Algoritmo di Kiepert per la risoluzione dell'equazione ...

IntroduzionePreliminari

Algoritmo di Kiepert

Algoritmo di Kiepert per la risoluzionedell’equazione quintica

Ilaria Nesi

21 novembre 2008

Ilaria Nesi Algoritmo di Kiepert per la risoluzione dell’equazione quintica

Nel primo seminario:

equazioni di secondo e terzo grado

costruzione di un metodo geometrico per risolvere equazioni disecondo e terzo gradoapprofondimento degli aspetti didattici del metodosviluppo di varie tipologie di esercizi per comprendere eapplicare il metodo

In questo seminario:

equazioni di quinto grado

trasformazioni di Tschirnhaussolidi platonici regolari e loro simmetriefunzioni ellittiche di Weierstrass e di Jacobifunzioni theta (di genere 1)

algoritmo di Kiepert per la risoluzione della generale equazione diquinto grado (1878)

In questo seminario:

equazioni di quinto grado

trasformazioni di Tschirnhaussolidi platonici regolari e loro simmetriefunzioni ellittiche di Weierstrass e di Jacobifunzioni theta (di genere 1)

algoritmo di Kiepert per la risoluzione della generale equazione diquinto grado (1878)

Trasformazioni di TschirnhausPolinomi poliedraliFunzioni ellitticheFunzioni theta

Trasformazioni di Tschirnhaus

Generica equazione monica di grado n con radici x1, . . . , xn:

xn + a1xn−1 + . . .+ an = 0 ,

definiamo, per k = 1, . . . ,n:

yk = α0 + α1xk + . . .+ αn−1xn−1k ,

nuova equazione monica di grado n con radici y1, . . . , yn:

yn + A1yn−1 + . . .+ An = 0 .

Relazioni di Newton per l’equazione in y :∑yk + A1 = 0∑

y2k + A1

∑yk + 2A2 = 0∑

y3k + A1

k + A2

∑yk + 3A3 = 0 . . .

se deve sparire il termine A1yn−1 −→ dovrà essere∑

yk = 0,

se deve sparire anche A2yn−2 −→ dovrà essere anche∑

y2k = 0.

Relazioni di Newton per l’equazione in y :∑yk + A1 = 0∑

y2k + A1

∑yk + 2A2 = 0∑

y3k + A1

k + A2

∑yk + 3A3 = 0 . . .

se deve sparire il termine A1yn−1 −→ dovrà essere∑

yk = 0,

se deve sparire anche A2yn−2 −→ dovrà essere anche∑

y2k = 0.

Solidi platonici e polinomi poliedrali

TETRAEDRO, OTTAEDRO, CUBO, ICOSAEDRO, DODECAEDRO

- Possiamo rappresentare questi poliedri come punti sullasuperficie della sfera di Riemann.

- Possiamo rappresentare i numeri complessi z = a + ib comepunti nel piano di Argand.

B Facciamo coincidere il piano di Argand con il piano equatorialedella sfera di Riemann corrispondenza biunivoca tra i puntidella sfera e i punti del piano equatoriale (proiezionestereografica da N = (0,0,1)↔∞).

Solidi platonici e polinomi poliedrali

TETRAEDRO, OTTAEDRO, CUBO, ICOSAEDRO, DODECAEDRO

- Possiamo rappresentare questi poliedri come punti sullasuperficie della sfera di Riemann.

- Possiamo rappresentare i numeri complessi z = a + ib comepunti nel piano di Argand.

B Facciamo coincidere il piano di Argand con il piano equatorialedella sfera di Riemann corrispondenza biunivoca tra i puntidella sfera e i punti del piano equatoriale (proiezionestereografica da N = (0,0,1)↔∞).

Polinomi poliedrali:

Sono polinomi in u, v (z = u/v ) le cui radici corrispondono allaposizione, sulla superficie della sfera di Riemann:

- dei vertici del poliedro,- dei punti medi dei lati del poliedro,- o dei baricentri delle facce del poliedro.

Tetraedro (simmetria Td ∼= S4):

vertici: Φ = u4 − 2√

3iu2v2 + v4

lati: t = uv(u4 − v4)facce: Ψ = u4 + 2

√3iu2v2 + v4

Ottaedro (simmetria Oh ∼= S4 × Z2):

vertici: τ = uv(u4 − v4)lati: X = u12 − 33(u8v4 + u4v8) + v12

facce: W = u8 + 14u4v4 + v8

Icosaedro (simmetria Ih ∼= A5 × Z2):

vertici: f = uv(u10 + 11u5v5 − v10)lati: T = u30 − 10005(u20v10 + u10v20) + 522(u25v5 − u5v25 + v30)facce: H = −u20 + 228(u15v5 − u5v25)− 494u10v10 − v20

Ad esempio, polinomio dei vertici dell’ottaedro in figura:

i vertici sono 6 punti sulla sfera diRiemann, che corrispondono aivalori:

z = 0, ∞, 1, −1, i , −i ⇒

in coordinate affini:z(z−1)(z +1)(z−i)(z +i) = z(z4−1)

in coordinate omogenee (z = u/v ):τ = uv(u4 − v4) !(il fattore v permette che si annullianche per z =∞)

z = 0, ∞, 1, −1, i , −i ⇒

Da tener presente:B I polinomi f ,H,T dell’icosaedro sono invarianti assoluti del gruppoicosaedrale Ih. Inoltre:

Teorema:Ogni polinomio omogeneo in u, v che sia invariante per Ih è uninvariante assoluto ed è un polinomio in f ,H,T .

Identità dell’icosaedro:

1728f 5 − H3 − T 2 ≡ 0

Funzioni ellittiche generali

Sia Ω l’insieme dei periodi di f nel piano di Argand; f è unafunzione doppiamente periodica se Ω è un reticolo di puntiformato dalle intersezioni di due famiglie di rette paralleleequidistanti.

FUNZIONE ELLITTICA: funzione meromorfa su C e doppiamenteperiodica.

Funzioni ellittiche generali

Sia Ω l’insieme dei periodi di f nel piano di Argand; f è unafunzione doppiamente periodica se Ω è un reticolo di puntiformato dalle intersezioni di due famiglie di rette paralleleequidistanti.

FUNZIONE ELLITTICA: funzione meromorfa su C e doppiamenteperiodica.

Ogni parallelogramma è detto maglia(quello celeste è il parallelogrammafondamentale).Cella: maglia senza poli o zeri sulbordo.

→ Basta descrivere il comportamento diuna funzione ellittica in una maglia!

2ω,2ω′: periodi primitivi; tutti i periodi di f hanno la forma:w = 2mω + 2nω′.

(convenzione: ω, ω′ scelti in modo che Im(ω′/ω) > 0)

Ogni parallelogramma è detto maglia(quello celeste è il parallelogrammafondamentale).Cella: maglia senza poli o zeri sulbordo.

→ Basta descrivere il comportamento diuna funzione ellittica in una maglia!

2ω,2ω′: periodi primitivi; tutti i periodi di f hanno la forma:w = 2mω + 2nω′.

(convenzione: ω, ω′ scelti in modo che Im(ω′/ω) > 0)

Proprietà:1 Ogni funzione ellittica non costante ha poli.2 Data f ellittica, il numero (finito) di poli in una cella, contati con la

molteplicità, è detto ordine della funzione ellittica.3 Se f è ellittica di ordine r , f assume ciascun c ∈ C esattamente r

volte (contando la molteplicità) in ogni maglia.4 La somma dei residui di una funzione ellittica nei poli di una

qualsiasi cella è zero.Quindi non esistono funzioni ellittiche di ordine 1.

Funzioni ellittiche di ordine 2:1 2 poli semplici con residui uguali in modulo ma di segno opposto

in ogni cella −→ funzioni ellittiche di Jacobi2 1 polo doppio con residuo zero in ogni cella −→ funzioni ellittiche

di Weierstrass

Funzioni ellittiche di Weierstrass

La funzione ℘ di Weierstrass:

℘(z) = ℘(z|ω, ω′) =1z2 +

∑(m,n) 6=(0,0)

(z − w)2 −1

=1z2 +

∑(m,n)6=(0,0)

(z − 2mω − 2nω′)2 −1

(2mω + 2nω′)2

- È una funzione ellittica (pari) con periodi primitivi 2ω,2ω′ e conpoli doppi nei punti w = 2mω + 2nω′.

Funzioni ellittiche di Weierstrass

La funzione ℘ di Weierstrass:

℘(z) = ℘(z|ω, ω′) =1z2 +

∑(m,n) 6=(0,0)

(z − w)2 −1

=1z2 +

∑(m,n)6=(0,0)

(z − 2mω − 2nω′)2 −1

(2mω + 2nω′)2

- È una funzione ellittica (pari) con periodi primitivi 2ω,2ω′ e conpoli doppi nei punti w = 2mω + 2nω′.

La derivata della ℘ di Weierstrass

℘′(z) = −2∑

(m,n)6=(0,0)

1(z − w)3

- È una funzione ellittica (dispari) di ordine 3; ha poli tripli nei puntiw = 2mω + 2nω′ e i suoi 3 zeri nel parallelogrammafondamentale sono:

ω1 = ω, ω2 = ω + ω′, ω3 = ω′ .

La derivata della ℘ di Weierstrass

℘′(z) = −2∑

(m,n)6=(0,0)

1(z − w)3

- È una funzione ellittica (dispari) di ordine 3; ha poli tripli nei puntiw = 2mω + 2nω′ e i suoi 3 zeri nel parallelogrammafondamentale sono:

ω1 = ω, ω2 = ω + ω′, ω3 = ω′ .

Se chiamiamo: e1 = ℘(ω1), e2 = ℘(ω2), e3 = ℘(ω3) ,otteniamo, usando una proprietà delle funzioni ellittiche:

℘′2(z) = 4(℘(z)− e1)(℘(z)− e2)(℘(z)− e3)

Ponendo ℘(z) = u e integrando:

dθ√4(θ − e1)(θ − e2)(θ − e3)

(℘(z) come funzione inversa di un integrale ellittico).

Se chiamiamo: e1 = ℘(ω1), e2 = ℘(ω2), e3 = ℘(ω3) ,otteniamo, usando una proprietà delle funzioni ellittiche:

℘′2(z) = 4(℘(z)− e1)(℘(z)− e2)(℘(z)− e3)

Ponendo ℘(z) = u e integrando:

dθ√4(θ − e1)(θ − e2)(θ − e3)

(℘(z) come funzione inversa di un integrale ellittico).

Con ragionamenti diversi...

℘′2(z) = 4℘3(z)− g2℘(z)− g3

g2 = 60 ·∑

(m,n) 6=(0,0)

1(2mω + 2nω′)4

g3 = 140 ·∑

(m,n) 6=(0,0)

1(2mω + 2nω′)6

=⇒ e1, e2, e3 sono le soluzioni dell’equazione:

4x3 − g2x − g3 = 0 .

Con ragionamenti diversi...

℘′2(z) = 4℘3(z)− g2℘(z)− g3

g2 = 60 ·∑

(m,n) 6=(0,0)

1(2mω + 2nω′)4

g3 = 140 ·∑

(m,n) 6=(0,0)

1(2mω + 2nω′)6

=⇒ e1, e2, e3 sono le soluzioni dell’equazione:

4x3 − g2x − g3 = 0 .

Il discriminante dell’equazione di terzo grado è:

∆ = g32 − 27g2

e g2, g3, ∆ sono detti invarianti della funzione ℘(z).

Le tre soluzioni e1, e2, e3 dell’equazione sono invece detteinvarianti irrazionali di ℘(z).

La funzione ζ di Weierstrass

ζ(z) =1z

1z − w

- È l’integrale della ℘ di Weierstrass, cambiato di segno:℘(z) = −ζ ′(z).

- È una funzione dispari, meromorfa con poli semplici, ma non èellittica.

(non è doppiamente periodica: se η = ζ(ω) e η′ = ζ(ω′)→ζ(z + 2ω) = ζ(z) + 2η , ζ(z + 2ω′) = ζ(z) + 2η′ )

ζ(z) =1z

1z − w

ζ(z) =1z

1z − w

La funzione σ di Weierstrass

σ(z) = z ·∏

(1− zw

) exp[

- La ζ di Weierstrass è la sua derivata logaritmica: σ′(z)σ(z) = ζ(z).

- È una funzione intera (dispari) che ha come zeri i puntiw = 2mω + 2nω′.Definiamo anche altre 3 funzioni intere:

σa(z) =σ(ωa−z)eηaz

σ(ωa)(a = 1,2,3),

dove ηa = ζ(ωa).

σ(z) = z ·∏

(1− zw

) exp[

σ(ωa)(a = 1,2,3),

dove ηa = ζ(ωa).

σ(z) = z ·∏

(1− zw

) exp[

σ(ωa)(a = 1,2,3),

dove ηa = ζ(ωa).

σ(z) = z ·∏

(1− zw

) exp[

σ(ωa)(a = 1,2,3),

dove ηa = ζ(ωa).

Funzioni ellittiche di Jacobi

Consideriamo funzioni f così definite:

∫ f (z)

dx√P(x)

dove P(x) è un polinomio.

- Ad esempio:

∫ sin(z)

dx√1− x2

Funzioni ellittiche di Jacobi

Consideriamo funzioni f così definite:

∫ f (z)

dx√P(x)

dove P(x) è un polinomio.

- Ad esempio:

∫ sin(z)

dx√1− x2

Se P(x) ha grado 3 o 4 −→ integrali ellittici.

Prendiamo:

∫ f (z)

dx√(1− x2)(1− k2x2)

sostituendo x = sinϑ:

∫ φ

dϑ√1− k2 sin2 ϑ

con f (z) = sinφ.

Se P(x) ha grado 3 o 4 −→ integrali ellittici.

Prendiamo:

∫ f (z)

dx√(1− x2)(1− k2x2)

sostituendo x = sinϑ:

∫ φ

dϑ√1− k2 sin2 ϑ

con f (z) = sinφ.

Le funzioni ellittiche di Jacobi:sn(z) = sinφ

cn(z) = cosφ =√

1− sn 2(z)

dn(z) =√

1− k2sn 2(z)

k : modulok ′ =

√1− k2: modulo complementare

Le funzioni ellittiche di Jacobi:sn(z) = sinφ

cn(z) = cosφ =√

1− sn 2(z)

dn(z) =√

1− k2sn 2(z)

k : modulok ′ =

√1− k2: modulo complementare

Le 3 funzioni sn, cn, dn sono ellittiche e si possono esprimeretramite la ℘:

sn(√

e1 − e3 z) =

√e1 − e3

℘(z)− e3

cn(√

e1 − e3 z) =

√℘(z)− e1

℘(z)− e3

dn(√

e1 − e3 z) =

√℘(z)− e2

℘(z)− e3.

I gli invarianti irrazionali e1, e2, e3 di ℘ sono legati al modulo dellefunzioni di Jacobi così:

k2 =e2 − e3

e1 − e3, k ′2 = 1− k2 =

e1 − e2

e1 − e3.

Le 3 funzioni sn, cn, dn sono ellittiche e si possono esprimeretramite la ℘:

sn(√

e1 − e3 z) =

√e1 − e3

℘(z)− e3

cn(√

e1 − e3 z) =

√℘(z)− e1

℘(z)− e3

dn(√

e1 − e3 z) =

√℘(z)− e2

℘(z)− e3.

I gli invarianti irrazionali e1, e2, e3 di ℘ sono legati al modulo dellefunzioni di Jacobi così:

k2 =e2 − e3

e1 − e3, k ′2 = 1− k2 =

e1 − e2

e1 − e3.

La funzione ψn(z)

Soffermiamoci su una particolare funzione ellittica con periodi2ω,2ω′:

ψn(z) =σ(nz)

σn 2 (z)

ψ1(z) = 1ψ2(z) = −℘′(z)

ψ3(z) = 3℘4(z)− 32

g2℘2(z)− 3g3℘(z)− 1

ψ4(z) = ℘′(z)(℘′4(z)− ψ3(z)℘′′(z)

)Ilaria Nesi Algoritmo di Kiepert per la risoluzione dell’equazione quintica

La funzione ψn(z)

Soffermiamoci su una particolare funzione ellittica con periodi2ω,2ω′:

ψn(z) =σ(nz)

σn 2 (z)

ψ1(z) = 1ψ2(z) = −℘′(z)

ψ3(z) = 3℘4(z)− 32

g2℘2(z)− 3g3℘(z)− 1

ψ4(z) = ℘′(z)(℘′4(z)− ψ3(z)℘′′(z)

)Ilaria Nesi Algoritmo di Kiepert per la risoluzione dell’equazione quintica

definizione ricorsiva:

ψ2n+1 = ψn+2ψ3n − ψn−1ψ

ψ2n =ψn

℘′(z)(ψn−2ψ

2n+1 − ψn+2ψ

2n−1)

Il caso n = 5 è importante per l’algoritmo:

ψ5(z) = 0⇔ (℘′′2−12℘℘′2)3−16℘′4℘′′(℘′′2−12℘℘′2)−64℘′8 =0.

definizione ricorsiva:

ψ2n+1 = ψn+2ψ3n − ψn−1ψ

ψ2n =ψn

℘′(z)(ψn−2ψ

2n+1 − ψn+2ψ

2n−1)

Il caso n = 5 è importante per l’algoritmo:

ψ5(z) = 0⇔ (℘′′2−12℘℘′2)3−16℘′4℘′′(℘′′2−12℘℘′2)−64℘′8 =0.

Funzioni theta

Funzioni theta:Sono 4 funzioni intere e periodiche, rappresentabili tramite seriela cui convergenza è estremamente rapida.Si possono mettere in relazione con le funzioni viste finora esono utili per la loro computazione numerica.Consideriamo una ℘(z) = ℘(z|ω, ω′) e definiamo:

τ =ω′

ω(Imτ > 0) , q = eiπτ , ν =

Funzioni theta

τ =ω′

ω(Imτ > 0) , q = eiπτ , ν =

Funzioni theta

τ =ω′

ω(Imτ > 0) , q = eiπτ , ν =

θ1(ν) = 2 4√

q∞∑

(−1)nqn(n+1) sin[(2n + 1)πν]

θ2(ν) = 2 4√

q∞∑

qn(n+1) cos[(2n + 1)πν]

θ3(ν) = 1 + 2∞∑

qn2cos(2nπν)

θ4(ν) = 1 + 2∞∑

(−1)nqn2cos(2nπν)

- le serie convergono ∀ν ∈ C e ∀q ∈ R tale che: |q| < 1

- il fattore qn2porta a una convergenza molto rapida

- θ1, θ2 hanno periodo 2 e θ3, θ4 hanno periodo 1

- Se prendiamo ν = 0 (per θ1 prima deriviamo) otteniamo lecosiddette funzioni thetanulle:

θ′1(0) = 2πq14 (1− 3q2 + 5q6 − . . .)

θ2(0) = 2q14 (1 + q2 + q6 + . . .)

θ3(0) = 1 + 2(q + q4 + q9 + . . .)

θ4(0) = 1− 2(q − q4 + q9 − . . .).

- le serie convergono ∀ν ∈ C e ∀q ∈ R tale che: |q| < 1

- il fattore qn2porta a una convergenza molto rapida

- θ1, θ2 hanno periodo 2 e θ3, θ4 hanno periodo 1

- Se prendiamo ν = 0 (per θ1 prima deriviamo) otteniamo lecosiddette funzioni thetanulle:

θ′1(0) = 2πq14 (1− 3q2 + 5q6 − . . .)

θ2(0) = 2q14 (1 + q2 + q6 + . . .)

θ3(0) = 1 + 2(q + q4 + q9 + . . .)

θ4(0) = 1− 2(q − q4 + q9 − . . .).

Vediamo alcune delle relazioni tra le θ e le funzioni viste inprecedenza. Se ν = z/2ω:

relazione tra ℘ e le θ:

℘(z|ω, ω′) = ea +1

[θ′1(0) · θa+1(ν)

θa+1(0) · θ1(ν)

(a = 1,2,3).

relazione tra le σ e le θ:

σ(z) = 2ωeη

2ω z2· θ1(ν)

θ′1(0)σ1(z) = e

η2ω z2· θ2(ν)

θ2(0)

σ2(z) = eη

2ω z2· θ3(ν)

θ3(0)σ3(z) = e

η2ω z2· θ4(ν)

θ4(0).

Vediamo alcune delle relazioni tra le θ e le funzioni viste inprecedenza. Se ν = z/2ω:

relazione tra ℘ e le θ:

℘(z|ω, ω′) = ea +1

[θ′1(0) · θa+1(ν)

θa+1(0) · θ1(ν)

(a = 1,2,3).

relazione tra le σ e le θ:

σ(z) = 2ωeη

2ω z2· θ1(ν)

θ′1(0)σ1(z) = e

η2ω z2· θ2(ν)

θ2(0)

σ2(z) = eη

2ω z2· θ3(ν)

θ3(0)σ3(z) = e

η2ω z2· θ4(ν)

θ4(0).

relazioni tra le funzioni di Jacobi e le θ:

sn(√

e1 − e3 z)

= 2ω√

e1 − e3θ4(0)θ1(ν)

θ4(ν)θ′1(0)

cn(√

e1 − e3 z)

=θ4(0)θ2(ν)

θ2(0)θ4(ν)dn(√

e1 − e3 z)

=θ4(0)θ3(ν)

θ3(0)θ4(ν).

B Per il nostro algoritmo saranno utili le seguenti relazioni tra ilmodulo k delle funzioni di Jacobi e le funzioni thetanulle:

√k =

θ2(0)

θ3(0)

√k ′ =

θ4(0)

θ3(0).

relazioni tra le funzioni di Jacobi e le θ:

sn(√

e1 − e3 z)

= 2ω√

e1 − e3θ4(0)θ1(ν)

θ4(ν)θ′1(0)

cn(√

e1 − e3 z)

=θ4(0)θ2(ν)

θ2(0)θ4(ν)dn(√

e1 − e3 z)

=θ4(0)θ3(ν)

θ3(0)θ4(ν).

B Per il nostro algoritmo saranno utili le seguenti relazioni tra ilmodulo k delle funzioni di Jacobi e le funzioni thetanulle:

√k =

θ2(0)

θ3(0)

√k ′ =

θ4(0)

θ3(0).

Passo 1Passo 2Passo 3Passo 4Passo 5Passo 6Passo 7

Equazione quintica generale

x5 + Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E = 0

↓ (1) ↑

Equazione quintica principale

z5 + 5az2 + 5bz + c = 0

↓ (2) ↑

Equazione quintica di Brioschi

y5 − 10Zy3 + 45Z 2y − Z 2 = 0

x5 + Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E = 0

↓ (1) ↑

z5 + 5az2 + 5bz + c = 0

↓ (2) ↑

y5 − 10Zy3 + 45Z 2y − Z 2 = 0

x5 + Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E = 0

↓ (1) ↑

z5 + 5az2 + 5bz + c = 0

↓ (2) ↑

y5 − 10Zy3 + 45Z 2y − Z 2 = 0

↓ (3) ↑

Equazione sestica di Jacobi

s6 +10∆

s3 − 12g2

∆2 s +5

∆2 = 0

B per risolverla:si esprimono le soluzioni tramite la ℘ di Weierstrass (4)

poi si esprimono tramite le funzioni theta (5)

si calcola il valore del parametro q (problema dell’inversione) (6)

si ripercorrono all’indietro tutte le trasformazioni (7)

↓ (3) ↑

s6 +10∆

s3 − 12g2

∆2 s +5

∆2 = 0

↓ (3) ↑

s6 +10∆

s3 − 12g2

∆2 s +5

∆2 = 0

↓ (3) ↑

s6 +10∆

s3 − 12g2

∆2 s +5

∆2 = 0

↓ (3) ↑

s6 +10∆

s3 − 12g2

∆2 s +5

∆2 = 0

Dalla quintica generale alla quintica principale

Si usa una trasformazione di Tschirnhaus della forma:

zk = x2k − uxk + v

chi sono u e v?Nella quintica principale mancano i termini con z4 e z3 =⇒ vaposto

∑zk = 0 e

k = 0;facendo i calcoli...

5v = −Au − A2 + 2B

(2A2 − 5B)u2 + (4A3 − 13AB + 15C)u + (2A4 − 8A2B+

+ 10AC + 3B2 − 10D) = 0

dalla seconda troviamo u e dalla prima calcoliamo ilcorrispondente v .

∑zk = 0 e

5v = −Au − A2 + 2B

(2A2 − 5B)u2 + (4A3 − 13AB + 15C)u + (2A4 − 8A2B+

+ 10AC + 3B2 − 10D) = 0

∑zk = 0 e

5v = −Au − A2 + 2B

(2A2 − 5B)u2 + (4A3 − 13AB + 15C)u + (2A4 − 8A2B+

+ 10AC + 3B2 − 10D) = 0

Troviamo i coefficienti a,b, c della quintica principale:scriviamo: v5 + 5av2 + 5bv + c =

∏(v − zk ) e sfruttiamo le

identità di Newton...

c = −E(u5 + Au4 + Bu3 + Cu2 + Du + E)− v5 − 5av2 − 5bv

ora deriviamo: 5v4 + 10av + 5b + c =∑

k 6=j (v − zk ), eprocedendo analogamente...

5b = D(u4+Au3+Bu2+Cu+D)−E(5u3+4Au2+3Bu+C)−5v4−10av

derivando ancora una volta...

5a = −C(u3+Au2+Bu+C)+D(4u2+3Au+2B)−E(5u+2A)−10v3

B abbiamo così trovato i coefficienti della quintica principale!

Dalla quintica principale alla quintica di Brioschi

In questo passaggio ci vengono in aiuto i poliedri e i loro polinomi!

Si può partizionare un icosaedro regolarein 5 ottaedri regolari: dividiamo i 30 latidell’icosaedro in 5 insiemi di 6 lati cia-scuno (come in figura); per ogni insieme,i punti medi dei 6 lati sono i vertici di unottaedro regolare.

Dalla quintica principale alla quintica di Brioschi

In questo passaggio ci vengono in aiuto i poliedri e i loro polinomi!

Si può partizionare un icosaedro regolarein 5 ottaedri regolari: dividiamo i 30 latidell’icosaedro in 5 insiemi di 6 lati cia-scuno (come in figura); per ogni insieme,i punti medi dei 6 lati sono i vertici di unottaedro regolare.

Prendiamo l’ottaedro P1P2 . . .P6.

Consideriamo tre rotazioni: Fdi 180 attorno all’asse η, T di180 attorno all’asse OP1 e lacomposizione TF , di 180 attornoall’asse perpendicolare a entrambigli assi η e OP1.

Esse sono, formalmente, le trasfor-mazioni (ε = exp(2πi/5)):

F : z ′ = −1z

T : z ′ =(ε− ε4)z + (ε3 − ε2)

(ε3 − ε2)z − (ε− ε4)

TF : z ′ =(ε3 − ε2)z − (ε− ε4)

−(ε− ε4)z − (ε3 − ε2).

Quali sono i punti lasciati inalterati dalle tre rotazioni?Ponendo z ′ = z e poi passando alle coordinate omogenee...

A0 = u2 + v2 = 0 ⇔ (u, v) è lasciato inalterato da F

B0 = u2−2(ε2 + ε3)uv − v2 = 0 ⇔ (u, v) è lasciato inalterato da T

C0 = u2−2(ε+ε4)uv−v2 = 0 ⇔ (u, v) è lasciato inalterato da TF .

Ognuno dei Pi è un punto fisso per una di queste rotazioni =⇒

t0 := A0B0C0= u6 + 2u5v − 5u4v2 − 5u2v4 − 2uv5 + v6

è il polinomio dei vertici dell’ottaedro P1P2 . . .P6.

Quali sono i punti lasciati inalterati dalle tre rotazioni?Ponendo z ′ = z e poi passando alle coordinate omogenee...

A0 = u2 + v2 = 0 ⇔ (u, v) è lasciato inalterato da F

B0 = u2−2(ε2 + ε3)uv − v2 = 0 ⇔ (u, v) è lasciato inalterato da T

C0 = u2−2(ε+ε4)uv−v2 = 0 ⇔ (u, v) è lasciato inalterato da TF .

Ognuno dei Pi è un punto fisso per una di queste rotazioni =⇒

t0 := A0B0C0= u6 + 2u5v − 5u4v2 − 5u2v4 − 2uv5 + v6

è il polinomio dei vertici dell’ottaedro P1P2 . . .P6.

Gli altri 4 ottaedri si ottengono dal primo facendo rotazioni dik · π/5 (k = 1,2,3,4).Come viene modificato t0 dalla rotazione Sk : z ′ = εk z(forma omogenea: U = ε3k u, V = ε2k v )?

tk = ε3k u6 + 2ε2k u5v − 5εk u4v2 − 5ε4k u2v4 − 2ε3k uv5 + ε2k v6

è il polinomio dei vertici dell’ottaedro regolare che si ottiene dalprecedente facendo una rotazione di k

Gli altri 4 ottaedri si ottengono dal primo facendo rotazioni dik · π/5 (k = 1,2,3,4).Come viene modificato t0 dalla rotazione Sk : z ′ = εk z(forma omogenea: U = ε3k u, V = ε2k v )?

tk = ε3k u6 + 2ε2k u5v − 5εk u4v2 − 5ε4k u2v4 − 2ε3k uv5 + ε2k v6

è il polinomio dei vertici dell’ottaedro regolare che si ottiene dalprecedente facendo una rotazione di k

Ma i punti in cui t0, . . . , t4 si annullano sono anche i punti medi dei latidell’icosaedro⇒ sono le radici di t5 + c1t4 + c2t3 + c3t2 + c4t + c5 = 0,dove ck è polinomio di grado 6k in u, v invariante per Ih.Ragionando sui gradi che può avere un invariante di Ih e sfruttando leidentità di Newton...

i polinomi t0, . . . , t4 degli ottaedri sono le radici dell’equazione diBrioschi:

t5 − 10ft3 + 45f 2t − T = 0

dove f e T sono i polinomi dei vertici e dei lati dell’icosaedro.B La nostra equazione di Brioschi è un caso particolare in cui

Z = f , Z 2 = T ⇒ f 2 = T .

t5 − 10ft3 + 45f 2t − T = 0

Z = f , Z 2 = T ⇒ f 2 = T .

t5 − 10ft3 + 45f 2t − T = 0

Z = f , Z 2 = T ⇒ f 2 = T .

Quali sono i polinomi Wk delle facce degli ottaedri?A meno di una costante, Wk è l’hessiano di tk (k = 0,1,2,3,4)...

Wk = −ε4k u8 + ε3k u7v − 7ε2k u6v2− 7εk u5v3 + 7ε4k u3v5− 7ε3k u2v6−

−ε2k uv7 − εk v8 .

Ragionando anche qui sul grado degli invarianti di Ih...∑Wk = 0,

∑tk Wk = 0,

∑W 2

k = 0,∑tk W 2

k = 0,∑

t2k W 2

k = 0 .

Quali sono i polinomi Wk delle facce degli ottaedri?A meno di una costante, Wk è l’hessiano di tk (k = 0,1,2,3,4)...

Wk = −ε4k u8 + ε3k u7v − 7ε2k u6v2− 7εk u5v3 + 7ε4k u3v5− 7ε3k u2v6−

−ε2k uv7 − εk v8 .

Ragionando anche qui sul grado degli invarianti di Ih...∑Wk = 0,

∑tk Wk = 0,

∑W 2

k = 0,∑tk W 2

k = 0,∑

t2k W 2

k = 0 .

Se allora prendiamo, per certi σ, τ :

zk = σWk + τ tk Wk

segue che∑

zk = 0 e∑

z2k = 0

⇒ tali zk sono le radici di una quintica principalez5 + 5az2 + 5bz + c = 0.Ricaviamo i coefficienti di questa quintica principale (anche quitramite le identità di Newton e un’indagine sui gradi degliinvarianti)...

a = 8f 2σ3 + Tσ2τ + 72f 3στ2 + fT τ3

b = −fHσ4 + 18f 2Hσ2τ2 + HTστ3 + 27f 3Hτ4

c = H2(σ5 − 10fσ3τ2 + 45f 2στ4 + T τ5) .

Se allora prendiamo, per certi σ, τ :

zk = σWk + τ tk Wk

segue che∑

zk = 0 e∑

z2k = 0

⇒ tali zk sono le radici di una quintica principalez5 + 5az2 + 5bz + c = 0.Ricaviamo i coefficienti di questa quintica principale (anche quitramite le identità di Newton e un’indagine sui gradi degliinvarianti)...

a = 8f 2σ3 + Tσ2τ + 72f 3στ2 + fT τ3

b = −fHσ4 + 18f 2Hσ2τ2 + HTστ3 + 27f 3Hτ4

c = H2(σ5 − 10fσ3τ2 + 45f 2στ4 + T τ5) .

Ora diamo opportuni valori a σ, τ , in modo che le espressioni pera,b, c coinvolgano f ,H,T esplicitamente solo nelle combinazioni:

Z =f 5

T 2 e V =H3

(legate dalla relazione: 1Z + V = 1728).

Prendiamo:

σ =λfH

, τ =µf 3

HT(λ, µ: parametri) e sostituendo...

Va = 8λ3 + λ2µ+ (72λµ2 + µ3)Z

Vb = −λ4 + 18λ2µ2Z + λµ3Z + 27µ4Z 2

Vc = λ5 − 10λ3µ2Z + 45λµ4Z 2 + µ5Z 2 .

Ora diamo opportuni valori a σ, τ , in modo che le espressioni pera,b, c coinvolgano f ,H,T esplicitamente solo nelle combinazioni:

Z =f 5

T 2 e V =H3

(legate dalla relazione: 1Z + V = 1728).

Prendiamo:

σ =λfH

, τ =µf 3

HT(λ, µ: parametri) e sostituendo...

Va = 8λ3 + λ2µ+ (72λµ2 + µ3)Z

Vb = −λ4 + 18λ2µ2Z + λµ3Z + 27µ4Z 2

Vc = λ5 − 10λ3µ2Z + 45λµ4Z 2 + µ5Z 2 .

Invertiamo le equazioni in modo che i parametri λ, µ,Z e V sianocalcolati a partire da a,b, c.Facendo vari calcoli...

λ2(a4 + abc − b3)− λ(11a3b − ac2 + 2b2c)+

+ 64a2b2 − 27a3c − bc2 = 0 −→ λ

V =(aλ2 − 3λb − 3c)3

a2(λac − λb2 − bc)

µ =Va2 − 8λ3a− 72λ2b − 72λc

λ2a + λb + c

+ V = 1728 −→ Z

Invertiamo le equazioni in modo che i parametri λ, µ,Z e V sianocalcolati a partire da a,b, c.Facendo vari calcoli...

λ2(a4 + abc − b3)− λ(11a3b − ac2 + 2b2c)+

+ 64a2b2 − 27a3c − bc2 = 0 −→ λ

V =(aλ2 − 3λb − 3c)3

a2(λac − λb2 − bc)

µ =Va2 − 8λ3a− 72λ2b − 72λc

λ2a + λb + c

+ V = 1728 −→ Z

A questo punto possiamo esprimere le radici della quinticaprincipale in termini di λ, µ,Z e V . Basta prendere lazk = σWk + τ tk Wk e sostituirci i valori dati a σ, τ ...

zk =(λf

(µf 3

)tk Wk .

Resta da scrivere la trasformazione che esprime le soluzioni zkdella quintica principale in funzione delle soluzioni yk dellaquintica di Brioschi associata.Ci vengono in aiuto ancora una volta i polinomi poliedrali

A questo punto possiamo esprimere le radici della quinticaprincipale in termini di λ, µ,Z e V . Basta prendere lazk = σWk + τ tk Wk e sostituirci i valori dati a σ, τ ...

zk =(λf

(µf 3

)tk Wk .

Resta da scrivere la trasformazione che esprime le soluzioni zkdella quintica principale in funzione delle soluzioni yk dellaquintica di Brioschi associata.Ci vengono in aiuto ancora una volta i polinomi poliedrali

Baricentri delle facce dei 5 ottaedri ↔ baricentridelle facce dell’icosaedro⇒ ogni Wk è un fattore di H.Inoltre si verifica che t2

k − 3f è un fattore di H (enon ce ne sono altri).

=⇒ H = Wk (t2k − 3f ) (k = 0,1,2,3,4).

Sostituendo nell’espressione per zk ...

zk =λ+ µyk(

y2k /Z

)− 3

è la trasformazione che cercavamo!

Baricentri delle facce dei 5 ottaedri ↔ baricentridelle facce dell’icosaedro⇒ ogni Wk è un fattore di H.Inoltre si verifica che t2

k − 3f è un fattore di H (enon ce ne sono altri).

=⇒ H = Wk (t2k − 3f ) (k = 0,1,2,3,4).

Sostituendo nell’espressione per zk ...

zk =λ+ µyk(

y2k /Z

)− 3

è la trasformazione che cercavamo!

Dalla quintica di Brioschi alla sestica di Jacobi

Teorema di Perron

Se abbiamo la quintica di Brioschi: y5 − 10fy3 + 45f 2y − T = 0, laquantità H della corrispondente sestica di Jacobis6 − 10fs3 + Hs + 5f 2 = 0 deve soddisfare l’identità icosaedrale1728f 5 − H3 − T 2 = 0.Se le radici della sestica si indicano con s∞, sk (k = 0,1,2,3,4),allora le 5 radici della quintica di Brioschi soddisfano:

(s∞ − sk )(sk+2 − sk+3)(sk+4 − sk+1) .

- quando si estrae la radice, come si decide quale yk prendere?Si scrive la quintica di Brioschi così:

y4 − 10fy2 + 45f 2

in modo che a destra ci siano solo potenze pari di y e si controllaquale delle due yk soddisfa l’equazione.

Adesso entrano in gioco le funzioni ellittiche.Possiamo associare alla sestica di Jacobi una ℘ di Weierstrass concerti ∆, g2, g3.

Le relazioni che legano questi invarianti ai coefficienti dellasestica sono:

∆ = −1f, g2 = −H∆2

12, g3 =

così la sestica diventa:

s6 +10∆

s3 − 12g2

∆2 s +5

∆2 = 0 .

Adesso entrano in gioco le funzioni ellittiche.Possiamo associare alla sestica di Jacobi una ℘ di Weierstrass concerti ∆, g2, g3.

Le relazioni che legano questi invarianti ai coefficienti dellasestica sono:

∆ = −1f, g2 = −H∆2

12, g3 =

così la sestica diventa:

s6 +10∆

s3 − 12g2

∆2 s +5

∆2 = 0 .

Possiamo anche collegare gli invarianti direttamente alparametro Z della quintica di Brioschi:

∆ = − 1Z, g2 =

√1− 1728Z

Z 2 , g3 = − 1216Z

così la quintica diventa:

y5 +10∆

y3 +45∆2 y − 216g3

∆3 = 0 .

Espressione delle soluzioni della sestica tramite ℘

A questo punto riusciamo a scrivere le soluzioni della sestica intermini di ℘.

Avevamo visto che:σ(5z)

σ25(z)= 0 ⇐⇒

(℘′′2 − 12℘℘′2)3 − 16℘′4℘′′(℘′′2 − 12℘℘′2)− 64℘′8 = 0

B equazione sopra: gli zeri sono i 24 valori zmn = 2mω+2nω′

5(m,n ∈ Z5)

B equazione sotto: è di grado 12 in ℘⇒ gli zeri sono i 12 valori℘m,n = ℘(zmn) (℘−m,−n = ℘m,n)

σ25(z)= 0 ⇐⇒

(℘′′2 − 12℘℘′2)3 − 16℘′4℘′′(℘′′2 − 12℘℘′2)− 64℘′8 = 0

5(m,n ∈ Z5)

σ25(z)= 0 ⇐⇒

(℘′′2 − 12℘℘′2)3 − 16℘′4℘′′(℘′′2 − 12℘℘′2)− 64℘′8 = 0

5(m,n ∈ Z5)

Siano:

ymn = ℘ 2m,2n − ℘m,n = ℘(4mω + 4nω′

)− ℘

(2mω + 2nω′

)sfruttando una proprietà della ℘ di Weierstrass...

ymn =(℘′′m,n)2 − 12℘m,n(℘′m,n)2

4(℘′m,n)2

omettendo i pedici e sostituendo, dopo vari calcoli

Siano:

ymn = ℘ 2m,2n − ℘m,n = ℘(4mω + 4nω′

)− ℘

(2mω + 2nω′

ymn =(℘′′m,n)2 − 12℘m,n(℘′m,n)2

4(℘′m,n)2

Siano:

ymn = ℘ 2m,2n − ℘m,n = ℘(4mω + 4nω′

)− ℘

(2mω + 2nω′

ymn =(℘′′m,n)2 − 12℘m,n(℘′m,n)2

4(℘′m,n)2

5y12 − 12g2y10 + 10∆y6 + ∆2 = 0 .

Le soluzioni di questa sono le ymn = ℘ 2m,2n − ℘m,n!Se si pone y2 = 1/s si ottiene proprio la sestica di Jacobi =⇒

√smn =

4mω+4nω′

)− ℘

(2mω+2nω′

Abbiamo espresso le radici s∞, sk tramite la ℘ di Weierstrass; ora pervalutare tali espressioni dobbiamo utilizzare le funzioni θ.

5y12 − 12g2y10 + 10∆y6 + ∆2 = 0 .

√smn =

4mω+4nω′

)− ℘

(2mω+2nω′

5y12 − 12g2y10 + 10∆y6 + ∆2 = 0 .

√smn =

4mω+4nω′

)− ℘

(2mω+2nω′

Espressione delle soluzioni della sestica tramitefunzioni theta

A causa della doppia periodicità di ℘, possiamo scrivere:

√s∞ =

1℘( 2ω

)− ℘

( 4ω5

2ω′−2kω5

)− ℘

(4ω′−4kω

) (k = 0,1,2,3,4).

Sfruttando varie proprietà delle funzioni viste, si ottiene...

√s∞ =

+∞∑n=−∞

(−1)nq5(6n+1)2

√sk =

+∞∑n=−∞

(−1)nεk(6n+1)2q

(6n+1)2

dove q = exp(πiω′

), ε = exp

( 2πi5

B =6√

∆+∞∑

n=−∞(−1)nq

(6n+1)2

Sfruttando varie proprietà delle funzioni viste, si ottiene...

√s∞ =

+∞∑n=−∞

(−1)nq5(6n+1)2

√sk =

+∞∑n=−∞

(−1)nεk(6n+1)2q

(6n+1)2

dove q = exp(πiω′

), ε = exp

( 2πi5

B =6√

∆+∞∑

n=−∞(−1)nq

(6n+1)2

Determinazione del parametro q

Dunque abbiamo espresso le radici s∞, sk della sestica di Jacobitramite le funzioni theta.Va però ancora determinato il valore del parametro q a partire daiparametri della sestica!

Problema dell’inversione

Date le radici e1,e2,e3 dell’equazione ℘′2(z) = 4℘3(z)− g2℘(z)− g3,cioè gli invarianti irrazionali della ℘ associata alla nostra sestica diJacobi, calcolare il valore del parametro q.

Determinazione del parametro q

Dunque abbiamo espresso le radici s∞, sk della sestica di Jacobitramite le funzioni theta.Va però ancora determinato il valore del parametro q a partire daiparametri della sestica!

Problema dell’inversione

Date le radici e1,e2,e3 dell’equazione ℘′2(z) = 4℘3(z)− g2℘(z)− g3,cioè gli invarianti irrazionali della ℘ associata alla nostra sestica diJacobi, calcolare il valore del parametro q.

Calcoliamo il valore del parametro L definito dall’equazione:

L =4√

e1 − e3 − 4√

e1 − e24√

e1 − e3 + 4√

e1 − e2=

1−√

1 +√

k ′.

Avevamo visto che√

k ′ = θ4(0)/θ3(0); tenendo presenti anchegli sviluppi delle funzioni thetanulle:

L =θ3(0)− θ4(0)

θ3(0) + θ4(0)=

2(q + q9 + q25 + . . .)

(1 + 2q4 + 2q16 + . . .)

Calcoliamo il valore del parametro L definito dall’equazione:

L =4√

e1 − e3 − 4√

e1 − e24√

e1 − e3 + 4√

e1 − e2=

1−√

1 +√

k ′.

Avevamo visto che√

k ′ = θ4(0)/θ3(0); tenendo presenti anchegli sviluppi delle funzioni thetanulle:

L =θ3(0)− θ4(0)

θ3(0) + θ4(0)=

2(q + q9 + q25 + . . .)

(1 + 2q4 + 2q16 + . . .)

Invertendo quest’ultima equazione, otteniamo un’espressionedetta nomo di Jacobi:

+ . . . =∞∑j=1

in cui i coefficienti qj formano la serie:1, 2, 15, 150, 1707, 20910, 268616, 3567400, 48555069 . . . .

B Così troviamo il valore di q! Possiamo sostituirlo nelle formuleper√

s∞ e per√

sk e abbiamo finalmente i valori delle soluzionidella sestica di Jacobi!

Invertendo quest’ultima equazione, otteniamo un’espressionedetta nomo di Jacobi:

+ . . . =∞∑j=1

in cui i coefficienti qj formano la serie:1, 2, 15, 150, 1707, 20910, 268616, 3567400, 48555069 . . . .

B Così troviamo il valore di q! Possiamo sostituirlo nelle formuleper√

s∞ e per√

sk e abbiamo finalmente i valori delle soluzionidella sestica di Jacobi!

Risalendo le varie trasformazioni fatte...

B Non resta che invertire le trasformazioni fatte per arrivare fin qui:

Sestica di Jacobi −→ quintica di Brioschi:Dal teorema di Perron abbiamo:

√1√5

(s∞ − sk )(sk+2 − sk+3)(sk+4 − sk+1)

-per prendere quella giusta si verifica quale soddisfa:

216g3∆3

)/((y2

k )2 + 10∆ y2

k + 45∆2

Risalendo le varie trasformazioni fatte...

B Non resta che invertire le trasformazioni fatte per arrivare fin qui:

Sestica di Jacobi −→ quintica di Brioschi:Dal teorema di Perron abbiamo:

√1√5

(s∞ − sk )(sk+2 − sk+3)(sk+4 − sk+1)

-per prendere quella giusta si verifica quale soddisfa:

216g3∆3

)/((y2

k )2 + 10∆ y2

k + 45∆2

Quintica di Brioschi −→ quintica principale:

zk =λ+ µyk(

y2k /Z

)− 3

Quintica principale −→ quintica generale:

Sappiamo che zk = x2k − uxk + v , o equivalentemente:

(xk − u)2 = (zk − v)− u(xk − u) .

Anche per m = 3,4,5 troviamo formule analoghe:

(xk − u)m = Pm(u, zk − v) + Qm(u, zk − v) · (xk − u) ,

dove Pm,Qm sono opportuni polinomi che possiamo calcolare.

Quintica di Brioschi −→ quintica principale:

zk =λ+ µyk(

y2k /Z

)− 3

Quintica principale −→ quintica generale:

Sappiamo che zk = x2k − uxk + v , o equivalentemente:

(xk − u)2 = (zk − v)− u(xk − u) .

Anche per m = 3,4,5 troviamo formule analoghe:

(xk − u)m = Pm(u, zk − v) + Qm(u, zk − v) · (xk − u) ,

dove Pm,Qm sono opportuni polinomi che possiamo calcolare.

Definiamo A′,B′,C′,D′,E ′ come coefficienti della quintica modificata,le cui radici sono le radici della quintica generale meno u:

(x − u)5 + A′(x − u)4 + B′(x − u)3 + C′(x − u)2 + D′(x − u) + E ′ = 0 .

Se ci sostituiamo le espressioni per (xk − u)m, otteniamoun’equazione lineare in (xk − u), che semplificata diventa:

xk =−[E + (zk − v)(u3 + Au2 + Bu + C) + (zk − v)2(2u + A)]

u4+Au3+Bu2+Cu+D + (zk − v)(3u2 + 2Au + B) + (zk − v)2 .

F Queste xk sono le soluzioni che cercavamo!!

Definiamo A′,B′,C′,D′,E ′ come coefficienti della quintica modificata,le cui radici sono le radici della quintica generale meno u:

(x − u)5 + A′(x − u)4 + B′(x − u)3 + C′(x − u)2 + D′(x − u) + E ′ = 0 .

Se ci sostituiamo le espressioni per (xk − u)m, otteniamoun’equazione lineare in (xk − u), che semplificata diventa:

xk =−[E + (zk − v)(u3 + Au2 + Bu + C) + (zk − v)2(2u + A)]

u4+Au3+Bu2+Cu+D + (zk − v)(3u2 + 2Au + B) + (zk − v)2 .

F Queste xk sono le soluzioni che cercavamo!!

Ci sono alcune ambiguità da risolvere! Ne citiamo una:

- Nella formula per L compaiono 4√

e1 − e3, 4√

e1 − e2. Abbiamo 4possibili valori per ogni radice, che portano a 4 possibili valori diL; in più ci sono 6 permutazioni di e1, e2, e3. In totale: 4 · 6 = 24possibili valori di q per ogni equazione sestica data.

- La metà di questi sono tali che |q| > 1 e possono essere subitoscartati. Per ognuno dei restanti 12 valori, possiamo far calcolareal computer le corrispondenti soluzioni s∞, sk e verificare se:

(s − s∞)4∏

(s − sk )

coincide con l’originale sestica di Jacobi.

e1 − e3, 4√

(s − s∞)4∏

(s − sk )

e1 − e3, 4√

(s − s∞)4∏

(s − sk )

Algoritmo di Kiepert per la risoluzione dell'equazione ...

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