Aljabar Linear Elementer · Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dinamakan himpunan...

06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 1

Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS

Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab II Determinan Matriks Bab III Sistem Persamaan Linear Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang Bab V Ruang Vektor Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam Bab VII Transformasi Linear Bab VIII Ruang Eigen


Ruang Hasilkali Dalam (RHD) Sub Pokok Bahasan

– Definisi RHD – Himpunan Ortonormal – Proses Gramm Schmidt

Aplikasi RHD : bermanfaat dalam beberapa metode optimasi, seperti metode least square dalam peminimuman

error dalam berbagai bidang rekayasa.


Definisi RHD Misalnya V adalah suatu ruang vektor, dan maka notasi < , > dinamakan hasil kali dalam jika memenuhi keempat aksioma sebagai berikut: 1. (Simetris)

2. (Aditivitas)

3. untuk suatu kR,

(Sifat Homogenitas)

4. , untuk setiap

dan (Sifat Positifitas)

Vvu ,

vu , uv ,

wvu , wvwu ,,

vuk , vku , vuk ,

0, uu

0, uu 0 u

u


Jika V merupakan suatu ruang hasil kali dalam, maka norm (panjang) sebuah vektor dinyatakan oleh : yang didefinisikan oleh : Contoh 1 : Ruang Hasil Kali Dalam Euclides ( Rn ) Misalkan , Rn maka = (u1

2 + u22 + …..+un

2)½

0, 21 uuu

u

u

nnvuvuvuvu ..., 2211u v

0, 21 uuu


Contoh 2 :

Misalnya W R3 yang dilengkapi dengan operasi hasil kali dalam ,

dimana Buktikan bahwa W adalah ruang hasilkali dalam

Jawab :

Misalkan

2u1v1 + u2v2 + 3u3v3

= 2 v1u1 + v2u2+ 3v3u3

(terbukti simetris)

332211 32, vuvuvuvu

Wvu ,

Wwvu ,,

vu ,

uv ,


<(u1+v1, u2+v2, u3+v3), (w1, w2, w3)>

= 2(u1+ v1)w1 + (u2+v2)w2 + 3(u3+v3)w3

= 2u1w1+2v1w1+u2w2 +v2w2+3u3w3+3v3w3

= 2u1w1+u2w2+3u3w3+2v1w1+v2w2+3v3w3

(bersifat aditivitas)

(iii) untuk suatu kR, <(ku1, ku2, ku3), (v1, v2, v3)> = 2ku1v1 + ku2v2 + 3ku3v3

= k2u1v1 + ku2v2 + k.3u3v3 (bersifat homogenitas)

wvu ,)ii(

wvwu ,,

vuk ,

vku , vuk ,


Jelas bahwa dan

Contoh 3 : Periksa apakah merupakan hasil kali dalam Jawab : Perhatikan Pada saat 3u3

2 > u12 + 2u2

2

maka

23

22

21 32,)iv( uuuuu

uuu setiapuntuk 0, 21

0jika hanya0, uuu

1 1 2 2 3 3, 2 3u v u v u v u v

23

22

21 32, uuuuu

0, uuTidak memenuhi

Sifat positivitas


cfadvu ,

),,( cbau ),,( fedv

vu ,

Contoh 4 : Diketahui

dimana dan

Apakah merupakan hasil kali dalam?

uu, 0

)0,2,0(u 0, uu

0u

vu ,

Jelas bahwa = ( a2 + c2 )

Misalkan diperoleh

Padahal ada

Aksioma terakhir tidak terpenuhi. Jadi

ad + cf bukan merupakan hasil kali dalam.

Jawab :


Himpunan Ortonormal Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam

dinamakan himpunan ortogonal

jika semua pasangan vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut adalah ortogonal (saling tegak lurus).

Himpunan ortonormal himpunan ortogonal yang

setiap vektornya memiliki panjang (normnya) satu.


Secara Operasional

Misalkan, pada suatuRHD

T dikatakan himpunan vektor ortogonal jika

untuk setiap i ≠ j

Sedangkan, T dikatakan himpunan vektor ortonormal

jika untuk setiap i berlaku

ncccT ,...,, 21

0, ji cc

1ic


Contoh 5 : 1. Pada RHD Euclides, A bukan himpunan ortogonal. 2. Pada RHD Euclides, B merupakan himpunan ortonormal. 3. Pada RHD Euclides, C merupakan himpunan ortonormal.

0 1-

0 1

,

A

1- 0

0 1

,

B

21

21

212

1

C


Misalkan adalah basis ortonormal untuk RHD V Jika adalah sembarang vektor pada V, maka

Perhatikan bahwa, untuk suatu i berlaku : Karena S merupakan himpunan ortonormal dan

nvvvS ,...,, 21

u

nnvkvkvku ...2211

inni vvkvkvkvu ,..., 2211

inniiiii vvkvvkvvkvvk ,...,...,, 2211

ivv ii setiapuntuk 1, jivv ji setiapuntuk 0, dan


Sehingga, untuk setiap i berlaku

ii kvu ,

nn vvuvvuvvuu ,...,, 2211

nnvkvkvku ...2211Kombinasi linear

Ditulis menjadi

Contoh 6 : Tentukan kombinasi linear dari

21

a

pada RHD Euclides berupa bidang yang dibangun

21

21

u

21

21

vdan


Jawab :

vvauuaa ,,

vua

21

21

21

21

,21

,21

21

vua 21

21

Perhatikan ….. u dan v mrp

Basis ortonormal

vkuka 21


Proses Gramm-Schmidt ncccS ,, 21

nwwwB ,...,, 21

basis bagi suatu RHD V

basis ortonormal bagi V

1

11.1

ccw

Langkah yang dilakukan


2. Langkah kedua

2c

1w 1p

1q

2w

2w2c

1

2 1 11 2 2 1 12

1

, ,wc w wp proy c c w w

w

121 pcq

2122

11222

,,,

wwccwwccw

Vektor satuan searah 1q


3. Langkah ketiga 3w3c

W

3c

1w 2w2p

2q

3w

22311332 ,, wwcwwccproyp W 232 pcq

3 3 1 1 3 2 23

3 3 1 1 3 2 2

, ,, ,

c c w w c w wwc c w w c w w

Vektor satuan Yang tegak lurus

Bidang W


Contoh 7 : Diketahui :

B merupakan basis pada RHD Euclides di R3. Transformasikan basis tersebut menjadi basis

Ortonormal

Jawab : Langkah 1.

100

,110

,111

321 uuuB

11

1 uuv

3

1,1,1

313

13

1


Langkah 2

22

222

1

1

uproyu

uproyuv

v

v

31,

31,

32

31,

31,

31

321,1,0

, 112222 1 vvuuuproyu v

36

91

91

94

22 1 uproyu v

616

16

2

2v

Sementara itu,

Karena itu,

sehingga :


Langkah 3

Sementara itu,

sehingga :

33

333

uproyu

uproyuv

W

W

21,

21,0

61,

61,

62

61

31,

31,

31

311,0,0

,, 223113333 vvuvvuuuproyu W

21

21

3

0v


Jadi, 321 ,, vvv

merupakan basis ortonormal untuk ruang vektor R3

dengan hasil kali dalam Euclides

21

21

616

16

2

313

13

1 0,,=


Contoh 8 :

110

, 101

111

u

Diketahui bidang yang dibangun oleh

merupakan subruang dari RHD Euclides di R3

Tentukan proyeksi orthogonal dari vektor

pada bidang tersebut.


Jawab :

110

, 101

21 vv

Diketahui

Selain membangun subruang pada RHD

Karena

merupakan basis bagi subruang pada RHD tsb.

himpunan tsb juga saling bebas linear (terlihat bahwa ia tidak saling kelipatan).

21 , vv

Langkah awal : Basis tersebut basis ortonormal.


21 , 0 ,

21

21 , 0 , 1

101

1 , 0 , 1

222

11

1 vvw

21

2100

2

1 ,0 , 2

1 1 , 1 , 0, 12

wvPerhatikan bahwa :


21 , 0 ,

21

21 , 0 ,

21

21 , 112 wwv

21 , 1 ,

21

21 , 0 ,

211 , 1 , 0 , 1122 wwvv

621

46

411

41

211

21 ,

22

21122

wwvv

Sehingga:

Akibatnya :


Akhirnya, diperoleh

61 ,

62 ,

61

621

21 , 1 ,

21

, ,

1122

11222 wwvv

wwvvw

6162

61

,

2102

1

Jadi Basis Orthonormal bagi bidang tsb

=


111

u

uoy WPr 2211 , , wwuwwu

22

22

1 0 2

12

1 , 0 , 2

1 1 , 1 , 1, 1

wu

Proyeksi Orthogonal Vektor

pada bidang tersebut adalah

Perhatikan bahwa :


Sementara itu :

62

61

62

61

,111

,

616

26

1

2

wu


uoy WPr2211 , , wwuwwu

3132 31

101

3432 32

Dengan demikian,

=


110

, 101

111

u

Contoh 9 : Diketahui bidang yang dibangun oleh

merupakan subruang dari RHD Euclides

Tentukan proyeksi orthogonal dari vektor

pada bidang tersebut.

21 , vv

1v 2v

Jelas bahwa

merupakan basis bagi bidang tersebut, karena

dan saling bebas linear

Jawab


Basis tersebut akan ditransformasikan menjadi basis ortonormal.

21 , 0 ,

21

21 , 0 , 1

101

1 , 0 , 1

222

11

1 vvw


Perhatikan bahwa :

21

2100

2

1 ,0 , 2

1 1 , 1 , 0, 12

wv

Sehingga:

21 , 0 ,

21

21 , 0 ,

21

21 , 112 wwv

21 , 1 ,

21

21 , 0 ,

211 , 1 , 0 , 1122 wwvv

akibatnya


u

uoy WPr 2211 , , wwuwwu

Proyeksi Orthogonal Vektor pada bidang W adalah:

3132 31

101

3432 32

=


61 ,

62 ,

61

621

21 , 1 ,

21

, ,

1122

11222 wwvv

wwvvw

6162

61

,

2102

1

Jadi Basis Orthonormal bagi bidang tersebut adalah :


Latihan Bab VI

vu ,

vu ,

vu ,

1. Periksa apakah operasi berikut merupakan hasil kali dalam atau bukan

= u12v1 + u2v2

2 di R2

= u1v1 + 2u2v2 – u3v3 di R3

= u1v3 + u2v2 + u3v1 di R3

a.

b.

c.

2. Tentukan nilai k sehingga vektor (k, k, 1) dan vektor (k, 5, 6 ) adalah orthogonal dalam ruang Euclides !


011

101

211

3. W merupakan subruang RHD euclides di 3

yang dibangun oleh vektor

dan

Tentukan proyeksi orthogonal vektor

pada W

Aljabar Linear Elementer · Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dinamakan himpunan...

Documents

Transcript of Aljabar Linear Elementer · Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dinamakan himpunan...