Algebre et Geometrie PC-PSI-PT.pdf

ALGBREET GOMTRIE

PC-PSI-PT Un cours conforme au programme Des exercices-types rsolus Les mthodes retenir De nombreux exercices et problmes

corrigs

5e dition

Jean-Marie Monier
TAGTypewriterAlgeria-Educ.com

ALGBRE ET GOMTRIEPC-PSI-PT

Cours, mthodes et exercices corrigs

Jean-Marie MonierProfesseur en classe de Spciales

au lyce La Martinire-Monplaisir Lyon

5e dition

Maquette intrieure : Lasertex

Couverture : Bruno Loste

Dunod, Paris, 2008 Dunod, Paris, 1996 pour la premire dition

ISBN 978-2-10-053970-3

D

unod

. La

phot

ocop

ie n

on a

utor

ise

est

un

dlit

.

III

Table des matires

CHAPITRE 1 Complments dalgbre linaire 31.1 Espaces vectoriels 4

1.1.1 Familles libres, familles lies, familles gnratrices 41.1.2 Sommes, sommes directes 4

1.2 Applications linaires 91.2.1 Thorme disomorphisme 91.2.2 Interpolation de Lagrange 101.2.3 Thorme du rang 11

1.3 Dualit 131.3.1 Gnralits 131.3.2 Hyperplans 141.3.3 Bases duales 16

1.4 Calcul matriciel 221.4.1 Trace 221.4.2 Blocs 27

Dterminants 352.1 Le groupe symtrique 36

2.1.1 Structure de Sn 362.1.2 Transpositions 362.1.3 Cycles 39

2.2 Applications multilinaires 412.2.1 Gnralits 412.2.2 Applications multilinaires alternes 41

2.3 Dterminant d'une famille de n vecteursdans une base d'un ev de dimension n 432.3.1 Espace n(E) 432.3.2 Proprits 44

2.4 Dterminant d'un endomorphisme 45

2.5 Dterminant d'une matrice carre 46

Cours

CHAPITRE 2

IV

2.6 Dveloppement par rapport une range 492.6.1 Cofacteurs et mineurs 492.6.2 Comatrice 53

2.7 Calcul des dterminants 552.7.1 Dterminant d'une matrice triangulaire 552.7.2 Manipulation de lignes et de colonnes 552.7.3 Cas n = 2, n = 3 582.7.4 Dterminant de Vandermonde 592.7.5 Dterminant dune matrice triangulaire par blocs 60

2.8 Orientation d'un espace vectoriel relde dimension finie 64

2.9 Supplment : Rang et sous-matrices 65

2.10 Systmes affines 682.10.1 Position du problme 682.10.2 Rsolution dans le cas dun systme de Cramer 69

Rduction des endomorphismes et des matrices carres 73

3.1 lments propres 74

3.2 Polynme caractristique 79

3.3 Diagonalisabilit 86

3.4 Trigonalisation 98

3.5 Polynmes d'endomorphismes, polynmes de matrices carres 1063.5.1 Gnralits 1063.5.2 Polynmes annulateurs 1093.5.3 Thorme de Cayley et Hamilton 1163.5.4 Idaux de K [X] (PSI 118

3.6 Applications de la diagonalisation 1193.6.1 Calcul des puissances d'une matrice carre 1193.6.2 Suites rcurrentes linaires simultanes

du 1er ordre coefficients constants 1233.6.3 Suites rcurrentes linaires coefficients constants 124Problmes 126

Espaces prhilbertiens rels 1294.1 Formes bilinaires symtriques, formes quadratiques 130

4.1.1 Gnralits 1304.1.2 Interprtation matricielle 132

4.2 Rappels sur les espaces euclidiens 1374.2.1 Produit scalaire 1374.2.2 Orthogonalit 141

Table des matires

CHAPITRE 4

CHAPITRE 3

Table des matires

V

D

unod

. La

phot

ocop

ie n

on a

utor

ise

est

un

dlit

.

4.3 Endomorphismes remarquablesd'un espace vectoriel euclidien 1464.3.1 Endomorphismes symtriques 1464.3.2 Endomorphismes orthogonaux 153

4.4 Adjoint 1584.4.1 Adjoint dun endomorphisme dun espace euclidien 1584.4.2 Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien 162

4.5 Rduction des matrices symtriques relles 1634.5.1 Thorme fondamental 1634.5.2 Rduction simultane 1694.5.3 Positivit 170Problme 186

Espaces prhilbertiens complexes 1875.1 Formes sesquilinaires 188

5.1.1 Gnralits 1885.1.2 Cas de la dimension finie 190

5.2 Espaces prhilbertiens complexeset espaces hermitiens 1935.2.1 Produit scalaire hermitien 1935.2.2 Orthogonalit 197

Gomtrie 2036.1 Courbes du plan 204

6.1.1 Enveloppe d'une famille de droites du plan 2046.1.2 Rappels sur labscisse curviligne et le rayon de courbure 2116.1.3 Centre de courbure 2166.1.4 Dveloppe d'une courbe du plan 2206.1.5 Dveloppantes d'une courbe du plan 223

6.2 Courbes de l'espace 2276.2.1 Gnralits 2276.2.2 Tangente en un point 2296.2.3 Abscisse curviligne 231

6.3 Surfaces 2356.3.1 Gnralits 2356.3.2 Plan tangent en un point 2386.3.3 Surfaces usuelles 2446.3.4 Quadriques 2526.3.5 Surfaces rgles, surfaces dveloppables 2616.3.6 Exemples de recherche de courbes traces sur une surface

et satisfaisant une condition diffrentielle 267

CHAPITRE 6

CHAPITRE 5

Table des matires

VI

Chapitre 1 278Chapitre 2 284Chapitre 3 293Chapitre 4 322Chapitre 5 347Chapitre 6 350

Index des notations 373

Index alphabtique 375

Solutions des exercices

D

unod

. La

phot

ocop

ie n

on a

utor

ise

est

un

dlit

.

VII

Prface

Jeune lycen, j'avais, pour les manuels scolaires, une vnration quasi-religieuse. Que reprsentaient pour moi ces livresqu'une main zle avait soigneusement recouverts en dbut d'anne ? Je ne saurais le dire avec prcision : ils conte-naient, sans doute, la Vrit. mon sens, par exemple, un thorme ne pouvait tre nonc que dans le scrupuleux res-pect des termes de l'ouvrage ; approximative, la restitution n'tait pas valable. L'utilisation, par les professeurs, des po-lycopis (rappels et complments de cours, noncs de problmes ...) n'tait pas, alors, habituelle ; je pense, aujourd'hui,que cela tait d bien plus aux difficults de reprographie qu' un non-dsir de ces professeurs d'imprimer leur griffepersonnelle par le choix d'exercices originaux. Ils se rfraient constamment aux manuels, en suivaient fidlement laprogression, y puisaient les exercices. Je me souviens, d'ailleurs, d'avoir t troubl quand, en Terminale, mon profes-seur de Math., que je rvrais aussi, se permettait parfois quelques critiques l'gard d'un ouvrage qu'il nous avait pour-tant conseill ! Quant aux auteurs de ces livres, ils restaient nigmatiques : qui taient ces demi-dieux dtenteurs duSavoir ?

Plus tard, mes rapports d'tudiant avec les manuels didactiques ont, videmment, volu, mais je crois avoir, navementsans doute, conserv cette approche faite d'envie et de respect qui m'empche, par exemple, de porter des annotationsen marge je ne jouerai pas la farce d'un Pierre de Fermat ! et cet a priori favorable qui me rendrait difficile la r-daction d'une critique objective.

Heureusement, tel n'est pas mon propos aujourd'hui ! Mais j'ai voulu, par ces quelques mots, souligner l'importance ca-pitale mme dans le subconscient de chacun de ces livres de cours sur lesquels vous travaillez durant vos tudes etqui vous accompagnent toute votre vie.

Aucun professeur, ft-il auteur de manuels, ne songerait conseiller un livre en remplacement d'un enseignement vi-vant et vcu. Mais, le cours imprim, s'il est fidle la lettre et l'esprit du programme d'une classe, peut aider, de faontrs importante, l'tudiant consciencieux. Celui-ci, surtout lorsqu'il est dbutant, trouvera la scurit dont il a besoin dansun plan clair, prcis, rigoureux, dans une prsentation particulirement soigne o les diverses polices de caractres sontjudicieusement alternes, dans la vision d'ensemble des questions dont traite l'ouvrage. Il y recherchera, avec la certi-tude de les obtenir, telle dmonstration qu'il n'a pas bien comprise, tel exemple ou contre-exemple qui l'aidera mieuxassimiler une notion, la rponse telle question qu'il n'a pas os poser sinon lui-mme...

Pour que le livre joue ce rle d'assistant certes passif mais constamment disponible il doit, je pense, tre proche desproccupations immdiates de l'tudiant, ne pas exiger, pour sa lecture, un savoir qui n'a pas encore t acquis, ne pasrebuter par l'expos trop frquent de notions trop dlicates ; mais il doit, cependant, contenir une substance suffisantepour constituer les solides fondations sur lesquelles s'chafaude la pyramide du savoir scientifique.

On l'imagine, ds lors, aisment : l'criture d'un tel manuel, l'intention des tudiants des classes prparatoires ou d'unpremier cycle universitaire, demande, ct de la ncessaire comptence, des qualits pdagogiques certaines, affinespar une longue exprience professionnelle dans ces sections, une patience et une minutie rdactionnelles inoues.Jean-Marie Monier a eu le courage de se lancer dans ce gigantesque travail et les ouvrages qu'il nous propose aujour-d'hui aprs les recueils d'exercices qui ont eu le succs que l'on sait montrent qu'il a eu raison : il a, me semble-t il,pleinement atteint le but qu'il s'tait fix, savoir rdiger des livres de cours complets l'usage de tous les tudiantset pas seulement des polytechniciens en herbe. Les nombreux ouvrages d'approfondissement ou de spcialit seront,videmment, lus et savours plus tard, ... par ceux qui poursuivront. Pour l'instant, il faut, l'issue de la Terminale,assimiler compltement les nouvelles notions de base (la continuit, la convergence, le linaire...) ; le lecteur est guid,pas pas, par une main sre qui le tient plus fermement ds qu'il y a danger : les mises en garde contre certaines erreurssont le fruit de l'observation rpte de celles-ci chez les lves.

tout instant, des exercices sont proposs qui vont l'interpeller : il sera heureux de pouvoir, quelques dizaines de pagesplus loin, soit s'assurer que, par une bonne dmarche il est parvenu au bon rsultat, soit glaner une prcieuse indica-tion pour poursuivre la recherche : le livre forme un tout, efficace et cohrent.

Prface

VIII

J'ai dit quel rle majeur dans la formation d'un jeune esprit scientifique peut jouer un manuel qui lui servira de rf-rence pendant longtemps. Sa conception, sa rdaction, sa prsentation sont, alors, essentielles : on ne peut que viser la perfection !

C'est tout le sens du travail effectu par Jean-Marie Monier avec une comptence, un got, une constance admirables,depuis le premier manuscrit jusqu'aux ultimes corrections, dans les moindres dtails, avant la version dfinitive.

Ces ouvrages qui rpondent un rel besoin aujourd'hui, seront, j'en suis persuad, apprcis par tous ceux qui ilss'adressent par d'autres aussi sans doute ceux-l mmes qui, plus tard, diront : Ma formation mathmatique debase, je l'ai faite sur le MONIER ! .

H. DurandProfesseur en Mathmatiques Spciales PT*au lyce La Martinire Monplaisir Lyon

D

unod

. La

phot

ocop

ie n

on a

utor

ise

est

un

dlit

.

IX

Avant-propos

Ce nouveau Cours de Mathmatiques avec exercices corrigs s'adresse aux lves des classes prparatoires auxgrandes coles (1re anne PCSI-PTSI, 2e anne PC-PSI-PT, PC*-PSI*-PT*), aux tudiants du premier cycle universi-taire scientifique et aux candidats aux concours de recrutement de professeurs.

Le plan en est le suivant :

Analyse PCSI-PTSI : Analyse en 1re anneAlgbre PCSI-PTSI : Algbre en 1re anneGomtrie PCSI-PTSI : Gomtrie en 1re anneAnalyse PC-PSI-PT : Analyse en 2e anneAlgbre et gomtrie PC-PSI-PT : Algbre et gomtrie en 2e anne.

Cette nouvelle dition rpond aux besoins et aux proccupations des tudiant(e)s.

Une nouvelle maquette, la convivialit accrue, assure un meilleur accompagnement pdagogique. Le programmeofficiel est suivi de prs ; les notions ne figurant pas au programme ne sont pas tudies dans le cours. Des exercices-types rsolus et comments, incontournables et cependant souvent originaux, aident le lecteur franchir le passage ducours aux exercices. Les trs nombreux exercices, progressifs et tous rsolus, se veulent encore plus accessibles et per-mettent au lecteur de vrifier sa bonne comprhension du cours.Des complments, situs la limite du programme sont traits, en fin de chapitre, sous forme de problmes corrigs.

J'accueillerai avec reconnaissance les critiques et suggestions que le lecteur voudra bien me faire parvenir aux bonssoins de Dunod, diteur, 5, rue Laromiguire, 75005 Paris.

Jean-Marie Monier

X

Pour bien utiliser La page dentre de chapitre

Elle propose une introduction au cours, unrappel des prrequis et des objectifs, ainsiquun plan du chapitre.

Le cours

Le cours aborde toutes les notions du pro-gramme de faon structure afin den faciliterla lecture.La colonne de gauche fournit des remarquespdagogiques qui accompagnent ltudiantdans lassimilation du cours. Il existe quatretypes de remarques, chacun tant identifi parun pictogramme.

*

Monier Al

gbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

Les pictogrammes dans la marge

Commentaires pour bien comprendre le cours(reformulation dun nonc, explication dunedmonstration).

Indication du degr dimportance dun rsultat.

Mise en garde contre des erreurs frquentes.

Rappel dhypothse ou de notation.

Les exercices-types rsolus

Rgulirement dans le cours, des exercices-types rsolus permettent dappliquer sesconnaissances sur un nonc incontour-nable. La solution est entirement rdigeet commente.

XI

Les exercices et problmes

Dans chaque chapitre, la fin dune sous-partie,des noncs dexercices sont proposs poursentraner. La difficult de chaque exercice estindique sur une chelle de 1 4.A la fin de certains chapitres,des noncs de pro-blmes proposent daller plus loin.

Les solutions des exercices et problmes

Tous les exercices et problmes sont corrigs.Les solutions sont regroupes en fin douvrage.

cet ouvrage

Les mthodes retenir

Rgulirement dans le cours,cette rubrique pro-pose une synthse des principales mthodes connatre.

Programmes PC, PSI, PT

XII

Programmes PC, PSI, PT

Chapitre 1 : Complments dalgbre linaire

Dans la voie PT, la notion de somme directe ( 1.1) nest au programme que dans le cas de deux sev dun ev dedimension finie.

Le thorme du 1.2.1, ltude de linterpolation du point de vue de lalgbre linaire ( 1.2.2), la dualit ( 1.3) nesont pas au programme PT.

La notion de base duale ( 1.3.3) nest pas au programme PC.

Chapitre 2 : Dterminants

Ltude du groupe symtrique ( 2.1) nest pas aux programmes PC, PT ; la dmonstration de lexistence du dter-minant est admise.

La dfinition et les proprits de la comatrice ( 2.6.2) ne sont quau programme PSI.

Chapitre 3 : Rduction des endomorphismes et des matrices carres

Les notions de polynme dendomorphisme et de polynme de matrice ne sont pas au programme PT. Le thorme de Cayley-Hamilton ( 3.5.3) et ltude des idaux de K [X] ( 3.5.4) ne sont quau programme PSI.

Chapitre 4 : Espaces prhilbertiens rels

Ltude (lmentaire) des formes bilinaires symtriques et des formes quadratiques ( 4.1) nest pas au programmePC.

La notion dadjoint ( 4.4) et la rduction simultane ( 4.5.2) ne sont quau programme PSI.

Chapitre 5 : Espaces prhilbertiens complexes

Ce chapitre ne concerne pas la voie PT.

3.1 Convergence, divergence

XIII

D

unod

. La

phot

ocop

ie n

on a

utor

ise

est

un

dlit

.

Remerciements

Je tiens ici exprimer ma gratitude aux nombreux collgues qui ont accept de rviser des parties du manuscrit ou dela saisie : Robert AMBLARD, Bruno ARSAC, Chantal AURAY, Henri BAROZ, Alain BERNARD, Jean-PhilippeBERNE, Mohamed BERRAHO, Isabelle BIGEARD, Jacques BLANC, Grard BOURGIN, Grard-Pierre BOU-VIER, Grard CASSAYRE, Jean-Paul CHRISTIN, Yves COUTAREL, Gilles DEMEUSOIS, Catherine DONY,Hermin DURAND, Jean FEYLER, Marguerite GAUTHIER, Daniel GENOUD, Christian GIRAUD, Andr GRUZ,Andr LAFFONT, Jean-Marc LAPIERRE, Annie MICHEL, Rmy NICOLA, Michel PERNOUD, Jean REY, SophieRONDEAU, Ren ROY, Nathalie et Philippe SAUNOIS, Patrice SCHWARTZ, Grard SIBERT, Mimoun TABI.

Une pense mue accompagne les regretts Gilles CHAFFARD et Alain GOURET.

Enfin, je remercie vivement les ditions Dunod, Gisle Maus, Bruno Courtet, Nicolas Leroy, Michel Mounic,Dominique Decobecq et ric dEngenires, dont la comptence et la persvrance ont permis la ralisation de cesvolumes.

Jean-Marie Monier

D

unod

. La

phot

ocop

ie n

on a

utor

ise

est

un

dlit

.

3

1CHAPITRE 1Complmentsdalgbre linaire

IntroductionNous abordons dans ce chapitre un deuxime niveau dans lalgbre linai-re, constitu de complments sur les espaces vectoriels et les applicationslinaires, de ltude de la dualit et de la manipulation des matrices parblocs.

La dualit constitue une premire tape vers ltude des distributions, quidpasse le cadre de cet ouvrage.

La dcomposition des matrices en blocs traduit souvent des proprits pro-fondes des applications linaires quelles reprsentent, et la manipulation desblocs permet de rsoudre de faon lgante certains exercices sur les matriceset les dterminants.

Prrequis Espaces vectoriels, applications linaires, matrices, dterminants

dordre 2 ou 3 et systmes linaires (Algbre PCSI-PTSI, ch. 6 9)

Espaces vectoriels norms (Analyse PC-PSI-PT, ch. 1) Sries (Analyse PC-PSI-PT, ch. 4) Sries entires (Analyse PC-PSI-PT, ch. 6).

Objectifs Dfinition et tude des notions de somme et de somme directe de plu-

sieurs sev

Mise en place de la thorie de la dualit en algbre linaire Acquisition des techniques de manipulation de la trace et des blocs dans

le calcul matriciel.

1.1 Espaces vectoriels 4

Exercice 9

1.2 Applicationslinaires 9

Exercices 13

1.3 Dualit 13

Exercices 22

1.4 Calcul matriciel 22

Exercices 26, 33

Plan

Chapitre 1 Complments dalgbre linaire

4

K dsigne un corps commutatif. Conformment au programme, on peut se limiter aux casK , K .

1.1 Espaces vectoriels1.1.1 Familles libres, familles lies, familles gnra-

tricesE dsigne un K-espace vectoriel (en abrg : K-ev), I dsigne un ensemble fini.

Dfinition 1

On appelle combinaison linaire d'une famille xi iI d'lments de E tout lmentx de E tel qu'il existe une famille i iI d'lments de K , telle que x

iIi xi

Dfinition 2

1) Une famille xi iI d'lments de E est dite libre si et seulement si, pour toutefamille i iI d'lments de K :

iIi xi 0

i I i 0

.

2) Une famille xi iI d'lments de E est dite lie si et seulement si elle n'est paslibre, c'est--dire si et seulement s'il existe une famille i iI d'lments de K ,telle que :

i iI 0 et

iIi xi 0 .

Dfinition 3

Une famille xi iI d'lments de E est dite gnratrice de E (ou : engendre E) siet seulement si tout lment de E est combinaison linaire de xi iI

Dfinition 4

Une famille xi iI d'lments de E est appele base de E si et seulement si elle estlibre et gnratrice de E.

La Proposition suivante est immdiate.

Proposition-Dfinition 5

Si ei iI est une base de E, alors, pour tout x de E, il existe une famille i iI de K ,unique, telle que x

iIi ei Les i i I sont appels les coordonnes (ou :

composantes) de x dans la base ei iI

1.1.2 Sommes, sommes directesE dsigne un K-ev, I dsigne un ensemble fini.

On dit aussi que x est combinaisonlinaire finie des xi i I

Cette Dfinition gnralise celle vue en1re anne pour le cas d'une famille finie,cf. Algbre PCSI-PTSI, 6.3.1 Df.2.

Monier Al

gbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

1.1 Espaces vectoriels

5

Dfinition 1

Soient I un ensemble fini, Ei iI une famille de sev de E On appelle somme deEi iI , et on note

iIEi , l'ensemble des sommes

iIxi lorsque xi iI dcrit

iIEi :

iIEi

iIxi i I xi Ei

Dfinition 2

Soient I un ensemble fini, Ei iI une famille de sev de E On dit que la somme

iIEi est directe si et seulement si :

xi iI

iIEi

iIxi 0

i I xi 0

On note alors

iIEi au lieu de

iIEi

Remarque :

Si F1F2F3 sont des sev d'un ev E , on peut avoir F1 F2 F1 F3 F2 F3 0sans que la somme F1 F2 F3 soit directe, comme le montre l'exemple de trois droitesvectorielles de 2 deux deux distinctes.

Dfinition 3

Deux sev FG de E sont dits supplmentaires dans E si et seulement si la sommeF G est directe et gale E

Proposition 1

Soient P K [X] tel que deg P 1 et n deg P 1 Le sev P K [X] (formdes multiples de P) et le sev Kn[X] (form des polynmes de degr n) sont sup-plmentaires dans K [X]

Preuve

Il est clair que P K [X] et Kn[X] sont des sev de K [X]

Soit M P K [X] Kn[X]. Il existe B K [X] tel que M P B et deg M nSi B 0 alors : deg M deg P deg B deg P n 1 contradiction.Donc B 0 puis M 0Ceci montre : P K [X] Kn[X] 0 Soit A K [X] Par division euclidienne de A par P , il existe QR K [X] tels que :

A P Q R et deg R deg P

On a alors : A P Q R P Q P K [X] R Kn[X]ce qui montre : P K [X] Kn[X] K [X]Finalement, P K [X] et Kn[X] sont des sev supplmentaires dans K [X]

D

unod

. La

phot

ocop

ie n

on a

utor

ise

est

un

dlit

.

Cette Dfinition gnralise celle vue en1re anne pour deux sev, cf. AlgbrePCSI-PTSI, 6.2.

Monier Al

gbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

Cette dfinition gnralise celle vue en1re anne pour deux sev, cf. AlgbrePCSI-PTSI, 6.2.

Monier Al

gbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

F3

F2

F1

0

F et G sont supplmentaires dans Esi et seulement si :

F G 0 et F G E .Mon

ier Algbre M

onier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

Cas des polynmes une indtermine.Mon

ier Algbre M

onier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier


6

Proposition 2

Soient E un K-ev de dimension finie et Ei iI une famille finie de sev de E telleque la somme

iIEi soit directe. On a alors :

dim

iIEi

iIdim Ei

Preuve Puisque E est de dimension finie, pour tout i I le sev Ei de E admet au moins une base finie i Notons i ei j 1 j ji Considrons

iIi (runion ordonne).

1) Soit x E Puisque E

iIEi il existe une famille xi iI telle que :

i I xi Eix

iIxi

Pour chaque i I xi se dcompose sur i ; il existe j 1 j ji K ji tel que :

xi ji

j1i j ei j

On a alors :

x

iI

ji

j1i j ei j

donc x se dcompose sur Ceci montre que engendre E 2) Soit i j iI1 j ji une famille d'lments de K telle que :

iI

ji

j1i j ei j 0

En notant, pour chaque i I xi ji

j1i j ei j on a :

i I xi Ei

iIxi 0

Comme la somme

iIEi est directe, il en rsulte :

i I xi 0

Soit i I Comme ji

j1i j ei j xi 0 et que i ei j 1 j ji est libre, on dduit :

j 1 ji i j 0Ceci montre que est libre.On conclut que est une base de E On a alors :

dim

iIEi

Card

iIi

iICard i

iIdim Ei

x se dcompose linairement sur les Ei ,et chaque xi se dcomposelinairement sur i , donc x sedcompose linairement sur .

Monier Al

gbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

En fait, on vient de montrer plus

gnralement que,si E

iIEi et

si, pour chaque i I iengendre Ei ,alors

iIi engendre E

Monier Al

gbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

Pour chaque i I , on regroupe lestermes appartenant Ei .Monier Algbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

En fait, on vient de montrer plus

gnralement que,si la somme

iIEi

est directe et si,pour chaque i Iiest libre dans Ei , alors

iIi est libre.

Monier Al

gbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

1.1 Espaces vectoriels

7

Proposition 3

Soient E un K-ev de dimension finie et Ei iI une famille finie de sev de E telleque la somme

iIEi soit directe. On a alors :

E

iIEi dim E

iIdim Ei

Preuve

Si E

iIEi alors, d'aprs la Proposition 2 prcdente :

dim E dim

iIEi

iIdim Ei

Rciproquement, supposons dim E

iIdim Ei Alors, d'aprs la Proposition prcdente :

dim

iIEi

iIdim Ei dim E

Comme

iIEi est un sev de E de mme dimension que E on conclut

iIEi E

Dfinition 4

Soit Ei iI une famille finie de sev de E telle que E

iIEi Pour tout x E il

existe xi iI

iIEi unique tel que x

iIxi ; on note pi : E Ex xi pour tout

i IOn a alors :

i I pi pi pi i j I 2 i j pi pj 0

iIpi IdE

On dit que pi iI est la famille de projecteurs de E canoniquement associe ladcomposition de E en somme directe E

iIEi


Proposition 4

Soient Ei iI une famille finie de sev de E telle que E

iIEi et F un K-ev.

Pour toute famille ui iI telle que :

i I ui Ei F ,il existe u EF unique telle que :

i I ui u Eio u Ei dsigne la restriction de u Ei pour le dpart.

D

unod

. La

phot

ocop

ie n

on a

utor

ise

est

un

dlit

.

Cf. Algbre PCSI-PTSI, 6.4 2) Cor. 2.Mon

ier Algbre M

onier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

Ces trois proprits sont immdiates.Mon

ier Algbre M

onier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier


8

De plus, on a alors, en notant pi iI la famille de projecteurs canoniquement asso-cie la dcomposition de E en somme directe E

iIEi :

x E ux

iIui

pi x

.

Dfinition 5

Soient E un K-ev de dimension finie, une base de E

1) Soit F un sev de E On dit que est adapte F si et seulement si commence par une base de F

2) Soit Ei iI une famille finie de sev de E telle que E

iIEi On dit que est

adapte la dcomposition de E en somme directe E

iIEi si et seulement s'il

existe une famille i iI o, pour tout i I i est une base de Ei, telle que

iIi (la runion tant ordonne ).

Remarque :

D'aprs la preuve de la Proposition 2, si E

iIEi , et si, pour chaque i I i est une base

de Ei , alors

iIi est une base de E adapte la dcompostion de E en somme directe

E

iIEi

Ainsi, est une base de E adapte Fsi et seulement sil existe une base 1de F et une base 2 dunsupplmentaire de F dans E , tellesque 1 2,runion ordonne.

Monier Al

gbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

Exercices 1.1.1 1.1.3.

Exercice-type rsolu

Dimension et somme directe

Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, Ei iI une famille finie de sous-espaces vectoriels de E Montrer que lesdeux proprits suivantes sont quivalentes :

(1) la somme

iIEi est directe

(2) dim

iIEi

iIdim Ei

Conseils

Cf. 1.1.2 Prop. 2 p. 6.

Solution

1 2 :C'est un rsultat du Cours.

2 1 :

On suppose : dim

iIEi

iIdim Ei

Soit xi iI

iIEi tel que :

iIxi 0

1.2 Applications linaires

9


1.2.1 Thorme disomorphisme

Thorme Thorme disomorphisme

Soient EF deux K-ev, u EF , E un supplmentaire de Ker u dans E L'application E Im u

x uxest un isomorphisme de K-ev.

Preuve

Notons u : E Im ux ux

D'abord, u est correctement dfinie, car, pour tout x E E on a ux Im u L'application u est linaire car, pour tout K et tous xy E :

ux y ux y ux uy ux uy

Conseils

Thorme de la base incomplte,cf. Algbre PCSI-PTSI, 6.4. 1) Th. 2.

La runion est ordonne.

Cf. le point 1) de la preuve de la Prop. 2p. 6.

Si une famille finie engendre un sev et a uncardinal gal la dimension de ce sev,alors cette famille est une base de ce sev.

Toute sous-famille d'une famille libre estlibre.

Solution

Pour chaque i I il existe une base i de Ei , commenant par xi si xi 0 etquelconque si xi 0Notons :

iIi

Puisque, pour tout i I i engendre Ei engendre

iiEi

D'autre part :

Card

iICard i

iIdim Ei dim

iIEi

Il en rsulte que est une base de

iIEi

Notons J i I xi 0

Si J alors xi iI est lie, car par hypothse

iJxi

iIxi 0

en contradiction avec xi iI sous-famille de la base

Ceci montre que : i I xi 0et on conclut que la somme

iIEi est directe.

1.1.1 Soient E un K-ev, ABC des sev de E tels que B CMontrer :

A B C A C B

Exercice

Ainsi, tout supplmentaire de Kerudans E est isomorphe Imu .Monier Algbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier


10

Soit x Ker u On a alors x E et x Ker u d'o, puisque E est un supplmentaire deKer u dans E , x 0 Ceci montre Ker u 0 , et donc u est injective. Soit y Im u Il existe x E tel que y ux Puisque E E Ker u il existex E t Ker u tels que x x t On a alors :

y ux ux t ux ut ux ux

Ceci montre que u est surjective.Finalement, u est un isomorphisme d'ev.

1.2.2 Interpolation de Lagrange

Proposition Interpolation de Lagrange

Soient n a0an K deux deux distincts, u : K [X] K n1P Pa0Pan

, qui

est linaire. Alors :

Ker u est l'ensemble des multiples du polynme n

j0X aj

La restriction de u Kn[X] est un isomorphisme d'ev de Kn[X] sur K n1

Pour tout b0bn K n1, il existe un polynme P et un seul de Kn[X] tel que :

j 0n Paj bj

On dit que P interpole les valeurs bj 0 j n en les points (ou : noeuds)aj 0 j n

Preuve Soit P K [X] On a :

P Ker u

Pa0Pan

00 j 0n Paj 0

j 0n X aj P

n

j0X aj

P

puisque a0an sont deux deux distincts.

Notons M n

j0X aj Il est clair que deg M n 1 D'aprs 1.1.2 Prop. 3, Kn[X] est un

supplmentaire de M K [X] dans K [X] donc, d'aprs le Thorme disomorphisme, l'application

u : K [X] Im uP uP

est un isomorphisme d'ev. Comme dim Kn[X] n 1

on a donc dim

Im u

n 1 Mais Im u K n1 et dim K n1 n 1

Il en rsulte : Im u K n1 et donc u est un isomorphisme d'ev de Kn[X] sur K n1 Soit b0bn K n1 D'aprs le rsultat prcdent, il existe P Kn[X] unique tel que :

j 0n Paj bj

E Keru 0.Mon

ier Algbre M

onier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

La linarit de u est immdiate.Mon

ier Algbre M

onier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

Lindexation du produit commence lindice 0.

On peut exprimer P en faisant intervenirles polynmes dinterpolation deLagrange,cf.plus loin 1.3.3 Exemple 2).

Monier Al

gbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier


11

1.2.3 Thorme du rang

Dfinition

Soient EF deux K-ev, u EF On suppose que F est de dimension finie. Onappelle rang de u, et on note rg u, la dimension de Im u

Le thorme suivant rsulte directement de 1.2.1 Th (thorme disomorphisme).

Thorme Thorme du rang

Soient EF deux K-ev de dimensions finies, u EFOn a :

rg u dim E dim Ker u

Proposition

Soient EFGH des K-ev de dimensions finies, f EF u FGg GHSi f et g sont des isomorphismes, alors :

rg g u f rg u

En particulier :

si f est un isomorphisme, alors : rg u f rg usi g est un isomorphisme, alors : rg g u rg u

On dit que le rang est invariant par composition avec un isomorphisme.

Preuve 1) Montrons d'abord que, pour tous K-ev EFG de dimensions finies et toutes applications linairesf EF g FG :

rg g f Min rg f rg g

On a : Im g f Im g d'o :rg g f dim Im g f dim Im g rg g

On a : Ker g f Ker f d'o, en utilisant deux fois le thorme du rang :rg g f dim E dim Ker g f dim E dim Ker f rg f

2) Avec les hypothses de la Proposition, on a :

rg g u f rg g u rg u

et :

rg u rg g1 g u f f 1 rg g u f d'o :

rg g u f rg u

Cette dfinition gnralise celle vue en1re anne, Algbre PCSI-PTSI, 7.3.1.

Monier Al

gbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

On retrouve en particulier le thormedu rang vu en 1re anne, Algbre PCSI-PTSI, 7.3.1 Thorme 1.

Monier Al

gbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

Obtention dun rsultat plus gnral,quinest pas au programme,mais serait bienutile.

On applique le thorme du rang g f et f.

Monier Al

gbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

Puisque f et g sont des isomorphismes,

f 1 et g1 existent etf 1 FE , g1 GF .

Monier Al

gbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

Exercices 1.2.1 1.2.4.


12

Exercice-type rsolu

Une caractrisation des endomorphismes vrifiant Imf KerfSoient E un K-ev de dimension finie, e IdE f E Montrer que les deux proprits suivantes sont quivalentes :

(1) Im f Ker f

(2) f f 0 et il existe h E tel que : h f f h e

ConseilsOn commence par l'implication la plusfacile, c'est--dire celle pour laquellel'hypothse parat la plus forte.

Puisque h est linaire et que x Ker f on a :

h

f x

h0 0

Existence d'un supplmentaire en dimen-sion finie.

Dfinition d'une application linaire sur Epar la donne de ses restrictions deux sevde E supplmentaires dans E

Puisque 1y F et que est la restric-tion de f F on a :

f1y

1y

Puisque f z Im f Ker f on a :h

f z 1 f z

et, comme z F on a : f z z

Solution2 1 :On suppose : f f 0 et il existe h E tel que : h f f h e On a : x E f f x 0 donc : Im f Ker f Soit x Ker f On a :

x h f f hx h f x f hx f hx Im f d'o : Ker f Im f On conclut : Im f Ker f

1 2 :On suppose : Im f Ker f On a : x E f f x f f x f 0 0 donc : f f 0 Puisque E est de dimension finie, le sev Ker f de E admet au moins un sup-plmentaire F dans E : E Ker f FD'aprs le thorme d'isomorphisme, l'application

: F Im f x x f xest un isomorphisme d'ev.

Considrons l'application linaire h : E E dfinie sur les sev supplmentairesKer f et F par :

y Ker f hy 1y z F hz 0

Montrons que h convient.

On a, pour tout y Ker f :h f f hyh f y f hyh0 f 1y1y y

On a, pour tout z F :h f f hz h f z f hz 1z f 0 z

Comme E Ker f F et que les applications linaires h f f h et e con-cident sur Ker f et sur F on conclut : h f f h e

1.3 Dualit

13

1.3 Dualit

1.3.1 GnralitsDans ce 1.3.1, E dsigne un K-ev.

Rappelons une Dfinition :

Dfinition

On appelle forme linaire sur E toute application linaire de E dans K . On note El'ensemble des formes linaires sur E ; E est appel le dual de E.

Exemples :

1) Soient E un K-ev de dimension finie, n dimE 1, e1en une base de E .Pour tout x de E , il existe (x1, , xn K n unique tel que x

n

i1xi ei. Il est alors clair

que, pour chaque i de 1n , l'application ei : E Kx xi est une forme linaire sur E ,appele i eme forme-coordonne sur la base . Voir aussi plus loin, 1.3.3 1) p. 16.

2) Soient ab 2 , tel que a b , E le -ev des applications continues par morceaux de[a b] dans .L'application : E

f b

af

est une forme linaire sur E .

3) Soit X un ensemble non vide. Pour chaque a de X , l'application Ea : K X Kf f a est une

forme linaire sur le K-ev K X, appel valuation en a.

Rappelons :

Proposition

E est un K-ev.

1.2.1 Soient EF deux K-ev de dimensions finies,fg EF Montrer :dim Ker f g

dim Ker f Ker g dim Im f Im g

1.2.2 Soient EF des K-ev, f EF g FEMontrer :

a) IdF f g injective IdE g f injectiveb) IdF f g surjective IdE g f surjectivec) IdF f g bijective IdE g f bijective.

1.2.3 Soit E un K-ev de dimension finie, f EMontrer que les deux proprits suivantes sont quiva-lentes :

(i) f E(ii) pour tous sev A B de E supplmentaires dans E lessev f A f B sont supplmentaires dans E

1.2.4 Soient E un K-ev de dimension finie, f EMontrer que les deux proprits suivantes sont quivalentes :

(i) il existe deux projecteurs pq de E tels que :f p q et Im p Im q

(ii) f 2 0.

Exercices

Cf. Algbre PCSI-PTSI, 7.1.1 Df. 3.Mon

ier Algbre M

onier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

On a donc : E EK .

Cf.Algbre PCSI-PTSI,7.1.1 3) Exemple 6).Mon

ier Algbre M

onier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

Cas particulier de : Algbre PCSI-PTSI,7.2.1 Prop.Monier Alg

bre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

Exercices 1.3.1 et 1.3.2.


14

1.3.2 HyperplansDans ce 1.3.2, E dsigne un K-ev.

Dfinition

On appelle hyperplans de E les noyaux des formes linaires sur E autres que laforme nulle.

Autrement dit, un sev H de E est un hyperplan si et seulement si :

E 0 H Ker

On dit que la relation x 0 est une quation de l'hyperplan H .

Proposition 1

Soit H un sev de E. Pour que H soit un hyperplan de E, il faut et il suffit qu'il existeune droite vectorielle D de E telle que H et D soient supplmentaires dans E.

Preuve

1) Soit H un hyperplan de E . Il existe E 0 telle que H Ker , puis il existe x0 E tel que x0 0. Nous allons montrer que la droite vectorielle D K x0 est suppl-mentaire de H dans E .

Soit x D H . Il existe K tel que x x0, et x 0. Si 0 , alorsx0

1

x 0, contradiction. Donc 0 , puis x 0. Ceci montre : D H 0.

Soit x E. Montrons qu'il existe y K H tel que x x0 y .

Si un tel couple y existe, alors x x0 y x0 , d'o x

x0,

puis y x xx0

x0 .

Rciproquement, on a : x xx0

x0

x xx0

x0

,

et, comme

x x

x0x0

x x

x0x0 0 , x

x

x0x0 Ker H

Ceci montre : D H EFinalement : D H E .2) Rciproquement, supposons qu'il existe une droite vectorielle D telle que D H E . Il existe x0 D tel que x0 0. Pour tout x de E , il existe y K Hunique tel que x x0 y . Il est clair que l'application : E K

x ainsi dfinie est linaire.

On a alors : E 0 (car x0 1 0) et Ker H.

Remarque :

La preuve prcdente tablit que, si H est un hyperplan de E , alors, pour tout x0 de E H :

H K x0 E

Corollaire

Si E est de dimension finie n (n 1), alors les hyperplans de E sont les sev de E dedimension n 1.

La notion dhyperplan de E gnralise :

la notion de droite vectorielle dunplan vectoriel

la notion de plan vectoriel dun espacevectoriel de dimension 3.

Monier Al

gbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

Recherche de la valeur ncessaire dey .Monier Algbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

Rappelons que E H dsigne E privde H :

E H x0 E x0 H.

On retombe ainsi sur la Dfinition vuedans Algbre PCSI-PTSI, 6.4, Df.2, dansle cas particulier o E est de dimensionfinie.

Monier Al

gbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

1.3 Dualit

15

Proposition 2

Soient H un hyperplan de E, E 0 telle que H Ker, et E 0 .On a :

H Ker K 0

Preuve1) Il est clair que, pour pour tout de K 0 : Ker Ker H2) Rciproquement, soit E 0 telle que H Ker . Il existe x0 E tel que x0 0, eton a :

E Ker K x0

Soit x E ; il existe K et y Ker H Ker tels que x y x0.

Alors : x x0 et x x0 , d'o x x0x0

x.

En notant x0x0

K 0 , on a donc .

Proposition 3

Soit E un K-ev de dimension finie. Pour tout e E 0, il existe E telle quee 1

Preuve La droite vectorielle K e (engendre par e) admet au moins un supplmentaire H dans E , et H est unhyperplan de E . Il existe donc 1 E telle que H Ker1. Comme e Ker1 , on a :1e 0. En notant

1

1e1, on a alors :

E et e 1

Par raisonnement par labsurde, on dduit le Corollaire suivant :

Corollaire

Soient E un K-ev de dimension finie, x E Si toutes les formes linaires sur Es'annulent en x, alors x 0

D

unod

. La

phot

ocop

ie n

on a

utor

ise

est

un

dlit

.

Ainsi,un hyperplan donn nadmet, uncoefficient multiplicatif 0 prs,quunesolution.

Monier Al

gbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

Exercice 1.3.3.

Exercice-type rsolu

tude despaces vectoriels de dimension infinie

On note, pour k 01 Ek Ck et H

f E1 f 0 0

a) Vrifier que E1 est un sev de E0 et montrer que E1 n'est pas un hyperplan de E0

b) Montrer que H est un hyperplan de E1 et que E0 est isomorphe H


16

1.3.3 Bases dualesDans ce 1.3.3, E dsigne un K-ev de dimension finie, n dimE 1.1) Dfinition et proprits

Thorme - Dfinition

Soit e1en une base de E.On considre, pour chaque i de 1n, la forme linaire ei : E K dfinie par :

j 1n ei ej i j

1 si i j0 si i j

La famille (e1 , ..., en) est une base de E, appele base duale de , et note .

Conseils

Pour montrer un rsultat qui s'exprimegrammaticalement par une ngation, onpeut essayer de raisonner par l'absurde.

Rappel de notation : f0 est la droitevectorielle engendre par f0On considre deux lments de E1 qui nesoient pas dans E0 et qui forment unefamille libre.

On combine linairement pour faire dispa-ratre f0g n'est pas drivable en 1

h n'est pas drivable en 1On peut montrer plus gnralement, defaon analogue ce qui prcde, que E1n'est pas de codimension finie dans E0

On a : 1 1 0 o 1 dsigne, selonle contexte, le rel 1 ou la fonctionconstante gale 1

Pour toute f E1 f existe et f E0

Pour toute g E0 il existe f E1 telleque f g Pour toute f E1 f est la fonction nullesi et seulement si f est constante.

On confond ici le rel f 0 et l'applicationconstante gale f 0

Ce rsultat peut paratre surprenant, carE1 E0 et E0 est isomorphe un sevde E1 Mais il ne faut pas oublier qu'ils'agit ici d'espaces vectoriels de dimensioninfinie.

Solution

a) D'aprs le Cours, E0 est un -ev et E1 est un sev de E0

Raisonnons par l'absurde : supposons que E1 soit un hyperplan de E0

Il existe alors f0 E0 0 tel que : E0 E1 f0

Considrons : g : x x 1 et h : x x 1

Il est clair que : g E0 h E0Il existe donc g1h1 E1 ab tels que :

g g1 a f0 h h1 bf0

On dduit : bg ah bg1 ah1Si b 0 alors, comme hg1h1 sont drivables en 1 par combinaison linaire,g 1

bbg1 ah1 ah est drivable en 1 contradiction.

Il s'ensuit b 0 d'o h h1 contradiction.On conclut que E1 n'est pas un hyperplan de E0

b) L'application : E1 f f f 0 est une forme linaire etn'est pas la forme nulle, donc H Ker est un hyperplan de E1 Considrons l'application D : E1 E0 f D f f Il est clair que D est correctement dfinie, et que D est linaire.

De plus : Im D E0 et Ker D 1 sev des applications constantes.Montrons que H et Ker D sont supplmentaires dans E1

* On a H Ker D 0 car, pour toute f H Ker D f est constante etf 0 0 donc f 0* On a H Ker D E1 car, pour toute f E1 f

f f 0 f 0 et

f f 0 H f 0 Ker DAinsi, H et Ker D sont supplmentaires dans E1

D'aprs le thorme d'isomorphisme appliqu D Im D est isomorphe toutsupplmentaire de Ker D dans E1 donc E0 est isomorphe H qui est un hyper-plan de E1

ei est aussi appele la i -me formelinaire coordonne sur la base e1 en .

i j est appel le symbole de Kronecker.

1.3 Dualit

17

Preuve

D'abord, les ei 1 i n sont bien des lments de E.

Soient E, (1, ..., n) K n . On a :n

i1i e

i

j 1n

n

i1i e

i

ej ej

j 1n j ej

Ceci montre que (e1, ..., en) est une base de E

, et de plus : n

i1ei e

i .

Le rsultat prcdent est un cas particulier dAlgbre PCSI-PTSI, 7.3.2 Prop.

Corollaire

E est de dimension finie, et dimE dimE.

Proposition 1

Soient e1en une base de E, e1 en sa duale. On a :

1) E , n

i1ei e

i 2) x E x

n

i1ei xei .

Preuve

La 1re proprit vient d'tre montre, dans la preuve du thorme prcdent.

La 2me proprit traduit la dfinition des formes-coordonnes e1, , en.

Proposition 2

Soient une base de E, sa duale, x E , E, X Matx , U Mat.On a alors : x t U X

Preuve

Notons e1en , e1en .

Comme n

i1ei e

i , on a : U Mat

e1

en

En notant X

x1

xn

, on a :

x n

i1xi ei

n

i1xi ei

e1 en

x1

xn

tU X

Remarque :

La Proposition prcdente revient remarquer qu'en notant 0 1 la base canoniquede K (K-ev de dimension 1), on a :

E Mat t

Mat0

D

unod

. La

phot

ocop

ie n

on a

utor

ise

est

un

dlit

.

Cf. 1.3.1 Exemple 1) p. 13.Mon

ier Algbre M

onier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

Exercices 1.3.6, 1.3.7.

1) : Expression dun lment de E surla base

2) :Expression dun lment de E sur labase .

Monier Al

gbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

tU X est une matrice carre un lment,confondue avec cet lment.


18

2) Changement de base pour la dualit

Proposition 4 Changement de base pour la dualit

Soient , deux bases de E, P la matrice de passage de . Alors la matrice depassage de est t P1.

Preuve

Notons e1en , f1 fn , P pi j i j la matrice de passage de , Q qi j i jla matrice de passage de . On a, pour tout (j, k) de 1n2 :

jk f j fk n

i1qi j e

i

n

l1plkel

n

i1

n

l1qi j plkil

n

i1qi j pik

Ceci montre : t Q P In, donc Q t P1.

Exemples :

1) Montrer que les vecteurs V1 214 , V2 323 , V3 112 de 3 formentune base et en dterminer la base duale.

Puisque P

2 3 11 2 14 3 2

est inversible, V1V2V3 est une base de 3 et, en

notant 0 e1e2e3 la base canonique de 3, la matrice de passage de 0 e1e2e3

V 1 V 2 V 3 est tP1

7 6 59 8 61 1 1

.

On a donc : V 1 7e1 9e2 e3 , V 2 6e1 8e2 e3 , V 3 5e1 6e2 e3 .

On conclut que V 1 , V2 , V

3 sont les formes linaires sur

3 dfinies par :

x1x2x3 3

V 1 x1x2x3 7x1 9x2 x3V 2 x1x2x3 6x1 8x2 x3V 3 x1x2x3 5x1 6x2 x3

2) Polynmes d'interpolation de Lagrange

Soient n , x0, , xn K deux deux distincts.

Pour chaque i de 0n , notons Li 10 jn

j i

xi xj

0 jnj i

X xj

Montrer que (L0 , , Ln) est une base de Kn[X] (K-ev des polynmes de K [X] de degr n), et en dterminer la base duale.

Soit (0, , n K n1 tel que n

i0i Li 0.

On a : j 0n , 0 n

i0i Li

xj

n

i0i Li xj j .

Ceci montre que (L0, ..., Ln) est libre.

Comme dim(Kn[X] n 1, on en dduit que (L0, ..., Ln) est une base de Kn[X].

Formule utile pour les exercices, maisqui nest pas au programme.

On utilise : ei el il .Mon

ier Algbre M

onier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

Exemple de recherche de la base dualedune base donne de E .

Monier Al

gbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

Pour montrer que P est inversible, onpeut, par exemple, montrerdetP 0 .

Monier Al

gbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

Utilisation de la Prop. 3.Mon

ier Algbre M

onier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

Rappelons que, par dfinition :

e1 x1x2x3 x1e2 x1x2x3 x2e3 x1x2x3 x3

Cf. Algbre PCSI-PTSI, 5.3.1 Exemple.Mon

ier Algbre M

onier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

Pour chaque i de 0 n , Li est lepolynme de K [X] de degr n ,sannulant en x0 xn sauf xi ,enprenant la valeur 1 en xi .

Monier Al

gbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

On utilise : Li xj i j .Mon

ier Algbre M

onier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

1.3 Dualit

19

Soit P Kn[X]. Puisque L0Ln est une base de Kn[X], il existe

0, , n K n1 tel que P n

i0i Li .

On a : j 0n , Pxj n

i0i Li xj j ,

donc : P n

i0Pxi Li .

Puis : i 0n, Li P n

j0Pxj L

i L j Pxi .

On conclut : pour tout i de 0n , Li est l'valuation en xi, Li : Kn[X] KP Pxi

.

Notons E

resp E

l'ensemble des bases de E (resp. E.

Le Th. - Df. p. 16 permet de dfinir une application d : E E

qui, chaque base

de E associe sa base duale .

Nous allons montrer que d est une bijection.

a) Le K-ev E admet au moins une base 0 .

Soit une base de E. Notons Q Pass0 , P tQ1, la base de E telle quePass(0 , P.D'aprs la Prop., comme Q tP1, on a : d .Ceci tablit que d est surjective.

b) Soient 1 , 2 deux bases de E telles que 1 2. La matrice de passage P de 1 2vrifie tP1 In, donc P In, 2 1.Ceci montre que d est injective.Rsumons l'tude :

Proposition Dfinition 5

Pour toute base de E, il existe une base unique de E telle que ; estappele la base prduale (ou : ant-duale, ou : duale) de , et on dit que et sont des bases duales l'une de l'autre.

Exemple :

On note E 3[X] le -ev des polynmes de [X] de degr 3, et 1 , 2 , 3 , 4 lesformes linaires sur E dfinies par :

P E 1P P0 2P P1 3P P 0 4P P 1

Vrifier que (1 , 2 , 3 , 4 ) est une base de E et en dterminer la base prduale.

Notons 0 1XX2X3 la base canonique de E .

Alors : Mat01234

1 1 0 00 1 0 00 1 2 20 1 0 6

est inversible, donc 1234

est une base de E.

Rappelons que,dans ce 1.3.3, E dsigneun K -ev de dimension finie,n dimE 1.

On utilise : Li L j i j .Mon

ier Algbre M

onier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

Existence dau moins une base endimension finie, cf. Algbre PCSI-PTSI, 6.4 Th. - Df. 1.

Monier Al

gbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

Exemple de recherche de la baseprduale dune base donne de E .

Monier Al

gbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

Pour montrer que cette matrice carredordre 4 est inversible, on peut, parexemple, calculer son dterminant etmontrer que celui-ci nest pas nul.

Monier Al

gbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier


20

En notant la base prduale de , Q Pass 0, P Pass 0, on a :

P tQ1

1 0 0 0

1 1 13

16

0 01

20

0 0 16

1

6

Finalement, la base prduale de (1 , 2 , 3 , 4) est :

1 X X 1

3X 1

2X2 1

6X3 1

6X 1

6X3

Obtention de Q1 par la calculette.Mon

ier Algbre M

onier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

Lecture de P en colonnes.Mon

ier Algbre M

onier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

Exercices 1.3.4, 1.3.5, 1.3.8.

Exercice-type rsolu

Exemples de dtermination dune base ant-duale dans un espace de polynmes

Soient n E n[X] a0an deux deux distincts et tous non nuls. On note, pour tout k 0n :

k : E P kP ak

0Px dx

a) Montrer que k0kn est une base du dual E de E

b) Dterminer la base ant-duale de k0kn

Conseils

Linarit de l'intgration.

On va tablir que k0kn est libre.

Par hypothse, a0an sont deux deuxdistincts et tous non nuls.En remplaant, par exemple, Q par lepolynme d'interpolation de Lagranges'annulant en a1an1 et prenant la valeur1 en a0 on dduit : 0 0

Solution

a) Il est clair que : k 0n k E

Soit k0kn n1 tel que n

k0kk 0

On a donc : P En

k0k

ak

0Px dx 0

Comme : Q n1[X] Q n[X]

on a : Q n1[X]n

k0k

ak

0Qx dx 0

c'est--dire :n

k0kQak Q0

0

et donc :n

k0k Qak

n

k0k

Q0 0

Notons, pour la commodit : an1 0Comme a0anan1 sont deux deux distincts, en appliquant le rsultat un poly-nme d'interpolation de Lagrange relatif aux points a0anan1 on dduit : k 0n k 0Ceci montre que k0kn est libre.

1.3 Dualit

21

D

unod

. La

phot

ocop

ie n

on a

utor

ise

est

un

dlit

.

Conseils

Toute base de E admet une base ant-duale et une seule, cf. 1.3.3 Prop.-Df. 5.

On considre, parmi les primitives de Pj

celle qui s'annule en 0

Qj est un multiple de X, car Qj 0 0

Solution

Comme dim E dim E n 1 et que la famille k0kn est libredans E et a n 1 lments, on conclut que k0kn est une base de ED'aprs le Cours, il existe une base unique P0Pn de E telle que 0n soitla base duale de P0Pn

On a donc :

i j 0n2 i j i Pj ai

0Pj x dx

Notons, pour tout j 0n : Qj X X

0Pj

On a donc, pour tout j 0n :Qj n1[X] Qj Pj Qj 0 0

et il existe donc Aj E tel que : Qj XAj On dduit, pour tout i j 0n2 :

i j ai

0Pj Qj ai ai Aj ai

d'o : Aj ai i jai

En notant L0Ln les polynmes d'interpolation de Lagrange sur les pointsa0an par unicit de L0Ln, on a donc :

j 0n Aj 1aj

L j

On dduit, pour tout j 0n :

Pj Qj XAj 1

ajXL j L j

En conclusion, la base ant-duale de 0n est P0Pn, o :

j 0n Pj 1aj

XL j L j

Les mthodes retenir

Dualit

Pour dterminer la base duale dune base ou la base ant-duale dune base dun dual, dans un exemple(ex. 1.3.4, 1.3.5), appliquer la Prop. 4 p. 18.

Pour obtenir un rsultat en liaison avec la dualit, en dimension finie, penser faire ventuellement interve-nir une base duale ou une base ant-duale (ex. 1.3.8).


22

1.4 Calcul matriciel

1.4.1 Trace

Dfinition 1

Pour toute matrice carre A ai j i j MnK on dfinit la trace de A , notetr A, par :

tr A n

i1aii

1.3.1 Soient E un K-ev, f E de rang 1, u E 0tel que Im f K u . a) Montrer qu'il existe E unique tel que :

x E f x xub) Montrer qu'il existe K unique tel que f 2 f etque, si 1 , f IdE est inversible.

1.3.2 Dmontrer que les K-ev K [X] et K sont iso-morphes.

1.3.3 Soient E un K-ev, H un hyperplan de E F un sevde E tel que F HDmontrer que F H est un hyperplan de F

1.3.4 Soient 1 , 2 , 3 : 3 dfinies, pour tout(x1, x2, x3) de 3, par :

1x1x2x3 2x1 4x2 x32x1x2x3 4x1 2x2 3x33x1x2x3 x1 x2

Montrer que (1 , 2 , 3) est une base de (3 et en dter-miner la base prduale.

1.3.5 Soient 2, 1 , 2 , 3 : 3 dfiniespour tout (x , y, z) de 3 par :

1xyz x y z2xyz x 2y z3xyz x y 2z

a) CNS sur pour que (123) soit une base

de 3 .b) Lorsque (1 , 2 , 3) est une base de (3, en dter-miner la base prduale.

1.3.6 Soient n , E n[X] le -ev des polynmesde [X] de degr n, a .Pour tous i j de 0n , on note :

i : E P 1

i!Pia

et ej X a j

Montrer que e0en et 0n sont deux bases

de E et E respectivement, duales l'une de l'autre.Retrouver ainsi la formule de Taylor pour les polynmes.

1.3.7 Soit n .Montrer que, pour toute A de MnK , l'applicationMnK KX trAX

est un lment de MnK , puis que

l'application : MnK MnK dfinie par :

A MnK , X MnK ,AX tr AXest un isomorphisme de K-ev.

1.3.8 Soient E un K-ev de dimension finie, n dim Ea) Soient p , 1 , , p1 E .Montrer que, si p1 Vect 1p , alors :

p

i1Ker i

p1

i1Ker i

b) Soient q , 1q E , r rg 1q .

Montrer : dim

q

i1Ker i

n r

c) En dduire que, pour toute famille 1n de

n lments de E, 1n est lie si et seulement si :

x E 0 i 1n i x 0

Exercices

On ne dfinit pas la trace dune matricenon carre.


23

Proposition 1

1) L'application tr : MnK KA tr A

est une forme linaire, c'est--dire :

K AB MnK tr A B tr A tr B

2) A MnpK B MpnK tr AB tr B A3) A MnK P GLnK tr P1 AP tr A

Preuve 1) En notant A ai j i j B bi j i j on a :

tr A B n

i1aii bii

n

i1aii

n

i1bii tr A tr B

2) Remarquer d'abord que AB et B A sont carres, respectivement d'ordres n et p

En notant A ai j i j B bi j i j on a :

tr AB n

i1

p

j1ai j bji

p

j1

n

i1bji ai j

tr B A

3) D'aprs 2) :

tr P1 AP tr P1AP tr APP1 tr A

Rappelons la Dfinition et la Proposition suivantes, dj vues dans Algbre PCSI-PTSI, 8.2.4.

Proposition-Dfinition 2

Soient E un K-ev de dimension finie, f E On appelle trace de f, et on notetr f la trace de n'importe quelle matrice carre reprsentant l'endomorphisme f.

En transcrivant la Proposition 1 en termes d'endomorphismes, on obtient la Proposition sui-vante.

Proposition 2

Soient EF des K-ev de dimensions finies.

1) L'application tr : E Kf tr f

est une forme linaire, c'est--dire :

K fg E tr f g tr f tr g

2) f EF g FE tr f g tr g f

3) f E h E tr h1 f h tr f

Proposition 3

Soient E un K-ev de dimension finie, p un projecteur de E On a alors :

tr p rg p

La formule 2) est trs importante pour lesexercices et problmes.

Permutation de deux symboles

.Mon

ier Algbre M

onier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

Exercices 1.4.1, 1.4.4 1.4.6.

D'aprs le 3) de la Proposition 2, toutesles matrices carres reprsentant f ontla mme trace.

Monier Al

gbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

Rsultat trs utile pour les exercices etproblmes.


24

Preuve Le sev Im p de E admet au moins une base 1 et le sev Ker p de E admet au moins une base 2Puisque p est un projecteur, on a : Im p Ker p E donc 1 2 (runion ordonne) estune base de E La matrice A de p dans est :

A

Ir 00 0

MnK

o r dim Im p rg p On a donc :tr p tr A r rg A rg p

On confond lentier r et llment r1K ,o 1K est le neutre de la multiplicationdans K.

Exercices 1.4.2, 1.4.3, 1.4.7.

Exercice-type rsolu

Somme de projecteurs en dimension finie

Soient E un K-ev de dimension finie, N p1pN des projecteurs de E . Montrer que les deux proprits suivantes sontquivalentes :

(1) N

i1pi est un projecteur de E

(2) i j 1n2

i j pi pj 0

Conseils

On commence par l'implication qui paratla plus facile.

Rappel : un endomorphisme f de E est unprojecteur si et seulement si :

f f f

Cet artifice permet de se ramener au casd'une somme de projecteurs gale e

Solution

Notons e IdE p N

i1pi

2 1 :

On suppose : i j 1n2

i j pi pj 0

On a :

p p N

i1pi

N

j1pj

N

i1pi pi

1i jN i jpi pj

N

i1pi 0 p

donc p est un projecteur de E

1 2 :On suppose que p est un projecteur de E

Notons pN1 e p qui est un projecteur, car :e p2 e2 2p p2 e 2p p e p

On a alors :N1

i1pi e


25

D

unod

. La

phot

ocop

ie n

on a

utor

ise

est

un

dlit

.

Conseils

Puisque pi est un projecteur d'un ev dedimension finie, on a :

tr pi rg pi

On a, pour tous sev FG d'un ev de dimen-sion finie, d'aprs la formule de Grassmann :

dim F G dim E dim F dim F G

dim F dim Gd'o l'ingalit pour la dimension de lasomme de plusieurs sev.

La somme

1iN1 i jIm pi est directe.

Solution

On a :

dim E tr e tr N1

i1pi

N1

i1tr pi

N1

i1rg pi

N1

i1dim

Im pi

D'autre part, pour tout x E :

x ex N1

i1pi

x

N1

i1pi x

N1

i1Im pi

donc : E N1

i1Im pi

puis : dim E dim N1

i1Im pi

N1

i1dim

Im pi

On a donc :

dim E dim N1

i1Im pi

N1

i1dim

Im pi

dim E

d'o ncessairement :

dim

N1

i1Im pi

N1

i1dim

Im pi

D'aprs l'exercice-type du 1.1 p. 8, la somme N1

i1Im pi est directe et

N1

i1Im pi E

Soient j 1N x E On a :

pj x N1

i1pi

pj x

N1

i1pi pj x pj x

1iN1 i jpi pj x

donc :

1iN1 i jpi

pj x 0

Comme la somme N1

i1Im pi est directe, il en rsulte :

i 1N 1

i j pi

pj x 0

Finalement, en particulier :

i j 1N 2

i j pi pj 0

ce qui tablit (2).


26

Les mthodes retenir

Trace Pour rsoudre une question portant sur un ou des projecteurs en dimension finie, on peut essayer dutiliser

la formule tr p rg p (ex. 1.4.2, 1.4.3, 1.4.7). Pour rsoudre une question sur des matrices carres de rang 1, on peut essayer dutiliser le rsultat de l'exer-

cice 8.1.30 b) du volume Algbre PCSI-PTSI : pour toute matrice carre H telle que rg H 1 on a :H 2 tr HH (ex. 1.4.6).

1.4.1 Rsoudre l'quation d'inconnue X M5 :3X 2 tX tr X I5

1.4.2 Soient E un -ev de dimension finie, N ,1 N p1pN des projecteurs de E On suppose :

N

i1i pi 0

Montrer :

i 1N pi 0

1.4.3 Soient E un K-ev de dimension finie,n dim E 1 f1 fn E 0 tels que :

i j 1n fi f j i j fi

o i j est le symbole de Kronecker.

Montrer :

i 1n rg fi 1

1.4.4 Soient AB M2K telles que :tr A 0 et A2 B AB2

Montrer :

AB B A

1.4.5 Soient n AB MnK telles que :A 0 B 0 1 tr A tr B 0

Rsoudre le systme d'quations d'inconnue

XY MnK 2 :

X In tr Y AY In tr XB

1.4.6 Soient n AB MnK . On suppose :rg AB B A 1

Montrer :

Im AB B A Ker AB B AOn pourra utiliser l'exercice 8.1.30 b) du volume AlgbrePCSI-PTSI.

1.4.7 Soient n G un sous-groupe fini de GLna) On note Card G et P 1

MGM.

Montrer :

N G P N Pet en dduire :

P2 P

b) Montrer que, si

MGtr M 0 alors

MGM 0

Exercices


27

1.4.2 Blocs1) Dcomposition en blocs

Soient np , A ai j i j MnpK st , n1ns s , p1pt t tels que n1 ns n etp1 pt p n0 p0 0

k k

i0ni, pour k 0s

l l

j0pj , pour l 0t .

Dans A, groupons les lments par blocs :

D

unod

. La

phot

ocop

ie n

on a

utor

ise

est

un

dlit

.

A

a11 a1 1

a11 a1 1

a1 11 a1 2

a1 11 a1 2

a1t11 a1 p

a1t11 a1 pa11 a11 1

a2 1 a2 1

a11 11 a11 2

a2 11 a2 2

a11t11 a11 p

a2t11 a2 p

as11 1 as11 1

an 1 an 1

as11 11 as11 2

an 11 an 2

as11t11 as11 p

an t11 anp

1

Pour kl 1s 1t , la matrice

Bkl

ak11 l11 ak11 l

ak l11 ak l

de Mnk pl K est appele le klme bloc dans la dcomposition de A en blocs suivant ledcoupage n1ns pour les lignes et p1pt pour les colonnes :

A

B11 B1t

Bs1

Bst

n1

p1 pt

lignes

colonnes

ns

colonnes

lignes

Pour la commodit, on pourra omettre les traits indiquant le dcoupage.

Quelques exemples de dcompositions en blocs :

xX

Mn11K pour x K X Mn1K

X Y MnpqK , pour X MnpK , Y MnqK


28

A BC D

MnpK , pour A MnK , B MnpK , C MpnK , D MpK

a LC B

Mn1K , pour a K , L M1nK , C Mn1K , B MnK .

Remarques :

1) Si A est une matrice carre, nous n'utiliserons, sauf exception, que des dcompositions enblocs pour lesquelles s t et n1ns p1ps :

A

B11 B1s

Bs1 Bss

! n1 lignes ! ns lignes

n1 colonnes

ns colonnes

Dans ce cas, les blocs Bkk k 1s sont appels les blocs diagonaux de la dcomposi-tion de A en blocs.

2) Soient E un K-ev de dimension finie, n dim E , F un sev de E , p dimF , f E .Pour que F soit stable par f , il faut et il suffit qu'il existe une base e1en de E telleque :

e1ep est une base de F

Mat f est de la forme

A B

0 C

! p! np

p

np

De plus, dans ce cas, A est la matrice dans e1ep de l'endomorphisme induit par f sur F .


2) Oprations sur les matrices dcomposes en blocs

Proposition 1 Addition et loi externe par blocs

Soient K, A , B MnpK .Si A et B sont dcomposes en blocs avec le mme dcoupage, alors A B admetla dcomposition en blocs (avec le mme dcoupage) obtenue en combinant les blocssitus aux mmes places :

A11 A1t

As1 Ast

B11 B1t

Bs1 Bst

A11 B11 A1t B1t

As1 Bs1 Ast Bst

Exemples :

Soient xy K XY Mn1K ABCDAB C D MnK

xX

yY

x yX Y

A BC D

A BC D

A A B BC C D D

Les blocs diagonaux Bkk sont carrs.Mon

ier Algbre M

onier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

La prsence de certains blocs de zrosdans une dcomposition en blocs peuttraduire la stabilit d'un sev.

Monier Al

gbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

Pour les matrices,une addition par blocsseffectue comme une additionhabituelle par lments.

Monier Al

gbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier


29

Thorme Produit par blocs

Soient A MnpK , B MpqK ,

A

A11 A1t

As1 Ast

! n1! ns

B

B11 B1t

Bs1 Bst

!n1

!n

s

p1

pt

p1

pt

des dcompositions en blocs de A et B telles que :

s t n1ns p1pt Alors AB admet la dcomposition en blocs :

D

unod

. La

phot

ocop

ie n

on a

utor

ise

est

un

dlit

.

AB

s

j1A1 j Bj1

s

j1A1 j Bjt

s

j1Asj Bj1

s

j1Asj Bjt

! n1

! ns

p1

p

t

Preuve (pouvant tre omise en premire lecture)

Soit i j 1n 1q . Il existe kl 1s 1t unique tel que :n0 nk1 1 i n0 nk et p0 pl 1 1 j p0 pl

L'lment de AB situ la i j me place vaut :p

j1ai j bj j

p1

j1ai j bj j

p1p2

jp11ai j bj j

p

jp1pt11ai j bj j

Mais p1

j1ai j bj j ,

p2

jp11ai j bj j , ,,

p

jp1pt11ai j bj j sont respectivement les lments de

Ak1 B1l , Ak2 B2l ,, Aks Bs l situs la :

i n0 nk1 j p0 pl 1

meplace, d'o le rsultat.

Exemples :

Soient ab K, V, W Mn1K , L M1nK , ABCDABC D MnK . On a :

a L

bV

ab LV M1K

bV

a L

ba bLaV V L

Mn1K

A BC D

VW

AV BWCV DW

M2n1K

A BC D

A B

C D

AA BC AB B DC A DC C B DD

M2nK

On peut effectuer le produit de deuxmatrices dcomposes en blocs enoprant sur les blocs (comme si ceux-citaient des lments de K), conditionque les produits envisags existent et enrespectant lordre des blocs.

Monier Al

gbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

Le lecteur pourra, conformment auprogramme, admettre ce thorme.

Monier Al

gbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier


30

Remarques :

En effectuant un produit par blocs, veiller respecter l'ordre des matrices dans les produits

de blocs. Par exemple, pour ABCD MnK : A B

C

D

AC B D , qui est diff-

rent a priori de C A B D .Cependant, pour a K , on a vu qu'on pouvait confondre a et la matrice a de M1K .Ainsi, pout toute V de Mn1K , aV V a ; mais aV n'existe pas (si n 2 .


Proposition 2 Transposition par blocs

On a, pour toute dcomposition en blocs :

t

A11 A1t

As1 Ast

t A11 t As1

t A1t t Ast

Exemples :

Soient a K , V Mn1K , ABCD MnK .

On a :t a

V

a tV

t A BC D

t A tC

t B t D

3) Matrices triangulaires par blocs, matrices diagonales par blocs

Dfinition

1) Une matrice carre A est dite triangulaire suprieure par blocs si et seulementsi elle admet une dcomposition en blocs :

A

A11 A1s

0 Ass

telle que :

A11Ass sont des matrices carres

les blocs situs sous la diagonale sont tous nuls.

Dfinition analogue pour une matrice triangulaire infrieure par blocs.

Une matrice carre est dite triangulaire par blocs si et seulement si elle est tri-angulaire suprieure par blocs ou triangulaire infrieure par blocs.

2) Une matrice carre A est dite diagonale par blocs si et seulement si elle admetune dcomposition en blocs :

A

A11 0

0 Ass

telle que :

A11Ass sont des matrices carresles blocs non diagonaux sont tous nuls.

On peut alors noter : A diagA11Ass.

Cf. Algbre PCSI-PTSI, 8.1.4 Rem. 3).Mon

ier Algbre M

onier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

Pour transposer une matricedcompose en blocs : on change lesblocs (en les crivant en colonnes deblocs au lieu de lignes de blocs, parexemple),et on transpose chaque bloc.

Monier Al

gbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

Exercices 1.4.9 1.4.14.

La notion de matrice triangulaire parblocs gnralise la notion de matricetriangulaire.

Monier Al

gbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

La notion de matrice diagonale parblocs gnralise la notion de matricediagonale.

Monier Al

gbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier


31

Comme dans Algbre PCSI-PTSI, 8.3.2 et 8.3.3, on montre les rsultats suivants :

1) L'ensemble des matrices de MnK triangulaires suprieures par blocs (avec le mme dcou-page) est une sous-algbre unitaire de l'algbre unitaire MnK .De plus, les blocs diagonaux du produit de deux matrices triangulaires suprieures par blocs(avec le mme dcoupage) sont les produits des blocs diagonaux situs la mme place :

A11

0 Ass

B11

0 Bss

A11 B11

0 Ass Bss

2) Soit A une matrice triangulaire suprieure par blocs :

A

A11

0 Ass

Pour que A soit inversible (dans MnK , il faut et il suffit que :

k 1s , detAkk 0.De plus, dans ce cas, A1 est triangulaire suprieure par blocs, et les blocs diagonaux de A1sont les inverses des blocs diagonaux de A :

A1

A111

0 A1ss

3) L'ensemble des matrices de MnK diagonales par blocs (avec le mme dcoupage) est unesous-algbre unitaire (non ncessairement commutative) de l'algbre unitaire MnK . De plus :

A11 0

0 Ass

B11 0

0 Bss

A11 B11 0

0 Ass Bss

4) Soit A une matrice diagonale par blocs : A

A11 0

0 Ass

.

Pour que A soit inversible (dans MnK , il faut et il suffit que :

k 1s , detAkk 0.De plus, dans ce cas, A1 est diagonale par blocs et :

A1

A111 0

0 A1ss

D

unod

. La

phot

ocop

ie n

on a

utor

ise

est

un

dlit

.

Exercice-type rsolu

Utilisation de blocs

Soient n A MnK Montrer que les deux proprits suivantes sont quivalentes :(1) A GLnK (2) B MnK 0 AB B A 0


32

ConseilsOn commence par l'implication qui paratla plus facile.

Puisqu'on veut montrer un rsultat quis'exprime par une ngation, on essaie deraisonner par l'absurde.

Cf. Algbre PCSI-PTSI, 8.2.3 2) Prop.2.

On dcompose C en blocs, comme pour J

Calcul de produits par blocs.

La matrice C

0 0

0 Inr

n'est pas la

matrice nulle, car n r 1 puisquer n

Solution 2 1 :Supposons qu'il existe B MnK 0 telle que AB B A 0Raisonnons par l'absurde : supposons A GLnK Alors : B A1 AB A1AB A10 0contradiction.On conclut : A GLnK

1 2 :On suppose : A GLnK Notons r rg A On a donc : r nD'aprs le Cours, il existe PQ GLnK telles que A P J Q o :

J

Ir 00 0

Soit B MnK Notons C Q B P de sorte que B Q1C P1On a alors :

AB 0B A 0

P J QQ1C P1 0Q1C P1 P J Q 0

P JC P1 0Q1C J Q 0

JC 0

C J 0

Notons C

R ST U

o R Mr K S Mrnr K T Mnrr K U Mnr K On a alors :

JC 0C J 0

Ir 00 0

R ST U

0 00 0

R ST U

Ir 00 0

0 00 0

R S0 0

0 00 0

R 0T 0

0 00 0

R 0S 0T 0

En notant C

0 00 Inr

on a donc JC C J 0 d'o AB B A 0

De plus, si B 0 alors C Q B P 0 contradiction.On conclut :

B MnK 0 AB B A 0


33

D

unod

. La

phot

ocop

ie n

on a

utor

ise

est

un

dlit

.

Les mthodes retenir

Blocs

Pour rsoudre une question portant sur une matrice et faisant intervenir des blocs, essayer de prsenter lamatrice inconnue sous forme de matrice dcompose en blocs, ces blocs tant les nouvelles inconnues (ex. 1.4.8).Ainsi, une matrice de M2nK pourra tre dcompose en quatre blocs dordre n. Un raisonnement par rcurren-ce pourra demander de dcomposer une matrice Mn1K en quatre blocs de types respectifs nn, 1n , n1 ,11.

Pour tudier le rang dune matrice dcompose en blocs (ex. 1.4.10 1.4.12), penser utiliser le rsultat sui-vant de PCSI-PTSI : en notant r le rang dune matrice A de MnpK , il existe P GLnK et Q GLpK telles que, en notant Jnpr

Ir 00 0

MnpK , on ait : A PJnpr Q (Algbre PCSI-PTSI, 8.2.3 2)

Prop. 2).

1.4.8 Soient np , A GLnK , B MnpK ,C GLpK , M

A B0 C

.

Montrer : M GLnpK et calculer M1 sous formede dcomposition en blocs.

1.4.9 Soient E , F deux K-ev de dimension finie,n dim F , p dim E, f EF, r rg f ,G g FE ; g f 0 et f g 0.Montrer que G est un K-ev et calculer sa dimension.

1.4.10 Soient np , B MnpK , C MpK .Montrer : rg

In B0 C

n rg C .

1.4.11 Soient np , AMnpK , B MpnK .a) Montrer : n rg Ip B A p rg In AB .(On pourra utiliser l'exercice 1.4.10).

b) En dduire :

rg In AB n p B A Ip .

1.4.12 Soient np , A MnK , B MpK .Montrer :

rg

A 00 B

rg A rg B

1.4.13 Soient np A MnK X MnpK Y MpnK Montrer :

rg

A AX

Y A Y AX

rg A

1.4.14 Soient E , F deux K-ev de dimension finie,f, g EF. Montrer que les quatre proprits sui-vantes sont deux deux quivalentes :

(i) rg f g rg f rg g

(ii) Im f Im g Im f get Im f Im g 0

(iii) Ker f Ker g Eet Ker f Ker g Ker f g

(iv) Il existe rs et deux bases , de E , F respecti-vement, tels que :

Mat f

Ir 0 00 0 00 0 0

et Matg

0 0 00 Is 00 0 0

Exercices

D

unod

. La

phot

ocop

ie n

on a

utor

ise

est

un

dlit

.

35

2CHAPITRE 2Dterminants

IntroductionNous gnralisons ici lordre n ltude des dterminants dordre 2 ou 3effectue en 1re anne (Algbre PCSI-PTSI, chapitre 9).

Lutilisation de la notion de dterminant permettra de dcider si une matri-ce carre est inversible, et amnera lintroduction du polynme caractris-tique dune matrice carre.

Dans ce chapitre, trois notions de dterminant vont tre dfinies :

dterminant dune famille de n vecteurs dans un espace vectoriel dedimension n

dterminant dun endomorphisme dun espace vectoriel de dimensionfinie

dterminant dune matrice carre.

Prrequis Espaces vectoriels (Algbre PCSI-PTSI ch. 6)

Applications linaires (Algbre PCSI-PTSI ch. 7)

Matrices (Algbre PCSI-PTSI ch. 8).

Objectifs Mise en place de la notion de dterminant

Acquisition des mthodes de calcul des dterminants

Utilisation des dterminants : critre dinversibilit dune matrice car-re, rang dune matrice rectangulaire, rsolution de systmes dqua-tions affines, orientation dun espace vectoriel rel de dimension finie.

2.1 Le groupe symtrique 36

Exercices 40

2.2 Applications multilinaires 41

2.3 Dterminant dune famille de n vecteurs dans une base dun ev de dimension n 43

2.4 Dterminant dunendomorphisme 45

2.5 Dterminant dunematrice carre 46

Exercices 49

2.6 Dveloppement par rapport une range 49

Exercices 54

2.7 Calcul des dterminants 55

Exercices 62

2.8 Orientation dun espace vectoriel rel de dimension finie 64

2.9 Supplment : Rang et sous-matrices 65

Exercices 67

2.10 Systmes affines 68

Exercices 71

Plan

Chapitre 2 Dterminants

36

2.1 Le groupe symtrique

Rappelons que, pour n , n dsigne l'ensemble des permutations de 1 n cest--direlensemble des bijections de 1 n dans lui-mme, et que Cardn n! .

2.1.1 Structure de nProposition

n est un groupe pour la loi , appel groupe symtrique.

Preuve

1) n , n car la compose de deux bijections est une bijection.2) est associative.3) Id1n n .4) Pour tout de n , est bijective et 1 n .

Par commodit, nous noterons e l'identit de 1 n.Une permutation de n sera note :

1 2 n 1 n

1 2 n 1 n

.

2.1.2 TranspositionsOn suppose ici n 2.

Dfinition 1

Pour tout i j de 1 n2 tel que i j, on appelle transposition changeant i etj, et on note i j (ou : i j, ou : i j) la permutation de 1 n dfinie par :i j i j i j j i i j k k pour tout k de 1 n i j.

Exemple :

Pour n 5, 24 24

1 2 3 4 51 4 3 2 5

.

Remarques :

1) n contient exactement 2

n transpositions.

2) Toute transposition est involutive.

Thorme 1

Les transpositions de 1 n engendrent le groupe n .Autrement dit, toute permutation de 1 n est dcomposable (d'au moins unefaon) en un produit de (plusieurs) transpositions.

Preuve :Rcurrence sur n.

2 e12 et e 212 , donc 12 engendre 2 .Soit n tel que n 2. Supposons que les transpositions de 1 n engendrent n , et soit n1.

24

42

Rappel de dfinition : une permutationdun ensemble est une bijection de cetensemble sur lui-mme.

Les lments de 1 n sont placsen ligne.

Limage dun lment de 1 n par est plac juste en dessous de cetlment.

Exercice 2.1.1.

La transposition i j change i et j etlaisse les autres lments inchangs.

Monier Al

gbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

24 change 2 et 4, et laisse 1, 3, 5,inchangs.

Monier Al

gbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

Ainsi, la proprit voulue est vraie pourn 2 .

Monier Al

gbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

Cest--dire :

i j i j e .Monier Algbre MonierGomtr

ie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

2.1 Le groupe symtrique

37

1er cas : n 1 n 1.Comme est bijective, 1 n est alors stable par et l'application induite : 1 n 1 n

k kest une permutation de 1 n. D'aprs l'hypothse de rcurrence, il

existe N et des transpositions t 1 t N de 1 n telles que : t 1 t N .

En notant, pour chaque r de 1 N , tr : 1 n 1 1 n 1 l'application dfiniepar : tr k

t r k si 1 k nn 1 si k n 1 , il est clair que t1 tN sont des transpositions de

1 n 1 , et que t1 tN .2me cas : n 1 n 1.Considrons n1 n1 . On a n1 et n 1 n1 n1 n 1 n 1. D'aprs l'tude du 1er cas, il existeN et des transpositions t1 tN de 1 n 1 telles que t1 tN . Alors n1 n1 t1 tN et donc est un produit de transpositions de 1 n 1 .

La preuve prcdente fournit un algorithme permettant de dcomposer une permutation quel-conque en un produit de transpositions : on remet les lments 1 n dans l'ordre, en en met-tant un sa place (au moins) chaque tape.

Par exemple, soit

1 2 3 4 5 6 7 86 3 7 4 8 1 5 2

1 2 3 4 5 6 7 8

6 3 7 4 8 1 5 22 8

6 3 7 4 2 1 5 85 7

6 3 5 4 2 1 7 81 6

1 3 5 4 2 6 7 82 5

1 3 2 4 5 6 7 82 3

1 2 3 4 5 6 7 8

Dans chaque ligne, on a encadr les deux lments qui vont tre changs pour obtenir la lignesuivante.On a donc 2 3 2 5 1 6 5 7 2 8 e ,d'o 2 8 5 7 1 6 2 5 2 3.

Remarque :

L'algorithme prcdent montre que toute permutation de 1 n est dcomposable, d'aumoins une faon, en un produit d'au plus n transpositions.

Dfinition 2

Soit n.On dit qu'un couple i j prsente une inversion pour (ou : est une inver-sion de ) si et seulement si : i j et i j.

On note I le nombre d'inversions de , et on appelle signature de le nombre,not , dfini par : 1I .On dit que est paire (resp. impaire) si et seulement si 1 (resp. 1).

tr est obtenue en prolongeant t r enn 1Monier Algbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

On applique le rsultat du 1er cas .Mon

ier Algbre M

onier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

On met 8 sa place, en dernier.Mon

ier Algbre M

onier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

On met 7 sa place, en avant-dernier.Mon

ier Algbre M

onier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

Rappelons que toute transposition estinvolutive.

Monier Al

gbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

Ainsi : paire 1

I pair impaire 1

I impair.

Monier Al

gbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbreMonier

Monier

AlgbreGom

Gomtri

e Monier

Exercices 2.1.2, 2.1.3.

Chapitre 2 Dterminants

38

Proposition 1

Pour toute de n :

i j2n

j ij i , o 2n dsigne l'ensemble

des paires de 1 n.

Preuve

1) Puisque est une permutation de 1 n l'application 2 : 2n 2ni j i jest une permu-

tation de 2n , et donc :

i j2n j i

i j2n j i

ce qui montre :

i j2n

j ij i

1 .

2) Le nombre de paires i j de 1 n telles que j ij i 0 est I , donc

i j2n

j ij i est du mme signe que .

Remarque :

On a aussi :

1i jn

j ij i .

Thorme 2

L'application signature : n 11 est un morphisme du groupe n surle groupe multiplicatif 11.

Preuve

Soient n . On a :

i j2n

j ij i

i j2n

j i j i

i j

Algebre et Geometrie PC-PSI-PT.pdf

Documents

Transcript of Algebre et Geometrie PC-PSI-PT.pdf