[Aljabar Linear dan Matriks]

Heri Sismoro, M.Kom.STMIK AMIKOM Yogyakarta

Sistem Persamaan Linear

Sistem Linear m kali n Suatu himpunan m persamaan linear dalam n peubah

Solusi bagi sistem linear Susunan rangkap n peubah-peubah tersebut yang memenuhi setiap persamaan di dalam sistem ini

Gambaran Kasus SPL

Seorang produsen membuat 3 produk boneka, yaitu beruang, kelinci dan ayam. Setiap boneka harus melalui 3 tahap pembuatan, yaitu menjahit, mengisi dan menghias. Untuk beruang memerlukan waktu menjahit 24 menit, mengisi 18 menit dan menghias 9 menit. Kelinci memerlukan waktu menjahit 16 menit, mengisi 12 menit dan menghias 8 menit. Sedangkan ayam memerlukan waktu menjahit 18 menit, mengisi 9 menit dan menghias 4 menit.

Bagian menjahit menyediakan 50 jam orang per hari. Bagian mengisi menyediakan 33 jam orang per hari.Bagian menghias menyediakan 18 jam orang per hari.

Berapa banyak setiap boneka harus dihasilkan setiap hari untuk memaksimumkan ketersediaan tenaga kerja tersebut?untuk memaksimumkan ketersediaan tenaga kerja tersebut?

Untuk menganalisa keadaan ini, kita misalkan:x = banyaknya boneka beruang yang dihasilkany = banyaknya boneka kelinci yang dihasilkanz = banyaknya boneka ayam yang dihasilkan

Dengan demikian, Pemanfaatan total bagian �menjahit = 24x + 16y + 18z menit, tanaga tersedia 50 jam

atau 3000 menit, sehingga: 24x + 16y + 18z = 3000�mengisi = 18x + 12y + 9z menit, tanaga tersedia 33 jam atau

1980 menit, sehingga: 18x + 12y + 9z = 1980�menghias = 9x + 8y + 4z menit, tanaga tersedia 18 jam atau

1080 menit, sehingga: 9x + 8y + 4z = 1080

Jadi, unsur-unsur x,y, dan z yang tidak diketahui harus memenuhi semua persamaan berikut:

24x + 16y + 18z = 300018x + 12y + 9z = 19809x + 8y + 4z = 10809x + 8y + 4z = 1080

Persamaan Linear dan Matriks

Persamaan linear dapat dinyatakan sebagai matriks. Misalnya persamaan:

3x1 + 4x2 − 2 x3 = 51 2 3

x1 − 5x2 + 2x3 = 72x1 + x2 − 3x3 = 9

dapat dinyatakan dalam matriks teraugmentasi sebagai berikut:

Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara, yaitu dengan eliminasi Gauss atau dapat juga dengan cara eliminasi Gauss-Jordan

Sebuah sisitem persamaan linier dapat dikatakan Sebuah sisitem persamaan linier dapat dikatakan homogen apabila mempunyai bentuk :

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0

Eliminasi Gauss

• Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (Carl Friedrich Gauss). • Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut

ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Contoh: Diketahui persamaan linear:

x + 2y + z = 6x + 3y +2z = 92x+ y +2z = 12

Tentukan nilai x, y, dan z

Jawab: Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

Operasikan Matriks tersebut ……..�

Ubah a11 � 1

Ubah a21 � 021

Ubah a31 � 0

Ubah a22 � 1

Ubah a32 � 032

Ubah a33 � 1

Untuk mendapatkan 3 persamaan linier baru, yaitu:x + 2y + z = 6

y + z = 3z = 3

Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:z = 3,y + z = 3 � y + 3 = 3 � y = 0x + 2y + z = 6 � x + 2.0 + 3 = 6 � x = 3

Jadi nilai x = 3, y = 0, dan z = 3

Eliminasi Gauss-Jordan

• Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana.

• Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi., kemudian dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa substitusi balik

Contoh: Diketahui persamaan linear:

x + 2y + 3z = 32x+ 3y + 2z = 32x+ y + 2z = 5

Tentukan nilai x, y, dan z

Jawab: Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

Operasikan Matriks tersebut ……..�

Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1

Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1

Baris ke 3 dikurangi 3 kali baris ke 2

Baris ke 3 dibagi 8 dan baris ke 2 dibagi -1

Baris ke 2 dikurangi 4 kali baris ke 3

Baris ke 1 dikurangi 3 kali baris ke 3

Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris ke 2 (Matriks menjadi Eselon-baris tereduksi)

Maka didapatkan nilai dari x = 2, y = -1, dan z = 1