Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie

8/20/2019 Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie

1/162


2/162

2


3/162

Cuprins

1 Matrice ̧si determinaņti 5

2 Sisteme de ecua̧tii liniare 21

3 Spa̧tii vectoriale 37

3.1 Exemple de spa̧tii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Subspa̧tii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3 Dependenţ¼a şi independenţ¼a liniar¼a. Sistem de generatori . . . 41

3.4 Baz¼a şi coordonate. Schimb¼ari de baze şi coordonate . . . . . 47

4 Spa̧tii euclidiene 57

5 Transform¼ari liniare 65

5.1 De…ni̧tie. Matricea unei transform¼ari liniare . . . . . . . . . . 65

5.2 Nucleu ̧si imagine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.3 Valori şi vectori proprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.4 Transform¼ari liniare simetrice. Transform¼ari liniare ortogonale 90

6 Forme biliniare şi forme p¼atratice 95

6.1 Forme biliniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.2 Forme p¼atratice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7 Calcul vectorial 117

3


4/162


5/162

Capitolul 1

Matrice şi determinaņti

1. Se consider¼a matricele A =

0BB@

2 0

1 1

2 1

1CCA ; B =

3 1

1 2

!;

C = 1 1 02 0 1

! ; D =0BB@

0 5 51

1 2

3 2 11

1CCA ; E =

0BB@

2

0

1

1CCA şi

F =

1 2 3

: S¼a se calculeze A B C + Dt, E F; F E:

Rezolvare: A B C + Dt =

0BB@

10 6 210 4 315 7 4

1CCA+

0BB@

0 1 3

5 1 25 2 11

1CCA

=

0

BB@10 5 55 5 5

10 5 15

1

CCA= 5

0

BB@2 1 11 1 1

2 1 3

1

CCA;

E F =

0BB@

2 4 6

0 0 0

1 2 3

1CCA ; F E = (5) :

5


6/162

6 CAPITOLUL 1. MATRICE ŞI DETERMINANŢI

2. Fie matricea

A =0BB@1 1 11 1 0

0 0 1

1CCA .S¼a se calculeze An.

Rezolvare: Scriem matricea A sub forma

A =

0BB@

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1CCA

+

0BB@

0 1 1

1 0 0

0 0 0

1CCA

= E + B,

unde B =

0BB@

0 1 1

1 0 0

0 0 0

1CCA. Dar

B2 =

0BB@

1 0 0

0 1 1

0 0 0

1CCA , B3 =

0BB@

0 1 1

1 0 0

0 0 0

1CCA = B.

Deci,

An = (E + B)n = E + C 1nB + C 2

nB2 + C 3nB + C

4

nB2 + :::

= E + B

C 1n + C 3

n + :::

+ B2

C 2n + C 4

n + :::

= E + 2n1B +

2n1 1B2.3. Fie A = (aij)i;j=1;n şi B = (bij)i;j=1;n dou¼a matrice p¼atratice de tip

n n şi I matricea unitate de acelaşi tip. S¼a se arate c¼a

AB BA 6= I :

Rezolvare: S¼a not¼am AB = ( pij)i;j=1;n, BA = (q ij)i;j=1;n şi AB BA = (dij)i;j=1;n : Vom calcula urma matricei AB BA: Amintim c¼a


7/162

7

prin urma unei matrice p¼atratice se îņtelege suma elementelor de pe

diagonala principal¼a. În cazul nostru,

tr (AB BA) =nX

i=1

dii =nX

i=1

( pii q ii) :

Avem

pii q ii =nX

k=1

aikbki nX

k=1

bikaki:

Deci,

tr (AB BA) =n

Xi=1

n

Xk=1aikbki

n

Xk=1bikaki

!= 0:

Prin urmare, egalitatea AB BA = I nu este posibil¼a deoarece urmamatricei AB BA este zero, în timp ce urma matricei unitate este n:

4. S¼a se calculeze determinanţii

D1 =

2 3

4

2

; 2 R;

D2 =

a2

b2

c2

(b + c)2 (c + a)2 (a + b)2

a + b + c a b + c a + b c

, a; b; c 2 R,

D3 =

1 2 1 0

2 1 1 10 2 1 0

1 2 1 3

;

D4 =

1 1 1 13 + 2 + 2 3

32 2 + 2 2 + 2 3 2

3 2 2 3

, ; 2 R.


8/162


Rezolvare: D1 = 23; D2 = 0 (se scade linia întâi din linia a doua).

D3 = 9 ; D4 = ( )6

(se scade prima coloan¼a din celelalte şi apoi sedezvolt¼a determinantul dup¼a elementele primei linii).

5. S¼a se calculeze determinantul

D =

1 1 1 2 12 1 2 2 41 5 2 1 63 2 1

5 1

1 1 1 0 2

:

Rezolvare: Folosind propriet¼aţile determinanţilor, obţinem succesiv

D =

1 0 0 0 0

2 1 0 2 21 4 3 1 5

3 1 4 1 21 0 0 2 1

=

1 0 2 24 3 1 5

1 4 1 20 0 2 1

=

1 0 2 24 3 9 5

1 4 5 20 0 0 1

=

1 0 2

4 3 91 4 5

=

1 0 0

4 3 171 4 7

= (21 + 68) = 89.

6. S¼a se calculeze

Dn =

2 1 0 ::: 0 0

1 2 1 ::: 0 0

0 1 2 ::: 0 0::: ::: ::: ::: ::: :::

0 0 0 ::: 2 1

0 0 0 ::: 1 2

:


9/162

9

Rezolvare: Dezvolt¼am Dn dup¼a elementele primei linii. Avem

Dn = 2Dn1

1 1 0 ::: 0 0

0 2 1 ::: 0 0

::: ::: ::: ::: ::: :::

0 0 0 ::: 2 1

0 0 0 ::: 1 2

:

Dezvoltând al doilea determinant dup¼a prima coloan¼a se obţine formula

de recurenţ¼a

Dn = 2Dn1

Dn2:

Avem D1 = 2, D2 = 3, D3 = 2D2 D1 = 4. Prin induçtie se demon-streaz¼a c¼a

Dn = n + 1:

7. S¼a se arate c¼a

Dn =

1! 2! 3! ::: n!

2! 2! 3! ::: n!

3! 3! 3! ::: n!

::: ::: ::: ::: :::

n! n! n! ::: n!

= (1)n+1 (n 1)!1!2!:::n!

Rezolvare: Se scade linia întâi din toate celelalte, se dezvolt¼a apoi

dup¼a ultima coloan¼a şi se ţine cont de relaţia k!(k 1)! = (k 1) (k 1)!.

8. S¼a se calculeze valoarea determinantului

D =

1 2 3 ::: n 1 n1 0 3 ::: n 1 n

1 2 0 ::: n 1 n::: ::: ::: ::: ::: :::

1 2 3 ::: 0 n1 2 3 ::: (n 1) 0

:


10/162


Rezolvare: Se adun¼a prima linie la toate celelalte şi obţinem D = n!.

9. S¼a se calculeze valoarea determinantului de ordinul n

D =

1 2 2 ::: 2

2 2 2 ::: 2

2 2 3 ::: 2

::: ::: ::: ::: :::

2 2 2 ::: n

:

Rezolvare: Se scade prima linie din celelalte şi se obţine D =

2 (n

2)!.

10. S¼a se calculeze determinantul Vandermonde

V (a1; a 2;:::;an) =

1 1 1 1

a1 a 2 ::: an

a21 a22 ::: a

2n

::: ::: ::: :::

an11 an12 ::: a

n1n

:

Rezolvare: Din …ecare linie începând cu ultima sc¼adem precedentaînmuļtit¼a cu a1 şi ob̧tinem

V (a1; a 2;:::;an) =

1 1 1 1

0 a 2 a1 ::: an a10 a 22 a1a 2 ::: a2n ana1::: ::: ::: :::

0 a n12 a n22 a1 ::: an1n an2n a1

=

=

a 2 a1 ::: an a1a 2 (a 2 a1) ::: an (an a1)

::: ::: :::

a n22 (a 2 a1) ::: an2n (an a1)

:


11/162


12/162


b) P n =

an an1 an2 ::: a0

1 x 0 ::: 00 1 x ::: 0

::: ::: ::: ::: :::

0 0 0 ::: x

:

Rezolvare: a) Dezvoltând dup¼a prima coloan¼a, obţinem

Dn = 2n1 + Dn1:

Deducem Dn = 2n1 + 2n2 + ::: + 2 + 1 = 2n

1.

b) Similar obţinem

P n = anxn1 + P n1;

de unde P n = anxn1 + an1xn2 + ::: + a1x + a0.

12. S¼a se arate c¼a oricare ar … matricea A de tip n n; cu elemente reale,avem

det

I + A2 0:

Rezolvare: Se foloseşte identitatea

I + A2 = (I + iA) (I iA) :

13. Fie A de forma

A =

0BB@

1 0

0 1

0 0

1CCA

în care este o constant¼a şi …e f (x) un polinom oarecare. S¼a se arate

c¼a

f (A) =

0BB@

f () f 0() 1

2f 00()

0 f () f 0()

0 0 f ()

1CCA


13/162

13

Rezolvare: Fie f (x) = anxn + an1xn1 + ::: + a1x + a0: Atunci

f 0(x) = nanxn1 + (n 1) an1xn2 + ::: + 2a2x + a1

şi

f 00(x) = n (n 1) anxn2 + (n 1) (n 2) an1xn3 + ::: + 2a2:

S¼a observ¼am c¼a A = I + B; unde

B =0BB@

0 1 0

0 0 10 0 0

1CCA :Atunci An = (I + B)n = nI + C 1n

n1B + C 2nn2B2 + ::: + Bn: Dar

B2 =

0BB@

0 0 1

0 0 0

0 0 0

1CCA şi Bn = O3; 8n 3:

Atunci

An =

0BBB@n nn1 n (n 1)

2 n2

0 n nn1

0 0 n

1CCCA :

Concluzia rezult¼a imediat.

14. S¼a se cerceteze dac¼a urm¼atoarele matrice sunt inversabile şi în caz a…r-

mativ s¼a se g¼aseasc¼a inversa

A =

0BB@

1 3 1

4 2 5

3 6 2

1CCA , B =

0BBBB@1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1

1CCCCA .


14/162


Rezolvare: det A = 13 6= 0, deci A este inversabil¼a şi

A1 =

0BB@2 0 1

7=13 1=13 1=1318=13 3=13 10=13

1CCA :

det B = 8 6= 0 şi B1 = 14

0BBBB@

1 1 1 1

1 1 1 11 1 1 11 1 1 1

1CCCCA :

15. S¼a se determine valoarea parametrului real m astfel încât matricea

A =

0BB@

1 0 1

x 1 2

1 x m

1CCA

s¼a …e inversabil¼a pentru orice x real.

Rezolvare: det A = x2 2x + m 1 6= 0, 8x 2 R, adic¼a =4 (2 m) < 0, de unde m 2 (2; 1).

16. S¼a se rezolve ecuaţia matriceal¼aX A = B,

unde A =

0BB@

1 2 3

1 0 12 1 1

1CCA şi B =

5 4 1

1 1 2

!.

Rezolvare: det A 6= 0, X = B A1 =

1 0 2

1 2 1

!.

17. S¼a se rezolve matriceal sistemul8>><>>:

x + 2y + 4z = 32x y + 3z = 6x + y 2z = 2.


15/162

15

Rezolvare: Consider¼am matricele

A =

0BB@1 2 4

2 1 31 1 2

1CCA , X =0BB@

x

y

z

1CCA , B =0BB@

36

2

1CCA .Cu aceste nota̧tii sistemul se scrie

A X = B

det A 6= 0, deci A admite invers¼a şi ecuaţia are soluţia

X = A1B =0BB@

1

1

1

1CCA , deci x = 1, y = 1, z = 1.

18. S¼a se rezolve ecua̧tiile matriceale

a) X A = B, unde A =

0BB@

3 0 1

1 0 1

2 1 2

1CCA, B =

2 0 1

1 2 1

!;

b) A X B = C , unde A =

0BB@

2 1 1

1 0 2

3 1 2

1CCA, B =

0BB@

1 2 1

1 3 3

1 4 6

1CCA,

C =

0BB@

1 2 1

2 3 1

3 1 1

1CCA.

Rezolvare: a) X = B

A1 =

1=2 1=2 0

0 3 2 !.

b) X = A1 C B1 =

0BB@

26 39 1540 60 2311 18 7

1CCA.


16/162


19. Fie A o matrice p¼atratic¼a de ordin n; inversabil¼a şi s¼a not¼am

det(A + I ) = n + a1n1 + ::: + an1 + an:

S¼a se calculeze det(A + I ) ; 6= 0; unde cu A am notat adjunctamatricei A:

Rezolvare: Pentru = 0 obţinem det A = an 6= 0 (deoarece A esteinversabil¼a). Atunci A = anA1: Aceasta implic¼a

det(A + I ) = det anA1 + I = det A

1

A + an

I

= n det A1 det

A +

an

I

= n (det A)1"

an

n+ a1

an

n1+ ::: + an1

an

+ an

#

= 1

an

(an)

n + a1 (an)n1 + ::: + an1an

n1 + ann

= (an)n1 + a1 (an)

n2 + ::: + an1n1 + n:

20. Fie A; şi trei matrice de tip m m; m 1 şi respectiv 1 m astfelîncât A2 = I + şi = 1: S¼a se arate c¼a:a) A = 0 şi A = 0;

b) A + este nesingular¼a şi (A + )1 = A + ;Rezolvare: a) Avem

A2 = (I + ) = + = + = 0

A2

= (I + ) = + = + = 0:Atunci

0 = A

A2

= A2 (A ) = (I + ) A = A + A;


17/162

17

de unde rezult¼a c¼a A = A: Scriind acum

0 = A2 = A (A ) = A (A ) = (A ) (A ) = (A ) (A ) = (A )2

şi având în vedere c¼a 6= 0; iar A 2 R; obţinem c¼a A = 0; ceea ceva antrena A = 0: Pe de alt¼a parte,

0 = A = A = A

I + A2

= A + A3 = A:

b) Din egalit¼a̧tile

(A + ) (A + ) = A2 + A A + ( ) = A2 + = I

obţinem c¼a A + este nesingular¼a, iar inversa sa este A + :

21. Fie A; B şi C matrice de tip n n astfel încât B = C 1AC: Dac¼a f (x)este un polinom oarecare, s¼a se arate c¼a

f (B) = C 1f (A) C:

Rezolvare: Din egalitatea B = C 1

AC rezult¼a prin inducţie matem-atic¼a faptul c¼a Bk = C 1AkC; pentru orice k 2 N: Fie

f (x) = anxn + an1x

n1 + ::: + a1x + a0; ai 2 R; i = 0; n:

Avem

f (B) = anBn + an1B

n1 + ::: + a1B + a0I

= anC 1AnC + an1C

1An1C + ::: + a1C 1AC + a0C

1C

= C 1

anAn + an1An1 + ::: + a1A + a0I

C

= C 1f (A) C;

ceea ce trebuia demonstrat.


18/162


19/162

19

atunci rangA =rangB, pentru orice n 2 R. Dac¼a m = 3, atunci

rangA = 2. Pentru a avea şi B rangul 2, punem condiţia

1 2 n1 0 1

2 1 2

= 0

şi ob̧tinem n = 1.

24. Se dau matricele

A =

0BBBB@

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

1 0 0 0

1CCCCA

şi B =

0BBBB@

0 0 0 1

1 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

1CCCCA

.

S¼a se arate c¼a B1 = A şi A1 = B.

25. Folosind transform¼arile elementare s¼a se a‡e rangurile urm¼atoarelor

matrice:

A =

0BBBB@

3 1 3 23 3 3 2

6 1 1 23 1 3 1

1CCCCA

, B =

0BBBB@

0 4 10 1

4 8 18 7

10 18 40 17

1 7 17 3

1CCCCA

,

C =

0BBBBBBB@

1 0 1 0 0

1 1 0 0 0

0 1 1 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 1 1

1CCCCCCCA

, D =

0BB@

1 2 32 3 41 5 7

1CCA .

Rezolvare: Avem

A =

0BBBB@3 1 3 23 3 3 2

6 1 1 23 1 3 1

1CCCCAl1+l2!l22l1+l3!l3l1+l4!l4

~

0BBBB@3 1 3 20 4 0 0

0 1 7 00 0 0 3

1CCCCA ~


20/162


l2!l3~0BBBB@

3 1 3 20 1 7 00 4 0 0

0 0 0 3

1CCCCA 4l2+l3!l3~

0BBBB@3 1 3 20 1 7 00 0 28 0

0 0 0 3

1CCCCA ;

de unde rezult¼a c¼a rangA = 4.

În acelaşi mod obţinem: rangB = 2, rangC = 5, rangD = 2.


21/162

Capitolul 2

Sisteme de ecuaţii liniare

1. Folosind regula lui Cramer s¼a se rezolve sistemul8>>>><>>>>:

x

15 +

y

10 +

z

6 =

38

30x

10 +

y

6 +

z

15 =

31

30x

6 +

y

15 +

z

10 =

31

30

:

Rezolvare: Sistemul dat este echivalent cu8>><>>:

2x + 3y + 5z = 38

3x + 5y + 2z = 31

5x + 2y + 3z = 31

:

=

2 3 5

3 5 2

5 2 3

= 70, x =

38 3 5

31 5 2

31 2 3

= 140;

y =2 38 5

3 31 2

5 31 3

= 210, z =2 3 38

3 5 31

5 2 31

= 350:

Deci, x = x

= 2, y =

y

= 3, z = z

= 5.

21


22/162

22 CAPITOLUL 2. SISTEME DE ECUAŢII LINIARE

2. Folosind regula lui Cramer s¼a se rezolve sistemul8>><>>:

x + ay + a2z = a3

x + by + b2z = b3

x + cy + c2z = c3

;

unde a; b; c 2 R, diferite dou¼a câte dou¼a.

Rezolvare: =

1 a a2

1 b b2

1 c c2

= (a b) (b c) (c a) 6= 0,

x =

a3 a a2

b3 b b2

c3 c c2

= abc (a b) (b c) (c a) ;

y =

1 a3 a2

1 b3 b2

1 c3 c2

= (ab + bc + ca) (a b) (b c) (c a) ;

z =1 a a3

1 b b3

1 c c3

= (a + b + c) (a b) (b c) (c a) :Soluţia este x = abc, y = (ab + bc + ca), z = a + b + c.

3. S¼a se rezolve şi s¼a se discute sistemele

a)

( x 4y 3z = 13x + 12y 3z = 2 , b)

8>><

>>:

x 4y 3z = 1x + 2y + z = 2

2x + 4y + 2z = 3

.

Rezolvare: a) Matricea sistemului şi matricea extins¼a sunt:

A =

1 4 33 12 3

!, respectiv A =

1 4 3 13 12 3 2

!.


23/162

23

Avem rangA =rangA = 2, deci sistemul este compatibil nedeterminat.

Dac¼a determinantul principal este p = 1 33 3 = 12, atunci x,

z sunt necunoscutele principale şi y necunoscut¼a secundar¼a. Se obţin

soluţiile: x = 4 14

, y = , z = 512

, 2 R.b) Corespunz¼ator sistemului avem matricele:

A =

0BB@

1 4 31 2 1

2 4 2

1CCA

şi A =

0BB@

1 4 3 11 2 1 2

2 4 2 3

1CCA

.

Avem rangA = 2 şi rangA = 3, deci sistemul este incompatibil.

4. S¼a se rezolve şi s¼a se discute dup¼a valorile parametrului real sistemul8>><>>:

x + y + z = 1

x y + z = 1x + y z = 2

:

Rezolvare: Determinantul sistemului este = (1 + )2. Avem cazurile:

a) 2 R f1g, atunci 6= 0 şi sistemul are soluţie unic¼a dat¼a deregula lui Cramer

x = 3 ( + 1) ; y = 3 ( 1) ; z = 2

2 + 1 .Deci, soluţia este

x = 3

+ 1, y =

3 ( 1)(1 + )2

, z = 2 2 + 1

(1 + )2 .

b) =

1, atunci = 0, sistemul devine8>><>>:

x y + z = 1x y + z = 1x + y z = 2

:


24/162


Cu notaţiile obişnuite avem rangA = 2, iar rangA = 3, deci sistemul

este incompatibil.

5. S¼a se rezolve şi s¼a se discute dup¼a valorile reale ale parametrilor , ,

sistemul 8>><>>:

( 1) x + y + ( + 1) z = 1( 1) x + y + ( + 1) z = 1x + y + z = 2

:

Rezolvare: Avem

=

1 + 1

1 + 11

=

1 1

1 11 0

=

0 1

0 1

1 0

= (1 ) ( ) .

Distingem cazurile:

a) dac¼a 6= 1 şi 6= atunci sistemul este compatibil determinat şise rezolv¼a cu regula lui Cramer

x =

1 + 1

1 + 1

2

= 2 ( )

y =

1 1 + 1 1 1 + 1

1 2

= ( + 3) ( )

z = 1 1 1 1

1 2 = (1 + ) ( ) :

Soluţia este: x = 21 , y =

+ 3

1 , z = 1 +

1 :


25/162

25

b) dac¼a = 1 şi 6= sistemul devine:8>><>>:

( 1) x + y + ( + 1) z = 1( 1) x + y + ( + 1) z = 1x + y + z = 2

:

Avem p =

1 1 = 6= 0 şi car =

1 1 1 1

1 1 2

=

2 ( ) 6= 0, deci sistemul este incompatibil.c) dac¼a = 1 şi = , sistemul devine(

( 1) x + y + ( + 1) z = 1x + y + z = 2 :

p =

1 1 1 = 1 6= 0, rangA =rangA = 2, deci sistemul este

compatibil simplu nedeterminat cu soluţiile: x = 1 2 + , y =1 + 2 2, z = , 2 R.d) dac¼a 6= 1 şi = , sistemul devine(

( 1) x + y + ( + 1) z = 1x + y + z = 2 :

Calculând 1 =

1 1 = , 2 =

+ 1 = ,

3 =

1 + 11 = 1, se observ¼a c¼a totdeauna exist¼a

un determinant nenul (3 = 1 1), deci rangA = 2.d1) dac¼a

6= 0, atunci p = 2

6= 0, x este necunoscut¼a secundar¼a

(x = ) şi sistemul devine( y + ( + 1) z = 1 ( 1) y + z = 2 ;


26/162


care se rezolv¼a imediat.

d2) dac¼a = 0, sistemul devine( ( 1) x + y + ( + 1) z = 1x = 2 ;

care este compatibil simplu nedeterminat, rezolvându-se în funçtie de

.

6. S¼a se determine parametrul 2 R, astfel încât sistemul

8>>>>>>><>>>>>>>:

2x y + 3z = 9

3x + 2y + 5z = 11x y + z = 24x + 5y + z = 1

4x + z = 22

s¼a …e compatibil.

Rezolvare: Se observ¼a c¼a rangA = 3 ( p …ind ob̧tinut din primele trei

linii). Sistemul este compatibil dac¼a rangA = 3. car1 = 0, car2 =

38 ( 9), de unde = 9.

7. S¼a se g¼aseasc¼a relaţia dintre parametrii reali , , astfel încât sistemul8>><>>:

x + 2y + 3z =

2x + y + 2z =

3x + z =

s¼a …e compatibil.

Rezolvare: Avem rangA = 2. Din condiţia rangA = 2 obţinem 2 + = 0.

8. Fie sistemul 8>><>>:

2x 3y + 4z 5t = 1x + 9y + z + t = 3

5x 6y + 10z + t = :


27/162

27

S¼a se determine parametrii reali ; ; astfel ca rangul matricei sis-

temului s¼a …e doi şi sistemul s¼a …e compatibil.Rezolvare: = 2, = 12, = 2.

9. S¼a se arate c¼a sistemele

a)

8>><>>:

x 3y + 4z = 0x + 2y z = 02x y + 3z = 0

, b)

8>><>>:

x + 2y + z = 0

x 2y + 2z = 03x 2y + 5z = 0

admit şi soluţii diferite de cea banal¼a şi s¼a se determine aceste soluţii.

Rezolvare: a) det A = 0, p = 1 31 2

= 5, x, y necunoscuteprincipale, z necunoscut¼a secundar¼a. Soluţiile sunt x = , y = şiz = , 2 R:b) det A = 0, p =

1 21 2 = 4, x, y necunoscute principale, z

necunoscut¼a secundar¼a. Soluţiile sunt x = 32

, y = 14

şi z = ,

2 R:

10. S¼a se arate c¼a sistemul 8>><>>:

x + 2y + 3z = 0

4x + 5y + 6z = 0

x + 2z = 0

admite doar soluţia banal¼a, indiferent de valorile lui 2 R.Rezolvare: det A = 3 2 + 1 6= 0.

11. S¼a se rezolve sistemul liniar omogen8>><>>:

x1 + x2 + x3 = 0

ax1 + bx2 + cx3 = 0

(b + c) x1 + (c + a) x2 + (a + b) x3 = 0

, cu a 6= b.


28/162


Rezolvare: Sistemul este compatibil simplu nedeterminat, cu solu̧tia

x1 = (b c), x2 = (c a), x3 = (a b), 2 R.12. S¼a se rezolve sistemul8>>>><

>>>>:

x + y + z t = 22x + y z + 2t = 9x + 2y + 2z t = 5x + 3y z 2t = 4

:

Rezolvare: Aplicarea regulii lui Cramer necesit¼a multe calcule, de

aceea este indicat¼a rezolvarea sistemului aplicând metoda lui Gauss.0BBBB@

1 1 1 12 1 1 2

1 2 2 11 3 1 2

2

9

5

4

1CCCCA ~0BBBB@

1 1 1 10 1 3 40 3 3 20 2 2 1

2

5

7

6

1CCCCA ~

0BBBB@

1 1 1 10 1 3 40 0 6 100 0 8 7

2

5

224

1CCCCA ~0BBBB@

1 1 1 10 1 3 40 0 3 50 0 0 19=3

2

5

1176=3

1CCCCA ;

astfel am obţinut sistemul triunghiular echivalent8>>>><>>>>:

x + y+ z t = 2y 3z + 4t = 5

3z + 5t = 11 19

3 t = 76

3

.

Din ultima ecuaţie obţinem t = 4, pe care o înlocuim apoi în a treia şi

g¼asim z = 3, din a doua ecuaţie obţinem y = 2 şi din prima x = 1.

13. S¼a se rezolve folosind metoda lui Gauss sistemele:


29/162

29

a)8>>>:

x1 + 2x2 + x3 = 8

2x1 + 3x2 2x3 = 23x1 + 4x2 + 4x3 = 23

b)

8>><>>:

x2 + 2x3 = 4

x1 + 2x2 3x3 = 02x1 x2 + x3 = 3

c)

8>><>>:

x1 + x2 + x3 + x4 = 1

2x1 x2 + x3 x4 = 2

x1 2x2 2x4 = 1

d)

8>>>>>>><>>>>>>>:

x1 + 2x2 + 3x3 x4 = 13x1 + 2x2 + x3 x4 = 12x1 + 3x2 + x3 + x4 = 1

2x1 + 2x2 + 2x3 x4 = 15x1 + 5x2 + 2x3 = 2

e)

8>>>>>>>:

x1 + x2 + 2x3 + 3x4 x5 + 2x6 = 12x1 + 3x2 + x3

x4 + x6 = 2

x1 4x3 2x4 + 2x5 + 3x6 = 13x1 + 2x2 + 7x3 + x4 x6 = 1

f)

8>>>>>>><>>>>>>>:

x1 2x2 + x3 x4 + x5 = 52x1 2x2 + 3x3 2x4 + x5 = 83x1 6x2 + 3x3 + 2x4 + 3x5 = 13x1 + 4x2 + x4 2x5 = 7x1 + x3 + x4 x5 = 9:

Rezolvare: a) Avem0BB@

1 2 1

2 3 23 4 4

8

2

23

1CCA ~

0BB@

1 2 1

0 1 40 2 1

8

141

1CCA ~


30/162


0BB@1 2 1

0 1 40 0 9

8

1427

1CCA ;de unde se obţine sistemul8>><

>>:x1 + 2x2 + x3 = 8

x2 4x3 = 149x3 = 27

care are soluţia x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3.

b) Avem 0BB@

0 1 2

1 2 32 1 1

4

0

3

1CCA ~

0BB@

1 2 30 1 2

2 1 1

0

4

3

1CCA ~

0BB@

1 2 30 1 2

0 5 7

0

4

3

1CCA

~

0BB@

1 2 30 1 2

0 0 17

0

4

17

1CCA

şi ob̧tinem x1 = 1, x2 = 2 şi x3 = 1.c) Avem0

BB@1 1 1 1

2 1 1 11 2 0 2

1

2

1

1CCA ~0BB@

1 1 1 1

0 3 1 30 3 1 3

1

0

2

1CCA ~

0BB@1 1 1 1

0 3 1 30 0 0 0

1

021CCA

:

Ultima ecuaţie 0 = 2, ceea ce nu se poate, deci sistemul este incom-patibil.


31/162

31

d) Avem0BBBBBBB@

1 2 3 13 2 1 12 3 1 1

2 2 2 15 5 2 0

1

1

1

1

2

1CCCCCCCA~

0BBBBBBB@

1 2 3 10 4 8 20 1 5 30 1 1 20 5 13 5

1

21

0

3

1CCCCCCCA~

0

BBBBBBB@

1 2 3 10 1 1 2

0 2 4 10 1 5 30 5 13 5

1

0

113

1

CCCCCCCA ~

0

BBBBBBB@

1 2 3 10 1 1 2

0 0 6 50 0 6 50 0 18 15

1

0

113

1

CCCCCCCA ~0BBBBBBB@

1 2 3 10 1 1 20 0 6 50 0 0 0

0 0 0 0

1

0

10

0

1CCCCCCCA

;

sistemul este simplu nedeterminat, cu solu̧tiile: x1 = (1 + 5) =6, x2 =(1 7) =6, x3 = (1 + 5) =6, x4 = , 2 R.e) Avem:0BBBB@

1 1 2 3 1 22 3 1 1 0 1

1 0 4 2 2 33 2 7 1 0 1

1

2

1

1

1CCCCA ~0BBBB@

1 1 2 3 1 20 1 3 7 2 30 1 2 1 1 50 1 1 8 3 7

1

0

2

4

1CCCCA

~

0BBBB@1 1 2 3 1 20 1 3 7 2 30 0 1 8 1 80 0 2 15 5 10

10

2

4

1CCCCA ~0BBBB@

1 1 2 3 1 20 1 3 7 2 30 0 1 8 1 80 0 0 1 3 6

10

2

0

1CCCCA


32/162


sistem compatibil dublu nedeterminat, cu solu̧tiile: x1 = 9 145

92 , x2 = 6 + 81 + 52 , x3 = 2 + 40 + 25 , x4 = 6 3 , x5 = ,x6 = , ; 2 R.f) Avem

0BBBBBBB@

1 2 1 1 12 2 3 2 13 6 3 2 3

1 4 0 1 2

1 0 1 1 1

5

8

13

7

9

1CCCCCCCA

~

0BBBBBBB@

1 2 1 1 10 2 1 0 10 0 0 5 0

0 2 1 0 1

0 2 0 2 2

5

222

4

1CCCCCCCA

~

0BBBBBBB@

1 2 1 1 10 2 1 0 10 0 0 5 0

0 0 0 0 0

0 0 1 2 1

5

22

0

6

1CCCCCCCA

~

0BBBBBBB@

1 2 1 1 10 2 1 0 10 0 1 2 10 0 0 5 0

0 0 0 0 0

5

26

20

1CCCCCCCA

,

sistem compatibil simplu nedeterminat, x1 = 815 + 2, x2 = 125 + ,

x3 = 345 , x4 = 2

5, x5 = , 2 R.

14. S¼a se rezolve folosind metoda lui Gauss sistemele

a)

8>><>>:

x 2y + z = 44x + 3y 2z = 112x + 3y + 4z = 11

b)

8>>>><>>>>:

4x + 8y + 2z + t = 30x + 5y + 3z + 8t = 52

2x + 7y + z + 4t = 35

3x + 8y + 2z + t = 29


33/162

33

c)8>>>><>>>>:

x1 + x2 + 2x4 + x5 = 32x1 x2 + 3x3 x4 + 2x5 = 53x1 2x2 + 2x3 4x4 x5 = 2x1 x2 x3 3x4 3x5 = 7

d)

8>><>>:

x + 2y + z = 3

2x y + 3z = 2x 3y + 2z = 0

e)8>>>>>>>:

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 7

3x1 + 2x2 + x3 + x4 3x5 = 2x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 23

5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x4 x5 = 12:Rezolvare: a) x = 1, y = 3, z = 1.

b) x = 1, y = 2, z = 3, t = 4.

c) x1 = 4 + 2 + 3 , x2 = 1 + 2 , x3 = 4 2 , x4 = , x5 = ,unde , 2 R.d) sistem incompatibil.

e) x1 =

16 + + + 5 , x2 = 23

2

2

6 , x3 = , x4 = ,

x5 = , unde , , 2 R.

15. Fie sistemul de ecua̧tii liniare omogene cu coe…cienţi reali8>>>><>>>>:

x1 x2 + x3 x4 + x5 = 02x1 x2 + 3x3 + x4 + 2x5 = 0x2 + x3 + 3x4 = 0

x1 + 2x2 + 4x4 x5 = 0

:

a) S¼a se determine un sistem fundamental de solu̧tii.b) S¼a se stabileasc¼a dac¼a urm¼atoarele elemente formeaz¼a un sistem

fundamental de soluţii: v1 = (5; 4; 1; 1; 1), v2 = (5; 6; 0; 2; 1),v3 = (0; 1; 1; 0; 2).


34/162


Rezolvare: Rezolv¼am mai întâi sistemul. Avem0BBBB@1 1 1 1 12 1 3 1 20 1 1 3 0

1 2 0 4 1

1CCCCA ~0BBBB@

1 1 1 1 10 1 1 3 0

0 1 1 3 0

0 1 1 3 0

1CCCCA ~

0BBBB@

1 1 1 1 10 1 1 3 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

1CCCCA

,

deci sistemul este compatibil nedeterminat, x1,x2 sunt necunoscutele

principale şi x3, x4, x5 sunt necunoscutele secundare. Mulţimea soluţi-

ilor sistemului este

S = f(2 2 ; 3;;; ) ; ; ; 2 Rg :

Pentru a determina un sistem fundamental de soluţii, lu¼am:

= 1, = = 0 )

u1 = (

2;

1; 1; 0; 0)

= 0, = 1, = 0 ) u2 = (2; 3; 0; 1; 0) = = 0, = 1 ) u3 = (1; 0; 0; 0; 1) .

Muļtimea fu1, u2, u3g este sistem fundamental de solu̧tii pentru c¼arangul matricei format¼a din aceşti vectori este 3 (=num¼ar necunoscute

secundare).

b) Se veri…c¼a faptul c¼a vectorii v1, v2, v3 sunt soluţii ale sistemului, iar

matricea format¼a din cei trei vectori,0BB@

5 4 1 1 15 6 0 2 1

0 1 1 0 2

1CCA ;


35/162

35

are rangul 3, deci muļtimea fv1, v2, v3g formeaz¼a un sistem fundamen-

tal de soluţii.

16. Fie sistemul de ecua̧tii liniare omogene cu coe…cienţi reali8>>>><>>>>:

x1 + x2 x3 + 2x4 + x5 = 02x1 x2 + x3 + 2x5 = 0x1 2x2 + 2x3 6x4 5x5 = 0x1 + 2x4 + 3x5 = 0

:

a) S¼a se determine un sistem fundamental de solu̧tii.

b) S¼a se stabileasc¼a dac¼a urm¼atoarele elemente formeaz¼a un sistem

fundamental de soluţii: v1 = (0; 2; 2; 0; 0), v2 = (2; 5; 1; 1; 0), v3 =(4; 4; 0; 1; 2).Rezolvare: a) Mulţimea soluţiilor sistemului este

S = f(2 3; 4 4;;; ) ; ; ; 2 Rg;

iar un sistem fundamental de soluţii este

fu1 = (0; 1; 1; 0; 0) ; u2 = (2; 4; 0; 1; 0) ; u3 = (3; 4; 0; 0; 1)g:

b) Se veri…c¼a faptul c¼a cei trei vectori sunt soluţii ale sistemului şi

rangul matricei vectorilor este 3, deci formeaz¼a un sistem fundamental

de soluţii.

17. S¼a se determine parametrul m 2 R astfel ca urm¼atorul sistem s¼a admit¼aşi soluţii diferite de soluţia banal¼a şi, în acest caz, s¼a se rezolve

8>>>><>>>>:

x1 + x2 + mx3 x4 = 02x1 + x2 x3 + x4 = 03x1 x2 x3 x4 = 0mx1 2x2 2x4 = 0

:


36/162


37/162

Capitolul 3

Spa̧tii vectoriale

3.1 Exemple de spa̧tii vectoriale

1. Fie K un corp comutativ. Pe mulţimea

K n = K K ::: K = x = (x1; x2;:::;xn) ; xi 2 K; i = 1; nde…nim operaţia de adunare prin:

x+y = (x1; x2;:::;xn)+(y1; y2;:::;yn) = (x1 + y1; x2 + y2;:::;xn + yn) ; 8x; y 2 K n

şi operaţia de înmulţire cu scalari prin:

x = (x1; x2;:::;xn) ; 8 2 K ; x 2 K n:

S¼a se arate c¼a muļtimea K n este spaţiu vectorial.

Rezolvare: Se veri…c¼a axiomele spaţiului vectorial.

2. Fie P n mulţimea polinoamelor cu coe…cienţi reali de grad cel mult n:Operaţiile de adunare a dou¼a polinoame şi de înmulţire a unui polinom

cu un num¼ar real de…nesc pe P n o structur¼a de spaţiu vectorial real.Rezolvare: Se veri…c¼a axiomele spaţiului vectorial.

37


38/162

38 CAPITOLUL 3. SPAŢII VECTORIALE

3. S¼a se arate c¼a muļtimea Mmn (R) a matricelor cu m linii şi n coloane

cu elemente din R formeaz¼a un spaţiu vectorial real faţ¼a de operaţiilede adunare şi înmulţire cu numere reale a matricelor.


4. Not¼am cu C [a; b] mulţimea funcţiilor continue pe [a; b] cu valori reale.

De…nim operaţiile:

8f; g 2 C [a; b] ; (f + g) (x) = f (x) + g (x) ; 8x 2 [a; b] ;

8 2 R; f 2 C [a; b] ; (f ) (x) = f (x) ; 8x 2 [a; b] :

S¼a se arate c¼a muļtimea C [a; b] formeaz¼a un spaţiu vectorial.


5. Fie V = (0; 1) muļtimea numerelor reale pozitive. De…nim operaţiile

+ : V V ! V , x + y = xy, 8x; y 2 V şi : R V ! V , x = x, 8 2 R, 8x 2 V .

S¼a se arate c¼a fa̧t¼a de aceste operaţii V are structur¼a de spaţiu vectorial

real.

Rezolvare: Se veri…c¼a uşor c¼a (V; +) este grup comutativ. De aseme-

nea, 8; 2 R şi 8x; y 2 V avem1) ( + ) x = x+ = xx = x + x = x + x;

2) (x + y) = xy = (xy)

= x

y

= x

+ y

= x + y;3) ( ) x = x = x = ( x);4) 1 x = x1 = x.Deci V este un spa̧tiu vectorial real.


39/162

3.2. SUBSPAŢII VECTORIALE 39

3.2 Subspa̧tii vectoriale

1. S¼a se arate c¼a muļtimile

X 1 =

(A =

a b

a + b 0

! ; a; b 2 R

) şi

X 2 =

(A =

a a

2a b

! ; a; b 2 R

)

sunt subspaţii vectoriale ale spaţiului vectorial M2 (R).

Rezolvare: Fie A1 = a1 b1

a1 + b1 0!, A2 =

a2 b2

a2 + b2 0! 2

X 1, unde

a1; b1; a2; b2 2 R, şi ; 2 R. Avem

A1 + A2 =

a1 + a2 b1 + b2

(a1 + b1) + (a2 + b2) 0

!

=

a1 + a2 b1 + b2

(a1 + a2) + (b1 + b2) 0

!.

Deci A1 + A2 2 X 1, adic¼a X 1 este subspaţiul vectorial al lui M2 (R).În acelaşi mod se demonstreaz¼a c¼a X 2 este subspa̧tiul vectorial al lui

M2 (R).2. S¼a se veri…ce dac¼a muļtimile

X 1 =

8>><>>:A =

0BB@

x y x + y

y z 2x + zx y + z 0 0

1CCA ; x; y;z 2 R

9>>=>>; ,

X 2 =

8>>>:

B =

0

BB@a 1 0

a b 0

a + 2b 0 c

1

CCA; a; b; c 2 R

9>>=>>;

sunt subspaţii vectoriale ale spaţiului vectorial M3 (R).Rezolvare: X 1 este subspa̧tiu vectorial, dar X 2 nu este subspaţiu

vectorial.


40/162


3. S¼a se precizeze care din urm¼atoarele submulţimi ale lui R3 sunt sub-

spaţii vectoriale ale lui R3

:

a) X 1 = f(x1; x2; 0) ; x1; x2 2 Rg ;b) X 2 = f(x; 1; 0) ; x 2 Rg ;c) X 3 = f(x1; x2; x3) ; x1; x2; x3 2 Zg ;d) X 4 = f(x1; x2; x1 2x2) ; x1; x2 2 Rg ;e) X 5 = f(x1; x2; x3) ; x1 + 5x2 2x3 = 0, x1; x2; x3 2 Rg ;f) X 6 = f(x1; x2; x3) ; x1 + 5x2 2x3 = 1, x1; x2; x3 2 Rg ;

g) X 7 = f(x1; x2; x3) ; x1 + x2 > 0, x1; x2; x3 2 Rg ;h) X 8 = f(x1; x2; x3) ; x1x2x3 = 0, x1; x2 2 Rg .

Rezolvare: Dintre aceste submuļtimi, subspa̧tii vectoriale sunt doar

X 1, X 4 şi X 5.

4. Fie S Rn muļtimea soluţiilor unui sistem liniar omogen de m ecuaţiicu n necunoscute:

S = (x = (x1; x2;:::;xn) ;n

X j=1

aijx j = 0; i = 1; m) ;cu aij 2 R; i = 1; m; j = 1; n: S¼a se arate c¼a muļtimea S formeaz¼a unsubspaţiu vectorial al lui Rn:

Rezolvare: Mulţimea S este nevid¼a, pentru c¼a orice sistem liniar

omogen admite cel puţin soluţia banal¼a. Fie x = (x1; x2;:::;xn) ; y =

(y1; y2;:::;yn) 2 S: Atuncin

X j=1 aijx j = 0;n

X j=1 aijy j = 0; i = 1; m:Oricare ar … ; 2 R; avem

nX j=1

aij (x j + y j) = nX

j=1

aijx j + nX

j=1

aijy j = 0;


41/162

3.3. DEPENDENŢ ¼ A ŞI INDEPENDENŢ ¼ A LINIAR ¼ A. SISTEM DE GENERATORI 41

deci x + y 2 S; deci S este subspaţiu vectorial al lui Rn:

5. Fie Msn (R) Mn (R) muļtimea matricelor p¼atratice de ordinul n si-metrice, adic¼a

Msn (R) =

A 2 Mn (R) ; At = A

:

S¼a se arate c¼a Msn (R) formeaz¼a un subspaţiu vectorial al lui Mn (R) :Rezolvare: Mulţimea Msn (R) este nevid¼a deoarece On 2 Msn (R) :Folosind propriet¼aţile operaţiei de transpunere a unei matrice, pentru

orice ; 2 R şi orice A; B 2 Msn (R) avem:(A + B)t = (A)t + (B)t = At + B t = A + B:

Rezult¼a c¼a Msn (R) este subspaţiu vectorial al lui Mn (R) :

6. Fie Man (R) Mn (R) muļtimea matricelor p¼atratice de ordinul n an-tisimetrice, adic¼a

Man (R) =

A 2 Mn (R) ; At = A

:

S¼a se arate c¼a Man (R) formeaz¼a un subspaţiu vectorial al lui Mn (R) :

Rezolvare: Se procedeaz¼a ca în exerciţiul precedent.7. Fie Y muļtimea polinoamelor de forma ax4 + 2bx + 3a , cu a; b 2 R. S¼a

se arate c¼a Y este un subspaţiu vectorial al lui P 4.Rezolvare: Se veri…c¼a folosind teorema de caracterizare a subspa̧tiilor

vectoriale.

3.3 Dependenţ¼a şi independenţ¼a liniar¼a. Sis-

tem de generatori1. S¼a se arate c¼a vectorii

v1 = (0; 1; 1) , v2 = (1; 2; 3) , v3 = (2; 1; 1)


42/162


din R3 sunt liniar dependenţi şi s¼a se a‡e relaţia de dependenţ¼a liniar¼a

dintre ei.Rezolvare: S¼a ar¼at¼am c¼a exist¼a scalarii 1, 2, 3 nu toţi nuli astfel

ca 1v1 + 2v2 + 3v3 = 0, adic¼a

1(0; 1; 1) + 2 (1; 2; 3) + 3 (2; 1; 1) = 0,

de unde rezult¼a sistemul8>>>:

2 + 23 = 0

1 + 22

3 = 0

1 + 32 + 3 = 0

:

Ca acest sistem s¼a admit¼a şi soluţii diferite de cea banal¼a trebuie ca ran-

gul matricei sistemului s¼a …e mai mic decât num¼arul necunoscutelor.

Cum

0 1 2

1 2 11 3 1

= 0, rangul matricei sistemului este 2 < 3. Re-

zolvând sistemul obţinem 1 = 53, 2 = 23. Înlocuind în relaţiaconsiderat¼a avem

5v1 2v2 + v3 = 0;relaţia de dependenţ¼a cerut¼a.

Observaţie: Matricea sistemului are vectorii v1, v2, v3 ca vectori

coloan¼a. Cum rangul acestei matrice este 2, num¼arul maxim de vectori

liniar independenţi din sistemul S este 2:

2. S¼a se studieze dependenţa liniar¼a pentru sistemele de vectori:

a) A1 = 2 13 1

!, A2 = 0 21 1 !, A3 = 5 1

2 1 ! în M2 (R);b) p1 = 2x2 + x + 3, p2 = x2 + 5x 3, p3 = 3x2 x + 7 în P 2;c) v1 = (1; 1; 2), v2 = (1; 0; 3), v3 = (2; 1; 1) în R3;d) v1 = (1; 2; 1; 1; 2), v2 = (1; 3; 2; 1; 1), v3 = (0; 1; 4; 2; 0),


43/162


v4 = (2; 4; 3; 2; 3) în R5.

În cazul sistemelor liniar dependente, s¼a se precizeze rela̧tia de depen-deņt¼a.

Rezolvare: a) Consider¼am relaţia 1A1 + 2A2 + 3A3 = 0. Prin în-

locuirea vectorilor v1, v2, v3; aceast¼a relaţie este echivalent¼a cu sistemul

omogen 8>>>><>>>>:

21 + 53 = 0

1 + 22 + 3 = 031 2 + 23 = 0

1 + 2 3 = 0:Problema revine la a studia dac¼a acest sistem admite sau nu solu̧tii

nebanale. Rangul matricei acestui sistem este 3, prin urmare sistemul

are doar soluţia banal¼a 1 = 2 = 3 = 0. Deci sistemul de vectori

este liniar independent.

b) Relaţia 1 p1 + 2 p2 + 3 p3 = 0 este echivalent¼a cu sistemul omogen

8>>>:21 + 2 + 33 = 0

1 + 52 3 = 031 32 + 73 = 0:

Rangul matricei sistemului este 2 < 3, deci sistemul este simplu nede-

terminat. În acest caz sistemul de vectori este liniar dependent şi o

relaţie de dependenţ¼a liniar¼a este

16 p1 + 5 p2 + 9 p3 = 0.

c) Matricea cu vectorii v1,v2, v3 pe coloane

0BB@1 1 2

1 0 12 3 1

1CCA are rangul3, deci sistemul de vectori este liniar independent.


44/162


d) Matricea

0BBBBBBB@

1 1 0 2

2 3 1 41 2 4 3

1 1 2 22 1 0 3

1CCCCCCCAare rangul 3, deci sistemul de vectori

este liniar dependent şi o relaţie de dependenţ¼a este

v1 + v2 v3 v4 = 0.

3. Se consider¼a în R3 vectorii:

v1 = (1; 1; 1) , v2 = (2; 1; 3) , v3 = (1; 3; 5) , v4 = (3; 1; 7) .

S¼a se determine num¼arul maxim de vectori liniar independenţi din sis-

temul S = fv1; v2; v3; v4g.Rezolvare: Num¼arul maxim de vectori liniar independeņti din sis-

temul S este dat de rangul matricei care are pe coloane (sau linii)

vectorii sistemului S . Matricea astfel format¼a este

A =0BB@

1 2 1 3

1 1 3 11 3 5 7

1CCAşi are rangul 2, deci num¼arul maxim de vectori liniar independenţi din

sistemul S este 2.

4. Se condider¼a în R5 vectorii

v1 = (2; 1; 3; 1; 1) , v2 = (1; 3; 4; 2; 3) , v3 = (4; 1; 1; 1; 3) ,

v4

= (7; 0; 3; 1; 4) :S¼a se determine num¼arul maxim de vectori liniar independenţi din siste-

mul S = fv1; v2; v3; v4g.Rezolvare: Num¼arul maxim de vectori liniar independenţi este 3.


45/162


5. S¼a se g¼aseasc¼a dimensiunea subspa̧tiului generat de vectorii

v1 = (1; 0; 2; 1) , v2 = (3; 1; 1; 0) , v3 = (2; 2; 3; 1)din R4.

Rezolvare: Dimensiunea subspaţiului generat de vectorii v1, v2, v3este egal¼a cu num¼arul maxim de vectori liniar independenţi ai sistemu-

lui dat, adic¼a cu rangul matricei

A =

0

BBBB@1 3 2

0 1 22

1 3

1 0 1

1

CCCCA .

Se obţine rangA = 3, deci dimensiunea subspaţiului generat de cei trei

vectori este 3.

6. S¼a se g¼aseasc¼a dimensiunea subspa̧tiului generat de vectorii

v1 = (1; 0; 9; 1) ; v2 = (1; 2; 5; 3) ; v3 = (1; 1; 7; 2) ; v4 = (0; 1; 2; 1)din R4.

Rezolvare: Dimensiunea subspa̧tiului generat de vectorii v1, v2, v3,

v4 este 2.

7. S¼a se arate c¼a vectorii v1 = (2; 1; 3; 5) şi v2 = (1; 3; 2; 4) din R4 suntliniar independenţi. S¼a se veri…ce dac¼a vectorul v = (1; 11; 12; 2)aparţine spaţiului generat de v1 şi v2.

Rezolvare: Matricea

0BBBB@

2 1

1 33 2

5 4

1CCCCA

are rangul 2, deci cei doi vectori

sunt liniar independenţi. Subspaţiul generat de v1 şi v2 este

X = fv1 + v2 ; ; 2 Rg == f(2 + ; + 3; 3 2; 5 + 4 ) ; ; 2 Rg .


46/162


47/162


48/162


3. S¼a se arate c¼a în spaţiul vectorial P n; al polinoamelor de grad cel mult

n cu coe…cienţi reali, sistemul

B = 1; x ; x2;:::;xnformeaz¼a o baz¼a. Deci, dim P n = n + 1:Rezolvare: Se arat¼a c¼a sistemul B este liniar independent şi este sistemde generatori pentru P n:

4. S¼a se determine 2 R astfel încât vectorii

v1 = (; 0; 1) , v2 = (0; ; 1) , v3 = (1; 1; )s¼a formeze o baz¼a în R3.

Rezolvare: Consider¼am matricea ale c¼arei coloane sunt formate din

coordonatele vectorilor daţi

A =

0BB@

0 10 1

1 1

1CCA .

Deoarece dim R3

= 3, cei trei vectori formeaz¼a o baz¼a în R3

dac¼a suntliniar independenţi, adic¼a dac¼a det A 6= 0. Obţinem det A = 3 + 2,astfel c¼a vectorii daţi formeaz¼a o baz¼a pentru 2 R f0g.

5. Pentru ce valori ale lui 2 R matricele

A1 =

2

2 2

!; A2 =

4 12 5

!; A3 =

2 10

12 1

!

sunt liniar independente.

Rezolvare: 2 R f3g.6. În R4 se dau vectorii

v1 = (1; 2; 3; 1) , v2 = (0; 1; 1; 2) , v3 = (2; 0; 1; 3) , v4 = (1; 1; 1; 2) :


49/162

3.4. BAZ ¼ A ŞI COORDONATE. SCHIMB¼ ARI DE BAZE ŞI COORDONATE 49

S¼a se arate c¼a aceştia formeaz¼a o baz¼a. Se cer coordonatele vectorului

v = (2; 2; 3; 1) în aceast¼a baz¼a.Rezolvare: Deoarece dimR4 = 4, este su…cient s¼a ar¼at¼am c¼a vectorii

daţi sunt liniar independenţi. Considerându-i ca vectori coloan¼a într-o

matrice, obţinem

0BBBB@

1 0 2 12 1 0 1

3 1 1 11 2 3 2

1CCCCA. Rangul acestei matrice este

4, deci vectorii sunt liniar independenţi. Scriem apoi v = 1v1 + 2v2 +

3v3 + 4v4. Pentru determinarea coordonatelor obţinem sistemul8>>>><>>>>:

1 23 4 = 221 2 + 4 = 231 + 2 + 3 + 4 = 31 + 22 + 33 + 24 = 1;

cu soluţia: 1 = 1, 2 = 1, 3 = 2, 4 = 1.

7. a) În R3 se dau vectorii v1 = (1; 2; 3), v2 = (2; 3; 4), v3 = (3; 4; 5). S¼a se

arate c¼a aceştia formeaz¼a o baz¼a şi apoi s¼a se determine coordonatelevectorului u = (1; 3; 5) în aceast¼a baz¼a.b) În R4 se dau vectorii v1 = (2; 1; 1; 1), v2 = (1; 2; 1; 1), v3 =(1; 1; 2; 1), v4 = (1; 1; 1; 2). S¼a se arate c¼a aceştia formeaz¼a o baz¼a.Se cer coordonatele vectorului w = (1; 1; 1; 1) în aceast¼a baz¼a.Rezolvare: a) Se veri…c¼a liniara independenţ¼a a celor trei vectori,

aşadar ei formeaz¼a o baz¼a şi u = 2v1 v2 + v3, deci coordonatele luiu în aceast¼a baz¼a sunt (2; 1; 1).

b) w =

1

3v1 1

3v2 +

1

3v3 v4.8. Pentru ce valori ale lui 2 R vectorii

f 1 = (; 0; 1) ; f 2 = (1; 1; 0) şi f 3 = (1; 1; )


50/162


51/162


52/162


13. În R3 se consider¼a bazele:

B = fv1 = (1; 1; 1) ; v2 = (2; 0; 1) ; v3 = (1; 2; 0)g şiB0 = fw1 = (2; 1; 2) ; w2 = (1; 2; 1) ; w3 = (0; 1; 1)g .

a) S¼a se determine leg¼atura dintre cele dou¼a baze;

b) S¼a se determine coordonatele vectorului v fa̧t¼a de baza B 0 ştiind c¼a

are coordonatele (1; 1; 0) fa̧t¼a de baza B .

Rezolvare: a) Leg¼atura dintre cele dou¼a baze este dat¼a de

w1 = v1 + v2

v3, w2 =

v2 + v3, w3 = v1

v3.

b) Coordonatele vectorului v fa̧t¼a de baza B0 se obţin ţinând cont de

leg¼atura stabilit¼a mai sus. Se g¼asȩste v = 2w1 + w2 w3, adic¼a v arecoordonatele (2; 1; 1) fa̧t¼a de baza B 0.

14. S¼a se g¼aseasc¼a matricea de trecere de la baza uzual¼a a lui R3 la baza

W şi componentele vectorului x 2 R3 în raport cu baza W dac¼a:a) W =

f 1 = (1; 1; 1) ; f 2 = (1; 1; 2) ; f 3 = (2; 1; 2)

şi x = (1; 2; 2);

b) W = f 1 = (1; 0; 3) ; f 2 = (2; 2; 1) ; f 3 = (1; 1; 1) şi x = (1; 0; 0).Rezolvaree: a) C =

0BB@

1 1 21 1 1

1 2 2

1CCA, x = (2; 1; 1)W .

b) C =

0BB@

1 2 10 2 13 1 1

1CCA, x = (1; 1; 2)W .

15. Se dau vectorii

v1 = u1 + u2 u3, v2 = 2u1 + 3u2 şi v3 = 3u1 + 7u2 + 6u3

dintr-un spaţiu vectorial în care muļtimea fu1; u2; u3g este baz¼a. S¼ase arate c¼a fv1; v2; v3g formeaz¼a o baz¼a în acest spaţiu şi s¼a se a‡e


53/162


coordonatele vectorului w = 2u1 7u3 în aceast¼a baz¼a.

Rezolvare: Fie C =0BB@ 1 2 31 3 7

1 0 6

1CCA matricea de trecere de la bazafu1; u2; u3g la fv1; v2; v3g. Rangul lui C este 3 (det C 6= 0), deci vectoriiv1, v2, v3 sunt liniar independenţi şi pot forma o baz¼a. Fie X =0BB@

2

0

7

1CCA matricea coloan¼a a coordonatelor lui w în baza fu1; u2; u3g.

Legea schimb¼arii componentelor unui vector la o schimbare de baze este

X 0 = C 1X , unde X 0 este matricea coloan¼a a coordonatelor lui w în

baza fv1; v2; v3g. Obţinem X 0 =

0BB@

1

2

1

1CCA, deci w = v1 + 2v2 v3.

16. Fie subspaţiul lui R4:

Y =

x = (x1; x2; x3; x4) ; x1 + 2x2 + x4 = 0, xi 2 R, i = 1; 4

.

S¼a se g¼aseasc¼a o baz¼a şi s¼a se precizeze dimensiunea subspa̧tiului.

Rezolvare: Putem scrie

Y =

(x1; x2; x3; x1 2x2) ; xi 2 R, i = 1; 3

şi consider¼am vectorii u1 = (1; 0; 0; 1), u2 = (0; 1; 0; 2), u3 = (0; 0; 1; 0)din Y . Mulţimea fu1; u2; u3g constituie o baz¼a pentru Y deoarececei trei vectori sunt liniar independenţi (matricea cu aceşti vectori pe

coloane are rangul 3) şi orice x 2 Y se poate scrie x = x1u1+x2u2+x3u3(u1, u2, u3 este sistem de generatori pentru Y ), iar dim Y = 3.

17. Se consider¼a spaţiul vectorial real

X =

(A =

a b 0

b c a + c

! ; a; b; c 2 R

):


54/162


S¼a se arate c¼a matricele F 1 = 2 1 01 1 3 !, F 2 = 0 1 01 1 1

! şiF 3 =

0 1 0

1 2 2

! formeaz¼a o baz¼a în acest spaţiu.

Rezolvare: Se veri…c¼a mai întâi c¼a matricele F 1, F 2 şi F 3 sunt liniar

independente. Mai trebuie ar¼atat c¼a fF 1; F 2; F 3g este un sistem de

generatori pentru X . Fie A 2 X , A =

a b 0

b c a + c

!, a; b; c 2 R şi

s¼a determin¼am scalarii 1, 2, 3 cu proprietatea c¼a

1F 1 + 2F 2 + 3F 3 = A:

Se obţine soluţia 1 = 1

2a, 2 =

1

6 (a 4b + 2c), 3 = 1

3 (b + c a),

deci

A = a

2F 1 +

a 4b + 2c6

F 2 + b + c a

3 F 3:

18. S¼a se calculeze dimensiunea şi s¼a se indice o baz¼a a spaţiului soluţiilor

urm¼atorului sistem liniar omogen

8>><>>:

x1 + x2 + x3 + x4 + 2x5 = 0

x1 x2 + 2x3 + x4 + x5 = 0x1 + 5x2 x3 + x4 + 4x5 = 0

.

Rezolvare: Matricea sistemului este0BB@

1 1 1 1 2

1 1 2 1 11 5 1 1 4

1CCA

0BB@

1 1 1 1 2

0 2 1 0 10 4 2 0 2

1CCA

0BB@

1 1 1 1 2

0 2 1 0 10 0 0 0 0

1CCA :


55/162


Deci mulţimea soluţiilor este

S =3 2 3

2 ;

2

; ; ;

; ; ; 2 R

:

O baz¼a pentru S este

fu1 = (3; 1; 2; 0; 0) , u2 = (1; 0; 0; 1; 0) , u3 = (3; 1; 0; 0; 2)g ;

iar dim S = 3.

19. S¼a se calculeze dimensiunea şi s¼a se indice o baz¼a a spaţiului soluţiilor

urm¼atoarelor sisteme liniare şi omogene

a)

8>><>>:

x1 + x2 x3 = 03x1 2x2 + 2x3 = 0

6x1 + x2 x3 = 0b)

8>><>>:

x1 2x2 + x3 + x4 = 0x1 2x2 + x3 x4 = 0

x1 2x2 + x3 + 5x4 = 0

c)

8>>>><>>>>:

x1 + 2x2 x3 + x5 = 0x1 + 3x2 2x3 + 8x4 3x5 = 0x1 + 4x2 2x3 + 7x4 4x5 = 0x1 + x2 + 2x5 = 0

:

Rezolvare: a) S = f(0; ; ) ; 2 Rg, deci dim S = 1, o baz¼a estefu1 = (0; 1; 1)g.b) S = f(2 ;;; 0) ; ; 2 Rg, dim S = 2, o baz¼a estefv1 = (2; 1; 0; 0) , v2 = (1; 0; 1; 0)g.c) S =

3; + ; 5 3

2;;

; ; 2 R

, dim S = 2, o

baz¼a este w1 = (1; 1; 5; 1; 0) , w2 = 3; 1; 3

2

; 0; 1.


56/162



57/162

Capitolul 4

Spa̧tii euclidiene

1. Fie Mn (R) spaţiul vectorial real al matricelor p¼atratice reale de ordinn. De…nim aplicaţia " " : Mn (R) Mn (R) ! R prin

A B = tr AtB = nXi=1

nXk=1

akibki, 8A = (aij) , B = (bij) 2 Mn (R) .

S¼a se arate c¼a aceast¼a aplica̧tie este un produs scalar pe Mn (R).Rezolvare: Avem c¼a

1) A B = Pni=1Pnk=1 akibki = Pni=1Pnk=1 bkiaki = B A, 8A =(aij) ; B = (bij) 2 Mn (R);2) A A = Pni=1Pnk=1 (aki)2 0, 8A = (aij) 2 Mn (R) şi A A = 0 ,aki = 0, 8k = 1; n, i = 1; n;3) A(B + C ) = Pni=1Pnk=1 aki (bki + cki) = Pni=1Pnk=1 (akibki + akicki)= P

ni=1P

nk=1 akibki + P

ni=1P

nk=1 akicki = A B + A C , 8A = (aij),

B = (bij), C = (cij) 2 Mn (R);4) (A) B = Pni=1Pnk=1 (aki) bki = Pni=1Pnk=1 akibki = A B,8A = (aij), B = (bij) 2 Mn (R), deci aplica̧tia " " este un produsscalar pe Mn (R).

57


58/162

58 CAPITOLUL 4. SPAŢII EUCLIDIENE

2. S¼a se arate c¼a aplicaţia " " : Rn Rn ! R de…nit¼a prin

x y = x1y1 + x2y2 + ::: + xnyn;

unde x = (x1; x2;:::;xn); y = (y1; y2;:::;yn); este un produs scalar pe

Rn:

Rezolvare: Se veri…c¼a propriet¼aţile produsului scalar.

3. Fie P n [1; 1] spaţiul vectorial real al polinoamelor de grad n cu coe…-cienţi reali de…nite pe [1; 1]. S¼a se arate c¼a P n [1; 1] este un spaţiu

euclidian real în raport cu produsul scalar de…nit prin

p q =Z 1

1

p (x) q (x) dx, 8 p; q 2 P n [1; 1] .

Rezolvare: Se veri…c¼a propriet¼aţile produsului scalar.

4. Folosind produsele scalare standard cu care sunt dotate spa̧tiile eucli-

diene respective, s¼a se calculeze produsul scalar şi apoi unghiul dintre

vectorii:

a) u1 = (1; 2; 3), u2 = (2; 3; 4) din R3

;b) v1 = (1; 0; 2; 5), v2 = (2; 3; 1; 1) din R4;

c) A =

2 13 1

!, B =

1 1

2 0

! din M2 (R);

d) p = x2 3x, q = x + 1 din P 2 [1; 1].Rezolvare: a) u1 u2 = 2 + 6 + 12 = 20,cos ' =

u1 u2ku1k ku2k =

20p 1 + 4 + 9

p 4 + 9 + 16

= 20p

406.

b) cos ' = 5p

1 + 4 + 25p

4 + 9 + 1 + 1= 1

3p

2.

c) AtB =

4 2

3 1

!, A B = 4 1 = 3, kAk =

p A A = p 15,

kBk =p

B B = p 6, cos ' = 3p 15

p 6

= 1p

10.


59/162

59

d) p q = R 1

1 (x2 3x) (x + 1) dx = R

1

1 (x3 2x2 3x) dx = 4

3,

cos ' = p q

k pk kq k , k pk =p

p p =r

325

, kq k = p q q =r

83

.

5. S¼a se veri…ce dac¼a aplicaţia " " : R3 R3 ! R, de…nit¼a prin

x y = x1y3 + 2x2y1 + x2y2 + 5x3y1,

unde x = (x1; x2; x3), y = (y1; y2; y3), este un produs scalar.

Rezolvare: Nu, deoarece nu este simetric¼a.

6. S¼a se cerceteze dac¼a aplicaţia " " :R2

R2

! R, de…nit¼a prinxy = 2x1y1x1y2x2y1+4x2y2, unde x = (x1; x2) , y = (y1; y2) 2 R2,

este un produs scalar şi în caz a…rmativ s¼a se calculeze produsul scalar

dintre x = (2; 1), y = (1; 1).Rezolvare: Trebuie s¼a veri…c¼am propriet¼a̧tile produsului scalar. Se

observ¼a c¼a xy = y x, 8x; y 2 R2. Apoi xx = 2x21x1x2x2x1+4x22 =2(x1 12x2)2 + 72x22 0, 8x 2 R2 şi x x = 0 , x1 = x2 = 0 ,

x = 0. Dac¼a consider¼am z = (z1; z2) 2R2

, x (y + z) = 2x1 (y1 + z1) x1 (y2 + z2) x2 (y1 + z1) + 4x2 (y2 + z2) = x y + x z. Fie 2 R,(x)y = 2 (x1) y1(x1) y2(x2) y1+4 (x2) y2 = xy, 8x; y 2 R2.Prin urmare, " " este un produs scalar. În plus, avem x y = 1.

7. Fie P n spaţiul vectorial real al polinoamelor de grad cel mult n. De…nimaplicaţia " " : P n P n ! R, prin

p q =n

Xi=0

aibi, unde p (x) =n

Xi=0

aixi, q (x) =

n1

Xi=0

bixi 2 P n.

a) S¼a se arate c¼a aplicaţia dat¼a este un produs scalar;

b) S¼a se calculeze p q , unde p (x) = 2x2 + 4x 3, q (x) = x3 x 2 şis¼a se a‡e normele celor dou¼a polinoame.


60/162


Rezolvare: a) Se observ¼a c¼a p q = q p, 8 p; q 2 P n. Fie p (x) =Pni=0 aix

i

2 P n. Avem p p = Pni=0 (ai)2 0 şi p p = 0 , ai = 0,8i = 0; n , p = 0. Pentru r (x) = Pni=0 cixi 2 P n, are loc p (q + r) =Pni=0 ai (bi + ci) = p q + p r şi 8 2 R, (p) q =

Pni=0 (ai) bi = p q .

Deci, aplicaţia dat¼a este un produs scalar.

b) Avem p q = 2, k pk = p 29 şi kq k = p 6.

8. Veri…caţi dac¼a urm¼atoarea mulţime din M3 (R) este ortogonal¼a:8>>>:A1 =

0BB@

1 0 0

2 3 0

1 2 3

1CCA , A2 =

0BB@

3 1 0

0 0

1

2 1 1

1CCA , A3 =

0BB@

1 2 30

1 2

0 1 0

1CCA9>>=>>; .

Rezolvare: Se veri…c¼a Ai A j = 0, 8i; j = 1; 3, i 6= j, deci mulţimeadat¼a este ortogonal¼a.

9. Pe spaţiul vectorial C

4; 3

4

al funcţiilor reale continue pe

4; 3

4

de…nim aplicaţia

f

g = Z

34

4

f (x) g (x)sin xdx,

8f; g

2C

4

; 3

4 .

a) S¼a se arate c¼a aplicaţia dat¼a este un produs scalar;

b) S¼a se calculeze kf k pentru f (x) = p x;c) S¼a se a‡e k 2 R astfel încât funcţiile g (x) = x + k şi h (x) = 1 s¼a …eortogonale.

Rezolvare: a) Se veri…c¼a propriet¼aţile produsului scalar.

b) kf k = p f f , iar f f = R 344

x sin xdx =

p 2

2 .

c) Punem condiţia g

h = 0, adic¼a R

3

4

4

(x + k)sin xdx = 0, de unde

rezult¼a k = 2

.

10. S¼a se ortonormeze urm¼atoarele baze din R3:

a) B =

f 1 = (1; 1; 0) ; f 2 = (2; 1; 0) ; f 3 = (1; 0; 1)

;


61/162

61

b) B = f 1 = (1; 0; 1) ; f 2 = (0; 1; 1) ; f 3 = (1; 1; 1).Rezolvare: a) Construim vectorii ortogonali astfel8>><

>>:g1 = f 1

g2 = f 2 11g1g3 = f 3 21g1 22g2.

Coe…cienţii ij se determin¼a punând condiţia ca vectorii s¼a …e ortogo-

nali doi câte doi. Astfel

g2 ? g1 , g2 g1 = 0 , f 2 11g1 g1 = 0, f 2 g1 11g1 g1 = 0 , 11 = f 2 g1g1 g1

, 11 = 12

;

deci g2 =

3

2; 3

2; 0

sau echivalent g2 = (1; 1; 0). În acelaşi mod vom

determina şi vectorul g3, anume( g3 ? g1g3 ? g2

,(

f 3 g1 21g1 g1 = 0f 3 g2 22g2 g2 = 0

, 8>>>:21 =

f 3 g1g1 g1

22 = f 3 g2g2 g2

, 8>:21 =

1

222 =

1

2

,

deci g3 = (0; 0; 1). Normând cei trei vectori se obţine baza ortonormat¼a8>>>>><

>>>>>:

e1 = g1kg1k

= 1p

2(1; 1; 0)

e2 = g2kg2k

= 1p

2(1; 1; 0)

e3 = g3

kg3

k = (0; 0; 1).

b) Ca anterior se construiesc vectorii g1, g2 şi g3. Din condiţiile de

ortogonalitate obţinem 11 = 12

, deci g2 =

1

2; 1; 1

2

, sau echiva-

lent g2 = (1; 2; 1) şi 21 = 22 = 0, deci g3 = f 3. În …nal se


62/162


obţine baza ortonormat¼a: e1 = 1p

2(1; 0; 1), e2 =

1p 6

(1; 2; 1) şi

e3 = 1p

3(1; 1; 1).

11. Pentru ce valori ale lui 2 R vectorii

f 1 = (0; 1; 1) , f 2 = (0; ; 1) şi f 3 = (; 1; 0)

formeaz¼a o baz¼a în R3. Pentru = 1 ortonormaţi baza respectiv¼a.Rezolvare: Cei trei vectori formeaz¼a o baz¼a în R3 dac¼a sunt liniar

independenţi, adic¼a dac¼a matricea

A =

0BB@0 0

1 1

1 1 0

1CCAare rangul 3. Cu alte cuvinte, trebuie det A = (1 ) 6= 0, deci 2 R f0; 1g. Construim vectorii ortogonali8>

>>:g1 = f 1

g2 = f 2 11g1g3 = f 3 21g1 22g2.

Din condiţia de ortogonalitate g2 ? g1 obţinem 11 = 0, deci g2 = f 2 şirespectiv, din condiţiile g3 ? g1 şi g3 ? g2 g¼asim 21 =

1

2 şi 22 = 1

2,

de unde rezult¼a g3 = (1; 0; 0). Norm¼am vectorii ortogonali obţinuţişi avem baza ortonormat¼a: e1 =

1p 2

(0; 1; 1), e2 = 1p

2(0; 1; 1) şi

e3 = (1; 0; 0).

12. Ar¼ataţi c¼a vectorii

f 1 = (1; 1; 1) , f 2 = (1; 1; 1) şi f 3 = (1; 0; 1)

sunt liniar independenţi şi apoi ortonormaţi baza format¼a de aceştia în

R3.


63/162

63

Rezolvare: Avem

1 1 11 1 0

1 1 1 = 4 6= 0, deci vectorii sunt liniar

independenţi. Construim vectorii8>><>>:

g1 = f 1

g2 = f 2 11g1g3 = f 3 21g1 22g2.

Din condiţia g1 ? g2 obţinem 11 = 1

3, deci g2 = (1; 2; 1) iar din

g1 ?

g3, g2 ?

g3 rezult¼a 21 = 22 = 0, deci g3 = f 3. Baza ortonormat¼a

este 8>>>>><>>>>>:

e1 = 1p

3(1; 1; 1)

e2 = 1p

6(1; 2; 1)

e3 = 1p

2(1; 0; 1) .

13. În spaţiul euclidian P 3 [1; 1] dotat cu produsul standard se cere s¼a seortonormeze baza canonic¼a f1; x ; x2; x3g.

Rezolvare: C¼aut¼am polinoamele ortogonale de forma8>>>><>>>>:

f 1 = 1

f 2 = x 11f 1f 3 = x

2 21f 1 22f 2f 4 = x

3 31f 1 32f 2 33f 3

:

Din condi̧tia ca …ecare polinom f i, i = 2; 3; 4 s¼a …e ortogonal pe cele

anterioare obţinem constantele ij. Astfel,

11 = x f 1

f 1 f 1= 0, deci f 2 = x,

21 = x2 f 1

f 1 f 1 = 1

3; 22 =

x2 f 2f 2 f 2 = 0, deci f 3 = x

2 13

,

31 = x3 f 1

f 1 f 1 = 0; 32 = x3 f 2f 2 f 2 =

3

5; 33 =

x3 f 3f 3 f 3 = 0,


64/162


deci f 4 = x3 35x.

În cazul general al polinoamelor cu coe…cienţi reali de…nite pe [1; 1],P [1; 1], polinoamele obţinute din 1, x, x2,..., xn,... prin procedeul deortogonalizare se numesc polinoame Legendre. Aşadar f 1 = 1, f 2 = x,

f 3 = x2 1

3, f 4 = x3 35x sunt primele patru polinoame Legendre.

14. S¼a se determine vectorul unitar v din R3 ortogonal pe vectorii v1 =

(1; 2; 1) şi v2 = (1; 1; 2).Rezolvare: Fie v = (x;y;z). Din ipotez¼a avem v v1 = 0 şi v v2 = 0,adic¼a x + 2y

z = 0, x

y + 2z = 0 şi

kv

k= 1, deci x2 + y2 + z2 = 1.

Rezolvând acest sistem obţinem soluţiile: x = 1p 3

, y = 1p 3

, z =

1p 3

sau x = 1p 3

, y = 1p

3, z =

1p 3

.

15. S¼a se g¼aseasc¼a 2 R astfel încât urm¼atorii vectori s¼a …e ortogonali:a) v1 = (; 2; 5), v2 = (1; 2; 1) în R3;

b) A =

2 1 0

!, B =

3 1

1

! în M 2 (R);

c) p = x2 + 1, q = x + 2.

Rezolvare: a) v1 v2 = 5 + 5, de unde = 1.b) A B = 5 + , de unde = 5.c) p q = 4

32 + 4, deci = 0 sau = 3.

16. În spaţiul euclidian R2 înzestrat cu produsul scalar uzual se consider¼a

vectorii

v1 = (1; 2) şi v2 = (; 2) , ; 2 R.Când cei doi vectori formeaz¼a o baz¼a ortogonal¼a? Pentru = = 1

normaţi vectorii.

Rezolvare: v1 v2 = 0 , 4 = 0 , = 4.Când = = 1; avem kv1k = kv2k =

p 5; vectorii norma̧ti vor …

v01 = 1p

5(1; 2), respectiv v 02 =

1p 5

(1; 2).


65/162

Capitolul 5

Transform¼ari liniare

5.1 De…ni̧tie. Matricea unei transform¼ari liniare

1. S¼a se arate c¼a aplicaţia U : R2 ! R3 de…nit¼a prin

U (x) = (x1; x2; 2x1 x2) ;

unde x = (x1; x2)

2 R

2, este o transformare liniar¼a şi s¼a se scrie ma-

tricea transform¼arii relativ la bazele uzuale din R2, respectiv R3.

Rezolvare: Veri…c¼am condiţia

U (x + y) = U (x) + U (y) ; 8x = (x1; x2) ; y = (y1; y2) 2 R2

şi 8; 2 R: Avem

U (x + y) = U ( (x1; x2) + (y1; y2)) = U (x1 + y1; x2 + y2)

= (x1 + y1; x2 + y2; 2 (x1 + y1)

(x2 + y2))

= (x1; x2; 2x1 x2) + (y1; y2; 2y1 y2)= (x1; x2; 2x1 x2) + (y1; y2; 2y1 y2)= U (x) + U (y) ;

65


66/162

66 CAPITOLUL 5. TRANSFORM ¼ ARI LINIARE

deci U este transformare liniar¼a. Pentru a determina matricea trans-

form¼arii calcul¼am U (e1) = U (1; 0) = (1; 0; 2), U (e2) = U (0; 1) =(0; 1; 1) şi obţinem matricea

A =

0BB@

1 0

0 1

2 1

1CCA :

2. Se consider¼a aplicaţiile

U 1 : R2 ! R2, U 1 (x1; x2) = (x1 x2; 2x2) ,U 2 : R

2 ! R2, U 2 (x1; x2) = (x1 + 2x2; 3x1) .

a) S¼a se arate c¼a aceste aplica̧tii sunt transform¼ari liniare;

b) S¼a se determine transform¼arile U 1 U 2 şi U 2 U 1 şi s¼a se veri…ce c¼asunt liniare.

Rezolvare: a) Fie x = (x1; x2), y = (y1; y2) 2 R2, ; 2 R, iarx + y = (x1 + y1; x2 + y2). Atunci

U 1 (x + y) = (x1 + y1 x2 y2; 2x2 + 2y2)= (x1 x2; 2x2) + (y1 y2; 2y2)= U 1 (x) + U 1 (y) :

În concluzie U 1 este o transformare liniar¼a. Similar se arat¼a c¼a U 2 este

o transformare liniar¼a.

b) Pentru orice x = (x1; x2) 2 R2 avem

(U 1 U 2) (x) = U 1 (U 2 (x)) = U 1 (x1 + 2x2; 3x1)= (x1 + 2x2 (3x1) ; 2 (3x1))= (2x1 + 2x2; 6x1) :


67/162

5.1. DEFINIŢIE. MATRICEA UNEI TRANSFORM ¼ ARI LINIARE 67

Analog,

(U 2 U 1) (x) = U 2 (U 1 (x)) = U 2 (x1 x2; 2x2)= (x1 + 3x2; 3x1 3x2) , 8x = (x1; x2) 2 R2.

3. S¼a se veri…ce dac¼a aplicaţia U : R3 ! R3 dat¼a prina) U (x1; x2; x3) = (x1 x2; 3x1 2x3; x1)b) U (x1; x2; x3) = (x1; x2; x3 + 1)

c) U (x1; x2; x3) =

x1 + x2; x1; (x3)

2

este transformare liniar¼a. În caz a…rmativ s¼a se scrie matricea trans-form¼arii.

Rezolvare: Numai transformarea de la punctul a) este liniar¼a şi are

matricea A =

0BB@

1 1 03 0 21 0 0

1CCA.

4. Se consider¼a aplicaţia U : R4 ! R3, de…nit¼a prin

U (x) = (x1 + x4; x1 + 3x2; x1 x3 x4) , x = (x1; x2; x3; x4) .S¼a se arate c¼a U este o transformare liniar¼a şi s¼a se scrie matricea

transform¼arii în raport cu bazele uzuale din R3 şi R4.

Rezolvare: Se arat¼a c¼a U (x + y) = U (x) + U (y), 8x; y 2 R3,8; 2 R: Matricea transform¼arii este

A =

0

BB@1 0 0 1

1 3 0 0

1 0 1 1

1

CCA .

5. Fie P 2 Mm (R) şi Q 2 Mn (R) dou¼a matrice p¼atratice. S¼a searatec¼a aplicaţia T : Mmn (R) ! Mmn (R) de…nit¼a prin T (A) = PAQ;


68/162


pentru orice A 2 Mmn (R) ; este o transformare liniar¼a.

Rezolvare: Pentru orice A; B 2 Mmn (R) şi orice ; 2 R avemT (A + B) = P (A + B) Q = PAQ+PBQ = T (A)+T (B) :

6. Fie B = fe1; e2; e3g o baz¼a în R3 şi se consider¼a transformarea liniar¼aU : R3 ! R3, de…nit¼a prin U (e1) = e1 + 3e2, U (e2) = e1 e2, U (e3) =e1 + 2e2 + e3. S¼a se scrie matricea transform¼arii liniare U în baza B.Rezolvare:

A =

0BB@ 1 1 13 1 20 0 1

1CCA .

7. În spaţiul R3 se consider¼a bazele

V = fv1 = (2; 1; 1) ; v2 = (1; 2; 1) ; v3 = (1; 1; 2)g şiW = fw1 = (1; 1; 0) ; w2 = (0; 1; 1) ; w3 = (2; 0; 2)g .

Fie U : R3 ! R3 o transformare liniar¼a care are în raport cu baza V matricea

AV =

0BB@

2 1 3

3 0 11 1 2

1CCA :

S¼a se g¼aseasc¼a matricea transform¼arii U în raport cu baza W .

Rezolvare: Deoarece w1 = v1 v2, w2 = v2 v3, w3 = v1 v2 + v3,matricea schimb¼arii de baz¼a este

S =

0BB@

1 0 1

1 1 10 1 1

1CCA .


69/162

5.1. DEFINIŢIE. MATRICEA UNEI TRANSFORM ¼ ARI LINIARE 69

Deoarece matricea transform¼arii U în raport cu baza W satisface BW =

S 1

A S , rezult¼a c¼a

BW =

0BB@

1 0 2

2 3 20 2 2

1CCA .

8. Fie U : R2 ! R2 o transformare liniar¼a astfel încât U (1; 2) = (5; 0) şiU (2; 1) = (4; 3). Care este expresia lui U ? S¼a se calculeze U (2; 3).Rezolvare: Se veri…c¼a uşor c¼a vectorii (1; 2) şi (2; 1) formeaz¼a o baz¼a

în R2

. Un vector x = (x1; x2) 2R2

se poate scrie(x1; x2) = (1; 2) + (2; 1)

de unde se obţine = 1

3 (2x2 x1), = 1

3 (2x1 x2). Deoarece trans-

formarea U este liniar¼a avem

U (x1; x2) = U (1; 2) + U (2; 1) = (5; 0) + (4; 3)

= (5 + 4; 3 ) = (x1 + 2x2; 2x1 x2) ;

iar U (2; 3) = (4; 7).9. Fie U : R3 ! R3 o transformare liniar¼a astfel încât U (1; 1; 2) =

(3; 3; 1), U (1; 0; 1) = (1; 0; 1) şi U (1; 1; 1) = (3; 2; 0). Careeste expresia lui U ? S¼a se calculeze U (1; 1; 1).

Rezolvare: U (x) = (x1 + 2x2; x3 x1; x2 + x3), unde x = (x1; x2; x3),iar U (1; 1; 1) = (3; 0; 2).

10. Fie transform¼arile liniare U 1; U 2 : R3 ! R3, care au în raport cu baza

uzual¼a din R

3

matricele:

A1 =

0BB@

1 0 0

0 2 1

1 1 1

1CCA , respectiv A2 =

0BB@

2 1 0

1 2 12 1 1

1CCA .


70/162


a) S¼a se determine matricea transform¼arii U 1 în raport cu baza

W =

f 1 = (2; 1; 2) ; f 2 = (1; 0; 1) ; f 3 = (0; 2; 7)

;

b) S¼a se determine imaginea vectorului v = (1; 2; 2) prin transfor-m¼arile U 2, U 1 + U 2 şi U 1 U 2.Rezolvare: a) Matricea schimb¼arii de baz¼a este

S =

0BB@

2 1 0

1 0 2

2 1 7

1CCA

,

cu inversa

S 1 =

0BB@

2 7 23 14 41 4 1

1CCA .

Atunci matricea transform¼arii U 1 în raport cu baza W este

B = S 1 A1 S =

0BB@

2 1 32 3 6

1 1

3

1CCA

.

b) Se observ¼a c¼a v = e1 + 2e2 2e3. Ţinând cont de liniaritateatransform¼arii U 2 avem

U 2 (v) = U 2 (e1) + 2U 2 (e2) 2U 2 (e3)= (2; 1; 2) + 2 (1; 2; 1) 2 (0; 1; 1) = (4; 5; 2) .

Sau, f ¼acând înmuļtirea dintre matricea transform¼arii U 2 şi matricea

coloan¼a a componentelor lui v, obţinem matricea coloan¼a a componen-

telor lui U 2 (v),

A2

0BB@

1

2

2

1CCA =

0BB@

2 1 0

1 2 12 1 1

1CCA0BB@

1

2

2

1CCA =

0BB@

4

52

1CCA .


71/162


72/162


adic¼a f este liniar¼a.

(ii) Cum f este surjectiv¼a şi liniar¼a, 1v1 + 2v2 = 1f (u1) + 2f (u2) ;de unde, g f …ind liniar¼a, deducem:

g (1v1 + 2v2) = 1 (g f ) (u1) + 2 (g f ) (u2) = 1g (v1) + 2g (v2) :

Deoarece f 1 f = 1U ; aplicaţia 1U …ind liniar¼a, iar f liniar¼a şi surjec-tiv¼a, din (ii) rezult¼a c¼a f 1 este liniar¼a.

5.2 Nucleu şi imagine1. Fie aplica̧tia U : R3 ! R3 de…nit¼a prin

U (x) = (x1; x1 + x2 x3; 0) ;

unde x = (x1; x2; x3).

a) S¼a se arate c¼a U este transformare liniar¼a;

b) S¼a se scrie matricea transform¼arii U în raport cu baza uzual¼a şi apoi

în raport cu baza

W =

f 1 = (2; 1; 1) ; f 2 = (1; 1; 0) ; f 3 = (1; 1; 1)

;

c) S¼a se a‡e nucleul şi imaginea lui U .

Rezolvare: a) Se veri…c¼a U (x + y) = U (x) + U (y), 8x; y 2 R3,8; 2 R, deci U este transformare liniar¼a.b) Avem U (e1) = U (1; 0; 0) = (1; 1; 0), U (e2) = U (0; 1; 0) = (0; 1; 0)

şi U (e3) = U (0; 0; 1) = (0; 1; 0), deci matricea transform¼arii în bazauzual¼a va …

A =

0BB@

1 0 0

1 1 10 0 0

1CCA :


73/162

5.2. NUCLEU ŞI IMAGINE 73

Matricea de trecere de la baza uzual¼a la baza W este

S =

0BB@2 1 1

1 1 1

1 0 1

1CCA ;

iar legea schimb¼arii matricei la o schimbare de baz¼a este B = S 1 AS ,adic¼a

B =

0

BB@1 1 0

2 3 11 1 1

1

CCA

0

BB@1 0 0

1 1 10 0 0

1

CCA

0

BB@2 1 1

1 1 1

1 0 1

1

CCA ;

deci matricea transform¼arii în raport cu baza W este

B =

0BB@

0 1 22 4 7

0 1 2

1CCA .

c) Conform de…niţiei, nucleul transform¼arii U este

ker U =

x 2 R3 ; U (x) = 0 :Pornind de la relaţia U (x) = 0 obţinem (x1; x1 + x2 x3; 0) = (0; 0; 0),adic¼a (

x1 = 0

x1 + x2 x3 = 0;

de unde x1 = 0, x2 = , x3 = , 2 R. Deci ker U = f(0; ; ) ; 2 Rg.Imaginea transform¼arii U este

ImU =

U (x) ; x 2 R3 ,adic¼a ImU = f(x1; x1 + x2 x3; 0) ; x1; x2; x3 2 Rg şi se observ¼a c¼aImU = f(; + ; 0) ; ; 2 Rg.


74/162


2. Fie transformarea liniar¼a U : R3 ! R3 de…nit¼a prin

U (x) = (x1 + x2 + x3; x1 + x2 + x3; x1 + x2 + x3) ;

unde x = (x1; x2; x3). S¼a se determine rangul şi defectul acestei trans-

form¼ari liniare.

Rezolvare: Determin¼am mai întâi nucleul transform¼arii U: Pornind de

la U (x) = 0 obţinem x1 + x2 + x3 = 0, deci

ker U = f(;; ) ; ; 2 Rg

= f (1; 0; 1) + (0; 1; 1) ; ; 2 Rg .Vectorii v1 = (1; 0; 1) şi v2 = (0; 1; 1) formeaz¼a un sistem de genera-tori pentru ker U . Se veri…c¼a uşor c¼a ei sunt liniar independenţi, deci

fv1; v2g reprezint¼a o baz¼a pentru ker U . Atunci defectul transform¼ariiU , dim ker U = 2: Se ştie c¼a

dim ker U + dim ImU = dimR3 = 3,

deci rangul transform¼arii U , dim ImU = 1. În plus,

ImU = f(;;) ; 2 Rg :

3. Se consider¼a matricea A =

0BBBB@

1 0 0 10 1 0 0

0 0 1 31 0 3 8

1CCCCA asociat¼a transfor-

m¼arii liniare U : R4 ! R4 în baza uzual¼a din R4.

a) S¼a se determine expresia transform¼arii U ;b) S¼a se g¼aseasc¼a nucleul şi defectul lui U , punându-se în evidenţ¼a o

baz¼a;

c) S¼a se g¼aseasc¼a imaginea şi rangul lui U , punându-se în evidenţ¼a o


75/162

5.2. NUCLEU ŞI IMAGINE 75

baz¼a.

Rezolvare: a) Fie x = (x1; x2; x3; x4) 2 R4

, adic¼a x = x1e1 + x2e2 +x3e3 + x4e4, unde fe1; e2; e3; e4g este baza uzual¼a din R4. Deoarecetransformarea U este liniar¼a rezult¼a c¼a

U (x) = U (x1e1 + x2e2 + x3e3 + x4e4)

= x1U (e1) + x2U (e2) + x3U (e3) + x4U (e4) :

Dar vectorii U (e1) ;:::;U (e4) se cunosc (coloanele matricei A) deci

avem

U (x) = x1(1; 0; 0; 1) + x2(0; 1; 0; 0) +

Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie

Documents

Transcript of Alina Ilinca Lazu-Culegere de probleme algebra si geometrie