ALJABAR LINIER -...

18
08/11/2015 1 ALJABAR LINIER Anita T. Kurniawati,M.Si. APA ALJABAR LINIER? Berkembang dari ide untuk menyelesaikan dan menganalisa sistem persamaan linier Teori dari matriks dan determinan Konsep abstrak dari Ruang vektor Akan kita lihat transformasi linier, nilai eigen,….

Transcript of ALJABAR LINIER -...

Page 1: ALJABAR LINIER - dosen.itats.ac.iddosen.itats.ac.id/anitateku/wp-content/uploads/sites/17/2015/11/1...Latihan soal: 1 1I III IV Review : MATRIKS

08/11/2015

1

ALJABAR LINIER

Anita T. Kurniawati,M.Si.

APA ALJABAR LINIER?

Berkembang dari ide untuk menyelesaikan dan

menganalisa sistem persamaan linier

Teori dari matriks dan determinan

Konsep abstrak dari Ruang vektor

Akan kita lihat transformasi linier, nilai eigen,….

Page 2: ALJABAR LINIER - dosen.itats.ac.iddosen.itats.ac.id/anitateku/wp-content/uploads/sites/17/2015/11/1...Latihan soal: 1 1I III IV Review : MATRIKS

08/11/2015

2

Mengapa Aljabar Linier sangat

menarik?

Banyak aplikasinya diberbagai bidang (komputer

grafik, kimia, persamaan diferensial, ekonomi, bisnis,

dll)

Hubungannya antara teori dan komputasi

Dapat menggunakan Matlab atau Maple

Apa Persamaan Linier?

Persamaan Linier adalah suatu persamaan yang disajikan dalam

bentuk:

Suatu penyelesaian dari persamaan linier adalah sederetan n

angka sedemikian sehingga persamaan tersebut

terpenuhi jika kita mensubstitusikan

nsss ,...,, 21

nn sxsxsx ,...,, 2211

bxaxaxa nn ...2211

Page 3: ALJABAR LINIER - dosen.itats.ac.iddosen.itats.ac.id/anitateku/wp-content/uploads/sites/17/2015/11/1...Latihan soal: 1 1I III IV Review : MATRIKS

08/11/2015

3

Apa sistem dari persamaan Linier?

Sistem Persamaan Linier (SPL) adalah himpunan

dari persamaan linier.

Secara umum bentuknya:

mnnmmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

,22,11,

2,222,211,2

1,122,111,1

...

.

.

.

...

...

Penyelesaian dari SPL adalah nilai dari variabel yang

memenuhi semua persamaan linier tersebut.

Jika SPL tidak mempunyai penyelesaian disebut sebagai

tak konsisten.

Jika paling tidak ada satu penyelesaian, maka SPL

tersebut disebut konsisten.

Page 4: ALJABAR LINIER - dosen.itats.ac.iddosen.itats.ac.id/anitateku/wp-content/uploads/sites/17/2015/11/1...Latihan soal: 1 1I III IV Review : MATRIKS

08/11/2015

4

Sistem Homogen

Jika dari persamaan, nilai b=0, maka dinamakan Spl

homogin

Selalu konsisten

Penyelesaian trivial/tunggal jika

Selain itu disebut non trivial /tidak tunggal

x 3y 4

2x y 1

CONTOH:

SPL ini konsisten, karena

mempunyai penyelesaian

x=1, y=1.

x y 2

x y 4

SPL ini tidak konsisten,

MENGAPA?

Page 5: ALJABAR LINIER - dosen.itats.ac.iddosen.itats.ac.id/anitateku/wp-content/uploads/sites/17/2015/11/1...Latihan soal: 1 1I III IV Review : MATRIKS

08/11/2015

5

Dapatkan penyelesaian dari SPL berikut:

x 3y 4

2x 6y 8

Berapa banyak penyelesaian dari SPL?

Kita lihat grafik dari Matlab

Kita lihat, SPL dapat tidak mempunyai penyelesaian, satu

penyelesaian, atau tak terhingga penyelesaian.

Kita dapat menemukan penyelesaian dari SPL dengan

melihat grafik

Hal ini sulit dilakukan jika variabelnya lebih dari tiga.

Page 6: ALJABAR LINIER - dosen.itats.ac.iddosen.itats.ac.id/anitateku/wp-content/uploads/sites/17/2015/11/1...Latihan soal: 1 1I III IV Review : MATRIKS

08/11/2015

6

Grafik:

Penyelesaian SPL secara aljabar, dengan

prosedur matematis:

2x 3y z 5

y z 1

z 3

Penyelesaiannya?

Page 7: ALJABAR LINIER - dosen.itats.ac.iddosen.itats.ac.id/anitateku/wp-content/uploads/sites/17/2015/11/1...Latihan soal: 1 1I III IV Review : MATRIKS

08/11/2015

7

SPL tersebut dalam bentuk eselon baris.

Dua SPL (persamaan) ekivalen jika keduanya mempunyai

penyelesaian sama.

Metode penyelesaian SPL, antara lain:

1. Eliminasi Gauss-Jordan baris eselon tereduksi

2. Eliminasi Gaussian baris eselon

Sebuah matriks harus mempunyai sifat-sifat sbb:

1. Jika suatu baris tidak seluruhnya terdiri dari nol, makaangka tak nol pertama dalam baris tersebut adalah angka 1 (utama 1)

2. Jika ada sebarang baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris ini dikelompokkan bersama dibagian bawahmatriks

3. Jika sebarang dua baris yang berurutan yang tidakseluruhnya terdiri dari nol, utama 1 dalam baris yang lebihbawah terletak disebelah kanan utama 1 dalam baris yang lebih atas

4. Masing-masing kolom yang berisi sebuah utama 1 mempunyai nol ditempat lain.

Jika 4 tidak terpenuhi, maka matriks tersebut disebutmempunyai bentuk eselon baris

Page 8: ALJABAR LINIER - dosen.itats.ac.iddosen.itats.ac.id/anitateku/wp-content/uploads/sites/17/2015/11/1...Latihan soal: 1 1I III IV Review : MATRIKS

08/11/2015

8

Contoh 1:

Selesaikan SPL berikut dengan Eliminasi Gaussian:

Penyelesaian:

Page 9: ALJABAR LINIER - dosen.itats.ac.iddosen.itats.ac.id/anitateku/wp-content/uploads/sites/17/2015/11/1...Latihan soal: 1 1I III IV Review : MATRIKS

08/11/2015

9

Latihan soal:

1

1I

III

IV

Review : MATRIKS

Definisi

Susunan segiempat yang terdiri atas bilangan – bilangan

real yang tersusun atas baris dan kolom

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

m baris

n kolom

di katakan matriks A berukuran m x n

Page 10: ALJABAR LINIER - dosen.itats.ac.iddosen.itats.ac.id/anitateku/wp-content/uploads/sites/17/2015/11/1...Latihan soal: 1 1I III IV Review : MATRIKS

08/11/2015

10

Baris ke-i dari A adalah :

• Kolom ke-j dari A adalah :

• Matriks A dapat juga ditulis :

A = [aij]

• Jika m = n maka dikatakan A matriks Bujur sangkar(b.s), dan bilangan a11, a22, …, ann disebut dengandiagonal utama

)1(21 miaaa inii

)1(2

1

nj

a

a

a

mj

j

j

Jenis – jenis Matriks

1. Matriks Diagonal

Matriks b.s. dengan elemen diluardiagonal utama adalah nol, yaitu

aij = 0 untuk i j

2. Matriks Skalar

Matriks diagonal dengan elemen padadiagonal utama adalah sama, yaitu

aij = c untuk i = j dan aij = 0 untuk i j

3. Matriks Segitiga Atas

Matriks b.s. dengan elemen dibawahdiagonal utama adalah nol

Page 11: ALJABAR LINIER - dosen.itats.ac.iddosen.itats.ac.id/anitateku/wp-content/uploads/sites/17/2015/11/1...Latihan soal: 1 1I III IV Review : MATRIKS

08/11/2015

11

Jenis – Jenis Matriks4. Matriks Segitiga Bawah

Matriks b.s. dengan elemen diatas

diagonal utama adalah nol

5. Matriks Identitas

Matriks diagonal dengan elemen pada

diagonal utama adalah 1 , yaitu

aij = 1 untuk i = j dan aij = 0 untuk i j

6. Matriks Nol

Matriks yang seluruh elemennya adalah nol.

Operasi Matriks

Persamaan Dua Matriks

Penjumlahan Matriks

Perkalian Skalar dan Matriks

Transpose Matriks

Perkalian Matriks

Page 12: ALJABAR LINIER - dosen.itats.ac.iddosen.itats.ac.id/anitateku/wp-content/uploads/sites/17/2015/11/1...Latihan soal: 1 1I III IV Review : MATRIKS

08/11/2015

12

Persamaan Dua Matriks

Definisi

Dua matriks A = [aij] dan B = [bij] dikatakan sama jika :

aij = bij, 1 i m, 1 j n

yaitu, elemen yang bersesuaian dari duamatriks tersebut adalah sama.

• Contoh :

Matriks A dan B dikatakan sama jika w = -1, x = -3, y = 0, dan z = -5

zy

x

w

BdanA

4

42

21

540

432

121

Penjumlahan Matriks

Definisi

Jika A = [aij] dan B = [bij] adalah matriks ukuran m x n, makajumlahan A dan B adalah matriks C = [cij] ukuran m x n dengan

cij = aij + bij

Contoh

Diberikan Matriks A dan B adalah

maka

312

421A

131

421B

423

001BA

Page 13: ALJABAR LINIER - dosen.itats.ac.iddosen.itats.ac.id/anitateku/wp-content/uploads/sites/17/2015/11/1...Latihan soal: 1 1I III IV Review : MATRIKS

08/11/2015

13

Perkalian Skalar & Matriks

Definisi

Jika A = [aij] ukuran m x n dan r adalah sebarangskalar real, maka perkalian skalar rA adalahmatriks B = [bij] ukuran m x n dengan

bij = r aij

• Contoh

Jika r = -3 dan

maka

421 A

1263 rA

Transpose Matriks

Definisi

Jika A = [aij] adalah matriks ukuran m x n, maka transpose

dari A adalah matriks

At = [aijt] ukuran n x m dengan

aijt = aji

• Contoh

maka

250

324A

23

52

04tA

Page 14: ALJABAR LINIER - dosen.itats.ac.iddosen.itats.ac.id/anitateku/wp-content/uploads/sites/17/2015/11/1...Latihan soal: 1 1I III IV Review : MATRIKS

08/11/2015

14

Perkalian Matriks Definisi

Jika A = [aij] ukuran m x p dan B = [bij] ukuran p x n, maka perkalian A dan B, dinotasikan AB, adalah matriks C = [cij] ukuran m x n dimana

cij = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj

Ilustrasi

rowi(A)colj(B) = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj = cij

mpmm

ipii

p

p

aaa

aaa

aaa

aaa

21

21

22221

11211

rowi(A)

pnpjpp

nj

nj

bbbb

bbbb

bbbb

21

222221

111211

Colj(B)

mnmm

ij

n

n

ccc

c

ccc

ccc

21

22221

11211

Latihan Soal

1. Diberikan matriks – matriks sebagai berikut:

Jika mungkin, maka hitunglah

a. AB d. CB + D g. BA + FD

b. BA e. AB + DF h. A(BD)

c. A(C + E) f. (D + F)A

204

321A

51

42

13

B

211

543

132

C

21

32D

243

512

301

E

14

32F

Page 15: ALJABAR LINIER - dosen.itats.ac.iddosen.itats.ac.id/anitateku/wp-content/uploads/sites/17/2015/11/1...Latihan soal: 1 1I III IV Review : MATRIKS

08/11/2015

15

INVERS MATRIKS

Definisi

Matriks A berukuran n x n disebut invertible jika

ada matriks B berukuran n x n sedemikian hingga :

AB = BA = In

Jika tidak demikian, maka dikatakan A tidak

invertible.

Matriks B disebut invers dari A, dinotasikan A-1

Contoh :

22

32A

11

123

B

Sifat invers matriks

1. Jika A invertible maka A-1 juga invertible, dan

(A-1)-1 = A

2. Jika A dan B invertible, maka AB juga invertible

dan (AB)-1 = B-1 A-1

3. Jika A invertible, maka

(At)-1 = (A-1)t

4. Jika A1,A2,…,Ak adalah matriks – matriks invertible,

maka A1A2…Ak juga invertible dan

(A1 A2…Ak)-1 = Ak

-1 Ak-1-1…A1

-1

Page 16: ALJABAR LINIER - dosen.itats.ac.iddosen.itats.ac.id/anitateku/wp-content/uploads/sites/17/2015/11/1...Latihan soal: 1 1I III IV Review : MATRIKS

08/11/2015

16

Bagaimana mendapatkan Invers

Matriks?

1.

2. Operasi baris Elementer (OBE)

3.

IAA 1.

)(11 AadjA

A

DETERMINAN

Cara mendapatkan determinan:

1. Determinan tingkat dua

2. Determinan tingkat tiga Ekspansi Laplace (Perluasan

Kofaktor) atau Sarrus.

3. Determinan tingkat empat, dstEkspansi Laplace

(Perluasan Kofaktor).

Page 17: ALJABAR LINIER - dosen.itats.ac.iddosen.itats.ac.id/anitateku/wp-content/uploads/sites/17/2015/11/1...Latihan soal: 1 1I III IV Review : MATRIKS

08/11/2015

17

Sifat-Sifat Determinan () :

1. Nilai = nilai

2. Jika baris ke i = 0 (kolom ke-i = 0) maka nilai = 0.

3. Jika baris ke i ditukar dengan baris ke-j (kolom i ditukardengan kolom ke j) diperoleh det. Baru dengan nilai baru= -.

4. Jika baris ke i = baris ke j (kolom ke i = kolom ke j) makanilai = 0

5. Nilai det menjadi k kali jika semua elemen pada sebuah baris(kolom) digandakan dengan k≠0.

6. jika ada 2 baris (2 kolom) yang sebanding maka nilai = 0.

7. Nilai sebuah det. tetap tidak berubah, jika setelah semuaelemen-elemen sebuah baris (kolom) di gandakan dengankemudian ditambahkan (dikurangkan) pada elemen-elemenyang bersesuaian dari baris (kolom) lainnya.

T

Contoh 2:

Page 18: ALJABAR LINIER - dosen.itats.ac.iddosen.itats.ac.id/anitateku/wp-content/uploads/sites/17/2015/11/1...Latihan soal: 1 1I III IV Review : MATRIKS

08/11/2015

18

Contoh 3:

Contoh 4: