ALJABAR LINIER ELEMENTER - digilib.unmuhjember.ac.id

i

ALJABAR LINIER ELEMENTER

Christine W. Suryaningrum, S.Pd, M.Pd

ii

ALJABAR LINIER ELEMENTER

Penulis:

Christine W. Suryaningrum, S.Pd, M.Pd

Editor:

Asmedy, M.Pd

Penyunting:

Imam Sahroni

Desain Sampul:

Imam Sahroni

Penerbit:

LPPM Unmuh Jember

Redaksi:

Jl. Karimata 49 Jember

Telp. (0331) 336728

Fax. (0331) 337957

email: [email protected]

Distributor Tunggal:

LPPM Unmuh Jember

Jl. Karimata 49 Jember

Telp. (0331) 336728

Fax. (0331) 337957

Cetakan pertama, Mei 2015

Hak cipta dilindungi undang-undang

Dilarang memperbanyak karya tulis ini dalam bentuk dan dengan cara

apapun tanpa ijin tertulis dari penerbit

mailto:[email protected]

iii

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT atas segara rahmat dan hidayah-Nya

sehingga buku Aljabar Linier elementer dapat diselesaikan dengan baik.

Buku ini dimakudkan untuk dapat digunakan sebagai referensi bagi

mahasiswa yang menempuh mata kuliah aljabar linier. Dengan membaca

buku ini, diharapkan mahasiswa dapat memiliki pengetahuan tentang sistem

persamaan linier, matriks, vektor, ruang vektor, sub ruang, vektor bebas linier

dan bergantung linier, nilai eigen dan ruang eigen , transformasi linier serta

dapat menjadi dasar untuk mempelajari mata kuliah selanjutnya.

Pada kesempatan ini penulis menyampaikan terima kasih kepada

Civitas Akademika Universitas Muhammadiyah Jember yang telah memberi

kontribusi sehingga buku ini dapat diterbitkan. Penulis sadar bahwa buku ini

jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu penulis mengharapkan banyak

masukan dan usulan demi kesempurnaan buku ini.

Jember, Mei 2015

Penulis

iv

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ........................................................................... iii

DAFTAR ISI .......................................................................................... iv

BAB I PENGANTAR SISTEM PERSAMAAN LINIER

1.1 Persamaan Linier ............................................................................... 1

1.2 Sistem Persamaan Linier ................................................................... 2

1.3 Eliminasi Gauss ................................................................................ 12

BAB II MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS

2.1 Definisi ............................................................................................. 35

2.2 Macam-Macam Matriks ................................................................... 37

2.3 Operasi Pada Matriks ........................................................................ 43

2.4 Sifat Operasi matriks ......................................................................... 48

2.5 Matriks Yang Dipartisi ...................................................................... 50

2.6 Perkalian Matriks Dengan Kolom ..................................................... 54

2.7 Perkalian Matriks Dengan Baris ....................................................... 55

2.8 Perkalian Matriks Dengan Baris – Kolom ........................................ 57

2.9 Hasil Kali Matriks Sebagai Kombinasi Linier ................................. 58

2.10 Invers Matriks ................................................................................. 59

BAB III DETERMINAN MATRIKS

3.1 Definisi ............................................................................................. 83

3.2 Menghitung Determinan .................................................................. 85

3.3 Sifat-Sifat Determinan ...................................................................... 85

3.4 Aturan Cramer .................................................................................. 94

3.5 Menyelesaikan SPL Dengan Aturan Cramer ................................... 94

v

BAB IV VEKTOR

4.1 Pengantar Vektor .............................................................................. 103

4.2 Hasil Kali Titik Dari Vektor ............................................................. 109

4.3 Panjang Dan Jarak Dua Vektor ........................................................ 111

4.4 Menentukan Sudut Antar Dua Vektor .............................................. 113

4.5 Vektor – Vektor Ortogonal .............................................................. 115

BAB V RUANG VEKTOR REAL

5.1 Ruang Vektor ................................................................................... 119

5.2 Sub ruang .......................................................................................... 122

5.3 Kombinasi Linier .............................................................................. 123

5.4 Kebebasan Linier .............................................................................. 125

5.5 Merentang .......................................................................................... 126

5.6 Basis dan Dimensi ............................................................................ 128

BAB VI RUANG EIGEN DAN DIAGONALISASI

6.1 Nilai Eigen dan Ruang Eigen ............................................................ 135

6.2 Diagonalisasi .................................................................................... 138

6.3 Diagonalisasi Ortogonal dan Matriks Simeri ................................... 140

BAB VII TRANSFORMASI LINIER

7.1 Definisi ............................................................................................. 145

7.2 Kernel Dan Range ............................................................................ 147

7.3 Jenis-Jenis Transfomasi Linier ......................................................... 148

7.4 Rank dan Nulitas ............................................................................... 149

7.5 Jenis-Jenis Transfomasi Linier .......................................................... 153

Glosarium ............................................................................................... 156

Daftar Rujukan ..................................................................................... 158

1

BAB I

PENGANTAR SISTEM PERSAMAAN LINIER

Dalam bab ini akan membahas sistem persamaan linier, sistem persamaan

linier homogen, dan eliminasi gauss. Setelah mempelajari bab ini,

diharapkan mahasiswa dapat menentukan selesaian dari suatu sistem

persamaan linier dengan eliminasi gauss

1.1 Persamaan Linier

1.1.1 Definisi Persamaan Linier

Persamaan linier adalah persamaan yang dapat dinyatakan dalam

bentuk a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b. Dimana a,b adalah konstanta riil sedangkan

x1, x2, ...,xn adalah variabel.

Contoh 1 persamaan linier

x = 0

y = 0

x + y = 1

a + b = 1

x1 + x2 = 0

Non contoh persamaan linier

2 + 2 = 4

x1²+ x2 = 0

x² = 0

x + y2 = 3

2

1.1.2 Himpunan Selesaian Dari Suatu Persamaan Linier

Diberikan persamaan linier : 2x - y = 6

Jika x = 1 , y = -4 di subtitusikan kedalam persamaan maka akan

membuat persamaan tersebut bernilai benar, maka x = 1, y = -4 disebut

selesaian dari persamaan linier.

Jika terdapat x = 5, y = 0 subtitusikan kedalam persamaan maka akan

membuat persamaan tersebut bernilai salah maka x = 5, y = 0 bukan selesaian

dari persamaan linier.

Dapat ditarik kesimpulan bahwa himpunan selesaian di persamaan

linier adalah sederet n angka r1, r1, …,rn jika disubtitusikan x1 = r1, x2 =r2, …,

xn = rn akan memenuhi persamaan linier tersebut (persamaan linier akan

bernilai benar)

1.1.3 Himpunan Selesaian Dalam Bentuk Parameter

Misal terdapat persamaan linier 4x1 – 2x2 = 8

Jika x1 = 2, maka dapat ditemukan nilai x2 = 0

Jika x1 = 2

1, maka dapat ditemukan nilai x2 = -3

Jika x1 = 3, maka dapat ditemukan nilai x2 = 2

Jika x1 sebarang bilangan real, maka dapat ditemukan nilai x2

Jika x1 = t, maka dapat ditemukan nilai x2 = 2t – 4

Selesaian diatas disebut selesaian dalam bentuk parameter

1.2 Sistem Persamaan Linier

1.2.1 Definisi Sistem Persamaan Linier

Sistem persamaan linier dari m persamaan dalam n peubah adalah

kumpulan (himpunan) terhingga dari persamaan linier atas m persamaan

dalam variabel x1, x2, …,xn .

3

Bentuk umum dari sistem persamaan linier adalah

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm

Contoh 2

Contoh sistem persamaan linier

a) -x + 2y = 5

4x - 3y = 8

b) 4a – b + 2c = 2

2a + 2b – c = 4

c) p + q = 2

p – q = 1

p = 4

d) x1 – 2x2 + 3x3 = 4

x1 – 2x2 = -1

– 2x2 + 3x3 = 2

x1 - 3x3 = 4

Non contoh sistem persamaan linier

a) x2 – y = 3

x – y = 3

b) a + b = -1

a - b2

= 8

c) –x3 + 2y = 5

4x - 3y = 8

4

1.2.2 Selesaian Dari Suatu Sistem Persamaan Linier

Selesaian dari sistem persamaan linier m persamaan dan n variabel

adalah sebuah urutan bilangan-bilangan (x1, x2, ..., xn) yang memenuhi semua

persamaan dalam sistem.

Contoh 3

Tentukan selesaian dari sistem persamaan linier berikut

x + 2y = 5

2x + 3y = 8

Selesaian dari sistem persamaan linier di atas adalah (1, 2), karena

bilangan tersebut memenuhi setiap persamaan dam sistem persamaan linier,

dengakata lain bilangan tersebut jika disubstitusi ke masing-masing

persamaan linier, membuat persamaan linier bernilai benar. Mari kita coba

substitusikan

Pada persamaan pertaman (1) + 2 . (2) = 5 bernilai benar

Pada persamaan kedua 2 .(1) + 3 . (2) = 8 bernilai benar

Contoh 4


3x + 3y = 6

-3x - 3y = -6

Sistem persamaan linier di atas mempunyai selesaian salah satunya adalah

(2,0). Artinya masih banyak nilai x dan y yang membuat persamaan linier

dalam SPL tersebut bernilai benar. Mari kita coba substitusikan

Pada persamaan pertaman 3 (2) + 3 .(0) = 6 bernilai benar

Pada persamaan kedua -3 .(2) + 3 .(0) = -6 bernilai benar

5

Contoh 5


x + y = 4

2x + 2y = 6

Karena tidak terdapat bilangan real yang memenuhi kedua persamaan

dalam Sstem Persamaan Linier di atas, maka sistem persamaan linier tersebut

tidak memiliki penyelesaian.

Pernyataan 1

Suatu sistem persamaan linear mempunyai paling sedikit satu penyelesaian,

maka sistem persamaan linear disebut sistem persamaan linear yang

konsisten (consistent).

Pernyataan 2

Suatu sistem persamaan linier yang tidak mempunyai selesaian disebut

sistem persamaan linier yang tak konsisten (inconsistent).

Jadi pada contoh 3 dan 4 merupakan sistem persamaan linier yang

konsisten, dan contoh 5 merupakan sistem pesamaan linier yang tidak

konsisten.

1.2.3 Kemungkinan Selesaian Dari Sistem Persamaan Linier

Perhatikan sistem persamaa linier berikut:

(a) x1 + x2 = 2

x1 – x2 = 2

Grafik dari persamaan-persamaan linier di atas adalah

6

Dari grafik di atas, terlihat bahwa terdapat satu titik potong. Titik

potong pada grafik di sebut selesain dari sistem persamaan linier. Maka dapat

kita simpulkan bahwa sistem persamaan linier di atas merupakan sistem

persamaan linier yang mempunyai tepat satu selesaian.

Perhatikan grafik dai persamaan linier berikut

(b) x1 + x2 = 2

x1 + x2 = 1

Dari grafik di atas, terlihat bahwa grafik tersebut tidak memiliki titik

potong. Maka dapat kita simpulkan bahwa sistem persamaan linier di atas

merupakan sistem persamaan linier yang tidak mempunyai selesaian atau

tidak konsisten.

x2

x1

(i)

x1

x2

(ii)

7

Perhatikan grafik dai persamaan linier berikut

(c) x1 + x2 = 2

-x1 – x2 = 2

Dari grafik di atas, terlihat bahwa garis persamaan sau berhimpit

dengan garis persamaan kedua. Karena titik potong pada grafik di sebut

selesain dari sistem persamaan linier. Maka dapat kita simpulkan bahwa

sistem persamaan linier di atas merupakan sistem persamaan linier yang

mempunyai banyak selesaian selesaian.

Dari tiga contoh di atas, dapat kita simpulkan bahwa penyelesaian

dari suatu sistem persamaan linier terdapat tiga kemungkinan yaitu kedua

garis yang berpotongan pada satu titik yang artinya sistem persamaan linier

di atas merupakan sistem persamaan linier yang mempunyai tepat satu

selesaian, kedua garis sejajar artinya tidak memiliki titik potong. Maka dapat

sistem persamaan linier tersebut merupakan sistem persamaan linier yang

tidak mempunyai selesaian atau tida konsisten, atau kedua persamaan

menyatakan garis yang sama atau berhimpit.

Maka himpunan penyelesaian dari suatu sistem persamaan linier

tersebut mengandung satu, nol, atau banyak titik yang tidak terhingga aritnya

sistem persamaan linier yang mempunyai banyak selesaian selesaian.

x1

x2

(iii)

8

Dari tiga kasus sistem persamaan linier di atas dapat kita simpulkan

bahwa sistem persamaan linier dengan m persamaan dan n variabel

mempunyai tiga kemungkinan selesaian yaitu sistem persamaan linier m x n

tidak mempunyai selesaian atau tidak konsisten dan sistem persamaan linier

m x n konsisten, artinya sistem persamaan linier memiliki tepat satu

penyelesaian atau tak berhingga banyaknya penyelesaian.

1.2.4 Cara Menyelesaikan Suatu SPL

Ada beberapa cara untuk mencari selsaian dari suatu sistem

persamaan linier yaitu

a. Metode eliminasi

b. Metode substitusi

c. Metode grafik

d. Metode campuran

Contoh 6

Tentukan selesaian dari sistem persamaan linier dengan tiga variabel berikut

ini

x + y − z = -1 (1)

8x + 3y − 6z = 1 (2)

−4x − y + 3z = -1 (3)

Kita coba selesaikan dengan metode campuran

Dalam metode ini, kita mengeliminasi (menghilangkan) variabel-

variabel di dalam sistem persamaan linier hingga hanya tinggal satu variabel.

Pertama-tama, lihat persamaan-persamaan yang ada dan coba cari dua

persamaan yang mempunyai koefisien yang sama (baik positif maupun

negatif) untuk variabel yang sama. Misalnya, lihat persamaan (1) dan (3).

Koefisien untuk y adalah 1 dan -1 untuk masing-masing persamaan. Kita

9

dapat menjumlah kedua persamaan ini untuk mengeliminasi y dan kita

mendapatkan persamaan (4).

x + y − z = -1 (1)

−4x − y + 3z = -1 (3)

------------------------- +

−3x + 2z = -2 (4)

Perhatikan bahwa persamaan (4) terdiri atas variabel x dan z. Sekarang kita

perlu persamaan lain yang terdiri atas variabel yang sama dengan persamaan

(4). Untuk mendapatkan persamaan ini, kita akan mengeliminasi y dari

persamaan (1) dan (2). Dalam persamaan (1) dan (2), koefisien untuk y

adalah 1 dan 3 masing-masing. Untuk menghilangkan y, kita kalikan

persamaan (1) dengan 3 lalu mengurangkan persamaan (2) dari persamaan

(1).

x + y − z = -

1 (1) ×3 3x + 3y − 3z = -3 (1)

8x + 3y − 6z = 1 (2)

8x + 3y − 6z = 1 (2)

------------------------- -

−5x + 3z = -4 (5)

Dengan persamaan (4) dan (5), mari kita coba untuk mengeliminasi z.

−3x + 2z = -2 (4) × 3 −9x + 6z = -6 (4)

−5x + 3z = -4 (5) ×2 −10x + 6z = -8 (5)

------------------------- −

x = 2 (6)

10

Dari persamaan (6) kita dapatkan x = 2. Sekarang kita bisa subtitusikan

(masukkan) nilai dari x ke persamaan (4) untuk mendapatkan nilai z.

−3(2) + 2z = -2 (4)

−6 + 2z = -2

2z = 4

z = 4 ÷ 2

z = 1

Akhirnya, kita substitusikan (masukkan) nilai dari z ke persamaan (1) untuk

mendapatkan y.

2 + y − 1 = -1 (1)

y = -1 − 2 + 1

y = -2

Jadi solusi sistem persamaan linier di atas adalah

x = 2, y = -2, z = 1.

Untuk meode substitusi, elimasi, dan grafik sebagai latihan pembaca

1.2.5 Matriks yang Diperbesar

Sistem persamaan linier yang terdiri dari m persamaan linier dengan n

variabel dapat disingkat dengan dengan hanya menuliskan deretan bilangan-

bilangan dalam matriks.

Perhatikan sistem persamaan linier berikut:

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm

11

Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linier di atas adalah

mmnmm

n

n

baaa

baaa

baaa

....

....

....

21

222221

111211

Contoh 7

a. Diberikan sistem persamaan linier sebagai berikut

x – y + 2z = 2

2x + y + 3z = -1

-3x + 6y + z = 0

matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linier di atas adalah

0163

1312

2211

b. Diberikan sistem persamaan linier sebagai berikut

x + y + 2z = 9

2x + 6y - 3z = 1

3x + 6y - 5z = 0

matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linier di atas adalah

0563

1362

9211

12

Catatan:

Untuk menyusun suatu matriks yang diperbesar dari suatu sistem persamaan

linier, koefisien dari variabel harus ditulis dengan urutan yang sama untuk

setiap persamaan dan konstanta harus berada pada bagian paling kanan.

1.3 Eliminasi Gauss

1.3.1 Operasi Baris Dasar (OBD)

Untuk menentukan selesaian dari suatu sistem persamaan linier, kita

dapat mengubah sistem persamaan linier yang ada menjadi suatu sistem

persamaan linier baru yang memiliki selesaian yang sama tetapi cara

menyelesaikannya lebih mudah.

Sistem persamaan linier yang baru dapat diperoleh dengan beberapa

langkah. Lankah-langkah tersebut dinamakan Operasi Baris Dasar yang

terdiri dari tiga jenis operasi sebagai berikut:

1. Kalikan persamaan dengan konstanta tak nol

2. Pertukarkan dua persamaan

3. Tambahkan perkalian dari suatu persamaan ke persamaan lain

Perhatikan matriks yang diperbesar, baris-baris dari matriks yang

diperbesar bersesuaian dengan persamaan-persamaan dalam sistem

persamaan linier maka operasi baris dasar untuk menyelesaikan sistem

persaaan linier yang sudah di ubah menjadi matriks yang diperbesar adalah

1. Kalikan matriks dengan konstanta tak nol

2. Pertukarkan dua baris

3. Tambahkan perkalian dari suatu baris ke baris yang lain.

13

Contoh 8

Tentukan selesaian dari sistem sistem persamaan linier berikut dengan

menggunakan opersai baris dasar

a. 2x + 2z = 2

3x – y + 4z = 7

6x + y – z = 0

Penyelesaian

Bentuk SPL

2x + 2z = 2

3x – y + 4z = 7

6x + y – z = 0

Kalikan pers (1) dengan ½

x + z = 1

3x – y + 4z = 7

6x + y – z = 0

Pers (3) ditambah (-3) kali pers (1)

x + z = 1

– y + z = 4

6x + y – z = 0

Persamaan (3) ditambah (-6) kali pers (1)

x + z = 1

– y + z = 4

y – 7z = -6

Pers 2 dikali (-1)

x + z = 1

y - z = -4

y – 7z = -6

14

Pers 3 ditambah (-1) Pers 3

x + z = 1

y - z = -4

-6z = -2

Persamaan 3 kali -1/6

x + z = 1

y - z = -4

z = 1/3

Pers 2 + pers 3

x + z = 1

y - z = -33

2

z = 1/3

Pers 1 + (-1) pers 3

x = 3

2

y = -33

2

z = 3

1

Diperoleh solusi x = 3

2, y = -3

3

2 dan z =

3

1

Bentuk Matriks

0116

7413

2202

15

Baris 2 dikali ½

0116

7413

1101

Baris 2 + (-3) baris 1

0116

4110

1101


6710

4110

1101

Baris 2 dikali (-1)

6710

4110

1101

Baris 3 ditambah (-1) baris 3

2600

4110

1101

Baris 3 dikali -1/6

3

1100

4110

1101

Baris 2 + baris 3

16

3

1100

3

23010

1101


3

1100

3

23010

3

2001

Jadi dari matriks diatas didapat x = 3

2, y = -3

3

2, dan z =

3

1

Dari penyelesaian bentuk SPL dan bentuka matriks dapat disimpulkan bawa

SPL mempunyai tepat satu selesaian yaitu

x = 3

2, y = -3

3

2, dan z =

3

1

b. x + y + 2z = 9

2x + 4y – 3z = 1

3x + 6y – 5z = 0

Penyelesaian

Ubah SPL menjedi matriks yang diperbesar, kemudian lakukan operasi baris

dasar sehingga memperoleh selesaian dari SPL tersebut

0563

1342

9211

17


0563

17720

9211


271130

17720

9211

½ baris 2

2711302

17

2

710

9211


2

3

2

100

2

17

2

710

9211

(-2) x baris 3

31002

17

2

710

9211

Baris 2 + 7/2 baris 3

3100

2010

9211


18

3100

2010

3011


3100

2010

1001

Jadi dari matriks diatas didapat

x = 1, y = 2, z = 3

maka selesaian dari SPL adalah x = 1, y = 2, dan z = 3

1.3.2 Bentuk Baris Eselon Tereduksi

Perhatikan sifat-sifat matriks berikut:

1. Jika satu baris tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka angka taknol

pertama dalam baris tersebut adalah anga satu (disebut utama)

2. Jika dalam sembarang dua baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka

baris ini dikelompokan bersama dibagian bawah matriks.

3. Jika sembarang dua baris yang berurutan tidak seluruhnya nol, maka

utama satu dalam baris yang lebih bawah terletak disebelah kanan utama

satu pada baris yang lebih atas.

4. Masing – masing kolam yang berisi sebuah utama satu mempunyai nol

ditempat yang lainnya.

Suatu matris yang mempunyai sifat 1, 2, dan 3 (tetapi tidak perlu 4)

disebut mempunyai bentuk baris-eselon. (Jadi matriks dalam bentuk baris

tereduksi sudah

19

Contoh 8

Perhatikan matriks berikut,

3100

2010

1001

Matriks di atas memenuhi keempat sifat, maka matriks tersebut merupakan

matriks baris eselon tereduksi.

Pernyataan 3

Matriks yang berbentuk baris eselon tereduksi pasti merupakan matriks

dalam bentuk eselon baris, tetapi tidak sebaliknya.

Berikut ini merupakan beberapa contoh matriks yang berbentuk

eselon baris tereduksi.

0

3

1

000

100

021

.

0

1

0

000

000

110

.

1

2

3

100

010

001

.10

01

Matriks-matriks berikut memiliki bentuk eselon baris

5100

2010

2121

,

000

110

011

,

11000

01100

06210

1.3.3 Metode Eliminasi

Proses menggunakan operasi-operasi baris elementer untuk mengubah

suatu matriks menjadi bentuk eselon baris disebut Eliminasi Gauss (Gaussian

Elimination). Sedangkan proses menggunakan operasi-operasi baris

20

elementer untuk mengubah suatu matriks menjadi bentuk eselon baris

tereduksi disebut Eliminasi Gauss-Jordan (Gauss-Jrordan Reduction).

Contoh 9

Gunakan reduksi Gauss-Jordan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier

berikut

a. x + y + 2z = 9

2x + 2y – 3z = 1

3x + 6y – 5z = 0


0563

1322

9211

Penyelesaian

Baris (2) ditabah (-2) baris (1)

0563

17700

9211


271130

17700

9211

Baris (2) dikali 7

1

2711307

17100

9211

21

Baris (2) tukar dengan baris (3)

7

17100

271130

9211

Baris (2) dikali 7

1

7

17100

93

1110

9211

Baris (2) ditabah (3

11) baris (3)

7

17100

21

2010

9211


7

17100

21

2010

21

141201

22


7

17100

21

2010

21

89001

matriks yang dihasilkan berbentuk Baris Eselon Tereduksi (BET). Dan

diperoleh penyelesaian dari SPL adalah

x = 21

89, y =

21

2 , z =

7

17

maka SPL mempunyai tepat satu selesaian

b. x + 2z = 1

–x + y – z = 0

2x + y + 5z = 3

Matriks diperbesar dari SPL di atas adalah

3512

0111

1201

Baris (2) ditambah baris (1)

3512

1110

1201

Baris (3) ditambah (-2) baris (1)

1110

1110

1201

23


0000

1110

1201

Dari matriks di atas diperoleh

baris 1 dapat ditulis x + 2z = 1 maka x = 1 – 2z

baris 2 dapat ditulis y + z = 1 maka y = 1 – z

Ambil nilai z sembarang

misalkan z = s, maka diperolah nilai

x = 1 – 2s dan y = 1 – s .

setiap kita ambil nilai s sebarang maka kita dapatkan nilai x, dan z.

Penyelesaian tersebut menunjukkan bahwa SPL mempunyai penyelesaian

yang tak hingga banyak.

c. 2x + 2z = 4

–2x + y = –3

x + 2y + 5z = 6

Penyelesaian


6521

3012

4202

Baris (1) dikali ½

6521

3012

2101

24

Baris (2) ditambah (2) baris (1)

6521

1210

2101


4420

1210

2101


2000

1210

2101

Kita dapat melihat pada baris ketiga matriks baris eselon tereduksi diperoleh

persamaan:

0x + 0y + 0z = 2

hal tersebut menunjukkan bahwa tidak ada nilai untuk x, y dan z yang dapat

memenuhi persamaan karena berapapun nilai x, y dan z nya, ruas kiri dari

SPL akan selalu bernilai nol jadi nilai 2 tidak akan tercapai.

Jadi bentuk matriks baris eselon tereduksi seperti diatas, dapat disimpulkan

bahwa SPL tidak memiliki penyelesaian atau SPL tidak konsisten.

d. Gunakan reduksi Gauss-Jordan untuk menyelesaikan sistem persamaan

linier berikut

-2c + 7e = 12

2a + 4b – 10c + 6d + 12e = 28

2a + 4b – 5c + 6d – 5e = -1

25


156542

281261042

1270200

Penyelesaian

Baris (1) ditukar baris dua

156542

1270200

281261042

Baris (1) dikali ½

156542

1270200

1463521


29170500

1270200

1463521

Baris (2) dikali -½

29170500

62

70100

1463521

Baris 3 ditambah (-5) baris 2

12

10000

62

70100

1463521

26

Baris 3 dikali 2

210000

62

70100

1463521

Baris 2 + 7/2 baris 3

210000

100100

1463521


210000

100100

203521

Baris 1 + 5 baris 2

210000

100100

703021

matriks yang dihasilkan berbentuk Baris Eselon Tereduksi (BET)

selsaian dai SPL di atas adalah

e = 2, c = 1 dan a + b +d = 7 a = 7 – b – d

misalkan b = p dan d = q

diperoleh a = 7 – p – q

27

1.3.4 Sistem Persamaan Linier Homogen

Sistem persamaan linier homogen adalah sitem persamaan linier yang

konstanta-konstanta di ruas kanan semuanya nol. Sistem persamaan ini

mempunyai bentuk umum sebagai berikut

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = 0

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = 0

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = 0

untuk setiap sistem persamaan linier homogen adalah sistem persamaan linier

yang konsisten. Sistem persamaan linier homogen paling sedikit mepunyai

satu selesaian yaitu x1 = 0, x2 = 0, ….., xn = 0. Selesaian yang demikian

disebut selesaian yang trivial (trivial solutiuon).

Karena suatu sistem persamaan linier homogen selalu konsisten,

maka hanya terdapat dua kemungkinan selesaian dari sistem persamaan linier

homogen tersebut yaitu

1. Sistem persamaan linier homogen tersebut mempunyai pemecahan trival

2. Sistem persamaan linier homogen mempunyai tak terhingga banyak

pemecahan yang disebut selesaian yang tak trival selain selesaian yang

trival.

Suatu sistem persamaan linier homogen yang jumlah variabelnya lebih besar

dari pada jumlah persamaan liniernya, maka sistem persaman linier homegen

tersebut memiliki selesaian yang tak trivial.

Contoh 10

Selesaikan sistem persamaan linier berikut

a. 5a – 2b + 6c = 0

-2a + b + 3c = 0

28

Penyelesaian


0312

0625

Baris 1 + (2) baris 2

0312

01201

Baris 2 + (2) baris 1

02710

01201


a + 12 c = 0 ...(1)

b + 27 c = 0 ...(2)

Dari pers (1) diperoleh a= -12c

Dari pers (2) diperoleh b= -27c

Misal c = t

Maka diperoleh nilai a = -12t dan b = - 27t

Jadi persamaan linier homogen tersebut mempunyai selesaian yang tak

trivial.

b. x + 2y = 0

-x – y + z = 0

2x + y + z = 0

29

Penyelesaian

Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linier

0112

0111

0021


0112

0100

0021


0110

0100

0021

Baris (3) ditukar baris (2)

0100

0110

0021


0100

0010

0021

Baris (2) dikali (-1)

0100

0010

0021

30


0100

0010

0001

Pada matriks yang terakhir terlihat bahwa semua kolom matriks A memiliki

satu utama sehingga penyelesaiannya adalah trivial yaitu

z

y

x

=

0

0

0

atau

dapat di tulis x = 0, y = 0 dan z = 0. Dari penyelesaian tersebut dapat

disimpulkan bahwa SPL homogen mempunyai tepat satu selesaian yang

trivial.

c. Selesaikan sistem persamaan linier berikut

x + y + 6z + w = 0

x – y – 3z – w = 0

Penyelesaian

Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linier

01311

01611


02320

01611

Baris 2 (-1/2)

012

310

01611

31


012

310

002

901


x + 9/2z = 0

x = - 9/2 z

y + 3/2z + w = 0

y = - 3/2 z – w

Misal z = a dan w = b sehingga diperoleh

x = - 9/2 a, y = -3/2a – b

32

Latihan

1. Buatlah sistem persamaan linier yang mempunyai selesaian:

a. Tepat satu selesaian

b. Tak hingga selesaian

c. Tidak punya selesaian

2. Buatlah Sistem Persamaan Linier dengan

a. 5 persamaan 3 variabel

b. 6 persamaan 4 variabel

3. Perhatikan sistem persamaan linier berikut

-2x + 4y = 16

2x – 4y = -16

Selidiki selesaian dari sistem persamaan linier tersebut

4. Tentukan matriks yang dipebesar dari sistem persamaan linier berikut

a. 2x + 4y =6

3x - y + 2z = 7

2x + y + 2z = 4

x – 2y - z = 5

b. 2x + y – 6z = 1

y + 2z = 5

c. x – 12x + z – 4w = 4

x + 3y + 2z + 2w = -2

x – 2y - 11z - 6w = 1

5. Tentukan selesaian dari sistem persamaan linier berikut dengan eliminasi

Gauss

a. 2x + y + 3z = 6

2y – z = 3

x + y + z = 5

33

b. 2x + y = 3z + 1

x – 2y + 2 = 0

c. 2x + y = 1

y + 2z = 5

x + y + z = 3

d. 6x + y = 0

x + 5y = 0

x = 4y

6. Tentukan selesaian dari sistem persamaan linier berikut dengan eliminasi

Gauss-Jourdan

a. 2x + 4y =6

3x + 6y + 2z = 7

2x + 4y + 2z = 4

x – 2y = 5

b. 2x – 3y + 4 =12

4x – 6y + 8z = 20

2x + 6y – z = 1

c. x - 4y + 3z = 10

2x + y – z = -1

3x – y - 4z = 11

d. 2x + 4y =6

3x + 6y + 2z = 7

2x + 4y + 2z = 4

x + 2y + 3z = 3

7. Buatlah sistem persamaan linier yang homogen mempunyai selesaian:

a. Tepat satu selesaian trivial

b. Tak hingga selesaian

8. Syarat apakah yang arus dipenuhi oleh linier yang homogen agar

mempunyai selesaian yang tak hingga?

34

9. Tentukan selesaian dari sistem persamaan linier homogen berikut dengan

eliminasi Gauss

a. 2x – y – 3z = 0

x + 2y – 3z = 0

x + y + 4z = 0

b. 3x + y + z + w = 0

5x - y + z - w = 0

c. x – 2x + z – 4w = 0

x + 3y + 7z + 2w = 0

x – 12y - 11z - 16w = 0

10. Tentukan selesaian dari sistem persamaan linier homogen berikut dengan

eliminasi Gauss–Jourdan

a. 3x + 6y + 2z = 0

2x + 4y + 2z = 0

x + 2y + 3z = 0

b. 2x + y - 3z = 0

x – 2y + 2 = 0

c. 6x + y = 0

x + 5y = 0

x - 4y = 0

d. 2x – 3y + 4 = 0

4x – 6y + 8z = 0

2x + 6y – z = 0

35

BAB II

MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS

Dalam bab ini akan membahas matriks, operasi matriks, partisi matriks,

invers matriks, matriks dasar, dan transpose matriks. Setelah mempelajari

bab ini, diharapkan mahasiswa dapat menentukan selesaian dari suatu

sistem persamaan linier dengan invers matriks

2.1 Definisi

Sebuah matrik adalah sebuah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-

bilangan. Bilangan-bilangan di dalam susunan tersebut dinamakan entri di

dalam matriks.

Contoh 1

Berikut ini beberapa contoh matriks

A =

957

712

101

B = [2 7 0 -3]

C =

040

03

212

2

1

D =

6

1

E = 0

Ukuran sebuah matriks dijelaskan dengan menyatakan banyaknya

baris (garis horizontal) dan banyaknya kolon (garis vertical) yang terdapat di

dalam matriks tersebut. Matriks A pada contoh di atas mempunyai 3 baris

dan 3 kolom sehingga ukurannya adalah 3 kali 3 (yang dituliskan 3 x 3).

36

Matriks B pada contoh di atas mempunyai 1 baris dan 4 kolom sehingga

ukurannya adalah 1 kali 4 (yang dituliskan 1 x 4). Matriks C pada contoh di

atas mempunyai 3 baris dan 3 kolom sehingga ukurannya adalah 3 kali 3

(yang dituliskan 3 x 3). Matriks D pada contoh di atas mempunyai 2 baris

dan 1 kolom sehingga ukurannya adalah 2 kali 1 (yang dituliskan 2 x 1).

Matriks E pada contoh di atas mempunyai 1 baris dan 1 kolom sehingga

ukurannya adalah 1 kali 1 (yang dituliskan 1 x 1).

Angka pertama selalu menunjukkan banyaknya baris dan angka kedua

menunjukkan banyaknya kolom. Jadi, matriks yang selebihnya pada contoh

tersebut berturut-turut mempunyai ukuran 3 x 3, 1 x 4, 2 x 1, dan 1 x 1.

Ukuran-ukuran matriks tersebut dinamakan ordo suatu matriks

Jika A adalah sebuah matrik, maka kita akan menggunakan aij untuk

menyatakan entri yang terdapat di dalam baris I dan kolom j dari A. Jadi

sebuah matrik 3 x 4 yang umum dapat dituliskan sebagai

A =

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

Sudah tentu, jika kita menggunakan B untuk menyatakan matriks,

maka kita akan menggunakan bij untuk entrinya di dalam baris i dan j. jadi

sebuah matriks m x n yang umum dapat dituliskan sebagai

B =

mnmm

n

n

bbb

bbb

bbb

......

......

......

21

22221

11211

Sebuah matriks dengan n baris dan n kolom dinamakan kuadrat

berorde n (square matrix of order n), dan entri-entri a11, a22,…….ann dikatakan

berada pada diagonal utama dari A (lihat gambar berikut).

37

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

.....

......

.....

21

22221

11211

Sebegitu jauh kita telah menggunakan matriks untuk menyingkatkan

kerja di dalam memcahkan system-sistem persamaan linear. Akan tetapi,

untuk pemakaian lain, maka diinginkan untuk mengembangkan suatu “ilmu

hitung matriks” di dalam mana matriks-matriks dapat ditambahkan dan

dikalikan dengan cara yang berguna. Bagian selebihnya dari pembicaraan ini

akan dikhususkan untuk mengembangkan ilmu hitung ini.

2.2 Macam-Macam Matriks

2.1.1 Jenis Matriks Berdasarkan Jumlah Baris dan Kolom

Berdasarkan jumlah baris dan kolomnya, secara umum matriks dibagi

menjadi lima jenis, yaitu:

1. Matriks persegi

Matriks persegi adalah matriks yang banyak baris dan kolomnya

sama. Matriks persegi memiliki ordo n x n. Misalkan 2x2, 3x3, 4x4, dan

seterusnya.

Contoh matriks persegi berukuran 3 x 3

957

712

101

38

2. Matriks baris

Matriks baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris dan beberapa

kolom. Matriks baris memiliki ordo 1 x n ; dengan n > 1. Misalkan 1x3, 1x5,

dan sebagainya.

Contoh matriks baris berukuran 1 x 3

301

3. Matriks kolom

Matriks kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom dan

beberapa baris. Mariks kolom memiliki ordo n x 1 ; dengan n > 1 misalkan

3x1, 4x1, dan sebagainya.

Contoh matriks kolom berukuran 2 x 1

6

1

4. Matriks mendatar

Matriks mendatar adalah matriks yang jumlah kolomnya lebih banyak

dari jumlah barisnya misalnya matriks dengan ordo 2x4, 2x6, dan

sebagainya.

Contoh matriks mendatar berukuran 2 x 4

1312

0625

39

5. Matriks tegak

Matriks tegak adalah matriks yang jumlah barisnya lebih banyak dari

jumlah kolomnya misalnya matriks dengan ordo 3x2, 4x2, 6x3, dan

sebagainya.

Contoh matriks mendatar berukuran 3 x 2

32

92

21

2.1.2 Jenis Matriks Berdasarkan Pola Elemennya

Berdasarkan pola elemen-elemennya, matriks dibagi menjadi

beberapa jenis, yaitu:

1. Matriks nol

Matriks nol adalah matriks berordo m x n yang elemen-elemennya

bernilai nol.

Contoh matriks nol berukuran 4x1 adalah sebagai berikut

0

0

0

0

Teorema

Dengan menganggap bahwa semua ukuran-ukuran matriks adalah

sedemikian rupa sehingga operasi-operasi yang ditunjukkan dapat dilalkukan,

maka kaidah-kaidah ilmu hitung matriks yang berikut akan berlaku.

(a) A + 0 = 0 + A = A

(b) A – A = 0

(c) 0 – A = - A

40

(d) A0 = 0; 0A = 0

Terdapat beberapa aturan yang belaku pada perkalian bilangan real

tetapi tidak berlaku pada matriks yaitu

a. Jika ab = ac dan ac ≠ 0 , maka b = c. (Ini dinamakan hukum peniadaan)

b. Jika ad = 0, maka setidak-tidaknya satu dari faktor disebelah kiri sama

dengan nol

Seperti yang diperlihatkan contoh berikutnya, maka hasil-hasil yang

bersangkutan ternyata tidak berlaku di dalam perkalian matriks.

Contoh

Tinjaulah matriks-matriks

20

10A

43

11B

43

52C

00

73D

diperoleh

86

43ACAB

Walaupun A ≠ 0, namun tidaklah belaku untuk meniadakan A dari

kedua-dua ruas persamaan AB = AC dan menuliskan B = C. Jadi hukum

peniadaan tersebut gagal berlaku untuk matriks-matriks.

Juga, AD = 0; namun demikian A ≠ 0 dan D ≠ 0 sehingga hasil

tersebut dalam (b) yang di daftarkan diatas tidak dapat digunakan kepada

ilmu hitung matriks.

2. Matriks diagonal

Matriks diagonal adalah matriks persegi yang elemen-elemen selain

diagonal utama bernilai nol.

41


200

030

007

3. Matriks identitas

Matriks identitas adalah matriks persegi yang elemen-elemen di

diagonal utamanya bernilai 1 dan elemen-elemen selain diagonal utama

bernilai nol.


100

010

001

Jika A adalah sebuah matriks m x n, maka seperti yang dilukiskan di dalam

contoh berikutnya, AIn = A dan ImA = A.

Contoh

Tinjaulah matriks

aaa

aaaA

232221

131211

Maka

A

aaa

aaa

aaa

aaaAI

232221

131211

232221

131211

2 10

01

dan

aaa

aaaAI

232221

131211

3

100

010

001

=

aaa

aaa

232221

131211 = A

42

4. Matriks segitiga

Matriks segitiga terdiri dari dua jenis yaitu matriks segitiga atas dan

matriks segitiga bawah. Matriks segitiga atas merupakan matriks yang

elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Matriks segitiga

bawah merupakan matriks yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya

bernilai nol.

Contoh matriks segitiga atas adalah sebagai berikut

100

310

221

Contoh matriks segitiga bawah adalah sebagai berikut

124

032

001

5. Matriks simetris

Matriks simetris adalah matriks yang elemen-elemen di bawah dan di

atas diagonal utamanya simetris. Dengan kata lain, elemen pada baris m dan

kolom n sama dengan elemen pada baris n dan kolom m, misalnya elemen

pada baris 1 dan kolom 2 sama dengan elemen pada baris 2 dan kolom 1.

Pada gambar di bawah dapat dilihat bahwa elemen baris 2 dan kolom 1 sama

dengan elemen pada baris 1 dan kolom 2 yaitu 2.

Contoh matriks simetri 3 x 3 adalah sebagai berikut

138

362

824

43

6. Matriks skalar

Matriks skalar adalah matriks yang elemen-elemen pada diagonal

utamanya sama dan elemen yang lain bernilai nol.

Contoh matriks skalar 3 x 3 adalah sebagai berikut

300

030

003

7. Matriks yang sama

Dua matriks dikatakan sama jika kedua matriks tersebut mempunyai

ukuran yang sama dan entri-entri yang bersangkutan di dalam kedua matriks

tersebut sama.

Contoh


A =

43

12 B =

53

12 C=

043

012

Di sini A ≠ C karena A dan C tidak mempunyai ukuran yang sama. Karena

alas an yang sama maka B ≠ C, juga A ≠ B karena tidak semua entri yang

bersangkutan sama

2.3 Operasi Pada Matriks

2.3.1 Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Definisi

Jika A dan B adalah sebarang dua matriks yang ukurannya sama, maka

jumlah A + B adalah matriks yang didapatkan dengan menambahkan

bersama-sama entri yang berbersesuaian di dalam kedua matriks tersebut.

Matriks-matriks yang ukurannya berbeda tidak dapat ditambahkan. Hal ini

44

juga berlaku untuk pengurangan matriks. Secara jelas dapat di tulis sebagai

berikut:

Misal A =

dc

ba dan B =

sr

qp

Maka A + B =

dc

ba +

sr

qp

=

sdrc

qbpa

Dan A - B =

dc

ba -

sr

qp

=

sdrc

qbpa

Contoh 2


A =

12

21

1

1

1

423

022

134

0

2

3

724

211

011

CB

Maka

1

1

4

307

211

145

BA dan

1

1

2

301

233

123

BA

Sedangkan A + C, B + C, A – C, dan B – C tidak didefinisikan karena ukuran

A tidak sama dengan C dan ukuran B tidak sama dengan C.

45

2.3.2 Perkalian Matriks Dengan Skalar

Definisi

Jika A adalah suatu matriks dan c adalah suatu scalar, maka hasil kali

(product) cA adalah matriks yang didapatkan dengan mengalikan setiap entri

dari A oleh c.

Secara jelas dapat di tulis sebagai berikut:

Misal A =

dc

ba sembarang skalar k, maka diperoleh perkalian matriks A

dengan skalar k adalah

kA = k

dc

ba =

kdkc

kbka

Contoh 3

Jika

0

1

2

1

1

4

A

Maka 2 A =

0

1

2

1

1

4

)1(

0

2

4

2

2

8

Adan

2.3.3 Perkalian Matriks dengan Matriks

Definisi

Jika A adalah sebuah matriks m x r dan B adalah sebuah matriks m x n, maka

hasil kali AB adalah matriks m x n yang entri-entrinya ditentukan sebagai

berikut. Untuk mencari entri di dalam baris i dan kolom j dari AB, maka

pilihkan baris i dan matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikanlah entri-

46

entri yang bersangkutan dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan

kemudian tambahkanlah hasil perkalian yang dihasilkan.

Definisi perkalian matriks mengharuskan bahwa banyaknya kolom

dari matriks pertama A harus sama seperti banyaknya baris dari matriks

kedua B supaya membentuk hasil perkalian AB. Jika kondisi ini tidak

dipenuhi, maka hasil perkalian tersebut tidak didefinisikan. Maka bilangan-

bilangan yang disebelah luar akan memberikan ukuran hasil perkalian

tersebut yaitu ukuran matriks hail kalinya adalah baris matriks pertama dikali

jumlah kolom matriks kedua. Seperti diilustrasika pada gambar berikut.

Misalkan matriks A berukuran m x r dan matriks B berukuran r x n maka

ukuran hasil kali matriks AB adalah x n

Contoh 5


2

1

3

012

310

111

0

1

12

21BA

Penyelesaian

Perhitungan-perhitungan untuk hasil-hasil perkalian adalah

Untuk baris (1)

1. (1 . 1) + (2 . 0) + (1 . 2) = 1

2. (1 . 1) + (2 . (-1)) + (1 . 1) = 0

3. (1 . (-1)) + (2 . 3) + (1 . 0) = 5

4. (1 . 3) + (2 . 1) + (1 . 2) = 7

AB

m x n

A

x r r m

Di dalam

Di luar

n

47

Untuk baris (2)

5. (2 . 1) + ((-1) . 0) + (0 . 2) = 2

6. (2 . 1) + ((-1) . (-1)) + (0 . 1) = 3

7. (2 . (-1)) + ((-1). 3) + (0 . 0) = -5

8. (2 . 3) + ((-1) . 1) + (0 . 2) = 5

Dari perhitungan diperoleh

5532

7501AB

2.3.4 Transpose Matriks

Transpose matriks A ( dinotasikan At ) didefinisikan sebagai matriks

yang baris-barisnya merupakan kolom dari A. Atau transpose matriks dapat

didefinisikan sebagai pertukaran baris dan kolom dari matriks A.

Secara jelas dapat di tulis sebagai berikut:

Misal A =

dc

ba maka diperoleh transpose dari matriks A adalah A

t =

db

ca

Contoh

Tentukan transpose dari matriks berikut

A =

18145

40291

56341

Tranpose dari matriks A adalah

48

At =

145

806

123

494

511

2.4 Sifat-sifat Operasi Matriks

Beberapa teorema berikut ini berhubungan dengan operasi matriks.

Dengan menganggap bahwa ukuran-ukuran matriks adalah sedemikian

sehingga operasi-operasi yang ditunjukkan dapat dilakukan, maka berlaku

teorema

(a) A + B = B + A (Hukum komulatif untuk

penambahan)

(b) A + (B + C) = (A + B) + C (Hukum asosiatif

untuk penambahan)

(c) A(BC) = (AB)C (Hukum asosiatif untuk

perkalian)

(d) A + (B + C) = AB + AC (Hukum distributif)

(e) (B + C)A = BA + CA (Hukum distributif)

(f) A(B – C) = AB – AC

(g) (B – C)A = BA – CA

(h) a(B + C) = aB + aC

(i) a(B – C) = aB – aC

(j) (a + b)C = aC + bC

(k) (a – b)C = aC – bC

(l) (ab)C = a(bC)

(m) a(BC) = (aB)C = B(aC)

49

Contoh 6

Sebagai gambaran hukum asosiatif untuk perkalian matriks, tinjaulah

1

0

2

0

3

1

A

12

31B

12

01C

Maka

1

0

2

0

3

1

AB

12

31=

1

9

1

2

3

3

Sehingga

1

9

1

2

3

3

)( CAB

12

01=

1

9

1

4

21

1

Sebaliknya

12

31BC

12

01=

14

37

Sehingga

1

0

2

0

3

1

)(BCA

14

37=

1

9

1

4

21

1

Terbukti bahwa (AB)C = A(BC)

Walaupun banyak hukum-hukum ilmu hitung yang sudah biasa

dikenal akan berlaku untuk matriks. Namun hukum komutatif tidak berlaku

pada matriks yaitu AB dan BA tidak perlu sama. Kesamaan dapat gagal untuk

berlaku karena tiga hal. Hal itu dapat terjadi, misalnya, bahwa AB

didefinisikan tetapi BA tidak didefinisikan. Ini adalah kasus jika A sebuah

matriks 2 x 3 dan B adalah sebuah matriks 3 x 4. Juga hal itu dapat terjadi

50

bahwa AB dan BA kedua-duanya didefinisikan tetapi kedua-duanya

mempunyai ukuran yang berbeda-beda. Ini adalah situasi jika A adalah

sebuah matriks 2 x 3 dan B adalah sebuah matriks 3 x 2. Akhirnya, seperti

yang diperlihatkan oleh contoh kita berikutnya, maka mungkin untuk

memperoleh AB ≠ BA walaupun jika AB dan BA didefinisikan dan

mempunyai ukuran yang sama.

Contoh


32

01A

03

21B

Dengan mengalikannya maka akan memberikan

411

21AB

03

63BA

Jadi AB ≠ BA

2.5 Matriks Yang Dipartisi

Sebuah matriks dapat dipartisi menjadi bagian-bagian matriks yang

lebih kecil dengan cara menyisipkan garis-garis horizontal atau vertikal

diantara baris dan kolom yang ingin dipartisi. Partisi matriks ini bermanfaat

untuk membantu kita dalam mnyelesaikan perkalian matriks berukuran besar

yaitu n ≥ 4

51

Contoh 7

Matriks A diparisi menjadi 4 bagian seperti berikut

A =

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

=

2221

1211

AA

AA

Contoh 8

Matriks A di partisi menjadi matriks-matriks baris

A =

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

=

3

2

1

r

r

r

Contoh 9

Matriks A di partisi menjadi matriks-matriks kolom

A =

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

= 4321 cccc

Contoh 10

a. Tentukan perkalian matriks yang dipartisi berikut ini

A =

10000

01000

03100

22010

11001

dan B =

0010

0001

3123

2231

3112

52

Penyelesaian

Maka dapat kita tulis matriks A =

2221

1211

AA

AA dan

B

2221

1211

BB

BB

Maka AB =

2221

1211

AA

AA

2221

1211

BB

BB

=

2222122121221121

2212121121121111

BABABABA

BABABABA

A11B11 =

100

010

001

23

31

12

=

23

31

12

A12B21 =

03

22

11

10

01 =

03

22

11

A11B12 =

100

010

001

31

22

31

=

31

22

31

A12B22 =

03

22

11

00

00 =

00

00

00

A21B11 =

000

000

23

31

12

=

00

00

53

A22B21 =

10

01

10

01 =

10

01

A21B12 =

000

000

31

22

31

=

00

00

A22B22 =

10

01

00

00=

00

00

A11B11 + A12B21=

23

31

12

+

03

22

11

=

26

13

03

A11B12 + A12B21=

31

22

31

+

03

22

11

=

34

00

20

A21B11 =

00

00 +

10

01 =

10

01

A21B12 + A22B22 =

00

00 +

00

00 =

00

00

Maka diperoleh

AB =

0010

0001

3426

0013

2003

54

b. Jika mungkin tentukan perkalian matriks berikut

A =

0013

1022

0111

B =

0110

1221

0101

1111

Maka AB =

2221

1211

AA

AA

2221

1211

BB

BB

=

2222122121221121

2212121121121111

BABABABA

BABABABA

A11B11 =

22

11

21

01

11

= tidak terdefinisi

Karena A11B11 tidak terdefinisi maka pekalian matriks AB yang dipartisi

tidak dapat ditemukan hasilnya. Dalam arti lain AB tidak terdefinisi.

2.6 Perkalian Matriks Dengan Kolom

Diberikan matriks A berukuran p x q dan matriks B adalah matriks

yang di partisi menjadi matriks kolom yang beruran q x n sebagai berikut

B = nbbb 21

Maka

AB = A nbbb 21 = nAAA bbb 21

Perkalian matrik di atas dinamakan perkalian matriks yang dihitung per

kolom.

55

Contoh 11

A =

201

120

011

B =

21

03

22

B1 =

1

3

2

dan B2 =

2

0

2

AB1 =

201

120

011

1

3

2

=

4

5

1

AB2 =

201

120

011

2

0

2

=

4

2

2

Maka AB =

44

25

21

2.7 Perkalian Matriks Dengan Baris

Diberikan matriks A matriks yang di partisi menjadi matriks baris

berukuran p x q dan matriks B adalah yang beruran q x n sebagai berikut

Jika A =

na

a

a

2

1

56

maka AB =

na

a

a

2

1

B =

B

B

B

na

a

a

2

1

Perkalian matrik di atas dinamakan perkalian matriks yang dihitung per baris.

Contoh 12

A =

2101

1221 B =

12

02

20

31

A1 = 1221

A2 = 2101

A1B = 1221

12

02

21

31

= 67

A2 = 2101

12

02

21

31

= 15

Maka AB =

15

67

57

2.8 Perkalian Matriks Dengan Baris – Kolom

Diberikan matriks A adalah matriks yang di partisi menjadi matriks

kolom yang berukuran p x q dan matriks B adalah matriks yang di partisi

menjadi matriks baris yang beruran q x n sebagai berikut

Jika B =

nB

B

B

2

1

dan A = nAAA 21

Maka AB = nAAA 21

nB

B

B

2

1

= nnBABABA 2211

Perkalian matrik di atas dinamakan perkalian matriks yang dihitung per baris-

kolom.

Contoh 13

A =

20

21 B =

1320

2201

A1 =

0

1 dan A2 =

2

2

B1 = 2201 dan B2 = 1320

A1B1 =

0

1 2201 =

0000

2201

A2B2 =

2

2 1320 =

2640

2640

Maka AB =

2640

4441

58

2.9 Hasil Kali Matriks Sebagai Kombinasi Linier

Diberikan matriks A berukuran m x n dan matriks X adalah matriks

matriks kolom yang beruran n x 1 sebagai berikut

A =

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

dan x =

nx

x

x

2

1

Maka

Ax =

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

nx

x

x

2

1

=

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

2211

2222121

1212111

= x1

na

a

a

2

1

+ x2

na

a

a

2

1

+ ... + xn

na

a

a

2

1

Contoh 14

A =

123

310

121

B =

2

2

1

59

AB =

123

310

121

2

2

1

=

1

8

1

atau

AB = (1)

3

0

1

+ (-2)

2

1

2

+ (2)

1

3

1

=

1

8

1

2.10 Invers Matriks

2.10.1 Definisi

Jika A adalah matriks persegi dan jika matriks persegi B yang

berukuran sama, didapatkan sedemikian hingga AB = BA = I maka A

mempunyai invers dan B disebut invers dari A.

Contoh 15

Diberikan Matriks

11

12A

Maka

21

11B adalah invers dari A

karena

AB =

11

12

21

11 =

10

01

dan

AB =

21

11

11

12 =

10

01

60

Contoh 16

Perhatikan matriks A berikut ini

023

032

011

A

matriks A di atas tidak mempunyai invers. Karena tidak ada matriks B

sedemikian hingga jika dikalikan dengan matriks A menghasilkan matriks

identitas. Atau dapat ditulis

AB ≠

100

010

001

IBA

Dalam bentuk umum dapat dituliskan

Misalkan

B =

bbbbbbbbb

333231

232221

131211

adalah sebarang matriks 3 x 3. Kolom ketiga dari BA adalah

bbbbbbbbb

333231

232221

131211

0

0

0

=

0

0

0

Jadi

100

010

001

IBA

61

2.10.2 Sifat-Sifat Invers

Berikut ini merupakan Teorema yang menunjukkan bahwa invers

suatu matriks adalah tunggal adanya. Artinya invers suatu matriks hanya ada

satu.

Teorema 2.6.2.1

Jika B dan C keduanya adalah invers dari matriks A, maka B = C.

Bukti. Karena B adalah sebuah invers dari A, maka BA = I. Dengan

mengalikan kedua ruas dari sebelah kanan dengan C maka akan memberikan

(BA)C = IC = C, tetapi (BA)C = (BA)C = BI = B, sehingga B = C.

Teorema 2.6.2.2

Jika A dan B adalah matriks-matriks yang mempunyai invers dan berukuran

sama, maka.

(a) AB dapat dibalik

(b) (AB)-1

= B-1

A-1

Teorema 2.6.2.3

Jika A adalah sebuah matriks yang mempunyai invers , maka:

a) A 1 mempunyai invers dan (A 1 ) 1

b) An mempunyai invers dan (A

n) 1 =(A 1 )

n untuk n = 0,1,2,…

c) Untuk setiap skalar k yang tidak sama dengan nol, maka kA mempunyai

invers dan (kA) 1 = 11 Ak

Bukti

(a) Karena AA 1 = A 1 A, maka A 1 mempunyai invers dan (A 1 ) 1 = A

Poin (b) dan (c) sebagai latihan pembaca

62

Untuk menentukan invers matriks berukuran 2 x 2 kita dapat

menggunakan teorema berikut ini

Teorema 2.6.2.4

Tinjaulah matriks 2 x 2

dc

baA

Jika ad – bc ≠ 0, maka

bcad

a

bcad

cbcad

b

bcad

d

ac

bd

bcadA11

Contoh 17

Tentukan invers dari matriks berikut

11

12A

Penyelesaian

A-1

=

1.11.2

2

1.11.2

11.11.2

1

1.11.2

1

=

21

11

2.10.3 Menentukan invers matriks dengan menggunakan eliminasi Gauss–

Jordan

Invers suatu matriks (misalkan invers A ) dapat dihitung dengan

menggunakan eliminasi Gauss–Jordan dengan menyandingkan matriks A

dengan matriks identitas yang dapat ditulis sebagai matriks yang diperbesar

[A | I] dimana ukuran matriks identitas sama dengan ukuran A. Matriks yang

63

diperbesar [A | I] dikenakan operasi baris dasar sehingga membentuk

Matriks yang diperbesar [I |A-1

]. Cara perhitungan seperti ini didasarkan

dari sifat AA-1

= I. Jika setelah melakukan eliminasi Gauss–Jordan tidak

diperoleh bentuk [I |A-1

] maka disimpulkan bahwa matriks tersebut tidak

memiliki invers. Perhitungan invers ini apat digunakan untuk menentukan

selesaian dari suatu SPL.

Contoh

Diketahui A =

518

172

143

jika ada, tentukan Invers matriks A tersebut

dengan eliminasi Gauss–Jordan

Penyelesaian

[A | I] =

100518

010172

001143


100518

010172

0112111


100518

0325290

0112111


18811870

0325290

0112111

64

Baris (2) dikali (29

1 )

18811870

029

3

29

2

29

510

0112111


18811870

029

3

29

2

29

510

029

4

29

7

29

301

Baris (3) ditambah (87) baris (2)

129

29

29

58

29

11600

029

3

29

2

29

510

029

4

29

7

29

301

Baris (3) dikali (116

29 )

116

29

116

29

116

58100

029

3

29

2

29

510

029

4

29

7

29

301

65

Baris (2) ditambah (29

5 ) baris (3)

116

29

116

29

116

58100

116

5

116

7

116

11010

029

4

29

7

29

301

Baris (1) ditambah (29

3 ) baris (3)

116

29

116

29

116

58100

116

5

116

7

116

11010

116

3

116

19

116

34001

Dari matriks di atas di peroleh A-1

yaitu

A-1

=

116

29

116

29

116

58116

5

116

7

116

11116

3

116

19

116

34

Untuk membuktikan apakah jawaban tersebut benar atau tidak , makaka

hitunglah perkalian A-1

dengan A, jika hasilnya diperoleh matriks identitas

maka jawaban tersebut benar.

Diketahui matriks A =

521

142

461

jika ada, tentukan Invers matriks A

tersebut dengan eliminasi Gauss–Jordan

66

Penyelesaian

[A | I] =

100521

010142

001461


100521

012980

001461


101980

012980

001461


111000

012980

001461

Walaupun matriks belum dalam bentuk matriks baris eselon

tereduksi, tapi perhitungan sudah dapat dihentikan pada tahap ini sudah

terlihat bahwa bentuk [I | A-1

] tidak akan bisa didapatkan sehingga dapat

disimpulkan matriks A tidak memiliki invers

2.10.4 Matriks Dasar

Definisi

Suatu matriks n x n disebut matriks dasar jika matriks ini bisa diperoleh dari

matriks identitas n x n (In) dengan melakukan suatu operasi baris dasar

tunggal

67

Contoh 18

Berikut ini adalah contoh matriks dasar

100

010

011

1E , E2 =

1000

0100

0020

0001

Pernyataan 1

E1 dan E2 adalah matriks dasar yang dproleh dari matrks identitas yang

dkenakan satu kali operasi baris dasar. Jika suatu matriks dasar tersebut

dikalikan dengan matriks A yang berukuran m x n, maka hasil EA adalah

matriks yang dihasilkan jika operasi baris dasar yang sama dikenakan pada

A.

Contoh 19

Perhatikan matriks berikut

Misal A =

0421

3314

3201

dan

matriks dasar E =

103

010

001

EA =

103

010

001

0421

3314

3201

=

0424

3314

3201

Dari suatu matriks identitas I dapat dibuat suatu matriks dasar dengan

melakukan satu kali operasi baris dasar E. Maka untuk mgembalikan suatu

68

matriks dasar E untuk menjadi matriks identitas terdapat suatu operasi baris

dasar yang disebut operasi baris dasar invers dari operasi yang bersesuaian

di bagian kiri.

Berikut ini adalah operasi baris dasar dan operasi baris dasar invers

OBD pada I yang

menghasilkan E

OBD pada E yang

menghasilkan I lagi

Kalikan baris i dengan C Kalikan baris i dengan

c

1

Pertukarkan baris (i) dengan

baris lain (j)

Pertukarkan baris i dengan j

Tambahkan C kali baris i ke

baris j

Tambahkan –C kali baris ke

baris j

Contoh 20

Matriks identitas I3x3 dikenakan satu kali operasi baris dasar menghasilkan

matriks dasar

I =

100

010

001

baris (1) ditambah (1) baris (2)

100

010

011

= E

Matriks dasar i I3x3 dikenakan satu kali operasi baris dasar menghasilkan

matriks dentitas

E =

100

010

011

69

baris (1) ditambah (-1) baris (2)

100

010

001

= I

Teorema 2.6.3.1

Setiap matriks dasar mempunyai invers dan inversnya juga

merupakan matriks dasar.

Contoh 21

Pada contoh di bawah ini terlihat bahwa matriks A dan A-1

adalah matriks

dasar

A =

40

01 A

-1 =

4

10

01

B =

70

01 B

-1 =

7

10

01

Teorema 2.6.3.1

Jika A adalah matriks nxn maka pernyataan berikut ini ekivalen, yaitu

semua benar atau semua salah

a. A mempunyai invers

b. Ax = 0 mempunyai selesaian trivial

c. Bentuk baris eselon tereduksi dari A adalah In

d. A dapat dinyatakan sebagai hasil kali matriks – matriks dasar

Bukti :

A mempunyai invers ada A-1

sehingga A.A 1 = I

A 1 .A = I

Misal x0 adalah selesaian dari Ax = 0

A x0 = 0 kedua ruas dikali A-1 dari kiri

70

A 1 A x0 = A 1 .0

I. x0 = 0

x0 = 0

Selesaian dari Ax = 0 adalah 0. jadi Ax = 0 mempunyai selesaian yang

trivial.

2.10.5 Menyelesaikan SPL Dengan Invers Matriks

Jika A adalah suatu matriks nxn yang mempunyai invers, maka untuk

setiap matriks bn x 1, sistem persamaan Ax= b tepat mempunyai satu selesaian

yaitu

x = A 1 b

Contoh 22

a. Tentukan selesaian dari SPL

x1 + 2x2 - x3 = 2

2x1 + 2x2 + 4x3 = -2

x1 + 3x2 - 3x3 = 6

Penyelesaian

Misal A =

331

422

121

x =

3

2

1

x

x

x

b =

6

2

2

A-1

=

12

12

315

52

39

71

x = A-1

b

x =

12

12

315

52

39

6

2

2

=

1

6

9

Jadi selesaian SPL adalah x1 = -9, x2 = 6, x3 = 1

b. Tentukan selesaian dari SPL dengan invers matriks

x1 + 2x2 + 3x3 = 5

x1 + x2 + 3x3 = 1

2x1 + 4x2 + 5x3 = 3

Penyelesaian

Misal A =

542

311

321

x =

3

2

1

x

x

x

b =

3

1

5

A-1

=

102

011

327

x = A-1

b

x =

102

011

327

3

1

5

=

7

4

24

Jadi selesaian SPL adalah x1 = -24, x2 = 4, x3 = 7

72

Teorema 2.6.3.2 (Perluasan Teorema 2.6.3.1)

Jika A adalah suatu matriks nxn,maka pernyataan berikut ekuivalen


b. A X = 0,hanya mempunyai selesaian trivial


d. A dapat dinyatakan sebagai hasil kali matriks- matriks dasar

e. A X = b konsisten matriks bnx1

f. A X = b mempunyai tepat satu selesaian, matriks bn x 1

Teorema 2.6.3.2 (Perluasan dari Teorema 2.6.3.2)

Jika A adalah suatu matriks nxn,maka pernyataan berikut ekuivalen


b. A X = 0,hanya mempunyai selesaian trivial


d. A dapat dinyatakan sebagai hasil kali matriks- matriks dasar

e. A X = b konsisten matriks bn x 1

f. A X = b mempunyai tepat satu selesaian, matriks bn x 1

g. Determinan A ≠ 0

2.10.6 Suatu Masalah Mendasar

Diberkan matriks A berukuran mxn dan matriks b adalah matriks

kolom berukuran mx1 sedemikian hingga SPL yang diubah dalam bentuk Ax

= b konsisten.

73

Contoh 23

a. Tentukan nilai a agar SPL berikut konsisten

x + 2y – 3z = 4

3x – y + 5z = 2

4x + y + (a2 – 14)z = a + 2

Penyelesaian

Matriks yang diperbesar dari SPL diatas adalah

)2(1414

2513

4321

2 aa

Dengan melakukan operasi baris dasar pada matriks di atas kita peroleh

)4(1600

101470

4321

2 aa

Kasus I

Jika a = 4 maka a2 – 16 = 0 dan a – 4 = 0

Maka diperoleh matriks

0000

101470

4321

Dari matriks di atas dapat disimpulkan bahwa SPL mempunyai tak hingga

selesaian.

Kasus II

Jika a = -4 maka a2 – 16 = 0 dan a – 4 = -8


74

8000

101470

4321

Dari matriks di atas dapat disimpulkan bahwa SPL tidak mempunyai

selesaian.

Kasus II

Jika a ≠ ± 4 maka a2 – 16 ≠ 0 dan a – 4 ≠ 0


16

4100

101470

4321

2a

a

Dari matriks di atas dapat disimpulkan bahwa SPL mempunyai tepat satu

selesaian.

Dari tiga kasus di atas dapat ditarik kesimpulan

1. Sistem persamaan linier mempunyai mempunyai tak hingga selesaian

jika a = 4

2. Sistem persamaan linier mempunyai tidak mempunyai selesaian jika a = -

4

3. Sistem persamaan linier mempunyai mempunyai tepat satu selesaian jika

a = ±4

b. Syarat b1, b2, b3 agar SPL berikut konsisten

x1 + x2 + 2x3 = b1

x1 + + x3 = b2

2x1 + x2 + 3x3 = b3

75

Penyelesaian

Matriks yang diperbesar dari SPL diatas adalah

3

2

1

312

101

211

b

b

b

Baris (2) di tambah baris (1)

3

12

1

312

110

211

b

bb

b

Baris (3) di tambah (-2) baris (1)

13

12

1

2110

110

211

bb

bb

b

Baris (2) di kali (-1)

13

21

1

2110

110

211

bb

bb

b

Baris (3) di tambah baris (2)

2113

21

1

2000

110

211

bbbb

bb

b

Dari matriks terlihat bahwa agar SPL konsisten haruslah b3 – b2 – b1 = 0

Sehinnga diperoleh b3 = b2 + b1 atau b2 = b3 – b1

b1 = b3 – b2

Misal b1 = 3, b2 = 1, maka b3 = b2 + b1 = 1 + 3 = 4

76

Latihan

1. Buatlah contoh dari masing-masing matriks berikut

a. Matriks persegi

b. Matriks baris

c. Matriks kolom

d. Matriks Mendatar

e. Matriks tegak

f. Matriks nol

g. Matriks diagonal

h. Matriks identitas

i. Matriks segitiga atas

j. Matriks segitiga bawah

k. Matriks simetri

l. Matriks skalar

2. Perhatikan matriks berikut

A =

0000

101470

4321

,

B =

331

422

121

,

C =

5321

23112

0275

9219

,

77

D =

731

426

191

Tentukan

a. AB, AC, AD

b. BA, BC, BD

c. CA, CB, CD

d. A – B, A - C, A – D

e. B - A, B - C, B - D

f. C - A, C - B, C - D

g. 8A, 3B, -6D, 7C

h. TRanspose dari matriks A, B, C, D

3. Buktikan masing-masing sifat operasi matriks berkiut

a. A + B = B + A

b. A + (B + C) = (A + B) + C

c. A(BC) = (AB)C

d. A + (B + C) = AB + AC

e. (B + C)A = BA + CA

f. A(B – C) = AB – AC

g. (B – C)A = BA – CA

h. a(B + C) = aB + aC

i. a(B – C) = aB – aC

j. (a + b)C = aC + bC

k. (a – b)C = aC – bC

l. (ab)C = a(bC)

m. a(BC) = (aB)C = B(aC)

78

4. Diberikan matiks sebagai berikut

A =

342

014

552

B =

352

328

806

Tentukan

a. Tentukan perkalian AB sebagai perkalian matriks baris

b. Tentukan perkalian AB sebagai perkalian matriks kolom

c. Tentukan perkalian AB sebagai perkalian matriks baris-kolom

d. Tentukan perkalian AB sebagai kombinasi linier

5. Tentukan manakah dari matriks berikut yang merupakan matrks dasar!

a. P =

10

12

b. Q =

13

01

c. R =

20

02

d. S =

100

001

010

e. T =

100

100

010

79

f. U =

100

310

001

g. V =

30

01

h. W =

0001

0100

0010

1002

i. X =

0000

0100

0010

1001

6. Perhatikan matriks berikut

A =

25

01

B =

105

015

001

a. Tentukan A sebagai suatu hasil kali dua matriks dasar

b. Tentukan B sebagai suatu hasil kali dua matriks dasar

c. Tentukan A-1

sebagai suatu hasil kali dua matriks dasar

7. Dengan mereduksi matriks berikut menjadi matriks identitas, Tentukan

invers dari matriks berikut

A =

342

011

552

80

B =

521

142

461

C =

801

352

321

D =

352

321

801

8. Dengan menggunakan invers matriks, tentukan selesaian dari SPL

berikut

e. 2x + z = 2

–2x + y = –1

x + 2y + z = 6

f. -x + 2z = 1

–x + y – 2z = 0

x + y + 5z = 3

g. x + 2y - 3z = 1

2x - 5y + 3z = 6

x + y - 8z = –6

9. Diketahui SPL berbentuk :

ax + 2y = 2

x +by = 2

a. Tentukan nilai a dan b agar SPL memiliki penyelesaian tunggal,

kemudian tulis penyelesaian SPL nya !

b. Tentukan nilai a dan b agar SPL memiliki penyelesaian banyak,

kemudian tulis penyelesaian SPL nya!

81

10. Diketahui SPL

a2x + by = 1

x – y = 1

Tentukan nilai untuk a dan b agar SPL memiliki banyak penyelesaian

dan tulis penyelesaian SPL tersebut !

11. Syarat apa yang dipenuhi b1,b2,b3 agar SPL berikut konsisten

x1 + x2 + 2x3 = b1

x1 + + x3 = b2

2x1 + x2 + 3x3 = b3

12. Diketahui SPL berikut :

a2 x + y – z = a

x + by – z = –1

by + z = 0

Tentukan semua nilai untuk a dan b agar SPL memiliki solusi banyak,

kemudian untuk setiap pasangan nilai a dan b tersebut tuliskan solusi

SPL !

83

BAB III

DETERMINAN MATRIKS

Dalam bab ini akan membahas determinan, sifat-sifat determinan, aturan

cramer. Setelah mempelajari bab ini, diharapkan mahasiswa dapat

menentukan selesaian dari suatu sistem persamaan linier dengan aturan

cramer.

3.1 Definisi

Misalkan A adalah suatu matriks persegi. Determinan matriks A yang

disimbulkan dengan det(A) dapat didefinisikan sebagai penjumlahan semua

hasil perkalian elementer bertanda dari matriks A.

Dari definisi di atas dapat dinotasikan dalam bentuk sebagai berikut:

det(A) =

njjj

nn jajajaja

,,

332211

21

Beberapa hasil pencarian untuk menentukan determinan matriks akan

dijabarkan sebagai berikut:

a. Untuk matriks berukuran 2 x 2

2221

1211

aa

aaA

Perhatikan pola beikut untuk menentukan determinan dari matriks A

2221

1211

aa

aa

- +

Dari pola di atas akan diperoleh rumus det(A) sebagai berikut:

det (A) = a11a22 – a12a21

84

b. Untuk matriks berukuran 3 x 3

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

Perhatikan pola beikut untuk menentukan determinan dari matriks A

3231

2221

1211

333231

232221

131211

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

- - - + + +

Dari pola di atas akan diperoleh rumus det(A) sebagai berikut:

det (A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a11a23a32 – a12a23a32 –

a13a22a31

c. Untuk matriks berukuran 4 x 4

44414241

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

det (A) = a11a22a33a44 + a11a23a34a42 + a11a24a32a43 + a12a21a34a43 + a12a23a31a44 +

a12a24a33a41 + a13a21a32a44 + a13a22a34a41 + a13a24a31a42 +

a14a21a33a42 + a14a22a31a43 + a14a23a32a41 – (a11a22a34a43 +



a14a21a32a43 + a14a22a33a41 + a14a23a31a42)

85

3.2 Menghitung Determinan

Diberikan matriks

11

21A dan

211

112

101

B

Dengan metode pencarian determinan matriks diperoleh

Det (A) = 1 (1) – (2) (-1) = 1 – (-2) = 1 + 2 = 3 dan

Det (B) = (1)(1)(2) + (0)(1)(-1) + (1-)(2)(1) – ((-1)(1)(-1) + (1)(1)(1) +

(0)(2)(2))

= 2 + 0 + (-2) – (1 + 1 + 0)

= 0 – (2)

= -2

3.3 Sifat-Sifat Determinan

Sifat-sifat determinan matriks adalah sebagai berikut:

1 Jika A adalah sebarang matriks kuadrat yang mengandung sebaris

bilangan nol, maka det(A) = 0.

Contoh

Det

271

000

151

A = 0

2 Jika A adalah matriks segitiga n x n, maka det(A) adalah hasil kali entri-

entri pada diagonal utama, yakni det(A) = a11a22 … ann

Contoh

Det

200

050

151

A = (1) . (5) . (2) = 10

86

3 Misalkan A’ adalah matriks yang dihasilkan bila baris tunggal A

dikalikan oleh konstanta k, maka det(A’) = k det(A)

Jika

211

112

101

A dan

422

224

202

B

Kita telah menghitung determinan A

Det

211

112

101

A = -2

maka det

422

224

202

B = (2) (-2) = -4

karena matriks B = 2A

4 Jika A adalah sebarang matriks pesegi yang terdapat suatu kolom

sebanding dengan kolom yang lain maka det (A) =0

Contoh

A

4 7 2

2 5 1

6 0 3

karena kolom pertama dan ketiga matriks A sebanding, maka det(A) = 0

5 Jika A adalah sebarang matriks pesegi, maka det A = det At.

Contoh

Diberikan

148

723

516

A

87

Maka Transpos matriks A adalah,

175

421

836tA

Mari kita cari det (A)

148

723

516

det

A

= ( ) ( ) (5)

6

2 7

4 11

3 7

8 1

3 2

8 4

( )( ) ( )( ) (5)( )6 2 28 1 3 56 12 16 83 (i)

175

421

836

det

tA

= ( ) ( ) ( )

6

2 4

7 13

1 4

5 18

1 2

5 7

83)107)(8()201)(3()282)(6( (ii)

Dari penyelesaian di atasdiperoleh bahwa det A = det At

6 Jika A dan B adalah dua matriks berukuran n x n, maka det (A + B) det

A + det B

Contoh

Tinjaulah matriks-matriks berikut,

053

342

121

A B

2 0 5

3 1 3

4 6 7

88

A B

1 2 1

2 4 3

3 5 0

2 0 5

3 1 3

4 6 7

1 2 6

5 5 0

7 11 7

053

342

121

det A

= ( ) ( ) ( )14 3

5 02

2 3

3 01

2 4

3 5

1)1210)(1()90)(2()150)(1( ...(1)

764

313

502

det

B

= ( ) ( ) (5)

21 3

6 70

3 3

4 7

3 1

4 6

20)418)(5()1221)(0()187)(2( ...(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh

det A + det B = -1 + (- 20) = -21 ...(3)

Sekarang kita mencari det (A + B)

7117

055

621

)det(

BA

= ( ) ( ) ( )

15 0

11 72

5 0

7 76

5 5

7 11

15)3555)(6()035)(2()035)(1(= ...(4)

Dari (3) dan (4) diperoleh det (A + B) de A + det B

89

7 Misalkan A, A’ dan A” adalah matriks n x n yang hanya berbeda dalam

baris tunggal, katakanlah baris ke-r, dan anggap bahwa baris ke r dari A”

dapat diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dalam

baris ke-r dari A dan dalam baris ke-r dari A’, maka det(A”) = det(A) +

det(A’) [hasil yang serupa juga berlaku untuk kolom]

8 Jika A dan B adalah matriks kuadrat yang ukurannya sama, maka

det(AB) = det(A) det(B)

Contoh

Perhatikan matriks-matriks berikut,

A

1 3 0

4 6 1

5 0 2

B

3 1 4

2 0 6

1 5 3

351

602

413

205

164

031

AB

261513

5591

2213

det A

1 3 0

4 6 1

5 0 2

= (1) 6 1

0 2

(3)

4 1

5 2

+ (0)

4 6

5 0

90

= ( )( ) ( )(8 ) ( )( )1 12 0 3 5 0 0 30 3 ...(1)

det B

3 1 4

2 0 6

1 5 3

= (3) 0 6

5 3 (1)

2 6

1 3 (4)

2 0

1 5

( )( ) ( )( ) ( )( )3 0 30 1 6 6 4 10 0 130 ...(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh,

(det A)(det B) = 3(-130) = -390

Sekarang kita hitung det (AB)

det( )AB

3 1 22

1 9 55

13 15 26

= (3)

9 55

15 26 (1)

1 55

13 26 + (22)

1 9

13 15

( )( ) ( )( ) ( )( )3 234 825 1 26 715 22 15 117 390

Dari penyelesaian di atas dapat disimpulkan bahwa det (AB) = det (A).det

(B)

9 Sebuah matriks persegi mempunyai invers jika dan hanya jika det(A) 0

Contoh

Perhatikan matriks-matris berikut,

A

4 7 2

2 5 1

6 0 3

91

B

6 4 3

4 3 4

3 2 2

Det (A) = 0 karena A tidak mempunyai invers

1)98)(3()128)(4()86)(6(

23

34 )3(

23

44 )4(

22

43 )6(

223

434

346

det

B Karena det B = 1

0, maka matriks A mempunyai invers.

10 Jika A dapat dibalik, maka det(A-1

) = )det(

1

A

Contoh 1

A-1

=

5

1

5

45

2

5

3

maka

det(A-1

) = (-3/5)(-1/5) – (4/5)(2/5)

= 3/25 – 8/25

= -5/25

= -1/5

karena det(A) = -5

maka berlaku det(A-1

) = 1/det(A) = -1/5

92

11 Jika A adalah sebuah matriks yang dapat dibalik, maka AA

A 1 1

detadj

Contoh

Diberikan matriks A sebagai berikut

A

1 2 1

2 4 1

3 0 2

Kofaktor-kofaktor matriks A ini adalah

C11

4 1

0 28 = = C12

2 1

3 27 = =

C13

2

312 =

4

0 =

C21

2 1

0 25 = =

C22

1 1

3 25 = =

C23

1 2

3 06 = =

C31

2 1

4 16 = =

C32

1 1

2 11 = =

93

C33

28 =

1

2 4 =

Determinan matriks A adalah (dengan menggunakan ekspansi kofaktor

sepanjang baris pertama),

det ( )(8) ( )( ) ( )( )A a C a C a C 11 11 12 12 13 13 1 2 7 1 12 34

Matriks kofaktornya adalah,

8 7 12

4 5 6

6 1 8

Matriks adjoin A adalah,

adj A

8 4 6

7 5 1

12 6 8

Sekarang kalikan matriks A dengan adj A,

8612

157

648

203

142

121

)A (adj A

3400

0340

0034

100

010

001

34

= det A (I)

94

Dari hasil perkalian ini diperoleh bahwa A (adj A) = det A (I). Jika ruas kanan

dan kiri dikalikan dengan A maka diperoleh

AA

1 1

detadj A

3.4 Aturan Cramer

Teorema 3.4.1

Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam

n bilangan tak diketahui sehingga det(A) 0, maka sistem tersebut

mempunyai pemecahan yang uniq. Pemecahan ini adalah

x1 = )det(

)det( 1

A

A, x2 =

)det(

)det( 2

A

A, …, xn =

)det(

)det(

A

An

dimana Aj adalah matriks yang kita dapatkan dengan menggantikan entri-

entri dalam kolom ke-j dari A dengan entri-entri dalam matriks.

B =

nb

b

b

2

1

3.5 Menyelesaikan SPL Dengan Aturan Cramer

Salah satu metode untuk menentkan selesaian dari suatu sistem

persamaan linier adalah dengan menggunakan aturan cramer.

95

Contoh 2

a. Carilah selesaian dari persamaan dibawah ini menggunakan aturan

cramer.

x1 + 2x3 = 6

-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30

-x1 – 2x2 + 3x3 = 8

ubah terlebih dahulu kedalam bentuk matriks

A =

321

643

201

Karena bilangan takdiketahui atau solusinya ada 3, berarti kita bentuk

matriks A1, A2 dan A3. seperti dibawah ini.

A1 =

328

6430

206

, A2 =

381

6303

261

,

A3 =

821

3043

601

Untuk menghitung determinan pada matriks A, A1, A2 dan A3 dapat

menggunakan Menghitung Determinan Menggunakan Kofaktor.

det(A) =

321

643

201

= a11C11 + a12C12 + a13C13

= a11(-1)1+1

M11 + a12(-1)1+2

M12 + a13(-1)1+3

M13

= a11M11 – a12M12 + a13M13

= 132

64

– 0

31

63

+ 2

21

43

https://aimprof08.wordpress.com/2012/09/13/menghitung-determinan-matriks-menggunakan-kofaktor/

96

= 1[4(3)-6(-2)] – 0[-3(3)-6(-1)] + 2[-3(-2)-4(-1)]

= 24 – 0 – 20 = 44

det(A1) =

328

6430

206

= a11C11 + a12C12 + a13C13

= a11(-1)1+1

M11 + a12(-1)1+2

M12 + a13(-1)1+3

M13

= a11M11 – a12M12 + a13M13

= 632

64

– 0

38

630 + 2

28

430

= 6[4(3)-6(-2)] – 0[30(3)-6(8)] + 2[30(-2)-4(8)]

= 144 – 0 – 184 = -40

det(A2) =

381

6303

261

= a11C11 + a12C12 + a13C13

= a11(-1)1+1

M11 + a12(-1)1+2

M12 + a13(-1)1+3

M13

= a11M11 – a12M12 + a13M13

= 138

630 – 6

31

63

+ 2

81

303

= 1[30(3)-6(8)] – 6[-3(3)-6(-1)] + 2[-3(8)-30(-1)]

= 42 + 18 + 12

= 72

det(A3) =

821

3043

601

= a11C11 + a12C12 + a13C13

= a11(-1)1+1

M11 + a12(-1)1+2

M12 + a13(-1)1+3

M13

97

= a11M11 – a12M12 + a13M13

= 182

304

– 0

81

303

+ 6

21

43

= 1[4(8)-30(-2)] – 0[-3(8)-30(-1)] + 6[-3(-2)-4(-1)]

= 92 – 0 + 60 = 152

Berdasarkan Teorema 3.4.1 diatas, maka diperoleh:

x1 = )det(

)det( 1

A

A=

44

40 =

11

10

x2 = )det(

)det( 2

A

A=

44

72 =

11

18

x3 = )det(

)det(

A

An = 44

152=

11

38

b. Carilah selesaian dari sistem persamaan linier dibawah ini menggunakan

aturan cramer.

2 2 2

10 3 5

3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x

x x x

x x x

Penyelesaian:

Dalam bentuk perkalian matriks, sistem persamaan linier ini dapat dituliskan

sebagai AX = B yaitu,

111

3101

212

A

3

2

1

x

x

x

X

3

5

2

B

Kita ganti komponen-komponen kolom pertama matrik A dengan komponen-

komponen matriks B, sehingga diperoleh matriks baru yaitu,

98

113

3105

212

1A

Kita ganti komponen-komponen kolom kedua matrik A dengan komponen-


131

351

222

2A

Kita ganti komponen-komponen kolom ketiga matrik A dengan komponen-


311

5101

212

3A

Tentukan determinan matriks-matriks A, A1, A2, dan A3 (akan ditentukan

dengan cara ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama)

111

3101

212

det

A

=210 3

1 11

1 3

1 12

1 10

1 1

( )

4622226)101(2)31)(1()310(2

113

3105

212

det 1

A

99

= 210 3

1 11 2

5 3

3 1

5 10

3 1

( )

9270426)305(2)9)(51()3+10(2=

131

351

222

det 2

A

=

31

51 2

11

31 2

13

35 2

0448)53(2)31(2)95(2=

311

5101

212

det 3

A

= 210 5

1 31

1 5

1 32

1 10

1 1

( )

4622270)111(2)53)(1()530(2=

Berdasarkan aturan Cramer, maka pemecahan sistem persamaan linier di atas

adalah,

xA

A1

1 92

462

det

det x

A

A2

2 0

460

det

det

xA

A3

3 46

461

det

det

100

Latihan

1. Hitunglah determinan invers matriks-matris berikut tanpa harus

menghitung inversnya dahulu

243

131

142

A

4162

6153

2434

1321

B

2. Diberikan matrik A sebagai berikut,

A

1 3 0

2 6 4

1 0 2

a. Tentukanlah kofaktor-kofaktor matriks tersebut

b. Hitunglah det A dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom kedua

c. Tentukanlah adj A

d. Tentukanlah A-1

dengan menggunakan hasil dari (b) dan (c)

3. Buktikanlah bahwa det A = det At untuk matriks-matriks berikut

A

5 1 8

15 3 6

10 4 2

B =

425

5610

143

101

4. Perhatikan matrik pada soal nomor 3 no Hitunglah

a. det(5A)

b. det (3B)

c. det (2C)

5. Buktikanlah bahwa det (AB) = (det A)(det B) untuk matriks-matriks

berikut,

A

2 1 0

3 4 0

0 0 2

B

4 1 4 2

1 3 1 1

2 4 5 3

6 7 8 0

6. Tentukanlah apakah matriks-matriks berikut mempunyai invers atau

tidak, tanpa harus menghitung inversnya terlebih dahulu. Jika

mempunyai invers hitunglah determinan inversnya.

A =

613

211

412

B =

4382

0001

3162

2743

102

7. Diberikan matriks-matriks seperti di bawah ini,

P =

97

56

Q =

425

5610

143

Tentukanlah

a. Determinannya,

b. Adjoinnya

c. Matriks inversnya dengan menggunakan hasil dari a dan b.

8. Carilah solusi dari persamaan dibawah ini menggunakan aturan cramer

dan eliminasi Gauss-Jordan. Kemudian bandingkan hasilnya

a.

3 7 9 4

4 4 7

2 3 0

2 4 6 6

x y z w

x y z w

x z w

x y z w

b.

x y z

x y z

x y z

2 0

3 3

2 5 3 4

c.

3 3

2 2 3 1

2 2

x y z

x y z

x y z

103

BAB IV

VEKTOR

Dalam bab ini akan membahas vektor, hasil kali titik, hasil kali silang,

panjang dan jarak dua vektor, vektor orthogonal. Setelah mempelajari bab

ini, diharapkan mahasiswa dapat menentukan panja dan jarak dua vektor

serta dapat membedakan vektor-vetor yang orthogonal

4.1 Pengantar Vektor

4.1.1 Definisi

Vektor dalam R2 dan R

3 dapat didefinisikan sebagai segmen garis

berarah atau panah. Ekor panah disebut titik dari vektor dan ujung panah

disebut titik akhir dari vektor.

a b

Vektor dilambangkan dengan ABa

4.1.2 Kesamaan Dua Vektor

Vektor v ekuivalen dengan w jika arah dan ukurannya sama.

w v

w dan v ekuivalen karena ukuran dan arahnya sama

104

4.1.3 Aljabar Vektor

Definisi Jumlah Dua Vektor

Jika v dan w adalah dua vektor sembarang, maka jumlah v + w

adalah vektor yang di temukan sebagai berikut:

Tempat vektor w sedemikian rupa sehingga titik awalnya berhimpit dengan

titik akhir vektor v . Vektor v + w diawali oleh anak panah yang titik

awalnya v hinggan titik akhir w . Penjumlahan dua vektor dapat

diilustrasikan sebagiai berikut:

v + w =

3

2

1

a

a

a

+

3

2

1

b

b

b

=

33

22

11

ba

ba

ba

Secara grafik penjumlahan dua vektor sebagai berikut

Contoh

Diberikan vektor a dan b berikut. Tentukan a + b

a =

3

5

2

b =

6

3

4

v

w

v + w v

w

v + w w

v

(v + w = w + v)

v w

105

Maka diperoleh

a + b =

3

5

2

+

6

3

4

=

63

35

42

=

9

8

6

Definisi Selisih Dua Vektor

Jika v dan w adalah sembarang vektor, maka selisih w dari v dirumuskan

sebagai berikut :

v - w =

3

2

1

a

a

a

-

3

2

1

b

b

b

=

33

22

11

ba

ba

ba

Secara grafik selisih dua vektor sebagai berikut

Contoh

Diberikan vektor a dan b berikut. Tentukan a - b

a =

3

5

2

b =

6

3

4

Maka diperoleh

a - b =

3

5

2

-

6

3

4

=

63

35

42

=

3

2

2

-w w

-w

v v - w v v

w

v - w

106

Perkalian vektor dengan skalar

Perkalian vektor dengan skalar merupakan perkalian vektor dengan

bilangan real dirumuskan sebagai berikut:

k a = k

3

2

1

a

a

a

=

3

2

1

ka

ka

ka

Contoh

Dberikan vektor a dan skalar k = 3

a =

3

5

2

k a = (3)

3

5

2

=

33

53

23

x

x

x

=

9

15

6

4.1.4 Vektor Nol

Vektor nol adalah vektor yang panjangnya nol (berupa titik).

Penjumlahan vektor nol didefinisikan sebagai berikut:

0 + v = v + 0 = v

Definisi

Jika v adalah vektor tak nol, k adalah bilangan real tak nol, hasil k v

didefinisikan sehingga vektor yang panjangnya │k│ kali panjang v dan

arahnya sama dengan v jika k >0, arahnya berlawanan dengan v jika k < 0,

dan didefinisikan k v = 0 jika k = 0 atau v = 0

107

P1 = (x, y, z)

P2 = (x2, y2, z2)

P1P2 = P2 – P1

= (x2, y2, z2) – (x1, y1, z1)

= (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)

Contoh

Tentukan komponen – komponen v yang titik awalnya dititik awal P1 = (2, 4,

6) dan titik akhirnya dititik awal P2 = (1, 2, 4)

Penyelesaian

v = P2 – P1= (1, 2, 4) – (2, 4, 6) = (-1, -2, -2)

4.1.5 Vektor Negatif

Vektor v adalah vektor yang arahnya berlawanan dengan vektor v dan

panjangnya sama dengan vektor v .

Contoh

Diberikan v = (1, 2, 4)

Maka - v = (-1, -2, -4)

v

-v

v -v

108

4.1.6 Sifat-Sifat Aritmaika Vektor

Teorema 4.1.7

Sifat aritmatika vektor jika u , v dan w adalah vektor pada R2 atau R

3

sedangkan k dan l adalah skalar maka aturan-aturan berikut ini berlaku:

a. u + v = v + u

b. (u + v) + w = u + (v + w)

c. u + 0 = 0 + u= u

d. u+ (-u) = 0

e. k (lu) = (kl) u

f. k (u+ v) = ku + kv

g. (k + k) u = ku + lu

h. 1u = u

Bukti (b)

u = (u1, u2, u3)

v = (v1, v2, v3)

w = (w1, w2, w3)

(u + v) + w = [ (u1, u2, u3) + (v1, v2, v3) ] + (w1, w2, w3)

= [ (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) ] + (w1, w2, w3)]

= [ (u1 + v1 + w1, u2 + v2 + w2, u3 + v3 + w3) ]

= [ (u1 + (v1 + w1), u2 + (v2 + w2), u3 + (v3 + w3) ]

= (u1, u2, u3) + [ (v1 + w1, v2 + w2, v3 + v3)]

= (u1, u2, u3) + [(v1, v2, v3) + (w1, w2, w3)] = u + (v + w)

109

4.2 Hasil Kali Titik Dari Vektor

Definisi

Jika v dan u adalah vektor – vektor pada R2 dan R

3 dan θ adalah sudut

antara u dan v , maka hasil titk u . v didefinisikan oleh

u v cos θ, jika u ≠ 0 dan u ≠ 0

u . v =

0 jika u = 0 atau v = 0

Contoh :

Di ketahui u = (0, 0, 2) dan v = (0, 3, 3) tentukan u . v !

Penyelesaian

u = 222 200 = 2

v = 222 330 = 18 = 3 2

u , v = u v cos θ

= 2 . 3 2 . Cos 45 = 6

Teorema berikut akan membahas sifat–sifat hasil titik

y

x

z v = (0, 3, 3)

u = (0, 0, 2)

= 45 o

110

Teorema 4.2.1

Jika u, v dan w vektor – vektor pada ruang berdimensi 2 atau

berdimensi 3 dan k adalah skalar, maka

a. u.v = v.u

b. u (v + w) = u.v + u.w

c. k (u.v) = (k.u). v = u. (k.v)

d. u.v >0 jika v ≠ 0 dan

e. u.v = 0 jika v = 0

Pembuktian: (c)

Misal : u = (u1, u2, u3)

v = (v1, v2, v3)

k (u.v) = k [(u1, u2, u3) (v1, v2, v3)]

= k (u1.v1 + u2.v2 + u3.v3)

= (k (u1.v1)) + (k (u2.v2)) + (k (u3.v3))

= u1 (k.v1) + u2 (k.v2) + u3 (k.v3)

= u (k.v)

k (u.v) = k [(u1, u2, u3) (v1, v2, v3)]

= k (u1.v1 + u2.v2 + u3.v3)

= (k (u1.v1)) + (k (u2.v2)) + (k (u3.v3))

= (k. u1) v1 + (k. u2 ) v2 + (k .u3 ) v3

= (k. u) v

Terbukti bahwa k (u.v) = u (k.v) = (k. u) v

111

4.3 Panjang Dan Jarak Dua Vektor

Definisi

Norma suatu vektor adalah ukuran atau panjang suatu vektor. Panjang vektor

u disimbulkan u

Misal u = (u1, u2) pada ruang berdimensi 2 seperti gambar berikut

Berdasarkan teorema pythagoras

u = 2

2

2

1 UU

Misal u = (u1, u2, u3) pada ruang berdimensi 3

Berdasarkan teorema pythagoras

u 2 =

2

OR + 2

RP

= 2

OQ + 2

QR + 2

RP

= 2

OQ + 2

OS + 2

RP

= u12 + u2

2 + u3

2

u

u2

u1

R

P

Q

O y

x

z

u2

u1

1

u3

u

112

u = 2

3

2

2

2

1 uuu ... (1)

Jika P1 = (x1, y1, z1), P2 = (x2, y2, z2) maka jarak (d) antara P1 ke P2 ( 21PP )

Dari (1) diperoleh

d = 2

12

2

12

2

12 )()()( zzyyxx

Contoh

a. Tentukan panjang vektor u = (2, 7, 5)

b. Tentukan jarak antara P1 = (2, 6, 8) dan P2 = (4, 6, 10)

Jawab

a. u = 222 572 = 78

b. d = 222 )810()66()24( = 404

= 8 = 2 2

P2 (x2,y2,z2)

P1 (x1,y1,z1)

x

z

y

113

4.4 Menentukan Sudut Antar Dua Vektor

Misalkan u dan v adalah vektor – vektor pada ruang berdimensi 2 atau ruang

berdimensi 3. θ adalah sudut antara u dan v yang diasumsikan titik awal u

dan v berhimpit. Dimana 0 ≤ θ ≤ л

Misal terdapat vektor u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3), maka kita dapat

menentukan sudut antara v dan u dengan rumus sebagai berikut

u.v = u v cos θ atau

vu

vu.cos dimana u.v = u1.v1 + u2.v2 + u3.v3

Definisi

Apabila diketahui a =

3

2

1

a

a

a

dan b =

3

2

1

b

b

b

, maka:

1. a · b = |a| |b| cos

= a1b1 + a2b2 + a3b3

2. a · a = |a|2 = a1a1 + a2a2 + a3a3

3. |a + b|2 = |a|

2 + |b|

2 + 2|a||b| cos

u u

u v v

u

v u

v

114

4. |a – b|2 = |a|

2 + |b|

2 – 2|a||b| cos

5. Dua vektor saling tegak lurus jika a · b = 0

Contoh

Diketahui u = (2, -1, 1) dan v = (1, 1, 2) tentukan sudut θ!

Penyelesaian

u.v = u1.v1 + u2.v2 + u3.v3

= 2.1 + 1. (-1) + 2.1 = 3

u = 222 1)1(2 = 6

v = 222 21)1( = 6

vu

vu.cos =

66

3 =

6

3 =

2

1

maka θ = 60

Teorema 3.3.1

Misalkan u dan v adalah vektor – vektor pada ruang berdimensi 2 atau

berdimensi 3 maka

a. v.v = v 2 yaitu v = (v.v) 2/1

b. Jika vektor – vektor u dan v adalah tak nol dan θ sudut diantaranya maka:

θ adalah lancip jika dan hanya jika u.v > 0

θ adalah tumpul jika dan hanya jika u.v < 0

θ = л/2 jika dan hanya jika u.v = 0

Bukti

a. v.v = v 2

Misal θ adalah sudut antara v dan v maka θ = 0

v.v = v v cos θ

= v v cos 0 = v v . 1 = v 2

115

b. θ memenuhi 0 ≤ θ ≤ л

θ lancip jika dan hanya jika cos θ > 0

θ tumpul jika dan hanya jika cos θ < 0

θ = л/2 jika dan hanya jika cos θ = 0

u.v = u v cos θ dan u > 0, v > 0

cos θ > 0 maka u.v > 0

cos θ > 0 maka u.v < 0

cos θ = 0 maka u.v = 0

Contoh

Diketahui u = (1, -2, 3), v = (-3, 4, 2) dan w = (3, 6 ,3)

Tentukan jenis sudut antara :

a. u dan w

b. v dan w

c. u dan w

Penyelesaian

a. u.v = 1.(-3) + (-2).4 + 3.2 = -5 , mak θ adalah sudut tumpul

b. v.w = (-3).3 + 4.6 + 2.3 = 21, maka θ adalah sudut lancip

c. u.w = 1.3 + (-2).6 + 3.3 = 0 , maka θ adalah sudut siku – siku

4.5 Vektor – Vektor Ortogonal

Definisi

Dua vektor tak nol adalah ortogonal jika dan hanya jika hasil kali titiknya

adalah nol. u dan v ortogonal jika u.v = 0 dan u v.

116

Contoh

Tunjukan bahwa pada ruang berdimensi 2 vektor tak nol n = (a, b) adalah

tegak lurus terhadap garis ax + by + c = 0

Penyelesaian

Misalkan titik P1 = (x1,y1) dan P2 = (x2,y2) terletak pada garis maka 21PP = (x2

– x1, y2 – y1) karena vektor 21PP terletak pada garis, kita bisa langsung

membuktikan n 21PP

P2 = ax2 + by2 + c = 0

P1 = ax1 + by1 + c = 0

(ax2 – ax1) + (by2 – by1) = 0

a (x2 – x1) + b (y2 – y1) = 0

(a,b) (x2 – x1, y2 – y1) = 0

n . 21PP = 0, dapat disimpulkan bahwa n 21PP

Jadi n garis ax + by + c = 0

ax + by + c = 0

x

y

117

Latihan

1. Diketahui

3

2

3

u dan

4

3

2

v , tentukan:

a. vu 32

b. vu 3

2. Diketahui segitiga ABC dengan A(3, 1, 2), B(6, 1, 3), dan C(6, 7, 2). Jika

u mewakili AB dan v mewakili AC . Tentukan sudut yang dibentuk

oleh vektor u dan v

3. Tentukan besar sudut antara vektor

3

3

2

4

2

3

bdana

4. Diberikan vektor–vektor u = 2i – 2j + 3k dan v = i + 3j + 2k. Tentukan

besar sudut yang dibentuk vektor u dan v

5. Diketahui vector a = 3i – 2j + k dan vector b = 2i – 4j + 5k. Tentukan

proyeksi vector orthogonal vector a pada vector b

6. Tentukan nilai x yang memenuhi agar vektor a = xi – 4j + 8k tegak lurus

vektor b = 2xi + 2xj – 3k,

7. Diketahui vektor a = 6xi + 2xj – 8k, b = –4i + 8j + 10k tegak lurus. dan

diberian vektor c = –2i + 3j – 5k. Tentukan

a. a – c

b. b – c

118

8. Diketahui panjang proyeksi vektor

1

3

3

a pada vektor

3

3

pb

adalah 2

3.

Tentukan nilai p

9. Diberikan u , v dan w saling tegak lurus. Jika vektor

3

2

1

a ,

1

4

5

b dan

1

4

5

c . Tentukan

a. ba 32

b. cba 32

10. Diketahui 5x , dan

4

3y , jika sudut antara x dan y lancip

dan panjang proyeksi x pada y sama dengan 2, tentukan komponen

vektor x

11. Diketahui

5

4

2

u dan

2

3

4

v . Tentukan proyeksi vektor ortogonal u

pada v

12. Tentukan nilai x agar vektor-vektor

x

bdana 4

2

2

1

3

saling

tegak lurus.

119

BAB V

RUANG VEKTOR REAL

Dalam bab ini akan membahas ruang vektor, sub ruang, kombinasi linier,

kebebasan linier, merentang, basis dan dimensi. Setelah mempelajari bab

ini, diharapkan mahasiswa dapat menentukan basis dan dimensi suatu

ruang vektor.

5.1 Ruang Vektor

Definisi

Ruang vektor x adalah himpunan x yang dilengkapi oleh dua operasi.

1.Operasi Penjumlahaan

a. A,B Є x A + B Є x

b. A + B = B + A komutatif

c. (A + B) + C = A + (B + C) asosiatif

d. Ada vektor 0 Є x sehingga A + 0 = 0 + A = A A Є x Identitas

e. A Є x, ada –A sehingga A + -A = O

2. Perkalian Skalar

f. k Є R, A Є x k.A Є x

g. k (A + B) = kA + kB, A,B Є x, k Є R

h. k + l)A = kA + lA, A,B Є x, k, l Є R

i. k(lA) = (kl)A, A,B Є x, k, l Є R

j. IA = A, AЄ x

Contoh 1

Diketahui vektor x = {(a1, a2, ..., an) | ai Є R, i = 1, 2, ..., n}. Apakah x ruang

Vektor?

120

Penyelesaian: (bukti)

1. Operasi Penjumlahaan

a. A, B Є x A + B Є x

Ambil A,B Є x

A = (a1, a2, ..., an)

B = (b1, b2, ..., bn)

A + B = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)

A + B Є x memenuhi

b. A + B = B + A

A + B = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)

= (b1 + a1, b2 + a2, ..., bn + an)

= (b1, b2, ..., bn) + (a1, a2, ...,an)

A + B = B + A memenuhi

c. (A + B) + C = A + (B + C)

C = (c1, c2, ..., cn)

(A + B) + C

= (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn) + (c1, c2, ..., cn)

= (a1 + b1+ c1, a2 + b2 + c2, ..., an + bn + cn)

= (a1, a2 ..., an) + (b1 + c1, b2 + c2, ..., bn + cn)

(A + B) + C = A + (B + C) memenuhi

d. 0 Є x sehingga A + 0 = 0 + A = A

A + 0 = (a1, a2, ..., an) + (0, 0, ..., 0)

= (a1 + 0, a2 + 0, ..., an + 0)

= ( 0 + a1, 0 + a2, ..., 0 + an)

A + 0 = 0 + A = A memenuhi

e. -A sehingga A + (-A) = 0

A = (a1, a2, ..., an)

- A = (-a1, -a2, ...,-an)

121

A + (-A) = (a1 + (-a1), a2 + (-a2), ..., an + (-an))

A + (-A) = (0, 0, ..., 0) memenuhi

2. Operasi Perkalian Skalar

f. k Є R, A Є x kA Є x

A Є x A = (a1, a2, ..., an)

kA = k (a1, a2, ..., an)

kA = (ka1, ka2, ..., kan) kA Є x, memenuhi

g. k (A + B) = kA + kB

A Є x (a1, a2, ..., an)

B Є x (b1, b2, ..., bn)

k (A + B) = k [(a1, a2, ..., an) + (b1, b2, ..., bn)]

= k [a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn]

= [ ka1 + kb1, ka2 + kb2, ..., kan + kbn)

= [ ka1, ka2, ..., kan] + [ kb1, kb2, ..., kbn]

k (A + B) = kA + kB memenuhi

h. (k + l) A = kA + lA

A Є x (a1, a2, ..., an), l Є R

(k + l) A = (k + l) (a1, a2, ..., an)

= [ (k + l a1, (k + l) a2, ..., (k + l) an]

= ka1 + la1, ka2 + kb2, ..., kan + lan

= k (a1, a2, ..., an) + l (a1, a2, ..., an)

= kA + lA memenuhi

i. k (lA) = (kl) A

k (lA) = k (la1,la2, ...,lan)

= kla1, kla2, ..., klan

= kl (a1, a2, ..., an)

= kl (A) memenuhi

122

j. IA = A

IA = I (a1, a2, ..., an)

= (a1, a2, ..., an)

IA = A memenuhi

Karena x memenuhi ke – 10 aksioma maka x adalah ruang vektor.

5.2 Sub ruang

Definisi

Jika W sub ruang dari ruang vektor V maka W ruang vektor di bawah operasi

penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada V.

Teorema

Jika W dalah suatu himpunan yang terdiri dari satu atau lebih vektor dari

ruang vektor V, mak W adalah sub ruang dari V , jika hanya jika syarat

tersebut memenuhi:

a. Jika A,B Є W A + B Є W

b. k Є R , A Є W kA Є W

Jika W sub ruang dari V, maka W harus memenui syarat

a. W ≠ Ø

b. W V (subset)

c. A,B Є W A + B Є W

d. k Є R, A Є W k A Є W

Contoh 2

Buktikan U = {(x1, x2, x3) Є R 3 | x1 = 0} adalah sub ruang dari R 3 !

123

Bukti :

a. U ≠ Ø

(0,0,0) Є U berarti U ≠ {}

b. U R3

Ambil (0, x2, x3) Є U

Karena x2, x3 Є R (0, x2, x3) Є R3

Jadi U R 3

c. A,B Є U A + B Є U

A Є U (0, x, y)

B Є U (0, a, b)

(A + B) = (0, x, y) + (0, a, b)

= (o, x + a, y + b)

d. k Є R, A Є W kA Є W

A Є W (0, x, y)

kA = k (0, x, y)

= (k0, kx, ky) Є U

Karena U memenuhi Ke–4 aksioma maka U sub ruang dari R 3

5.3 Kombinasi Linier

5.3.1 Definisi kombinasi linear

Sebuah vektor u , dinamakan kombinasi linear dari vektor – vektor jika

vektor – vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk :

dimana k1, k2, …, kn adalah skalar Riil.

Contoh 3

Misal u = (2, 4, 0), dan v = (1, –1, 3)

nnvkvkvku ...2211

124

adalah vektor-vektor di R3

Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear

dari vektor – vektor di atas

a. a = (4, 2, 6)

b. b = (1, 5, 6)

c. c = (0, 0, 0)

Penyelesaian:

f. Tulis avkuk 21

akan diperiksa apakah ada k1, k2, sehingga kesamaan tersebut dipenuhi.

Ini dapat ditulis menjadi:

dengan OBE, diperoleh:

Dengan demikian, a merupakan kombinasi linear dari vector u dan v atau

vua 2

Untuk b dan c sebagai latihan pembaca

6

2

4

3

1-

1

0

4

2

21 kk

6

2

4

3 0

1- 4

1 2

2

1

k

k

0 0 0

2 1 0

2 1

~

6 3 0

6- 3- 1

2 1 21

21

125

5.4 Kebebasan Linier

Definisi

Jika S = {v1, v2, ..., vr} adalah himpunan vektor, maka persamaan vektor.

k1v1 + k2v2 + ... + krvr = 0

Mempunyai paling sedikit satu pemecahan, yakni

k1 = 0, k2 = 0, ..., kr = 0

merupakan satu-satunya pemecahan, maka S kita namakan himpunan bebas

linear (linearly independent). Jika ada pemecahan lain, maka S kita namakan

himpunan tak bebas linear (linearly dependent).

Contoh 4

1. A = {0}, apakah A bebas linier?

Penyelesaian

. 0 = 0

= 0

= 1

= 2 dst

Maka A Bergantung Linier

2. B = {2

1} apakah B bebas linier?

Penyelesaian

. 0.5 = 0 Bebas Linier

= 0

Maka B Bebas Linier

3. Tinjaulah vektor-vektor i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), dan k = (0, 0, 1) pada R3

dselidiki apakah vektor-vektor tersebut bebas atau bergantung linier?

Penyelesaian

126

Komponen persamaan vektor

kiv1 + 1 + k2v2 + ... + krvr = 0

Menjadi

k1 (1, 0, 0), + k2 (0, 1, 0) + k3(0, 0, 1) = (0, 0, 0)

secara ekivalen dapat ditulis

(k1, k2, k3) = (0, 0, 0)

Sehingga diperoleh

k1 = 0, k2 = 0, k3 =0;

sehingga himpunan S = (i, j, k) bebas linear pada Rn.

5.5 Merentang

Definisi

Himpunan vektor

dikatakan membangun suatu ruang vektor V jika setiap vektor pada V

selalu dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor – vektor di S.

Contoh 5

Diberikan

1v = (1, 1, 2),

2v = (1, 0, 1), dan

3v = (2, 1, 3)

Apakah vektor-vektor di atas merentang di V?

nvvvS ,...,, 21

127

Penyelesaian

Ambil sembarang vektor di R3

Misalkan

3

2

1

u

u

u

u

Tuliskan 332211 vkvkvku

Sehingga dapat ditulis dalam bentuk

321

31

321

32

2

2

kkk

kk

kkk

=

3

2

1

u

u

u

secara ekivalen dapat ditulis

3

2

1

3

2

1

312

101

211

u

u

u

k

k

k

Syarat agar dapat dikatakan kombinasi linear SPL tersebut harus mempunyai

penyelesaian. Dengan OBD diperoleh

1 1 2 u1

0 -1 -1 u2 u1

0 0 0 u3 u1 u2

Agar SPL tersebut mempunyai selesan haruslah

u3 – u2 – u1 = 0

hal tersebut kontradiksi dengan pengambilan vektor sembarang (unsur-

unsurnya bebas, tidak memiliki syarat) dengan demikian vektor-vektr

tersebut tida membangun R3

128

5.6 Basis dan Dimensi

Definisi

Jika V adalah ruang vektor dan S = {v1, v2, v3, ….., vn} adalah kumpulan

vektor di dalam V, maka S disebut sebagai basis dari ruang vektor V jika 2

syarat berikut ini dipenuhi :

a. S bebas linier;

b. S serentang V.

Keunikan Represenasi Basis

Jika S = {v1, v2, v3, ….., vn} adalah suatu basis dari ruang vektor V, maka

setiap vektor v pada V dapat dinyatakan dalam bentuk v = c1v1 + c2v2 + ... +

cnvn dengan tepat satu cara.

Contoh 6

Misalkan e1 = ( 1, 0, 0, … , 0 ), e2 = ( 0, 1, 0, … , 0 ), … , en = ( 0, 0, 0, … , 1

).

Karena S = { e1, e2, … , en} adalah himpunan bebas linier dengan Rn . dan

vektor v = (v1, v2, … , vn) pada Rn dapat dituliskan sebagai v = v1e1 + v2e2+

… + vnen, maka S merentang Rn sehingga S adalah sebuah basis. Basis

tersebut dinamakan basis baku untuk Rn.

Contoh 7

Himpunan S = {M1, M2, M3, M4} merupakan basis untuk ruang vektor

matriks M2x2, dengan M1= , M2 = , M3 = dan M4 =

sebab S bebas linier dan S merentang M2x2.

Ini dapat dilihat bahwa setiap matriks M yang berukuran 2 x 2 dapat

dinyatakan sebagai kombinasi linier M1, M2, M3, M4.

129

M =

= a + b + c + d

Atau M = aM1 + bM2 + cM3 + dM4

Definisi

Dimensi dari ruang vektor V yang berdimensi berhingga dinotasikan dengan

dim(V), didefinisikan sebagai banyaknya vektor-vektor pada suatu basis

untuk V. Jika tidak demikian, dapat didefinisiskan ruang vektor nol sebagai

berdimensi nol.

Contoh 8

a) Tentukan basis dan dimensi untuk ruang vektor berikut

a. W1 =

b. W2 = {a + bx – bx2 + ax

3}

c. W3 = dengan a dan b adalah bilangan real

Penyelesaian

(i) = + = a + b = au + bv

jadi u = dan v = merentang W1 dan kedua vektor tersebut juga

bebas linier. Dengan demikian, kedua vektor tersebut merupakan basis

untuk W1.

Maka dapat disimpulkan bahwa W1 adalah ruang vektor yang berdimensi

dua

130

Untuk soal pasa poin (ii) dan (iii) sebagai latihan pembaca

b) Tentukanlah basis dan dimensi untuk ruang pemecahan dari sistem

homogen.

2x1 + 2x2 - x3 + x5 = 0

- x1 - x2 + 2x3 - 3x4 + x5 = 0

x1 + x2 - 2x3 - x5 = 0

x3 + x4 + x5 = 0

penyelesaian dari SPL di atas adalah

x1 = – s – 1, x2 = s, x3 = -t, x4 = 0, x5 = t,

Sehingga vektor-vektor pemecahan tersebut dapat dituliskan sebagai

1

2

3

4

5

x s t s t 1 1

x s s 0 1 0

x t 0 t 0 1

x 0 0 0 0 0

x t 0 t 0 1

Yang memperlihatkan bahwa vektor-vektor

1 2

1 1

0 0

v dan v0 1

0 0

0 1

v1 dan v2 vektor tersebut merupakan basis SPL

SPL tersebut berdimensi dua

131

Latihan

1. Diketahui vektor x = {(a, 1, 0) | a Є R}. Apakah x ruang Vektor?

2. Diketahui vektor v = {(1, 1, a) | a Є R}. Apakah x ruang Vektor?

3. Diketahui vektor w = {(a, b, c) | a – b = 0, a, b, c Є R}. Apakah x ruang

Vektor?

4. Diketahui Matriks P = {

dc

ba | a = 1, a, b, c, d Z }. Apakah P ruang

Vektor?

5. Diketahui Matriks Q = {

dc

ba | ad – bc = 0, a, b, c, d Z }. Apakah

Q ruang Vektor?

6. Diketahui vektor x = {(a, 1, -1) | a Є R}. Apakah x sub ruang Vektor?

7. Diketahui vektor v = {(1,0, a) | a Є R}. Apakah x sub ruang Vektor?

8. Diketahui vektor w = {(a, b, c) | a + b = 0, a, b, c Є R}. Apakah x sub

ruang Vektor?

9. Diketahui Matriks R = {

dc

ba | a = 1, b = -1, c, d Z }. Apakah R

sub ruang Vektor?

10. Diketahui Matriks S = {

dc

ba | a – b = 0, a, b, c, d Z }. Apakah S

sub ruang Vektor?

11. Diberikan 5,2,3 u dan 2,2,1v adalah vektor-vektor di R3.

Selidiki apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear dari vektor –

vektor di atas

a. X = (4, 6, 2)

b. Y = (3, 5, 4)

c. Q = (1, -2, 3)

d. R = (-3 4, -2)

132

12. Perhatikan vektor-vektor berikut, selidiki apakah vektor-vektor tersebut

bebas atau bergantung linier?

a. 3,1,2 , 2,3,3 , 4,5,2

b. 1,1,3 , 3,1,2 , 3,0,2

c. 3,3,1 , 5,1,0 , 3,4,5 , 1,2,5

d. 241 xx , 2223 xx , 2442 xx

13. n21 V,...,V,VS himpunan vektor bebas linear, perlihatkan bahwa

masing-masing sub himpunan S dengan satu atau lebih vector yang

bebas linear

14. 321 V,V,V himpunan vektor tak bebas linear pada ruang vektor V1.

Buktikan bahwa 4321 V,V,V,V juga tak bebas linear dimana V4

sebarang. Vektor lain di dalam V.

15. Cari sebuah persamaan untuk bidang yang direntang oleh vektor-vektor

beikut:

a. 1,1,2u dan 4,3,2v

b. 1,3,2u , 1,3,2v dan 4,2,2 w

c. 1,3,2u , 1,3,2 v , 4,2,5 w dan 3,2,1z

16. Selidiki apakan vektor-vektor berikut merupakan basis dari R

a. 2,11 u , 3,22 u , 4,23 u untuk R2

b. V1 = 1,0 V2 = 3,1 untuk R2

c. V1 = 7,3 V2 = 9,4 untuk R3

d. 2,3,11 u 1,1,52 u untuk R3

e. 4,1,11 V , 1,3,22 V , 3,2,13 V untuk R3

f. 2,1,31 V , 1,5,22 V , 3,4,13 V untuk R3

g. V1 = 0,1,1 , V2 = 0,0,2 , V3 = 3,3,3 untuk R3

133

h. 2

1 2 xxP , 32 xP untuk P2

i. 2231 xx , 221 xx , x51 untuk P3

j. 243 xx , 2231 xx , 221 xx untuk P3

k. P =

43

62 Q =

02

10

R =

49

80

23

01untuk M22

l.

32

11A

71

05B

31

03C

24

13D

32

15E untuk M22

135

BAB VI

RUANG EIGEN DAN DIAGONALISASI

Dalam bab ini akan membahas nilai eigen dan ruang eigen, diagonalisai,

diagonalisasi ortogonal dan matriks simetri. Setelah mempelajari bab ini,

diharapkan mahasiswa dapat menentukan basis ruang eigen dan dapat

mendiagonal sebuah matriks secara ortogonal.

6.1 Nilai Eigen dan Ruang Eigen

6.1.1 Definisi

Jika A adalah sebuah matriks n x n, maka sebuah vektor tak nol x pada Rn

disebut vektor eigen dari A jika Ax adalah sebuah kelipatan skalar dari x

sehingga berlaku

Ax = λx

Untuk sembarang skalar λ yang disebut nilai eigen dari A dan x disebut

sebagai vektor eigen dari A yang terkait dengan λ.

6.1.2 Langkah-langkah Menentukan Nilai Eigen

Langkah-langkah menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari

matriks A yang berukuran n x n adalah sebagai berikut

1. Tentukan polonimial karakteristika det (λI – A) dari matriks A

2. Tentukan nilai eigen dari A dengan menyelesaikan persamaan

karakteristik det (λI – A) = 0 untuk λ

3. Untuk tiap nilai eigen λ, tentukan ruang null dari matriks A – λI. Vektor

tak nol yang berhubungan dengan itu merupakan vektor eigen dari A

4. Tentukan basis untuk ruang eigen tersebut

136

Contoh 1

Tentukan nilai eigen dari matriks A =

Jawab

λI – A = λ - =

det (λI – A) = det = λ2 - 3λ + 2

polinomial karakteristik dari A adalah λ2 - 3λ + 2 = 0 atau (λ – 1)( λ – 2) = 0

dan penyelesaiannya adalah λ = 1 dan λ = 2 sehingga nilai-nilai eigen dari A

adalah 1 dan 2

Contoh 2

Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A=

000

010

001

!

Penyelesaian:

I – λI =

00

010

001

00

00

00

000

010

001

0

00

010

001

(1-) (1-) (-) = 0

Jadi polinomial karakteristik: (1-) (1-) (-) = 0

Akar-akar polinomial karakteristik: 1=0, 2=3=1

Jadi nilai eigen matriks A adalah 0 dan 1.

Vektor eigen untuk =0

137

A-I =

000

010

001

00

010

001

(A-I)x = 0

0

0

0

000

010

001

3

2

1

x

x

x

Jadi x1=0, x2=0, x3=t, t0, tR

Jadi x=

t

0

0

merupakan vektor eigen yang berkorespondensi dengan =0

Vektor eigen untuk =1

A-I =

100

000

000

00

010

001

(A-I)x = 0

0

0

0

100

000

000

3

2

1

x

x

x

Jadi x1=a, x2=b, x3=0, a,b0, a,bR

Jadi x=

0

b

a

merupakan vektor eigen yang berkorespondensi dengan =1

Teorema 6.1.1

Jika A adalah sebuah matriks segitiga n x n (seitiga atas, segitiga bawah atau

diagonal), maka nilai-nilai eigen dari A adalah entri-entri yang terletak pada

diagonal utama pada matriks A

138

Contoh 3

Tentuka nilai-nilai dari matriks segitga atas berikut ini

2

100

120

211

A

Nilai-nilai eigen dari matriks di atas adalah λ = 1, λ = 2 dan λ = ½

6.2 Diagonalisasi

6.2.1 Definisi

Sebuah atriks persegi A dikatakan dapat didiagonalisasi jika terdapat sebuah

matriks P yang mempunyai invers sedemikian rupa sehingga P-1

AP adalah

sebuah matrks diagonal.

Teorema 6.2.1

Jika A adalah matriks berukura n x n, maka kedua pernyataan berikut ini

kuivelen

a. A dapat didiagonalisasi

b. A mempuyai n vektor eigen yang bebas linier

6.2.2 Langkah-langkah untuk mendigonal sebuah matriks

Langkah-langkah untuk mendigonal sebuah matriks berukuran n x n

adalah sebagai berikut:

1. Cari n vektor eigen yang bebas linier dai A yaitu nppp ,,

21 ,

2. Bentuklah matriks P yang mempunyai nppp ,,

21 sebagai vektor

kolomnya

139

3. Maka matriks P-1

AP akan didiagonal dengan λ1, λ2, λ3, ..., λn sebagai

elemen-elemen diagonalnya yang berurutan, dimana λ1 adalah nilai eigen

yang bersesuaian dengan i

p , dengan i = 1, 2, 3, ..., n

Contoh 3

Carilah matriks P yang mendigonal matrik A berikut

500

032

023

A

Penyelesaian:

Nilai-nilai eigen dari matriks A adalah λ = 1 dan λ = 5.

Vektor-vektor eigen yang bersesuai dengan nilai eigen λ = 5 adalah

1p =

0

1

1

dan 2

p =

1

0

0

Vektor-vektor eigen yang bersesuai dengan nilai eigen λ = 1 adalah

3p =

0

1

1

Dan terliat bahwa {321

,, ppp } adalah bebas linier sehingga

P =

010

101

101

akan mendiagonalkan matriks A

P-1

AP =

02

1

2

1100

02

1

2

1

500

032

023

010

101

101

140

=

100

050

005

Contoh 3

Apakah

253

022

001

A dapat didiagonalisasi?

Penyelesaian:

Syarat dapat didiagonalisasi, harus mempunyai vektor basis sebanyak nilai

eigennya, sehingga matriks A tidak dapat didiagonalisasi karena vektor

basisnya hanya 2.

6.3 Diagonalisasi Ortogonal dan Matriks Simeri

6.3.1 Definisi

Sebuah matriks A yang berukuran n x n dikatakan dapat didiagonal secara

ortogonal jika ada matriks P yang ortogonal sehingga P-1

AP (atau PTAP)

diagonal. Matriks P dikatakan mendiagonalisasi A secara ortogonal.

Definisi

Matriks simetri adalah matriks yang memiliki sifat A = AT

Teorema 6.3.1

Jika A adalah sebuah matriks berukuran n x n maka pernyataan-pernyataan

berikut ini ekuivalen sau sama lain:

1. A dapat didiagonalisasi secar ortogonal

2. A simetris

141

Teorema 6.3.2

Jika A adalah sebuah matriks simetris, maka

1. Nilai eigen matriks A semunya adalah bilangan real

2. Vektor eigen yang berasal dari ruang eigen yang berbeda saling

ortogonal

6.3.2 Langkah-langkah untuk mendigonal sebuah matriks secara

ortogonal

Langkah-langkah untuk mendigonal sebuah matriks secara ortogonal

adalah sebagai berikut:

a. Mencari basis untk setiap ruang eigen dari matriks A

b. Gunakan proses Gramm-Schmidt kepada setiap baris ini ntuk

mendapatkan sebuah baris ortogoal untuk setiap ruang eigen

c. Bentuklah matriks P yang kolom-kolomnya adalah vektr-vekor basis

yang dibangun pada langkah 2, matriks ini akan mendiagonalisasi

matriks A secara ortogonal

Contoh 4

Diketahui A =

101

000

101

simetri. Tentukan matriks yang mendiagonalisasi

secara ortogonal dan matriks digonalnya

Penyelesaian:

Nilai-nilai eigen dari matriks A adalah λ = 0 dan λ = 2.

Vektor-vektor basis yang bersesuai dengan nilai eigen λ = 0 adalah

142

0

1

0

dan

1

0

1

Bentuk ortonormal dari vektor tersebut adalah

0

1

0

dan

2

102

1

Vektor-vektor basis yang bersesuai dengan nilai eigen λ = 2 adalah

1

0

1

.

Bentuk ortonormal dari vektor tersebut adalah

2

102

1

Matriks yang mendiagonalisasikan A secara ortogonal yaitu

2

1

2

10

0012

1

2

10

dan matriks diagonalnya adalah

200

000

000

143

Latihan

1. Tentukan nilai eigen dari mariks berikut

a.

30

11A

b. B =

102

032

103

c.

003

012

201

C

d. D =

200

012

002

2. Tentukan vektor eigen dari mariks berikut

a.

30

12A

b. B =

132

102

103

c.

013

012

201

C

3. Tentukan matriks diagonalisasi dari mariks berikut

a.

121

113

131

C

144

b. D =

201

012

002

c. F =

200

210

112

4. Tentukan matriks yang mendiagonalisasi secara ortogonal dan matriks

digonalnya

a.

541

113

121

C

b. D =

213

012

302

c. F =

205

410

112

145

BAB VII

TRANSFORMASI LINIER

Dalam bab ini akan membahas transformasi linier, kernel dan range, sifat-

sifat transformasi linier. Setelah mempelajari bab ini, diharapkan

mahasiswa dapat menentukan jenis menyelidiki basis ruang eigen dan

dapat mendiagonal sebuah matriks secara ortogonal.

7.1 Definisi

Sebelum memahami definisi tranformasi linier, sebaiknya kita pahami

terlebih dahulu pemetaan pada ruang vektor

Definisi pemetaan

Suatu pemetaan f dari ruang vektor V ke ruang vektor W adalah aturan

perkawanan sedemikian sehingga setiap vektor v V dikawankan dengan

vektor tunggal w W. Kita mengatakan bahwa f memetakan vektor v ke w,

dan juga f memetakan ruang V ke W. Pada transformasi f: V W, ruang V

disebut domain dan W disebut kodomain untuk f. Jika u V, maka vektor

f(u) W disebut bayangan dari u oleh f.

Definisi Tranformasi Linier

Sebuah fungsi dari ruang vektor V ke ruang vektor W dapat ditlis dalam

bentuk matematika sebagai F: V W. F dikatakan transformasi linier jika

a. F ( vu ) = F ( u ) + F ( v ) untuk semua u dan v di V

b. F (k u ) = k F ( u ) untuk semua u di V dan semua skalar k.

Jika T : V V merupakan transformasi linier, maka T disebut operator

linier pada V

146

Contoh 1

Selidiki apakah pemetaan berikut merupakan transformasi linier?

Misalkan F: R2 R

3 adalah fungsi yang didefinisikan oleh F (x, y) = (x – y,

x, -y)

Penyelesaian

Ambil u = (x1, y1), v = (x2, y2) di R2

Maka u + v = (x1+x2, y1+y2)

F (α u + β v ) = F ((αx1, αy1) + (βx2, βy2))

= F ((αx1 + βx2, αy1 + βy2))

= ((αx1 + βx2 – (αy1 + βy2), αx1 + βx2, - (αy1 + βy2))

= (αx1 - αy1, αx1, - αy1) + (βx2 - βy2, βx2, - βy2)

= αF ( u ) + βF ( v )

Jadi T merupakan transformasi Linier

Contoh 2

Misalkan T:R2 R

2 adalah fungsi yang didefinisikan oleh T(v) = (2x, y)

dengan v= (x, y) di R2. buktikan bahwa T merupakan transformasi linier

Penyelesaian

Misalkan u = (x1, y1) dan v = (x2, y2)

Bukti pertama:

T(u + v) = T((x1, y1) + (x2, y2))

= T(x1+x2, y1+y2)

= (2(x1+x2), (y1+y2))

= ((2x1, y1) + (2x2, y2))

T(u + v) = T(u) + T(v) => terbukti

147

Bukti kedua:

T(ku) = T(kx1, ky1)

= (2kx1, ky1)

= k (2x1, y1)

T(ku) = k T(u) => terbukti

Jadi T adalah trasnformasi linier

Sifat Transformasi Linier

Jika T:V W adalah trasnformasi linier, maka

1. T(0) = 0

2. T(-v) = -T(v) untuk semua v di V

3. T(v-w) = T(v) –T(w) untuk semua v dan w di V

7.2 MATRIKS TRANSFORMASI

Definisi

Misalkan A adalah suatu matriks berukuran mxn. Jika notasi matriks

digunakan untuk vektor di Rm

dan Rn, maka dapat didefinisikan suatu fungsi

T: Rn R

m dengan T(x) = Ax

Jika x adalah matriks n x 1, maka hasil kali Ax adalah matriks m x 1; jadi T

memetakan Rn ke dalam R

m dan T linier

Teorema

Jika T: Rn R

m adalah transformasi linier, dan jika e1, e2, …, en adalah basis

baku untuk Rn, maka T adalah perkilaan oleh A atau

T(x) = Ax

dimana A adalah matriks yang mempunyai vektor kolom T(e1), T(e2),.., T(en)

Contoh 3

148

Carilah matriks baku (A) untuk tranformasi T: R3 R

2 yang

didefinisikan oleh

T(x) = (x1 + x2, x2 + x3), untuk setiap x = (x1 , x2, x3) dalam Rn

Penyelesaian

T: R3 R

2

Basis baku dari R3 adalah:

1. e1 = (1, 0, 0) T(e1) = (1 + 0, 0 + 0) = (1, 0)

2. e2 = (0, 1, 0) T(e2) = (0 + 1, 1 + 0) = (1, 1)

3. e3 = (0, 0, 1) T(e3) = (0 + 0, 0 + 1) = (0, 1)

Maka matriks A nya adalah vektor kolom bentukan dari T(e1), T(e2), dan

T(e3) yaitu

110

011

untuk Bukti dari jawaban di atas diserahkan pada pembaca.

Contoh 3

Misalkan T: R2 R

2 adalah perkalian oleh matriks

A =

cossin

sincos

yakni perputaran R2 melalui sudut , merupakan transformasi linier

7.3 Kernel Dan Range

Definisi Kernel

Jika T:V W adalah transformasi linier, maka himpunan semua vektor pada

V yang ditetapkan oleh transformasi linier T yang dipetakan T ke 0 disebut

kernel dari T dan dinotaskan dengan ker(T) yaitu ker(T) = { v di V: T(v) = 0}

149

Definisi Range

Jika T:V W adalah transformasi linier, maka himpunan semua vektor pada

W yang merupakan bayangan karena T dari setidaknya satu vektor pada V

disebut range dari T, dan dinotasikan dengan Range(T) yaitu Range (T) = {

T( v ): v di V}

Contoh H 135

Jika T:V W adalah trasnformasi linier, maka

1. Kernel dari T adalah sub-ruang dari V

2. Jangkauan dari T adalah subruang dari W

7.4 Rank dan Nulitas

Definisi

Jika T: V W adalah sebua transformasi linier, maka dimensi range dari T

disebut sebagai rank dari T dan dinotasi dengan rank(T); dimensi kernelnya

disebut nulitas dari T dan dinotasikan dengan nulitas (T)

Contoh

Misal T : R2 R

2 adalah perputaran R

2 melalui sudut

4

, maka R(T) = R

2

dan ker (T) = {0}. Sehingga rank (T) = 2 dan nulitas(T) = 0

Rank dan Nulitas dari Persamaan Linear Ax = y

SPL dengan p persamaan dan q variabel dapat disajikan oleh matriks

Ax = y, dengan A adalah matriks pxq, x adalah vektor q, dan y vektor p.

Persamaan ini dapat dipandang sebagai operator (pemetaan) linear a: Kq

Kp yang didefinisikan dengan a(x) = Ax untuk semua x Kq.

150

Dalam pemetaan di atas berlaku:

a. dom (a) = Kq

b. bayangan/im (a) = { y Kp | Ax = y),

c. ker (a) = { x Kq | Ax = 0}.

d. Dim (dom (a)) = dim (Kq) = q,

e. dim ( im (a)) = rank (A),

f. dim (ker (a)) = nulitas (a) = q – rank (A)

Teorema (rank dan nulitas)

Persamaan Ax = y mempunyai solusi x jika y im (a).

Perlu diingat bahwa rank (A) ≤ minimum (p, q). Kasus-kasus yang dapat

terjadi:

Kasus 1: Banyak persamaan melebihi banyak variabel: p < q.

(i) Jika rank (A) < p < q = Dim (dom (a)) maka pernyataan berikut

ekuivalen

(a) Dim (dom (a))

(b) nulitas (a) > 0

(c) a singular

(d) ada banyak solusi jika y im (a) dan

(e) tidak ada solusi jika y im (a);

(ii) Jika rank (A) = p = Dim Kp maka pernyataan berikut ekuivalen

(a) a adalah onto

(b) untuk setiap y ada solusi.

(iii) Jika rank (a) = p < q maka pernyataan berikut ekuivalen

(a) nulitas (A) = q – p > 0

(b) a singular

(c) terdapat solusi jika y im (a) atau tidak ada solusi jika y im (a);

151

Kasus 2: Banyak persamaan melebihi banyak variabel: p > q.

(i) Jika rank (A) < q < p = im (a) Kp. maka pernyataan berikut ekuivalen

(a) Kp = q – rank (A) > 0

(b) a singular

(c) terdapat banyak solusi jika y im (a) atau tidak terdapat solusi jika y

im (a);

(ii) Jika rank (A) = q = Dim (dom (a)) maka pernyataan berikut ekuivalen

(a) Dim (dom (a))

(b) nulitas (a) = q – rank (a) = 0

(c) a nonsingular

(d) terdapat solusi tunggal jika y im (a) dan

(e) tidak ada solusi jika y im (a);

Kasus 3: Banyak persamaan sama dengan banyak variabel: p = q.

(i) Jika rank (A) = q = p maka im (A) = Kp. Dari sisi lain nulitas (a) = q –

rank (A) = 0. Jadi terdapat solusi tunggal jika y im (a);

(ii) Jika rank (A) < p = q im (A) Kp. Dari sisi lain nulitas (a) = q – rank

(A a singular. Jadi, ada banyak solusi jika y im (a) dan tidak

ada solusi jika y im (a);

Teorema Dimensi

Jika T:V W adalah transformasi linier dari ruang vektor V yang

berdimensi n kepada suatu ruang vektor W, maka:

Rank dari T + nulitas dari T = n

Jika A adalah matriks m x n maka dimensi ruang pemecahan dari Ax = 0

adalah

n – rank(A)

152

Contoh

Diketahui sebuah SPL homogen yang mempunyai ruang pemecahan

berdimensi 2 memiliki matriks koefisien sebagai berikut

A =

11100

10211

13211

10122

tentukan rank (A)

Penyelesaian

Sesuai teorema di atas bahwa Jika A adalah matriks m x n, maka dimensinya

didefinisikan sebagai:

dimensi = n – rank(A)

sehingga rank (A) = n – dimensi = 5 –2 = 3

Contoh

Jika T : Rn R

m adalah sebarang transformasi linier, maka dapatkah dicari

sebuah matriks A yang berukuran m × n sehingga T adalah perkalian oleh A?

Penyelesaian

Jika e1, e2, ..., en adalah basis baku untuk Rn dan A adalah matriks m × n yang

vektor-vektor kolomnya adalah T(e1), T(e2), ..., T(en), maka dapat dibuktikan

bahwa T(x) = Ax, untuk setiap x Rn. Dengan demikian setiap transformasi

linier T : Rn R

m dapat dinyatakan sebagai transformasi matriks, yaitu

merupakan perkalian oleh matriks yang berukuran m × n

153

Contoh

Tinjaulah basis S = {v1, v2, v3} untuk R3 dimana v1= (1, 1, 1); v2=(1, 1, 0);

v3=(1, 0, 0), dan misalkan T: R3 R

2 adalah transformasi linier sehingga

T(v1) = (1, 0); T(v2) = (2,-1); T(v3) = (4,3).

Tentukan T(2, -3, 5)

Penyelesaian

Nyatakan v = (2, -3, 5) sebagai kombinasi linier dari v1, v2, dan v3 maka v =

k1v1 + k2v2 + k3v3

Didapat k1=5; k2=-8; dan k3=5

Sehingga:

(2,-3,5) = 5 v1 – 8 v2 + 5 v3

T(2,-3,5) = 5T(v1) –8T(v2) + 5T(v3)

= 5(1,0) –8(2,-1) + 5(4,3)

= (9,23)

7.5 Jenis-Jenis Transfomasi Linier

Terdapat beberapa jenis transformasi linier yaitu:

1. Transformasi Linier Injektif

Transformasi linier T: V W disebut injektif jika T memetakan

vekor yang berbeda dalam V ke vektor yang berbeda dalam W. Demikian

pula dapat diktakan bahwa T: V W adalah injektif untuk semua u , v di

V. Jika T (u ) = T ( v ), maka u = v

2. Transformasi Linier Surjektif (onto)

Transformasi linier T: V W disebut surjektif (onto) jika Range(T)

= W. Dengan kata lain T: v W disebut surjektif (onto) jika untuk semua

w di W, terdapat paling sedikit satu v di V sehingga w = T ( v ).

154

3. Transformasi Linier Isomorfisme

Transformasi linier T: V W disebut isomorfisme jika T merupakan

transformasi linier injektif dan surjektif. Jika V dan W adlah dua ruang

vektor sehingga ada isomorfisme dari V ke W, maka kita katakan bahwa V

somorfis dengan W dan disimbolkan dengan V W.

Contoh

Perhatikan transformasi lnier berikut

T: R2 R

3 dengan T (x, y) = (2x, x – y, 0)

Tunjukkan apakah transfmasi linier tersebut injektif atau surjektif?

Penyelesaian

a. Ambil 1v = (x1, y1) dan 2v = (x2, y2) dan

T(x1, y1) = T (x2, y2)

maka (2x1, x1 – y1, 0) = (2x2 x2 – y2, 0)

akan didapat dua persamaan yaitu 2x1 = 2x2 dan x1 – y1 = x2 – y2

sehingga diperoleh x1 = x2 dan y1 = y2. Atau dengan kata lain 1v = 2v .

Dengan demikian T adalah transformasi linier yang injektif

b. Karena range dari transormasi linier di atas tidak semua di R3, maka T

tidak surjektif.

Misalkan tidak ada (x, y) di R2 yang memenuhi

T(x, y) = (0, 0, 1)

4. Transformasi Linier Nol

Pemetaan T : V W dengan aturan T(v) = 0, untuk setiap v V

merupakan transformasi linier yang dinamakan transformasi nol

5. Transformasi Linier Identitas

Pemetaan T : V V dengan aturan T(v) = v, untuk setiap v V

merupakan transformasi linier yang dinamakan transformasi identitas

155

Latihan

1. Misalkan T: R2 R

3 adalah fungsi yang didefinisikan oleh T(v) = (x, 2x-

y, x*y) dengan v = (x,y) di R2. Buktikan bahwa T merupakan

transformasi linier.

2. Buktikan linieritas transformasi T: R2 R

3 dengan T(x,y) = (x+2y, 2x-

3y, 3x+y)

3. Misalkan T: R3 R

2 adalah transformasi matriks, dan didefinisikan:

T(1,0,0) = (2,1)

T(0,1,0) = (3,2)

T(0,0,1) = (4, -5)

Hitunglah:

a. Matriks transformasinya

b. T(2, 3, 5)

c. T(x, y, z)

156

Glosarium

SPL : Sistem Persamaan Linier

SPL homogen : sistem persamaan linier yang konstanta-konstanta di

ruas kanan semuanya nol

OBD : Operasi Baris Dasar

Metode

eliminasi

: Proses menggunakan operasi-operasi baris elementer

untuk mengubah suatu matriks menjadi bentuk eselon

baris

Bentuk baris

eselon tereduksi

: Bentukmatris yang telah dikenakan OBD sehingga

terdapat utama satu dan nol ditempat yang lain

SPL kobsisten : SPL yang mempunyai selesaian

SPL tak

konsisten

: SPL yang tidak mempunyai selesaian

Matriks : sebuah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-

bilangan

Matriks yang

dipartisi

: Matriks yang dibagi menjadi blok-blok dengan cara

menyisipkan menyisipkan garis-garis horizontal atau

vertikal diantara baris dan kolom yang ingin dipartisi

Matriks baris : Matriks yang hanya terdiri dari satu baris

Matriks kolom : Mariks yang hanya terdiri dari satu kolom

Aturan cramer : Aturan yang digunakan untuk menentukan selesaian

SPL dengan perhitungan determinan

Proyeksi

orthogonal

: Vektor tegak lurus yang merupakan proyeksi dari

vekttor lain

Ruang vector : Kumpulan vector yang memenuhi 10 aksioma

Sub ruang : Kumpulan vector yang memenuhi 4 aksioma

157

Kebebasan linier : Himpunan vector yang meempunyai selesaian yang

trivial

Basis : Himpunan verktor yang bebas linier dan merentang

Dimensi : Suatu bilangan yang menyatakan banyaknya basis dan

ukuran vektor

Nilai eigen : Bilangan yang memenuhi Ax = λx

Ruang eigen : Rueng vector yang dibangun oleh vector kolom dari

suatu

matriks

Diagonalisasi : Proses untuk mendapatkan matriks diagonal dari suatu

matriks persegi

Basis orthogonal : Basis yang setiap anggotanya tegak lurus

Transformasi

linier

: Pemetaan ruang vector ke ruang vector yang lain yang

mempunyai sifat linier

Kernel : Himpunan vector yang dipetakan pada vector nol

Jangkauan : Himpunan vector yang mempunyai pra peta

158

Daftar Rujukan

Anton, Howard and Rorres, Chris. (2006) Elementary Linear Algebra with

Applications. Ninth Edition. New Jersey: John Wiley and Sons.

Leon , S.J.( 2001 ) . Aljabar Linear Dan Aplikasinya edisi 5 . Penerbit

Erlangga

Lipschutz, Seymour. (1991) Schaum’s Outline of Theory and Problems of

Linear Algebra. Second Edition. USA: McGraw Hill Companies,

Inc.

Janich, Klaus. (1994) Linear Algebra. New York: Springer.

Nicholson, W. Keith. Linear Algebra with Applications. Third Edition.

Boston: PWS Publishing Company.

Robinson, Derek J. S. (2006) A Course in Linear Algebra with Applications.

2nd

Edition. Singapore: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd

Strang, Gilbert. (1988) Linear Algebra and Its Applications. Third Edition.

USA: Thomson Learning, Inc.

ALJABAR LINIER ELEMENTER - digilib.unmuhjember.ac.id

Documents

Transcript of ALJABAR LINIER ELEMENTER - digilib.unmuhjember.ac.id