Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
Transcript of Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
1/162
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
2/162
2
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
3/162
Cuprins
1 Matrice ̧si determinaņti 5
2 Sisteme de ecua̧tii liniare 21
3 Spa̧tii vectoriale 37
3.1 Exemple de spa̧tii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Subspa̧tii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3 Dependenţ¼a şi independenţ¼a liniar¼a. Sistem de generatori . . . 41
3.4 Baz¼a şi coordonate. Schimb¼ari de baze şi coordonate . . . . . 47
4 Spa̧tii euclidiene 57
5 Transform¼ari liniare 65
5.1 De…ni̧tie. Matricea unei transform¼ari liniare . . . . . . . . . . 65
5.2 Nucleu ̧si imagine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.3 Valori şi vectori proprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.4 Transform¼ari liniare simetrice. Transform¼ari liniare ortogonale 90
6 Forme biliniare şi forme p¼atratice 95
6.1 Forme biliniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.2 Forme p¼atratice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7 Calcul vectorial 117
3
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
4/162
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
5/162
Capitolul 1
Matrice şi determinaņti
1. Se consider¼a matricele A =
0BB@
2 0
1 1
2 1
1CCA ; B =
3 1
1 2
!;
C = 1 1 02 0 1
! ; D =0BB@
0 5 51
1 2
3 2 11
1CCA ; E =
0BB@
2
0
1
1CCA şi
F =
1 2 3
: S¼a se calculeze A B C + Dt, E F; F E:
Rezolvare: A B C + Dt =
0BB@
10 6 210 4 315 7 4
1CCA+
0BB@
0 1 3
5 1 25 2 11
1CCA
=
0
BB@10 5 55 5 5
10 5 15
1
CCA= 5
0
BB@2 1 11 1 1
2 1 3
1
CCA;
E F =
0BB@
2 4 6
0 0 0
1 2 3
1CCA ; F E = (5) :
5
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
6/162
6 CAPITOLUL 1. MATRICE ŞI DETERMINANŢI
2. Fie matricea
A =0BB@1 1 11 1 0
0 0 1
1CCA .S¼a se calculeze An.
Rezolvare: Scriem matricea A sub forma
A =
0BB@
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1CCA
+
0BB@
0 1 1
1 0 0
0 0 0
1CCA
= E + B,
unde B =
0BB@
0 1 1
1 0 0
0 0 0
1CCA. Dar
B2 =
0BB@
1 0 0
0 1 1
0 0 0
1CCA , B3 =
0BB@
0 1 1
1 0 0
0 0 0
1CCA = B.
Deci,
An = (E + B)n = E + C 1nB + C 2
nB2 + C 3nB + C
4
nB2 + :::
= E + B
C 1n + C 3
n + :::
+ B2
C 2n + C 4
n + :::
= E + 2n1B +
2n1 1B2.3. Fie A = (aij)i;j=1;n şi B = (bij)i;j=1;n dou¼a matrice p¼atratice de tip
n n şi I matricea unitate de acelaşi tip. S¼a se arate c¼a
AB BA 6= I :
Rezolvare: S¼a not¼am AB = ( pij)i;j=1;n, BA = (q ij)i;j=1;n şi AB BA = (dij)i;j=1;n : Vom calcula urma matricei AB BA: Amintim c¼a
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
7/162
7
prin urma unei matrice p¼atratice se îņtelege suma elementelor de pe
diagonala principal¼a. În cazul nostru,
tr (AB BA) =nX
i=1
dii =nX
i=1
( pii q ii) :
Avem
pii q ii =nX
k=1
aikbki nX
k=1
bikaki:
Deci,
tr (AB BA) =n
Xi=1
n
Xk=1aikbki
n
Xk=1bikaki
!= 0:
Prin urmare, egalitatea AB BA = I nu este posibil¼a deoarece urmamatricei AB BA este zero, în timp ce urma matricei unitate este n:
4. S¼a se calculeze determinanţii
D1 =
2 3
4
2
; 2 R;
D2 =
a2
b2
c2
(b + c)2 (c + a)2 (a + b)2
a + b + c a b + c a + b c
, a; b; c 2 R,
D3 =
1 2 1 0
2 1 1 10 2 1 0
1 2 1 3
;
D4 =
1 1 1 13 + 2 + 2 3
32 2 + 2 2 + 2 3 2
3 2 2 3
, ; 2 R.
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
8/162
8 CAPITOLUL 1. MATRICE ŞI DETERMINANŢI
Rezolvare: D1 = 23; D2 = 0 (se scade linia întâi din linia a doua).
D3 = 9 ; D4 = ( )6
(se scade prima coloan¼a din celelalte şi apoi sedezvolt¼a determinantul dup¼a elementele primei linii).
5. S¼a se calculeze determinantul
D =
1 1 1 2 12 1 2 2 41 5 2 1 63 2 1
5 1
1 1 1 0 2
:
Rezolvare: Folosind propriet¼aţile determinanţilor, obţinem succesiv
D =
1 0 0 0 0
2 1 0 2 21 4 3 1 5
3 1 4 1 21 0 0 2 1
=
1 0 2 24 3 1 5
1 4 1 20 0 2 1
=
1 0 2 24 3 9 5
1 4 5 20 0 0 1
=
1 0 2
4 3 91 4 5
=
1 0 0
4 3 171 4 7
= (21 + 68) = 89.
6. S¼a se calculeze
Dn =
2 1 0 ::: 0 0
1 2 1 ::: 0 0
0 1 2 ::: 0 0::: ::: ::: ::: ::: :::
0 0 0 ::: 2 1
0 0 0 ::: 1 2
:
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
9/162
9
Rezolvare: Dezvolt¼am Dn dup¼a elementele primei linii. Avem
Dn = 2Dn1
1 1 0 ::: 0 0
0 2 1 ::: 0 0
::: ::: ::: ::: ::: :::
0 0 0 ::: 2 1
0 0 0 ::: 1 2
:
Dezvoltând al doilea determinant dup¼a prima coloan¼a se obţine formula
de recurenţ¼a
Dn = 2Dn1
Dn2:
Avem D1 = 2, D2 = 3, D3 = 2D2 D1 = 4. Prin induçtie se demon-streaz¼a c¼a
Dn = n + 1:
7. S¼a se arate c¼a
Dn =
1! 2! 3! ::: n!
2! 2! 3! ::: n!
3! 3! 3! ::: n!
::: ::: ::: ::: :::
n! n! n! ::: n!
= (1)n+1 (n 1)!1!2!:::n!
Rezolvare: Se scade linia întâi din toate celelalte, se dezvolt¼a apoi
dup¼a ultima coloan¼a şi se ţine cont de relaţia k!(k 1)! = (k 1) (k 1)!.
8. S¼a se calculeze valoarea determinantului
D =
1 2 3 ::: n 1 n1 0 3 ::: n 1 n
1 2 0 ::: n 1 n::: ::: ::: ::: ::: :::
1 2 3 ::: 0 n1 2 3 ::: (n 1) 0
:
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
10/162
10 CAPITOLUL 1. MATRICE ŞI DETERMINANŢI
Rezolvare: Se adun¼a prima linie la toate celelalte şi obţinem D = n!.
9. S¼a se calculeze valoarea determinantului de ordinul n
D =
1 2 2 ::: 2
2 2 2 ::: 2
2 2 3 ::: 2
::: ::: ::: ::: :::
2 2 2 ::: n
:
Rezolvare: Se scade prima linie din celelalte şi se obţine D =
2 (n
2)!.
10. S¼a se calculeze determinantul Vandermonde
V (a1; a 2;:::;an) =
1 1 1 1
a1 a 2 ::: an
a21 a22 ::: a
2n
::: ::: ::: :::
an11 an12 ::: a
n1n
:
Rezolvare: Din …ecare linie începând cu ultima sc¼adem precedentaînmuļtit¼a cu a1 şi ob̧tinem
V (a1; a 2;:::;an) =
1 1 1 1
0 a 2 a1 ::: an a10 a 22 a1a 2 ::: a2n ana1::: ::: ::: :::
0 a n12 a n22 a1 ::: an1n an2n a1
=
=
a 2 a1 ::: an a1a 2 (a 2 a1) ::: an (an a1)
::: ::: :::
a n22 (a 2 a1) ::: an2n (an a1)
:
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
11/162
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
12/162
12 CAPITOLUL 1. MATRICE ŞI DETERMINANŢI
b) P n =
an an1 an2 ::: a0
1 x 0 ::: 00 1 x ::: 0
::: ::: ::: ::: :::
0 0 0 ::: x
:
Rezolvare: a) Dezvoltând dup¼a prima coloan¼a, obţinem
Dn = 2n1 + Dn1:
Deducem Dn = 2n1 + 2n2 + ::: + 2 + 1 = 2n
1.
b) Similar obţinem
P n = anxn1 + P n1;
de unde P n = anxn1 + an1xn2 + ::: + a1x + a0.
12. S¼a se arate c¼a oricare ar … matricea A de tip n n; cu elemente reale,avem
det
I + A2 0:
Rezolvare: Se foloseşte identitatea
I + A2 = (I + iA) (I iA) :
13. Fie A de forma
A =
0BB@
1 0
0 1
0 0
1CCA
în care este o constant¼a şi …e f (x) un polinom oarecare. S¼a se arate
c¼a
f (A) =
0BB@
f () f 0() 1
2f 00()
0 f () f 0()
0 0 f ()
1CCA
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
13/162
13
Rezolvare: Fie f (x) = anxn + an1xn1 + ::: + a1x + a0: Atunci
f 0(x) = nanxn1 + (n 1) an1xn2 + ::: + 2a2x + a1
şi
f 00(x) = n (n 1) anxn2 + (n 1) (n 2) an1xn3 + ::: + 2a2:
S¼a observ¼am c¼a A = I + B; unde
B =0BB@
0 1 0
0 0 10 0 0
1CCA :Atunci An = (I + B)n = nI + C 1n
n1B + C 2nn2B2 + ::: + Bn: Dar
B2 =
0BB@
0 0 1
0 0 0
0 0 0
1CCA şi Bn = O3; 8n 3:
Atunci
An =
0BBB@n nn1 n (n 1)
2 n2
0 n nn1
0 0 n
1CCCA :
Concluzia rezult¼a imediat.
14. S¼a se cerceteze dac¼a urm¼atoarele matrice sunt inversabile şi în caz a…r-
mativ s¼a se g¼aseasc¼a inversa
A =
0BB@
1 3 1
4 2 5
3 6 2
1CCA , B =
0BBBB@1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1
1CCCCA .
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
14/162
14 CAPITOLUL 1. MATRICE ŞI DETERMINANŢI
Rezolvare: det A = 13 6= 0, deci A este inversabil¼a şi
A1 =
0BB@2 0 1
7=13 1=13 1=1318=13 3=13 10=13
1CCA :
det B = 8 6= 0 şi B1 = 14
0BBBB@
1 1 1 1
1 1 1 11 1 1 11 1 1 1
1CCCCA :
15. S¼a se determine valoarea parametrului real m astfel încât matricea
A =
0BB@
1 0 1
x 1 2
1 x m
1CCA
s¼a …e inversabil¼a pentru orice x real.
Rezolvare: det A = x2 2x + m 1 6= 0, 8x 2 R, adic¼a =4 (2 m) < 0, de unde m 2 (2; 1).
16. S¼a se rezolve ecuaţia matriceal¼aX A = B,
unde A =
0BB@
1 2 3
1 0 12 1 1
1CCA şi B =
5 4 1
1 1 2
!.
Rezolvare: det A 6= 0, X = B A1 =
1 0 2
1 2 1
!.
17. S¼a se rezolve matriceal sistemul8>><>>:
x + 2y + 4z = 32x y + 3z = 6x + y 2z = 2.
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
15/162
15
Rezolvare: Consider¼am matricele
A =
0BB@1 2 4
2 1 31 1 2
1CCA , X =0BB@
x
y
z
1CCA , B =0BB@
36
2
1CCA .Cu aceste nota̧tii sistemul se scrie
A X = B
det A 6= 0, deci A admite invers¼a şi ecuaţia are soluţia
X = A1B =0BB@
1
1
1
1CCA , deci x = 1, y = 1, z = 1.
18. S¼a se rezolve ecua̧tiile matriceale
a) X A = B, unde A =
0BB@
3 0 1
1 0 1
2 1 2
1CCA, B =
2 0 1
1 2 1
!;
b) A X B = C , unde A =
0BB@
2 1 1
1 0 2
3 1 2
1CCA, B =
0BB@
1 2 1
1 3 3
1 4 6
1CCA,
C =
0BB@
1 2 1
2 3 1
3 1 1
1CCA.
Rezolvare: a) X = B
A1 =
1=2 1=2 0
0 3 2 !.
b) X = A1 C B1 =
0BB@
26 39 1540 60 2311 18 7
1CCA.
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
16/162
16 CAPITOLUL 1. MATRICE ŞI DETERMINANŢI
19. Fie A o matrice p¼atratic¼a de ordin n; inversabil¼a şi s¼a not¼am
det(A + I ) = n + a1n1 + ::: + an1 + an:
S¼a se calculeze det(A + I ) ; 6= 0; unde cu A am notat adjunctamatricei A:
Rezolvare: Pentru = 0 obţinem det A = an 6= 0 (deoarece A esteinversabil¼a). Atunci A = anA1: Aceasta implic¼a
det(A + I ) = det anA1 + I = det A
1
A + an
I
= n det A1 det
A +
an
I
= n (det A)1"
an
n+ a1
an
n1+ ::: + an1
an
+ an
#
= 1
an
(an)
n + a1 (an)n1 + ::: + an1an
n1 + ann
= (an)n1 + a1 (an)
n2 + ::: + an1n1 + n:
20. Fie A; şi trei matrice de tip m m; m 1 şi respectiv 1 m astfelîncât A2 = I + şi = 1: S¼a se arate c¼a:a) A = 0 şi A = 0;
b) A + este nesingular¼a şi (A + )1 = A + ;Rezolvare: a) Avem
A2 = (I + ) = + = + = 0
A2
= (I + ) = + = + = 0:Atunci
0 = A
A2
= A2 (A ) = (I + ) A = A + A;
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
17/162
17
de unde rezult¼a c¼a A = A: Scriind acum
0 = A2 = A (A ) = A (A ) = (A ) (A ) = (A ) (A ) = (A )2
şi având în vedere c¼a 6= 0; iar A 2 R; obţinem c¼a A = 0; ceea ceva antrena A = 0: Pe de alt¼a parte,
0 = A = A = A
I + A2
= A + A3 = A:
b) Din egalit¼a̧tile
(A + ) (A + ) = A2 + A A + ( ) = A2 + = I
obţinem c¼a A + este nesingular¼a, iar inversa sa este A + :
21. Fie A; B şi C matrice de tip n n astfel încât B = C 1AC: Dac¼a f (x)este un polinom oarecare, s¼a se arate c¼a
f (B) = C 1f (A) C:
Rezolvare: Din egalitatea B = C 1
AC rezult¼a prin inducţie matem-atic¼a faptul c¼a Bk = C 1AkC; pentru orice k 2 N: Fie
f (x) = anxn + an1x
n1 + ::: + a1x + a0; ai 2 R; i = 0; n:
Avem
f (B) = anBn + an1B
n1 + ::: + a1B + a0I
= anC 1AnC + an1C
1An1C + ::: + a1C 1AC + a0C
1C
= C 1
anAn + an1An1 + ::: + a1A + a0I
C
= C 1f (A) C;
ceea ce trebuia demonstrat.
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
18/162
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
19/162
19
atunci rangA =rangB, pentru orice n 2 R. Dac¼a m = 3, atunci
rangA = 2. Pentru a avea şi B rangul 2, punem condiţia
1 2 n1 0 1
2 1 2
= 0
şi ob̧tinem n = 1.
24. Se dau matricele
A =
0BBBB@
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
1 0 0 0
1CCCCA
şi B =
0BBBB@
0 0 0 1
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
1CCCCA
.
S¼a se arate c¼a B1 = A şi A1 = B.
25. Folosind transform¼arile elementare s¼a se a‡e rangurile urm¼atoarelor
matrice:
A =
0BBBB@
3 1 3 23 3 3 2
6 1 1 23 1 3 1
1CCCCA
, B =
0BBBB@
0 4 10 1
4 8 18 7
10 18 40 17
1 7 17 3
1CCCCA
,
C =
0BBBBBBB@
1 0 1 0 0
1 1 0 0 0
0 1 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 1 1
1CCCCCCCA
, D =
0BB@
1 2 32 3 41 5 7
1CCA .
Rezolvare: Avem
A =
0BBBB@3 1 3 23 3 3 2
6 1 1 23 1 3 1
1CCCCAl1+l2!l22l1+l3!l3l1+l4!l4
~
0BBBB@3 1 3 20 4 0 0
0 1 7 00 0 0 3
1CCCCA ~
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
20/162
20 CAPITOLUL 1. MATRICE ŞI DETERMINANŢI
l2!l3~0BBBB@
3 1 3 20 1 7 00 4 0 0
0 0 0 3
1CCCCA 4l2+l3!l3~
0BBBB@3 1 3 20 1 7 00 0 28 0
0 0 0 3
1CCCCA ;
de unde rezult¼a c¼a rangA = 4.
În acelaşi mod obţinem: rangB = 2, rangC = 5, rangD = 2.
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
21/162
Capitolul 2
Sisteme de ecuaţii liniare
1. Folosind regula lui Cramer s¼a se rezolve sistemul8>>>><>>>>:
x
15 +
y
10 +
z
6 =
38
30x
10 +
y
6 +
z
15 =
31
30x
6 +
y
15 +
z
10 =
31
30
:
Rezolvare: Sistemul dat este echivalent cu8>><>>:
2x + 3y + 5z = 38
3x + 5y + 2z = 31
5x + 2y + 3z = 31
:
=
2 3 5
3 5 2
5 2 3
= 70, x =
38 3 5
31 5 2
31 2 3
= 140;
y =2 38 5
3 31 2
5 31 3
= 210, z =2 3 38
3 5 31
5 2 31
= 350:
Deci, x = x
= 2, y =
y
= 3, z = z
= 5.
21
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
22/162
22 CAPITOLUL 2. SISTEME DE ECUAŢII LINIARE
2. Folosind regula lui Cramer s¼a se rezolve sistemul8>><>>:
x + ay + a2z = a3
x + by + b2z = b3
x + cy + c2z = c3
;
unde a; b; c 2 R, diferite dou¼a câte dou¼a.
Rezolvare: =
1 a a2
1 b b2
1 c c2
= (a b) (b c) (c a) 6= 0,
x =
a3 a a2
b3 b b2
c3 c c2
= abc (a b) (b c) (c a) ;
y =
1 a3 a2
1 b3 b2
1 c3 c2
= (ab + bc + ca) (a b) (b c) (c a) ;
z =1 a a3
1 b b3
1 c c3
= (a + b + c) (a b) (b c) (c a) :Soluţia este x = abc, y = (ab + bc + ca), z = a + b + c.
3. S¼a se rezolve şi s¼a se discute sistemele
a)
( x 4y 3z = 13x + 12y 3z = 2 , b)
8>><
>>:
x 4y 3z = 1x + 2y + z = 2
2x + 4y + 2z = 3
.
Rezolvare: a) Matricea sistemului şi matricea extins¼a sunt:
A =
1 4 33 12 3
!, respectiv A =
1 4 3 13 12 3 2
!.
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
23/162
23
Avem rangA =rangA = 2, deci sistemul este compatibil nedeterminat.
Dac¼a determinantul principal este p = 1 33 3 = 12, atunci x,
z sunt necunoscutele principale şi y necunoscut¼a secundar¼a. Se obţin
soluţiile: x = 4 14
, y = , z = 512
, 2 R.b) Corespunz¼ator sistemului avem matricele:
A =
0BB@
1 4 31 2 1
2 4 2
1CCA
şi A =
0BB@
1 4 3 11 2 1 2
2 4 2 3
1CCA
.
Avem rangA = 2 şi rangA = 3, deci sistemul este incompatibil.
4. S¼a se rezolve şi s¼a se discute dup¼a valorile parametrului real sistemul8>><>>:
x + y + z = 1
x y + z = 1x + y z = 2
:
Rezolvare: Determinantul sistemului este = (1 + )2. Avem cazurile:
a) 2 R f1g, atunci 6= 0 şi sistemul are soluţie unic¼a dat¼a deregula lui Cramer
x = 3 ( + 1) ; y = 3 ( 1) ; z = 2
2 + 1 .Deci, soluţia este
x = 3
+ 1, y =
3 ( 1)(1 + )2
, z = 2 2 + 1
(1 + )2 .
b) =
1, atunci = 0, sistemul devine8>><>>:
x y + z = 1x y + z = 1x + y z = 2
:
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
24/162
24 CAPITOLUL 2. SISTEME DE ECUAŢII LINIARE
Cu notaţiile obişnuite avem rangA = 2, iar rangA = 3, deci sistemul
este incompatibil.
5. S¼a se rezolve şi s¼a se discute dup¼a valorile reale ale parametrilor , ,
sistemul 8>><>>:
( 1) x + y + ( + 1) z = 1( 1) x + y + ( + 1) z = 1x + y + z = 2
:
Rezolvare: Avem
=
1 + 1
1 + 11
=
1 1
1 11 0
=
0 1
0 1
1 0
= (1 ) ( ) .
Distingem cazurile:
a) dac¼a 6= 1 şi 6= atunci sistemul este compatibil determinat şise rezolv¼a cu regula lui Cramer
x =
1 + 1
1 + 1
2
= 2 ( )
y =
1 1 + 1 1 1 + 1
1 2
= ( + 3) ( )
z = 1 1 1 1
1 2 = (1 + ) ( ) :
Soluţia este: x = 21 , y =
+ 3
1 , z = 1 +
1 :
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
25/162
25
b) dac¼a = 1 şi 6= sistemul devine:8>><>>:
( 1) x + y + ( + 1) z = 1( 1) x + y + ( + 1) z = 1x + y + z = 2
:
Avem p =
1 1 = 6= 0 şi car =
1 1 1 1
1 1 2
=
2 ( ) 6= 0, deci sistemul este incompatibil.c) dac¼a = 1 şi = , sistemul devine(
( 1) x + y + ( + 1) z = 1x + y + z = 2 :
p =
1 1 1 = 1 6= 0, rangA =rangA = 2, deci sistemul este
compatibil simplu nedeterminat cu soluţiile: x = 1 2 + , y =1 + 2 2, z = , 2 R.d) dac¼a 6= 1 şi = , sistemul devine(
( 1) x + y + ( + 1) z = 1x + y + z = 2 :
Calculând 1 =
1 1 = , 2 =
+ 1 = ,
3 =
1 + 11 = 1, se observ¼a c¼a totdeauna exist¼a
un determinant nenul (3 = 1 1), deci rangA = 2.d1) dac¼a
6= 0, atunci p = 2
6= 0, x este necunoscut¼a secundar¼a
(x = ) şi sistemul devine( y + ( + 1) z = 1 ( 1) y + z = 2 ;
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
26/162
26 CAPITOLUL 2. SISTEME DE ECUAŢII LINIARE
care se rezolv¼a imediat.
d2) dac¼a = 0, sistemul devine( ( 1) x + y + ( + 1) z = 1x = 2 ;
care este compatibil simplu nedeterminat, rezolvându-se în funçtie de
.
6. S¼a se determine parametrul 2 R, astfel încât sistemul
8>>>>>>><>>>>>>>:
2x y + 3z = 9
3x + 2y + 5z = 11x y + z = 24x + 5y + z = 1
4x + z = 22
s¼a …e compatibil.
Rezolvare: Se observ¼a c¼a rangA = 3 ( p …ind ob̧tinut din primele trei
linii). Sistemul este compatibil dac¼a rangA = 3. car1 = 0, car2 =
38 ( 9), de unde = 9.
7. S¼a se g¼aseasc¼a relaţia dintre parametrii reali , , astfel încât sistemul8>><>>:
x + 2y + 3z =
2x + y + 2z =
3x + z =
s¼a …e compatibil.
Rezolvare: Avem rangA = 2. Din condiţia rangA = 2 obţinem 2 + = 0.
8. Fie sistemul 8>><>>:
2x 3y + 4z 5t = 1x + 9y + z + t = 3
5x 6y + 10z + t = :
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
27/162
27
S¼a se determine parametrii reali ; ; astfel ca rangul matricei sis-
temului s¼a …e doi şi sistemul s¼a …e compatibil.Rezolvare: = 2, = 12, = 2.
9. S¼a se arate c¼a sistemele
a)
8>><>>:
x 3y + 4z = 0x + 2y z = 02x y + 3z = 0
, b)
8>><>>:
x + 2y + z = 0
x 2y + 2z = 03x 2y + 5z = 0
admit şi soluţii diferite de cea banal¼a şi s¼a se determine aceste soluţii.
Rezolvare: a) det A = 0, p = 1 31 2
= 5, x, y necunoscuteprincipale, z necunoscut¼a secundar¼a. Soluţiile sunt x = , y = şiz = , 2 R:b) det A = 0, p =
1 21 2 = 4, x, y necunoscute principale, z
necunoscut¼a secundar¼a. Soluţiile sunt x = 32
, y = 14
şi z = ,
2 R:
10. S¼a se arate c¼a sistemul 8>><>>:
x + 2y + 3z = 0
4x + 5y + 6z = 0
x + 2z = 0
admite doar soluţia banal¼a, indiferent de valorile lui 2 R.Rezolvare: det A = 3 2 + 1 6= 0.
11. S¼a se rezolve sistemul liniar omogen8>><>>:
x1 + x2 + x3 = 0
ax1 + bx2 + cx3 = 0
(b + c) x1 + (c + a) x2 + (a + b) x3 = 0
, cu a 6= b.
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
28/162
28 CAPITOLUL 2. SISTEME DE ECUAŢII LINIARE
Rezolvare: Sistemul este compatibil simplu nedeterminat, cu solu̧tia
x1 = (b c), x2 = (c a), x3 = (a b), 2 R.12. S¼a se rezolve sistemul8>>>><
>>>>:
x + y + z t = 22x + y z + 2t = 9x + 2y + 2z t = 5x + 3y z 2t = 4
:
Rezolvare: Aplicarea regulii lui Cramer necesit¼a multe calcule, de
aceea este indicat¼a rezolvarea sistemului aplicând metoda lui Gauss.0BBBB@
1 1 1 12 1 1 2
1 2 2 11 3 1 2
2
9
5
4
1CCCCA ~0BBBB@
1 1 1 10 1 3 40 3 3 20 2 2 1
2
5
7
6
1CCCCA ~
0BBBB@
1 1 1 10 1 3 40 0 6 100 0 8 7
2
5
224
1CCCCA ~0BBBB@
1 1 1 10 1 3 40 0 3 50 0 0 19=3
2
5
1176=3
1CCCCA ;
astfel am obţinut sistemul triunghiular echivalent8>>>><>>>>:
x + y+ z t = 2y 3z + 4t = 5
3z + 5t = 11 19
3 t = 76
3
.
Din ultima ecuaţie obţinem t = 4, pe care o înlocuim apoi în a treia şi
g¼asim z = 3, din a doua ecuaţie obţinem y = 2 şi din prima x = 1.
13. S¼a se rezolve folosind metoda lui Gauss sistemele:
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
29/162
29
a)8>>>:
x1 + 2x2 + x3 = 8
2x1 + 3x2 2x3 = 23x1 + 4x2 + 4x3 = 23
b)
8>><>>:
x2 + 2x3 = 4
x1 + 2x2 3x3 = 02x1 x2 + x3 = 3
c)
8>><>>:
x1 + x2 + x3 + x4 = 1
2x1 x2 + x3 x4 = 2
x1 2x2 2x4 = 1
d)
8>>>>>>><>>>>>>>:
x1 + 2x2 + 3x3 x4 = 13x1 + 2x2 + x3 x4 = 12x1 + 3x2 + x3 + x4 = 1
2x1 + 2x2 + 2x3 x4 = 15x1 + 5x2 + 2x3 = 2
e)
8>>>>>>>:
x1 + x2 + 2x3 + 3x4 x5 + 2x6 = 12x1 + 3x2 + x3
x4 + x6 = 2
x1 4x3 2x4 + 2x5 + 3x6 = 13x1 + 2x2 + 7x3 + x4 x6 = 1
f)
8>>>>>>><>>>>>>>:
x1 2x2 + x3 x4 + x5 = 52x1 2x2 + 3x3 2x4 + x5 = 83x1 6x2 + 3x3 + 2x4 + 3x5 = 13x1 + 4x2 + x4 2x5 = 7x1 + x3 + x4 x5 = 9:
Rezolvare: a) Avem0BB@
1 2 1
2 3 23 4 4
8
2
23
1CCA ~
0BB@
1 2 1
0 1 40 2 1
8
141
1CCA ~
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
30/162
30 CAPITOLUL 2. SISTEME DE ECUAŢII LINIARE
0BB@1 2 1
0 1 40 0 9
8
1427
1CCA ;de unde se obţine sistemul8>><
>>:x1 + 2x2 + x3 = 8
x2 4x3 = 149x3 = 27
care are soluţia x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3.
b) Avem 0BB@
0 1 2
1 2 32 1 1
4
0
3
1CCA ~
0BB@
1 2 30 1 2
2 1 1
0
4
3
1CCA ~
0BB@
1 2 30 1 2
0 5 7
0
4
3
1CCA
~
0BB@
1 2 30 1 2
0 0 17
0
4
17
1CCA
şi ob̧tinem x1 = 1, x2 = 2 şi x3 = 1.c) Avem0
BB@1 1 1 1
2 1 1 11 2 0 2
1
2
1
1CCA ~0BB@
1 1 1 1
0 3 1 30 3 1 3
1
0
2
1CCA ~
0BB@1 1 1 1
0 3 1 30 0 0 0
1
021CCA
:
Ultima ecuaţie 0 = 2, ceea ce nu se poate, deci sistemul este incom-patibil.
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
31/162
31
d) Avem0BBBBBBB@
1 2 3 13 2 1 12 3 1 1
2 2 2 15 5 2 0
1
1
1
1
2
1CCCCCCCA~
0BBBBBBB@
1 2 3 10 4 8 20 1 5 30 1 1 20 5 13 5
1
21
0
3
1CCCCCCCA~
0
BBBBBBB@
1 2 3 10 1 1 2
0 2 4 10 1 5 30 5 13 5
1
0
113
1
CCCCCCCA ~
0
BBBBBBB@
1 2 3 10 1 1 2
0 0 6 50 0 6 50 0 18 15
1
0
113
1
CCCCCCCA ~0BBBBBBB@
1 2 3 10 1 1 20 0 6 50 0 0 0
0 0 0 0
1
0
10
0
1CCCCCCCA
;
sistemul este simplu nedeterminat, cu solu̧tiile: x1 = (1 + 5) =6, x2 =(1 7) =6, x3 = (1 + 5) =6, x4 = , 2 R.e) Avem:0BBBB@
1 1 2 3 1 22 3 1 1 0 1
1 0 4 2 2 33 2 7 1 0 1
1
2
1
1
1CCCCA ~0BBBB@
1 1 2 3 1 20 1 3 7 2 30 1 2 1 1 50 1 1 8 3 7
1
0
2
4
1CCCCA
~
0BBBB@1 1 2 3 1 20 1 3 7 2 30 0 1 8 1 80 0 2 15 5 10
10
2
4
1CCCCA ~0BBBB@
1 1 2 3 1 20 1 3 7 2 30 0 1 8 1 80 0 0 1 3 6
10
2
0
1CCCCA
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
32/162
32 CAPITOLUL 2. SISTEME DE ECUAŢII LINIARE
sistem compatibil dublu nedeterminat, cu solu̧tiile: x1 = 9 145
92 , x2 = 6 + 81 + 52 , x3 = 2 + 40 + 25 , x4 = 6 3 , x5 = ,x6 = , ; 2 R.f) Avem
0BBBBBBB@
1 2 1 1 12 2 3 2 13 6 3 2 3
1 4 0 1 2
1 0 1 1 1
5
8
13
7
9
1CCCCCCCA
~
0BBBBBBB@
1 2 1 1 10 2 1 0 10 0 0 5 0
0 2 1 0 1
0 2 0 2 2
5
222
4
1CCCCCCCA
~
0BBBBBBB@
1 2 1 1 10 2 1 0 10 0 0 5 0
0 0 0 0 0
0 0 1 2 1
5
22
0
6
1CCCCCCCA
~
0BBBBBBB@
1 2 1 1 10 2 1 0 10 0 1 2 10 0 0 5 0
0 0 0 0 0
5
26
20
1CCCCCCCA
,
sistem compatibil simplu nedeterminat, x1 = 815 + 2, x2 = 125 + ,
x3 = 345 , x4 = 2
5, x5 = , 2 R.
14. S¼a se rezolve folosind metoda lui Gauss sistemele
a)
8>><>>:
x 2y + z = 44x + 3y 2z = 112x + 3y + 4z = 11
b)
8>>>><>>>>:
4x + 8y + 2z + t = 30x + 5y + 3z + 8t = 52
2x + 7y + z + 4t = 35
3x + 8y + 2z + t = 29
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
33/162
33
c)8>>>><>>>>:
x1 + x2 + 2x4 + x5 = 32x1 x2 + 3x3 x4 + 2x5 = 53x1 2x2 + 2x3 4x4 x5 = 2x1 x2 x3 3x4 3x5 = 7
d)
8>><>>:
x + 2y + z = 3
2x y + 3z = 2x 3y + 2z = 0
e)8>>>>>>>:
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 7
3x1 + 2x2 + x3 + x4 3x5 = 2x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 23
5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x4 x5 = 12:Rezolvare: a) x = 1, y = 3, z = 1.
b) x = 1, y = 2, z = 3, t = 4.
c) x1 = 4 + 2 + 3 , x2 = 1 + 2 , x3 = 4 2 , x4 = , x5 = ,unde , 2 R.d) sistem incompatibil.
e) x1 =
16 + + + 5 , x2 = 23
2
2
6 , x3 = , x4 = ,
x5 = , unde , , 2 R.
15. Fie sistemul de ecua̧tii liniare omogene cu coe…cienţi reali8>>>><>>>>:
x1 x2 + x3 x4 + x5 = 02x1 x2 + 3x3 + x4 + 2x5 = 0x2 + x3 + 3x4 = 0
x1 + 2x2 + 4x4 x5 = 0
:
a) S¼a se determine un sistem fundamental de solu̧tii.b) S¼a se stabileasc¼a dac¼a urm¼atoarele elemente formeaz¼a un sistem
fundamental de soluţii: v1 = (5; 4; 1; 1; 1), v2 = (5; 6; 0; 2; 1),v3 = (0; 1; 1; 0; 2).
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
34/162
34 CAPITOLUL 2. SISTEME DE ECUAŢII LINIARE
Rezolvare: Rezolv¼am mai întâi sistemul. Avem0BBBB@1 1 1 1 12 1 3 1 20 1 1 3 0
1 2 0 4 1
1CCCCA ~0BBBB@
1 1 1 1 10 1 1 3 0
0 1 1 3 0
0 1 1 3 0
1CCCCA ~
0BBBB@
1 1 1 1 10 1 1 3 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1CCCCA
,
deci sistemul este compatibil nedeterminat, x1,x2 sunt necunoscutele
principale şi x3, x4, x5 sunt necunoscutele secundare. Mulţimea soluţi-
ilor sistemului este
S = f(2 2 ; 3;;; ) ; ; ; 2 Rg :
Pentru a determina un sistem fundamental de soluţii, lu¼am:
= 1, = = 0 )
u1 = (
2;
1; 1; 0; 0)
= 0, = 1, = 0 ) u2 = (2; 3; 0; 1; 0) = = 0, = 1 ) u3 = (1; 0; 0; 0; 1) .
Muļtimea fu1, u2, u3g este sistem fundamental de solu̧tii pentru c¼arangul matricei format¼a din aceşti vectori este 3 (=num¼ar necunoscute
secundare).
b) Se veri…c¼a faptul c¼a vectorii v1, v2, v3 sunt soluţii ale sistemului, iar
matricea format¼a din cei trei vectori,0BB@
5 4 1 1 15 6 0 2 1
0 1 1 0 2
1CCA ;
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
35/162
35
are rangul 3, deci muļtimea fv1, v2, v3g formeaz¼a un sistem fundamen-
tal de soluţii.
16. Fie sistemul de ecua̧tii liniare omogene cu coe…cienţi reali8>>>><>>>>:
x1 + x2 x3 + 2x4 + x5 = 02x1 x2 + x3 + 2x5 = 0x1 2x2 + 2x3 6x4 5x5 = 0x1 + 2x4 + 3x5 = 0
:
a) S¼a se determine un sistem fundamental de solu̧tii.
b) S¼a se stabileasc¼a dac¼a urm¼atoarele elemente formeaz¼a un sistem
fundamental de soluţii: v1 = (0; 2; 2; 0; 0), v2 = (2; 5; 1; 1; 0), v3 =(4; 4; 0; 1; 2).Rezolvare: a) Mulţimea soluţiilor sistemului este
S = f(2 3; 4 4;;; ) ; ; ; 2 Rg;
iar un sistem fundamental de soluţii este
fu1 = (0; 1; 1; 0; 0) ; u2 = (2; 4; 0; 1; 0) ; u3 = (3; 4; 0; 0; 1)g:
b) Se veri…c¼a faptul c¼a cei trei vectori sunt soluţii ale sistemului şi
rangul matricei vectorilor este 3, deci formeaz¼a un sistem fundamental
de soluţii.
17. S¼a se determine parametrul m 2 R astfel ca urm¼atorul sistem s¼a admit¼aşi soluţii diferite de soluţia banal¼a şi, în acest caz, s¼a se rezolve
8>>>><>>>>:
x1 + x2 + mx3 x4 = 02x1 + x2 x3 + x4 = 03x1 x2 x3 x4 = 0mx1 2x2 2x4 = 0
:
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
36/162
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
37/162
Capitolul 3
Spa̧tii vectoriale
3.1 Exemple de spa̧tii vectoriale
1. Fie K un corp comutativ. Pe mulţimea
K n = K K ::: K = x = (x1; x2;:::;xn) ; xi 2 K; i = 1; nde…nim operaţia de adunare prin:
x+y = (x1; x2;:::;xn)+(y1; y2;:::;yn) = (x1 + y1; x2 + y2;:::;xn + yn) ; 8x; y 2 K n
şi operaţia de înmulţire cu scalari prin:
x = (x1; x2;:::;xn) ; 8 2 K ; x 2 K n:
S¼a se arate c¼a muļtimea K n este spaţiu vectorial.
Rezolvare: Se veri…c¼a axiomele spaţiului vectorial.
2. Fie P n mulţimea polinoamelor cu coe…cienţi reali de grad cel mult n:Operaţiile de adunare a dou¼a polinoame şi de înmulţire a unui polinom
cu un num¼ar real de…nesc pe P n o structur¼a de spaţiu vectorial real.Rezolvare: Se veri…c¼a axiomele spaţiului vectorial.
37
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
38/162
38 CAPITOLUL 3. SPAŢII VECTORIALE
3. S¼a se arate c¼a muļtimea Mmn (R) a matricelor cu m linii şi n coloane
cu elemente din R formeaz¼a un spaţiu vectorial real faţ¼a de operaţiilede adunare şi înmulţire cu numere reale a matricelor.
Rezolvare: Se veri…c¼a axiomele spaţiului vectorial.
4. Not¼am cu C [a; b] mulţimea funcţiilor continue pe [a; b] cu valori reale.
De…nim operaţiile:
8f; g 2 C [a; b] ; (f + g) (x) = f (x) + g (x) ; 8x 2 [a; b] ;
8 2 R; f 2 C [a; b] ; (f ) (x) = f (x) ; 8x 2 [a; b] :
S¼a se arate c¼a muļtimea C [a; b] formeaz¼a un spaţiu vectorial.
Rezolvare: Se veri…c¼a axiomele spaţiului vectorial.
5. Fie V = (0; 1) muļtimea numerelor reale pozitive. De…nim operaţiile
+ : V V ! V , x + y = xy, 8x; y 2 V şi : R V ! V , x = x, 8 2 R, 8x 2 V .
S¼a se arate c¼a fa̧t¼a de aceste operaţii V are structur¼a de spaţiu vectorial
real.
Rezolvare: Se veri…c¼a uşor c¼a (V; +) este grup comutativ. De aseme-
nea, 8; 2 R şi 8x; y 2 V avem1) ( + ) x = x+ = xx = x + x = x + x;
2) (x + y) = xy = (xy)
= x
y
= x
+ y
= x + y;3) ( ) x = x = x = ( x);4) 1 x = x1 = x.Deci V este un spa̧tiu vectorial real.
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
39/162
3.2. SUBSPAŢII VECTORIALE 39
3.2 Subspa̧tii vectoriale
1. S¼a se arate c¼a muļtimile
X 1 =
(A =
a b
a + b 0
! ; a; b 2 R
) şi
X 2 =
(A =
a a
2a b
! ; a; b 2 R
)
sunt subspaţii vectoriale ale spaţiului vectorial M2 (R).
Rezolvare: Fie A1 = a1 b1
a1 + b1 0!, A2 =
a2 b2
a2 + b2 0! 2
X 1, unde
a1; b1; a2; b2 2 R, şi ; 2 R. Avem
A1 + A2 =
a1 + a2 b1 + b2
(a1 + b1) + (a2 + b2) 0
!
=
a1 + a2 b1 + b2
(a1 + a2) + (b1 + b2) 0
!.
Deci A1 + A2 2 X 1, adic¼a X 1 este subspaţiul vectorial al lui M2 (R).În acelaşi mod se demonstreaz¼a c¼a X 2 este subspa̧tiul vectorial al lui
M2 (R).2. S¼a se veri…ce dac¼a muļtimile
X 1 =
8>><>>:A =
0BB@
x y x + y
y z 2x + zx y + z 0 0
1CCA ; x; y;z 2 R
9>>=>>; ,
X 2 =
8>>>:
B =
0
BB@a 1 0
a b 0
a + 2b 0 c
1
CCA; a; b; c 2 R
9>>=>>;
sunt subspaţii vectoriale ale spaţiului vectorial M3 (R).Rezolvare: X 1 este subspa̧tiu vectorial, dar X 2 nu este subspaţiu
vectorial.
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
40/162
40 CAPITOLUL 3. SPAŢII VECTORIALE
3. S¼a se precizeze care din urm¼atoarele submulţimi ale lui R3 sunt sub-
spaţii vectoriale ale lui R3
:
a) X 1 = f(x1; x2; 0) ; x1; x2 2 Rg ;b) X 2 = f(x; 1; 0) ; x 2 Rg ;c) X 3 = f(x1; x2; x3) ; x1; x2; x3 2 Zg ;d) X 4 = f(x1; x2; x1 2x2) ; x1; x2 2 Rg ;e) X 5 = f(x1; x2; x3) ; x1 + 5x2 2x3 = 0, x1; x2; x3 2 Rg ;f) X 6 = f(x1; x2; x3) ; x1 + 5x2 2x3 = 1, x1; x2; x3 2 Rg ;
g) X 7 = f(x1; x2; x3) ; x1 + x2 > 0, x1; x2; x3 2 Rg ;h) X 8 = f(x1; x2; x3) ; x1x2x3 = 0, x1; x2 2 Rg .
Rezolvare: Dintre aceste submuļtimi, subspa̧tii vectoriale sunt doar
X 1, X 4 şi X 5.
4. Fie S Rn muļtimea soluţiilor unui sistem liniar omogen de m ecuaţiicu n necunoscute:
S = (x = (x1; x2;:::;xn) ;n
X j=1
aijx j = 0; i = 1; m) ;cu aij 2 R; i = 1; m; j = 1; n: S¼a se arate c¼a muļtimea S formeaz¼a unsubspaţiu vectorial al lui Rn:
Rezolvare: Mulţimea S este nevid¼a, pentru c¼a orice sistem liniar
omogen admite cel puţin soluţia banal¼a. Fie x = (x1; x2;:::;xn) ; y =
(y1; y2;:::;yn) 2 S: Atuncin
X j=1 aijx j = 0;n
X j=1 aijy j = 0; i = 1; m:Oricare ar … ; 2 R; avem
nX j=1
aij (x j + y j) = nX
j=1
aijx j + nX
j=1
aijy j = 0;
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
41/162
3.3. DEPENDENŢ ¼ A ŞI INDEPENDENŢ ¼ A LINIAR ¼ A. SISTEM DE GENERATORI 41
deci x + y 2 S; deci S este subspaţiu vectorial al lui Rn:
5. Fie Msn (R) Mn (R) muļtimea matricelor p¼atratice de ordinul n si-metrice, adic¼a
Msn (R) =
A 2 Mn (R) ; At = A
:
S¼a se arate c¼a Msn (R) formeaz¼a un subspaţiu vectorial al lui Mn (R) :Rezolvare: Mulţimea Msn (R) este nevid¼a deoarece On 2 Msn (R) :Folosind propriet¼aţile operaţiei de transpunere a unei matrice, pentru
orice ; 2 R şi orice A; B 2 Msn (R) avem:(A + B)t = (A)t + (B)t = At + B t = A + B:
Rezult¼a c¼a Msn (R) este subspaţiu vectorial al lui Mn (R) :
6. Fie Man (R) Mn (R) muļtimea matricelor p¼atratice de ordinul n an-tisimetrice, adic¼a
Man (R) =
A 2 Mn (R) ; At = A
:
S¼a se arate c¼a Man (R) formeaz¼a un subspaţiu vectorial al lui Mn (R) :
Rezolvare: Se procedeaz¼a ca în exerciţiul precedent.7. Fie Y muļtimea polinoamelor de forma ax4 + 2bx + 3a , cu a; b 2 R. S¼a
se arate c¼a Y este un subspaţiu vectorial al lui P 4.Rezolvare: Se veri…c¼a folosind teorema de caracterizare a subspa̧tiilor
vectoriale.
3.3 Dependenţ¼a şi independenţ¼a liniar¼a. Sis-
tem de generatori1. S¼a se arate c¼a vectorii
v1 = (0; 1; 1) , v2 = (1; 2; 3) , v3 = (2; 1; 1)
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
42/162
42 CAPITOLUL 3. SPAŢII VECTORIALE
din R3 sunt liniar dependenţi şi s¼a se a‡e relaţia de dependenţ¼a liniar¼a
dintre ei.Rezolvare: S¼a ar¼at¼am c¼a exist¼a scalarii 1, 2, 3 nu toţi nuli astfel
ca 1v1 + 2v2 + 3v3 = 0, adic¼a
1(0; 1; 1) + 2 (1; 2; 3) + 3 (2; 1; 1) = 0,
de unde rezult¼a sistemul8>>>:
2 + 23 = 0
1 + 22
3 = 0
1 + 32 + 3 = 0
:
Ca acest sistem s¼a admit¼a şi soluţii diferite de cea banal¼a trebuie ca ran-
gul matricei sistemului s¼a …e mai mic decât num¼arul necunoscutelor.
Cum
0 1 2
1 2 11 3 1
= 0, rangul matricei sistemului este 2 < 3. Re-
zolvând sistemul obţinem 1 = 53, 2 = 23. Înlocuind în relaţiaconsiderat¼a avem
5v1 2v2 + v3 = 0;relaţia de dependenţ¼a cerut¼a.
Observaţie: Matricea sistemului are vectorii v1, v2, v3 ca vectori
coloan¼a. Cum rangul acestei matrice este 2, num¼arul maxim de vectori
liniar independenţi din sistemul S este 2:
2. S¼a se studieze dependenţa liniar¼a pentru sistemele de vectori:
a) A1 = 2 13 1
!, A2 = 0 21 1 !, A3 = 5 1
2 1 ! în M2 (R);b) p1 = 2x2 + x + 3, p2 = x2 + 5x 3, p3 = 3x2 x + 7 în P 2;c) v1 = (1; 1; 2), v2 = (1; 0; 3), v3 = (2; 1; 1) în R3;d) v1 = (1; 2; 1; 1; 2), v2 = (1; 3; 2; 1; 1), v3 = (0; 1; 4; 2; 0),
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
43/162
3.3. DEPENDENŢ ¼ A ŞI INDEPENDENŢ ¼ A LINIAR ¼ A. SISTEM DE GENERATORI 43
v4 = (2; 4; 3; 2; 3) în R5.
În cazul sistemelor liniar dependente, s¼a se precizeze rela̧tia de depen-deņt¼a.
Rezolvare: a) Consider¼am relaţia 1A1 + 2A2 + 3A3 = 0. Prin în-
locuirea vectorilor v1, v2, v3; aceast¼a relaţie este echivalent¼a cu sistemul
omogen 8>>>><>>>>:
21 + 53 = 0
1 + 22 + 3 = 031 2 + 23 = 0
1 + 2 3 = 0:Problema revine la a studia dac¼a acest sistem admite sau nu solu̧tii
nebanale. Rangul matricei acestui sistem este 3, prin urmare sistemul
are doar soluţia banal¼a 1 = 2 = 3 = 0. Deci sistemul de vectori
este liniar independent.
b) Relaţia 1 p1 + 2 p2 + 3 p3 = 0 este echivalent¼a cu sistemul omogen
8>>>:21 + 2 + 33 = 0
1 + 52 3 = 031 32 + 73 = 0:
Rangul matricei sistemului este 2 < 3, deci sistemul este simplu nede-
terminat. În acest caz sistemul de vectori este liniar dependent şi o
relaţie de dependenţ¼a liniar¼a este
16 p1 + 5 p2 + 9 p3 = 0.
c) Matricea cu vectorii v1,v2, v3 pe coloane
0BB@1 1 2
1 0 12 3 1
1CCA are rangul3, deci sistemul de vectori este liniar independent.
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
44/162
44 CAPITOLUL 3. SPAŢII VECTORIALE
d) Matricea
0BBBBBBB@
1 1 0 2
2 3 1 41 2 4 3
1 1 2 22 1 0 3
1CCCCCCCAare rangul 3, deci sistemul de vectori
este liniar dependent şi o relaţie de dependenţ¼a este
v1 + v2 v3 v4 = 0.
3. Se consider¼a în R3 vectorii:
v1 = (1; 1; 1) , v2 = (2; 1; 3) , v3 = (1; 3; 5) , v4 = (3; 1; 7) .
S¼a se determine num¼arul maxim de vectori liniar independenţi din sis-
temul S = fv1; v2; v3; v4g.Rezolvare: Num¼arul maxim de vectori liniar independeņti din sis-
temul S este dat de rangul matricei care are pe coloane (sau linii)
vectorii sistemului S . Matricea astfel format¼a este
A =0BB@
1 2 1 3
1 1 3 11 3 5 7
1CCAşi are rangul 2, deci num¼arul maxim de vectori liniar independenţi din
sistemul S este 2.
4. Se condider¼a în R5 vectorii
v1 = (2; 1; 3; 1; 1) , v2 = (1; 3; 4; 2; 3) , v3 = (4; 1; 1; 1; 3) ,
v4
= (7; 0; 3; 1; 4) :S¼a se determine num¼arul maxim de vectori liniar independenţi din siste-
mul S = fv1; v2; v3; v4g.Rezolvare: Num¼arul maxim de vectori liniar independenţi este 3.
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
45/162
3.3. DEPENDENŢ ¼ A ŞI INDEPENDENŢ ¼ A LINIAR ¼ A. SISTEM DE GENERATORI 45
5. S¼a se g¼aseasc¼a dimensiunea subspa̧tiului generat de vectorii
v1 = (1; 0; 2; 1) , v2 = (3; 1; 1; 0) , v3 = (2; 2; 3; 1)din R4.
Rezolvare: Dimensiunea subspaţiului generat de vectorii v1, v2, v3este egal¼a cu num¼arul maxim de vectori liniar independenţi ai sistemu-
lui dat, adic¼a cu rangul matricei
A =
0
BBBB@1 3 2
0 1 22
1 3
1 0 1
1
CCCCA .
Se obţine rangA = 3, deci dimensiunea subspaţiului generat de cei trei
vectori este 3.
6. S¼a se g¼aseasc¼a dimensiunea subspa̧tiului generat de vectorii
v1 = (1; 0; 9; 1) ; v2 = (1; 2; 5; 3) ; v3 = (1; 1; 7; 2) ; v4 = (0; 1; 2; 1)din R4.
Rezolvare: Dimensiunea subspa̧tiului generat de vectorii v1, v2, v3,
v4 este 2.
7. S¼a se arate c¼a vectorii v1 = (2; 1; 3; 5) şi v2 = (1; 3; 2; 4) din R4 suntliniar independenţi. S¼a se veri…ce dac¼a vectorul v = (1; 11; 12; 2)aparţine spaţiului generat de v1 şi v2.
Rezolvare: Matricea
0BBBB@
2 1
1 33 2
5 4
1CCCCA
are rangul 2, deci cei doi vectori
sunt liniar independenţi. Subspaţiul generat de v1 şi v2 este
X = fv1 + v2 ; ; 2 Rg == f(2 + ; + 3; 3 2; 5 + 4 ) ; ; 2 Rg .
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
46/162
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
47/162
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
48/162
48 CAPITOLUL 3. SPAŢII VECTORIALE
3. S¼a se arate c¼a în spaţiul vectorial P n; al polinoamelor de grad cel mult
n cu coe…cienţi reali, sistemul
B = 1; x ; x2;:::;xnformeaz¼a o baz¼a. Deci, dim P n = n + 1:Rezolvare: Se arat¼a c¼a sistemul B este liniar independent şi este sistemde generatori pentru P n:
4. S¼a se determine 2 R astfel încât vectorii
v1 = (; 0; 1) , v2 = (0; ; 1) , v3 = (1; 1; )s¼a formeze o baz¼a în R3.
Rezolvare: Consider¼am matricea ale c¼arei coloane sunt formate din
coordonatele vectorilor daţi
A =
0BB@
0 10 1
1 1
1CCA .
Deoarece dim R3
= 3, cei trei vectori formeaz¼a o baz¼a în R3
dac¼a suntliniar independenţi, adic¼a dac¼a det A 6= 0. Obţinem det A = 3 + 2,astfel c¼a vectorii daţi formeaz¼a o baz¼a pentru 2 R f0g.
5. Pentru ce valori ale lui 2 R matricele
A1 =
2
2 2
!; A2 =
4 12 5
!; A3 =
2 10
12 1
!
sunt liniar independente.
Rezolvare: 2 R f3g.6. În R4 se dau vectorii
v1 = (1; 2; 3; 1) , v2 = (0; 1; 1; 2) , v3 = (2; 0; 1; 3) , v4 = (1; 1; 1; 2) :
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
49/162
3.4. BAZ ¼ A ŞI COORDONATE. SCHIMB¼ ARI DE BAZE ŞI COORDONATE 49
S¼a se arate c¼a aceştia formeaz¼a o baz¼a. Se cer coordonatele vectorului
v = (2; 2; 3; 1) în aceast¼a baz¼a.Rezolvare: Deoarece dimR4 = 4, este su…cient s¼a ar¼at¼am c¼a vectorii
daţi sunt liniar independenţi. Considerându-i ca vectori coloan¼a într-o
matrice, obţinem
0BBBB@
1 0 2 12 1 0 1
3 1 1 11 2 3 2
1CCCCA. Rangul acestei matrice este
4, deci vectorii sunt liniar independenţi. Scriem apoi v = 1v1 + 2v2 +
3v3 + 4v4. Pentru determinarea coordonatelor obţinem sistemul8>>>><>>>>:
1 23 4 = 221 2 + 4 = 231 + 2 + 3 + 4 = 31 + 22 + 33 + 24 = 1;
cu soluţia: 1 = 1, 2 = 1, 3 = 2, 4 = 1.
7. a) În R3 se dau vectorii v1 = (1; 2; 3), v2 = (2; 3; 4), v3 = (3; 4; 5). S¼a se
arate c¼a aceştia formeaz¼a o baz¼a şi apoi s¼a se determine coordonatelevectorului u = (1; 3; 5) în aceast¼a baz¼a.b) În R4 se dau vectorii v1 = (2; 1; 1; 1), v2 = (1; 2; 1; 1), v3 =(1; 1; 2; 1), v4 = (1; 1; 1; 2). S¼a se arate c¼a aceştia formeaz¼a o baz¼a.Se cer coordonatele vectorului w = (1; 1; 1; 1) în aceast¼a baz¼a.Rezolvare: a) Se veri…c¼a liniara independenţ¼a a celor trei vectori,
aşadar ei formeaz¼a o baz¼a şi u = 2v1 v2 + v3, deci coordonatele luiu în aceast¼a baz¼a sunt (2; 1; 1).
b) w =
1
3v1 1
3v2 +
1
3v3 v4.8. Pentru ce valori ale lui 2 R vectorii
f 1 = (; 0; 1) ; f 2 = (1; 1; 0) şi f 3 = (1; 1; )
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
50/162
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
51/162
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
52/162
52 CAPITOLUL 3. SPAŢII VECTORIALE
13. În R3 se consider¼a bazele:
B = fv1 = (1; 1; 1) ; v2 = (2; 0; 1) ; v3 = (1; 2; 0)g şiB0 = fw1 = (2; 1; 2) ; w2 = (1; 2; 1) ; w3 = (0; 1; 1)g .
a) S¼a se determine leg¼atura dintre cele dou¼a baze;
b) S¼a se determine coordonatele vectorului v fa̧t¼a de baza B 0 ştiind c¼a
are coordonatele (1; 1; 0) fa̧t¼a de baza B .
Rezolvare: a) Leg¼atura dintre cele dou¼a baze este dat¼a de
w1 = v1 + v2
v3, w2 =
v2 + v3, w3 = v1
v3.
b) Coordonatele vectorului v fa̧t¼a de baza B0 se obţin ţinând cont de
leg¼atura stabilit¼a mai sus. Se g¼asȩste v = 2w1 + w2 w3, adic¼a v arecoordonatele (2; 1; 1) fa̧t¼a de baza B 0.
14. S¼a se g¼aseasc¼a matricea de trecere de la baza uzual¼a a lui R3 la baza
W şi componentele vectorului x 2 R3 în raport cu baza W dac¼a:a) W =
f 1 = (1; 1; 1) ; f 2 = (1; 1; 2) ; f 3 = (2; 1; 2)
şi x = (1; 2; 2);
b) W = f 1 = (1; 0; 3) ; f 2 = (2; 2; 1) ; f 3 = (1; 1; 1) şi x = (1; 0; 0).Rezolvaree: a) C =
0BB@
1 1 21 1 1
1 2 2
1CCA, x = (2; 1; 1)W .
b) C =
0BB@
1 2 10 2 13 1 1
1CCA, x = (1; 1; 2)W .
15. Se dau vectorii
v1 = u1 + u2 u3, v2 = 2u1 + 3u2 şi v3 = 3u1 + 7u2 + 6u3
dintr-un spaţiu vectorial în care muļtimea fu1; u2; u3g este baz¼a. S¼ase arate c¼a fv1; v2; v3g formeaz¼a o baz¼a în acest spaţiu şi s¼a se a‡e
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
53/162
3.4. BAZ ¼ A ŞI COORDONATE. SCHIMB¼ ARI DE BAZE ŞI COORDONATE 53
coordonatele vectorului w = 2u1 7u3 în aceast¼a baz¼a.
Rezolvare: Fie C =0BB@ 1 2 31 3 7
1 0 6
1CCA matricea de trecere de la bazafu1; u2; u3g la fv1; v2; v3g. Rangul lui C este 3 (det C 6= 0), deci vectoriiv1, v2, v3 sunt liniar independenţi şi pot forma o baz¼a. Fie X =0BB@
2
0
7
1CCA matricea coloan¼a a coordonatelor lui w în baza fu1; u2; u3g.
Legea schimb¼arii componentelor unui vector la o schimbare de baze este
X 0 = C 1X , unde X 0 este matricea coloan¼a a coordonatelor lui w în
baza fv1; v2; v3g. Obţinem X 0 =
0BB@
1
2
1
1CCA, deci w = v1 + 2v2 v3.
16. Fie subspaţiul lui R4:
Y =
x = (x1; x2; x3; x4) ; x1 + 2x2 + x4 = 0, xi 2 R, i = 1; 4
.
S¼a se g¼aseasc¼a o baz¼a şi s¼a se precizeze dimensiunea subspa̧tiului.
Rezolvare: Putem scrie
Y =
(x1; x2; x3; x1 2x2) ; xi 2 R, i = 1; 3
şi consider¼am vectorii u1 = (1; 0; 0; 1), u2 = (0; 1; 0; 2), u3 = (0; 0; 1; 0)din Y . Mulţimea fu1; u2; u3g constituie o baz¼a pentru Y deoarececei trei vectori sunt liniar independenţi (matricea cu aceşti vectori pe
coloane are rangul 3) şi orice x 2 Y se poate scrie x = x1u1+x2u2+x3u3(u1, u2, u3 este sistem de generatori pentru Y ), iar dim Y = 3.
17. Se consider¼a spaţiul vectorial real
X =
(A =
a b 0
b c a + c
! ; a; b; c 2 R
):
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
54/162
54 CAPITOLUL 3. SPAŢII VECTORIALE
S¼a se arate c¼a matricele F 1 = 2 1 01 1 3 !, F 2 = 0 1 01 1 1
! şiF 3 =
0 1 0
1 2 2
! formeaz¼a o baz¼a în acest spaţiu.
Rezolvare: Se veri…c¼a mai întâi c¼a matricele F 1, F 2 şi F 3 sunt liniar
independente. Mai trebuie ar¼atat c¼a fF 1; F 2; F 3g este un sistem de
generatori pentru X . Fie A 2 X , A =
a b 0
b c a + c
!, a; b; c 2 R şi
s¼a determin¼am scalarii 1, 2, 3 cu proprietatea c¼a
1F 1 + 2F 2 + 3F 3 = A:
Se obţine soluţia 1 = 1
2a, 2 =
1
6 (a 4b + 2c), 3 = 1
3 (b + c a),
deci
A = a
2F 1 +
a 4b + 2c6
F 2 + b + c a
3 F 3:
18. S¼a se calculeze dimensiunea şi s¼a se indice o baz¼a a spaţiului soluţiilor
urm¼atorului sistem liniar omogen
8>><>>:
x1 + x2 + x3 + x4 + 2x5 = 0
x1 x2 + 2x3 + x4 + x5 = 0x1 + 5x2 x3 + x4 + 4x5 = 0
.
Rezolvare: Matricea sistemului este0BB@
1 1 1 1 2
1 1 2 1 11 5 1 1 4
1CCA
0BB@
1 1 1 1 2
0 2 1 0 10 4 2 0 2
1CCA
0BB@
1 1 1 1 2
0 2 1 0 10 0 0 0 0
1CCA :
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
55/162
3.4. BAZ ¼ A ŞI COORDONATE. SCHIMB¼ ARI DE BAZE ŞI COORDONATE 55
Deci mulţimea soluţiilor este
S =3 2 3
2 ;
2
; ; ;
; ; ; 2 R
:
O baz¼a pentru S este
fu1 = (3; 1; 2; 0; 0) , u2 = (1; 0; 0; 1; 0) , u3 = (3; 1; 0; 0; 2)g ;
iar dim S = 3.
19. S¼a se calculeze dimensiunea şi s¼a se indice o baz¼a a spaţiului soluţiilor
urm¼atoarelor sisteme liniare şi omogene
a)
8>><>>:
x1 + x2 x3 = 03x1 2x2 + 2x3 = 0
6x1 + x2 x3 = 0b)
8>><>>:
x1 2x2 + x3 + x4 = 0x1 2x2 + x3 x4 = 0
x1 2x2 + x3 + 5x4 = 0
c)
8>>>><>>>>:
x1 + 2x2 x3 + x5 = 0x1 + 3x2 2x3 + 8x4 3x5 = 0x1 + 4x2 2x3 + 7x4 4x5 = 0x1 + x2 + 2x5 = 0
:
Rezolvare: a) S = f(0; ; ) ; 2 Rg, deci dim S = 1, o baz¼a estefu1 = (0; 1; 1)g.b) S = f(2 ;;; 0) ; ; 2 Rg, dim S = 2, o baz¼a estefv1 = (2; 1; 0; 0) , v2 = (1; 0; 1; 0)g.c) S =
3; + ; 5 3
2;;
; ; 2 R
, dim S = 2, o
baz¼a este w1 = (1; 1; 5; 1; 0) , w2 = 3; 1; 3
2
; 0; 1.
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
56/162
56 CAPITOLUL 3. SPAŢII VECTORIALE
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
57/162
Capitolul 4
Spa̧tii euclidiene
1. Fie Mn (R) spaţiul vectorial real al matricelor p¼atratice reale de ordinn. De…nim aplicaţia " " : Mn (R) Mn (R) ! R prin
A B = tr AtB = nXi=1
nXk=1
akibki, 8A = (aij) , B = (bij) 2 Mn (R) .
S¼a se arate c¼a aceast¼a aplica̧tie este un produs scalar pe Mn (R).Rezolvare: Avem c¼a
1) A B = Pni=1Pnk=1 akibki = Pni=1Pnk=1 bkiaki = B A, 8A =(aij) ; B = (bij) 2 Mn (R);2) A A = Pni=1Pnk=1 (aki)2 0, 8A = (aij) 2 Mn (R) şi A A = 0 ,aki = 0, 8k = 1; n, i = 1; n;3) A(B + C ) = Pni=1Pnk=1 aki (bki + cki) = Pni=1Pnk=1 (akibki + akicki)= P
ni=1P
nk=1 akibki + P
ni=1P
nk=1 akicki = A B + A C , 8A = (aij),
B = (bij), C = (cij) 2 Mn (R);4) (A) B = Pni=1Pnk=1 (aki) bki = Pni=1Pnk=1 akibki = A B,8A = (aij), B = (bij) 2 Mn (R), deci aplica̧tia " " este un produsscalar pe Mn (R).
57
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
58/162
58 CAPITOLUL 4. SPAŢII EUCLIDIENE
2. S¼a se arate c¼a aplicaţia " " : Rn Rn ! R de…nit¼a prin
x y = x1y1 + x2y2 + ::: + xnyn;
unde x = (x1; x2;:::;xn); y = (y1; y2;:::;yn); este un produs scalar pe
Rn:
Rezolvare: Se veri…c¼a propriet¼aţile produsului scalar.
3. Fie P n [1; 1] spaţiul vectorial real al polinoamelor de grad n cu coe…-cienţi reali de…nite pe [1; 1]. S¼a se arate c¼a P n [1; 1] este un spaţiu
euclidian real în raport cu produsul scalar de…nit prin
p q =Z 1
1
p (x) q (x) dx, 8 p; q 2 P n [1; 1] .
Rezolvare: Se veri…c¼a propriet¼aţile produsului scalar.
4. Folosind produsele scalare standard cu care sunt dotate spa̧tiile eucli-
diene respective, s¼a se calculeze produsul scalar şi apoi unghiul dintre
vectorii:
a) u1 = (1; 2; 3), u2 = (2; 3; 4) din R3
;b) v1 = (1; 0; 2; 5), v2 = (2; 3; 1; 1) din R4;
c) A =
2 13 1
!, B =
1 1
2 0
! din M2 (R);
d) p = x2 3x, q = x + 1 din P 2 [1; 1].Rezolvare: a) u1 u2 = 2 + 6 + 12 = 20,cos ' =
u1 u2ku1k ku2k =
20p 1 + 4 + 9
p 4 + 9 + 16
= 20p
406.
b) cos ' = 5p
1 + 4 + 25p
4 + 9 + 1 + 1= 1
3p
2.
c) AtB =
4 2
3 1
!, A B = 4 1 = 3, kAk =
p A A = p 15,
kBk =p
B B = p 6, cos ' = 3p 15
p 6
= 1p
10.
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
59/162
59
d) p q = R 1
1 (x2 3x) (x + 1) dx = R
1
1 (x3 2x2 3x) dx = 4
3,
cos ' = p q
k pk kq k , k pk =p
p p =r
325
, kq k = p q q =r
83
.
5. S¼a se veri…ce dac¼a aplicaţia " " : R3 R3 ! R, de…nit¼a prin
x y = x1y3 + 2x2y1 + x2y2 + 5x3y1,
unde x = (x1; x2; x3), y = (y1; y2; y3), este un produs scalar.
Rezolvare: Nu, deoarece nu este simetric¼a.
6. S¼a se cerceteze dac¼a aplicaţia " " :R2
R2
! R, de…nit¼a prinxy = 2x1y1x1y2x2y1+4x2y2, unde x = (x1; x2) , y = (y1; y2) 2 R2,
este un produs scalar şi în caz a…rmativ s¼a se calculeze produsul scalar
dintre x = (2; 1), y = (1; 1).Rezolvare: Trebuie s¼a veri…c¼am propriet¼a̧tile produsului scalar. Se
observ¼a c¼a xy = y x, 8x; y 2 R2. Apoi xx = 2x21x1x2x2x1+4x22 =2(x1 12x2)2 + 72x22 0, 8x 2 R2 şi x x = 0 , x1 = x2 = 0 ,
x = 0. Dac¼a consider¼am z = (z1; z2) 2R2
, x (y + z) = 2x1 (y1 + z1) x1 (y2 + z2) x2 (y1 + z1) + 4x2 (y2 + z2) = x y + x z. Fie 2 R,(x)y = 2 (x1) y1(x1) y2(x2) y1+4 (x2) y2 = xy, 8x; y 2 R2.Prin urmare, " " este un produs scalar. În plus, avem x y = 1.
7. Fie P n spaţiul vectorial real al polinoamelor de grad cel mult n. De…nimaplicaţia " " : P n P n ! R, prin
p q =n
Xi=0
aibi, unde p (x) =n
Xi=0
aixi, q (x) =
n1
Xi=0
bixi 2 P n.
a) S¼a se arate c¼a aplicaţia dat¼a este un produs scalar;
b) S¼a se calculeze p q , unde p (x) = 2x2 + 4x 3, q (x) = x3 x 2 şis¼a se a‡e normele celor dou¼a polinoame.
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
60/162
60 CAPITOLUL 4. SPAŢII EUCLIDIENE
Rezolvare: a) Se observ¼a c¼a p q = q p, 8 p; q 2 P n. Fie p (x) =Pni=0 aix
i
2 P n. Avem p p = Pni=0 (ai)2 0 şi p p = 0 , ai = 0,8i = 0; n , p = 0. Pentru r (x) = Pni=0 cixi 2 P n, are loc p (q + r) =Pni=0 ai (bi + ci) = p q + p r şi 8 2 R, (p) q =
Pni=0 (ai) bi = p q .
Deci, aplicaţia dat¼a este un produs scalar.
b) Avem p q = 2, k pk = p 29 şi kq k = p 6.
8. Veri…caţi dac¼a urm¼atoarea mulţime din M3 (R) este ortogonal¼a:8>>>:A1 =
0BB@
1 0 0
2 3 0
1 2 3
1CCA , A2 =
0BB@
3 1 0
0 0
1
2 1 1
1CCA , A3 =
0BB@
1 2 30
1 2
0 1 0
1CCA9>>=>>; .
Rezolvare: Se veri…c¼a Ai A j = 0, 8i; j = 1; 3, i 6= j, deci mulţimeadat¼a este ortogonal¼a.
9. Pe spaţiul vectorial C
4; 3
4
al funcţiilor reale continue pe
4; 3
4
de…nim aplicaţia
f
g = Z
34
4
f (x) g (x)sin xdx,
8f; g
2C
4
; 3
4 .
a) S¼a se arate c¼a aplicaţia dat¼a este un produs scalar;
b) S¼a se calculeze kf k pentru f (x) = p x;c) S¼a se a‡e k 2 R astfel încât funcţiile g (x) = x + k şi h (x) = 1 s¼a …eortogonale.
Rezolvare: a) Se veri…c¼a propriet¼aţile produsului scalar.
b) kf k = p f f , iar f f = R 344
x sin xdx =
p 2
2 .
c) Punem condiţia g
h = 0, adic¼a R
3
4
4
(x + k)sin xdx = 0, de unde
rezult¼a k = 2
.
10. S¼a se ortonormeze urm¼atoarele baze din R3:
a) B =
f 1 = (1; 1; 0) ; f 2 = (2; 1; 0) ; f 3 = (1; 0; 1)
;
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
61/162
61
b) B = f 1 = (1; 0; 1) ; f 2 = (0; 1; 1) ; f 3 = (1; 1; 1).Rezolvare: a) Construim vectorii ortogonali astfel8>><
>>:g1 = f 1
g2 = f 2 11g1g3 = f 3 21g1 22g2.
Coe…cienţii ij se determin¼a punând condiţia ca vectorii s¼a …e ortogo-
nali doi câte doi. Astfel
g2 ? g1 , g2 g1 = 0 , f 2 11g1 g1 = 0, f 2 g1 11g1 g1 = 0 , 11 = f 2 g1g1 g1
, 11 = 12
;
deci g2 =
3
2; 3
2; 0
sau echivalent g2 = (1; 1; 0). În acelaşi mod vom
determina şi vectorul g3, anume( g3 ? g1g3 ? g2
,(
f 3 g1 21g1 g1 = 0f 3 g2 22g2 g2 = 0
, 8>>>:21 =
f 3 g1g1 g1
22 = f 3 g2g2 g2
, 8>:21 =
1
222 =
1
2
,
deci g3 = (0; 0; 1). Normând cei trei vectori se obţine baza ortonormat¼a8>>>>><
>>>>>:
e1 = g1kg1k
= 1p
2(1; 1; 0)
e2 = g2kg2k
= 1p
2(1; 1; 0)
e3 = g3
kg3
k = (0; 0; 1).
b) Ca anterior se construiesc vectorii g1, g2 şi g3. Din condiţiile de
ortogonalitate obţinem 11 = 12
, deci g2 =
1
2; 1; 1
2
, sau echiva-
lent g2 = (1; 2; 1) şi 21 = 22 = 0, deci g3 = f 3. În …nal se
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
62/162
62 CAPITOLUL 4. SPAŢII EUCLIDIENE
obţine baza ortonormat¼a: e1 = 1p
2(1; 0; 1), e2 =
1p 6
(1; 2; 1) şi
e3 = 1p
3(1; 1; 1).
11. Pentru ce valori ale lui 2 R vectorii
f 1 = (0; 1; 1) , f 2 = (0; ; 1) şi f 3 = (; 1; 0)
formeaz¼a o baz¼a în R3. Pentru = 1 ortonormaţi baza respectiv¼a.Rezolvare: Cei trei vectori formeaz¼a o baz¼a în R3 dac¼a sunt liniar
independenţi, adic¼a dac¼a matricea
A =
0BB@0 0
1 1
1 1 0
1CCAare rangul 3. Cu alte cuvinte, trebuie det A = (1 ) 6= 0, deci 2 R f0; 1g. Construim vectorii ortogonali8>
>>:g1 = f 1
g2 = f 2 11g1g3 = f 3 21g1 22g2.
Din condiţia de ortogonalitate g2 ? g1 obţinem 11 = 0, deci g2 = f 2 şirespectiv, din condiţiile g3 ? g1 şi g3 ? g2 g¼asim 21 =
1
2 şi 22 = 1
2,
de unde rezult¼a g3 = (1; 0; 0). Norm¼am vectorii ortogonali obţinuţişi avem baza ortonormat¼a: e1 =
1p 2
(0; 1; 1), e2 = 1p
2(0; 1; 1) şi
e3 = (1; 0; 0).
12. Ar¼ataţi c¼a vectorii
f 1 = (1; 1; 1) , f 2 = (1; 1; 1) şi f 3 = (1; 0; 1)
sunt liniar independenţi şi apoi ortonormaţi baza format¼a de aceştia în
R3.
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
63/162
63
Rezolvare: Avem
1 1 11 1 0
1 1 1 = 4 6= 0, deci vectorii sunt liniar
independenţi. Construim vectorii8>><>>:
g1 = f 1
g2 = f 2 11g1g3 = f 3 21g1 22g2.
Din condiţia g1 ? g2 obţinem 11 = 1
3, deci g2 = (1; 2; 1) iar din
g1 ?
g3, g2 ?
g3 rezult¼a 21 = 22 = 0, deci g3 = f 3. Baza ortonormat¼a
este 8>>>>><>>>>>:
e1 = 1p
3(1; 1; 1)
e2 = 1p
6(1; 2; 1)
e3 = 1p
2(1; 0; 1) .
13. În spaţiul euclidian P 3 [1; 1] dotat cu produsul standard se cere s¼a seortonormeze baza canonic¼a f1; x ; x2; x3g.
Rezolvare: C¼aut¼am polinoamele ortogonale de forma8>>>><>>>>:
f 1 = 1
f 2 = x 11f 1f 3 = x
2 21f 1 22f 2f 4 = x
3 31f 1 32f 2 33f 3
:
Din condi̧tia ca …ecare polinom f i, i = 2; 3; 4 s¼a …e ortogonal pe cele
anterioare obţinem constantele ij. Astfel,
11 = x f 1
f 1 f 1= 0, deci f 2 = x,
21 = x2 f 1
f 1 f 1 = 1
3; 22 =
x2 f 2f 2 f 2 = 0, deci f 3 = x
2 13
,
31 = x3 f 1
f 1 f 1 = 0; 32 = x3 f 2f 2 f 2 =
3
5; 33 =
x3 f 3f 3 f 3 = 0,
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
64/162
64 CAPITOLUL 4. SPAŢII EUCLIDIENE
deci f 4 = x3 35x.
În cazul general al polinoamelor cu coe…cienţi reali de…nite pe [1; 1],P [1; 1], polinoamele obţinute din 1, x, x2,..., xn,... prin procedeul deortogonalizare se numesc polinoame Legendre. Aşadar f 1 = 1, f 2 = x,
f 3 = x2 1
3, f 4 = x3 35x sunt primele patru polinoame Legendre.
14. S¼a se determine vectorul unitar v din R3 ortogonal pe vectorii v1 =
(1; 2; 1) şi v2 = (1; 1; 2).Rezolvare: Fie v = (x;y;z). Din ipotez¼a avem v v1 = 0 şi v v2 = 0,adic¼a x + 2y
z = 0, x
y + 2z = 0 şi
kv
k= 1, deci x2 + y2 + z2 = 1.
Rezolvând acest sistem obţinem soluţiile: x = 1p 3
, y = 1p 3
, z =
1p 3
sau x = 1p 3
, y = 1p
3, z =
1p 3
.
15. S¼a se g¼aseasc¼a 2 R astfel încât urm¼atorii vectori s¼a …e ortogonali:a) v1 = (; 2; 5), v2 = (1; 2; 1) în R3;
b) A =
2 1 0
!, B =
3 1
1
! în M 2 (R);
c) p = x2 + 1, q = x + 2.
Rezolvare: a) v1 v2 = 5 + 5, de unde = 1.b) A B = 5 + , de unde = 5.c) p q = 4
32 + 4, deci = 0 sau = 3.
16. În spaţiul euclidian R2 înzestrat cu produsul scalar uzual se consider¼a
vectorii
v1 = (1; 2) şi v2 = (; 2) , ; 2 R.Când cei doi vectori formeaz¼a o baz¼a ortogonal¼a? Pentru = = 1
normaţi vectorii.
Rezolvare: v1 v2 = 0 , 4 = 0 , = 4.Când = = 1; avem kv1k = kv2k =
p 5; vectorii norma̧ti vor …
v01 = 1p
5(1; 2), respectiv v 02 =
1p 5
(1; 2).
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
65/162
Capitolul 5
Transform¼ari liniare
5.1 De…ni̧tie. Matricea unei transform¼ari liniare
1. S¼a se arate c¼a aplicaţia U : R2 ! R3 de…nit¼a prin
U (x) = (x1; x2; 2x1 x2) ;
unde x = (x1; x2)
2 R
2, este o transformare liniar¼a şi s¼a se scrie ma-
tricea transform¼arii relativ la bazele uzuale din R2, respectiv R3.
Rezolvare: Veri…c¼am condiţia
U (x + y) = U (x) + U (y) ; 8x = (x1; x2) ; y = (y1; y2) 2 R2
şi 8; 2 R: Avem
U (x + y) = U ( (x1; x2) + (y1; y2)) = U (x1 + y1; x2 + y2)
= (x1 + y1; x2 + y2; 2 (x1 + y1)
(x2 + y2))
= (x1; x2; 2x1 x2) + (y1; y2; 2y1 y2)= (x1; x2; 2x1 x2) + (y1; y2; 2y1 y2)= U (x) + U (y) ;
65
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
66/162
66 CAPITOLUL 5. TRANSFORM ¼ ARI LINIARE
deci U este transformare liniar¼a. Pentru a determina matricea trans-
form¼arii calcul¼am U (e1) = U (1; 0) = (1; 0; 2), U (e2) = U (0; 1) =(0; 1; 1) şi obţinem matricea
A =
0BB@
1 0
0 1
2 1
1CCA :
2. Se consider¼a aplicaţiile
U 1 : R2 ! R2, U 1 (x1; x2) = (x1 x2; 2x2) ,U 2 : R
2 ! R2, U 2 (x1; x2) = (x1 + 2x2; 3x1) .
a) S¼a se arate c¼a aceste aplica̧tii sunt transform¼ari liniare;
b) S¼a se determine transform¼arile U 1 U 2 şi U 2 U 1 şi s¼a se veri…ce c¼asunt liniare.
Rezolvare: a) Fie x = (x1; x2), y = (y1; y2) 2 R2, ; 2 R, iarx + y = (x1 + y1; x2 + y2). Atunci
U 1 (x + y) = (x1 + y1 x2 y2; 2x2 + 2y2)= (x1 x2; 2x2) + (y1 y2; 2y2)= U 1 (x) + U 1 (y) :
În concluzie U 1 este o transformare liniar¼a. Similar se arat¼a c¼a U 2 este
o transformare liniar¼a.
b) Pentru orice x = (x1; x2) 2 R2 avem
(U 1 U 2) (x) = U 1 (U 2 (x)) = U 1 (x1 + 2x2; 3x1)= (x1 + 2x2 (3x1) ; 2 (3x1))= (2x1 + 2x2; 6x1) :
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
67/162
5.1. DEFINIŢIE. MATRICEA UNEI TRANSFORM ¼ ARI LINIARE 67
Analog,
(U 2 U 1) (x) = U 2 (U 1 (x)) = U 2 (x1 x2; 2x2)= (x1 + 3x2; 3x1 3x2) , 8x = (x1; x2) 2 R2.
3. S¼a se veri…ce dac¼a aplicaţia U : R3 ! R3 dat¼a prina) U (x1; x2; x3) = (x1 x2; 3x1 2x3; x1)b) U (x1; x2; x3) = (x1; x2; x3 + 1)
c) U (x1; x2; x3) =
x1 + x2; x1; (x3)
2
este transformare liniar¼a. În caz a…rmativ s¼a se scrie matricea trans-form¼arii.
Rezolvare: Numai transformarea de la punctul a) este liniar¼a şi are
matricea A =
0BB@
1 1 03 0 21 0 0
1CCA.
4. Se consider¼a aplicaţia U : R4 ! R3, de…nit¼a prin
U (x) = (x1 + x4; x1 + 3x2; x1 x3 x4) , x = (x1; x2; x3; x4) .S¼a se arate c¼a U este o transformare liniar¼a şi s¼a se scrie matricea
transform¼arii în raport cu bazele uzuale din R3 şi R4.
Rezolvare: Se arat¼a c¼a U (x + y) = U (x) + U (y), 8x; y 2 R3,8; 2 R: Matricea transform¼arii este
A =
0
BB@1 0 0 1
1 3 0 0
1 0 1 1
1
CCA .
5. Fie P 2 Mm (R) şi Q 2 Mn (R) dou¼a matrice p¼atratice. S¼a searatec¼a aplicaţia T : Mmn (R) ! Mmn (R) de…nit¼a prin T (A) = PAQ;
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
68/162
68 CAPITOLUL 5. TRANSFORM ¼ ARI LINIARE
pentru orice A 2 Mmn (R) ; este o transformare liniar¼a.
Rezolvare: Pentru orice A; B 2 Mmn (R) şi orice ; 2 R avemT (A + B) = P (A + B) Q = PAQ+PBQ = T (A)+T (B) :
6. Fie B = fe1; e2; e3g o baz¼a în R3 şi se consider¼a transformarea liniar¼aU : R3 ! R3, de…nit¼a prin U (e1) = e1 + 3e2, U (e2) = e1 e2, U (e3) =e1 + 2e2 + e3. S¼a se scrie matricea transform¼arii liniare U în baza B.Rezolvare:
A =
0BB@ 1 1 13 1 20 0 1
1CCA .
7. În spaţiul R3 se consider¼a bazele
V = fv1 = (2; 1; 1) ; v2 = (1; 2; 1) ; v3 = (1; 1; 2)g şiW = fw1 = (1; 1; 0) ; w2 = (0; 1; 1) ; w3 = (2; 0; 2)g .
Fie U : R3 ! R3 o transformare liniar¼a care are în raport cu baza V matricea
AV =
0BB@
2 1 3
3 0 11 1 2
1CCA :
S¼a se g¼aseasc¼a matricea transform¼arii U în raport cu baza W .
Rezolvare: Deoarece w1 = v1 v2, w2 = v2 v3, w3 = v1 v2 + v3,matricea schimb¼arii de baz¼a este
S =
0BB@
1 0 1
1 1 10 1 1
1CCA .
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
69/162
5.1. DEFINIŢIE. MATRICEA UNEI TRANSFORM ¼ ARI LINIARE 69
Deoarece matricea transform¼arii U în raport cu baza W satisface BW =
S 1
A S , rezult¼a c¼a
BW =
0BB@
1 0 2
2 3 20 2 2
1CCA .
8. Fie U : R2 ! R2 o transformare liniar¼a astfel încât U (1; 2) = (5; 0) şiU (2; 1) = (4; 3). Care este expresia lui U ? S¼a se calculeze U (2; 3).Rezolvare: Se veri…c¼a uşor c¼a vectorii (1; 2) şi (2; 1) formeaz¼a o baz¼a
în R2
. Un vector x = (x1; x2) 2R2
se poate scrie(x1; x2) = (1; 2) + (2; 1)
de unde se obţine = 1
3 (2x2 x1), = 1
3 (2x1 x2). Deoarece trans-
formarea U este liniar¼a avem
U (x1; x2) = U (1; 2) + U (2; 1) = (5; 0) + (4; 3)
= (5 + 4; 3 ) = (x1 + 2x2; 2x1 x2) ;
iar U (2; 3) = (4; 7).9. Fie U : R3 ! R3 o transformare liniar¼a astfel încât U (1; 1; 2) =
(3; 3; 1), U (1; 0; 1) = (1; 0; 1) şi U (1; 1; 1) = (3; 2; 0). Careeste expresia lui U ? S¼a se calculeze U (1; 1; 1).
Rezolvare: U (x) = (x1 + 2x2; x3 x1; x2 + x3), unde x = (x1; x2; x3),iar U (1; 1; 1) = (3; 0; 2).
10. Fie transform¼arile liniare U 1; U 2 : R3 ! R3, care au în raport cu baza
uzual¼a din R
3
matricele:
A1 =
0BB@
1 0 0
0 2 1
1 1 1
1CCA , respectiv A2 =
0BB@
2 1 0
1 2 12 1 1
1CCA .
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
70/162
70 CAPITOLUL 5. TRANSFORM ¼ ARI LINIARE
a) S¼a se determine matricea transform¼arii U 1 în raport cu baza
W =
f 1 = (2; 1; 2) ; f 2 = (1; 0; 1) ; f 3 = (0; 2; 7)
;
b) S¼a se determine imaginea vectorului v = (1; 2; 2) prin transfor-m¼arile U 2, U 1 + U 2 şi U 1 U 2.Rezolvare: a) Matricea schimb¼arii de baz¼a este
S =
0BB@
2 1 0
1 0 2
2 1 7
1CCA
,
cu inversa
S 1 =
0BB@
2 7 23 14 41 4 1
1CCA .
Atunci matricea transform¼arii U 1 în raport cu baza W este
B = S 1 A1 S =
0BB@
2 1 32 3 6
1 1
3
1CCA
.
b) Se observ¼a c¼a v = e1 + 2e2 2e3. Ţinând cont de liniaritateatransform¼arii U 2 avem
U 2 (v) = U 2 (e1) + 2U 2 (e2) 2U 2 (e3)= (2; 1; 2) + 2 (1; 2; 1) 2 (0; 1; 1) = (4; 5; 2) .
Sau, f ¼acând înmuļtirea dintre matricea transform¼arii U 2 şi matricea
coloan¼a a componentelor lui v, obţinem matricea coloan¼a a componen-
telor lui U 2 (v),
A2
0BB@
1
2
2
1CCA =
0BB@
2 1 0
1 2 12 1 1
1CCA0BB@
1
2
2
1CCA =
0BB@
4
52
1CCA .
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
71/162
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
72/162
72 CAPITOLUL 5. TRANSFORM ¼ ARI LINIARE
adic¼a f este liniar¼a.
(ii) Cum f este surjectiv¼a şi liniar¼a, 1v1 + 2v2 = 1f (u1) + 2f (u2) ;de unde, g f …ind liniar¼a, deducem:
g (1v1 + 2v2) = 1 (g f ) (u1) + 2 (g f ) (u2) = 1g (v1) + 2g (v2) :
Deoarece f 1 f = 1U ; aplicaţia 1U …ind liniar¼a, iar f liniar¼a şi surjec-tiv¼a, din (ii) rezult¼a c¼a f 1 este liniar¼a.
5.2 Nucleu şi imagine1. Fie aplica̧tia U : R3 ! R3 de…nit¼a prin
U (x) = (x1; x1 + x2 x3; 0) ;
unde x = (x1; x2; x3).
a) S¼a se arate c¼a U este transformare liniar¼a;
b) S¼a se scrie matricea transform¼arii U în raport cu baza uzual¼a şi apoi
în raport cu baza
W =
f 1 = (2; 1; 1) ; f 2 = (1; 1; 0) ; f 3 = (1; 1; 1)
;
c) S¼a se a‡e nucleul şi imaginea lui U .
Rezolvare: a) Se veri…c¼a U (x + y) = U (x) + U (y), 8x; y 2 R3,8; 2 R, deci U este transformare liniar¼a.b) Avem U (e1) = U (1; 0; 0) = (1; 1; 0), U (e2) = U (0; 1; 0) = (0; 1; 0)
şi U (e3) = U (0; 0; 1) = (0; 1; 0), deci matricea transform¼arii în bazauzual¼a va …
A =
0BB@
1 0 0
1 1 10 0 0
1CCA :
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
73/162
5.2. NUCLEU ŞI IMAGINE 73
Matricea de trecere de la baza uzual¼a la baza W este
S =
0BB@2 1 1
1 1 1
1 0 1
1CCA ;
iar legea schimb¼arii matricei la o schimbare de baz¼a este B = S 1 AS ,adic¼a
B =
0
BB@1 1 0
2 3 11 1 1
1
CCA
0
BB@1 0 0
1 1 10 0 0
1
CCA
0
BB@2 1 1
1 1 1
1 0 1
1
CCA ;
deci matricea transform¼arii în raport cu baza W este
B =
0BB@
0 1 22 4 7
0 1 2
1CCA .
c) Conform de…niţiei, nucleul transform¼arii U este
ker U =
x 2 R3 ; U (x) = 0 :Pornind de la relaţia U (x) = 0 obţinem (x1; x1 + x2 x3; 0) = (0; 0; 0),adic¼a (
x1 = 0
x1 + x2 x3 = 0;
de unde x1 = 0, x2 = , x3 = , 2 R. Deci ker U = f(0; ; ) ; 2 Rg.Imaginea transform¼arii U este
ImU =
U (x) ; x 2 R3 ,adic¼a ImU = f(x1; x1 + x2 x3; 0) ; x1; x2; x3 2 Rg şi se observ¼a c¼aImU = f(; + ; 0) ; ; 2 Rg.
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
74/162
74 CAPITOLUL 5. TRANSFORM ¼ ARI LINIARE
2. Fie transformarea liniar¼a U : R3 ! R3 de…nit¼a prin
U (x) = (x1 + x2 + x3; x1 + x2 + x3; x1 + x2 + x3) ;
unde x = (x1; x2; x3). S¼a se determine rangul şi defectul acestei trans-
form¼ari liniare.
Rezolvare: Determin¼am mai întâi nucleul transform¼arii U: Pornind de
la U (x) = 0 obţinem x1 + x2 + x3 = 0, deci
ker U = f(;; ) ; ; 2 Rg
= f (1; 0; 1) + (0; 1; 1) ; ; 2 Rg .Vectorii v1 = (1; 0; 1) şi v2 = (0; 1; 1) formeaz¼a un sistem de genera-tori pentru ker U . Se veri…c¼a uşor c¼a ei sunt liniar independenţi, deci
fv1; v2g reprezint¼a o baz¼a pentru ker U . Atunci defectul transform¼ariiU , dim ker U = 2: Se ştie c¼a
dim ker U + dim ImU = dimR3 = 3,
deci rangul transform¼arii U , dim ImU = 1. În plus,
ImU = f(;;) ; 2 Rg :
3. Se consider¼a matricea A =
0BBBB@
1 0 0 10 1 0 0
0 0 1 31 0 3 8
1CCCCA asociat¼a transfor-
m¼arii liniare U : R4 ! R4 în baza uzual¼a din R4.
a) S¼a se determine expresia transform¼arii U ;b) S¼a se g¼aseasc¼a nucleul şi defectul lui U , punându-se în evidenţ¼a o
baz¼a;
c) S¼a se g¼aseasc¼a imaginea şi rangul lui U , punându-se în evidenţ¼a o
-
8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie
75/162
5.2. NUCLEU ŞI IMAGINE 75
baz¼a.
Rezolvare: a) Fie x = (x1; x2; x3; x4) 2 R4
, adic¼a x = x1e1 + x2e2 +x3e3 + x4e4, unde fe1; e2; e3; e4g este baza uzual¼a din R4. Deoarecetransformarea U este liniar¼a rezult¼a c¼a
U (x) = U (x1e1 + x2e2 + x3e3 + x4e4)
= x1U (e1) + x2U (e2) + x3U (e3) + x4U (e4) :
Dar vectorii U (e1) ;:::;U (e4) se cunosc (coloanele matricei A) deci
avem
U (x) = x1(1; 0; 0; 1) + x2(0; 1; 0; 0) +