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ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR

CAPÍTULO 7

ISOMORFISMO

O objetivo deste capítulo é, dado uma transformação linear WV:T → , tentar definir a

transformação linear inversa, ou seja, VW:T 1 →− . Quando ela existir será chamado de um

isomorfismo. Mas, antes precisamos de alguns conceitos.

Definição: Uma transformação linear WV:T → é chamada de injetora se

Vvev,vv)v(T)v(T 212121 ∈∀=⇒= .

Definição: Uma transformação linear WV:T → é sobrejetora se, e somente se .W)TIm( =

Definição: Uma transformação linear WV:T → é chamada de bijetora se, e somente se, ela é

injetora e sobrejetora.

Exemplo (1): Seja )yx,yx()y,x(T −+= uma transformação linear. Verificar se T é bijetora.

Solução: Temos que verificar se T é injetora e sobrejetora. Sejam )y,x(ve)y,x(v 222111 ==

dois vetores quaisquer do ℜ2. Note que 22:T ℜ→ℜ .

Se )yx,yx()yx,yx()v(T)v(T 2222111121 −+=−+⇒= ⇒

−=−

+=+

2211

2211

yxyx

yxyx.

Resolvendo o sistema linear temos que 2121 yyexx == , ou seja, 21 vv = . Logo T é

injetora. Os vetores que formam a )TIm( são do tipo )yx,yx(v −+= . Então

)1,1(y)1,1(xv −+= , ou seja, )}1,1(),1,1{( − é uma base da Im(T) mas também é uma base

do ℜ2. Logo, )dim()TIm(dim 2ℜ= . Como 22 )TIm()TIm( ℜ=⇒ℜ⊂ . Assim, T é

sobrejetora. Portanto T é bijetora.

Vamos enunciar a seguir, alguns teoremas que nos ajudarão a verificar se uma

determinada transformação linear é ou não bijetora.

Teorema (1): Seja WV:T → uma transformação linear. Então T é injetora se, e somente se,

}0{)T(Ker = .

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Demonstração:

(⇒⇒⇒⇒) hipótese: T é injetora

Tese: }0{)T(Ker =

Seja )T(Kerv ∈ , então 0)v(T = ⇒ )0(T)v(T = . Com T é injetora, então 0v = . Portanto

}0{)T(Ker = .

(⇐⇐⇐⇐) hipótese: }0{)T(Ker =

Tese: T é injetora

Seja 0)vv(T0)v(T)v(T)v(T)v(T 212121 =−⇒=−⇒= . Isso significa que

}0{)T(Kervv 21 =∈− . Logo, 2121 vv0vv =⇒=− . Portanto, T é injetora.

Teorema (2): Uma transformação linear injetora WV:T → , leva vetores LI de V em vetores LI de

W.

Demonstração:

hipótese: T é injetora e V}v,...,v,v{ n21 ⊂ são LI.

Tese: W)}v(T),...,v(T),v(T{ n21 ⊂ são LI

Seja os escalares K,...,, n21 ∈ααα tais que 0)v(T...)v(T)v(T nn2211 =α++α+α . Então:

0)v...vv(T nn2211 =α++α+α . Como T é injetora, então, 0v...vv nn2211 =α++α+α . Como

}v,...,v,v{ n21 são LI, então 0... n21 =α==α=α . Portanto, )}v(T),...,v(T),v(T{ n21 são LI.

Teorema (3): Seja WV:T → uma transformação linear. Então: )T(Kerdim)TIm(dim)Vdim( +=

Demonstração: Seja V}u,...,u,u{ n21 ⊂ uma base do Ker(T). Podemos completar esse conjunto

de modo a obter uma base de V. Sejam V}v,...,v,v{ m21 ⊂ tais que a base de V se

escreva como }v,...,v,v,u,...,u,u{ m21n21 . Logo mn)Vdim( += . Basta mostrar

que )}v(T),...,v(T),v(T{ m21 é base da )TIm( . Para isso vamos mostrar que:

a) )}v(T),...,v(T),v(T{ m21 gera )TIm( .

b) )}v(T),...,v(T),v(T{ m21 é LI.

a) Seja )TIm(w ∈∀ , então existe Vv ∈ tal que w)v(T = . Como Vv ∈ ele se

escreve como combinação linear dos vetores da base de V. Logo, existem escalares

tais que mm2211nn2211 v...vvu...uuv α++α+α+β++β+β= . Daí vem que

)v(T...)v(T)v(T)u(T...)u(T)u(Tw)v(T mm2211nn2211 α++α+α+β++β+β==

Como }u,...,u,u{ n21 é base do Ker(T), então, 0)u(T...)u(T)u(T n21 ==== .

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Logo, )v(T...)v(T)v(Tw)v(T mm2211 α++α+α== . Isso mostra que w é

combinação linear de )}v(T),...,v(T),v(T{ m21 . Portanto )}v(T),...,v(T),v(T{ m21

gera a Im(T).

b) Sejam m21 ,...,, ααα escalares tais que 0)v(T...)v(T)v(T mm2211 =α++α+α .

Então, 0)v...vv(T mm2211 =α++α+α ⇒ )T(Kerv...vv mm2211 ∈α++α+α .

Podemos escrever que: mm2211mm2211 u...uuv...vv β++β+β=α++α+α ⇒

0u...uuv...vv mm2211mm2211 =β−−β−β−α++α+α . Como a base de V é

}v,...,v,v,u,...,u,u{ m21n21 , logo 0...... m21m21 =β−==β−=β−=α==α=α .

Portanto )}v(T),...,v(T),v(T{ m21 é LI.

Teorema (4): Se )Wdim()Vdim( = então WV:T → é injetora se, somente se, T é sobrejetora.

Demonstração:

(⇒⇒⇒⇒) hipótese: )Wdim()Vdim( = e T é injetora

Tese: T é sobrejetora.

Como T é injetora ⇒ }0{)T(Ker = ⇒ 0)T(Kerdim = . Pelo teorema (3) temos que

)Wdim(0)TIm(dim)Vdim( =+= . Como )Wdim()TIm(dim = e W)TIm( ⊆ , pela

proposição (2) do capítulo (4), vem que W)TIm( = , ou seja, T é sobrejetora.

(⇐⇐⇐⇐) hipótese: )Wdim()Vdim( = e T é sobrejetora

Tese: T é injetora

Como T é injetora ⇒ )Wdim()TIm(dim = . Pelo teorema (3) temos que

)T(Kerdim)Wdim()Vdim( += . Como )Wdim()Vdim( = ⇒ 0)T(Kerdim = ⇒ }0{)T(Ker = .

Pelo teorema (1), T é injetora.

Teorema (5): Se WV:T → é uma transformação linear injetora e )Wdim()Vdim( = então T leva

base de V em base de W.

Demonstração: Seja }v,...,v,v{ n21 base de V ⇒ n)Vdim( = . Como )Wdim()Vdim( = e T é

injetora, pelo teorema (4), T é sobrejetora ⇒ nW)TIm( == . Temos que

)}v(T),...,v(T),v(T{ n21 geram W e são LI pelo teorema (2). Portanto

)}v(T),...,v(T),v(T{ n21 é base de W.

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Teorema (6): Se WV:T → é uma transformação linear, então:

a) Se )Wdim()Vdim( > ⇒ T não é injetora

b) Se )Wdim()Vdim( < ⇒ T não é sobrejetora

Demonstração:

a) Suponhamos que T seja injetora, então 0)T(Kerdim = . Pelo teorema (3) temos que:

)Wdim()T(Kerdim)TIm(dim)Vdim( >+= ⇒ )Wdim()TIm(dim > (absurdo!). Portanto, T

não é injetora.

b) Suponhamos que T seja sobrejetora, então )Wdim()TIm(dim = . Pelo teorema (3) temos que

)Wdim()T(Kerdim)TIm(dim)Vdim( <+= ⇒ 0)T(Kerdim < (absurdo!). Portanto, T não é

sobrejetora.

Exemplo (2): Vamos resolver, novamente, o exemplo (1) utilizando os teoremas enunciados.

Solução: Como )yx,yx()y,x(T −+= , ou seja, 22:T ℜ→ℜ , estamos nas condições do teorema

(4). Vamos determinar o Ker(T). Seja )0,0()yx,yx()y,x(T =−+= ⇒

=−

=+

0yx

0yx.

Resolvendo o sistema temos que )}0,0{()T(Ker = . Pelo teorema (1), T é injetora. Pelo

teorema (4), se T é injetora então T é sobrejetora. Portanto T é bijetora.

Exemplo (3): Seja )(M)(P:T 2x22 ℜ→ℜ uma transformação linear definida por

−

−=++

21

102210

aa0

0aa)tataa(T . T é sobrejetora? T é injetora? Determine a

dimensão do Ker(T) e da Im(T).

Solução: Como )(Mdim)(Pdim 2x22 ℜ<ℜ , pelo teorema (6), T não é sobrejetora. Vamos verificar

se ela é injetora. Seja )T(Kertataa)t(p 2210 ∈++= . Então

( )

−

−=

=

21

10

aa0

0aa

00

00)t(pT ⇒

=−

=−

0aa

0aa

21

10 ⇒ 210 aaa == . Logo, todo

)T(Ker)t(p ∈ é da forma: )tt1(atataa)t(p 20

2000 ++=++= , ou seja, }tt1{ 2++ é

base do Ker(T) ⇒ 1)T(Kerdim = . Pelo teorema (1), T não é injetora e pelo teorema (3)

temos: 2)TIm(dim1)TIm(dim)T(Kerdim)TIm(dim3)(Pdim 2 =⇒+=+==ℜ .

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Definição: Seja WV:T → uma transformação linear. Dizemos que T é um isomorfismo se T é

uma transformação linear bijetora.

OBS: Quando WV = , ou seja, temos que VV:T → é um operador linear bijetor, então T é

chamado de um automorfismo.

Definição: Seja WV:T → um isomorfismo. Então, a aplicação inversa VW:T 1 →− , se existir, é

também um isomorfismo tal que IdTTTT 11 == −−oo .

Definição: Dois espaços vetoriais V e W são isomorfos se existir um isomorfismo entre eles.

Teorema (7): Dois espaços vetoriais sobre um mesmo corpo K são isomorfos se, e somente se, eles

têm a mesma dimensão.

Exemplo (4): Seja )aaa,aa,aa()tataa(T 21021102

210 ++−+=++ . T é um isomorfismo? Em

caso afirmativo, determine o isomorfismo inverso.

Solução: Note que 32 )(P:T ℜ→ℜ e 3)dim()(Pdim 3

2 =ℜ=ℜ . Seja )T(Kertataa 2210 ∈++ .

Então, )aaa,aa,aa()0,0,0( 2102110 ++−+= ⇒

=++

=−

=+

0aaa

0aa

0aa

210

21

10

. Resolvendo o

sistema temos que 0aaa 210 === . Logo }0{)T(Ker = . Pelo teorema (1), T é injetora e

pelo teorema (4), T é sobrejetora. Portanto T é um isomorfismo. Seja )(P:T 231 ℜ→ℜ− .

Então 2210

1 tataa)z,y,x(T ++=− ⇒ )tataa(T)z,y,x(TT 2210

1 ++=−o ⇒

)aaa,aa,aa()z,y,x( 2102110 ++−+= ⇒

++=

−=

+=

210

21

10

aaaz

aay

aax

⇒

+−=

++−=

−−=

zxa

zyxa

zyx2a

2

1

0

.

Portanto, 21 t)zx(t)zyx()zyx2()z,y,x(T +−+++−+−−=−

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Exercícios Propostos

1) Seja )cba,dc,cb,ba(dc

baT +++++=

uma transformação linear. Mostre que T é um

isomorfismo e determine o isomorfismo inverso. Resp:

−++−

−++−=−

tzxtx

tyxty)t,z,y,x(T 1

2) Seja )y,zx,zx()z,y,x(T −+= um operador linear. Mostre que T é um automorfismo e

determine o automorfismo inverso. Resp:

−+=−

2

yx,z,

2

yx)z,y,x(T 1

3) Dada à transformação linear )z,zy,yx,x()z,y,x(T −−= . Determine a dimensão da Im(T) e do

Ker(T). T é um isomorfismo? Porque?

Resp: 0)T(Kerdim = ⇒ T é injetora; 3)TIm(dim = ⇒ T não é sobrejetora. Portanto, T não é

um isomorfismo.

4) Se 21 t)zy(t)yx()zyx2()z,y,x(T −+−+−+=− é o isomorfismo inverso da T, determine a T e

onde ela está definida.

Resp:

−−−−−=++

2

a3a2a,

2

aa2a,

2

aa)tataa(T 210210202

210 ; 32 )(P:T ℜ→ℜ

5) Sabendo que T é um automorfismo do ℜ2 e que

=−= −

3

2,

3

1)0,1(Te)1,1()1,0(T 1 , determine a

expressão da T e da 1T− . Resp:

−+=−+= −

3

yx2,

3

yx)y,x(Te)yx2,yx()y,x(T 1