Σ. Ανδρεαόάκης·Β. Κατσαργύρης Σ. Παπασταυρίδης·Γ. Πολύζος · Α.Σβέρκος

λύσεις των ασκήσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Ο Ρ Γ Α Ν Ι Σ Μ Ο Σ Ε Κ Δ Ο Σ Ε Ω Σ Δ Ι Δ Α Κ Τ Ι Κ Ω Ν Β Ι Β Λ Ι Ω Ν - Α Θ Η Ν Α

λύσεις των ασκήσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Β' ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ

Σ. Ανδρεαδάκης· Β. Κατσαργύρης Σ. Παπασταυρίδης · Γ. Πολύζος·Α. Σβέρκος

λύσεις των ασκήσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Β' ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΑΙΩΝ- ΑΘΗΝΑ

ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΤΗ

Το τεύχος που κρατάς έχει μια ιδιομορφία: σου δίνεται με τη σύσταση να μη το διαβάσεις· τουλάχιστο με την έννοια που διαβάζεις ένα άλλο βιβλίο για να κατανοήσεις το περιεχόμενο του.

Πράγματι, οι ασκήσεις που σου δίνει ο καθηγητής σου είναι για να εργαστείς μόνος. Γιατί το να λύσεις μια άσκηση σημαίνει πολλές φορές όχι μόνο ότι έχεις κατανοήσει την αντίστοιχη θεωρητική ύλη αλλά και ότι ξέρεις να τη χρησιμοποιήσεις για να δημιουργείς, να ανακαλύπτεις ή να επιβεβαιώνεις κάτι καινούριο. Και αυτό έχει ιδιαίτερη σημασία για σένα τον ίδιο. Δεν μπορεί παρά να έχεις και εσύ τη φιλοδοξία να λύνεις μόνος, χωρίς βοήθεια, τις ασκήσεις, για να νιώθεις τη χαρά αυτής της δημιουργίας, της ανακάλυψης.

Πρέπει να ξέρεις ότι, όταν δυσκολεύεσαι στη λύση μιας άσκησης, τις πιο πολλές φορές υπάρχει κάποιο κενό στη γνώση της αντίστοιχης θεω-ρίας. Πήγαινε λοιπόν πίσω στο διδακτικό βιβλίο κάθε φορά που χρειάζε-ται να εντοπίσεις και να συμπληρώσεις τέτοια κενά. Οπωσδήποτε, πριν καταπιαστείς με τη λύση των ασκήσεων, πρέπει να αισθάνεσαι κάτοχος της θεωρίας που διδάχτηκες.

Εκτός από την κατανόηση της θεωρίας μπορεί να βοηθηθείς στη λύση μιας άσκησης από τα παραδείγματα και τις εφαρμογές που περιέχει το διδακτικό σου βιβλίο. Αν παρ' όλ' αυτά δεν μπορείς να προχωρήσεις, στο τέλος του βιβλίου σου θα βρεις μια σύντομη ύποδειξη που ασφαλώς θα σε διευκολύνει.

Στις ελάχιστες περιπτώσεις που, έχοντας εξαντλήσει κάθε περιθώριο προσπάθειας, δε βρίσκεται η πορεία που οδηγεί στη λύση της άσκησης, τότε και μόνο τότε μπορείς να καταφύγεις σ' αυτό το τεύχος και μά-λιστα για να διαβάσεις εκείνο το τμήμα της λύσης που σου είναι απαραί-τητο για να συνεχίσεις μόνος.

Ουσιαστικά λοιπόν δεν το 'χεις ανάγκη αυτό το τεύχος. Σου παρέχε-ται όμως για τους εξής λόγους:

α) Για να μπορείς να συγκρίνεις τις λύσεις που εσύ βρήκες. β) Για να σε προφυλάξει από ανεύθυνα «λυσάρια». γ) Για να απαλλάξει τους γονείς σου από αντίστοιχη οικονομική επι-

βάρυνση. δ) Γι α να έχεις εσύ και οι συμμαθητές σου την ίδια συλλογή ασκήσε-

ων που είναι έτσι επιλεγμένες ώστε να εξασφαλίζουν την εμπέδωση της ύλης.

ε) Για να εργάζεσαι χωρίς το άγχος να εξασφαλίσεις οπωσδήποτε για κάθε μάθημα τις λύσεις των ασκήσεων.

Το τεύχος λοιπόν που κρατάς είναι φίλος. Να του συμπεριφέρεσαι ό-πως σ' ένα φίλο που έχει δει πριν από σένα την ταινία που πρόκειται να δεις: μην .τον επιτρέψεις να σου αποκαλύψει την «υπόθεση» πριν δεις και εσύ το έργο. Μετά μπορείτε να συζητήσετε. Η σύγκριση των συμπερασμά-των θα είναι ενδιαφέρουσα και προπαντός επωφελής.

5

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ιο

§ 1 . 1

Α' ΟΜΑΔΑΣ

1. i) Με τη βοήθεια του πίνακα:

0 π 3π χ 0 2 π Τ 2π

ημχ 0 1 0 - 1 0 0,5 ημχ 0 0,5 0 - 0 . 5 0

2η μχ 0 2 0 - 2 0 -2η μχ 0 - 2 0 2 0

σχεδιάζουμε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα.

ii) Με τη βοήθεια του πίνακα:

π 3π χ 0 2 π Τ 2π

συνχ 1 0 - 1 0 1

0,5 συνχ 0,5 0 - 0 , 5 0 0,5

2συνχ 2 • 2 - 2 ' θ 2

- 2συνχ - 2 0 2 0 - 2

σχεδιάζουμε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα.

2. Η γραφική παράσταση της g(x) = 1 + ημχ προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γρα-φικής παράστασης της f(x) = ημχ κατά 1 μονάδα προς τα πάνω, ενώ της f(x) = - 1 + ημχ κατά 1 μονάδα προς τα κάτω.

i = 2ημ» |

Υ = 0.5η μχ h

ημχ ;

y = ouvx

y = 1+πμχ

ly = -ι+ημχ

3. Η συνάρτηση f(x)= η μ 3χ είναι περιοδική 2π

με περίοδο ^ ·

Με τη βοήθεια του π ίνακα: π π π 2π

X 0 6 3 2 3

η μ 3 χ 0 1 0 - 1 0

σχεδιάζουμε τη γραφ ική παράσταση της g, όπως φαίνεται στο δ ιπλανό σχήμα.

y = Πμ3χ

"Ύ

4. Ομοίως η συνάρτηση g(x) = συν 3χ 2π

είναι περιοδική με περίοδο Με τη βοήθεια του π ίνακα: 3

π π π ?.π Χ 1) 6 3 2 3

ί συν 3χ I 0 - 1 0 1

y = ouv3x y = συνχ

σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της όπως φαίνεται στο δ ιπλανό σχήμα. 1

5. Επειδή η μέγιστη τιμή της φ(χ) = ημ £ είναι 1, και η ελάχιστη τιμή της - 1 η μέ-

γιστη τιμή της f(x) = 2ημ Χ είναι 2 και η ελάχιστη - 2. 2

Η συνάρτηση f(x) = 2ημ Χ είναι περιοδική με περίοδο 2

2π - = 4π.

Με τη βοήθεια του δ ιπλανού πίνακα σχεδιάζουμε τη γραφι-κή παράσταση της t, όπως φαίνεται π το σ χ ή μ α που ακο-λουθεί;

χ 0 π 2 π 3 71

2 η μ Χ

2 0 2 0 - 2

y = 2ημ^-

y = ημ vr

π μ* ι

6. Ομοίως, η μέγιστη τιμή της συνάρτησης f(x) = 2συν — είναι 2, και η ελάχιστη τι-μή τ η ς - 2 . » 2

Αν εργαστούμε όπως στο παράδε ι γμα 2 της §... βρίσκουμε ότι η συνάρτηση

g(x) = συν - - , άρα και η f(x) = 2συν —, είναι περιοδική με περίοδο: — = 4π. 2 2 1

2

Με τη βοήθε ια του δ ιπλανού πί-νακα : σ χ ε δ ι ά ζ ο υ μ ε τη γ ρ α φ ι κ ή

παράσταση της f(x) = 2συν ^ 2

ό π ω ς φ α ί ν ε τ α ι στο σ χ ή μ α π ο υ ακολουθεί.

Χ 0 π 2π 3π 4π

2συν -2 2 0 - 2 0 2

y = 2συν— y = συνχ

y = συν

7. Η γραφική παράσταση της g(x) = 1 + εφχ προκύπτει α π ό μια κατακόρυφη μετατό-πιση της γραφ ικής παράστασης της f(x) = εφχ κατα 1 μονάδα προς τα πάνω, ενώ της h(x) = - 1 + εφχ κατά μια μονάδα προς τα κάτω.

(8) ϋ

iiitiiiiife

y = εφζχ

8. Κάθε τιμή της συνάρτησης f(x) = εφ 2χ επαναλαμβάνεται, όταν το 2χ αυξηθεί κα-τά π, που σημαίνει ότι η τιμή αυτή επαναλαμβάνεται, όταν το χ αυξηθεί κατά

5 . . Επομένως η συνάρτηση f(x) = εφ 2χ είναι περιοδική με περίοδο ^ .

Έχοντας υπόψη το στοιχείο αυτό και με τη βοήθεια ενός πίνακα τιμών σχεδιά-ζουμε τη γραφική παράσταση της f(x) = εφ 2χ.

χ π π π π 0 π π π π 4 6 8 12 12 8 6 4

εφ 2χ. - - V5 - 1 3

0 & 3

1 ν ϊ -

9. Επειδή η συνάρτηση Ι'(χ) = σφχ είναι περιο-δική με περίοδο π, αρκεί vu τη μελετήσουμε σε ένα διάστημα πλάτους π, π.χ το (θ,π). Αν εργαστούμε, όπως και γ ια τη f(x) = εφχ, συ-μπεραίνουμε ότι η f(x) = σφχ,

— είναι γνησίως φθίνουσα στο (θ,π) — έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες τις ευθείες

χ = 0 και χ = π.

Η γραφική της παράσταση στο (θ,π) φαίνε-ται στο διπλανό σχήμα.

Β' ΟΜΑΔΑΣ

1. i) Είναι φανερό ότι η πρώτη είναι η y = ημχ. Επομένως οι άλλες είναι της μορφής:

y = α η μ ω χ.

— Η περίοδος της δεύτερης ισούται με 4π. Έτσι — = 4π, οπότε ω = — . ω 2

Το πλάτος α της δεύτερης ισούται με 1. Άρα η εξίσωσή της είναι η y = ημ — . 2

Τ Ι , s , . 2π 2π 2π , -— Η περίοδος της τρίτης ισούται με — . Ετσι —. = — , οποτε ω = 3. 3 ω 3

Το πλάτος α της τρίτης ισούται με 1. Άρα η εξίσωσή της είναι η y = ημ 3χ.

ii) Αν εργαστούμε όπως προηγουμένως βρίσκουμε ότι: — Η εξίσωση τη ς πρώτη ς είναι η y = η μχ

— Η εξίσωση της δεύτερης είναι η y = 3 ημχ

— Η εξίσωση τη ς τρίτη ς είναι η y = 0,5 η μχ και

— Η εξίσωση της τέταρτης είναι η y = - 2,5 ημχ.

10

JTt 2. i) Η υψηλότερη πλημμυρίδα ισούται με 3m και παρατηρείται όταν: ημ — = 1,

6 ενώ η χαμηλότερη άμπωτη ισούται με - 3m και παρατηρείται όταν

ημ — = -1. Άρα η ζητούμενη υψομετρική διαφορά ισούται με 6m. 6

ίί) Η σ υ ν ά ρ τ η σ η ε ί ν α ι της μ ο ρ φ ή ς f(x) = - χημ ω t. Άρα είναι η περιοδική με

, . 2π 2π , περίοδο — = — = 1 2 ωρες. ω π

Με τη βοήθεια του πίνακα:

t 0 3 6 9 12

I t 3ημ — 6

0 3 0 - 3 0

σχεδιάζουμε τη γραφική της παράσταση που δίνεται στο παραπάνω σχήμα.

3. i) Ό π ω ς και προηγουμένως το μέγιστο ύψος ισούται με

11 + —J m = 4- m,

ενώ το ελάχιστο ύψος ισούται

με 11 — -J m = 2. m .

Επομένως η ζητούμενη δ ια -φορά ισούται με

t i l · " 2 - m.

») Αν εργαστούμε όπως στο παράδειγμα 2 της §... βρίσκουμε ότι περίοδος τη-ς-στρ-2π ναρτησης ισούται με — . 3

iii) Έχοντας υπόψη τα παραπάνω και με τη βοήθεια ενός π ίνακα τιμών σχεδιά-ζουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.

0 π π π 2π

t 0 — — —

6 3 2 3

1+— (ruv3t 4 1 2 1 4 3 3 3 3

4. i) T o πλάτος της κίνησης του πιστονιού ισούται με 0,1m.

ii) Η συνάρτηση είναι περιοδική με περίοδο 2 π / 3 sec. Η γραφική της παράσταση δίνεται στο διπλανό σχήμα. Η επίλυση της εξίσωσης x( t )=0,15 στο διάστημα [0, 2π] μας δίνει τις λύσεις π / 1 8 , 5 π / 1 8 , 1 3 π / 1 8 , 1 7 π / 1 8 , 2 5 π / 1 8 και 2 9 π / 1 8 .

§ 1.2 Ασκήσεις

Α' ΟΜΑΔΑΣ

1. ΐ) ημχ = ()<=> ημχ = ημΟ « I "~-7

Ιχ = 2kii + π

= 2kn

ή , k e Ζ

Ι χ =

<=> I ή , k e Ζ <=> χ = λπ, λ ε Ζ Ιχ = (2k + 1 ) π

ii) ημχ = ο ημχ = ημ - ^ 2 4

ί χ = 2k3T + —

• 4 η , k ε Ζ

I χ = 2ktt + π - —

| χ = 2kK + —

χ = 2krc +

ή , k € Ζ 3π

iii) συνχ = 0 συνχ = συν- χ =2kK± , k 6 Ζ 2

χ = λ π + , λ € Ζ. 2

12

. ν ΦΓ JC Jl lv) συνχ = <=> συνχ = c w — ο χ = 2kn ± . k e / . 2 4 4

2. i) ημχ = - — <=> ημχ = - ημ — <=> ημχ = ημ π

2 6

Ι χ = 2kft + - | Ι χ = 2krt - π

<=> [ ή , k ε Ζ « ή , k e Ζ.

| χ = 2kn + π - | | χ = 2kK + —

ii) ημχ = - 1 « ημχ = ημ Ι - — V 2

Ι χ = 2kJi + ( - Ξ

ο { ή , k s Ζ « χ = 2kn , k e Ζ • , π 1 2 χ = 2krc + π

ι/Τ ι I π — — 1 ^ -ΐ ΐ ΐ ) σ υ ν χ = - « συν χ = - συν — ο συνχ = συν π

2 4 \ 4 , 3π , „ ο συνχ = συν — « χ = 2 kn + — , k ε Ζ

4 4

iv) συνχ = - 1 « συνχ = συνπ « χ = 2kn ± π , k e Ζ

ο χ = 2ρπ + π, ρ ε Ζ.

3. i) εφχ = 0 <=> εφχ = εφΟ ο χ = kft , k ε Ζ

ii) εφχ = & <=> εφχ = εφ | » x = k i + | , , k ε Ζ

iii) σφχ = 1 <=> σφχ = σφ — « χ = kn + — , k ε Ζ 4 4

iv) σφχ = V3~ <=> σφχ = σφ — « χ = kK + — , k ε Ζ. 6 6

13

4. i) εφχ = - V3 0 ε φ χ = , ε φ ^ o ε φ χ = ( (( / π j 3 6 \ f, I

<=> χ = kit - - , k e Ζ

ϋ) σφχ — ^ · ο σφχ = - σφ — <=> σφχ = σφ [ - —) 3 3 \ 31

π • « x = kn , k e Ζ. 3

5. i) (1 - η μ χ ) ( 2 η μ χ - \ / 3 ) = 0 1 - η μ χ = 0 ή 2 η μ χ - V 3 = 0

. , >̂ 3~ π π <=£>ημχ = 1 η ημχ = <=s> ημχ = ημ η ημχ = ημ 2 2 3

Ι χ = 2tot + — Ι χ = 2kic + —

. 2 3

<=> ( η , k e Z ή ή , k e Ζ

χ = 2 ^ + π - — Ι χ = 2kn + π - —

« χ = 2kπ -t — ή χ = 2ktt + — ή χ = 2kn + — k e Ζ 2 3 3

ii) (2ημχ + V^) (1 - συνχ ) = 0 <=> 2ημχ + i 2 = 0 ή 1 - συνχ = 0

<=> ημχ = - ή συνχ = 1 ο ημχ = ημ ( - —) ή συνχ = συν 0 2 \ 4 /

ο χ = 2kn - — ή χ = 2krc + — ή χ = 2b t , k e Ζ. 4 4

6 · «) (V3~ + εφχ ) (1 - εφχ ) = 0 « εφχ = — V3̂ ή εφχ = 1

Ι π \ , π <=> εφχ = εφ η εφχ = εφ — V 3/ 4

ο χ = kit - — ή χ = kn + —, k e Ζ 3 4

ii) (2συνχ + 1 ) (εφ2χ - 3 ) σφχ = 0 ο συνχ = - 1 ή εφ2χ = 3 ή σφχ = 0 2

14

ο συνχ = - i - ή εφχ = i J χ\ εφχ = - VT ή σφχ = Ο 2

2π , π , / π \ , π ο συνχ = συν — η εφχ = εφ — η εφχ = εφ η σφχ = σφ — 3 3 \ 3 / 2

, 2π , π , π π <=> χ = 2fcrc ± — η χ = kjt + - η χ = kn - - t | x = h + —, k e Ζ. 3 3 3 2

όμως οι λύσεις x = kn + 2 > k e Z απορρίπτονται γιατί δε ορίζεται ή εφχ για χ = kn + ^ , k e Ζ.

7. i) Επειδή 0,951 = ημ 72° = ημ — , έχουμε:

ημχ = 0,951 < <=> ημχ = ημ 5

5 2π

η, 2 π / 2π x = 2kn + — x = 2 k n + —

• 5 5

η , k e Ζ <=> ί ή , k e Ζ 2π Ι 3π |χ = 2kJi + π - — |χ = 2kn + —

ii) Επειδή 0,809 = συν 36° = συν —, έχουμε: 5

συνχ = - 0,809 ο συν χ = - συν — 5

π \ 4π ο συνχ = συν π - — « σ υ ν χ = συν —

4π x = 2 k n ± , k £ Ζ.

5

22π iii) Επειδή 28, 636 = εφ 88° = εφ , έχουμε:

εφχ = 28,636 <=> εφχ = εφ 45

45 22π

2 2 π , -, « χ = kn + , k e Ζ. 45

15

8. i) 2ημ 3x = VT ο ημ 3x = ^2- » ημ 3x = ημ — 2 3

Ι π 3x = 2kn + — 3

<=> { ή , k e Ζ <=>

6krt + π χ = 9

ή , k e Ζ.

1π 6kn + 2π 3x = 2kK + π - — χ = 3 \ 9

ϋ ) σ υ ν ^ - + 1 = 0 ο σ υ ν ^ = - 1 <=> συν ^ = σ υ ν π 5 5 5

<=> ^- = 2kn + π , k ε Ζ <=> — = 2kn + π , k e Ζ 5 5

<=> χ = 10 kn + 5π , k e Ζ.

iii) 3 εφ 2x__ V3 = 0 « · εφ 2*. = ^ εφ 2x_ = ε φ π

7 ' 7 3 7 6

« 2 x _ _ k j l : + ™ , k e Z 7 6

<=> 12χ = 42kn + 7π , k e Ζ

42 kn + 7π , <=> χ = , k e Z 12

9 . i ) ημ (χ + = -1 ο ημ |χ + ^ | = π

ημ ; 2

JX 3Τ , r-j ο χ + — = 2kK - — , k e Ζ

π π . τ ο χ = 2 t a - — — , k e Ζ 2 3 5 π , <=> χ = 2kn - — , k e Ζ 6

" ) 2 σ υ ν | 3 χ - 5 j = l » σ υ ν ( 3 χ - ~) = 1 « σ υ ν ( 3 χ - : " ) = συν *

16

1 Ά Λ. 71

i3x = 2kn +

- k e z

4 3

|

36χ — 3π = 24kn +4 π

ή , k 6 Ζ 36x-3re = 24kw 4 π

χ=-

24κπ * 7 π

36 ή

24κπ - π

36

, kez

iii) εφ | 5χ - 5χ | = f i » εφ - 5χ ) = εφ ~

<=>—-5x = k n + — , k e Z 4 3

<=> 3π - 60χ = 12krt + 4π , k e Ζ

-12kre - π <=> χ = 60

, k e Ζ

10. i) Αν θέσουμε η μ ω= t, η εξίσωση γράφεται:

2t2 + t - 1 = 0 ο t =

Επομένως:

• Για t = - 1 έχουμε:

l ± 3 _ « t = - l ή t = i 4 2

ημω = -1 « ημ(0 = ημ — j <=> ω = 2 t a - —, k e Ζ

1 Για t = — έχουμε: 2 , ι·

— <*-S ' η μ ω = 1<=>ημω = ημ f<^> 2 ο

ω = 2kit + — 6

ή . k e Ζ 5-τ ω = 2tot

Αρα οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από τους τύπους:

ω = 2tai - — ή ω = 2 ^ + — ή ω = 2kji - — , k e Ζ 2 6 6

ii) Αν θέσουμε συν χ = t, η εξίσωση γράφεται:

2t2 + 3t - 2 = 0 <=> t = ~3 ± S « t = - 2 ή t = i-4 2

Επομένως:

• Για t = - 2 έχουμε: συνχ = 2 αδύνατο, αφού -1 < συνχ < 1

• Για t = — έχουμε: 2

1 π Λ. " 1, ^ -7 συνχ = — <=> συνχ = συν <=» x = 2kn± , k € Ζ 2 3 3

Ά ρ α οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από τους τύπους:

χ = 2kπ + ή χ = 2kn , k € Ζ 3 3

iii) Αν θέσουμε εφ t = ω, η εξίσωση γράφεται:

3ω2 = 3 + 2 V3u) <=> 3ω2 - 2 V5u)-3 = O o o ) = 6

< = > ω = ν ϊ ή ω = - ^5.

Επομένως:

• Για ω = VJ, έχουμε:

εφί = V3 <=> 8qpt = εφ — <=> t = kn + j , k e Ζ

Κ • Για ω = - εχουμε: 3

εφΐ= - ^ ο εφΐ = - εφ ^ εφί = εφ ( -

ο t = kn - — , k e Z . 6

XI

11. i) Είναι:

ημ2χ + 5 o W x = 4 <=> 1 - συν2χ+ 5συν2χ= 4

ο 4συν2χ = 3 « συν2χ = ί 4

<=> συνχ = ^ ή συνχ = - & . 2 2

Αλλά:

• συνχ = ο συνχ = συν — <=> χ = 2toi ± —, k e Ζ 2 3 3

συνχ = - ο συνχ = - συν — ο συνχ = συν 2 3 Μ

<=> συνχ = συν — « χ = 2λπ ± — , λ e Ζ 3 3

Επομένως σι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από τους τύπους:

ί χ = 2 k n ± j , k e Z

ή

\χ = 2λπ ± — , λ e Ζ.

ii) Η εφχ και η σφ 2χ έχουν νόημα εφόσον: συν χ * 0 και ημ 2 x * 0 (1)

Με αυτούς τους περιορισμούς, έχουμε: εφχ · σφ 2χ = 1 » σφ 2χ = — < = > σφ 2χ = σφχ

εφχ

<=> 2χ = kn + χ , k e Z

ο χ = kn , k e Ζ

Από τις λύσεις αυτές καμμία δεν ικανοποιεί τον περιορισμό η μ 2χ * 0. Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη.

12. i) Η συνάρτηση ί(χ) = 3ημ | χ ~ — j παρουσιάζει μέγιστο όταν ημ ( χ ~ ~ ) =

και ελάχιστο όταν η μ | χ - - ^ - ) = — 1. Αλλά 1 2 '

• ημ (χ - = 1 <=> ημ (χ - = ημ j » Χ - γ = 2 t a + 5-, k e Ζ

<=> χ = 2tor + π, k e Ζ

19

χ = π , αφού 0 < χ < 2π

• ημ ίχ - 5-) = - 1 ο ημ (χ - " ) = η^ ^ ) ο χ - π = 21ίπ - - , k e Ζ 2 Ζ — 2 2

ο χ = 2 k Π: k e Ζ

« χ = 0 , αφού 0 < x < 2π

Επομένως η f παρουσιάζει στο [0,2π) μέγιστο για χ = π, το f (π) = 3 και ελάχι-στο για χ = 0, το f (()) = - 3.

ii) Η συνάρτηση f(x) = η συν |χ - παρουσιάζει μέγιστο όταν

συν (χ - = 1 και ελάχιστο όταν συν (x - = -1.

Αλλά

• συν | χ - —| = 1 <=> συν |χ - = σ\>ν 0 ο χ - ~ = 2kn, k s Ζ

<=> χ = 2 ^ + —, k £ Ζ 2

ο χ = — , αφού 0 < χ < 2π

1 συν ( χ - * ) = - ! <=> συν |χ - = συν π <=> x - ^ = 2 ^ + π ,k e Ζ

ο χ = 2krc + — , k e Ζ 2

<=> χ = — , αφού 0 < χ < 2π

Επομένως η g παρουσιάζει στο [0,2π] μέγιστο για χ = —. το g Ι—ι = 7 και 2

ελάχιστο για χ = — , το g | = -7.

13. i) Επειδή S = 100 αρκεί να βρούμε το t e {1,2,..., 12} για το οποίο ισχύει:

100 = 75

Έχουμε:

100 = 75 + 50 ημ — 6

100 = 75 + 50 ημ — ο 25 = 50 ημ — Ο ημ — = 1 6 6 6 2

20

I — = 2kn + -π / 6 , 6

. — η ι ι __ ' r» Jit « η μ ~ = η μ ζ ο ; η ,k e Ζ 6 6 W οι, π I— = 2ktt + j r - —

' 6 6 It = 12k + I

<=>! ή , k e Ζ ο t = 1 ή t = 5, αφού 1 < t < 12 U = 12k + 5

Άρα οι ζητούμενοι μήνες είναι ο Ιανουάριος και ο Μάιος.

ii) To S παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή του όταν το ημ 51 πάρει τη μεγαλύτερη τιμή

του δηλαδή όταν ημ — = 1 . Επειδή: ®

ημ ~ = ι <=> ημ y = ημ ^ <=» — = 2kn + k e z

<=> t = 12k + 3, k e Z <=> t = 3, αφού 1 < t < 12

Άρα τον μήνα Μάρτιο έχουμε το μεγαλύτερο αριθμό πωλήσεων.

Β' ΟΜΑΔΑΣ

1. i) Είναι:

+ συν , __ . . . . \4 / U

ημχ + συν (7- - Χ ) = Ο <=> ημχ = -συν (— - χ j

4 π — χ 4

<=> ημχ = συν [ π ~ ~ χ )] ° ημχ = σ υ ν + χ )

<=> ημχ = ημ ^ - ( ~ + χ )j ο ημχ = ημ (

Ι χ = 2kn + ( ~ ^ - χ ) , k e Z

« I ή

|χ = 2kn + π - — - χ j - , , k e Ζ 4

(2χ = 2kπ - — , k e Ζ 4 ή

Οχ = 21ίπ + — , k € Ζ (αδύνατη) 4

<=> χ = kn - —, k e Ζ 8

ii) Η εφ2χ και σφ | ^ + 3χ | έχουν νόημα εφόσον συν2χ Φ Ο και η μ ( ϊ + 3χ ^ 0.

Με αυτούς τους περιορισμούς έχουμε:

εφ 2χ - σφ | ^ + 3χ ) = Ο

<=> εφ 2χ = εφ ^ - |— + 3χ |

» 7χ = to + - - 3χ ,k e Ζ ϋ

» χ = *£+ JL k e ζ 5 30 ' ·

« εφ 2χ = σφ + 3χ )

<=> εφ 2χ = εφ - 3χ |

« · 5χ = to + - ,k 6 Ζ 6.

που ικανοπο ιούν τους περιορισμούς.

2. i) Η εφχ έχει νόημα εφόσον συν x Φ 0. Με αυτόν τον περιορισμό έχουμε: εφχ ημχ + 1 = ημχ + εφχ ο (εφχ ημχ - εφχ) - (ημχ - 1) = 0

ο εφχ (ημχ - 1) - (ημχ - 1) = 0 <=> (ημχ - 1) (εφχ - 1) = 0

» εφχ = 1 ή ημχ = 1 (αδύνατη, γιατί συν χ * 0 )

<=> εφχ = εφ — ο χ = to + — , k e Z . 4 4

Οι λύσεις αυτές ε ίναι δεκτές , α φ ο ύ π ρ ο φ α ν ώ ς ι κ α ν ο π ο ι ο ύ ν τον περ ιορ ισμό συν χ Φ 0.

Η) Η εξίσωση ορίζεται , εφόσον συν χ Φ 0. Με αυτόν τον περιορισμό έχουμε:

—1 2εφχ = 4 <=> 1 + εφ2χ - 2εφχ = 4 « εφ2χ - 2εφχ - 3 = 0 o i V x

2 + 4 « εφχ = — — <=> εφχ = - 1 ή εφχ = 3.

Αλλά:

• εφχ = - 1 <=> εφχ = - εφ — <=> εφχ = εφ ( - —) <=> χ = to - — 4 V 4 ' 4. >

. „. 2π Λ 2π εφχ = 3 <=> εφχ = εφ 72° <=> εφχ = εφ — <=> χ = λπ + —

4. , k e Ζ

, k e Ζ

Επομένως οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται α π ό τους τύπους:

χ = to - —, k e Ζ ή χ = λπ + — ,λ ε Ζ, 4 5

αφού προφανώς ικανοποιούν τον περιορισμό συν χ Φ 0.

3. Είναι :

εφχ = 1 « εφχ = εφ — <=> χ = to + — 4 4

,k e Ζ

22

Αρα έχουμε:

χ e (3π, 4π) ο 3π < x < 4π <=> 3π < to + — < 4π , k ' e Ζ 4

<=> 12π < 4 t o + π < 16π

ο 11π < 4 to < 15π 11 4

« k = 3

<=>-!-!-< k < -15-4 4

, k e Ζ

, k e Ζ

, k e Ζ

Επομένως η λύση της εξίσωσης είναι η χ = 3π + 13π

4

4. Έχουμε:

1 + συνχ = ημχ [1 + συνχ = ημχ

2 . 2 . (ημ χ + συν χ = 1

1 + συνχ = ημχ

!(1 + συνχ)2 + συν2χ = 1

1 + συνχ = ημχ 2συν2χ + 2συνχ = 0

1 + συνχ = ημχ

,2συνχ(συνχ + 1) = 0

1 + συνχ = ημχ συνχ = 0 ή συνχ = - 1

ημχ = 1 ν συνχ = 0

[ημχ = 0 συνχ = •

<=> χ = -

εφχ = σφ + χ j • - + X J

Φ 0

π = εφ = εφ 2

to + — -

6

<=> εφχ = εφ - χ )

« x = « E E + i L k e Z (ΐ) Επομένως έχουμε:

0 < χ < 2 π « 0 < 6 k J l + Tt < 2 π , 12

π 6 '

, k e Ζ

23

<=> Ο < 61ςπ + π < 24π,

<=> - π < 6kjt < 23π,

<=* - -L < k < Q 6 6

» k = 0 ή k = 1 ή k = 2 ή k = 3

Αρα οι λύσεις της εξίσωσης στο [0, 2π) εί-

ναι οι αριθμοί

, k e Ζ

, k e Ζ

, k e Ζ

π 7π 13π 19 π 12 12 ' 12 και 12

(βλέπε διπλανό σχήμα).

24

§ 1 . 3

Α' ΟΜΑΔΑΣ

, Π π JT JT (τι JT Λ π 1 1. ι) σ υ ν — σ υ ν η μ — η μ — = σ υ ν — + — =αυν—= — 12 4 12 4 V12 4 ) 3 2

ii) συν 170° συν50°+ημ170° ημ50°'=συν(170ο-50°) =συν120°

-συν60°= - 1

iii) ημ 110°ημ70°-συν11()ο(τυν70ο= - [συνΙ 10°·συν70°-ημΙ 10°·ημ70°]

= -συν( 110° +70°) = - σ υ ν 180° = 1

. , 7π π 7π π ( Ί π π \ π ιν) συν συν— +ημ ημ— =συν =συν— = 0 12 12 12 12 I 12 12 J 2

2. i) συν3χ συν( -2χ) -ημ3χημ( -2χ ) =συν(3χ + ( -2χ) ) =συνχ

ii) συν^χ + ^ joirvx +ημ^ χ + j |ημχ =συν

3. i) συν| χ + ~ j +συνί χ - ^

χ + - π \ 2 =συν— =

συνχσυν- - ημχημ^ αυνχσυν^ + ημχημ ~

π1 >.'2 γ = 2ουνχσυν— = 2συνχ = ν2συνχ

4 2

ii) συν : χ - συν2 π Χ + 4

συνχσυν-- + ημχημ— συνχσυν— - ημχημ—

π π 4συνχσυν^ημχημ—

• /Τ fi 4συνχ • - γ - · ημχ · — = 2ημχσυνχ

2.S

, .. 17π 4π Ι7π 4π (17π 4π"\ π 4. ι) ημ συν συν η μ — = η μ =ημ — = 1 18 9 18 9 I 18 9 ) 2

ii) ημ70°·συν20ο+συν70ο·ημ20°=ημ( 70°+20°) =ημ90° = 1

···> 12 t ( f 4 ( π 1 π !·ν , , , , : — τ τ - π τ = ε ( { ΐ 7 ~ Τ Γ ε ΐ ί ! τ = ν 3

1 - εΦ εφ — ν ' 12 4

εαΙ65°+εφΙ5° i ν) — ί ^ = εφ( 165° +15°) = εα 180° = 0

1 - fc"(f 165°-etf 15°

5. i) ημ2χ ·σι>νχ +συν2χ ημχ =ημ(2χ + χ) =ημ3χ *

μ χ = η „ ( χ + | _ χ ] = η „ | , ι ii) ημ^χ + γ |συνχ -σ ΐ ' ν ί χ + ^

ε φ χ - ε α 2χ in) = εφ(χ - 2χ) = εφ(-χ ) = - ε φ χ

1 + εφχ · εφ2χ

εφ — + 2χ + εφί — - χ , , , χ , . , I 3 J Λ 6 J (π . W J - I ιν) — = εφ — + 2χ + χ

3 ) Λ 6 - ε<Η - + 2χ Ι · εία — - χ ' ; U

= ες] j + χ ι = -σφχ

6. ί) ημ[χ + γ ) + η μ ( χ - · | 1 =

( π π ϊ ( π π = I ημχσυν — +συνχημ— Ι + ^ ημχσυν— -συνχημ—

JT 1 = 2ημχσυν — = 2ημχ · — =ημχ

ii) (ημ(χ +συνα) · (ημβ+συνβ) =ημαημβ+ημ«συνβ+συναημβ+σ\>νασυνβ

= (ημασυνβ+συναημβ) + (συνασυνβ+ημαημβ)

=ημ(α +(->) +συν(α-β)

7. · ημ105°=ημ(60°+45°) =ημ60°συν45ο+συν60οημ45°

\ 3 \ 2 1 ν2 _ ν 2 ( 1 + ν'3) 2 2 2 2 4

συν 105 ° =συν( 60° +45°) =συν60°συν45° -ημ60°ημ45°

I ν2 \ 3 ν 2 ν 2 ( 1 - λ/3 ) 2 2 2 2 4

οπότε ε« 105° = * + ν j = - 2 - \ 3 και σφ105° = λ = - 2 + \ 3 1 - ν 3 I + V 3

2 6

• ημ195°=ημ( 150°+45°) =ημ150°συν45ο+συν150°ημ45°

V 2 _ V 2 ( l - V 3 )

2 2 2 ' 2 4 συν 195 ° =συν( 150° +45°) =συν 150°συν45° -ημ 150°ημ45°

ν2 , — \ 2(1 + V3) 2 2 2 2 4

οπότε εφ 1 9 5 ° = — — = 2 - V 3 και σφ195° = ~ ( 1 + ^ = 2 + V3 - 0 + V3) 1 - V 3

8. i) εφα + εφβ= η μ α + -η-μ^ - ημαοΐ'νβ+συναημβ _ ημ(α +β) συνα συνβ συνασυνβ συνασυνβ

ii) atfct lacfp o u v a ι ο υ ν Α _ ημ«οΐ'νβ+συναημβ ημ(»+β) ημα ημβ ημαημβ ημαημβ

9. Επειδή ημ(( = — και ουνβ= από τη σχέση η μ \ + σ υ ν 2 χ = Ι βρίσκουμε

12 4 οτι: συνα = — και ηιιβ= — 13 5

Έτσι έχουμε:

.. , 5 3 12 4 63 ι) ημ(α +β) =ημασυνβ+συναημβ= + — 13 5 13 5 65

ii) συν(α +β) =συνασυνβ-ημαημβ= — - - — · — = — 13 5 13 5 65

10. i) Σύμφωνα με τους τύπους (2) και (3) αρκεί να υπολογίσουμε το συνα και το ημβ.

Έχουμε λοιπόν:

« • > , 2 . 9 1 6 , 4 π • ο υ ν α = 1 - η μ « = 1 = — , οποτε συνα = — ,αφου ( Χ α < — 25 25 5 2

',, , •>,, , 25 144 , 1 2 π • ημ β= 1 -συν β= 1 = , οποτε ημβ= — , αφου —<β<π 169 169 1 3 2

Επομένως:

ημ( α +β) =ημασΐ'νβ+ουναημβ= - — j + — - — = — 5 V 13 J 5 13 6 5

συν (α +(-5) =συνααι»νβ-ημαημβ = — = 5 1 13 J 5 13 6 5

οπότε ε φ ( α + β ) = - — και σ φ ( α + β ) = - — 5 6 Ρ 3 3

ii) Εργαζόμαστε με τον ίδιο τρόπα

27

( π Α π π 11. ι) ημχ =συν χ + — <=>ημχ =συνχσυν ημχημ — V 6 ) 6 6

λ^3 ! <=>ημχ = -γ-συνχ - -ημχ <=> 2ημχ = \ 3συνχ -ημχ

τ ·> χ 3 π <=> 3ημχ = \ 3συνχ <=> εφ χ = — <=> εφ \ = εφ —

<=> χ = k:x + —. k e Z 6

ii) Ηεξίίκοση ορίζεται.για κάθε χ ε R, με συνχ φ 0 και cnnjx + - j j * 0 .

Με αυτούς τους περιορισμούς έχουμε:

/ π > 1 + ε<( χ εφχ + εφί —ι- χ = -2 <=> εφ χ Η = -2 V 4 ) 1 — εφχ

ο εφχ - εφ2χ + 1 + εφχ = -2 + 2εφχ

<=> εφ2χ = 3 <=> ε(|χ = ± \ 3

Ετσι έχουμε: JT π • εφχ = ν3 ο εφχ = εφ — <=> χ = kn + y , k e Z

• εφχ = - \ 3 » εφχ = εφ|-·^· j <=> χ = k j r - - y . k e Z

Όλες οι λύσεις είναι δεκτές, αφού ικανοποιούν του περιορισμούς.

Hi) Η είμσοκτη ορίζεται για κάθε χ e R με συν(χ - α) * 0.

Με τον περιορισμό αυτό και την προϋπόθεση ότι ορίζεται η εφχ δηλαύή

συνχ φ 0 έχουμε: ε φ χ - ε φ α „ εφχ + 3 εφ ( χ - α) = -2 <=> — — = -2 <=> 1 = -2 1 + εφχεφα I - 3εφχ

<=> εφ χ + 3 = - 2 + 6εφ)χ <=> 5εφ χ = 5

<=> εφχ = 1 <=> εφχ = εφ— <=> χ = krr +—. k e Z 4 4

Ολες οι λύσεις, είναι δεκτές αφού είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι ικανο-

ποιούν τους περιορισμούς.

Δεν υπάρχουν άλλες λύσεις της εξίσωσης, αφού οι τιμές χ = ^π+—. k e Z

που μηδενίζουν το συνχ δεν την επαληθεύουν.

2S

1. Είναι:

Β· ΟΜΑΔΑΣ

ημ(α-β) _ ημασυνβ-συναημβ ημασυνβ συναημβ συνασυνβ συνασυνβ συνασυνβ συνασυνβ

= εφα - εφβ

ημ(α -β) Αρα: = εφα - εφβ

συνασυνβ

»ΐμ(β -γ) ,, ημ( γ - α) Ομοίως: = ε«(β -εψγ και = εφγ - εφα

συνβσυνγ συνγσυνα

Αν τιάρα τις παραπάνω ισότητες τις προσθέσουμε κατά μέλη έχουμε:

ημ(«-β) , ημ(β-γ) , η μ ( γ - α ) συνασυνβ συνβσυνγ συνγσυνα

= εφα - εφβ*-εφβ-εφγ + εφγ - εφα = 0

2. 1ος τρόπος Έχουμε:

συν (α +β) = Ο <=> συνασυνβ-ημαημβ= Ο «συνασυνβ =ημαημβ ( ι)

Επομένως:

ημ( α + 2β) = (ημ(α +β) +β) =ημ(α +β)συνβκιυν( α +β)ημβ

=ημ( Α +β) -συνβ, ι <MJ ού συν (« +)•() = ο ι = (ημασυνβ+συναημβ)συνβ=ημασι>νβσιινβ+συνασυνβημβ

'=(ημασυνβσυνβ+ημαημβημβ) =ημα(συν2β+ημ2β) =ημα

2ος τρόπος: Έχουμε:

συν(α +β) = Ο » α +β= Κπ+ —, k e Ζ <=> β= kn + — - α, k e Z 2 2

Επομένως:

ημ(α+2β) = ημ(α+2κπ+π-2α) = ημ(π-α) = ημα

3. ημ( χ - α) = -2ημ(x + α) <=>ημχσυνα-συνχημα = -2ημχσυνα - 2συνχημα <=> 3ημχσυνα = -συνχ ημα <=> 3ημχ = -συνχ · εφα

<=> 3ημχ = 3συνχ, αφού εφα = - 3 <=> εφχ = 1

π . 5π <=> χ = — η χ = 4 4

29

4. Επειδή α +f>= — θα είναι β = — - α, οπότε: 4 4

εφβ= ει π ϊ α = 4 J

π εφ εφα . Μ 4 _ 1 - ι'Ψα

! + εφ* ε φ α " | + ε(ί ,α

Επομένως:

= (1 + εφα) = 2 1 + εφα

( \ (1 + εφα) • (1 + εφβ) = (I + εφα) • I +

^ 1 + εφα Λ

ΐ) Αν με φ συμβολίσουμε τη γωνία ΑΒΔ, έχουμε:

(ΑΔ) 1 (ΑΓ) εφΒ ό η λ α 6 τ ) E(f ( f ( | )

(ΑΒ) 3 . (ΑΒ) 3 3

Επομένως: R εφΒ

ε φ Β - ε φ φ ' ^ ' ε(^ 3 _ 2εφΒ εφω = εφ( Β - φ) = + εφΒεφφ , + β . «Ρ]? 3 + εφ2Β

3 ii) Αν Β = 60° τότε από την παραπάνω ισότητα βρίσκουμε ότι:

2 • εφ60° 2 · V 3 V3 εφω= , = = — , οποτε ω= 30 3+εφ2 60° 3 + 3 3

Αρα η ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Β.

6. Έχουμε διαδοχικά: ημΑ +ημ( Β - Γ) ημ( Β + Γ)+ημ( Β - Γ) ημΒ

-1 εφΒ <=>

30

συν (Β-Γ) σ υ ν ( Β - Γ ) συνΒ 2ημΒσυνΓ ημΒ

Ν—'/ — συνΒσυνΓ+ημΒημΓ συνΒ

ο 2συνΒσυνΓ =συνΒσυνΓ +ημΒημΓ <=> συνΒσυνΓ-ημΒημΓ = 0

« συν(Β + Γ") = 0

<=>Β+Γ = - » Α = -2 2

i) Επειδή Α + Β+ Γ =π έχουμε διαδοχικά: Α + Β - π - Γ

σφ( Α + Β) =σφ(π-Γ) σφΑσφΒ-1 — = -σφΓ σφΒ+σφΑ

σφΑσφ Β - 1 = -σφΒσφΓ -σφΑσφ Γ π<1 ΑπφΒ -ι-οφΒσφΓ +σφ>ΓσφΑ= I

II) Επειδή A + (Β + Γ) =π είναι σιινΑ = -συν(Β + Γ), οπότε: συνΑ -ουν( Β + Γ) ημΒημΓ -συνΒσυνΓ

ημΒημΓ ημΒημΓ ημΒημΓ =1-σφΒσφΓ

Λ . συνΒ . „ συνΓ Ομοιος 1 -σαί σψΑ και = 1 -σφΑσφΒ ημΓημΑ ημΑημΒ

οπότε με πρόσθεση κατά μέλη, λόγω της (I), βρίσκουμε το ζητούμενο

8. Η ε£ίθ(»κιη είναι ορισμένη για κάθε x e [ 0 , π] με οον^-— - χ j * .0

και συν^~ + \ •

Με τους περιορισμούς αυτούς και με την προϋπόθεση ότι ορίζεται η εφχ. η εξίσωση γράφεται διαδοχικά:

π π εφ— + εφχ eq εφχ 1 _ 4 _ = 2 λ / 3 «

1 - εφ - · εφχ I + εφ- · εφχ 4 4

1 + εφχ 1 - εφχ „ ,· -<=> — = 2 \ 3 1 - εφχ I + εφχ

<=> (1 + εφχ)2 - (I - εφχ r = 2V3( 1 - εφ2χ)

<=» εφ3χ + 2εφχ + I - εφ2χ + 2εφχ - I = 2ν'3 - 2ν3εφ2χ

« 2 ν 3 ε φ 2 χ + 4εφχ - 2 ν 3 = 0

« ν' 3εφ2χ + 2εφχ - V3 = 0

<=> εφχ = ή εφχ = —ν 3 Λ = 16]

π , 2η ^ * = "ί" — 3 ~ ^<Ι<,Η>" 0 5 * ^ ^

που είναι δεκτές, αφού ικανοποιούν τους-περιορισμούς. Ά

Σχόλιο: Αν δεν ορίζεται η εφ*, δηλ. αν χ = — , τότε η εξίσωση είναι αδύνατη.

9. Αρκεί vu δείξουμε ότι x + y = z. Επειδή εφχ < I και εφν <1

και εφζ<1 Ηα είναι 0<x.y .z<—, οπότε 4

π . π π 0<x + y<"2 και 0<·—-ζ< —

Επομένως η \ + y = — - / γράφεται όιαίκνχικά: 4

π , ( π > ι α \ - κ( \ 1 - Εφ/ χ + y = / ο εφ(χ + y) = εφ ζ ο — — = — 4 ν 4 ) 1 - ί (| \Κ | \ 1 + ε φ /

1 1 I 2 + S 8 7 7 <=> , ~ , = γ <=> — = —. π ο υ ισχύει.

ι - 1 · 1 Ι + -1 9 9

2 5 8

§ 1.4

Α· ΟΜΑΔΑΣ

3jt 3π ( 3π ^ 3π 1. ι) 2ημ—συν—=ηι ι 2 =ημ—— = - 1 4 4 I 4 ) 2

ii) 1 - 2ημ2 — =συνί 2 — 1 =συν— = 12 I 12) 6 2

iii) 2συν2135°—1 =συν(2· 135°) =συν270°= 0

2εσ:7ί>0 ν 3 iv ) — = εφ(2 • 75°) = εφ·150° = -εφ30°= - — I - ε(Γ 75° 3

2. ί) 2ημ2α ·συν2α =ημ(2 • 2») =ημ4«

ii) 2 οιιν2 j ~ - « j - I =αυν| 2| - j - a j j =συν| - 2« j =ημ2α

2εφ3α . , ιιι) — = εφ(2 · 3«) = εφοα I - εφ ~ 3α

3. i) ημ2<χ +συν2α =ημ2α + (1 - 2ημ2«) = 1 -ημ 2 « =συν2α

ημ2α 2ημασυν« , ημα ιι) ' , ^ — = 2-! ί— = 2εφα I —ημ (χ συν~α συνα

συνα ημ(( συν 2 α-ημ 2 « συν2α „ III ) (Ufa - !'(((/.= — = ί — = = 2σφ2« ημ«· συνα ημασυνα ημ?</

ημα συνα ημ2α+συν2α 1 2 iv) εφα+οφα= l· - -o i ' V ( / ημα ημαουνα 1 .>α ημ2«

32

ί) Σ ύ μ φ ω ν α με τους τ ύ π ο υ ς (1) κ αι (2) αρκ εί να υπολογίσουμε

το η μ α . Έχουμε λο ιπόν :

2 . 2 , 1 6 9 ., 3 , 3π ημ α = 1 - σ υ ν α = 1 ~ ~ = ~ · Αρα ημ<* = . α φ ο ύ π < α < —

Επομένως:

3 W 4 ^ 24 ημ2α = 2ημασυνα = 2 · ' 5 j I 5 J 25

2 16 7 συν 2α = 2συν α - 1 = 2 1 = — , οποτε 25 25

24 7 εφ2α = — και σφ2α = —

7 24 ii) Εργαζόμαστε με τον ίδιο τ ρ ό π ο

5. Επειδή εφ(α + 2β) = + , αρκεί να υπολογίσουμε την εφ2β

Έ χ ο υ μ ε λο ιπόν :

1 - εφ β j _ 1 8 4 9 9

οπότε: 1 3

4 + 4 1 1 1 6 ε φ

(α + 2β) = - ^ - ^ = _ = ^ = _

4 4 16 16

6. i) ημ3ασυνα+συν3αημα = ημασυνα(ημ 2α+συν 2α)=ημασυνα=^ημ2α

7 TlllCt 7 2 2 ii) ημ2αεφα + 2συν α = 2ημασυνα + 2συν α = 2(ημ~α +συν α) = 2 συνα

ημ2α _ 2ημ«συνα _ 2ημασυνα _ ημα

I +συν2α 1 + 2συν 2 α - 1 2συν 2 α συνα

^ 1 - σ υ ν 2 α +ημ2α _ 1 - (1 - 2ημ 2 α) + 2ημασυνα

1 +συν2α +ημ2α 1 + (2συν 2 α - I) + 2ημασι>να

2ημ 2 α + 2ημασυνα _ 2ημα(ημα +συνα)

2συν 2 α + 2 ημασυνα 2συνα(συνα+ημα)

7. ί) συν2χ - η μ χ - 1 = 0 <=> 1 - 2ημ2χ - η μ χ - 1 = 0

« 2ημ2χ +ημχ = 0 « η μ χ (2ημχ + 1) = 0

εφα

1 « η μ χ = 0 η ημχ = —

2 .13

Ετσι έχουμε:

• ημχ = 0 « η μ χ =ημΟ « χ = 21ίπ ή χ = 2kn +π, k e Ζ

1 π ( π • ημχ = - - <=>ημχ = - η μ - « η μ χ =ημ - — 2 6 V 6

« x = 2krc- — ή x = 2kiT + — , k e Z 6 6

ii) ημ2χ - 2συνχ +ημχ - I = 0 « 2ημχσυνχ - 2συνχ +ημχ - 1 = 0

« 2συνχ(ημχ - I) + (ημχ - I) = 0

« (ημχ - 1 )(2σι>νχ + ! ) = ()

« ημχ = 1 ή συνχ = - —

Έτσ ι έχουμε:

π 3Τ • ημχ = 1 « ημχ =ημ — « χ = 2krc + —, k e Ζ

2 2 1 π 2π • συνχ = - - « σ υ ν χ = - σ υ ν — « συνχ = σ υ ν — 2 3 3

« χ = 2kT ± — . k e Ζ *

8. Στο παράδε ιγμα 1 της σελίδας 19 βρήκαμε ότ ι :

ι ν 2 - \ 2 π \ 2 + \ 2 π π ημ — = 4 . συν — = . ε« — = \ 2 - 1 και σα — = Λ 2 + I 8 2 8 2 8 8

Σ ύ μ φ ω ν α με τους τύπους (4 ) κ α ι (5) έχουμε:

π . \ 2 + \ 2 I - σ υ ν I , , -,

τ π 8 2 2 - V 2 + χ 2 ημ- — = = h = οποτε 16 2 2 4

π V 2 - V 2 + ν 2 ημ -

16 2

π \ 2 + \ 2 1 +(τυν 1 + — — ~ , , , ;~

2 π 8 2 2 + ν 2 + ν 2 συν " — = — = = , οποτε Κ) 2 2 4

π \ 2 + \ 2 + \ 2 σνν

16 2

34

π \ 2 - \ 2 + \ 2 π \ 2 + \ 2 + \ 2 οποτε εφ — = και σφ — = \

16 V2 + \ 2 + V2 16 ϊ]2-\2+\2

9. Σ ύ μ φ ω ν α με τους τύπους (4 ) κ α ι (5) έχουμε:

ι α I - α υ ν α ' η 8 4 ι ) ημ" - = = ^ = — = — , οποτε 2 2 2 26 13

α 4 . Λ α π ημ — = , — , α φ ο υ ( ) < — < — 2 ν 13 2 4

2 α 1 +αυνα + 7 ϊ 18 9 συν — = = Li = — = — οποτε 2 2 2 26 13

α 9 , α π συν — = ,; — , α φ ο υ 0 < — < —

2 \ 13 2 4

α 4 2 α 3 Επομένως εφ — = , — = — και σφ — = — 2 V 9 3 2 2

, . 3

t α 1 - σ υ ν α s 2 I ι ι) ημ ' — = = - = — = - , οποτε 2 2 2 10 5

a l l 3π α η μ - = ^ - , α φ ο υ Τ < " < *

3 2 α 1 +συνα <; 8 4 αυν — = = — = — = —, οποτε

2 2 2 10 5

α 4 , 3π α συν — = -λ —, α φ ο υ — < — < π

2 V 5 4 2

Π a l l α Επομένως C ( p - = - J - = - - xu i σ φ y = - 2

10. i) συν'2χ + 2συν 2 — = 0 <=> 2συν 2 χ - 1 + 1 +αυνχ = 0 2

<=> 2συν 2 χ +συνχ = 0 <=>συνχ(2συνχ + 1) = 0

« - 1 <=>συνχ = 0 ή συνχ = —

2 Έτσι έχουμε:

• συνχ = 0<=> χ = 2 k n ± — , keZ 2

35

- 1 π 2π • συνχ = — <=>συνχ = - σ υ ν — <=>συνχ = σ υ ν — 2 3 3

2π ο χ = 2krc ± — , k e Ζ

3

ii) συνχ - 2ημ2 — = 0 <=>συνχ —(I - σ υ ν χ ) = ()<=> 2συνχ = I

— συνχ * r ~ συνχ = σ υ ν ^ ~ χ - 2kπ ± k ε Ζ Ζ j *

iii) 2 - σ υ ν χ = 4ημ_ — <=> 2 - σ υ ν χ = 2(1 - σ υ ν χ )

<=> 2 - σ υ ν 2 χ - 2 - 2συνχ

<=>συν2χ - 2συνχ = 0 <=>συνχ(συνχ - 2) = 0

<=>ουνχ = 0 ή συνχ = 2 (αδύνατη)

3Τ <=>συνχ = 0 <=> χ = 2kn ± —, k e Ζ 2

i v ) συν 2 χ - 1 = 2συν2 — <=>συν2χ - 1 = 1 +συνχ <=>συν2χ - σ υ ν χ - 2 = 0 2

1 ± 3 , . _ <=> συνχ = » σ υ ν χ = - 1 η συνχ = 2 2

<=> συνχ =συνπ <=> χ = 2k:t + π , k e Ζ

Β' ΟΜΑΔΑΣ 1. Είναι ημ2α = 2ημασυνα. Αρα έχουμε:

( σ υ ν α - η μ α ) 2 =συν 2α +ημ2α - 2ημασυνα = 1 - 2ημασυνα = 1 -ημ2α ,

δηλαδή: ( σ υ ν α - η μ α ) 2 = I - η μ 2 α

π επειδή 0 < α < — έχουμε:

4

2̂ Λ/2 0 < η μ α < — και — < σ υ ν α < 1

2 2

Επομένως σ υ ν α - η μ α > 0 , οπότε α π ό τη σχέση (1) προκύπτει ότι

συνα - η μ α = ^ 1 -ημ2α.

ημ2α + Γ - σ υ ν 2 α 2ημ 2α _ 2ημα 2.

ημα( 1 +συνα) ημα( 1 +συνα) (1 +συνα)

α α α 4ημ—συν— η μ -

? ? ? α = - — = 2 — = 2ε(Γ— τ τ α α 2 2συν — συν—

2 2

3. 1ος τρόπος :

. . π 3π π 3π π ,Α Επειδή — + — = — είναι συν — =ημ—. Αρα: 8 8 2 8 8

2 π ι 3π 2 ^ 4 ^ 2^1, 2 ^ ^ 2 ^ 2 n ημ - - σ υ ν 4 — =ημ2 - - η μ - =ημ2 - 1 1 - η μ 2 - J =ημ2 - -συν2 -

( π π Υ Π π = ημ—συν— ν η μ 8 ° υ ν 8 = ΐ 2 Π μ 4 1 =

2 1 ·\/2 V 2 I 4 16 8

2ος τρόπος

Με τους τύπους (4 ) κ α ι (5).

2εφα 1 + εφ 2 α I + εφα · , , 4 1 + εφα • εφ2α 1 - εφ α __ 1 - εφ~α

ε φ α + σ φ α ε φ α + — ε φ 2 α + 1 εφ® εφα

εφα _ I 2εφα _ 1 ^

1 - εφ 2α 2 I - εφ 2α 2

ϋ ) 3 - 4συν2α +συν4 α 3 - 4 ( 1 - 2ημ 2 α) + (1 - 2ημ2 2α)

3 + 4συν2α +συν4α 3 + 4 ( 2 σ υ ν 2 α - 1) + (1 - 2ημ 2 2α)

8 η μ 2 α - 2 η μ 2 2 α _ 8ημ 2 α - 2(2ημασυνα) 2

8συν α - 2ημ 2α 8συν α - 2(2ημασυνα)

8ημ2α(1 - σ υ ν 2 α ) η μ 2 α · η μ 2 α 4 = — = — = £φ (χ 8συν 2α( I - η μ 2 α ) σ υ ν 2 α ·συν2α

ημα

5. εφ(45° - α ) = e c f 4 5 ° ~ e ( f " = 1 ~ ε ( Ρ" = συνα = ο ^ ν α - η μ α 1 + εφ45°·εφα 1 + εφα | + τ ρ β σ υ ν α + η μ α

συνα

(συνα - η μ α ) (συνα +ημα) σ υ ν 2 α - η μ 2 α

(συνα +ημα) 2 συν 2 α +ημ 2 α + 2ημασυνα

σνν 2α

1 +ημ2α

σ υ ν 2 α · ( 1 - η μ 2 α ) _ σ υ ν 2 α · ( 1 - η μ 2 α )

(I +ημ2α) (1 - η μ 2 α ) 1 - η μ 2 2α

συν2α( 1 - η μ 2 α ) 1 - η μ 2 α

συν 2 2α συν2α 1 ημ2α 1

συν2α συν2α συν 2α - ε φ 2 α .

37

( J l ' V ^ U Από τον τ ύ π ο εφ(45° - « ) = γ ια α = 30° πα ίρνουμε :

I +ημ2α

I συν60° 2 1 2 - ν " 3 , εφ 15°= = — = τ~ = , = 2 - \ 3

1 +ημ60° V3 2 + \ 3 (2 + λ 3 ) ( 2 - \ 3 ) + 2

6. i) Η εξίσιοση ορίζεται γ ια κάθε χ e IR με ο υ ν 2 χ Φ 0.

Με τον περ ιορ ισμό αυτό έχουμε:

ημ2χ „ 2ημχσυνχ „ εφ2χ = 2συνχ <=> — = 2αυνχ «=> — 5 — - Τ - = 2αυνχ

ουν2χ 1 — 2ημ χ

<=> ημχουνχ =ουνχ - 2 η μ ' χ συνχ

<=> συνχ(2ημ 2 χ +ημχ - 1) = 0

<=> οΐ 'νχ = 0 ή 2ημ 2 χ +ημχ - 1 = 0

,. . — 1 ± 3 / - ' <=> συνχ = 0 η ημχ = = { ι 4 2

Έτσ ι έχουμε:

• συνχ = 0 « χ = 2 k i t ± — , k e Z 2

• ημχ = - 1 « η μ χ = η μ ^ - γ j <=> χ = 2k:i - y . k e Ζ

• ημχ = - <=> ημχ =ημ— <=>x=2ki r + — i | x = 2 k n + — . k e Z 2 6 6 6

Ό λ ε ς οι ρίζες π ο υ βρήκαμε είναι δεκτές, aq ο ύ ι κ α ν ο π ο ι ο ύ ν τους π ε ρ ι ο -

ρισμούς.

ii) Η εξίσωση ορίζεται γ ια κ ά θ ε χ e IR. με συνχ / 0 και συν2χ * 0

Με αυτούς τους περ ιορ ισμούς έχουμε:

εφχ · εφ2χ = - 3 <=> εφχ • 2 > < <* = - 3 « 2ϊψ\ = - 3 + 3εφ2χ 1 - ε<( χ

« · εφ2 χ = 3 <=> εφχ = ν 3 ή εφ \ = - ν 3

Έ τ σ ι έχουμε:

• εφχ = V T «=• εφχ - ε φ ^ χ = k * + y k ε Ζ

• εφχ = - V 3 <=> i q x = χ = ^ e Ζ

Ό λ ε ς οι ρ ίζες π ο υ βρήκαμε ε ίναι δεκτές , α φ ο ύ ι κ α ν ο π ο ι ο ύ ν τους

περ ιορισμούς .

3S

7. συν4α = 2ουν2 2α - I = 2(συν2α)2 - I = 2(2συν 2 α - I )2 - I

= 2 (4συν 4 α - 4συν 2 α + ! ) - ! = 8 σ υ ν 4 α - 8συν 2 α + 1

Λ Λ ι 7 Λ 8. i) Είναι: συν — = σ υ ν —

S I 8

( | π Λ I +συν -

4

2

[ , • * ] 2

2 2 V k /

2 +λ /2 6 + 4 \ 2 3 + 2 v'2

16

και συν 4 3π ( ι 3π Ϋ — = (T»'V — =

8 V 8 )

2 - Λ / 2

( 3π 1 1 +συν

4

2

/*- ι /VI

Si™

I

2 2

^ /

- 4 ν 2 3 - 2 ν 2

16

οπότε με πρόσθεση κατά μέλη βρίσκουμε ότι:

4 π 4 3π 6 3 συν — +συν — = — = —

8 8 8 4 ii) εργαζόμαστε με τον ίδ ιο τ ρ ό π ο ό π ω ς προηγουμένως.

iii) 8ημ 2 α·συν 2 α = 2 · (2ημασυνα) 2 = 2(ημ2α)2 = 2 η μ 2 2 α = 1 - σ υ ν 4 α

9. Σύμφωνα με τον τύπο (6) έχουμε:

t α β+γ - α

2 χ _ 1 - σ υ ν \ _ β+γ _ β+γ _ β + γ - « εφ

+συνχ

Ομοί<ι)ς έχουμε:

2 α +β+γ

Επομένως:

I + (< ( t +Ρ+Υ α +β+γ β+γ β+γ

ι '!· α + β - γ και εφ — =

2 α + β + γ

-, Χ , ν ->7. β+γ - α α + γ - β α + β - γ α -Η">+γ , εφ" — + εφ - — + εφ - = + + — = — = 1

2 2 2 ( (+β+γ α +β+γ α +(>+/ « +β+γ

Μ

§ 1.5

Α' ΟΜΑΔΑΣ

1. i) oirv75°o\tvl5°= - · 2συν75°·συν15° 2

= 1 [ σ υ ν ( 7 5 ° - 1 5 ° ) +συν(75°+15°)]

= - ( σ υ ν 6 0 ° + σ υ ν 9 0 ° ) = - ( - + 0 ] = -2 2 ^ 2 J 4

i i) ημ105°συν15°= 1 · 2ημ105°·συν15° = 1 [ημ120°+ημ90° ]

2 Λ / 3 + 2

Ι3π π 1 . 13π π I i n ) ημ σ υ ν — = - · 2 η μ σ υ ν — = -12 12 2 12 12 2

2 1 2 J 4 11π 7π 1 . Ι Ι π 7π 1 ιν ) ημ η μ — = - · 2 η μ η μ — = -

* 12 12 2 12 12 2

7π η μ — + η μ π

ο

π 3π συν σ υ ν —

3 2

Ι . Ι - ο 2 I 2

ί_

i) 2ημχ ·συν2χ =ημ(χ + 2 χ ) +ημ(χ - 2χ) = η μ 3 χ - η μ χ

i i) 2ημ4χ ·ημ2χ = σ υ ν ( 4 χ - 2 χ ) - σ υ ν ( 4 χ + 2 χ ) = σ υ ν 2χ - σ υ ν ό χ

iii) 2συν3χ ·συν5χ =συν( 3χ - 5 χ ) +συν(3χ + 5χ) = σ υ ν 2 χ +συν8χ

iv) συνόχ ·ημ2χ = 1 · 2 η μ 2 χ συνόχ = 1 [ η μ ( 2 χ + 6 χ ) + η μ ( 2 χ — 6χ) ]

— (ημ8χ - η μ 4 χ ) 2

ν> * 0 - " ) ""(τ + χ ) 4 2 η μ ( τ - χ ) * η , ( ί + *

συν (π π ^ (π χ χ - σ υ ν — ν 4

χ + — + χ V 4 4

σ υ ν ( - 2 χ ) - σ υ ν - : —συν 2χ 2

40

3. i) ημ3χ συνχ =ημ6χ ·συν2χ <=> 2ημ3χ συνχ = 2ημ6χ ·συν2χ

<=>ημ4 χ +ημ2χ =ημ8χ +ημ4 χ <=>ήμ8χ =ημ2χ

<=> 8χ = 2kn+2x ή 8χ = 21<π+π-2χ, k e Ζ

kre 2kre +π . <=> χ = — η χ = , k ε Ζ 3 10

i i) συν3χ ·συν2χ =ημ2χ ημχ <=> 2 σ υ ν 3 χ ·συν2χ = 2ημ2χ ημχ

<=>ουν5χ +συνχ =συνχ - σ υ ν 3 χ ο σ υ ν 5 χ = σ υ ν ( π - 3 χ )

<=» 5χ = 2kJt+K-3x ή 5χ = 2 ^ - π + 3 χ , k e Z

2kit +π 2kn -π . „ « Χ = η Χ = k e Ζ

8 2

75° +1 S° 7S° — IS° , Α 4. i) η μ 7 5 ° + η μ Ι 5 ° = 2 η μ - σ υ ν = 2 η μ 4 5 ° · σ υ ν 3 0 ° = —

1 Ι π 5 π I Ι π 5 π 1 5 π | 9 ι? ι ? η

ιι) ημ ημ — = 2ημ — — σ υ ν — — 12 12 2 2

. π ' 2 π Λ / 2 ( Π Ν 2 = 2ημ— σ υ ν — = 2 — = 4 3 2 I 2) 2

4 0 ° 4-80° 40°—80° i i i) σ υ ν 4 0 ° + σ υ ν 8 0 ° + σ υ ν 1 6 0 ° = 2συν σ υ ν +συν160°

2 2 = 2 σ υ ν 6 0 ° · σ υ ν 2 0 ο + σ υ ν 1 6 0 °

= σ υ ν 2 0 ° + α υ ν 1 6 0 °

2 0 ° + 160° 2 0 ° - 1 6 0 ° = 2 σ υ ν σ υ ν

2 2 = 2 σ υ ν 9 0 ° · σ υ ν 7 0 ° = 0

5. ί ) η μ 4 χ +ημ2χ = 2 η μ — * σ υ ν — 2 ^ = 2 η ^ χ ρ υ ν χ

. . . c , . 5 χ - 3 χ 5 χ + 3 χ ι ι ) σ υ ν 5 χ - σ υ ν 3 χ = - 2 η μ — η μ — - — = - 2 η μ 4 χ -ημχ

3χ -|- χ 3χ χ ii i) σ υ ν 3 χ + σ υ ν χ = 2 σ υ ν - σ υ ν - = 2 σ υ ν 2 χ συνχ

2 2

i v ) 1 +ημχ = η μ γ +ημχ = 2 η μ ^ ^ + · | j · σ υ ν ^ ^ = 2ημ 1

χ χ •> χ ν) 1 +συνχ = σ υ ν 0 +συνχ = 2 σ υ ν — συν — = 2 σ υ ν 2 —

2 2 2 6. Επε ιδή Β + Γ = 9 0 ° , έχουμε:

i ) η μ 2 Β + η μ 2 Γ = 2 η μ ( Β + Γ ) · σ \ ' ν ( Β - Γ) = 2 η μ 9 0 ° · σ υ ν ( Β - Γ)

= 2 σ υ ν ( Β - Γ)

41

··. ο . τ Β + Γ τ , « τ Β - Γ ιι) ημΒ —ημί = 2 η μ — - — σ υ ν — - — = 2 · η μ — - — σ υ ν 4 5 ° = \ 2 η μ — - —

συν3α - σ υ ν 5 « 2ημ4α·ημα ημα 7. ι) = — - !?— = —;— = ((((( ημ3α+ημ5α 2ημ4α (ΐιη'« συνα

.. ημα +ημ3α +ημ5α _ (ημα +ημ5α) +ημ3α

συνα +συν3α +συν5α (συνα+συν5α) +συν3α 2ημ3ασυν2α +ημ3<«

2ουν3ασυν2α +συν3α η μ 3 α ( 2 σ υ ν 2 α + I ) _ ημ3(ί

κ | α συν3α( 2συν2α + I) συν 3α

... ημαημ2α +ημ3αημ6α _ 2ημαημ2α + 2ημ3«ημ6α

ημασυν2α +ημ3ασυν6α 2ημασυν2α + 2ημ3ασυν6α

σ υ ν α - σ υ ν 3 α +συν3α - σ υ ν 9 α

ημ3α - η μ α +ημ9α —ημ3«

σ ι»να-συν9α 2ημ5αημ4α

η μ 9 α - η μ α 2 η μ 4 α π υ ν 5 α = εφ 5α

8. ί) ημ3χ - η μ χ =σι»ν2χ <=> 2ημχσυν2χ =ουν2χ

« σ υ ν 2 χ ( 2 η μ χ - I) = 0

<=>συν2χ = 0 η »ιμχ = 1

Ητοι έχουμε:

JT 7Γ • συν2χ = 0 <=>συν2χ =συν— <=> 2χ = 2k:r± —. k e Ζ

2 2

« χ = krt ± — . k e Z 4

1 π π 5rr • ημχ = - « η μ χ =ημ — « χ = 2kn + — η x = 2 k i t + — . k e Ζ

2 6 6 6

i i) συν5χ - σ υ ν χ = η μ 3 χ <=>-2ημ3χημ2χ =ημ3χ

<=>ημ3χ( i + 2ημ2χ ) = 0

<=>ημ3χ = 0 ή ημ2χ = - -

Έτσ ι έχουμε:

kTT • ημ3χ = 0 « 3χ = k;r. k € Ζ « χ = — , k e Ζ

42

Ι χ ( X • ημ2χ = - - <=>ημ2χ = —ημ — <=>ημ2χ =ημ 2 6 ν 6

<=> 2χ = 2k i t - — ή 2χ = 2k^+;i+ —, k e Ζ 6 6 π . 7π „ <=> χ = κ π — — η χ = |« ι + , k e Z 12 12

iii) ημ3χ +ημ6χ +ημ9χ =()<=> (ημ3χ +ημ9χ) +ημ6χ = Ο

<=> 2ημ6χσυν3χ +ημ6χ = Ο

« ημ6χ(2συν3χ + !) = ()

« ημόχ = Ο ή συν 3χ = — 2

Ετσι έχουμε:

krr • ημόχ = 0 <=> 6χ = k.T <=> χ = , k e Ζ 6

• συν3χ = — <=><τυν3χ = -συν—«=>συν3χ =συνί."τ- — ) 2 3 I 3 j

?"Τ <=>συν3χ = σ υ ν — <=>3χ = 2 k : r ± — , k e Ζ

3 3

6k:t ± 2 π <=> χ = . k e Z

Β' ΟΜΑΔΑΣ

2· 2ημ5()°·συν20°-1 _ 2(ημ70°+ημ30° 1. i) 2ημ50°-

2συν2()° 2ουν20° 2συν2()°

- 2ημ7()°+2ημ3()°-1 2 ημ7()°+2· ^ - I

2συν20° ~ 2συν2()° 2ΐ|μ7()°

• = 1, γ ιατ ί ημ 70 ° =συν20° . 2συν2()°

ii) 2 η μ 5 2 0 η μ 6 8 0 - 2 η μ 4 7 0 σ υ ν 7 7 0 - 2 σ υ ν 6 5 0 σ υ ν 8 Ι ° =

= (συν 16°-συν 120°) - (ημ 124"-ημ30° ) - (συνΙ46°+συνΙ6°)

= (συν16°+συν60°) - ( η μ 5 6 ° - η μ 3 0 ° ) - ( - σ υ ν 3 4 ° + σ υ ν Ι 6 ° )

= συν16°+— - η μ 5 6 ° + 1 + σ υ ν 3 4 ° - σ υ ν Ι 6 ° = I. γ ιατ ί ημ56°=συν34° .

13

2. Είναι 4ημΒσυνΓ = 1 <=> 2(ημ( Β + Γ) +ημ( Β — Γ)) — 1

<=> 2[ημ90°+ημ( Β - Γ)] = I

<=> 2 + 2ημ( Β - Γ) = 1

<=>ημ( Β - Γ) = - 1 ο η μ ( Γ - Β) = 1

ο Γ - Β = 30° , επειδή 0 < Β , Γ < 9 0 °

Έτσ ι έχουμε: . Β + Γ = 90° και Γ - Β = 3 0 °

οπότε με αφαίρεση κατά μέλη βρίσκουμε ότι Β=30°.

3. i) Έχουμε δ ι α δ ο χ ι κ ά :

^ 2 α -ΗΊ „ ,, , „ -> α +β ημαημβ < ημ (—^—) <=> 2 η μ α η μ β < 2 η μ ζ ( - γ - )

<=>συν(α - β ) - σ υ ν ( α + β ) < 1 - σ υ ν ( α +β)

« * σ υ ν ( α - β ) < I, π ο υ ισχύει,

ii) Εργαζόμαστε αναλόγως. α +β α Η")

ημα +ημβ α + β η μ ι σ υ ν j ^ « + β 4. ι) — — < η μ L <=> —- < ημ L

2 2 2 2 α +β α - β . α +β

<=>ημ—- σ υ ν — - < ημ 2 2 2

α +β <=>ημ 2

α —β 1 - σ υ ν — -

2 > 0.

α - f t α +β , , α + β π ο υ ισχύει γιατί σ υ ν — γ - < 1 κ α ι η μ — y - > 0 , αφου 0 < — γ - < π .

ii) Εργαζόμαστε αναλόγως.

„ „ Α + Β - Γ Α - Β + Γ 5. i) ημΑ +ημ( Β - Γ) = 2ημ συν

„ π - 2 Γ π - 2 Β , Α „ r , = 2ημ συν |c«fo»»A + IS+ I =π|

= 2 η μ Ι γ - Γ ] σ υ ν ί γ - Β 2

= 2συνΓ ημΒ

ii) Εργαζόμαστε αναλόγως .

44

. . . , . . η ι Α + Β A — Β 2 Γ ιιι) συν Α +συνΒ+συνΓ = 2 α υ ν — συ\ I - 2 r u r — = 2 2 2

Γ Α - Β , . Γ Α + Β ί Α + Η Γ π> = 2ημ — συν 1-1 - 2ημ — συν ιπηδη + — = —

2 2 2 2 V 2 2 2/

„ Γί Α - Β Α + Β Α = 2ημ— συν συν + 1

2 ν 2 2 )

„ Γ „ Α Β , ^ Α Β Γ = 2ημ - · 2ημ γ-ημ - + I = 4ημ γ η μ γ η μ - + 1.

Β Γ ( Β Γ λ 6. 2λ[2 συν— συν 1 = V2 2συν —συν— - 1 2 2 I 2 2 J

, / Β - Γ Β + Γ \ = 2 ^ σ υ ν — - — + σ υ ν — - — j -

= V2 ̂ συν —γ— +συν45° j - I

= V 2 Β - Γ Λ / 2

συν + — 2 2

, η Β - Γ - 1 = ν 2 σ υ ν

7. Έ χ ο υ μ ε δ ιαδοχ ικά :

^ „ Α Α „ Β + Γ Β - Γ ημΑ =συνΒ+συνΓ ο 2ημ—συν γ = 2 σ υ ν — - — σ υ ν — - —

Α Α Β + Γ Β - Γ <=> η μ — σ υ ν — = συν συν ( I )

2 2 2 2

, Α Β + Γ , Β + Γ Α Επειδή — + — - — = 90° , θα ισχύει σ υ ν — - — = η μ Ε π ο μ έ ν ω ς

Α Α Α Β — Γ (!)<=> ημ— σ υ ν — =ημ—συν

1 2 2 2 2 Α Β - Γ ( Α

<=> συν — = σ υ ν • ιππίιή ημ — / ο 2 2 I 2

Α Β - Γ . Α Γ - Β <=> — = η — = 2 2 2 2

<=> Α + Γ = Β ή Α + Β = Γ

<=> Β = 90° ή Γ = 90°

ΐ'ΓΤίΐίΊη Α Β - I

- 9 0 ° < — . < 9 0 °

2 2

45

§ 1.6

Α' ΟΜΑΔΑΣ

π 1. i) Η συνάρτηση f ( x ) = 2ημ[ χ + — ] είναι της μορφής f ( χ ) =ρημ(χ + φ)

Ε π ο μ έ ν ω ς : — Είνα ι π ε ρ ι ο δ ι κ ή με π ε ρ ί ο δ ο 2 π — Έ χ ε ι μέγ ιστη τ ιμή ίση με 2 και ελάχ ιστη τ ιμή ίση με - 2 Η γ ρ α φ ι κ ή τ η ς π α ρ ά σ τ α σ η δ ί νε τα ι στο δ ι π λ α ν ό σ χ ή μ α :

ii) Η συνάρτηση f ( x ) =ημ[ χ ε ίναι της μορφής ί ( χ ) =ρημ(χ + φ)

y= 2 ημχ |

Ε π ο μ έ ν ω ς : — Ε ί ν α ι π ε ρ ι ο δ ι κ ή με π ε ρ ί ο δ ο 2π — Έ χ ε ι μέγ ιστη τ ιμή ίση με 1 κα ι ελάχ ιστη τ ιμή ίση με - 1 Η γ ρ α φ ι κ ή τ η ς π α ρ ά σ τ α σ η δ ίνετα ι στο δ ι π λ α ν ό σχήμα :

/ ν = η μ ( χ - | )

ν=Ίμχ ! · > „ _ . Χ

2. ί) Επειδή α = \ / 3 κ α ι β = - Ι , έχουμε:

• ρ= γ α 2 +|52 = ν 3 + I = 2, δηλαδή ρ= 2

ν" 3 συνφ =

ημφ β

ρ

= συν — 2 6

- I π — = - η μ — 2 6

οπότε ένα φ = 2π - j = ~ ^ · 6 6

Επομένως, σύμφωνα με τον τ ύ π ο (I) . έχουμε:

11π f ( χ ) = 2ημ χ +

46

i i ) Επε ιδή α = - 1 και β = | , έχουμε:

• ρ= yja2 +β2 = VI + I = \ 2 . δηλαδή ρ = \ 2

α 1 λΙΪ π σ υ ν φ = — = — p r = = - ο υ ν -ρ γ'2 2 4

|i 1 Λ π ο π ό τ ε έ ν α φ - , - ϊ - ^

' # ' < Ρ = ΐ = 7 2 = Τ * η μ 4

Ε π ο μ έ ν ω ς , σ ύ μ φ ω ν α με τ ο ν τ ύ π ο (1), έχουμε:

3π f ( x ) = V2IMII χ + ^

i i i ) Επε ιδή α = - 1 και β = - ν ' 3 , έχουμε:

ρ= χ (Γ +f>2 = \ 1 + 3 = 2, δηλαδή ρ= 2

α - 1 π α υ ν φ = — = — = - σ υ ν — Ρ 2 3

π 4π ο π ό τ ε ενα φ = π + j = 3

β —\ 3 π ημφ = - = — — = - η μ -ρ 2 3

4 π Ε π ο μ έ ν ω ς : l'(x) - 2ημ (χ + - γ )

iv) Επε ιδή α = Ι κ α ι β = — 1, έχουμε:

• ρ= Γ « 2 +β2 = \ Ί + 1 = Λ / 2 , δηλαδή ρ = \2

α 1 V 2 π σ υ ν φ = — = — = — =σΐ ΐ ν— ρ V2 2 4

ο π ό τ ε ένα φ = - ·τ

Β 1 V 2 π ημφ = - ° = — — = ϋ— = - η μ -" ρ ^ 2 2 4

Ε π ο μ έ ν ω ς :

f ( x ) = \ ; 2 η μ ^ χ - γ

47

3. i) Επε ιδή f ( x ) = 2 η μ ί χ + (Ασκηση 2 i ) η συνάρτηση f ε ίναι π ε ρ ι ο -

δ ι κ ή με π ε ρ ί ο δ ο 2π, έχει μέγ ιστη τ ιμή ίση με 2 και ε λ ά χ ι σ τ η τ ιμή ίση με - 2 . Η γ ρ α φ ι κ ή τ η ς π α ρ ά σ τ α σ η ε ί να ι η ε π ό μ ε ν η :

+11 π/6 11 π/6

ν = 2ημ

Α ν ά λ ο γ α π ρ ο κ ύ π τ ο υ ν κα ι οι γ ρ α φ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς τ ω ν υ π ό λ ο ι π ω ν συ-ν α ρ τ ή σ ε ω ν :

ii) Περίοδος : 2π

Μέγ. τ ι μ ή : ν 2 y

Ελ. τ ιμή: -Λ 2

iii) Περ ίοδος : 2π

Μέγ. τιμή: 2

Ελαχ. τ ι μ ή : - 2

48

iv) Περίοδος: Ιπ

Μέγ. τιμή: V2

Ελαχ. τ ι μ ή : - ν 2 ν

4. i) Ό π ω ς είδαμε στην άσκηση 2 ϊ) είναι:

ν3ημχ - σ υ ν χ = 2ημ^ χ +

Επομένως έχουμε:

η -> ο ( "Μ ι ί Ι1π V 3ημχ - σ υ ν χ = 2 » 2ημΙ χ + 1 = 2 <=>ημΙ χ +

( 1 Ιπ ^ π <=>ημ| x + - j ~ Ι = η μ γ

1 Ιπ π « · χ + = 21<π+—, k e Z 6 2

4π . ο χ = 2kre , k ε Ζ

3 ii) Ό π ω ς είδαμε στην άσκηση 2 ii) είναι:

συνχ -ημχ = -\/2ημ(χ + ~

Επομένως έχουμε:

συνχ - η μ χ = 1 <=> λ/2ημ^ χ + - y - j = 1 <=>ημ^ χ + = 3π V2

2

3π π <=>ημ(χ + — ) =ημ— <=> 4 4

3π π χ + — = 2kn+ — 4 4

η k ε Ζ

3π π χ + — = 2 ^ + π — , 4 4

49

It <=> χ = 2kn ή χ - 2krr. k € Ζ 2

iii) Εύκ ολα βρίσκουμε ότι :

\ ' 2 η μ \ + \ όσυνχ = 2 \ 2ημ^ χ + y

Επομένως;:

\ 2ημχ + \/6οι>νχ + 2 = 0 ο γ 2ημχ + γίχτυνχ = - 2

<=>2\2ημ^χ + ^ - ϊ = - 2

„ η μ ( χ + Ξ ) = _ ^

° η μ ( χ + | ) = η ι ( ~

<=> χ + — = 2Κπ-— ή χ + — = 2Κπ+ — . k e Z 3 4 3 4 , , 7π . 11π <=> χ = 2kn η χ = 2kir + . k e Z

12 12

Β' ΟΜΑΔΑΣ

, c . . ( Μ Α ) (MB) . 1. Επειδή συνοχ= και ημ<»= ε /ουμε :

4 4 ( Μ Α ) = 4συν<υ και ( Μ Β ) = 4ημο>

οπότε :

\ 6 ( Μ Α ) + (MB) = 2 \ 6 <=> 4ημω+4συνο>= 2 \ 6 <=>ημω +σννω = 2

Επειδή όπιυς είδαμε στο προΥτο παράδε ιγμα , ε ίναι :

ημο)+αυνο*= γ2ημ^(ι>+·^·

έχουμε:

\ 6 π. ( π \ \ 6 ( π \ \ 3 ημιο +συνω= — <=> γ 2ημΙ (ιΗ- — I = — <=>ημ^ οη- — j = —

<=>ημ| ( , > + f ) = T " - l f

50

π π , π 2π <=><0+ — = — η ο) + — = —

4 3 4 3 π 5π <=>ω=— η ω = 12 12

2. Ε ίνα ι ( O A ) = (ΑΒ)συνθ= 2συνθ και (ΟΒ) = (ΑΒ)ημΟ= 2ημΒ

Επομένως :

i) ( O A ) + (ΟΒ) = 2ημθ + 2συνθ

ii) Φέρνουμε την παράσταση 2ημθ + 2συνθ στη μορφή ρ η μ ( Η + φ ) .

Έχουμε α = 2, β= 2 οπότε :

• ρ = \ ' α 2 +β2 = \ 4 + 4 = 2 \ 2. δηλαδή ρ= 2 \ 2 και

α 2 V2 π συνα = — = — ^ = — =συν— ρ 2 \ 2 2 4

δηλαδή ένα φ =

Ρ 2 ημφ = - = V 2 π 7^ = — =ημ— ρ 2 \ 2 2 4

Επομένιος:

( O A ) + (ΟΒ) = 2ημθ + 2συνΗ= 2λ12\][ι( θ + —) 4

απ ' ό π ο υ προκύπτε ι ότι το άθροισμα ( O A ) + (ΟΒ) γ ίνεται μέγιστο ό τ α ν

π ι ji το ημ | Β + Μ γίνε ι ίσο με 1 δηλαδή ό τ α ν θ = — α φ ο ύ ( )< ( )< :

Η μέγιστη τ ιμή του ( Ο Α ) + (ΟΒ) ισούται με 2 \ 2 .

i) Ε ίνα ι f ( x ) = g ( x ) + 3, ό π ο υ § ( χ ) = 5ημχ + Ι2συνχ.

Επειδή γ ια τη συνάρτηση g ισχύει ρ= \ 5:' + Ι22 =13 , η μέγιστη τ ιμή της g

ε ίναι ίση με 13, ενώ η ελάχιστη με - 1 3 . Επομένως η μέγ ιστη τιμή της ί

ε ίναι ίση με 13 + 3 = 16 , ενώ η ελάχ ιστη με - 1 3 + 3 = - 1 0 .

ii) Ε ίναι : f ( χ ) = 4ημχσυνχ + 4συν 2 χ = 2ημ2χ + 2(1 +συν2χ )

= 2ημ2χ + 2συν2χ + 2 =

= g ( x ) + 2, ό π ο υ g ( χ ) = 2ημ2χ + 2συν2χ

Επειδή γ ια τη συνάρτηση g ισχύει ρ = Λ / 2 2 + 22 = 2 \ ; 2 . η μέγιστη τιμή της g

ε ίναι ίση με 2 ν 2 , ενιό η ελάχιστη με - 2Λ 2. Επομένως η μέγ ιστη τιμή τ η ς

f ε ίναι ίση με 2V2 + 2, ενιό η ελάχ ιστη με - 2\2 + 2.

51

4. Έ χ ο υ μ ε :

2 η μ χ ( Λ / 3 σ υ ν χ - η μ χ ) = Λ/2 - 1 <=> ν ^ ^ η μ χ σ υ ν χ ) - 2ημ 2 χ = V2 - 1

<=> 7 3 η μ 2 χ - (1 - σ υ ν 2 χ ) = Λ/2 — 1 <=> Λ ^ 3 η μ 2 χ +συν2χ = Λ/2

ο 2ημ^2χ + j = V2 Λ / 3 Ι

γιατί {>= 2 κ αι συνφ = — , ημφ = — 2 2

π ^ Λ / 2 π"\ π «=> η μ ( 2 χ + - Ι = — ο ημΙ 2χ + — Ι =ημ—

. π Λ1 π , — ιι Λ1 χι <=>2χ+ — = 2kK+— η 2χ + — = 2 k n + n , k e Z

6 4 6 4 , Π· 7π β

ο x = kre + — ή x = k n + — , k e Z 24 24

5. i) Επε ιδή ημθ = Ι Δ Ε Ι κ α ι σ υ ν 0 = έχουμε: h n

(ΑΒ) + (ΒΓ) + ( Γ Α ) = 40 ο 1ισυνθ+ Ιιημθ + h = 40

« 1 ι (ημθ+συνθ+ 1) = 40

4 0 <=> h = η μ θ + σ υ ν θ + 1

ii) Επε ιδή η π α ρ ά σ τ α σ η ημθ +συνθ π α ί ρ ν ε ι τη μ ο ρ φ ή

ημθ + σ υ ν θ = ν^ημ^ θ + ^

έχουμε:

40 h =

Λ/2ημίθ + ^ + 1

Ε π ο μ έ ν ω ς το h π α ί ρ ν ε ι τη μ ικρότερη τ ιμή του ό τ α ν τ ο η μ ^ θ + π α ί ρ ν ε ι

μεγαλύτερη τ ιμή του, δηλαδή ό τ α ν ημ^Η + ^ j = I. Α υ τ ό συμβαίνε ι ό τ α ν

θ + — = —, δηλαδή ό τ α ν θ = —. Η μ ι κ ρ ό τ ε ρ η τ ιμή τ ο υ h ε ίνα ι ίση με 4 2 4

4 0 = 4 0 ( Λ / 2 - 1 ) . Λ/2 + 1

/ \ 6. i) Επε ιδή Μ Ο Κ = 2Θ, στο ο ρ θ ο γ ώ ν ι ο τ ρ ί γ ω ν ο Κ Ο Μ έχουμε:

ημ2θ = i M i i l = ( Μ Κ ) και σ υ ν 2 θ = = ( Ο Κ ) ( Ο Μ ) . ( Ο Μ )

52

Ε π ο μ έ ν ω ς έχουμε:

Ρ = ( Ο Μ ) + ( Μ Κ ) + ( O K ) = 1 + η μ 2 θ + σ υ ν 2 θ

Η) Ε π ε ι δ ή η π α ρ ά σ τ α σ η ημ2Η + σ υ ν 2 θ π α ί ρ ν ε ι τη μ ο ρ φ ή

εχουμε:

ημ2θ + σ υ ν 2 θ = %/2ημί 2 0 + ~

Ρ = 1 + Λ/2ημί2θ + j

Ε π ο μ έ ν ω ς το Ρ π α ί ρ ν ε ι τη μεγαλύτερη τ ιμή τ ο υ ό τ α ν το ημ 2Θ +

π ά ρ ε ι τη μεγαλύτερη τ ιμή του, όηλαόή ό τ α ν η μ ^ 2 θ + ^ j = I. Α υ τ ό

συμβα ίνε ι ό τ α ν 2Θ + — = —, δηλαόή ό τ α ν θ = — . Η μ ε γ α λ ύ τ ε ρ η 4 2 8

τ ιμή τ ο υ Ρ ε ίνα ι ίση με 1 + \ 2 .

§ 1.7

Α' ΟΜΑΔΑΣ

1. Επε ιόή Α + Β + Π = 180° έχουμε:

Β = 1 8 0 ° - Α - Π = 1 8 0 ° - 6 3 ° - 5 6 ° = 61°

Έ τ σ ι , α π ό τ ο ν ό μ ο τ ω ν η μ ί τ ο ν ω ν , έχουμε :

3 0 0 < a b ' „ ( A B , = ^ w = 2 8 4

ημ61° ημ56

Αρα Α Β ~ 2 8 4 m.

η μ 6 Γ

2. Σ τ ο τ ρ ί γ ω ν ο ΒΓΔ έχουμε:

Β Γ Δ = 5 0 ° - 3 5 ° = 15° κα ι ΒΔ Γ = 9 0 ° + 3 5 ° = 125°

Έ τ σ ι , α π ό το ν ό μ ο τ ω ν η μ ί τ ο ν ω ν , έχουμε:

5 < Β 4 > „ ημ125° ημ15

Α ρ α ΒΔ 2 £ l , 5 8 m

ημ125°

μπράτσο στήριξης

53

3. H γ ω ν ί α y ε ίναι ε ξ ω τ ε ρ ι κ ή του τρ ιγώνου Β Γ Δ . Αρα ισχύει: / \ Λ

y = χ + ΒΓΔ, οπότε ΒΓΔ = y - x

Έτσ ι :

i) Α π ό το νόμο των ημ ίτονων στο τρ ί γωνο ΒΓΔ, έχουμε:

d . ίίημχ ( Γ Δ ) ( Β Δ ) ( Γ Δ ) = Χ— <=> = <=> (ΓΔ ημχ ημΒΓΔ ημχ ημ( y — Χ)

Δ

ημ( y - χ ) ( I )

ii ( Στο ο ρ θ ο γ ώ ν ι ο τρ ί γωνο ΑΓΛ, έχουμε:

nny < Α Γ ) » (ΑΓ) =ημν (ΓΛ ι » (ΑΓ , = ^ 2 ™ - <λόγ<» < I » ( Γ Δ ) ημ.(y - χ )

4. Αν υπήρχε τέτοιο τρ ίγωνο , σ ύ μ φ ω ν α με το ν ό μ ο των ημ ίτονων

()α ίσχυε:

30 10 γ

ημΑ η μ 3 Γ ημΓ

Λ 30 ·ημ31° , . , οποτε ημΑ = ~ 1 , 5 > Ι .

10

Αυτό ό μ ω ς ε ίναι άτοπο , α φ ο ύ ημΑ ^ 1.

5. Α π ό το νόμο τ ω ν συνημίτονων έχουμε:

4 , 2 5 ' = 22 + 32 - 2 · 2 · 3ουν()<=> 18.06= 4 + 9 - Ι2συνθ

<=> Ι2συν()= -5,06<=>συνθ= -

α = 30

5. (Χ)

12 ο σ υ ν θ = - 0 , 4 2 <=> θ = 115°

6. Από το νόμο των συνημίτονων έχουμε:

(ΑΒ)2 = 422 + 552 - 2 · 42 · 55συν62° = 1764 + 3025 - 4620 · 0,4695 = 1764 + 3025 - 2169 = 2620

Αρα το μήκος του έλους ισούται με 51,2 m

7. Από το Πυθαγόρε ιο θεώρημα έχουμε:

(ΑΒ) 2 = ( Α Ε ) 2 + ( Ε Β ) 2 = 2 0 2 + 4 0 2 = 2 0 0 0 Ε

(ΑΓ)2 = ( Α Δ )2 + (ΓΔ )2 = 60 2 + 40 2 = 5200

(ΒΓ) 2 = ( ΒΖ)- + (ΓΖ) - = 60 + 20- = 4000

5 4

Έτσ ι α π ό το νόμο των ημίτονων ο το τ ρ ί γ ω ν ο ΑΒΓ, έχουμε:

(ΒΓ) 2 = (ΑΒ) 2 + (ΑΓ) 2 - 2( ΑΒ)· (ΑΓ)συν9<=*

<=> 4000 = 2(XX) + 5200 - 2 · 1 ( ) \20 Ι()\ 52συνθ

ο 2λ/20 · λ/52συνβ= 32

<=>συνθ = ι— <=>συν() = ' ^ Λ 20 · λ, 52 2Λ/5 · 2Λ/Ί 3

4 <=>οι>νθ = - p = - <=>ουν()~0.4%1 <=> θ ~ 6 0 , 25° V 65

8. Από το νόμο των συνημίτονων (|Λ. σχόλιο) προκύπτε ι ότι : α ιλ r α1 2 2 2 "> η"> 1 η2 "> συν Α συν Β συνΓ β +γ* - α γ + α - - β " α +β - 7 " + + = 1 ! + — — + · 1 '

β γ 2αβγ 2αβγ 2αβγ ? λ2 2 _ α - - φ + γ

2«βγ

9. Α π ό το ν ό μ ο τιον συνημίτονων (βλ. σχόλιο) προκύπτε ι ότ ι :

« Γ » « α +Ρ "Υ" Υ + Ο" - β " 2α-βσυνΓ + γσυνΒ = β 1 — + γ · - — = = α 2αβ 2γα 2α

10. Από το ν ό μ ο τ ω ν συνημίτονων (βλ. σχόλιο) έχουμε δ ιαδοχ ικά : 2 ηΐ "> 2 2 ^ α +β - γ „ γ - + α" - β 2

βσυνΓ = γσυνΒ <=>β· • = V . -2αβ 2γα

2 «2 2 7 2 « 2 ο α +β - γ = γ + α - β

<=> 2β2= 2γ2 <=>β= γ,

π ο υ σημαίνει ότι το τ ρ ί γ ω ν ο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. 11. Από το ν ό μ ο τ ω ν αυνημιτόνιον (βλ. σχόλιο) έχουμε:

α 2 +β2—ν2

α = 2βσυνΓ <=> α = 2β — — — <=> α 2 = α 2 + β 2 - γ 2 <=>β2= γ2 <=>β= γ, 2αβ

π ο υ σημαίνει ότι το τ ρ ί γ ω ν ο Α Β Γ είναι ισοσκελές.

Β' ΟΜΑΔΑΣ

1. Επειδή — = —— = 2R είναι: ημΑ ημΒ ημΓ

i) σΐ 'νΑ = — « σ υ ν A = ^ η μ Β <=> 2ημΑσυνΑ =ημΒ 2α 2 · 2ΙίημΑ

<=>ημ2Α =ημΒ, π ο υ ισχύει α φ ο ύ Β = 2Α.

55

i i) β 2 - α 2 = αγ <=> (2ΚημΒ) 2 - (2Rn^iA)2 = 2ΚημΑ · 2ΚημΓ

<=> 4 R ^ 2 B - 4 R ^ 2 A = 4 Ρ 2 η μ Α η μ Γ

<=>ημ2Β-ημ2Α =ημΑημΓ

(βλ. εφαρμογή 2 σελ. 13)

<=>ημ( Β + Α) ·ημ( Β - Α) =ημΑημΓ

<=>ημ(Β- Α ) = η μ Α [αφού ημ( Β + Α ) =ημΓ ]

Η τελευταία ό μ ω ς ισότητα ισχύει , α φ ο ύ Β = 2Α.

2ος τρόπος Α π ό το ν ό μ ο τ ω ν συνημίτονων, α ν ληφθεί υπόψη το π ρ ο η -ο

γούμενο συμπέρασμα ότι συνΑ = — .

2. Στο τρ ί γωνο ΒΓΔ είναι:

ΒΔ Γ = 135° κ α ι Γ Β Δ = 4 5 ° - χ

. ( Γ Δ ) α Ετσι α π ο το νομο των ημ ί τονων εχουμε = , οποτε :

η μ ( 4 5 ° - χ ) ημ135°

η μ ( 4 5 ° - χ ) _ ημ45°συνχ -συν45°ημχ

' ^ ημ135° ημ45°

ν 2 \ 2 — σ υ ν χ ημχ = α · — ^ = α(συνχ - η μ χ ) .

V2

2

3. ΐ) Από το νόμο των ημ ί τονων έχουμε δ ιαδοχ ικά : β= αημΒ <=> 2ΚημΒ = 2Ι?ημΑ ·ημΒ <=>ημΑ = 1 <=> Α = 90°

ii) Α π ό τον ίδιο ν ό μ ο έχουμε δ ι α δ ο χ ι κ ά :

αημΑ =βημΒ + γημΓ ο α · — =β· — + γ · — « α 2 =β2+Υ2 <=> Α = 90° 2R 2R 2R

4. Α π ό το νόμο των ημ ίτονων έχουμε δ ιαδοχ ικά:

ασυνΑ = βσυνΒ

2RημAσυvA = 2RημBσυvB

ημ2Α = ημ2Β

2Α = 2Β ή 2Α = 180° -2Β

Α = Β ή Α + Β = 90°

Α = Β ή Γ = 90°

π ο υ σημαίνει ότι το τρ ί γωνο ΑΒΓείναι ισοσκελές ή ορθογώνιο.

56

5. Από το νόμο των ημ ιτόνων προκύπτε ι ότι :

Α - Β Α + Β α - β _ 2ΙΙημΑ - 2ΚημΒ _ ημΑ - η μ Β ^ 2 ° υ ν 2 α + β 2ΙΙημΑ + 2ΙίημΒ η μ Α + η μ Β 2 η μ - — - σ υ ν - —

Α - Β Γ η μ — - η μ - ^ p

= Γ Α ^ Β γ ι α τ ί + = w συν— συν — — 2 2

Α - Β Γ η μ η μ Α Β Γ

° Α - Β f = ε φ -συν συν—

2 2

6. Α π ό το ν ό μ ο τ ω ν συνημίτονων γ ια το τ ρ ί γ ω ν ο ΟΒΓέχουμε :

(ΒΓ) 2 = ( Ο Β ) 2 + ( Ο Γ ) 2 - 2 ( Ο Β ) · ( Ο Γ ) σ υ ν Β Ο Γ (1)

Επειδή Β Ο Γ = 180° -Β κ α ι (ΟΓ) = (ΟΑ)συνθ=συνθ , η σχέση (1)

γράφεται :

(ΒΓ) 2 = I2 + σ υ ν 2 θ - 2· 1 ·συνθ·συν(180°-ω) = 1 + σ υ ν 2 θ + 2συν 2 θ

, „ η,. , „ 1 +συν2θ 5 + 3συν2θ = 1 + 3συν θ = 1 + 3 = .

7. ϊ) Α π ό το νόμο τ ω ν συνημίτονων γ ια τα τρ ίγωνα Ο Α Β και Ο Β Γ

έχουμε:

χ 2 = α 2 + β 2 - 2 α β σ υ ν ω και y 2 = α 2 + β 2 - 2 α β σ υ ν ( 1 8 0 ° - ω )

= α 2 +β 2 +2αβσυνω

οπότε x 2 + y 2 = 2α2 + 2β2.

ii) ( Α Β Γ Δ ) = 4 ( O A Β ) = 4 - α β η μ ω = 2αβημω

8. ΐ) Αν στον τ ύ π ο Ε = ^βγημΑ θέσουμε β = 2 R η μ B , κ α ι γ = 21*ημΓ

βρ ίσκουμε ότ ι :

1 , Ε = — · 2Ι*ημΒ • 21ϊημΓ ημΑ = 2Κ _ημΑημΒημΓ.

α β αημΒ r ι ι ) Επειδή — , εχουμε β = — - — . Επομένως : ημΑ ημΒ ημΑ

Γ 1 „ I α η μ Β „ α 2 η μ Β η μ Γ Ε = - α β η μ [ = - · η — 1 ί — · η μ Γ = ' ' » 2 2 ημΑ 2 ημΑ

9. Έ χ ο υ μ ε δ ι α δ ο χ ι κ ά :

( Α Β Γ ) = ( Α Β Δ ) + (ΑΔΓ)<=> —(1γημ( x + y ) = ^ γδημχ + -^βδημν

^ j T ( U x j ^ = η ^ + ^ δ (i

Α Αν Α = 90° κ α ι Α Δ δ ι χ ο τ ό μ ο ς της Α τότε η π α ρ α π ά ν ω σχέση γ ρ ά φ ε τ α ι :

ημ90° _ ημ45° ημ45° ^ 1 _ ν 2 V2 ^ I _ Λ 2 ( β + γ ) _ 2βγ

δ β γ δ 2β 2γ δ 2βγ \ 2 (β+γ )

<=> δ = V2 Ρ ϊ Ρ + γ

10. Έ χ ο υ μ ε δ ι α δ ο χ ι κ ά :

( Ο Α Β ) = ( Ο Α Γ ) + ( Β Ο Γ ) <=> - Κ , Ι * , η μ Ι 2 0 ο = - Κ ^ η μ 6 0 ° + - Ρ 2 Κ η μ 6 0 ε

<=>R IR2 = R 1 R + K , R » 4 - = 1 '

11. Ό π ω ς ε ί να ι γ ν ω σ τ ό έχουμε:

( O A ) 2 = Ι2 -Η ( Λ / 3 ) 2 = 4

( O B ) 2 = (λ /3) 2 + I2 = 4 ι

( Α Β ) 2 = ( Λ / 3 - 1 )2 + (I - Λ / 3 ) 2 = 2( ν 3 - 1 ) 2 .

Ετσι α π ό το ν ό μ ο τ ω ν σ υ ν η μ ί τ ο ν ω ν έχουμε :

( Α Β ) 2 = ( O A )2 + ( Ο Β ) 2 - 2 ( Ο Α )(ΟΒ)ουνΑΟΒ<=>

<=> 2 ( \ 3 - I )2 = 4 + 4 - 2 · 2 · 2 σ υ ν Α Ο Β

ο 8 - 4 ν 3 = 8 - 8 σ υ ν Α Ο Β <=> σ υ ν AO Β = — <=> A O Β = 30 °. 2

AC 1, V3)

Β(\/3, 1)

58

Γενικές ασκήσεις

1. I) Επειδή: D ΑΔ ΑΔ εφ Β = και εφΓ =

ΒΔ ΓΔ Έχουμε:

fiu εφΒ

Ο Α ΑΔ ΑΔ ΒΔ = και ΓΔ = εφΓ

Αρα:

ΒΓ = ΒΔ + ΔΓ = Α Δ + ^ - Α Α Ε φ Γ * ^ E ( p B - ΑΔ ε Φ Β + ε Φ Γ

εφΒ εφΓ εφΒ · εφΓ εφΒ · εφΓ

οποτε: Β Γ . Α Δ · εφΒ · εφΓ

ΑλλάΒΓ = 2 · ΑΔ. Επομένως η σχέση (1) γράφεται:

Ι Λ Λ Λ Λ ε Φ Β + ε Φ Γ εφΒ + gcpr 2 · ΑΔ = ΑΔ · - — <=> 2 = — — — « εφΒ + εφΓ = 2εφΒ εφΓ εφΒ · εφΓ εφΒ εφΓ

ii) Επειδή εφΒ = —J—και εφΓ = — η (i) γράφεται: σφΒ σφΓ

—-— + -J— = 2 —— · - i — » σφΓ + σφΒ = 2. σφΒ σφΓ σφΒ σφΓ

Επειδή: ημ2Β = — ^ - 5 — και ημ2Γ = —^L_£_ 1 + εφ Β

Έχουμε διαδοχικά:

εφ2 Β εφΒ = ημ2Β εφΒ = 1+ εφ2Β

1 + εφ Γ

εφΓ ημ2Γ εφΓ ε φ 2 ρ

1 + εφ2Γ

<=> εφΒ = εφ2Β (ΐ + εφ2Γ ) ^ = εφΒ (ΐ + εφ2Γ ) εφΓ εφ2Γ (ΐ + εφ2Β ) εφΓ {ΐ + εφ2Β )

<=> εφΒ (1 + εφ2Γ ) = εφΓ (1 + εφ2Β ) <=> εφΒ + εφΒ εφ2Γ = εφΓ + εφ2Β εφΓ

» (εφΒ - εφΓ) + (εφΒ εφ2Γ - εφ2Β εφΓ ) = 0

<=> (εφΒ - εφΓ) - εφΒ εφΓ (εφΒ - εφΓ) = 0 <=> (εφΒ - εφΓ) (1 - εφΒ εφΓ) = 0

<=> εφΒ = εφΓ ή εφΒ εφΓ = 1

59

« Β = Γ [γιατί 0° < Β, Γ < 180° ] ή εφΒ = σφΓ = εφ (90° - Γ) » Β = Γ ή Β = 90° - Γ [γιατί 0° < Β, Γ < 180° ] <=> Β = Γ ή Α = 90°

Δηλαδή το τρίγωνο Α&Γ είναι ορθογώνιο ή ισοσκελές.

3. Αρκεί να δείξουμε ότι η απόσταση του Μ (χ, y) από το k (1,3) ισούται με 2, δη-λαδή ότι:

V ( x ~ T y + (y - 3 )2 = 2 η ( χ - 1 f + ( y - 3 ^ 4

Πράγματι, επειδή χ = I 2·>ι·ν t. y = 3 + 2ημ ι, έχουμε:

(Χ - 1 f + (y - 3 Ϋ - (2 (Ti'Vt )2 + (2 ΐ|μΙ Ϋ = 4ouv2t + 4ημ21

= 4 ( σ υ Λ + ημΗ ) = 4 1 = 4.

4. i) Η εξίσωση ορίζεται, εφόσον συν x * 0 και ημχ * -1. Με αυτού; τους περιορι-σμούς έχουμε:

1 ^ + 0 υ ν Χ = 4 « (1 + ημχ f + συν2χ = 4συνχ (1 + ημχ) συνχ 1 + ημχ

1 + 2ημχ + ημ2χ + συν2χ = 4συνχ + 4ημχ συνχ

1 « 2 + 2ημχ - 4συνχ - 4ημχ συνχ = 0

« 1 + ημχ - 2 συνχ - 2ημχ συνχ = 0 <=> (1 + ημχ) - 2συνχ (1 + ημχ) = 0 <=> (1 + ημχ) (1 - 2συνχ) = 0

« 1 - 2 συνχ = 0 [ γιατί, λόγω περιορισμού, ισχύει ημχ * - 1 J

» συνχ = J- συνχ = συν — <=> χ = 2\m ± —, k e Ζ. 2 3 3

Οι λύσεις αυτές είναι δεκτές αφού ικανοποιούν τους περιορισμούς.

ii) Η εξίσωση ορίζεται εφόσον ημ χ * 0 και ημ χ Φ 1. Με αυτούς τους περιορι-σμούς έχουμε:

συνχ σφχ

1 - ημχ = 3 <=> συνχ σφχ = 3 - 3ημχ

» συνχ <3λΤ^- = 3 - 3ημχ « · συν2χ = 3ημχ - 3ημ2χ ημχ

« 1 - ημ2χ = 3ημχ - 3ημ2χ « 2ημ2χ - 3ημχ + 1 = 0

3 i 1 1 <=> ημχ = <=> ημχ = 1- [αφού, λόγω περιορισμού, είναι ημχ * 1 J

60

« ημχ = ημ — <=> 6

Ι χ = 2kn + — 6

ή k e Ζ

χ = 2V.n + π - — \ 6

Οι λύσεις αυτές είναι δεκτές, αφού ικανοποιούν τους περιορισμούς.

5. ΐ) Επειδή 0 < χ < — ισχύει εφ x > 0. Επομένως έχουμε: 2

εφχ + σφχ > 2 <=> εφχ + S 2 <=> εφ2χ + 1 > 2 εφχ εφχ

« εφ2χ - 2 εφχ + 1 > 0 « (εφχ - 1 f > 0, που ισχύει:

ii) Επειδή 0 < α < β < — ισχύει: 2

συν α > 0, συν β > 0 και εφ α < εφ β (1) Επομένως έχουμε:

• c y q ιμ<* + ιμβ ^ ημα ^ ημα + ημβ συνα + συνβ συνα συνα + συνβ

<=> ημα (συνα + συνβ) < συνα (ημα + ημ|.)

<=> ημα συνα + ημα συνβ < ημα συνα + συνα ημβ <=> ημα συνβ < συνα ημβ ημα συνβ συνα ημβ „ <=> -Β— < <=> εφα < εφβ, που ισχύει

συνα συνβ συνα συνβ

• J e ± S £ - < » r t > < = , J K L t a L , * « , , , * συνα + συνβ συνα + συνβ συνβ

6 · Έχουμε:

2 συν — 2χ | =

π -> I π « σ υ ν — 2 χ 1 = συν —

ί - " ) -<=> συν

π — 2χ = 2k.it +

Ρ <=> η

π 2χ = 2 t a -

3

1 2

π

3

π

3

k e Ζ

χ = - kn

ή , k e Ζ <=» 2π 2χ = - 2kn + —

χ = - kjt

ή

χ = - kn + — 3

, k ε Ζ

Διακρίνουμε τώρα τις εξής περιπτώσεις:

• Αν \ Li. k e Ζ, τότε έχουμε:

χ e (4π. 5π) <=} 4π < x < 5π « 4π < - kn < 5π

< = > 4 < - k < 5 < = > - 5 < k < - 4 , αδύνατο αφού k e Ζ

Αρα δεν υπάρχουν λύσεις της μορφής x = - kn, k e Ζ στο διάστημα (4π, 5π). ;τ

• Αν \ = k.i + , τότε έχουμε: 3

JT χ e (4π, 5π) « 4 π < - ^ + — < 5 π « 12π < - 3kn + π < 15π

3

ο 11π < - 3kn < 14π « 11 < -3k < 14

< = > - l ^ < k < - U « k = - 4 3 3

Άρα η εξίσωση έχει ακριβώς μια λύση της μορφής x = - kn + — στο

δ ιάστημα(4π ,5π) , την χ = - ( - 4 ) π + — = Η Ξ . . 3 3

Αυτή είναι και η μοναδική λύση της εξίσωσης στο διάστημα (4π, 5π).

7. Στο κατακόρυφο επίπεδο του τροχού ορίζουμε ένα καρτεσιανό σύστημα συντε-ταγμένων, όπως φαίνεται στο σχήμα, του οποίου οι άξονες έχουν μονάδες με μήκος lni,

i) Αν Μ είναι η θέση του βαγονιού A, t sec με-τά την έναρξη της περιστροφής του τροχού και yM η τεταγμένη του, τότε προφανώς το ζητούμενο ύψος ισούται με:

h = 10 + yM (1)

Επειδή ο περιστρεφόμενος τροχός εκτελεί μια πλήρη περιστροφή σε 8 sec, η ακτίνα OA σε 8 sec διαγράφει γωνία 2π rad. Επο-μένως σε 1 sec διαγράφει

2π γωνία 8

- rad = — rad, οπότε σε ι sec ϋα

nt διαγράψει γωνία — rad.

Επειδή ρ = (ΟΜ) = 4m, σύμφωνα με τον τύ-

πο yM = ρ ημ ω, θα ισχύει: . 5,1

yM = 4ημ — 4

οπότε, λόγω της (1), έχουμε:

h = 10 + 4 ημ Jit

Επομένως σε χρόνο: — 1 sec από την έναρξη περιστροφής το ύψος του βαγονιού Α θα είναι:

h = | l0 + 4 ημ —Jm = (lO + 2V2jm

— 2 sec από την έναρξη περιστροφής το ύψος του βαγονιού Α θα είναι:

h = jlO + 4 ημ — j m = (lO + 4 ) m = 14m

— 5 sec από την έναρξη περιστροφής το ύψος του βαγονιού Α θα είναι:

h = | l0 + 4 ημ — j m = jlO + 4 ημ |π + ~JJm

= | l 0 - 4 · 5 ^ j m =(lO-2V2~)m

ii) Για να φτάσει το βαγόνι Α στη θέση Β χρειάζεται 1 sec. Επομένως το ύψος του βαγονιού Β τη χρονική στιγμή t ισούται με το ύψος του Α τη χρονική στιγμή t + Ι, δηλαδή με:

. . . π α + 1 ) „ (πί π\ 10 + 4 ημ = 10 + 4 ημ Ι— + —Ι. 4 \4 4/

συνχ ημχ συν2χ -ημ2χ συν2χ „ „ Κ. ι ) σ φ χ - εφχ = — = ϋ — = - = 2σφ2χ ημχ συνχ ημχσυνχ Ι ί ) μ 2 χ

ii) Αρκεί να δείξουμε όχι: σφχ - εφχ - 2εφ2χ - 4εφ4χ - 8σφ8χ = 0

Πράγματι, λόγω της (ί), έχουμε:

σφχ - εφχ - 2εφ2χ - 4εφ4χ - 8σφ8χ = 2σφ2χ - 2εφ2χ - 4εφ4χ - 8σφ8χ

'= 4oif4x - 4εφ4χ - 8σφ8χ

"= 8οφ8χ - 8σφ8χ = 0

9. ΐ) Η εξίσωση είν(α ισοδύναμη με την

3 x - 4 x J = — (1) 2

Επειδή 3ημα - 4ημ3α =ημ3α για να είναι το ημα λύση της εξίσωσης (1)

αρκεί ημ3α = — . Έχουμε όμως:

63

η μ 3 α = — <=>ημ3α =ημ— <=> 3α = 2kn+ — ή 3a = 2kn+ — , k e Z 2 4 4 4

2kn π , 2 ^ π <=>α = + — η α = + —, k e Z 3 12 3 4

Επειδή ο k παίρνει τη μορφή k = 3ρ+υ, όπου ρ, υ e Ζ με ()< υ<3

οι ρίζες της ημ3α = δίνονται από τους τύπους

2υπ π „ (8υ+ 1)π α = 2ρπ+ + — = 2ρπ+ ^ 3 12 12

ή με ρ, υε Ζ και 0 < υ<3.

2υπ. π „ (8υ+3)π α = 2οπ+ + — = 2ρπ+ 3 4 12

Επομένως οι αριθμοί:

π V 6 - λ/2 η μ ϊ Γ ~ Τ -

. . (8υ+Ι)π^ (8υ+1)π / 9π 3π π V2 ΐμ| - J -ημ - = \ ν ~ ΰ * ν Τ " ψ Ί ~ Ύ

I7ji 5π ν6 + V2 ημ = - η μ — = 12 12 4

και

3π π V2 ημ—=ημ— = — 12 4 2

(8υ+3)π / 11π π \ 6 - λ 2 =ημ = t—-ημ =ημ— = 12 \ 12 12 4

19π 5π V6 + λ/2 ημ = - η μ — = -12 12 4

είναι ρίζες της εξίσωσης (1). Επειδή η εξίσωση αυτή είναι τρίτου βαθ-μού θα είναι και οι μοναδικές.

ii) Εργαζόμαστε με τον ίδιο τρόπο

. . (8υ+ 3)πΝ

ημ| 2 ρ π + — — —

64

10. Έστω M(x,y) ένα σημείο του επιπέδου με χ =συνθ και γ=συν2θ+1,

όπου He [Ο,π]. Τότε:

y =συν2θ + 1 = 2συν2θ - 1 + 1 = 2συν2θ = 2χ2

Επειδή επιπλέον - 1<συν()<1 θα είναι

- 1 < χ < 1 . Αρα το Μ (χ, y) ανήκει στυ τόξο

της παραβολής γ = 2 χ 2 , μ ε - 1 < χ < 1 .

Αντιστρόφως έστω Μ (χ, y )ένα σημείο του

τόξου της παραβολής y = 2χ 2 , με - 1< χ < 1.

Τότε υπάρχει Be [Ο,π] τέτοιο, ώστε συνθ= χ,

οπότε y = 2(συνθ)2 = 1 +συν2θ. Αρα το M(x,y) ανήκει στο σύνολο των σημεί-

(ον του επιπέδου με

χ =συνθ και y =συν2θ + 1, όπου θ e [Ο,π]. π χ j[ χ

11. Επειδή -π<χ<π θα είναι και Ά ρ α ορίζεται η ε φ -

και σύμφωνα με τους δοσμένους τύπους έχουμε:

- ι

\ ι

_ L L

1 +

„ χ 2 ε φ -

1 + εφ Ι ( χ ) = · 2 _

1 + εφ ϊϊ 1 - εφ

5 + 4

2 χ 9 + εφ —

2

(1 + t γ

9 + t 2 οπουt = εφ—

1 + εφ*

Επομένως αρκ εί να δείξουμε ότι 0 < (l + t ) 2 ^ ] 0 9 + t 2 " 9 '

Πράγματι η πρώτη

ανισότητα προφανώς ισχύει ενώ η δεύτερη γράφεται διαδοχικά:

( 1 + t f < — <=» 9(1 + t ) 2 < 9 0 + 10t2

9 + t2 9 <=>0<t2 - 18t + 81

<=> (t - 9 ) 2 > 0 , που ισχύει.

6 5

ηιι2χ π π 12. ηιιχ +συνχ — - — - =συν—συνχ +ημ—ημχ <=> V 2 + 1 4 4

Γ.2 ^ ^ <=>ημ'χ +συνχ - ( ν 2 - 1 )ημ2χ = — συνχ ι- —ημχ

« 2ημχ + 2συνχ - 2( \ 2 - 1 )ημ2χ = \ 2συνχ + λ/2 ημχ

<=> (2 — λ/2) [ημχ +συνχ|= 2(\ 2 - I )ηιι2χ

<=> ( 2 - / 7 ) / 2 η μ ( χ + | ) = 2(/ϊ - 1)ημ2χ

« 2( Λ/2 - 1)ημί Χ + 1 = 2( \ 2 - I )ημ2χ

οημ2χ =ημίχ +-^

jt jt <=> 2χ = 2k.i+x + — ή 2χ = 2^π+π-χ - —. k e Ζ

4 4 π 2k:r π , _ <=>x=2ku+— η χ = f — . k e Z 4 3 4

13. i) Επειδή (ΒΓ) = (ΟΕ) = 20συνθ και (ΟΛ) = 20ημθ, το ζητούμενο· εμ|'χίδ() S είναι ίσο με

S =<ΒΓΓ + (ΟΛ)(ΟΕ) = 4(Χ)ουν2Η+ 4(Χ)ημ0συν0

ii) Λόγο) της (i> έχουμε: S =2(Χ) (1 t συν2θ) + 2()()ημ2() = 2(Χ)(ημ20 +συν20) + 2(Χ)

= 2(Χ) ν 2 η μ ( 2 0 + - 1 + 2 0 0 4

Επομέν<ος:

S = 20» \ 2ημ( 20 + —) + 200 4

iii) Επομένως το S παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή του όταν:

ημ 20 + — |=|<=>20+ —= — » 2 0 = —<=>θ = — { 4 ) 4 2 4 S

Η μεγαλύτερη τιμή του S είναι ίση με . = 200 \ 2 + 200

= 200 ( \ 2 + 1).

Μι

14. Από το νόμο τον ημίτονων για τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΑΜΓ έχουμε:

(ΗΜ) (AM) (1Μ) (AM) και

ημχ ημ(ω-χ) ημΥ ηιι(π-(ω+γ))

οπότε με διαίρεση κατά μέλη, έχουμε: ημν ημ(ω+ν)

= <=> ημ>' (ημιοσυνχ -συνωημχ) =ημχ (ημωουνγ +συνωημν) ημχ ημ(ω-χ)

<=> συνχημγημο>-ημχσυνγημο)= 2ημχημγσυνω ουνχημγημω ημχσυνγημο) 2ημχημγσυνιο <=> — — — = ημχημγημ<ο ημχημγημιο ημχημγημο>

« σφχ -<)(| ν = 2σφω

15. Αν θέσουμε Γ = χ τότε Β = 180"-45°-30"-χ = 105°-χ, οπότε

από το νόμο των ημίτονων στα τρίγωνα ΑΓΔ κ αι ΑΒΔ έχουμε:

, (ΑΓ) (ΑΔ) Α η ν (ΑΔ) ·ημ45° (Α Δ) · λ/2 • = , οποτε: (ΔΓ) = —5 1 =· ——— ημ45° ημχ ημχ 2ημχ

. (ΑΒ) (ΑΔ) (ΑΔ)·ημ30° (ΑΔ) • οποτε: (Δ Β) -

ημ30° ημ(105°-χ) ημ(105°-χ) 2ημ(105°-χ)

Αν διαιρέσουμε κατά μέλη τις (1) και (2) και επειδή - - = λ/3 βρίσκου-(ΔΒ)

με ότι:

(ΔΓ) \ 2ημ( 105°—χ) - ν2ημ( 1()5°-χ) = <=> V 3 = (Δ Β) ημχ ημχ

<=> ν 3ημχ = \ 2(ΐ|ΐι105°(τυνχ -συ\Ί05°ημχ)

ν3ημχ = ν2(συν15°συνχ +ημ!5°ημχ)

<=> ν'3ημχ = V2 Λ/2 (λ/3 + I) Λ/2 (Λ/3 - I) συνχ + ημχ 4 ' 4

<=ΐ> 2V3ημχ = (\ 3 + 1 )συνχ + (λ/3 - 1 )ημχ

« ( ν3 + 1 )ημχ = (λ 3 + I)συνχ ο η μ χ =συνχ <=> ε φ χ = 1 < = > χ = 4 5 ° [ < « ( < > " 0 ° < χ < 1 8 0 ° ]

Επομένως 1 = 4 5 ° και Β = 60°.

( ) 1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

12-11 Α' ΟΜΑΔΑΣ

1. Οι παραστάσεις -χ3+1 και -χ3+3α2χ-3αχ2+α3 είναι πολυώνυμα του

χ,ενώ οι παραστάσεις χ + — και χ 4 - 2 χ ι / 3 + 4 χ - 1 δεν είναι πολυώνυμα του χ.

2. i) P(x) + Q(x) = x 2 - 5 x + 2 + x3 + 3x + 1 = χ3 + χ 2 - 2 χ + 3

ii) 2P(x)-3Q(x) = 2 (x 2 -5x + 2 ) -3 (x 3 + 3x + 1) = 2 χ 2 - 10χ + 4 - 3 χ 3 — 9 χ - 3 = - 3 χ 3 + 2 χ 2 - 19χ+ 1

iii) Ρ(χ) · Q(x) = (χ2 - 5χ + 2)(χ3 + 3χ + 1) = χ 5 - 5 χ 4 + 2χ3 + 3 χ 3 - 15χ2 + 6χ + χ 2 - 5 χ + 2 = Χ5-5Χ4 + 5χ 3 -14Χ 2 + Χ + 2

iv) |Ρ(χ)]2 = (χ2 — 5χ + 2)2

= χ4 + 25χ2 + 4 — 10χ3 + 4χ2 —20χ = χ 4 - 10χ3 + 29χ 2 -20χ + 4.

3. Για να είναι το Ρ(χ) το μηδενικό πολυώνυμο αρκεί

4 μ 3 - μ = 0 και μ 2 - - ^ - = 0 και - 2 μ + 1 = 0 1 Η κοινή ρίζα των εξισώσεων αυτών είναι μ = — . Επομένως το Ρ(χ) είναι

το μηδενικό πολυώνυμο αν μ = - γ .

4. Από τον ορισμό της ισότητας δύο πολυωνύμων αρκεί α 2 - 3 α = - 2 και 1 = α 2 και α 3 - 1 = 0 και α = 1 ή

α 2 - 3 α + 2 = 0 και α 2 - 1 = 0 και α 3 - 1 = 0 και α = 1. Η κοινή ρίζα αυτών είναι α = 1, που είναι η ζητούμενη τιμή του α.

5. i) . 'Εχουμε • Ρ ( - 1) = 2 ( - Ι ) 3 —3(— 1)2 + 2 ( - 1) + 7= - 2 - 3 - 2 + 7 = 0, οπότε το - 1 είναι ρίζα του Ρ(χ). • Ρ(1) = 2 · 1 3 - 3 · 12 + 2 · 1 + 7 = 8, οπότε το 1 δεν είναι ρίζα του Ρ(χ). ii) Ομοίως έχουμε • Q( —1) = —(—1)4+1= —1 + 1= 0, οπότε το - 1 είναι ρίζα του Q(x). • Q( l )= — 1 4 + 1 = — 1 + 1 =0, οπότε το 1 είναι ρίζα του Q(x). • Q(3)= - 34 + 1 = - 8 0 ^ 0 , οπότε το 3 δεν είναι ρίζα του Q(x).

6. Για να είναι το 2 ρίζα του Ρ (χ) αρκεί Ρ(2) = 0 23 — k · 22 + 5 • 2+ k = 0

<=> — 3k + 18 = 0 <=> 3k= 18 <=> k = 6

68

7. Έχουμε P ( - l ) = l 5(— 1)2 + 3 α ( - 1) + α 2 - 2 = 1

<=> α 2 - 3 α + 2 = 0 <=> α = 1 ή α = 2.

Β ΟΜΑΔΑΣ

1. Έχουμε f(x) = ax(x + 1) + βχ + γ = αχ 2 + (α + β)χ + γ Για να παίρνει το 3 χ 2 - 7 χ + 5 τη μορφή αχ2 + (α + β)χ + γ αρκεί τα δύο αυτά πολυώνυμα να είναι ίσα. Αυτό σημαίνει ότι

α = 3, α + β = - 7 κ α ι γ = 5, οπότε α = 3, β = — 10 και γ = 5

2. Το - 2 είναι ρίζα του Ρ(χ) αν και μόνο αν Ρ( - 2) = 0 3 ( - 2 ) 3 + α ( - 2 ) 2 + β ( - 2 ) - 6 = 0

<=> - 24 + 4α - 2β - 6 = 0 « 4α - 2β = 30

2 α - β = 15 (1) Το 3 είναι ρίζα του Ρ(χ) μόνο αν

Ρ(3) = 0 <=> 3 · 3 3 + α · 3 2 + β · 3 - 6 = 0 <=> 8 1 + 9 α + 3 β - 6 = 0 <=> 27 + 3α + β - 2 = 0 ο 3α + β = - 25 (2)

Από τις (1) και (2) βρίσκουμε α = - 2, β = — 19

3. Το 1 είναι ρίζα του Ρ(χ) αν και μόνο αν Ρ(1) = 0 ο 2 + λ + μ + 6 = 0

» λ + μ = - 8 (1) Ακόμη

Ρ( —2)= — 12 <=> 2 ( - 2 ) 3 + λ( —2)2 + μ ( - 2 ) + 6 = — 12 <=* — 16 + 4λ —2μ + 6 = — 12 <=> 4λ - 2μ = - 2 « 2λ — μ = — 1 (2)

Από (1) και (2) παίρνουμε λ = - 3 και μ = - 5 . 4. Το πολυώνυμο Ρ(χ) γράφεται

Ρ(χ) = λ(9λ2 - 4)χ3 + (9λ2 - 4)χ - (3λ - 2) = λ(3λ - 2)(3λ + 2)χ3 + (3λ - 2)(3λ + 2)χ - (3λ - 2)

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: 2 2 ί) Αν λ =£ 0 και λ =£ — και λ =£ - — , τότε ο βαθμός του πολυωνύμου Ρ(χ)

είναι 3. ii) Αν λ = 0, τότε Ρ(χ) = - 4χ + 2 και ο βαθμός του πολυωνύμου είναι 1.

6 9

7

iii) Αν λ = — , τ ό τ ι : Ρ(χ) = 0, είναι δηλαδή το μηδενικό πολυώνυμο και

δεν έχει βαθμό. 2 iv) Αν λ = ——, τότε Ρ( \ ) = 4, είναι δη/.αδή ένα σταθερό πολυώνυμο και

επομένως έχει βαθμό μηδέν.

5. Είναι φανερό ότι ο βαθμός του Ρ(\) είναι 2. Έ σ τ ω Ρ(χ) = αχ 2 4-βχ 4 γ. Τότε έχουμε:

(2x4 1)(αχ24-βχ + γ) = 2 χ , - 9 χ 2 - 3 χ 4 - I <=* 2αχ ' + 2βχ2 + 2γχ 4 αχ 2 Η βχ 4 γ = 2 χ 3 - 9 χ 2 - 3χ 4 1 ο 2αχ ! 4 (2β 4 α ) χ : 4 ( 2 γ 4 β)χ4 γ = 2 χ 3 - 9 χ 2 - 3 χ + I

2α = 2, 2β + α = — 9 , 2γ + β = - 3 KUI γ = 1 <=» α = 1. β = - 5 , γ = 1

Είναι επομένως Ρ(χ) = χ 2 —5x4- I.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2.2

Α ΟΜΑΛΑΣ

i . 3χ ' 4 6χ2 - 17χ 4 20

- 3 χ 5 - 9 χ 2 Χ 4 3 3χ ' 4 6χ2 - 17χ 4 20

- 3 χ 5 - 9 χ 2 3 Χ 2 - 3 Χ - 8 - 3 χ 2 - 17x420 4 3χ2

4 9 χ

- 8χ 4 20 8 χ 4 24

44

Επομένως 3 χ ' 4 6 χ 2 - 17χ + 20 = (χ 4 3 ) (3χ 2 - 3χ - 8)4 44

ii) χ χ 4 + 3χ '

- 8 1

3χ1 - 8 1 3χ'' 4 9χ2

9 χ : - 8 1 - 9χΓ

4 27χ 27χ - 8 1

- 27χ 4 81

χ 3 χ ' + 3χ24 9χ 4 27

Επομένως χ4 - 8 1 =(χ —3)(χ' + 3χ2 + 9χ + 27).

iii) 24χ5 + 20χ - Ι6χ2 - 15 6χ2 + 5 - 24χ5 - 20χ3

- ' - τ - ' - τ - 16χ2 - 15

16χ2

- I 5

~ 3

ο Επομένως 24χ 5 + 20χ3 - 16χ2 - 15 = (6χ2 + 5)(4\3 —— ) -

iv) 2χ4 + 4χ3 - 5χ2 + 3χ — 2 — 2χ4 —4χ3 + 6χ2

χ + 3χ - 2 - χ2 - 2χ + 3

χ ' + 2 χ - 3 2χ2 + 1

χ + i

Επομένως 2χ4 + 4 χ ' - 5χ2 + 3 χ - 2 = (χ2 + 2χ-3) (2χ 2 + 1) + χ + I

ν) Είναι (χ - 1)' = χ3 - 3χ2 f 3χ - 1 οπότε

χ + 3 - χ4 + 3χ- - 3χ2 + χ 3 χ ' - 3 χ 2 + χ

- 3χ3 +• 9χ2 - 9χ + 3 6 Χ 2 - 8 Χ + 3

Επομένως χ4 = (χ3 - 3χ2 + 3χ - Ι)(χ + 3) + 6 \ 2 - 8χ + 3 = ( χ - 1)'(χ + 3) + 6 χ 2 - 8 χ + 3

χ3 - 3χ2 + 3.x - I

vi) χ - χ 5 + χ2

λ-1

i

Επομένως χ5 + 7 = ( χ 3 - 1)χ2 + χ2 + 7 2. Έ σ τ ω Ρ(χ)= 18χ8 0-6χ5 0 + 4 χ 2 0 - 2 . Τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης

είναι υ = Ρ ( - 1 ) = 1 8 - 6 + 4 - 2 = 14 3. Το χ - 1 είναι παράγοντας του g(x) αν και μόνο αν το 1 είναι ρίζα του

g(x), δηλαδή μόνο αν g( I) = 0 » k2 + 3 k - 4 = 0

«=> k = 1 ή k = - 4

4. i) Με το σχήμα Horner έχουμε

- 1 0 75 - 2 5 0 ρ = - 10

m 10 - 1 0 0 250

- 1 10 - 2 5 0

Ε π ο μ έ ν ω ς το πηλ ίκο και το υπόλο ιπο της δ ια ίρεσης είναι π(χ)= - χ 2 + 10χ -25 και υ = 0 αντιστοίχως.

ii) Ομοίως έχουμε

1 0 0 512 ρ = - 8

β vZvy/s - 8 64 - 5 1 2

1 - 8 64 0

Ε π ο μ έ ν ω ς το πηλ ίκο και το υπόλο ιπο της δ ια ίρεσης είναι π(χ) = χ 2 - 8 χ + 64 και υ = 0 αντιστοίχως.

iii) Ομοίως έχουμε

1 0 0 0 0 1 ρ = 1

t H 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 2

Επομένως το πηλ ίκο και το υπόλο ιπο της δ ια ίρεσης είναι n(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1 και υ = 2 αντιστοίχως.

iv) Ομοίως έχουμε

- 3 0 0 0 0 ρ = 2

- 6 - 1 2 - 2 4 - 4 8

- 3 - 6 - 1 2 - 2 4 - 4 8

72

Ε π ο μ έ ν ω ς το π η λ ί κ ο κα ι το υ π ό λ ο ι π ο τ η ς δ ι α ί ρ ε σ η ς ε ίναι π(χ)= - 3 Χ 3 - 6 Χ 2 - 12Χ-24 και υ = - 4 8 αντιστοίχως.

ν) Ομοίως έχουμε

4 16 - 2 3 - 1 5 ρ = - 1/2

ϋ ΐ - 2 - 7 15

4 14 - 3 0 0

Επομένως το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι π(χ) = 4 χ 2 + 1 4 χ - 3 0 και υ = 0 αντιστοίχως.

5. Το σχήμα του Horner για το Ρ(χ) και για ρ = - 1 1 δίνει:

- 2 - 2 - 1 2409 ρ = — 1 1

Β 22 - 2 2 0 2431

- 2 20 - 2 2 1 4840

Επομένως Ρ ( - 11) = 4840.

6. i) Για ρ = - 3 έχουμε

1 0 - 2 5 0 144

m I II CL

β - 3 9 48

1 - 3 - 1 6 48 0

Δηλαδή Ρ( — 3) = 0. Επομένως το χ + 3 είναι παράγοντας του Ρ(χ).

ii) Για ρ = έχουμε

16 - 8 9 14 - 4 ρ = 1 / 4

Β 4 - 1 2 4

16 - 4 8 16 0

Δηλαδή ρ(-^-) = 0, επομένως το χ - είναι παράγοντας του Ρ(χ).

iii) Για ρ = 1 + V3 έχουμε

73

1 - 3 0 2 ρ = 1 + \β

h i p 1 + V 3 1 - V 3 - 2

1 - 2 + V3 1 - V 3 0

είναι παραγοντας Δηλαδή P(1 + V3) = 0, επομένως το χ - Ι - χ / 3 του Ρ(χ).

7. Θεωρούμε τα χ ν - y ν και x + y ως πολυώνυμα του χ. Αν P(x) = x v - y v , τό-τε για ρ = - y παίρνουμε: Ρ(ρ) = Ρ ( - y) = ( - y ) v - yv = y v - yv = 0,- αφού ν άρτιος. Επομένως το x - p = x + y είναι παράγοντας του P(x) = x v - y v .

8. i) Έχουμε Ρ(ρ) = 4ρ4 + 7ρ2 + 12>0, για κάθε pelR. Επομένως Ρ(ρ)*0 για κάθε pelR, που σημαίνει ότι το Ρ(\) δεν έχει πραγματική ρίζα ή αλ-λιώς το Ρ(χ) δεν έχει παράγοντα της μορφής χ - ρ . ii) Για κάθε pelR έχουμε Q(p)= -- 5ρ°- 3ρ"~ 4 < 0 . Επομένως Q(p)=£0

για κάθε pefR, που σημαίνει ότι to Q(x) δεν έχει παράγοντα της μορφής χ - ρ .

9. Έ σ τ ω Ρ(χ) = χ ν + 1, τότε Ρ ( - 1) = ( - 1)ν ι 1 — — 1 + 1 = 0 αφού ο ν είναι περιττός φυσικός. Αυτό σημαίνει ότι όταν το ν είναι περιττός, τότε το χ + 1 είναι παράγοντας του χ ν + 1. Το σχήμα Horner με διαιρετέος το xv + 1 και διαιρέτη το χ + 1 δίνει:

1 . 0 0 0 0 1 ρ — - ι

Β - 1 1 - 1 1 -- 1

1 - 1 1 - 1 1 0

Επομένως το πηλίκο της διαίρεσης ( χ ν + 1 ) : ( χ + 1 ) είναι το π(χ) = χ ν 1 - χ ν 2 + χ ν ' - . . . + 1 ενώ το υπόλοιπο είναι υ = ϋ. Τέλος η ταυτότητα της διαίρεσης γράφεται

χ1 + 1 = (χ + 1 )(χν • + \ " - . . . + 1)

10. iii) Θεωρούμε διαιρετέο και διαιρέτη ως πολυιόνυμα του χ και κάνου-

3 χ 2 - 2 α χ - 8 α " - 3 χ 2 + 6αχ

χ - 2 α 3 χ 2 - 2 α χ - 8 α " - 3 χ 2 + 6αχ 3χ + 4α

4 α χ - 8 α :

- 4 α χ + 8α2

0

74

ii) Θεωρούμε διαιρετέο και διαιρέτη ως πολυώνυμα του χ, και κάνου-με τη διαίρεση:

χ + αχ ' - α χ - α - χ 3 - αχ :

— α "χ - α α :χ + α '

0

χ + α χ α

1$ ΟΜΑΔΑΣ

1. Αν το ν είναι παράγοντας του μ, δηλαδή μ = ρν, pefN, τότε έχουμε χ" - α" = χ ρ ν - α ρ ν = ( χ Τ - ( α Τ

= (χν — αν)[(χν)ρ ' + (χ )" : α ν + ... + (αν)ρ '] = (χ ν-α ν)(χ ν 1 ρ" " + χν"' : 'α ν + ... + αν"' ").

Επομένως το χ μ - -α μ διαιρείται με το χν —α .

2. ί) Έστω π(χ) το πηλίκο και υ(χ) το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(χ): <αχ + β).

Τότε έχουμε Ρ(χ) = (αχ + β)π(χ) + υ(χ)

Επειδή ο διαιρέτης αχ + β είναι 1ου βαθμού το υπόλοιπο θα είναι ένα στα-θερό πολυώνυμο. Έστω υ(χ) = υ. Τότε έχουμε:

Ρ(χ) = (αχ + β)π(χ) + υ

Για χ = παίρνουμε α

p ( - ^ - ) = ( - a v + P W _ ^ ' + l ) ~ υ = ρ ( " α )

ii) Το πολυώνυμο Ρ(χ) = αχ ' + β διαιρείται με το αχ + β αν και μόνο αν β \ λ _/ ρ > = ρ(— — ) = 0 <=> α ( - —) + β = 0. y α ' ν α '

β <=> - ^ + β = 0

u <=» - β ' + α β = 0

« β ( α : - β ) = 0

<=> β = 0 ή α ^ β 2

<=> β = Ο ή α = β ή α = - β

3. Για το Ρ(χ) και για ρ = 1 έχουμε.

7s

2 - 6 5 - 3 2 Ρ = ι

2 - 4 1 - 2

2 - 4 1 - 2 0

οπότε ρ(χ) = (χ - 1 )(2χ3 - 4χ2 + χ - 2). Για το π(χ) = 2 χ 3 - 4 χ 2 + χ - 2 και για ρ = 2 έχουμε

2 - 4 1 - 2 ρ = 2

4 0 2

2 0 1 0

οπότε π(χ) = (χ-2)(2χ 2 + 1). Έτσι έχουμε P(x) = ( x - 1)(χ-2)(2χ2+ 1). Αυ-τό σημαίνει ότι το Ρ(χ) διαιρείται με το (χ - 1 )(χ — 2) και το πηλίκο της διαίρεσης είναι το 2χ 2 + 1.

4. Έχουμε 2χ3 + 3χ2 + χ = χ(2χ2 + 3χ + 1) = 2χ(χ+ 1)(χ + - y ) .

Για το πολυώνυμο Ρ(χ) είναι: • Ρ(0) = (0 + 1)2ν — 02ν — 2 - 0 - 1 = 1 - 1 = 0 , οπότε το χ - 0 = χ είναι πα-

ράγοντας του Ρ(χ). • Ρ(—1) = (—1 + 1 ) 2 ν - ( - 1 ) 2 ν - 2 ( - 1 ) - 1 = - 1 + 2 - 1 = 0 , οπότε το

χ + 1 είναι παράγοντας του Ρ(χ).

2 ' ν 2 1 \2ν / 1 ^2ν

~2> = ( — ) 2 ν - ( — ) 2 ν + 1 - 1 =0 , οπότε και το χ + — είναι παρά-

γοντας του Ρ(χ).

5ο Για να είναι το (χ - I)2 παράγοντας του Ρ(χ) αρκεί το (χ - 1) να είναι πα-ράγοντας και του Ρ(χ) και του πηλίκου π(χ) της διαίρεσης Ρ(χ): (χ - 1), δηλαδή αρκεί Ρ(1) = 0 και π(1) = 0. Έχουμε λοιπόν

Ρ(1) = 0 <=> α + β + 1 = 0 β = - 1 - α. (1) To Ρ(χ) τότε γράφεται

7 5

Ρ(χ) = αχ ν + 1 - (1 + α)χν + 1 = α χ ν + ι - α χ ν - χ ν + 1 = α χ ν ( χ - 1) — (χν — 1) = α χ ν ( χ - 1 ) - ( χ - 1)(χν~' + χν~2 + . . . + χ + 1) — (χ — 1)(αχν — χ ν~1 — χν~2 — ... — χ — 1)

Έτσι είναι π(χ) = α χ ν - χ ν _ ι - . . . - χ - 1 και επομένως π(1) = 0 <=> α - 1 — 1 - . . . - 1 - 1 = 0 ο α - ν = 0 <=> α = ν.

Τότε, λόγω της (1), είναι β = — 1 — ν.

ΛΥΣΕΙΣ 2.3 Α ΟΜΑΔΑΣ

1. Καθεμιά από τις εξισώσεις διαδοχικά γράφεται: i) 5 X 4 - 6 X 2 = 0 » Χ 2 ( 5 Χ 2 - 6 ) = 0

<=> x = 0 ή χ = V6/5 ή χ = - λ / ό / 5 .

ii) χ3 + 2 χ 2 - 9 χ - 1 8 = 0 ο χ2(χ + 2 ) -9 (χ + 2) = 0 <=> (χ + 2) (χ 2 -9) = 0 <=> (χ + 2)(χ - 3)(χ + 3) = 0 <=> χ = - 2 ή χ = 3 ή χ = - 3

iii) 3χ5 + 5χ4 = 3χ3 + 5χ2 <=> 3χ' + 5 χ 4 - 3 χ 3 - 5 χ 2 = 0 <=> 3χ 3 (χ 2 - 1) + 5χ 2 ( χ 2 - 1) = 0 « χ 2 ( χ 2 - 1)(3χ + 5) = 0

** χ = 0 (διπλή) ή χ = 1 ή χ = -1 ή χ =

iv) χ6 —64 = 0 <=> χ6 —26 = 0 (χ 3 -2 3 ) (χ 3 + 23) = 0

φ=> (χ -2 ) (χ 2 + 2χ + 4)(χ + 2) (χ 2 -2χ + 4) = 0 φφ χ = 2 ή χ = - 2

αφού τα τριώνυμα χ2 + 2χ + 4 και χ 2 - 2 χ + 4 δεν έχουν ρίζες.

ν) Χ 3 + Χ 2 - 2 = 0 x3 + x2— 1 — 1 = 0 <=φ ( χ - 1)(χ2 + χ + 1) + (χ — 1)(χ + 1) = 0 <=> (χ — 1)(χ2 + 2χ + 2) = 0 *=> χ = 1,

αφού το τριώνυμο χ2 + 2χ + 2 δεν έχει ρίζες.

vi) x3 —7x + 6 = 0 «=> χ 3 - χ - 6 χ + 6 = 0 <=» χ(χ2— 1) — 6(χ — 1) = 0 <=> χ ( χ - 1)(χ+ 1 ) - 6 ( χ - 1) = 0 <=» (χ -1 ) (χ 2 + χ - 6 ) = 0 <=> (χ — 1)(χ —2)(χ + 3) = 0 <=» χ = 1 ή χ = 2 ή χ = - 3 .

7 7

vii) (χ + 1 )3 + 1 - Ο (χ + 1)3 — — 1 <=> χ + 1 = — 1 <=> χ — — 2

viii) 7(3x + 2)~(1 - x)? - (3x + 2)(1 - x ) 3 = 0 ^ (3x + 2)( 1 - x) ; |7(3x + 2) - (1 - χ)] = 0

« (3x + 2)(x - l ) :(22x4 13) = 0

ο x^ ή χ = 1 ή χ = - 13 22

ix) χ3 + 8 = 7(x2 + 5x + 6) + 9x : - 36 «=> (x + 2)(x : —2x f 4) = 7(x + 2)(x + 3) f 9 ( x - 2 ) ( x + 2) 4=> (χ + 2)[χ2 - 2x + 4 - 7x - 21 - 9x + 18] = 0 <=> (x + 2)(x2 — 18x + 1) = 0 <=> χ = --2 ή χ = 9 + 4V5 ή χ = 9 - 4 \ ί 5 .

χ) χ ' - 3 χ 3 + 6 χ - 4 = 0 <=» χ 4 - 2 3 χ ( χ 2 - 2 ) = 0 <=> (χ2 - 2)(χ : + 2) - 3 χ ( χ : - 2 ) = () <=> ( Χ 2 - 2 ) ( Χ 2 - 3 Χ + 2) = 0

«• (χ-/2)(χ+/2χ χ- ΐχ χ-2)=0 <=> χ = V2 ή χ = — Λ/2 ή χ = 1 ή

2. ϊ) Οι πιθανές ακέραιες ρίζες της εξίσωσης είναι οι διαιρέτες ± 1 , ± 2 του σταθερού όρου 2. Με το σχήμα Horner για ρ = 1 και ρ = - 1 βρίσκου-με Ρ(1)= 1 Φθ και Ρ ( - 1)= - 3 ̂ =0, οπότε οι 1 και - 1 δεν είναι ρίζες της εξίσωσης, ενώ για ρ = 2 έχουμε:

1 - 3 1 2 ρ = 2

ϋ ^ § 2 - 2 - 2

1 - 1 - 1 0

Είναι δηλαδή Ρ(2) = 0, οπότε το 2 είναι ρίζα της εξίσωσης. Τέλος για ρ = - 2 βρίσκουμε Ρ ( - 2 ) = 20=^0, οπότε το - 2 δεν είναι ρίζα της εξίσωσης.

Επομένως η μόνη ακέραια ρίζα της εξίσωσης είναι το 2.

ii) Οι πιθανές ακέραιες ρίζες της εξίσωσης είναι ± 1 , ± 2 , ± 4 . Με το σχήμα Horner για ρ = 1 έχουμε

3 8 - 1 5 4 ρ = 1

m 3 11 - 4

3 11 - 4 0

Δηλαδή το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης. Επομένως η εξίσωση γράφεται: ( χ - 1)(3χ2+ 11 χ — 4) = 0 <=> χ — 1 = 0 ή 3χ2 + 1 1 χ - 4 = 0

1 ο χ = 1 ή χ = - 4 ή χ =

Επομένως οι ακέραιες ρίζες είναι οι 1 και - 4 . 3

iii) Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι: ± 1 , ±2 , ±3 , ±4 , ± 6 , ±12. Με το σχήμα του Horner βρίσκουμε ότι οι ± 1 , 2 δεν είναι ρίζες, ενώ για ρ = - 2 το σχήμα του Horner δίνει:

1 0 - 1 0 - 1 2 •ό ii i to

- 2 4 12

1 - 2 - 6 0

Δηλαδή το - 2 είναι ρίζα της εξίσωσης. Επομένως η εξίσωση γράφεται: ( χ + 2) · ( Χ 2 - 2 Χ - 6 ) = 0 <=> χ + 2 = 0 ή χ 2 - 2 χ - 6 = 0

«=> χ = - 2 ή χ = 1 - V 7 ή x = l + V 7 . Επομένως η μόνη ακέραια ρίζα είναι το - 2 .

ίν) Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι ±1 , ±2 , ±3 , ±6 . Επειδή όμως οι συντελεστές της εξίσωσης είναι όλοι θετικοί, οι θετικές ρίζες αποκλείον-ται. Για το λόγο αυτό δοκιμάζουμε μόνο για αρνητικές ρίζες. Το σχήμα Horner για ρ = - 1 δίνει:

1 2 7 6 ρ = - 1

ϋ ϋ - 1 - 1 - 6

1 1 6 0

Δηλαδή το - 1 είναι ρίζα της εξίσωσης. Επομένως η εξίσωση γράφεται: (Χ + l)(x2 + x + 6) = 0 <=> χ + 1 = 0, |αφού το χ 2 + χ + 6 έχει Δ = — 2 3 < θ |

<=> χ = - 1. 79

Επομένως η μόνη ακέραια ρίζα της εξίσωσης είναι το - 1 .

3 . I ) Οι π ι θ α ν έ ς α κ έ ρ α ι ε ς ρ ίζες ε ίνα ι ± 1 , ± 2 . Αν θέσουμε Ρ ( Χ ) = Χ 4 + 3 Χ - 2 , θα είναι Ρ ( 1 ) = 2 * 0 , Ρ ( - 1 ) = - 4 * 0 , Ρ ( 2 ) = 2 0 * 0 και Ρ ( - 2 ) = 8 * 0 . Επομένως η εξίσωση δεν έχει ακέραιες ρίζες.

ii) Οι π ιθανές α κ έ ρ α ι ε ς ρίζες ε ίναι : ± 1 , ± 5 . Αν θέσουμε Ρ(χ) = 2 χ 4 - 3 χ 3 + 6 χ 2 - 2 4 χ + 5 και υπολογίσουμε τα Ρ(1), Ρ( — 1), Ρ(5), Ρ ( - 5 ) , βρίσκουμε ότι κανένα από αυτά δεν είναι μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση δεν έχει ακέραιες ρίζες.

4. i) Έχουμε x3 + 2x2 + 3x + 6 > 0 & χ2(χ + 2) + 3(χ + 2 ) > 0

(χ + 2)(χ2 + 3 ) > 0 «=• χ + 2 > 0 , αφού χ2 + 3 > 0 για κάθε xeIR <=> χ > - 2 .

ii) Οι πιθανές ακέραιες ρίζες του πολυωνύμου Ρ(χ) = χ 4 - 6 χ 3 + 2 2 χ 2 - 3 0 χ +13 είναι ± 1 , ±13 . Με το σχήμα Horner για ρ = 1 έχουμε

1 - 6 22 - 3 0 13 ρ = 1

m 1 - 5 17 - 1 3

1 - 5 17 - 1 3 0

οπότε P(x) = ( x - 1 ) ( χ 3 - 5 χ 2 + 1 7 χ - 13). Ομοίως για το πολυώνυμο π(χ) = χ 3 - 5 χ 2 + 1 7 χ - 13 και για ρ = 1 έχουμε:

1 - 5 17 - 1 3 ρ = 1

1 - 4 13

1 - 4 13 0

οπότε π(χ) = ( χ - 1 ) ( χ 2 - 4 χ + 13) και η ανίσωση γράφεται: ( χ - 1 ) 2 (χ 2 -4χ + 1 3 ) ^ 0 <=> ( χ - 1 ) 2 ^ 0 , [αφού χ 2 - 4 χ + 1 3 > 0 |

<=> χ = 1.

Αρα η ανίσωση έχει μοναδική λύση την x = 1.

80

iii) Έ χ ο υ μ ε x 3 - 3 x + 2 < 0 «• x 3 - X - 2 X + 2 < 0

ο x ( x 2 - l ) - 2 ( x - 1 ) < 0 <=» ( x - l)[x(x+ 1) — 2] < 0 «=> ( x - 1)(X2 + X - 2 ) < 0

( x - l)2(x + 2 ) < 0 <=> x + 2 < 0 , [αφού (x — l ) 2 > 0 για κάθε xeIR, με x*=l] ο x < - 2 .

iv) Αν εργαστούμε με το σχήμα του Horner για ρ = - 1 βρίσκουμε:

1 - 1 1 - 3 - 6 ρ — - ι

fH - 1 2 - 3 6

1 - 2 3 - 6 0

οποτε η ανίσωση γράφεται ( χ + 1)(Χ3-2Χ2 + 3 Χ - 6 ) ^ 0

<=» (χ + 1)[χ 2(χ — 2) + 3(χ — 2)] ^ 0 « ( χ + 1 ) ( χ - 2 ) ( χ 2 + 3 ) ^ 0 ο ( χ + 1 ) ( χ - 2 ) ^ 0 , <=> χ ^ - 1 ή χ > 2 .

[αφού χ 2 + 3 > 0 για κάθε xeIR].

i) Τα σημεία τομής έχουν ως τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης 3 Χ 3 - 3 Χ 2 - 5 Χ - 2 = 0.

Οι πιθανές ακέραιες ρίζες της εξίσωσης είναι ±1 , ± 2 . Με το σχήμα Hor-ner βρίσκουμε ότι: f ( l ) * 0 , f ( - 1 )*0 , ενώ για ρ = 2 έχουμε

3 - 3 - 5 - 2 ρ = 2

tH 6 6 2

3 3 1 0

οπότε f(x) = (x-2) (3x 2 + 3x+ 1). Το τριώνυμο όμως 3x2 + 3 x + 1 δεν έ-χει ρίζες οπότε η γραφική παράσταση της f τέμνει τον x ' x στο σημείο (2, 0) .

ii) Ό π ω ς και στην περίπτωση ΐ)αρκεί να λύσουμε την εξίσωση 4 χ 3 - 3 χ - 1 = 0 . Αυτή διαδοχικά γράφεται: 3x3 —3x + x 3 — 1 = 0 <=> 3χ(χ2— 1) + (χ— 1)(χ2 + χ + 1) = 0

<=> ( χ - 1)[3χ2 + 3χ + χ 2 + χ + ΐ] = 0 <=> ( χ - 1 ) ( 4 χ 2 + 4 χ + 1 ) = 0 « ( χ - 1 ) ( 2 χ + 1 ) 2 = 0

1 1 ή χ = " 2 (διπλή)

81

Επομένως η γραφική παράσταση της g τέμνει τον χ ' χ στα σημεία (1,0)

και εφάπτεται αυτού στο σημείο (- 0)

6. Αρκεί να βρούμε τα xeIR για τα οποία ισχύει χ4~5Χ3 + 3Χ2 + χ < 0 <=> Χ(Χ3-5Χ2 + 3Χ+1)<0

χ ( χ 3 - χ 2 - 3 χ 2 + 3 χ - χ 2 + 1 ) < 0 «=> x jx 2 (x- 1 ) - 3 χ ( χ - 1) — (χ — 1)(χ+ 1)] < 0 <=> χ(χ — 1 )(χ2 — 4χ — 1J < 0 «=> χ ( χ - 1 )(χ — 2 — λ/ 5 )(χ — 2 -(- V 5 ) < 0

Από την τελευταία βρίσκουμε το σχήμα:

ΤΤ77

• \ Ί S 0 ' 2 + V 5

Επομένως οι λύσεις είναι όλα τα χ, με 2 - V5 < χ < 0 ή 1 < χ < 2 + Vs .

7. i) Αν θέσουμε x4 = y η εξίσωση γίνεται y? - 15y — 16 = 0 και έχει ρίζες y, = 16 και y2= — 1. Επομένως: • Για y = 16 έχουμε χ4 = 16 «=» χ— ± 2 • Για y= - 1 έχουμε x 4 = - 1, που είναι αδύνατη. ii) Αν θέσουμε (χ - l)3 = y η εξίσωση γίνεται y 2 - 9 y + 8 = 0 και έχει ρί-

ζες y, = 1 και y2 = 8. Επομένως:

• Για y = 1 έχουμε ( x - I)5 = 1 <=> χ — 1 = 1 <=» χ = 2 • Για y = 8 έχουμε (x — 1)3 = 8 «=> χ - 1 = 2 «=» χ = 3

iii) Αν για χ * - 1 θέσουμε ^ εξίσωση γίνεται 6y2+ 5 y - 6 = 0

3 2 και έχει ρίζες y, = - — και y2= —. Επομένως η αρχική εξίσωση γράφεται:

χ η χ +1 2 χ 4-1 3

<=> 2χ = - 3χ - 3 ή 3χ = 2χ + 2

- 3 , ο χ = ζ η χ = 2

82

8. Έστω f(x) = x ' + 5 χ - 3 Τότε 'f(O) = - 3 < 0

J ( l ) = 3 > 0

Αρα η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0,1)

Υπολογίζουμε, τις τιμές f(0,l), f(0,2),...,f(0,9) και βρίσκουμε.:

' 1(0,5) = - 0,375 < 0

Γ(0,6) = 0,216 > 0

Ά ρ α η εξίσωση έχει μία ρίζα στο διάστημα (0,5, 0,6)

Ομοίως τις τιμές f(0,5l), f(0,52), ... f(0,59) και βρίσκουμε:

Τ ( 0 , 5 6 ) ~ - 0 , 0 3 < 0

f(0,57)i0,03 > 0

Αρα η εξίσωση έχει μια ρίζα στο διάστημα (0,56, 0,57). Είναι δηλαδή 0 , 5 6 < ρ < 0 , 5 7 και άρα ρ = 0,6.

Β ΟΜΑΔΑΣ

1. ί) Αν πολλαπλασιάσουμε με 10 βρίσκουμε την ισοδύναμη εξίσωση Χ3 + 5Χ2 + 2Χ-8 = 0 η οποία έχει ακέραιους συντελεστές. Οι πιθανές α-κέραιες ρίζες είναι ±1, ±2, ±4, ±8 . Με το σχήμα Horner έχουμε:

1 5 2 - 8 Ρ = ι

Hi 1 6 8

1 6 8 0

οποτε η εξίσωση γραφεται: (Χ - 1)(Χ: + 6Χ + 8) = 0

και έχει ρίζες x, = 1, χ2 = - 2, χ, = - 4. ii) Αν πολλαπλασιάσουμε με το 6 βρίσκουμε την ισοδύναμη εξίσωση

6 χ 3 - 5 χ : - 4 4 χ + 15 = 0 Οι πιθανές ακέραιες ρίζες της εξίσωσης είναι ±1, ±3, ±5 , ±15. Με την βοήθεια του σχήματος Horner βρίσκουμε ότι το 3 είναι ρίζα της εξίσωσης. Συγκεκριμένα έχουμε:

χ {

6 - 5 - 4 4 15 ρ = 3

Β 18 39 - 1 5

6 13 - 5 0

οπότε η εξίσωση γράφεται ( χ - 3 ) ( 6 χ 2 + 13χ — 5) = 0

και έχει ρίζες χ, = 3, χ2 = -2,5, χ3 = j

2. Το Ρ(χ) έχει παράγοντα το x + 1, αν και μόνο αν Ρ ( - 1 ) = 0 « ( - 1 ) 4 + α ( - 1 ) 3 + β ( - 1 ) 2 - 1 6 ( - 1 ) - 1 2 = 0

«=» 1 — α + β + 16 — 12 = 0 α - β = 5 (1)

Το Ρ(χ) έχει παράγοντα το χ - 2 , αν και μόνο αν Ρ(2) = 0 24 + α · 2 3 + β · 2 2 - 1 6 · 2 - 1 2 = 0

« 16 + 8α + 4 β - 3 2 - 12 = 0 <=> 8α + 4 β - 2 8 = 0

2α + β = 7 (2) Α π ό τ ι ς (1) κα ι (2) π α ί ρ ν ο υ μ ε α = 4 κα ι β = — 1, ο π ό τ ε Ρ(χ) = χ 4 + 4χ3 —χ2 — 16χ— 12 Με το σχήμα Horner για ρ = - 1 παίρνουμε

1 4 - 1 - 1 6 - 1 2 Ρ = - ι

Hi - ι - 3 4 12

1 3 - 4 - 1 2 0

οπότε P(x) = (x+ 1)(χ3 + 3 χ 2 - 4 χ - 12) Ομοίως με το σχήμα Horner για το πολυώνυμο Χ 3 + 3 Χ 2 - 4 Χ - 12 και για ρ = 2 παίρνουμε:

1 3 - 4 - 1 2 Ρ = 2

Β 2 10 12

1 5 6 0

οπότε χ 3 + 3 χ 2 - 4 χ - 12 = ( χ - 2 ) ( χ 2 + 5χ + 6), και άρα Ρ(χ) = ( χ + 1 ) ( χ - 2 ) ( χ 2 + 5χ + 6) και η εξίσωση Ρ(χ) = 0 θα έχει ρίζες Χ, = — ι, Χ2 = 2, Χ 3 = - 2 και x4 = - 3 .

8 4

3. Οι δυνατές ακέραιες ρίζες είναι ± 1 , ± 3 . Για χ = 1 έχουμε 1 - 1 + k + 3 = 0 <=> k = - 3 . Για x = - 1 έχουμε - 1 - 1 - k + 3 = 0 <=» k = 1 Για x = 3 έχουμε 2 7 - 9 + 3 k + 3 = 0 *=> k = —7 Για χ = - 3 έχουμε - 2 7 - 9 - 3 k + 3 = 0 ο k = - l l Επομένως οι τιμές του k είναι - 3 , 1, - 7 , - 11.

4. Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι ± 1 , ± 2 .

0 Για χ = 1 έχουμε 1 + 2λ - 2

ρίζα της εξίσωσης.

Για χ = - 1 έχουμε ( - 1)ν — 2λ — 2 = 0 <=>

λ = — ί Ζ, οπότε το 1 δεν είναι

λ = -, αν ν άρτιος

t λ = ——, αν ν περιττός

δηλαδή λ & Ί , οπότε το - 1 δεν είναι ρίζα. Ανάλογα αποδεικνύουμε ότι οι - 2 και 2 δεν είναι ρίζες. Επομένως η ε-ξίσωση δεν έχει ακέραιες ρίζες.

5. Το χ - 1 είναι παράγοντας του Ρ(χ) αν και μόνο αν Ρ(1) = 0 <=» 1—5 — 10 + k = 0 <=> k — 14 = 0 ο k = 14.

Για την τιμή αυτή του k είναι: Ρ(χ) = χ 6 - 5 χ 4 - 1 0 χ 2 + 1 4 .

Αν θέσουμε χ2 = y βρίσκουμε το πολυώνυμο Q(y) = y 3 - 5 y 2 - 10y +14 για το οποίο από το σχήμα Horner, για ρ = 1 παίρνουμε:

1 - 5 - 1 0 14 ρ = ι

iff 1 - 4 - 1 4

1 - 4 - 1 4 0

οπότε Q(y) = ( y - 1 )(y2 — 4y — 14) και άρα P(x) = (x2— 1)(Χ4-4Χ2— 14) = (Χ - 1)(Χ+ 1)(χ4 —4Χ2— 14). Επομένως:

Ρ(χ) = 0 « (χ — 1)(Χ+ 1)(χ4 —4Χ2— 14) = 0 <=> χ = 1 ή χ = - 1 ή χ " - 4 χ 2 - 14 = 0

Αν θέσουμε χ 2 = ω η τελευταία εξίσωση γίνεται ω 2 - 4 ω - 14 = 0 και έχει ρίζες g>| = 2 + 3V2 και ω2 = 2 - 3 \ / 2 . _ Από αυτές δεκτή είναι μόνο η θετική 2 + 3λ/2, οπότε

Χ 2 = 2 + 3Λ/2 <=> χ = ^Ι2 + 3\ίϊ ή Χ = - V 2 + 3V2

Επομένως οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης είναι:

ι, - ι, - V 2 + 3V2 , V2 + 3V2

85

6. Ο όγκος του κουτιού θα είναι V = (9 - 2χ)(5 - 2χ)χ, οπότε έχουμε την εξί-σωση (9 - 2χ)(5 - 2χ)χ = 21 που γράφεται ισοδύναμα ως εξής:

4 x ' - 2 8 x J + 4 5 χ - 2 1 - 0 Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι ± 1, ±3 , ±7 , ±21. Το σχήμα Horner για ρ = 1 δίνει

4 - 2 8 45 - 2 1 Ρ= ι

4 - 24 21

4 - 2 4 21 0

οποτε η εξίσωση γραφεται: (χ — 1 )(4χ2 24χ + 21) 0

και έχει μοναδική ακέραια ρίζα το I. Επομένως x = I din και οι διαστά-σεις του κουτιού είναι 3, 7, 1

Έχουμε 3t4 + 2 t ' - 3 0 0 t - 2 0 0 = 0 <=* ι (3t +2) l00(3t + 2) = 0

<=> (3t + 2)(t' - 100) - ο

<=> t = - y ή t J = 100

<=> t -• ι = / l ( )0 .

Η ρίζα - y δεν είναι δεκτή αφού πρέπει 1 ^ 0 . Επομένως t =V 100 .

Παρατηρούμε ότι 64= 4 ' < 100 < 5 =125 97,3^(4,6) ' < 100 < ( 4 , 7 ) ' ^ 103,8 99,8—(4,64)1 < 100 < (4,65)' ^ 100,5

Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι ι \ 100 ^ 4 , 6 οπότε η μέγιστη συγκέντρωση είναι:

68,08 3 (4,6)"+ 4.6 100 + 50 150

-0,45

8. Ο όγκος του διπλανού σχήματος είναι ίσος με x : (x+ 1 ) c m Ε π ε ι δ ή ο όγκος αυτός είναι ίσος με 36cm1 έχουμε: x : ( x + l ) = 36 χ ' + χ : - 3 6 = 0

<=> χ ' - 2 7 + χ : - 9 = 0 « ( χ - 3 ) ( χ : + 3χ + 9) + (χ -3) (χ + 3) = 0 <=> (χ-3)(χ* + 4χ+ 12) = 0 <=> χ - 3 = 0 , αφού το χ : + 4χ + 12 δεν έχει ρίζες. <=> χ = 3m.

s(i

9. Το παγόβουνο λιώνει τελείως όταν γίνει V = 0. Για να βρούμε επομένως μετά πόσο χρόνο θα λιώσει, αρκεί να λύσουμε την εξίσωση

* (2000 - ΙΟΟν + 20ν2 - ν3) = 0 «=> ν 3 - 2 0 ν 2 + Ι Ο Ο ν - 2 0 0 0 = 0

<=> ν2(ν - 20) + 100(ν - 20) = 0 <=» (ν — 20)(ν2 + 100) = 0 <=> ν = 20 ημέρες.

10. Η μπάρα θα επανέλθει στην αρχική της θέση όταν το d γίνει μηδέν. Αρ-κεί λοιπόν να λύσουμε την εξίσωση

15t(t3 — 6t — 9) = 0 <=* t = 0 ή t3 — 61 — 9 = 0 Η ρίζα t = 0 αντιστοιχεί στη στιγμή της πρόσκρουσης, οπότε ο χρόνος που ζητάμε θα είναι ρίζα της εξίσωσης

13 — 6t — 9 = 0 •=> t3 - 9t + 3t — 9 = 0 «=» t(t - 9) + 3(t - 3) = 0 <=> ( t -3 ) ( t 2 + 3t+ 3) = 0 <=> t = 3 sec, αφού η t2 + 3l + 3 = 0 δεν έχει ρίζες.

11. Πρέπει y -t 4x ζ 108 και χ 2y = 11664.

11664 11664 , ^ 1 Λ Ο οποτε y = γ— και Τ — h 4 x < 1 0 8 . χ χ*

Η ανίσωση γράφεται:

4 χ 3 - 1 0 8 χ 2 + 1 1 6 6 4 < 0 <=> χ 3 - 2 7 χ 2 + 2916<0 <=» χ 3 - 1 8 χ 2 - 9 χ 2 + 1 8 · 1 6 2 ^ 0 <=> χ 2 ( χ - 1 8 ) - 9 ( χ 2 - 3 2 4 ) ^ 0 <=» χ 2 ( χ - 1 8 ) - 9 ( χ - 1 8 ) ( χ + 1 8 ) ί ζ Ο <=> ( χ - 1 8 ) ( χ 2 - 9 χ - 1 6 2 ) ^ 0 <=> ( χ - 18)2(χ + 9 Κ 0 «=> χ = 18 ή χ + 9 ^ 0 «=> χ = 18 ή χ ^ — 9

Η χ ^ - 9 δεν ισχύει αφού x θετικό, άρα χ = 18cm, οπότε

11664 1 8 "

= 36cm.

12. i) Έ σ τ ω y ^ x + β η εξίσωση της ευθείας. Επειδή τα Α( 1,2) και

β ( - ί - 4 - ) ανήκουν στην ευθεία αυτή, έχουμε: 1 1 2 = λ + β και - — = λ — + β «=» β + λ = 2 και 2β + λ = - 1

<=> λ = 5 και β = - 3 . Επομένως η εξίσωση της ευθείας είναι y = 5 x - 3 .

8 7

ii) Τα σημεία τομής των δύο γραμμών, αποτελούν τη λύση του συ-στήματος

χ3 + χ2 = 5 χ - 3 'y = x3 + x2

Ly = 5χ - 3 y = 5χ - 3

Επομένως τα χ των σημείων τομής επαληθει υν την εξίσωση χ3 + χ2 = 5 χ - 3 <=> χ3 + χ 2 - 5 χ + 3 = 0 .

iii) Με το σχήμα Horner έχουμε: x3 + x2 - 5χ + 3 = 0 ι* (χ — 1)(χ2 + 2χ —3) = 0

«=» χ = 1 [διπλή ρίζα] ή χ = - 3 . Για χ = - 3 παίρνουμε y = 5 ( - 3 ) - 3 = - 18. Επομένως οι συντεταγμέ-νες του Γ είναι ( - 3 , - 18).

13. α) Η εξίσωση του προβλήματος είναι χ(χ+1)(χ + 2) = 200 χ3 + 3χ2 + 2 χ - 2 0 0 = 0

Έ σ τ ω f(x) = χ3 + 3χ2 + 2χ - 200.

Τότε: f f(4) = — 8 0 < 0

. Ά ρ α 4 < χ < 5 .

Επίσης

U ( 5 ) = 1 0 > 0

-f(4,9)= —0,52<0

^ f(5) — 10 > 0 . Ά ρ α 4 , 9 < χ < 5

(lml = 1cm3)

rf(4,90)= - 0 , 5 2 < 0 και . Ά ρ α 4 , 9 0 < χ < 4 , 9 1

1000

U(4,91) = 0 , 5 2 > 0

Επομένως χ = 4,9cm = 49mm.

β) Η εξίσωση του προβλήματος είναι

nr 2(r+ 10)= 1000 « r3 -4-1 Or2 = /ι

<=> r3 + 1 Or2 — 318 = 0

Έ σ τ ω f(r) = r 3 + 1 Or2 — 318.

f(4)= — 9 4 < 0

f(5) = 57 > 0

' f(4,6)= — 9 , 0 7 < 0

= 318 (1 lit = 1000cm3)

Τότε Ά ρ α 4 < r < 5

Επίσης J(4,7) = 6 , 7 2 > 0

. Ά ρ α 4 , 6 < r < 4 , 7

S<S

'f(4,65)= —1,24 < 0 και . Ά ρ α 4 , 6 5 < r < 4 , 6 6

J(4,66) = 0 ,34>0 Επομένως r = 4,7cm = 47mm

γ) Η εξίσωση του προβλήματος είναι

y ( h + 5)2h = 250 ο (h 2 + 10h + 25)h = 750 (lml = lcm3)

<=> h3 + 10h2 + 25h-750 = 0 Έστω f(h) = h 3 +10h 2 + 25h-750

ff (6) = — 2 4 < 0 Τότε . Ά ρ α 6 < h < 7

.f(7) = 258>0 rf(6,0)= — 2 4 < 0

Επίσης j . Ά ρ α 6 , 0 < h < 6 , l Cf(6,l)= 1,58 > 0

[ f(6,09)= - 101 < 0 . Ά ρ α 6 , 0 9 < h < 6 , 1 0

f(6,10)= 1,58 > 0 Τέλος

Επομένως h = 6,lcm = 61mm.

ΛΥΣΕΙΣ 2.4

Α' ΟΜΑΔΑΣ

1. i) Η εξίσωση ορίζεται για κάθε xeIR με χ * 0 και χ * 1 . Για αυτές τις τιμές του χ η εξίσωση γράφεται χ (3χ 2 - 1 )^2 = ( χ - 1)(χ2-3χ + 2) <=» 3 χ 3 - χ - 2 = χ 3 - 3 χ 2 + 2 χ - χ 2 + 3 χ - 2

<=> 2χ3 + 4 χ 2 - 6 χ = 0 ο 2χ(χ2 + 2 χ - 3 ) = 0 <=» χ2 + 2 χ - 3 = 0, [αφούχ^Ο] <=> χ = - 3 ή χ = 1 <=>χ=-3 , [αφού χ # 1 . ]

ii) Η εξίσωση ορίζεται για κάθε χ e IR με χ Φ1 και χ Φ - 1. Για αυτές τις τιμές του χ η εξίσωση γράφεται: χ2(χ+1)-2(χ-1)=4 <=• χ3+χ2-2χ-2=0

ο χ2(χ + 1 ) - 2 ( χ + 1 ) = 0 (χ+ 1 )(χ2 — 2) = 0

<=> χ = - 1 ή χ = - V 2 ή \ = \ ί ϊ .

Από αυτές δεκτές είναι μόνο οι - V2, λ/2 αφού χ Φ - 1.

2. Η ανίσωση ορίζεται για κάθε xeIR με χ * 0 και χ*= -γ. Για αυτές τις τι-μές του χ γράφεται:

χ 2 + _ 1 _ - 1 ^ ο « χ 2 (2χ -1 )χ+2χ -1 >, 0

2χ-1 χ(2χ—Ι) χ(2χ— 1)

- χ <=> χ ( χ 3 + 1 ) ^ 0 « χ(χ+ 1) (χ 2 -χ + 1 ) ^ 0 <=> χ(χ+ 1 ) ^ 0

° -Ι- ή ( Χ > ο .με * φ - ) . 3. Η εξίσωση γράφεται 2

2ημ 3χ+ 1 - η μ 2 χ + 2 η μ χ - 2 = 0 «=» 2ημ 3 χ -ημ 2 χ + 2 η μ χ - 1 = 0 <=> ημ2χ(2ημχ - 1) + 2ημχ - 1 = 0 <=> (2ημχ-1) (ημ 2 χ+1) = 0 *=> 2 η μ χ - 1 = 0

1 <=> ημχ = —

« η μ χ = η μ —

Ά ρ α χ - 2 κ π + — ή x = 2krt + - ^ ~ , k e Z . ο 6

4. i) Η εξίσωση ορίζεται για κάθε χ € [Ο, +<»). Για αυτά τα χ έχουμε:

S 7 = -4χ «=» χ = 0 (αφού -4χ < 0)

Γ2 ii) Η εξίσωση ορίζεται για κάθε χ €

έχουμε

+ ο ο 3'

. Για αυτά τα x διαδοχικά

V 3χ - 2 = 4 3 χ — 2 = 16

(υψώνουμε στο τετράγωνο) Αυτή έχει ρίζα το x = 6. Με επαλήθευση διαπιστώνουμε ότι το 6 είναι και ρίζα της αρχικής.

iii) Η εξίσωση είναι αδύνατη αφού V 5 x - 1 είναι θετικό, ενώ το - 4 εί-ναι αρνητικό.

>10

iv) Η εξίσωση ορίζεται για κάθε xeIR με χ + 3 > 0 , δηλαδή για κάθε χ ^ - 3. Με αυτό τον περιορισμό έχουμε διαδοχικά:

Vx + 3 = x 4 1 χ + 3 = χ : + 2χ+1 [Υψώσαμε στο τετράγωνο]

χ2 + χ - 2 - 0 χ = - 2 ή χ - 1

Από τις ρίζες αυτές, όπο>ς διαπιστώνουμε με δοκιμές, ρίζα της αρχικής εξίσωσης είναι μόνο ή x = 1.

ν) Η εξίσωση ορίζεται για κάθε xe IR με χ + 3 ^ 0 και 1 0 - χ ^ 0 , δη-λαδή για κάθε x e | - 3 , 10|. Με αυτό τον περιορισμό έχουμε διαδοχικά

Vx + 3 = V l 0 - x + l x + 3= 10-Χ+ 1 + 2 \ / ΐ 0 - χ

2χ - 8 = 2 V 1 0 - χ χ - 4 = \ 10 - χ

Χ 2 - 7 Χ + 6 = 0 [Υψώσαμε στο τετράγωνο] χ = 1 ή χ = 6

Από τις ρίζες αυτές, όπως διαπιστώνουμε με δοκιμές, ρίζα της αρχικής εξίσωσης είναι μόνο η x = 6.

vi) Η εξίσωση ορίζεται για xeIR με χ ^ Ο και χ - 2 0 > 0 δηλαδή, για χ ^ 2 0 . Με αυτόν τον περιορισμό διαδοχικά έχουμε

( V x - 2 0 )2 = ( 1 0 - V x ) 2

χ - 20 = 100 - 2oVχ + χ 20 V χ = 120

Vx =6 χ = 36.

Η τιμή 36 ικανοποιεί τον περιορισμό x ^ 2 0 και αν θέσουμε στην αρχική χ = 36, αυτή επαληθεύεται. Επομένως το 36 είναι ρίζα και της αρχικής εξίσωσης. νί») Η εξίσωση ορίζεται για κάθε xe(0, 4 *>). Με αυτόν τον περιορισμό

διαδοχικά έχουμε 2x = x - 8 4 6Vx (1)

χ 4 8 = 6 V χ

(χ 4 8)2= 36χ

χ2 4 16χ + 64 = 36χ

χ 2 - 2 0 x 4 64 = 0 χ = 4 ήχ = 16

Οι τιμές 4 και 16 ικανοποιούν τον περιορισμό χ > 0 και επαληθεύουν την αρχική εξίσωση. Ά ρ α είναι ρίζες της.

<>1

viii) Η εξίσωση ορίζεται για χ e IR με χ ^ 0 και χ > - 1 δηλαδή, για χ ^ 0. Με αυτόν το περιορισμό διαδοχικά έχουμε:

V1 +2Vx =Vx + 1 |υψ(όνουμε στο τετράγωνο] 2\/χ =χ

4χ = χ2

χ(χ - 4) = 0 χ = 0 ή χ = 4

Οι τιμές 0 και 4 ικανοποιούν τον περιορισμό χ ^ Ο και αν θέσουμε στην αρχική, την επαληθεύουν. Είναι επομένως ρίζες της.

Β' ΟΜΑΔΑΣ

1. i) Η ανίσωση ορίζεται για χ ε Κ μ ε 2 χ + 3 ^ 0 και 1 - 3 x ^ 0 δηλαδή για 3 1 —— ^ χ ^ — . Με αυτόν τον περιορισμό διαδοχικά έχουμε:

λ/2χ + 3 < V l - 3 x (V2x + 3 ) 2 < ( V l - 3 x )2

<=> 2x + 3 < l - 3 x 4=> 5χ< - 2

^ - 2 «=> χ < —jj—

και .λόγω του περιορισμού βρίσκουμε ως λύσεις της ανίσωσης τα xeIR

3 ^ - 2 με - — ζ χ <

2 5

ii) Η ανίσωση ορίζεται για κάθε xeIR με χ ^ 3 . Διακρίνουμε τις περι-πτώσεις: • Α ν χ - 5 < 0 « χ < 5 , τότε η ανίσωση ισχύει για κάθε xeIR με 3 ̂ χ < 5 . (γιατί το Ιο μέλος της είναι θετικό). • Α ν χ - 5 ^ 0 <=> χ ^ 5 , τότε διαδοχικά έχουμε

V x - 3 > x - 5 <=» χ - 3 ^ ( χ - 5 ) 2

<=> χ - 3 > χ 2 - 1 0 χ + 25 «=* χ 2 - 1 1 χ + 2 8 < 0 «=> 4 < χ < 7 <=> 5 ^ χ < 7 , επειδή χ ^ 5 .

2. i) Η εξίσωση ορίζεται για κάθε xe [θ, + α>). Αν θέσουμε Vx = y η εξίσω-ση γίνεται y2 + 3 y - 10 = 0 και έχει ρίζες y, = 2 και y2= - 5 .

Επειδή y = Vx ^ 0 , δεκτή είναι μόνο η y, = 2, οπότε Vx = 2 δηλαδή x = 4.

9 2

Η τιμή 4 ικανοποιεί τον περιορισμό χ ^ 0 και επαληθεύει την αρχική εξί-' σωση, άρα είναι ρίζα της. ii) Η εξίσωση ορίζεται για κάθε x e[0, +°°). Αν θέσουμε Vx = y η ε-ξίσωση γίνεται y 2 + y - 6 = 0 και έχει ρίζες y, =2 και y 2 = - 3 . Ε-πειδή y = yfx >0, δεκτή είναι μόνο η y - 2 , οπότε Vx = 2 δηλαδή χ = 8 . Η τιμή x = 8 ικανοποιεί τον περιορισμό χ >0 και επαληθεύει την αρχική εξίσωση, άρα είναι ρίζα της.

3. Ι) Αν θέσουμε x2+x-2 = y (1) η εξίσωση γράφεται:

y-2 = / y (2)

Η εξίσωση αυτή ορίζεται εφόσον y £ 0. Με τον περιορισμό αυτό από την εξίσωση (2) προκύπτει η εξίσωση (y-2)2 = y η οποία γράφεται διαδοχικά:

y2-4y+4 = y «• y2-5y+4 = 0 «•» y=l ή y=4 Από τις τιμές αυτές μόνο η y=4 είναι ρίζα της (2). Ετσι, λόγω της (1), έχουμε:

x2+x-2 = 4 «=• χ2+χ-6 = 0 «=· χ = -3 ή χ = +2 ii) Η εξίσωση αυτή ορίζεται εφόσον χ-1>Φ και χ-4 >0 και χ+4 >0, δηλαδή χ>4. Με τον περιορισμό αυτό από την εξίσωση αυτή προκύπτουν διαδοχικά οι εξισώσεις:

(•/ χ-1 +•/ χ-4 )2 = (•/ χ+4 )2

χ-1+χ-4+2ι/ ( χ - ΐ χ χ - 4 ) = χ+4

2'Ί (χ-1Χχ-4) = 9-χ

(2"/ ( χ - ΐ χ χ - 4 ) ) 2 = (9-χ)2

4(χ2-5χ+4) = 81-18χ+χ2

3χ2-2χ-65 = 0

χ . 1 ψ . < _ π 6 3

Από τις τιμές αυτές του χ μόνο η χ=5 είναι ρίζα της αρχικής εξίσαχτης.

4. ί) Πρέπει χ - 1 > 0 δηλαδή χ ^ 1. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: • Αν α < 0 , η εξίσωση είναι αδύνατη.

• Αν α ^ 0 , τότε V x - 1 = α <=> χ - 1 = α2 <=> χ = α 2 + 1

ii) Η εξίσωση ορίζεται σε όλο το IR. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

• Αν 2 χ - λ < 0 δηλαδή χ < - y , η εξίσωση είναι αδύνατη.

λ • Αν 2χ - λ ^ 0 δηλαδή χ ^ — , τότε:

V 4 x 2 + 1 = 2 χ - λ «=> 4 χ 2 + 1 = 4 χ 2 - 4 λ χ + λ 2 <=> 4λχ = λ 2 - 1 .

93

Η τελευταία εξίσωση, • αν λ = Ο είναι αδύνατη, ενώ

• αν λ * 0 έχει μία λύση χ = λ 2 - 1 4λ

. Η λύση αυτή είναι δεκτή μόνο

αν επαληθεύει τον περιορισμό χ ^ — , δηλαδή μόνο αν

λ2 — 1 λ — (λ2 Η 1) 4 λ y » " ~ 4 λ — ~ 4 λ ( λ : + 1 ) < 0 <=> λ < 0 .

5. Η εξίσωση γράφεται: 2ημ4χ - 3ημ3χ - 3(1 - η μ 2 χ ) - 3 η μ χ + 4 = 0

ή 2ημ 4χ - 3ημ 3χ + 3ημ 2χ - 3ημχ + 1 = 0 Αν θέσουμε ημχ = γ βρίσκουμε την πολυωνυμική εξίσωση

2 y 4 - 3 y 3 + 3 y 2 - 3 y + 1 = 0 (1) Οι πιθανές ακέραιες ρίζες της είναι ±1 . Με το σχήμα Horner για ρ= 1 βρίσκουμε

2 - 3 3 - 3 1 ρ = 1

Β 2 - 1 2 - 1

2 - 1 2 - 1 0

οπότε ή (Ι)διαδοχικά γίνεται: ( y - l ) ( 2y 3 -y 2 + 2 y - 1) = 0 ( y - l ) | y 2 ( 2 y - l ) + 2 y - 1| = 0

« ( y - 1 )(2y — l)(y2+ 1) = 0

και έχει ρίζες y, = 1 και y, = —. Επομένως έχουμε ημχ = 1 ή ημχ = y

δηλαδή χ = 2κπ + 4* ή χ = 2 κ π + 4 - ή χ = 2κπ + k e Z . Ζ Ο Ό

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

I. Θεωρούμε τη διαφορά Ρ(χ) - (χ2 + χ + 1) = χ3ν + χ3μ + ι + χ3ρ + 2 - χ2 - χ - 1

= χ3ν — 1+χ3 μ + ι—χ + χ3ρ + 2 —χ2

= (χ3)ν— 1 + χ [ ( χ 3 ) μ - ΐ] + χ 2 [ (χ 3 )ρ - 1 j

= (χ3-1)π,(χ) + χ(χ3-1)π2(χ)+χ2(χ3-1)π3(χ)

— (χ3 — 1) • π(χ), όπου π(χ) ένα πολυώνυμο του χ. ( ) 4

Επομένως Ρ(χ) = (χ2 + χ + 1) + ( χ 3 - 1) · π(χ) = χ2 + χ + 1 + ( χ - 1)(χ2 + χ + 1)π(χ) = (χ2 + χ + 1)| 1 + ( χ - 1)π(χ)] = (χ2 + χ + 1) · π,(χ)

που σημαίνει ότι το Ρ(χ) διαιρείται με το χ2 + χ + 1.

2. i) Το πολυο')νυμο f(x) γράφεται f(x) = vxUf 1 - ν χ ν - χ ν + 1

= ν χ ν ( χ - 1 ) - ( χ ν - 1) = ν χ ν ( χ - 1) — (χ — 1)(χν 1 + χ ν : + .. . + χ + 1) = (χ — 1)[νχ ν- χ ν _ 1 - χ ν ~ 2 - .... - χ - 1]

Αν θέσουμε Ρ(χ) = ν χ ν - χ ν ' - χ ν 2 - . . . - χ - 1 , τότε είναι f(x) = ( x - 1 ) Ρ(χ) και Ρ(1) = ν - 1 - 1 - . . . - 1 - 1 = ν - ν = 0, οπότε

Ρ(χ) = (χ — 1)π(χ), όπου π(χ) πολυώνυμο του χ. Επομένως f(x) = ( x - I ) · ( χ - 1 ) · π(χ) = (χ-1) 2π(χ) , που σημαίνει ότι το

f(x) διαιρείται με το (χ - I)2.

Το πηλίκο π(χ) υπολογίζεται με το σχήμα Horner, για το πολυιόνυμο Ρ(χ) και για ρ = 1, ως εξής:

ν - I - 1 - 1 - I ρ = 1

Β ν ν - I ν - ν + 2 1

ν ν - 1 < I 1 0

Έχουμε δηλαδή π(χ) = νχν 1 + ( ν - 1)χν 2 + ... + 1.

ii) To g(x) γράφεται g(x) = ( v - 2 ) x v - ν χ ν ' + V X - V + 2

= ν χ ν - 2 χ ν - ν χ ν " 1 + vx - ν + 2 = ν χ ν | ( χ — 1) — 2(xv — 1) + v(x — 1) = vxv ' (x - l ) - 2 ( x - l)(xv~' + xv 2 + . . . + x+ 1) + v ( x - 1) = ( x - 1 )|vxv 1 - 2 x v 1 - 2xv '2 - ... - 2 x - 2 + v|

Αν θέσουμε P(x) = vxv 1 - 2 x v 1 - 2 x v " 2 - . . . - 2 x - 2 + ν, τότε g(x) = (χ — 1 )P(x) (1) και P(l) = v — 2 — 2 —... — 2 + v = 2v — 2v = 0, οπότε

P(x) = (x — l)Q(x), όπου Q(\) πολυοινυμο του χ. Επομένως

g ( x ) = ( x - 1 ) 2 Q ( X ) ( 2 ) .

Υπολογίζουμε το Q(x) με το σχήμα Horner ως εξής:

95

ν - 2 - 2 - 2 - 2 ν - 2 ρ = 1

ν - 2

ν - 2

ν —4

ν —4

ν - 6

ν - 2(ν - 2)

ν - 2(ν — 1)

- ν + 2

ο

Έχουμε δηλαδή: Q(x) = (ν - 2)χν~2 + (ν - 4)χν_3 + (ν - 6)χν~4 + . . . + [ν - 2(ν - 1)]

Ακόμη έχουμε Q(l) = ( v - 2 ) + ( v - 4 ) + ( v - 6 ) + ... + [ν — 2(ν — 1)]

= ν - 2 + ν - 2 · 2 + ν - 2 · 3 + ... + ν - 2 ( ν - 1 ) = (ν + ν + ... + ν ) - 2 [ ΐ + 2 + 3 + ... + ( ν - 1)]

= ν ( ν - 1 ) - 2 [t + c v - o k v - l ) = ν ( ν _ 1 ) _ ν ( ν _ 1 ) = 0

Αυτό σημαίνει ότι χ - 1 είναι παράγοντας του Q(x), δηλαδή Q(x) = ( x - 1)Π(χ) (3)

Από τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουμε g(x) = ( x - 1)3π(χ)

Επομένως το g(x) διαιρείται με το (χ - I)3.

3. i) Η εξίσωση είναι αντίστροφη και το 0 δεν είναι ρίζα της, οπότε έχουμε 2 1 χ4 + 2χ3 + 2χ+ 1 = 0 <=> x2 + 2x+ — + ^ Ι = 0 (διαιρούμε με χ2)

ο χ " + —2 + 2 ( χ η ) — 0 χ ν x '

Αν θέσουμε χ + -jj- =y τότε χ 2 + = y 2 - 2 και η εξίσωση γίνεται

y 2 - 2 + 2y = 0 <=> y2 + 2 y - 2 = 0 « y = — 1 - V 3 ή y = - l + V 3

Έτσι είναι x + - = - 1 - V 3 ή χ + — = — 1 ν/3 χ χ ή ισοδύναμα

X2 + ( 1 +V3 ) X + 1 = 0 ή x2 + ( l - V 3 ) x + 1 = 0

Είναι Δ, = (1 + Α/3) 2 -4 = 2\/3 και Δ2 = (1 - V 3 ) 2 - 4 = - 2 V 3 < 0 οπότε η δεύτερη εξίσωση δεν έχει ρίζες, ενώ η πρώτη έχει τις

- 1 - V 3 - V l 2 " και χ, = - - 1 - V 3 +Vl2" 2

που είναι και οι ρίζες της αρχικής. ii) Η εξίσωση δεν έχει ρίζα το 0, έτσι αν διαιρέσουμε με χ2 έχουμε

χ + X - 4 + 1 + 1 = 0 <=> χ 2 + Λ +χ + 1 4 = 0

()6

Αν θέσουμε χ + y = y τότε χ 2 + = y 2 - 2 και η εξίσωση γίνεται

y 2 - 2 + y - 4 = 0 ή y2 + y - 6 = 0

και έχει ρίζες y, = — 3 και y2 = 2.

Έτσι έχουμε x + - = - 3 ή χ + — = 2 χ χ

ή ισοδύναμα

χ2 + 3χ + 1 = 0 ή χ2 —2χ + 1 = 0

. . , „ - 3 + V5 - 3 - V s Αυτές έχουν ρίζες χ, = , χ 2 = ^ ^ πΡωτΤ1 κ α ι χ3 = 1

η δεύτερη. Επομένως οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης είναι οι:

- 3 + V i - 3 - V 5 2 2

4. i) Επειδή το χ = 0 δεν είναι ρίζα, διαιρούμε με χ2 και έχουμε:

2 , 4 λ ? 4 2 — + - 7 = 0 <=> x χ

2 , / 2 \2

χ 2 + χ - 1 6 + — 2 = 0 <=> x 2 + + χ — — — 1 6 = 0 x x χ χ

Ζ / Ζ \ 2 , Αν θέσουμε χ - — = y τότε (χ - — ] = y , οπότε

4 2 4 χ2 + —2 - 2χ— =y 2 , δηλαδή χ2 Η—y = y 2 + 4 χ χ ^ χ

και-η εξίσωση γίνεται

y2 + 4 + y - 1 6 = 0 ή y2 + y - 1 2 = 0

που έχει ρίζες y, = - 4 και y2 = 3

Επομένως

2 Λ ' ' 2 1 χ — = -4 η χ — = 3 χ χ

Ο Χ 2 + 4 Χ - 2 = 0 ή x 2 - 3 x - 2 = 0

, 17 . ^ 17 • 3 - V I 7 . 3 + VrT <=> χ = - 2 - V 6 η χ = - 2 + V6 η χ = η χ = — —

ii) Αν εργασθούμε όπως στην i) η εξίσωση γράφεται

χ2 + ^ + 8 ( χ - γ ) + 1 3 = °

Αν θέσουμε χ - — = y τότε χ 2 + = y 2 + 2 και η εξίσωση γίνεται χ χ

97

y z +8y +15 = 0 που έχει ρίζες y, = — 3 και y2= - 5 Επομένως διαδοχικά έχουμε

1 λ • 1 < χ - 3 η χ = - 5 χ χ

x2 + 3x - 1 = 0 ή χ2 + 5 χ - 1 = 0

Οι τελευταίες έχουν ρίζες

-3—VT3 - 3 + λ / π - 5 - V 2 9 - 5 + V29 -·1 2 - , Χ 2 = 2

κ α ι Χ3 = 2 ' *4 = ~

αντιστοίχως. Αυτές όλες είναι οι ρίζες της αρχικής.

5. Αν θέσουμε x2 + 2 x - l = y η εξίσωση γίνεται y 2 -3 (y+4)+14 = 0 ή y 2 - 3 y + 2 = 0 και έχει ρίζες y, = 1 και y2=2, οπότε έχουμε

x 2 + 2 x - l = l ή χ2 + 2 χ - 1 = 2 ο χ2 + 2 χ - 2 = 0 ή χ2 + 2 χ - 3 = 0 Οι εξισώσεις αυτές έχουν ρίζες τους αριθμούς - 1 - λ / ί , - Ι + λ/3 η πρώτη και 1, - 3 η δεύτερη. Επομένως οι ρίζες της αρχικής είναι

χ, = - l - y / J , x2= - 1 + V J , χ3=1, χ4= - 3

6. Λπό την ταυτότητα της διαίρεσης προκύπτει ότι:

χ5 + 3χ2 + αχ + β = ( χ 2 - 2 ) π(χ) + 5χ + 8

Για χ = λ/2 έχουμε (V2)5 + 3(V2)2 + aV2 + β = 0 + 5\/2 +8

<=> 4V 2 + 6 + a V 2 + β = 5"ν/2 +8 <=> aV2 + β = V2 + 2 (1)

Για x = - i l έχουμε

α / Γ - β = 4 Ϊ - 2 ( 2 )

Λύνοντας το σύστημα των (1) και (2) βρίσκουμε ότι α=1 και β=2.

98

7. Με το σχήμα Horner παίρνουμε

1 - 1 2 12 - 1 2 . . . 12 - 1 Ρ = 11

it! 11 - 1 1 11 • · · - 1 1 11

1 - 1 1 - 1 . . . 1 10

επομένως Ρ ( 1 1 ) = 10. Αν δοκιμάσουμε να υπολογίσουμε το Ρ ( 1 3 ) με τον ίδιο τρόπο θα διαπι-στώσουμε ότι οι πράξεις είναι αρκετά επίπονες. Ένας πιο σύντομος τρόπος είναι ο εξής: Τ Ο Ρ ( Χ ) = Χ 1 7— 1 - 12χ(χ15 —χ14 + χ13 —... + χ — 1)

χ 1 6 - 1 = χ — 1 — 12χ

= χ — 1 — 12

χ + 1 χ 1 7 - χ χ + 1

Οπότε Ρ(13)= 13 1 7- 1 - 2 ·

= 1317 - 1

13 ι 7 - 13 13 + 1

13'7—13 6(13'7+1) 7 7

Με έναν υπολογιστή τσέπης βρίσκουμε το 1317 και έτσι έχουμε το Ρ(13).

8. Ο παγετώνας τελειώνει όταν η θερμοκρασία Τ = Τ(χ) ανερχόμενη συνεχώς μηδενίζεται, ενώ αυτός ξαναρχίζει όταν η θερμοκρασία κατερχόμενη μηδενίζεται. Για να λύσουμε λοιπόν το πρόβλημα, αρκεί να βρούμε τα σημεία μηδενισμού της συνάρτησης Τ(χ) καθώς επίσης και τα διαστήματα μονοτονίας της.

9 9

Αν θέσουμε Τ = 0 προκύπτει η ε-ξίσωση

10χ3— 100Χ2 + 270Χ— 180 = 0 ο χ3 — 10Χ2 + 27Χ — 18 = 0 <=* Χ 3 - 9 Χ 2 - Χ 2 + 9 Χ + 1 8 χ - 1 8 = 0 ο χ2(χ— 1) —9χ(χ— 1)+ 18(χ— 1) = 0 Ο (χ - 1 ) ( Χ 2 - 9 Χ + 18) = 0 ο (χ - 1)(χ - 3)(χ - 6) = 0 Με τη βοήθεια των ριζών και ενός πί-νακα τιμών βρίσκουμε μια πρόχειρη γραφική παράσταση της συνάρτη-σης T,(x) = x 3 - 10Χ2 + 2 7 Χ - 18. Με τη βοήθεια της γραφικής παρά-στασης βρίσκουμε ότι: α) το τέλος των παγετώνων θα έρθει μετά από 1 εκατομμύριο χρόνια, β) Ο επόμενος παγετώνας θα αρχί-σει σε 3 εκατομμύρια χρόνια και θα διαρκέσει 6 - 3 = 3 εκατομμύρια χρόνια.

100

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο

3.1

Α ΟΜΑΔΑΣ

1. i) 3, 5, 7, 9, 11 iii) 2, 6, 12, 20, 30 ν) 1, - 0 , 1 , 0 , 0 ] , - 0 , 0 0 1 ,

0,0001

νϋ) 4, 3, 2, 1, 0

. , „ , 8 , 32 ΐ ό 2 , 1 , ^ , 1 , 2 ^

xi) 1, - 1 , 1, - 1 , 1

ii) 2, 4, 8, 16, 32 iv) 0, 1, 2, 3, 4

„ 3 3 9 15 33 V l ) 2 ' 4 ' 8 ' 16 ' 32

viii) v 2 , v 2

χ) 1,

2 ' l ' 2

1 1

, 0, -sTl

ι ι 2 ' 3 ' 4 ' 5

2. i) 2, y , . 2 , y , 2 ii) 0, 1, 2, 5, 26

iii) 3, 4, 6, 10, 18

3. i) Έχουμε α, = 6 και αν + , - αν = (ν + 1) + 5 - ν - 5 = 1, 'a, = 6

επομένως a „ . , = 1 + a v

ii) Έχουμε a, = 2 και > v+ 1

= 2, επομένως

'a, = 2

1 2av

iii) Έχουμε a, = 1 και av+1 = 2V+I - 1 = 2 · 2V - 1 = 2 · (1 + a v ) - 1,

επομένως

f a ! = 1

U v + , = 2 a v + l

101

iv) Έχουμε α, = 8 και α ν + , - αν = 5(ν+ 1) + 3 - 5 ν - 3 = 5, επομένως

'α, = 8

.αν+1 = 5 + αν

4. i) Έχουμε α, = 1 α2 = α, + 2 α3 = α2 + 2

Προσθέτουμε τις ισότητες αυτές κατά μέλη και βρίσκουμε:

αν = αν_, + 2 αν = 1 + ( ν - 1)2 ή αν = 2 ν - 1

ii) α , = 3 α, = 5α, α, = 5α;

αν = 5αν

Πολλαπλασιάζουμε τις ισότητες αυτές κατά μέλη και βρίσκουμε: α = 3 - 5ν 1

5. i) Έχουμε

5 α , = 3

α ^ = τ

α3 = 3

α ,= 10 3

25 α<=-α .1

α2

J L

102

ii) Έχουμε α, = 12 α 2 = - 6 α3 = 4 α 4 = - 3 α5 = 2,4

ill) Έχουμε α, = 1 α2 = 0 ct3 = - 1 α4 = 0 α 5 = 1

3 4

Τ 1 i

_ι_ 31

103

Β' ΟΜΑΔΑΣ

/ κ j / ν . 7j 1. Η γωνία ΑΒΜν είναι ίση με — ΑΟΜν , δηλαδή ΑΒΜν = — .

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΜνΒ έχουμε διαδοχικά:

(ΑΜν) ημΒ =

π ημ — = ν

(ΑΒ) ( a m , )

(ΑΜν) = 2 η μ ^ -

Επομένως αν = 2ημ-

2. Το γραμμοσκιασμένο εμβαδό είναι εμβαδό τραπεζίου με βάσεις ν + 1 και ν + 2 και ύψος 1. Επομένως το εμβαδό αυτό είναι ίσο με

(ν + 1) + (ν + 2) , 2ν + 3 , 2ν + 3 Γ 1 = — - — . Επομένως α ν = — - —

3. i) Κάθε όρος αν της ακολουθίας παριστάνει το ευθύγραμμο τμήμα που είναι ίσο με τη διαφορά των ευ-θύγραμμων τμημάτων με μήκη

1 1 — και — ν ν + 1

" ) Έ ϊ 0 0 μ ε - ν ΐ ΐ Μ ν - ΐ τ τ ) = ν(ν+ 1)(ν + 2) <0,

άρα α ν + , < α ν . 4. Ισχύει α, = 1, α2 = 2 · α, = 2, α3 = 3 · α2 = 6, α4 = 4 · α3 = 24.

Έχουμε: α] = 1 α2 = 2α, α3 = 3α2

α4 = 4α3

Πολλαπλασιάζουμε τις ισότητες αυτές κατά μέλη και έχουμε: α ν = 1 · 2 · 3 · 4. . .ν ή α = ν !

α„ = να„

104

7 5. Για A = 7 έχουμε: α, = — = 3,5

α2 = y (3,5 + 3 - 5 ) = 2,75

α3 = y (2,75 + 2^5 ) = 2,6477273

1 π α4 = —(2,6477273 + , ) = 2,645752 4 2 ν 2,6477273 '

Εξάλλου από τους πίνακες ή με έναν υπολογιστή τσέπης βρίσκουμε ότι V7=2,6457513.

6. i) Έχουμε S, = 3 S2 = 3 · 4 = 12. S3= 12 · 4 = 48

Παρατηρούμε ότι το πλήθος των πλευρών κάθε σχήματος προκύπτει από το πλήθος των πλευρών του προηγούμενου σχήματος με πολλαπλασια-σμό επί 4. Επομένως Sv+I = 4 · Sv, οπότε:

S] = 3 Πολλαπλασιάζουμε τις ισότητες 52 = 4S, αυτές κατά μέλη και έχουμε 53 = 4S2 S = 3 · 4V_1

SV = 4SV_,

ii) Έχουμε Uj = 3 · 1 = 3 1 4 υ 2 = 3 · 4 · τ = 3 · τ = 4

U = 3 · 4 · 4 · — = 4 · — = - ^ ~ 3 3 4 4

9 4

3 3

U v + 1 = U v - y

(4 \ ν — ι — j

3.2

Α ' Ο Μ Α Δ Α Σ

1. i) αν = 7 + ( ν - 1) · 3 ii) α ν = 1 1 + ( ν - 1 ) 2 iii) αν = 5 + ( ν - 1)( — 3) = 3ν + 4 =2ν + 9 = - 3 ν + 8 '-·

105

iv) αν = 2 + (ν - 1)

1 3 = - ^ - v + — 2 2

ν) α ν = - 6 +(ν - 1)( — 3)

= - 3 ν - 3

2. i) α1 5= —2 + (15 —1)·5 ii) α20 = 11 + ( 2 0 - 1)·7 iii) α,„ = 4 + ( 3 0 - 1)· 11

= 68 =144 =323

2 1 3 y νι) a 4 7 = y + ( 4 7 - 1 ) · —

101

iv) a,5 = 17 + (35 - 1) · 8 ν) a50 = 1 + (50 - 1) · -=- vi) a47 = ^ + (47 - 1) •

= 289 35

3. i) Έχουμε a6 = a, + 5ω, επομένως a, + 5ω= 12 και a l 0 = α, + 9ω, επομέ-νως α, + 9ω= 16.

Λύνοντας το σύστημα

βρίσκουμε ω = 1 και α, = 7

ii) Ομοίως έχουμε

'α, + 5ω= 12

ka, + 9ω= 16

α, + 4 ω = 14

α, + 11ω = 42

και από τη λύση του συστήματος αυτού προκύπτει ότι ιο = 4 και α, = - 2

iii) Ομοίως έχουμε α, +2ω = 20

α, + 6ω = 32

και από τη λύση του συστήματος αυτού προκύπτει ότι ω = 3 και α, = 14

4. ί) Έχουμε το σύστημα: α, + 4ω = - 5

k a , + 14ω= - 2

Από τη λύση του συστήματος βρίσκουμε ότι

3 ω = — =0,3 και α, = - 6 , 2

Αρα α50 = α, + 49ω = -6,2 + 49 · 0,3 = 8,5

fa, + 6ω = 55 ii) Ομοίως έχουμε

.α. + 21ω = 145

οπότε ω = 6 και α, = 19 Ά ρ α α,8 = α, + 1 7 ω = 1 9 + 1 7 · 6 = 1 2 1

κ*)

5. i) Ισχύει αν = α, + (ν - l )co , οπότε 97 = 2 +(ν - 1)5 2 +(ν - 1)5 =97

«· 5ν, = 100 «· ν = 20 Επομένως ο ζητούμενος όρος είναι ο α20, δηλαδή ο 20ος. ii) Ισχύει αν = α, + ( ν - 1)ω, οπότε

— 97 = 80 +(ν - 1 ) ( -3) « 80 + (ν — 1)( — 3) = — 97 « - 3 ν = —180 <=» ν = 60

Ά ρ α ο ζητούμενος όρος είναι ο α60.

6 . i )

ii)

1 0 - 4 0 - 3 0 2 2

( 5 x + 1 ) + 11

= - 1 5

= 3 χ - 2 <=> 5 χ + 1 2 = 6 χ - 4 <=> - χ = - 1 6 <=> χ = 1 6

7. Αν είναι χ ο μεγαλύτερος αριθμός και y ο μικρότερος τότε ισχύει:

f x - y = 10

x + y - = 2 5

x - y = 10

x + y = 50 L

Από τη λύση του συστήματος αυτού προκύπτει ότι χ = 30 και y = 20.

8. i) Έχουμε α, = 7, ω = 9 - 7 = 2 και ν = 40, οπότε

4 0 S = - y - · [2 - 7 + (40 — 1) - 2] = 20 - 92 = 1840

ii) Έχουμε α, = 0, ω = 2 και ν = 40, οπότε

S = -4γ~ · [2 · 0 + (40 - 1) · 2] = 20 · 78 = 1560

iii) Έχουμε α, =6, ω = 4 και ν = 40, οπότε

„ 40 [2 · 6 + ( 4 0 - 1 ) · 4 ] = 2 0 · 1 6 8 = 3 3 6 0

iv) Έχουμε α, = - 7 , ω = 5 και ν = 40, οπότε

„ 40 [ 2 - ( — 7 ) + ( 4 0 — 1 ) - 5 ] = 2 0 • 1 8 1 = 3 6 2 0

9. i) Έχουμε α, = 2, ω = - 3 και ν = 80, οπότε

80 S = — y - · [2 - 2 + ( 8 0 — 1 ) ( — 3)J = 4 0 - ( - 2 3 3 ) = - 9 3 2 0

1 0 7

1 2 ii) Έχουμε α,= - y , ω = — και ν = 80, οποτε

S = - y - · [2 · ( - y ) + ( 8 0 - 1) · y ] = 4 0 · 5 2 = 2 0 8 0

10. Καθένα από τα αθροίσματα είναι άθροισμα διαδοχικών όρων αριθμη-τικής προόδου.

i) Έχουμε α, = 1, αν=197 και ω = 4. Ισχύει αν = α, + ( ν - 1)ω, οπότε 197= 1 + (ν - 1 ) · 4 ή ν = 50. Επομένως

, S = y ( α , + α ν ) = 2 (1 + 1 9 7 ) = 4 9 5 0

ii) Έχουμε α, = 9, ω = 3 και αν = 90. Από τον τύπο αν = α, + ( ν - 1)ω έ-χουμε 90 = 9 +(ν - 1) · 3 ή ν = 28. Επομένως

28 s2g = —y-(9 + 90) = 14 · 99 = 1386

iii) Έχουμε α, = - 7 , ω = - 3 και α ν = - 1 0 9 . Από τον τύπο αν = α, + ( ν - 1)ω έχουμε - 109= - 7 +(ν - 1)( — 3) ή ν = 35. Επομένως

S 3 5 = - y - ( —7— 109) = - y — · ( — 116)= —2030

11. i) Έχουμε α, =4, ω = 4 και Sv = 180.

Επειδή Sv= y [2α, + ( ν - 1)ω|, έχουμε

180= y [2·4 + ( ν - 1 ) · 4 ] « 180 = y (4ν + 4)

ο 4ν2 + 4ν = 360

<=» ν2 + ν - 9 0 = 0 «

<=> ν = — 10

Επειδή veIN*, έπεται ότι ν = 9. Ά ρ α πρέπει να πάρουμε τους 9 πρώ-τους όρους. ii) Έχουμε α, = 5, ω = 5 και Sv= 180. Εργαζόμενοι όπως προηγουμένως βρίσκουμε ότι ν = 8.

12. Έχουμε α, = 53, ω = - 2 και ν = 15. Επομένως α,5 = 53 + (15- 1)( -2) = 5 3 - 28 = 25

S,5 = -y—(25 + 53) = - y - · 78 = 585

108

Β' ΟΜΑΔΑΣ

1. Έχουμε α ν + ι - α ν = 1 2 - 4 ( ν + 1 ) - 12 + 4ν = 12 —4ν —4 — 12 + 4ν = - 4 .

επομένως αν+1 = αν —4 που σημαίνει ότι η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά - 4 και α, = 12 - 4 · 1 = 8.

2. Αφού οι α2 , β2, γ2 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου έχουμε „ 2 , „2

β 2 = ή 2β2 = α2 + γ2

Για να είναι οι

προόδου αρκεί

1 1 β + γ ' α + γ ' α + β διαδοχικοί όροι αριθμητικής

1 1 1

α + γ 1

β + γ α + β 2

α + 2 β + γ α + γ 2(α + β)(β + γ)

2(αβ + αγ + β2 + βγ) = α 2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ + γ2

2αβ + 2αγ + 2β2 + 2βγ = α 2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ + γ2

2β2 = α 2 + γ2 που ισχύει.

3. Για να είναι το ζεύγος (—1, 2) λύση του συστήματος πρέπει να επαλη-θεύει και τις δύο εξισώσεις: Για την 1η εξίσωση έχουμε: α, · ( - 1) + β, · 2 = γ, <=> 2β, = α, + γ, που ισχύει. Για την 2η εξίσωση έχουμε: α 2' ( ~ 1) + βί" 2 = γ2 <=> 2β2 = α2 + γ2 που επίσης ισχύει.

4. i) Οι περιττοί αριθμοί είναι οι 1, 3, 5, 7, ... και αποτελούν αριθμητική πρόοδο με α, = 1 και ω = 2. Έχουμε α200 = 1 + (200 - 1) · 2 = 399, οπότε

$200 200

( 1 + 3 9 9 ) = 1 0 0 - 4 0 0 = 40000

ii) Οι άρτιοι αριθμοί είναι 2, 4, 6, 8,... και αποτελούν αριθμητική πρόο-δο με α, = 2 και ω = 2. Έχουμε α300 = 2 + ( 3 0 0 - 1 ) 2 = 600, οπότε

$300 ~ 300

• (2 + 600) = 150.602 = 90300

1 0 9

Si82= — ( 1 7 + 379) = 91 • 396 = 36036

Επομένως S39 = —-—(5 + 195) = 39 · 100 = 3900

iii) To ζητούμενο άρθοισμα είναι το 17 + 19 + ... + 379 και οι προσθετέοι του, με τη σειρά που είναι γραμμένοι, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με α, = 17, ω = 2 και αν = 379. Ισχύει αν = α, + ( ν - 1)ω, οπότε 379 = 17 + ( ν - 1)2 ή ν = 182 Επομένως

182 2

5. i) Το ζητούμενο άρθοισμα είναι το 5 + 10+15+ ... +195 και οι προσθε-τέοι του είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με α, = 5, ω = 5 και α ν = 195. Από το τύπο αν = α, + (ν - 1 )ω έχουμε

195 = 5 + (ν— 1) - 5 ο ν = 39.

39 2

ii) Το ζητούμενο άθροισμα είναι το 12+15 + ... + 198 και οι προσθετέοι του είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με α, = 12, ω = 3 και α ν = 198. Από τον τύπο αν = α, + ( ν - 1)ω έχουμε 198 = 12 +(ν - 1) • 3 ή ν = 63. Επομένως

S63 = - y - ( 1 2 + 1 9 8 ) = - y - · 210 = 63 · 105=6615

6. i) Έχουμε α ν + 1 - α ν = 5(ν+ 1) — 4 — 5ν + 4 = 5 ή α ν + , = αν + 5. Επομένως η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος με α, = 5 · 1 - 4 = 1 , ω = 5 και α30 = 5 - 3 0 - 4 = 146, οπότε

30 S30 = - y - ( l + 146)=15· 147 = 2205

ii) Έχουμε α ν + , - α ν = - 5 ( ν + 1) — 3 + 5ν + 3 ή α ν + , = α ν - 5 .

Επομένως η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος με α , = —5· 1 — 3= — 8, ω = - 5 και α40 = - 5 · 4 0 - 3 = - 2 0 3 , οπότε

S40 = - ~ γ ~ ( - 8 - 203) = 20 · ( - 2 0 1 ) = -4220

7. Πρέπει από το αθροισμα 1 + 2 + 3 + ... +200 να αφαιρέσουμε το άθροι-σμα 4 + 8 +12 + . . . + 200 των πολλαπλασίων του 4 και το άθροισμα 9 + 18 + 27 + ... + 198 των πολλαπλασίων του 9.

Όμως στα πολλαπλάσια του 4 και του 9 περιέχονται και τα πολλαπλά-σια του 36 που, με αυτόν τον τρόπο, αφαιρούνται δυο φορές. Πρέπει λοι-πόν να προσθέσουμε μια φορά τα πολλαπλάσια του 36 για να βρούμε το πραγματικό άθροισμα. Επομένως

110

S = (l + 2 + 3 + . . . + 200) (4 + 8 + 1 2 + ... + 2 0 0 ) - ( 9 + 18 + 27 + . . . + 198) + + (36+ 7 2 + . . . + 180)

Κατά τα γνωστά έχουμε: 200 1 + 2 + 3 + ... + 200= - y - ( 1 + 2 0 0 ) =100 -201 =20100

4 + 8 + 12 + . . . + 200 = - y - < 4 + 200) = 25 · 204 = 5100

9+18 + ... + 198 = - y - ( 9 + 1 9 8 ) = l l -207 = 2277

36 + 72+ . . . + 180 = y ( 3 6 + 1 8 0 ) = y -216 = 5 · 108 = 540

Ά ρ α S = 20100-5100 -2277 + 540 = 13263

8. To άθροισμα ν όρων της ακολουθίας είναι

Sv= y [2α, + (ν -1 )ω] ή Sv= y [2 · 1 + ( ν - 1) · 2].

Πρέπει Sv > 400 «=» | [21 + (ν-1)·2] > 400

<=» ν2 >400 ο ν >20 .

9. i) Αν Sv = a , + α2 + α3 + . . . + αν_! + αν,

τότε Sv_, = α,+α-,+α,+...+a^, ν>2

οπότε Sv-Sv_, = αν

Επομένως αν = ( 4 ν 2 - 3 ν ) - [4(ν- I)2 — 3(ν — 1)] = 4 ν 2 - 3 ν - ( 4 ν 2 - 11 ν + 7) = 8ν-7, 2

Εξάλλου έχουμε α, = S, = 412-3·1 = 1. Επομένως η ακολουθία είναι αν = 8 ν - 7 , οπότε

α ν + 1 - α ν = 8 ( ν + 1 ) - 7 - 8 ν + 7 = 8ν + 8 - 7 - 8 ν + 7 = 8 Αρα αν,, = αν+8 που σημαίνει ότι η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω=8 και α,=1. ii) Ομοίως έχουμε av = S v - S v _ ,

= λ . ν 2 _ ν _ [ 1 ( ν _ ΐ ) 2 _ ( ν _ ΐ ) ]

1 j / 1 2 3 5 \ = _ ν 2 _ ν _ ( _ ν . _ ν + _ )

1 5 α ν ~ 2 V 4

Επομένως

1 , , , 5 1 5 1 1 5 1 5 1 a v + l - a v = t ( v + l ) - t - t v + t = t v + y - t - t v + t = -

ήα ν + 1 = αν + γ που σημαίνει ότι η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος

* 1 1 , 5 3 με διαφορα ω = — και α, = — · 1 - — = - — .

10. Για την 1η γραμμή του πίνακα έχουμε: αν = α, + ( ν - 1)ω = 120+ (12 - 1)(- 10)= 120- 110 = 10

Sv= y ( a , + av) = - y - ( 1 2 0 + 1 0 ) = 6 · 130 = 780

Για την 2η γραμμή έχουμε: αν = α, + (ν - 1)ω ή 109 = 5 + (27 - 1)ω ή ω = 4.

Sv= y ( a , + av) = - y - ( 5 + 1 0 9 ) = - y - · 114 = 1539

Για την 3η γραμμή έχουμε:

Sv= y [2α, + ( ν - 1)ω] ή 210 = - y - [ 2 a , + 11 · 3] ή α, = 1.

αν = α, + ( ν -1 )ω ή αν = 1 + 11 -3 ή αν = 34 Για την 4η γραμμή έχουμε: αν = α, + ( ν - 1 ) ω ή - 8 = α, + 15·2 ή α, = - 3 8

S v = y ( a , + av) ή Sv= y ( - 3 8 - 8 ) = 8 · ( - 4 6 ) = - 3 6 8

11. Τις πρώτες 12 ώρες το πλήθος των κτύπων είναι

12 1 + 2 + 3 + . . . + 12= ~ (1 + 12) = 6 · 13 = 78, άρα συνολικά ακούγονται

2 · 78 = 156 κτυπήματα. 12. Το πλήθος των θέσεων κάθε σειράς καθισμάτων σχηματίζει αριθμητι-

κή πρόοδο με α, =800 και α33 = 4160. Επομένως, λόγω της αν = α, + ( ν - 1)ω, είναι 4160 = 800+ ( 3 3 - 1) · ω ή ω = 105. Το στάδιο έ-χει συνολικά:

S33 = ^ ^ 8 0 0 +4160) = - y - · 4960 = 33 -2480 = 81840 θέσεις

Η μεσαία σειρά, δηλαδή η 17η σειρά έχει α17 = 800 + (17 - 1) · 105 = 800+16-105 = 2480 θέσεις

1 1 2

13. Είναι βολικό, επειδή έχουμε ένα άρτιο πλήθος όρων, να συμβολίσουμε τους όρους αυτούς ως εξής:

α - 3 ω , α - ω , α + ω, α + 3ω όπου α - 3 ω είναι ο 1ος όρος της προόδου και 2ω ή διαφορά της. Επομένως ισχύει:

'(α - 3ω) + (α - ω) + (α + ω) + (α + 3ω) = 32 (1)

Χα - 3ω)(α - ω)(α + ω)(α + 3ω) = 1680 (2) Από την (1) βρίσκουμε α = 8 και με αντικατάσταση στη (2) έχουμε: (8 - 3ω)(8 - ω)(8 + ω)(8 + 3ω) = 1680 <=> ( 6 4 - 9 ω 2 ) ( 6 4 - ω 2 ) = 1680

« 9ω 4 -640ω 2 +2416 = 0.

Θέτουμε co2 = y ^ 0 και έχουμε 9y 2 -640y +2416 = 0, οπότε

640 ± V409600 640 ±568 / 4

Υ ~ 18 " 1 8 \ 604 9

Επομένως ω2 = 4 <=> ω = ± 2

604 2 V l 5 T η ω = — τ — <=> ω = ±-9 j

Ά ρ α οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι 2, 6, 10, 14 ή οι 14, 10, 6, 2

14. Οι όροι της ακολουθίας διαδοχικά θα είναι 3, Χ], 1̂0» ^

συνολικά ί2 όροι. Ισχύει αν = α! + ( ν - 1)ω ή 80 = 3 + 11ω ή ω = 7, οπότε οι ζητούμενοι α-ριθμοί είναι

10, 17, 24, 31, 38, 45, 52, 59, 66, 73 15. Έχουμε

ν - 1 ν - 2 ν - 3 1 ν + ( ν - 1) + (ν — 2) + . . . + 1 1 + + + + . . . + — = ν ' ν ' ν ν ν ν ν

ν ( ν + 1) 2 ν + 1 ν 2

16. Το 1° μέτρο θα κοστίσει 20 €. Το 2° μέτρο θα κοστίσει 25 €. Το 3° μέτρο θα κοστίσει 30 € κτλ. Αν λοιπόν η γεώτρηση πάει ν μέτρα βάθος, τότε το συνολικό κόστος,

(2α, + (ν - 1)ω)ν σύμφωνα με τον τύπο Sy >θα είναι ισο με.

S = ^ [ 2 · 2 0 + ( ν - 1 ) 5 ]

113

Πρέπει επομένως

- | 2 · 20 + ( ν - 1)5| £ 4.700 ο 20ν + 2 , 5 ν ( ν - 1 ) £ 4.700 2

ο 8ν + ν ( ν - 1) < 1880

ο ν1 + 7 ν - 1880 < 0

Ο (ν - 4 0 χ ν + 47) £ 0

ο - 47 < ν £ 40.

Αρα η γεώτρηση μπορεί να πάει 40m βάθος.

3.3

α ο μ α α α ε

1. ϊ) αν = 3 · 2ν ii) αν = — · 3ν ' = 2 • 3ν 2, iii) αν = 9 · 3ν 1 = 3ν + 1

iv) ' = ^ . ν ) α ,= . 6 · ( ± Γ ! = 2 4 - r LT = 2 ^

vi) a v =18 - ( y ) V ' = 2 - 32 · ~ , vii) a v = l · (0,4)1 '=0 ,4 l

viii) av = ( - 2 ) • ( - 2 ) v ' = ( - 2 ) v , ix) av = ( - 3 ) · ( - 3 ) v 1 = ( - 3 ) v

2. i) a „ = y · 2* = 64, ii) a7 = 2 · 3 6 = 1458, iii) a s = 729 · ( y ) ' = y .

1 χ n> 768 3 iv) a,, =768 · ( y ) = T 7 ^ 7 = T . v ) a 1 0 = l - < - 2 ) * = - 5 1 2

2 ' 1024 4

3 \ ' 2187 ... 1 / 1 1 vi) a8 = ( - 1) · ( y ) = Τ^Γ~> - Ο « , o = t ( t ) =

2 ' 128 ' ' 2 v 3 ' 39366

8 ι 3 γ 2' 3s 35 / 3 γ v a ^ 2 7 - ( y ) = ρ ' ^ = 2 ^ = ( τ )

, 32 . 32 1 3. 1 ) _ = α ι · 2 η α , = — , = y

.., 27 / 3 V 1 . 3" 33 . 1 " t 2 8 - = a < ' "4" ' η y = c t | ! r ' a p a a ' = τ

a /Ί2 = α, · λ2 , 4 · " . α,λ5 96

Ι96 = α , · λ 5

ii) I 4" = α, · λ

, άρα :iir-2 = ——- ή λ' = 8, άρα λ = 2 (Χι λ, 1Ζ

64 81

OH 4 — = α, · λ

α , λ / 2 \J 3 / 2 \3 . 2 • α ρ α "ΪΛ " ( τ ) Ί λ = ( T ) . a p 0 X . y

114

5. i) o,5 = 20 · (1,05)14

ii) ( 125 = α,λ3

125 64

α > λ 9 I 1 \6 j. ( μ 6

= α, · λ 9

α,λ' / 1 \6 , , / 1 \6 , j α ρ α ^ λ τ = ( γ ) ' η λ = ( τ ) , α ρ α λ = ± -

Για λ = ^ έχουμε 125 = α,· Χ ή α, = 125-23 = 1000

έ - 1 α λ α / i \ ' 3 1000 Εχουμε τωρα α14 = 1 0 0 0 - ( y j =

Για λ = - j εργαζόμαστε ομοίως.

« ο Γ ν ΐ - α , - λ " _ λ » 3 2 ^ γ- ' ° ρ α π'ϊ 12 = 77"" ^ λ'° = 25 ή λ = ±

k 32V2 = a, -λ2 2 1

Για λ = / 7 έχουμε / Τ = α,·26 ή α, = ~

Έχουμε τώρα α2 1= ·2'° = 2 4 · V2 = 16\/2.

Για λ = - Τ ϊ εργαζόμαστε ομοίως.

6. Έστω αν ο όρος που ισούται με 768. Τότε 768 = 3 · 2 ν _ 1 ή 2 ν _ 1 = 256 ή 2 ν - ' = 28, οπότε ν - 1 = 8, άρα ν = 9.

7. i) Ο νος όρος της προόδου είναι αν = 4 • 2 ν ~ \ Αν 4 · 2ν~' >2000, τότε 2 ν + 1 >2000. Έχουμε 210 =1024 και 2" = 2048. Ά ρ α πρέπει ν + 1 > 1 0 ή ν > 9 .

Επομένως ο πρώτος όρος που υπερβαίνει το 2000 είναι ο 10ος όρος.

ii) Ο νος όρος της προόδου είναι α ν = 128 · ( y ) U '

ι 170 Αν 128· <0,25, τ ό τ ε 2 ν - ' > ^ - ή 2 ν - ' > 5 1 2

Έχουμε 28 = 256 και 29 = 512. Ά ρ α πρέπει ν - 1 > 9 ή ν > 10.

Επομένως ο πρώτος όρος που είναι μικρότερος του 512 είναι ο 11ος.

8. i) V5-20=V100~=10 , ^ ^ ^ V j = V T = l .

ii) Ισχύει

(x+ l)2 = (x —4)(x- 19) « x2 + 2 x + l = x 2 - 2 3 x + 76 & 25x = 75 & x = 3.

115

21 0 — 1 2 - 1

3 ι ο - 1 , 59048 μ = 3 · -

(— 2)10 — 1 1023 - 2 - 1 ~ ' - 3

9. i) S 1 0 =l · ——— =1023

ii) SI0 = 3 · , , = 3 · — = 3 - 2 9 5 2 4 = 88572

iii) S10= — 4 · , = - 4 — = 4 · 341 = 1364

{ ± γ 6 5 5 3 6 _ •ν „ „ ν 3 ' „ 6561 Λ 3-58975 58975

10. S8 = 9 · - j — = 9 · ± ' 6561 ~~~243~~

3 1 3

... ο , 1 4 ' 216 216 4 /, 1 \ , , , η) s 8 - l * j - j ~ 3 ~ 3 ' 2 1 6 ' -

τ - 1 1 _ τ τ

11. ϊ) Από τον τύπο αν = α,λ ν _ 1 έχουμε 8192 = 2 ·4 ν _ ι ή 4 ν - 1 = 4096 = 46, άρα ν - 1 = 6 ή ν = 7.

Επομένως S7 = 2 · 4 ~ * = 2 · 1 6 3 8 3 = 2 · 5461 = 10922

-1 1 / i \ ν - 1 ii) Ομοίως από τον τύπο αν = α,λν έχουμε = 4 · J

ι 1 \ ν—ι 1 / 1 \ π ή ( γ ) = ^ 0 4 8 ~ = ( Τ ) ' ®Ρα ν— 1 = 11 η ν = 12

Επομένως

1 \ ΐ2 , 1 , 4095 ( — ) ' - 1 — 1 \ 7 I s = Α . Α ΐ __4 4096 _ 4 4096 _ 4 2-4095

J_ _ J_ 4096 2 2 2

4095 _ = g

512 iii) Ομοίως από τον τύπο αν = α , λ ν έ χ ο υ μ ε 256=1 ( - 2 ) ν _ ι ή (— 2)8 = (— 2)ν 1, άρα ν - 1 = 8 ή ν = 9. Επομένως

8 = 1 . ( ~ 2) 9 ~ 1 = _ ζ * ΐ ί - 1 7 1 1 2 - 1 - 3 ~ 1 7 1

12. Έχουμε α, = 3 και, σε 1 ώρα α2 = 3 · 2 σε 2 ώρες α3 = 3 · 22

σε 3 ώρες α4 = 3 ·23 κτλ. και σε 12 ώρες α13 = 3 · 212 = 12288 βακτηρίδια

1 1 6

13. Έχουμε α, = 60 και,

μετά την 1η αναπήδηση α2 = 60· γ

μετά τη 2η αναπήδηση α3 = 6 0 · ( - | - ) 2

μετά την 3η αναπήδηση α4 = 60 ·

και μετά την 4η αναπήδηση α5 = 60 · ( y )4 = - | p = - | ^ - : = 0 , 7 4 m

Β ' Ο Μ Α Δ Α Σ

1. Έχουμε = ^ = 2 " ' · 3 " · αν 2 2 ν · 3 3

3 ν + 1

2 η αν+1 = α ν · — , επομενως η ακολουθία είναι γεωμετρική πρόοδος με

ι 2 2 λ - y και α, = -

2. ϊ) Έχουμε διαδοχικά

= « α ( α - γ ) = (α + β ) ( α - β ) <=» α 2 - α γ = α 2 - β 2

<=> β2 = αγ που σημαίνει ότι οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής πρόοδου.

ii) Έχουμε διαδοχικά

= γ(α+β)2=α(β+γ)2

« γ(α2 + 2αβ + β2) = α(β2 + 2βγ + γ2) ο α2γ + 2αβγ + β2γ = αβ2 + 2αβγ + αγ2

<=» α 2 γ - α γ 2 = α β 2 - β 2 γ ο α γ ( α - γ ) = β 2 ( α - γ )

που αληθεύει γιατί β2 = αγ.

1 1 7

3. i) (α + β + γ)(α - β + γ) = [(α + γ) + β] [(α + γ) - β] = (α + γ ) 2 - β 2

= α2 + 2αγ + γ 2 - β 2

= α2 + 2β2 + γ 2 - β 2 (αγ = β2) = α2 + β2 + γ2

ii) ( α - γ ) 2 + ( β - γ ) 2 + ( β - δ ) 2 = α 2 - 2 α γ + γ2 + β 2 - 2 β γ + γ2 + β 2 - 2 β δ + δ2

= α 2 - 2 β 2 + γ2 + β 2 - 2 β γ + γ2 + β2 —2γ24-δ2

= α 2 - 2 β γ + δ :

= α 2 - 2 α δ + δ2 (αφού = — =λ)

= ( α - δ ) 2

4. Πρέπει

(\^10ν + 4) -\/ν-5 - V v + 2 <=> VlOv + 4 = V ( v - 5 ) ( v + 2) <=» (v-5) (v + 2)= 10v + 4

<=> v 2 - 1 3 v - 1 4 = 0 13±V225 13 ± 15 κ 1 4

ν = 2 2

Με δοκιμή βρίσκουμε ότι μόνο η τιμή ν = 14 είναι δεκτή.

5. i) Έστω μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο α, και λόγο λ. Τότε οι όροι της προόδου είνα:

α,, α,λ, α,λ2, α,λ3 , . . . ,α,λ ν . . . . και τα τετράγωνα των όρων αυτών είναι:

af, α;λ2, α;λ4, α2λ6, ..., αίλ2ν,.·· Παρατηρούμε ότι η ακολουθία αυτή είναι γεωμετρική πρόοδος με Ιο όρο α2 και λόγο λ2. ϋ) Αν υψώσουμε τους όρους της προόδους στην k έχουμε:

αϊ, α,λκ , α ΐ λ 2 \ α ΐ λ 3 \ ..., α\λν\... Παρατηρούμε ότι η ακολουθία αυτή είναι γεωμετρική πρόοδος με Ιο όρο α" και λόγο λκ.

6. i) Από τον τύπο αν = α,λν 1 έχουμε α,λ3 = 4 (1) και από τον τύπο

λ ν - 1 . λ 3 - 1 sv = a i · - ^ — ' ~'>ιιε α, · — — — = 2 1 ή α,(λ2 + λ + 1) = 21 (2) λ. 1 λ. — 1

Οι (1) και (2) σχηματίζουν το σύστημα Γα,λ3 = 24 ν

2 α,(λ + λ + 1) = 21

118

Με διαίρεση κατά μέλη των εξισώσεων του συστήματος προκύπτει

, , f : | λ ,—— = - ^ - 7 λ 3 - 8 λ 2 - 8 λ - 8 = 0 (3) α,(λ + λ + 1) 21

Με τη βοήθεια του σχήματος Horner η (3) γίνεται:

(λ - 2)(7λ2 + 6λ + 4) = 0 ο λ = 2

Αντικαθιστούμε την τιμή αυτή του λ στην (1) και βρίσκουμε α, · 8 = 24 ο α, = 3

Επομένως η πρόοδος είναι η 3, 6, 12, 24, 48, ...

ii) Έχουμε α, + α,λ = 3 + ν 3 (1) και α, · — p = 4 ( 3 + V3) (2). λ. 1

Οι (1) και (2) σχηματίζουν το σύστημα

'α,(λ+ 1) = 3 + v t

.α,(λ3 + λ2 + λ + 1 ) = 4(3 + ν ί )

Με διαίρεση κατά μέλη των εξισώσεων του συστήματος προκύπτει

λ3 + λ 2 - 3 λ - 3 = 0 λ2(λ + 1) —3(λ+ 1) = 0 « (λ+ 1)(λ2 — 3) = 0 «=> λ = - 1 ή λ = \ίϊ ή λ = - V 3 .

Αντικαθιστούμε τις τιμές αυτές του λ στην (1) και έχουμε. Γ ι α λ = - 1 , a , - 0 = 3 + V3 (αδύνατο) Για λ = \ ί ϊ , a,(V3 + l) = 3 + V3 ή a, = V I

Για λ = -Λ /3 , a , ( l - V 3 ) = 3 + V3 ή a , = - ( 3 + 2V3)

7. Έχουμε a ^ + a ^ 5 = 34 <=> α,λ(λ4 + 1) = 34 (1)

και α,λ2 + α,λ6 = 68 <=> α,λ 2(λ 4+1) = 68 (2) Με διαίρεση κατά μέλη των (1) και (2) έχουμε λ = 2, οπότε με αντικατά-σταση στην (1) βρίσκουμε α, = 1.

210— ι Ά ρ α S l 0 = l · - γ — Γ =1024 — 1 = 1023

8. i) Πρόκειται για το άθροισμα των πρώτων ν όρων γεωμετρικής προό-δου με α, = 1 και λ = α, επομένως.

s . - i ° · " 1 « · - ' α - 1 α - 1

ii) Έχουμε (1 -α ) (1 + α + α2 + ... + αν~') = (1 - α) — — = 1 - α ν

α — 1

119

iii) Το άθροισμα χ ν + χ ν y + ... + yv είναι το άθροισμα των πρώτων

y ν όρων γεωμετρικής προόδου με α, = χν~' και λ = — .

Επομένως

φ * - ' y - χ

ν - 1 , „ ν - 2 , , , , , . ν - 1 _ „ ν - 1 ' χ ' _ „ ν - 1 X V _ y ~ Χ χ + χ y + . . . + y = χ · — = χ „ Υ y~x y - x

Ά ρ α

(x-yXxv '-t-xv"2y+-+yv"')=(x-y)yy_^ =(x-y) x

x_y =xv-yv

9. Ο νος όρος της προόδου είναι αν = α, · λ ν 1 = 2 · 2 ν _ ι = 2ν, οπότε

Π = 2 · 4 · 8...2ν = 2' · 22 • 23 . . .2ν = 21 + 2+3 + " +ν = 2ν(ν + 1)/2

10. Είναι βολικό, επειδή έχουμε ένα περιττό πλήθος όρων, να συμβολίσου-με τους όρους αυτούς ως εξής:

α . χ ' α '

όπου -γ- ο 1ος όρος της προόδου και λ ο λόγος της, οπότε ισχύει: Κ

( -5- + α + α λ = - 1 3 (1) Κ

• α · αλ = - 27 (2) V λ

Από την (2) προκύπτει α 3 = - 2 7 ή α = - 3. Αντικαθιστούμε στην (1)

και έχουμε

— I — 3 —3λ=— 13 «· 3 λ 2 - 1 0 λ + 3 = 0

<=> λ = 3 ή λ = - γ

ί^\^μένως οι ζητούμενοι όροι είναι

- 1 , - 3 , - 9 ή - 9 , - 3 , - 1

120

11. i) Αν αν είναι ο νος όρος της προόδου τότε αν = Sv-Sv_„ ν > 2 Αρα αν = (2 ν -1) - (2 ν ~1 )=2ν-2ν"1=(2-1 >2^'=2ν"1

Εξάλλου a1=S,=2'-l=l. Αρα αν-2ν"1, veN*

Αφού αν = 2 ν _ 1 , έχουμε = 2 ο α ν + 1 = α ν · 2 .

Επομένως η ακολουθία αυτή είναι γεωμετρική πρόοδος με α,=1 και λόγο λ=1.

ii) Ομοίως av=Sv-Sv_, ν£2. Αρα αν= (3ν-1)-(3ν~1 -1 )=2• 3ν"1. Εξάλλου a,=S,«=31-l=2. Αρα αν=2·3ν"', veN*.

Αφού αν = 2 · 3ν~', έχουμε = ^ ^ = 3 φ» α ν + 1 = α ν · 3

Επομένως η ακολουθία αυτή είναι γεωμετρική πρόοδος με α,=2 και λόγο λ=3.

iii) Ομοίως a - S ^ S ^ , , ν^2. Αρα αν=3(2ν-1)-3(2ϊ-'-1)=3·2ν-1 , ν £ 2 Εξάλλου a,=S,=3(21-l)=3. Αρα αν=3·2ν"1, veN*.

α 3 · 2 ν

Αφού αν = 3 · 2 ν ~ \ έχουμε =j-—i = 2 ο α ν + 1 = α ν · 2

Επομένως η ακολουθία αυτή είναι γεωμετρική πρόοδος με α,=3 και λόγο λ=2.

12. Ο αριθμός που έχει ν ψηφία, όλα ίσα με 6, γράφεται:

6 · 10°+ 6 · 10' + 6 · ΙΟ2 + . . . + 6 · 10ν"' = 6(1 + 10+ ΙΟ2 + . . . + 10ν_1)

1 0 ν - 1 2 " 6 · Ι ό ^ Τ " Τ ( 1 ° ~ 1 )

Ο αριθμός που έχει ν ψηφία, όλα ίσα με 8, γράφεται:

8 · 10°+ 8 · 101 + 8 · ΙΟ2 + . . . + 8 · 10ν~" = 8(1 + 1 0 + ΙΟ2 + . . . + 10ν_1)

_ 8 . I ° I z i - ± n o v - n - 8 1 0 - 1 " 9 υ

Ο αριθμός που έχει 2ν ψηφία, όλα ίσα με 4, γράφεται:

4 · 10° + 4 · 10' + ... + 4 · 102 ν- | = 4(1 + 1 0 + 1 0 2 + . . . + 102ν-')

Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι:

1 2 1

- ( 1 0 ν - 1 ) ] " + - | ( 1 0 ν - 1 ) = - ( 1 0 2 ν - 1 ) Έχουμε

y - ( 1 0 v - 1 ) ] 2 + - | - ( 1 0 ν - 1 ) = γ ( 1 0 2 ν —2 · 1 0 ν + 1 )+ - | - ( 1 0 ν — 1)

• τ - ' - τ

= - | ( 1 0 2 * - 1 )

13. Αν αν είναι ο πληθυσμός της χώρας ύστερα από ν χρόνια από σήμε-ρα, τότε τον επόμενο χρόνο, δηλαδή ύστερα από ν + 1 χρόνια από σή-μερα, θα είναι (σε εκατομμύρια)

2 αν +1 = αν + ~|qq" · α ν = 1,02 · α ν

Ά ρ α ο αναδρομικός τύπος της ακολουθίας είναι a v + i = l . q 2 « v

Επειδή α, = 90 · 1,02 και α ν , , = 1,02 · αν η ακολουθία είναι γεωμετρική πρόοδος με 1<ο όρο α, = 90 • 1,02 και λόγο λ = 1,02, επομένως

αν = 90 · 1,02· 1,02ν_ 1 ή αν = 90· 1,02ν

Ύστερα από 10 χρόνια ο πλυθυσμός της χώρας θα είναι αιο = 90 · 1,0210 = 90 · 1,22 ή 109800000 κάτοικοι

14. Αν Ιν είναι η ένταση του φωτός αφού διέλθει μέσα από ν φίλτρα, τότε η έντασή του αφού διέλθει και μέσα από χο επόμενο φίλτρο, δηλαδή αφού διέλθει συνολικά μέσα από ν +1 φίλτρα θα είναι

> , „ = ι , - ϊ ^ , = 0 . 9 ι ,

Ά ρ α ο αναδρομικός τύπος της ακολουθίας είναι 1, ι - 0 , 9 · γ

Επειδή Ι, = Ι0 · 0,9 και Ιν+, =0,9 · Ιν η ακολουθία είναι γεωμετρική πρόο-δος με Ιο όρο Ι0 - 0,9 και λόγο λ = 0,9, άρα Ιν = Ι0 · 0,9 · 0 ,9 ν _ ι ή

ι , = ι » e , r Για ν = 10 έχουμε Ι,0 = Ι0 - 0,910 = 0,35 · ί0

15. ί) Οι 11 ενδιάμεσοι τόνοι με τους δύο ακραίους C' και C" θα σχηματί-ζουν γεωμετρική πρόοδο με α, = 261 και α Β = 522.

122

Επειδή α,3 = α, · λ12 έχουμε 522 = 261 • λ12 και επομένως λ = \^2

ii) Η συχνότητα του 5ου τόνου θα είναι α5 = α, · λ5 = 261 · V25 .

16. i) Αν Dv είναι η ποσότητα του νερού στο ψυγείο, αφού εφαρμόσουμε τη διαδικασία ν φορές, τότε η ποσότητα του νερού στο ψυγείο, αν ε-φαρμόσουμε τη διαδικασία μια ακόμα φορά, δηλαδή ν + 1 συνολικά φο-ρές θα είναι:

Ο,+ι — Dv- α _ 40

4 = Dv —0,1 · Dv = (1 -0,1)DV = 0,9DV

Επομένως DV+,=0,9DV και D, = 36 όσο το νερό που μένει την 1η φο-ρά. Βλέπουμε ότι η ακολουθία Dv είναι γεωμετρική πρόοδος με D, = 36 και λόγο λ = 0,9, άρα DV = 36-0,9V 1

ii) D, = 36 · 0 ,9 6= 19,13, οπότε η ποσότητα του αντιπυκτικού είναι πε-ρίπου 40-19 ,13 = 20,87?.

17. Αφού διπλασιάζουμε κάθε φορά τον αριθμό των κόκκων του ρυζιού έ-χουμε α ν + 1 = 2 · αν. Επειδή στο Ιο τετραγωνάκι βάζουμε 1 κόκκο ρύζι έχουμε α, = 1. Επομένως η ακολουθία αν είναι γεωμετρική πρόοδος με α, = 1 και λό-γο λ = 2, άρα

α ν = 1 • 2ν~1 ή αν = 2 ν _ ι

Συνολικά σε όλα τα τετραγωνάκια πρέπει να μπουν

ο6 4 —1 SM =1 =2Μ-I κόκκοι ρύζι

2 - 1

Το ρύζι αυτό είναι περίπου σε κιλά

——— = 1 , 8 4 4 7 1 0 =0,9223·10Ι5=9,223·1014 κιλά 20000 2104

= 9,22310" τόννοι.

18. i) Αν θέσουμε r = r,, όπως φαίνεται στο σ χ ή μ α από το τρ ίγωνο ΟνΑνΟν+1 έχουμε

r.. + r v + | 1 ημ30'

= 2 ή rv + 1=3rv

ii) Έχουμε γεωμετρική πρόοδο με Γ, = 1 και λόγο 3. Ά ρ α

r8= 1 · 37 = 37

123

Β ' Ο Μ Α Δ Α Σ

1. Από τον τύπο του χρεωλυσίου έχουμε:

α · 0,05 • (1,05)30 5000(4,32194-1) 5000 = — — ο α = — = 76896,75€

(1,05) - 1 0,05 · (1,05)

2. Από τον τύπο των ίσων καταθέσεων έχουμε:

^ (1,05)20 - 1 1735,95 Σ = 1000-1,05·—— = — = 34719,09€

0,05 0,05

= 100000 - 1,15 - -11781012 δρχ .

3 2 1 3. Η ετήσια αύξηση του πληθυσμού είναι = -Jqq- = 1 % .

Αν λοιπόν α είναι ο πληθυσμός της πόλης σήμερα τότε σε ν έτη ο πληθυ-σμός θα είναι

αν = α · 1,01ν

θέλουμε α ν = 2α και επομένως 2α = α · 1,01ν ή 1,01ν = 2 Με δοκιμές βρίσκουμε ότι ν = 70 χρόνια

4. Από τον τύπο των ίσων καταθέσεων έχουμε:

ΣΙ,Οδ30 - 1 2 , 65329 - 1 = 730-1,05— = 730 · 1,05— 0,05 0,05

1,65329 1.267,24 = 730 · 1,05— = ! — * 25.345 €

0,05 0,05 5. Από τον τύπο του ανατοκισμού έχουμε:

α = 5,35 · (1,018)'" = 6 , 4 δισεκατομμύρια

6. Από τον τύπο του χρεολυσίου έχουμε:

10.000 · 0,01 · 1,01" 10.000 · 0 ,01 1,12682 χ = = « 888,52 €

1,01"-1 0,12682

3.5

1. i ) S = — Κ - = 4 , ii) S = =40,5 iii) S = = — K r - = 3 2 - t 1 - t 1 _ t

iv) S = =7,5 , v) S = =32, vi) S = — = 6 , 7 5

' - t 1 _ t , + t 125

vii) S = 1— = —~Γ~ — ~~5,33, viii) S= — = ~ ~ — 11,67 1 + — 3 1 3

2 5

2. i) S = = _ 8 _ = 8 (2_w2) _ = 8(2 + v 2 ) = 4 ( 2 + λ / 2 - )

t V2 2-\ll ( 2 - V 2 ) ( 2 + V2) 4 - 2

••ν ο v 5 + 1 v 5 +1 1 \ / , v 5 \ ,,) s = 7— = p - = - l l + - 7 = - = - 1+ — ) 1 - ( V 5 +1) — V5 V5 5

a _ i , . , « 1 4 . 4 . 4 . 10 10 4 3. ,) 0 , 4 = - + - 2 + - , + ... = — — — 9 — " " ,

1 10 10

26 26 •·\ η 2 6 100 100 26

' 100 100: 100' " 1 99 99 100 100

iii) 0,16 0,1666... J() + J ( ) 0 + J()()0 + 1 ( χ ) 0 ( ) + . . . 1 6 6 6

00 6

ι loo = J_ + A = 1

10 ' _ J_ 10 90 6 10

5 14 14 < r 4

14

iv) 0 514 = 0 5141414 = — + + + . . . iv> u p i * u p i t i t i t . . . 1 ( ) -1- 1 ( ) 0 0 - r i 0 0 0 ( ) 0

5 1000 5 , 14 509 _j — — -f* "

4. Έχουμε

10 L 10 990 990 100

x - 2 . . . 1 α - — — — καν λογο λ = — χ χ

Επειδή |x| > 1, είναι - τ η - < 1 και επομένως χ

s =

χ - 2 χ - 2

χ χ Χ - 2

! _ λ χ ~ 1 χ - 1

χ χ

126

Β ' Ο Μ Α Δ Α Σ

1. Αν είναι α,, α,λ, α,λ2 . α,λ3 , ... οι όροι της γεωμετρικής προόδου, τότε τα τετράγωνα των όρων της είναι:

α], α 2 λ \ α ? λ \ α2λ6 , . . .

και σχηματίζουν επίσης γεωμετρική πρόοδο με λόγο λ2 και Ιο όρο α2 . Επειδή |λ| < 1 είναι και | λ | 2 < 1 και επομένως έχουμε το σύστημα

(1)

(2)

Η (2) γράφεται , , ι , ^ =40,5 « ^ =40,5 και

λόγω της (1) γίνεται ΤΤΤ =4,5, οπότε το σύστημα παίρνει τη μορφή

= 9

= 4,5

^ = 4° , 5

1 - λ α,

2.

^ 1 + λ

Με διαίρεση των εξισώσεων αυτών κατά μέλη βρίσκουμε ότι λ = - y ,

/ 1 \ 2 οποτε α, = 9 - ̂ 1 - — ] = 9 · — ή α, = 6

ΐ) Ο λόγος της προόδου είναι λ = ( α + * ) .

Έχουμε |λ| < 1 <=> Ι———12<1 1 1 I α + x I

<=* ( α - χ ) 2 < ( α + χ)2

<=» α 2 - 2 α χ + χ 2 < α 2 + 2αχ + χ 2

<=» - 4 α χ < 0 «=> 4 α χ > 0 <=> χ > 0

Επομένως με χ > 0 είναι |λ| < 1, οπότε

α + χ . α + χ α + χ . g _ α - χ α - χ _ α - χ (α + χ)3

α " ~ χ \2 (α + χ ) 2 - ( α - χ ) 2 4αχ 4αχ(α-χ ) ν α + χ ' (α + χ)2 (α + χ)"

1 ii) Ο λόγος της προόδου είναι λ = —j—-χ +1

1 2 7

Έχουμε |λ| < 1 <=> | χ 2 * + 1 | < 1.

x + 1

<=> x2+ 1 > 1 <=> χ 2 > 0 <=> χ * 0

Επομένως με χ ^ Ο είναι |λ| < 1, οπότε

1 1 1 χ2+1 , 1 s = = 5 ΐ 1— = 2 = 2 = 1 + —j

_ ι χ + 1 - 1 χ χ χ χ2+1 χ2+1 χ2+1

3. i) Γνωρίζουμε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δυο πλευ-ρών τριγώνου είναι ίσο με το μισό της απέναντι πλευράς.

Επομένως P v + i = y P v

Επειδή δύο διαδοχικά τρίγωνα είναι όμοια με λόγο — , έχουμε

ii) Αν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο πλευράς α τότε

r. -, γ- q 2 ^ 3 Ρ, = 3α και Ε, = — - — .

4 Επομένως: Το άθροισμα των άπειρων όρων της γεωμετρικής προόδου Ρν είναι:

3α 3α 6α

1 - i - -i-2 2

Το άθροισμα των άπειρων όρων της γεωμετρικής προόδου Εν είναι:

a 2 V3 a 2 V3 4 4 a 2 V3

j _ _ L ~ λ ~ 3 4 4

4. i) Οι άξονες με τις διχοτόμους σχηματίζουν διαδοχικά γωνίες 45° και επομένως τα τρίγωνα που σχηματίζονται είναι ορθογώνια και ισοσκελή. Από το τρίγωνο ΟΡν + 2Ρν + 1 έχουμε

128

w 4 5 ' - » τ = τ » —

Παρατηρούμε λοιπόν ότι τα μήκη των πλευρών της πολυγωνικής γραμ-

\/ γεω

a v 2

μής σχηματίζουν γεωμετρική πρόοδο με λόγο λ = και

πρώτο όρο f, = -2

, . ay/2 / v 2 \ ν 1 / v 2 \ν Αρα t — 2 ~ ( — ) - « ( — )

ι -ν/2 ι ii) Επειδή |λ| = | | < 1, έχουμε

a v 2 a v 2 2 2 aV2 aV2(2 + V2) , / - ,,

s— ,— — . — τ= p r — a ( " v 2 + l ) V2 2 - V 2 2 - V 2 ( 2 - V 2 ) ( 2 + V2)

iii) Η ακολουθία των εμβαδών των τετραγώνων είναι η ff, Η ακολουθία αυτή είναι επίσης γεωμετρική πρόοδος με Ιο όρο

„2 ι aV2 2̂ α2 , , , 7 / V2 \2 ι ι \ 2 ) = ~ 2 ~ κ α ι λογο λ = (—^— J = γ , επομένως

. 2 „ 2 α" 2 2

2 2

5. i) Ό τ α ν ο Αχιλλέας θα διανύσει το διάστημα dv, η χελώνα, αφού τρέ-

χει 100 φορές πιο αργά, θα διανύσει διάστημα dv + , = —— dv. 100

Δημιουργείται έτσι μια ακολουθία διαστημάτων (dv)VEN (πα οποία προηγεί-ται η χελιόνα. Η ακολουθία αυτή είναι φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο; με πρώτο όρο dQ = 1 και λόγο λ= . Δηλαδή η απόσταση της χελώνας από τον Αχιλλέα συνεχώς μικραίνει, και από ε'να δείκτη ν και μετά τείνει να γίνει μηδενική. ii) Το άθροισμα των απείρων όρων αυτής της γεωμετρικής προόδου μάς δίνει το συνολικό διάστημα S που πρέπει να διανύσει ο Αχιλλέας για να φθάσει τη χελώνα. Είναι: s = - i - = — ! = —! - 100

= ι 1

1-λ i_ J_ 99 99 100 100

Φαινομενικά ο Αχιλλέας δεν θα φθάσει ποτε' τη χελώνα, όπως δηλώνει και ο Ζήνων ο Ελεάτης, αλλά στην πραγματικότητα, όταν ο Αχιλλέας θα διανύσει I στάδια (= 151,5 m), η απόστασή του από τη χελώνα θα είναι μηδενική, δηλαδή θα έχει φθάσει τη χελώνα.

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Ε ϊ) Ισχύει αΚ = α ,+ ( κ - 1 ) ω , αμ = α ,+ (μ - 1)ω και αΡ = α ,+ (ρ -1)ω, οπότε (μ - ρ)ακ. + (ρ - κ)αμ + (κ - μ)αρ

= (μ - ρ)[α, + (κ - 1 )ω] + (ρ - κ)|α, + (μ - 1)ω| + (κ - μ)|α, + (ρ - 1 )ω| = |(μ - ρ) + (ρ - κ) + (κ - μ)]α, + |(μ - ρ)(κ - 1)+(ρ - κ)(μ - 1) + + (κ —μ)(ρ— 1)]ω = 0 · α, + 0 · ω = 0.

ii) Ισχύει ακ = α, · λκ~' , αμ = α, · λμ ' και αρ = α, · λ" ', οπότε π μ ~ ρ . π ρ ~ κ · π κ " μ ιλκ ίΑμ \Λ. ρ

= (α, · λ κ ~ ' ) μ " · (α, • λμ~')ρ"κ · (α, · λ " ' 1 ) " - " f ~ P . Λ. Ρ ^ κ = α •α κ μ · λ<κ ι,1μ ρ) · λ<μ~"(ρ~κ> · λ'ρ1><κ μ>

= α , μ - ρ + ρ κ + κ μ · λ<κ "'μ~ρ>+<μ_ι>(ρ~κ) + 'ρ~ '><κ~μ) = α° · λ°= 1

2 . I ) S 3 V = 3 ( S 2 V — S V ) <=• - ^ - ί α 1 + α3ν) = 3 [ - Γ - < α ι + α 2 Ν ) - Γ ) α ι + αν]

3v 3ν <=> - y - i a , + α3ν) = — [ 2 ( α , + α2ν) - (α, + αν)]

« α, + α3ν = 2α, + 2α2ν - α, - αυ

« α3ν = 2α 2 ν -α ν

<=> α, + (3ν— 1)ω = 2|α, + (2ν - 1)ω] - [α, + (ν - 1)ω]

α, + ( 3 ν - 1)ω = 2α, - α, + |2(2ν - 1) - (ν - 1)]ω

<=* α, + ( 3 ν - 1)ω = α, + ( 3 ν - 1)ω που αληθεύει

i i ) S V ( S 3 V - S 2 V ) = ( S 2 V - S V ) 2

λ ν - 1 Γ λ , ν - 1 λ 2 ν - 1 1 r λ 2 ν - 1 λ ν - 1 ΐ 2 « « ι Τ ^ Γ ΐ α ' · Τ Μ - - α ' · χ τ Ί - ι α · · χ τ τ - α ' λ - ι

λ I f a i /λ 3ν , λ 2ν . ι \ | _ ί α ΐ n 2ν - «- · T ^ r l λ ^ ί ( λ , " λ +1>J = l j ^ T ·(λ — 1 — λ ν + !)

130

^ 1 ^ · ( λ - ΐ ) ( λ 3 - λ ^ = - ^ η λ - - λ ν

« ( λ ν - 1) - λ 2 ν ( λ ν - 1) = [ λ ν ( λ ν - 1)J2

<=> ( λ ν - I)2 · λ2ν = λ 2 ν ( λ ν - I)2 που ισχύει

3. Έ χ ο υ μ ε

3 ν - 4 ν , 3 ν - 4 ν - 3 ν - 4 ν - 2 · 4ν

αν - 3ν + 4 ν 3ν + 4ν ~ 3ν + 4 ν ' ° π θ τ ε

J _ 3ν + 4ν _ 1 u 3^γ α,, — 1 2 ·4 ν 2 ί' 4 ' + 1

Επομένως

1 1 1 - + — + · . . + •

α, — 1 α 2 - 1 α ν - 1

- Ϊ [ ( Τ ) + ' ] - τ Κ Τ ) ! + , ] - · - Τ Κ Τ ) , + 1

— Β τ Μ τ ) ' - · · · * ( τ ) ' - · . 2 W 4 ' ' 4 ' Μ

3 Φ ' - ' = - τ ν + 2 1 4 Ι -

- 1 [ ν - 3 ( | ) · + , |

ι \, , , »/ 3 \ » 1 3 / 3 \ ν ν + 3 = - L [ ( v + 3 , - 3 ( i ) H ( i - ) 2 I ' V 4 / J 2 ν 4 ' 2

4. Επειδή οι x, y, ω είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου έχουμε 2y = x + a> (1)

Επειδή οι χ, ω, y είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου έχουμε

co2 = xy (2)

Ισχύει επίσης x+,y + co= 147 (3)

Έ τ σ ι έχουμε το σύστημα

2y = χ + ω (1) . 2 ω =xy (2)

x + y + co = 147 (3) 131

Έχουμε co = 2 y - x και με αντικατάσταση στην (3) προκύπτει

x + y + 2 y - x = 1 4 7 <=> 3 y = 1 4 7 ή y = 49

Αντικαθιστούμε το y στις (1) και (2) και έχουμε το σύστημα

' x + ω = 98 (4)

„ ω 2 = 49χ (5)

Από την (4) έχουμε x = 98 - ω και με αντικατάσταση στην (5) προκύπτει ω 2 = 49(98-ω) φ=> ω 2 + 49ω-4802 = 0

49 ±147 ζ 4 9

98 <=> ω = = <

Οπότε για ω = 49 είναι χ = 98 - 49 = 49 ενώ ω = - 98 είναι χ = 196 Ά ρ α (χ, y, ω) = (49, 49, 49) ή (χ, y, ω) = (196, 49, - 9 8 )

5. i) Αν οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αρμονικής προόδου, τότε οι

1 J_ J "α ' β ' γ

είναι διαδοχικοί όροι, αριθμητικής προόδου, οπότε ισχύει

2 . - U J - + -L « 2 - α + * β α γ β αγ

2αγ « β = α + γ

ii) · Έχουμε Α = , G ^ x / α γ και Η = 2 α + γ

,2 α + Υ 2 αΥ και επομένως G = α γ = — — = Α · Η

που σημαίνει ότι οι A, G. Η είναι διαδοχικοί όροι γεοομετρική προόδου.

Λ . „ α + Γ . r— • a ^ g <=» — - — ^ ν α γ

α 2 + 2αγ + γ2

^ α γ 4

α 2 + 2αγ + γ 2 ^ 4 α γ

ο α 2 - 2 α γ + γ 2 ^ 0

1 3 2

<=> ( α - γ ) 2 ^ 0 που ισχύει

• G ^ Η <=> Vαγ ^ 2αγ α + γ 4α2γ2

<=» α γ ^ — j τ λ α + γ +2αγ

4 α ϊ « 1 ^ 2 , „.2 α 2 + γ2 + 2αγ

ο α 2 + γ2 + 2 α γ ^ 4 α γ

<=> ( α - γ ) 2 > 0 που ισχύει

6. Αν είναι α, ο 1ος όρος της προόδου και ω η διαφορά της, τότε

α κ - α λ _ α, + ( κ - 1 ) ω - [α, + ( λ - 1)ω] α λ - α μ ~ α, + ( λ - 1 )ω-[α , + ( μ - 1)ω)

α, + ( κ - 1 ) ω - α , - (λ - 1)ω α, + (λ - 1)ω - α, - (μ - 1)ω (κ - 1 - λ + 1)ω (λ - 1 - μ + 1)ω κ - λ μ - λ

^ Επειδή κ, λ, μ θετικοί ακέραιοι, έπεται ότι — e Q

[ι κ

7. Αν ω είναι η διαφορά της προόδου, τότε ισχύει

α ν - α ν , = αν_, — αν 2 = . . . = α 3 - α2 = α 2 - α, = ω

i) Για δύο διαδοχικούς όρους ακ , α κ + , έχουμε

- — — = (— — ) · — , διότι α..., - ακ = ω α κ α

κ + ι ν ακ ακ+ι ' ω

Επομένως

1 1 1 1 + + + . . .+ α,α2 α2α3 α3α4 αν ,αν

, j . [ ( _ l _ - l ) + ( x _ ± ) + . . . + ( _ l —)1 ω l\ α, α2

7 ν α 2 α 3 ' ν αν_, αν ' j

= — ( — - ) ω ν α, αν '

_ 1 . " ν ~ α !

ω α,αν

133

1 α , + ( ν - 1 ) ω - α , ω α,αν

ν - 1 α,α,

ii) Για δυο διαδοχικούς όρους ακ ,, ακ έχουμε

ι = Va"K.,-VotK = Va K . | -Va K

\ ' α κ , + \ίακ ακ , - α κ - ω

Επομένως

1 1 -f~ . . . "f"

Va, + Va2 Va2 + Va3 Vav , + Vav

= - — [(Va,- Va2) + (Va2 -Va , )+ ··· + (Vav. , -Vav)]

(V α,-να^.)

ω 1 . /

11 ω ' α, - α,

-«(Va, + Vav)

- (ν - 1 )ω ν - 1

ωι (Va, + Vav) Va, + Vav

8. Αν α,, α2, α3, ... είναι οι όροι της προόδου, τότε μ» "·2> **3» α2 - α, =2 α 3 - α 2 = 3 Προσθέτουμε κατά

α 4 - α 3 = 4 μέλη τις ισότητες αυ-

α ν — α ν = V τές Kat έχουμε:

αν = α, + (2 + 3 + 4 + ... + ν)

- 2 + + ν)

. ν2 + ν - 2 = 24 -

9. Αν μ°, μ°, μ®,..., μ°2 είναι οι γωνίες των τομέων, τότε έχουμε διαδοχικά:

π κ 3 6 0 + 7 l r 2 3 6 0 + - + 7 i r 2 "360" = π κ ' ° μ ' + μ 2 + μ ' + + μ , 2 = 3 6 0

«=» - γ - ( μ , + μΐ2) = 360

ο 6(μ, + 2μ,) = 360 <=> 6 · 3μ, = 360 <=> μ, = 20°

10. Αφού ημ(β+γ-α), ημ(γ+α-β), ημ(α+β-γ) είναι διαδοχικοί όροι γεωμε-τρικής προόδου έχουμε διαδοχικά:

ημ(γ + α - β) - ημ(β + γ - α) = ημ(α + β - γ) - ημ(γ + α - β)

γ + α - β - β - γ + α γ + α - β + β + γ - α <=> 2ημ— ϊ - — - — σ υ ν - — =

α + β - γ - γ - α + β α + β - γ + γ + α - β = 2η μ σ υ ν — — —

ο ημ(α - β) • συνγ = ημ(β - γ) • συνα <=> (ημασυνβ - ημβσυνα)συνγ = (ημβσυνγ - ημγσυνβ)συνα *=> ημασυνβσυνγ - ημβσυνασυνγ = ημβσυνγσυνα - ημγσυνβσυνα «=> ημασυνβσυνγ + ημγσυνβσυνα = 2ημβσυνασυνγ

ημασυνβσυνγ ι ημγσυνβσυνα _ 2ημβσυνασυνγ συνασυνβσυνγ συνασυνβσυνγ συνασυνβσυνγ

<=> εφα + εφγ = 2εφβ, που σημαίνει ότι οι εφα, εφβ, εφγ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

11. Το ζητούμενο άθροισμα γράφεται

S = (x 2 + p +2) + ( χ 4 + £ +2) + ... + (χ2"+ +2)

= (χ2 + χ 4 + ... + x'v) + ( p - + - J - + ··· + - ^ - ) + 2 · ν

2 ( χ 2 ) ν - 1 , 1 = χ · — γ — γ — + — γ - · — 5 + 2 ν

χ - 1 χ 1

1 1 , 2 Χ 2Ν — 1 . 1 Χ 2 Ν

χ 2 ' 1 = χ 2 · ^ — 7 - + - h + 2 ν

' _ ] χ

135

, χ 2 ν - 1 1 χ 2( 1 — χ 2 ν ) „ — Χ * 2 , + 2 2 ν / 1 2 \ χ - 1 χ χ (1 — χ )

(χ 2 ν + 2 + 1)(χ2ν - 1) , = τ2—γγ1ϊ + 2 ν

(χ - 1)χ

12. Αν χ είναι η πλευρά ενός ισόπλευρου τριγώνου, τότε το ύψος του

χ / 3 χ 2 / Ι είναι — χ κ α ι το εμβαόό του —-—.

χ \ 3 Το εμβαδό του ισόπλευρου τριγώνου με πλευρά - γ - είναι

( i # ) V 3 _ , ( ^ ) V i x V 3 3 . Επομένως : —— = — που σημαίνει

4 4 4 4

ότι τα εμβαδά των ισόπλευρων τριγώνων σχηματίζουν γεωμετρική πρόο-, α Η/3 , 3 δο με πρώτο ορο — - — και λογο λ = — .

Επειδή | λ | < 1 το άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων είναι

a 2 v 3

S= = a 2 V 3

1 ~ τ

Το εμβαδό του γραμμοσκιασμένου τετραγώνου είναι (ΕΒ)2. Ό μ ω ς από τις μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε

(ΕΒ)2 = (ΒΔ) · (ΒΚ) = 2 · ^ - a = a S / 3 δηλ. (EB)2 = S

13. Αν είναι α, ο πρώτος όρος της προόδου και λ ο λόγος της, τότε έχουμε

λ 4 — 1 « v - χ γ τ - 1 5 ( 1 )

και «2,

Υψώνουμε τα μέλη της (1) στο τετράγωνο και την ισότητα που προκύ-πτει τη διαιρούμε κατά μέλη με τη (2).

136

α,2( λ 4 - 1 γ λ - 1 ' 225

α.2· ( λ 2 ) 4 - 1 λ 2 - 1

85

(λ4 - 1) 2(λ 2- 1) 45 ( λ - 1)2[(λ2)4- 1] 17

α 4 — 1)(λ+ 1) 45

«=>

( λ - 1 ) ( λ 4 + 1 ) 17

λ4 4- 2λ3

4 - 2λ2 4- 2λ 4- 1 45

λ 4 + 1 17

14λ4 — 17λ' — 17λ 2 - 17λ — 14 = 0

Διαιρούμε τα μέλη τη τελευταίας εξίσωσης με λ2 (ισχύει προφανώς ότι λ^Ο) και έχουμε διαδοχικά:

17 14 <=> 14λ2 — 17λ — 17 — + - ρ - = 0

1 4 ( λ 2 + ^ ) - 1 7 ( λ + - i - ) - 17 = 0

1 , * 2 . 1 Αν θέσουμε λ + — = q , τότε λ 2 + ^ = q 2 - 2 και η εξίσωση γίνεται λ, λ

14(q2 —2)— 17q— 17 = 0 <=> 14q2— 17q —45 = 0

Από την εξίσωση αυτή βρίσκουμε q, = y και q 2 = - y

1 Με αντικατασταση των τιμών αυτών του q στην λ 4- — = q προκύ-

πτουν οι εξισώσεις:

1 5 1 9 λ + γ = y (3) και λ + γ = - — (4)

Η (3) έχει ως λύσεις τις λ, = 2 και λ 2= — , ενώ η (4) είναι αδύνατη.

Αν αντικαταστήσουμε τις τιμές αυτές του λ στην (1) προκύπτει ότι

για λ = 2 είναι α, = 1 και για λ = γ ε ί ν α ι α 2 = 8

Ά ρ α η ζητούμενη πρόοδος είναι 1, 2, 4, 8, 16, ...

ή 8, 4, 2, 1, — ,... 137

14. Για δύο διαδοχικά πλάτη a w l και αν έχουμε ανΜ = αν - αν ή 1UU

α ν + , = α ν · — , που σημαίνει ότι η γεωμετρική πρόοδος που σχηματί-

9 ζουν τα πλάτη έχει λόγο λ = — .

Επειδή j λ | < 1, το ολικό διάστημα που θα διανύσει το άκρο του εκκρε-μούς είναι

10 10

, . 1 1 10 ί ο

100 cm

138

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο

§ 4.1

α ο μ α δ α σ

i) * Για τη συνάρτηση f(x) = 3\ εργαζόμαστε όπως στην §4.1 για την f(x) = 2Χ και παίρνουμε το σχήμα.

• Είναι ί',(χ) = -L = 3~χ= f(—χ) 3Χ

Επομένως η γραφική παράσταση της f,(χ) = 3" θα είναι συμμετρική της

γραφικής παράστασης της f(x) =3" ως προς τον y ' y. (Σχ. α).

ii) · Η γραφική παράσταση της

f2(x) = 3Χ+2 προκύπτει από μια κα-τακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της f(x) = 3Χ κατά 2 μο-νάδες προς τα πάνω (Σχ. β).

• Η γραφική παράσταση της

f3(x) = 3*-3 προκύπτει από μια κα-τακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της f(x) = 3Χ κατά 3 μο-νάδες προς τα κάτω (Σχ. β).

iii) · Η γραφική παράσταση της

f4(x) = 3Χ'2 προκύπτει από μια οριζό-ντια μετατόπιση της γραφικής πα-ράστασης της f(x) = 3* κατα 2 μονά-δες προς τα δεξιά (Σχ. γ).

• Η γραφική παράσταση της f5(x) = 3Χ+2 προκύπτει από μια οριζό-ντια μετατόπιση της γραφικής πα-ράστασης της f(x) = 3Χ κατα 2 μονά-δες προς τα αριστερά (Σχ. γ).

y =

Σ χ . α

,χ+2

σ χ . ϊ 139

iv) Η γραφική παράσταση της t6(x) = 3ν2+1 προκύπτει από ένα συν-δυασμό μετατοπίσεων της γραφικής παράστασης της f(x) = 3 \ πρώτα μιας οριζόντιας κατά 2 μονάδες προς τα δεξιά και έπειτα μιας κατα-κόρυφης κατά 1 μονάδα προς τα πά-νω (Σχ. δ).

ν) · Είναι ήδη γνωστή η γραφική

παράσταση της g(x) = e \

• Η γραφική παράσταση της

g,(x) = e"2 προκύπτει από μια οριζό-ντια μετατόπιση της γραφικής πα-

ράστασης της g(x) = es κατά δύο μο-νάδες προς τα αριστερά.

• Η γραφική παράσταση της

g2(x) = eA είναι συμμετρική της γρα-

φικής παράστασης της g(x) = e" ως προς τον άξονα y ' y.

• Η γραφική παράσταση της

g3(x)= eA+2 προκύπτει από μια κα-τακόρυφη μετατόπιση της γραφικής

παράστασης της g2(x) = e ' κατά δύο μονάδες προς τα πάνα).

σχ.δ

Σ χ . ϊ

2. · Για κάθε εξίσιοση διαδοχικά έχουμε:

ί) 2χ=64 <=> 2'=2"<=> χ = 6

1 0 ( ι ί Ή ζ Η Η ' " * 1

140

-2 1111 (ίΗ Η^ΗίΚ1) ~χ=-2

i«> 3 " = « ( } ) = ( - ! ) ο χ = 4 81

" (ϊΗΚΚΚΉϊΓ Vi) 274χ= 9Χ+Ι <=>(33)4 = (32)Χ+Ι <=> 3 ι2χ=32χ+2

<=> χ =

<=> 12χ=2χ+2 <=> χ = 1 5

νϋ) 32χ= 16'"χ ο (2s) =(24)" <=> 25χ=24

<=>5Χ=4-4Χ <=> χ = 4 9

viii) 3χ2_χ"2= 1 <=> χ 2 - χ -2= 0<=> χ = 2 ή χ = - 1

3. i) · Η εξίσωση γράφεται 2·22χ-4·2χ=0

Αν θέσουμε 2x=y αυτή γίνεται 2y2-4y= 0 και έχει ρίζες τους αριθ-μούς 0 και 2. Επομένως η αρχική εξίσωση έχει ως λύσεις τις λύσεις των εξισώσεων:

2Χ = 0 και Τ = 2

Η 2Χ = 0 είναι αδύνατη, ενώ η 2" = 2 γράφεται Τ - 2' και έχει ρίζα το

χ = 1 που είναι και η μοναδική ρίζα της αρχικής. ii) Η εξίσιοση γράφεται 2·22χ-5·2χ+2 = 0.

Αν θέσουμε 2x=y αυτή γίνεται 2y2-5y+2= 0 και έχει ρίζες τους αριθ-

μούς ^ και 2. Επομένως η αρχική εξίσιοση έχει ως λύσεις τις λύσεις των

εξισώσεων 2Χ = Α- και 2Χ=2, δηλαδή των 2Χ=2~' και 2Χ=2' που έχουν ρί-

ζες το - 1 , 1 αντιστοίχως. iii) Ομοίως αν θέσουμε 3" = y η εξίσωση γίνεται 3y2-26y-9=0 και έχει

ρίζες y=~- και y=9, οπότε η αρχική έχει ως λύσεις τις λύσεις των εξι-

σιοσεων: 3X=-J- και 3Χ=9.

3

141

Η 3Χ=-^- είναι αδύνατη, Ενώ η 3" = 9 <=> 3Χ = 32 έχει ρίζα την x = 2 που

είναι και η μοναδική ρίζα της αρχικής.

4. i) Έχουμε 5χ2~5χ+<'< 1 <=^5χ2_5χ+4<5°

<=>χ2-5χ+6<0 (γιατί 5>1) ο 2<χ<3

ii) Έχουμε: 7νΜ<72ν4 <=>x+l<2x-4 (γιατί 7>1)

ο χ>5

iii) Έχουμε ( i j < | j | o x + l > 2 x - 4 (γιατί 1<1)

<=> χ<5

5. i) Έχουμε:

• 82"1 = 32·44Η <=> (23)2"' = 25 (22)4y 1 <=> 2'" ' = 28·"3

<=> 6x+3 = 8y+3 <=> 3χ = 4ν

• 5-5xy = 52^' <=> 5xy+1 = 52· '̂ <=> x-y+1 = 2y+l

<=> χ = 3y Έτσι το αρχικό σύστημα είναι ισοδύναμο με το

|x=3y ^ jx=3y ^ | χ = 0 |3x = 4y |9y = 4y \y = 0

ii) Αν θέσουμε 3" = φ και 2· =ίω, τότε το σύστημα γράφεται: |φ+ω= 11 ^ |2φ=18 ^ |φ = 9 \φ—(ο= 7 (2ω=4 |ω = 2

Άρα το αρχικό σύστημα είναι ισοδύναμο με το

|3Χ=9 0 ( 3 Χ = 3 2 < J x = 2 (2 ' = 2 M 2 y = 2 ' | y = 1

6. i) Έχουμε: iex :ey =1 j e x _ y = e° j x - y = 0 fx =1

[ex · ey = e2 ° j e x + y = e2 ^ [x + y =2 ^ [y =0

ii) Θέτουμε 2X = z και 2 y = w , οπότε το σύστημα γράφεται:

jz · w =8 ί ζ ( 6 - ζ ) =8 [ ζ 2 - 6 ζ + 8 = 0

I ζ + w —6 IW = 6 - ζ I w = 6 - ζ

142

fζ -2 ή ζ =4 ί ζ =2 , f ζ =4 <=> < <=> ^ η ^

w = 6 - ζ w =4 w =2

Επομένως:

• Αν

• Αν

Ζ : =2 τότε

2" =2 οπότε ί χ =1

τότε , οπότε W -4 Κ)

ν: II 4- [y =2

Ζ =4 τότε

ί 2 χ = 4 οπότε ί χ =2

τότε 12 y =2 '

οπότε =1 W =2 12 y =2 ' \y =1

7. Οι ρίζες της εξίσωσης w" - 101w + 100 = 0 είναι οι 1 και 100. Επομένως

w1 - 1 0 h v + 1 0 0 < 0 ο 1 < νν< 100 (1)

Για την επίλυση της ανίσωσης 102* - 1 0 1 · 10* +101 < 0 , θέτουμε

10* = w, οπότε έχουμε να επιλύσουμε την ανίσωση w2 - 1 0 1 νν +100 < 0 . Λόγω της (1) η ανίσωση αυτή αληθεύει όταν 1 < w < 100, οπότε έχουμε

1 < 10* < 100 ο 10" < 10* < 102 ο 0 < jc < 2

143

β ο μ α δ α σ

1. * Η ί ορίζεται σε όλο το Κ αν και μόνο αν είναι:

2 ~ α >0 <=> (2-α)(2α-1)>0 2α-1

<=> (α-2)(2α-1)<0

<=> J-<a<2 2

i) Η f είναι γνησίως αύξουσα αν και μόνο αν είναι:

- 1 > 0

2 α - i 2 α - 1

« 2 - α - 2 α + 1 > Q

2 α - 1

« V 3 t l > 0 2 α - 1

«=> 3(1-α)(2α-Ι)>0

<=> (α-1)(2α-1)<0

<=> 1 < α < 1 2

ii) Η f είναι γνησίως φθίνουσα αν και μόνο αν είναι:

()< 2 _ α < i 2 α - 1

Βρήκαμε όμως ότι:

0 < 2 _ " <=> 1 < 1 < 2 (1) 2α-1 2

Λν εργαστούμε όπως στη (i) βρίσκουμε ακόμη ότι:

< 1 <=> α < 1 ή α > 1 (2) 2 α - 1 2

Οι (1) και (2) συναληθεύουν για 1<α<2. Γι' αυτές τις τιμές του α η f είναι γνησίως φθίνουσα.

144

i) Η εξίσωση γράφεται:

— — 5Λ / £ + 1=0 ο - 4Χ—5.^2^* +1=0 4 V 42 4 4

« 4 - 5-2χ+ 4=0

ο 22 χ- 5·2χ+ 4 = 0

Αν θέσουμε 2ν = y αυτή γίνεται y2-5y+4 = 0 και έχει ρίζες y = 1 και y = 4, οπότε η αρχική είναι ισοδύναμη με τις 2ν = 1 ή 2ν = 4. Επομένως οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης είναι x = 0 ή x = 2.

ii) Η εξίσωση γράφεται:

3Χ+ 1 3Χ= 45 + 1 <=> ± 3Χ=-5. + 1 3 9-3χ 3χ 3 3Χ 3Χ

« 4 ^ = 1 2 3 3"

<=> — 32χ= 12 3

<=> 3 2 χ = - — 4

<=> 32χ=32

<=} χ = 1

iii) Η εξίσωση γράφεται:

21 ·3Χ+ 5χ+3= 3χ+ι+5χ+2 « 21 3Χ- 34-3χ =52·5χ - 53·5Χ

<=> -60·3Χ=-100·5Χ

« ( 3 f = i O O = 5 V51 60 3

Η <=> χ = - 1

βϊ β)

iv) Η εξίσωση γράφεται: 9Χ+9Χ=Ι14Χ+4 4Χ<=>2·9Χ=21 4Χ

<=>|ϊ| =21

145

<=> G f - g ο 2 χ = 3

<=> χ = 3 2

ν) Η εξίσωση γράφεται:

4 - - 1 = 3 χ·3 '2- 2ΐ1 <=> 4χ = v3-3x - ^ 3̂ 2 2 v3 2

ο 4 χ + £ . = \ γ 3·3 χ + 3χ

2 v3

φ - 4-2

3λ3

12χ / \3 = 2

vv3 ' κ'3

<=> 2 χ - 3

< > χ = 3. 2

3. ΐ) Αν θέσουμε 3- = ω και 2* = φ το σύστημα γράφεται:

ω - φ = 1 | ω = 1 + φ ή ισοδύναμα

ω - - - =11 11 + φ+ Ι έ = 11 φ \ φ

Η δεύτερη εξίσωση γράφεται φ2-10φ+16 = 0 και έχει ρίζες φ=2 και φ=8, οπότε από την πρώτη εξίσωση παίρνουμε για φ = 2, ω = 1+2 = 3 ε-νώ για φ = 8, ω = 1+8 - 9.

Επομένως το αρχικό σύστημα έχει ως λύσεις τις λύσεις των συστημάτων: , ν . | 3 > = 3 _ Χ 13y=9 (Σ,) και (Σ2)

[ 2 χ = 2 ( 2 χ = 8

που είναι τα ζεύγη (x = 1, y = 1) και (χ = 3, y = 2) αντιστοίχως. ii) Το σύστημα γράφεται:

|2"-5y=250

15x-2y=40

Αν πολλαπλασιάσουμε τα μέλη της Ι1^ εξίσωσης με τα αντίστοιχα μέλη της 2 ^ παίρνουμε το ισοδύναμο σύστημα:

ι4()

/2x+y-5x+y= 10CXX)

\5x-2y=40

Η 1*1 εξίσωση γράφεται: 1(Γν = 1 0 ' o x + y = 4<=>y = 4 - x

οπότε η 2T' γίνεται:

5X · 24"x = 40 ο = I

<=> χ = 1

Έχουμε τότε y = 4-1 = 3 και η λύση του συστήματος είναι (x = 1, y = 3).

4. i) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορι-σμού το IR, είναι άρτια

|αφού f(-x)=3'~x '=3 lxl=f(x)j

και γράφεται:

f(x) = |3Χ, αν χ>0

(3~\ αν χ<0

Λόγω της συμμετρίας ως προς τον y ' y περιοριζόμαστε στο [0, + °°), όπου η 3" είναι γνησίως αύξουσα (γιατί 3>1) και κατασκευάζουμε τον πίνακα:

Χ 0 0,5 1 1,5 2 3" 1 1,73 3 5,2 9

Με τη βοήθεια αυτού και της συμμετρίας χαράσσουμε πρόχειρα τη γραφική παράσταση της f(x) = 3'"'. ii) Η συνάρτηση γράφεται:

f(x)= ( Γ · α ν χ 2 0

\ 3 \ αν χ<0

Απ' αυτό συμπεραίνουμε ότι η γραφική παράσταση της f αποτελεί-ται από τα διακεκομμένα τμήματα του σχήματος (ii). Έτσι για τη γρα-φική παράσταση της f(x) = e"" έχου-

με το διπλανό σχήμα (iii).

y 1 ι

ΙΛ · 3 " Ι

V S (α. I)

ο I Χ

Σχ. ii

Σχ. iii

1 4 7

Έχουμε:

f2(x)-g2(x)=J-|a"+a j - ί | α Χ - α x j

= l ( a 2 x + 2 a x a x+ a 2x- aZx+2axa χ - α 2 χ )

- j (2+2) = 1 4

6. i) Στο τέλος της |Ί5 εβδομάδας η ποσότητα της βενζίνης που θα έχει

εξατμισθεί θα είναι 5· 2fi_=50,2, οπότε η βενζίνη που θα έχει απομεί-

νει στο δοχείο θα είναι: Q, = 5-5-0,2 = 5( 1-0,2) = 5· 0,8

Ομοίως η ποσότητα της βενζίνης στο τέλος: — της 21? εβδομάδας θα είναι Q, = Q,O.8 = 5· (0.8)2

— της 3*15 εβδομάδας θα είναι Q, = Q20.8 = 5· (0,8)·*

— της t εβομάδας θα είναι Q, = 5· (0,8)' Επομένως η συνάρτηση που ζη-

τάμε είναι Q(t) = 5 - (0,8)

ii) Επειδή 0,8<1 η συνάρτηση είναι φθίνουσα. Κατασκευάζουμε έναν πίνακα τιμών (t>0).

t 0 1 2 3 4 5 6 7 Q(t) 5 4 3,2 2,56 2 1,6 1,3 I

με τη βοήθεια αυτού χαράξουμε μια πρόχειρη γραφική παράσταση.

iii) Είναι Q(40) = 5 · «),8)"'~ (),(ΚΚΚ)132 λίτρα Επομένως μετά από 40 εβδομάδες θα έχουν απομείνει 0,0000132 λίτρα βενζίνης.

7. i) Επειδή η ποσότητα Q του ραδιενεργού υλικού ακολουθεί το νόμο της εκθετικής απόσβεσης θα έχουμε διαδοχικά:

Q(t) = Q„ea

Q(t) = 5-e" (γιατί Q„= 5 γραμ.) (1) Επειδή ο χρόνος υποδιπλασιασμού είναι t=1600 έτη, από την (1) θα

έχουμε διαδοχικά:

Q(I600) = 5e c 16(10

5, — 5_ec 1600 2

^ 1600c = Γ

2

(ec)l600=l 2

Επομένως ο τύπος (1) γράφεται: / ν™-

Q(t) = 5(eL)' = 5-(J-)IW0 = 5(0,5)1600

600 3 ii) Q(600) = 5·(0,5),600 = 5· (0,5)* ̂ 3 , 8 6 γ ρ « μ .

20000

iii) Q(2(X)00) = 5 (0,5)"|6(|0 = 5 (0 ,5 ) ' "^Ο,ΟΟΙγραμ.

Οι υπολογισμοί να γίνουν με υπολογιστή τσέπης.

8. i) Η τιμή του αυτοκινήτου σε χιλιάδες στο τέλος του 1ου χρόνου θα είναι Tt = 40-40-0 ,15 = 40 0,85

του 2ου χρόνου θα είναι Τι = Τ 0,85 = 40 ·(0,85);

του 3ου χρόνου θα είναι · 0,85 = 40 · (0,85)2

του t χρόνου θα είναι Τ = 40(0,85)', t < 6

Επομένως η συνάρτηση που ζητάμε είναι Τ, = 40(0,85)', t < 6

ii) Η τιμή του αυτοκινήτου στο τέλος του 6ου χρόνου θα είναι

Τ(6) = 40 (0,85)6 « 15,085 χιλιάδες ευρώ, δηλαδή 15.085 ευρώ.

9. i) Έχουμε e"05* = -j— = — L _ = _ L e · (ex) Vex

Έτσι για — x=0 είναι e"05' °= e°= 1

— x= 1 είναι e-°i i = J ~ 0 , 6 0 6

— x=2 είναι e~°5 2 = e~' = 1 ~ 0 , 3 6 8 e

— x=3 είναι e"05 3 = — L - = _ L ~ 0 , 2 2 3 Ve3 eVe

— x=4 είναιe"05 '4 = e"2 = J - ~ 0 , 1 3 5 e2

14')

— χ=5 είναι e ί - 1 Ves e2Ve

~ ο, ο 8 2

ii) Έχουμε Ι(χ) = Io-e"0-,\ οπότε = eJ ) 5 x

ιο

(α) Είναι — = 1 <=> e 05χ= 1 <=> — 0,5χ=() <=> χ = 0 ιο

(β) Είναι =0,1 ο e °·,ν=0.1 'θ

Από την (ί) βλέπουμε ότι η τιμή του e-0" που είναι πλησιέστερη στο εί-ναι η 0,082 και αντιστοιχεί στο χ=5. Επομένως η τιμή του χ που ζητάμε είναι το 5 (αφού η e-"5" είναι φθίνουσα). iii) Με τη βοήθεια του πίνακα τιμών

X 0 1 2 3 4 5 I(x) - e - ° 5 *

I , 1 0.605 0,368 0,223 0,135 0,082

Χαράσσουμε τη γραφική παρά-σταση της y = e"·5*. Απ' αυτή βλέπουμε ότι η τετμημένη χ του σημείου Μ είναι πλησιέστερα στον ακέραιο 5 πράγμα που επιβεβαιώνει την τιμή χ = 5 που βρήκαμε προηγουμένως.

10. ί) Έχουμε e 2 t =-L οπότε για e2t

— 1 = 0 είναι e"2 °= 1

—1= 1 είναιe~2 ' = - l ~ 0 , 1 3 5

—1=2 ε ίναιε 2 2= J - ^ 0 , 0 1 8 e 4

— 1 = 3 είναι e-2·1·- ' ~ 0 , 0 0 2

ii) Έχουμε T(t)=T0(l+e 2l) ο - S ^ = 1+e 2t. Επομένως: To

a ) T(t) =

To 1,1 ο 1+e 21 = 1,1 <=> e 21 = 0,1

ISO

Από (i) βλέπουμε ότι η τιμή του e 2i που είναι πλησιέστερη στο 0,1 είναι η 0,135, που αντιστοιχεί στο t = 1.

Επομένως η τιμή του t που ζητάμε είναι το 1 (αφού η f(t) = e 2' είναι γνησίως φθίνουσα).

β) Μ = 2 <=> 1+e"2' = 2 τ„

ο e 21 = 1

ο —2t = 0

<=> t = 0

11. Η ελάτίωση του q ακολουθεί το νόμο της εκθετικής μεταβολής με

σταθερά - —L- <0. Έτσι η συνάρτηση q(t) είναι φθίνουσα και η καμπΰ-RC

λη της έχει ασύμπτωτη του άξονα των τετμημένων t ' t. Αν στον άξονα τετμημένων t ' t πάρουμε το RC ως μονάδα, έχουμε

τον πίνακα τιμών:

t 0 RC 2RC 3RC q i q q0 O,37q0 0,14q„ 0,05qo qo

Με την βοήθεια των παραπά-νω χαράσσουμε τη γραφική πα-ράσταση του διπλανού σχήματος, ii) Όπως φαίνεται στη γραφική

παράσταση το φορτίο γίνεται:

α) μικρότερο από ί q0 για 2

όλες τις τιμές του t = kRC μ£ k = 1,2, 3...

β) μικρότερο από - L q() για 10

όλες τις τιμές του t = kRC με Ί Γ = 3,4,...

q(t) = q<je 'R c

RC 2RC 3RC

151

§ 4.2

Α ΟΜΑΔΑΣ

1

I. i) Αν θέσουμε logmO,OOI = χ, τότε έχουμε:

iog,0o.ooi = x <=> ios = ο.(Χ)ΐ <=> ιαχ = ια3<=> χ = - 3.

Αρα log lo0,001 = -3 .

ii) Αν θέσουμε log, V I0 = χ, τότε έχουμε: 10

log, / l O = Χ<=>( ί ) =V10 <=> 10~Χ = ltf <=>-x = 1 <=>χ=-κ) 110/ 2

Αρα log ι VlO = - 1 iii 2

iii) Αν θέσουμε log, 32 = χ, τότε έχουμε:

log, 32= χ <=>1^1 = 32 <=> 2 Χ = 2s <=>-x = 5 <=> χ = - 5

Αρα logi 32 = - 5 2

iv) Αν θέσουμε log., ̂ 2^-= χ, τότε έχουμε:

log,V27 = χ, < = > 9 Χ = ^ <=> 9Χ = V3 <^32χ = 32<=>2χ=' <=>x=J 3 3 2 4

Αρα l o g , ^ 7 = 1 3 4

ν) Αν θέσουμε log-, 16= χ, τότε έχουμε:

log^ 16= χ <=> (V2)"= 1 6 » 2^= 24 <=>^-=4 <=> χ= 8

Αρα log^ 16 =8

vi) Αν θέσουμε log ι J -8- = χ τότε έχουμε: 2 V 27

,ο8?ν̂ ** "{ϊί'ίn ~&ηιρ Αρα l o g , y ^ = - 3

IS2

2. i) loglux = 3 <=> 10' = χ « χ = 1000

ii) log4x=-i<=> 4"i = x <=> x=-L:<=> x = i 2 V 4 2

iii) log^x= ~ <=> (V2 ) J =x ο x=(22)3 <=> x = 25 <=> χ = ί 2

3. II ρέπει 0<α*1. Με τον περιορισμό αυτό έχουμε:

i) log,,16= 4 ο α 4=16 « · α = V16 = 2 , α φ ο ύ α > 0 .

3 3 — 2 2 2 ii) log, <8= 3. ο α ί = 8 <=> (αϊ)3=85 « α = 8 ΐ ο α = (2*)ΐ= 4.

2

iii) log«0,l=— 3 <=> α 3=0,1 <=> α 3= 10 <=> α = \ 10

4. i) log23+21og24-log2l2=log23+log24 -log212

= log23+ log216 - log212

= l°g2 ^ y ^ = log24 = log222=2.

ii) 31ogio2+logi,5 - logi«4 = logi,»8+log105 - log,,A

= logi„ — + log]010 = 1 4

i i i ) J I o g i o 2 5 + l l o g i o 8 - i l o g i o 3 2 = l o g i 0 V 2 5 + l o g i o l / s - l o g i o Y 3 2

= logi05 + logi,)2 - logi02

= l o g i o 1 0 - logi02 = 1 - logi,)2

iv) Είναι log26 - 21og2V3 = log26 - log23 = log,2 = 1

Αρα η ζητούμενη παράσταση ισούται με 2' = 2.

ν) 21og2(2 +V2)+ log 2(6-4/2)= log2(2 +V2) + log2(6-4V2)

= log2(6+4\ /2)+log2(6-4V?)

= log2(6+4\'2)(6-4V2)

= log2(36-32)=log24=log222=2

1 5 3

5. Ζητάμε τον t για τον οποίο ισχύει Q(t) = 10Qo. Έχουμε:

Q(t) = 10Q0«Q0-e"M ' = 10Q0

<=> e'U4' = 10

<=> 0,34t = InlO

ο 0,34t~ 2,3026 <_>ΓΞ 2,3026 ̂ 6 > ? 7

0,34

<i=> t ~ 6 h 46min

6. i) Είναι h = 3050 και ρ = 68900. Επομένως, σύμφωνα με τον τύπο (*) έχουμε διαδοχικά:

ak 3050 ^ Ak· 3050 689 ~ 1013

ο 3050k = In 6 8 9

1013

« 3050k = 1 n 689 -1 n 1013

, In689— 1 n 1013 n Λ Λ Λ , . , «=> k= ~ - 0 , 0 0 0 1 2 6 3050

ii) Αν τώρα στον τύπο (*) θέσουμε όπου k = -0,000126 και h= 1000 βρίσκουμε ότι:

p = 101300 · e "1" ~ 101300 · 0,881615 ~ 89308 Άρα η ατμοσφαιρική πίεση σε ύψος 1000m είναι 89308 Pascals.

7. i) Επειδή L= V 100·L„, λόγιο του τύποι» (*). έχουμε:

m = 6-2,5 logV 1(Χ) =6-2,5 loglO^5 =6-2,5 ^ = 6-1 =5.

Αρα m = 5 ii) Από τον τύπο (*) για m = 1 έχουμε διαδοχικά:

1 = 6-2,5-log L <=> 2,5 log -L- = 5 Lo L»

<=> log i = 2

« 1 = 1 0 i. .(i

« L = 1 (X)L„

Αρα ένας αστέρας 1ου μεγέθους είναι 100 φορές λαμπρότερος από έναν αστέρα 6ου μεγέθους.

8. i) Επειδή S(l) = 15 (χιλιάδες μονάδες) έχουμε: 15 = 100 ( I -e k ) <=> 0,15 = 1 - e l

<=> e l = 0,85

«=> k = ln0,85= -0,16 Επομένως S(t) =100(l-e-».<«) (1)

ii) Οι πωλήσεις (σε χιλιάδες μονάδες) μετά από 5 χρόνια, σύμφωνα με τον τύπο (1), θα είναι:

S(5)= 100·( 1—e'0165) = 1 (Χ) (1 - e °8)

= 100 (1-0,4493)= 100· 0,5507 = 55,07 Αρα οι πωλήσεις κατά τα 5 πρώτα χρόνια ανέρχονται σε 55070 μο-

νάδες.

Β ΟΜΑΔΑΣ

1. ·) 41 2 = (22)' 2 1:3823 _ 2 2 - k's23— 2k'g24_ ^s23 = 2k>si3 ^

3

ii) 9 2 bS,'8_l = (32)2 l " S , l 8 ^ l 2 l 0 g l 1 8 " 1

= 3 k>83l8-2_ j b g j l S - bgi9 = ^ b g j ^ = ^ b g i = j

2. Επειδή οι: θ,. θ2, θ3,... είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής περιόδου, θα υπάρχει λ>0 τέτοιος ώστε να ισχύει:

θ\<+! = λθν, για κάθε ve IN

οπότε log0v+i = 1(^λθν, Υ ια κάθε ve Μ

ή logOv+i = log0 v +lc^ για κάθε ve IN

που σημαίνει ότι οι: logO„ log()2, log03,... είναι διαδοχικοί όροι αριθμη-

τικής προόδου με διαφορά ω = Ιι^λ.

3. Επειδή α, = log2, και α, = log8. η διαφορά της προόδου θα είναι ίση με

ω= log8-log2 =log4 = 21og2

Επομένως, λόγω του τύπου Σ ν= Ρ«ι + (ν-1)«)]ν ^ ο υ μ £ .

„ [21og2+(v-l)21og2]v (2vlog2) v 2, ~ ζ, - —~ =vlog2. 2 2

I. log (log V V " f . . . 110 ] = log^log'^io)

ν ριζικά

= log|-J^| = log 10 v = - v

l o g | l - l j + l o g | l - l j + ... + iogj 1 — —1= log ί +log ̂ + log^ + ... + l o g — '

= log 1 1 3 . . . . . Λ - ' 2 3 4 ν

= log i = - logv. ν

6. Αν χρησιμοποιήσουμε τον τύπο αλλαγής βάσης, βρίσκουμε:

. log„x

log,<a

. 2 loguX2 21og„x ί . ,.] log .̂-x = = — — = log„x αψου x>0

7. Αν χρησιμοποιήσουμε τον τύπο αλλαγής βάσης, βρίσκουμε:

. . . ,, . logβ loga ι) log„jMog|,a= fol • c = 1 loga logP

ii) log,^2 log | ia3= 2Iog,Ji-31ogfia=6(log,Ji·log(iU) =6

iii) logJVlog^/log.a = ^ · '° c < 1 = 1 loga ^ β logγ

8. Αν χρησιμοποιήσουμε τον τύπο αλλαγής βάσης, βρίσκουμε:

d i o g , e + i o g l / i i o = M +1 ° s i = M + ' Μ

loga l o g i loga - loga a

_ logO _ logO _

loga loga

ii) Ι„8,,(1 .Ρ)+1οΕ ((α|«=ί°|1"»+Ι58<"ι '>.

loga ^ β

_ ^ ( α β ) · ^ β + ^ ( α β ) loga

loga Κ^β

log(aP) jlogfi+logaj

loga logP

= l o g ( a ^ h o g o a ^

logalogP

! 0 ^ & = ι ο 6 , ( α » ) 1 ο & ( ο ρ )

loga logβ

§4.3

Α ' Ο Μ Α Δ Α Σ

1. · Κατασκευάζουμε έναν πίνα-

κα τιμών της συνάρτησης f(x) =

log2x

Χ 1 I 1 1 ? . 4 8 8 4 2

y - 3 - 2 - 1 0 I 2 3

Τοποθετώντας τα σημεία (χ, y) του παραπάνω πίνακα και ενώνο-ντας με συνεχή καμπύλη έχουμε το διπλανό σχήμα.

• Εργαζόμασθε με τον ίδιο τρό-πο. Επειδή για κάθε χ>0 ισχύει:

log2x=-f(x) g ( x ) = l o g i x = ^ ^ = - l l o g 2 i

η γραφική παράσταση της g είναι συμμετρική της γραφικής παράστασης της f ως προς τον άξονα x ' χ.

Για να παραστήσουμε γραφικά την f(x) = logx κατασκευάζουμε έναν πίνακα τιμών

Χ 1 4

1 3

1 2

1 2 4 8

y - 0 , 6 0 - 0 , 4 8 - 0 , 3 0 0 0,30 0,48 0,60

1 5 7

Επειδή g(x) = f(x) - 1, η γρα-φική παράσταση της g προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της 1 κατά 1 μονάδα προς τα κάτω.

Τέλος, επειδή h(x) = f(x-l) , η γραφική παράσταση της h προκύ-πτει από μια οριζόντια μετατόπι-ση της γραφικής παράστασης της f κατά I μονάδα προς τα δεξιά.

y = logx

l»g(x- 1 >

y = log x-

3. Επειδή 0<α^1 έχουμε: i) f(2) = 4 <=> α = 4 <=> α -- 2 Αρα f(x) = 2

g(2) = 4 ο logu2=4 <=> a J = 2 <=> a = v2

ii) f(-2) = 4 <=> a 2- 4 » a2= ' <=> a=

Αρα k(x) = x

Αρα f(x) 4 2

ενώ δεν υπάρχει η g, αφού ο λογάριθμος αρνητικού αριθμού δεν ορίζε-ται. iii) 1(2) = - 4 ο α'2 = - 4 (αδύνατο)

g(2) = - 4 « log„2 = - 4 <=> a 4 =2 ο a =,

iv) 1 ( 2) • -4 <=> a = - 4 ο α"=·

v?

(αδύνατο)

Επίσης δεν υπάρχει η g, αφού ο λογάριθμος αρνητικού αριθμού δεν ορίζεται.

Για χ = 50 είναι logx = log50 = log = log 1 (Χ) — log2 = 2-log2 ξ 1,7

Αρα y = 1-t 10-1.7=18

Για x = 1(Χ) είναι logx = log 100 = 2. Αρα ν = 1+10 2 = 21

Για χ = 200 είναι logx = log( 1 (Χ)·2) = logl(X)+log2 = 2+log2 =2.3

Αρα y = 1 + 10-2,3 = 24 Για χ = 400 είναι logx = log( 100·4) = log 100+log4 = 2+21og2 =2,6

Αρα y = 1+10 2,6 = 2 7

Για χ = 8(Χ) είναι logx = log( 100-8) = Iogl00+log8 = 2+31og2 =2.9

Aoa y = 1 +10-2,9 = 30

158

Για χ = 1600 είναι logx -log( 100 • 16) = log 100 + log 16

= 2 + 4 log2 = 3,2

Αρα y = 1 + 10-3,2 = 33

Επομένως έχουμε τον παρακάτω πίνακα:

Χ 50 100 200 400 800 1600 y 18 21 24 27 30 33

Παρατηρούμε ότι:

• Οι τιμές του x είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής πρόδου με λόγο

λ = 2, ενώ

• Οι τιμές του y είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με

διαφορά ω = 3.

5. i) Η εξίσωση ορίζεται αν χ+1>0 και χ-1>0, δηλαδή αν χ>1. Με τον περιορισμό αυτό έχουμε:

log(x+1) + log(x-1) = log2 <=> log|(x+1 )(x-1 )j = log2

<=> log(x-1) = log2

o x 2 - l =2

o x 2 = 3 « x = f 3 ή x= - V 3

Δεκτή είναι μόνο η ρίζα x= V3

ii) Η εξίσωση ορίζεται αν χ-1>0 και χ>0, δηλαδή αν χ>1. Με τον πε-ριορισμό αυτό έχουμε:

log(x-l) + logx = 1—log5 ο log|(x-l)xj = log^Q

ο log(x2-x) = log2 <=> x2-x = 2 ο x2-x-2 = 0 « χ = 2 ή χ = - 1

Δεκτή είναι μόνο η ρίζα χ = 2 iii) Η εξίσωση ορίζεται αν χ>0. Με τον περιορισμό αυτό έχουμε:

logx2 = (logx)2 <=> 21ogx = (logx)2

<=> logx(logx - 2 ) = 0

» logx = 0 ή logx =2

<=> x = 1 ή x = 100 (που είναι δεκτές).

159

iv) Η εξίσιοοη ορίζεται αν χ>0. Μετον περιορισμό αυτό έχουμε:

« ώ ± = 2 χ

ο χ2+1 =2χ

» χ 2 - 2 χ + 1 = 0

<=> χ = 1 (όεκτή)

6. i) .V = 2 ' s <=> log5'= log2"

<=> xlog5 = (l-x)log2

<=> xlog5 = log2 - xIog2

<=> x(log5+log2) = log2

<:=> xlog 10 = log2

<=> χ = l o g 2 ~ 0 , 3 0 1 0 2

ii) 3V1 = 2"' <=» log3x 1 = log2Ml

<=> (x-l)log3 = (x+l)log2

<=> xlog3 -xlog2 = log3+log2

<=> (log3 - log2)x = log3+ log2

<=> (logl,5)x = log6

« x = - l o g 6 ~ 4 , 4 1 9 0 2 log 1,5

7. i) Είναι 2<5. Επομένως log,2<log,5. αφού η συνάρτηση f(x) = log3x εί-ναι γνησίως αύξουσα. ii) Είναι 5<7. Επομένως log035>log037, αφου ή συνάρτηση f(x) =» logo5x

είναι γνησίως φθίνουσα. iii) Είναι χ2+1>2χ, αφού

χ + 1>2χ <=> χ2-2χ+1>0 «=> (χ-1)2>0, που ισχύει.

Επομένως Iog(x2+1 )>log2x, αφού η συνάρτηση f(x) = logx είναι γνη-σίως αύξουσα

8. Είναι [Η+]>10 <=> log[H+J>logl&7

<=> log[H+ |>-7

<=> - log|H+]<7

<=> pH<7

160

Αρα ένα διάλυμα είναι όξινο αν έχει ρΗ<7, ενώ είναι βασικό αν έ-χει ρΗ>7.

Β ΟΜΑΔΑΣ —

1. ΐ) Η συνάρτηση f(x) = Inlxl ορίζεται και κάθε χ*0. Επειδή f(—χ) = lnl-xl = Inlxl = f(x), για κάθε χ^Ο

η συνάρτηση f είναι άρτια. Αρα η γραφική της παράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y ' y. Επομέ-νως αποτελείται από τη γραφική παράσταση της g(x) = Inlxl, x>0 και τη συμμετρική της ως προς τον ά-ξονα y ' y. Επειδή χ>0 είναι g(x) = Inx και επομένως η γραφική παρά-σταση της f δίνεται στο διπλανό σχήμα:

ii) Η συνάρτηση f(x) = l | n x 2 ο-

ρίζεται για κάθε χ*0.

Επειδή f(x) = ^ Inx2 = lnVx^=Inlxl,

για κάθε χ#0, η γραφική της πα-

ράσταση είναι η προηγούμενη.

iii) Η συνάρτηση f(x) = llnxl ο-

ρίζεται για κάθε χ>0. Επειδή

y 1

ι \ " Λ , -e -1 A e χ

V·

ι

f(x) ) - lnx ,χ<1

\ Inx ,χ>1

η γραφική της παράσταση δίνεται στο διπλανό σχήμα:

iv) Η συνάρτηση f(x) = log( 10x-20) ορίζεται για κάθε xe (2,-Η»).

Επειδή

f(x) = log(l0(x-2)) =logl0+log(x-2) = l+log(x-2),

αν θέσουμε g (x) = logx, έχουμε:

161

f(x) = l+g(x-2) Επομένως η γραφική πα-

ράσταση της f προκύπτει αν τη γραφική παράσταση της g(x) = logx τη μετατοπίσουμε πρώτα κατά 2 μονάδες προς τα δεξιά και έπειτα κατά 1 μο-νάδα προς τα πάνω.

y = ι+Ιο£(χ-2)

y = iorxj!

log(x-2)

2. i) Η συνάρτηση f(x) = ln(x+Vx2+I) ορίζεται για κάθε xe IR, γιατί

χ + Vx2 + 1 > χ + fx? = χ + ΙχΙ > 0, αφού ΙχΙ >-χ

Για κάθε xe IR ισχύει:

f(-x)=ln | -x+V (-x)2+l j = ln|/> ' χ +1 - χ

= In |Υχ2+1 -xj|Vx2+l +xj

In Vx 2 +1 + x V x 2 + l +Χ

=-ln|Vx2+l +xj=-f(x)

Αρα η f είναι περιττή συνάρτηση.

ii) Η συνάρτηση f(x) = ln i=^ ορίζεται για κάθε x e ( - l , 1), γιατί 1+χ

i~x > 0<=>(1-χ)(1+χ) > 0<=> (χ-1)(χ+1) < 0<=> — 1 <χ< 1 1+χ

Γ ια κάθε xe (-1, 1) ισχύει:

= In 1 ~ ( ~ x ) = lnl±^- = - l n ^ - = - f ( x ) l+(-x) 1—χ 1+χ

Αρα η f είναι περιττή συνάρτηση.

3. Οι αριθμοί log 178, logV81(2x + 2·3Χ) και xlog3 με τη σειρά που δόθη-καν είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν

21ogVi81 (2Χ+2-3Χ) = log 178+xlog3 ο log(81 (2χ+2·3Χ)) = log( 178 · 3Χ)

<=> 81 (2χ+2-3") = 178 · 3*

<=> 81·2λ= 16-3"

« ( 2 f = -\3/ 1

16 81

162

<=> i -er-er ο x = 4

log,^=loguY · logva <=> = l 2 H . loga logP logy

^ logft _loga loga logβ

<=> (loga)2 = (logP)2

<=>loga=logP ή loga=-logP

<=> loga=logfi ή loga=logjL

<=>α=β ή a = _ 1

5. i) Η εξίσωση logVx = Vlogx ορίζεται εφόσον x>0 και logx>0, δηλαδή

εφόσον χ>1. Με τον περιορισμό αυτό έχουμε:

logVx = V logx <=> (logVx)2 = |V logx J2 [αφού logVx, Vlogx>0 j

| i l o g x | = logx <=>

<=> J- log x = logx 4

2 <=> log x-41ogx=0

<=> logx(logx-4) = 0

ο logx=0 ή logx=4

» . x = l ή x = 1 0 . 0 0 0

ii) Θέτουμε w = In2 x , οπότε η εξίσωση γράφεται w2 -5w + 4 = 0 o w =1 ή w =4 . Επομένως: • Αν w =1, τότε l n 2 x = l < = > l n x = ± l < = > x = e

• Αν w =4, τότε In2 x =4<=> In χ = ± 2 ο χ = e ± 2 . 1 2 1

Άρα, η εξίσωση έχει ως λύσεις τους αριθμούς e, —, e και — Ρ Q

-±1

e e

163

6. Έχουμε: xiog5 = l̂ogx ̂ i0gX'°85 = i0g5lo«x <=> iog5- logx = logx · log5 που ισχύει.

Επομένως αν θέσουμε 5'°δΧ= χ1085 = t (1) η εξίσωση 52"w = 5+4·χ |0° γράφεται:

t2=5+4t <=> t?—4t—5=0 <=> 1=5 ή t= -1

• Για t=5 η (1) γράφεται:

5"*χ = 5 <=> logx = 1 <=> χ = 10

• Για t = - 1 η (1) γράφεται:

5'°f" = - 1 που είναι αδύνατη.

7. i) Το σύστημα ορίζεται εφόσον χ>0 και y>0. Γι' αυτά τα χ, y έχουμε:

ίlog(xy)=41og2 flog x + log y =41og2

[log χ · log y =3(log2)2 [log χ · log y =3(log2)2

j log χ = log 2 , ί log x=31og2

^ {log y = 3 log 2 η [log y= log2

ii) To σύστημα ορίζεται εφόσον χ, y > 0. Γι' αυτά τα χ, y έχουμε:

[xy =8 [xy =8 [xy =8 [χ 3 =8 [χ -2

[log y =21og χ [log y = log χ 2 [y = χ 2 [y = χ 2 [y =4

iii) To σύστημα ορίζεται εφόσον χ, y>0. Γ ι' αυτά τα x,y έχουμε:

/y=2x ^ /y=2x ^ j y = 2 x

\21ogy=logx+log2 |logy2=log2x ly2=2x

« y=2x ^ Jy=2x \y2=y | y = l , αφού y>0

ix=— 2

( y = i

1 6 4

8. i) Η ανίσωση ορίζεται εφόσον χ>0. Με τον περιορισμό αυτό έχουμε

logx2>(logx)2 <=> 21ogx>(logx)2

<=> logx(2-logx)>0

ο logx(logx-2)<0

<=> 0<logx<2

<=> log 1 <logx<log 100

αφού η f(x) = logx » l < x < 1 0 0 είναι γνησίως αύξουσα

ii) Η ανίσωση ορίζεται εφόσον χ2-4>0 και 3χ>0, δηλαδή εφόσον χ>2. Με τον περιορισμό αυτό έχουμε:

log(x2-4)<log3x <=> x2-4<3x

<=> χ 2 -3χ-4<0 <=> -1<χ<4

Επομένως η ανίσωση αληθεύει αν 2<χ<4, επειδή χ>2 iii) Η ανίσωση ορίζεται εφόσον χ>0. Με τον περιορισμό αυτό έχουμε:

Χΐο8χ>ιο <=> log(xfx)>logl0

<=> logx · logx> 1

<=> (logx)2 - 1>0

<=> (logx+1) (logx-l)>0

ο logx<-l ή logx>l

ο 0<χ<0,1 ή x>10

9. log23>log69 <=> > 1^1?. log2 log6

<=> log31og6 > log21og9

<=> log31og(2-3) > log21og32

<=> log3 (log2+log3) > log2-21og3

ο log2+log3 > 21og2

<=> log3>log2 , που ισχύει.

10. a ' l^WP" <=> log(a'fi") > log(a'f>")

ο aloga+piogp >pioga+alogP

<=> a(loga—log$)-P(loga-logP)>0

«=> (α-β) ( l o g a - ^ ) > 0 (1)

165

Επειδή η συνάρτηση f(x) = logx είναι γνησίως αύξουσα,

• αν α>β θα είναι και loga>logP, οπότε η (1) ισχύει, ενώ

• αν α<β θα είναι και loga<logP, οπότε η (1) ισχύει.

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. ΐ) Η εξίσωση αυτή αληθεύει για εκείνα τα x για τα οποία ισχύει:

Ι 3χ-5=0 ί χ2-3χ+1=-1 χ2-3χ+1=1 (1) ή / και (2) ή και (3)

|χ2-3χ+1*0 |3χ-5 άρτιος

Έχουμε λοιπόν: (1) <=> x2-3x = 0 ο χ(χ-3) = 0 χ = 0 ή χ = 3

I χ = 1 (2) <=> { ^ <=> χ=^- , αφού(5-)-3-S-+1 = - 1 1 ^ 0

j και 3 \3 / 3 9 | χ 2 - 3 χ + 1 * 0

Ιχ 2 -3χ+2=0 <=> χ = 1 ή χ = 2

(3) <=> / και

I 3χ-5 άρτιος ακέραιος

<=> χ = 1

αφού για χ=1 είναι 3χ-5 = - 2 άρτιος ενώ για χ = 2 είναι 3χ-5 = 1 περιττός

Αρα οι λύσεις της εξίσωσης είναι οι αριθμοί: 0, 3, 1 ii) Είναι

ν κ +3χ+1 Λ = χ « χχ2+1λ+ι - χ = 0 <=> χ|χχ2+:,χ - 1 j = 0

<=>χ=0 ή χ χ + 3 * = 1 ^ )

Η (4) αληθεύει για εκείνα τα χ για τα οποία ισχύει:

/x2+3x= 0 / χ = - 1

χ = 1 ή ί και (5) ή ' και (6)

I χ*0 Ιχ2+3χ άρτιος

Έχουμε λοιπόν: /χ= 0 ή χ = - 3

(5) <=> { και <=> χ = - 3

χ*0 166

(6) « · χ = - 1 , αφού για χ = - 1 είναι (-1)2+3(-1) = - 2 άρτιος

Άρα οι λύσεις της εξίσωσης είναι οι αριθμοί: 0,1, -3 , - 1

2. · Αν γ = 1 προφανώς ισχύει η ισότητα

• Αν γ*1, αρκεί να δείξουμε ότι

l + 1 = 2 1 1 « 1οβγ(α+β) log./α-β) log.,(a+P) logv(a-P)

<=> logY(a-3)+logY(a+3) = 2

<=> logY(a - β ) = 2 [αφ0 1) α2_β2 = γ2]

ο logYy2 = 2, που ισχύει.

3. · Αν θ = 1 προφανώς ισχύει το συμπέρασμα

• Αν θ * 1, έχουμε διαδοχικά:

(αγ)'°8αΡ=γ2 <=> logH(aY)bEa|i=logBY2

ο 16gJ3 ·1<^θ(αγ)=21(^Ηγ

0 ]θ|ββ . (l0gecx-(-l0geY)=21ogHY log0a

<=> logHa · log,$+log($ · log„Y=21og„Y· logHa

« - 1 1 _ + _ i 1— = 2 logo0 logp0 logp0 logY0 logY0 1oga0

ο logY0+loga0=21ogp0 ^

που σημαίνει ότι οι αριθμοί loga0, log(i0, logY0 είναι διαδοχικοί όροι α-ριθμητικής προόδου.

1 1 log,,)1! - log„a

. , « log(10-logi50 logHa log^ _ logHa · logHβ 4. Α μέλος: — = —: —

logp0-logY0 — - - J — logHY - logop l 0 m . o g j m o g . y

1 6 7

logbylog(£—logea)

logealogHY-log,$)

l°goY · logs- , „ . a , loghy

logHa · log,,^ lo&>a

1

Επειδή ¥•= £· αφού β a

οι αριθμοί α, β, γ είναι διαδ. όροι γεωμ. προόδου

_ iogYe _ iog„e

log-,θ loga0

5. Είναι log5 = l o g ^ = loglO—log2 = l - log2

Η εξίσωση x'"EI2x,=5 ορίζεται εφόσον x>0. Με τον περιορισμό αυτό έ-χουμε διαδοχικά:

Χ106(2x1 = 5 <=> log(xloe,2,0)= log5

ο log(2x)-logx = log5

<=> (log2+logx) · logx = l-log2

« (logx)2+log2 • logx- (l-log2) = 0

„ l o g x , - ' ° ^ f l ° 8 2 - 2 ) 2 αφού Δ= (log2-2)

<=> logx = - 1 ή logx = l-log2 = log5

<=> x = * ή x = 5 10

6. l o g ^ + l o g συνχ 2 + ^ η μ χ 2 · ^ συνχ2—0 <=>

ο ι + ι + i 1 . = 0 log2(ημx) log2(criTvx) log2(ημx) log2((nrvx)

<=> log2(<juvx)+log20^x)-i-l = 0

<=> log2(<ruvx)+log2^x)+log22 = 0

ο ^ 2 (2ημχσυνχ) = 0

<=> log2(ημ2x) = 0 <=> ημ2χ = 1

<=>2χ = ί - |a(po0 0<2x<nj

« χ = *

168

( ε φ χ Γ = ( σ φ χ Γ χ « (εφχ)ημχ= L (εφχΓ

<=> εφχ= 1

ο χ = ί -

[αφού ημx+συvx>oj

αφού 0<χ<5.

8. ΐ) Έχουμε διαδοχικά:

27Χ+12Χ-2·8Χ>0 <=> 33χ+22χ·3χ-2 21χ>0

> °(ΐΓ+(Ι)*-2>0 «> Αν τώρα θέσουμε (|·) = t η ανίσωση (1) γράφεται διαδοχικά

t3+t-2>0 <=> (t—1) (t2+t+2)>0 [Με σχήμα Horner]

<=> t - 1 >0 [αφού t2+t+2>0] ο t >1

Αρα, λόγω του μετασχηματισμού (|-) - t , έχουμε:

6 ) > > Ι Ο ( Ι ) " > ( Ι ) ° ' " Ι > 0

Επομένως η ανίσωση αληθεύει για κάθε χ>0.

169

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. ημ2χ - 2ν3 ι ημχσυνχ συν2χ = - / Τ <=»

1 -συν2χ γ- „ 1 +συν2χ γ-<=> Λ/3ημ2χ = - ν 3 2 2

ο 1 -συν2χ - 2^Γ3ημ2χ - 1 -συν2χ = -2V3

<=> -2ν3ημ2χ - 2συν2χ = -2λ/3 <=> ν3ημ2χ +συν2χ =

» 2ημ^2χ + -^ j = V3 <=>ημ^2χ + ^ j = = τ ΐ μ ~

<=> 2χ + — = 2kn+— ή 2χ + — = 2kn+n-—, k e Ζ 6 3 6 3

π » χ = κπ + — η χ = kit + — 12 4

k e Z

2. i) Οπως είναι γνωστό η παράσταση αημχ+βσυνχ παίρνει τη μορφή

αημχ +βσι>νχ =ρημ(χ + φ), με ρ = \Jα2 +β2

Έτσι η δοσμένη εξίσωση γράφεται διαδοχικά: v

αημχ +βσυνχ = γ <=>ρημ( χ + φ) = γ <=>ημ( χ + φ) = —.

Αλλά η εξίσωση αυτή, άρα και η αρχική, έχει λύση αν και μόνο αν:

< 1 ο |γ|< |ρ| <=> γ2<ρ2<=> γ2 < α 2 +β2

ii) Σύμφωνα με το ερώτημα (ί) η εξίσωση αυτή έχει λύση μόνο αν

- > 4 <=>συν2

2 2 ' (1 +ouvt)2 +ημ2ί >2 2 <=> 2(1 +συνί)>4 <=> 4συν2 - > 4 <=>συν2 - > I

<=> σ υ ν -2 t

<=> σ υ ν -2

= 1

«=>σ\>ν- = 1 2

<=> t = 0 α φ ο ύ π ι π

2 2 2

Γ ια την τιμή αυτή του t η εξίσωση γράφεται διαδοχικ ά: (1 +συνΟ)ημχ +ημΟ -συνχ = 2 <=> 2ημχ = 2 <=>ημχ = 1

π <=> χ = 2kn + —, k e Ζ. 2

170

2εφα + ε φα Λ " ι - γ ν * ι

εφ2α+εφα 1 - ε φ α 3 ε φ α - ε φ α 3. · εφ3α = εφ(2α + α) = — 1 - εφ2α · εφα | _ 2εφα ^ ι _ 3εφ2α

1 - εφ2α

, λ ' π -• Αν τωρα αντικαταστήσουμε το α με — εχουμε:

J L I J L J T I J T 3εφ εφ — 3εφ εφ —

ε φ *2 ψ 1 2 ο | = 12 ψ 12 4 1 - 3εφ2 — 1 - 3εφ2 —

12 12

ο εφ3 — - 3εφ2 — - 3εφ— + 1 = 0 12 12 12

που σημαίνει ότι η είναι ρίζα της εξίσωσης

χ3 - 3χ2 — 3χ + 1 = 0

• Η εξίσωση αυτή λύνεται ως εξής:

χ 3 - 3χ2 —3χ + 1 = 0 <=> (χ3 + 1) — 3χ(χ + 1) = 0

<=> (χ + 1)(χ2 - χ + 1 ) - 3χ(χ + 1) = 0

<=> (χ + 1)(χ2 - 4χ + 1) = 0

<=> χ = - 1 ή χ = 2 - Λ / 3 ή χ = 2 + λ[Ϊ

Επειδή εφ— < 1 θα είναι εφ — = 2 - Λ/3. 12 12

4. Ο αριθμός «αβγό» γράφεται «αβγδ» = α103 + β102 + γΙΟ + δ

Έστω το πολυώνυμο ί(χ) = αχ3 + βχ 2 +γ + δ. Τότε θα είναι ί(10) = «αβγδ» και ί(1) = α + β + γ + δ

Είναι γνωστό ότι f(x) = ( x - 1)π(χ) + f(l), οπότε, για χ =10, έχουμε f(10) = (10-l)n(10) + f(l)

ή «αβγδ» = 9 · Π(10) + (α + β + γ + δ) Από την τελευταία σχέση προκύπτει αμέσω ότι, α ν α + β + γ + δ είναι πολ-λαπλάσιο του 9, τότε και ο αριθμός «αβγδ» είναι πολλαπλάσιο του 9 και αντιστρόφως, πράγμα που αποδεικνύει τον κανόνα.

5. i) Οι διαιρέτες του 1 είναι ± 1, ενώ του 2 είναι ± 1, ± 2 , οπότε οι

πιθανές ρητές ρίζες της εξίσωσης είναι ± 1, ±

Αν θέσουμε Ρ(χ) = 2χ3 + χ 2 + χ - 1, με το σχήμα Horner για ρ = 1, ρ = - 1

βρίσκουμε Ρ(1) = 3 * 0 , Ρ ( - 1 ) = - 3 * 0 , ενώ για P = y έχουμε: 1 7 1

2 1 1 - 1 1

ρ = τ

Β 1 1 1

2 2 2 0

Επομένως η εξίσωση γίνεται

(χ —^-)(2χ2 + 2χ + 2) = 0 ή (2χ— 1ΧΧ2 + Χ + 1 ) = 0

και έχει ρίςα το χ = — μόνο.

• Οι διαιρέτες του 1 είναι ± 1 , ενώ του 6 είναι ±1 , ± 2 , ±3 , ±6 , οπότε

οι πιθανές ρητές ρίζες της εξίσωσης είναι ±1 , ± ± 4 ~ , ± 4 " . 2 3 6

νο τα αρνητικά - 1,

Επειδή όλοι οι συντελεστές της εξίσωσης είναι θετικοί δοκιμάζουμε μό-

1 1 1 2 ' 3 ' 6 '

Αν θέσουμε Ρ(χ) = 6χ4 + 29χ3 + 27χ2 + 9χ + 1, με το σχήμα Horner για

ρ = - 1 βρίσκουμε Ρ ( - 1 ) = - 4 * 0 , ενώ για ρ = - y έχουμε:

29 27 9 1 Ρ

- 3 -h - 7 - 1

26 14 2 0

οπότε Ρ(χ) = (χ + 4-)(6χ3 + 26χ2 + 14χ + 2)

= (2χ+ 1)(3χ3 + 13x2 + 7X + 1) Αν εργασθούμε ανάλογα με το Π(χ) = 3χ + 13χ +7χ + 1 για P = ~ y έχουμε:

3 13 7 1 I II ο.

Β - 1 - 4 - 1

3 12 3 0

οπότε Π(χ) = (χ + γ ) ( 3 χ 2 + 12χ + 3)

= (3χ+ 1Κχ2 + 4 χ + 1) 172

Επομένως η εξίσωση γίνεται (2χ+ 1)(3χ+ 1)(χ2 + 4χ + 1) = 0

και έχει ρίζες χ , = - —, χ2 = - y , χ 3 = - 2 - V 3 κ α ι χ 4 = - 2 + \ / 3 .

ii) Ο αριθμός V2 είναι ρίζα της εξίσωσης χ 2 - 2 = 0. Αρκεί επομένως να αποδείξουμε ότι αυτή δεν έχει ρητές ρίζες. Οι πιθανές ρητές ρίζες αυτής είναι ±1 , ±2 . Ό μ ω ς καμία από αυτές δεν επαληθεύει την εξίσωση, ο-πότε η εξίσωση δεν έχει ρητές ρίζες. Αυτό σημαίνει ότι ο V2 που είναι ρίζα της, δεν είναι ρητός.

Η απόδειξη για το V l 2 είναι ανάλογη.

6. i) Ο πρώτος αριθμός κάθε ομάδας είναι κατά 1 μεγαλύτερος από το πλήθος των αριθμών όλων των προηγούμενων ομάδων.

Επομένως ο πρώτος αριθμός της μ1^ ομάδας είναι ίσος με:

[1+2+3+...+(μ-2)+(μ+1)]+1 = [1+(μ-1)]+1 =

Στη μ ΐ ομάδα οι αριθμοί αποτελούν αριθμητική πρόοδο με πρώτο ό-

ρος — — 2 " ~ ~ > διαφορά 1 και πλήθος όρων μ.

Ά ρ α ο τελευταίος όρος της μη? ομάδας είναι ο

J£!±JL±2_ + to_,).|,Ji!±iL

202 + 20 ii) Στην 20η ομάδα ο τελευταίος αριθμός είναι — =210.

Ά ρ α το ζητούμενο άθροισμα είναι

1 + 2 + 3 + . . . + 2 1 0 = (1 + 2 1 0 ) = 22155

iii) Στη μη= ομάδα οι αριθμοί αποτελούν αριθμητική πρόοδο με πρώτο

μ2 —μ + 2 » ,η . , , , μ 2 + μ ορο , πλήθος ορων μ και τελευταίο ορο ^ . Αρα

το ζητούμενο άθροισμα είναι ίσο με

μ / μ2 —μ + 2 μ2 + μ \ μ 2μ : + 2 μ Ζ

1 * 2 2 ' 2 2 2 2 173

χ**1—1 7. Εχουμε l+x+x2+...+xv = — — και επομένως

/ χ ν 1 \ 2 (1 + χ + χ2 + . . . + χν)2 — χ ν = ( — - — ) - χ '

(χ ν + ι — I)2 —χν(χ— ί)2

( χ - ΐ ) 2

7ν> χ. ") χ 2ν+2 —2χν+ι + 1—χν+2 + 2χν + 1 —χν

( χ - 1 ) 2

( χ ν - 1 ) ( χ ν + 2 ~ 1) (χ — 1)(χ— 1)

= ( l + x + . . . + x v ~ ' ) ( l + x + x 2 + . . . + xv + l)

8. Εχουμε οπότε S= 1 + 2 · 2 + 3 · 22 + 4 · 23 + 5 · 2 4 + ... + 100 · 2 "

2S = 2 + 2 - 2 2 + 3 - 2 3 + 4 - 2 " + 5 · 25 + . . . + 100 · 2100, επομένως

2 S - S = - 1 - 2 - 2 2 - 2 3 - 2 4 - . . . - 2 " + 1 0 0 · 2 1 0 ° S= - ( 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2 " ) + 100 · 2100

2100 — 1 S= - 1 · + 100 · 2100

S= -2 1 0 0 + 1 + 100 · 2 | 00 = 99 • 2 , 0 0+ 1

9. 1ος τρόπος Επειδή 32+4:,=5:' μια λύση της εξίσωσης είναι ο αριθμός χ=2 θα δεί-

ξουμε τώρα ότι η λύση αυτή είναι μοναδική. Πράγματι αν οφ2 ήταν μια άλλη λύση της εξίσωσης, τότε θα ισχύε:

3Μ ρ=5 ρ <=> (3Υ+(4\ρ= ι ( 1 )

\5 / 15/

Επειδή οι συναρτήσεις f(x) = | 3 j και g(x) = |4-J είναι γνησίως φθίνουσες,

Ι Ί Ψ Ι Ί Ϋ I A \ V I • αν ρ<2, τότε ^ ^ και ρ- > , οποτε:

(άτοπο, λογω της 1)

αν ρ>2, τότε ( - ) < ( - και ~ < γ η , οποτε:

ι μ ι < I I + 1 1 - 1 (άτοπο, λόγω της 1)

174

2ος τρόπος. Μια προφανής λύση της εξίσωσης είναι η χ = 2, που είναι και μοναδική. Πράγματι, η εξίσωση γράφεται:

(MF <" Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση f(x) = |2-j+l είναι γνησίως φθίνουσα, ε-

νώ η g(x) = είναι γνησίως αύξουσα. Επομένως:

• Αν χ<2, τότε |2.j*+ ι > | l j 2 +1 = 2 1 ε ν ^ | ΐ | χ < | i j 2 = 25

Αρα ( 1 ) + 1 > ( | ) και επομένως δεν υπάρχει ρίζα της (1) μικρότε-

ρη του 2.

• Αν χ>2, τότε ( ^ ) + 1 < | i j +1 = 25, ε ν ( ^ |5 j >[5_J =25

Αρα 13-J +1 < και επομένως δεν υπάρχει ρίζα της (1) μεγαλύτε-

ρη του 2. Επομένως η μοναδική λύση της εξίσωσης είναι η x = 2.

10. Μια προφανής λύση της εξίσωσης είναι η χ = 1. Επειδή η συνάρτη-

ση f(x)= |2-j +4. είναι γνησίως φθίνουσα, ενώ η συνάρτηση g(x) = 2Χ εί-

ναι γνησίως αύξουσα, αν εργασθούμε όπως στην προηγούμενη άσκηση αποδεικνύουμε ότι η εξίσωση δεν έχει άλλη λύση.

11. Η εξίσωση ορίζεται εφόσον χ+3>0 και αχ>0.

Με τους περιορισμούς αυτούς έχουμε: 21og(x+3) = log(ax) <=> log(x+3)2 = log(ax)

ο (x+3)2=ax <=> x2 - (a-6)x+9 = 0 (1)

Η διακρίνουσα της (1) ισούται με

Δ = (α-6)2-36 = α2-12α = α(α-12) και το πρόσημο της περιγράφεται από τον επόμενο πίνακα:

α —οο 0 12 +οο

Δ + 0 0 +

175

Επομένως:

• Αν α<0, τότε η εξίσωση (1) έχει δυο ρίζες αρνητικές, αφού

Χ,·Χ2 = 9>0 και χ,+χ2 = α-6<0

Επειδή για το τριώνυμο f(x) = χ2-(α-6)χ+9 ισχύει f(-3) = (-3)2 - (α-6)(-3)+9 = 3(α-6)<0

το - 3 θα βρίσκεται μεταξύ των ριζών x„ χ2 της (1). Επομένως θα ι-σχύει:

Χ , < - 3 < Χ 2 < 0 Επειδή ομως α<0, λόγω της (*), η αρχική εξίσωση ορίζεται εφόσον

-3<χ<0. Επομένως από τις παραπάνω ρίζες χ,, χ2 δεκτή είναι μόνο μία η χ 2 ·

Αρα για α<0 η αρχική εξίσωση έχει ακριβώς μια ρίζα.

• Αν α = 0 δεν ορίζεται ο log(ax)

• Αν 0<α<12 η εξίσωση (1), άρα και η αρχική, είναι αδύνατη.

• Αν α = 12 η εξίσωση (1) έχει ακριβώς μια ρίζα, την χ=3, που είναι

και ρίζα της αρχικής αφού, λόγω της (*), πρέπει χ>0.

• Τέλος αν α>12 η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες θετικές, αφού

χ,·χ2 = 9>0 και χ,+χ2 = α-6>0 Επειδή όμως α>12, λόγω της (4), η αρχική εξίσωση ορίζεται εφόσον

χ>0. Επομένως και οι δύο ρίζες χ„ χ2 της (1) είναι δεκτές. Αρα για α>12 η αρχική εξίσωση έχει δύο ρίζες.

Αν τώρα λάβουε υπόψη όλα τα προηγούμενα συμπεραίνουμε ότι η

αρχική εξίσωση έχει ακριβώς μια λύση μόνο αν α<0 ή α=12.

12 Μια προφανής λύση της εξίσωσης είναι η χ = ~ . Για να αποδεί-4

ξουμε ότι αυτή είναι και η μοναδική εργαζόμαστε ως εξής: Η εξίσωση γράφεται:

l°gy4 χ=2-σφχ

Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση f(x) = logy χ είναι γνησίως φθίνουσα,

ενώ η g(x) = 2-σφχ είναι γνησίως αύξουσα στο (0, π). Επομένως:

• Αν χ< π4 , τότε logy x>logy ^ = 1, ενώ 2-σφχ<2-σφ~-= I

Αρα logy χ>2-σφχ και επομένώς η εξίσωση (1) όεν έχει λύση ο-ι>

διάστημα (0, —). 4

170

• Αν χ > | , τότε l o g y x < l o g y ^ = 1, ενώ 2-σφχ>2-σφ j = 1

Α ρ α l o g y χ<2-σφχ κ ο α επομένως η εξίσωση (1) δεν έχει λύση στο

διάστημα (5-, π) 4

Επομένως η μοναδική λύση της εξίσωσης είναι η χ=^-.

13. Η ανίσωση ορίζεται εφόσον:

16-2· 12χ>0 <=> 16χ>2·12χ <=> (| |)Χ>2 o ( i ) >2 (1)

Με αυτόν τον περιορισμό έχουμε:

log3( 16Χ—2· 12Χ) < 2χ+1<=> log,(16x-2· 12χ) < log332x+l

<=*> 16χ-2· 12χ < 32χ+ι

42χ-2·3χ·4 <3·32χ [διαιρούμε με 32χ]

( I ) 2 " 2 ( Ι ) _ 3 - ° ( 2 )

Αν θέσουμε (4-)" = t , τότε η (2) γράφεται:

<=>

<=> i

t —2t—3< 0 ο — 1 < t<3

αφού οι ρίζες της: t —2t—3= 0

είναι

εχουμε:

ti=3 και t 2=-l

Επομέν<ος, λόγιο του μετασχηματισμού: |4.J =t, και λόγω της (1), με:

2< <3 <=> log2< xlogi<log3 ο log2< x(log4-log3)< log3

_ log2 . log3 < x< — log4-log3 log4-log3

14. Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ί και g δίνονται στο διπλανό σχήμα.

Η ανίσωση lnx< 1—χ, που ορίζε-ται εφόσον χ>0, αληθεύει για εκείνα

τα χ για τα οποία ισχύει f(x)<g(x).

Όπως φαίνεται στο σχήμα, αυτό

συμβαίνει αν tkx<l και αποδει-

κνύεται ως εξής:

Ο 2 , 4 0 9 4 < X < 3 < 8 1 8 8

y = Inx

177

Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, ενώ η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα. Επομένως:

' ·Αν 0<χ<1, τότε f(x)<f(l)

ή 1ηχ<0, ενώ g(x)>g(l) ή 1-χ>0, οπότε lnx< 1—χ.

Αρα κάθε χ e (0, 1 ] είναι λύση της ανίσωσης 1ηχ< 1-χ

• Αν χ>1, τότε t'(x)>f(l) ή 1ηχ>0, ενώ g(x)<g(l) ή 1 —χ<0, οπότε

lnx> 1—χ.

Αρα κανένα xe( l , +°°) δεν επαληθεύει την 1ηχ<1-χ. Επομένως η (χνί(7(οση αληθεύει για καθε xe (0, I ].

2ος τρόπος

• Αν 0<χ<1, τότε 1ηχ<ϋ και

1-χ>0, οπότε Ιηχ<1-χ,

• Αν χ>1, τότε 1ηχ>0 και

1—χ< 0, οπότε lnx>l-x

Επομένως η ανίσωση αληθεύει για κάθε xe(0,l ]. ii) Αν εργασθούμε όπως στο (i) ε-ρώτημα βρίσκουμε ότι η ανίσωση α-ληθεύει για κάθε xe [ 1, +°°)

Έστω Ε(χ) = (χ-χι)2+(χ-χ2)2+...+(χ-χν)2, τότε

ε ( χ ) = (χ 2-2χιχ+χι)+(χ 2-2χ2χ+χ2)+. . .+(x2-2xvx+x2)

ή

Ε(χ) = νχ2-2(χ ι+χ2+ ...+xv)x+(x i+x2+ ...+x?)

Εχουμε:

Ε'(Χ) = [VX2-2(Xl+X2+...+Xv)X+(xi+X2+...+X2,)]'

= v(x2)'-2(x|x2+...-rxv)(x)'+(xt+x5+...+x2.)'

= 2νχ-2(χ,+χ2+.. .+χ ν) .

Επομένως

Ε' (χ)>() <=> 2νχ-2(χ,+χ2+...+χν)>0

^ χ > χ , + Χ 2 + · " + Χ ν

I7S

Άρα η Ε(χ) είναι:

- γνησίως φθίνουσα στο διάστημα

- γνησίως αύξουσα στο διάστημα

_ ο ο Χ|+Χ2+·· .+Χΐ

ν *

Χ|+Χ2+.. .+Χ -, +00

Επομένιος για χ = Χ ι χ2+···+*ν^ δηλαδή για χ = χ η Ε(χ) έχει την

ελάχιστη τιμή της.

16. Αν θέσουμε = λ, έχουμε ημΑ ημΒ ημΓ Λ ^

α = λημΑ, β = λημΒ και γ = λημΓ Επομένως: β2+γ2-2βγσυνΑ = λ2ημ2Β+λ2ημ2Γ-2λημΒ·λημΓσυνΑ

= λ2(ημ2Β+ημ2Γ-2ημΒημΓσυνΑ) = λ2[ημ2Β+ημ2Γ+2ημΒημΓσυν(Β+Γ)] (αφού Α+Β+Γ=π) = λ2[ημ2Β+ημ2Γ+2ημΒημΓ(συνΒσυνΓ-ημΒημΓ)] = λ2[ημ2Β+ημ2Γ+2ημΒσυνΒημΓσυνΓ-2ημ2Βημ2Γ] = λ2[ημ2Β-ημ2Βημ2Γ+ημ2Γ-ημ2Βημ2Γ+2ημΒσυνΒημΓσυνΓ] = λ2[ημ2Β(1-ημ2Γ)+ημ2Γ(1-ημ2Β)+2ημΒσυνΒημΓσυνΓ] = λ2(ημ2Βσυν2Γ+συν2Βημ2Γ+2ημΒσυνΓσυνΒημΓ) = λ2(ημΒσυνΓ+συνΒημΓ)2

= λ2ημ2(Β+Γ) = λ2ημ2Α

_ β _ = j _ =

β2+ν2-(χ:

17. Ισχύει συνΑ = L-—'n— 2βγ

οπότε ημΑ _ ^ 1 -συν2Α α α

= V (2βγ)2-(β2+γ2-α2)2

2βγα

= V 2α2β2+2α2γ2+2β2γ2-α4-β4-γ*" 2αβγ " ρ

Το δεύτερο μέλος είναι συμμετρικό ως προς α,β.γ άρα και τα πηλίκα ΙΐμΒ ημΓ , , ,

ρ—, είναι ισα προς αυτο.

I7Q

Για να αποδείξουμε ότι Α+Β+Γ = π αρκεί να δείξουμε ότι: ημ(Α+Β) = ημΓ και συν(Α+Β) = -συνΓ.

Είναι:

ημ(Α+Β) = ημΑσυνΒ+συνΑημΒ α2+γ2-β2 . , , β ^ - α 2

c , ημΑ . ημΒ . • 6 0 φ Γ < Ε π ί ώ η α β

- * ργ - ημΓ (Επειδή = Q) Υ Υ

• συν(Α+Β) = συνΑσυνΒ - ημΑημΒ = (β2+Υ2~α2Χα2+Υ2~β2) - ρ^αβ

4γ2αβ (β2+γ2-α2χα2+γ2-β2) _ 2α2β2+2α2γ2+2β2γ2-α4-β4-γ4

4γ2αβ 4γ2αβ . -2α2Υ2-2β2ν2+2ν4

4γ2αβ

= _α2+β2-γ2 = -συνΓ 2αβ

18. Αρκεί να δείξουμε ότι: α<β+γ και β<α+γ και γ<α+β

Αν θέσουμε — - = = λ έχουμε: ημΑ ημΒ ημΓ Λ r

α = λημΑ, β = λημΒ, γ = λημΓ Επομένως α<β+γ <=>λημΑ<λημΒ+λημΓ

«·ημΑ<ημΒ+ημΓ «=»ημ(Β+Γ)<ημΒ+ημΓ <=• ημ ΒσυνΓ+συν ΒημΓ <ημΒ+ ημΓ *=»0<ημΒ(1-συνΓ)+ημΓ(1-συνΒ) που ισχύει

Ομοια αποδεικνύουμε και τις β<α+γ, γ<α+β. Αρα υπάρχει τρίγωνο ΚΛΜ με (ΛΜ)=α, (ΚΜ)=β, (ΚΛ)=γ. Από την προηγούμενη άσκηση προκύπτει ότι:

β2+γ2-α2 συν Α = συνΚ = ' , —

2βγ γ2+α2-β2

συνΒ = συνΛ= — L

2γα

συνΓ = συνΜ α2+β2-γ2

2αβ

Αρα Α=Κ, Β=Α, Γ=Μ. ISO

Σχόλιο. Η άσκηση 19, μας δείχνει ότι το θεώρημα των συνημίτονων, προκύπτει από το θεώρημα των ημίτονων και την σχέση Α+Β+Γ = 180' αλγεβρικά χωρίς άλλη αναφορά στην γεωμετρία του τριγώνου. Η άσκηση 20, μας λέει παραπέρα ότι το θεώρημα των ημιτόνων και η σχέση Α+Β+Γ = 180° περιέχουν όλες τις πληροφορίες που αφορούν τις πλευρές και γωνίες ενός τριγώνου, οι οποίες ισχύουν γενικά για όλα τα τρίγωνα.

19. Είναι συνδυασμός των ασκήσεων και 20

Σχόλιο. Η προηγούμενη άσκηση δείχνει ότι οι τρεις σχέσεις του θεωρήματος των συνημίτονων περικλείουν όλες τις πληροφορίες που αφορούν γωνίες και πλευρές ενός τυχαίου τριγώνου.

181

Με απόφαση της Ελληνικής Κυβέρνησης τα διδακτικά βιβλία του Δημοτικού, του Γυμνασίου και του Λυκείου τυπώνονται από τον Οργανισμό Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων και διανέμονται δωρε-άν στα Δημόσια Σχολεία. Τα βιβλία μπορεί να διατίθενται προς πώληση, όταν φέρουν βιβλιόσημο προς απόδειξη της γνησιότη-τας τους. Κάθε αντίτυπο που διατίθεται προς πώληση και δε φέρει βιβλιόσημο θεωρείται κλεψίτυπο και ο παραβάτης διώκεται σύμ-φωνα με τις διατάξεις του άρθρου 7 του Νόμου 1129 της 15/21 Μαρτίου 1946 (ΦΕΚ 1946, 108, Α ).

Απαγορεύεται η αναπαραγωγή οποιουδήποτε τμήματος αυτού του βιβλίου, που καλύπτεται από δικαιώματα (copyright), ή η χρήση του σε οποιαδήποτε μορφή, χωρίς τη γραπτή άδεια του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου.

ΕΚΔΟΣΗ 2010-ΑΝΤΙΤΥΠΑ: 112.000 ΑΡ. ΣΥΜΒΑΣΗΣ 66/2010

ΕΚΤΥΠΩΣΗ :ΤΖΙΑΦΑΛΙΑ ΕΥΘΥΜΙΑ - ΒΙΒΛΙΟΔΕΣΙΑ: Α. ΠΑΠΑΔΑΚΗΣ & ΣΙΑ Ε.Ε.