ALGUNOS RESULTADOS SOBRE EL ALGORITMO AVARICIOSO DE CHEBYSHEV

Eugenio Hernández

Colaboradores: P. Berná, O. Blasco, G. Garrigós, T. Oikhberg

XIV Encuentro Nacional de Analistas A.P. Calderón

21-24 Noviembre, 2018

MTM-2016-76566-P

..

.

.

.

.

.

.

.

1. NOTACIÓN

Base de Schauder:

Base de Cesàro:

• X = espacio de Banach sobre IF = I IR o

'a )

• D= Len ) n Sistema de Markus erich semi normalized con

functionals biortogonales BEten II,

• e : lek ) = On,

y• Os Cz I H eh It

,

I ten H E G s -

• Complete : X = span{#• Total I Si end Cx 1=0 f.n

,entombsx.

= O.

• x - EE,

einen .Sumas pariahs Snl

Eriksen) = II

,

Enix, en

.

.

sumpIt Sn It : = Kb so

• Medias de Cesaro : Cw = the ISnn =L

Sgp It Cn It : =p s -

NOTA : f =L emin × ) base trig .in Orden ( O,

-11,

- I,

2,

-2, . . . . }

no esSchauder

en L' CM ). pero es Cesaro em L' lit I .

Conjunto avaricioso:

Algoritmo avaricioso:

La eficiencia del algoritmo avaricioso se mide comparándolo con el error de la mejor aproximación

Parámetro de Lebesgue:

(Konyagin-Temlyakov-1998):

-

x EX,

ME IN ; AC IN es un Conjunto avarice.

Oso de

tamari m ( A E Glx,

m ' ) si IA f- m y nmeina ten I x ) I Z hf¢a¥ ten Cx ) I.

Egmlxl =

¥a

einen con A E G Cx,

m )

Tm IX ) = in f ( It x -

y I I i y-

- ntyzanen ,an Elf

,113km )

Lmftsl :-. Sup : Tinto ,

egmarariciosoj.

I BSchauder_ I Lm 1/31=012 ) ⇒

B es incondicional ydemocratic a

Nomenclature a : Si Lm 1/31=0117,

D se dice avaricious

Sistema incondicional:

Sistema democrático:

Ejemplo 1: Toda base ortonormal en un espacio de Hilbert es avariciosa

Ejemplo 2 (Temlyakov, 1999):

Ejemplo 3 (Temlyakov, 1999):

Kulm :

= ?ayEw 11Pa HE Ku donde Palxtrefaenlxsen

I Os Daa tal que si A,

B a IN,

IAI =L

BIENse tiene HnEaenH ED III. enll .

#de Haaren1

ai

LP ( to,

21 ) , Is p soo,

es avarice.

Osa .o

. zI

Para 7=1

ekin'T en

LPC 't ),

I's pea ,

NID

se tiene Lm IF,

47171) =pml } - It

.

2. ALGORITMO AVARICIOSO DE CHEBYSHEV

Algoritmo avaricioso de Chebyshev de orden m:

La eficiencia del algoritmo avaricioso de Chebyshev se mide comparándolo con el error de la mejor aproximación

Parámetro de Lebesgue:

Nota: El algoritmo avaricioso de Chevyshev fue definido por S. Dilworth, N. Kalton y D. Kutzarova (2003) y estudiado con más detalle por S. Dilworth, D. Kutzarova y T. Oihkberg (2016)

.

.

. es un element Cfml x ) E

span I en : NEA ) con A EG Ix,

m ) tal fire

It x - Cgmlxlll = min { Hx - Ia anent I an Elf )

Tm IX ) = inf ( Hx -

y It ? y-

- netyzanen ,an Elf

,113km )

oh Cfml It

Lmftsl := sup {"

: Trixie , Cfml x ) owari:de Chebyshev }

(P. Berná - 2018):

Sistema quasi-avaricioso:

NOTACIÓN

oh

Nomenclature a : Si Lm 1131=0127,

D se dice semi - avariciosa

( B Schauder ) B es semi - avariciosa ⇒

B es quasi - avaciciosaydemoarati.ca .

GINI : = sup { Heyn It :

gnavaricioso) Sfs

• 1A-

- ja en con Ac IN finite

• Lea =

T.gg En en con Ac IN finite y E =L EDI ,,

I Enl = I

him , := sup L ff}A,÷ : LAK 113km ) C para'

metro de democracia )

3. ACOTACIONES ELEMENTALES

Lema 1:

Lema 2:

La estimación universal del Lema 2 se alcanza para la base “suma” y su biortogonal, la base “diferencia”

Base “suma”:

Base “diferencia”:

.

I $ M . sistema ) :Emhlfslelmlp I S2 Kimi imhlfs)

(§ M - Sistema ) Linh (B.

) E 1+2 Mm donde

M = I sumpHenk I I gyp

1199118X I an-

- tanh,

AIR"

: HEH -

- sump 1¥ an I } y Bien )

la base canthi ca de sucesiones ( It en 11=1 )

Bt = I e :3 ,e : = ez ,

et -

- en - en . a ,con la

Norma de l'

I Heil=L,

lien 11=2 si n 72 )

Para la base “suma”:

Para esta sucesión puede probarse:

. Linh 1131 E 1+4 m

I xn ) = ( I,

I, I ,

- - -

e I , 4 I , I ,- I

,I

,. . .

,

- I,

I,

O,

O,

. . . . )- - - -

im in

• HI - C Gml It It Z I I l E ,I

, f- , . . .

, I ,2

, } , I ,0

,O

. . . 111 = 2 m t f-

-m_-• om tx I E IllI - 210,1,I,¥0 ,

0,

0,

- . . I I I = I

•LYN If ) z 2mt% = It 4 m

42

4. ACOTACIONES INFERIORES

Teorema 3:

Ejemplo (Sistema trigonométrico)

$ Cesaiw con constante A

Yih÷.

E 394441311713

para todo IA 1=1131 Em,

con

AT2B o

'B > 2A y 151=2 ,

17,1=2

B A

1 M 2M

. E={ e ""n×3 ! on PITT ),

LEPE

emlyakov 119991 : Lchmtfl ) I

Lmlz,

LP ) E Cp m' } - It

• CA so Isp E 2 -

l2mi lex

• B = I - l, . . .

,e )

,e=Lm# j 1B

-

-I e es el mildew de

K - - l

Dirichlet : 111,311ps in - %.

• A = I 2J josjsjo.tk ] lacunar : 111A Hp = Tm I 2J Em ) K - P)

• E es Schauder en MMI si Isp S2 y por tanto Cesaro ( D= 2)

Por elteorema 3, in 17,417 3 Y,}A÷ Cp M¥-121

CASO 2 EP so Intercambiar A y B

en#anteriocCASO p • Reemplazar el conjunto lacunar por polinomios

de Rudin - Shapiro : Rex ) =eiN×n'

en ein "

con Ene I I,

-23 y

I Ems 2" ? Con B -

- N + to, q . . .

. ,2 !

. z } se tiene 1143110=11 Rotter

Con A -

- Itt , . . ,H2'

- H ) se tiene 111A Ha = HD2 ! ,-211

,Im .

CASO p =L Con B =L - l,

. .

,l )

,111,3112=11Dell ,

= log my

A- = 121 : josjcjotm ) ,

2%4 my111amrm ⇒ WE HIT Dzceortfm -

Teorema 4: B Cesaro con constants

HIEA " £39215413,

para todo IAI = 1131 Em,

con A > 2 I B sopy )I

y 151 =L, 1%1=1 y letnlyll EI .

B y A.

I m 2M 4M

CASO 10=1 A y B como en el Caso Isps 2. Elegin y toe que

I ,zty= Ve con Ve = 2 IIe - Fe niche de de la Vallie -

PoussinDirichlet peg.

?de la Vallie - Rusin

111,3 y 11

,=

=HVeHzE3- e o e me o e se . e o e Ll

. .

5. ACOTACIÓN SUPERIOR

Teorema 5:

Base de Lindenstrauss:

$ Sistema de Markus enrich en X

LYN (B ) E 2912M ) -14µm ) GIM )

ton.

Gim Supt Hgmllifmararicioso )

Y 111 callJum ) = Sup ( - i IAKIBKM

,let =L

, 171=2}thy Blt

es el park metro de super - democracia.

I =L Xn } con in = en - Lean+ I I Gns ,

con

donde ten } es la base Camonica de l 'll Nl, y norma It Her .

Sab emos Lm IL ) I log m y , por ce Terre ma 5,

Linh I L ) = . 012 )

Parque Gm ILIE of y Trim ) = 011 ).