s

v=

√1 + (y ′)2

−y

Euler-Lagrange-likningen gir en differeniallikning

1 + (y ′)2 = −2yy ′′

som har sykloiden som sin løsning.

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

Hudre̊aret fra Galois sin skjebnesvangere duell i 1832 tilNoethers død i 1935 revolusjonerte flere omr̊ader avmatematikk, men kanskje spesiet algebra. Fra å dreie seg ompraktiske metoder for løsning av likninger og konstruksjoner avregulære mangekanter med passer og linjal, utviklet algebra segtil en teoretisk teori, abstrakt algebra. Evereste Galoisintroduserte permutasjonsgrupper i 1832, William RowanHamilton oppdaget kvaternionene i 1843, og i 1854 ga ArthurCayley den mer moderne definisjonen av en gruppe.

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

Nathan Jacobson sier i innledningen til Noethers samledeverker: Utviklingen av abstrakt algebra, som en av de mestsærpregede oppfinnelsene i det tjuende århundre, er i hovedsakNoethers fortjeneste, gjennom sine publiserte arbeider, sineforelesninger og sin personlige innflytelse over sine samtidigefagfeller.

Fra 1920 begynte Noether for alvor å jobbe med abstraktalgebra og det er fra denne tiden innholdet i begrepetNoethersk ring ble klargjort.

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

Definisjon

En partielt ordnet mengde Λ tilfredsstiller oppadstigendekjedebetingelse dersom enhver kjede

λ1 ≤ λ2 ≤ · · · ≤ λn ≤ . . .

av elementer i Λ er stasjonær, dvs. λN = λN+1 = λN+2 = . . .for en N.

En struktur som tilfredsstiller oppadstigende kjedebetingelsekalles Noethersk.Kjedebetingelser finner sine anvendelser innen mange omr̊aderav matematikk, og kan, ved første øyekast, virke harmløse ogikke egnet til å bevise dype resultater. Noether viste imidlertidhvordan man kunne utnytte denne egenskapen.

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

Aritmetikkens fundamentalsats

Aritmetikkens fundamentalsats sier at ethvert heltall større enn1 kan skrives som et entydig (opp til permutasjoner avfaktorene) produkt av primpotenser,

N = pn11 pn22 . . . p

nrr

Sentralt i beviset er Euclids lemma, som sier at dersom etprimtall p deler et produkt ab av to tall a og b, s̊a deler penten a eller b.

Eksempel

1200 = 24 · 3 · 52

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

Algebraens fundamentalsats

Algebraens fundamentalsats sier at enhver polynomial likninghar en løsning over de komplekse tallene C. Konsekvensen avdette er at ethvert polynom f ∈ C[x ] kan skrives som etprodukt

f = (x − a1)n1(x − a2)n2 . . . (x − ar )nr

der ai er løsningene og ni den tilhørende multiplisitetene.

Eksempel

x4 − 4x3 + 5x2 − 2x = x(x − 1)2(x − 2)

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

I 1904 viste Emanuel Lasker et tilsvarende resultat for vilk̊arligepolynomer. Ringer med denne egenskapen, dvs. at de har enprimærdekomposisjon, kalles Laskerringer.

Emanuel Lasker (1868-1941) var en tysk matematiker ogfilosof, men best kjent som kanskje verdens gjennom alle tiderbeste sjakk-spiller. Han var verdensmester i sjakk i 27 år, fra1894 til 1921. Han er ogs̊a opphavsmannen til et mer ukjentstrategispill, Lasco.

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

Lasker-Noethers teorem

Enhver Noethersk ring er en Lasker-ring, dvs. ethvert ideal kanskrives som et endelig snitt av primære idealer.

Resultatet generaliserer aritmetikkens fundamentalsetning,algebraens fundamentalsats og Laskers teorem, og er en avpilarene i kommutativ algebra og derfor ogs̊a i algebraiskgeometri.

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

Noethers arbeider er fortsatt svært relevante for utviklingen avmatematikk og teoretisk fysikk, og hun er udiskutabelt en avdet tjuende århudredes største matematikere. B. L. van derWaerden sier at hennes matematiske originalitet var absoluttutenfor et hvert sammenlikningsgrunnlag, og Hermann Weylskrev at at Noether gjennom sine arbeider hadde forandretalgebraens ansikt. Noether har av flere ledende matematikereblitt karakterisert som den største kvinnlige matematikergjennom alle tider. (Alexandrov, Weyl, Dieudonnè)

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

I et brev til The New York Times skrev Albert Einstein:

In the judgment of the most competent living mathematicians,Fräulein Noether was the most significant creativemathematical genius thus far produced since the highereducation of women began. In the realm of algebra, in whichthe most gifted mathematicians have been busy for centuries,she discovered methods which have proved of enormousimportance in the development of the present-day youngergeneration of mathematicians.

Amalie EmmyNoether

Amalie EmmyNoether

Noethersteorem iteoretiskfysikk

Andreresultater

Etterord

Amalie Emmy NoetherNoethers teorem i teoretisk fysikkAndre resultaterEtterord