Algebra Linear cap 08
Click here to load reader
-
Upload
andrei-bastos -
Category
Documents
-
view
283 -
download
2
Transcript of Algebra Linear cap 08
60
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
CAPÍTULO 8
MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
O objetivo deste capítulo é, dado uma transformação linear WV:T → , definir uma
matriz que represente a transformação linear. Assim, ao invés de trabalharmos com a expressão da
transformação, passaremos a trabalhar com sua representação matricial.
Sejam U e V dois espaços vetoriais, sobre o mesmo corpo dos ℜ, de dimensão n e m,
respectivamente. Consideremos uma transformação linear VU:T → . Dadas as bases
}u,...,u,u{B n21= de U e }v,...,v,v{C m21= de V, então, os vetores )u(T),...,u(T),u(T n21
estão em V. Logo, se escrevem como combinação linear da base C. Assim:
+++=
+++=
+++=
mmn2n21n1n
m2m2221122
m1m2211111
va...vava)u(T
....................................................
va...vava)u(T
va...vava)u(T
Definição: A matriz mxn sobre ℜ, formada pelos escalares das combinações lineares acima, ou
seja,
=
mn2m1m
n22221
n11211
a...aa
............
a...aa
a...aa
P , é chamada matriz da transformação linear T em
relação às bases B e C, cuja notação será BC]T[P = .
OBS: Note que, cada coluna da matriz P são as coordenadas dos vetores )u(T),...,u(T),u(T n21
em relação a base C, ou seja:
=
1m
21
11
1
a
...
a
a
)]u(T[ ,
=
2m
22
12
2
a
...
a
a
)]u(T[ ,...,
=
mn
n2
n1
n
a
...
a
a
)]u(T[
Exemplo (1): Seja )z2x,yx()z,y,x(T +−= uma transformação linear. Determine a matriz de T
em relação a base canônica do ℜ3 e a base )}1,1(),1,1{(C −= do ℜ2
.
61
Solução: Seja )}1,0,0(),0,1,0(),0,0,1{(B = a base canônica do ℜ3. Aplicando a transformação nos
vetores da base B teremos:
=
−=
=
)2,0()1,0,0(T
)0,1()0,1,0(T
)1,1()0,0,1(T
. Escrevendo cada vetor como combinação linear da base C teremos:
−+=
−+=−
−+=
)1,1(f)1,1(e)2,0(
)1,1(d)1,1(c)0,1(
)1,1(b)1,1(a)1,1(
⇒
−−=
−−−=−
−+=
)1,1(1)1,1(1)2,0(
)1,1(2
1)1,1(
2
1)0,1(
)1,1(0)1,1(1)1,1(
. Portanto, a matriz da
transformação é
−−
−=
==
10
11
fdb
eca]T[P
21
21
BC .
Definição: Seja U um espaço vetorial sobre ℜ e B1 e B2 duas de suas bases. Seja Id o operador
identidade de U. As coordenadas de um vetor Uu ∈ , em relação as bases B1 e B2, estão
relacionadas por: 2
1
21 BB
BB ]u[]Id[]u[ ⋅= . Onde, 1
2
B
B]Id[ é a matriz de mudança da base B1
para a base B2.
Teorema (1): Seja VU:T → uma transformação linear. Sejam B e C, bases de U e V,
respectivamente. Então: BBCC ]u[]T[)]u(T[ ⋅= .
Exemplo (2): Seja 2t)yx(t)yx2()yx()y,x(T ++++−= . Sejam as bases )}0,2(),2,1{(B = do ℜ2
e }t2,t1,2{C 2−+−= do P2(ℜ). Verificar o teorema (2) para )1,1(u −= .
Solução: Vamos determinar B]u[ que são as coordenadas do vetor um em relação a base B.
Fazendo: )0,2(b)2,1(a)1,1( +=− ⇒
=−
+=
a21
b2a1 ⇒
−=
43
21
B]u[ .
Determinando C)]u(T[ que são as coordenadas do vetor )u(T em relação a base C.
Então: 22 tt)22()t2()t1()2(t2)1,1(T γ−β+γ+β+α−=−γ++β+−α=+=− ⇒
=γ
=β
=γ+β+α−
0
1
222
⇒
−
=
0
1)]u(T[
21
C .
Determinando BC]T[ que é a matriz de T em relação as bases B e C, teremos:
62
−+++−=++=
−+++−=++−=
)t2(f)t1(e)2(dt2t42)0,2(T
)t2(c)t1(b)2(at3t41)2,1(T22
22
⇒
−−
−−
=
23
44
1
]T[
21
BC .
Verificando o teorema (2), fazemos:
−
=
−⋅
−−
−−
=
0
1
23
44
1
)]u(T[
21
43
212
1
C
Teorema (3): Sejam VU:SeVU:T →→ duas transformações lineares. Sejam B e C bases de U
e V, respectivamente. Então BC
BC
BC ]S[]T[]ST[ +=+ .
Teorema (4): Sejam WV:SeVU:T →→ duas transformações lineares. Sejam B, C e D, bases
de U, V e W, respectivamente. Então: BC
CD
BD ]T[]S[]TS[ ⋅=o .
Exemplo (3): Sejam )y2,yx()y,x(Se)zx,yx()z,y,x(T +=−+= duas transformações lineares.
Sejam )}1,1,1(),1,2,2(),1,0,1{(B −= , )}2,0(),1,1{(C = e )}2,1(),1,0{(D −= . Verificar
o teorema (4).
Solução: Determinando )z2x2,zyx2()zx,yx(S))z,y,x(T(S)z,y,x)(TS( −−+=−+==o .
Vamos calcular a matriz BD]TS[ o .
−+==−
−+==
−+==
)2,1(f)1,0(e)0,0()1,1,1)(TS(
)2,1(d)1,0(c)2,5()1,2,2)(TS(
)2,1(b)1,0(a)0,1()1,0,1)(TS(
o
o
o
⇒
−−=
051
0122]TS[ B
Do
Calculando a matriz BC]T[ :
+==−
+==
+==
)2,0(f)1,1(e)0,0()1,1,1(T
)2,0(d)1,1(c)1,4()1,2,2(T
)2,0(b)1,1(a)0,1()1,0,1(T
⇒
−−=
0
041]T[
23
21
BC
Calculando a matriz CD]S[ :
−+==
−+==
)2,1(d)1,0(c)4,2()2,0(S
)2,1(b)1,0(a)2,2()1,1(S ⇒
−−=
22
86]S[ C
D
Verificando o teorema (4), temos:
−−=
−−⋅
−−=
051
0122
0
041
22
86]TS[
23
21
BDo
63
Proposição (1): Se VU:T → é um isomorfismo e B e C são bases de U e V, respectivamente,
então ( ) 1BC
CB
1 ]T[]T[−− = .
Proposição (2): Seja VU:T → uma transformação linear. Sejam B e C bases de U e V,
respectivamente. Então T é um isomorfismo (ou seja, T é inversível) se, e somente
se, ( ) 0]T[det BC ≠ .
Proposição (3): Seja VU:T → uma transformação linear. Sejam B e C bases de U e D e E bases
de V. Então: BC
CE
ED
BD ]Id[]T[]Id[]T[ ⋅⋅= .
Teorema (5): Seja VV:T → um operador linear. Sejam B e C bases de V. Seja, ainda, BC]M[P =
a matriz de mudança da base B para a base C. Então: P]T[P]T[ B1
C ⋅⋅= − .
OBS: A matriz BBB ]T[]T[ = .
Exemplo (4): Determine o operador linear do ℜ2 cuja matriz em relação a base )}5,0(),2,1{(B = é
−12
13.
Solução: Temos que
−==
12
13]T[]T[ B
BB . Esta matriz é formada pelos escalares da combinação
linear dos vetores, ou seja, T foi aplicada nos vetores da base B e esses vetores foram
escritos como combinação linear da própria base B. Então:
−=−=
=+=
)3,1()5,0(1)2,1(1)5,0(T
)16,3()5,0(2)2,1(3)2,1(T . Determinando a expressão da T, fazemos:
)5,0(b)2,1(a)y,x( += ⇒
+−=
=
5
yx2b
xa ⇒ )5,0(T
5
yx2)2,1(Tx)y,x(T ⋅
+−+⋅= ⇒
)3,1(5
yx2)16,3(x)y,x(T −⋅
+−+⋅= ⇒
−+=
5
y3x86,
5
yx13)y,x(T
64
Exercícios Propostos
1) Consideremos as transformações lineares 3232 :Ge:F ℜ→ℜℜ→ℜ , tais que a matriz de
F+G em relação as bases canônicas do ℜ2 e do ℜ3
seja
33
10
12
e que )y2,yx,x()y,x(F −= .
Determine a matriz de G em relação as bases canônicas do ℜ2 e do ℜ3
. Quem é )y,x(G ?
Resp:
−=
13
21
11
]G[ e )yx3,y2x,yx()y,x(G ++−+=
2) Seja ℜ→ℜ)(P:F 2 a transformação linear definida por ( ) ∫−
=1
1
dt)t(p)t(pF . Determine a matriz
de F em relação as bases )(Pde}t1,t1,1{B 22 ℜ+−+= de ℜ−= de}2{C . Resp:
−
−
−
=
31
BC 1
1
]F[
3) Seja )(M:T 2x23 ℜ→ℜ a transformação linear, cuja matriz em relação as bases canônicas do
ℜ3 e do )(M 2x2 ℜ é
100
110
011
001
. Determine as coordenadas do vetor )u(T em relação a base
canônica do )(M 2x2 ℜ , onde )3,1,2(u −= . Quem é )z,y,x(T ?
Resp:
=
3
2
1
2
)]u(T[ e
+
+=
zzy
yxx)z,y,x(T
4) Seja F o operador linear do ℜ2, cuja matriz em relação a base )}4,1(),0,1{(B = é
=
15
11]F[ B
B .
Determine a matriz de F em relação a base canônica do ℜ2. Resp:
−
−=
420
16]F[ CC
5) Seja
−
−
−−
=
0031
0112
1211
]T[ BC a matriz de uma transformação linear )(P)(M:T 22x2 ℜ→ℜ .
Sejam B e C as bases canônicas de )(Pe)(M 22x2 ℜℜ , respectivamente. Sabendo que as
65
coordenadas do vetor )(Mu 2x2 ℜ∈ em relação a base B é
−
3
1
1
2
, determine as coordenadas do
vetor )u(T em relação a base C. Que é )(P)(M:T 22x2 ℜ→ℜ ?
Resp:
=
5
2
2
)]u(T[ C e 2t)b3a(t)cba2()dc2ba(dc
baT −+−++−+−=