Álgebra Linear - Espaços Vetoriais - 2015 (Materia)
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ÁLGEBRA
LINEAR
ESPAÇOS E SUBESPAÇOS VETORIAIS
BASE E DIMENSÃO
José Fernando Santiago Prates 2015
Álgebra Linear Espaços e Subespaços
Prof. José Fernando Santiago Prates 2
Para alguns esse material é apenas uma demonstração de
conhecimento, para outros uma imposição. Na verdade é a
maneira que tenho de exemplificar um esforço em buscar,
lapidar e compartilhar um pouco do que existe sobre o
assunto a ser ministrado. Cabe cada aluno fazer o mesmo,
usar a iniciativa pela busca do conhecimento.
José Fernando Santiago Prates.
Se você quer ser bem sucedido,
precisa ter dedicação total,
buscar seu último limite e dar o melhor de si.
Ayrton Senna
Álgebra Linear Espaços e Subespaços
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1. ESPAÇOS VETORIAIS ...................................................................................................... 4
1.1. Definição ................................................................................................................................................. 4
1.1.1. Exemplos ................................................................................................................................................. 5
1.2. SUBESPAÇOS VETORIAIS .................................................................................................................... 10
1.2.1. Definição ............................................................................................................................................... 10
1.2.2. Ilustração geométrica de Subespaços de R2 ................................................................................ 10
1.2.3. Ilustração geométrica de Subespaços de R3 ................................................................................. 11
1.2.4. Exemplos ............................................................................................................................................... 12
1.3. SOMA DE ESPAÇOS VETORIAIS ......................................................................................................... 14
1.3.1. Definição ............................................................................................................................................... 14
1.3.2. Proposição ............................................................................................................................................. 14
1.3.3. Exemplos ............................................................................................................................................... 14
1.4. INTERSEÇÃO DE SUBESPAÇOS ............................................................................................................ 16
1.4.1. Definição ............................................................................................................................................... 16
1.4.2. Proposição ............................................................................................................................................. 16
1.4.3. Exemplos ............................................................................................................................................... 16
1.5. COMBINAÇÃO LINEAR .......................................................................................................................... 18
1.5.1. Definição ............................................................................................................................................... 18
1.5.2. Ilustração no R2 ................................................................................................................................... 18
1.5.3. Exemplos ............................................................................................................................................... 18
1.6. SUBESPAÇOS VETORIAIS FINITAMENTE GERADOS ....................................................................... 21
1.6.1. Definição ............................................................................................................................................... 21
1.6.2. Exemplos ............................................................................................................................................... 21
2. BASE E DIMENSÃO ....................................................................................................... 23
2.1. Dependência Linear ............................................................................................................................23
2.1.1. Definição (Linearmente Independente) L.I. ......................................................................................... 23
2.1.2. Definição (Linearmente Dependente) L.D. ........................................................................................... 23
2.1.3. Exemplos ............................................................................................................................................... 23
2.2. BASE E DIMENSÃO DE ESPAÇOS VETORIAIS ..................................................................................27
2.2.1. Definição (Base).................................................................................................................................... 27
2.2.2. Definição (Dimensão) ........................................................................................................................... 27
2.2.3. Bases Canônicas ................................................................................................................................... 27
2.2.4. Ilustração da base canônica do R2 ................................................................................................... 28
2.2.5. Exemplos de dimensões ..................................................................................................................... 28
2.2.6. Exercícios ............................................................................................................................................. 29
2.3. COORDENADAS ...................................................................................................................................... 31
2.3.1. Definição ............................................................................................................................................... 31
2.3.2. Exemplos ............................................................................................................................................... 31
2.4. MATRIZ DE MUDANÇA DE BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL ...........................................................33
2.4.1. Definição ............................................................................................................................................... 33
2.4.2. Exemplos ............................................................................................................................................... 34
2.4.3. Teoremas .............................................................................................................................................. 38
3. Exercícios ...................................................................................................................................................... 41
3. Bibliografia ...............................................................................................................................................44
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1. ESPAÇOS VETORIAIS
1.1. Definição
Dizemos que um conjunto V é um Espaço Vetorial sobre o conjunto dos
números reais R se, e somente se as seguintes propriedades forem satisfeitas.
Exemplos:
Conjunto dos números reais R,
Conjunto dos vetores reais Rn,
Conjunto das matrizes reais Rnm,
Conjunto dos Polinômios Pn(x), Conjunto das soluções de uma EDO linear homogênea.
I – Existir uma operação de Adição (u, v) u + v onde;
u, v, w V.
a) u + v = v + u Comutativa
b) u + (v + w) = (u + v) + w Associativa
c) 0 V tq u V u + 0 = u Elemento Nulo
d) u V, -u V tq u + (-u) = 0 Elemento Oposto
II – Existir uma operação de Multiplicação (k, u) ku onde;
u, v V e k, k1, k2 R
a) k1(k2u) = (k1k2)u
b) u(k1 + k2) = k1u + k2u
c) k(u + v) = ku + kv
d) 1u = u
(k1 + k2)u = k1u + k2u
(u + v)k = ku + kv
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1.1.1. Exemplos
1. Seja o conjunto V = { (x, y) R2 tal que x, y R } com as operações
Adição : (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1 , 2x1 + 2y2 )
Multiplicação : K(x1, x2 ) = (x1, 0 )
Pedese: Verificar as propriedades da adição e mostrando entre elas quais não são
verdadeiras.
Solução:
u = (u1, u2) e v = (v1, v2) R2.
a) u + v ? v + u
u + v = (u1, u2) + (v1, v2) = (u1 + v1 , 2u1 + 2v2)
v + u = (v1, v2) + (u1, u2) = (v1 + u1, 2v1 + 2u2 )
Portanto, u + v u + v Propriedade falsa.
b) u + (v + w) ? (u + v) + w
u + (v + w) = (u1, u2) + ( (v1, v2) + (w1, w2) ) = (u1, u2) + (v1 + w1, 2v1 + 2w2)
= (u1 + v1 + w1, 2u1 +2(2v1 + 2w2)) = (u1 + v1 + w1, 2u1 + 4v1 + 4w2)
(u + v) + w = ( (u1, u2) + (v1, v2) ) + (w1, w2) = (u1 + v1, 2u1 + 2v2 ) + (w1 + w2)
= (u1 + v1 + w1, 2(u1 + v1) + 2w2)) = (u1 + v1 + w1, 2u1 + 2v1 + 2w2)
Portanto, u + (v + w) (u + v) + w, Propriedade Falsa.
c) ? 0 V tq u V u + 0 = u
Tomando o elemento 0 = (0, 0) R2 temos; 0 + u = (0, 0) + (u1 ,u2) = (0 + u1, 0 + 2u2) u Portanto,
0 V tq u + 0 u Propriedade Falsa
d) u V, ? -u V tq u + (-u) = 0
para u = (u1 ,u2), - u = (-u1 ,-u2) u + (-u) = (u1 ,u2) + (-u1 ,-u2) = (u1 - u1, 2u1 – 2u2) = ( 0, 2u1 – 2u2) (0, 0) Portanto,
u + (-u) 0, Propriedade Falsa. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
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2. Seja o conjunto V = { (x, y) R2 tal que x, y R } com as operações
Adição : (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2 , y1 + 2y2)
Multiplicação : K(x, y) = (Kx , y) com K R
Pedese: Verificar se as propriedades abaixo são verdadeiras.
2.1. k(u + v) = ku + kv
2.2. u + v = v + u
2.3. 0 V tq u V u + 0 = u Solução:
u = (u1 ,u2), v = (v1 ,v2) v R2 e k R
a) k(u + v) ? ku + kv
k(u + v) = k( (u1, u2) + (v1, v2) )
= k( u1 + v1, u2 + 2v2)
= (ku1 + kv1, u2 + 2v2)
ku + kv = k(u1, u2) + k(v1, v2)
= (ku1, u2) + (kv1, v2)
= (ku1 + kv1, u2 + 2v2)
Portanto,
k(u + v) = ku + kv, Propriedade Verdadeira!.
b) u + v ? v + u
u + v = (u1, u2) + (v1, v2) = (u1 + v1, u2 + 2v2)
v + u = (v1, v2) + (u1, u2) = (v1 + u1, v2 + 2u2 ) Portanto,
u + v v + u, Propriedade falsa.
c) ?
0 V tq u V u + 0 = u
para 0 = (0, 0), u = (u1, u2) u + 0 = (u1, u2) + (0, 0) = (u1 + 0, u2 + 2.(0)) = (u1, u2) Portanto,
u + 0 = u, Propriedade verdadeira. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
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3. Seja o conjunto V = { (x, y, z) tal que x, y, z R } com as operações
Adição : (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 - 2y2, z1 + 3z2 )
Multiplicação : k(x, y, z) = (x, 0, kz) Pedese: Verificar se as propriedades abaixo são verdadeiras.
a) u + v = v + u
b) k1(u + v) = k1u + k1v Solução:
u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) R3 e k1 R
a) u + v ? v + u
u + v = (u1, u2, u3) + (v1, v2, v3) = (u1 + v1, u2 – 2v2, u3 + 3v3) v + u = (v1, v2, v3) + (u1, u2, u3) = (v1 + u1, v2 – 2u2, v3 + 3u3)
Portanto, u + v v + u, Propriedade falsa.
b) k1(u + v) ? k1u + k1v
k1(u + v) = k1( (u1, u2, u3) + (v1, v2, v3) ) = k1(u1 + v1, u2 – 2v2, u3 + 3v3) = (u1 + v1, 0, k1u3 + 3 k1v3)
k1u + k1v = k1(u1, u2, u3) + k1(v1, v2, v3) = (u1, 0, k1u3) + (v1, 0, k1v3) = (u1 + v1, 0 – 0 , k1u3 + 3 k1v3) Portanto,
k1(u + v) = k1u + k1v, Propriedade Verdadeira.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
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4. Seja o conjunto V =
Rdc,b,a, que tal
dc
ba com as operações
Adição :
11
11
dc
ba +
22
22
dc
ba =
21
21
dd0
0aa
Multiplicação : k
dc
ba =
kd1
1ka
Pedese: Verificar se as propriedades abaixo são verdadeiras.
a) u + v = v + u
b) k1(u + v) = k1u + k1v Solução:
u =
43
21
uu
uu, v =
43
21
vv
vv R22
e k1, k2 R
a) u + v ? v + u
u + v =
43
21
uu
uu+
43
21
vv
vv=
44
11
vu0
0vu
v + u =
43
21
vv
vv+
43
21
uu
uu=
44
11
uv0
0uv
Portanto, u + v u + v, Propriedade falsa.
b) k1(u + v) ? k1u + k1v
k1(u + v) =
43
21
43
211 vv
vv
uu
uuk =
44
111 vu0
0vuk
=
4141
1111
vkuk1
1vkuk
k1u + k1v =
43
211 uu
uuk +
43
211 vv
vvk =
41
11
uk1
1uk+
41
11
vk1
1vk
=
4141
1111
vkuk0
0vkuk
Portanto,
k1(u + v) = k1u + k1v, Propriedade Verdadeira.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
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5. Seja o conjunto V = Rcb,a, que tal cbxax)x(P 22 com as operações
Adição : )x(B)x(A = )bxbxb()axaxa( 322
1322
1
= )ba(x)ba(x)ba( 33222
11
Multiplicação : k )x(A = 322
1322
1 kaxkaxka)axaxa(k
Pedese: Verificar se as propriedades abaixo são verdadeiras.
a) u + v = v + u
b) k1(u + v) = k1u + k1v para u, v V e k1 R
Solução:
322
1 axaxa)x(A e 322
1 bxbxb)x(B V e k1 R
a) A(x) + B(x) ? B(x) + A(x)
A(x) + B(x) = )bxbxb()axaxa( 322
1322
1
= )ba(x)ba(x)ba( 33222
11
B(x) + A(x) = )axaxa()bxbxb( 32
2132
21
= )ab(x)ab(x)ab( 33222
11
Portanto,
A(x) + B(x) = B(x) + A(x) Propriedade verdadeira.
b) k1( A(x) + B(x) ) ? k1A(x) + k1B(x)
k1( A(x) + B(x) ) = k1( )bxbxb()axaxa( 322
1322
1 )
= k1( )ba(x)ba(x)ba( 33222
11 )
= )ba(kx)ba(kx)ba(k 3312212
111
= )bkak(x)bkak(x)bkak( 313121212
1111
k1A(x) + k1B(x) = )bxbxb(k)axaxa(k 32
21132
211
= )bkxbkxbk()akxakxak( 31212
1131212
11
= )bkak(x)bkak(x)bkak( 313121212
1111
Portanto,
k1( A(x) + B(x) ) = k1A(x) + k1B(x) Propriedade verdadeira.
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1.2. SUBESPAÇOS VETORIAIS
1.2.1. Definição
Considere V um espaço vetorial sobre os números reais. Dizemos que W, um subconjunto de
V, é um subespaço vetorial de V se, e somente se as propriedades abaixo forem satisfeita.
1.2.2. Ilustração geométrica de Subespaços de R2
a) W={(x,y)R2 tq x = y} b) W={(x,y)R2 tq x = -y}
c) W={(x,y)R2 tq y = 2x} d) W={(x,y)R2 tq x = 3y}
I) 0 W
II) u, v W, u + v W
III) u W e k R, ku W
y
x
0 1 2 3 4
-1
-2
1
2
3
4
-1 -2 -3 -4
5
y
x
0 1 2 3 4
-1
-2
1
2
3
4
-1 -2 -3 -4
5
y
x
0 1 2 3 4
-1
-2
1
2
3
4
-1 -2 -3 -4
5
y
x
0 1 2 3 4
-1
-2
1
2
3
4
-1 -2 -3 -4
5
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1.2.3. Ilustração geométrica de Subespaços de R3
a) W={(x, y, z) R3 tq z = 0} b) W={(x, y, z) R3 tq x = 0}
c) W={(x, y, z) R3 tq y = 0} d) W={(x, y, z) R3 tq x = y}
e) W={(x, y, z) R3 tq y = 0 e z = 0} f) W={(x, y, z) R3 tq x=-y e z=y}
x
y
z
Plano xOz
z
x
y
x
y
z
y
z
x
z
x
y
z
x
y
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1.2.4. Exemplos
1. Verificar se S = {(x, y) R2 tq x = y + 1 } é um subespaço vetorial de R2.
Solução
S = {(x, y) R2 tq x = y + 1 } = {(y + 1, y) tq y R}
a) (0,0) S pois se y = 0 temos x 2(0) +1
b) u = (u2 + 1, u2) e v = (v2 + 1, v2) S , temos
u + v = (u2 + 1, u2) + (v2 + 1, v2)
= (u2 + v2 + 2, u2 + v2) S
c) k R e u = (u2 + 1, u2) temos
ku = k(u2 + 1, u2)
= (ku2 + k, ku2) S
Portanto S não é um subespaço --------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
2. Verificar se S = {(x, y, z) R3 tq x = y + z } é um subespaço vetorial de R3.
Solução
S = {(x, y, z) R3 tq x = y + z } = {(y + z, y, z) tq y, z R}
I. (0, 0, 0) S pois se y = 0 e z = 0 temos x = 0 + 0 = 0
II. u = (u2 + u3, u2, u3) e v = (v2 + v3, v2, v3) S , temos
u + v = (u2 + u3, u2, u3) + (v2 + v3, v2, v3)
= (u2 + u3 + v2 + v3, u2 + v2, u3 + v3) S
III. k R e u = (u2 + u3, u2, u3) S temos
ku = k(u2 + u3, u2, u3)
= (ku2 + ku3, ku2, ku3) S
Portanto, S é um subespaço. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
O correto seria
(u2 + v2 + 1, u2 + v2)
O correto seria
(ku2 + 1, ku2)
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3. Verificar se S =
Rb,a tq
ba0
ba é um subespaço vetorial de R2x2.
Solução
I.
00
00 S
II. u =
21
21
uu0
uu, v =
21
21
vv0
vv S , temos
u + v =
21
21
uu0
uu +
21
21
vv0
vv
=
2121
2211
vvuu00
vuvu S
III. k R e u =
21
21
uu0
uu S temos
k
21
21
uu0
uu =
21
21
kuku0
kuku S
Portanto, S é um subespaço. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
4. Verificar se S = {(x, y, z) R3 tq x = y2 } é um subespaço vetorial de R3.
Solução
S = {(x, y, z) R3 tq x = y2 } = {(y2, y, z) tq y, z R}
I. (0, 0, 0) S, pois se y = 0 temos x = 02
II. u = ( (u2) 2
, u2, u3) e v = ((v2) 2, v2, v3) S , temos
u + v = ((u2) 2, u2, u3) + ((v2)
2, v2, v3)
=((u2) 2
+ (v2) 2, u2 + v2, u3 + v3) S
Portanto S não é um subespaço
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
O correto seria
(u2 + v2 )2
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1.3. SOMA DE ESPAÇOS VETORIAIS
1.3.1. Definição
Considere V um espaço vetorial sobre os números reais. Sejam E1 e E2 subespaços de V. A
soma E1 + E2 é um subconjunto de V, representando a soma dos subespaços E1 e E2, definida por;
E1 + E2 ={ u + v tq u E1 e v E2}
1.3.2. Proposição
Se E1 e E2 são subespaços de um espaço vetorial V, então a soma E1 + E2 é um subespaço de V.
1.3.3. Exemplos
1) Sejam os seguintes subconjuntos de R3
.
E1 = {(x, y, z) R3 tq y = 0 e z = 0 } e E2 = {(x, y, z) R3 tq x = 0}
Determinar E1 + E2 .
Solução: De E1 = {(x, 0, 0) tq x R } temos: u = (x, 0, 0) De E2 = {(0, y, z) tq y, z R } temos: v = (0, y, z)
u + v = (x, 0, 0) + (0, y, z) = (x, y, z) x, y, z R Portanto, E1 + E2 ={(x, y, z) x, y, z R} = {(x, y, z) R3 } R3
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
Ilustração 1: E1 = {(0, 0, 0), (1, 0, 0), (-1, 0, 0), (2, 0, 0), (-2, 0, 0), (3, 0, 0), (-3, 0, 0), ..... }
E2 = {(0, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 1, -1), (0, -1, 1), (0, -1, 0), (0, 0, -1), (0, 3, 0), (0, 1, 0), (0, 3, 2), (0, 2, 0), ..... }
E1 + E2 = {(0, 0, 0)+(0, 0, 0), (0, 0, 0)+(1, 0, 0), (0, 0, 0)+(0, 1, 0),..., (0, 0, 0)+(1, 1, 0), (0, 0, 0)+(1, 2, 0),......
,...., (2, 0, 0)+(0, 3, 2),.....}
Ilustração 2:
y
x
x
z
y
(3, 2, 2) x
E1
y
z
E2
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2) Sejam os seguintes subconjuntos de R3
.
E1 = {(x, y, z) R3 tq y = 0} e E2 = {(x, y, z) R3 tq z = 0}
Determinar E1 + E2 .
Solução:
De E1 = {(x, 0, z) tq x, z R } temos: u = (x, 0, z)
De E2={(x, y, 0) tq x, y R } temos: v = (x, y, 0)
u + v = (x, 0, z) + (x, y, 0) = (x + x, y, z) = (a, b, c)
Como podemos ver, temos um elemento do R
E1 + E2 = { (x, y, z) R3 } --------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
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1.4. INTERSEÇÃO DE SUBESPAÇOS
1.4.1. Definição
Considere V um espaço vetorial sobre os números reais. Sejam E1 e E2 subespaços de V. A
interseção E1 e E2 é um subconjunto de V, representado por E1 E2 e definida por;
E1 E2 ={ u tq u E1 e u E2}
1.4.2. Proposição
Se E1 e E2 são subespaços de um espaço vetorial V, então a interseção E1 E2 é um
subespaço de V.
1.4.3. Exemplos 1) Sejam os seguintes subconjuntos de R
3
E1 = {(x, y, z) R3 tq x = 0} e E2 = {(x, y, z) R3 tq z = 0}
Determinar E1 E2 .
Solução:
De E1 = {(0, y, z) tq y, z R } temos: u = (0, y, z)
De E2 = {(x, y, 0) tq x, y R } temos: v = (x, y, 0)
u v = (0, y, z) (x y, 0) = (0, y, 0)
E1 E2 = { (x, y, z) R3 tq x = 0, z = 0 }
E1 E2 = { (0, y, 0) tq y R }
Ilustração:
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
z
x
y
E1
E2
E1 E2
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2) Sejam os seguintes subconjuntos de R3
E1 = {(x, y, z) R3 tq x = y } e E2 = {(x, y, z) R3 tq z = 0}
Determinar E1 E2 .
Solução:
De E1 = {(x, x, z) tq y, z R } temos: u = (x, x, z)
De E2 = {(x, y, 0) tq z R } temos: v = (x, y, 0)
u v = (x, x, z) (x, y, 0) = (x, x, 0)
E1 E2 = { (x, y, z) R3 tq x = y, z = 0 }
E1 E2 = { (x, x, 0) tq x R }
Ilustração
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
3) Sejam os seguintes subconjuntos de R4 .
E1={(x, y, z, w) tq x = z} e E2={(x, y, z, w) tq x = 0, z = 0 }
Determinar E1 E2
Solução:
De E1 = {(z, y, z, w) z, y, w R} temos: u = (z, y, z, w)
De E2 = {(0, y, 0, w) y, w R} temos: v = (0, y, 0, w)
u v = (z, y, z, w) (0, y, 0, w) = (0, y, 0, w)
E1 E2 = {(0, y, 0, w) y, w R} --------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
x
y
z
E1 E2
E1
E2
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1.5. COMBINAÇÃO LINEAR
1.5.1. Definição
Considere V um espaço vetorial sobre os números reais. Seja S = {u1, u2, u3,..., un} um
subconjunto de V. Dizemos que um vetor w é uma combinação linear de S se, e somente se
w = a1u1 + a2u2 + a3u3 +...+ anun para a1, a2, a3,..., an R.
1.5.2. Ilustração no R2
1.5.3. Exemplos
1) Verificar se o vetor v=(2, 6) é uma combinação linear dos vetores u1=(8, 0), u2=(3, 3) .
Solução:
Devemos encontrar a1, a2 R tal que v = a1u1+ a2u2, ou seja;
(2, 6) = a1 (8, 0) + a2 (3, 3)
2
21
3a
3a8a
6
2
Que resulta em a1 =
2
1 e a2 = 2
Portanto, v = (2, 6) é uma combinação linear u1 e u2
Ilustração
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
-
y
x
0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 6 7 8 -6 -7
1
3
4
5
6
7
8
2
a1u1
u1
u2
a2u2
w=a1u1 + a2u2
(2, 6)
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2) Verificar se o vetor v=(5, 2) é uma combinação linear dos vetores u1 =(-1, 2), u2 = (2, -1) .
Solução:
Devemos encontrar a1, a2 R tal que v = a1u1+ a2u2, ou seja;
(5, 2) = a1(-1, 2) + a2(2, -1)
2
2
1
1
a
2a
2a
a-
2
5
Que resulta em a1 = 3 e a2 = 4
Portanto, v = (5, 2) é uma combinação linear u1 e u2
Ilustração
(5, 2) = 3(-1, 2) + 4(2, -1) = (-3+8, 6-4) = (5, 2)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
3) Verificar se v=(1, 3, 5) é combinação linear de u1=(3, 2, 1), u2= (2, 1, 0) e u3= (1, 0, 0).
Solução:
Devemos encontrar a1, a2 e a3 R tal que v = a1u1+ a2u2 + a3u3, ou seja;
(1, 3, 5) = a1 (3, 2, 1) + a2(2, 1, 0 ) + a3(1, 0, 0)
1
21
321
a5
aa23
aa2a31
Que resulta em a1 = 5, a2 = -7 e a3 = 0.
Portanto, v = (1, 3, 5) é uma combinação linear u1, u2 e u3 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
y
x
0 1 2 3 4 5
-1
-2
1
2
3
4
-1 -2 -3 -4 -5 6 7 8
-3
5
6
-4
-6 -7
(5, 2)
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4) Verificar se v = (4, 4, 4) é uma combinação linear de S ={(1, 0, 1), (1, 1, 0), (2, 2, 0)}.
Solução: Devemos encontrar a1, a2 e a3 R tal que v = a1u1+ a2u2 + a3u3, ou seja; (4, 4, 4) = a1 (1, 0, 1) + a2(1, 1, 0 ) + a3(2, 2, 0)
1
32
321
a4
a2a4
a2aa4
4a2a
0a2a
32
32
Que resulta em um sistema impossível. Portanto, v = (4, 4, 4) NÃO é uma combinação linear S.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
5) Verificar se v = (4, 4, 4) é uma combinação linear de S ={(1, 0, 1), (1, 1, 1), (1, 0, -1)}.
Solução: Devemos encontrar a1, a2 e a3 R tal que v = a1u1+ a2u2 + a3u3, ou seja; (4, 4, 4) = a1 (1, 0, 1) + a2(1, 1, 1) + a3(1, 0, -1)
321
2
321
aaa4
a4
aaa4
a2 = 4
0aa
0aa
31
31
Que resulta em a1 = 0, a2 = 4 e a3 = 0. Portanto, v = (4, 4, 4) é uma combinação linear S.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
6) Verificar se v =
43
21 é uma combinação linear de S =
00
01,
00
12,
01
23,
12
34.
Solução: Devemos encontrar a1, a2, a3 e a4 R tal que
43
21=
00
01a
00
12a
01
23a
12
34a 4321
4a
3aa2
2aa2a3
1aa2a3a4
1
21
321
4321
Que resulta em a1 = 4, a2 = -5, a3 = 0 e a4 = 0.
Portanto, v =
43
21 é uma combinação linear S.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
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1.6. SUBESPAÇOS VETORIAIS FINITAMENTE GERADOS
1.6.1. Definição
Considere V um espaço vetorial sobre os números reais. Seja A = {u1, u2, u3,..., un} um
subconjunto de V. Dizemos que o espaço vetorial V é gerado pelo conjunto S se, e somente
se w V é escrito como uma combinação linear de A, ou seja,
w = a1u1 + a2u2 + a3u3 +...+ anun
para a1, a2, a3,..., an R.
Notação: V = [A], { V é gerado por A }
1.6.2. Exemplos
1) Verificar se R2 é gerado por A = {(3, 1), (4, 0)}.
Solução:
Devemos obter a1, a2 R tq v = (x, y) R2 tenhamos v = a1u1 + a2u2 onde u1=(3, 1), u2=(4, 0), isto é:
(x, y) = a1(3, 1) + a2(4, 0)
2
1
1 4a
a
3a
y
x
Que resulta em a1 = y e
4
y3xa2
Portanto, R2 = [A]
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
2) Obter o conjunto gerador do subespaço vetorial S = {(x, y, z, w) tq x = -y, w = 0 }
Solução:
Neste caso, devemos encontrar o conjunto a partir de S, ou seja; S = {(x, y, z, t) R4 tq x = - y, t = 0 } S= {(-y, y, z, 0) tq y, z R} S = {y(-1, 1, 0, 0) + z(0, 0, 1, 0) tq y, z R}, Portanto, [(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)] = S
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
Obte
r o
conj
unto
gera
dor
V
eri
fica
r se
é g
era
dor
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3) Obter o Subespaço vetorial W de R3 gerado por S = {(1, 1, 0), (1, 0, 1)}.
Solução:
Temos que obter W = [S], se e somente se existirem a, b R tq:
a(1, 1, 0) + b(1, 0, 1) = (a + b, a, b)
W = {(a + b, a, b) tal que a, b R }
Portanto, o Subespaço vetorial é dado por:
W = {(x, y, z) R3 tal que x = y + z}
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
4) Verificar se R3 é gerado por S = {(1, 3, 1), (2, 1, 0), (1, 0, 0)}.
Solução:
Devemos obter a1, a2, a3 R tq v = (x, y, z) R3 tenhamos v = a1u1 + a2u2
+ a3u3 onde u1=(1, 3, 1), u2=(2, 1, 0), u3=(1, 0, 0), isto é:
(x, y, z) = a1(1, 3, 1) + a2(2, 1, 0) + a3(1, 0, 0).
za
ya3a
xa2aa
1
21
321
Que resulta em a1 = z, a2 = y - 3z e a3 = x + 5z - 2y
Portanto, R3 = [S]
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
5) Qual o conjunto gerador do subespaço vetorial W = {(x, y) R2 tq x = y }
Solução:
Neste caso, devemos encontrar o conjunto a partir de W, ou seja; W = {(x, y) R2 tq x = y} W = {(y, y) tq y R} W = {y(1, 1) tq y R}, Portanto, W = [(1, 1)]
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
6) Qual o conjunto gerador do subespaço vetorial W = {(x, y, z) R3 tq x = y + z }
Solução:
Neste caso, devemos encontrar o conjunto a partir de W, ou seja; W = {(x, y, z) R3 tq x = y + z } W = {(y + z, y, z) tq y, z R} W = {y(1, 1, 0) + z(1, 0, 1) tq y, z R}, Portanto, W = [(1, 1, 0), (1, 0, 1)]
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
Obte
r o
Sub
esp
aço
Veto
rial
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2. BASE E DIMENSÃO
2.1. Dependência Linear
Considere V um espaço vetorial sobre os números reais. Seja L = {u1, u2, u3,..., un} um
subconjunto de V.
2.1.1. Definição (Linearmente Independente) L.I.
Dizemos que L é um conjunto Linearmente Independente se, e somente se,
a1u1 + a2u2 + a3u3 +...+ anun = 0
Para a1, a2, a3,..., an R e a1 = a2 = a3 =...= an = 0
2.1.2. Definição (Linearmente Dependente) L.D.
Dizemos que L é um conjunto Linearmente Dependente se, e somente se,
a1u1 + a2u2 + a3u3 +...+ anun = 0
Para a1, a2, a3,..., an R e Nem todo o ai igual à zero.
2.1.3. Exemplos
1) Verificar se o conjunto L={(6, 3), (2, 4)} é LI ou LD.
Solução: Devemos obter a1, a2 R tq a1 (6, 3) + a2(2, 4) = (0, 0)
04a3a
02a6a
21
21 Que resulta em a1 = 0 e a2 = 0.
L é um conjunto L.I
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
y
x
0 1 2 3 4 5
-1
-2
1
2
3
4
-1 -2 -3 -4 -5 6 7 8
-3
5
6
-4
-6 -7
Vetor Nulo
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2) Verificar se o conjunto L={(3, 2), (6, 4)} é LI ou LD.
Solução: Devemos obter a1, a2 R tq a1 (3, 2) + a2(6, 4) = (0, 0)
04a2a
06a3a
21
21 { a1 + 2a2 = 0
Que resulta em a1 = -2a2 a2 R
L é um conjunto L.D
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
2) Verificar se o conjunto L={(0, 6), (4, 3), (8, 0)} é LI ou LD.
Solução: Devemos obter a1, a2, a3 R tq a1 (1, 5) + a2(6, 4) + a3(8, 2) = (0, 0)
03a6a
08a4a
21
32 2
aa 2
1 e 2
aa 2
3 a3 R
L é um conjunto L.D
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
y
x
6 7 8 1 2 3 4 5 0
1
2
3
4
5
6
8
9
9 10 11
y
x
6 7 8 1 2 3 4 5 0
1
2
3
4
5
6
8
9
9 10 11
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3) Verificar se o conjunto L={(0, 1, 1), (1, 2, 0), (2, 1, 0)} é LI ou LD.
Solução:
Devemos obter a1, a2, a3 R tq
a1 (0, 1, 1) + a2(1, 2, 0) + a3(2, 1, 0) = (0, 0, 0)
(0, a1, a1) + (a2, 2a2, 0) + (2a3, a3, 0) = (0, 0, 0)
0a
0a2aa
02aa
1
321
32
Que resulta em a1 = 0, a2 = 0 e a3 = 0.
L é um conjunto L.I
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
4) Verificar se o conjunto L={(2, 0, 0), (0, 3, 0), (0, 0, 4)} é LI ou LD.
Solução:
Devemos obter a1, a2, a3 R tq
a1 (2, 0, 0) + a2(0, 3, 0) + a3(0, 0, 4) = (0, 0, 0)
04a
03a
02a
3
2
1
Que resulta em a1 = 0, a2 = 0 e a3 = 0.
L é um conjunto L.I
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
z
x
y
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5) Verificar se o conjunto L={(3, 0, 0), (0, 0, 4), (4, 0, 5)} é LI ou LD.
Solução:
Devemos obter a1, a2, a3 R tq
a1 (3, 0, 0) + a2(0, 0, 4) + a3(4, 0, 5) = (0, 0, 0)
05a4a
00
04a3a
32
31
Que resulta em a1 = e a2 = .
L é um conjunto L.D
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
6) Determinar o valor de m de modo que o conjunto L={(1, 0, m), (1, 1, m), (1, 1, m2)} seja LI.
Solução:
Devemos obter a1, a2, a3 R tq
a1(1, 0, m) + a2(1, 1, m ) + a3(1, 1, m2 ) = (0, 0, 0)
0ammama
0aa
0aaa
32
21
32
321
De a2 + a3 = 0 temos a2 = a3
De a1 + a2 + a3 = 0 temos a1 = a2 a3 = ( a3) a3 = 0
e substituir em ma1 + ma2 + m2a3 = 0 temos;
m(0) + m( a3) + m2a3 = 0
ma3 + m2a3 = 0
a3( m + m2) = 0
Para que o conjunto seja L.I., o sistema acima tem que admitir solução trivial, onde os valores de a1, a2, a3 R são dados a partir de a3(m
2 m) = 0, ou seja,
m2 m 0 m(m 1) 0 m 0 e m 1
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
y
z
x
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2.2. BASE E DIMENSÃO DE ESPAÇOS VETORIAIS
Considere V um espaço vetorial sobre os números reais. Seja B = {u1, u2, u3,..., un} um
subconjunto de V.
2.2.1. Definição (Base)
O conjunto B = {u1, u2, u3,..., un} é uma das bases do espaço vetorial V se, e somente se:
I) V = [B] (V é gerado pelos elementos de B).
II) B é L.I. (Linearmente Independente)
2.2.2. Definição (Dimensão)
A dimensão de um espaço vetorial é definida como sendo o número de elementos de uma de
suas bases.
Notação: Dim(V).
2.2.3. Bases Canônicas
1) Base canônica do R2 sobre os Reais.
B = {(1, 0), (0, 1)}
2) Base canônica do R3 sobre os Reais.
B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
3) Base canônica do R4 sobre os Reais.
B = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}
4) Base canônica do R22 sobre os Reais.
B =
10
00,
01
00,
00
10,
00
01
5) Base canônica do R23 sobre os Reais.
B =
100
000,
010
000,
001
000,
000
100,
000
010,
000
001
6) Base canônica das funções quadráticas sobre os Reais.
B = {x2, x, 1}
7) Base canônica dos números complexos C sobre os Reais.
B = {i, 1}
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2.2.4. Ilustração da base canônica do R2
2.2.5. Exemplos de dimensões
1) Dim(R) = 1
2) Dim(R2) = 2
3) Dim(R3) = 3
4) Dim(R4) = 4
5) Dim(R22) = 4
6) Dim(R23) = 6
7) Dim(R34) = 12
8) Dim(Pn(x) ) = n + 1
y
x
0 1 2 3 4 5
-1
-2
1
2
3
4
-1 -2 -3 -4 -5 6 7 8
-3
5
6
-4
-6 -7
(-6, 5)= (-6)(1, 0) + (5) (0, 1)
(-3, 3)= (-3)(1, 0) + (3) (0, 1)
(-2, -4)= (-2)(1, 0) + (-4) (0, 1)
(-6, -2)= (-6)(1, 0) + (-2) (0, 1)
(4, 2)= (4)(1, 0) + (2) (0, 1)
(5, -4)= (5)(1, 0) + (-4) (0, 1)
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2.2.6. Exercícios
1) Obter uma base e dimensão do subespaço vetorial W = {(x, y) R2 tq x = y }
Solução:
Neste caso, encontrar uma das bases é encontrar o conjunto gerador de W, ou seja; W = {y(1, 1) tq y R}, Portanto, Base = {(1, 1)} A dimensão é dada por Dim(W) = 1
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
2) Obter uma base e dimensão do subespaço vetorial W = {(x, y, z) R3 tq x = y + z }
Solução:
Neste caso, encontrar uma das bases é encontrar o conjunto gerador de W, ou seja;
W = {y(1, 1, 0) + z(1, 0, 1) tq y, z R},
Portanto, Base = {(1, 1, 0), (1, 0, 1)}
A dimensão é dada por Dim(W) = 2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
3) Obter uma base e dimensão do subespaço vetorial W = {(x, y, z, t) tq x = y, t = 0 }
Solução:
Neste caso, encontrar uma das bases é encontrar o conjunto gerador de W, ou seja;
W = {y(-1, 1, 0, 0) + z(0, 0, 1, 0) tq y, z R},
Portanto, Base = {(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)}
A dimensão é dada por Dim(W) = 2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
4) Obter uma base e dimensão do subespaço vetorial W = {(x, y, z, t) tq x = y + z + t}
Solução:
Neste caso, encontrar uma das bases é encontrar o conjunto gerador de
W, ou seja;
W = {y(1, 1, 0, 0) + z(1, 0, 1, 0) + t(1, 0, 0, 1) tq y, z, t R},
Portanto, Base = {(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1)}
A dimensão é dada por Dim(W) = 3
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
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5) Verificar se o conjunto L = { (2, 1), (3, 2)} é uma base do R2.
Solução:
Devemos mostrar que:
(a) [L] = R2, ou seja, (x, y) R2 , deverá existir a,b R tal que:
(x, y) = a(2, 1) + b(3, 2) (a, a) + (3b, 2b) = (x, y)
yb2a
xb3a b = x y e a = 2x 3y Portanto [L]=R2
(b) L é L.I., ou seja,
Existe a,b R tal que a(2, 1) + b( 3, 2) = (0, 0) para a = 0 e b = 0
(a, a) + (3b, 2b) = (0, 0)
0b2a
0b3a b = 0 e a = 0 Portanto L é L.I.
Logo L é uma base de R2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
6) Verificar se o conjunto L = {(2, 4, 0), (0, -1, 0), (1, 0, 4)} é uma base do R3.
Solução:
Devemos mostrar que [L] = R2 e L é L.I
(a) [L] = R2, ou seja,
Devemos obter a1, a2, a3 R tq v = (x, y, z) R3 tenhamos
v = a1u1 + a2u2 + a3u3 onde u1=(-1, 4, 0), u2=(0, -1, 0), u3=(1, 0, 4).
(x, y, z) = a1(-1, 4, 0) + a2(0, -1, 0) + a3(4, 0, -1).
za-
ya-4a
x4aa-
3
21
31
Que resulta em a1 = - x - 4z, a2 = -y - 4x – 16z e a3 = -z.
Portanto [L]=R2
(b) L é L.I., ou seja,
Devemos obter a1, a2, a3 R tq v = (x, y, z) R3 tenhamos
0 = a1u1 + a2u2 + a3u3 onde u1=(-1, 4, 0), u2=(0, -1, 0), u3=(1, 0, 4).
(0, 0, 0) = a1(-1, 4, 0) + a2(0, -1, 0) + a3(4, 0, -1).
0a-
0a-4a
04aa-
3
21
31
Que resulta em a1 = 0, a2 = 0 e a3 = 0. Portanto L é L.I.
Logo L é uma base de R3
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
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2.3. COORDENADAS
2.3.1. Definição
Considere V um espaço vetorial sobre os números reais. Seja B = {u1, u2, u3,..., un} uma das
bases de V. Dizemos que todo vetor v desse espaço é escrito como uma combinação linear de
B, ou seja, nn332211 u au au au av para a1, a2, a3,..., an R. Os valores
são chamados de Matriz de Coordenadas do vetor v em relação a base B.
n
3
2
1
B
a
a
a
a
]v[
2.3.2. Exemplos
1) Determine as coordenadas do vetor u = (2, 4) em relação a base B = { (1, 0), (0, 1) }.
Solução:
a) B={(1, 0), (0, 1)}.
Devemos encontrar a1, a2 R tq
a1 (1, 0) + a2 (0, 1) = (2, 4), ou seja,
4a
2a
2
1 Que resulta em a1 = 2, a2 = 4.
Matriz das coordenadas é
4
2
a
a]v[
2
1B .
y
x
6 7 8 1 2 3 4 5 0
1
2
3
4
5
6
8
9
9 10 11
Álgebra Linear Espaços e Subespaços
Prof. José Fernando Santiago Prates 32
2) Determine as coordenadas do vetor u = (2, 1, 4) em relação as bases abaixo:
B = { (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) }. base canônica
Solução:
a) B={(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.
Devemos encontrar a1, a2, a3 R tq
a1 (1, 0, 0) + a2 (0, 1, 0) + z(0, 0, 1) = (2, 1, 4), ou seja,
4
1
2
a
a
a
3
2
1
Que resulta em a1 = 2, a2 = 1 e a3 = 4.
Matriz das coordenadas é
4
1
2
]v[ B .
b) B={(1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 0, 1).
Devemos encontrar a1, a2, a3 R tq
a1 (1, 1, 1) + a2 (1, 0, 1) + a3 (1, 0, 1) = (2, 1, 4), ou seja,
4
1
2
aaa
a
aaa
321
1
321
Que resulta em a1=1 e
3aa
1aa
32
32
a2=2 e a3= 1
Logo a matriz das coordenadas é dada por
1
2
1
]v[ B
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
3) Determine as coordenadas do vetor u = (2, 3) em relação a base B = { (1, -1), (2, -1)}.
[u]B = (-8, 5)
4) Determine as coordenadas do vetor u = (2, 3) em relação a base B = { (1, 1), (1, 0)}.
[u]B = (3, -1)
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v1
v2 w2
w1
u
2.4. MATRIZ DE MUDANÇA DE BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL
2.4.1. Definição
Considere V um espaço vetorial sobre os números reais. E sejam B = {v1, v2, v3,..., vn}
e C = {u1, u2, u3,..., un} duas bases de V. Então existe um único conjunto de números
reais para a11, a12, a13,..., ann R tal que;
u1 = a11 v1 + a21 v2 + a31 v3 + a41 v4 +......+ an1 vn
u2 = a12 v1 + a22 v2 + a32 v3 + a42 v4 +......+ an2 vn
u3 = a13 v1 + a23 v2 + a33 v3 + a43 v4 +......+ an3 vn
: : : : : : : :
un = a1n v1 + a2n v2 + a3n v3 + a4n v4 +......+ ann vn
n
1iiijj vau para j =1, 2, 3, ... ,n
=
nn3n2n1n
n3333231
n2232221
n1131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
Que é chamada de matriz de mudança da base B para base C.
Ilustração
Temos o vetor u representado na base A={ v1, v2} e representado na base B ={ w1, w2} do R2
x’ y
y’
x
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2.4.2. Exemplos
1) Determine a matriz de mudança da base B ={ (1, 2), (3, 1) } para a base canônica.
Solução:
Base canônica C ={ (1, 0), (0, 1) }
Devemos encontrar. =
aa
aa
2221
1211
sendo;
u1 = a11 v1 + a21 v2
u2 = a12 v1 + a22 v2
a11 (1, 2) + a21 (3, 1) = (1, 0) ou seja,
0aa2
1a3a
2111
2111
que admite solução a11 = -1/5 e a21 = 2/5 =
?5/2
?5/1
a12 (1, 2) + a22 (3, 1) = (0, 1) ou seja,
1aa2
0a3a
2212
2212
que admite solução a12 = 3/5 e a22 = 1/5 =
5/15/2
5/35/1
Portanto a matriz de mudança é dada por =
5/15/2
5/35/1
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
2) Determine a matriz de mudança da base B ={ (1, 1), (1, 0) } para base C = { (1, 2), (-
4, -3) }.
Solução:
Devemos encontrar =
aa
aa
2221
1211
sendo;
u1 = a11 v1 + a21 v2 e u2 = a12 v1 + a22 v2
a11 (1, 1) + a21 (1, 0) = (1,2) ou seja,
2a
1aa
11
2111
que admite solução a11= 2 e a21= -1 =
?1
?2
a12 (1, 1) + a22 (1, 0) = (-4, -3) ou seja,
3a
4aa
12
2212
que admite solução a12= -3 e a22= -1 =
11
32
Portanto a matriz de mudança é dada por =
11
32
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
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3) Determine a matriz de mudança da base B ={ (2, 1), (-3, 0) } para base C = { (1, 2),
(3, 1) }.
Solução:
=
aa
aa
2221
1211
= ? sendo; u1 = a11 v1 + a21 v2 e u2 = a12 v1 + a22 v2
a11 (2, 1) + a21 (-3, 0) = (1,2) ou seja,
2a
1a3a2
11
2111
que admite solução a11= 2 e a21= 1 =
?1
?2
a12 (2, 1) + a22 (-3, 0) = (3, 1) ou seja,
1a
3a3a2
12
2212
que admite solução a12= 1 e a22= 1/3 =
3
11
12
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
4) Determine a matriz de mudança da base B ={ (1, 2, 1), (1, -1, 0), (1, 0 ,0) } para
base C = { (1, 1, 2), (1, 3, 1), (1, 0, 0) }.
Solução:
Devemos encontrar =
aaa
aaa
aaa
333231
232221
131211
. sendo,
a11 (1, 2, 1) + a21 (1, -1, 0) + a31 (1, 0, 0) = (1, 1, 2) ou seja,
2a
1a-2a
1aaa
11
1211
131211. a11 = 2, a21 = 3, a31 = -4.
=
??4
??3
??2
a12 (1, 2, 1) + a22 (1, -1, 0) + a32 (1, 0, 0) = (1, 3, 1) ou seja,
1a
3a-2a
1aaa
12
2212
322212. a12 = 1, a22 = -1, a32 = 1.
=
?14
?13
?12
a13 (1, 2, 1) + a23 (1, -1, 0) + a33 (1, 0, 0) = (1, 0, 0) ou seja,
0a
0a-2a
1aaa
13
2313
332313 a13 = 0, a23= 0, a33 = 1.
=
114
013
012
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
u1 = a11 v1 + a21 v2 + a31 v3
u2 = a12 v1 + a22 v2 + a32 v3
u3 = a13 v1 + a23 v2 + a33 v3
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5) Determine a matriz de mudança da base para base
Solução:
Devemos encontrar =
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
44434241
34333231
24232221
14131211
tal que.
a11 + a21 + a31 + a41 = ou seja,
1a
1aa2
1aa2a3
1aa2a3a4
11
2111
312111
41312111
=
???0
???0
???1-
???1
a12 + a22 + a32 + a42 = ou seja,
0a
1aa2
1aa2a3
1aa2a3a4
12
2212
322212
42322212
=
??00
??10
??11-
??01
a13 + a23 + a33 + a43 = ou seja,
0a
0aa2
1aa2a3
1aa2a3a4
13
2313
332313
43332313
=
?100
?110
?011-
?001
a14 + a24 + a34 + a44 = ou seja,
0a
0aa2
0aa2a3
1aa2a3a4
14
2414
342414
44342414
. =
1100
0110
0011-
0001
Portanto a matriz de mudança é dada po =
1100
0110
0011-
0001
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
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6) Determine a matriz de mudança da base B={-2,x+3,2x2-1} para base C={x+1,x2-2x,
x2+3}.
Solução:
Devemos encontrar =
cba
cba
cba
333
222
111
. sendo,
a1 (-2) + a2 (x+3) + a3 (2x2-1) = (x+1)
-2a1 + a2x + 3a2 + 2a3x2 - a3 = x + 1
1a-3a2a-
1a
02a
321
2
3
. que admite solução a1 = 1, a2 = 1, a3 = 0.
=
??0
??1
??1
b1 (-2) + b2 (x+3) + b3 (2x
2-1) = (x2-2x)
-2b1 + b2x + 3b2 + 2b3x2 - b3 = x2 – 2x
0b-3b2b-
2-b
12b
321
2
3
. que admite solução b1 = 4
13 , b2 = -2, b3 =
2
1 .
=
?2
10
?21
?4
131
c1 (-2) + c2 (x+3) + c3 (2x2-1) = (x2+3)
-2c1 + c2x + 3c2 + 2c3x2 - c3 = x2 + 3
3c-3c2c-
0c
12c
321
2
3
. que admite solução c1 = 4
7 , c2 = 0, c3 =
2
1 .
=
2
1
2
10
0214
7
4
131
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
7) Considere B1 = { x , x² , x³ } e B2 = { x – 3x³ , 2x² + x³ , x – x² }, bases de um Espaço
Vetorial P. Encontre a matriz que serve para mudar as coordenadas de um polinômio em P,
de B2 para B1.
2B
1BM =
013
120
101
u1 = a1 v1 + a2 v2 + a3 v3
u2 = b1 v1 + b2 v2 + b3 v3
u3 = c1 v1 + c2 v2 + c3 v3
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2.4.3. Teoremas
Teorema (1)
Seja V um espaço vetorial de dimensão n. Sejam B e C duas bases de V e a
matriz de mudança da base B para C, então:
a) = T.
b) = ( T)-1.
Exemplos
1) Determine a base B sabendo que a matriz de mudança da base B para base C = { (1, 2),
(3, 1) } é =
3
11
12
.
Solução: Pelo teorema, = ( T)-1. ,
13
21
T =
3
11
12
aplicando a inversa (
T)-1 =
5
6
5
35
3
5
1
= ( T)-1. =
5
6
5
35
3
5
1
13
21
=
03
12
13
21
B ={ (2, 1), (-3, 0) }
2) Determine a base C sabendo que a matriz de mudança da base B ={ (1, 2, 1), (1, -1,
0), (1, 0 ,0) } para base C é =
114
013
012
.
Solução: Pelo teorema, = T.
001
011
121
=
114
013
012
T =
100
111
432
= T. =
100
111
432
001
011
121 =
001
131
211
C = { (1, 1, 2), (1, 3, 1), (1, 0, 0) }.
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Teorema (2)
Seja V um espaço vetorial e B e C, duas de suas bases. Seja a matriz de mudança da base
B para C e v V. Então:
a) [v]C = [ ]
-1. [v]B
b) [v]B = [ ]. [v]C
Onde
[v]B são as coordenadas do elemento v escrito na base B.
[v]C são as coordenadas do elemento v escrito na base C.
Exemplos
1) Seja B ={(2,-1), (-1,1)} uma base de R2 e
= 41
31
a matriz de mudança da base
B para uma base C. Determine as coordenadas do vetor v=(2,3) na base C.
Solução:
[v]C = ?
Pelo teorema [v]C = [ ]
-1. [v]B
[v]B = a1(2,-1) + a2(-1,1) = (2, 3)
3aa
2aa2
21
21 a1 = 5, a2 = 8.
[v]B = 8
5
[ ]
-1 =
11
34
[v]C = [ ]
-1. [v]B =
11
34
8
5
= 3
4
[v]C = 3
4
A={ (1, 2, 3), (0, 1, 2), (0, 0, 1) para base B }= { (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0) }
2) Seja C ={(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} uma base de R3 e
=
110
211
111a
matriz de uma mudança da base B para a base C. Determine as coordenadas do vetor v=(3,
1, 2) na base B .
Solução:
[v]B = ?
[v]C = a1(1, 1, 1) + a2(1, 1, 0) + a3(1, 0, 0)=(3, 1, 2) [v]C =
2
1
2
Pelo teorema [v]B = [ ]. [v]C =
110
211
111
2
1
2
=
2
5
3
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6) Sejam B ={(1, 2), (-1, 1)} uma base R2 e P=
=
3
5
3
13
2
3
1
e a matriz de mudança
para base C. Determine as coordenadas do vetor v=(2, 3) em relação a base C.
Solução: [v]C = ?
Usando o teorema, [v]C = P-1
. [v]B, basta encontrar [v]C e substituir.
[v]B = ?
(2, 3) = a1 v1 + a2 v2 (2, 3) = a1 (1, 2) + a2 (-1, 1)
313
5]v[ B .
Aplicando a inversa em P= =
3
5
3
13
2
3
1
temos:
P-1
= 11
25
temos:
De [v]C = P-1
. [v]B
[v]C = 11
25
313
5=
2
9
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fim!
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3. Exercícios
1). Seja o conjunto V = { (x, y) R2 tal que x, y R } com as operações
Adição : (u1, u2) + (v1, v2) = (u1 + v1, u2 + 2v2)
Multiplicação : (u1, u2) = (k.u1 , 0)
Pedese: demonstre se as propriedades abaixo são verdadeiras.
a) u + v = v + u
b) u + (v + w) = (u + v) + w
c) (k1 + k2)u = k1u + k2u
d) k1(u + v) = k1u + k1v
Para u, v R2 e k1, k2 R
2). Seja o conjunto V = { (x, y) R2 tal que x, y R } com as operações
Adição : (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y2 - y2)
Multiplicação : k.(x, y) = (K.x, y) com K R
Pedese: demonstre se as propriedades abaixo são verdadeiras.
a) u + v = v + u
b) u + (v + w) = (u + v) + w
c) (k1 + k2)u = k1u + k2u
d) k1(u + v) = k1u + k1v
Para u, v V e k1, k2 R
3). Verificar se S = {(x, y) R2 tq x = y2 } é um subespaço vetorial de R2.
4). Verificar se S = {(x, y, z) R3 tq y = 2x + 1} é um subespaço vetorial de R3.
5). Verificar se S = {(x, y, z) R3 tq x y = 0} é um subespaço vetorial de R3.
6). Verificar se S = {(x, y, z) R3 tq x = y2 } é um subespaço vetorial de R3.
7). Verificar se S =
Rc,b,a tq R
c0
ba 2x2 é um subespaço vetorial de R2x2.
8). Sejam os subconjuntos de R3
E1 = {(x , y, z) R3 tq x = y e z = 0 } e E2 = {(x , y, z) R3 tq x = 0 e y = 0}
Pedese:
a) E1 + E2 .
b) E1 E2 .
9). Sejam os subconjuntos E1 = {(x , y) R2 tq x = 0} e E2 = {(x , y) R2 tq y = 0}
Pedese:
a) E1 + E2 .
b) E1 E2 .
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10). Verificar se o vetor v = (2, 6) é uma combinação linear dos vetores u1 =(1, 0), u2 = (2, 3) .
11). Verificar se v=(1, 3, 5) é combinação linear de u1=(3, 2, 1), u2= (2, 1, 0) e u3= (1, 0, 0).
12). Verificar se o vetor v = (1, 2, 1) é uma combinação linear de S ={(1, 0, 1), (2, 1, 0)}.
13). Verificar se o vetor v = (1, 0, 2) é uma combinação linear de S ={(1, 0, 1), (1, 0, 1)}.
14). Verificar se R3 é gerado por A = {(2,-1,3)}.
15). Verificar se R3 é gerado por A = {(1,0,2),(0,1,1)}.
16). Verificar se R3 é gerado por A = {(1,-1,2),(0,2,1),(0,0,2}.
17). Verificar se R2x2
é gerado por
12
311v
01
132v ,
14
013v e
10
004v .
18). Obter o conjunto gerador de S ={(x, y, z, t) R4 tq x= y + z e t= y}
19). Obter o conjunto gerador de S = {(x, y, z, t, s) R5
tq x + y = 0 , 3x – t = 0}:
20). Verificar se o conjunto L={(2, 4, 0), (-2, -4, 0), (0, 0, 4)} é LD.
21). Determinar o valor de b de modo que o conjunto L={(3, 5b,1),(2, 0, 4),(1, b , 3)} seja LI.
22). Determinar o valor de m de modo que o conjunto L={(1, 3, 5),(2, m +1, 10)} seja LI.
23). Verificar se o conjunto L={(5, 2, 3), (4, 2, 0), (3, 0, 0)} é LI.
24). Verificar se o conjunto L={(2, 4, 0), (-2, -4, 0), (0, 0, 4)} é LD.
25). Determinar o valor de a de modo que o conjunto L={(1, 0, a),(1, 1, a ),(1, 1, a2
)} seja LI.
26). Verificar se o conjunto L={(1, 2, 3), (4, 5, 0), (6, 0, 0)} é uma base do R3.
27). Determinar uma base e a dimensão do subespaço vetorial L={(x,y,z,t) R4
tq x = y z }:
28). Verificar se o conjunto L={(2,1),(3,2)} é uma base do R2.
29). Verificar se o conjunto L={(1, 2, 3), (4, 5, 0), (6, 0, 0)} é uma base do R3.
30). Verificar se o conjunto L={1, x, x2)} é uma base do P2(x).
31). Verificar se o conjunto L={1, x + 1, x2 + 1} é uma base do P2(x).
32). Verifique se o conjunto L=
52
73,
11
23,
20
11,
01
32 é uma base de
R2x2.
33). Verificar se o conjunto L={(1, 1, 0, 0),(0, 0, 1, 1),(1, 0, 0, 3),(0, 0, 0, 5)} é base do R4.
34). Determine as coordenadas do vetor u = (3,1, 2) em relação as bases abaixo:
a). B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}. base canônica.
b). B={(1,1,1),(1,0,1),(1,0,1)}.
c). B={(1,1,1),(1,0,1),(1,0,1)}.
35). Determine as coordenadas da matriz 02
11
em relação a base canônica.
36). Determine a matriz de mudança de base da base B={(1,2),(3,1)} para a base canônica.
37). Determine a matriz de mudança de base da base B={(1,1,0),(0,1,0),(0,0,3)} para a base
canônica.
38). Considere o seguinte subespaço V=
0ba tq Rd,c,b,a tq
dc
ba
39). Verificar se o subconjunto L=
10
00,
01
00,
00
11 e uma base de V
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40). Determine a matriz de mudança de base da base L=
10
00,
01
00,
00
11 para a base
canônica.
41). Determine a base C sabendo que a matriz de mudança da base B ={ (1, 2, 1), (1, -1, 0), (1, 1
,0) } para base C é =
0223
2
3
10
3
1
3
21
.
42). Seja C ={(1,1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} uma base de R2 e
=
110
211
111a matriz de
mudança da base B para uma base C. Determine as coordenadas do vetor v=(2,3,1) na base C.
Álgebra Linear Espaços e Subespaços
Prof. José Fernando Santiago Prates 44
3. Bibliografia
1) BOLDRINI, J.L; COSTA, S.I.R, FIGUEIREDO,V.L.; WETZLER, H.G.; Álgebra Linear.
São Paulo –SP , Editora HABRA LTDA, 1980.
2) CALLIOLI, C.A.; DOMINGUES, H.H.; COSTA, R.C.F. ; Álgebra Linear e Aplicações.
São Paulo : Editora ATUAL, 1991.
3) SANTOS, R. J. Geometria Analítica e Álgebra Linear - Parte 1 (UFMG)
4) SANTOS, R. J. Geometria Analítica e Álgebra Linear - Parte 2 (UFMG)
5) BARONE JUNIOR, M.; Álgebra Linear. IME-USP, São Paulo S.P – Notas de Aula 2002
6) LIMA, E.L.; Desigualdades lineares, em Geometria Analítica e Álgebra Linear. IMPA,
Coleção Matemática Universitária, 2001, pp. 63-70
7) STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P.; Produtos de vetores, em Geometria Analítica.
McGraw-Hill, 1987, pp. 39-98
8) .STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P.; Vetores no IR^2 e no IR^3, em Geometria Analítica.
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10) http://www.icmc.usp.br/~sma/suporte/sma304/sma304.pdf
11) http://www.mat.ufmg.br/~regi/gaalt/gaalt00.pdf
12) www.stamford.pro.br/ARQUIVOS/2002_Algebra.doc