All-Pairs Bottleneck Paths in Vertex Weighted Graphs

Adapted from paper by Asaf Shapira, Raphael Yuster, Uri Zwick

הערות – לפני שנתחיל

לשאול שאלות תוך כדי זה בסדר, לפי המקרא •הבא:

"מעניין באמת מה התשובה, כי שאלה מעניינת:1.לי אין מושג"

"הא הא! אני יודע מה התשובה!"שאלה טובה: 2.

"בואו נסתכל על השקף הבא..."שאלה מצויינת: 3.

אם יש מינוח/סימון לא ברור, תרגישו חופשי •1לשאול, אלא אם כן זה מקרה

הערות – לפני שנתחיל

הנחה היא שהקוד' תמיד ממויינים לפי משקל, •.W(Vi) ≤ W(Vi+1)ז"א

זה לא פוגע בסיבוכיות, כי בכל מקרה •הסיבוכיות המינ' היא ריבועית, ומיון לוקח

O(Vlog(V)).

יעזור בהמשך...•

? )הגדרות(APBPמה זה

היא w: V → R, כאשר G = (V, E, w)נתון גרף מכוון •.הקודקודיםפונ' משקולות על

capacity )המשקל הפוקק(, או ה- bottleneckה- •)קיבולת( של מסלול, הוא המשקל הנמוך ביותר

על אותו מסלול.את C(u, v) נסמן ב- u,vעבור שני קודקודים •

. v ל – uהקיבולת המקסימאלית על מסלול בין המסלולים בין כלאם נעבור על במילים אחרות: •

u -ל v ונבדוק מה הקיבולת של כל מסלול, אזי ,C(u,v) .יהיה הערך הכי גדול מבין הקיבולות

? )הגדרות(APBPמה זה

כמובן שאפשר להבין למה זה מעניין – בעיות •זרימה למיניהם...

וריאנטים מרכזיים:2יש •–Open-APBP : כאשר לא מתחשבים במשקולות של

(.W(u), W(v)קודקודי הקצה )לא מתחשבים ב- –Closed-APBP : ,מתחשבים במשקולות הקצה

.Ct(u, v) = W(v) או Ct(u, v) = W(u)כלומר ייתכן ו-

הבעיות שקולות 2 אחת מתוצאות המאמר:)סיבוכית(.

התוצאה המרכזית )"החלק החכם"(

Open-APBPאלגוריתם שמחשב מטריצת •.O(n ^ (2 + μ)) בזמן Closed-APBPומטריצת

, כאשר הוכח ש – μ + 2נשים לב שהחזקה היא •0.575> μ נובע מהקבוע של כפל מטריצות(

בוליאנות(לכן סה"כ האלג' פועל בסיבוכיות:•

O(n ^ 2.575) הגנרי μבכל מקרה אנחנו נשתמש בסימון •

עבור סיבוכיות האלגוריתם שלנו

מה בעצם באנו להוכיח? )פורמלי(

יש אלג' שפותר את במילים אחרות:APBP בגרף מכוון בסדר גודל זמן שלוקח

n Xלבצע כפל מטריצות בוליאניות בגודל n.

סקיצת ההוכחה

)מטריצת עדים MWBMM לחישובAמוצאים אלג' O(n ^ (2 + μ))מקסימאליים לכפל מטריצות בוליאניות( בזמן -

-Closed פותר את בעיית A', שע"י שימוש ב- Aבונים את APBP בגרפים מכוונים עבור אורך מסלול קבוע t תכנות(

דינאמי(

יוצרים אלג' "הפרד ומשול" רקורסיבי לפיתרון הבעיה הכללית, ' לפתרון שלבים בדרך Aכאשר נעשה שימוש ב-

MWBMMחישוב למעשה קיבלנו את החלק הזה ב"מתנה", שכן נתון לנו האלג'

הבא בתור קופסא שחורה:

Kowaluk & Lingas

מטריצות 2מטריצת עדים מקסימאלית )מע"מ( עבור כפל .O(n ^ (2 + μ)) ניתנת לחישוב בזמן - n X nבוליאניות

סקיצת ההוכחה

)מטריצת עדים MWBMM לחישובAמוצאים אלג' O(n ^ (2 + μ))מקסימאליים לכפל מטריצות בוליאניות( בזמן -

בגרפים APBP פותר את בעיית A', שע"י שימוש ב- Aבונים את )תכנות דינאמי(tמכוונים עבור אורך מסלול קבוע

יוצרים אלג' "הפרד ומשול" רקורסיבי לפיתרון הבעיה הכללית, ' לפתרון שלבים בדרך Aכאשר נעשה שימוש ב-

. רוצים u,v ושני קודקודים t נתון לנו אורך הבעיה:למצוא את המשקל הפוקק המקסימאלי על כל

, כאשר מסתכלים רק על v ל- uהמסלולים בין 1 )כל קשת מוסיפה tמסלולים שאורכם עד

לאורך המסלול – נזכור שהקשתות לא ממושקלות(.

.Ps, Qs ניעזר ב- הפתרון:

Ps(u,v) = 1 -אם יש מסלול מ u – ל v באורך s -לכל היותר, שבו ל v המשקל המינימאלי

(.0)אחרת

Qs(u,v) = 1 -אם יש מסלול מ u – ל v המשקל u לכל היותר, שבו ל- sבאורך

(.0המינימאלי )אחרת

? כן!!!(1תכנות דינאמי )אלג'

sנבנה את המטריצות מלמטה למעלה עבור כל הרעיון: , וזה לא "קשה" כי בכל שלב מתחשבים רק t ל - 0בין

בקצוות של מסלול מסוים, ובנוסף אפשר להיעזר התוצאות של השלב הקודם )שחישבנו כבר(.

בנייהנתון:

•A מטריצת שכנויות של – G•B :מטריצה בוליאנית שבה –

B(u,v) = 1 אם"ם w(u) >= w(v)

P0 = Q0 = I: 0מדרגה

: 1מדרגה •P1 = A ^ B.•Q1 = A ^ Bt.

בנייה )המשך(

:Sמדרגה . אזי:P (s – 1), Q (s – 1) נניח שיש לנו את •Ps = AP(s – 1) & B•Qs = Q(s – 1)A&Bt

הוכחה: v, שבו ל- v ל- u לכל היותר מ- s באורך p = (u, x, … ,v)נניח שיש מסלול

)כי הם שכנים(, ו-A[u,x] = 1משקל מינימאלי. אזי P(s-1)[x, v] = 1 כי כי p’ = (x…v) הוא מסלול באורך (s - 1) לכל היותר שבו

משקל מינימאלי v, כי ל- B[u, v] = 1 משקל מינימאלי, וכן vל- עצמו כלול בהשוואת המשקולות.w(u), כאשר v ל – uבמסלול בין

Qs זה אותו דבר, רק transposed.

APBP -עבור אורך מסלול חסום ב t

, זה s = 0, 1, … t עבור כל הערכים Ps, Qsנחשב את קבוע, ולכן זה יוצא T זמן. O(t * n^μ)ייקח לנו

O(n^μ).זמן

, שהיא המע"מ עבור הכפל Wsעכשיו נחשב את

Ps Q(t-s) לכל ערך , s 'האלג .A שהראנו קודם ( t, יש לנו מספר קבוע )O(n^μ)ב - Ws מחשב כל

של מטריצות כאלה, ולכן זה מוסיף לנו סיבוכיות

O(n^μ) :זמן – ז"א הסיבוכיות הכוללת O(n^μ).

הרעיון המרכזי

שהראינו מקודם, ניתן Wsכעת, כשיש לנו את כל ה- ע"י:O(t) בזמן Ct(u,v)למצוא את

•W(0)∞- = .•Ct(u, v) = W(max Ws(u, v)) כאשר ,Ws הכוונה לכל

.t … 0 רץ על הערכים s שחישבנו )ז"א Wsהמטריצות

במילים אחרות: שחישבנו במקום ה-Wsנסתכל על כל מטריצות

[u, v] וניקח את הערך המקסימאלי. נשתמש בערך זה ,כאינדקס של קודקוד: המשקל של אותו קודקוד הוא-הוא

Ct(u, v).

הוכחת הטענה המרכזית

:0תנאי

אם"ם v ל- u מ- tאין מסלול באורך חסום

Ws(u, v) = 0 עבור כל s.ז"א בכל המטריצות ,

-< במקרה זה תקף התנאי המיוחד שלנו, ו-

W(0) = Ct(u, v).

הוכחת הטענה המרכזית

:1כיוון

, נראה שזה אכן מה שהאלג' *Ct(u, v) = wנניח שלנו מחזיר.

עם קיבולת v ל – u מ- pע"פ ההנחה, קיים מסלול w* -ו ,y הוא קודקוד על המסלול p – שעבורו

W(y) = w* אפשר בעצם להסתכל על .p כעל איחוד , p2 = (y, … ,v) ו – p1 = (u, …. ,y)של שני מסלולים

.s ≤ t ≥ 0 עבור p1| = s, |p2| = t|כאשר:

הוכחת הטענה המרכזית

)המשך(:1כיוון

, בפרט p בכל המשקל הכי נמוך yכיון שלקודקוד בנפרד, ולכן: p2 ו- p1זה תקף ל-

Ps(u, v) = 1 וכן Qt-s(u,v) = 1.

, ולכן Ws(u, v) ≥ yע"פ הגדרת מע"מ זה אומר ש- שבחרנו מקיים )נזכור מיון Ctמתקיים שה-

קוד'(:

Ct(u, v) ≥ W(y) = w* .■

הוכחת הטענה המרכזית

:2כיוון

Ct(u, v), נראה שאכן *wנניח שהאלג' שלנו מחזיר = w*.

שעבורוy כלשהו, אזי קיים קוד' *wנניח שקיבלנו

W(y) = w* מסלולים: 2, וכן בהכרח יש שני

P1 = (u…y), P2 = (y…v) כך שאורך המסלול ,. tהכולל הוא לכל היותר

הוכחת הטענה המרכזית

)המשך(:2כיוון

המשקל y בהכרח ל- Ps, Qsבנוסף, ע"פ הגדרת .P, ולכן בכל P2 וגם ב- P1הנמוך ביותר ב-

■. *Ct(u, v) ≤ wמכאן ש-

סקיצת ההוכחה

)מטריצת עדים MWBMM לחישובAמוצאים אלג' O(n ^ (2 + μ))מקסימאליים לכפל מטריצות בוליאניות( בזמן -

בגרפים APBP פותר את בעיית A', שע"י שימוש ב- Aבונים את )תכנות דינאמי(tמכוונים עבור אורך מסלול קבוע

יוצרים אלג' "הפרד ומשול" רקורסיבי לפיתרון הבעיה הכללית, ' לפתרון שלבים בדרך Aכאשר נעשה שימוש ב-

APBPהנחות –

הנחות:

- V = {1..n} כאשר ,w(i) ≤ w(i+1) ז"א: הקודקודים .ממויינים לפי משקל.

-N 2 הוא חזקה של

הערה:

ההנחות הנ"ל לא משפיעות על סיבוכיות הזמן 2שלנו.

Uber Algorihm of Doom APBP-

APBP(V, E, w) לשני קבוצות:Vמחלקים את 1.

A = 1…n/2B = V\A המשלים של( A)

, ז"א B: הגרף המושרה ע"י Gb. נגדיר את 2. Aמעיפים קשתות שנוגעות בקוד' מ-

.Gb רקורסיבית על )(APBPנפעיל את

Uber Algorihm of Doom APBP-

קשת (u, v), כאשר Ga: Ga = {A, E2}. נגדיר את 3 שיש או, G אמ"ם היא קיימת כבר ב- E2ב-

הקוד' במסלול כל אשר v ל – uמסלול מ- נמצאים בתוך.

משאירים את הקשתות הרגילות )כמו גרף הרעיון:מושרה(, ומוסיפים "קיצור דרך" עבור קוד' שכל

.Bהמסלול שלהם היה ב- , כלומר בזמן O(n^ω) ניתן לבנות ב- Ga את הערה:

פולינומי כפי קבוע כפל מטריצות בוליאניות..Ga רקורסיבית על )(APBPנפעיל את

סיכום ביניים – מה עשינו עד עכשיו?

< -∞Cgb(u, v), אם קיבלנו B קוד' ב- 2עבור כל •.Cgb(u, v) = C(u, v)אזי בהכרח

.A, Cga(u, v) = C (u, v) קוד' ב- 2עבור כל •

אחלה בחלה, אז למה אנחנו עדיין פה?

כי נשארו עוד שלושה מקרים מיוחדים לבדוק, .B ו- Aה"תפר" בין קבוצות

B ל- Aה"תפר" בין

שלא חישבנו:C(u, v)יש שלושה מקרים של -AxB з (u,v)-BxA з (u,v)

מסלולים שתחילתם בקבוצה אחת וסופם ז"א: בקבוצה אחרת.

-BxB з (u,v) -ושעבורם קיבלנו ,Cgb(u,v)∞- = .

קוד' שייתכן שיש ביניהם מסלול, שהקוד' 2 ז"א:.Aשלו ב-

B ל- Aה"תפר" בין

אז בשביל לעבור על המקרים הללו, נבנה גרף כדלקמן:G’ = (V’, E’)מיוחד

V’ = B1 U A2 U A3 U A4 U B5 כאשר ,B1, B5 הם הם שכפולים של A2, A3, A4 ו- Bשכפולים של

A..V’| = 2.5n|נשים לב ש-

Ai בתוך u יהיה העותק של V, ui מתוך uעבור כל .w(ui) = w(u). בנוסף, Biאו

B ל- Aה"תפר" בין (u1, v2 ), נוסיף את הקשת u з B, v з Aעבור כל •

המקורי( שכל G )ב- v ל – uאם"ם יש מסלול מ- .Bקוד' הפנימיים מ-

אם"ם(u2, v3) נוסיף את הקשת u, v з Aעבור כל • c(u,v) = w(v). אם"ם (u3, v4) נוסיף את הקשת u, v з Aעבור כל •

c(u,v) = w(u). השניים האחרונים אפשריים כיון שכבר הערה:

קודם, בקריאה הרקורסיבית על c(u, v)חישבנו את Ga ז"א ,c(u, v)!כבר ידוע לנו בשלב הזה

B ל- Aה"תפר" בין

נוסיף את u з A, v з Bולסיום הבנייה, עבור כל • )ב- v ל- u אם"ם יש מסלול מ- (u4, v5)הקשת

G -המקורי( שכל קודקודיו הפנימיים מ B. את כל הקשתות הנ"ל ניתן ליצור ב- הערה:

O(n^ω) זמן, ולכן זהו גם הזמן הדרוש ליצירת G’.

B ל- Aה"תפר" בין

ועכשיו הקסם:

לכל 4 חסום הם באורך ’Gכל המסלולים ב- נוכל כמובן לחשב t = 4היותר, ולכן אם נקבע

+ O(n ^ (2 )ע"י אלג' העזר שלנו( ב- APBPאת μ)).

הטענה היא שהמטריצה שהתקבלה, פותרת לנו את כל מקרי התפר שהזכרנו.

למה זה עובד?

, שיש ביניהם מסלול:u з B, v з A קוד' 2ניקח

נקרא Aלקוד' הראשון על המסלול בתוך קבוצה x ולקודקוד בעל המשקל הפוקק נקרא ,y:ז"א ,

C(u, v) = w(y) ,נשים לב שבפרט .y з A 'הקוד( ממויינים לפי משקל, זוכרים?(.

למה זה עובד?

, יש לנו שלושה קשתות:’Gע"פ הגדרת

(u1, x2( ,)x2, y3( ,)y3, v4) -שנמצאים ב E’.

מכאן, בהכרח:

Cg’(u1, v4) ≤ w(y3) = w(y) = c(u,v).

כמו כן:

Cg’(u1, v4) ≥ (u, v):ולכן ,

←C(u,v) = Cg’(u1, v4) ■

למה זה עובד?

באופן דומה:

, אזי נקבל ש:v з B, u з Aעבור הכיוון הפוך, ז"א: •

Cg’(u2, v5) = C(u, v) .

, = -∞Cgb(u, v) שעבורם u,v з Bעבור שני קוד' •

.C(u, v) = Cg’(u1, v5)נקבל ש-

סיבוכיות

אז ראינו את האלג' לפיתרון, אבל מה הסיבוכיות???

עיבוד רקורסיביות בחצי גודל +2פיתרון •:O(n ^ (2 + μ))שלוקח

•F(n) ≤ O(n ^ (2 + μ)) + 2F(n/2) .

זה יוצא )למי שזוכר בדידה...(:•

F(n) = O(n ^ (2 + μ)) ■

לסיכום

יש מספר מסקנות שימושיות, אם היה לנו עוד 1.זמן הייתי חופר גם עליהן...

כולם להתעורר2.

תודה על ההקשבה!!!3.

איחלתי לחייל הצלחה.4.

בברכה,5.

APBPצוות