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Inversas Generalizadas Ma130 - p. 1/41

Álgebra Matricial y OptimizaciónMa130

Inversas GeneralizadasDepartamento de Matemáticas

ITESM

InversaGeneralizadaUsoAlgoritmo 1Algoritmo 2Todas lasSolucionesInversa deMoore-PenroseEjercicio 1


Inversas generalizadas

Una matriz inversa generalizada de una matriz A

m× n es una matriz n×m G que cumple:

AGA = A



Ejemplo

Pruebe que para la matriz:

A =

[

1 3 2

2 6 4

]

dos inversas generalizadas son:

G1 =

1 0

0 0

0 0

,G2 =

−42 −1

5 3

2 2


Soluci onBasta realizar los productos:

AGA



AGA

AG1A =



AGA

AG1A =

[

1 3 2

2 6 4

]

1 0

0 0

0 0

[

1 3 2

2 6 4

]



AGA

AG1A =

[

1 3 2

2 6 4

]

1 0

0 0

0 0

[

1 3 2

2 6 4

]

=

[

1 3 2

2 6 4

]



AGA

AG1A =

[

1 3 2

2 6 4

]

1 0

0 0

0 0

[

1 3 2

2 6 4

]

=

[

1 3 2

2 6 4

]

Por tanto, G1 sí es inversa generalizada de A


Por otro lado,

AG2A =


Por otro lado,

AG2A =

[

1 3 2

2 6 4

]

−42 −1

5 3

2 2

[

1 3 2

2 6 4

]


Por otro lado,

AG2A =

[

1 3 2

2 6 4

]

−42 −1

5 3

2 2

[

1 3 2

2 6 4

]

=

[

1 3 2

2 6 4

]


Por otro lado,

AG2A =

[

1 3 2

2 6 4

]

−42 −1

5 3

2 2

[

1 3 2

2 6 4

]

=

[

1 3 2

2 6 4

]

Por tanto, G2 sí es inversa generalizada de A⋄



Ejercicio 1

Pruebe que la inversa de Moore-Penrose esuna inversa generalizada de A.Sugerencia

Sustituya A = BF y

G = FT(

BTBFF

T)

−1

BT

en AGA.



Ejercicio 2

Suponga que G (n×m) es una inversageneralizada de A (m× n), entoncesmuestre que lo es también

G∗ = GAG+ (In×n −GA)T+ S(Im×m −AG)

Para cualquiera que sean las matrices T y S

de dimensiones adecuadas.Sugerencia

Calcule AG∗A desarrollando los productos.



Teorema

Si A es una matriz cuadrada que poseeinversa, entonces A

−1 es una inversageneralizada para A.



Teorema

Si A es una matriz cuadrada que poseeinversa, entonces A

−1 es una inversageneralizada para A.

Demostraci onSe prueba directamente que G = A

−1 cumpleAGA = A:

AA−1A = (AA

−1)A = IA = A⋄



Uso de la inversa generalizada

Teorema

Sea A una matriz m× n, G una matriz n×my p un número entero positivo. EntoncesX = GB es una solución al sistema AX = B

para cualquier matriz B m× p para el cual essistema es consistente si y sólo si G es unainversa generalizada de A.



Uso de la inversa generalizada

Teorema

Sea A una matriz m× n, G una matriz n×my p un número entero positivo. EntoncesX = GB es una solución al sistema AX = B

para cualquier matriz B m× p para el cual essistema es consistente si y sólo si G es unainversa generalizada de A.

Demostraci onSi G es la inversa generalizada de A y sea B unamatriz para la cual el sistema se consistente y seaXo una solución, vemos que GB también lo es:

A(GB) = AG(AXo) = (AGA)Xo = AXo = B



Por otro lado, suponga que GB es solución alsistema AX = B para todo B para el cual elsistema es consistente. En particular, para cada

Bi = ai




Bi = ai

de donde se obtiene:

A(Gai) = ai




Bi = ai

de donde se obtiene:

A(Gai) = ai

y por tanto, AGA = A⋄



Ejercicio 3

Suponga que el sistema Ax = b esconsistente. Pruebe que si G es una inversageneralizada de A entonces Gb es unasolución al sistema.Sugerencia

Como el sistema es consistente, existe un x0

tal queAx0 = b.

Premultiplique la relación anterior por AG

Utilice la propiedad de la inversageneralizada y de nuevo que Ax0 = b.



Método de cálculo

Teorema

Sea B una matriz m× r de rango columnacompleto y F una matriz r × n de rangorenglón completo. Suponga que L es unainversa izquierda para B y que R es unainversa derecha para F. Entonces, RL esuna inversa generalizada para BF.



Método de cálculo

Teorema

Sea B una matriz m× r de rango columnacompleto y F una matriz r × n de rangorenglón completo. Suponga que L es unainversa izquierda para B y que R es unainversa derecha para F. Entonces, RL esuna inversa generalizada para BF.

Demostraci onDirectamente comprobemos que cumple ladefinición de inversa generalizada:

(BF)(RL)(BF) = B(FR)(LB)F = BIIF = BF⋄



Notaci on:Una inversa generalizada de la matriz A sesimbolizará por:

A−

y de acuerdo a la definición:

AA−A = A



Algoritmo para una inversa generalizada

Una algoritmo para calcular la inversageneralizada a una matriz m× n A es:■ Encuentre una submatriz de A cuadrada de

rango igual al de A. Denote por W a esta matriz.Una alternativa para determinarla consiste en:◆ aplicar rref a A para ubicar las posiciones de

las columnas a conservar (las de los pivotes),y

◆ aplicar rref a A′ para ubicar las posiciones de

los renglones a conservar (las de los pivotes).■ Invierta y transponga W.■ Regrese (W−1)′ a A en las posiciones

correspondientes. En los elementos restantesponga ceros.

■ Transponga la matriz resultante.



Ejemplo

Determine una inversa generalizada de:

A =

−6 2 −2 −3

3 −1 5 2

−3 1 3 −1



Soluci onComo

A →GJ

1−1

30

11

24

0 0 11

8

0 0 0 0



Soluci onComo

A →GJ

1−1

30

11

24

0 0 11

8

0 0 0 0

, A′ →GJ

1 0 1

0 1 1

0 0 0

0 0 0



Entonces, son renglones independientes el 1 y el2, y son dos columnas independientes la 1 y la 3.Tales renglones y columnas de A debemosconservar para formar W:

W =

[

−6 −2

3 5

]




W =

[

−6 −2

3 5

]

, (W−1)′ =

− 5

24

1

8

− 1

12

1

4




W =

[

−6 −2

3 5

]

, (W−1)′ =

− 5

24

1

8

− 1

12

1

4

Por tanto:

G′ =

− 5

240 1

80

− 1

120 1

40

0 0 0 0




W =

[

−6 −2

3 5

]

, (W−1)′ =

− 5

24

1

8

− 1

12

1

4

Por tanto:

G′ =

− 5

240 1

80

− 1

120 1

40

0 0 0 0

,G =

− 5

24− 1

120

0 0 01

8

1

40

0 0 0



Todas las posibles soluciones

Teorema

Todas las posibles soluciones de un sistemaconsistente:

Ax = b

pueden ser generadas de

x = Gb+ (GA− I) z

para una inversa generalizada G y un vectoradecuado z



Demostraci onPrimeramente veamos que la fórmula generaefectivamente soluciones a Ax = b:




Ax =




Ax = A (Gb+ (GA− I) z)

=





= AGb+ (AGA−AI) z

=





= AGb+ (AGA−AI) z

= AGb = b





= AGb+ (AGA−AI) z

= AGb = b

Por consiguiente, la fórmula para x generasoluciones al sistema de ecuaciones.





= AGb+ (AGA−AI) z

= AGb = b

Por consiguiente, la fórmula para x generasoluciones al sistema de ecuaciones. Por otrolado, si x es una solución cualquiera, se tomaz = −x y se sustituye en x:

x = Gb− (GA− I) x





= AGb+ (AGA−AI) z

= AGb = b


x = Gb− (GA− I) x = G (b−Ax) + x





= AGb+ (AGA−AI) z

= AGb = b


x = Gb− (GA− I) x = G (b−Ax) + x = x⋄



Teorema

Todas las soluciones a Ax = b para b 6= 0

pueden ser generadas de x = Gb usandotodas las inversas generalizadas G de A.



Teorema

Todas las soluciones a Ax = b para b 6= 0

pueden ser generadas de x = Gb usandotodas las inversas generalizadas G de A.

Lema

Para todo vector z en Rn y para todo vector b

en Rm no cero existe una matriz X n×m tal

que z = Xb.

Suponga que bk 6= 0, defina Xij = zi/bk para j = ky cero en otro caso.


Demostraci onSea x una solución a Ax = b, por consiguiente, existe una z

tal que:x = Gb+ (GA− I) z.

Por el lema anterior, existe X tal que z = X(−b) = −Xb ysustituyendo en la fórmula anterior:

x = Gb+ (GA− I) (−Xb)

= [GAG+ (I−GA)X+ (−G)(AG− I)]b = G∗b

⋄



Ejemplo

Encuentre todas las soluciones al sistema

5 2 −1 2

2 2 3 1

1 1 4 −1

2 −1 −3 −1

3 0 1 −2

x =

7

9

5

−6

−1



Soluci onDeterminando una inversa generalizada de lamatriz de coeficientes tenemos:

G =1

15

5 −9 8 0 0

−5 21 −17 0 0

0 −3 6 0 0

0 0 0 0 0



Soluci onDeterminando una inversa generalizada de lamatriz de coeficientes tenemos:

G =1

15

5 −9 8 0 0

−5 21 −17 0 0

0 −3 6 0 0

0 0 0 0 0

Por tanto, al sustituir en la fórmula de todas lassoluciones

x = Gb+ (GA− I) z

obtenemos:


x =1

15

5 −9 8 0 0

−5 21 −17 0 0

0 −3 6 0 0

0 0 0 0 0

7

9

5

−6

−1

+

0 0 0 −7/15

0 0 0 28/15

0 0 0 −9/15

0 0 0 −1

z1

z2

z3

z4


x =1

15

5 −9 8 0 0

−5 21 −17 0 0

0 −3 6 0 0

0 0 0 0 0

7

9

5

−6

−1

+

0 0 0 −7/15

0 0 0 28/15

0 0 0 −9/15

0 0 0 −1

z1

z2

z3

z4

x =1

15

−6− 7z4

69 + 28z4

3− 9z4

−15z4



Ejemplo

Encuentre todas las soluciones al sistema

5 2 −1 2

2 2 3 1

1 1 4 −1

2 −1 −3 −1

3 0 1 −2

X =

7 7 −1

9 4 6

5 2 4

−6 1 −5

−1 3 −1



Inversa de Moore-Penrose

Definici onSea A una matriz cualquiera y A = BF unafactorización donde B es de rango columnacompleto y F es de rango renglón completo. Lainversa de Moore-Penrose de A es la matriz:

M = FT(

BTAF

T)

−1

BT



Se puede demostrar que M es la única matriz quecumple■ AMA = A

■ MAM = M

■ AM es simétrica.■ MA es simétrica.



Ejercicio 4

Sea A una matriz cualquiera y A = BF unafactorización donde B es de rango columnacompleto y F es de rango renglón completo.Pruebe que la inverse a Moore-Penrose de A

M = FT(

BTAF

T)

−1

BT

satisface:AMA = A

Sugerencia

En la expresión AMA sustituya A = BF yla matriz M propuesta. El punto clave estaráen la inversa de B

TBFF

T . Aquí convieneconsiderar a esta matriz como

BTBFF

T =(

BTB) (

FFT)



Ejercicio 5


M = FT(

BTAF

T)

−1

BT

satisface:MAM = M

Sugerencia

Vea la sugerencia al problema anterior.



Ejercicio 6


M = FT(

BTAF

T)

−1

BT

prueba que la matriz AM es simétrica.Sugerencia

Tome su transpuesta y simplifique como sesuguiere en problema previo.



Ejercicio 7

Sea A una matriz cualquiera y A = BF unafactorización donde B es de rango columnacompleto y F es de rango renglón completo.Pruebe que si M es la inversa aMoore-Penrose de A:

M = FT(

BTAF

T)

−1

BT

Entonces la matriz MA es simétrica.Sugerencia

Vea la sugerencia del problema anterior.



Ejemplo

Determine la inversa de Moore-Penrose de lamatriz A:

A =

1 0 −1 1

0 2 2 2

−1 4 5 3



Ejemplo


A =

1 0 −1 1

0 2 2 2

−1 4 5 3

Soluci on :Al aplicar eliminación gaussiana se obtiene:

1 0 −1 1

0 1 1 1

0 0 0 0



Por consiguiente, la factorización A = BF es:

A = BF =

1 0

0 2

−1 4

[

1 0 −1 1

0 1 1 1

]

Recuerde que la matriz F es la matriz reducidaque se obtiene de A, eliminando en el resultadolos posibles renglones de ceros, mientras que B

es la matriz cuyas columnas son las columnas deA que tienen las posiciones de los pivotes en F.



Por consiguiente, la factorización A = BF es:

A = BF =

1 0

0 2

−1 4

[

1 0 −1 1

0 1 1 1

]

Recuerde que la matriz F es la matriz reducidaque se obtiene de A, eliminando en el resultadolos posibles renglones de ceros, mientras que B

es la matriz cuyas columnas son las columnas deA que tienen las posiciones de los pivotes en F.Por tanto,

BTAF

T =

[

6 −12

−12 60

]



De donde:

M = FT(

BTAF

T)

−1

BT =

5

18

1

9

−1

18

1

18

1

18

1

18

−2

9

−1

18

1

9

1

3

1

60



Ejercicio 5


A =

1 0 1 1

0 2 1 2

−1 4 5 3

Sugerencia

Siga el proceso del ejemplo de las notas.



Ejercicio 6

Determine la inversa de Moore-Penrose de lamatriz:

1 0 2

2 −1 5

0 1 −1

1 3 −1



Teorema

Sean x1,x2,. . . ,xt soluciones a un sistemaconsistente Ax = b con b 6= 0. Entonces

t∑

i=1

λixi

es solución si y sólo si

t∑

i=1

λi = 1


Demostraci on

Definamos x =∑t

i=1λixi, así:

Ax


Demostraci on

Definamos x =∑t

i=1λixi, así:

Ax = A

(

t∑

i=1

λixi

)


Demostraci on

Definamos x =∑t

i=1λixi, así:

Ax = A

(

t∑

i=1

λixi

)

=t∑

i=1

λiAxi


Demostraci on

Definamos x =∑t

i=1λixi, así:

Ax = A

(

t∑

i=1

λixi

)

=t∑

i=1

λiAxi =t∑

i=1

λib


Demostraci on

Definamos x =∑t

i=1λixi, así:

Ax = A

(

t∑

i=1

λixi

)

=t∑

i=1

λiAxi =t∑

i=1

λib =

(

t∑

i=1

λi

)

b


Demostraci on

Definamos x =∑t

i=1λixi, así:

Ax = A

(

t∑

i=1

λixi

)

=t∑

i=1

λiAxi =t∑

i=1

λib =

(

t∑

i=1

λi

)

b

Por tanto, x es solución, es decir Ax = b, si y sólo si(recuerde que b 6= 0)


Demostraci on

Definamos x =∑t

i=1λixi, así:

Ax = A

(

t∑

i=1

λixi

)

=t∑

i=1

λiAxi =t∑

i=1

λib =

(

t∑

i=1

λi

)

b

Por tanto, x es solución, es decir Ax = b, si y sólo si(recuerde que b 6= 0)

t∑

i=1

λi = 1⋄



Teorema

Sea A una matriz m× n con rango rAentonces el sistema consistente: Ax = b

para b 6= 0 tiene n− rA + 1 soluciones queforman un conjunto linealmenteindependiente.



Teorema



Demostraci onHay k = (n− rA) soluciones linealmenteindependientes a Ax = 0 digamos z1,z2,. . . ,zk.



Teorema



Demostraci onHay k = (n− rA) soluciones linealmenteindependientes a Ax = 0 digamos z1,z2,. . . ,zk. Six0 es una solución a Ax = b defina xi = x0 + zi

para i = 1, . . . , k.



Si el conjunto de formado por xi para i = 0, 1, . . . , kfuera linealmente dependiente



Si el conjunto de formado por xi para i = 0, 1, . . . , kfuera linealmente dependiente , y debido a que x0

no puede ser el vector cero pues Ax0 = b 6= 0




no puede ser el vector cero pues Ax0 = b 6= 0 ,debería haber un vector xj (j ≥ 1) que fueracombinación de los anteriores x0, . . .xj−1.




no puede ser el vector cero pues Ax0 = b 6= 0 ,debería haber un vector xj (j ≥ 1) que fueracombinación de los anteriores x0, . . .xj−1. Así

xj =

j−1∑

i=0

λixi




no puede ser el vector cero pues Ax0 = b 6= 0 ,debería haber un vector xj (j ≥ 1) que fueracombinación de los anteriores x0, . . .xj−1. Así

xj =

j−1∑

i=0

λixi

Por consiguiente y por el lema anterior,

j−1∑

i=0

λi = 1



Por lo que la suma anterior queda:

xj = x0 + zj =

j−1∑

i=0

λi (x0 + zi) =

j−1∑

i=0

λix0 +

j−1∑

i=1

λizi




xj = x0 + zj =

j−1∑

i=0

λi (x0 + zi) =

j−1∑

i=0

λix0 +

j−1∑

i=1

λizi

Y así cancelando x0 tenemos:

zj =

j−1∑

i=1

λizi




xj = x0 + zj =

j−1∑

i=0

λi (x0 + zi) =

j−1∑

i=0

λix0 +

j−1∑

i=1

λizi

Y así cancelando x0 tenemos:

zj =

j−1∑

i=1

λizi

lo cual dice que el conjunto z1, . . . zk eslinealmente dependiente. Lo cual es imposible.⋄

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