Algebrai struktúrák

2. ELŐADÁS

ABSZTRAKT ALGEBRA

Algebrai sruktúra: olyan halmazpár,ahol H tetszőleges nem üres halmaz és F a H-n értelmezett műveletek halmaza.

Jelölés: (H;F) (A;*) (A;+, •)

Kétváltozós művelet: egy H nem üres halmazon értelmezett H×H→H függvény. Azaz egy olyan leképezés,amely bármely a,bЄH elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy H-beli elemet

ABSZTRAKT ALGEBRA

Kétváltozós műveletek tulajdonságai:Az (A; *) algebrai struktúrában a * művelet Asszociatív, ha minden a,b,cЄA –ra (a *b) *c= a *(b *c )= a *b *cKommutatív, ha minden a,bЄA –ra a *b= b *a Idempotens, ha minden aЄA –ra a *a= a

ABSZTRAKT ALGEBRA

Az (A; *,○) algebrai struktúrában a ○ művelet Disztributiv a * műveletre nézve, ha a ○ ( b *c ) = ( a ○ b) *(a ○ c )Abszorptív a ○ művelet * műveletre nézve,ha minden a,bЄA –ra (a *b) ○ a = a és a ○(a *b) = a

ABSZTRAKT ALGEBRAHomomorfia:Legyenek (A1; ○ ) és (A2; *) algebrai struktúrák.Ha van olyan φ:A1→A2 egyértelmű leképezés , amelyre teljesül, hogy φ(a ○b)= φ(a) * φ(b) minden a,bЄA1-re , azaz φ művelettartó függvény. Homomorfizmus beleképezés Jel:A1~A2

Izomorfia: Az (A1; ○ ) és (A2; *) algebrai struktúrák izomorfak ha van olyan φ:A1→A2 bijekció , amely művelettartó. Izomorfizmus ráképezés Jel: A1 A2

Algebrai sruktúrák

FÉLCSOPORT: (G; *) (1) * G-n értelmezett kétváltozós művelet(2) * asszociatív

ABSZTRAKT ALGEBRA

ABSZTRAKT ALGEBRA

Speciális elemek félcsoportokban:Neutrális elemek:Egységelem:

Zérus elem:

Inverz elem:

Megjegyzés: (1)lehetnek jobb és baloldali speciális elemek(2)Van additív és multiplikatív inverz is

aaeeareGahaGe

aaeeareGahaGe

eaaaahaainverzeGa '''


CIKLIKUS FÉLCSOPORT: (G; *) Az egy elem által generált félcsoport.

ABSZTRAKT ALGEBRA

KOMMUTATÍV FÉLCSOPORT: (G; *) minden a,bЄG –re a *b= b *a


MONOID: (G; *,e) Olyan félcsoport, amelyben van egységelem

ABSZTRAKT ALGEBRA

Tétel:Bármely félcsoportban legfeljebb egy neutrális elem van.

Tétel: Monoidban minden elemnek legfeljebb egy inverze van.


CSOPORT: (G; *,e ,a’) (1) * G-n értelmezett bináris művelet(2) * asszociatív(3) (4)

ABSZTRAKT ALGEBRA

aaeeareGahaGe eaaaahaainverzeGa '''

Ábel csoport = kommutatív csoportCiklikus csoport : egyetlen elem generálja

ABSZTRAKT ALGEBRA

Gyűrű: (R;+, •)(1)R-en értelmezett két bináris művelet (+, •)(2)+ asszociatív és kommutatív ,

Additív egységelem (nullelem) Inverze minden elemnek

(3) • asszociatív(4) minden a,b,c ЄR-re érvényes a kétoldali Disztributivitás a(b+c) = ab+ac és

(b+c)a = ba+ca

(R;+, •) gyűrű, ha (R;+) csoport (R; •) félcsoport és érvényes a kétoldali Disztributivitás

ABSZTRAKT ALGEBRA

ABSZTRAKT ALGEBRATest: (T;+, •)(1)T legalábbb két eleműT-n értelmezett két bináris művelet (+, •)(2)+ asszociatív és kommutatív ,


(3) • asszociatív és kommutatív

(4) minden a,b,c Єt-re érvényes adisztributivitás a(b+c) = ab+ac

multiplikatív egységelem Inverze a 0 kivételével minden elemnek

ABSZTRAKT ALGEBRAFerdetest: (T;+, •)(1)T legalábbb két eleműT-n értelmezett két bináris művelet (+, •)(2)+ asszociatív és kommutatív ,


(3) • asszociatív (nem kommutatív)

(4) minden a,b,c ЄT-re érvényes a kétoldalidisztributivitás a(b+c) = ab+ac és (b+c)a = ba+ca

Additív egységelem (nullelem) Inverze a 0 kivételével minden elemnek

Példa: Test?Példa: Test?

IgenIgen

abbabaésbabaaholR 1),;;(

Félháló: (H;v)(1) H részben rendezett halmaz és v kétváltozós művelet(2) v kommutatív ,

asszociatív , idempotens aaaraHa

ABSZTRAKT ALGEBRA

Háló: (1) H részben rendezett halmaz és kétváltozós műveletek(2) kommutatív ,

asszociatív , idempotens

(3) Érvényes az elnyelési tulajdonság (abszorptív)

aaaraHa

),;( H

),(

),(

aaba )(

aaba )(

ABSZTRAKT ALGEBRA

Disztributív háló: Olyan háló, amelyben kétféle disztributivitás érvényes.

),;( H

)()()()()()(

,,

cabacbacabacba

eseténHcba

ABSZTRAKT ALGEBRA

Boole-algebra:

(1) B legalább kételemű

(2) disztributív háló

(3) műveletek „egységelemesek”

(4) egyváltozós művelet

),,;( B

),;( B

),(

)max()min(

elemimálisIaaIelemimálisOaaO

eseténBa

babababakazonosságoMorganDe

IaaOaaaa

ABSZTRAKT ALGEBRA

A MŰVELETEK TULAJDONSÁGAI

Kommutatív: A + B = B + A AB = BA

asszociatív: A + (B + C) = (A + B) +C A(BC) = (AB)C

disztributív: A(B + C) = AB + AC A +(BC) = (A + B)(A + C)

A + A = A A0 = 0AA = A A + I = IA + 0 = A AI = AA + A= I AA = 0– –

De Morgan:BABA BABA

ABSZTRAKT ALGEBRA

ABSZTRAKT ALGEBRA

3. ELŐADÁS

ABSZTRAKT ALGEBRAA lineáris tér: vektortér

Definíció: Legyenek ,, R (R test) és x,y,z (V elemeit vektoroknak nevezzük akkor is, ha nem vektorok)V halmazt az R feletti lineáris térnek nevezzük, ha (1) x, y V-hez egyértelműen hozzárendelhető x+y

ahol x+y-t összegnek nevezzük. (VxV-n értelmezett művelet)Az összeadás tulajdonságai: a)kommutatíva)asszociatívb)létezik zéruselem : x+0=x

x-hez van inverz elem: -x, amelyre x+(-x)=0

x V és R –hez egyértelműen hozzárendelhető λx (VxR-en értelmezett)A skalárral való szorzás tulajdonságai: a) 1 R és 1x=x

b) , R és x V-re α(βx)= (αβ)x(3) Disztributivitások: (α+β)x= αx+βx és α(x+y)=

αx+ αy

V

V

(2) V

Euklídeszi tér: Olyan vektortér, amelyben a skaláris szorzatot is definiáljuk.

ABSZTRAKT ALGEBRADefiníció:Az x1,x2,…xn vektorok líneáris kombinációja α1x1+α2x2+…+αnxn, ahol αi valós szám.

Definíció:Az x1,x2,…xn vektorok líneárisan összefüggők, ha α1x1+α2x2+…+αnxn=0 akkor is teljesül, ha nem minden αi=0 valós szám.

Definíció:Az x1,x2,…xn vektorok líneárisan függetlenek, ha α1x1+α2x2+…+αnxn=0 akkor és csak akkor teljesül, ha α1=α2=…=αn=0

Tétel:Ha x1,x2,…xn vektorok líneárisan össszefüggők, akkor van legalább egy xi amely kifejezhető a többi lineáris kombinációjaként.

Definíció:A lineáris tér dimenziója: A V lineáris teret n dimenziósnak nevezzük, ha létezik benne n számú lineárisan független vektor, de minden legalább n+1elemből álló vektorrendszer már lineárisan összefüggő. Jelölés: Vn

Definíció: Az n dimenziós tér bármely n vektorból álló lineárisan független vektorrendszerét a Vn tér egy bázisának nevezzük.A vektorokat pedig bázisvektoroknak.

Tétel: Az n dimenziós Vn lineáris tér bármely x vektor egyértelműen előállítható bázisvektorainak lineáris kombinációjaként.

Definíció:Az b1,b2,…bn vektorok a Vn tér egy bázisa, és x = x1b1+x2b2+…+xnbn, akkor az x1,x2 …,xn számokat az x vektor b1, b2, …,bn bázisra vonatkozó koordinátáinak nevezzük.

Definíció:A V lineáris tér W alterének nevezzük a V olyan részhalmazát, amely a V-ben értelmezett összeadásra és számmal való szorzásra maga is lineáris teret alkot.

Pl.:

Fontos a lineáris tér bázisainak megválasztása.Hogyan lehet különböző bázisokat megadni?

MÁTRIXOK

Köszönöm megtisztelő Köszönöm megtisztelő figyelmüket ! figyelmüket !

Vége Vége

Algebrai struktúrák

Documents

Transcript of Algebrai struktúrák