Algorithmen des Internets 2005 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und...
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Algorithmen des Internets 2005
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Algorithmen und Komplexität
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Klausuraufgaben
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Algorithmen und Komplexität
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Aufgabe 1
– Welcher Algorithmus ist besser geeignet, um für das Routing in einem Netzwerk kürzeste Wege zu bestimmen?
Breitensuche Tiefensuche
– Eigennütziges Routing: Ändert sich im nachfolgend abgebildetenNetzwerk durch das Einfügen der Kante (B,A) mit Kosten 0 die optimale Lösung?
ja nein
X
X
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Aufgabe 1
– Zu welcher Art des Routings zählt das Link-State-Routing?
Oblivious Routing Adaptives Routing
– Welche Größe versucht man im Mehrfach-Fluss-Modell zu minimieren?
Congestion Dilation
Durchsatz Routingzeit
– Bandbreitenallokation im statischen Fall: Welcher Algorithmus benötigt die
wenigsten Schritte, um die korrekte Bandbreite zu ermitteln?
Binäre Suche AIMD Shrink-Algorithmus
X
X
X
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Aufgabe 2
• Zeichnen Sie zu den angegebenen Tabellen das zugehörige Netzwerk und berechnen Sie die Folgetabellen. Tritt das Count-to-Infinity-Problem auf? (ja)
A B C
ZielEntf
.via
B 1 B
C 2 B
ZielEntf
.via
A 1 A
C ∞ C
X
ZielEntf
.via
A ∞ B
B ∞ B
Router A Router B Router C
ZielEntf
.via
B 1 B
C 2 B
ZielEntf
.via
A 1 A
C ∞ C
ZielEntf
.via
A ∞ B
C ∞ B
update
4 3 A ------update
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Aufgabe 3
• Simulieren Sie AIMD versus AIAD. Verfügbare Bandbreite u=100, Startpunkt (20,50). Zeichnen Sie Fairness- und Effizienzlinie ein.(vgl. Übungsblatt 4)
das Diagramm wurde mitsim 0 1 20 50 21 erzeugt (siehe Materialien zu Übung 4)
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Aufgabe 3
• Beweisen Sie die Fairness-Funktion F(x,y) := (x+y) / (2x2+2y2)für x,y ≥ 0 höchstens 1 werden kann.
Lösungshinweis: (x-y)2 ≥ 0
(vgl. Übungsblatt 4)
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Aufgabe 4
Zeigen Sie, dass AIMD bei dynamischer Bandbreite u [1..n] ein kompetitives Verhältnis von Ω(n) besitzt bezüglich der gain-Funktion.
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Kompetitive Analyse
• Analyse von Online-Algorithmen
• Vergleich Online-Algorithmus mit Offline-Algorithmus
Kompetitives Verhältnis (competitive ratio)
• für randomisierte/probabilistische Online-Algorithmen:
• Finde Probleminstanz x, für die das Verhältnis maximal ist:
Spiel Adversary gegen Online-Algorithmus
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Bandweitenzuteilung im dynamischen Fall
• Adversary legt für jedem Zeitschritt t eine verfügbare Bandbreite ut fest
• Online-Algorithmus wählt eine Datenrate xt
• Gewinn: Anzahl übertragener Pakete
• ... entspricht strengen Kosten:
S(x,u) = u – gain(x,u)
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Bandbweitenzuteilung im dynamischen Fall
t
ut
xt
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Lösungshinweise zu Aufgabe 4
Zeigen Sie, dass AIMD bei dynamischer Bandbreite u [1..n] ein kompetitives Verhältnis von Ω(n) besitzt bezüglich der gain-Funktion.
Wir betrachten die Gain-Funktion
Das kompetitive Verhältnis ist
(hier steht optT im Zähler, da wir Gewinn und nicht Kosten betrachten)
Wir versuchen nun, das Verhältnis zwischen optT und gainT zu
maximieren.
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Lösungshinweise zu Aufgabe 4
Beobachtung:
1. AIMD wächst langsam (additive increase), obwohl ut groß ist
2. Beim Überschreiten von ut ist gain(xt, ut)=0. Außerdem wird die
Bandbreite im nächsten Schritt halbiert (multiplicative decrease)
Wir setzen ut abwechselnd auf 1 oder n (ut = 1 falls t gerade, sonst ut = n)
Wenn ut = n, dann ist xt = 1 und gain(xt, ut)=1
Wenn ut = 1, dann ist xt = 2 und gain(xt, ut)=0
(ut = 1 zwingt AIMD zur Halbierung der Bandbreite von 2 auf 1)
Bei T Zeitschritten ist optT = T(n/2+1) und gainT = T/2
ut
xt
ut
xt
additiveincrease
multiplicativedecrease