All Slide PhysicsII

1

1

แมเหลกไฟฟา

1. กฏของคลอมบ 2. สนามไฟฟา3. กฏของเกาส4. ศกยไฟฟา5. ความจและ ไดอเลกทรก6. สนามแมเหลก7. แหลงกาเนดสนามแมเหลก8. การเหน.ยวนาแมเหลก9. สมการแมกซเวล

2

สรป• ประจไฟฟาเหมอนกนผลกกน ประจไฟฟาตางกนดดกน • ประจไฟฟาหนวยเลกท สดในธรรมชาตคอประจของ อเลคตรอน (ประจลบ)

หรอโปรตอน(ประจบวก) ซ งมขนาดเทากบ 1.6x10-19 C• กฎของคลอมบ :

ขนาดของแรงทางไฟฟา FE ระหวางประจ q1 และ q2 ท อยหางกนเปนระยะทาง r 9 2 21 2

E E E20

q q 1F k where k 9x10 N m / C

r 4= = = ⋅

πε

∑∑≠≠

==n

ijij2

ij

jiE

n

ijiji r

r

qqkFF

vv

• ระบบประจ n ตว ประจ q1, q2,…,qn แรงลพธท ประจใดๆ กระทาตอประจ qiจะหาไดจากผลบวกเวกตอรของแรงระหวางประจแตละคตามสมการ

เปนแรงลพธท กระทาตอประจ qiiFv

ijFv

ijr คอเวกเตอรหน งหนวย มทศออกจาก qjไปยง qi

rij คอระยะหางระหวาง qi กบ qj

เปนแรงไฟฟาท กระทาตอประจ qi โดย qj

แรง Fij เปนบวก จะเปนแรงผลกแรง Fij เปนลบ จะเปนแรงดด

1. กฏของคลอมบ

3

กฎของคลอมบยงอธบายไดอกวา แรงไฟฟาท เกดขนกระทากนเปนคๆ H แมวาจะมประจอ นๆ มาวางอยใกลกตาม แสดงวาแรงกระทาระหวางประจคหน งจะไมเปล ยน เลย เม อมประจท สามเขามาเกยวของ นนคอ ไมวาระบบจะประกอบดวยประจไฟฟา จานวนเทาใดกตาม กฎของคลอมบสามารถใชคานวณหาแรงระหวางประจทกๆ คได

เชน ถาประจ q1, q2 และ q3 อยในตาแหนง ใดๆ ดงรป แรงท กระทาบน q3 เน องจาก q1และ q2 จะหาไดจากผลรวมแบบเวกเตอรระหวางแรง และ

32313 FFFvvv

+=

31Fv

32Fv

31231

13E31 r

r

qqkF =

v

แรงดด

แรงผลก

32232

23E32 r

r

qqkF −=

v

-

+-vF32

vF3

vF31

q1

q2q3

r31

r32

31r

32r

4

สรป

• เม อนาประจทดสอบ q0 วางในสนามไฟฟา ความเขมสนามไฟฟา E ณ จดใดๆ โดยมประจ q เปนแหลงกาเนด ซ งอยหางจากจดนนเปนระยะทาง H r คอ :

rr

qk

q

FE

2E==

vv

• ความเขมสนามไฟฟาสาหรบแหลงกาเนดเปนกลมประจคอ :

…แหลงกาเนดเปนจดประจ q

rq

F

r

qkE i

i2i

iE

vv

∑=

C/mN9x104

1 k where 22 9

0E ⋅≈

πε=

• ความเขมสนามไฟฟาสาหรบแหลงกาเนดมประจกระจายอยางเอกรปคอ :

r r

dqkE

2E∫=v

• เม อประจไฟฟา q มวล m วงในสนามไฟฟา อตราเรงของประจไฟฟาคอ :

m

Eqa

vv=

E v

2. สนามไฟฟา

2

5

สนามไฟฟาเน องจากจดประจ q

สนามไฟฟาตวนาทรงกลมกลวงรศม a

E = 0 (ภายในทรงกลม r < a)

(ภายนอกทรงกลม r >= a)

เม อ r คอระยะวดจากจดศนยกลางทรงกลม

2Er

qk E =

r

qk E E=

6

ดงนนH ฟลกซไฟฟาเปนสดสวนตรงกบจานวนของเสนสนามไฟฟาท ตงฉากกบพนผว H H

- ถาสนามไฟฟาเอกรป ทศของสนามไฟฟาท ทามม กบเสนปกตของพนท ผว H Aแลวฟลกซไฟฟามคาเทากบ

- โดยทวไป ฟลกซไฟฟาท ผานพนผวอนหน ง H จะมคาเทากบ

- ฟลกซไฟฟา คอ จานวนเสนสนามไฟฟาท พงผานพนผวท ตงฉากผนหน ง H H

สรป

- กฎของเกาสกลาววา ฟลกซไฟฟาสทธ ท ผานผวปดของ เกาสจะเทากบ ประจไฟฟาสทธภายในหารดวย

0

inE

qAdE

ε=⋅=φ ∫

vv

3. กฏของเกาส

Eφ

θ

E EA cos φ = θ

Eφ

0ε

E

surface

E dA φ = ⋅∫vv

7

ตาราง สตรคานวณสนามไฟฟาโดยใชสตรของ เกาส

การกระจาย สนามไฟฟา ตาแหนง

ทรงกลมฉนวนรศม R มประจไฟฟรวม Q kEQ/r2 r > Rและมความหนาแนนเอกรป kEQr/R3 r < Rทรงกลมกลวงเปลอกบางรศม R kEQ/r2 r > Rและมประจรวม Q 0 r < R

เสนประจบนฉนวนยาวอนนต ภายนอกเสนฉนวนมความหนาแนนประจไฟฟาเชงเสน

แผนฉนวนแบบราบบาง ใหญอนนต ทกท ภายนอกแผนฉนวนและมความหนาแนนประจไฟฟาเชงพนผว H

แผนตวนาราบบาง ใหญอนนต ภายนอกแผนตวนาท มความหนาแนนประจไฟฟาเชงพนผว H 0 ภายในตวนา

λ E2k / rλ

σ

σ0/σ ε

0/ 2σ ε

8

สรป

1. เม อประจ q0 เคล อนท ระหวางจด A กบ B ในสนามไฟฟา E

พลงงานศกยท เปล ยนไปคอB

0

A

U q E ds∆ = − ⋅∫v v

2. ความตางศกย ∆V ระหวางจด A กบ B ในสนามไฟฟา E คอB

0 A

UV E ds

q

∆∆ = = − ⋅∫

v v

3. ความตางศกยระหวางจด A กบ B ในสนามไฟฟาเอกรป เม อ d เปนระยะระหวาง A กบ B วดตามแนวสนาม: ∆V = -Ed

4. ผวสมศกย คอ ผวท ทกจดบนผวนนมศกยคาเดยวกนH ผวสมศกยจะตงฉากกบสนามไฟฟาH

5. ศกยไฟฟาเน องจากจดประจ q ณ ตาแหนงท หางจากจด q เปนระยะ r คอ V = kEq/r ถาเปนศกยเน องจากกลมของประจ จะหาไดจากการรวมกนทางพชคณตของศกยอนเน องจากแตละจดประจ

4. ศกยไฟฟา

3

9

6. พลงงานศกยของประจจดคหน งท วางหางกนเปนระยะ r12 คอ U = kEq1q2/r12 พลงงานศกยของประจท กระจาย หาไดจากการรวมกนทางพชคณตของคประจทกค

7. ถารศกยไฟฟาในเทอม x, y, z เราสามารถหาองคประกอบของสนามไฟฟาได เชน Ex = - dV/dx

8. ศกยไฟฟาเน องจากประจกระจายอยางตอเน อง

ทกจดบนผวตวนาท มประจและมความสมดลทางไฟฟาสถต

จะมศกยเทากน และท จดภายในเนอของตวนาจะมศกยคงท และคาH

เดยวกบท ผวตวนา

E

dqV k

r= ∫

10

9. ศกยไฟฟาเน องจากจดประจกระจายเปนวงแหวนรศม a ท จดเปนแนวแกน

หางจากศนยกลางของวงแหวนเปนระยะ x คอE 2 2

QV k

x a=

+

10. ศกยไฟฟาเน องจากประจกระจายเปนแผนจานกลมรศม a ท จดบนแกน

ของจานหางจากจานเปนระยะ x คอ

11. ศกยไฟฟาเน องจากประจกระจายเปนทรงกลมตนท เปนฉนวนรศม RมประจทงหมดH Q คอ

2 2EV 2 k r( x a x)= π + −

E

2E

2

QV k ; r R

rk Q r

V (3- ) ; r R2R R

= ≥

= ≤

11

ความเรวของประจ ประจ +q เคล อนท จากจด A ไปยงจด B พลงงานศกยไฟฟาจะเปล ยนไปเปนพลงงานจลน

ความจไฟฟา ความจไฟฟา หมายถง ความสามารถในการกกเกบประจไฟฟาของวตถ วตถท สามารถรบประจไดมากแตทาใหศกยไฟฟาเพมขนนอย H แสดงวาวตถนนมความจไฟฟามาก H

C = ความจไฟฟา (F)Q = ปรมาณประจไฟฟา (C)V = ศกยไฟฟา (V)

v = ความเรวของประจ (m/s)

สญญลกษณตวเกบประจไฟฟา

5. ความจไฟฟาและ ไดอเลกทรกสรป

V

QC =

2mv2

1qV = 2qV

vm

=

ความจไฟฟา C คออตราสวนระหวางประจไฟฟา Q กบความตางศกย V

พลงงานศกยไฟฟาท ลด = พลงงานจลนท เพมขน H

12

1. ทรงกลม

และ C = ความจไฟฟา (F)R = รศมของทรงกลม (m)kE = คาคงท = 1/4πε0

C = ความจไฟฟา (F)Q = ประจไฟฟาโดยการเหน ยวนา (C)V = ความตางศกยไฟฟาระหวางแผนทงสอง H (V)A = พนท ของแผนโลหะH (m2)d = ระยะระหวางแผนโลหะ (m)

= Permittivity Constant = 8.85x10-12 C2/N.m2

ความจไฟฟาของวตถรปทรงตางๆ

2. แผนโลหะท.ขนานกน

ความจไฟฟาของทรงกลมรศม R จะแปรผนตามรศมของทรงกลม ดงนนตวนาทรงกลมใหญจะมความจมากกวาตวนาทรงH กลมเลก

V

QC =

R

QkV E= R4

k

RC 0

E

πε==

d

AC 0ε=

ความจไฟฟาของตวเกบประจแบบแผนตวนาขนานท อยหาง กนเปนระยะ d และมพนท ของแผนตวนาเปนH A

4

13

3. ทรงกระบอกสองช8น

4. ทรงกลมสองช8น

ความจไฟฟาของตวเกบประจแบบบทรงกระบอกท มความยาว L มทรงกระบอกภายในรศม a และทรงกระบอกกลวงบางรศม b มจดศนยกลางรวมกน

ab

lnk2

LC

E

=

ความจไฟฟาของตวเกบประจแบบบทรงกลมท มรศมทรงกลมเลกเปน a และรศมทรงกลมกลวงบางเปน b

)ab(k

abC

E −=

พลงงานท.สะสมในตวเกบประจ (U)

C

Q

2

1CV

2

1QV

2

1U

22 === มหนวยเปนจล (J)

14

1. แบบอนกรม ประจ Q แตละตวจะเทากน คอ

V = V1 = V2 = V3

Q = Q1 + Q2 + Q3

CeqVAB = C1VAB + C2VAB + C3VAB

การตอตวเกบประจ

Q = Q1 = Q2 = Q3

2. แบบขนาน ความตางศกยระหวางแตละตวจะเทากนคอ

3

3

2

2

1

1

eq

CDBCABAD

C

Q

C

Q

C

Q

C

Q

VVVV

++=

++=

C

1

C

1

C

1

C

1

321eq

++=

Ceq= C1 + C2 + C3

•AQ1

C1

•BQ2

C2

•CQ3

C3

•DQ4

Q1 C1

Q1 C1

Q1 C1

A B

15

ไดอเลกตรก (Dielectric) คอวสดท ไมนาไฟฟา

C = kC0

ไดอเลกตรก

ถาใชกนระหวางแผนตวนาของตวเกบประจ H จะทาใหคาความจสงขน Hขนกบคาคงท ของH ไดอเลกตรก k

ขอดของไดอเลกตรก • เพมคาความจ • เพม โวลทใชงานสงสด• กนไมใหตวนาแตะกน

16

สรป

B F qv x B =v vv

ขนาดของแรงนคอH FB = qvB sinθ

• แรงแมเหลกท กระทาบนประจ q ท เคล อนท ดวยความเรว ในสนามแมเหลก คอ vv Bv

เม อ เปนมมระหวาง และ vv

vB

Bv

มหนวยเปน Wb/m2 เรยกวาเทสลา (tesla; T) T = Wb/m2 = N/A.m

• ในกรณท อนภาคประจไฟฟา q เคล อนท ดวยความเรว เขาไปในบรเวณท มทงสนามไฟฟาH และสนามแมเหลก แรงลพธ ท กระทาบนประจ q หา ไดตามสมการลอเรนซ คอ

vv

Bv

F v

E v

E B F F + F =v v v

6. สนามแมเหลก

F qE qv x B = +v v vv

θ

5

17

B F I L x B=v v v

• ตวนายาว L ท มกระแสไฟฟาไหล I และวางอยในสนามแมเหลกท สม าเสมอ ตวนานจะถกสนามแมเหลกกระทาดวยแรงH B

v

B dF I ds x B =v vv

• สาหรบตวนาเสนลวดใดๆ ท มกระแส I ไหลผานและวางอยในสนาม

แมเหลกท สม าเสมอ แรงแมเหลกท กระทาตอความยาวนอยๆ

ของลวดตวนา คอ

Bv

เม อ คอเวกเตอรท ชในทศการไหลของกระแสไฟฟาH I มขนาดเทากบความยาว L ของตวนา

Lv

sdv

และแรงลพธ ท สนามแมเหลก กระทาบนลวดตวนาทงหมดH คอ Bv

BFv

b

B

a

F I ds x B = ∫v vv Note ถาเปนเสนลวดโคงเช องตอกน

เปนลปปด แรงแมเหลกจะเปนศนย

B F I ( ds) x B = 0 = ∫v v

18

• โมเมนตแมเหลก ของวงกระแส คอ มหนวยเปน A.m2

เม อ คอพนท ของวงกระแสและมทศตงฉากกบระนาบของวงกระแสH H

µv

AI µ vv

=

Av

• ทอรก ท กระทาบนวงกระแส เม อวงกระแสวางอยในสนามแมเหลกท

สม าเสมอ เปน

τv

B x vvv

µ=τBv

qB

mvr =

• ถาอนภาคไฟฟามวล m ท มประจ q เคล อนท ในสนามแมเหลกท สม าเสมอ B และความเรวตน v มทศตงฉากกบสนามแมเหลกแลวH อนภาคจะเคล อนท เปนวงกลม โดยระนาบการเคล อนท จะตงฉากกบทศH ของสนามแมเหลก โดยวงโคจรมรศม r เปน

ความถ เชงมมของการหมนของอนภาคนจะไดH r

v

m

qB ==ω

19

• เม อกระแสไฟฟาไหลผานตวนาท มลกษณะเปนแผนแบนราบท วางอยใน สนามแมเหลก B จะเกด ปรากฏการณฮอล (Hall Effect) และวดความตางศกยตามขวางในแถบตวนาซ งเรยกวา ศกยไฟฟาของฮอล (Hall Voltage) ไดเปน

VH = vdBd

ให n เปนจานวนพาหะไฟฟาตอหน งหนวยปรมาตร และ A เปนพนท หนาตดของแถบตวนาแลวจะไดH

nqA

IBdV H =

เม อใหพนท H A = td เม อ t เปนความหนา และ d เปนความกวางของแถบตวนาแบน แลวจะได

nqt

IBV H =

และสมประสทธz ของฮอล (Hall Coefficient) จะได B

tV

nq

IR H

H ==

20

• กฎของ Biot-Savart คอ 2

0

r

rsId

4Bd

×πµ

=v

v

เม อ µ0 = เปนคาความ ซาบซมไดของสญญากาศ = 4π x10-7 Wb/A.m

กฎนใชสาหรบหาสนามแมเหลกท จดH P หางจากตวนาท มกระแสไฟฟาสม าเสมอ I เปนระยะทาง r

∫×

πµ

=2

0

r

rsd

4

Iv

vB

สรป

• สนามแมเหลกรวมทงหมดท จด H P หาไดจากการอนทเกรทสมการ (1) ตลอดความยาวของตวนา นนคอ

… (1)

… (2)

• สนามแมเหลกท ระยะทาง a จากเสนลวดยาวตรงและมกระแสไฟฟาสม าเสมอ I ในเสนลวดคอ

a2

IB 0

πµ

= … (3)

7. แหลงกาเนดสนามแมเหลก

6

21

• แรงแมเหลกตอหน งหนวยความยาวระหวางตวนาคขนานท อยหางกน เปนระยะทาง a และมกระแสไฟฟา I1 และ I2 ในตวนา จะมคาเทากบ

a2

II

L

F 21oB

πµ

= … (4)

• กฎของแอมแปร แถลงไดวา อนทกรลเชงเสนของ รอบเสนทางปดใดๆ จะเทากบ µ0I นนคอ

จะ เ ปนแรง ดดถากระแสในตวนาทงสองมทศเหมอนกนH และจะเปนแรงผลกถากระแสในตวนาทงสองมทศตรงขามกนH

sdB vv⋅

∫ µ=⋅ I sdB 0

vr … (5)

เม อ I คอกระแสไฟฟารวมสม าเสมอท ไหลผานพนผวท ลอมรอบ Hดวยเสนทางปด (closed path)

22

• ใชกฎของแอมแปร หาคาสนามแมเหลกภายในทอ รอยดและโซลนอยดแลวจะได

- สาหรบสนามแมเหลกภายในทอ รอยด คอ

- สาหรบสนามแมเหลกภายในโซล นอยด คอ

r2

NIB 0

πµ

=

nIL

NIB 0

0 µ=µ

=

เม อ n = N/L , N = จานวนรอบของขดลวด

• ฟลกซแมเหลก φB ท ผานพนผวใดๆ H นยามโดยใชอนทกรลเชงผวดงนH

AdB B ∫ ⋅=φvv … (6)

23

• สมการแมกซเวล เม อนามารวมกนสามารถอธบายปรากฏการณทางแมเหลกไฟฟาได ซ งม 4 สมการ ดงนH

0AdB s∫ =⋅

vv

dt

dsdE B∫

φ−=⋅

vv

dt

dIsdB E

000

φεµ+µ=⋅∫

vv

Q

AdE s 0∫ ε

=⋅vv

(1) กฏของเกาสสาหรบไฟฟา

(2) กฏของเกาสสาหรบแมเหลก

(3) กฏของฟาราเดย

(4) กฏของแอมแปร-แมกซเวล

สรป 9. สมการแมกซเวล

24

• คล นแมเหลกไฟฟาท ทานายดวยสมการของ แมกซเวล มสมบต ดงนH• สนามไฟฟาและสนามแมเหลกจะสอดคลองกบสมการคล น ซ งจะพสจนได

จากสมการท 3 และ 4 ของแมกซเวล คอ

• คล นแมเหลกไฟฟาท เดนทางใน สญญากาศหรอบรเวณท วางเปลามคาเทากบ ความเรวแสง c เม อ

• สนามไฟฟาและสนามแมเหลกของคล นแมเหลกไฟฟาจะตงฉากกนและตาง Hกตงฉากกบทศทางการเคล อนท ของคล น H ซ งกลาวไดวา คล นแมเหลกไฟฟาเปนคล นตามขวาง

• ขนาดของสนามไฟฟาและสนามแมเหลก คอ E และ B ในขณะหน งๆ ของ คล นแมเหลกไฟฟา จะสมพนธกนตามสมการ E/B = c

t

E

x

E

2

2

002

2

∂∂

εµ=∂∂

t

B

x

B

2

2

002

2

∂∂

εµ=∂∂

s/m 3x10 1

c 8

00

≈εµ

=

7

25

• คล นแมเหลกไฟฟาพาเอาพลงงานตดตวไปดวย อตราการไหลของพลงงานผานหน งหนวยพนท H กาหนดดวย Poynting Vector S ในแนวตงฉากกบผวอยางH สมบรณ ความดนของรงสคล นคอ

P = S/c …… (Complete Absorbtion)ถาพนผวสะทอนคล นอยางสมบรณH ความดนจะเปน 2 เทา

• สนามไฟฟาและสนามแมเหลกของคล นไซนท เปนคล นระนาบท เดนทางในแนวแกน x เขยนไดเปน

E = Emax cos (kx-ωt)B = Bmax cos (kx-ωt)

เม อ ω คอ ความถ เชงมม และ k คอ เลขคล นเชงมม สมการนคอH solution ของสมการคล นสาหรบ E และ Bเม อ ω = 2πf และ k = 2π/λ เม อ f คอความถ (Hz) และ λ คอ ความยาวคล น (m) จะพบวา ω/k = λf = c

26

• คาเฉล ยของ Poynting vector สาหรบคล นแมเหลกไฟฟาท เปนคล นระนาบ จะมขนาด

ความเรวเฉล ยของคล นแมเหลกไฟฟาท เปนคล นไซนมคาเทากบ คาเฉล ยของ Poynting vector ใน 1 คาบคอหลายคาบ

• สเปกตรมของคล นแมเหลกไฟฟาคลอบคลมชวงของความถ และ ชวงของความยาวคล นท กวางมาก ความถ และความยาวคล นจะสมพนธกนตามสมการ c = λf

2

cB

c2

E

2

BE S

0

2max

0

2max

0

maxmaxav µ

=µ

=µ

=

27

เอกสารประกอบการคนควา

ภาควชาฟสกส. เอกสารประกอบการสอนฟสกสเบองตนH , คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยนเรศวรภาควชาฟสกส. ฟสกส2, คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลยD.C. Giancoli. Physics Principles with Applications, 3rded., Prentic-Hall,

ISBN: 0-13-666769-4, 1991.D. Halliday, R.Resnick and K.S. Krane. Volume Two extended Version Physics, 4th ed.,

John Wiley & Sons, 1992.R.A.Serway, Physics for Scientists & Engineers with Modern Physics, 4th ed., 1996.http://www.physics.sci.rit.ac.th/charud/howstuffwork/electro-mag/electro-magthai1.htmhttp://www.skn.ac.th/skl/skn422/file/field.htmhttp://www.physics.uoguelph.ca/tutorials/tutorials.htmlhttp://www.thinkquest.org/library/site_sum.html?tname=10796&url=10796/index.htmlhttp://www.launc.tased.edu.au/online/sciences/physics/tutes1.htmlhttp://www.colorado.edu/physics/2000/index.plhttp://www.dctech.com/physics/tutorials.phphttp://www.physics.sci.rit.ac.th

1

1

บทท 11 แมเหลกไฟฟา

1. กฏของคลอมบ 2. สนามไฟฟา3. กฏของเกาส4. ศกยไฟฟา5. ความจและ ไดอเลกทรก6. สนามแมเหลก7. แหลงกาเนดสนามแมเหลก8. การเหนยวนาแมเหลก9. สมการแมกซเวล

2

ประจไฟฟา (electric charge) มคณสมบตท สาคญดงน& :

• ประจไฟฟาจะเปนไปตามกฏการอนรกษเสมอ กลาวคอ เม อวตถถหรอเหน ยวนากบวตถอ น ประจไมไดถกสรางขนมาใหม & สถานะทางไฟฟาเกดขนจากการถายเทประจจากวตถหน งไปยงอกวตถ & หน ง โดยท วตถหน งจะมประจลบเพมขน & ในขณะท อกวตถหน งมประจบวกเพมขน &

หนวยท เลกท สดของประจไฟฟาเรยกวา elementary charge e = 1.6 x 10-19 C

• ประจไฟฟามอยสองชนดคอ ประจบวก และประจลบ • ประจท เหมอนกนจะผลกกนและประจท ตางกนจะดดกน

• คาประจไฟฟาเปนคาท ไมตอเน อง

ประจไฟฟาหนวยท เลกท สดในธรรมชาตคอประจ ของอเลกตรอน (-e) หรอโปรตอน (+e)

3

รป (a) แทงแกวท มประจบวกผลกกน (b) แทงแกวท มประจบวกดดกบแทงพลาสตกท มประจลบ

9.1095×10-31

1.67261×10-27

1.67492×10-27

-1.6021917×10-19

+1.6021917×10-19

0

อเลกตรอนโปรตอนนวตรอน

มวล (kg)ประจ (C)อนภาค

4

รป (a) แทงยางท มประจลบผลกกน (b) แทงแกวท มประจบวกดดกบแทงยางท มประจลบ

2

5

รปการประจวตถโลหะโดยการเหน ยวนา (a) ทรงกลมโลหะท เปนกลางมจานวนประจบวกและ

ประจลบเทากน (b) ประจบนทรงกลมท เปนกลางมการจดเรยงตวใหม

เม อนาแทงยางท มประจลบเขาใกล (c) มการตอสายดนอเลกตรอนจะเคล อนท ผานสายดน (d) เม อนาสายดนออกทรงกลมจะมประจบวกกระจาย

ไมสม าเสมอ(e) เม อนาแทงยางท มประจออกไปประจบวกจะมการ

กระจายอยางสม าเสมอทวทรงกลม

ตวนาไฟฟา (Conductors) คอวตถซ งประจไฟฟาสามารถเคล อนท ไดอยางอสระ เชน ทองแดง เหลก ทองแดง เปนตวนาไฟฟาท ด ถาวตถเหลานถกทาให &มประจในบรเวณใดบรเวณหน งประจจะสามารถกระจายไปไดทวพนผวของวตถเหลานน &&

Note that only conduction electrons, with their negative charges, can move; positive ions are fixed in place. Thus, an object become positively charged only through the removal of negative charges.

6

ฉนวนไฟฟา (Nonconductors or Insulators) คอวตถซ งประจไฟฟาไมสามารถเคล อนท ไดอยางอสระ วสดเชน แกว ยาง จดอยในพวกฉนวนไฟฟา โดยวสดเหลานสามารถทาใหมประจไดโดยการขดถ & โดยพนท &ท เกดการขดถจะเกดประจขนแตประจท เกดขนไม & &สามารถเคล อนท ไปท อ นได

ฉนวนกสามารถเหน ยวนาไดในขบวนการท คลายกน ในโมเลกลท เปนกลางทวไปศนยกลางประจบวกเปน จดเดยวกบศนยกลางประจลบ ในการแสดงตววาเปนวตถท มประจจดศนยกลางของฉนวนจะมการเล อนเลกนอยเปนผลทาใหมประจบวกท ดานหน งมากกวาอกดานหน งทาใหเกดการเหน ยวนาประจท ผวดานหน งของฉนวนไดดงรป

สารกงตวนา (Semicondutor) จะมคณสมบตทางไฟฟาอยระหวางตวนาไฟฟาและฉนวนไฟฟา เชน ซลกอน เยอรมาเนยม

There are few (if any) free electrons in a nonconductor

รปวตถมประจทางดานซายเหน ยวนาประจบนพนผวของฉนวน&

สารตวนายงยวด (Supercondutors) จะไมมความตานทานไฟฟาเลยIn a superconductor, the resistance is not just small; it is precisely zero.

7

ตวอยางท แสดงถงการมอยของแรงทางไฟฟาและ ประจ เชน หลงจากท เราหวผมในวนท มอากาศแหงเราจะเหนไดวาหวสามารถดดกระดาษชนเลกๆ & ได แรงดดนมกจะแรงพอท ดดกระดาษใหลอยขนมาได& & แรงแบบเดยวกนนเกดขนเม อนาแทงแกวถกบผาไหม & &หรอขนสตว

กลาวคอเม อวตถเกดพฤตกรรมในแนวทางนเรากลาวได &วาเกด สนามไฟฟา (electric field) ขนเราสามารถทาให&ตวของเรามไฟฟาเกดขนไดโดยการถรองเทาท ใสกบ &พรมขนสตวแรงๆ จะทาใหเกดประจไฟฟาบนตวของเราและประจไฟฟาจะเกดการเคล อนท ถาเราสมผสกบพนภายใตสภาวะท เหมาะสม& (ในวนท อากาศแหง ถาอากาศชนจะทาใหประจท เกดขนเกดการถายเทจากตวเรา& &ไปสโลก ) เราจะพบวาเกดการ spark ขนโดยทงคณ& &และเพ อนจะรสกชาเหมอนโดนไฟฟาชอต

ลกโปงท&ถกบผมในวนท&อากาศแหง ทา ใหผมและลกโ ปง มประจเกดข 4น

H22-1

8

http://www.rit.ac.th/homepage-sc/charud/naturemystery/electric1/electric.htm

ไฟฟาท ไมเคล อนท เรยกวา ไฟฟาสถต ประจอยนงกบท ตวอยางเชนเกดไดจากการถ ลกโปงกบวตถเชนผาขนสตว อเลกตรอนจะถายเทจากผาขนสตวไปยงอะตอมของลกโปง ลกโปงไดรบประจไฟฟาลบ และผาขนสตวไดรบประจไฟฟาบวก

3

9

http://www.rit.ac.th/homepage-sc/charud/naturemystery/electric1/electric.htm

10

แรงในธรรมชาตนกฟสกสไดแบงแรงตางๆ ในธรรมชาตออกเปน 4 ชนด ไดแก

1. แรงโนมถวง2. แรงไฟฟาและแรงแมเหลกทเกยวของกน3. แรงนวเคลยสอยางแรง4. แรงนวเคลยสอยางออน

ในบทนจะอธบายแรงชนดท & 2

แรงไฟฟา

• ถาเอาหวพลาสตกถกบขนสตว จะมประจไฟฟาเกดขนบนหวตรงสวนท ถกถ & และหวนนสามารถ&ดดเศษกระดาษชนเลกๆ& ได เราเรยกแรงดดนวา& แรงไฟฟา (electrical force)• แรงไฟฟามทงแรงดดและแรงผลก&

11

แรงไฟฟา (แรงดดหรอแรงผลก) ระหวางประจไฟฟาคหน งจะแปรผนตามผลคณของ ขนาดของประจทงสองและแปรผกผนกบกาลงสองของระยะหางระหวางประจ& คนน &

εεεε 0 = สภาพยอมของสญญากาศ (permittivity of free space) = 8.85x10-12 C2/N.m2

1. กฏของคลอมบ (Coulomb Law)

221

E2112Er

qqkFFF ===

แรงไฟฟาท กระทาตอประจคนจะมขนาดเทากบ &

229

0E /CmN10x9

4

1k ⋅=

πε=

ทศของ F12 เม อ q1 และ q2เปนประจไฟฟาชนดเดยวกน

q2 q1

r

12r

ทศของ F12 เม อ q1 และ q2เปนประจไฟฟาตางชนดกน

ส ม ก า ร แ ส ด ง เ ว ก เ ต อ ร ข อ ง แ ร ง ไ ฟ ฟ า ท ประจ q2 กระทาตอประจ q1 เขยนไดเปน

12221

E12 rr

qqkF =

v

เปนเวกเตอรของแรงไฟฟาท q2 กระทาตอ q112Fv

โดย

เปนเวกเตอรหน งหนวยมทศจาก q2 ไปยง q112r ในสมการนประจบวกและลบจะม&เคร องหมายเปนบวกและลบตามลาดบ

12

เม อปฎบตตามกฎของคลอมบจะตองจาไววาแรงคอปรมาณเวกเตอร ดงนน& แรงทางไฟฟาท เกดจากประจ q2 กระทาตอประจ q1 คอ

รปจดประจ 2 อนอยหางกนเปนระยะทาง r ออกแรงกระทาตอกนตามกฎของค ลอมบ (a) เม อประจมเคร องหมายเดยวกน(b) เม อประจมเคร องหมายตางกน

โดยท 12r คอเวกเตอรหนวย (unit vector) มทศออกจาก

q2 ไปยง q1 และเน&องจากแรงทางไฟฟาเปนไปตามกฎขอท&สามของนวตนดงน 4นแรงท& q2 กระทาตอ q1จะมขนาดเทากบแรงท& q1 กระทาตอ q2 แตมทศทางตรงกนขามกนน&นคอ

2112 FFvv−=

ถา q1 และ q2 มเครองหมายเดยวกนผลคณระหวาง q1 และ q2 มคาเปนบวกและแรงเปนแรงผลก ถา q1 และ q2 มเครองหมายตรงขามกนผลคณระหวาง q1 และ q2 มคาเปนลบและแรงเปนแรงดด

q1

q2

q1

q2

12r

12221

E12 rr

qqkF =

v

4

13

เปนแรงไฟฟาท ประจ q2 กระทาตอประจ q1 มทศออกจาก q1 เปนเวกเตอรหน งหนวยมทศจาก q2 ไปยง q1เปนแรงไฟฟาท ประจ q1 กระทาตอประจ q2 มทศออกจาก q2เปนเวกเตอรหน งหนวยมทศจาก q1 ไปยง q2

12Fv

12r

12221

E12 rr

qqkF =

v

ประจชนดเดยวกน

r

vF12

vF21

q1q2

ประจตางชนดกน

r

vF12

vF21

q1 q2

ประจตางชนดกน จะสงแรงไฟฟาซงกนและกนเปน แรงดด (Attractive force)

ประจชนดเดยวกน จะสงแรงไฟฟาซงกนและกนเปน แรงผลก (Repulsive force)21r

แรงไฟฟาเปนปรมาณเวกเตอรเขยนในรปเวกเตอรไดเปน

21212

E21 rr

qqkF =

v

21Fv

14

กฎของคลอมบยงอธบายไดอกวา แรงไฟฟาท เกดขนกระทากนเปนคๆ & แมวาจะมประจอ นๆ มาวางอยใกลกตาม แสดงวาแรงกระทาระหวางประจคหน งจะไมเปล ยน เลย เม อมประจท สามเขามาเกยวของ นนคอ ไมวาระบบจะประกอบดวยประจไฟฟา จานวนเทาใดกตาม กฎของคลอมบสามารถใชคานวณหาแรงระหวางประจทกๆ คได

แรงทกระทาบน q1 ในรป ก. จะเทากบผลบวกของแรงทกระทาบน q1 ในรป ข. และรป ค.

+

1Fv

-

-q1

q2

r

r

12Fv

-

-q1

q2

r

r

13Fv

+

-q1

q3

r

r

q3

(ก) (ข) (ค)

= +

15

ถาประจ q1, q2 และ q3 อยในตาแหนงใดๆ ดงรป แรงท กระทาบน q3 เน องจาก q1 และ q2 จะหาไดจากผลรวมแบบเวกเตอรระหวางแรง และ

32313 FFFvvv

+=

31Fv

32Fv

312310

1331 r

r4

qqF

πε=

v

แรงดด

แรงผลก

322320

2332 r

r4

qqF

πε−=

v

-

+-vF32

vF3

vF31

q1

q2q3

r31

r32

31r

32r

16

ดงนน& ระบบประจ n ตว ประจ q1, q2,…,qn แรงลพธท ประจใดๆ กระทาตอประจ qi จะหาไดจากผลบวกเวกตอรของแรงตามสมการ

ประจ qi , qj มหนวยเปน คลอมบ (C) ระยะ rij มหนวยเปน เมตร (m)แรง Fi , Fij มหนวยเปน นวตน (N)

∑∑≠≠

==n

ijij2

ij

ji

0

n

ijiji r

r

qq

4

1FF

πε

vv


เปนแรงไฟฟาท กระทาตอประจ qi โดย qjijFv

ijr คอเวกเตอรหนวย (unit vector) มทศออกจาก qj ไปยง qi


5

17

ตวอยาง 1 อเลกตรอนและโปรตอนของไฮโดรเจนอะตอมกระจายโดยมระยะหางระหวางกนเปน 5.3x10-11 m จงหาขนาดของแรงทางไฟฟา

วธทาอเลกตรอนมประจตรงขามกบโปรตอน แตมขนาดประจเทากน คอ 1.6x10-19 C

จงเปนแรงดงดดกนท มขนาดท หาไดจากกฎของค ลอมบ ดงน&

N 8.2x10

)103.5(

)106.1)(106.1()109(

r

qqkF

-8

211

19199

221

EE

=

×

×××=

=

−

−−

18

ตวอยาง2 ประจ q1= +7x10-5C , q2 = -4x10-5C และ q3 = -5x10-5C วางอยท มมของรปส เหล ยมท มดานยาว 3 , 4 และ 5 cm จงหาขนาดและทศของแรงท กระทาบน q3

3Fv

--

q1

q2

31Fv

+

q332Fv

4 cm

5 cm3 cm

θ

วธทา32313 FFFvvv

+=

N1035)103(

)107)(105)(109(

r4

qq F 3

22

559

2310

1331 x

x

xxx===

−

−−

πε

N1025.11)104(

)104)(105)(109(

r4

qq F 3

22

559

2320

2332 x

x

xxx===

−

−−

πε

N107.3)1025.11()1035(F 423233 xxx =+=

o181035

1025.11tan

3

31 =

= −

x

xθ

19

ตวอยาง 3 จดประจ 3 จด วางตวอยในแกน x ดงแสดงในรป ประจบวก q1= 15µC อยท x = 2 m ประจบวก q2 = 6µC อยท จดกาเนด และแรงลพธท กระทาตอ q3 มคาเปนศนย q3 มตาแหนงใดบนแกน x

จากรปจดประจ 3 จด วางตวอยในแนวแกน x ถาแรงสทธท กระทาตอ q3

มคาเปนศนยจะไดวา จะตองเทากบและมทศทางตรงขามกบแรง 31Fv

32Fv

วธทา31F

v

32Fv

1q2q

+ +-3q

x 2-x

2 m

20

เน องจาก q3 มเปนลบและ q1 และ q2 เปนบวก แรง และ จงเปน

แรงลบทงคและมขนาดดงน& &

213

E31x)(2

q qkF

−=

223

E32(x)

q qkF =

ถาจะใหแรงลพธท กระทาตอ q3 มคาเปนศนย จะตองเทากบและม ทศทางตรงขามกบแรง นนคอ

แกสมการจะไดวา

22

12 qx)(2qx −=

)10(15x)10)(6x4x(4.00 6262 −− ×=×+−

แกสมการกาลงสองเพ อหาคา x จะได x = 0.775 m

223

E213

E(x)

q qk

x)(2

q qk =

−

31Fv

31Fv

32Fv

32Fv

6

21

223

E32a

q qkF = N 9

(0.1)

)10)(210(5)10(9

2

669 =

×××=

−−

213

E31)2(a

q qkF = N 11

)10.0(2

)100.5)(100.5()109(

2

669 =

×××=

−−

แรง เปนแรงผลกและทามม 45o กบแกน x ดงนนองคประกอบใน&แนวแกน x และ y ของ แรง มคาเทากบ N 7.9cos45F o

31 =

แรง มทศในแกนลบ x ดงนน& องคประกอบในแนวแกน x และ y ของแรงลพธท กระทาบน q3 คอ

N 7.9FF

1.1N9.07.9FFF

31y3y

3231x3x

==

−=−=+=

สามารถแสดงแรงลพธท กระทาตอ q3 ในรปของเวกเตอรหนวยดงน &

N )j 7.9i 1.1(F3 +−=v แบบฝกหด จงหาขนาดและทศทางของแรงลพธ

ตอบ 8.0 N , ทามม 98o กบแกน x

31Fv

31Fv

32Fv

3Fv

22

ตวอยาง 5 มประจท มขนาดเทากน 2 ประจ แตละประจมมวล 3.0x10-2 kg แขวนอยอยางสมดลดงรป ระยะทางของเชอกแตละเสนคอ 0.15 m มม จงหาขนาดของประจบนทรงกลมแตละอน

รป (a) ทรงกลม 2 อนท เหมอนกนแตละอนม ประจ q อยในภาวะสมดล

(b) แผนภาพทรงกลมอสระทางดานซาย

วธทาL/asin =θ

m 013.05sin15.0sinLa o ==θ=

ระยะหางระหวางทรงกลม = 2a = 0.026 m

0mgcosTF

0FsinTF

y

Ex

=−θ=

=−θ=

∑∑

T = mg/cosθ

θ= tanmgFE

N102.6

tan5)(9.8)10(3.02

o2

−

−

×=

×=

23

2

2

EEr

qkF =จากกฎของคลอมบ ขนาดของแรงทางไฟฟาคอ

เม อ r = 2a = 0.026 m

q คอขนาดของประจในทรงกลมแตละอน ทาการแกสมการเพ อหาคา 2q

C104.4q

109

)026.0)(106.2(

k

rFq

8

9

22

E

2E2

−

−

×=

×

×==

แบบฝกหด ถาประจบนทรงกลมเปนประจลบตองเพมอเลกต รอนอกกตว เพ อจะทาใหประจสทธมคา -4.4x10-8 Cตอบ 2.7x1011 ตว

24

สรป• ประจไฟฟาเหมอนกนผลกกน ประจไฟฟาตางกนดดกน • ประจไฟฟาหนวยเลกท สดในธรรมชาตคอประจของ อเลคตรอน (ประจลบ)

หรอโปรตอน(ประจบวก) ซ งมขนาดเทากบ 1.6x10-19 C• กฎของคลอมบ :

ขนาดของแรงทางไฟฟา FE ระหวางประจ q1 และ q2 ท อยหางกนเปนระยะทาง r 9 2 21 2

E E E20

q q 1F k where k 9x10 N m / C

r 4= = = ⋅

πε

∑∑≠≠

==n

ijij2

ij

jiE

n

ijiji r

r

qqkFF

vv

• ระบบประจ n ตว ประจ q1, q2,…,qn แรงลพธท ประจใดๆ กระทาตอประจ qiจะหาไดจากผลบวกเวกตอรของแรงระหวางประจแตละคตามสมการ


ijFv

ijr คอเวกเตอรหน งหนวย มทศออกจาก qjไปยง qi


เปนแรงไฟฟาท กระทาตอประจ qi โดย qj

แรง Fij เปนบวก จะเปนแรงผลกแรง Fij เปนลบ จะเปนแรงดด

1. กฏของคลอมบ

7

25

กฎของคลอมบยงอธบายไดอกวา แรงไฟฟาท เกดขนกระทากนเปนคๆ & แมวาจะมประจอ นๆ มาวางอยใกลกตาม แสดงวาแรงกระทาระหวางประจคหน งจะไมเปล ยน เลย เม อมประจท สามเขามาเกยวของ นนคอ ไมวาระบบจะประกอบดวยประจไฟฟา จานวนเทาใดกตาม กฎของคลอมบสามารถใชคานวณหาแรงระหวางประจทกๆ คได

เชน ถาประจ q1, q2 และ q3 อยในตาแหนง ใดๆ ดงรป แรงท กระทาบน q3 เน องจาก q1และ q2 จะหาไดจากผลรวมแบบเวกเตอรระหวางแรง และ

32313 FFFvvv

+=

31Fv

32Fv

31231

13E31 r

r

qqkF =

v

แรงดด

แรงผลก

32232

23E32 r

r

qqkF −=

v

-

+-vF32

vF3

vF31

q1

q2q3

r31

r32

31r

32r

26

คาถามและแบบฝกหดเพมเตม

http://www.physics.sci.rit.ac.th/charud/oldnews/48/magnetic/OnlineTest_V4/index.asp

27


ภาควชาฟสกส. เอกสารประกอบการสอนฟสกสเบองตน& , คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยนเรศวรภาควชาฟสกส. ฟสกส2, คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลยD.C. Giancoli. Physics Principles with Applications, 3rded., Prentic-Hall,


John Wiley & Sons, 1992.R.A.Serway, Physics for Scientists & Engineers with Modern Physics, 4th ed., 1996.http://www.physics.sci.rit.ac.th/charud/howstuffwork/electro-mag/electro-magthai1.htmhttp://www.skn.ac.th/skl/skn422/file/field.htmhttp://www.physics.uoguelph.ca/tutorials/tutorials.htmlhttp://www.thinkquest.org/library/site_sum.html?tname=10796&url=10796/index.htmlhttp://www.launc.tased.edu.au/online/sciences/physics/tutes1.htmlhttp://www.colorado.edu/physics/2000/index.plhttp://www.dctech.com/physics/tutorials.phphttp://www.physics.sci.rit.ac.thhttp://www.physics.sci.rit.ac.th/charud/oldnews/48/magnetic/OnlineTest_V4/index.asp

1

1


นยามความเขมของสนามไฟฟา E ทตาแหนง ของประจทดสอบ q0วาเปนสนามไฟฟาทกระทาตอประจหนงหนวย หรอ

สนามไฟฟา E ทตาแหนงใดใน space นยามวาเปนแรงทางไฟฟา F ทกระทาตอประจทดสอบทเปนบวก q0 ทอยทตาแหนงนนหารดวยขนาด /ของประจทดสอบ

E

0

F E

q=

vv

ร ป ป ร ะ จ ท ด สอ บ ท เ ป น บ ว กปรมาณนอยวางอยใกลกบวตถทม ปร ะ จบวกจา นวนมา กกวา Q สนามไฟฟา E มทศทางเดยวกบแรง F ทกระทากบประจบวกซ งอยในสนามไฟฟา สนามไฟฟามหนวยเปน นวตนตอคลอมบ (N/C)

แรงทางไฟฟาไดรบการพฒนาโดย Michael Faraday โดยสนามไฟฟาจะมอยบรเวณรอบๆ วตถทมประจ เมอมวตถมประจอนเคลอนทเขามาในสนามไฟฟานจะเกดแรงกร/ ะทาทางไฟฟากระทาตอมน ตวอยางเชนรปท 1 แสดงประจทดสอบขนาดเลกทเปนบวก q0 วางอยใกลวตถทมประจบวกจานวนมากกวา Q

Qq0

E

2

สนามไฟฟา (Electric Field; E) หมายถง บรเวณโดยรอบประจไฟฟา ซ งประจไฟฟาสามารถสงอานาจไปถง หรอ บรเวณทเมอนาประจไฟฟาเขาไปวางแลวจะเกดแรง กระทาบนประจไฟฟานน/

นยาม สนามไฟฟาเปนแรงตอประจ 1 คลอมบ มหนวยเปน N/C

E คอ สนามไฟฟา (N/C)F คอ แรงไฟฟา (N)q คอ ประจไฟฟา (C)

วธหาความเขมของสนามไฟฟา ณ จดใดๆ1. เขยนรป แสดงตาแหนงประจเขาของสนาม2. นาประจ +1 C ไปวางไว ณ จดทจะหาความเขมของสนามไฟฟา3. เขยนทศทางของแรงทกระทาตอประจ +1 C ณ จดนนดวย/4. หาความเขมของสนามไฟฟา จากสตร

q

FE E

vv=

สนามไฟฟา E เนองจากประจ q ทอยหางเปนระยะทาง r จะมคาเทากบ

ตามจดตางๆ ในบรเวณสนามไฟฟายอมมความเขมของสนามไฟฟาตางกน

จดทอยใกลประจไฟฟาจะมความเขมของสนามไฟฟาสงกวาจดทอ ยหางไกลออกไป

rr

qkr

r

q

4

1

q

FE

2E

20

E ))v

v=

πε==

3

ทจด P ใดๆ สนามไฟฟารวมทเกดจากกลมประจจะเทากบผลรวม แบบเวกเตอรของสนามไฟฟาเนองจากแตละประจ นนคอ

rr

qk r

r

q

4

1i

i2i

iEi

i2i

i

0∑∑ =

πε=E

v

เมอ ri คอระยะทางจากประจ qi ไปยงตาแหนง P (ตาแหนงของประจทดสอบ )

ir คอเวกเตอรหนวยมทศทางจาก qi ไปยง P

การคานวณหาสนามไฟฟาทจด P เนองจากกลมของจดประจหลายๆ กลม

4

2

5 6

ประจ q1 = 7.0 µC อยทจดกาเนด และประจ q2 = -5.0 µC อยบนแกน x หางจากจดกาเนด 0.3 m ดงรป จงหาสนามไฟฟาทตาแหนง P ซ งมพกดท (0,0.40) m

ตวอยาง 1 Electric field due to two charges

รป สนามไฟฟา E ทจด P เทากบ ผลรวมแบบเวกเตอร E1+E2

วธทา เรมแรกใหหาขนาดของสนามไฟฟาทจด P ทเกดจากประจแตละตว สนาม E1 เกดจากประจ 7.0 µC และ E2 เกดจากประจ -5.0 µC

N/C3.9x10(0.40)

107)10(9

r

qkE 5

2

69

21

1E1 =

××==

−

N/C1.8x10(0.5)

105)10(9

r

qkE 5

2

69

22

2E2 =

××==

−

7

มเฉพาะองคประกอบในแนวแกน y เปน N/C 101.1E

5

3cosEE 5

222x x=== θ

และมองคประกอบในแกน –y เปน

ดงนนเขยนในรปเวกเตอรได/ ดงน/ j )109.3(E 5

1 ×=v

สนามลพธ E ทจด P เปนผลรวมระหวาง E1 และ E2

j)102.5(i)101.1(

j)104.1109.3(i)101.10(EEE55

55521

×+×=

×−×+×+=+=vvv

จะได E มขนาด CNxx /107.2)101.1()101.1()(E)(E 525252y

2x ×=+=+=

o66)(1.1x10

)(2.5x10tan

E

Etanθ

5

51

x

y1 ====Φ −− กบแกนบวก x

แบบฝกหด จงหาแรงไฟฟาทกระทาตอประจ 2x10-8 C ทจด Pตอบ 5.4x10-3 N มทศเดยวกบสนามไฟฟา E

มองคประกอบในแนวแกน x เปน

j )10(1.4i )10(1.1 E 552 ×−×=

v

N/C104.1E5

4sinEE 5

222y x−=−=−= θ

N/C 109.3E 51y ×=

และทามม

1Ev

2Ev

8

ไดโพลไฟฟา (an electric dipole) นยามคลายกบวาเปนคประจ +q และประจ -q อยหางกนเปนระยะทางคาหนง ดงรป จงหาสนามไฟฟา E ทจด P ทเกดจากประจทซ ง P มระยะทาง y >> a จากจดกาเนด

ตวอยาง 2 Electric field of dipole

ร ป ส น า ม ไ ฟ ฟ า E ท จ ด P เนองจากประจ 2 ตวท มขนาดเทากนแตมทศทางตรงขามกน มคาเทากบผลรวมแบบเวกเตอร ของ E1 และE2

วธทาทจด P สนาม E1 และ E2 ทเกดจากประจทงสองมขนาด /เทากนเนองจากจด P มระยะหางจากประจทงสอง /เทากน สนามรวมทงหมดคอ/

องคประกอบในแนวแกน y ของ E1 และ E2 หกลางกนและกน องคประกอบในแนวแกน x นามาบวกกนเนองจากเวกเตอรทงสองมทศในแกนบวก/ x ทงค/ ดงนน/ E จะขนานกบแกน x มขนาดเทากบ

θcosE2 1

เมอ

21 EEEvvv

+=

22E2E21ay

qk

r

qkEE

+===

3

9

21 EEEvvv

+=22E2E21

ay

qk

r

qkEE

+===

จากรป พบวา 2/122 )ay/(ar/acos +==θดงนน/

เมอ

1/22222E1)a(y

a

)a(y

qk2cosθ2EE

++==

3/222E)a(y

2qak

+=

เพราะวา y>>a เราสามารถละทง/ a2 ได ดงนน/

3Ey

2qakE ≈

เราพบวาขนาดของ E แปรผกผนตามกาลงสามของ ระยะทางทอยบนเสนตรงทตงฉากซงแบงคร งระยะทางระหวางไดโพล/

10

ตวอยาง 3 Motion of charged particle in a uniform electric fieldเมออนภาคมประจ q และ มวล m วางอยในสนามไฟฟา E แรงทางไฟฟาทกระทาตอประจคอ qE ถานคอแรงเพยงอยางเดยวทกระทาตออนภาคมนจะ เปนแรงสทธทกระทาตอประจและทาใหเกดความเรงของอนภาค ในกรณน/สามารถประยกตใชกฎขอสองของนวตนกบอนภาคไดดงน /

ถา E มคาสมาเสมอ (มขนาดและทศทางคงท) จะไดวาความเรงมคาคงทดวย ถาอนภาคมประจบวกเมอมนถกเรงในทศเดยวกบสนามไฟฟา ถาอนภาคมประจลบมนจะถกเรงในทศตรงขามกบสนามไฟฟา

ความเรงของอนภาคเปนดงน /

EqamFvvv

==

m

Eqa

vv=

11

สนามไฟฟาของประจไฟฟาทกระจายกนอยอยางตอเนอง

ในกรณทระยะทางระหวางประจในกลมประจมคานอยกวาระยะทางระห วางกลมประจ กบจดทสนใจหาสนามไฟฟามากๆ ในกรณเชนนระบบทประจอยใกลชดกนมากจะ /เทยบเทากบประจทกระจายอยางตอเนอง ตามเสน ตลอดพนผวหรอตลอดปรมาตร/

ในการประมาณคาสนามไฟฟาทเกดจากการกระจาย ของประจอยางตอเนอง มขนตอนดงน/ /

∆ q

รป สนามไฟฟาท จด P เนองจากการกระจายประจอยางตอเนองซ ง เปนผลมาจากการรวมสนาม ทเกดจากประจยอย

E∆∆q

∆qแลวคานวณหาสนามไฟฟาทเกดจากสวนประกอบ ยอยๆ เหลานแตละสวนทกระทาตอจด / P

แลวทาการหาสนามไฟฟารวมทกระทาท P อนเนองมาจากการกระจายของประจโดยการรวมสนามไฟฟาในแตละสวนเขาดวยกน

เรมแรก ใหแบงการกระจายของประจเปนสวน เลกๆ ซ งมประจ

12

สนามไฟฟาทจด P เนองมาจากประจ คอ q∆ r

r

∆qkE

2E=∆v

เมอ r คอระยะหางระหวางประจ และจด P q∆r คอเวกเตอรหนวยมทศจากกลมประจ ไปยงจด Pq∆

สนามไฟฟารวมทจด P ทเกดจากทกๆ องคประกอบยอยของประจคอ

∑≈i

2i

iE ˆ

r

∆qkE

ir

v

เนองจากประมาณการกระจายของประจเปนแบบตอเนอง สนามไฟฟารวมทจด P ในชวง คอ iq 0∆ →

∫∑ =≈→

r r

dqkr

r

∆qlimkE

2Ei

2i

i

0∆qE

i

v

เมอ i แสดงถงกลมประจท i

โดยทาการอนทเกรท ตลอดชวงของการกระจายของประจ

4

13

- ถาประจ Q มการกระจายอยางสมาเสมอตลอดปรมาตร V ความหนาแนนประจเชงปรมาตร ρ คอ

VQ

=ρ มหนวยเปน C/m3

โดยการสมมตใหวาประจมการกระจายอยางสมาเสมอบนเสนตรง บนพนผวหรอทว/ ปรมาตรและจะเปนการสะดวกถาใชแนวคดเกยวกบความหนาแนนของประจ ในการคานวณในแตละกรณ

- ถาประจ Q มการกระจายอยางสมาเสมอทวพนผว / A ความหนาแนนประจเชงพนผว / σ คอ

AQ

=σ มหนวย C/m2

- ถาประจ Q มการกระจายอยางสมาเสมอตามเสนตรงความยาว L ความหนาแนนประจเชงเสน λ คอ

L

Qλ = มหนวยเปน C/m

- ถาประจมการกระจายแบบไมตอเนองในปรมาตร บนพนผวหรอบนเสน/ความหนาแนนของประจคอ

dVdQ

=ρdAdQ

=σdL

dQ=λ

เมอ dQ คอปรมาณของประจในปรมาตร พนผวหรอเสนสวนเลก/ ๆ 14

ตวอยาง The electric field due to a charged rodแทงความยาว L มประจบวกกระจายอยางสมาเสมอตอหนงหนวยความยาวเปน λ และมประจรวม Q จงคานวณหาสนามไฟฟาทจด P ซงมตาแหนงอยบนแกนของแทงหางจากปลาย ดานหนงเปนระยะทาง a ดงรป

รปสนามไฟฟาทจด P ทเกดจากประจสมาเสมอบนแท ทวางตวอยในแนวแกน x ขนาดของสนามท P เนองจากสวนของประจ dq คอ kQ/x2 สนามรวมท P คอผลรวมแบบเวกเตอรตลอดแทง

วธทา

2E2Ex

dxλk

x

dqkdE ==

dxdq λ=

aL

aE

aL

a2E x

1λk

x

dxλkE

++

−== ∫

)aL(a

Qk)

aL

1

a

1(λk E

E +=

+−=

La

เมอเราใชความจรงทวา ถา P อยหางจากแทง (a >> L) สามารถตดทงคา/ L ทเปนตวหารได จะไดวา นคอสนามทคาดวาจะไดจากจดประจ ถาคา a / L มขนาดมากการกระจายของประจจะปรากฏในรปของจดประจขนาด Q

λLQ=

2kQ/aE ≈

15

ตวอยาง The electric field of a uniform ring of chargeหวงมรศม a มประจบวกทงหมด/ Q กระจายอยอยางสมาเสมอ จงคานวณหาสนามไฟฟาทเกดจากหวงทตาแหนง P ซ งวางตวอยในแกน x หางจากจดศนยกลางหวงไปตามแกนกลาทตงฉากกบระนาบของหวง /

∫∫ +=

+= dq

)ax(

x kdq

)ax(

x kE

2/322E

2/322E

x Q)ax(

xk2/322

E

+=

ผลแสดงใหเหนวาสนามไฟฟาเปนศนยท x = 0

วธทา 2Er

dqkdE=

dq)ax(

xk

r

x)

r

dqk(cosdEdE

2/322E

2Ex+

==θ=

2 2 1/2r = (x +a )x

cosr

θ =ถา และ จะไดวา

รป วง แห วนรศ ม a มปร ะ จก ร ะ จ า ย อ ย า ง ส ม า เ ส ม อ (a) สนามท จด P บนแกน x เ น อ ง จา กสวนขอ ง ปร ะ จ dq(b) สนามไฟฟารวมท P อยในแนวแกน x

16

ตวอยาง The electric field of a uniformly charged diskจานกลมรศม R มความหนาแนนประจเชงพนผวเปน / σ จงคานวณสนามไฟฟาทจด P ซ งวางตวตามแกนกลางซ งตงฉากกบจานกลมหางจากจดศนยกลางของจา/ นกลมเปนระยะทาง x

รปจานกลมซ งมประจกระจายอยางสมาเสมอรศม R สนามไฟฟาทจด P ซงอยบนแกนกลางมทศตามแกนกลางและตงฉากกบจานกลม/

วธทาrdr2dq πσ=

)rdr2()rx(

xkdE

2/322E πσ

+=

R

E 2 2 3 / 20

2rdrE k xπ σ

(x r )=

+∫R

2 2 3/2 2E

0

k xπ σ (x r ) dr−= +∫R2 2 1/ 2

E

0

(x r )k xπσ

1/ 2

− += −

+−σπ=

2/122E)Rx(

x

x

xk2

โดยสมมตให R >> x ดงนน/ สวนทอยในวงเลบจะลดรปเปนหนง 0

Eε2

σσkπ2 =≈Ε

เมอ 0E

1

4πkε = คอคายนยอมในสญญากาศ (the permittivity of free space)

ทาการอนทเกรทจาก r = 0 ถง r = R เพอหา สนามรวมทงหมดท/ P (x มคาคงท ) จะไดวา

ใชผลคา Ex ในตวอยางทแลว (โดยแทน a ดวย r )

5

17

เสนสนามไฟฟา (Electric Field Lines)วธทจะสะดวกในการดรปแบบของสนามไฟฟา ทาไดโดยการลากเสนซ งมทศทางไปในแนวเดยวกนไปยงจดใดๆ ซงเราเรยกวา เวกเตอรสนามไฟฟา (the electric field vector) หรอเรยกวา เสนสนามไฟฟาซงเสนสนามไฟฟาจะสมพนธกบสนามไฟฟาทบรเวณใดๆ ในลกษณะดงน/

- เวกเตอรสนามไฟฟา E จะสมผสกบเสนสนามไฟฟา- จานวนของเสนตอหนงหนวยพนทผานพนผวทตงฉากกบเสนสนาม / / / ไฟฟา จะเปนสดสวนกบสนามไฟฟาในบรเวณนน / นนคอ E จะมคามากเมอเสนสนามอยใกลชดกนมาก

รปเสนสนามไฟฟาสาหรบจดประจ(a) สาหรบจดประจบวกเสนสนามมทศทางพงออกตามแนวรศม(b) สาหรบจดประจลบเสนสนามมทศทางพงเขาตามแนวรศม (c) สวนทเปนสดาคอชนของเขมเลกๆ / ทลอยอยในนามนเรยงตวตามสนามไฟฟาทเกดจาก /

จดประจทอยตรงกลาง 18

การวาดเสนสนามไฟฟาสาหรบกรณการกระจายประจใด ๆ เปนดงน/ • เสนสนามไฟฟาจะพงออกจากประจบวกและสนสดทประจลบ /• จานวนเสนสนามไฟฟาทพงออกจากประจบวกเขาหาประจลบเปนสดสวนต รงกบขนาดของประจ• เสนสนามไฟฟาจะไมตดกน

รป (a) เสนสนามไฟฟาของจดประจสองตวทมขนาดเทากนแตมเครองหมายตร งขาม (b) เสนสดาคอชนของเขมเลกๆ/ ทลอยอยในนามนและจดเรยงตวตามสนามไฟฟาไดโพล /

รปแสดงจดประจ 2 ตว ซ งมขนาดเทากนแตมเครองหมายตรงขาม (an electric dipole) เนองจากประจมขนาดเทากนดงนนจานวนเสนสนามทพงออกจากประ / จบวกจะมจานวนเทากบเสนสนามทพงเขาหาประจลบ จดทอยใกลกบประจมากๆ จะเหนวาเสนสนามมลกษณะคลายกบรศม

19

รป (a) เสนสนามไฟฟาเนองจากจดประจบวก 2 ประจ (b) ชนของเขมเลกๆ/ ลอยอยในนามนเรยตวตามสนามไฟฟา /

ทเกดจากจดประจบวก 2 ประจ

รปแสดงเสนสนามไฟฟาของประจบวก 2 ตว ทมขนาดใกลกน จานวนเสนสนามทพงออกจากประจมขนาดเทากน ทระยะไกลมากๆ สามารถประมาณไดวาเสนสนามมคาเทากบขนาดของเสนสนามทเกดจากประจ 2q

20

เปนภาพรางเสนสนามไฟฟาทเกดจากประจ +2q และ –q ในกรณน/จานวนของเสนสนามทเกดจากประจ +2q จะมคาเปนสองเทาของ ประจทจะตองพงเขาหา –q ดงนน/ มเสนสนามเพยงคร งเดยวทพงออกจากประจบวกเขาหาประจลบ

6

21

ตวอยาง An accelerating positive charge จดประจบวกขนาด q มวล m ถกปลอยออกจากสถานะหยดนงในสนามไฟฟาทมขนาด สมาเสมอ E ทมทศเดยวกบแกน x ดงแสดงในรป จงอธบายการเคลอนทของประจ q

รป จด ปร ะจบวก q อยใ นสนามแมเหลกสมาเสมอ E มความเรงคงทในทศเดยวกบ สนามไฟฟา

วธทาความเรงของประจจะมคาคงทเทากบ qE/m การเคลอนทเปนแบบเสนตรงตามแนวแกน x ดงนน/ เราสามารถประยกตใชสมการกลศาสตรในหนงมตดงน/ให xi = 0 และ vxi = 0 จะไดวา

2f i xi x

1x x v t a t

2= + + 22

x t2m

qEta

2

1==

tavv xxixf += tm

qEtax ==

)x(x2avv ifx2xi

2xf −+= ffx x)

m

2qE(x2a ==

พลงงานจลนของประจภายหลงทมนเคลอนทไดระยะทาง x = xf – xi คอ

22

k xf f

1 (qEt)E mv qE x

2 2m= = =

22

สนามไฟฟาระหวางแผนขนานทมประจตรงขามกนถอวามคาสมาเสมอด งรป สมมตวาอเลกตรอนประจ –e เคลอนทในแนวราบเขาไปในสนามดวยความเรวเรมตน เพราะวาสนามไฟฟา E ในรปมทศตามแกนบวก y ความเรงของอเลกตรอนมทศในแนวแกนลบ y นนคอ j

m

eEa −=v

เพราะวาความเรงมคาคงทเราสามารถประยกตใช สมการจลนศาสตรในสองมตได เมอ vxi= vi และ vyi= 0หลงจากอเลกตรอนเขาไปใสนามไฟฟาเปนเวลา t องคประกอบความเรวของอเลกตรอนคอ

รปอเลกตรอนเคลอนทในแนวราบเขาไปในสนามไฟฟาสมาเสมอทเกดจาแผนขนานทมประจ โดยอเลกตรอนถกเรงในทศลง (ตรงขามกบทศของ E) ก า ร เ ค ล อ น ท ข อ ง ม น เ ป น แ บ บ parabolic ขณะทมนอยระหวางเพลท

ตาแหนงของอเลกตรอน หลงเวลาผานไป t คอ

tvx i= 22y t

m

eE

2

1ta

2

1y −==

แทนคา t = x /vi จะพบวา y เปนสดสวนตรงกบ x2 ดงนนเสนทางการเคลอนทเปน/ แบบพาราโบลา หลงจากอเลกตรอนหลดออกจากสนามมนจะเคลอนทตอไปแบบเสนตรงในทศของ v ดงรป

ivi

23

ตวอยาง An accelerated electronอเลกตรอนเคลอนทเขาไปในสนามไฟฟาขนาดสมาเสมอ ดงรป ดวยความเรว v และ E = 200 N/C ความยาวของเพลทในแนวระนาบ L = 0.1 m

(ก) จงหาความเรงของอเลกตรอนขณะทมนอยในสนามไฟฟา (ข) จงหาเวลาทอเลกตรอนใชในการเคลอนทผานสนามไฟฟา(ค) ระยะขจดของอเลกตรอนในแนวแกน y ขณะทมนอยในสนามไฟฟา

วธทา 19

31

eE (1.60 10 )(200)ˆ ˆj jam 9.1 10

−

−

×= − = −

×v

13 2ˆ3.51 10 j m/s= − ×

68L 0.1m

v 3 10

t 3.33 10 s −

××= ==

ผลทไดจาก (ก) และ (ข) จะพบวาถาการระยะทางระหวาง เพลทนอยกวาคาท ไดอเลกตรอนจะชนกบเพลททมประจบวก

แบบฝกหด จงหาความเรวของอเลกตรอนขณะทมนหลดออกจากเพลท

v

L

E

x

y

2 13 8 2y

1 1 a t ( 3.51 10 )(3.33 10 )

2 2y 0.02 m− = −= = − × ×

ถาระยะหางระหวาง เพลทนอยกวาน / อเลกตรอนจะชนกบเพลททเปนบวก24

สรป

• เมอนาประจทดสอบ q0 วางในสนามไฟฟา ความเขมสนามไฟฟา E ณ จดใดๆ โดยมประจ q เปนแหลงกาเนด ซ งอยหางจากจดนนเปนระยะทาง / r คอ :

rr

qk

q

FE

2E==

vv

• ความเขมสนามไฟฟาสาหรบแหลงกาเนดเปนกลมประจคอ :

…แหลงกาเนดเปนจดประจ q

rq

F

r

qkE i

i2i

iE

vv

∑=

C/mN9x104

1 k where 22 9

0E ⋅≈

πε=

• ความเขมสนามไฟฟาสาหรบแหลงกาเนดมประจกระจายอยางเอกรปคอ :

r r

dqkE

2E ∫=v

• เมอประจไฟฟา q มวล m วงในสนามไฟฟา อตราเรงของประจไฟฟาคอ :

m

Eqa

vv=

E v


7

25

สนามไฟฟาเนองจากจดประจ q

สนามไฟฟาตวนาทรงกลมกลวงรศม a

E = 0 (ภายในทรงกลม r < a)

(ภายนอกทรงกลม r >= a)

เมอ r คอระยะวดจากจดศนยกลางทรงกลม

2Er

qk E =

r

qk E E=

26

แบบฝกหด


27


ภาควชาฟสกส. เอกสารประกอบการสอนฟสกสเบองตน/ , คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยนเรศวรภาควชาฟสกส. ฟสกส2, คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลยD.C. Giancoli. Physics Principles with Applications, 3rded., Prentic-Hall,


John Wiley & Sons, 1992.R.A.Serway, Physics for Scientists & Engineers with Modern Physics, 4th ed., 1996.http://www.physics.sci.rit.ac.th/charud/howstuffwork/electro-mag/electro-magthai1.htmhttp://www.skn.ac.th/skl/skn422/file/field.htmhttp://www.physics.uoguelph.ca/tutorials/tutorials.htmlhttp://www.thinkquest.org/library/site_sum.html?tname=10796&url=10796/index.htmlhttp://www.launc.tased.edu.au/online/sciences/physics/tutes1.htmlhttp://www.colorado.edu/physics/2000/index.plhttp://www.dctech.com/physics/tutorials.phphttp://www.physics.sci.rit.ac.thhttp://www.physics.sci.rit.ac.th/charud/oldnews/48/magnetic/OnlineTest_V4/index.asp

1

1


กฎของคลอมบสามารถคานวณหาสนามไฟฟาทเกดจากการกาหนดการกระจายของประจ ในหวขอนเราจะอธบายกฎของ'เกาสและกระบวนการอน ทใชในการคานวณหาสนามไฟฟา

กฎของเกาส (Gauss’s law) จะสะดวกสาหรบใชคานวณหาสนามไฟฟาเนองมาจากการกระจายประจอยางมสมาเสมอ

กฏของเกาสมพนฐานอยบนความจรงทวาแรงไฟฟาสถตระหวาง' ประจเปนสดสวนกบระยะทางกาลงสอง

2

ฟลกซไฟฟา (Electric flux)

รป เสนสนามแสดงสนามไฟฟาสมาเสมอทะลผานระนาบทมพนท' A ฟลกซไฟฟา ทพงผานม คาเทากบ EA

ฟลกซไฟฟา คอ ปรมาณทบอกถงจานวนเสนสนามไฟฟาทพงผานพนผว 'ทตงฉาก' ผนหนง พจารณาสนามไฟฟาซ งมความสมมาตรทงขนาดและ'

ทศทางดงรป เสนสนามทะลผานพนผวสเหลยมผนผา 'พนท' A ซ งตงฉากกบสนาม' จานวนของเสนสนามตอหนงหนวยพนท ' หรอเรยกวา ความหนาแนนเสน (the line density) เปนสดสวนโดยตรงกบสนามไฟฟา ดงนน' จานวนเสนสนามทงหมดททะลผานพนผวเปน' 'สดสวนโดยตรงกบผลคณ EA ผลคณของขนาดของสนามไฟฟา E และพนผว' A ซ งตงฉากกบสนามเรยก' อกอยางวา ฟลกซไฟฟา (the electric flux)

E

Area = A

E EA Φ =

โดย ฟลกซไฟฟา มหนวย N.m2 /C

EΦ

3

ตวอยาง Flux through a sphere ฟลกซไฟฟาทพงผานทรงกลมรศม 1 เมตรซงมประจ +1 µC ทศนยกลางทรงกลมมคาเทาไร

วธทาขนาดของสนามไฟฟา E ทหางจากประจเปนระยะ 1 เมตร มขนาดเทากบ

2

69

2E)1(

101)109(

r

qkE

−××== C/N1099.8 3×=

สนามจะมทศชออกในแนวรศมและจะตงฉากกบพนผวทรงกลมในทกจด' '' โดยฟลกซทผานทรงกลมคอ

)6.12)(1099.8(EA 3E ×==φ /CmN1013.1 25 ⋅×=

แบบฝกหด (ก) สนามไฟฟามคาเทาไร (ข) ฟลกซทพงผานทรงกลมรศม 0.5 m มคาเทาไร ตอบ (ก) 3.6x104 N/C (ข) 1.13x105 N.m2/C

4πr2

4

ถาพนผวทพจารณาไมตงฉากกบสนามไฟฟา' ' ฟลกซไฟฟาททะลผานจะมคานอยลง

จากรปสนามไฟฟาสมาเสมอ E ทามม θ กบพนท ' A และตงฉากกบพนท' ' A/ โดยท A/ = A cos θ ดงนนสนามไฟฟา'สมาเสมอพงผานพนท ' A จะมคาเทากบ กบฟลกซไฟฟาทพงผานพนท ' A/ ซ งจะมคาเทากบ

θ=φ cosEAE

Normal

θ AcosA =′

A

E

θ

จากสมการนจะเหนวา' φE จะมคามากทสดเทากบ EA เมอ θ = 0o คอเสนปกตขนานกบ Eและ φE จะมคานอยทสดเทากบ 0 เมอ θ = 90o คอเสนปกตตงฉากกบ' E

ทาการโปรเจกใหพนทตงฉากกบสนามไฟฟา' '

2

5

iiiiE AEcosAEvv

∆⋅=θ∆=φ∆

สมมตใหสนามไฟฟามคาเปลยนไปตามตาแหนงตางๆ ดงนนเราสามารถใช'สมการกบพนทเลกๆ ' พจารณาในกรณทพนผวถกแบงเปนชนเลกๆ' ' จะถอวาไมมการเปลยนแปลงสนามไฟฟาในแตละพนททมขนาดเลกเพยงพอ ' เพอความสะดวกจะนยามเวกเตอร ซ งขนาดของมนแสดงถงพนทท' i ของพนผว'แตละพนผวและทศของเวกเตอรมทศตงฉากกบแตละพนผวเลกๆ ' '' นน' ดงรป ฟลกซไฟฟา ทผานแตละพนทเลก ' ๆ คอ

A∆

iA∆

Eφ

Ei

iA∆θ

รป สวนเลกๆ มพนทผว' สนามไฟฟา Ei ทามม θ กบเวกเตอร โดยมฟลกซพงผานพนผวเทากบ '

iA∆

θ∆ cosAE ii

iA∆6

ถาเราใชนยามการคณเวกเตอรแบบสเกลาร (dot product) θ=⋅ cosABBAvv

• โดยการรวมองคประกอบของทกๆ พนผวจะ' ไดฟลกซรวมทผานพนผว ' • ถาใหพนทเลกๆ' แตละชนมคานอยมากจนเขาใกลศนย ' พบวาจานวนพนทเลกๆ' มคาเปนอนนต และสามารถแทนผลรวมไดดวยการ อนทเกรท ดงนน' นยามของฟลกซไฟฟา คอ

iE i i

A 0surface

lim E A EdA ∆ →

φ = ⋅∆ =∑ ∫vw

สมการนเปนการอนทเกรทเชงพนผว' ' (surface integral)

โดยทวไป ขนอยกบรปแบบของสนามและพนผว' ' Eφ

7

โดยทวไปจะสนใจการ กระจายฟลกซบนพนผวปด' (the closed surface) ซงเปนพนผวท'แบง space เปนบรเวณดานในและดานนอก พจารณาพนผวปดดงรป' เวกเตอร ของแตละพนผวชในทศทางทตาง' ' ๆ กน ในแตละจดมนจะตงฉากกบพนผวโดยมทศพงออกเสมอ ' '

รปพนผวปดในสนามแมเหลกเวกเตอร' พนผว' ตงฉากกบพนผวและมทศพง' 'ออก ฟลกซทพงผานผวเลกๆ อาจเปน (1) บวก (2) เปนศนย หรอ (3) เปนลบ

ท'จด 1 เสนสนามจะขามผานพนผวโดยมทศจากดาน 'ในมาดานนอก ดงนน' ฟลกซทผานจดนเปนบวก ' ท'จด 2 เสนสนามพงผานพนผว ' (ตงฉากกบเวกเตอร' ) ดงนน' θ = 90o และฟลกซมคาเปนศนย

180o> θ > 90o มคาเปนลบ เพราะวา cosθ มคาเปนลบ

ฟลกซสทธทพงผานพนผวทงหมดเปนสดสวนตรงกบ ' 'จานวนเสนสนามทพงอออกจากผว (จานวนสทธหมายถงจานวนเสนสนามทพงออกลบดวยจานวนเสนสนามทพง เข าพนผว' ) ถามเสนสนามพงออกมากกวาพงเขาฟลกซ สทธd เปนบวกแตถาเสนสนามพงเขามากกวาพงออกฟลกซ เปนลบ ดงนนจะไดวา'

ท'จด 3 ทเสนสนามพงผานจากดานนอกเขาดานใน

∫∫ =⋅=φ dAE AdE nE

wv

เมอ En คอองคประกอบของสนามไฟฟาทตงฉากกบพนผว' '8

ตวอยาง Flux through a cubeพจารณาสนามไฟฟาสมาเสมอ E ทพงออกมาตามแนวแกน x ดงรป จงหาฟลกซไฟฟาสทธทพงผานลกบาศกทมดานยาว L

ร ป พ น ผ ว ป ด ร ป ล ก บ า ศ ก ใ น' สนามไฟฟาสม า เสมอท ขนานกแกน x ฟลกซไฟฟาสทธทผานผวปดมคาเปนศนย

วธทา ฟลกซสทธคอผลรวมของฟลกซทพงออกมาจากทกๆ ดานของลกบาศก โดยฟลกซทพงผานผวท 3 ,4 และผวทไมมหมายเลขกากบ (ดานขาง) มคาเปนศนย เพราะวา E ตงฉากกบ' dA บนพนผวเหลาน' '

ฟลกซไฟฟาสทธทพงผานผวท 1 คอ

ฟลกซไฟฟาสทธทพงผานผวท 2 คอ

2

11

0

1

ELEAdAEdA)180(cosEAdE −=−=−==⋅ ∫∫∫vv

0 2

2 2 2

E dA E(cos0 )dA E dA EA EL⋅ = = − = + =∫ ∫ ∫vv

ดงนน' ฟลกซสทธทพงผานผวทงหกดานคอ ' 00000ELEL 22E =+++++−=φ

พนผวแตละหนาคอ' A = L2

LL

L

3

9

กฏของเกาส (Gauss’s law)เปนการเชอมโยงฟลกซh ไฟฟาทผานพนผวปด ' (ซ งมกเรยกวา ผวเกาสเซยน) กบประจทอยภายใน พนผวปดเปนพนผวสมมตไม' ' จาเปนตองเปนผวของวตถ ในทางทฤษฎกฎของเกาสสามารถนาไปคานวณสนามไฟฟาจากระบบประจ ซ งมรปทรงสมมาตรกฎของเกาสกลาววา ฟลกซไฟฟาสทธ ทผานผวปดของ เกาส

จะเทากบประจไฟฟาสทธภายในหารดวย ε0

0

inE

qAdE

ε=⋅=φ ∫

vv

Eφ

10

รป พนผวเกาสเ ซยนทรงกลม'รศม r ลอมรอบจดประจ q ทอยทศ น ย ก ล า ง ข อ ง ท ร ง ก ล มสนามไฟฟาตงฉากกบพนผวใน' 'ทกๆ จดและมขนาดคงท

พจารณาจดประจบวก q อยท'จดศนยกลางของทรงกลมรศม R ดงรป ขนาดของสนามไฟฟาทกจดบนผวของทรงกลมคอ E = kq/r2 เสนสนามจะชออกตามแนวรศมทกจดบน'พนผว' นนคอแตละจดบนพนผว ' E จะขนานไปกบเวกเตอรดงนน ' i iE A E A⋅ ∆ = ∆

เราพบวาฟลกซสทธทผานผวเกาสเซยนเมอ E มความสมาเสมและมคาคงท คอ E E dA EdA E dAφ = ⋅ = =∫ ∫ ∫

00

22E

q4q

4

14kq)r4(

r

kq

ε=π

πε=π=π=φ

0E

q

ε=φ

เราพบวาสตรน ' ใหฟลกซสทธเทากบผลทไดจากตวอยางทแลวคอ

C/mN1013.11085.8

101 2512

6

E ⋅×=×

×=φ

−

−

จากสมการนพบวาประจสทธทผานผวทรงกลมเปนสดสวนโดยตรงกบปร' ะจภายในและฟลกซไมขนอยกบรศม ' r เพราะวาพนทของทรงกลมเปนสดสวนตรงกบ ' r2 ในขณะทสนามไฟฟาเปนสดสวนตรงกบ 1/r2 ผลคณทไดทาให r2 หายไป

…เรยกวา กฏของเกาส

11

ร ป พ น ผ ว ป ด ห ล า ย'รปทรงปดลอมประจ q ฟลกซไฟฟาสทธมคาเทากนทกพนผว '

จากกฏของเกาส ฟลกซไฟฟาซ งผานผว S1 มคาเทากบ โดยฟลกซเปนสดสวนตรงกบเสนสนามไฟฟาทพงผานพนผวแสดง 'โครงสรางดงรป ซ งแสดงวาจานวนเสนทผาน S1 เทากบจานวนของเสนซ งผานพนผว 'ทไมใชทรงกลม S2 , S3

ดงนนสรปไดวา' ฟลกซสทธทผานผวปดใดๆ ไมขนอยกบรปทรงของพนผว ' ' ฟลกซสทธทผานผวปดใดๆ ทลอมรอบประจ q มคาเทากบ

พจารณาพนผวปดใดๆ' ทปดลอมประจ q ดงรป พนผว' S1 เปนทรงกลม พนผว' S2 และ S3ไมเปนทรงกลม

0q / ε

0q / ε

12

ด ง ร ป จ า ก โ ค ร ง ส ร า ง น พ บ ว า เ ส น' สนามไฟฟาจะพงเขาไปในพนผวและพง 'ออกจากพนผวทจดตางๆ' โดยจานวนเสนสนามไฟฟาทพงเขาจะเทากบทพงออก

พจารณาจดประจซ งอยภายนอกพนผวปดรปทรงใดๆ '

รป จดประจอยภายนอกพนผว 'ปด จานวนเสนสนามไฟฟาทพงเขาพนผวเทากบจานวนเสน 'สนามไฟฟาทพงออกพนผว '

ถาเราประยกตใชผลทไดกบตวอยางท ผานมา เราจะพบวาฟลกซ สทธทพงผาน รปทรงลกบาศกมคาเปนศนยเพราะวาไม มประจอยในลกบาศกนน '

ฟลกซไฟฟาสทธทพงผานพนผวปด 'ทไมไดปดลอมประจจะมคาเปนศนย

สรปไดวา

4

13

สามารถใช superposition principle ซ งแสดงสนามไฟฟาเนองจากจดประจเหลานนดวยผลรวม 'แบบเวกเตอรของสนามไฟฟาเนองจากแตละจดประจ Ad)...EE(AdE 21

vvvvr⋅++=⋅∫ ∫

รปฟลกซไฟฟาสทธทผานผวปด

ขนอยกบประจภายในพนผว' '

พจารณาระบบดงรป พนผว' S รอบประจ q1 ประจสทธทผานผวปด S คอ

เมอ E คอสนามไฟฟารวมทจดใดๆ บนพนผวเนองจาก'การรวมเวกเตอรของสนามไฟฟาของประจแตละตว

กฎของเกาสโดยทวไปแสดงใหเหน วาฟลกซ สทธทพงผานผวปดใดๆ คอ

ถามจดประจหลายจดประจและมการกระจายของประจอยางตอเนอง

∫ ε=⋅=φ

0

inqAdEvv

Eเมอ qin คอประจสทธภายในพนผว' และ E แสดงสนามไฟฟาทจดใดๆ บนพนผว'

ฟลกซเนองจากประจ q2 และ q3 ทอยภายนอกผวปดมคาเปนศนย เพราะวาเสนสนามไฟฟาทพงเขาเทากบทพงออกจากพนผว ' พนผว' S/ ทลอมรอบประจ q2และ q3มประจสทธ ฟลกซทพงผานพนผว ' S// มคาเทากบศนยเนองจากฟลกซ ทพงเขาเทากบฟลกซทพงออก

1 0q / ε

2 3 0(q q ) /+ ε

14

การประยกตใชกฎของ เกาสกบประจในฉนวน

กฎของเกาสใชในการหาสนามไฟฟาเมอประจมการกระจายอยางสมาเสมอ ตวอยางตอไปจะแสดงการเลอกพนผวเกาสเซยนสาหรบการหาสนามไฟฟา 'โดยการอนทเกรท ในการเลอกพนผว เราจะใชหลกการสมมาตร' เพอทจะให E มคาคงทและนาออกจากเครองหมายอนทเกรทได จดประสงคสาหรบการคานวณแบบนเพอหาพนผวทสอดคลองกบสภาวะเหลาน' ' '

1. สนามไฟฟามคาคงทตลอดพนผว '2. เมอ E ขนานกบ dA3. เมอ E ตงฉากกบ' dA4. ฟลกซสามารถรวมกนเปนศนยไดตลอดพนผว '

EdAAdE =⋅vr

0AdE =⋅vr

15

วธทา

ตวอยาง สนามไฟฟาเน'องจากจดประจ จากกฎของเกาสจงคานวณหาสนามไฟฟาเนองจากจดประจเดยว q

รป จดประจ q ทศนยกลางของพนผวเกาสเซยนแบบทรง'กลมโดย E ขนานกบ dA

เ รา เ ลอกผว เ กาส เ ซยนแบบทรงกลมร ศม r มศนยกลางทจดประจดงรป สนามไฟฟาเนองจากประจบวกมทศพงออกตามแนวรศมและตงฉากกบ 'พนผวในทกจด' จากสภาวะท (2) E ขนานกบ dAดงนน'

กฎของเกาสจะไดวา

EdAAdE =⋅vr

∫ ∫ ==⋅=φ0

qEdA

εAvv

dEE

จากความสมมาตร E มคาคงททกๆ จดบนพนผวและ'สอดคลองกบสภาวะท (1) ดงนนสามารถดง' E ออกมานอกเครองหมายอนทเกรทได

0

2

ε

qrE(4dAEEdA ===∫ ∫ )π

เนองจากพนผวทรงกลมคอ' 4πr2 ดงนน' สนามไฟฟาเนองจากจดประจคอ2E

r

qkE =

16

ตวอยาง การกระจายประจสม'าเสมอแบบทรงกลมทรงกลมตนซงเปนฉนวนมความหนาแนนประจเชงปรมาตรสมาเสมอ ρ เปนประจบวก Q(a) จงคานวณหาขนาดของสนามไฟฟาทจดภายนอกทรงกลม(b) จงคานวณหาขนาดของสนามไฟฟาทจดภายในทรงกลม

รปทรงกลมฉนวนมประจกระจายสมาเสมอมประจสทธ Q(a) ขนาดของสนามไฟฟาภายนอกคอ E = kQ/r2

(b) ขนาดของสนามไฟฟาภายในคอ E = kQr/a3

รปกราฟระหวาง E และ r • เมอ r < a สนามไฟฟาจะแปรผนแบบเชงเสนกบ r • เมอ r > a สนามไฟฟาจะแปรผนกบ 1/r2

วธทา (a) เนองจากการกระจายประจเปนสมมาตรทรงกลมเราจงเลอกพนผวเกาสเซยนแบบทรงกลมซ งมจด'ศนยกลางเดยวกนกบทรงกลมตนดงนน '

E 2

QE = k (r > a)

rผลทไดเหมอนกบกรณจดประจ สรปไดวาทรงกลมประจ สนามบรเวณภายนอกทรงกลมมคาเทากบสนามเนองจาก จดประจทอยในพนผว ' เกาสเซยนแบบทรงกลม

(b) ในกรณนเลอกผวเกาสเซยนแบบทรงกลมรศม' r < a มศนยกลางรวมกบทรงกลมตนดงรป (b) กาหนดใหปรมาตรของทรงกลมเลกเปน V/ ใชกฎของเกาสกบกรณน 'โดยพบวามประจ qin อยในปรมาตร V/ ซ งนอยกวา Q ทาการคานวณ qin

)r3

4(vq 3/

in πρ=ρ=

5

17

จากหลกความสมมาตรขนาดของสนามไฟฟามคาคงททกจดในทรงกลมเกาสเซยนและตงฉากกบพนผวในทกๆ' ' จด และเนองจากมความสอดคลองกบสภาวะ (1) (2) จากกฎของเกาส เมอ r < a

0

in2 q)r4(EdAEEdA

ε=π==∫ ∫

r3r4

r34

r

qkE

02

0

3

2in

E ε

ρ=

πε

πρ==

ดงนน'

3a3/4 π=ρ E 0k 1/(4 )= πεเนองจาก

3 30

Qr QE k r

4 a a= =

πε(เมอ r < a)

ผลทไดสาหรบคา E แตกตางจากขอ (a) โดยมนแสดงวา E→ 0 เมอ r → 0 นนคอ จะไมเกดปญหาทตาแหนง r = 0 ซ งถาหาก E แปลผนกบ 1/r2 ภายในทรงกลมเหมอนกบกรณภายนอกทรงกลม ซ งถา E α 1/r2 เมอ r < a สนามไฟฟาจะมคาเปนอนนตท r = 0 ซ งเปนไปไมไดในทางฟสกส โดยสตรทไดจาก (a) และ (b) มคาเทากนท r = a

ดงนน'

และจาก

18

ตวอยาง สนามไฟฟาเน'องจากเปลอกทรงกลมบาง เปลอกทรงกลมบางรศม a มประจสทธ Q กระจายอยางสมาเสมอบนพนผวดงรป ' (a) จงหาสนามไฟฟาทจด (a) ภายนอก (b) ภายใน

รปสนามไฟฟา (a) ภายในเปลอกทรงกลมมประจมคาเปนศนย (b) พนผวเกาสเซยน'เมอ r>a (c) พนผวเกาสเซยนเมอ' r>a

วธทา คานวณสนามภายนอกเปลอกทรงกลมบางเหมอนกบกรณทรงกลมตน

(a) ถาทาการกาหนดพนผวเกาสเซยน 'ทรงกลมรศม r > a มศนยกลางเดยวกบเปลอกทรงกลมบางดงรป 24.13b ประจภายในพนผวคอ' Q ดงนนสนามท จด'ภายนอกเปลอกทรงกลมจะเทากบม ประจ Q ทจดศนยกลาง

E 2

QE k

r= (r > a)

(b) สนามไฟฟาภายในเปลอกทรงกลมมคาเปนศนยเนองจากประยกตกฎของเก าสเขากบผวของทรงกลมรศม r < a ซ งมจดศนยกลางเดยวกบเปลอกทรงกลมดงรป c เพราะวาประจมการกระจายแบบทรงกลมสมาเสมอและเพราะวาประจสทธภายในพนผวเป ' นศนยสอดคลองกบสภาวะท (1) (2) และจากกฎของเกาสทาใหสรปไดวา E = 0 เมอ r < a

19

ตวอยาง การกระจายประจอยางสม'าเสมอแบบทรงกระบอกจงหาสนามไฟฟาทระยะ r หางจากเสนของประจบวกทมความยาวอนนตและประจตอหน ง หนวยความยาวมคาคงท

รป (a) เสนประจมความยาวอนนตลอมรอบดวยผวเกา สเซยนทรงกระบอกมศนยกลางเดยวกนกบเสนประจ (b) end view แสดงวาสนามไฟฟาทผวทรงกระบอกมขนาดคงทและตงฉากกบพนผว' '

วธทา จากความสมมาตรในการกระจายประจตองอยในสภาวะท E ตงฉากกบเสนประจ' และมทศทางพงออกดงรป a และ b เพอแสดงใหเหนวาการกระจายประจมความสมมาตรเราเลอกผวเกาสเซยนแบบทรงกระบอกมรศม r ความยาว l มศนยกลางเดยวกบเสนประจและมความสอดคลองกบสภาวะท (1) (2) และฟลกซทผานปลายทงสองของผวเกาสเซยนเปนศนยเนองจาก' E ขนานกบพนผว ' ทาการอนทเกรทกฎของเกาสตลอดผวเกาสเซยนในสวนทเปนผวทรงกระบอก (ไมรวมปลายทงสอง' ) ประจสทธภายในผวเกาสเซยนคอ ดงนนจะไดวา' lλ

00

inqEAdAEd.

ε

λ=

ε====φ ∫∫

lAE

A 2πr= lโดยผวของทรงกระบอกมคาเปน

0

r2Eε

λ=π

ll E

0

E 2k2 r r

λ λ= =

πε

พบวาสนามไฟฟาบนทรงกะบอกทมประจกระจายอยาง สมมาตรแปรผนกบ 1/rในขณะทการกระจายประจอยางสมาเสมอแบบทรงกลมสนามไฟฟาแปรผนตรงกบ 1/r2 20

ดงนน' ฟลกซไฟฟาเปนสดสวนตรงกบจานวนของเสนสนามไฟฟาทตงฉากกบพนผว ' '

- ถาสนามไฟฟาเอกรป ทศของสนามไฟฟาททามม กบเสนปกตของพนทผว ' Aแลวฟลกซไฟฟามคาเทากบ

- โดยทวไป ฟลกซไฟฟาทผานพนผวอนหนง ' จะมคาเทากบ

- ฟลกซไฟฟา คอ จานวนเสนสนามไฟฟาทพงผานพนผวทตงฉากผนหนง ' '

สรป

- กฎของเกาสกลาววา ฟลกซไฟฟาสทธ ทผานผวปดของ เกาสจะเทากบ ประจไฟฟาสทธภายในหารดวย

0

inE

qAdE

ε=⋅=φ ∫

vv


Eφ

θ

E EA cos φ = θ

Eφ

0ε

E

surface

E dA φ = ⋅∫vv

6

21

ตาราง สตรคานวณสนามไฟฟาโดยใชสตรของ เกาส

การกระจาย สนามไฟฟา ตาแหนง

ทรงกลมฉนวนรศม R มประจไฟฟรวม Q kEQ/r2 r > Rและมความหนาแนนเอกรป kEQr/R3 r < Rทรงกลมกลวงเปลอกบางรศม R kEQ/r2 r > Rและมประจรวม Q 0 r < R

เสนประจบนฉนวนยาวอนนต ภายนอกเสนฉนวนมความหนาแนนประจไฟฟาเชงเสน

แผนฉนวนแบบราบบาง ใหญอนนต ทกทภายนอกแผนฉนวนและมความหนาแนนประจไฟฟาเชงพนผว '

แผนตวนาราบบาง ใหญอนนต ภายนอกแผนตวนาทมความหนาแนนประจไฟฟาเชงพนผว ' 0 ภายในตวนา

λ E2k / rλ

σ

σ0/σ ε

0/ 2σ ε

22


http://www.rit.ac.th/homepage-sc/charud/selftest/2/index2.htm


23


วธทา

1. จากรป จงหาฟลกซไฟฟา ของพนทผวปด' ถา q1 = q4 = +3.1 nCq2 = q5 = -5.9 nC และ q3 = -3.1 nC

24


ตอบ 3, 4, 2, 1

2. ภาพแผนประจคขนาน ภายในมจดประจบวก จงเรยงจากตาแหนงทมสนามไฟฟามากไปหาตาแหนงทมสนามไฟฟานอย

7

25


ตอบ 3.6 นาโนคลอมบ

3. เครองวดทเหนดงรป ชอวา ไกเกอรเคาเตอร ใชสาหรบวดก า ร แ ผ ร ง ส ซ ง เ ก ด จ า ก ก า ร อ อ อ ไ น เ ซ ช น ข อ งอะตอม อปกรณทาจากเสนลวดประจบวก ลอมรอบดวยท ร ง ก ร ะ บ อ ก ป ร ะ จ ลบ เ ม อ ม ร ง ส ม า ก ร ะ ท บ กบทรงกระบอก รงส จะกระแทกใหอเลกตรอนหลดออกจากทรงกระบอก กลายเปนอเลกตรอนอสระ (e) เพราะมส น า ม ไ ฟ ฟ า ร ะ ห ว า ง ท ร ง ก ร ะ บ อ ก กบ เ ส น ป ร ะจ อเลกตรอนอสระนจะถกเรงใหมความเรวเเพมขน' ' ชนเขากบอนภาคอากาศ ทอยภายในทรงกระบอก ทาใหอ ะ ต อ ม ข อ ง อ า ก า ศ เ ก ด ก า ร อ อ อ ไ น เ ซ ช น มอเลกตรอนอสระเกดมากขนกอนจะมาถงเสนประ'จ ปรากฎการณนเรยกวา' การอะวาลานซ หรอการทลายตวของหมะ ซ งเกดจากการเคลอนตวของหมะเพยงเลกนอยในตอนเรมตน จนเกดการทลายตวหรอการเคลอนตวครงใหญในครงตอไป' ' เสนประจ จะดเทคอเลกตรอน เกดเปนสญญาณทางไฟฟาสงไปทเครองแปรส ญ ญ า ณ ส ม ม ต ว า ร ศ ม ข อ ง เ ส น ล ว ดคอ 25 ไมโครเมตร รศมของทรงกระบอกคอ 1.4 เซนตเมตร และความยาวของทรงกระบอกเทากบ 16 เซนตเมตร ถาสนามไฟฟาภายในทรงกระบอกคอ 2.9 x 104 N/C จงคานวณหาประจบวกทงหมดบนเสนลวด'ประจ

26


ภาควชาฟสกส. เอกสารประกอบการสอนฟสกสเบองตน' , คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยนเรศวรภาควชาฟสกส. ฟสกส2, คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลยD.C. Giancoli. Physics Principles with Applications, 3rded., Prentic-Hall,


John Wiley & Sons, 1992.R.A.Serway, Physics for Scientists & Engineers with Modern Physics, 4th ed., 1996.http://www.physics.sci.rit.ac.th/charud/howstuffwork/electro-mag/electro-magthai1.htmhttp://www.skn.ac.th/skl/skn422/file/field.htmhttp://www.physics.uoguelph.ca/tutorials/tutorials.htmlhttp://www.thinkquest.org/library/site_sum.html?tname=10796&url=10796/index.htmlhttp://www.launc.tased.edu.au/online/sciences/physics/tutes1.htmlhttp://www.colorado.edu/physics/2000/index.plhttp://www.dctech.com/physics/tutorials.phphttp://www.physics.sci.rit.ac.thhttp://www.rit.ac.th/homepage-sc/charud/selftest/2/index2.htm

1

1

4. ศกยไฟฟาความตางศกยและศกยไฟฟา

เมอประจทดสอบ q0 วางอยในสนามไฟฟา ทเกดจากวตถมประจอน แรงทางไฟฟาทกระทาตอประจทดสอบคอ (ถาสนามเกดจากวตถมประจมากกวาหน งชนแรงท *กระทาตอประจทดสอบคอผลรวมแบบเวกเตอรของแรงแตละแรงทกระทาตอปร ะจทดสอบโดยวตถมประจแตละอน ) แรง เปนแรงอนรกษเพราะวาแรงแตละแรงทอธบายโดย กฎของคลอมบ (Coulomb’s law) จะอนรกษ ถาประจเคลอนทในสนามเนองจากแรงภายนอก งานทกระทาโดยสนามตอประจจะเทากบงานททาโดยแรงภายนอก ถาระยะขจดเลกๆ คอ งานทกระทาโดยสนามไฟฟาตอประจคอ ปรมาณของงานเหลานกระทาโดยสนามพลงงานศกยของระบบประจ * - สนาม (the charge-field system) มคาเพมขนโดยปรมาณของ * สาหรบระยะขจดจาก A ไปยง B การเปลยนแปลงของพลงงานศกยของระบบ คอ

sdEqUU∆U B

A0AB ∫ ⋅−=−=

vv

การอนทเกรทตามเสนทางท q0 เคลอนทจาก A ไป B เรยกวา path integral หรอ line integral เพราะวาแรง q0E เปนแรงอนรกษ ดงนนการอนทเกรทเชงเสนจะไมขนกบเสนทางทประจ* * q0 เคลอนทจาก A ไป B

Ev

0q Ev

0q Ev

0dU q E ds = − ⋅v v

0F ds q E ds ⋅ = ⋅v vv vd s

v

2

พลงงานศกยตอหนงหนวยประจ U/q0 ไมขนอยกบคาของ * q0 และมคาเพยงคา เดยวในทกๆ จดในสนามไฟฟา ปรมาณ U/q0 เรยกวา ศกยไฟฟา V

q

UV

0

=

พลงงานศกย U และศกยไฟฟา V เปนปรมาณสเกลารความตางศกย ∆V ระหวางจด A และ B ใดๆ ในสนามไฟฟานยามวาเปนการเปลยนแปลงของพลงงานศกยของระบบหารดวยประจทดสอบ q0 นนคอ

B

B A0 A

∆U ∆V V V E ds

q= − = = − ⋅∫

v v

ศกยไฟฟาเปนปรมาณสเกลารของสนามไฟฟาไมขนอยกบประจตางๆ * ทอาจจะวางตวอยในสนาม เมอพดถงพลงงานศกยเราจะกลาวถง ระบบประจ-สนาม (the charge – field system ) เนองจากเราสนใจทจะทราบศกยไฟฟาทตาแหนงประจและพลงงานศกยเนองจากอนตรกรยาระหวางประจและสนาม

ศกยไฟฟาทจดใดๆ ในสนามไฟฟาคอ

3

เพราะวาการเปลยนแปลงพลงงานศกยของประจจะตรงขามกบงานทกระทา โดยสนามไฟฟาตอประจ ความตางศกย ระหวางจด A และ B เทากบงานตอหนงหนวยประจจากภายนอกทใช ในการเคลอนยายประจทดสอบจาก A ไป B โดยไมมการเปลยนพลงงานจลนของประจทดสอบ (ความเรวคงท) ศกยไฟฟาทจดใดๆ คอ งานทตองกระทาตอประจบวกขนาดหนงหนวยในการ เคลอนประจทดสอบนจากระยะอนนตมายงจดทเราพจารณา* ดงนน* ใหจด A อยทอนนต ศกยไฟฟาทจด P ใดๆ คอ

∫∞

⋅−=P

P sdEVvv เมอ VP คอความตางศกย ระหวางจด P และจดทตาแหนงอนนต

เนองจากศกยไฟฟาวดจากพลงงานศกยตอหนงหนวยประจ หนวยของศกยไฟฟาและพลงงานศกยคอ J/C ซงคอ V นนเอง : 1 V = 1 J/Cนนคอ งานหนงจลจะใชในการเคลอนทประจ 1 C ผานความตางศกย 1 V

นอกจากน* ความตางศกย ยงสามารถแสดงในหนวยของสนามไฟฟาคณกบระยะทาง ดงนน* หนวยของสนามไฟฟา คอ N/C จงสามารถแสดงในรปของ V/m ไดดวย : 1 N/C = 1 V/m

หนวยของพลงงานทมกใชในวชาฟสกสอะตอมและฟสกสนวเคลยรค อ electron volt (eV )ซงนยามวาเปนพลงงาน ทอเลกตรอนหรอโปรตอนสญเสยเมอเคลอนทผานความตางศกย 1 V เพราะวา 1 V = J/C และอเลกตรอนมประจ 1.6x10-19 C ดงนน*

1 eV = 1.6x10-19 C .V = 1.6x10-19 J

∆V

∆V

4

ความตางศกยในสนามไฟฟาสมาเสมอ พจารณาสนามไฟฟาสมาเสมอมทศในแนวแกน y ดงรป (a) คานวณ ความตางศกยระหวางจด A และ B ซงอยหางกนเปนระยะทาง d จะหาไดดงน*

รป (a) เมอสนาม E มทศพงลง จด B อยในศกยไฟฟาทต ากวาจด A ประจทดสอบทเปนบวกซ งเคลอนทจาก A ไปยง B จะสญเสยพลงงานศกยไฟฟา (b) มวล m เคลอนทตามสนามแรงดงดด g ทาใหมนสญเสยพลงงานศกย

∫∫∫ −=−=⋅−=−=B

A

B

A

0B

AAB EdsdsEcos0sdEVV∆V

vv

EddsE∆VB

A

−=−= ∫

เนองจาก E มคาคงท ดงออกจากเครองหมายอนทเกรทได

เครองหมายลบแสดงใหเหนวาจด B มศกยไฟฟาตกวาจด A นนคอ VB < VA เสนสนามไฟฟาจะชใน*ทศของการเพมขนของศกยไฟฟาเสมอดงรป * (a)

สมมตวาประจทดสอบ q0 เคลอนทจาก A ไป B เราสามารถคานวณ การเปลยนแปลงพลงงานศกย ไดจากสมการ EdqVqU 00 −=∆=∆

A A

B Bq

d d

(a) (b)

E g

m

2

5

• ถา q0 เปนบวกและ ∆∆∆∆U เปนลบ ประจบวกจะสญเสยพลงงานศกยไฟฟาเมอมนเคลอนททศเดยวกบ สนามไฟฟา E หมายความวาสนามไฟฟาทางานตอประจบวกเมอมนเคลอนทในทศของสน ามไฟฟา ถาประจทดสอบบวกถกปลอยจากสถานะหยดนงในสนามไฟฟา มนจะไดรบแรงไฟฟา q0E ในทศของ E ดงน3น มนจะถกเรงในทศลง และมพลงงานจลนเพมซงมคาเทากบคาพลงงานศกยทลดลง

• ถา q0 เปนลบและ ∆∆∆∆U เปน บวก ประจลบจะไดรบพลงงานศกยไฟฟาเพมข3นเมอมนเคลอนททศเดยวกบสนามไฟฟา ถาประจบวกถกปลอยจากหยดนงในสนาม E มนจะถกเรงในทศทางทตรงขามกบสนาม

จากผลทไดเราพบวา

B B

A A

V E .d s E d s E s∆ = − = − ⋅ = − ⋅∫ ∫v v vv v v

พจารณาในกรณทวไปสาหรบอนภาคมประจซงเคลอนทอยางอสระระ หวางจดสองจดในสนามไฟฟา สมาเสมอทมทศในแนวแกน x ดงรป ถา คอเวกเตอรขจดระหวางจด A และ B จะไดวา

รปสนามไฟฟาสมาเสมอมทตามแกนบวก x จด B มศกยไฟฟาต ากวา A จด B และ C มศกยไฟฟาเทากน

เนองจาก E มคาคงท ดงนนพลงงานศกยของประจคอ*

0 0U q V q E s∆ = ∆ = − ⋅v v

สรปไดวา ทกจดในระนาบทตงฉากกบสนามไฟฟา* สมาเสมอจะมศกยไฟฟาเทากน จากรป VB – VA = VC – VA ดงนน* VB = VCคาวา Equipotential surface คอพนผวใดๆ* ทมการกระจายของจดซงมศกยไฟฟาเดยวกน

Ev

sv

sv

Ev

)θ

6

ตวอยาง The electric field between two parallel plates of opposite chargeแบตเตอรขนาด 12 V สรางความตางศกยระหวางแผนตวนาทตดอยกบมนดงรป โดยมระยะระหวางแผนขนานเปน d = 0.30 cm และสมมตวาสนามไฟฟาระหวางแผนขนาน มคาสมาเสมอ จงหาขนาดของสนามไฟฟาระหวางแผนคขนาน

รป แบตเตอรรขนาด 12 V ตออย กบแผนคขนาน สนามไฟฟาระหวางแผนมขนาดเทากบความ ต า ง ศก ย ห า ร ด ว ย ร ะ ย ะ ห า งระหวางแผนขนาน d

วธทาสนามไฟฟามทศจากแผนประจบวก (A) ไปยงแผนประจลบ (B) โดยแผนท เปนบวกจะมศกยไฟฟาสงกวาแผนทเปนลบ ความตางศกยระหวางแผนจะเทากบความตางศกยของ แบตเตอรร นนคอทกๆ จด บนแผนตวนาจะมศกยไฟฟาเทากน ดงนน* ขนาดของสนามไฟฟาระหวางแผนมคาดงสมการ

m/V 100.4 1030.0

12

d

VV E 3

2AB ×=

×=

−= −

รปนเรยกวา* a parallel-plate capacitor

7

ตวอยาง Motion of a proton in a uniform electric field โปรตอนถกปลอยจากสถานะหยดนงในสนามไฟฟาขนาด 8x104 V/m ซ งมทศในแกนบวก x ดงรปโปรตอนเคลอนทไดระยะขจด 0.50 m ในทศของสนาม E(ก) จงหาการเปลยนแปลงของศกยไฟฟา ∆V ระหวางจด A และ B (ข) จงหาการเปลยนแปลงของพลงงานศกย ∆U ของโปรตอนเนองจากการกระจด 0.5 m น*

รปโปรตอนถกเรงจาก AไปB ในทศของสนามไฟฟา

เพราะวาโปรตอนเคลอนทในทศของสนามไฟฟา ดงนน*มนจะเคลอนทไปยงจดทมศกยไฟฟาตากวา จะไดวา

วธทา

V4x10- )(0.5)10(8Ed∆V 44 =×−=−=

J106.4)104.0)(10(1.6∆Vq∆U 154190

−− ×−=×−×==

เครองหมายลบแสดงวาพลงงานศกยของโปรตอนลดลงเมอมนเคลอนทตามสนามไฟฟา นนคอโปรตอนถกเรงในสนามไฟฟา มนไดรบพลงงานจลนเพมขนและในขณะเดยวกนมนกจะสญเสย * พลงงานศกย (เนองจากพลงงานมการอนรกษ)

แบบฝกหด ใชแนวคดในการอนรกษพลงงานหาความเรวของโปรตอนทจด Bตอบ 2.8 x 106 m/s 8

ศกยไฟฟาและพลงงานศกยเนองจากจดประจ

รป ความตางศกยระหวาง จด A และB เนองจากจดประจ q ขนอยกบ* radial coordinates เรมตนและสดทาย rA และ rB

พจารณาจดประจบวก q ซ งทาใหเกดสนามไฟฟามทศพงออกจากประจบวกตามแนวรศม ในการหาศกยไฟฟาท จดซ งหางจากประจเปนระยะทาง r จะเรมตนจากสมการความตางศกยดงน *

∫ ⋅−=−B

A

AB sdEVVwv

เมอ A และ B คอ ทจดใดๆ ในสนามไฟฟาดงรป E2

k qˆE = r

r

v

rเมอ คอเวกเตอรหนวยมทศชจากประจไปยงจดใน *สนามไฟฟา จะได

คอ

สนามไฟฟาเนองจากจดประจคอ

E2

k qˆE ds = (r ds)

r⋅ ⋅

v v v

dr cosθ dssdr ==⋅v

โดย θ เปนมมระหวาง และ r dsv

3

9

นนคอระยะขจด ds ใดๆ จาก A ไป B ทาใหเกดการเปลยนขนาดของ r ไป dr

โดยระยะรศมถงประจทาใหเกดสนาม ดงนน* E2

k qE ds = dr

r⋅

v v

ดงนนจะได* ความตางศกย BB

AA

rr

EB A r E E2

r B Ar

dr k q 1 1 V -V = - E dr = -k q = k q -

r r r r

=

∫ ∫

สมการนแสดงใหเหนวา* ความตางศกยระหวางสองจด A และ B ใดๆ ในสนามไฟฟาทเกดจากจดประจจะขนอยกบรศม * rA และ rB

ถาให สนามไฟฟาทเกดจากจดประจทจดใดๆ ทอยหางจากมนเปนระยะทาง r คอ

E

q V = k

r

การอนทเกรท ไมขนอยกบเสนทางระหวาง * A และ B

A r = ∞

E ds ⋅v v

10

แสดงกราฟของศกยไฟฟามคาเปนฟงกชนกบ r ดงรป โดย r คอระยะรศมจากประจบวกในระนาบ xy พจารณาเหตการทเกดจรงเชนการกลงลกหนไปยงสวนทสงสดของภเขาดงรป * (a) ใหมองแรงโนมถวงทเกดกบลกหนเปนแรงผลกเนองจากวตถทมป ระจบวกเคลอนทเขาหากนและใหมองวากราฟของศกยไฟฟาทลอมรอบประจลบ เปนหลม จะไดวาศกยไฟฟาทเปนผลมาจากจดประจสองจดหรอมากกวา หาไดโดยใชหลกการรวม นนคอ ศกยไฟฟาทจด P เนองจากจดประจใดๆ คอผลรวมของศกยของแตละจดประจ ดงนนศกยไฟฟารวมท* P คอ

รป (a) ศกยไฟฟาในระนาบซงลอมรอบประจบวกเดยวโดยแสดงกราฟในแกนต3ง(ฟงกชนศกยไฟฟาสาหรบประจลบมลกษณะเปนหลม ) เสนสแดงแสดงการลดลง 1/r ของศกยไฟฟาดงสมการ (b) ภาพทมองลงไปตามแกนต3งของรป (a) แสดงวงกลมซ งมศกยไฟฟาคงททมศนยกลางรวมกน

r

qkV

i i

iE∑=

เมอ ศกยทระยะอนนตเปนศนยและ ri คอระยะระหวาง P และ qi สมการนเปนผลรวม* แบบสเกลาร โดยศกยไฟฟาทอยรอบได โพลมลกษณะดงรป

รป (a) ศกยไฟฟาในระนาบทมไดโพล (b) top view ของความสมพนธทแสดงเปนกราฟในขอ (a)

11

พจารณาพลงงานศกยของระบบอนภาคมประจสองตว ถา V1 คอศกยไฟฟาท P เนองจาก q1 งานจากภายนอกทใชในการนาประจ q2 จากระยะอนนตไปท P โดยปราศจากความเรงคอ q2V1 งานน3จะมคาเทากบพลงงานศกย U ของระบบสองอนภาค โดยระยะระหวางอนภาคคอ r12 ดงน3นพลงงานศกยคอ

รปจดประจ 2 จดอยหางกนเปน ระยะทาง r12 พลงงานศกยของคประจคอ kq1q2/r12 12

21E r

qqkU =

รประบบจดประจ 3 จด พลงงานศกยของระบบหาไดโดย ถาให q1 อยทตาแหนงทสนใจ q2 และ q3 อยทระยะอนนต เทอมแรกในสมการคองานภายนอกทใชในการเคลอนประจ q2 ใกล q1 คอ ซงคอเทอมทสองและสามคองานทใชในการนา q3 จากระยะอนนตมาทตาแหนงใกล q1 และ q2 ตามลาดบ

ถาเปนประจชนดเดยวกน U มคาเปนบวก สอดคลองกบความจรงทวางานทเปนบวกระบบจะถกกระทาโดยแรงจากภายนอกเพอทาใหประจท3งสองเคลอนทเขาใกลกน (เนองจากประจทเหมอนกนจะผลกกน ) ถาประจเปนคนละชนดกน U จะมคาเปนลบ นนคองานทเปนลบกระทาเพอตอตานแรงดงดดระหวางประจตางชน ดกน

ถามประจมากกวาสองประจในระบบ จะสามารถคานวณหาพลงงานศกยรวมโดยการคานวณ U สาหรบประจแตละคและ รวมแตละเทอมแบบพชคณต เชนพลงงานศกยรวมของระบบสามประจคอ

++=

23

32

13

31

12

21E r

qq

r

qq

r

qq kU

12

ตวอยาง The electric potential to two point charges

รป (a) ศกยไฟฟาทจด P เนองจากประจท3งสองเปนผลรวมของศกยไฟฟาของประจแตละตว (b) รปแสดงระบบของประจ 3 ประจ

ประจ q1 = 2 µµµµC และ q1 = -6 µµµµC อยทตาแหนง (0, 0) m และ (0, 3.0) m ตามลาดบ ดงแสดงในรป (a)(ก) จงหาศกยไฟฟารวมท P ซงอยทตาแหนง (4.0,0.0) m เนองจากประจเหลาน3(ข) จงหาการเปลยนแปลงของพลงงานศกยของประจ 3.0 µµµµC ถามนเคลอนทจากระยะอนนตไปยงจด P

ในรป (b)วธทา

(ก) สาหรบระบบสองประจ สามารถหาผลรวมของศกยไฟฟาไดโดยใชสมการ

1 2P E

1 2

6 69

3

q qV k

r r

2x10 6x10 9x10

4 5

6.3 x 10 V

− −

= +

−= +

= −

(ข) เมอประจอยทระยะอนนต Ui = 0 และเมอประจอยท P Uf = q3Vp ดงนน* J10x9.18)1029.6)(100.3(0VqU 336

p3−− −=×−×=−=∆

UW ∆−=ดงนนถา* งานทเปนบวกจากภายนอกจะใชในการเคลอนยายประจจากจด P กลบไปยงจดทเปนอนนตแบบฝกหด จงหาพลงงานศกยของระบบดงแสดงในรป (b) ตอบ -5.48 x10-2 J

4

13

การหาคาสนามไฟฟาจากศกยไฟฟา

สนามไฟฟา E และศกยไฟฟา V มความสมพนธกน ถาทราบศกยไฟฟาในบรเวณทแนนอน จะคานวณสนามไฟฟาไดดงน*

ถาสนามไฟฟามเพยงองคประกอบในแนวแกน x คอ Ex ดงนน*

dx

dVE x −=

sdEdVvv

⋅=

ความตางศกย dV ระหวางจดสองจดทหางกนเปนระยะทาง ds จะมคาเทากบ

dxEsdE x=⋅vv

จะได dV = -Exdxหรอ

14

รปพ3นผวสมศกย (เสนประน3าเงน) และเสนสนามไฟฟา (เสนสแดง) สาหรบ (a) สนามไฟฟาสมาเสมอทเกดจากแผนประจขนาดอนนต (b) จดประจ และ (c) ไดโพลไฟฟา ในทกกรณพ3นผวสมศกยจะต3งฉากกบเสนสนามไฟฟาทกๆ จด

นนคอ ขนาดของสนามไฟฟาซงมทศเดยวกบทศของพกดจะเทากบคาลบของการ เปลยนแปลงศกยไฟฟาเทยบกบตาแหนง นนคอ ศกยไฟฟาจะไมเปลยนแปลงเมอระยะขจดตงฉากกบสนามไฟฟา * ดงนนพนผว* *ทมศกยไฟฟาคงทจะตงฉากกบสนามดงแสดงในรป* (a) ซ งมประจบวกวางตวอยนงในเสนสนามไฟฟา เรมเคลอนทไปตามทศของ E เพราะวาทศทางของแรงทกระทาตอประจโดยการกระจายของประจทาให เกดสนามไฟฟา (เปนทศทางของ a) เนองจากประจเรมเคลอนทดวยความเรวตนเปนศนย โดยเคลอนทในทศการเปลยนความเรวซงกคอความเรง a นนเอง ในรป (a) และ (b) ประจทวางนงในสนามเคลอนทเปนเสนตรงเพราะวาเวกเตอรความเรงจะขนานกบเวกเตอรความเรวเสมอ โดยขนาดของ V เพมขนแตทศไม * เปลยน ซงตางกบสถานการณในรป (c) ซงประจบวกวางอยทตาแหนงทใกลกบได โพล ซ งเรมเคลอนทในทศทขนานกบ E เนองจากทศทางของสนามไฟฟามคาแตกตางกนทตาแหนงตางๆ แตแรงทกระทาตอ ประจมการเปลยนทศทางทาใหประจมการเปลยนทศทางและความเรว

15

ถาการกระจายของประจทาใหเกดสนามไฟฟาทรงกลมสมาเสมอซงมควาหนาแนนประจเชงปรมาตรขนอยกบรศม * r ในกรณน* E.ds = Er dr ดงนน* และสามารถแสดง dV ในรปของ dV= -Er dr

dr

dVEr −=

r

qkV E=

เนองจาก V เปนฟงกชนของ r เพยงอยางเดยว จะสามารถหาสนามไฟฟาเนองจากจดประจเปน

r

qkE

2E

r =

จะเหนวาการเปลยนแปลงศกยจะเกดขนในแนวรศมเทานน * * และไมเกดขนใน *ทศทางทตงฉากกบ* r (เสนสนามไฟฟา) ดงนน* V (เหมอนกบ Er ) จะเปนฟงกชนของ r เพยงอยางเดยว

ตวอยางเชนศกยไฟฟาของจดประจคอ

ผวสมศกยสาหรบไดโพลไฟฟาในรป (c) เมอประจทดสอบเคลอนทไดระยะขจด ds ในแนวผวสมศกย dV จะเทากบศนยเพราะวาศกยมคาคงทตลอดผว สมศกย จากสมการ dV = -E.ds = 0 นนคอ E จะตงฉากกบระยะขจดในแนว* ผวสมศกย แสดงใหเหนวา ผวสมศกยจะตองตงฉากกบเสนสนามไฟฟาเสมอ*

16

กรณทวไปศกยไฟฟาเปนฟงกชนของโค ออดเนททงสามถากาหนด* V(r) ในเทอมของระบบโคออดเนทคารทเซยน องคประกอบของสนามไฟฟา Ex , Ey และ Ez สามารถเขยนในรปของ V(x, y, z) ในรปการหาอนพนธบางสวน

x

VE x ∂

∂−=

y

VE y ∂

∂−=

z

VE z ∂

∂−=

ตวอยางเชนถา yzyyx3V 22 += จะไดวา

xy6

)x(dx

dy3 )yx3(

x

)yzyyx3(x

x

V

22

22

=

=∂∂

=

++∂∂

=∂∂

5

17

ตวอยาง The electric potential due to a dipoleไดโพลไฟฟาประกอบดวยประจส อ ง ต ว ท ม ข น า ด เ ท า ก น ท ม เคร องหมายตรงขามกนอยหางกน เปนระยะทาง 2a ดงรป ไดโพลวางตวอยในแนวแกน x มจดศนยกลางอยทจดกาเนด

(ก) จงคานวณศกยไฟฟาท P

22E

Ei

iE

ax

qak2

ax

q

ax

q k

r

q k V

−=

+

−−

== ∑

(ข) จงคานวณ V และ Ex ณ จดซงอยหางจากได โพลมากๆ

2E

x

qak2V ≈ (x >> a)

3E

xx

qa4k

dx

dVE =−=

18

(ค) จงคานวณหา V และ Ex ถา P อยทตาแหนงใดๆ ระหวางประจทงสอง *

i EE E 2 2

i

q q q 2k qxV = k k - -

r a-x x+a (x -a ) = =

∑

2 2E

x E2 2 2 2 2

dV d 2k qx x aE ( ) 2k q

dx dx x a (x a )

− −=− = − − = − −

เราสามารถตรวจผลทไดโดยใชสภาวะทจดศนยกลางของไดโพลท x = 0 , V = 0 และ Ex = - 2kEq/a2

19

ศกยไฟฟาเนองจากการกระจายของประจอยางตอเนอง

รป ศกยไฟฟาทจด P เนองจากการกระจายประจอยางตอเนองสามารถทา การคานวณไดโดยการแบงวตถมประจเปนสวนเลกๆ dq และทาการรวมศกยไฟฟาจากสวนเลก ๆ ทกสวน

สาหรบศกยไฟฟาของจดประจทกระจายอยางตอเนอง พจารณาศกยเนองจากสวนของประจเลกๆ dq (มองสวนของประจเลกๆ นใหเปน*จดประจ) ศกยไฟฟา dV ท จด P เนองจากประจ dq คอ

r

dqkdV E=

เมอ r คอระยะทางระหวางประจและจด P

ศกยไฟฟารวมทจด P หาไดโดยการอนทเกรต สมการนซ งเปนการรวมองคประกอบในทก*แบบของการกระจายของประจ

∫∫ ==r

dqkdVV E

20

ถาเราทราบสนามไฟฟาเราสามารถใชกฎของเกาสคานวณศกยไฟฟาเนองจากการกระจายประจอยางตอเนองได ถาการกระจายของประจมความสมมาตรสง เรมแรกทาการประมาณ E ทจดใดๆ แทนลงไปในกฎของเกาสเพอหาคาความตางศกย ∆V ระหวางสองจดใดๆ แลวทาการเลอกศกยไฟฟาทจดๆ หนงใหเปนศนย

6

21

ตวอยาง Electric potential due to a uniformly charged ring

รปวงแหวนมประจอยางสมาเสมรศม r วางตวอยในระนาบซ งตง *ฉากกบแกน x สวนเลกๆ dq ทกสวนบนวงแหวนมระยะหางจากจด P ซ งอยบนแกน x เทากน

(ก) จงหาสตรสาหรบศกยไฟฟาทจด P ซ งอยบนแกนกลางซ งตงฉากกบหวงกลมทมการ *กระจายของประจอยางสมาเสมอ โดยหวงกลมมรศม a มประจทงหมด* Q

(ข) จงหาสตรสาหรบขนาดของสนามไฟฟาทจด P

วธทา

∫∫+

==22EE

ax

dqk

r

dqkV

(ก) ศกยไฟฟาทจด P ซ งอยบนแกนกลางซ งตงฉาก *กบห วง กล มท ม กา ร กร ะ จา ยข อ ง ปร ะ จอ ยา ง สมาเสมอ โดยหวงกลมมรศม a มประจทงหมด* Q

ax

Qkdq

ax

kV

22

E

22

E ∫+

=+

=

แตละประจ dq อยหางจาก P เปนระยะทางทเทากน ดงน3น

...(1)

22

(ข) หาสตรสาหรบขนาดของสนามไฟฟาทจด P

จากหลกความสมมาตร พบวา E ตามแนวแกน x มแตองคประกอบในแนวแกน x

2/122Ex )ax(

dx

dQk

dx

dV E −+−=−=

2/322E

2/322E

)ax(

Qxk

)x2()ax( )2

1 ( Qk

+=

+−−= −

23

ตวอยาง Electric potential due to a uniformly charged diskจงหา ศกยไฟฟาและขนาดของสนามไฟฟา ตามแกนกลางซ งตงฉากจานกลมทมประจ*กระจายอยางสมาเสมอ โดยจานกลมมรศม a และมความหนาแนนประจเชงพนผว * σ

รปจานกลมท มประจกระจายอยางสมาเสมอรศม a วางตวอยในระนาบทตงฉากกบแกน* x

วธทาเ ลอกจด P หางจากจดศนยกลางของจานกลมเปนระยะทาง x และใหระนาบของจานกลมตงฉากกบแกน* x เราสามารถทาปญหาใหงายขนได * โดยแบงจานกลมใหเ ปนชดหวงกลมซ ง มประจกระจายอยางสม า เสมอ ศกยไฟ ฟา ขอ งแต ละ หวงกลมแสด งดงสมการ (1)พจารณาหวงกลมรศม r หนา dr ดงรป พนผวหนาของ*หวงกลมคอ rdr2dA π=

ดงนน* ศกยท P เนองจากหวงกลมคอ

22

E

22

E

xr

rdr2k

xr

dqkdV

+

πσ=

+=

24

ทาการหาศกยไฟฟารวมทจด P โดยการรวมศกยไฟฟาของแตละหวงกลม นนคอทาการอนทเกรต dV จาก r = 0 ไปถง r = a

∫∫ −+σπ=+

σπ=a

0

2/122E

a

022E rdr2)xr(k

xr

rdr2kV

อนทกรลนอยในรป* undu ใหผลเฉลยเปน un+1 /(n+1)เมอ n = -1/2 และ u = r2+x2 จะไดวา

( ) xax σkπ2V 1/222

E

−+=

หาสนามไฟฟาทจดใดๆ บนแกนกลางซงตงฉากจานกลมทมประจกระจายอยางสมาเสมอไดจาก*

ax

x1 k2

dx

dV E

22Ex

+−σπ=−=

7

25

ตวอยาง Electric potential due to a finite line of chargeแทงความยาว L วางตวตามแนวแกน x มประจรวม Q และความหนาแนนประจเชงเสนมคาสมาเสมอเปน จงหาศกยไฟฟาทจด P ซ งอยบนแกน y หางจากจดกาเนดเปนระยะทาง a

ร ป เ สนปร ะ จสม า เ สมยาว L วางตวอยบนแกน x

วธทา

22EEax

dxk

r

dqkdV

+

λ==

∫∫+

=+

λ=L

022

L

022 ax

dx

L

Qk

ax

dxkV

L

P

a rdq

x x

y

)axx( ln ax

dx 22

22++=

+∫

a

aLLln

L

QkV

22E

++=

จะไดวา

ดงนน*

Q / Lλ =

26

ตวอยาง Electric potential due to a uniformly charged sphereทรงกลมฉนวนแขงรศม R มความหนาแนนประจบวกเชงปรมาตรสมาเสมและมประจรวมเปน Q จงหาศกยไฟฟาทจดภายนอกทรงกลม ทผวทรงกลม และภายในทรงกลม

รปทรงกลมฉนวนมประจกระจายสมาเสมอรศม R มประจรวม Q

ขนาดของสนามไฟฟาภายนอกทรงกลมทมประจกระจายอยางสมาเสมอรศม R คอ

2Err

QkE = (r > R)

โดยสนามมทศชออกตามแนวรศมเมอ* Q เปนบวก ในการหาศกยไฟฟาทจดภายนอกเชนทจด B

วธทา

R)(r r

Qk

r

drQkdrEV E

r

2E

r

0rB >=−=−= ∫∫

∞

B E

QV k

r=

27

เพราะวาศกยมคาตอเนองท r = R เราจะใชสตรทไดในการหาศกยทผวของทรงกลม เชน ศกยทจด C

R)(r R

QkV EC ==

สนามไฟฟาภายในทรงกลมตนฉนวนทมประจกระจายอยางสมาเสมอคอ

R)(r rR

QkE

3E

r <=

)rR(R2

Qkrdr

r

QkdrEVV 22

3E

r

R3

Er

RrCD −=−=−=− ∫∫

เราสามารถหาคาความตางศกย VD – VC ทจด D ภายในทรงกลม

แทนคา VC = kEQ/R ลงไปจะได R)(r )R

r3(

R2

QkV

2

2E

D <−=

ท r = R สตรทไดจะแสดงใหเหนคาของศกยไฟฟาทพนผวซ งกคอ * VC นนเอง28

กราฟระหวางศกยไฟฟา V และระยะทาง r จากจดศนยกลางของทรงกลมฉนวนทมประจกระจายอยางสมาเสมอรศม R ศกยไฟฟามคาสงสด V0 ทจดศนยกลางของทรงกลม

แบบฝกหด ขนาดของสนามไฟฟาและศกยไฟฟาทศนยกลางของทรงกลมมคาเทาไร ตอบ E = 0 , V = 3kQ/2R

8

29

ศกยไฟฟาเนองจากตวนาทไดรบการประจ

รปทรงกลมรปรางใดๆ มประจบวกเมอตวนาอยในสมดลประจไฟฟาสถตทงหมดจะอยบนพนผว* * , E = 0 ภายในตวนา, ภายนอกตวนา E มทศพงออกและตงฉากกบพนผว* *

เราพบแลววาเมอตวนาในสถานของแขงมสมดลของประจ ประจจะออกนอยท ผวภายนอกตวนา และสนามไฟฟาภายนอกตวนาจะตงฉากกบผวซ งสนาม* ภายในตวนาเปนศนย

ตอไปจะแสดงใหเหนวาทกๆ จดบนผวของตวนาทไดรบการประจอยางสมดลจะมศกยไฟฟาเดยวกน

30

พจารณาจด A และ B ทอยบนผวของตวนาทไดรบการประจดงรป ตามเสนทางทเชอมตอจดทงสอง * E จะตงฉากกบระยะขจด* ds ดงนน* E.ds = 0 และสรปไดวาความตางศกยระหวาง A และ B มคาเปนศนย

∫ ⋅−=−B

AAB sdEVV

vr

ดงนน* สรปไดวา V มคาคงทตลอดผวของตวนาทไดรบการประจ นนคอพนผวของตวนาทไดรบการประจในสมดลไฟฟาสถตเรยกวา* ผวสมศกย

นอกจากนเพราะวาสนามไฟฟาเปนศนยภายในตวนา* เราสามารถสรปไดจากสมการ Er = - dV/dr ซ งศกยไฟฟาจะมคาคงททกๆ ทภายในตวนาและเทากบคาทพนผว *

สามารถใชผลทไดกบจด 2 จดใดๆ บนพนผว*

31

พจารณา ประจบนทรงกลมตวนารศม r มการกระจายอยางสมาเสมอบนพนผว * ทรงกลมโลหะแขงรศม R มประจรวมเปนบวก Q ดงรป (a) สนามไฟฟาภายนอกเปน kEQ/r2 มทศชออกตามแนวรศม* เราพบวาศกยไฟฟาภายในและทผวของทรงกลมเปน kEQ/R ศกยภายนอกทรงกลมคอ kEQ/r รป(b) คอกราฟศกยไฟฟาเทยบกบรศม r จากศนยกลางทรงกลมตวนา และแสดงใหเหนวาศกยไฟฟามการแปรตาม r รป(c) กราฟขนาดสนามไฟฟาเทยบกบระยะทาง r2 จากศนยกลางทรงกลมตวนามประจ

32

รปแสดงเสนสนามไฟฟารอบตวนาทรงกลม 2 อน ตวนาอนเลกมประจ Q ตวนาอนใหญไมมประจ ในกรณนความหนาแนนประจเชงพนผวจะไมสมาเสมอในตวนาแตละตว* * ตวนาทไมมประจจะมการเหนยวนาประจลบทผวซ งอยตดกบทรง กลมทมประจ Q และประจบวกจะถกเหนยวนาบนทรงกลมทไมมประจในดานตรงขามกบดาน ท มการเหนยวนาประจลบเสนสนาเงนแสดงพนทหนาตดของผวสมศกยของ* * โครงสรางน* เสนสนามไฟฟาจะตงฉากกบผวของตวนาในทกๆ* จด

รปเสนสนามไฟฟา(สแดง) รอบตวนาทรงกลม 2 อน ทรงกลมเลกมประจสทธ Q ทรงกลมอนใหญมประจสทธเปนศนย เสนสนาเงนค*คาภาคตดขวางของผวสมศกย

9

33

ตวอยาง Two connected charged sphereตวนาทรงกลม 2 อนมรศม r1 และ r2 อยหางกนเปนระยะทางทมากกวารศมของทรงกลม ทงสองมากทรงกลมทงสองเชอมตอกนดวยสายตวนา* * ดงรป ประจบนทรงกลมสมดลมคาเปน q1 และ q2 จงหาอตราสวนของสนามไฟฟาทพนผวของทรงกลมทงสอง * *

ร ป ต ว น า ท ร ง ก ล ม 2 อ นเชอมตอกนโดยเสนตวนาทรง กลมจะมศกยไฟฟาเดยวกน

วธทาเพราะวาทรงกลมเชอมตอกนดวยเสนตวนา ดงนนมน*จะมศกยไฟฟาเดยวกน

2

2E

1

1E r

qk

r

qkV ==

2

1

2

1

rr

qq=

เน องจากทรงกลมอยหางกนมากและพนผวมการประจอยาง *สมาเสมอ ดงนน* ขนาดของสนามไฟฟาของผวทรงกลมแตละอนคอ

1

1E1 r

qkE =

2

2E2 r

qkE =

r

r

E

E

1

2

2

1 =จะไดวา 34

สรป

1. เมอประจ q0 เคลอนทระหวางจด A กบ B ในสนามไฟฟา E

พลงงานศกยทเปลยนไปคอB

0

A

U q E ds∆ = − ⋅∫v v


0 A

UV E ds

q

∆∆ = = − ⋅∫

v v

3. ความตางศกยระหวางจด A กบ B ในสนามไฟฟาเอกรป เมอ d เปนระยะระหวาง A กบ B วดตามแนวสนาม: ∆V = -Ed

4. ผวสมศกย คอ ผวททกจดบนผวนนมศกยคาเดยวกน* ผวสมศกยจะตงฉากกบสนามไฟฟา*

5. ศกยไฟฟาเนองจากจดประจ q ณ ตาแหนงทหางจากจด q เปนระยะ r คอ V = kEq/r ถาเปนศกยเนองจากกลมของประจ จะหาไดจากการรวมกนทางพชคณตของศกยอนเนองจากแตละจดประจ


35

6. พลงงานศกยของประจจดคหนงทวางหางกนเปนระยะ r12 คอ U = kEq1q2/r12 พลงงานศกยของประจทกระจาย หาไดจากการรวมกนทางพชคณตของคประจทกค


8. ศกยไฟฟาเนองจากประจกระจายอยางตอเนอง

ทกจดบนผวตวนาทมประจและมความสมดลทางไฟฟาสถต

จะมศกยเทากน และทจดภายในเนอของตวนาจะมศกยคงทและคา*

เดยวกบทผวตวนา

E

dqV k

r= ∫

36

9. ศกยไฟฟาเนองจากจดประจกระจายเปนวงแหวนรศม a ทจดเปนแนวแกน


QV k

x a=

+

10. ศกยไฟฟาเนองจากประจกระจายเปนแผนจานกลมรศม a ทจดบนแกน


11. ศกยไฟฟาเนองจากประจกระจายเปนทรงกลมตนทเปนฉนวนรศม Rมประจทงหมด* Q คอ

2 2EV 2 k r( x a x)= π + −

E

2E

2

QV k ; r R

r

k Q rV (3- ) ; r R

2R R

= ≥

= ≤

10

37



1. จงหาสนามไฟฟาและศกยไฟฟาทจดศนยกลางของทรงกลมฉนวนทมรศม R และมประจไฟฟา Qตอบ E = 0 และ V0 = 3kQ/2R

2. สเหลยมจตรส มเสนทแยงมมยาว 0.2 m วางประจ 3x10-6 C, -2x10-6 C, 8x10-6 C และ –5x10-6 C ทมมทงสของรปสเหลยมน* * จงหาความตางศกยทจดศนยกลางสเหลยมจตรสน *ตอบ 3.6x105 V

38


ภาควชาฟสกส. เอกสารประกอบการสอนฟสกสเบองตน* , คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยนเรศวรภาควชาฟสกส. ฟสกส2, คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลยD.C. Giancoli. Physics Principles with Applications, 3rded., Prentic-Hall,



1

1

4. ศกยไฟฟาความตางศกยและศกยไฟฟา

เมอประจทดสอบ q0 วางอยในสนามไฟฟา ทเกดจากวตถมประจอน แรงทางไฟฟาทกระทาตอประจทดสอบคอ (ถาสนามเกดจากวตถมประจมากกวาหน งชนแรงท *กระทาตอประจทดสอบคอผลรวมแบบเวกเตอรของแรงแตละแรงทกระทาตอปร ะจทดสอบโดยวตถมประจแตละอน ) แรง เปนแรงอนรกษเพราะวาแรงแตละแรงทอธบายโดย กฎของคลอมบ (Coulomb’s law) จะอนรกษ ถาประจเคลอนทในสนามเนองจากแรงภายนอก งานทกระทาโดยสนามตอประจจะเทากบงานททาโดยแรงภายนอก ถาระยะขจดเลกๆ คอ งานทกระทาโดยสนามไฟฟาตอประจคอ ปรมาณของงานเหลานกระทาโดยสนาม * พลงงานศกยพลงงานศกยของระบบประจ- สนาม (the charge-field system) มคาเพมขนโดยปรมาณของ * สาหรบระยะขจดจาก A ไปยง B การเปลยนแปลงของพลงงานศกยของระบบ คอ

sdEqUU∆U B

A0AB ∫ ⋅−=−=

vv

Ev

0q Ev

0q Ev

0dU q E ds = − ⋅v v

0F ds q E ds ⋅ = ⋅v vv v

d sv

เปนลบเนองจากสนามไฟฟาพงออกจากประจบวก และประจ

บวกจะผลกกน 2

พลงงานศกยตอหนงหนวยประจ U/q0 ไมขนอยกบคาของ * q0 และมคาเพยงคา เดยวในทกๆ จดในสนามไฟฟา ปรมาณ U/q0 เรยกวา ศกยไฟฟา V

q

UV

0

=

พลงงานศกย U และศกยไฟฟา V เปนปรมาณสเกลารความตางศกย ∆V ระหวางจด A และ B ใดๆ ในสนามไฟฟานยามวาเปนการเปลยนแปลงของพลงงานศกยของระบบหารดวยประจทดสอบ q0 นนคอ

B

B A0 A

∆U ∆V V V E ds

q= − = = − ⋅∫

v v

ศกยไฟฟาเปนปรมาณสเกลารของสนามไฟฟาไมขนอยกบประจตางๆ * ทอาจจะวางตวอยในสนาม เมอพดถงพลงงานศกยเราจะกลาวถง ระบบประจ-สนาม (the charge – field system ) เนองจากเราสนใจทจะทราบศกยไฟฟาทตาแหนงประจและพลงงานศกยเนองจากอนตรกรยาระหวางประจและสนาม

ศกยไฟฟาทจดใดๆ ในสนามไฟฟาคอ

3

เพราะวาการเปลยนแปลงพลงงานศกยของประจจะตรงขามกบงานทกระทา โดยสนามไฟฟาตอประจ ความตางศกย ระหวางจด A และ B เทากบงานตอหนงหนวยประจจากภายนอกทใช ในการเคลอนยายประจทดสอบจาก A ไป B โดยไมมการเปลยนพลงงานจลนของประจทดสอบ (ความเรวคงท) ศกยไฟฟาทจดใดๆ คอ งานทตองกระทาตอประจบวกขนาดหนงหนวยในการ เคลอนประจทดสอบนจากระยะอนนตมายงจดทเราพจารณา* ดงนน* ใหจด A อยทอนนต ศกยไฟฟาทจด P ใดๆ คอ

∫∞

⋅−=P

P sdEVvv เมอ VP คอความตางศกย ระหวางจด P และจดทตาแหนงอนนต

เนองจากศกยไฟฟาวดจากพลงงานศกยตอหนงหนวยประจ หนวยของศกยไฟฟาและพลงงานศกยคอ J/C ซงคอ V นนเอง : 1 V = 1 J/Cนนคอ งานหนงจลจะใชในการเคลอนทประจ 1 C ผานความตางศกย 1 V

นอกจากน* ความตางศกย ยงสามารถแสดงในหนวยของสนามไฟฟาคณกบระยะทาง ดงนน* หนวยของสนามไฟฟา คอ N/C จงสามารถแสดงในรปของ V/m ไดดวย : 1 N/C = 1 V/m

หนวยของพลงงานทมกใชในวชาฟสกสอะตอมและฟสกสนวเคลยรค อ electron volt (eV )ซงนยามวาเปนพลงงานทอเลกตรอนหรอโปรตอนสญเสยเมอเคลอน ทผานความตางศกย 1 V เพราะวา 1 V = J/C และอเลกตรอนมประจ 1.6x10-19 C ดงนน*

1 eV = 1.6x10-19 C .V = 1.6x10-19 J

∆V

∆V

4

ความตางศกยในสนามไฟฟาสมาเสมอ พจารณาสนามไฟฟาสมาเสมอมทศในแนวแกน y ดงรป (a) คานวณ ความตางศกยระหวางจด A และ B ซงอยหางกนเปนระยะทาง d จะหาไดดงน*

รป (a) เมอสนาม E มทศพงลง จด B อยในศกยไฟฟาทต ากวาจด A ประจทดสอบทเปนบวกซ งเคลอนทจาก A ไปยง B จะสญเสยพลงงานศกยไฟฟา (b) มวล m เคลอนทตามสนามแรงดงดด g ทาใหมนสญเสยพลงงานศกย

∫∫∫ −=−=⋅−=−=B

A

B

A

0B

AAB EdsdsEcos0sdEVV∆V

vv

EddsE∆VB

A

−=−= ∫

เนองจาก E มคาคงท ดงออกจากเครองหมายอนทเกรทได

เครองหมายลบแสดงใหเหนวาจด B มศกยไฟฟาตกวาจด A นนคอ VB < VA เสนสนามไฟฟาจะชใน*ทศของการลดลงของศกยไฟฟาเสมอดงรป (a)

สมมตวาประจทดสอบ q0 เคลอนทจาก A ไป B เราสามารถคานวณ การเปลยนแปลงพลงงานศกย ไดจากสมการ EdqVqU 00 −=∆=∆

A A

B Bq

d d

(a) (b)

E g

m

2

5

• ถา q0 เปนบวกและ ∆∆∆∆U เปนลบ ประจบวกจะสญเสยพลงงานศกยไฟฟาเมอมนเคลอนททศเดยวกบ สนามไฟฟา E หมายความวาสนามไฟฟาทางานตอประจบวกเมอมนเคลอนทในทศของสน ามไฟฟา ถาประจทดสอบบวกถกปลอยจากสถานะหยดนงในสนามไฟฟา มนจะไดรบแรงไฟฟา q0E ในทศของ E ดงน3น มนจะถกเรงในทศลง และมพลงงานจลนเพมซงมคาเทากบคาพลงงานศกยทลดลง

• ถา q0 เปนลบและ ∆∆∆∆U เปน บวก ประจลบจะไดรบพลงงานศกยไฟฟาเพมข3นเมอมนเคลอนททศเดยวกบสนามไฟฟา ถาประจบวกถกปลอยจากหยดนงในสนาม E มนจะถกเรงในทศทางทตรงขามกบสนาม

จากผลทไดเราพบวา

B B

A A

V E .d s E d s E s∆ = − = − ⋅ = − ⋅∫ ∫v v vv v v

พจารณาในกรณทวไปสาหรบอนภาคมประจซงเคลอนทอยางอสระระ หวางจดสองจดในสนามไฟฟา สมาเสมอทมทศในแนวแกน x ดงรป ถา คอเวกเตอรขจดระหวางจด A และ B จะไดวา

รปสนามไฟฟาสมาเสมอมทต า ม แ ก น บ ว ก x จด B มศกยไฟฟาต ากวา A จด B และ C มศกยไฟฟาเทากน

เนองจาก E มคาคงท ดงนนพลงงานศกยของประจคอ*

0 0U q V q E s∆ = ∆ = − ⋅v v

สรปไดวา ทกจดในระนาบทตงฉากกบสนามไฟฟา* สมาเสมอจะมศกยไฟฟาเทากน จากรป VB – VA = VC – VA ดงนน* VB = VCคาวา Equipotential surface คอพนผวใดๆ* ทมการกระจายของจดซงมศกยไฟฟาเดยวกน

Ev

sv

sv

Ev

)θ

6

ตวอยาง The electric field between two parallel plates of opposite chargeแบตเตอรขนาด 12 V สรางความตางศกยระหวางแผนตวนาทตดอยกบมนดงรป โดยมระยะระหวางแผนขนานเปน d = 0.30 cm และสมมตวาสนามไฟฟาระหวางแผนขนาน มคาสมาเสมอ จงหาขนาดของสนามไฟฟาระหวางแผนคขนาน

รป แบตเตอรรขนาด 12 V ตออย กบแผนคขนาน สนามไฟฟาระหวางแผนมขนาดเทากบความ ต า ง ศก ย ห า ร ด ว ย ร ะ ย ะ ห า งระหวางแผนขนาน d

วธทาสนามไฟฟามทศจากแผนประจบวก (A) ไปยงแผนประจลบ (B) โดยแผนทเปนบวกจะมศกยไฟฟาสงกวาแผนทเปนลบ ความตางศกยระหวางแผนจะเทากบความตางศกยของแบต เตอรร นนคอทกๆ จด บนแผนตวนาจะมศกยไฟฟาเทากน ดงนน* ขนาดของสนามไฟฟาระหวางแผนมคาดงสมการ

m/V 100.4 1030.0

12

d

VV E 3

2AB ×=

×=

−= −

รปนเรยกวา* a parallel-plate capacitor

7

ตวอยาง Motion of a proton in a uniform electric field โปรตอนถกปลอยจากสถานะหยดนงในสนามไฟฟาขนาด 8x104 V/m ซ งมทศในแกนบวก x ดงรปโปรตอนเคลอนทไดระยะขจด 0.50 m ในทศของสนาม E(ก) จงหาการเปลยนแปลงของศกยไฟฟา ∆V ระหวางจด A และ B (ข) จงหาการเปลยนแปลงของพลงงานศกย ∆U ของโปรตอนเนองจากการกระจด 0.5 m น*

รปโปรตอนถกเรงจาก AไปB ในทศของสนามไฟฟา

เพราะวาโปรตอนเคลอนทในทศของสนามไฟฟา ดงนน*มนจะเคลอนทไปยงจดทมศกยไฟฟาตากวา จะไดวา

วธทา

V4x10- )(0.5)10(8Ed∆V 44 =×−=−=

J106.4)104.0)(10(1.6∆Vq∆U 154190

−− ×−=×−×==

เครองหมายลบแสดงวาพลงงานศกยของโปรตอนลดลงเมอมนเคลอนทตามสนามไฟฟา นนคอโปรตอนถกเรงในสนามไฟฟา มนไดรบพลงงานจลนเพมขนและในขณะเดยวกนมนกจะสญเสย * พลงงานศกย (เนองจากพลงงานมการอนรกษ)

แบบฝกหด ใชแนวคดในการอนรกษพลงงานหาความเรวของโปรตอนทจด Bตอบ 2.8 x 106 m/s 8

ศกยไฟฟาและพลงงานศกยเนองจากจดประจ

รป ความตางศกยระหวาง จด A และB เนองจากจดประจ q ขนอยกบ* radial coordinates เรมตนและสดทาย rA และ rB

พจารณาจดประจบวก q ซ งทาใหเกดสนามไฟฟามทศพงออกจากประจบวกตามแนวรศม ในการหาศกยไฟฟาท จดซ งหางจากประจเปนระยะทาง r จะเรมตนจากสมการความตางศกยดงน *

∫ ⋅−=−B

A

AB sdEVVwv

เมอ A และ B คอ ทจดใดๆ ในสนามไฟฟาดงรป E2

k qˆE = r

r

v

rเมอ คอเวกเตอรหนวยมทศชจากประจไปยงจดใน *สนามไฟฟา จะได

คอ

สนามไฟฟาเนองจากจดประจคอ

E2

k qˆE ds = (r ds)

r⋅ ⋅

v v v

dr cosθ dssdr ==⋅v

โดย θ เปนมมระหวาง และ r dsv

3

9

นนคอระยะขจด ds ใดๆ จาก A ไป B ทาใหเกดการเปลยนขนาดของ r ไป dr

โดยระยะรศมถงประจทาใหเกดสนาม ดงนน* E2

k qE ds = dr

r⋅

v v

ดงนนจะได* ความตางศกย BB

AA

rr

EB A r E E2

r B Ar

dr k q 1 1 V -V = - E dr = -k q = k q -

r r r r

=

∫ ∫

สมการนแสดงใหเหนวา* ความตางศกยระหวางสองจด A และ B ใดๆ ในสนามไฟฟาทเกดจากจดประจจะขนอยกบรศม * rA และ rB

ถาให สนามไฟฟาทเกดจากจดประจทจดใดๆ ทอยหางจากมนเปนระยะทาง r คอ

E

q V = k

r

การอนทเกรท ไมขนอยกบเสนทางระหวาง * A และ B

A r = ∞

E ds ⋅v v

10

แสดงกราฟของศกยไฟฟามคาเปนฟงกชนกบ r ดงรป โดย r คอระยะรศมจากประจบวกในระนาบ xy พจารณาเหตการทเกดจรงเชนการกลงลกหนไปยงสวนทสงสดของ * ภเขาดงรป(a) ใหมองแรงโนมถวงทเกดกบลกหนเปนแรงผลกเนองจากวตถทมป ระจบวกเคลอนทเขาหากนและใหมองวากราฟของศกยไฟฟาทลอมรอบประจลบเปนหลม จะไดวาศกยไฟฟาทเปนผลมาจากจดประจสองจดหรอมากกวา หาไดโดยใชหลกการรวม นนคอ ศกยไฟฟาทจด P เนองจากจดประจใดๆ คอผลรวมของศกยของแตละจดประจ ดงนนศกยไฟฟารวมท* P คอ

รป (a) ศกยไฟฟาในระนาบซงลอมรอบประจบวกเดยวโดยแสดงกราฟในแกนต3ง(ฟงกชนศกยไฟฟาสาหรบประจลบมลกษณะเปนหลม ) เสนสแดงแสดงการลดลง 1/r ของศกยไฟฟาดงสมการ (b) ภาพทมองลงไปตามแกนต3งของรป (a) แสดงวงกลมซงมศกยไฟฟาคงททมศนยกลางรวมกน

r

qkV

i i

iE∑=

เมอ ศกยทระยะอนนตเปนศนยและ ri คอระยะระหวาง P และ qi สมการนเปนผลรวมแบบสเกลาร* โดยศกยไฟฟาทอยรอบไดโพลมลกษณะดงรป

รป (a) ศกยไฟฟาในระนาบทมไดโพล (b) top view ของความสมพนธทแสดงเปนกราฟในขอ (a)

11

พจารณาพลงงานศกยของระบบอนภาคมประจสองตว ถา V1 คอศกยไฟฟาท P เนองจาก q1 งานจากภายนอกทใชในการนาประจ q2 จากระยะอนนตไปท P โดยปราศจากความเรงคอ q2V1 งานน3จะมคาเทากบพลงงานศกย U ของระบบสองอนภาค โดยระยะระหวางอนภาคคอ r12 ดงน3นพลงงานศกยคอ

รปจดประจ 2 จดอยหางกนเปน ระยะทาง r12 พลงงานศกยของคประจคอ kq1q2/r12 12

21E r

qqkU =

รประบบจดประจ 3 จด พลงงานศกยของระบบหาไดโดย ถาให q1 อยทตาแหนงทสนใจ q2 และ q3 อยทระยะอนนต เทอมแรกในสมการคองานภายนอกทใชในการเคลอนประจ q2 ใกล q1 คอ ซงคอเทอมทสองและสามคองานทใชในการนา q3 จากระยะอนนตมาทตาแหนงใกล q1 และ q2 ตามลาดบ

ถาเปนประจชนดเดยวกน U มคาเปนบวก สอดคลองกบความจรงทวางานทเปนบวกระบบจะถกกระทาโดยแรงจากภายนอกเพอทาใหประจท3งสองเคลอนทเขาใกลกน (เนองจากประจทเหมอนกนจะผลกกน ) ถาประจเปนคนละชนดกน U จะมคาเปนลบ นนคองานทเปนลบกระทาเพอตอตานแรงดงดดระหวางประจตางชน ดกน

ถามประจมากกวาสองประจในระบบ จะสามารถคานวณหาพลงงานศกยรวมโดยการคานวณ U สาหรบประจแตละคและ รวมแตละเทอมแบบพชคณต เชนพลงงานศกยรวมของระบบสามประจคอ

++=

23

32

13

31

12

21E r

qq

r

qq

r

qq kU

12

ตวอยาง The electric potential to two point charges

รป (a) ศกยไฟฟาทจด P เนองจากประจท3งสองเปนผลรวมของศกยไฟฟาของประจแตละตว (b) รปแสดงระบบของประจ 3 ประจ

ประจ q1 = 2 µµµµC และ q1 = -6 µµµµC อยทตาแหนง (0, 0) m และ (0, 3.0) m ตามลาดบ ดงแสดงในรป (a) (ก) จงหาศกยไฟฟารวมท P ซงอยทตาแหนง (4.0,0.0) m เนองจากประจเหลาน3(ข) จงหาการเปลยนแปลงของพลงงานศกยของประจ 3.0 µµµµC ถามนเคลอนทจากระยะอนนตไปยงจด P

ในรป (b)วธทา

(ก) สาหรบระบบสองประจ สามารถหาผลรวมของศกยไฟฟาไดโดยใชสมการ

1 2P E

1 2

6 69

3

q qV k

r r

2x10 6x10 9x10

4 5

6.3 x 10 V

− −

= +

−= +

= −

(ข) เมอประจอยทระยะอนนต Ui = 0 และเมอประจอยท P Uf = q3Vp ดงนน* J10x9.18)1029.6)(100.3(0VqU 336

p3−− −=×−×=−=∆

UW ∆−=ดงนนถา* งานทเปนบวกจากภายนอกจะใชในการเคลอนยายประจจากจด P กลบไปยงจดทเปนอนนตแบบฝกหด จงหาพลงงานศกยของระบบดงแสดงในรป (b) ตอบ -5.48 x10-2 J

4

13

การหาคาสนามไฟฟาจากศกยไฟฟา

สนามไฟฟา E และศกยไฟฟา V มความสมพนธกน ถาทราบศกยไฟฟาในบรเวณทแนนอน จะคานวณสนามไฟฟาไดดงน*

ถาสนามไฟฟามเพยงองคประกอบในแนวแกน x คอ Ex ดงนน*

dx

dVE x −=

sdEdVvv

⋅=

ความตางศกย dV ระหวางจดสองจดทหางกนเปนระยะทาง ds จะมคาเทากบ

dxEsdE x=⋅vv

จะได dV = -Exdxหรอ

14

รปพ3นผวสมศกย (เสนประน3าเงน) และเสนสนามไฟฟา (เสนสแดง) สาหรบ (a) สนามไฟฟาสมาเสมอทเกดจากแผนประจขนาดอนนต (b) จดประจ และ (c) ไดโพลไฟฟา ในทกกรณพ3นผวสมศกยจะต3งฉากกบเสนสนามไฟฟาทกๆ จด

ศกยไฟฟาจะไมเปลยนแปลงเมอระยะขจดตงฉากกบสนามไฟฟา * ดงนนพนผวทมศกยไฟฟาคงทจะตง* **ฉากกบสนามดงแสดงในรป (a) ซ งมประจบวกวางตวอยนงในเสนสนามไฟฟาเรมเคลอนทไปตาม ทศของ E เพราะวาทศทางของแรงทกระทาตอประจโดยการกระจายของประจทาใหเก ดสนามไฟฟา(เปนทศทางของ a) เนองจากประจเรมเคลอนทดวยความเรวตนเปนศนย โดยเคลอนทในทศการเปลยนความเรวซ งกคอความเรง a นนเอง ในรป (a) และ (b) ประจทวางนงในสนามเคลอนทเปนเสนตรงเพราะวาเวกเตอรความเรงจะขนานกบเวกเตอรความเรวเสมอ โดยขนาดของ V เพมขนแตทศไมเปลยน * ซ งตางกบสถานการณในรป (c) ซ งประจบวกวางอยทตาแหนงทใกลกบไดโพล ซ งเรมเคลอนทในทศทขนานกบ E เนองจากทศทางของสนามไฟฟามคาแตกตางกนทตาแหนงตางๆ แตแรงทกระทาตอประจม การเปลยนทศทางทาใหประจมการเปลยนทศทางและความเรว

15

ถาการกระจายของประจทาใหเกดสนามไฟฟาทรงกลมสมาเสมอซงมควาหนาแนนประจเชงปรมาตรขนอยกบรศม * r ในกรณน* E.ds = Er dr ดงนน* และสามารถแสดง dV ในรปของ dV= -Er dr

dr

dVEr −=

r

qkV E=

เนองจาก V เปนฟงกชนของ r เพยงอยางเดยว จะสามารถหาสนามไฟฟาเนองจากจดประจเปน

r

qkE

2E

r =

จะเหนวาการเปลยนแปลงศกยจะเกดขนในแนวรศมเทานน * * และไมเกดขนใน *ทศทางทตงฉากกบ* r (เสนสนามไฟฟา) ดงนน* V (เหมอนกบ Er ) จะเปนฟงกชนของ r เพยงอยางเดยว

ตวอยางเชนศกยไฟฟาของจดประจคอ

ผวสมศกยสาหรบไดโพลไฟฟาในรป (c) เมอประจทดสอบเคลอนทไดระยะขจด ds ในแนวผวสมศกย dV จะเทากบศนยเพราะวาศกยมคาคงทตลอดผว สมศกย จากสมการ dV = -E.ds = 0 นนคอ E จะตงฉากกบระยะขจดในแนว* ผวสมศกย แสดงใหเหนวา ผวสมศกยจะตองตงฉากกบเสนสนามไฟฟาเสมอ*

16

กรณทวไปศกยไฟฟาเปนฟงกชนของโคออดเนททงสามถากาหนด * V(r) ในเทอมของระบบโคออดเนทคารทเซยน องคประกอบของสนามไฟฟา Ex , Ey และ Ez สามารถเขยนในรปของ V(x, y, z) ในรปการหาอนพนธบางสวน

x

VE x ∂

∂−=

y

VE y ∂

∂−=

z

VE z ∂

∂−=

ตวอยางเชนถา yzyyx3V 22 += จะไดวา

xy6

)x(dx

dy3 )yx3(

x

)yzyyx3(x

x

V

22

22

=

=∂∂

=

++∂∂

=∂∂

5

17

ตวอยาง The electric potential due to a dipoleไดโพลไฟฟาประกอบดวยประจส อ ง ต ว ท ม ข น า ด เ ท า ก น ท ม เคร องหมายตรงขามกนอยหางกน เปนระยะทาง 2a ดงรป ไดโพลวางตวอยในแนวแกน x มจดศนยกลางอยทจดกาเนด

(ก) จงคานวณศกยไฟฟาท P

22E

Ei

iE

ax

qak2

ax

q

ax

q k

r

q k V

−=

+

−−

== ∑

(ข) จงคานวณ V และ Ex ณ จดซงอยหางจากไดโพลมากๆ

2E

x

qak2V ≈ (x >> a)3

Ex x

qa4k

dx

dVE =−=

18

(ค) จงคานวณหา V และ Ex ถา P อยทตาแหนงใดๆ ระหวางประจทงสอง *

i EE E 2 2

i

q q q 2k qxV = k k - -

r a-x x+a (x -a ) = =

∑

2 2E

x E2 2 2 2 2

dV d 2k qx x aE ( ) 2k q

dx dx x a (x a )

− −=− = − − = − −

เราสามารถตรวจผลทไดโดยใชสภาวะทจดศนยกลางของไดโพลท x = 0 , V = 0 และ Ex = - 2kEq/a2

19

ศกยไฟฟาเนองจากการกระจายของประจอยางตอเนอง

รป ศกยไฟฟาท จด P เนองจากการกระจายประจอยางตอเนองสามารถทา การคานวณไดโดยการแบงวตถมประจเปนสวนเลกๆ dq และทาการรวมศกยไฟฟาจากสวนเลก ๆ ทกสวน

สาหรบศกยไฟฟาของจดประจทกระจายอยางตอเนอง พจารณาศกยเนองจากสวนของประจเลกๆ dq (มองสวนของประจเลกๆ นใหเปน*จดประจ) ศกยไฟฟา dV ท จด P เนองจากประจ dq คอ

r

dqkdV E=

เมอ r คอระยะทางระหวางประจและจด P

ศกยไฟฟารวมทจด P หาไดโดยการอนทเกรต สมการนซ งเปนการรวมองคประกอบในทก*แบบของการกระจายของประจ

∫∫ ==r

dqkdVV E

20

ถาเราทราบสนามไฟฟาเราสามารถใชกฎของเกาสคานวณศกยไฟฟาเนองจากการกระจายประจอยางตอเนองได ถาการกระจายของประจมความสมมาตรสง เรมแรกทาการประมาณ E ทจดใดๆ แทนลงไปในกฎของเกาสเพอหาคาความตางศกย ∆V ระหวางสองจดใดๆ แลวทาการเลอกศกยไฟฟาทจดๆ หนงใหเปนศนย

6

21

ตวอยาง Electric potential due to a uniformly charged ring

รปวงแหวนมประจอยางสมาเสมรศม r วางตวอยในระนาบซ งตง *ฉากกบแกน x สวนเลกๆ dq ทกสวนบนวงแหวนมระยะหางจากจด P ซ งอยบนแกน x เทากน

(ก) จงหาสตรสาหรบศกยไฟฟาทจด P ซ งอยบนแกนกลางซ งตงฉากกบหวงกลมทมการ *กระจายของประจอยางสมาเสมอ โดยหวงกลมมรศม a มประจทงหมด* Q

(ข) จงหาสตรสาหรบขนาดของสนามไฟฟาทจด P

วธทา

∫∫+

==22EE

ax

dqk

r

dqkV

(ก) ศกยไฟฟาทจด P ซ งอยบนแกนกลางซ งตงฉาก *กบห วง กล มท ม กา ร กร ะ จา ยข อ ง ปร ะ จอ ยา ง สมาเสมอ โดยหวงกลมมรศม a มประจทงหมด* Q

ax

Qkdq

ax

kV

22

E

22

E ∫+

=+

=

แตละประจ dq อยหางจาก P เปนระยะทางทเทากน ดงน3น

...(1)

22

(ข) หาสตรสาหรบขนาดของสนามไฟฟาทจด P

จากหลกความสมมาตร พบวา E ตามแนวแกน x มแตองคประกอบในแนวแกน x

2/122Ex )ax(

dx

dQk

dx

dV E −+−=−=

2/322E

2/322E

)ax(

Qxk

)x2()ax( )2

1 ( Qk

+=

+−−= −

23

ตวอยาง Electric potential due to a uniformly charged disk จงหา ศกยไฟฟาและขนาดของสนามไฟฟา ตามแกนกลางซ งตงฉากจานกลมทมประจ*กระจายอยางสมาเสมอ โดยจานกลมมรศม a และมความหนาแนนประจเชงพนผว * σ

รปจานกลมท มประจกระจายอยางสมาเสมอรศม a วางตวอยในระนาบทตงฉากกบแกน* x

วธทาเ ลอกจด P หางจากจดศนยกลางของจานกลมเปนระยะทาง x และใหระนาบของจานกลมตงฉากกบแกน* x เราสามารถทาปญหาใหงายขนได * โดยแบงจานกลมใหเ ปนชดหวงกลมซ ง มประจกระจายอยางสม า เสมอ ศกยไฟ ฟา ขอ งแต ละ หวงกลมแสด งดงสมการ (1) พจารณาหวงกลมรศม r หนา dr ดงรป พนผวหนาของ*หวงกลมคอ rdr2dA π=

ดงนน* ศกยท P เนองจากหวงกลมคอ

22

E

22

E

xr

rdr2k

xr

dqkdV

+

πσ=

+=

24

ทาการหาศกยไฟฟารวมทจด P โดยการรวมศกยไฟฟาของแตละหวงกลม นนคอทาการอนทเกรต dV จาก r = 0 ไปถง r = a

∫∫ −+σπ=+

σπ=a

0

2/122E

a

022E rdr2)xr(k

xr

rdr2kV

อนทกรลนอยในรป* undu ใหผลเฉลยเปน un+1 /(n+1)เมอ n = -1/2 และ u = r2+x2 จะไดวา

( ) xax σkπ2V 1/222

E

−+=

หาสนามไฟฟาทจดใดๆ บนแกนกลางซงตงฉากจานกลมทมประจกระจายอยางสมาเสมอไดจาก*

ax

x1 k2

dx

dV E

22Ex

+−σπ=−=

7

25

ตวอยาง Electric potential due to a finite line of chargeแทงความยาว L วางตวตามแนวแกน x มประจรวม Q และความหนาแนนประจเชงเสนมคาสมาเสมอเปน จงหาศกยไฟฟาทจด P ซ งอยบนแกน y หางจากจดกาเนดเปนระยะทาง a

ร ป เ สนปร ะ จสม า เ สมยาว L วางตวอยบนแกน x

วธทา

22EEax

dxk

r

dqkdV

+

λ==

∫∫+

=+

λ=L

022

L

022 ax

dx

L

Qk

ax

dxkV

L

P

a rdq

x x

y

)axx( ln ax

dx 22

22++=

+∫

a

aLLln

L

QkV

22E

++=

จะไดวา

ดงนน*

Q / Lλ =

26

ตวอยาง Electric potential due to a uniformly charged sphere ทรงกลมฉนวนแขงรศม R มความหนาแนนประจบวกเชงปรมาตรสมาเสมและมประจรวมเปน Q จงหาศกยไฟฟาทจดภายนอกทรงกลม ทผวทรงกลม และภายในทรงกลม

รปทรงกลมฉนวนมประจกระจายสมาเสมอรศม R มประจรวม Q

ขนาดของสนามไฟฟาภายนอกทรงกลมทมประจกระจายอยางสมาเสมอรศม R คอ

2Err

QkE = (r > R)

โดยสนามมทศชออกตามแนวรศมเมอ* Q เปนบวก ในการหาศกยไฟฟาทจดภายนอกเชนทจด B

วธทา

R)(r r

Qk

r

drQkdrEV E

r

2E

r

0rB >=−=−= ∫∫

∞

B E

QV k

r=

27

เพราะวาศกยมคาตอเนองท r = R เราจะใชสตรทไดในการหาศกยทผวของทรงกลม เชน ศกยทจด C

R)(r R

QkV EC ==

สนามไฟฟาภายในทรงกลมตนฉนวนทมประจกระจายอยางสมาเสมอคอ

R)(r rR

QkE

3E

r <=

)rR(R2

Qkrdr

r

QkdrEVV 22

3E

r

R3

Er

RrCD −=−=−=− ∫∫

เราสามารถหาคาความตางศกย VD – VC ทจด D ภายในทรงกลม

แทนคา VC = kEQ/R ลงไปจะได R)(r )R

r3(

R2

QkV

2

2E

D <−=

ท r = R สตรทไดจะแสดงใหเหนคาของศกยไฟฟาทพนผวซ งกคอ * VC นนเอง28

กราฟระหวางศกยไฟฟา V และระยะทาง r จากจดศนยกลางของทรงกลมฉนวนทมประจกระจายอยางสมาเสมอรศม R ศกยไฟฟามคาสงสด V0 ทจดศนยกลางของทรงกลม

แบบฝกหด ขนาดของสนามไฟฟาและศกยไฟฟาทศนยกลางของทรงกลมมคาเทาไร ตอบ E = 0 , V = 3kQ/2R

8

29

ศกยไฟฟาเนองจากตวนาทไดรบการประจ

รปทรงกลมรปรางใดๆ มประจบวกเมอตวนาอยในสมดลประจไฟฟาสถตทงหมดจะอยบนพนผว* * , E = 0 ภายในตวนา, ภายนอกตวนา E มทศพงออกและตงฉากกบพนผว* *

เราพบแลววาเมอตวนาในสถานของแขงมสมดลของประจ ประจจะออกนอยท ผวภายนอกตวนา และสนามไฟฟาภายนอกตวนาจะตงฉากกบผวซ งสนาม* ภายในตวนาเปนศนย

ตอไปจะแสดงใหเหนวาทกๆ จดบนผวของตวนาทไดรบการประจอยางสมดลจะมศกยไฟฟาเดยวกน

30

พจารณาจด A และ B ทอยบนผวของตวนาทไดรบการประจดงรป ตามเสนทางทเชอมตอจดทงสอง * E จะตงฉากกบระยะขจด* ds ดงนน* E.ds = 0 และสรปไดวาความตางศกยระหวาง A และ B มคาเปนศนย

∫ ⋅−=−B

AAB sdEVV

vr

ดงนน* สรปไดวา V มคาคงทตลอดผวของตวนาทไดรบการประจ นนคอพนผวของตวนาทไดรบการประจในสมดลไฟฟาสถตเรยกวา* ผวสมศกย

นอกจากนเพราะวาสนามไฟฟาเปนศนยภายในตวนา* เราสามารถสรปไดจากสมการ Er = - dV/dr ซ งศกยไฟฟาจะมคาคงททกๆ ทภายในตวนาและเทากบคาทพนผว *

สามารถใชผลทไดกบจด 2 จดใดๆ บนพนผว*

31

พจารณา ประจบนทรงกลมตวนารศม r มการกระจายอยางสมาเสมอบนพนผว * ทรงกลมโลหะแขงรศม R มประจรวมเปนบวก Q ดงรป (a) สนามไฟฟาภายนอกเปน kEQ/r2 มทศชออกตามแนวรศม* เราพบวาศกยไฟฟาภายในและทผวของทรงกลมเปน kEQ/R ศกยภายนอกทรงกลมคอ kEQ/r รป(b) คอกราฟศกยไฟฟาเทยบกบรศม r จากศนยกลางทรงกลมตวนา และแสดงใหเหนวาศกยไฟฟามการแปรตาม r รป(c) กราฟขนาดสนามไฟฟาเทยบกบระยะทาง r2 จากศนยกลางทรงกลมตวนามประจ

32

รปแสดงเสนสนามไฟฟารอบตวนาทรงกลม 2 อน ตวนาอนเลกมประจ Q ตวนาอนใหญไมมประจ ในกรณนความหนาแนนประจเชงพนผวจะไมสมาเสมอในตวนาแตละตว* * ตวนาทไมมประจจะมการเหนยวนาประจลบทผวซ งอยตดกบทรง กลมทมประจ Q และประจบวกจะถกเหนยวนาบนทรงกลมทไมมประจในดานตรงขามกบดาน ท มการเหนยวนาประจลบเสนสนาเงนแสดงพนทหนาตดของผวสมศกยของ* * โครงสรางน* เสนสนามไฟฟาจะตงฉากกบผวของตวนาในทกๆ* จด

รปเสนสนามไฟฟา(สแดง) รอบตวนาทรงกลม 2 อน ทรงกลมเลกมประจสทธ Q ทรงกลมอนใหญมประจสทธเปนศนย เสนสนาเงนค*คาภาคตดขวางของผวสมศกย

9

33

ตวอยาง Two connected charged sphere ตวนาทรงกลม 2 อนมรศม r1 และ r2 อยหางกนเปนระยะทางทมากกวารศมของทรงกลม ทงสองมากทรงกลมทงสองเชอมตอกนดวยสายตวนา* * ดงรป ประจบนทรงกลมสมดลมคาเปน q1 และ q2 จงหาอตราสวนของสนามไฟฟาทพนผวของทรงกลมทงสอง * *

ร ป ต ว น า ท ร ง ก ล ม 2 อ นเชอมตอกนโดยเสนตวนาทรง กลมจะมศกยไฟฟาเดยวกน

วธทาเพราะวาทรงกลมเชอมตอกนดวยเสนตวนา ดงนนมน*จะมศกยไฟฟาเดยวกน

2

2E

1

1E r

qk

r

qkV ==

2

1

2

1

rr

qq=

เน องจากทรงกลมอยหางกนมากและพนผวมการประจอยาง *สมาเสมอ ดงนน* ขนาดของสนามไฟฟาของผวทรงกลมแตละอนคอ

1

1E1 r

qkE =

2

2E2 r

qkE =

r

r

E

E

1

2

2

1 =จะไดวา 34

สรป

1. เมอประจ q0 เคลอนทระหวางจด A กบ B ในสนามไฟฟา E

พลงงานศกยทเปลยนไปคอB

0

A

U q E ds∆ = − ⋅∫v v


0 A

UV E ds

q

∆∆ = = − ⋅∫

v v

3. ความตางศกยระหวางจด A กบ B ในสนามไฟฟาเอกรป เมอ d เปนระยะระหวาง A กบ B วดตามแนวสนาม: ∆V = -Ed

4. ผวสมศกย คอ ผวททกจดบนผวนนมศกยคาเดยวกน* ผวสมศกยจะตงฉากกบสนามไฟฟา*

5. ศกยไฟฟาเนองจากจดประจ q ณ ตาแหนงทหางจากจด q เปนระยะ r คอ V = kEq/r ถาเปนศกยเนองจากกลมของประจ จะหาไดจากการรวมกนทางพชคณตของศกยอนเนองจากแตละจดประจ


35

6. พลงงานศกยของประจจดคหนงทวางหางกนเปนระยะ r12 คอ U = kEq1q2/r12 พลงงานศกยของประจทกระจาย หาไดจากการรวมกนทางพชคณตของคประจทกค


8. ศกยไฟฟาเนองจากประจกระจายอยางตอเนอง

ทกจดบนผวตวนาทมประจและมความสมดลทางไฟฟาสถต

จะมศกยเทากน และทจดภายในเนอของตวนาจะมศกยคงทและคา*

เดยวกบทผวตวนา

E

dqV k

r= ∫

36

9. ศกยไฟฟาเนองจากจดประจกระจายเปนวงแหวนรศม a ทจดเปนแนวแกน


QV k

x a=

+

10. ศกยไฟฟาเนองจากประจกระจายเปนแผนจานกลมรศม a ทจดบนแกน


11. ศกยไฟฟาเนองจากประจกระจายเปนทรงกลมตนทเปนฉนวนรศม Rมประจทงหมด* Q คอ

2 2EV 2 k r( x a x)= π + −

E

2E

2

QV k ; r R

r

k Q rV (3- ) ; r R

2R R

= ≥

= ≤

10

37



1. จงหาสนามไฟฟาและศกยไฟฟาทจดศนยกลางของทรงกลมฉนวนทมรศม R และมประจไฟฟา Qตอบ E = 0 และ V0 = 3kQ/2R

2. สเหลยมจตรส มเสนทแยงมมยาว 0.2 m วางประจ 3x10-6 C, -2x10-6 C, 8x10-6 C และ –5x10-6 C ทมมทงสของรปสเหลยมน* * จงหาความตางศกยทจดศนยกลางสเหลยมจตรสน *ตอบ 3.6x105 V

38


ภาควชาฟสกส. เอกสารประกอบการสอนฟสกสเบองตน* , คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยนเรศวรภาควชาฟสกส. ฟสกส2, คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลยD.C. Giancoli. Physics Principles with Applications, 3rded., Prentic-Hall,



1

1

5. ความจไฟฟาและ ไดอเลกทรก

นยามของความจไฟฟา

ร ป ต ว เ ก บ ป ร ะ จประกอบดวยตวนา 2 ตวท มขนาดประจเทากนแต มเคร องหมายตรงขามกน

เม อตวนาไฟฟารปทรงใดๆพจารณาตวนาสองตวท มประจไฟฟาเทากนแตมทศตรงขามกน ดงรปซ งประกอบดวยตวนาสองตวท เรยกวาตวเกบประจ ( a capacitor ) โดยเรยกตวนาวา plates ความตางศกย V เกดขนระหวาง <ตวนาเน องจากประจไฟฟา คาความจไฟฟา C ของตวเกบประจนยามไววาเปนสดสวนของขนาดประจไฟฟาบนแต ละตวนาตอขนาดของความตางศกยระหวางตวนา

V

QC =

สาหรบตวเกบประจสดสวนระหวาง Q/V มคาคงท ดงนน<ความจจะเปนการวดความสามารถของตวเกบประจในการเกบประจและพลงงานศกยไฟฟา โดยมหนวยเปน ฟารด (F)

2

การคานวณคาความจ

เราสามารถทาการคานวณความจของทรงกลมตวนารศม R มประจ Q ได ถาสมมตวาตวนาตวท สองท ใชทาตวเกบประจเปนทรงกลมกลวงมรศมอ นนตศกยไฟฟาของทรงกลมรศม R คอ kEQ/R ให V = 0 ท ระยะอนนต จะไดวา

R4k

R

R/Qk

Q

V

QC 0

EE

πε====

สตรนแสดงใหเหนวาคาความจของทรงกลมท มประจเปนสดสวนกบ< รศม โดยไมขนอยกบประจบนทรงกลมและความตางศกย <

22120 mN/C 1085.8 ⋅×=ε −โดยท

3

ตวเกบประจแบบแผนขนาน พจารณาแผนขนานพนท < A หางกนเปนระยะทาง d ดงรป แตละแผนมประจ Q ,-Q ถาตวเกบประจถกประจโดยแบตเตอร ซ งมความตางศกยคงท ศกยไฟฟาระหวางแผนขนานคอ V = Ed ถาความหนาแนนเชงพนผวของ <ของแตละแผนเปน σ = Q/A ถาแผนขนานอยชดกน มากเรากลาวไดวาสนามไฟฟามคาสม าเสมอระหวางแผ ขนานและเปนศนยในท อ น คาสนามไฟฟาระหวางแผน ขนานคอรปตวเกบประจแบบแผนขนาน

AQ

E00 ε

=εσ

=

เพราะวาสนามระหวางแผนขนานคงท ขนาดความตางศกยระหวางแผนเทากบ Ed ดงนน<

⇒ε

=== A/Qd

Q

Ed

Q

V

QC

0

นนคอคาความจของตวเกบประจแผนคขนานเปนสดสวนกบพนท ข < องแผน และเปนสดสวนผกผนกบระยะทางระหวางแผน

d

AC 0ε=

4

ตวอยาง Parallel-plate capacitorตวเกบประจแผนคขนานมพนท < A = 2x10-4 m2 แผนมระยะหาง d = 1 mm จงหาคาความจของมน

วธทา

pF 77.1 F 10x77.1

)101

102( )1085.8(

d

A C

12

3

412

0

==××

×=ε=

−

−

−−

แบบฝกหด คาความจของแผนขนานท หางกน 3 mm มคาเทาไร ตอบ 0.590 pF

2

5

ตวอยาง The cylindrical capacitorตวเกบประจทรงกระบอกแขงรศม a มประจ Q มแกนรวมกนกบเปลอกทรงกระบอกกลวงบาง รศม b > a ซ งมประจ –Q จงหาคาความจของตวเกบประจทรงกระบอกนถามนมความยาว < L

รป (a) ตวเกบประจทรงกระบอก(b) ภาพภาคตดขวางของตวเกบประจ

วธทา จากกฏของเกาสขนาดสนามไฟฟาในทรงกระบอกท มการกระจายประจสม าเสมอมความหนาแนนประจเชงพนผวคอ< Er = 2kEλ /r ในพนท < a < r < b ใชหลกการนกบทรงกระบอกดานนอก< โดย E มทศตามแนวรศม r และใช λ = Q/Lจะไดความตางศกยระหวางทรงกระบอกทงสองเทากบ <

E E

Q Q L C = = =

2k QV 2k ln(b/a)ln(b/a)L

)a/b( ln k2 r

dr k2 rdrE VVV E

b

aE

b

aab λ−=λ−=⋅−=−= ∫∫

vv

ดงน5นคาความจข5นอยกบรศมท5งสองของทรงกระบอก และคาความจตอหน:งหนวยความยาวของตวเกบประจทรงกระบอกท:มศนยกลางรวมกนค อ )a/bln(k2

1

L

C

E

=

6

ตวอยาง The spherical capacitorตวเกบประจทรงกลมประกอบดวยเปลอกตวนาทรงกลมรศม b มประจ –Q มศนยกลางเดยวกบตวนาทรงกลมขนาดเลกรศม a ซ งมประจ Q ดงรป จงหาคาความจของอปกรณน<

ร ป ต ว เ ก บ ป ร ะ จ ท ร ง ก ล มประกอบดวยทรงกลมภายในรศม a ลอมรอบดวยเปลอกทรงกลมรศม b ซ งมจดศนยกลางเดยวกน

วธทาสนามภายนอกทรงกลมท มประจกระจายอยางสม าเสมมคาเทากบ kEQ/r2 ในกรณนประยกตผลท ไดกบสนาม< ระหวางทรงกลม a < r < b จากกฎของเกาสพบวาภายในทรงกลมเทานนท มสนาม < ดงนนความตางศกย< ระหวางทรงกลมคอ

∫∫ −=−=−=b

a2E

b

arab

r

dr Qk dr E VV V

ab

)ba(Qk )

a

1

b

1( Qk

r

1Qk E

E

b

aE

−=−=

=

ดงนน< )ab(k

ab

V

QC

E −==

7

สามารถหาไดจากพนท ใตกราฟเน องจากถาความตางศกย< V ท ตอกบตว เกบประจ มคาเพมขน < ประจ Q บนตวเกบประจจะมคาเพมขนดวย <

พนทใตกราฟ = พลงงานสะสมในตวเกบประจ

มหนวยเปนจล (J)

QV2

1U ==

C

Q

2

1CV

2

1QV

2

1U

22 ===

พลงงานท:สะสมในตวเกบประจ (U)

8


ตวเกบประจจานวน 2 ตวหรอมากกวามกจะตอรวมกน ในวงจรไฟฟาซ งสามารถคานวณความจเทยบเทาได

ตวเกบประจ

แบตเตอร:

สวทซ- +

• •

สญลกษณในวงจรสาหรบตวเกบประจ สวทซ และแบตเตอร มลกษณะดงน<

3

9

การตอตวเกบประจแบบขนาน

รป (a) ตวเกบประจ 2 ตวท ตอขนานกนโดยมความ ตางศกยครอมแบตเตอร เปน V(b ) แผนภาพวงจรสาหรบการตอแบบขนาน(c) ความจเทยบเทา C = C1 + C2

ในวงจรดงรป แบตเตอร ใหความตางศกยกบตวเกบประจแตละตวท ตอกนแบบขนาน ในตอนแรกอเลกตรอน จะเคล อนท ระหวางเสนตวนาและแผนขนานทาใหแผนซายมประจเปนบวก และแผนขวามประจเปนลบ การไหลของประจจะสนสดเม อ< โวลทท ตกครอมตวเกบประจเทากบโวลทท ตกครอมแบตเตอรร โดยตวเกบประจจะมประจสงสด ถาใหคาประจสงสดบนตวเกบประจสองตวเปน Q1 และ Q2 ประจรวมท เกบโดยตวเกบประจทงสองคอ< C

VCVCVC

QQ Q

21eq

21

+=

+=

ถาแทนท ตวเกบประจทงสองโดยตวเกบประจ <เทยบเทา (equivalent capacitor) Ceq ดงรป (c) นนคอตวเกบประจเทยบเทาจะตองมประจรวม เ ปน Q และมโวลทตกครอมเม อตอเขากบ แบตเตอร เพราะวาตวเกบประจเทยบเทาตอ ครอมกบแบตเตอรร โดยตรงดงนน <

CCC 21eq +=

V V V

V = V1 = V2

Ceq = C1 = C2

C1

C2

C2

C1

Q2

Q1

ถาใชตวเกบประจ n ตว ตอกนแบบขนาน จะไดวา CC n

1iieq ∑

=

=10

การตอตวเกบประจแบบอนกรม

รป (a) การตอแบบอนกรมของตวเกบประจ 2 ตวในวงจรไฟฟาโดยมความตางศกยครอมแบตเตอร เปน V (b) ตวเกบประจทงสองถกแทนดวยตวเกบประจ <เทยบเทาโดยคาความจเทยบเทาคอ

จากรปพบวาความตางศกย ของแบตเตอร ทาใหเกดความตางศกย ครอมตวเกบประจแตละตวไมเทากน โดย

21eq

21

C

Q

C

Q

C

Q

VVV

+=

+=

V V

V1 V2

C2C1 Ceq

+Q -Q +Q -Q

C

1

C

1

C

1

21eq

+=

ถาใชตวเกบประจ n ตว ตอกนแบบ อนกรม จะไดวา

C

1

C

1

n

1i ieq∑=

=

11

ตวอยาง Equivalent capacitance จงหาคาความจเทยบเทาระหวางจด a และ b สาหรบการตอตวเกบประจดงรป (a) โดยกาหนดคาความจเปนไม โครฟารด (µF)

F 2C 2

1

4

1

4

1

C

1upper

upper

µ=⇒=+=

วธทาตวเกบประจขนาด 1 µF และ 3 µF ตอกนแบบ ขนานจะมความจเทยบเทาไดวา = 1 + 3 µF = 4µF

ตวเกบประจ 2 µF และ 6 µF ตอกนแบบขนานจะม ความจเทยบเทา = 2 + 6 µF = 8 µF

สาขาดานลางจะเปนการตอของตวเกบประจ ขนาด 8 µF แบบอนกรม2 ตว ดงนน<

ดงนน< สาขาดานบนจะเปนการตอของตวเกบ ประจขนาด 4 µF แบบอนกรม 2 ตว ดงนน<

สดทายทาการรวมตวเกบประจขนาด 2 µF และ 4µF แบบขนาน ดงนน< จะไดคาความจเทยบเทาระหวางจด a และ b มคาเทากบ Ceq = Cupper + Clower = 2 + 4 µF = 6 µF

F 4C 4

1

8

1

8

1

C

1lower

lower

µ=⇒=+=

12

ตวเกบประจท:ม ไดอเลกตรก • ไดอเลกตรก เปนสารท ไมใชตวนาไฟฟา (Nonconducting Material) เชน ยาง แกว หรอ กระดาษไข เปนตน เม อใสไดอเลกตรกระหวาง แผนขนานตวนาของตวเกบ ประจ คาความจจะเพมขน < • ถาเตมไดอเลกตรกใหเตมระหวางแผน ตวนา คาความจของตวเกบประจจะขนกบ < คาคงท ของ ไดอเลกตรก k (DielectricConstant ) ซ งเปนตวเลขไมมหนวย

รปตวเกบประจท ไดรบการประจ (a) กอน (b) หลงการใสไดอเลกตรกระหวาง แผนขนาน

จากการทดลองในรป จะเหนวา V0 = Q0 / C0 ถาถอวาเปน โวลทมเตอรอดมคตจะไมมการสญหายของประจจากตวเกบประจ กรณท ใสไดอเลกตรกเขาระหวางแผนตวนา โวลทมเตอรจะวดไดคาความตางศกยลดลงเปน k เทา ของ V0

4

13

k

VV 0=

เพราะวา V < V0 ดงนน< k > 1 และเน องจากประจ Q0 บนตวเกบประจไมเปล ยนแปลง จงสรปไดวาคาความจ มการเปล ยนคา

0

0

0

00

V

Qk

k/V

Q

V

QC ===

สาหรบตวเกบประจแบบแผนขนาน C0 = ε0A/d เม อเตมไดอเลกตรกเตมชองระหวางแผนจะใหคาความจไฟฟาท มคาเทากบ

kCC 0=

เม อ C0 คอคาความจไฟฟาตอนท ยงไมม ไดอเลกตรก

d

AkC 0ε=

14

จะเหนวาเราสามารถเพมคาความจของตวเกบประจไดโดยการลดระยะทา งระหวางแผนขนาน d

ในทางปฏบตคา d จะถกจากดดวยการคายประจผานสาร ไดอเลกตรก

สาหรบ d คงท คาหน งๆ ความตางศกยสงสดท จายใหกบตวเกบประจโดยไมมการคายประจ จะขนอย< กบคาความทนสนามของ ไดอเลกตรก (Dielectric Strength) ซ งคอคาสนามไฟฟาสงสดท ไดอเลกตรกยงไมแตกตวเปนไอออน (ยงไมนาไฟฟา )

ถาขนาดสนามไฟฟาในไดอเลกตรกมากกวาคาความแรงของ ไดอเลกตรกคณสมบตความเปนฉนวนจะหายไปและไดอเลกตรกจะกลายเปนตวนา

ตาราง คาคงท ไดอเลกตรกและคาความแรง ไดอเลกตรกของวสดตางๆ ท อณหภมหอง

Material Dielectric Constant k Dielectric Strength (V/m)

Air (dry)BakeliteNylonPaper

VacuumWater

1.000594.93.43.7

1.0000080

3 x106

24 x106

14 x106

16 x106

--

ขอดของไดอเลกตรกคอ

- เพมคาความจ

- เพม โวลทใชงานสงสด

- กนไมใหตวนาแตะกน

โดยทวไปวสดท เปนฉนวนจะมคา k มากกวาหน งและคาความแรง ไดอเลกตรกมากกวาของอากาศ

15

ชนดของตวเกบประจ

ตวเกบประจท มใชงานกนโดยทวไป จะทาดวยแผนโลหะ (metallic foil) ท คนดวยแผนกระดาษชบพาราฟน หรอแผนไม ลาร (Mylar) ซ งท าหนาท เ ปนวสดไดอ เลกตรกแลวมวนเปนทรงกระบอกดงรป (a)

ตวเกบประจท ใชแรงดงสง ทาดวยแผนโลหะท รอยเขาดวยกนและแชอยในนามนซลโคนดงรป< (b)ตวเกบประจท มคาความจนอยๆ จะทาดวยวสดเซรามก ตวเกบประจท แปรคาได ทาดวยแผนโลหะ 2 ชนดวางสลบกน ชดหน งอยกบท อกชดหน งเคล อนท ไดโดยมอากาศเปนไดอเลกตรก

ตวเกบประจแบบอเลกโตรไลท จะมความจสง เกบประจไดมาก แตอตราการทนโวลทจะต า ใชสาหรบการเกบประจเปนจานวนมากดงรป (c) ทาดวยแผนโลหะบางๆ มวนแชอยในสารละลายอเลกโตรไลทบรรจในกระปองโลหะ อเลกโตรไลทจะสมผสกบกระปองโลหะ ออกไซดหรอสนมท เกดขนท ผวของแผนโลหะบางจะทาหนาท เปน< ไดอเลกตรก นายาอ< เลกโตรไลตทาหนาท เปนแผนตวนาขนานอกแผนหน งและเช อมตอทางไฟฟากบกระปอง ซ งเปนขวหน งของตวเกบประจ< เน องจากสนมของโลหะเปนฉนวนท มความหนานอยมาก จงทาใหคาความจของตวเกบประจเพมขนเปนอยางมาก < การใชงานตวเกบประจแบบอเลกโตรไลทตองระวงเร องขว< ถาตอขวผดฟลมบางๆ< ของสนมจะหายไป จะเกดการนาไฟฟาระหวางแผนตวนาบางกบสารละลายอเลกโตรไลท จะหมดสภาพความเปนตวเกบประจกลายเปนตวตานทาน ถามกระแสไหลมากพอจะทาใหเกดความรอนจนเกดการระเบดได 16

ตวอยาง ตวเกบประจท ใชกระดาษเปน ไดอเลกตรก (A paper-filled capacitor)ตวเกบประจแบบแผนขนาน แผนมขนาด 2 cm x 3cm มแผนกระดาษหนา 1 mm กนระหวางแผนขนาน < จงหา (a) คาความจ (b) คาประจสงสดท สามารถเกบไดในตวเกบประจ วธทา

××

×=ε

= −

−−

3

4120

101

106)1085.8(7.3

d

AkC

1220 10 F 20 pF−= × =

คา k = 3.7 สาหรบกระดาษ (ดตาราง) จะไดวา

จากตาราง พบวาคาความแรง ไดอเลกตรกของกระดาษเปน 16x106 V/mและถาความหนาของกระดาษเปน 1 mm คา โวลทสงสดท ใหไดโดยไมทาใหไดอเลกตรกสญเสยความเปนฉนวนไปคอ

V 10x16)101)(1016(dEV 336maxmax =××== −

ดงนนคาประจสงสดคอ< F 32.0)1016)(1020(CVQ 312maxmax µ=××== −

5

17

ความเรวของประจ ประจ +q เคล อนท จากจด A ไปยงจด B พลงงานศกยไฟฟาจะเปล ยนไปเปนพลงงานจลน

ความจไฟฟา ความจไฟฟา หมายถง ความสามารถในการกกเกบประจไฟฟาของวตถ วตถท สามารถรบประจไดมากแตทาใหศกยไฟฟาเพมขนนอย < แสดงวาวตถนนมความจไฟฟามาก <

C = ความจไฟฟา (F)Q = ปรมาณประจไฟฟา (C)V = ศกยไฟฟา (V)

v = ความเรวของประจ (m/s)

สญญลกษณตวเกบประจไฟฟา

5. ความจไฟฟาและ ไดอเลกทรกสรป

V

QC =

2mv2

1qV = 2qV

vm

=

ความจไฟฟา C คออตราสวนระหวางประจไฟฟา Q กบความตางศกย V

พลงงานศกยไฟฟาท ลด = พลงงานจลนท เพมขน <

18

1. ทรงกลม

และ C = ความจไฟฟา (F)R = รศมของทรงกลม (m)kE = คาคงท = 1/4πε0

C = ความจไฟฟา (F)Q = ประจไฟฟาโดยการเหน ยวนา (C)V = ความตางศกยไฟฟาระหวางแผนทงสอง < (V)A = พนท ของแผนโลหะ< (m2)d = ระยะระหวางแผนโลหะ (m)

= Permittivity Constant = 8.85x10-12 C2/N.m2

ความจไฟฟาของวตถรปทรงตางๆ

2. แผนโลหะท:ขนานกน

ความจไฟฟาของทรงกลมรศม R จะแปรผนตามรศมของทรงกลม ดงนนตวนาทรงกลมใหญจะมความจมากกวาตวนาทรง< กลมเลก

V

QC =

R

QkV E= R4

k

RC 0

E

πε==

d

AC 0ε=

ความจไฟฟาของตวเกบประจแบบแผนตวนาขนานท อยหาง กนเปนระยะ d และมพนท ของแผนตวนาเปน< A

19

3. ทรงกระบอกสองช5น

4. ทรงกลมสองช5น

ความจไฟฟาของตวเกบประจแบบบทรงกระบอกท มความยาว L มทรงกระบอกภายในรศม a และทรงกระบอกกลวงบางรศม b มจดศนยกลางรวมกน

ab

lnk2

LC

E

=

ความจไฟฟาของตวเกบประจแบบบทรงกลมท มรศมทรงกลมเลกเปน a และรศมทรงกลมกลวงบางเปน b

)ab(k

abC

E −=

พลงงานท:สะสมในตวเกบประจ (U)

C

Q

2

1CV

2

1QV

2

1U

22 === มหนวยเปนจล (J)

20

1. แบบอนกรม ประจ Q แตละตวจะเทากน คอ

V = V1 = V2 = V3

Q = Q1 + Q2 + Q3

CeqVAB = C1VAB + C2VAB + C3VAB


Q = Q1 = Q2 = Q3

2. แบบขนาน ความตางศกยระหวางแตละตวจะเทากนคอ

3

3

2

2

1

1

eq

CDBCABAD

C

Q

C

Q

C

Q

C

Q

VVVV

++=

++=

C

1

C

1

C

1

C

1

321eq

++=

Ceq= C1 + C2 + C3

•AQ1

C1

•BQ2

C2

•CQ3

C3

•DQ4

Q1 C1

Q1 C1

Q1 C1

A B

6

21

ไดอเลกตรก (Dielectric) คอวสดท ไมนาไฟฟา

C = kC0

ไดอเลกตรก

ถาใชกนระหวางแผนตวนาของตวเกบประจ < จะทาใหคาความจสงขน <ขนกบคาคงท ของ< ไดอเลกตรก k

ขอดของไดอเลกตรก • เพมคาความจ • เพม โวลทใชงานสงสด• กนไมใหตวนาแตะกน

22

แบบฝกหดhttp://www.physics.sci.rit.ac.th/charud/oldnews/48/magnetic/OnlineTest_V4/index.asp

1. จงหาคาความจของทรงกลมตวนาท มรศม 0.2 mตอบ 22.2 pF

2. จากรป จงหาคาความจรวมระหวางจด a กบ b

ตอบ 7 µF3. พจารณาตวเกบประจซ งมคาความจ 3µF 6 µF และ 12 µF จงหาคาความจ

ไฟฟาเทยบเทาเม อตวเกบประจมการตอแบบ (a) ขนาน (b) อนกรมตอบ (a) 21 µF (b) 1.7 µF

6 µF

6 µF

6 µF

5 µF

a• •

b

23


ภาควชาฟสกส. เอกสารประกอบการสอนฟสกสเบองตน< , คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยนเรศวรภาควชาฟสกส. ฟสกส2, คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลยD.C. Giancoli. Physics Principles with Applications, 3rded., Prentic-Hall,



1

1

6. สนามแมเหลกสนามแมเหลก

ในหวขอทผานมาเราไดศกษาเกยวกบสนามไฟฟาสาหรบประจไฟฟา ทไมเคลอนท แตสาหรบบรเวณรอบๆ ประจไฟฟาทมการเคลอนทจะมสนามแมเหลกเขามาเกยวของดวย

ถาให แทนสนามแมเหลก ทศของสนามแมเหลกชในทศ .ข ว เ ห น อ ด ง ร ป. ซ ง แ ส ด งส น า ม แ ม เ ห ล ก ข อ ง แ ท ง แมเหลกโดยใชเขมทศโดยเสนสน าม แม เห ลก จ ะชจ าก ขว . .เหนอไปยงขวใต.

รปเขมของเขมทศสามารถใชในการหาทศของสนามแมเหลก

N S

Bv

2

รปแสดงการจดเรยงตวของสนามแมเหลกโดยใชผงเหลก(a) รปแบบของสนามแมเหลกรอบแทงแมเหลก (b) รปแบบของสนามแมเหลกเนองจากขวแมเหลกตางชนดกน .(c) รปแบบของสนามแมเหลกเนองจากขวแมเหลกชนดเดยวกน .

(a) (b) (c)

N

N

N

SN

S

3

แมเหลกธรรมดา (หรอ แมเหลกถาวร)• แมเหลกทกชนดมขว . 2 ขว. ขวหนงคอ. ขวเหนอ. อกขวเปน. ขวใต.• แมเหลก ขวเหมอนกน. เขาใกลกนมนจะ ผลกกน และขวตางกน. มนจะดดกน• แมเหลกไฟฟามหลกการพนฐานเหมอนกน . เพยงแตวาโลหะจะเปนแมเหลกได

กตอเมอใสกระแสไฟฟาเขาไปเทานน .

แมเหลกไฟฟาแมเหลกไฟฟาใชไฟจากแบตเตอร เปนแหลงจายกระแสไฟฟา ถาเราตอสายไฟใหครบวงจรโดยตอสายไฟจากขวบวกไปทขวลบโดยตรง . . อเลกตรอนซงเปนประจลบจะเคลอนทจากขว.ลบไปทขวบวกของแบตเตอร.• อเลกตรอนไหลจากขวลบไปทขวบวกอยางรวดเรว. . • พลงงานภายในแบตเตอรจะหมดอยางรวดเรวดงนนไมควรตอสายไฟตรง . ควรใชสวทซ

หรอตอตวตานทานหรอภาระ (เชน มอเตอร หลอดไฟ วทย)ใหกบแบตเตอรดวย• สนามแมเหลกจะเกดขนรอบสายไฟเมอมกระแสไฟฟาไหล . สนามแมเหลกทเกด ขน. นจะ.

นาเราไปส การสรางแมเหลกไฟฟา4

แมเหลก เปนสารประกอบของเหลกและออกซเจน เปนวตถทสามารถดดสารแมเหลกบางชนดได

คณสมบตของเสนแรงแมเหลก 1. มทศออกจากขวเหนอเขาสขวใต. . 2. ถามเสนแรงแมเหลกปรมาณมาก

เสนแรงแมเหลกจะรวมกนหรอตาน กนออกไป ทาใหเกดจดสะเทนซ งเปนจดทมคาความเขมสนามแมเหลก เปนศนย

สนามแมเหลก คอบรเวณหรอขอบเขตทแมเหลกสงเสนแรงแม เหลกทมอานาจการดงดดออกไปไดถง

ฟลกซแมเหลก คอ ปรมาณเสนแรงแ ม เ ห ลก ห ร อ จา น ว น ข อ ง เ ส น แ ร งแมเหลก ความเขมสนามแมเหลก B หมายถง จานวนเสนแรงแมเหลกตอ หนวยพนท .ทเสนแรงแมเหลกตกตงฉาก .

B = ความเขมของสนามแมเหลก (T หรอ Wb/m2 )

= ฟลกซแมเหลก (Wb)

A = พนททตงฉาก. . (m2) B B A

φ=

Bφ

Bφ

2

5

ตอสายไฟไวกบแบตเตอร โดยผาน สวทซหน งอนดงรปวางเขมทศไวบนสายไฟขณะทยงไมมการปดสวทซ เขมทศจะช.ไปยงทศเหนอตลอดและนงอยอยาง นน. แตเมอเราปดและเปดสวทซเปนจงหวะเขม ทศจะสวงไปมา เพราะกระแสไฟฟาทาใหเกดสนามแมเหลก และผลกเขมทศออกไปถาเรากลบขวของแบตเตอรและทดลอง.ซา. เขมทศจะถกผลกไปอกดานหนง

สนามแมเหลกทเกดขนรอบเสนลวด . สนามแมเหลกเกดรอบวงของเสนลวด

แมเหลกไฟฟาแบบงายๆ

แมเหลกไฟฟาเกดขนไดกตอเมอมกระแสไฟฟาไหลผาน .ดงนนถาเกดไมมกระแสไฟฟาอานาจของสนามแมเหลกจะหมดไป.

เพราะวาสนามแมเหลกรอบเสน ลวดเปนวงกลมและมทศตงฉาก.กบเสนลวด เราจงสามารถเพมความเขมของสนามแมเหลกไดโดยขดเสนลวดใหเปนวง

ถา เราเพมขดลวดขนอกวง . สนาม แมเหลกจะเพมความเขมขน . ยงมวงขดมากสนามแมเหลกยงมากตาม

สนามแมเหลกท เกดขน .เปนรปวงกลมลอมรอบเสนลวด สนามแมเหลกจะออนลงเมออยหางจาก เ ส น ล ว ด ท ศ ท า ง ข อ งสนามแมเหลกมทศทางตง .ฉากกบเสนลวดเสมอ

6

เราสามารถใหนยามสนามแมเหลก ทจดหนงๆไดในเทอมของแรงแมเหลก ซ งสนามกระทาตออนภาคประจ q ซ งเคลอนทดวยความเรว โดยในเวลาเรมตนสมมตวา ไมมสนามไฟฟาและสนามแรงโนมถวง

-• ขนาดของแรงแมเหลก ทกระทาตออนภาคเปนสดสวนตรงกบประจ q และความเรว v ของอนภาค

• ขนาดและทศทางของ ขนอยกบความเรวของอนภาคและขนาดและทศทางของสนามแมเหลก.

• เมออนภาคมประจเคลอนทขนานกบเวกเตอรสนามแมเหลกแรงแมเห ลกทกระทาตออนภาคเปนศนย

• เมอเวกเตอรความเรวของอนภาคทามม กบสนามแมเหลก แรงแมเหลกจะกระทาในทศทางท

ตงฉากกบ. และ นนคอ จะตงฉากกบระนาบทเกดจาก. และ

• แรงแมเหลกทกระทาตอประจบวกมทศตรงขามกบแรงแมเหลกทกระทา ตอประจลบ ซ งเคลอนทใน

ทศเดยวกน

• ขนาดของแรงแมเหลกทกระทาตออนภาคทเคลอนทเปนสดสวนตรงก บ

เมอ เปนมมทเวกเตอรความเรว v ของอนภาคกระทาตอทศของ B

-

การทดลองกบประจทดสอบทเคลอนทในสนามแมเหลกใหผลดงน .

B Fv

Bv

sinθ

θ

0θ≠

BFv

BFv

Bv

Bv

vv

vv

vv B

v

BFv

7

ดงนน. สามารถเขยนแรงแมเหลกไดดงน . BvqF B

vvv×=

เมอทศของ FB อยในทศของ ถา q เปนบวกและและจะมทศตรงขาม ถา q เปนลบ

ทศของ FB จะตงฉากกบ. v และ BBvvv×

ใชกฎมอขวาหาทศของ โดยการชนวทงสของมอขวาไปในทศของ. . . v แลววนไปตามทศของ Bทศของนวหวแมมอคอทศของ.

Bvvv×

Bvvv×

จากสตร F จะมคาเปนศนยเมอ v ขนานกบ B (θ = 0o หรอ 180o ) และมคาสงสดเปน qvB เมอ v ตงฉากกบ. B ( θ = 90o )

รป (a) กฏมอขวาสาหรบกาหนดทศของแรงแมเหลก ทกระทาตออนภาคทมประจ q เคลอนทดวยความเรว ในสนามแมเหลก ทศของ มทศตามนวหวแมมอ. (b) ถา q เปนบวก ชขน. . (c) ถา q เปนลบ ชลง.

Bvvv

×

vv

Bv

BF v

BF v

รปทศของแรงแมเหลก ซ งกระทาตออนภาคมประจทเคลอนทดวยความเรว v ในสนามแมเหลก B (a) แรงแมเหลกตงฉากกบ . และ (b) แรงทางแมเหลก ซ งมทศตรงขามกนกระทาตออนภาคม ประ จซ ง มประจตรงขามกน โดยอนภาคทงสอง.เคลอนทดวยความเรวเดยวกนในสนามแมเหลก

BF v

BF v

Bv

vv

BvqF B

vvv×=

BF v

qBv

vv

θ

+-

Bv

BF v

BF v

vv v

v

(a) (b)

8

ขอแตกตางทสาคญระหวางแรงไฟฟาและแรงแมเหลกมดงน .

แรงไฟฟา แรงแมเหลก

1. แรงไฟฟาอยในทศของสนามไฟฟาเสมอ

2. แรงไฟฟาทกระทาตออนภาคไฟฟาไมขนกบความเรวของ .อนภาค

3. แรงไฟฟาทาใหเกดงานในการยายประจไฟฟา

)EqF( E

vv=

1. แรงแมเหลกตงฉากกบ .สนามแมเหลกเสมอ

2. แรงแมเหลกทกระทาตอ อนภาคไฟฟาจะเกดขนได .เมออนภาคเคลอนท

3. แรงแมเหลกไมกอใหเกด งานเมออนภาคไฟฟายายท

)B x vqF( B

vvv=

3

9

qB

mvr =

• ถาอนภาคไฟฟามวล m ทมประจ q เคลอนทในสนามแมเหลกทสมาเสมอ B และความเรวตน v มทศตงฉากกบสนามแมเหลก. แลวอนภาคจะเคลอนทเปนวงกลมโดยระนาบการเคลอนทจะ

ตงฉากกบทศของสนามแมเหลก. โดยวงโคจรมรศม r ตามสมการ

ความถเชงมมของการหมนของอนภาคนจะได.

v qB

r mω = =

2mv qvB

r=

10

ตวอยาง An electron moving in a magnetic fieldอเลกตรอนในหลอดภาพโทรทศนเคลอนทไปยงดานหนาของหลอด ดวยความเรว 8x106 m/s ตามแนวแกน x ดงรป รอบๆ คอหลอดภาพเปนขดลวดซ งทาใหเกดสนามแมเหลกขนาด 0.025 T มทศทามม 60o กบแกน x และวางตวอยในระนาบ xy จงคานวณหาแรงแมเหลกทกระทาตออเลกตรอนและความเรงของอเลกตรอ น

วธทาขนาดของแรงแมเหลก

θ= sinvBqFB

N108.2

)60)(sin025.0)(108)(106.1(14

o619

−

−

×=

××=

เพราะวา v x B มทศตามแนวแกน z (จากกฎมอขวา) และประจมคาเปนลบ ดงนน. FB อยในทศแกน –z

ความเรงของอเลกตรอนคอ มทศตามแนวแกน -z21631

14B s/m101.3

1011.9

108.2

m

Fa ×=

×

×==

−

−

11

แรงแมเหลกกระทาตอตวนาทมกระแสไหล ลวดตวนาทมกระแสไฟฟาไหลอยในบรเวณทมสนามแมเหลกจะไดรบแ รงแมเหลกดวย เพราะวากระแสไฟฟาคอกลมอนภาคทมประจทเคลอนท ดงนนแรงลพธทกระทาโดยสนามแมเหลกตอลวดตวนา. คอผลรวมแบบเวกเตอรของแรงแตละแรงทกระทาตออนภาคทมประจ ทาใหเกดกระแสไฟฟา แรงทกระทาตออนภาคจะสงถายใหกบเสนลวดเมออนภาคชนกบอะตอมของเสน ลวด เราสามารถทาการทดลองใหเหนวาแรงทางแมเหลกกระทาตอลวดตวนาทม กระแสไหลไดโดยการแขวนลวดระหวางขวของแมเหลกดงรป . สนามแมเหลกพงเขาหาหนากระดาษในบรเวณพนทวงกลม . เมอกระแสในเสนลวดเปนศนยเสนลวดจะวางตวอยในแนวดง ดงรป (a) เมอมกระแสไหลขนในแนวดง. ดงรป ( b) เสนลวดจะถกผลกไปทางดานซายถาทาการกลบทศกระแสดงรป (c) ลวดจะถกผลกไปทางดานขวา

รปเสนลวดแขวนในแนวดงขนานกบหนาของแทงแมเหลก B ทมทศพงเขาหาแผนกระดาษ (a) ไมมกระแส ( I = 0 ) (b) กระแส I ไหลขน. เสนลวดจะถกผลกไปทางดานซายมอ(c ) กระแส I ไหลลง เสนลวดจะถกผลกไปทางดานขวามอ 12

รปสวนของลวดตวนาทมกระแสไหลวางตวอยในสนามแมเหลก B

เราสามารถอธบายไดโดยพจารณาสวนของลวดความยาว L มพนทหนาตด. A มกระแส I วางตวอยในสนามแมเหลกสมาเสมอ B ดงรป แรงแมเหลกทกระทาตอประจ q ทเคลอนทดวยความเรว v คอ qv x B ในการหาแรงรวมทกระทาตอเสนลวดทาไดโดยคณแรงทกระทาตอประจ qv x B กบจานวนประจในสวนของเสนลวดนนๆ . เนองจากปรมาตรของสวนของเสนลวดเปน AL จานวนของประจในแตละสวนเลกๆ นคอ. nAL เมอ n คอจานวนประจตอหน งหนวยปรมาตร ดงนนแรงแมเหลกรวมท. กระทาตอเสนลวดยาว L คอ nAL )Bv(qF B

vvv×=

เมอ L คอเวกเตอรทชในทศการไหลของกระแส. I มขนาดเทากบความยาว L ของเสนลวดแตสตรนใชไดกบสวนของเสนลวดตรงทวางตวอยในสนามแ . มเหลกสมาเสมอเทานน .

เมอกระแสในเสนลวดคอ I = nqvA ดงนน. B x LI F B

vvv=

4

13

รปสวนของเสนลวดรปทรงใดๆ มกระแส I อยในสนามแมเหลก แรงแมเหลกทกระทาบนสวน ใดๆ คอ

ทศพงออกจากกระดาษ BsIdvv

×

Bv

sdv

ตอไปจะพจารณาสวนของเสนลวดทมลกษณะใดๆ ทมภาคตดขวางสมาเสมอวางตวอยในสนามแมเหลก ดงรป สนามแมเหลก ทกระทาตอสวนของเสนลวด ในกระบวนการเปนไปดงสมการ

โดยสมมตให มทศทางพงออกจากกระดาษดงรป

BsIdFd B

vvv×=

Bv

sdv

BFdv

Bv

sdv

I

14

แรงจะมคาสงสดเมอ ตงฉากกบกระแส. และแรงจะมคาเปนศนยเมอ ขนานกบกระแส

แรงทงหมดทกระทาตอเสนลวด. หาไดจากการอนทเกรทสมการน.ตลอดความยาวลวด

เมอ a และ b แสดงตาแหนงปลายของเสนลวด ผลทไดจากการอนทเกท คอขนาดของสนามแมเหลกและทศทางของสนามทกระทาตอ

Bsd IF b

aB

vvv×

= ∫

Bv

Bv

sdv

15

พจารณา 2 กรณพเศษซ3งมสนามแมเหลกท3คงท3ท5งขนาดและทศ

∫b

a

sdv เนองจากปรมาณ แสดงถงผลรวมแบบเวกเตอรของทกๆ ความยาว

ในชวง a ถง b ถาใหผลรวมทไดเปนเวกเตอร มทศชจาก. a ไปยง b

สมการนจะกลายเปน.

Lv′

B L I F Bvvv

×′=

รป เสนลวดโคงมกระแส I ในสนามแมเหลกสมาเสมอ แรงแมเหลกสทธทกระทาตอเสนลวดโคงเทยบเทากบแรงทกระทากบเสนลวดตรง L/ ทเชอมระหวางปลายของเสนลวดโคง

กรณท3 1 เสนลวดโคงมกระแส I ไหลผานวางอย ในสนามแมเหลกสมาเสมอ แรงสทธทกระทาตอเสนลวดโคงเทยบเทากบแรง ทกระทากบเสนลวดตรง ทเชอมระหวางปลายของเสนลวดโคง ดงรป เนองจากสนามไฟฟามคาคงทสามารถดง

ออกจากเคร องหมายอนทเกรตออกจากสมการได Bsd IF

b

aB

vvv×

= ∫

Lv′

Bv

Bv

Bv

L′v

aI

bsdv

16

กรณท3 2

( ) 0 Bsd IF B =×= ∫vvvดงนน. สรปไดวา

เสนลวดโคงเชอมตอกนเปนลปปด มกระแสไฟฟา I ไหลผานและว า ง ตว อ ย ใ น ส น า ม แ ม เ ห ล ก สมาเสมอ ดงรป จะไดวา

แรงแ ม เหลก สทธ จะ เ ปน ศน ย เน องจากผลรวมแบบเวกเตอรตลอดเสนทางปดจะมคาเปนศนย

Bv

I

sdv

5

17

ตวอยาง Force on a semicircular conductorเสนลวดโคงเปนคร งวงกลมปด รศม R มกระแสไฟฟา I ไหลผานและวางตวอยสนามแมเหลกสมาเสมอในระนาบ xy โดยสนามแมเหลกมทศในแกนบวก y ดงรป จงหาขนาดและทศทางของแรงแมเหลกทกระทาตอ เสนลวดในสวนทเปนเสนตรง และในสวนทเปนเสนโคง

วธทา

แรง กระทาตอเสนลวดทเปนเสนตรงมขนาด F1= ILB = 2IRB เพราะวา L = 2R เนองจากเสนลวดตงฉากกบ. สนาม ทศทางของ จะพงออกจากกระดาษ เพราะวา มทศตามแกนบวก z ซ งพงออกจากกระดาษดงรป

BLvv

×

1Fv

Bv

1Fv

Bv

R

Iv

θd

θ

sdv

θ

รปแรงสทธทกระทาตอเสนลวดรปคร งวงกลมปดซงมกระแส I มคาเปนศนย 18

ในการหาแรงรวม F2 ทกระทาตอสวนโคงทาไดโดยการ อนทเกรตสมการดานบนเพอทาการรวมสวนของความยาวเลกๆ ds โดยททศทางของแรงทกระทาตอสวนตางของของลวดมทศ พงเขาไปในกระดาษ ดงนนแรงลพธ. F2 บนเสนลวดมทศพงเขาไปในกระดาษเชนกน ทาการอนทเกรต dF2 ในชวง ถง จะไดวา

[ ] ππ

θ−=θθ= ∫ 0

0

2 cos IRBd sinIRBF

2IRB1)1( IRB0) cos π(cos IRB =−−−=−−=

เนองจาก F2 ซ งมขนาดเปน 2IRB มทศพงออกและ F1 ซ งมขนาดเปน 2IRB มทศพงเขา ดงนนแรงสทธทกระทาตอลปปด. (close loop) เปนศนย

ในการหาแรง F2 ทกระทาตอสวนโคง ทาไดโดยแสดง dF2 ในรปของสวนของความยาว ds ดงรป ถา θ คอมมระหวาง B และ ds ขนาดของ dF2 คอ

dssinIBsd IdF2 θ=×= Bvv

เนองจาก s = Rθ จะไดวา ds = Rdθ ทาการอนทเกรตจะไดวาθθ= d sinIRBdF2

0θ = θ = π

19

ทอรคในวงปดซงวางตวอยในสนามแมเหลกสมาเสมอ

พจารณาวงปดรปส เหลยมมกระแส I วางตวในสนามแมเหลกสม า เสมอซงม ท ศขนานไปก ระนาบของวงปด ดงรป (a) พบวาไมมแรง แมเหลกกระทาตอเสนลวดดาน 1 และ 3 เพระวาเสนลวดจะขนานไปกบสนามดงนน . 0BL =×

vv

อยางไรกตามมแรงแมเหลกกระทาตอดานท 2 และ 4 เพราะวาดานนวางตวตงฉากกบสนามแมเหลก . . แรงแมเหลกมขนาดเปน IaBFF 42 ==

รป (a) overhead view ของลปกระแสส เหลยมในสนามแมเหลกสมาเสมอ ไมมแรงกระทาตอดานท 1 และ 3 เพราะวาดานเหลานขนานกบ . B แรงกระทาตอดาน 2 และ 4 (b) Edge view ของลปแสดงทศ F1 และ F1 ชลง. แรงเหลานทา .ใหเกด ทอรคซงทาใหลปหมนตามเขมนาฬกา

1

2

3

4

Bv

Iv

a

b

(a)

2 4• x•(b)

Bv 0

b/22Fv

4Fv

20

ทศทางของ F2 ซ ง เปนแรงทกระทาตอเสนลวด 2 พงออกจากหนากระดาษ แรง F4 ทกระทาตอเสนลวด 4 มทศพงเขาไปในกระดาษดงรป (a) ดงนนสามารถเขยนรปแบบของแรง. F2 และ F4 ไดดงรป (b) ถาวงปดมจดหมนท O วงปดสามารถหมนรอบ O แบบตามเขมนาฬกา (มองจากดานท 3 ) โดยมขนาดของทอรคสงสดเปน maxτ

max 2 4

b b b b F F (IaB) (IaB) IabB

2 2 2 2τ = + = + =

เมอแขนโมเมนตมรอบจด O เปน b/2 สาหรบแรงแตละแรงและเนองจากพนททปดลอมวงปดเปน. A = abดงนน. ทอรคสงสด คอ

IAB max =τ

6

21

รป ลปกระแสสเหลยมในสนามแมเหลกสมาเสมอ (a) เวกเตอรพนผว. A ตง.ฉากกบระนาบของลปทามม กบสนาม แรงแมเหลกทกระทาตอดาน 2 และ 4 หกลางกน แรงทกระทาตอดาน 1 และ 3 ทาใหเกด ทอรคตอ ลป(b) Edge view ของลป

(a) (b)

1

23

4

2Fv

4Fv

Bv

Av1F

v

3Fv

0a

b

1Fv

•θ

3Fv

1

3xBv

θ

Av

µv

2

a

θsin2

a 0θ

θ

22

คา ทอรคสทธq ทสงทสดจะเกดขนเมอสนามแมเหลกขนานกบระนาบของวงปดตอไป .สมมตวาสนามแมเหลกสมาเสมอทามม θ < 90° กบเสนทตงฉากกบระนาบของวงปด . (A) ดงรป (a) เพอความสะดวกสมมตให B ตงฉากกบดาน. 1 และ 3 จะเหนวาแรง F2 และ F4 ทกระทาตอดานท 2 และ 4 หกลางกนเนองจากผานจดกาเนดไมทาใหเกด ทอรค แรง F1 และ F3 ทาใหเกด ทอรค

จากรป (b) พบวาแขนโมเมนตรอบจด O ของแรง F1 และ F3 คอ (a/2) sinθ เนองจากวา ดงนน. ทอรคสทธq รอบจด O มขนาด IbBFF 31 ==

θ+θ=τ sin2a

Fsin2a

F 31

θ=

θ=

θ+

θ=

sinIAB

sinIabBsin2a

IbBsin2a

IbB

เมอ A = ab คอพนทวงปด. ผลทไดแสดงใหเหนวาทอรคสงสดมคาเปน IAB เมอสนามตงฉากกบ. เสนปรกต(เสนทตงฉากกบระนาบของวงปด. ) (θ = 900) และจะมคาเปนศนยเมอสนามเสนปกตทตงฉากกบระนาบ. (θ = 00)

23

สตรทใชแสดงทอรคทกระทาตอวงปดทวางตวอยในสนามแมเหลกสมาเสมอ B คอ

BAI vwv

×=τ

เมอ A คอเวกเตอรทตงฉากกบระนาบของวงปดมขนาดเทากบพนทของวงป. . ด โดยสามารถหาทศของ A ไดโดยใชกฎมอขวาโดยทาการวนนวทงสไปตาม. .ทศของกระแสในวงปด นวหวแมมอจะชในทศของ. . A

ผลคณ IA นยามวาเปน ไดโพลโมเมนตแมเหลก (magnetic dipole moment ) หรอเรยกสนๆ. วา magnetic moment ของวงปด IA =µ

หนวย SI ของไดโพลแมเหลกคอ ampere-meter2 (A.m2) ดงนน. ทอรคทกระทากบวงปดซงมกระแสไหลผานซงวางตวอยในสนามแมเหลก B คอ

Brvv

×µ=τ

µ

24

ถาขดลวดประกอบดวยลวด N เสน แตละเสนมกระแสและพนทเทากน . ไดโพลโมเมนตแมเหลกรวม (the total magnetic dipole moment) คอ

BB ×µ=×µ=τ coilloop NN

จากความรทผานมาพบวาพลงงานศกยของได โพลไฟฟาในสนามไฟฟามคาเปน U = -P.E ดงนน. พลงงานศกยของไดโพลแมเหลกทวางตวในสนามแมเหลกมลกษณะทคลายกนคอ

U Bvv⋅µ−=

จากสตรพบวาได โพลแมเหลกมพลงงานตาสดเปน เมอ ชไปในทศทางเดยวกบ. B และจะมคาสงสดเปน เมอ ชไปในทศทางตรงขามกบ. B

µµ

minU B=− µ

maxU B=+ µ

7

25

ตวอยาง The magnetic dipole moment of a coil

(a) จงคานวณหาขนาดของโมเมนตไดโพลแมเหลก(b) จงหาขนาดของทอรคทกระทาตอขดลวด

ขดลวดส เหลยมขนาด 5.4 cm ×8.5 cm มจานวนขดลวด 25 ขด และมกระแสไฟฟาขนาด 15 mA ไหลผาน ใหสนามแมเหลกขนาด 0.35 T ในทศทางทขนานกบระนาบของขดลวด

วธทา

( )3 3 2coil NIA 25 15 10 (0.054) (0.085) 1.72x10 A m − −µ = = × = ⋅

เพราะวา ตงฉากกบ. จะไดวา

(a) ขนาดของโมเมนตไดโพลแมเหลก

(b) ขนาดของทอรคทกระทาตอขดลวด

mN10 x 02.6)35.0)(1072.1(B 43coil ⋅=×=µ=τ −−

แบบฝกหด จงคานวณขนาดของทอรคทกระทาตอขดลวดซงทามม (a) 60o (b) 00 กบ ตอบ (a) (b) 0m.N1021.5 4−×

coilµ

µ

Bv

26

ตวอยาง Satellite attitude controlดาวเทยมสวนใหญจะใชขดลวดทเรยกวา torquersในการปรบวงโคจรโดยอปกรณนจะเกดอนตรกรยากบสนามแมเหลกโลกทาใหเกด. ทอรคตอ ดาวเทยมในทศแกน x y และ z ในการใชประโยชนของระบบ attitude control โดยใชไฟฟาทผลตจากเซลแสงอาทตย ถาเคร องมอมไดโพลโมเมนตแมเหลกเปน 250 A.m2 จงหาคา ทอรคทมากทสดทใหกบดาวเทยม เมอ torquers ทางานขณะทสนามแมเหลกโลกมขนาด 3.0x10-5 T

วธทาทอรคสงสดเมอโมเมนตไดโพลแมเหลกของ torquer ตงฉากกบสนามแมเหลกโลก.

mN10x5.7)100.3)(250(B 35max ⋅=×=µ=τ −−

27

• เมอกระแสไฟฟาไหลผานตวนาทมลกษณะเปนแผนแบนราบทวางอยใน สนามแมเหลก B จะเกด ปรากฏการณฮอล (Hall Effect) และวดความตางศกยตามขวางในแถบตวนาซ งเรยกวา ศกยไฟฟาของฮอล (Hall Voltage) ไดเปน

VH = vdBd

ให n เปนจานวนพาหะไฟฟาตอหนงหนวยปรมาตร และ A เปนพนทหนาตดของแถบตวนาแลวจะได.

nqA

IBdV H =

เมอใหพนท. A = td เมอ t เปนความหนา และ d เปนความกวางของแถบตวนาแบน แลวจะได

nqt

IBV H =

และสมประสทธของq ฮอล (Hall Coefficient) จะได B

tV

nq

IR H

H ==

(เพมเตม )

28

สรป

B F qv x B =v vv

ขนาดของแรงนคอ. FB = qvB sinθ

• แรงแมเหลกทกระทาบนประจ q ทเคลอนทดวยความเรว ในสนามแมเหลก คอ vv Bv

เมอ เปนมมระหวาง และ vv

vB

Bv

มหนวยเปน Wb/m2 เรยกวาเทสลา (tesla; T) T = Wb/m2 = N/A.m

• ในกรณทอนภาคประจไฟฟา q เคลอนทดวยความเรว เขาไปในบรเวณท มทงสนามไฟฟา. และสนามแมเหลก แรงลพธ ทกระทาบนประจ q หา ไดตามสมการลอเรนซ คอ

vv

Bv

F v

E v

E B F F + F =v v v

6. สนามแมเหลก

F qE qv x B = +v v vv

θ

8

29

B F I L x B=v v v

• ตวนายาว L ทมกระแสไฟฟาไหล I และวางอยในสนามแมเหลกท สมาเสมอ ตวนานจะถกสนามแมเหลกกระทาดวยแรง. B

v

B dF I ds x B =v vv

• สาหรบตวนาเสนลวดใดๆ ทมกระแส I ไหลผานและวางอยในสนาม

แมเหลกทสมาเสมอ แรงแมเหลกทกระทาตอความยาวนอยๆ

ของลวดตวนา คอ

Bv

เมอ คอเวกเตอรทชในทศการไหลของกระแสไฟฟา. I มขนาดเทากบความยาว L ของตวนา

Lv

sdv

และแรงลพธ ทสนามแมเหลก กระทาบนลวดตวนาทงหมด. คอ Bv

BFv

b

B

a

F I ds x B = ∫v vv Note ถาเปนเสนลวดโคงเชองตอกน

เปนลปปด แรงแมเหลกจะเปนศนย

B F I ( ds) x B = 0 = ∫v v

30

• โมเมนตแมเหลก ของวงกระแส คอ มหนวยเปน A.m2

เมอ คอพนทของวงกระแสและมทศตงฉากกบระนาบของวงกระแส. .

µv

AI µ vv

=

Av

• ทอรก ทกระทาบนวงกระแส เมอวงกระแสวางอยในสนามแมเหลกท

สมาเสมอ เปน

τv

B x vvv

µ=τBv

qB

mvr =

• ถาอนภาคไฟฟามวล m ทมประจ q เคลอนทในสนามแมเหลกทสมาเสมอ B และความเรวตน v มทศตงฉากกบสนามแมเหลกแลว. อนภาคจะเคลอนทเปนวงกลม โดยระนาบการเคลอนทจะตงฉากกบทศ. ของสนามแมเหลก โดยวงโคจรมรศม r เปน

ความถเชงมมของการหมนของอนภาคนจะได. r

v

m

qB ==ω

31

• เมอกระแสไฟฟาไหลผานตวนาทมลกษณะเปนแผนแบนราบทวางอยใน สนามแมเหลก B จะเกด ปรากฏการณฮอล (Hall Effect) และวดความตางศกยตามขวางในแถบตวนาซ งเรยกวา ศกยไฟฟาของฮอล (Hall Voltage) ไดเปน

VH = vdBd

ให n เปนจานวนพาหะไฟฟาตอหนงหนวยปรมาตร และ A เปนพนทหนาตดของแถบตวนาแลวจะได.

nqA

IBdV H =

เมอใหพนท. A = td เมอ t เปนความหนา และ d เปนความกวางของแถบตวนาแบน แลวจะได

nqt

IBV H =

และสมประสทธของq ฮอล (Hall Coefficient) จะได B

tV

nq

IR H

H ==

32


1. โปรตอนตวหนงเคลอนทดวยความเรวขนาด 4x106 m/s ผานสนามแมเหลก ซ งมความเขม 1.7 T เกดแรงแมเหลกกระทาตอโปรตอนขนาด 8.2x10-13 Nจงหามมระหวางความเรวของโปรตอนและสนามแมเหลก

2. ลกบอลโลหะมประจสทธ 5 µC ถกปาออกไปทางหนาตางในแนวระดบดวยอตราเรว 20 m/s เมอหนาตางมความสงเหนอพนดน . 20 m สนามแมเหลกมความเขมสมาเสมอ 0.01 T ในทศตงฉากกบระนาบของทางเดนลกบอลโลหะ. จงหาขนาดของแรงแมเหลกทกระทาตอลกบอลโลหะกอนกระทบพนดน .

3. เปดตวหนงบนไปทางทศเหนอดวยความเรว 15 m/s ผานเมองแอตแลนตา ซ งมความเขมสนามแมเหลกโลก 5x10-5 T ในทศทามม 60o ใตเสนระดบเหนอใต ถาตวเปดมประจไฟฟาสทธ 0.04 µC แรงแมเหลกโลกทกระทาตอ ตวเปดเปนเทาไร

9

33


ภาควชาฟสกส. เอกสารประกอบการสอนฟสกสเบองตน. , คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยนเรศวรภาควชาฟสกส. ฟสกส2, คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลยD.C. Giancoli. Physics Principles with Applications, 3rded., Prentic-Hall,



1

1


กฎของบโอ-ซาวาท Biot-Savart law

Jean-Baptiste Biot และ Felix Savart ไดทาการทดลองเกยวกบแรงเน'องจาก' กระแสไฟฟาท'กระทาตอแมเหลกท'อยใกลจากการทดลอง Biot และ Savart ไดสตรคณตศาสตรท'ใหคาของสนามแมเหลกท'จดตาง ๆ ในรปแบบของกระแสซ'งทาใหเกดสนาม

รป(a) สนามแมเหลก ท'จด P เน'องจากกระแส I ท'ไหลผานสวนเลกๆ ทศของสนามพงออกจากกระดาษท'จด P และพงเขาไปในกระดาษท' P/ (b) ผลคณแบบเวกเตอร

มทศพงออกจากกระดาษเม'อ ชIไปยง P (c) ผลคณแบบเวกเตอร มทศพงออกจากกระดาษเม'อ ชไปยงI P/

rsd ×v

rsd ×v

Bdv

sdv

r

r

2

- - เวกเตอร ตงฉากกบI ( ซ' งชไปในทศทางของกระแสI )และเวกเตอรหนวย ซ' งมทศจาก ไปยง P

- - ขนาดของ เปนสดสวนผกผนกบระยะทางกาลงสอง r2

เม'อ r คอระยะทางจาก ถง P- - ขนาดของ เปนสดสวนตรงกบกระแสและขนาดของ - - ขนาดของ เปนสดสวนตรงกบ

เม'อ เปนมมระหวางเวกเตอร และ

สตรมพนฐานจากการสงเกตสนามแมเหลกจากการทดลองI ท'จด P ซ' งในขณะนนเสนลวดI มกระแสไหลสม'าเสมอ I

ดงรปโดยท'Bdv

sdv

Bdv

Bdv

Bdv

Bdv

sdv

sdv

sdv

sdv

sdv

r

r θ

sinθ

3

รปแบบท'สงเกตไดเหลาน I คา สนามท'เกดจากกระแสในสวนเลกๆ ของตวนา จะเปนไปตาม กฎของ Biot-Savart คอ

2

0

r

rsId

4Bd

×πµ

=v

v

เม'อ µ0 เปนคา ซาบซมไดของสญญากาศ (permeability) m.A/Wb104A/m.T104 77 −− ×π=×π=

ในการหาคาสนามรวม ท'เกดจากกระแสท'จดใดๆ จะตองทาการรวมองคประกอบกระแส Ids ทกๆ สวน ดงนนI สมการกลายเปน

∫×

πµ

=2

0

r

rsd

4

Iv

vB

โดยการอนทเกรตจะกระทาตลอดความยาวของเสนลวด

Bv

sdv

4

ตวอยาง Magnetic field surrounding a thin , straight conductorพจารณาเสนลวดตรงบางมกระแสไหล I วางตวในแ น ว แ ก น x ดง ร ป จ ง ห า ข น า ด แ ล ะ ท ศ ท า งสนามแมเหลกท'จด P เน'องจากกระแสเหลาน I

รป (a) เสนตรงบางมประจ I สนามไฟฟาท'จด P เน'องจากประจในสวนเลกๆ ds พงออกจากกระดาษ ดงนนฟลกซI สทธท' P พงออกจากกระดาษดวย (b) มม θ1 และ θ2 ท'ใชกาหนดสนามสทธเม'อเสนลวดยาวอนนต θ1 =0 และ θ2 = π

วธทากระแสจากแตละองคประกอบยอยๆ พงออกจากกระดาษ เน'องจาก มทศพงออกจากกระดาษrsd ×

v

ใหจดกาเนดอยท' O และจด P วางตวอยบนแกนบวก y ซ' งมเวกเตอรหนวยเปน มทศพงออกจากกระดาษ

k)sindx(krsdrsd θ=×=×vv

kr

sindx

4

Ik)dB(Bd

20 θπ

µ==

v

k

dxsd =v P

a

y

r

I

xods

r

x

θ

(a)

P

(b)

1θ 2θ

2

5

เน'องจากกระแสทงหมดทาใหเกดสนามแมเหลกในทศI ถาเราสนใจสวนของสนามท'เกดจากสวนของกระแสเลกๆ เพยงหน'งสวน

20

rsindx

4I

dBθ

πµ

=

ทาการอนทเกรทสตรท'ไดจะไดความสมพนธระหวาง θ , x และ r แลวแสดงตวแปร x และ r ในรปของ θ จากรป (a) จะไดวา

csc a sin

a r θ=

θ=

เน'องจาก tanθ = a/(-x) จากรปสามเหล'ยมทางดานขวาของรป(a) จะไดวา cot a x θ−=

ทาการหาอนพนธสมการท'ได

θθ= dcscadx 2

k

6

ดงนนI จะไดวา dsina4

I

csca

dcsca

4

IdB 0

22

20 θθ

πµ

=θθθ

πµ

=

สตรท'ไดขนอยกบตวแปรI θ เพยงอยางเดยว ดงนนเราสามารถหาIสนามแมเหลกท'จด P โดยทาการอนทเกรต ตงแตมมI θ1 ถง θ2 ดงรป (b)

)cos(cosa4

Idsin

a4

IB 21

002

1

θ−θπµ

=θθπµ

= ∫θ

θ

เราสามารถใชผลท'ไดในการหาสนามแมเหลกท'สวนตาง ๆ บนเสนลวดท'มกระแสไฟฟาผาน ถาทราบลกษณะและมม θ1 และ θ2 ในกรณพเศษถาเสนลวดมความยาวเปนอนนตจะพบวา θ1 = 0 และ θ2 = π และ เพราะวา 2)cos0(cos)cos(cos 21 =π−=− θθ

ดงนนสมการกลายเปนI a2

IB 0

πµ

=

จากสมการทงสองแสดงวาสนามแมเหลกเปนสดสวนตรงกบกระแสI และจะมคาลดลงเม'อเพมระยะทางระหวางเสนลวดขน' I

7

แบบฝกหด จงคานวณขนาดของสนามแมเหลกท'ระยะหาง 4 cm จากเสนลวดท'มความยาวเปนอนนตซ'งมกระแสไหลผาน 5.0 Aตอบ 2.5 x10-5 T

รป กฎมอขวาใ ชใ นกา รก า ห น ด ท ศ ข อ งสนามแมเหลกท' เกดรอบ เสนลวดตรงท' มกระแส I ไหลผาน

รปแส ด ง ภาพ ส าม ม ตข อง ส นามแม เ ห ลก ท'ลอม ร อบเ ส นลว ด ท' ม กร ะแสไ ห ลผ านโ ด ยสนามแมเหลกจะวางตวเปนวงกลมลอมรอบเสนลวดและวางตวอยในระนาบท'ตงฉากกบเสนลวด I สนามแมเหลก B มคาคงท'ในวงกลมรศม a ซ' งกาหนดโดยสมการ

โดยสามารถหาทศของสนามแมเหลกไดโดยใชกฎมอขวาโดยใชนวทงส' วนรอบเสนลวดทศI IนวหวแมมอคอทศของกระแสI นวทงส'แสดงทศI Iของสนามแมเหลก

a2

IB 0

πµ

=

8

ตวอยาง สนามแมเหลกเน'องจากสวนของเสนลวดโคง คานวณสนามแมเหลกท'จด O เน'องจากสวนของเสนลวดท'มกระแสไหลผานดงรป เสนลวดประกอบดวยสวนท'เปนเสนตรงสองเสนและสวนของวงกลมรศม R ซ' งรองรบมม θ หวลกศรบนเสนลวดแสดงทศของกระแส

รป สนามแมเหลกท' O เน'องจากกระแสในสวนโคง AC พงเขาไปในกระดาษสนามท'จด O เน'องจากกระแสในเสนลวดตรงทงสองเปนIศนย

วธทาสนามแมเหลกท' O เน'องจากกระแสบนเสนตรง AA/ และ CC/ เปนศนยเพราะวา ขนานกบเวกเตอรหนวย หมายความวา สวนของความยาว บนสวนของเสนโคง AC หางจาก O เปนระยะทาง R สวนของกระแสเลกๆ ทาใหเกดสนาม มทศพงเขาไปในกระดาษท'จด O และทกๆ จดบน AC ตงฉากกบI ดงนนI สามารถหาขนาดของสนามท' O เน'องจากกระแสในสวนของ ds ไดดงนI

r

r

dsrsd =×v

20

R

ds

r2

IdB

πµ

=

R4

Is

R4

Isd

R4

IB 0

20

20 θ

πµ

=πµ

=πµ

= ∫

O

A

C I

Rθθθθr

sdv

A′

C′

rsd ×v

sdv

sdv

Bdv

sdv

ถา S = Rθ (เม'อวด θ เปน rad) ทศของ จะพงเขาไปในกระดาษท'จด O เพราะวา พงเขาไปในกระดาษในทกๆ สวนของเสนลวดrsd ×

vBv

3

9

ตวอยาง สนามแมเหลกบนแกนกลางของหวงกลมท'มกระแสไหล พจารณาหวงลวดกลมรศม R วางตวอยในระนาบ yz มกระแสไหลอยางคงท' I ดงรป จงคานวณสนามแมเหลกบนแกนท'จด P หางจากจดศนยกลางเปนระยะ x

วธทาในกรณนทกๆI สวนของความยาว ds ตงฉากกบเวกเตอรI ดงนนสาหรบIทกๆ ds จะไดวา

โดยทกๆ ds จะอยหางจากจด P เปนระยะทาง r โดย r2 = x2+R2 ดงนนIขนาดของ ท'เกดจากกระแสใน ds คอ

r

ds 90sin (L) (ds) rˆsd o ==×v

20

20

R

ds

4

I

r

rsd

4

IdB

+πµ

=πµ

=2x

x

v

Bdv

10

ทศทางของ ตงฉากกบระนาบท'เกดจากI ds และ ดงรปเราสามารถแตกเวกเตอร ใหอยในแนวแกน xy ไดเปน และ

เม'อ คอผลรวมของทกๆ องคประกอบรอบทงหวงกลมซ' งI ใหผลรวมเปนศนย ดงนนสนามลพธท'จดI P มคาตามแนวแกน x หาไดโดยการอนทเกรท dBx = dBcosθ โดยท' B = BxI

r

∫+θ

∫πµ

=θ= 220

x Rxcosds

4I

cosdBB

โดยทาการอนทเกรทตลอดหวงกลมและเน'องจาก θ, x และ R เปนคาคงท'และ cos θ =R/( x2+R2)1/2 และใชความจรงท'วา จะไดวา∫ π= R2ds

)Rx(2

IR ds

)Rx(4

RI B

2/322

20

2/3220

x +µ

=+πµ

= ∫ …(I)

Bdv

Bdv

xBdv

yBdv

yBdv

11

ในการหาสนามแมเหลกท'ศนยกลางของหวงกลมเรากาหนดให x = 0 ในสมการ(I) จะไดวา

0) (at x ..... R2

IB 0 =

µ=

พบวาใหผลท'สอดคลองกบตวอยางท'แลว

ในกรณท' x มคามากกวา R สมการ (I) สามารถตด R ทงไดI กลายเปน

)Rx for( .... x2

IR B

3

20 >>µ

≈

เน'องจากโมเมนตแมเหลก µ ของหวงกลมนยามวาเปนผลคณ ระหวางกระแสและพนท'ของหวง IดงนนI

)R(I 2π=µ

x

2

B 3

o µπµ

≈12

รปแบบของสนามไฟฟาท'วางตวรอบหวงกระแสกลมแสดงดงรป (a)

รป (a) สนามแมเหลกวางตวรอบหวงกระแส (b) สนามแมเหลกวางตวรอบหวงกระแสแสดงโดยใชผงเหลก

4

13

แรงแมเหลกระหวางตวนาสองตวท6ขนานกน

รปเสนลวดขนาน 2 เสนแตละเสนมกระแสไหลผานคงท'ทาใหเกดแรง กระทาตอกนและกน

พจารณาเสนลวดตรงสองเสนวางตวขนานและหางกนเปนระยะทาง a มกระแส I1 และ I2 ไหลในทศทางเดยวกนดงรป เราบอกไดวามแรงกระทาตอ ลวดเสนหน'งเน'องจากสนามแมเหลกท'เกดเน'องจาก เสนลวดอกเสนหน'ง เสนลวด 2 ซ' งมกระแส I2 ทาใหเกดสนามแมเหลก B2 ท'ตาแหนงของลวดท' 1 ดงรป แรงแมเหลกบนเสนลวดเสนท' 1 ยาว L คอ

เ น' อ ง จา ก L ตง ฉา ก กบI B 2ขนา ด ขอ ง F1 ค อ F1=I1LB2 แลวแทนขนาดของ B2 ดงนนจะไดวาI

211 BLIFvvv

×=

La2

II

a2

ILILBIF 21020

1211 πµ

=

π

µ==

ทศ F1 พงไปยง เสนลวด 2 เพราะวามทศเดยวกบ ถาสนามแมเหลกกระทากบลวดท' 2 เน'องจากลวดท' 1 ทาใหเกด F2 กระทากบลวดท' 2 ผลจากการคานวณใหขนาดท'เทากบ F1 แตมทศตรงขาม จากกฎขอสามของนวตน

2BLvv

×

1Fv

1I

2I

2Bv

a

a

L1

2

14

ถากระแสในเสนลวดมทศตรงขามกนแรงท'ไดจากเสนลวดทงสองม Iทศเดยวกนจะทาใหเสนลวดผลกกน เน'องจากขนาดของแรงบนเสนลวดแตละเสนเทากนเรากาหนดใหขนาดสนามแมเหลกระหวางเสน ลวดเปน FB ดงนนขนาดของแรงตอหน'งหนวยความยาวคอI

a2

II

L

F 21oB

πµ

=

โดยแรงระหวางเสนลวดขนาน 2 เสนใชในการนยามหนวยของ Ampere ดงนI เม'อขนาดของแรงตอหน'งหนวยความยาวระหวางเสนลวดสองเสนท' ขนานกนและมกระแสท'เทากนไหลผานวางตวอยหางกน 1 เมตรคอ 2x10-7 N/m กระแสในเสนลวดแตละเสนนยามวามคา 1 แอมแปร

15

กฎของแอมแปร Oersted คนพบวาการเปล'ยนทศของเขมแสดงใหเหนวาตวนาท'มกระแสไหลผาน ทาใหเกดสนามแมเหลกดงรป (a) ซ' งแสดงใหเหนวาเขมซ'งวางตวอยในระนาบใกลกบเสนลวด ท'วางตวอยในแนวดงเม'อไมมกระแสไหลผานเสนลวดจะทาใหเขม ' ชไปในทศทางIเดยวกน เม'อมกระแสไหลผานเสนลวดจะทาใหเขมชไปในทศเสนสมผสวงกลมด I งรป (b) ผลท'ไดแสดงใหเหนทศของสนามแมเหลกท'เกดจากกระแสไหลในเสนลวด ซ' งสอดคลองกบกฎมอขวา โดยท'ถากระแสมการกลบทศเขมดงรปกจะมการกลบทศดวย

รป (a) เม'อไมมกระแสในเสนลวดเขมจะชในทศเดยวกน I (b) เม'อเสนลวดมกระแสไหลผานเขมของเขมทศเบนในทศเสนสมผสกบวงก ลม (c) เสนสนามแมเหลกแบบวงกลมรอบตวนาท'มกระแสแสดงโดยใชผงเหลก 16

เน'องจากเขมชไปในทศของI สรปไดวาเสนของ มลกษณะเปนวงกลมรอบเสนลวดขนาดของ มคาเทากนทกๆ จดบนเสนทางวงกลม

ถาทาการปรบขนานของกระแสและระยะทาง a พบวาขนาด เปนสดสวนตรงกบกระแส และเปนสดสวนผกผนกบระยะ a ตามสมการ

ตอไปทาการหาผลคณ ของชนสวนความยาวเลกๆI บนเสนทางวงกลม แลวทาการหาผลรวมของผลคณท'ไดตลอดเสนทางวงกลม บนวงกลมนเวกเตอรI และ ขนานกนดงรป (b) ดงนนI

โดยขนาด B คงท'บนเสนทางวงกลมจากสมการ ผลรวมของ บนเสนทางปดหาไดโดยอนทเกรท

a2

IB 0

πµ

=

a2

IB 0

πµ

=

sdB vv⋅

Bv

Bv

Bv

Bv

Bv

ds BsdB =⋅ vv

sdB vv⋅

sdv

sdv

sdB vv⋅

5

17

แมวาผลท'ไดจะเปนการคานวณในกรณเสนทางวงกลม แตผลท'ไดสามารถใชไดกบ เสนลวดท'มรปรางใดๆ ท'เปนเสนทางปด เปนกรณทวไปท'เรยกวา' กฎแอมแปร กลาวไวดงน I

∫ π= r2ds

เม'อ I คอกระแสตอเน'องทงหมดท'ไหลผานพนผวท'ลอมรอบดวยเสนทางป I I ด

การอนทเกรทเชงเสนของ ตามเสนทางปดมคาเทากบ µ0I

เม'อ

∫ µ=⋅ I sdB 0

vr

I)r2(r2

IdsBsdB 0

0∫ ∫ µ=ππµ

==⋅vr

sdB vv⋅

18

ตวอยาง The magnetic field created by a long current-carrying wireเสนลวดตรงยาวรศม R มกระแสไหลผาน I0 ดงรป จงคานวณสนามแมเหลกท'ระยะทาง r หางจากศนยกลางเสนลวดในระยะ r ≥ R และ r < R

รปเสนลวดตรงยาวมรศม R มกระแสสม'าเสมอ I0 ไหลผาน สนามแมเหลกจะเปนสดสวน กบ 1/r ภายนอกลวดตวนา และสนามแมเหลกจะ เ ปนสดสวนกบ r ภายในลวดตวนา

เม'อ r ≥ R จะไดผลเหมอนกบตวอยางท' 1 ซ' งเปนกรณท'ใชกฎของ Biot-Savart ในกรณนI ถาเลอกเสนทางในการอนทเกรทรอบวงกลม 1 ดงรป โดยท' มขนาดคงท'และมทศขนานไปกบ ds ทกจดบนเสนทางวงกลมกระแสรวมท'ผานระนาบ ของวงกลมคอ I0 จากกฎของแอมแปร

วธทา

00I)r2(BdsBsdB∫ ∫ µ=π==⋅

vv

r2

IB 00

πµ

= … เม'อ r ≥ R

ซ'งมรปเดยวกบสมการ a2

IB 0

πµ

=

Bv

19

ตอไปพจารณาภายในเสนลวดซ' ง r<R ในท'นกระแสI I ไหลผานระนาบวงกลมท' 2 ซ' งจะมคานอยกวา I0 เพราะวากระแสมคา สม' าเสมอตลอดภาคตดขวางของเสนลวดสวนของกระแสทลอมรอบโดยวงกลมท' 2 จะเทากบอตราสวนของพนท' I πR2 ของวงกลมท' 2 ตอพนท'ภาคตดขวางของเสนลวด I

IR

r I

R

r

I

I 02

2

2

2

0

=⇒ππ

=

ในรปแบบเดยวกนกบวงกลมท' 1 เราใชกฎของแอมแปรกบวงกลมท' 2

02

2

00 IR

rI)r2(BsdB µ=µ=π=⋅∫

vv

r R2

IB

200

πµ

= …. เม'อ r < R 20

ขนาดสนามแมเหลกเทยบกบ r ของโครงสรางแบบนแสดงI ดงรป โดยภายในเสนลวด B → 0 และ r → 0 ซ' งทงสมการI

และสมการ จะใหคาสนามแมเหลก ท' r = R เปนแบบเดยวกนนนคอ' สนามแมเหลกมคาตอเน'องท'ผวเสนลวด

r2

IB 00

πµ

= r R2

IB

200

πµ

=

รปขนาดของสนามแมเหลกเทยบกบ r สาหรบรปท'แลวสนามเปนสดสวนกบ r ภายในลวดตวนาและสนามเปนสดสวนกบ 1/r ภายนอกลวดตวนา

6

21

ฟลกซแมเหลก ฟลกซเน'องจากสนามแมเหลกนยามคลายกบการ นยามฟลกซไฟฟา พจารณาพนท'Iเลกๆ dA บนพนผวรปรางใดๆI ดงรป มสนามแมเหลก ฟลกซแมเหลกท'ผาน สวนเลกๆ คอ เม'อ คอเวกเตอรท'ตงฉากกบพนผวและมขนาดเทากบพนท'I I I dA ดงนนI ฟลกซแมเหลกรวมตลอดพนผวคอIรปฟลกซแมเหลกซ' งผานพนท' I dA

คอ AdB B ∫ ⋅=φvv

พจารณากรณท'ระนาบของพนท'I A อยในสนามแมเหลกสม'าเสมอ ซ' งทามม θ กบ ฟลกซแมเหลกซ'งผานระนาบในกรณนคอ I cosBA B θ=φ

θ

Adv

Bv

Bv

Adv

cos dA B AdB θ=⋅vv

AdB vv

⋅

Bv

Adv

22

• ถาสนามแมเหลกขนานไปกบระนาบดงรป (a) ฟลกซแมเหลกจะมคาเปนศนย

ฟลกซแมเหลก มหนวยเปน weber (Wb) นยามเปน : 1Wb = 1 T.m2

รปฟลกซแมเหลกผานระนาบซ'งวางตวอยในสนามแมเหลก (a) ฟลกซท'ผานระนาบมคาเปนศนยเม'อสนามแมเหลกขนานไปกบผวระนาบ (b) ฟลกซท'พงผานระนาบมคามากท'สดเน'องจากสนามแมเหลกตงฉากกบระน I าบ

0 90 cos BA B ==φ o

BA 0 cos BA B ==φ o

Ad v

Bv

(a)

Ad v

Bv

(b)

• ถาสนามแมเหลกตงฉากกบระนาบดงรป I (b) ฟลกซแมเหลกจะมคาสงสด เปน BA

23

ตวอยาง ฟลกซแมเหลกท'ผานหวงส'เหล'ยม หวงส'เหล'ยมกวาง a ยาว b วางตวอยใกลเสนลวดยาวซ' งมกระแสไหล I ดงรป ระยะทางระหวางเสนลวดและหวงส' เหล'ยมคอ c โดยเสนลวดขนานไปกบดานยาวของหวง จงหาฟลกซแมเหลกรวมซ' งผานหวงส' เหล'ยมเน'องจาก กระแสในเสนลวด

รปสนามแมเหลกในลปส6 เหล6ยมเน6องจาก เสนลวดท6มกระแส I จะมคาไมสม6าเสมอ

วธทาขนาดของสนามแมเหลกท'เกดจากเสนลวดท' ระยะหาง r จากเสนลวดคอ

r2I

B 0

πµ

=

dAr2

I0B AdB ∫∫ π

µ=⋅=φ

vv

ca

c0

ca

c

0 rln2

Ib

r

dr

2

Ib ++

πµ

=π

µ= ∫

+π

µ=

+π

µ=

c

a1ln

2

Ib

c

caln

2

Ib 00

ในการอนทเกรทใชสวนของพนท' I dA = bdr

24

• กฎของ Biot-Savart คอ 2

0

r

rsId

4Bd

×πµ

=v

v

เม'อ µ0 = เปนคาความ ซาบซมไดของสญญากาศ = 4π x10-7 Wb/A.m

กฎนใชสาหรบหาสนามแมเหลกท' จดI P หางจากตวนาท' มกระแสไฟฟาสม'าเสมอ I เปนระยะทาง r

∫×

πµ

=2

0

r

rsd

4

Iv

vB

สรป

• สนามแมเหลกรวมทงหมดท'จด I P หาไดจากการอนทเกรทสมการ (1) ตลอดความยาวของตวนา นนคอ'

… (1)

… (2)

• สนามแมเหลกท'ระยะทาง a จากเสนลวดยาวตรงและมกระแสไฟฟาสม'าเสมอ I ในเสนลวดคอ

a2

IB 0

πµ

= … (3)


7

25

• แรงแมเหลกตอหน' งหนวยความยาวระหวางตวนาคขนานท'อยหางกน เปนระยะทาง a และมกระแสไฟฟา I1 และ I2 ในตวนา จะมคาเทากบ

a2

II

L

F 21oB

πµ

= … (4)

• กฎของแอมแปร แถลงไดวา อนทกรลเชงเสนของ รอบเสนทางปดใดๆ จะเทากบ µ0I นนคอ'

จะ เ ปนแรงดดถากระแสในตวนาทงสองม ทศ เหมอนกนI และจะเปนแรงผลกถากระแสในตวนาทงสองมทศตรงขามกนI

sdB vv⋅

∫ µ=⋅ I sdB 0

vr … (5)

เม'อ I คอกระแสไฟฟารวมสม'าเสมอท'ไหลผานพนผวท'ลอมรอบ Iดวยเสนทางปด (closed path) 26

• ใชกฎของแอมแปร หาคาสนามแมเหลกภายในทอ รอยดและโซลนอยดแลวจะได

- สาหรบสนามแมเหลกภายในทอ รอยด คอ

- สาหรบสนามแมเหลกภายในโซล นอยด คอ

r2

NIB 0

πµ

=

nIL

NIB 0

0 µ=µ

=

เม'อ n = N/L , N = จานวนรอบของขดลวด

• ฟลกซแมเหลก φB ท'ผานพนผวใดๆ I นยามโดยใชอนทกรลเชงผวดงนI

AdB B ∫ ⋅=φvv … (6)

27


1. จงหาคาของสนามแมเหลกท'จด 100 cm หางจากตวนายาวท'มกระแสไฟฟาไหล 1 A2. ตวนาเลกๆ แตยาวมากอนหน'งมกระแสไหล 10 A ระยะทางเทาใดจากตวนาจงจะเกด

สนามแมเหลกลพธขนาด 10-4 T3. จงคานวณหาแรงระหวางเสนลวดตวนาขนานกน 2 เสน แตละเสนยาว 50 cm และหาง

กน 1.5 cm โดยท'กระแสไฟฟาในลวดแตละเสนมคา 5A ไหลไปทางเดยวกน4. สนามแมเหลกมความ หนาแนนฟลกซ 0.08 Wb/m2 มทศทางในแนวดงชขนขางบน' II

ตามแกน y มลวดตรงเสนหน'งยาว 6 cm อยในสนามแมเหลกนและมกระแสไฟฟา I 10 A ไหลจากทศไปตามแกน –x แรงแมเหลกท'กระทาตอลวดเสนนมคาเทาใดและมทศ Iไปทางใด

5. หวงกลมของเสนลวดรศม R มกระแส I ไหลผานขนาดของสนามแมเหลกท'ศนยกลาง มคาเทาไร ตอบ µ0I/2R

28


ภาควชาฟสกส. เอกสารประกอบการสอนฟสกสเบองตนI , คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยนเรศวรภาควชาฟสกส. ฟสกส2, คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลยD.C. Giancoli. Physics Principles with Applications, 3rded., Prentic-Hall,



1

1

8. การเหนยวนาแมเหลกกฎเหนยวนาของฟาราเดย

รป (a) เมอแมเหลกเคลอนทเขาหาหวงซ งตดอยก บกลวานอมเตอรเขมของมนจะเบนไปดงรปแสดงวามการเหนยวนากระแสในหวง (b) เมอถอแทงแมเหลกนงๆ ไมมการเหนยวนากระแสในหวง (c) เมอแทงแมเหลกเคลอนทหางจากหวงมการเหนยวนากระแสในทศทางตรงขาม

การศกษาวา แรงเคลอนไฟฟา emf เกดขนไดโดย 6การเปลยนแปลงสนามแมเหลก ทาการทดสอบไดโดยการใชหวงของเสนลวดท ตดกบ กล วานอมเตอร ดงรปเมอแมเหลกเคลอนทเขาหาหวงเขม ของกลวานอมเตอรจะเบนไปในทศทางหนงดงรป (a) เมอแมเหลกเคลอนออกจากหวงเขมของ กลวานอมเตอรจะเบนไปในทศทางตรงขามดงรป (c)เมอถอแทงแมเหลกนงๆ ใกลกบหวงพบวาไมม การเบนของเขมดงรป (b) ผลเหลานแสดงใหเหน 6ความจรงทวามกระแสเกดขนโดยไมมการตอ 6แบตเตอร เขาไปในวงจรเราเรยกกระแสเหลานวา 6 กระแสเหนยวนา (induce current) ซ งเปนผลจากการเหนยวนา emf

2

รปการทดลองของฟาราเดย เมอสวทชในวงจรปฐมภมปด กล วานอมเตอรใ น ว ง จ ร ท ต ย ภ ม จ ะ เ บ น ไ ป emf เหนยวนาในวงจรทตยภมเกดเนอง จากการเปลยนแปลงสนามแมเหลกผานขดลวดทตยภม

ตอไปจะอธบายการทดลองทเสนอ โดยฟาราเดย ดงรป โดยใหขดลวดปฐมภมตอเขากบแบตเตอรและสวทชโดยขดลวดเหลานพนรอบวง 6แหวน กระแสในขดลวดเกดจากสนามแมเหลกเมอมการปดวงจร โดยมขดลวดทตยภมพนรอบวงแหวนดวยเชนกนโดยมนตอเขากบ กลวานอมเตอร(ไมมแบตเตอรตอเขากบขดลวดทตยภม ) และขดลวดทงสองไม6 เชอมตอกน ถามการตรวจวดกระแสทขดลวดทตยภมไดหมายความวากระแสจะตองเกดจากการเหนยวนาจากภายนอก

3

เมอทาการปดวงจรเขมของกลวานอมเตอรมการเบนไปในทศทางหน งแลวตกลบมาทศนยและเมอมการเปดวงจร เขมจะเบนไปในทศตรงขามแลวตกลบมาทศนยเชนกนโดยขณะท กลวานอมเตอรอานคาไดศนยหมายความวา ไมมกระแสในวงจรอธบายไดวาเมอมการปดสวทชกระแสในวงจรปฐมภ มทาใหเกดสนามแมเหลกในวงจร สนามแมเหลกนทะลผานวงจรทตยภม 6 นอกจากนเมอปดวงจรกระแสในวงจรปฐมภมเปลยนจากศนยจนมกระแส6ระดบหน งในชวงเวลาหน งนนคอมการเปลยนแปลงสนามเหนยวนาให เกดกระแสในขดลวดทตยภม

จากผลทไดฟาราเดยสรปวา• กระแสไฟฟาสามารถเหนยวนาไดในวงจรโดยการเปลยนสนามแมเหลก • กระแสเหนยวนาจะคงอยในชวงเวลาสนๆ 6 ในขณะทสนามแมเหลกทผาน

ขดลวดทตยภมมการเปลยนแปลง • ทนททสนามแมเหลกมคาคงท กระแสในขดลวดทตยภมจะหายไป 4

กฎของฟาราเดย กลาววา “ในวงจรปดใดๆ ทสรางขนดวยตวนา6 จะมแรงเคลอนไฟฟาเหนยวนาเกดขนเมอมการ 6 เปลยนแปลงฟลกซแมเหลกทผานวงจรปดนน 6 ”

ตามรป ลวดตวนาตดเปนวงจรปดรปวงกลม เรมตน มฟลกซแมเหลกพงผาน วงจรปดอยางตงฉากเทากบ 6 φB1 เมอเวลาผานไป ∆t ฟลกซแมเหลกทพงผาน เปลยนเปน φB2 ในการนจะ6 มฟลกซแมเหลกเปลยนแปลงเทากบ ∆φB โดยท ∆φB = φB2 - φB1 ตามกฎของฟาราเดยจะเขยนไดวา

B N t

∆φε = −

∆เมอ ε = แรงเคลอนไฟฟาเหนยวนา

N = จานวนรอบของลวดตวนา

∆tφB1 φB2

2

5

ในบางกรณ emf จะถกเหนยวนาในวงจร เมอฟลกซแมเหลกทผาน วงจรเกดการเปลยนแปลงเทยบกบเวลา โดยทวไป การเหนยวนา emfในวงจรเปนสดสวนตรงกบอตราการ เปลยนแปลงฟลกซแมเหลกทผานวงจร ซ งเปนไปตาม กฏของฟาราเดย ดงน6

dt

d Bφ−=ε เมอ คอฟลกซแมเหลกซงผานวงจร ∫ ⋅=φ Avv

dB B

ถาวงจรประกอบดวยขดลวดจานวน N รอบ และถา คอฟลกซแมเหลกซ งผานขดลวดหน ง กระแส emf จะถกเหนยวนาในทกๆ ขดลวดดงนน6 emf เหนยวนารวมในขดลวด คอ

Bφ

dt

dN Bφ−=ε

เครองหมายลบในสมการเปนผลมาจากกฏของเลนส (Lenz’s law) 6

สมมตวาหวงปดมพนท 6 A วางตวอยในสนามแมเหลกสมาเสมอ B ดงรป ฟลกซแมเหลกซงผานหวงมคาเปน BAcosθ

รป ลปตวนาซ งปดลอมพนท6 A มสนามแมเหลกสม า เสมอ B ผาน มมระหวาง B และเสนทตง6ฉากกบลปคอ θ

( ) θ−=ε cosBAdt

d

ดงนน6 emf เหนยวนา มคาเปน

จากสมการทไดพบวา emf สามารถเหนยวนาในวงจรไดในหลายทาง :

• เมอขนาดของ B เปลยนเทยบกบเวลา• พนทปดของหวงเปลยนแปลงเทยบกบเวลา6 • มม θ ระหวาง B กบเสนตงฉากกบหวง 6เปลยนแปลงเทยบกบเวลา

7

การประยกตกฏของฟาราเดย

รปองคประกอบของ ground fault interrupter

เครองตดวงจรเมอสายดนผดพลาด (the ground fault interrupter GFI) เปนอปกรณรกษาความปลอดภยทปองกนไฟชอตผใชอปกรณไฟฟา การทางานของมนอาศยกฎของฟาราเดย GFI แสดงดงรป มลวดตวนา 1 ตอจากผนงไปยงเครองใช ลวด 2 ตอจากเครองใชไปยงผนงหวงเหลกทลอมรอบลวดทงสอง 6 และขดลวดตรวจวด (a sensing coil) ซ งพนอยรอบแหวนเหลก เพราะวากระแสในเสนลวดทงสองม 6ทศทางทตางกน ดงนน6 ฟลกซแมเหลกสทธเนองจากกระแสทผานขดลวดตรวจวดเปนศนย ถากระแสไหลกลบในขดลวด 2 มการเปลยนแปลง ฟลกซแมเหลกสทธทผานขดลวด 2 จะมคาไมเปนศนย (ตวอยางเชนในกรณทอปกรณเปยกอาจทาใหกระแสไหลลงสพนดน 6 ) นนคอกระแสไฟฟามการกลบทศ ฟลกซแมเหลกซ งผานขดลวดตรวจวดเปลยนแปลงเทยบกบเวลา เหนยวนา emf ขนในขดลวด6 emf เหนยวนานใชเปนตว6 trigger สาหรบตวตดวงจร (a circuit breaker) 8

ตวอยาง การเหนยวนา emf ในขดลวดขดลวดจานวน 200 รอบมความตานทานรวม 2 โอหม ขดลวดแตละรอบมลกษณะเปนรปสเหลยมยาวดานละ 18 cm และมสนามแมเหลกสมาเสมอมทศต 6ฉากกบระนาบของขดลวด ถาสนามแมเหลกมการเปลยนจาก 0 เปน 0.5 T ในชวงเวลา 0.80 s ขนาดของ emf เหนยวนาในขดลวดขณะทสนามมการเปลยนแปลงมคาเปนเทาไร

วธทา22

B T.m 0.0162)(0.5)(0.18BA ===φฟลกซแมเหลกทผานขดลวดหนงๆ เปน

ดงนนขนาดของ6 emf เหนยวนาสามารถคานวณจากสมการ

V1.4)8.0(

)00162.0()200(

t

N B =−

=∆φ∆

=ε

แบบฝกหด ขนาดของกระแสเหนยวนาในขดลวดเปนเทาไรขณะทสนามแมเหลกเปลยน ตอบ 2.0 A

3

9

ตวอยาง การลดลงแบบ exponential ของสนามแมเหลก Bหวงลวดมพนท 6 A วางตวอยในบรเวณทมสนามแมเหลกซ งตงฉากกบพนท 6 6ของหวง สนามแมเหลก B เปลยนแปลงเทยบกบเวลา ดงสมการ เมอ a คอคาคงท ท t = 0 จะได B = Bmax เมอ t > 0 สนามจะลดลงแบบ exponential ดงรป จงหา emf เหนยวนาในหวงในรปทเปนฟงกชนของเวลา

atmaxeBB −=

รปการลดลงแบบ exponential ของขนาดของสนามแมเหลกเทยบกบ เวลา emf เหน ยวนาและกระแสเหนยวนากแปลในรปแบบเดยวกน

วธทา

atmaxB eAB0cosBA −==φ

atmax

atmax

B eaABedtd

ABdt

d −− =−=φ

−=ε

สตรทไดแสดงใหเหนวา emf เหนยวนาลดลงแบบ exponential เทยบกบเวลา นนคอคา emf สงสด เกดเมอ t = 0

maxmax aAB=ε

maxmax aAB=ε

ขนาดของฟลกซแมเหลกซงผานหวงเมอ t>0 คอ

maxmax aAB=ε

10

ตวอยาง What connected to what?

หลอดไฟสองหลอดตออยบนหวงลวดในดานตรงขามกนดงรป ทาการลดสนามแมเหลก (ในเสนประวงกลม) เหนยวนาใหเกด emf เกดขนในหวงลวด 6 ทาใหหลอดไฟสวางขน 6 จะเกดอะไรขนกบความสวางของหลอดไฟถาทาการปดสวทช6

11

ร ปตวนา ไฟ ฟ า ลกษ ณ ะ เ ป นเสนตรง ยาว L เคลอนทดวยความเรว ผานสนามแมเหลก

ซ งมทศตงฉากกบ6

แรงเคลอนไฟฟาเหนยวนา (emf ) ทเกดจากการเคลอนท

สองตวอยางทผานมาเปนการพจารณาในกรณท emf เหนยวนาในวงจรทอยนง ซ งวางตวอยในสนามแมเหลกทเปลยนแปลงตามเวลา ตอไปจะอธบายสงท เรยกวา motional emf ทเกดจากการเคลอนทของตวนาผานสนามแมเหลกคงท

ตวนาเสนตรงมความยาว L ดงรปเคลอนทผานสนามแมเหลกสมาเสมอทมทศพงเขาไปในกระดาษ โด ยสมมตใ หตวนา เค ล อนท ใ นทศ ท ตงฉากกบ6 สนามแมเหลกดวยความเรวคงท อเลกตรอนในตวนาไดรบแรง โดยแรงมทศตามความยาว L และตงฉากกบ6 และ ภายใตอธพลของแรงน6อเลกตรอนจะเคลอนทไปทปลายดานลางของตวนาและเกดการสะสมทนน ทาใหเกดประจบวกทปลายดานบนของตวนา

Lvv

Bv+

+

--

-

x x x x

xxxx

x x x x

x x x xBFv

B x vqFB

vvv=

vv

vv

vvB

v

Bv

12

สนามไฟฟาทเกดในตวนาสมพนธกบความตางศกยทตกครอมปลาย ทงสองของตวนาสอดคลองกบความสมพนธ6 ∆V = EL ดงนน6

เมอปลายดานบนมศกยไฟฟาสงกวาปลายดานลาง ดงนนความ6ตางศกยระหวางปลายตวนาจะมคาคงอยตลอดขณะทแทงตวนา เคลอนทผานสนามแมเหลกสมาเสมอ ถาแทงตวนาเคลอนทในทศทางตรงขามขวความตางศกยกจะกลบขวดวย6 6

∆V = EL = vBL

ผลจากการกระจายประจทาใหเกดสนามไฟฟาภายในตวนา ประจจะมการสะสมทปลายทงสองจนกระทงแรงแมเหลก6 qvB มคาสมดลเนองจากการเพมแรงไฟฟา qE ทจดนอเลกตรอนจะหยด6เคลอนท จะไดวา qE = qvB หรอ E = vB

4

13

กรณทนาสนใจคอเมอตวนาเปนสวน หน งของวงจรเปนสถานะการทแสดงใหเหนประโยชนวาการ เปลยนแปลงฟลกซแมเหลกเปนสาเหตใหเกดกระแส เหนยวนาในวงจรปด

พจารณาวงจรทประกอบดวยแทงตวนาความยาว L ไถลไปบนแทงตวนาสองแทงทวางขนานกนอยดงรป (a)รป (a) แทงตวนาไถลดวยความเรว v

ไปบนแทงตวนา 2 ตวทวางขนานกนภายใตแรงกระทา Fapp (b) วงจรเทยบเทารป a

Bv

v v

F app

vBF v

I

I

L R

R

x (a)

(b)

I vBL =ε

14

ถาสมมตใหแทงมความตานทานเปนศนยและแทงตวนาทอยกบทม ความตานทาน R ใหสนามแม เหลกสมาเสมอ B ตงฉากกบระนาบของวงจรเมอแทง6 ถกดงไปทางดานขวาดวยความเรว v เนองจากแรงภายนอก Fapp ประจอสระภายใตแรงแมเหลกจะมทศตามความยาวของแทง แรงเหลานทาใหเกดกระแส 6เหนยวนาเพราะวาประจเปนอสระในการเคลอนทภายในเสนทางปดของ ตวนา ในกรณนอตราการ6 เปลยนฟลกซแมเหลกผานวงปดของวงจรและ emfเหนยวนาเนองจากการเคลอนททเกดขนบนแทงตวนาทเคลอน 6 ทเปนสดสวนกบการเปลยนแปลงพนทเสนทางปดขอวงจร 6 ดงนนถาแทงถกดงไปทางขวา6 ดวยความเรวคงทงานททาเนองจากแรงภายนอกจะปรากฎในรปของพลงงานภายในในตวตานทาน R (ความรอนทเกดขน 6 ) เนองจากพนทของวงจรใน6ชวงเวลาใดๆ เปน xL เมอ x คอความกวางของวงจร ณ เวลาหนงๆ ฟลกซแมเหลกซงผานพนทคอ 6 xLB B =φ

15

โดยใชกฏของฟาราเดย และให x เปลยนตามเวลาในอตรา dx/dt = v พบวา emf เหนยวนาเนองจากการเคลอนทคอ

dt

dxBL)xLB(

dt

d

dt

d B −=−=

φ−=ε

BLv −=ε

เนองจากความตานทางของวงจรคอ R ขนาดของกระแสเหนยวนาคอ

R

BLv

RI =

ε=

แผนภาพวงจรเทยบเทาสาหรบตวอยางนแสดงดงรป 6 (b)16

เมอแทงตวนาเคลอนทผานสนามแมเหลกสมาเสมอ B และอยภายใตแรงแมเหลก FB ซ งมขนาดเปน ILB ทศของแรงตรงขามกบการเคลอนทของแทงตวนา (ไปทางซาย) ดงรป (a) และเนองจากมนเคลอนทดวยความเรวคงทแรงทกระทาตอมนจะมขนาดสมาเสมอและมทศตรงขามก แรงแมเหลกหรอมทศไปทางดานขวา ดงรป (a) (ถา FB กระทาในทศการเคลอนทจะทาใหแทงตวนาเกดความเรงซงฝาฝนหลกการอนรกษพ ลงงาน)จากสมการทแลวคอ I = BLv/R และความจรงทวา Fapp = ILB พบวา กาลงทไดจากแรงทใสเขาไป คอ

RR

vLBv)ILB(vFP

2222

app

ε====

และเนองจากกาลงมคาเทากบอตราของพลงงานทตวตานทานไดรบ I2R ซ งมคาเทากบกาลง Iε ทไดจาก emf เคลอนท ตวอยางทไดแสดงใหเหนการเปลยนแปลงพลงงานกลเปนพลงงานไฟฟาและแปลงไปเปนพลงงานภายในตวเกบประจ

5

17

ตวอยาง emf เคลอนททเหนยวนาในแทงทหมน แทงตวนาความยาว L หมนรอบเดอยทปลายดานหนง ดวยความเรวเชงมมคงท ω สนามไฟฟาสมาเสมอ B มทศตงฉากกบระนาบการหมนดงรป6 จงหา emf เคลอนททเหนยวนาระหวางปลายของแทงตวนา

รปแทงตวนาหมนรอบแกนทปลายดานหนงในสนามแมเหลกสมาเสมอ

วธทา B

v

L

o

v v

drr

พจารณาสวนของแทงตวนาความยาว drมความเรว v ขนาดของ emf เหนยวนาในสวนเลกๆ นคอ6 Bvdrd =εเนองจากสวนเลกๆ เหลานทกสวนเคลอน 6ทตงฉากกบ6 B และม emf โดย v = rω และถา B และ ω มคาคงทจะไดวา

LB2

1rdrBvdrB 2

L

0

ω=ω==ε ∫ ∫18

ตวอยาง Magnetic force acting on a sliding barแทงตวนามวล m ความยาว L เคลอนทบนรางขนานซ งวางตวอยในสนามแมเหลกสมาเสมอทมทศพงเขาไปในกระดาษ แทงมความเรวเรมตน vI แทงเรมเคลอนทไปทางดานขวา ณ เวลาเรมตน t = 0 จงหาความเรวของแทงตวนาในรปฟงกชนของเวลา

รปแทงตวนาความยาว L เคลอนทบนร า ง ท ขนา นกน โ ด ย แทง ม ความเรวตน vi

v i

v

Bv

RLBF v

I

กระแสเหนยวนามทศทวนเขมนาฬกาและแรงแมเหลกคอ FB = -ILB เครองหมายลบแสดงวาแรงมทศไปทางซายและตานการเคลอนท และใชกฎขอทสองของ Newton สาหรบการเคลอนทในแนวระนาบ

dv ma = ILB m = ILB

dt− ⇒ −

วธทา

19

จากสมการทผานมา พบวา I = BLv / R ดงนน6

vR

LB LB

R

BLv

dt

dvm

22

−=

−= dtmR

LB

v

dv 22

−−=

∫∫−

−=t

0

22v

v

dtmR

LB

v

dv

i

t

t mR

LB

v

v ln

22

i τ−=

−=

ทาการอนทเกรตสมการโดยใชสภาวะเรมตน v = vi เมอ t = 0 พบวา

เมอ τ = mR/B2L2 จากผลทไดพบวา สามารถเขยนความเรวใหอยในรป exponential ได

evv /ti

τ−=

จากสตรทไดนพบวาความเรวของแทงเพมขนแบบ6 6 exponential เทยบกบเวลาภายใตการกระทาของแรงตานของแมเหลก 20

จงหาสตรของกระแสเหนยวนาและขนาด emf เหนยวนา ซ งเปนฟงกชนของเวลาจากสภาวะของแทงตวนาในตวอยางทแลว

ตอบ


, //

τ−τ−

=ε= ti

ti eBLv

R

eBLvI

6

21

กฏของเลนส (Lenz’s Law)

กฎของฟาราเดย ε = - dφB/dt แสดงใหเหนวา emf เหนยวนาและการเปลยนแปลงฟลกซมเครองหมายทางคณตศาสตรตรงขามกน ซ งสามารถแสดงใหเหนความจรงทางฟสกสทรจกกนรปของ กฏของเลนส ซ งกลาววา

นนคอ กระแสเหนยวนามแนวโนมทจะรกษาฟลกซแมเหลกทพงผาน วงจรไมใหเปลยนแปลง (เปนไปตามกฎการอนรกษพลงงาน)

“ ขวของ6 emf เหน ยวนาซ งทาใหเกดกระแสจะ ผลตฟลกซแมเหลกซ งมทศตรงขามกบการ เปลยนฟลกซแมเหลกผานพนท 6ปดเนองจากวงกระแส (a current loop) ”

22

กฎของเลนส เปนกฎสาหรบใชดทศของแรงเคลอนไฟฟาเหนยวนา หรอกระแสไฟฟาเหนยวนาทเกดขนในวงจรปด 6 กลาวไดวา “ทศของกระแสไฟฟาเหนยวนาหรอแรงเคลอนไฟฟาเหนยวนาทเกดขนในวงจร 6ปดหน งเมอฟลกซแมเหลกทผานวงจรนนเปลยนแปลง 6 จะมทศทจะทาใหมนสรางสนามแมเหลก หรอฟลกซแมเหลกใหคงเดมเสมอ ” เชน

φB1 φB2 φB1

4 เสน φB2 > φB1 2 เสน 4 เสนเหมอนเดม

23 24

รป (a) แทงตวนาเคลอนทไปทางดานขวาของรางตวนา ทขนานกน โดยมสนามแมเหลกจากภายนอกขนาดสมาเสมอพงผาน ฟลกซแมเหลกทผาน พนท ปดของลปจะเพมขนตามเวลาจาก6 6 กฏของเลนสพบวากระแสเหนยวนาตองมทศทวนเขมนาฬกา (b) เมอแทงเคลอนทไปทางดานซายกระแสเหนยวนาจะมทศตามเขมนาฬกา

Bv

v v

BF vI

v R

Bv

R

BF vI

v

v v

(a) (b)

7

25

เพอใหเขาใจกฎของเลนสใหพจารณาตวอยางทแทงตวนาเคลอนท ไปทางดานขวาของรางขนานโดยมสนามแมเหลกจากภายนอกขนาดสมาเสมอพงผาน

- เมอแทงแมเหลกเคลอนทไปทางดานขวา ดงรป (a) ฟลกซแมเหลกทพง ผานพนทลอมรอบดวยวงจรจะมคาเพมขนตามเวลา 6 6 กฏของเลนสแสดงใหเหนวากระแสเหนยวนามทศซ งทา ใหฟลกซแมเหลกทมนผลตออกมาตอตาน เปลยนแปลงฟลกซแมเหลกภายนอก เนองจากฟลกซแมเหลกภายนอกมทศเพมขนในทศทพงเขาไปในกระดาษ 6 ถากระแสเหนยวนาตองการตานการเปลยนแปลงน6 มนจะตองผลตฟลกซแมเหลกทมทศพงออกจากกระดาษ ดงนน6 กระแสเหนยวนาจะตองมทศทวนเขมนาฬกา (สามารถใชกฎมอขวาในการหาทศได)

- เมอแทงตวนาเคลอนทไปทางซาย ดงรป (b) ฟลกซแมเหลกภายนอกทผานพนทปดของลปจะลดลงตามเวลา 6 เนองจากฟลกซแมเหลกมทศพงเขาไป ในกระดาษ กระแสเหนยวนาตองมทศตามเขมนาฬกาถากระแสเหนยวนาตองการทจะผลตฟลกซแมเหลกทมทศพงเขาไปในกระดาษเชนกน

26

รป (a) เมอแทงแมเหลกเคลอนทเขาหาหวงตวนาทหยดนงกระแสเหนยวนามทศดงรป (b) กระแสเหนยวนาทเกดทาใหเกดฟลกซแมเหลกซ งมทศไปทางซายตานการเพมขน 6ของฟลกซแมเหลกจากภายนอกทางดานขวามอทเพมขน 6 (c) เมอแทงแมเหลกเคลอนทออกจากหวงตวนาทหยดนงกระแสเหนยวนามทศดงรป (d) กระแสเหนยวนาทเกดทาใหเกดฟลกซแมเหลกซงมทศไปทางขวาตานการเพมขน 6 ของฟลกซแมเหลกจากภายนอกทางดานขวามอทลดลง

ตอไปพจารณากรณทแทงแมเหลกเคลอนทเขาหาหวง โลหะ เมอแทงแมเหลกเคลอนทไปทางขวาเขาหาหวง ดงรป (a) ฟลกซแมเหลกซงพงผานลปมคาเพมขนเทยบ 6กบเวลา ในการหกลางการเพมขน 6 ของฟลกซแมเหลกทางดานขวากระแสเหนยวนาจะตองสรางฟลกซทพงไปทางดานซายดงรป (b) ดงนนกระแสเหนยวนาจะม6ทศทางดงแสดงในรป นนคอเสนสนามแมเหลก เนองจากกระแสเหนยวนาตอตานการเคลอนทของแทง แมเหลก คลายกบวาขวแมเหลกผลกกน 6 สรปไดวาพนผวทางดานซายของลปกระแสเปนขวเหนอและผว6 6ดานขวาเปนขวใต6ถาแทงแมเหลกเคลอนทไปทางซายออกหางหวงดงรป (c) ฟลกซแมเหลกท เคลอนทผานพนทปดมทศไป 6ทางขวามอลดลงเมอเทยบกบเวลา ขณะนนกระแส6เหนยวนาในลปมทศดงรป (d) เนองจากทศของกระแสแบบนทาให6 เกดฟลกซ แมเหลกในทศทางเดยวกบ ฟลกซแมเหลกจากภายนอก ในกรณน6 ผวดานซายของลปเปนขวใตและผวดานขวามอของลปเปนขวเหนอ6 6

v v

(a) (b)

(c) (d)

v v

Iv

Iv

27

emf เหนยวนาและสนามไฟฟา

ทผานมาเราพบวาการ เปลยนแปลงฟลกซแมเหลกเหนยวนาใหเกด emf และกระแสในลปตวนา สรปไดวา สนามไฟฟาถกสรางขนในตวนาเปนผลเนองมาจากการ6 เปลยนฟลกซแมเหลก โดยสนามไฟฟาเหนยวนานมคณสมบตอยสองประการททาให6 มนแตกตางจากสนามไฟฟาสถตท เกดจากประจทหยดนง (stationary charges) โดยสนามไฟฟาเหนยวนานไมอนรกษและ6 เปลยนแปลงคาตามเวลา

28

รปลปตวนารศม r อยในสนาม แม เหลกสม า เสมอซ งต งฉากกระนาบของลป ถา B เปลยนแปลงตามเวลาสนามไฟฟาจะเหนยวนาใหเกดในทศเสนสมผสกบเสนรอบวงของลปตวนา

โ ด ยก า ร พ จ า ร ณ า ล ป ตวนา ร ศ ม r ว า ง ตว ใ นสนามแมเหลกสมาเสมอ B ซงตงฉากกบระนาบของ6 ลปดงรป ถาสนามแมเหลกเปลยนเทยบกบเวลา จากกฏของฟาราเดยพบวา emf ε = - dφB/dt จะถกเหนยวนาขนในลป6 การเหนยวนาใหเกดกระแสในลป แสดงใหเหนวามสนามไฟฟาเหนยวนา E เกดขนในแนวเสนสมผสกบลป 6 งานทกระทาในการเคลอนทประจทดสอบ q ตวหนงไปรอบลปเทากบ qε เนองจากวาแรงทางไฟฟาทกระทาตอ ประจคอ qE งานทกระทาโดยแรงเหลานในการ 6เคลอนทประจตวหนงครบรอบคอ qE (2πr) เราพบวางานทไดจากสตรทงสองมคาเทากน 6 ดงนน6

)r2(qEq π=ε r2

Eπε

=

Ev

Ev

E v

E v

B v

r v

8

29

ใชผลทไดประกอบกบกฏของฟาราเดย ε = - dφB/dtและความจรงทวา φB= BA = πr2B สาหรบลปกระแส เราจะพบวา สนามไฟฟาเหนยวนา มคาดงน 6

dt

dB

2

r

dt

d

r2

1E B −=

φ

π−=

ถาการเปลยนแปลงเวลาของสนามแมเหลกมคาทแนนอนเรา สามารถคานวณสนามไฟฟาเหน ยวนาไดงายๆ จากสมการน6เคร องหมายลบหมายความวาสนามไฟฟาเหนยวนาตอตานการ เปลยนแปลงสนามแมเหลก

30

emf ของเสนทางปดใดๆ สามารถเขยนในรปแบบอนทเกรตเชงเสน

ของ ไดตลอดเสนทาง ∫ ⋅= sdE vvε

ในกรณทวไป : E ไมจาเปนตองมคาคงท และเสนทาง ไมจาเปนตองเปนวงกลม จากกฏของฟาราเดยของการเหนยวนา ε = -dφB/dt สามารถเขยนใหอยในรปทวไปไดเปน

sdE ∫φ

−=⋅dt

d Bvv

sdE vv⋅

31

ตวอยาง สนามไฟฟาทเหนยวนาโดยการเปลยนสนามแมเหลกในโซล นอยด

รปโซลนอยดยาวและมการเปลยนแปลงกระแสตามเวลาโดย I = I0 cosωt

ขดลวดโซลนอยดยาวมรศม R จานวน n รอบตอหน งหนวยความยาว มกระแสทเปลยนแปลงตามเวลา ซ งเปลยนแปลงแบบ sinusoidal คอ I = Imax cos ωt เมอ Imax คอกระแสสงสด และ ω คอความถเชงมมของแหลงกาเนดกระแสสลบดงรป

cos max tI ω

(a) จงหาขนาดของสนามไฟฟาเหนยวนาภายนอกโซลนอยดทระยะ r > R จากแกนกลางตามความยาวของมน(b) ขนาดของสนามไฟฟาเหนยวนาภายในโซลนอยดทระยะหางจากแกนเปนระยะ r

r

R

32

tI ωcosmax

วธทา(a) หาขนาดของสนามไฟฟาเหนยวนาทระยะ r > R

เรมแรกพจารณาจดภายนอกและทาการ อนทเกรทเชงเสนเปนเสนทางวงกลมจดทมศนยกลางทศนยกลางโซลนอยด และมรศม r ดงรป จากความสมมาตรพบวาขนาดของ E มคาคงทบนเสนทางปดนและ 6 E อยในแนวเสนสมผส ฟลกซแมเหลกซ งผานพนทซ งลอมรอบดวยเสนทางนคอ 6 6 BA =BπR2 และ B = µ0nI จะไดวา

dt

dBR)RB(

dt

d

dt

dsdE 22B π−=π−=

φ−=⋅∫

vv

R) (r ... tsinr2

RnIE

2max0 >ωωµ

=

tsinnIRtcosdt

dInR-r)(2E max0

2max0

2 ωωµπ=

ωµπ=π

และ )r2( EsdE π=⋅∫vv

ดงนน6 ขนาดสนามไฟฟาภายนอกขดลวดโซลนอยดทเปลยนแปลงแบบ sinusoidal เทยบกบเวลา จะลดลงตาม 1/r

E α 1/r

9

33

tI ωcosmax

(b) หาขนาดของสนามไฟฟาเหนยวนาภายในโซลนอยดทระยะหางจากแกนเปนระยะ r

สาหรบจดภายใน r < R ฟลกซแมเหลกมคา เทากบ Bπr2 โดยใชขบวนการเดยวกบขอ (a) จะไดวา

tsinnIrdtdB

r)r2(E max022 ωωµπ=π−=π

R) (r ... tsinr 2

nI E max0 <ω

ωµ=

ดงนน6 ขนาดของสนามไฟฟาทเหนยวนาภายในโซลนอยด โดยการเปลยนฟลกซแมเหลก จะมคาเพมขนอยางเชงเสนเทยบกบ 6 r และมการเปลยนแปลงแบบ sinusoidalเทยบกบเวลา

E α r

34

สรป

dt

d Bφ−=ε

• จากกฎของฟาราเดย แรงเคลอนไฟฟาเหนยวนา ε ในวงจรจะเปนสดสวนโดยตรงกบอตราการ เปลยนแปลงฟลกซแมเหลก ตอเวลา ซ งเขยนเปนสมการไดดงน6

… (1)

เมอ คอ ฟลกซแมเหลก Bφ

sdB B

wv⋅=φ ∫ … (2)

• ถาวงจรประกอบดวยขดลวดจานวน N รอบ แรงเคลอนไฟฟาเหนยวนาจะเทากบ

dt

Nd Bφ−=ε … (3)

8. การเหนยวนาแมเหลก

35

• เมอตวนายาว L เคลอนทผานสนามแมเหลก B ดวยความเรว v โดยทสนามแมเหลกตงฉากกบตวนา 6 แรงเคลอนไฟฟาทไดจะเทากบ

BLv −=ε … (4)

• จากกฏของเลนส กระแสเหนยวนาจะอยในทศทางทตรงกนขาม กบการเปลยนแปลง ของฟลกซแมเหลก

• สมการทวไปของการเหนยวนา ของฟาราเดยเขยนไดเปน

dt

d sdE B∫φ

−=⋅=εvv

… (5)

โดยท E คอ สนามไฟฟาเหนยวนา 36



10

37

แบบฝกหด เลอนแทงแมเหลก NS เขาหาขดลวดโซลนอยดดงรปจะเกดอะไรขน 6

วธคด

นนคอ จะเกดกระแสเหนยวนา I ไหลจาก b ออกมาทาง a ตามกฏของฟาราเดย38

แบบฝกหด ลวดตวนาวงแหวนถกดงใหเคลอนทเขาสบรเวณสนามแมเหลก สมาเสมอ ดงรป จงเขยนทศทางของกระแสเหนยวนาทเกดในขดลวดตามกฎของฟาราเดย เมอขดลวดเขามาอยในบรเวณสนามแมเหลก B

วธคด ตอนแรก ฟลกซแมเหลกไมพงผานลวดวงแหวนเลย เมอลวดวงแหวนเขาไปในสนามแมเหลก B แลวจะเกดการ เปลยนแปลงฟลกซแมเหลก ∆φB ดงนน6 จะเกดกระแสเหนยวนา I ดงรป

x x x x x xx x x x x xx x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x

Bv

x x x x x xx x x x x xx x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x

Bv

I

39

แบบฝกหด จานวนขดลวดปฐมภมของหมอแปลงม 550 รอบ ทตยภม 30 รอบ หมอแปลงนใชกบไฟฟากระแสสลบ6 220 V ดงรป ถามวาจะมกระแสผานความตานทาน 3Ω เทาไร

40


ภาควชาฟสกส. เอกสารประกอบการสอนฟสกสเบองตน6 , คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยนเรศวรภาควชาฟสกส. ฟสกส2, คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลยD.C. Giancoli. Physics Principles with Applications, 3rded., Prentic-Hall,



1

1

9. สมการแมกซเวล

สมการแมกซเวล

สมการแมกซเวล (Maxwell’s equations) มทงหมด# 4 สมการเปนพนฐานสาหรบอธบายปรากฏการณทางแมเหลกไฟฟา#

สมการแมกซเวลแสดงกฏทางไฟฟาและทางแมเหลกซ9 งเราไดเรยนผานมาแลว ในสวนถดไปสมการ แมกซเวลจะแสดงใหเหนการมอยของคล9นแมเหลกไฟฟาซ9งเคล9อนท9ดวยความเรวแสง

s/m103/1c 800 ×=εµ=

2

โดยสมการแมกซเวลทง# 4 สมการ มรปแบบดงน#

0AdB s∫ =⋅

vv

dt

dsdE B∫

φ−=⋅

vv

dt

dIsdB E

000

φεµ+µ=⋅∫

vv

ฟลกซแมเหลกสทธท9ผานผวปดใดๆ จะมคาเปนศนย เพราะวาขวแมเหลกเด9ยวๆ # หรอขวแมเหลกอสระไมม#

Q

AdE s 0∫ ε

=⋅vv

(1)

(2)

(3)

(4)สนามแมเหลกสามารถถกสรางใหเกดขนไดทงโดยกระแสไฟฟา # # I และการเปล9ยนแปลงสนามไฟฟา

3

สมการ (1) แสดง กฏของเกาสสาหรบไฟฟา : ฟลกซไฟฟารวมซ9 งผานผวปดใดๆ จะเทากบประจสทธภายในพนผวหารดวย # ε0 กฎนแสดงความสมพนธระหวางสนามไฟฟา# และการกระจายประจท9ทาใหเกดสนามไฟฟาสมการ (2) พจารณา กฏของเกาสสาหรบแมเหลก กลาว วาฟลกซ แมเหลกสทธผานผว ปดใดจะมคาเปนศนย ซ9 งอธบายวาเสนสนามแมเหลกท9พงผานเขาไปในปรมาตรหน9งๆ จะเทากบเสนสนามแมเหลกท9พงออกจากปรมาตรนนๆ #

สมการ (3) เปน กฏของฟาราเดย เกยวกบการเหน9ยวนา9 ซ9 งอธบายการเกดของสนามไฟฟาโดยการเปล9ยนแปลงฟลกซแมเหลก กฎนแสดงใหเหนวา# emf ซ9 งเปนการอนทเกรตเชงเสนของสนามไฟฟารอบเสนทางปดเทากบอตราการเปล9ยนแปลง ของฟลกซแมเหลกซ9 งพงผานพนผวซ9งปดลอมดวยเสนทางนน # #สมการ (4) มกเรยกวา กฏของแอมแปร-แมกซเวล ซ9 งเปนรปแบบทวไปของ9 กฏของแอมแปร ซ9 งอธบายการเกดขนของสนามแมเหลกโดยสนามไฟฟาและกระแสไฟฟา # กลาววาการ อนทเกรตเชงเสนของสนามแมเหลกรอบเสนทางปดใดๆ คอผลรวมของ µ 0 คณกบกระแสสทธซ9งไหลผานเสนทางนนกบ # µ0ε0 คณกบอตราการ เปล9ยนแปลงฟลกซไฟฟาซ9งพงผานพนผวท9ลอมรอบดวยเสนทางนน # # ดงนนถาเราทราบคาสนามไฟฟาและ# สนามแมเหลกท9จดหน9งๆ ใน space

4

แรงแมท9กระทาตออนภาคมประจ q เคล9อนท9ดวยความเรว v ในสนามแมเหลก B สามารถคานวณไดจากสตร

Bvq EqF vvvv

×+=

ความสมพนธท9ไดเรยกวา Larentz Force Law ซ9 งใชอธบายอนตรกรยาทางแมเหลกไฟฟาได

(5)

2

5

แมกซเวลเปนคนแรกท9เสนอความคดเกยวกบคล9นแมเหลกไฟฟาโดย9 อาศยหลกพนฐานเกยวกบปรากฏการณทางแมเหลกไฟฟา# 9 ซ9 งสรปไดวา

• เม9อสนามแมเหลกเปล9ยนแปลงจะเหน9ยวนาใหเกดสนามไฟฟาขน #เร9อยๆไมวาบรเวณนนจะเปนตวนา # ฉนวน หรอท9วางเปลา

• เม9อสนามไฟฟาเปล9ยนแปลงจะเหน9ยวนาใหเกดสนามแมเหลกขน #รอบๆไมวาบรเวณนนจะเปนตวนา # ฉนวน หรอท9วางเปลา

Bv B∆ ↑

v

Bv

Ev

Ev

= สนามไฟฟาเหน9ยวนา

Ev E∆ ↑

v

Ev

Bv

= สนามแมเหลกเหน9ยวนาBv

6

กฎของฟาราเดย1. ตองมขดลวดตวนาวงจรปด2. เหน9ยวนาแลวเกดกระแสไฟฟา

หรอแรงเคล9อนไฟฟาเหน9ยวนาในขดลวด

3. ก า ร เ ห น9 ย ว น า เ ก ด จ า ก ก า รเปล9ยนแปลงฟลกซแมเหลกท9ผานวงจรปด

ทฤษฎของแมกซเวล1. ไมตองมขดลวดกได 2. เหน9ยวนาแลวเกดสนามไฟฟา3. กา ร เ ห น9 ย ว นา เ ก ด จ าก กา ร

เ ป ล9 ย น แ ป ล ง ข อ ง ฟ ล ก ซแ ม เ ห ล ก ห ร อ ฟ ลก ซ ข อ งสนามไฟฟากได

7

คลนแมเหลกไฟฟาเกดจาก

• การเคล9อนท9แบบ simple harmonic ของประจไฟฟาบวกและลบ• การเคล9อนท9ดวยความเรงของประจไฟฟา• การเปล9ยนระดบพลงงานของอเลคตรอนในอะตอม• การเปล9ยนระดบพลงงานของนวเคลยสของอะตอม 8

คลนแมเหลกไฟฟาแบบระนาบคณสมบตของคล9นแมเหลกไฟฟาสามารถสรปไดจากสมการ แมกซเวล คณสมบตตางๆ สามารถไดจากการทาการหาสมการดฟเฟอเรนเชยลลาดบท9สองของสมการแมกซเวลท9 (3) และ (4)

เพ9อใหเขาใจการทานายคล9นแมเหลกไฟฟาเราจะพจารณาคล9นแมเหลกไฟฟาใหเคล9อนท9ในทศ x โดยคล9นประกอบดวยสนามไฟฟา E ในแกน y และสนามแมเหลก B ในแกน z ดงรป ซ9งมขอจากดวาสนามไฟฟาและสนามแมเหลก จะขนานกนไปกบคของแกนซ9 งตงฉากกน # หรอเรยกวาเกดคล9นแบบโพลาไรซเชงเสน และสมมตวาท9จดใดๆ P ขนาดของ E และ B ขนอยกบโค# ออรดเนท x และ ตวแปล t เทานน #และไมขนอยกบโค # ออรดเนท y และ z

รปคล9นแมเหลกไฟฟาเคล9อนท9ดวยความเรวแสงในทศแกนบวก x สนามไฟฟาอยในแนวแกน y และสนามแมเหลกอยในแนวแกน z โดยสนามทงสองมคาเปล9ยนตามแกน# x และเวลา t

y

x

z

Bv

Bv

EvE

v

cvc

v

3

9

คล9นลกษณะแบบนท9ออกมาจากแตละแหลงกาเนดคล9นเรยกวา# คล9นระนาบ (plane wave) เราสามารถหาความสมพนธระหวาง E และ B โดยใชสมการ (3) และ (4) ใน space ท9วางเปลา Q = 0 และ I = 0 สมการ (3) จะไมเปล9ยนแปลงและสมการ (4) กลายเปน

dt

dsdB E

00

φεµ=⋅∫

vv

ใชสมการท9 (3) , (4) และสมมตฐานของคล9นระนาบ จะไดสมการดฟเฟอเรนเชยลแสดงความสมพนธระหวาง E และ B โดยไมพจารณาองคประกอบในแนว Ey และ Bz จะไดวา

t

B

x

E

∂∂

−=∂∂

t

E

x

B 00 ∂

∂εµ−=

∂∂

(6)

(7)

(8)10

การหาอนพนธในท9นเปนการหาอนพนธยอย# partial derivative ตวอยางเชน

ถาจะหาคา จะให t มคาคงท9 ถาจะหา จะให x คงท9 แลว

ทาการหาอนพนธสมการท9 (7) และรวมผลท9ไดเขากบสมการท9 (8) จะไดวา

x/E ∂∂ t/B ∂∂

t

E

t

x

B

t

t

B

x

x

E 002

2

∂∂

εµ−∂∂

−=

∂∂

∂∂

−=

∂∂

∂∂

−=∂∂

t

E

x

E

2

2

002

2

∂∂

εµ=∂∂ (9)

ทาการหาอนพนธสมการ (8) เทยบกบตวแปร x แลวรวมผลท9ไดกบสมการ (7) จะไดวา

t

B

x

B

2

2

002

2

∂∂

εµ=∂∂ (10)

11

สมการ (19) และ (20) เปนสมการท9แสดงรปแบบคล9นทวไป9ซ9 งมความเรวคล9นเปน

s/m3x10 1

c 8

00

≈εµ

=

ถาให µ0 = 4π x10-7 T.m/A และ ε0 = 8.854 x10-12 C2/N.m2 ในสมการ (21) จะได c = 3 x 108 m/s เหมอนกบความเรวของแสงใน empty space ทาใหเราเช9อวาแสงเปนคล9นแมเหลกไฟฟา

(11)

12

คาตอบอยางงายของสมการ (19) และ (20) คอคล9นรปไซนเชน

t)-(kx cosEE max ω=

)t(kx cosBB max ω−=

เม9อ Emax และ Bmax คอคาสงสดของสนามไฟฟาและแมเหลก ตามลาดบ เลขคล9นเชงมม (the angular wave number) k มคาคงท9 k = 2 π/λโดย λ คอ ความยาวคล9น ω = 2πf คอความถ9เชงมม และ f คอ ความถ9ของคล9น อตราสวน ω/k เทากบ c

(12)

(13)

cf /2

f2

k =λ=

λππ

=ω

โดยใชความสมพนธทวา v = c = λf

4

13

รป (a) แสดงคล9นระนาบโพลารไรซเชงเสนเคล9อนท9ในทศแกนบวก x รป (b) แสดงเวกเตอรสนามไฟฟาและสนามแมเหลกท9ตาแหนงหน9ง ณ เวลาตางๆ กน

รปแสดงคล9นรปไซน โพลาไรซเชงเสนของคล9นแมเหลกไฟฟา แบบระนาบซ9 งเคล9อนท9ในทศบวก x ดวยความเรว c (a) คล9นท9จดหน9ง รปไซนเปนการเปล9ยนแปลงของ E และ B เทยบกบ x (b) เวกเตอรสนามไฟฟาและสนามแมเหลกอยในระนาบ xy

y

xz

Bv

Ev

cv

(a) (b)

y

z

y

z

y

z

y

zy

z

y

z

y

zy

z

y

zy

z

y

z

y

z

14

ทาการหาอนพนธยอยสมการ (22) เทยบกบ x และสมการ (23) เทยบกบ t จะไดวา

)tkx( sinkE x

E max ω−−=∂∂ )tkx( sinB

t

B max ω−ω=∂∂

แทนคาผลท9ไดในสมการ (17) พบวา

B kE maxmax ω= c k

B

E

max

max =ω

=

ใชผลท9ไดรวมกบสมการ (22) และ (23) จะพบวา

c B

E

B

E

max

max ==

นนคอ9 ทกๆ ขณะ อตราสวนของขนาดของสนามไฟฟากบขนาดของ สนามแมเหลกในคล9นแมเหลกไฟฟาจะเทากบความเรวแสง

และ

15

ตวอยาง คล9นแมเหลกไฟฟา คล9นแมเหลกไฟฟารปไซนความถ9 40 MHz เคล9อนท9ในท9วาง ในทศ x ดงรป (a) จงหาความยาวคล9นและคาบเวลาของคล9น(b) ท9จดๆหน9งในขณะหน9ง สนามไฟฟามคาสงสด 750 N/C ในแนวแกน y

จงคานวณหาขนาดและทศของสนามแมเหลกขณะนน #( c) เขยนสตรการแปลคาตาม space-time ขององคประกอบสนามไฟฟาและ

สนามแมเหลกสาหรบคล9นน #y

x

z

cv

Ev

Bv

รป ณ เวลาเดยวกนคล9นแมเหลกไฟฟา เคล9อนท9ในทศ x มสนามไฟฟาสงสด 750 N/C ในทศบวก y สนามแมเหลกท9จดนนมขนาด# E/c ในทศ z

16

วธทา(a) จงหาความยาวคล9นและคาบเวลาของคล9น

m 5.71040

103

f

c

6

8

=××

==λ

s 102.5 1040

1

f

1 T 8

6×=

×==

(b) ท9จดๆ หน9งในขณะหน9ง สนามไฟฟามคาสงสด 750 N/C ในแนวแกน y จงคานวณหาขนาดและทศของสนามแมเหลกขณะนน #

T 105.2 103

750

c

E B 6

8max

max−×=

×==

เน9องจาก E และ B ตองตงฉากกนและกนและตองตงฉากกบทศการ# # กระจายของคล9น (ในกรณนคอแกน# x) ดงนนสรป# ไดวา B อยในทศ z

5

17

(c) เ ขยนสตรการแปลคาตาม space-time ขององคประกอ บสนามไฟฟาและสนามแมเหลกสาหรบคล9นน #

t)-(kx cos ) (750 t)-(kx cosE E max ω=ω=

ใชสมการ (22) และ (23)

)tkx( cos )105.2( )tkx( cosB B 6max ω−×=ω−= −

s/rad 1051.2)104( 2f2 87 ×=×π=π=ωเม9อ

m/rad 838.05.7

22k =

π=

λπ

=

18

• สมการแมกซเวล เม9อนามารวมกนสามารถอธบายปรากฏการณทางแมเหลกไฟฟาได ซ9 งม 4 สมการ ดงน#

0AdB s∫ =⋅

vv

dt

dsdE B∫

φ−=⋅

vv

dt

dIsdB E

000

φεµ+µ=⋅∫

vv

Q

AdE s 0∫ ε

=⋅vv

(1) กฏของเกาสสาหรบไฟฟา

(2) กฏของเกาสสาหรบแมเหลก

(3) กฏของฟาราเดย

(4) กฏของแอมแปร-แมกซเวล

สรป 9. สมการแมกซเวล

19

• คล9นแมเหลกไฟฟาท9ทานายดวยสมการของ แมกซเวล มสมบต ดงน#• สนามไฟฟาและสนามแมเหลกจะสอดคลองกบสมการคล9น ซ9 งจะพสจนได

จากสมการท9 3 และ 4 ของแมกซเวล คอ

• คล9นแมเหลกไฟฟาท9เดนทางใน สญญากาศหรอบรเวณท9วางเปลามคาเทากบ ความเรวแสง c เม9อ

• สนามไฟฟาและสนามแมเหลกของคล9นแมเหลกไฟฟาจะตงฉากกนและตาง #กตงฉากกบทศทางการเคล9อนท9ของคล9น # ซ9 งกลาวไดวา คล9นแมเหลกไฟฟาเปนคล9นตามขวาง

• ขนาดของสนามไฟฟาและสนามแมเหลก คอ E และ B ในขณะหน9งๆ ของ คล9นแมเหลกไฟฟา จะสมพนธกนตามสมการ E/B = c

t

E

x

E

2

2

002

2

∂∂

εµ=∂∂

t

B

x

B

2

2

002

2

∂∂

εµ=∂∂

s/m 3x10 1

c 8

00

≈εµ

=

20

• คล9นแมเหลกไฟฟาพาเอาพลงงานตดตวไปดวย อตราการไหลของพลงงานผานหน9 งหนวยพนท9 # กาหนดดวย Poynting Vector S ในแนวตงฉากกบผวอยาง# สมบรณ ความดนของรงสคล9นคอ

P = S/c …… (Complete Absorbtion)ถาพนผวสะทอนคล9นอยางสมบรณ# ความดนจะเปน 2 เทา

• สนามไฟฟาและสนามแมเหลกของคล9นไซนท9เปนคล9นระนาบท9เดนทางในแนวแกน x เขยนไดเปน

E = Emax cos (kx-ωt)B = Bmax cos (kx-ωt)

เม9อ ω คอ ความถ9เชงมม และ k คอ เลขคล9นเชงมม สมการนคอ# solution ของสมการคล9นสาหรบ E และ Bเม9อ ω = 2πf และ k = 2π/λ เม9อ f คอความถ9 (Hz) และ λ คอ ความยาวคล9น (m) จะพบวา ω/k = λf = c

6

21

• คาเฉล9ยของ Poynting vector สาหรบคล9นแมเหลกไฟฟาท9เปนคล9นระนาบ จะมขนาด

ความเรวเฉล9ยของคล9นแมเหลกไฟฟาท9เปนคล9นไซนมคาเทากบ คาเฉล9ยของ Poynting vector ใน 1 คาบคอหลายคาบ

• สเปกตรมของคล9นแมเหลกไฟฟาคลอบคลมชวงของความถ9และ ชวงของความยาวคล9นท9กวางมาก ความถ9และความยาวคล9นจะสมพนธกนตามสมการ c = λf

2

cB

c2

E

2

BE S

0

2max

0

2max

0

maxmaxav µ

=µ

=µ

=

22



23


ภาควชาฟสกส. เอกสารประกอบการสอนฟสกสเบองตน# , คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยนเรศวรภาควชาฟสกส. ฟสกส2, คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลยD.C. Giancoli. Physics Principles with Applications, 3rded., Prentic-Hall,



1. กฎของโอหม 2. วงจรไฟฟากระแสตรง 3. กฎของเคอรชอฟฟ 4. วงจรไฟฟากระแสสลบ 5. อเลกทรอนกสเบ'องตนและการประยกต

2

แบตเตอร, (Battery)

ตวตานทานไฟฟา (Resistors)

กฎของโอหม (Ohm’s Law)

กาลงไฟฟา (Electric Power)

วงจรไฟฟาในบานพกอาศย

ไฟฟากระแสสลบ (AC Current)

ความรพ'นฐานเก,ยวกบไฟฟา

3

ไฟฟาท,ใชในบานเรอน

220V

ไฟฟาจาก กฟภ.4

André-Marie Ampère' (1775-1836)

อเลกตรอนตนกาเนดมาจากภาษากรก “elektron”

ซงหมายถง “อาพน (amber)”

ไฟฟามอย 2 ชนด คอ:

ไฟฟาสถตย (Static Electricity )- ไมมการเคลอนทของประจไฟฟาอสระ

ไฟฟากระแส (Current Electricity) - มการเคลอนทของประจไฟฟาอสระ แบงเปน

ไฟฟากระแสตรง (Direct Current หรอ DC)

ไฟฟากระแสสลบ (Alternating Current หรอ AC)

กระแสไฟฟา (Electric Current)

tQ

I∆∆∆∆

∆∆∆∆====

ถาทาการตอข Hวไฟฟาของแบตเตอรเขากบ วงจรไฟฟา เกดการไหลของประจไฟฟา : กระแสไฟฟาหนวย : 1 Coulomb/second = 1 Ampere (A) ประจไฟฟาของอเลกตรอนมคาเทากบ 1.6 x 10 -19 C

ในตวนาไฟฟาอเลกตรอนจะเคลอนทไดอยางอสระและทาใหเกดการเค ลอนทของประจไฟฟา ซงกระแสไฟฟาจะถกกาหนดใหไหลจากข Hวไฟฟาบวก (positive) ไปยงข Hวไฟฟาลบ (negative) ของแบตเตอร

acid

copper

zinc

+ –

V+ –

หรอ

สญลกษณ

6

กระแสไฟฟา (Electric Current)

เมอพจารณาการไหลของสงใดเรามก

พจารณาถงประมาณการไหลของสงน น

ผานพนทหนาตดในหนงหนวยวนาท

สาหรบกรณของกระแสไฟฟา เราจะ พจาณาทการไหลของประจไฟฟาผาน สายไฟในเวลา 1 วนาท

7

ความรเพ,มเตมเก,ยวกบกระแสไฟฟา

เนองจากอเลกตรอนเคลอนทชา แตทาไมหลอดไฟจงตดทนท เมอสบสวทชไฟ ?

ภายในสายไฟ : อเลกตรอนจะเคลอนทอยาง ชาๆ ดวยความเรวลอยเลอน (drift) ประมาณ 0.05 mm/s. หรอเคลอนทไดระยะ 1 เมตร ใชเวลาประมาณ 5 ช วโมง !!

การท "กระแสไฟฟาเคล "อนท "ไดเรวเน"องจากสนามไฟฟาเคล "อนท "เรวมาก

8

เมอมศกยไฟฟาตกครอมเสนลวดตวนาไฟฟาจะทาใหเกดสนาม E ขHนทาใหอเลกตรอนเกดการ เคลอนทในสนามไฟฟาดวยความเรว Vd (Drift Velocity)

ความหนาแนนของกระแสไฟฟาทไหล (Current Density, J) หรอ กระแสไฟฟาตอหนวยพHนท (J = I / A) คานวณไดจากสมการ

n คอ ความหนาแนนของอเลกตรอน หรอ จานวน อเลกตรอนตอหนวยปรมาตร

J = neVd

ตวนาไฟฟาและฉนวนไฟฟา

ตวนาไฟฟา (Conductor)

» วสดทมอเลกตรอนอสระ

» ไดแก ทองแดง, อลมเนยม , ทองคา, โลหะทกชนด

ฉนวน (Insulator)» วสดทไมมอเลกตรอนอสระ

» ไดแก แกว, พลาสตก , เซรามก , ไม

10

การเปรยบเทยบวงจรไฟฟากบน'า

กระแสนากระแสไฟฟากระแสท,ไหล

กงหนนา หลอดไฟตวตานทาน

ปมนา แบตเตอรแหลงพลงงาน

วงจรนHาวงจรไฟฟา

11

วงจรไฟฟา

อปกรณตางๆ ของวงจรไฟฟาประกอบดวย:

• แบตเตอร, (แหลงกาเนดพลงงาน)

• สายไฟสาหรบตออปกรณ

• ตวตานทานไฟฟา (สายไฟ, หลอดไฟ,อปกรณ เปนตน)

• สวทซไฟ

I

ไดอะแกรมของวงจรไฟฟา ดแตกตางจาก วงจรไฟฟาจรงแตวตถประสงคของการแสดงทงสองแบบเพอ แดสงการตอวงจรไฟฟา! น,นเอง

12

วงจรไฟฟาอยางงาย

+

-

ขอตกลง ทศการไหลของกระแสไฟฟาจะมทศเหมอนกบ

ทศการไหลของประจไฟฟาบวก คอ เคลอนทจากข Hวไฟฟาบวกของแบตเตอร ผานอปกรณภายนอกไปยงข Hวไฟฟาลบของแบตเตอร!

กฎของโอหม : Ohm’s Lawลกษณะความสมพนธระหวางคาแรงดนไฟฟา (V) ทจายใหกบวงจรไฟฟา, กระแสไฟฟา (I) ทไหลผานวงจรไฟฟา และความตานทานของวงจรไฟฟา (R) มรปแบบเปนอยางไร ?

= V

I

R

Georg Simon Ohm(1789-1854)

I มหนวยเปน แอมแปร (A)V มหนวยเปน โวลต (V)R มหนวยเปน โอหม (ΩΩΩΩ)

14

การเกดกระแสไฟฟา จะตองมความตางศกย V เกดขHนเสยกอน

ตวนาไฟฟาทกชนด : ถาม V คาสง จะทาใหเกด I คาสงดวย

กฎของโอหม (Ohm’s law) :

V = I R

คาความตานทานไฟฟาunits: Ω Ω Ω Ω ((((ohm)

V

IR

I

สญลกษณ

15

สภาพตานทานไฟฟา (Resistivity) ความตานทานไฟฟาของตวนาไฟฟาจะขHนอยกบรปทรงทาง

เรขาคณตของตวนาไฟฟานHน ?

AL

R ρρρρ====

LAI

ความยาว (L) มาก ขดขวาง การไหลของอเลกตรอน

พHนทหนาตด (A) มาก อเลกตรอนไหลได สะดวก

สภาพตานทานไฟฟา: ρρρρ (หนวย ΩΩΩΩm)(หาไดจากตาราง)

16

สายไฟเสนหนงยาว 10 เมตร ประกอบดวยสายไฟททาจาก

ทองแดงยาว 5 เมตรและอลมเนยมยาว 5 เมตร

เสนผาศนยกลางของสายไฟท Hงหมดเทากบ 1 เมตร ความ

ตางศกยไฟฟาทครอมสายไฟมคาเทากบ 80 โวลท .

ใหหาคาความตานทานไฟฟารวมของสายไฟ ?

ใหหากระแสไฟฟาทไหลผานสายไฟ ?

คาความตานทานไฟฟา (Resistance)

สภาพตานทานไฟฟา (Resistivity)

สภาพตานทานไฟฟาของวสดจะขHนอยกบ อณหภมของวสดนHน

สาหรบตวนาไฟฟา (conductors), อณหภม สงกวา สภาพตานทานไฟฟาจะมคา มากกวา

αααα คอ สมประสทธอณหภมตอสภาพตานทานไฟฟา k (temperature coefficient of resistivity)

บวก สาหรบ ตวนาไฟฟา (conductors)

ลบ สาหรบ สารกงตวนาไฟฟา (semiconductors)

ρρρρΤΤΤΤ = = = = ρρρροοοο [ 1 + α ([ 1 + α ([ 1 + α ([ 1 + α (T - T0 )]

18

อนตรายทเกดจากกระแสไฟฟาไหลผาน ถาเราสมผสกบตวนาไฟฟาทมประจไฟฟา จะเกดอนตรายเนองจาก :

ความตางศกยไฟฟาระหวางตวนาไฟฟากบกราวด (ground)

เกดกระแสไฟฟาไหลผานรางกายเรา !

R = 0.5 x 106 ΩΩΩΩ (สาหรบมอแหง) I = 0.24 mA

R = 0.5 x 104 ΩΩΩΩ (สาหรบมอเปยก) I = 24 mA

RV

I ====

แรงดนไฟฟา 120 V

ความตานทานไฟฟาของรางกาย

ความรนแรงจะขHนอยกบ ปรมาณกระแสไฟฟา ทไหลผานรางกายของเรา

19

อนตรายจากกระแสไฟฟากระแสไฟฟา ผลกระทบ อนตราย ?

1 mA ทาใหสะดง ไมตาย

5 mA รสกเจบ ไมตาย

10 mA กลามเน'อหยดทางาน ไมตาย

20 mA หยดหายใจ เปนนาทตาย

100 mA หวใจหยดทางาน เปนวนาทตาย

1000 mA ไหมเกรยม ตายทนท

อยาใช ไดยเปาผมในอางนา

(DC Circuit)

0 ดา (Black)1 นาตาล (Brown)2 แดง (Red)3 สม (Orange)4 เหลอง (Yellow)5 เขยว (Green)6 นาเงน (Blue)7 มวง (Violet)8 เทา (Gray)9 ขาว (White)

รหสสของคาความตานทานไฟฟาคาความคลาดเคลอน

5% ทอง (Gold)10% เงน (Silver)

2

การตอแบบอนกรม

การตอขนาน

การตอขนาน

การตอแบบผสม

ตวอยางการตอวงจรไฟฟา

มลตมเตอร ประกอบดวย

คาททาการวด อปกรณ ลญลกษณของเครองมอ

(Measurement) (Device) (Circuit Symbol)

Voltage Voltmeter

Current Ammeter

Resistance Ohmeter

V

A

Ω

3 4

แรงดนไฟฟา (Voltage)

แรงดนไฟฟา คอศกยไฟฟาทใชในการเคลอนทของอเลกตรอน .

แหลงกาเนดแรงดนไฟฟา

แบตเตอร (DC)

ปลกซไฟ (AC)

เทอมของ กราวด (ground) จะอางองทแรงดนไฟฟาศนยหรอ คาศกยไฟฟาของโลก

การเคลอนทของประจไฟฟา (กระแสไฟฟา) เกดจากความ ตางศกยไฟฟา (แรงดนไฟฟา) ซงเกดจากแบตเตอร อปกรณไฟฟาและสายไฟจะตานทานการไหลของประจไฟฟา.

กฎของโอหม (Ohm’s Law) จะแสดงถงความสมพนธระหวาง ศกยไฟฟา (potential), กระแสไฟฟา (current) และความตานทานไฟฟา(resistance) คอ V = IR

6

การตอวงจรไฟฟาของตวตานทานไฟฟา

• การตออนกรม (series) :

• การตอขนาน (parallel) :

กระแสไฟฟามคาเทากน ; แรงดนไฟฟามคาเทากบ Iri

R = R1 + R2

แรงดนไฟฟามคาเทาก น ; กระแสไฟฟามคาเทากบ V/Ri

1/R = 1/R1 + 1/R2

• การแกโจทยวงจรไฟฟา

• วงจรไฟฟานSมความซบซอนขSน?

7

การตออนกรมและขนานตวตานทานไฟฟา

ตวตานทานไฟฟาสองตวหรอมากกวาตอปลายดานเดยวเขาดวยกน แสดงดงรป เรยกวาตอแบบอนกรม (series)

การตอแบบอนกรม กระแสไฟฟาไหลผานตวตานทานไฟฟาแตละตวจะมคาเทากน ถามตวตานทานไฟฟาตวหนงเกดความเสยหาย จะทาใหไมมกระแสไฟฟาไหลในวงจรไฟฟานS

8

สาหรบการตอแบบอนกรม แรงดนไฟฟาครอมตวตานทานไฟฟาแตละตวจะขSนอยกบความ ตานทานไฟฟา คานวณคาไดจากสมการ V=IR เพอคานวณหาแรงดนไฟฟาตกครอมตวตานทานไฟฟาแตละตว

ถากระแสไฟฟาทไหลในวงจรไฟฟามคาเทากบ 1 A แรงดนไฟฟาทครอมตวตานทานไฟฟาแตละตวม คาเทาใด ?

การประยกตใชกฏของโอหมกบวงจรไฟฟาตอแบบอนกรม

321321

321

321

321321

)(RRRR

RRRIIR

VVVV

IRIRIRIR

VVVV

IRV

VVVV

totaltotal

total

++=⇒

++=

++=

++=

++=⇒

=

++=

10

ตวตานทานไฟฟาสองตวหรอมากกวาตอท Sงสองดานเขาดวยกน จะเกดการไหลของกระแสไฟฟาไปยงแตละสาขาของวงจรไฟฟา แสดงดงรป เรยกวา การตอแบบขนาน (parallel).

การตอวงจรไฟฟาแบบขนานจะเกดกระแสไฟฟาไหลแยกไปยงตว ตานทานไฟฟาแตละตว และกระแสไฟฟาทแตละสาขาของวงจรไฟฟาอาจมคาแตกตางกน ถามตวตานทานไฟฟาตวใดตวหนงเกดความเสยหาย กระแสไฟฟาจะไหลผานตวตานทานไฟฟาทเหลอ

11

กระแสไฟฟาทไหลผานตวตานทานไฟฟาแตละตวอาจมคาแตกตางกน และความตางศกยไฟฟาทครอมตวตานทานไฟฟาทก ตวมคาเทากน เราใชสมการ I=V/Rสาหรบคานวณกระแสไฟฟาทไหลผานตวตานทานไฟฟาแตละตว .

ถาแรงดนไฟฟาทครอมวงจรไฟฟามคา เทากบ 24 โวลท ใหคานวณหาคากระแสไฟฟาทไหลผานตวตานทานไฟฟาแตละตวมคาเทาใด ?

12

321

321

321

1111

RRRR

constV

R

V

R

V

R

V

R

V

R

VI

IIII

total

++=

=

++=⇒

=

++=

การประยกตใชกฏของโอหมกบวงจรไฟฟาตอแบบขนาน

สงสาคญของการคานวณวงจรไฟฟานSคอการหาคาความตานทาน ไฟฟาสมมล (equivalent resistance) ของ วงจรไฟฟาทตอตวตานทานไฟฟาแบบอนกรมหรอแบบขนาน ซงสามารถแทนดวยตวตานทานไฟฟาเพยงตวเดยว ไดแก คาความตานทานไฟฟาสมมล (equivalent resistance) คานวณคาไดจากสมการ

Requivalent = R1 + R2 + R 3 + ... (for resistors in series)

1

Requivalent

=1

R1

+1

R2

+1

R3

+ ... (for resistors in parallel)

14

Example: จากรปใหหาคาตางๆ ดงนS :

a. คาความตานทานไฟฟา

สมมลของวงจรไฟฟา

a. กระแสไฟฟาทไหลในตาแหนง

ตางๆ ของวงจรไฟฟา

a. คาความตางศกยไฟฟาทตาแหนงตางๆ ของวงจรไฟฟา

b. กาลงไฟฟาของแบตเตอร

c. กาลงไฟฟาของตวตานทานไฟฟาแตละตว

18V

3 ΩΩΩΩ 6 ΩΩΩΩ 9 ΩΩΩΩ

15


• คาความตานทานไฟฟา


• คาความตางศกยไฟฟาทครอม

ตวตานทานไฟฟาแตละตว

• กระแสไฟฟาทตาแหนงตางๆ

ในวงจรไฟฟา

• กาลงไฟฟาของแบตเตอร

• กาลงไฟฟาของตวตานทานไฟฟาแตละตว

24V

4ΩΩΩΩ

6ΩΩΩΩ

12ΩΩΩΩ

16


• คาความตานทานไฟฟา


• กระแสไฟฟาทไหลผาน

ในตาแหนงตางๆ ของวงจรไฟฟา

• คาแรงดนไฟฟาทตาแหนงตางๆ

ของวงจรไฟฟา

• กาลงไฟฟาของแบตเตอร

• กาลงไฟฟาของตวตานทานไฟฟาแตละตว

36V

8 ΩΩΩΩ

12 ΩΩΩΩ

6 ΩΩΩΩ

วงจรไฟฟาทซบซอน

การแกโจทย:

หาคาความตานทานไฟฟาสมมลของวงจรไฟฟา

คานวณหาคากระแสไฟฟาจากคาแรงดนไฟฟาตกครอมวงจรไฟฟาทกาหนดให (∆∆∆∆V=Vc-Va)

18

อปกรณทใชตอวงจรไฟฟา

สาขาของวงจรไฟฟา (Branch)

ตวตานทานไฟฟา, ตวเกบประจไฟฟา … มปลายสองดาน จดตอ (Junction หรอ Node)

จดทตอวงจรไฟฟาสาขาเขาดวยกน

• ลป (Loop)R1=10 ΩΩΩΩ

E1 = 10 V

IB

I 1

E2 = 5 VR2=10 ΩΩΩΩI2

+ -

19

Question?

ตวตานทานไฟฟา R1 และ R2 ตอวงจรไฟฟากนแบบใด

1) ตอขนาน

2) ตออนกรม

3) ไมท Sงสองอยาง

การคานวณเกยวกบวงจรไฟฟาตองทาการกาหนดลปโดยใหอปกรณท SงสองอยลปนSน .

ลปดานบนประกอบดวย R1 และ R2 ตออยกบ E2.

ลปดานนอกประกอบดวย E1 และ R1 เทากน โดยลปท Sงสองตอขนานกน .

R1 = 10 ΩΩΩΩ

E1 = 10 V

IB

I1

E2 = 5 VR2 = 10 ΩΩΩΩ

I2

20

สาเหตทวงจรไฟฟาจรงมความยงยาก ?คาความตานทานไฟฟาทตาแหนงตางๆ

แหลงกาเนดไฟฟามความตานทานไฟฟาภายใน

มเตอรทใชวดรบกวนปรมาณตางๆ ของวงจรไฟฟาสายไฟมความตานทานไฟฟาไมเปนศนย

…คาความตานทานทเกดขSนเหลานSทาใหการคานวณม

ความซบซอนมากขSน

ความตานทานไฟฟาภายในเซลInternal Resistance

แหลงกาเนดไฟฟาทกชนดจะมความตานทานไฟฟาภายในเซลล :มคานอยมากแตไมควรตดทง S เนองจาก» ทาใหแรงดนไฟฟาเอาทพท

ของแบตเตอรมคาลดลง» แรงดนไฟฟาทข Sวของแบตเตอร :

V = E - I r» จากดกระแสไฟฟาทแบตเตอรจายได» กระแสไฟฟาทไหลผานโหลดมคา ตามสมการ

I = E / (RLoad + r)22

การตอแหลงกาเนดไฟฟา

การตอแหลงกาเนดไฟฟากระแสตรง

การตออนกรม

» เพมคาแรงเคลอนไฟฟา E = E1 + E2

»ความตานทานไฟฟาภายในเซลลสงขSนr = r1 + r2

»แรงดนไฟฟาทข SวไฟฟาแบตเตอรV = E1 - I r1 + E2 - I r2

23

เครองประจไฟฟาแบตเตอร

กระไฟฟาจะไหลตามทศของ emf ทสงกวา

เครองประจไฟฟาตองม emf สงกวาเพอทาใหเกด กระแสไฟฟาไหลยอนกลบในแบตเตอร

24

การตอขนานแบตเตอร

การตอขนานแบตเตอรจะทาใหความตานทานไฟฟาภายในรวมมคาลดลง

สามารถจายกระแสไฟฟาไดสงขSน

การตอแอมมเตอร (วดกระแสไฟฟา) และ โวลทมเตอร (วดความตางศกยไฟฟา ).

ตอขนานกบ

ตวตานทานไฟฟา

ตออนกรมกบตวตานทานไฟฟา26

มเตอร (Meters)แอมมเตอร (ammeter) ตออนกรม

เพอวดกระแสไฟฟาในอดมคตแอมมเตอรควรม

ความตานทานไฟฟาเปนศนยโวลทมเตอร (voltmeter) ตอขนานกบ

อปกรณเพอใชวดแรงดนไฟฟาทครอมอปกรณตวนSนๆในอดมคตโวลทมเตอรควรม

ความตานทานไฟฟาสงมากหรอเทากบอนนต

คาความตานทานไฟฟาสามารถหาไดจากการวดคาแรงดนไฟฟาและกระแสไฟฟา

27

กาลงไฟฟา, พลงงานไฟฟา และประสทธภาพ

กาลงไฟฟา (Power) คอ อตราของการเปลยนรปพลงงานไฟฟา.

ตวตานทานไฟฟา ทาการเปลยนรป พลงงานไฟฟา ไปเปน พลงงานความรอน.

สมการของกาลงไฟฟา :

P = I E กาลงไฟฟาทจายโดยแบตเตอร

P = I V กาลงไฟฟาทเกดกบตวตานทานไฟฟา

แลวเราจะใชสมการเหลาน@ เม Bอไร ?

28

กาลงไฟฟา (Electric Power) พลงงานไฟฟา เปนพลงงานทนยมใชกนอยางแพรหลาย เนองจาก

สามารถเปลยนไปเปนรปพลงงานอนๆ ไดแก

พลงงานความรอน (thermal energy) ไดแก heaters

พลงงานกล (mechanical energy) ไดแก มอเตอร (motors)แสงสวาง (light) ไดแก หลอดไฟ

P = I V

อตรา การเปลยนรปพลงงานสามารถกาหนดในรปของ กาลง ไฟฟา (electric power) :

หรอ P = V 2 / R

หรอ P = I 2 R

หนวย : 1 Watt = 1 J/s

P = I V

พลงงานไฟฟาและกาลงไฟฟา

]V][A[]s][J[]W[

IVtPtE;IVP

==

===

Combining P = IV with Ohm’s law! R

VRIIVP

R

VI

IVP 22 ===⇒

=

=

J000,600,3)s3600)(W1000(kWhr1

WsJ );It(VPIVItE

==

====

30

ความสมพนธระหวางพลงงานไฟฟากบกาลงไฟฟา คอ:

W = พลงงานไฟฟา หนวย จลP = กาลงไฟฟา หนวย วตตt = เวลา หนวย วนาท

W = Pt

31

ประสทธภาพ (Efficiency)

%100P

P

i

o ×=η

i o LP P P= +

1 แรงมา (HP) = 746 W

Po คอ กาลงเอาทพท Pi คอ กาลงอนพท PL คอกาลงสญเสย

32

พลงงานไฟฟาทใชในชวตประจาวน

J000,600,3)s3600)(W1000(kWhr1

WsJ );It(VPIVItE

==

====

พลงงานไฟฟาทเราซSอในชวตประจาวนจะมหนวยเปน kWh หรอ กโลวตต -ช วโมง.

ถาเราใชตไมโครเวฟขนาด 1000 W เปนเวลา 1 ช วโมง น นคอเราใชพลงงานไฟฟาเทากบ 1 kWh

พลงงานไฟฟาทเกบสะสมในแบตเตอร มหนวยเปน Ah หรอ แอมแปร-ช วโมง เนองจากแรงดนไฟฟาของแบตเตอรมคาคอนขางคงตว .

(Kirchoff’s Law)

เราจะคานวณวงจรไฟฟานไดอยางไร ?

2

กฎของเคอรชอฟฟ

กฎจดตอของเคอรชอฟฟ

Kirchhoff’s Junction Rule (KJR):

ผลรวมของคากระแสไฟฟาท7ไหลเขาสงจดตอจะมคาเทากบผลรวมของ กระแสไฟฟาท7ไหลออกจากจดตอนน

» การอนรกษประจไฟฟาConservation of charge

ประจไฟฟาท7เพมขนและลดลงท77จดตอนนมคาเทากน !

3

กฎแรงดนไฟฟาของเคอรชอฟฟKirchhoff’s Voltage Rule (KVR)

ผลรวมของแรงดนไฟฟาลดรอบลปจะมคาเปนศนย .

การอนรกษพลงงาน

» พลงงานของประจไฟฟาท7เพมขนและลดลงภายในลปม7คาเทากน !

E = Ir + IR

4

Kirchhoff’s Voltage Rule

ผลรวมของแรงดนไฟฟารอบลปมคาเปนศนย .

R1 = 5 ΩΩΩΩ I

+

-

+–εεεε1+IR1 + εεεε2 + IR2 = 0

-50 + 5 I + 10 +15 I = 0

I = +2 Amps

1. ใหเขยนกระแสไฟฟาท งหมด (ใหเลอกทศของกระแสไฟฟา )

2. ใหเขยนเคร7องหมาด +/- ของอปกรณทกชน (กระแสไหลเขาเปน + ออกเปน - )

3. กาหนดทศทางของกระแสไฟฟารอบลป (เลอกตามใจชอบ !)4. เขยนคาแรงดนไฟฟาลด (เคร7องหมายท7ลกศรเขาหาคอเคร7องหมายในสมการ!)

-

εεεε1= 50V

+

-

+-

R2 = 15 ΩΩΩΩ εεεε2 = 10V

A

B

Kirchhoff’s Voltage Rule

I

+

-

+

–εεεε1+IR1 + εεεε2 + IR2 = 0-50 + 5 I + 10 +15 I = 0I = +2 Amps -

εεεε1 = 50V

+

-

+-

R2 = 15 ΩΩΩΩ εεεε2 = 10V

A

B

ความตางศกยไฟฟาระหวางจด A กบ B?

VBA = -IR2 –E2

= (-2x15)-10 = -40 Volts

VBA = –E1+IR1= -50 + (2x5) = -40 Volts

ผลรวมของแรงดนไฟฟารอบลปมคาเปนศนย .

R1 = 5 ΩΩΩΩI

1. ใหเขยนกระแสไฟฟาท งหมด (ใหเลอกทศของกระแสไฟฟา )2. ใหเขยนเคร7องหมาด +/- ของอปกรณทกชน (กระแสไหลเขาเปน + ออกเปน - )3. กาหนดทศทางของกระแสไฟฟารอบลป (เลอกตามใจชอบ !)4. เขยนคาแรงดนไฟฟาลด (เคร7องหมายท7ลกศรเขาหาคอเคร7องหมายในสมการ!)

B

6

ตวอยาง KVR

R=10 Ω

E1 = 10 V

IB

I1

E2 = 5 VR=10 ΩI2

1) I1 = 0.5 A

2) I1 = 1.0 A

3) I1 = 1.5 A

+ -

+ -เฉลย -E1 + I1R = 0

ใหหาคากระแสไฟฟา I1 มคาเทาใด ?

I1 = E1 /R = 1A

7

คาถาม KVR

คา I1 เกดการเปล7ยนแปลงอยางไรถาสวทซถกเปดออก ?R = 10 ΩΩΩΩ

E1 = 10 V

IB

I1

R = 10 ΩΩΩΩ

I2

+ -

+ -

E2 = 5 V

1) เพมขน7

2) ไมเปล7ยนแปลง

3) ลดลง

ใชกฏของเคอรชอฟฟคานวณลปดานนอก:

-E1 + I1R = 0

I1 = E1 /R = 1A8

ตวอยาง KVR

R = 10 ΩΩΩΩ

E1 = 10 V

IB

I1

E2 = 5 V R=10 ΩΩΩΩI2

+ -

+ -

เฉลย -E1 +E2 + I2R = 0

I2 = 0.5A

1) I2 = 0.5 A

2) I2 = 1.0 A

3) I2 = 1.5 A

คากระแสไฟฟา I2 มคาเทาใด ?

Kirchhoff’s Junction Rule

กระแสไฟฟาไหลเขา = กระแสไฟฟาไหลออก @ node นนI1 I2

I3

I1 = I2 + I3

IB = I1 + I2 = 1 A + 0.5 A = 1.5 A

R=10 ΩΩΩΩ

E1 = 10 V

IB

I1

E = 5 VR=10 ΩΩΩΩI2

+ -

1) IB = 0.5 A

2) IB = 1.0 A

3) IB = 1.5 A

ใหหาคากระแสไฟฟา IB มคาเทาใด ?

10

ข นตอนการคานวณวงจรไฟฟาท7ซบซอน

1. ใหทาการสมมตทศของกระแสไฟฟา และใชกฏของเคอรชอฟฟ (Kirchhoff’srules). ถาการสมมตผดจะทราบคาไดจากคาตอบ .

2. ถาสามารถคานวณคาความตานทานไฟฟาสมมลของตวตานทานไฟฟาท7ตอ อนกรมและขนานได ใหทาการคานวณ คาความตานทานไฟฟาสมมลใหเรยบรอยกอน

3. ถาวงจรไฟฟามหลายลป ใหใชกฏจดตอ (junction rule) และกฏของลป (loop rule) เพ7อกาหนดสมการ ควรกาหนดจานวนสมการใหมากท7สด อยางนอยตองมจานวนสมการเทากบจานวนตวแปรในวงจรไฟฟา .

4. อยาวตกกงวลเก7ยวกบการเลอกทศของกระแสไฟฟา , การกาหนดลปของการคานวณดวย Kirchhoff’s laws และการกาหนดจดเรมตนและจดสดทายของ7การคานวณ.

11

ตวอยาง

R1

R2 R3

I1 I3

I2

+

-

+

+

+Loop 1: – εεεε1+I1R1 – I2R2 = 0

1. เขยนกระแสไฟฟาท งหมด (เลอกทศของกระแสไฟฟา )2. กาหนดเคร7องหมาย +/- ใหกบอปกรณท งหมด (กระแสไหลเขาเปน + ออกเปน - )3. กาหนดลปและทศ (เลอกตามใจ!)4. เขยนคาแรงดนไฟฟาลด (ใชเคร7องหมายแรกท7ลกศรชเขาหา !)

-

-

-Loop 2: εεεε1

5. เขยนสมการของ Node

Node: I1 + I2 = I3

εεεε2

จะได 3 สมการ 3 ตวแปร จากนนทาการแกสมการดวยพชคณต !

วงจรไฟฟาประกอบดวย E1, E2, R1, R2 และ R3. ใหหาคา I1, I2 และ I3.

Loop 1

Loop 2

+-

+ I2R2 + I3R3 +εεεε2 = 0

12

Example จากรปประกอบดวยคาตางๆ ดงน : e1 = 3.0 V, e2 = 6.0 V, R1 = 2.0 W, R2 = 4.0 W. ใหหากระแสไฟฟาท7ไหลผานแขนงวงจรไฟฟาท งสาม

ในอนดบแรกทาการกาหนดทศของกระแสไฟฟา. จากนนใชกฏของจดตอ :

ท7จด a: i3 = i1 + i2 ท7จด b: i3 = i1 + i2

-i1R1 - ε1 - i1R1 + ε2 + i2R2 = 0

-i2R2 - ε2 - i3R1 + ε2 - i3R1 = 0

จากลปทางขวามอ จะได :

-2i1R1 + i2R2 - ε1 + ε2 = 0

i2R2 +2i3R1 = 0

-2i1R1 - 2i3R1 - ε1 + ε2 = 0

-2R1 (i1+ i3) - ε1 + ε2 = 0

(i1+ i3) = -(ε1 - ε2)/ 2R1 = 3/4

4i2 +4i3 = 0 ---> i2 = - i3

i3 = i1 + i2 ---> 2 i3 = i1

(i1+ i3) = 3 i3 = 3/4

i3 = 1/4, i1 = 2/4 = 1/2, i2 = -1/4จากลปทางซายมอจะได :

เคร7องหมายลบของ i2 แสดงวากระแสมทศตรงขามกบทศท7 สมมตขน . หนวยของกระแสท งหมดคอแอมแปร (A)

วงจรไฟฟา RC (RC Circuits)

ถาสบสวทชไปท7 a จะเกดการประจไฟฟาแกตว เกบประจไฟฟา คอ ประจไฟฟาจะไหลเขาสตวเกบประจไฟฟาจนกระท 7งความตางศกยไฟฟามคาเทากบแบตเตอร7 และกระแสไฟฟาหยดไหล.

ε - iR - q/C = 0 หรอ ε = R dq/dt + q/C

ใชกฏลปของ Kirchhoff จะได:

จากสมการ จะได:

q = C ε (1 - exp(-t/RC)) and

i = dq/dt = (ε/R) exp(-t/RC) “กราฟการประจไฟฟา” 14

คาคงตวเวลาของวงจร RC (RC Time Constant)

q = C ε (1 - exp(-t/RC)) ------> q = C ε (1 - exp(-t/ τ))

i = dq/dt = (ε/R) exp(-t/RC) ------> i = dq/dt = (ε/R) exp(-t/ τ)

นยาม τ = RC (หนวยของเวลา )

“การประจไฟฟา”

q = q0 exp(-t/ τ)

I = -(q0/ τ) exp (-t/ τ)

“การจายไฟ ”

15

การประจไฟฟาตวเกบประจไฟฟา (Charging a Capacitor)

( )

−=

−RC

t

etv 1ε ( ) RC

t

eRdt

tCdv

dt

dqi

−===ε

0.63εε

t

v(t)

t = RC = τt

iε/R

t = RC = τ

0.63 ε/R

คาคงตวเวลา Time constant (ττττ) คอ เวลาท7ตองการใชสาหรบประจไฟฟาแก ตวเกบประจไฟฟาเทากบ 63% ของการประจไฟฟาเตม.

วงจรไฟฟาทมคา RC สงกวาจะใชเวลาในการประจไฟฟาแกตวเกบประจไฟฟานานกวา .วงจรไฟฟาทมคา R มากกวาจะมกระแสไฟฟาไหลในวงจรไฟฟานอยกวา .วงจรไฟฟาทมคา C มากกวา, จะสามารถเกบสะสมพลงงานไฟฟาไดมากกวา

16

การจายไฟจากตวเกบประจไฟฟา (Discharging a Capacitor)

ε

i=0

Vc= ε++++----

t = 0

iεVc=ε

++++----

( )

RC

t

RC

t

eR

i

etv

−

−

=

=

ε

ε

t

vC (t)

ε

คาถาม: จากรปแสดงกราฟแรงดนไฟฟาท7ครอมตวเกบประจไฟฟา 3 ตวกบเวลา ท7ไดจากการจายไฟแยกกน (โดยใชตวตานทานไฟฟาคาเทากน ) ใหหาวากราฟใดเปนของตวเกบประจไฟฟาท7มความจไฟฟาสงสด ?

1

(AC Circuit)

2

ไฟฟากระแสสลบ (Alternating Current )

แบตเตอร เปนแหลงกาเนดไฟฟาทจายแรงเคลอนไฟฟา (emf) คาสมาเสมและมคาคงตว สวนแหลงกาเนดไฟฟากระแสสลบ (ac source) เปนแหลงกาเนดไฟฟาทจายแรงเคลอนไฟฟา (emf) หรอแรงดนไฟฟา (Voltage) เปลยนแปลงตามเวลา (ในรปฟงกชนซายนของ ωωωωt ):

V = Vmaxsin ωωωωt ωωωω =2ππππf

time

voltageVmax

ไฟฟากระแสสลบทใชในบานพกอาศย

ของประเทศไทยมความถ f เทากบ

50 Hz = 50 คลน/sec.

ω = ความถเชงมม

T = คาบเวลา = 1/f = 2π/ω

3

วงจรไฟฟาทม R อยางเดยว

แรงดนไฟฟาครอมตวตานทานไฟฟาจะมคา

เปลยนแปลงเหมอนกบกระแสไฟฟา

I = V/R = Imax sin wtการเปลยนแปลงของแรงดนไฟฟา มเครองหมายเหมอนกบการเปลยนแปลงของกระแสไฟฟา

แรงดนไฟฟาและกระแสไฟฟามเฟสตรงกน (in phase). และแอมปลจดอยท%เวลาเดยวกน .

4

คา rms เนองจากในวงจรไฟฟากระแสสลบคาเฉลยแรงดนไฟฟาและกระแสไฟฟา

จะมคาเปนศนย. ดงน %นการแสดงคาแรงดนไฟฟาและกระแสไฟฟาจะ แสดงในรปของคา root mean square หรอ คา rms .น นเอง

คา rms ของกระแสไฟฟาและแรงดนไฟฟาสาหรบไฟฟากระแสสลบ สามารถนามาเปรยบเทยบกบปรมาณสมมล (equivalent quantities) ในวงจรไฟฟากระแสตรง .

Vrms = IrmsR

Pav = Irms2R = Vrms

2/R

II

VV

rm s rm s= =m ax m ax,2 2

5

RMS ของแรงดนไฟฟาและกระแสไฟฟา

Vrms = Square root of the mean (average) of V-squared.

2/ ,/2

1

)(sin

)sin()/(/)()(

)sin()(

22

max

22

max

22

max

max

Maxrmsrms VVRVR

VP

tR

VP

RIR

VPPower

tRVRtVtI

tVtV

===

=

===

==

=

ω

ω

ω

คากาลงไฟฟาเฉลยของวงจรไฟฟากระแสสลบทม R อยางเดยว

ซงมคาคงตว (ไมข%นอยกบกราฟระหวาง V กบ t)RIRVP rmsrms22 / ==

6

• ประเทศไทย: 220 V, 50 Hz AC• Vrms = 220 V, Vmax = ( 2) 220 V = 311 V• Circuit Breakers ตวท Irms = 15 A

Imax = ( 2 ) 15 A =21.2 Amp• กาลงไฟฟาสงสดจะมคาเปน :• P = Irms Vrms < (15A) (220 V) = 3300 W

ไฟฟาในบานพกอาศย

7

คาถาม

ตวตานทานไฟฟาขนาด 33 kΩ ตอกบแหลงกาเนดไฟฟาทม

คาแรงดนไฟฟาสงสดเทากบ 101 V. ใหหา

(ก) กาลงไฟฟาเฉลย และ (ข) กาลงไฟฟาสงสดของวงจรไฟฟาน% .

WVRVP

WVRVP

VV

VV

Max

rms

rms

06.3)3330/()101(/

53.1)3330/()4.71(/

4.71414.1/101

2/

22max

22

max

=Ω==

=Ω==

==

=

8

วงจรไฟฟากระแสสลบทมตวเกบประจไฟฟา (Capacitor) อยางเดยว

แรงดนไฟฟาจะมเฟสลาหลง (lag) กระแสไฟฟาเทากบ 90°. V=Q/C: ขณะท I>0 จะเกดการประจไฟฟาแกตวเกบประจไฟฟา สวนขณะท I<0 ตวเกบประจไฟฟาจะเกดการจายไฟ

คารแอกแตนซของตวเกบประจไฟฟาเรยกวา capacitive reactance คานวณจากสมการ XC = 1/(ωC)

Vrms = IrmsXC หรอ Vmax = ImaxXC

คากาลงไฟฟาเฉลย (average power) ของตวเกบประจไฟฟาในวงจรไฟฟากระแสสลบจะมคาเปนศนย .

SI unit ของคารแอกแตนซคอ Ohm (Ω) = s/F

ทก ½ คาบเกดการประจไฟฟาและชวง ½ คาบตอไปตวเกบประจไฟฟาจะจายไฟ

9

แรงดนไฟฟามเฟสนาหนา (Lead) กระแสไฟฟาเทากบ 90°.

แรงดนไฟฟาทาใหเกดกระแสไฟฟาจะมคาสงสดเมอ กระแสไฟฟาเกดการเปลยนแปลงอยางรวดเรวทสด

คารแอกแตนซของขดลวดเรยกวา inductive reactance คานวณคาจากสมการ XL = ωL

Vrms = IrmsXL หรอ

Vmax = ImaxXL

SI unit ของคารแอกแตนซคอOhm (Ω) = H/s

วงจรไฟฟากระแสสลบทมขดลวด (Inductor) อยางเดยว

คากาลงไฟฟาเฉลย (average power) ของขดลวดในวงจรไฟฟากระแสสลบจะมคาเปนศนย .

10

เครองตดวงจรไฟฟา

• ใชฟลกซแมเหลกในวงจรความปลอดภยทางไฟฟา

• ขณะทกระแสไฟฟาทางดานอนพทและเอาทพทมคาเทากนจะมฟลกซแ มเหลกทางดานขดลวดทตยภมเทากบศนย

• ถาเกดกระแสไฟฟาไหลผานสวนอนๆ ลงสกราวด (เชน ผานรางกายคน!!) ทาใหเกดความไมสมดลของฟลกซแมเหลกเกดข%นซงจะเหนยวนาใหเกด EMF ในขดลวดรบร (sensing coil) และทาการตดวงจรของเบรกเกอร (Circuit Breaker).

• อปกรณประเภทน%ใชเพอปองกนอนตรายทเกดจากไฟฟาชอค .

11

RC circuits:Filters & AC-coupling

• การตออนกรมวงจรไฟฟา RC circuit กระแสไฟฟาทไหลผานอปกรณทกช%นจะมคาเทากน .

• แรงดนไฟฟาทครอมตวตานทานไฟฟาจะมเฟสตรงกบกระแสไฟฟา .

• แรงดนไฟฟาทครอมตวเกบประจไฟฟาจะลาหลงกระแสไฟฟาเทากบ ¼ คาบ.

• ผลรวมคาความตานทานไฟฟาและรแอกแตนซของตวเกบประจไฟฟามคาเ ทากบคาอมพแดนซ (impedance) คานวณไดจากสมการ

2222 1

+=+=

CRXRZ C ω

I

I

12

RC Circuit:Equivalent Circuit

Z=Vrms

Irms

2222 1

/

+=+=

=

CRXRZ

ZVI

C

rmsrms

ω

13

RC Circuit:Filter

• คาแรงดนไฟฟาเอาทพต (output voltage) ของวงจรไฟฟาจะเปนฟงกชน ของความถ w ของแหลงกาเนดไฟฟา .

( ) 1

1

1

)/(1

/

222

,

,

+=

+

=

==

=

RCV

CR

CVV

Z

XVXIV

ZVI

rmsrmsrmsout

CrmsCrmsrmsout

rmsrms

ωω

ω

Vout

IrmsVrms

• สาหรบ ω >> 1/(RC), Vout 0

• สาหรบ ω << 1/(RC), Vout Vrms14

RC Circuit:AC Signal Coupling

• เมอพจารณาสญญานไฟฟาทครอมตวตานทานไฟฟา (ทนามาตอแทนตวเกบประจไฟฟา ) วงจรไฟฟากระแสสลบจะทาการตดการไบแอสไฟฟากระแสตรงทางดาน อนพทและสงผานสญญานความถสงออกไปทางเอาทพท

VoutVrms

Irms

C

11

1

1

/

22

2,

,

22

+

=

+

=

==

+=

=

RC

V

RC

RVV

Z

RVRIV

RXZ

ZVI

rmsrmsrmsout

rmsrmsrmsout

C

rmsrms

ωω

15

AC Coupling

• ทความถสง, w >>1/(RC),ตวเกบประจไฟฟาจะเกดการลดวงจรไฟฟา , Vout = Vrms

• ทความถตา, w << 1/(RC), ตวเกบประจไฟฟาจะเกดการเปดวงจรไฟฟา , Vout 0

VoutVrms

Irms

C

11

12,

+

=

RC

VV rmsrmsout

ω16

คา ความตานทานไฟฟาเสมอน (effective resistance) ของวงจรไฟฟาเรยกวา คาอมพแดนซ (impedance Z):

22 )( CL XXRZ −+=

Imax = Vmax / Z

Irms = Vrms / ZV=Ι Ζ

SI unit ของอมพแดนซ คอ ohm

การตออนกรม RLCThe RLC Series Circuit

VR

VC

VL

17

เรโซแนนซ (Resonance) ในวงจรไฟฟาอนกรม RLC

กระแสไฟฟาในวงจรไฟฟาอนกรม RLC มคา ตามสมการ

22

maxmaxmax

)( CL XXR

V

Z

VI

−+==

กระแสไฟฟามคาสงสดเมอ

XL = XC

ทคาความถเร โซแนนซ ω คอ

RZLC=

=

)(

1

0

0

ω

ω

18

ความถ%เรโซแนนซของวงจรไฟฟา

• วงจรไฟฟาอนกรม RLC• ความถเรโซแนนซ (resonant frequency) จะขOนอย

กบคา C และ L เทานOน คานวณไดจากสมการ

LC2

1fs

π=

19

เฟสเซอร(Phasors)

• V=V0sin(ωωωωt) อาจเขยนอยในรปของเวกเตอรทมความยาว V0 หมนอยในระนาบ x-y ดวยคาความถเชงมมเทากบ ωωωω.

• สาหรบตวตานทานไฟฟา, I = V/R, – I มเฟสตรงกบ V.

• สาหรบตวเกบประจไฟฟา IRMS = VRMS (ωωωωC),– I นาหนา V เทากบ ¼ คาบ หรอมมเฟส = 90°

• สาหรบขดลวด IRMS = VRMS / (ωωωωL)– I ลาหลง V เทากบ ¼ คาบ หรอมมเฟส = 90°

20

Phasors (RLC Series)การแสดงคา กระแสไฟฟา และ แรงดนไฟฟา ทครอมขดลวด (VL), ตวเกบประ

ตวประจไฟฟา (VC) และ ตวตานทานไฟฟา (VR) ดวยเวกเตอรไดอะแกรมเรยกวา เฟสเซอร. กระแสไฟฟา I จะมทศขนานกบ VR .ตลอดเวลา ซงในกรณททาการตออนกรมมกจะ ใหกระแสไฟฟาอยในแนวแกน x :

VL

VC

VRΙ VR

V VL- VCφ

φφφφ คอมมเฟสของวงจรไฟฟา

[ ]IR

XXI

V

VV CL

R

CL −=

−=φtan

Power Factor (PF)

Z

R

V

VR ==φcosPF =

R

Z XL- XCφ

21

Phasors (RLC Parallel)แรงดนไฟฟา V จะมทศขนานกบ IR ตลอดเวลา ซงในกรณททาการตอขนาน

มกจะใหแรงดนไฟฟาอยในแนวแกน x :

IC

IL

IRV IR

I IC- ILφ

มมเฟส ?

Power Factor (PF) ?

1/R

1/Z1/XC - 1/XL

φ

22

เฟสเซอรในรปจานวนเชงซอน

• เฟสเซอร phasor เปนเลขจานวนเชงซอนทใชแสดงคาแอม พลจดและเฟสของคลนรปซายน (sine wave).

• จานวนเชงซอน มรปแบบเปนC = A + Bj เมอ

เมอ C คอ จานวนเชงซอน A และ B คอ จานวนจรง (real number) และ

จานวนจนตภาพ (Imaginary) ตามลาดบ

1j −=

23

Impedance Diagrams RLC Series

ResistorZR = R 0

CapacitorZC = XC -90

InductorZL = XL 90

R

XC

XL

24

กาลงไฟฟาเฉลยของวงจรไฟฟากระแสสลบ

กาลงไฟฟาของวงจรไฟฟาจะคานวณของ R อยางเดยวเทาน %น

25

พลงงานไฟฟาทใชในชวตประจาวน

J000,600,3)s3600)(W1000(kWhr1

WsJ );It(VPIVItE

==

====

พลงงานไฟฟาทเราซOอในชวตประจาวนจะมหนวยเปน kWh หรอ กโลวตต -ช วโมง.

ถาเราใชตไมโครเวฟขนาด 1000 W เปนเวลา 1 ช วโมง น นคอเราใชพลงงานไฟฟาเทากบ 1 kWh

พลงงานไฟฟาทเกบสะสมในแบตเตอร มหนวยเปน Ah หรอ แอมแปร-ช วโมง เนองจากแรงดนไฟฟาของแบตเตอรมคาคอนขาง คงตว.

1

1 2

ไดโอด (Diodes)

นาไฟฟาเพยงทางเดยว

มข วไฟฟาสองข ว

แอโนด (anode) และ แคโถด (cathode)

ทาจากซลกอน

สญลกษณของไดโอด

p-type n-type

3 4

การเจอสาร (Doping)คอการเตมสารเจอ (impurities)

สารชนดเอน (n-type)

ไดแก ซลกอนท>ถกเจอดวยฟอสฟอรส (Phosphorous)

พาหะไฟฟามประจไฟฟาลบ

อเลกตรอน

สารชนดพ (p-type)

ไดแก ซลกอนท>ถกเจอดวยอะลมนม (Aluminum)

พาหะไฟฟามประจไฟฟาบวก

โฮล (hole)

2

Flapper Valve Analogy

5 6

คณสมบตของไดโอด

การไบแอสไปขางหนา (Forward-Bias Condition)

นาไฟฟาไดด

การไบแอสยอนกลบ (Reverse-Bias Condition)

ความตานทานไฟฟามคาสงมาก

กราฟ I กบ v ของไดโอด

ไดโอดอดมคตและไดโอดจรง

“จดโคง (Knee)” และ แรงดนไฟฟาของความเสยหาย(Breakdown Voltage)

แบงออกเปน 3 บรเวณ

7

วงจรไฟฟาของไดโอด

ตวทากระแสตรง (rectifier) : อปกรณเปล>ยนรปไฟฟากระแสสลบเปนไฟฟากระแสตรง

ตวทากระแสตรงแบบคร>งคล>น (Half-Wave Rectifier)

ตวทากระแสตรงแบบเตมคล>น (Full-Wave Rectifier)

ตวทากระแสตรงแบบบรดจ (Bridge Rectifier)

8

3

9 10

วธการเปล>ยนไฟฟา AC เปน DC ?

Voltage Regulators remove the ripple.

Diode

RectifierSmoothing

Capacitor

Voltage

Regulator

AC Input

DC Output

11 12

ไดโอดในอดมคต ?

ไดโอดอดมคตสามารถนาไฟฟาไดสมบรณ มแรงดนไฟฟาลดท>ตกครอมไดโอดเทากบศนย เม>อทาการไบแอสไปขางหนา (forward bias)… แตในความเปนจรงมคา

แรงดนไฟฟาลดประมาณ 0.7 โวลท

…เม>อทาการไบแอสยอนกลบ (Reverse Bias) จะปองกนไฟฟาไหลยอนกลบไดอยางสมบรณ )… แตในความเปนจรง

จะทนแรงดนไฟฟาไดชวงหน$งเทาน%น .

4

13

อปกรณดจตอล (Digital Devices)

เกท(Gates) คอวงจรไฟฟารวม (Integrated Circuit, IC) ท>มอนพทอยหน>งจดหรอมากกวา และใหเอาทพทท>เปน ฟงกชนตางๆของคาทางอนพท ไดแก AND, OR, NOT…

14

ลอจกทางดจตอล (Digital Logic)

ระบบเลขฐานสอง (Binary System) คอ 0 & 1, LOW & HIGH.

ตารางพนฐานของเกท -- AND, OR, NOT

(c)

X NOT X

1

0 1

0

NOT XX(a)

X

0

1

X AND YY

0

1

1

0

1

0

0

0

0

1

X AND YX

Y (b)

X

0

1

X OR YY

0

1

1

0

1

0

0

1

1

1

X OR Y

X′ X • Y X + Y

X

Y

Copyright © 2000 by Prentice Hall, Inc. Digital Design Principles and Practices, 3/e

15

(a)

X

0

1

X NAND YY

0

1

1

0

1

0

1

1

1

0

X NAND YX

Y (b)

X

0

1

X NOR YY

0

1

1

0

1

0

1

0

0

0

X NOR Y

(X • Y)′ (X + Y)′

X

Y


X

Y

Z

F

X • Y

X′ • Y′ • Z

X′

Y′ X • Y + X′ • Y′ • Z

16

วงจรไฟฟารวมIntegrated Circuits (IC)

เปนอปกรณท>รวมเกทจานวนหน>งตวหรอมากกวาบรรจลงในชพ (chip) เพยงแผนเดยว .

แบบแผนกลม (Wafer), คลายลกเตา (die)

Copyright © 2001 Fine Arts Photographics

5

17

DIP

1

2

3

4

5

6

7

14

13

12

11

10

9

8GND

VCC

7400

1

2

3

4

5

6

7

14

13

12

11

10

9

8GND

VCC

7402

1

2

3

4

5

6

7

14

13

12

11

10

9

8GND

VCC

7404

1

2

3

4

5

6

7

14

13

12

11

10

9

8GND

VCC

7410

1

2

3

4

5

6

7

14

13

12

11

10

9

8GND

VCC

7411

1

2

3

4

5

6

7

14

13

12

11

10

9

8GND

VCC

7420

1

2

3

4

5

6

7

14

13

12

11

10

9

8GND

VCC

7421

1

2

3

4

5

6

7

14

13

12

11

10

9

8GND

VCC

7430

1

2

3

4

5

6

7

14

13

12

11

10

9

8GND

VCC

7432

1

2

3

4

5

6

7

14

13

12

11

10

9

8GND

VCC

7408


(b) (c)(a) 0.3"

0.1"

pin 1 pin 14

pin 8

0.1"

pin 1 pin 20

0.3"

pin 11

0.6"

0.1"

pin 1 pin 28

pin 15


pinout

1

1

13.2 อะตอมและนวเคลยส

1. โครงสรางอะตอม

2. สมบตของนวเคลยส

3. ภาพของอะตอมจากกลศาสตรควอนตม

4. อนภาคมลฐาน

2

• ในดานความรเกยวกบอะตอมนน( ) ประมาณ ค.ศ.1900 (พ.ศ. 2443) นกวทยาศาสตรยอมรบกนโดยทวไปวา ( สสารประกอบดวยอะตอม ในอะตอมมประจไฟฟาบวกคอโปรตอน และประจไฟฟาลบคออเลกตรอน และโดยปกตอะตอมเปนกลางอยเสมอ นนคอ( อะตอมมประจไฟฟาบวกจานวนเทากบประจไฟฟาลบ • ป ญ ห า เ ก ย ว ก บ( ก า ร จด ตว ข อ ง ป ร ะ จ ไ ฟ ฟ า ใ น อ ะ ต อ ม น น) ทอมสนคดวาอะตอมมลกษณะเปนกอนกลมมเนออะตอมเปนประจ )บวกกระจายอยางสม(าเสมอ และมอเลกตรอนฝงอยภายในเปนจานวนท(ทาใหประจลบเทากบประจบวก

1. โครงสรางอะตอม

3

E = สนามไฟฟา (N/C) B = สนามแมเหลก (T) R = รศมความโคง (m)

ทอมสนพสจนไดวา รงสคาโธดเปนอนภาคประจไฟฟาลบ เรยกวา "อเลกตรอน"

ใ นป ค .ศ .1897 เ จ เ จ ท อม ส น ตง)สมมตฐานวารงสแคโทดประกอบดวยอนภาค คอ อเลกตรอน ทอมสนทาการทดลองหาอตราสวนระหวางประจ ต อ ม ว ล ข อ ง อ เ ล ก ต ร อ น โ ด ย ใ ชสนามแมเหลกและสนามไฟฟาชวยได 1.75x1011 C/kg และพบวาอตราสวนน )มคาคงท(ไมขนกบชนดของกาซท(ใช ) แสดงวาในอะตอมทกชนดมอนภาคอเลกตรอนเหมอนกน

http://hello.to/chemku

4

แบบจาลองอะตอมของทอมสน

“อะตอมเปนทรงกลมขนาดเลกมากมอนภาคประจบวก สมมตใหกระจายไปทวทงอะตอม( ) ประจลบฝงตามท(ตางๆ เตมไปหมดเพ(อใหสมบตทางเปนกลางทางไฟฟา”

แบบจาลองนอธบายสมบตตางๆ) ของธาตรวมทงทฤษฎพนธะเคม)ดวย ซ( งกใชไดบางในบางกรณ จนในป ค.ศ. 1911 แบบจาลองนก) ยกเลกไป เม(อรทเธอรฟอรด ศกษาการกระเจง (scattering) ของรงสแอลฟาในแผนโลหะบางๆแลวพบวาแบบจาลองอะตอมของ ทอมสนใชอธบายผลการทดลองไมได

2

5

ใน ค.ศ. 1909 เอ อาร มลลแกนสามารถหาคาประจของอเลกตรอนไดโดยการทาการทดลองหยดนาม)ซ( งมประจภายใตความโนมถวงของโลก

จากรปพบวาความตางศกยท(เพมขนจะทาใหหยดนามนท(ม ( ) )ประจเคล(อนท(ชาลงเพราะถกดงดดไวดวยขวบวก) และถาเพม(ความตางศกยมากพอจนถงคาหน( ง จะทาใหหยดนามนหยดน) (ได แสดงวาแรงจากสนามไฟฟาและแรงเน(องจากความโนมถวงเทากนพอด ถาเราทราบคาความตางศกยและนาหนกขอ )หยดนามน) เรากสามารถหาคาประจบนหยดนามนได ) ซ( งพบวามกมคาเปนเลขจานวนเตมคณกบคาประจท(เลกท(สด เสมอ (เปนจานวนเทาของ 1.6 x10-19 C) เม(อกาหนดคาประจ ของอเลกตรอนดงกลาวและจากคาอตราสวน (e/m)ของทอมสน เรากสามารถทราบไดวานาหนกของอเล กตรอนค อ ) 9.1x10-31 kg ซ( งปรากฏวาเบากวาอะตอมท(เบาท(สด คอ ไฮโดรเจนราว 1/2000 เทา จากผลการทดลองเหลานแสดงวา )อเลกตรอนในอะตอมเปนหนวยท(เลกท(สดและยงสนบสนนวาอเลกตรอนเปนอนภาคซ(งแบงยอยตอไปไมไดอกดวย

http://hello.to/chemkuการทดลองหยดน"ามนของมลลแกน

(หาคาประจ ของอเลกตรอน)

q = ประจหยดนามน) (c) m = มวลของหยดนามน) (kg) g = ความเรงเน(องจากแรงโนมถวง (m/s2) V = ความตางศกยระหวางแผนโลหะ (V)d = ระยะหางระหวางแผนโลหะ (m)

ดงนน)

6

7

ใน ค.ศ.1896 แบคเคอเรล พบวาเกลอของยเรเนยมเปลงรงสซ( ง สามารถทะลผานกระดาษสดาท(ใชหมแผนฟลมและทาใหแผนฟลม ดาได โดยเขาเรยกปรากฏการณนวา) กมมนตภาพรงส

สองปตอมา มาร คร และปแอร ครแยกธาตกมมนตรงสออกจากยเรเนยมไดสองธาต คอ พอโลเนยม และ เรเดยม ตอมาจงมการยอมรบวาอะตอมไมใชอนภาคท(แบงแยกไมได

ภายหลง รทเธอรฟอรดไดพบรงสอก 3 ชนด จากธาตกมมนตรงส คอ รงสแอลฟา เบตา และแกมมา โดยท( รงสแอลฟาประกอบดวยนวเคลยสของฮเลยม รงสเบตาเปนลาอเลกตรอนและ รงสแกมมาเปนคล(นแมเหลกไฟฟาเหมอนรงส เอกซแตมความถ(สงกวา


8

การทดลองของรทเธอรฟอรด ในป ค.ศ. 1911รทเธอรฟอรด ไดทดลองยงอ นภา คแอ ลฟา ผา นแผนทองคาท(บางมากๆ ซ( ง มฉากเ รองแสงซงคซลไฟดอยดานหลงของแผนทอง แลวสงเกตการก ร ะ เ จ ง ข อ ง อ น ภ า คแอลฟาพบวา รงสสวน ใหญไมเบ( ยง เบน และสวนนอยท( เบ(ยงเบนนน ) ทามมเบ(ยงเบนใหญมาก บางสวนยงเบ(ยงเบนกลบทศทางเดมดวย จานวนรงสท(เบ(ยงเบนจะมากขน)ถาความหนาแนนของแผนโลหะเพมขน ( )


3

9 10


แบบจาลองอะตอมของรทเธอรฟอรด

จากการคานวณ รทเธอรฟอรดพบวา ในบรรดาอนภาคแอลฟา 108 อนภาคจะมเพยงอนภาคเดยวเทานนท(จะถกกระจายกลบทางเดม ) รทเธอรฟอรด จงเสนอวาพนท(หนาตดของนวเคลยสเปนเพยงราว ) 10-8 ของพนท(อะตอม)หรอรศมของนวเคลยสเปนเพยง 10-4 เทาของรศมอะตอม นนคอนวเคลยส(มรศมประมาณ 10-14 เมตร

รทเธอรฟอรดสรปวา ประจบวกในอะตอมรวมกนอยตรงกลางเปนแกนกลางหรอ นวเคลยส และมอเลกตรอนเคล(อนท(เปนวงๆ อยรอบๆ นวเคลยสโดยนวเคลยสมเสนผาศนยกลางประมาณ 10-14-10-15 m

11

• เม(อวเคราะหจะพบวา โครงสรางอะตอมแบบรทเธอรฟอรดไมสามารถอธบายการเกดสเปกตรมชนดเสนได เพราะเม(ออธบายตามทฤษฎคล(นแมเหลกไฟฟาของ แมกซเวลแลวอเลกตรอนท(เคล(อนท(ดวยความเรงจะใหคล(นแมเหลกไฟฟาออกมาซ( งทาใหสญเสยพลงงานไปเปนผลใหนวเคลยสซ( งมประจบวกดดอเลกตรอนเขามาใกลกวาเดมและในท(สดกจะเปนผลทา ใหอเลกตรอนถกดดเขาไปรวมอยในนวเคลยส การสญเสยพลงงานของอเลกตรอนเปนไปอยางตอเน(อง สเปกตรมของแสงท(ไดออกมาจงควรเปนสเปกตรมตอเน(อง ไมใชชนดเสน นอกจากนโครงสราง) อะตอมแบบรทเธอรฟอรดยงประสบความยงยากเกยวกบเสถยรภาพของอะตอม ( กลาวคอ เม(ออเลกตรอนถดดดเขาไปอยในนวเคลยสแลว อะตอมจะไมอยในเสถยรภาพ แตความจรงปรากฏวา อะตอมยงคงรปรางอยได ดงนนนาคดวาสาหรบของเลกๆ) ในขนาดอะตอม ทฤษฎคล(นแมเหลกไฟฟาของ แมกซเวลอาจใชการไมได

12

4

13

• จะเหนวา แบบจาลองอะตอมของรทเธอรฟอรดขดกบทฤษฎนมาก )• บอร (Niel Bohr) ไดอธบายโครงสรางอะตอมใหมโดยใชแนวคดบางสวนเกยวกบการแผรงสเปนควอนตมของ ( แพลงค และทฤษฎโฟตอนของไอนสไตนมาตงเปนสมมตฐานผสมเขาไปกบโครงสราง) อะตอมแบบรทเธอรฟอรด แลวนาไปอธบายการเกดสเปกตรมชนดเสนไดสาเรจเปนครงแรกในป) พ.ศ. 2456

14

1. อเลกตรอนท(วงรอบนวเคลยสจะวงเปนวง( ( มวงโคจรพเศษบางวงท(อเลกตรอนวงไดโดยไมมการสญเสยพลงงานหรอแผ( รงสออกมา เม(ออเลกตรอนอยในวงโคจรพเศษเหลานน ) เรยกวาอเลกต รอนอยในสถานะนง ( (stationary state)

2. วงโคจรพเศษดงกลาว อเลกตรอนจะมโมเมนตมเชงมม L เปนจานวนเทาของ h/2π เม(อ h คอ คาคงท( แพลงค ขอสมมตฐานขอนเขยนไดวา)

ขอสมมตฐานของบอรมดงน)

เม(อ m เปนมวลของอเลกตรอน (kg)v เปนความเรวของอเลกตรอน (m/s) r เปนรศมของวงโคจรของอเลกตรอน (m)n เปนเลขควอนตม มคาเทากบ 1, 2, 3, …

2

nh mvr L π

==

15

3. ถาอเลกตรอนกระโดดจากระดบวงโคจรสง EiไปยงวงโคจรEf ซ( งต(ากวา จะคายพลงงานออกมาเปนโฟตอนหน( งตวมความถ( ν ตามความสมพนธดงน)

h E-E E fi ν==∆i fE E

= h

−ν

ดดพลงงาน

คายพลงงาน

n มาก, ระดบพลงงานสงมพลงงานยดเหน*ยวนอย

( คา En ตดลบนอย)

n นอย , ระดบพลงงานต*ามพลงงานยดเหน*ยวมาก

( คา En ตดลบมาก)

ถา ∆E เปน + จะคายพลงงาน hν(จากระดบ n สง r พลงงานยดเหน(ยว Ei นอย → ระดบ n ต(า พลงงานยดเหน(ยว Ef มาก)

ถา ∆E เปน - จะดดพลงงาน hν(จากระดบ n ต(า พลงงานยดเหน(ยว Ei มาก → ระดบ n สง พลงงานยดเหน(ยว Ef นอย)

16

เม(อเอาสมมตฐานทงสามขอไปรวมกบโครงสรางอะตอม) แบบรทเธอรฟอรด บอรสามารถคานวณ รศมของวงโคจรของอเลกตรอนและระดบพลงงานตางๆ ของอะตอมไฮโดรเจนได

รปอะตอมไฮโดรเจน

พจารณาอะตอมไฮโดรเจน ประกอบดวยนวเคลยสประจ +e และอเลกตรอน 1 ตวประจ –e วงวนโดยรอบ( เพ(อความสะดวกบอรใหนวเคลยสหยดนงกบท(( แลวใหอ เลกตรอนวงวนรอบๆ( เ ปนวงกลมดงรป จะได แรงคลอมบท( เกดบนอเลกตรอนเทากบแรงสศนยกลาง

r

mv

r

e

4

1

2

2

2

0

=πε r4

e mv

0

22

πε=

5

17

อเลกตรอนท(วงในวงโคจรจะมพลงงานจลน( Ek เขยนไดเปน

r4

e

2

1 mv

2

1E

0

22

k πε==

พลงงานศกยของอเลกตรอน Ep ท(ระยะ r จากนวเคลยสคอ

r4

e E

0

2

p πε−=

ดงนน) พลงงานรวมของอะตอม E มคาเทากบ

r8

e

r4

e

r4

e

2

1 EEE

0

2

0

2

0

2

pk πε−=

πε−

πε=+=

เคร(องหมายลบแสดงวา อเลกตรอนถกยดใหอยกบอะตอม และถาจะแยกอเลกตรอนจากอะตอมตองใชพลงงานเทากบคา E น)

18

แทนคา v = nh/2πmr จากสมมตฐานขอท( 2 ของบอร ลงในสมการพลงงานจลนจะได

เม(อ n = 1, 2, 3, …รศมของวงโคจรพเศษท(เปนไปได จะมคาเปล(ยนไปตามคาของ n

ท( n = 1

r8

e

mr2

nh m

2

1

0

22

πε=

π

me

hn r r

2

220

n πε

==

A 0.53 m5.3x10 me

h r 11-

2

20

1o==

πε

=

เปนรศมวงโคจรท(เลกท(สด มช(อเรยกวา รศมของบอร คาท(คานวณไดนตรงกบการหาโดยวธอ(น )

ดงนนจะได) rn r 12

n =

สาหรบวงโคจรท(อเลกตรอนวงไดโดยไมแผรงส( คอวงท(มรศมเปน r1, 4r1, 9r1, … ตามลาดบ

19

แทนคา ลงในสมการพลงงานรวมจะได

n

1

h8

em

hn

me

8

eE

2220

4

220

2

0

2

n

ε

−=

επ

πε−=

me

hn r r

2

220

n πε

==

แทนคา m, e, ε0, h ลงในสมการน) แลวหารดวย e เพ(อทาใหเปนหนวย ของอเลกตรอนโวลต (eV) จะได

eV n

6.13 E

2n −=

เม(ออเลกตรอนอยในวงโคจรตางๆ ตงแต) n = 1, 2, 3, … ไปจนถง n = ∞ อะตอมจะมพลงงานเปน E1, E2, E3, … ไปจนถง E∞ พลงงานจงมลกษณะเปนชนหรอเปนระดบท(ไมตอเน(องกน)

20

• สวน E2, E3, …, E∞ จะเปนร ะ ด บ ท( ม พ ล ง ง า น ส ง ข น)ตามลาดบ เ รยกวา สถานะต(นตว (excited state) เม(อ n มคามากขน ) ระดบพลงงานจะเขาใกลกนมากจนตดกนเปน คาตอเน(องเม(อ n สงกวา ∞ในภาวะเชนนอเลกต ) รอนจะเปนอสระไมถกยดกบอะตอม อกตอไปดงรประดบพลงงานในอะตอมไฮโดรเจน

• E1 เปนพลงงานระดบต( าสดเรยกวา สถานะพนฐาน) (ground state)ในภาวะปกตอเลกตรอนในอะตอมจะอยในสถานะพนฐานน ) )

ดดพลงงาน

คายพลงงาน

6

21

• เม(อคานวณพลงงานในระดบตางๆ ของอะตอมไฮโดรเจนแลว บอรใชสมมตฐานขอท(สาม อธบายการเกดเสนสเปกตรมวา แสงจากอะตอมเกด จากอเลกตรอนเปล(ยนวงโคจร ซ( งมผลเทากบการเปล(ยนระดบพลงงาน • ถาอเลกตรอนกระโดดจากวงโคจรท(มพลงงาน Ei ไปยงวงโคจรท(มพลงงาน Ef ซ( งต(ากวา จะปลดปลอยพลงงานออกมา เปนโฟตอนหน(งตวมความถ( ν ดงน)

h

EE fi −=ν

n

1

n

1

h8

me

c

2i

2f

320

4

−

ε=

λ

n

1

n

1 R

n

1

n

1

ch8

me

1

2i

2f

2i

2f

320

4

−=

−

ε=

λ

เม(อ R เปนคาคงท(ของ รดเบอรก = 1.097x107 m-1 ซ( งไดคาตรงกบท(บาล เมอรและรดเบอรกหาไดจากการทดลองวดสเปกตรมโดยตรง จงนบวา บอรสามารถอ ธ บ า ย เ ส น ส เ ป ก ต ร ม ข อ งอะตอมไฮโดรเจนไดถกตอง m1.097x10

ch8

me R 17

320

4−=

ε=

22

• ถาไดรบพลงงานจากภายนอก 13.6 eV อเลกตรอนจะหลดจากอเลกตรอนอสระและไอออนบวก ดงนน) 13.6 eV คอพลงงานในการเกดไอออน

• ถาใสพลงงานภายนอกเขาไป 11 eV อะตอมจะรบพลงงานเพยง E2 - E1 = 10.2 eV เพ(อทาใหอเลกตรอนเปล(ยนระดบพลงงานจาก n = 1 ไปยง n = 2 เรยกพลงงาน 10.2 eV วา พลงงานการต(นตว

ในภาวะปกตอเลกตรอนในอะตอมไฮโดรเจนอยในสถานะพนฐาน) n = 1 พลงงาน = -13.6 eV

23

ตวอยาง อะตอมไฮโดรเจนอะตอมหน( งอยในสถานะท(มพลงงานยดเหน(ยว 0.85 eV ถาอะตอมนเปล(ยนไปอยในสถานะท() n = 2 จงหาวาจะมคาพลงงาน ของโฟตอนท(ถกดดกลนหรอสงออกมา เปนเทาไร ?

วธทาn 2

13.6 E

n=−คานวณจากสตร

2

13.6- 0.85

n=−โจทยกาหนดให Ei = - 0.85 eV n = 4

ตอมาเปล(ยนไปอยในสถานะท( n = 2 f 2 2

13.6E E = - 3.4 eV

2 = = −

นนคอ( Ei = E4 = - 0.85 eV

∆E = Ei - Ef

= E4 – E2

= (- 0.85) - (-3.4) eV= + 2.55 eV

ไดคา ∆E = + 2.55 eVนนคอ( จะมคาของ พลงงานโฟตอนท(สงออกมาเทากบ 2.55 eV

∆E = Ei - Efและ

24

3. ภาพของอะตอมจากกลศาสตรควอนตม

“ นวเคลยสเปนประจบวกรวมกนอยท( ศนยกลางของอะตอม รอบๆ นวเคลยสมอเลกตรอนประจลบโคจรรอบ ในสถานะท(ไมมการสญเสยพลงงานและโมเมนตมในลกษณะท(เปนกลมหมอกของอ เล กตรอน (electron cloud) ตาแหนง ของอเลกตรอนไมสามารถบอกไดแนนอน ทราบแตเพยงโอกาสท(จะพบอเลกตรอนเทานน ) ”

สถานะของอเลกตรอนในอะตอมปกตบอกไดดวยเลขควอนตม n, l , s

+

นวเคลยส หมอกอเลกตรอน

โอกาสพบอเลกตรอน

ระยะ

7

25 26

27 28

8

29

แตเดมนกวทยาศาสตรคดวา อะตอมนาจะเปนสวนประกอบท(เลก ท(สดของสสารทงหลาย) ตอมาจงทาบวาอะตอมยงประกอบดวย อนภาคยอยลงไปอก เปนอเลกตรอน โปรตอน และนวตรอน ซ( งเรยกวาเปน อนภาคมลฐาน (fundamental particles) จากการคนควาของนกวทยาศาสตรแขนงตางๆ ทาใหมการคนพบอนภาคมลฐานเพมขนเร(อยๆ( ) ในปจจบนนไดพบอนภาคมลฐานแลวเปน)จานวนประมาณถง 200 ชนด จากการศกษาเกยวกบอนภาคมลฐาน( ยงคงเปนท(นาสนใจกนตอไป เพราะเช(อกนวาการคนพบอนภาคมล ฐานใหมๆ จะชวยทาใหเกดความรและทฤษฎใหมเพ(อท(จะเขาใจถง ปญหาและปรากฏการณบางอยางไดชดเจนยงขน ( )

4. อนภาคมลฐาน

30

ในการศกษาเกยวกบการ( สลายตวเบตา (bata decay) ซ( งมการปลดปลอย อเลกตรอนออกมานนพบวาไมเปนไปตามกฎการคงท(ของพลงงานโดยม) พลงงานบางสวนหายไป เชน ในการสลายตวของบสมท-210 ปรากฏวา อเลกตรอนท(ถกปลดปลอยออกมามชวงพลงงานตงแตนอยสดจนกระทงถง ) (คาสงสด ซ( งเทากบมวลซ(งลดลงในกระบวนการน ) ดงแสดงดงรป

นวตรโน

รปแสดงการกระจายของพลงงานของอเลกตรอนในการสลายตวเบตาของบสมท -210

จานวนอเลกตรอนสมพทธ

คาสงสด

พลงงานของอเลกตรอน (MeV)0 0.5 1.0

31

นอกจากนนยงพบอกวา) การสลายตวเบตานขดกบกฎการคงท(ของ) โมเมนตมคอในการสลายตวของเบตาของนวเคลยสท(หยดนง( อเลกตรอนและนวเคลยสท(สลายตวมโมเมนตมไมเทากน โดยมการเคล(อนท(ดงแสดงดวยรป

รปแสดงการเคล(อนท(ของ อเลกตรอนและนวเคลยสภายหลงการสลายตวเบตาอเลกตรอนนวเคลยสภายหลง

การสลายตว

และกมปญหาเชนกนสาหรบ โมเมนตมเชงมม เชน ในการเปล(ยนแปลงนวตรอนเปนโปรตอน หรอโปรตอนเปนนวตรอนกดจะพบวาโมเมนตมเชงมมจะตางกนอยเทากน

32

การสลายตวเบตานจงนบวาเปนปญหาท(ไมอาจอธบายได) จนกระทงมนกวทยาศาสตรได(ใหสมมตฐานเกยวกบการ( สลายตวเบตานวา) จะตองมอนภาคอ(นอกอนภาคหน(งปลดปลอยออกมาดวย และเรยกอนภาคนนวา) นวตรโน (neutrino) โดยอนภาคนไมมมวล) ไมมประจไฟฟา แตมพลงงานและ โมเมนตมและสปนมคา ½ ตามสมมตฐานนอเลกต) รอนและนวตรโนจะถกปลดปลอยออกมาในการ สลายตวเบตาดงแสดงไดดงรป ซ(งจะสอดคลองกบกฏการคงท(พลงงานและโมเมนตม

รปแสดงการปลดปลอย อเลกตรอนและนวตรโน ในการสลายตวเบตา

อเลกตรอน

นว เ คล ยสภ า ยห ลงการสลายตว

นวตรโน

ในป พ.ศ. 2499 การทดลองเกยวกบปฏกรยานวเคลยรกไดผลยนยนวา( อนภาคนวตรโนมจรง เคร( องปฏกรณนวเคลยรจะใหนวตรโนออกมาเปนจานวนมาก นอกจากน)ปฏกรยานวเคลยรในดวงอาทตยกให นวตรโนเกดขนเปนจานวนมากมายเชนกน )

9

33

หลงจากท( มการคนพบอนภาคโพสตรอนซ( งเ รยกวาเปน ปฏยานภาค (antiparticle) ของอเลกตรอนและกคาดกนวาอนภาคอ(นนาจะ มปฏยานภาคไดเชนเดยวกน และเม(อไมนานมานเองกมการคนพบอนภาคท(เรยกวา ) โปรตอนลบ (negative proton) หรอ ปฏโปรตอน ( antiproton, ) โดยท(อนภาคนมสมบตเหมอนโปรตอนทกประการเพยงแตมประจไฟฟาลบ)

นกวทยาศาสตรเช(อวาโปรตอน และอเลกตรอนมสมบตท( เ ปนไปตามกระบวนการพนฐานแบบเดยวกน) เชน เม(ออเลกตรอนและโพสตรอนมาพบกนจะรวมกนกลายเปนพลงงานของรงสแกมมา หรอโฟตอน ดงปฏกรยา

p

ปฏยานภาค

0 0 e e + + → γ γ

ในทานองเดยวกนสาหรบโปรตอน และปฏโปรตอน ดงปฏกรยา p p + + → γ γ 34

และในทางกลบกนในกระบวนการผลตคท(เกดจากโปรตอนซ( งมพลงงาน เทากบ 1,872 MeV จะสามารถทาใหเกดโปรตอน –ปฏโปรตอนไดเชนเดยวกบโฟ ตอนซ( งมพลงงาน 1.02 MeV ท(สามารถทาใหเกดอเลกต รอนโพสตรอน

นอกจากนแลวกมการ) พบปฏนวตรอน (antineutron, ) และปฏนวตรโน (antineutrinos, ) เชนกน สาหรบนวตรโนและปฏนวตรโนนนแตกตาง) กนเพยงทศของ สปนซ(งมทศตรงกนขาม

n

υ

การสลายตวเบตาท(ปลดปลอยอเลกต รอนและโพสตรอนจะเปนไปดงสมการ

ซ( งใหผลสอดคลองตามหลกการคงท(พลงงาน โมเมนตม และโมเมนตมเชงมมทกประการ

+

n p + e +

p n + e +

−→ υ

→ υ

35

หลงจากการคนพบไพเมซอนในรงสคอสมกแลวจงทราบตอไปอกวาไพเมซอน ม 3 ชนดคอ ไพเมซอนชนดท(มประจไฟฟาบวกและลบ (π + , π - ) ซ( งมมวลนง( 273 เทากบมวล ของอเลกตรอน และไพเมซอนชนดท(เปนกลาง (π0) ซ( งมมวลนง( 264 เทากบ มวลอเลกตรอน ไพเมซอนท( มประจไฟฟาท(อยนอกนวเคลยสจะสลายในชวงเวลาสนประมาณ ) 10-8 วนาท เปนมวเมซอนโดยมการสลายตวดงน)

เมซอน (Meson)

+ +

- -

+

+

π → µ υ

π → µ υ

สาหรบไพเมซอนท(ไมมประจไฟฟาจะสลายตวในชวงเวลาประมาณ 10-16 วนาท เปนรงสแกมมาคอ

โดยท( π - เปนปฏยานภาคของ π +

0 + π → γ γ36

มวเมซอนมการสลายตวตอไป เปนอเลกตรอน โพสตรอน นวตรโน และปฏนวตรโนดงน)

โดยท( µ+ เปนปฏยานภาคของ µ-

- -

e + +

e + +

+ +µ → υ υ

µ → υ υ

เราพบมวเมซอนในรงสคอสมกในระดบใกลพนดน) มวเมซอนจงเปนอนภาคท(เกดจากการสลายตวของพวกไพเมซอนท(มประจไฟฟานนเอง ( มวเมซอนมแตประจไฟฟาบวกและลบเทานนและมมวล ) 207 เทากบ มวลอเลกตรอน

10

37

หลงจากการคนพบไพเมซอนไมนาน กมการพบอนภาคมลฐานอ(นท(ไมได คาดไวอกเปนจานวนมาก จงเรยกอนภาคมลฐานเหลานนวา ) อนภาคประหลาด (strange particles)

ในขณะนแบงอนภาคประหลาดออกเปนสองพวกคอ) เคเมซอน (K– mesons)และ ไฮเปอรอน (hyperons)

พวกเคเมซอนจะมมวลนง( 967 เทากบมวล ของอเลกตรอน สาหรบไฮเปอรอนมมวลมากกวามวลโปรตอน ทงเค) เมซอนและไฮเปอรอนเปนอนภาคท(เกดขนเน(องจากผลของปฏกรยานวเคลยรพลงงานสง ) อนภาคมลฐานเหลาน )จะไมอยตว คอมการสลายตวตอไปในชวงเวลาสนมาก )

อนภาคประหลาด (strange particles)

38

เคเมซอนท(มประจไฟฟาม 2 ชนดคอ K+ และ K- โดยท( K- เปนปฏยานภาคของ K+

สาหรบเคเมซอนท(ไมมประจมดวยกน 2 ชนดคอ และ ซ( งจะมการสลายตวในชวงเวลาสนเชนกน ) และเช(อวาม เปนปฏยานภาคของ

สาหรบไฮเปอรอนเปนอนภาคท(มมวลมากมอย 4 ชนดไดแก แลมบดาไฮเปอรอน (Λ-hyperons) ซกมาไฮเปอรอน (∑-hyperons) ไซไฮเปอรอน ( Ξ-hyperons) และโอเมกาไฮเปอรอน (Ω-hyperons)

01K 0

2K0K0

K

แลมบดาไฮเปอรอนมอยเพยงชนดเดยวซ(งเปนกลางคอ Λo โดยม Λo เปนปฏยานภาค

ซกมาไฮเปอรอนมทงชนดท(มประจไฟฟาซ( งไดแก) ∑+ และ ∑ - และท(เปนกลางคอ ∑o โดยแตละอนภาคจะ มปฏยานภาคคกนไป

ไซไฮเปอรอนนนมเพยง) 2 ชนดคอ Ξ - และ Ξo ซ( งไซไฮเปอรอน ทงสองชนดตางก) มปฏยานภาคของตวเอง

สาหรบโอเมกาไฮเปอรอนเปนไฮเปอรอนซ( งพบเม(อไมนานมาน ) ซ( งไดแก โอเมกาไฮเปอรอน ท(มประจไฟฟาลบคอ โดยม เปนปฏยานภาค

+Ω−Ω

39

(1) โฟตอน (photons) ซ(งเปนท(รจกกนวาเปนคล(นแมเหลกไฟฟา

(2) เลพตอน (leptons) เปนพวกอนภาคซง มมวลคอนขางนอย เชน อเลกตรอน มวเมซอน พวกนจะมอนตรกรยาอยางออน) และมสปนเปน ½

(3) เมซอน (mesons) เปนพวกอนภาคซ(งมมวลปานกลาง ซ( งไดแกพวกไพเมซอน เคเมซอน โดยมสปนเปนศนย พวกนจะมอนตรกรยาอยางแรงกบนวเคลยส)

(4) บารออน (baryons) เปนพวกอนภาคท(มมวลมาก เชน โปรตอน นวตรอนและ ไฮเปอรอน สวนใหญพวกนม ) สปนเปน ½ ยกเวนเพยงโอเมกาไฮเปอรอนซ(งมสปน เปน 3/2 บารออนจะมอนตรกรยาอยางแรงกบนวเคลยส

การจาแนกประเภทของอนภาคมลฐาน

เน(องจากอนภาคมลฐานมสมบตหลายประการดวยกน จงเปนการยากท(จะจาแนกประเภทของอนภาคมลฐานไดเหมาะสมทกประการ แตอยางไรกตามอนภาคมลฐานอาจ จาแนกประเภทไดโดยอาศยมวลและอนตรกรยาเปนหลกโดยแบงเปน 4 ประเภทคอ

หมายเหต เมซอน และ บารออน เรยกรวมวาเปน ฮาดรอน ( hadrons)40

ตาราง อนภาคมลฐาน

1.0 x 10-1000974

6 x 10-800974

K-1.22 x 10-80+1967K+เคเมซอน

(πo )1.9 x 10-1600264πo

π-2.55 x 10-80+1273π+ไพเมซอนเมซอน

µ+2.2 x 10-6-12.7µ-มวเมซอน

e+เสถยร-11e-อเลกตรอน

เสถยร00νนวตรโนเลพตอน

(γ)เสถยร100γโฟตอนโฟตอน


อายเฉล*ย (วนาท)

สปน (หนวยของ h)

ประจไฟฟา(หนวยของe)

มวล (หนวยของ me )

สญลกษณอนภาคประเภท

01K

02K 0

2K

01K

υ1

2

1

2

1

2

11

41

10-1002570

10-10-13276Ω-

10-10-12580โอเมกาไฮเปอรอน

10-1202332∑o

1.6 x 10-8-12340∑-ไซไฮเปอรอน

0.8 x 10-10+12327∑+ซกมาไฮเปอรอน

2.5x 10-10

02182Λoแลมบดาไฮเปอรอน

1.01x 10-301839noนวตรอน

เสถยร+11836pโปรตอนบารออน


อายเฉล*ย (วนาท)

สปน (หนวยของ h)

ประจไฟฟา(หนวยของe)

มวล (หนวยของ me )

สญลกษณอนภาคประเภท

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

3

2

pon−

o∧

−ΞoΞ

+ΞoΞ

−Σ

+Σ

oΣ

+Ω

42

การจาแนกประเภทอนภาคมลฐานบางตวอาจแสดงเปนตวอยางดงตาราง

อนภาคมลฐานท(กลาวแลวนนถงแมจะมอายสนมากกตาม ) ) นกวทยาศาสตร

ยงไดมการคนพบอนภาคท(มอายสนมากกวานนอกขนาด) ) 10-20 วนาท

อนภาคประเภทท( มอายสนดงกลาวนเรยกกนวา) ) อนภาคเรโซแนนซ

(resonance particles)

นอกจากนนยงมนกวทยาศาสตรบางกลมเช(อวาจะมอนภาคอ(นท(เ) ปนมล

ฐานกวานน ) ท( เ รยกวา ควาก (quarks) โดยท(ควากมประจไฟฟาเปน

เศษสวนของประจ ของอเลกตรอน คอ ( e) หรอ ( e) และอนภาคมล

ฐานบางอยางท(ทราบกนแลวนนอาจประกอบขนจากควากชนดตางๆ ) ) ก

เปนได

1

3

2

3

43

2. อเลกตรอนจะรบหรอคายพลงงานเม(อมการเปล(ยนวงโคจรโดยท(

= ความถ(โฟตอนท(อะตอมดดหรอแผออกมา มความยาวคล(น λ

= พลงงานอเลกตรอนกอนเปล(ยนวงโคจร = พลงงานอเลกตรอนหลงเปล(ยนวงโคจร

ถา เปน + หมายถง คายพลงงาน- หมายถง ดดพลงงาน

แบบจาลองอะตอมของบอร ประสบความสาเรจใน ก า ร อ ธบ า ย เสน ส เ ป ก ต ร ม ข อ ง อ ะ ต อ มไฮโดรเจน บอรสนนษฐานวาวงโคจรแตละวง เปนวงกลม และมแรงดงดดระหวางอเลกต รอนกบโปรตอน1. อเลกตรอนสามารถอยไดในวงโคจร

ท(ไมตอเน(องโดยม โมเมนตมเชงมม

m = มวลของอเลกตรอน = 9.1x10-31 kg v = อตราเรวเชงเสนของอเลกตรอน r = รศมวงโคจรของอเลกตรอน n = เลขจานวนเทา (1, 2, 3, ...)h = คาคงท(ของ แพลงค = 6.6261x10-34 J.s

eV n

6.13 E

2n −=

i f h E E = Eν = − ∆

ν

iE

fE

E∆h mvr = n = nh

2π

34hh = 1.054x10 J s

2−= ⋅

π

สรป

11 2n r (5.29x10 ) n −=

พลงงานในแตละวง

รศมแตละวงโคจร (หนวยเปน m)

2 2f i

1 1 1 R

n n

= − λ

m1.097x10 ch8

me R 17

320

4−=

ε= = คาคงท(ของรดเบอรก 44

• สถานะของอเลกตรอนในอะตอมปกต ทางกลศาสตรควอนตมบอกไดดวยเลขควอนตม n, l , s

n = เลขควอนตมท(กาหนดวงโคจรหลก ของอเลกตรอน = 1, 2, 3, 4, 5, 6, …

ช(อ K, L, M, N, O, P, …มจานวนอเลกตรอนไดสงสด = 2n2

l = เลขควอนตมท(กาหนดวงโคจรยอย ของอเลกตรอน = 0, 1, 2, 3 , 4, 5, … , (n-1)ช(อ s, p, d, f, g, h, …มจานวนอเลกตรอนท(เขาไปอยในวงโคจรยอยๆ นได) = 2 ( 2l +1)

s = เลขควอนตมเน(องจากอเลกตรอนมขนาดแลวหมนรอบตวเองทา ใหมโมเมนตมของตวมนเอง มคาเทากบ ½

12

45

(1) โฟตอน (photons) ซ(งเปนท(รจกกนวาเปนคล(นแมเหลกไฟฟา

(2) เลพตอน (leptons) เปนพวกอนภาคซง มมวลคอนขางนอย เชน อเลกตรอน มวเมซอน พวกนจะมอนตรกรยาอยางออน) และมสปนเปน ½

(3) เมซอน (mesons) เปนพวกอนภาคซ(งมมวลปานกลาง ซ( งไดแกพวกไพเมซอน เคเมซอน โดยมสปนเปนศนย พวกนจะมอนตรกรยาอยางแรงกบนวเคลยส)

(4) บารออน (baryons) เปนพวกอนภาคท(มมวลมาก เชน โปรตอน นวตรอนและ ไฮเปอรอน สวนใหญพวกนม ) สปนเปน ½ ยกเวนเพยงโอเมกาไฮเปอรอนซ(งมสปน เปน 3/2 บารออนจะมอนตรกรยาอยางแรงกบนวเคลยส

• อนภาคมลฐานอาจจาแนกประเภทไดโดยอาศยมวลและอนตรกรยาเปนหลกโดยแบงเปน 4 ประเภทคอ

หมายเหต เมซอน และ บารออน เรยกรวมวาเปน ฮาดรอน ( hadrons)

นอกจากนนยงมนกวทยาศาสตรบางกลมเช(อวาจะมอนภาคอ(นท(เ) ปนมลฐานกวานน ) ท(เรยกวา ควาก (quarks) และอนภาคมลฐานบางอยางท(ทราบกนแลวนนอาจประกอบ )ขนจากควากชนดตางๆ) กเปนได 46

เอกสารอางอง

1. ภาควชาฟสกส, ฟสกส 2, พมพครงท() 3, สานกพมพจฬาลงกรณมหาวทยาลย, 2535

2. D.C. Giancoli. Physics Principles with Applications, 3rded., Prentic-Hall, ISBN: 0-13-666769-4, 1991.

3. D. Halliday, R.Resnick and K.S. Krane. Volume Two extended Version Physics, 4th ed., John Wiley & Sons, 1992.

4. R.A.Serway, Physics for Scientists & Engineers with Modern Physics, 4th ed., 1996.

5. http://www.physics.sci.rit.ac.th6. http://www.colorado.edu/physics/2000/index.pl7. http://www.dctech.com/physics/tutorials.php

All Slide PhysicsII

Documents

Transcript of All Slide PhysicsII