Alguns Conceitos de Geometria PlanaPonto, reta e plano são conceitos primitivos. Isto é conceitos não definidos, aceitos intuitivamente.Representações: Normalmente, Pontos são representados por letras latinas maiúsculas.Retas são representadas por letras latinas minúsculas.Planos são representadas por letras gregas.O ponto não tem forma e nem dimensão.A reta é um conjunto de pontos, infinita, define uma direção e cada ponto divide a mesma em duas semi-retas.A reta pode ser definida por dois de seus pontos distintos ou por um ponto e uma direção.Retas coincidentes: Duas retas r e são coincidentes quando todos os ponto de r são também pontos de s. (I)Retas concorrentes: Duas reta r e s são concorrentes quando só possuem um ponto em comum (r∩s = P). (II)Retas paralelas: (III)Definição I: Duas retas r e s são paralelas quando a intersecção entre elas é vazia. (r∩s = { })Definição 2: Duas retas r e s são paralelas quando têm a mesma direção,(ou quando r∩s = r = r ou r∩s ={ }).Retas perpendiculares: Duas retas r e s são perpendiculares quando seus cruzamentos formam quatro ângulos de medidas iguais. (IV)Segmento de reta é uma porção limitada da reta, possui dois extremos.

Mediatriz de um segmento de extremidades A e B: é reta perpendicular ao segmento AB, passando pelo seu ponto médio M.Se M é ponto médio de AB, então medida de AB é igual a medida de MB,m(AM) = m(MB).Ângulo é a abertura formada por duas semi-retas de mesma origem e sua leitura é normalmente feita no sentido anti-horário.

(I) r=s r s r s r (II) (III) P (IV) P s

As unidades de medidas de ângulo mais usadas são grau e radianos.1 grau = da circunferência = 1°.1∏ radiano = 180 graus = 180 e ∏ = 3,141592654...Classificação dos ângulos quanto a suas medidas:Ângulo reto é aquele que mede 90 graus = 90°.Ângulo agudo é aquele cuja medida é menor que 90°.Ângulo obtuso é aquele cuja medida é maior que 90°.Ângulo raso é aquele cuja medida é igual a 2 retos = 180°.Ângulo de volta inteira é aquele cuja medida é 360°.

Dois ângulos podem ser:Ângulos consecutivos: Dois ângulos são consecutivos quando possuem um lado em comum.Ângulos Adjacentes: Dois ângulos consecutivos são adjacentes, quando não tem pontos internos em comum.

Ângulos complementares: Dois ângulos α e β são complementares, se m(α) + m(β) = 90°.Ângulos suplementares: Dois ângulos α e β são suplementares, se m(α) + m(β) = 180°.Ângulos replementares: Dois ângulos α e β são replementares, se m(α) + m(β) = 360°.

Ângulos congruentes são aqueles que possuem a mesma medida.Bissetriz de um ângulo é a semi reta de origem no vértice do ângulo, dividindo-a em dois ângulos congruentes.

Exercícios:1) Determine o complemento do ângulo de:a) 23 grausb) 56 grausc) 28,5 grausd) 32 graus e 20 minutose) 18 graus, 45 minutos e 20 segundos.2) Determine o suplemento do ângulo de:a) 103 grausb) 45 grausc) 150 graus e 32 minutosd) 85 graus 40, minutos e 40 segundose) 70 graus, 30 minutos e 30 segundos3) Dê o suplemento do complemento do ângulo de 47 graus.4) Dê o complemento do suplemento do ângulo de 123

graus.5) Qual é o ângulo cujo suplemento do seu complemento

mede 142 graus?6) Qual é o ângulo cujo complemento do seu suplemento

mede 15 graus?

Pares de ângulos formados por reta paralelas cortadas por uma transversal

O.P.V. (opostos pelo vértice): 1 e 3; 2 e 4; 5 e 7; 6 e 8. (congruentes) Alternos Internos: 3 e 5; 4 e 6 (congruentes)Alternos externos:1 e 7; 2 e 8 (congruentes)Correspondentes: 1 e 5; 2 e 6; 3 e 7; 4 e 8 (congruentes)Colaterais internos: 4 e 5; 3 e 6 (suplementares)Colaterais externos:1 e 8; 2 e 7 (suplementares)

POLÍGONOSLinha poligonal é uma sucessão de segmentos de reta.

Polígono é a figura formada por uma linha poligonal fechada que não se cruza.

Polígono Convexo

Polígono côncavo

Classificação dos polígonos quanto ao número de ladosTriláteros ou triângulos = 3 ladosQuadriláteros = 4 ladosPentágonos = 5 ladosHexágonos = 6 ladosHeptágonos = 7 ladosOctógonos = 8 ladosEneágonos = 9 ladosDecágonos = 10 ladosUndecágonos = 11 ladosDuodecágonos = 12 ladosPentadecágonos = 15 ladosIcoságonos = 20 lados.

TRIÂNGULOSO triângulo é o menor dos polígonos e possui 3 lados - 3 vértices - 3 ângulos internos - 3 ângulos internos

3 mediatrizes - 3 bissetriz internas - 3 bissetrizes externas - 3 alturas 3 medianas.

Classificação dos triângulos quanto aos lados:ESCALENOS: quando possuem lados dois a dois de medidas diferentes.ISÓSCELES: quando possuem dois lados congruentes.EQUILÁTERO: quando possuem todos os lados congruentes.

Classificação dos triângulos quanto aos ângulos internos:ACUTÂNGULO: quando possuem os 3 ângulos agudos ( menores que 90° )

RETÂNGULO: quando possui um ângulo reto ( igual a 90° )

vértice Ângulo externo lado Ângulo interno Ângulo interno

OBTUSÂNGULO: quando possui um ângulo obtuso ( maior que 90° )

PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULOBaricentro ou centro gravitacional (G)É a intersecção entre as medianas de um triângulo. (está sempre no interior do triângulo)Mediana de um triângulo é o segmento de reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto a este vértice.

Incentro (I) É a intersecção entre as bissetrizes internas de um triângulo. (está sempre no interior do triângulo). É o centro da circunferência inscrita ao triângulo.Circunferência inscrita é aquela que tangencia a figura internamente.Tangenciar é ter apenas um ponto em comum.Circuncentro ©É a intersecção entre as mediatrizes dos segmentos que formam os lados dos triângulos.Ortocentro (H)É a intersecção entre as alturas do triângulo.

Ao considerarmos um lado como base, teremos uma altura relativa a este lado.Altura é a menor distância entre um vértice e o lado oposto a este vértice.A soma dos ângulos internos (S ) de um triângulo é sempre igual a 180°.

A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180 graus.

EF paralela a BC, com isso, Os ângulos FAC e ACB são os ângulos EAB e CBA também.

Como em qualquer polígono convexo com número de lados = n, n > 3 é possível traçar n – 2 triângulos com um mesmo vértice, a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é dado porS = (n – 2).180°A soma dos ângulos externos (S ) de um triângulo é sempre igual a 360°, assim como para qualquer polígono convexo.S = 360°Congruência entre triângulos.Congruência entre triângulosDois triângulos são congruentes quando têm lados correspondentes com mesmas medidas e ângulos internos correspondentes de mesmas medidas. Ou quando superpostos confundem-se num único desses triângulos.Quando queremos mostrar que dois triângulos são congruentes, basta mostrar que eles se enquadram em um dos casos dados pela ordem em que estão os elementos de mesma medida:

1º caso: LLL Se dois triângulos têm os lados correspondentes congruentes (mesmas medidas) então eles são congruentes.

a a’, b b’ e c c’ L.L.L.

2º caso: LAL Se dois triângulos têm 2 lados de um dos triângulos de mesma medidas de dois do outro e os ângulos que eles formam também de mesmas medidas, então eles são congruentes.

a a’ , e b b’ L.A.L.

3º caso: ALA Se dois triângulos têm 2 ângulos de um deles com as mesmas medidas de 2 do outro e o lado que os separam também de mesma medida, então eles são congruentes.

a a’ e A.L.A.

4º caso: LAAo Se um triângulo tem um lado, um ângulo adjacente ao lado e o ângulo oposto a este lado congruentes com um lado , um ângulo adjacente e o ângulo oposto, então os triângulos são congruentes. a a’ , e L.A.A

Teorema de Talles “Um feixe de retas paralelas cortadas por duas transversais, dividem as mesmas em segmentos proporcionais”.

Como conseqüência deste teorema, temos as semelhanças entre triângulos.Dois triângulos são semelhantes, se possuem os ângulos internos correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais.

Se

Se

RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO (PITÁGORAS)Como conseqüência do teorema de Talles, Pitágoras, estuda os triângulos retângulos e verifica que num triângulo retângulo ABC:

Nesta figura, a é a hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto ou maior lado do triângulo)

b e c são os catetos (lados que formam o ângulo reto. m é a projeção do cateto b sobre a hipotenusa.n é a projeção do cateto c sobre a hipotenusa.h é altura que tem como base a hipotenusa.

As relações métricas entre os elementos deste triângulo são:1º) O quadrado de um cateto é igual ao produto de sua projeção com a hipotenusa.

b2 = am c2 = na

2º) O quadrado da altura é igual ao produto entre as projeções.h2 = mn

3º) A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

b2 + c2 = a2

Exercícios:1) Qual é a altura de um triângulo eqüilátero de lados

medindo 5m cada?2) Qual a medida dos lados de um quadrado cuja

diagonal mede 6cm?3) Um Hexágono regular é composto por 6 triângulos

eqüiláteros, se o apótema é a distância do cento ao lado, qual é a medida do apótema, se os lados do hexágono medem 10cm?

4) Uma mosca está num canto de uma sala retangular de 4 metros de largura, por 6 metros de comprimento e 3 metros de altura, se ela voa

diretamente para o canto oposto, qual a distância que ela percorrerá?

5) Um trapézio isósceles tem base maior 10m, base menor 4m e altura 4m. Qual é a medida dos lados não paralelos?

6) Duas pessoas saem de um mesmo ponto em direções uma perpendicular ao do outro. Eles estão com um comunicador cujo alcance máximo é de 3200 metros, se a cada passo de um deles o outro dá 2 de mesma medida, Qual a distância mínima que cada um estará da origem, no momento em que perdem a comunicação?

RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Quando traçamos duas semi-retas de uma mesma origem e direções diferentes, podemos criar uma série de triângulos retângulos semelhantes. No nosso exemplo:ABC semelhante ao AB’C’ semelhante ao AB’’C’’.Usando os estudos de Talles de Mileto, temos:

= = = seno do ângulo = sen =

= = = cosseno do ângulo = cos =

= = = tangente do ângulo = tg =

x senx cosx Tagx0° 0 1 030°

21

45°22

22 1

60°21

90° 1 0 Não existe

Exercícios: 1) Se um observador vê o Sol fazendo 30 graus com o

solo onde se encontra um observador cuja altura é 1,80m, qual é a medida da sombra do observador?

2) Um cão vê um gato que está em cima de um muro de 3,5 metros sob um ângulo de 60 graus. Qual a distância entre o cão e o gato?

3) Um observador está a uma certa distância de 5m do topo de uma árvore. O observador tem os olhos a 1,65m do solo. Se o observador vê o topo da árvore sob um ângulo de 45 graus, qual é a altura desta árvore?