All’istante t=0 un’auto azzurra, inizialmente ferma comincia ad accelerare con modulo costante di 2,0 m/s2 nella direzione dell’asse x partendo dal punto x=0. All’istante t=2s un’auto rossa che viaggia in una corsia parallela nella stessa direzione passa dal punto x=0 con velocità di 8,0 m/s e accelerazione di 3,0 m/s2. In quale istante di tempo l’auto rossa sorpassa quella azzurra? A quale distanza dall’origine avviene il sorpasso?

HALLIDAY - capitolo 2 quesito 7

x0

211 ta

2

1(t)x Moto dell’auto azzurra: (a1=2,0 m/s2)

Moto dell’auto rossa: 202002 )t-(ta

2

1)t(tv(t)x

(t0=2s, v0=8,0m/s, a2=3m/s2)

Il sorpasso si verifica nell’istante di tempo t in cui l’auto rossa raggiunge l’auto azzurra, cioè in nell’istante t in cui x1(t)=x2(t):

12

0020212

2020020

1/2

0020202012

2

20200

2121

aa

)t2vt)(aa(a)ta(v)ta(vt

0)t2vt(a)ta2t(v)a(at

)t(ta2

1)t(tvta

2

1(t)x(t)x

le cui soluzioni sono t1= -6,9s (da scartare) e t2= 2,9s

La posizione in cui avviene il sorpasso si ottiene calcolando la x1 (o la x2) nell’istante t ottenuto dalla equazione precedente:

8,4mta2

1)(tx 2

2121

Diagrammi orari dell’auto azzurra e dell’auto rossa

HALLIDAY - capitolo 2 problema 70

Un aereo, in un’esercitazione per eludere i radar, è in volo orizzontale ad altezza h=35m dal suolo su un terreno piano alla velocità di 1300 km/h. Improvvisamente, al tempo t=0 arriva in un luogo dove il terreno inizia a salire con angolo di pendenza θ=4,3°, come indicato in figura. In che istante si schianterebbe il pilota se non correggesse l’assetto dell’aereo?

x0

hθy

Moto dell’aereo: vtx(t)

Lo schianto avviene nell’istante di tempo in cui y=h,dove y=xtgθ è l’altezza del terreno rispetto al livello iniziale

(v=1300km/h=361,1m/s)

1,29stgθ v

ht

htgθ vthtgθx hy

HALLIDAY - capitolo 2 problema 9

Avete viaggiato sulla statale 10 da Torino a Mantova per metà del tempo a 55 km/h e per il tempo restante a 90 km/h. Al ritorno percorrete metà della distanza a 55 km/h ed il resto a 90 km/h. Qual è la vostra velocità scalare media all’andata, al ritorno e per l’intero percorso?

x0

TO MN

x=D

andata

x0

MN TO

x=D

ritorno

PERCORSO DI ANDATAIndichiamo con TA il tempo complessivo impiegato per percorrere il tratto TO-MN all’andata. Sappiamo che per un tempo TA/2 l’auto si muoverà con velocità v1=55 km/h e per un tempo TA/2 con velocità v2 = 90 km/h

Equazioni del moto di andata:

• per t<TA/2: x = v1t

• in t=TA/2: x = v1TA/2

• per TA/2<t<TA: x = v1TA/2 + v2(t - TA/2)

• in t=TA: x = v1TA/2 + v2TA/2 ≡ D

• velocità media: vA=D/TA = (v1+v2)/2 = 72,5 km/h

PERCORSO DI RITORNOIndichiamo con TR il tempo complessivo impiegato per percorrere il tratto MN-TO al ritorno. Sappiamo che per un tratto di lunghezza D/2 corrispondente ad un tempo T1 l’auto si muoverà con velocità v1=55 km/h e per un secondo tratto di lunghezza D/2 corrispondente ad un tempo T2 con velocità v2 = 90 km/hEquazioni del moto di ritorno:

• per t<T1: x = v1t

• in t=T1: x = v1T1=D/2 da cui T1=D/(2v1)

• per T1< t < TR(=T1+T2): x = D/2 + v2(t - T1)

• in t=TR=T1+T2: x = D/2 + v2T2 ≡ D da cui T2 = D/(2v2)

• velocità media: vR=D/TR = D/(T1+T2) = 2v1v2/(v1+v2)=68,3km/h

ANDATA + RITORNO

La velocità scalare media nell’intero percorso è: v=2D/(TA+TR)

Dalle equazioni del moto di andata:

TA=D/vA=2D/(v1+v2)

Dalle equazioni del moto di ritorno:

TR=D/vR=D(v1+v2)/(2v1v2)

e dunque:

70,3km/h

v4vvv

vv1

1

TT

2Dv

v2v

)vD(v

vv

2DTT

21

21

21

RA

21

21

21RA

HALLIDAY - capitolo 2 problema 29

All’uscita da una curva il macchinista di un treno che viaggia alla velocità di 161 km/h si accorge che una locomotiva è entrata erroneamente nel binario da una diramazione posta a distanza D=0,676 km più avanti. La locomotiva va alla velocità di 29,0 km/h. Il macchinista aziona immediatamente la frenatura rapida. Quale deve essere il valore assoluto minimo dell’accelerazione costante impressa dal freno per evitare una collisione? Poniamo che il macchinista si trovi nella posizione x=0 quando al tempo t=0 avvista la locomotiva. Tracciate le curve x(t) indicative per la locomotiva e il treno per l’ipotesi che si eviti di misura la collisione.

Moto della locomotiva: tvD(t)x LL

(D=676m vL=29,0km/h=8,06m/s)

Moto del treno:

atv(t)v

at2

1tv(t)x

0TT

20TT

(v0T=161km/h=44,7m/s)

a = incognita

• Per evitare la collisione il treno non deve mai raggiungere la locomotiva, cioè deve essere xT(t) ≤ xL(t) per ogni istante di tempo

• La condizione limite è quella per cui il treno (la cui velocità sta diminuendo) raggiunge la locomotiva e, nell’istante in cui ciò accade, treno e locomotiva abbiano la stessa velocità.

Calcoliamo l’istante t1 in cui il treno ha la stessa velocità della locomotiva:

a

vvtvatvv)(tv L0T

1L10TL1T

Imponiamo quindi la condizione xT(t1)=xL(t1):

22

L0T

2L0T

2L0T

L0TL2

2L0TL0T

0T

1L2110T

0,993m/s2D

)v(va

Da

)v(v

2

1

a

)v(v

a

vvvD

a

)v(va

2

1

a

vvv

tvDat2

1tv

Treno

Locomotiva

Nella situazione limite le due curve xT(t) e xL(t) sono fra loro tangenti nell’istante di tempo in cui treno e locomotiva si sfiorano

HALLIDAY - capitolo 2 problema 41

Dall’ugello di una doccia sgocciola l’acqua cadendo sul fondo posto 200 cm più in basso. Le gocce cadono a intervalli di tempo regolari. La quarta goccia si stacca nell’istante in cui la prima arriva al suolo. Trovare le posizioni della seconda e della terza in questo stesso istante.

x

0

x

hdoccia

suolo

(h=2,00m)

Prima goccia:2

1 gt2

1h(t)x

Seconda goccia:

Terza goccia:

22 T)-g(t

2

1h(t)x

23 2T)-g(t

2

1h(t)x

Indichiamo con T l’intervallo di tempo (incognito) che trascorre tra la caduta di una goccia e la caduta della goccia successiva. Assumiamo inoltre che la prima goccia cada all’istante t=0.

La prima goccia tocca il suolo nell’istante in cui cade la quarta goccia, cioè nell’istante t=3T. Il problema chiede di determinare le posizioni x2 e x3 al tempo t=3T.

Determiniamo T imponendo che x1(3T)=0:

9g

2hT9gT2h

0g(3T)2

1h0(3T)x

2

21

Le posizioni delle gocce 2 e 3 all’istante t=3T sono:

1,11mh9

5

9g

2h2gh

2gThT)g(3T2

1h(3T)x 22

2

1,78mh9

8

9g

2hg

2

1h

gT2

1hT)g(3T

2

1h(3T)x 22

3

2

HALLIDAY - capitolo 2 problema 51

Dalla cima di un edificio si lancia verticalmente verso l’alto una pietra. Essa raggiunge la massima altezza 1,60s dopo il lancio e ricade in strada, dove giunge 6,00s dopo il lancio. Determinare la velocità di partenza della pietra, l’altezza massima raggiunta sopra l’edificio e l’altezza dell’edificio.

0

x

haltezza dell’edificio

suolo

altezza massima

t

t=0

t= t1=1,60s

t= t2=6,00s

Equazioni del moto:gtvv(t)

gt2

1tvhx(t)

0

20

Nel punto di altezza massima v=0:

Incognite: h, v0

15,7m/sgtv0gtv0)v(t 10101

h si trova imponendo che il corpo tocchi il suolo nell’istante t2:

82,3mtgtgt2

1h

0gt2

1tvh0)x(t

2122

22202

L’altezza massima si trova calcolando x(t1):

94,9m)tg(t2

1)x(t

gt2

1gttgtgt

2

1gt

2

1tvh)x(t

2121

21

2121

22

21101

HALLIDAY - capitolo 2 problema 63

Per arrestare un’automobile, passa prima di tutto un certo tempo di reazione per dare inizio alla frenata, poi il tempo di rallentamento ad accelerazione costante fino all’arresto. Supponiamo che la distanza percorsa durante le due fasi sia di 56,7m per una velocità iniziale di 80,5 km/h e 24,4m per una velocità iniziale di 48,3 km/h. Quali sono il tempo di reazione del pilota ed il modulo della accelerazione?

x0 xR x

Moto rettilineo uniforme tra t=0 e t=tR

Moto uniformemente ritardato tra t=tR e l’istante di arresto

Legge oraria dell’automobile:

R

R

2RR0R0

0

tt

tt

)ta(t2

1)t(tvtv

tv

x(t)

R

R

R0

0

tt

tt

)ta(tv

v

v(t)

Calcoliamo l’istante t1in cui la vettura si arresta (v(t1)=0)

a

vtt0)ta(tv0)v(t 0

R1R101

La distanza totale percorsa dall’auto è x(t1):

2a

vtv

a

va

2

1

a

vvtv)x(tx

20

R02

200

0R01

Sappiamo che se l’auto ha una velocità iniziale v01=80,5 km/h =22,4 m/s essa percorre una distanza x1=56,7m, mentre se ha una velocità iniziale v02=48,3 km/h=13,4 m/s, essa percorre una distanza x2=24,4m. In simboli:

2a

v

v

xt

2a

v

v

xt

2a

vtvx

2a

vtvx

02

02

2R

01

01

1R

202

R022

201

R011

Mettendo a confronto i secondi membri delle due equazioni:

2

02

2

01

1

0201

02

2

01

10201 6,33m/s

vx

vx

2

vva

v

x

v

x

2a

vv

Infine, sostituendo il valore di a in una delle due espressioni per tR:

0,762s2a

v

v

xt 01

01

1R