Algebra lineal y sus aplicaciones

1. IMPORTANTE: Si est adquiriendo un libro nuevo y este cdigo aparece descubierto, es probable que ya haya sido utilizado por alguien ms. El cdigo de acceso para el estudiante que viene a continuacin slo puede usarse una vez y permite el acceso a esta plataforma durante un ao. Para registrarse en lnea, ingrese a www.mathxl.com, vaya a la seccin Register, seleccione la opcin Student y siga las instrucciones que aparecen en pantalla. Cdigo de acceso a MathXL (en ingls) Use una moneda para raspar y descubrir el cdigo de acceso. No use objetos afilados porque podra daarlo. El cdigo de acceso no puede ser reemplazado en caso de dao. Forma de desviacin media para datos, 370, 425 Formas cuadrticas en estadstica, 401 Inversa de Moore-Penrose, 422 Mnimos cuadrados ponderados, 376, 383-385 Modelo lineal en estadstica, 368-375 North American Datum, WEB 329-330 Polinomios ortogonales, 379 Potencias de una matriz, WEB 98 Procesamiento de imgenes multicanal, WEB 393-394, 424-432 Rango completo, 237 Recta de mnimos cuadrados, WEB 329, WEB 367, 368-370 Regresin mltiple, 372-373 Regresin ortogonal, 431-432 Sumas de cuadrados (en regresin), 375, 383-384 Varianza, 375, 426-427 Ingeniera Conduccin de calor, 131 Control del transbordador espacial, WEB 189-190 Controles de retroalimentacin, 469 Boeing Blended Wing Body, WEB 92 DFC y diseo de aeronaves, WEB 91-92 Deflexin de una viga elstica, 104, 111 Deformacin de un material, 432 Desempeo de aeronaves, 375, 389 Encuestas, WEB 329-330 Factorizacin LU y flujo de aire, WEB 92 Filtro promedio de movimiento, 252 Matrices de flexibilidad y rigidez, 104, 111 Principio de superposicin, 66, 83, 312 Procesamiento de imgenes, WEB 393-394, 424-425, 430 Temperaturas de equilibrio, 11, 87-88, WEB 131 Viga en voladizo, 252 Ingeniera elctrica Circuito de inductancia y capacitancia, 205 Circuitos en serie y en derivacin, 128 Circuito RC, 312-313 Circuito RLC, 214, 316-318 Corrientes de rama y circuito, WEB 82-84 Diseo de circuitos, WEB 2, 128 Filtro pasa bajos, 247, WEB 367 Filtros lineales, 246-247, 252 Flujo de corriente en redes, WEB 82-83, 86-87 Ley de Ohm, WEB 82-83 Leyes de Kirchhoff, WEB 82-83 Matriz de transferencia, 128-129, 130-131 Realizacin mnima, 129 Red de escalera, 128, 130-131 Seales de tiempo discreto, 191-192, 244-245 Transformadas de Laplace, 122, 178 Matemticas rea y volumen, WEB 163-164, 180-184, 275 Atractores/repulsores en un sistema dinmico, 304-307, 310, 313-314, 318 Desigualdad de Bessel, 390 Desigualdad de Cauchy-Schwarz, 379-380 Desigualdad del tringulo, 380 Ecuaciones diferenciales, 204-205, 311-319 Extremos para funciones de varias variables, 407 Hipercubo, 477-479 Interpolacin de polinomios, WEB 23, 160 Isomorfismo, 155, 220-221 Matriz jacobiana, 304 Mejor aproximacin en espacios de funciones, 378-379 Polinomio de Legendre, 383 Polinomios de Hermite, 229 Polinomios de Laguerre, 229 Polinomios trigonomtricos, 387 Secciones cnicas y superficies cuadrticas, WEB 405-406 Series de Fourier, 387-388 Simplejo, 475-477 Splines, WEB 23, 481-484, 490-491 Transformadas de Laplace, 122, 178 Transformaciones lineales en clculo, 204, WEB 290-292 Negocios y economa Cadenas de Markov, WEB 253-262, 279 Conjunto factible, 412 Curva de costo promedio, 371-372 Curva de costo total, 372 Curvas de indiferencia, 412-413 Demanda intermedia, 133 Ecuacin de precio, 137 Flotilla de automviles en renta, 87, 261 Inversin, 252 Maximizacin de la utilidad sujeta a una restriccin de presupuesto, 412-413 Modelo acelerador-multiplicador, 251 Modelo de costo variable, 374 Modelo de entrada y salida de Leontief, 1, WEB 132-138 Modelo de intercambio de Leontief, 1, WEB 49-51 Movimientos de poblacin, 84-85, 87, 255, 261, 279 Operaciones de manufactura, 31, 67-68 Precios de equilibrio, WEB 49-51, 54 Producto interno bruto, 137 Programa de amortizacin de prstamos, 252 Programacin lineal, WEB 2, WEB 82-83, 120, 436, 469, 472 Propensin marginal al consumo, 251 Tabla de intercambio, 53-54 Vector de valor agregado, 137 Vectores de costo, 31 Teora de control Funcin de transferencia (matriz), 122, 128-129 Ingeniera de sistemas de control, 122, WEB 189-190 Modelo de estado y espacio, WEB 264, 301 Respuesta de estado estable, 301 Sistema controlable, WEB 264 Sistema desacoplado, 306, 312, 315 Sonda espacial, 121

2. C U A R T A E D I C I N lgebra lineal y sus aplicaciones David C. Lay University of MarylandCollege Park Traduccin Ana Elizabeth Garca Hernndez Traductora especialista en matemticas Revisin tcnica Javier Alfaro Pastor Instituto Tecnolgico Autnomo de Mxico 3. Datos de catalogacin bibliogrfica LAY, DAVID C. lgebra lineal y sus aplicaciones. Cuarta edicin PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2012 ISBN: 978-607-32-1398-1 rea: Matemticas Formato: 21 27 cm Pginas: 576 Authorized translation from the English language edition, entitled LINEAR ALGEBRA AND ITS APPLICATIONS 4th Edition, by DAVID LAY, published by Pearson Education, Inc., publishing as Prentice Hall, Copyright 2012. All rights reserved. ISBN 9780321385178 Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls, titulada LINEAR ALGEBRA AND ITS APPLICATIONS 4 edicin por DAVID LAY, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como Prentice Hall, Copyright 2012. Todos los derechos reservados. Esta edicin en espaol es la nica autorizada. Edicin en espaol Direccin Educacin Superior: Mario Contreras Editor sponsor: Gabriela Lpez Ballesteros e-mail: [email protected] Editor de desarrollo: Felipe Hernndez Carrasco Supervisor de Produccin: Enrique Trejo Hernndez Gerencia Editorial Latinoamrica: Marisa de Anta CUARTA EDICIN, 2012 D.R. 2012 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Atlacomulco 500-5 piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Jurez Estado de Mxico Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. nm. 1031. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus representantes. ISBN 978-607-32-1398-1 ISBN e-book 978-607-32-1399-8 ISBN e-chapter 978-607-32-1400-1 Impreso en Mxico. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 15 14 13 12 ISBN: 978-607-32-1398-1www.pearsonenespaol.com 4. A mi esposa, Lillian, y a nuestras hijas Christina, Deborah y Melissa, cuyo apoyo, nimos y devotas oraciones hicieron posible este libro. 5. iv Acerca del autor David C. Lay tiene una licenciatura de Aurora University (Illinois), y una maestra y un doc- torado en la Universidad de California en Los ngeles. Lay ha sido catedrtico e investigador en matemticas desde 1966, principalmente en la Universidad de Maryland, College Park. Tambin ha trabajado como profesor visitante en la Universidad de Amsterdam, en la Uni- versidad Libre de Amsterdam y en la Universidad de Kaiserslautern, en Alemania. Ha escrito ms de 30 artculos de investigacin de anlisis funcional y lgebra lineal. Como miembro fundador del Grupo de Estudio del Currculo de lgebra Lineal patro- cinado por la NSF, ha sido lder en el movimiento actual para modernizar el plan de estudios de lgebra lineal. Lay tambin es coautor de varios libros de matemticas, entre los que se incluyen, Introduction to Functional Analysis, con Angus E. Taylor, Calculus and its Appli- cations, con L. J. Goldstein y D. I. Schneider, y Linear Algebra GemsAssets for Undergra- duate Mathematics, con D. Carlson, C. R. Johnson y A. D. Porter. El profesor Lay ha recibido cuatro premios universitarios por excelencia docente, inclui- do el de Distinguished Scholar Teacher de la Universidad de Maryland en 1996. En 1994 la Mathematical Association of America le otorg el premio Distinguished College or Univer- sity Teaching of Mathematics. Ha sido elegido por los estudiantes universitarios como miembro de laAlpha Lambda Delta National Scholastic Honor Society y de la Golden Key National Honor Society. En 1989 Aurora University le concedi el premio Outstanding Alumnus. Lay es miembro de la American Mathematical Society, de la Canadian Mathematical Society, de la International Linear Algebra Society, de la Mathematical Association of America, Sig- ma Xi, y de la Society for Industrial and Applied Mathematics. Desde 1992 ha formado parte de la junta directiva nacional de la Association of Christians in the Mathematical Sciences. 6. v Contenido Prefacio ix Nota para los estudiantes xvi Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal 1 EJEMPLO INTRODUCTORIO: Modelos lineales en economa e ingeniera 1 1.1 Sistemas de ecuaciones lineales 2 1.2 Reduccin por filas y formas escalonadas 12 1.3 Ecuaciones vectoriales 24 1.4 Ecuacin matricial Ax b 34 1.5 Conjuntos solucin de sistemas lineales 43 1.6 Aplicaciones de sistemas lineales 49 1.7 Independencia lineal 55 1.8 Introduccin a las transformaciones lineales 62 1.9 Matriz de una transformacin lineal 70 1.10 Modelos lineales en los negocios, ciencia e ingeniera 80 Ejercicios complementarios 88 Captulo 2 lgebra de matrices 91 EJEMPLO INTRODUCTORIO: Modelos de computadora en el diseo de aeronaves 91 2.1 Operaciones de matrices 92 2.2 La inversa de una matriz 102 2.3 Caracterizaciones de matrices invertibles 111 2.4 Matrices particionadas 117 2.5 Factorizaciones de matrices 123 2.6 El modelo de Leontief de entrada y salida 132 2.7 Aplicaciones a los grficos por computadora 138 2.8 Subespacios de n 146 2.9 Dimensin y rango 153 Ejercicios complementarios 160 Captulo 3 Determinantes 163 EJEMPLO INTRODUCTORIO: Trayectorias aleatorias y distorsin 163 3.1 Introduccin a los determinantes 164 3.2 Propiedades de los determinantes 169 7. vi Contenido 3.3 Regla de Cramer, volumen y transformaciones lineales 177 Ejercicios complementarios 185 Captulo 4 Espacios vectoriales 189 EJEMPLO INTRODUCTORIO: Vuelo espacial y sistemas de control 189 4.1 Espacios y subespacios vectoriales 190 4.2 Espacios nulos, espacios columna y transformaciones lineales 198 4.3 Conjuntos linealmente independientes; bases 208 4.4 Sistemas de coordenadas 216 4.5 La dimensin de un espacio vectorial 225 4.6 Rango 230 4.7 Cambio de base 239 4.8 Aplicaciones a las ecuaciones en diferencias 244 4.9 Aplicaciones a cadenas de Markov 253 Ejercicios complementarios 262 Captulo 5 Valores propios y vectores propios 265 EJEMPLO INTRODUCTORIO: Sistemas dinmicos y bhos manchados 265 5.1 Vectores propios y valores propios 266 5.2 La ecuacin caracterstica 273 5.3 Diagonalizacin 281 5.4 Vectores propios y transformaciones lineales 288 5.5 Valores propios complejos 295 5.6 Sistemas dinmicos discretos 301 5.7 Aplicaciones a ecuaciones diferenciales 311 5.8 Estimaciones iterativas para valores propios 319 Ejercicios complementarios 326 Captulo 6 Ortogonalidad y mnimos cuadrados 329 EJEMPLO INTRODUCTORIO: Base de datos geogrficos de Norteamrica y sistema de navegacin GPS 329 6.1 Producto interior, longitud y ortogonalidad 330 6.2 Conjuntos ortogonales 338 6.3 Proyecciones ortogonales 347 6.4 Proceso de Gram-Schmidt 354 6.5 Problemas de mnimos cuadrados 360 6.6 Aplicaciones a modelos lineales 368 6.7 Espacios con producto interior 376 6.8 Aplicaciones de espacios con producto interior 383 Ejercicios complementarios 390 8. Contenido vii Captulo 7 Matrices simtricas y formas cuadrticas 393 EJEMPLO INTRODUCTORIO: Procesamiento de imgenes multicanal 393 7.1 Diagonalizacin de matrices simtricas 395 7.2 Formas cuadrticas 401 7.3 Optimizacin restringida 408 7.4 Descomposicin en valores singulares 414 7.5 Aplicaciones al procesamiento de imgenes y estadstica 424 Ejercicios complementarios 432 Captulo 8 Geometra de espacios vectoriales 435 EJEMPLO INTRODUCTORIO: Los slidos platnicos 435 8.1 Combinaciones afines 436 8.2 Independencia afn 444 8.3 Combinaciones convexas 454 8.4 Hiperplanos 461 8.5 Poltopos 469 8.6 Curvas y superficies 481 Chapter 9 Optimization INTRODUCTORY EXAMPLE: The Berlin Airlift 9.1 Matrix Games 9.2 Linear ProgrammingGeometric Method 9.3 Linear ProgrammingSimplex Method 9.4 Duality Chapter 10 Finite-State Markov Chains INTRODUCTORY EXAMPLE: Google and Markov Chains 10.1 Introduction and Examples 10.2 The Steady-State Vector and Googles PageRank 10.3 Communication Classes 10.4 Classification of States and Periodicity 10.5 The Fundamental Matrix 10.6 Markov Chains and Baseball Statistics Los captulos 9 y 10 se encuentran en ingls en el sitio Web del libro. 9. viii Contenido Apndices A Unicidad de la forma escalonada reducida A1 B Nmeros complejos A2 Glosario A7 Respuestas a los ejercicios con numeracin impar A17 ndice I1 Crditos de fotografa C1 10. ix Prefacio La respuesta de los estudiantes y profesores a las tres primeras ediciones de lgebra lineal y sus aplicaciones ha sido muy gratificante. Esta cuarta edicin brinda un importante apoyo tanto para la enseanza como para el uso de la tecnologa en el curso. Al igual que en las ediciones anteriores, el libro ofrece una introduccin elemental actualizada al lgebra lineal y una amplia seleccin de aplicaciones interesantes. El material es accesible a estudiantes con la madurez que se consigue al finalizar de manera exitosa dos semestres de matemticas de nivel universitario, por lo general, de clculo. El objetivo principal del libro es ayudar a los estudiantes a dominar los conceptos bsicos y las habilidades que usarn ms adelante en sus carreras. Los temas expuestos siguen las re- comendaciones del Grupo de Estudio del Currculo de lgebra Lineal, las cuales se basan en una cuidadosa investigacin de las necesidades reales de los estudiantes y en un consenso entre profesionales de muchas disciplinas que utilizan el lgebra lineal. Esperamos que este curso sea una de las clases de matemticas ms tiles e interesantes para los estudiantes de licenciatura. LO NUEVO EN ESTA EDICIN El principal objetivo de esta revisin fue actualizar los ejercicios e incluir nuevos contenidos, tanto en el libro como en lnea. 1. Ms del 25 por ciento de los ejercicios son nuevos o actualizados, en especial los ejercicios computacionales. Los conjuntos de ejercicios son una de las caractersticas ms importantes de este libro, y estos nuevos ejercicios siguen el mismo estndar elevado de los conjuntos de ejercicios de las tres ltimas ediciones. Estn diseados de tal forma que se refieren a los temas importantes de cada una de las secciones anteriores, y permiten que los alumnos desarrollen confianza al motivarlos a practicar y generalizar las nuevas ideas que acaban de estudiar. 2. El 25 por ciento de los ejemplos introductorios de los captulos son nuevos. Estas in- troducciones tienen que ver con aplicaciones de lgebra lineal y despiertan el inters en torno al desarrollo del tema que se presenta a continuacin. El texto retoma el ejemplo introductorio en una seccin al final de cada captulo. 3. Se incluye un nuevo captulo, el 8, titulado Geometra de los espacios vectoriales, el cual presenta un tema novedoso que mis alumnos han disfrutado estudiar. Las secciones 1, 2 y 3 ofrecen las herramientas geomtricas bsicas. La seccin 6 utiliza estas ideas para estudiar las curvas y superficies de Bzier, las cuales se utilizan en grficos elabo- rados con computadora en el campo de la ingeniera y en lnea (en Adobe Illustrator y Macromedia FreeHand ). Estas cuatro secciones se pueden cubrir en cuatro o cinco sesiones de clase de 50 minutos. El segundo curso en las aplicaciones de lgebra lineal suele comenzar con una revisin sustancial de las ideas principales del primer curso. Si una parte del captulo 8 se encuentra en el primer curso, el segundo podra incluir una breve resea de las secciones 1 a 3 y, luego, un enfoque de la geometra en las secciones 4 y 5. Eso conducira, naturalmente, a los captulos 9 y 10 que se presentan en lnea, los cuales se han utilizado junto con el captulo 8 en varias escuelas en los ltimos cinco aos. 11. x Prefacio 4. Hay dos nuevos captulos disponibles en lnea en ingls, y se pueden utilizar en un segundo curso: Chapter 9. Optimization Chapter 10. Finite-State Markov Chains Se requiere un cdigo de acceso y est disponible para todos los profesores que adopten el libro. Para ms informacin, visite www.pearsonhighered.com/irc o pngase en contacto con su representante de Pearson. 5. Diapositivas de PowerPoint estn disponibles para las 25 secciones principales del texto; tambin se incluyen ms de 75 figuras del texto. CARACTERSTICAS DISTINTIVAS Introduccin temprana a los conceptos clave Muchas de las ideas fundamentales del lgebra lineal se introducen dentro de las primeras siete lecturas en el contexto concreto de n , y despus, gradualmente, se examinan desde diferentes puntos de vista. Ms adelante, se presentan generalizaciones de estos conceptos como exten- siones naturales de ideas familiares, visualizadas a travs de la intuicin geomtrica desarro- llada en el captulo 1. Un logro importante del libro es que el nivel de dificultad es bastante uniforme durante todo el curso. Una visin moderna de la multiplicacin de matrices Una buena notacin es importante, y el libro refleja la manera en que los cientficos e ingenieros utilizan el lgebra lineal en la prctica. Las definiciones y demostraciones se centran en las columnas de una matriz antes que en sus entradas. Un tema central es considerar un producto matriz-vector Ax como una combinacin lineal de las columnas de A. Este enfoque moderno simplifica muchos argumentos, y vincula las ideas de espacio vectorial con el estudio de sistemas lineales. Transformaciones lineales Las transformaciones lineales forman un hilo que se entreteje en la trama del libro. Su uso mejora el sentido geomtrico del texto. En el captulo 1, por ejemplo, las transformaciones lineales ofrecen una visin dinmica y grfica de la multiplicacin matriz-vector. Valores propios y sistemas dinmicos Los valores propios se presentan muy pronto en el libro, en los captulos 5 y 7. Como este material se estudia durante varias semanas, los estudiantes tienen ms tiempo de lo habitual para aprender y revisar tales conceptos fundamentales. Los valores propios se aplican a sistemas dinmicos discretos y continuos, los cuales se presentan en las secciones 1.10, 4.8 y 4.9, y en las cinco secciones del captulo 5. Algunos cursos llegan al captulo 5, despus de aproximadamente cinco semanas, cubriendo las secciones 2.8 y 2.9 en vez del captulo 4. Estas dos secciones opcionales presentan todos los conceptos de espacio vectorial del captulo 4 necesarios para el captulo 5. Ortogonalidad y problemas de mnimos cuadrados Estos temas reciben un tratamiento ms completo que el que se otorga comnmente en los libros bsicos. El Grupo de Estudio del Currculo de lgebra Lineal ha hecho hincapi en la necesidad de contar con una unidad sustancial de ortogonalidad y problemas de mnimos cuadrados, ya que la ortogonalidad desempea un importante papel en los clculos computacionales y en el lgebra lineal numrica, y porque, con frecuencia, en el trabajo prctico surgen sistemas lineales inconsistentes. 12. Prefacio xi CARACTERSTICAS PEDAGGICAS Aplicaciones Una amplia seleccin de aplicaciones muestra el poder del lgebra lineal para explicar princi- pios fundamentales y simplificar los clculos en ingeniera, ciencias de la computacin, matemticas, fsica, biologa, economa y estadstica.Algunas aplicaciones se presentan en secciones separadas, mientras que otras se explican con ejemplos y ejercicios. Adems, cada captulo se inicia con un ejemplo introductorio que prepara el escenario para algunas aplicaciones del l- gebra lineal y sirve de base para el desarrollo de las matemticas que siguen. Despus, el texto considera nuevamente la aplicacin en una seccin cercana al final del captulo. Un fuerte nfasis geomtrico Todos los conceptos importantes en el curso cuentan con una interpretacin geomtrica, ya que muchos estudiantes aprenden mejor cuando logran visualizar una idea. Aqu se presentan ms dibujos de lo habitual, y algunas de las figuras nunca antes se han presentado en un libro de lgebra lineal. Ejemplos Este libro dedica una mayor proporcin de su material de exposicin a ejemplos, en comparacin con la mayora de libros de lgebra lineal. Hay ms ejemplos de los que un profesor presenta normalmente en clase. Puesto que los ejemplos se escribieron con sumo cuidado y con detalle, los estudiantes pueden leerlos por su cuenta. Teoremas y demostraciones Los resultados importantes se establecen como teoremas. Otros datos tiles se presentan en recuadros, para una fcil localizacin. La mayora de los teoremas incluyen demostraciones formales, escritas pensando en el alumno principiante. En algunos casos, los clculos esencia- les de una demostracin se muestran en un ejemplo cuidadosamente elegido. Algunas com- probaciones de rutina se dejan para los ejercicios, cuando sea benfico para los estudiantes. Problemas de prctica Antes de cada conjunto de ejercicios se incluyen problemas de prctica seleccionados con gran cuidado. Las soluciones completas se presentan despus del conjunto de ejercicios. Es- tos problemas se centran en los aspectos problemticos del conjunto de ejercicios o sirven de calentamiento para los ejercicios; con frecuencia, las soluciones contienen tiles consejos o advertencias acerca del trabajo que hay que realizar. Ejercicios El gran nmero de ejercicios incluye desde algunos que tienen que ver con clculos de rutina hasta preguntas conceptuales que requieren de mayor reflexin. Un buen nmero de preguntas innovadoras destacan las dificultades conceptuales que he encontrado en los documentos de los estudiantes en los ltimos aos. Cada conjunto de ejercicios est cuidadosamente organi- zado en el mismo orden general que el libro, de manera que las tareas se pueden encontrar fcilmente cuando solo se ha estudiado una parte de la seccin. Una caracterstica notable de los ejercicios es su sencillez numrica. El contenido de los problemas se puede ordenar rpi- damente, para que los estudiantes dediquen poco tiempo a los clculos numricos. Los ejercicios se concentran en ensear a razonar antes que en realizar clculos mecnicos. Los ejercicios de la cuarta edicin conservan la integridad de los que se incluyeron en la tercera edicin, y presentan nuevos problemas para estudiantes y profesores. Los ejercicios marcados con el smbolo [M] estn diseados para trabajarse con la ayuda de un programa de Matrices (por ejemplo, programas computacionales, como MATLAB , Maple, Mathematica , MathCad , o Derive, o calculadoras programables con capacidades matriciales, como las que fabrica Texas Instruments). 13. xii Prefacio Preguntas verdadero/falso Para animar a los estudiantes a leer todo el libro y a pensar crticamente, he desarrollado 300 preguntas sencillas de falso/verdadero que se presentan en 33 secciones del libro, justo despus de los problemas computacionales. Estas preguntas se pueden contestar directamente del libro, y preparan al estudiante para los problemas conceptuales que siguen. Los estudiantes aprecian estas preguntas una vez que valoran la importancia de leer con cuidado el libro. Con base en las pruebas de clase y los anlisis con los estudiantes, decid no incluir las respuestas en el libro. Se cuenta con 150 preguntas adicionales de falso/verdadero (casi siempre al final de los captulos) para comprobar la comprensin del material. El libro presenta solo respuestas con V o F para la mayora de estas preguntas, pero omite las justificaciones de las respuestas (las cuales, por lo general, requieren de cierto razonamiento). Ejercicios de escritura La capacidad de escribir enunciados matemticos coherentes en espaol es esencial para todos los estudiantes de lgebra lineal, y no solo para aquellos que cursan un posgrado en matemticas. El libro incluye muchos ejercicios para los que una justificacin por escrito es parte de la respuesta. Los ejercicios conceptuales que requieren una prueba corta, por lo general, incluyen consejos que ayudan a los estudiantes a comenzar. Para todos los ejercicios de escritura de numeracin impar, en la parte final del libro, se incluye ya sea una solucin o una sugerencia. Temas computacionales El libro hace hincapi en los efectos de la computadora tanto en el desarrollo como en la prctica del lgebra lineal en las ciencias y la ingeniera. Las frecuentes notas numricas llaman la atencin en torno a problemas computacionales; adems, distinguen entre los conceptos tericos, como la inversin de matrices, y las implementaciones computacionales, como la factorizacin LU. APOYO EN LNEA El sitio Web en www.pearsonenespaol.com/lay contiene material de apoyo para el libro de texto. Para los estudiantes, incluye hojas de repaso y exmenes de prctica (con soluciones) que cubren los temas principales en el libro. Estas secciones provienen directamente de cursos que he impartido en los ltimos aos. Cada hoja de repaso identifica definiciones clave, as como teoremas y habilidades de una parte especfica del libro. Aplicaciones de los captulos El sitio Web tambin contiene siete estudios de caso, los cuales amplan los temas introdu- cidos al inicio de cada captulo, al agregar datos del mundo real y la posibilidad de realizar una exploracin ms profunda. Por otro lado, ms de veinte proyectos de aplicacin amplan los temas del libro e introducen nuevas aplicaciones, como splines cbicos, rutas de vuelo de aerolneas, matrices de dominio en competencias deportivas y cdigos de correccin de errores. Algunas aplicaciones matemticas son tcnicas de integracin, ubicacin de races polinomiales, secciones cnicas, superficies cuadrticas y extremos de funciones de dos variables. Tambin se incluyen temas de lgebra lineal numrica, como nmeros de condicin, factorizaciones de matrices y el mtodo QR para encontrar valores propios. Entretejidos en cada anlisis, se encuentran ejercicios que pueden implicar grandes conjuntos de datos (por lo que requieren de tecnologa para su solucin). Introduccin a la tecnologa Si el curso incluye un trabajo con MATLAB, Maple, Mathematica o calculadoras TI, se puede leer uno de los proyectos en el sitio Web para tener una introduccin a la tecnologa. 14. Prefacio xiii Archivos de datos Cientos de archivos contienen datos de 900 ejercicios del texto, estudios de caso y proyectos de aplicacin. Los datos estn disponibles en www.pearsonenespaol.com/lay en una variedad de formatos, para MATLAB, Maple, Mathematica y las calculadoras graficadoras TI-83+/86/89. Al permitir a los alumnos acceder a las matrices y los vectores de un problema particular con solo pulsar unas cuantas teclas, los archivos de datos eliminan los errores de captura de datos y ahorran tiempo en la tarea. Proyectos MATLAB Estos proyectos de exploracin invitan a los estudiantes a descubrir los aspectos matemticos y numricos bsicos de lgebra lineal. Escritos por Rick Smith, se han desarrollado para acompaar los cursos de lgebra lineal computacional en la Universidad de Florida, que han utilizado lgebra lineal y sus aplicaciones durante muchos aos. Se hace referencia a los proyectos por medio de un icono WEB en puntos adecuados del libro. Alrededor de la mitad de los proyectos exploran conceptos fundamentales, como el espacio columna, la diagonalizacin y las proyecciones ortogonales; varios proyectos tratan temas numricos, tales como flops, mtodos iterativos y DVS, y algunos ms exploran aplicaciones como la interpolacin de Lagrange y las cadenas de Markov. COMPLEMENTOS Manuales de tecnologa para el profesor Cada manual ofrece una gua detallada para integrar al curso un paquete de software especfico o una calculadora grfica. Los manuales fueron escritos por profesores que ya han utilizado tecnologa con este libro. Los siguientes manuales estn disponibles para profesores que adopten el libro, a travs de Pearson Instructor Resource Center, www.pearsonhighered.com/irc: MATLAB (ISBN: 0-321-53365-8), Maple (ISBN: 0-321-75605-3), Mathematica (ISBN: 0-321-38885-2) y TI-83+/86/89 (ISBN: 0-321-38887-9). AGRADECIMIENTOS Estoy muy agradecido con muchos grupos de personas que me han ayudado en los ltimos aos con diversos aspectos de este libro. Quiero agradecer a Israel Gohberg y Robert Ellis, quienes desde hace ms de quince aos han colaborado conmigo en la investigacin, lo que ha contribuido a formar en gran parte mi punto de vista del lgebra lineal. Para m, ha sido un privilegio ser un miembro del Gru- po de Estudio del Currculo de lgebra Lineal junto con David Carlson, Charles Johnson y Duane Porter. Sus ideas creativas acerca de la enseanza del lgebra lineal han influido en este libro de forma significativa. Agradezco sinceramente a los siguientes revisores por su cuidadoso anlisis y sugerencias constructivas: Rafal Ablamowicz, Tennessee Technological University Brian E. Blank, Washington University en Saint Louis Vahid Dabbaghian-Abdoly, Simon Fraser University James L. Hartman, The College of Wooster Richard P. Kubelka, San Jose State University Martin Nikolov, University of Connecticut Ilya M. Spitkovsky, College of William & Mary John Alongi, Northwestern University Steven Bellenot, Florida State University Herman Gollwitzer, Drexel University David R. Kincaid, The University of Texas en Austin Douglas B. Meade, University of South Carolina Tim Olson, University of Florida Albert L. Vitter III, Tulane University 15. xiv Prefacio En esta cuarta edicin, agradezco a mi hermano, Steven Lay, de Lee University, por su ge- nerosa ayuda y aliento, y por su reciente revisin del captulo 8. Agradezco a Raymond Rosentrater, de Westmont College, por sus tiles consejos y su ayuda con los ejemplos introductorios de los captulos. Otra talentosa profesora, Judith McDonald, de Washington State University, desarroll muchos nuevos ejercicios para el libro. Su ayuda y entusiasmo por el libro fue muy refrescante y estimulante. Agradezco a los expertos en tecnologa que trabajaron en los diferentes complementos de la cuarta edicin, la preparacin de los datos, la redaccin de las notas para los profesores, la escritura de notas de tecnologa para los estudiantes y por compartir sus proyectos con nosotros: Jeremy Case (MATLAB), Taylor University; Douglas Meade (Maple), University of South Carolina; Michael Miller (calculadora TI), Western Baptist College; y Marie Vanisko (Mathematica), Carroll College. Agradezco al profesor John Risley y a los estudiantes de posgrado David Aulicino, Sean Burke y Goldberg Hersh por sus conocimientos tcnicos para ayudar a desarrollar las tareas en lnea que apoyan el libro. Por las pruebas en clase de este apoyo de tareas en l- nea, estoy muy agradecido con: Agnes Boskovitz, Malcolm Brooks, Elizabeth Ormerod, Alexander Isaev y John Urbas, de la Australian National University; John Scott y Wee Leben, del Montgomery College, Maryland; y Xingru Zhang en SUNY University of Buffalo. Agradezco la ayuda de Blaise DeSesa, Jean Horn, Roger Lipsett, Paul Lorczak, Thomas Polaski, Sarah Streett y Marie Vanisko, quienes comprobaron la exactitud de los clculos en el libro. Por ltimo, agradezco sinceramente al personal de Addison-Wesley por toda su ayuda en el desarrollo y la produccin de la cuarta edicin: Caroline Celano, editora responsable; Chere Bemelmans, editora de contenido; Tamela Ambush, editora administrativa asociada; Carl Cottrell, productor de medios de comunicacin; Jeff Weidenaar, director ejecutivo de marketing; Kendra Bassi, asistente de marketing; y Andrea Nix, diseadora de texto. Por l- timo, agradezco a tres buenos amigos que han guiado el desarrollo de la obra casi desde el principio con sus sabios consejos y estmulos: Greg Tobin, editor, Laurie Rosatone, editor anterior, y William Hoffman, editor actual. Muchas gracias a todos. David C. Lay 16. Prefacio xv COLOMBIA Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemticas Gustavo Rubiano MXICO AGUASCALIENTES Instituto Tecnolgico de Aguascalientes Ciencias Bsicas Alejandra Espinosa Guzmn David Ortiz Acosta Jess Espino Mrquez Jos Refugio Gonzlez Lpez Judith Mauricio de Anda Paula Castillo Rosales Sergio Heraccio Snchez Calvillo DISTRITO FEDERAL Instituto Tecnolgico Autnomo de Mxico Departamento de Matemticas Araceli Reyes Guerrero Marcela Gonzlez Pelez Universidad Anhuac del Sur Departamento de Matemticas Jos Antonio Bohon Devars Universidad del Valle de Mxico campus Tlalpan Departamento de Matemticas Juan Andrs Aspiazu Fabin GUANAJUATO Instituto Tecnolgico de Celaya Ciencias Bsicas Jos Carlos Crdenas Rivera SAN LUIS POTOS Universidad Autnoma de San Luis Potos Fsica y Matemticas Guadalupe Silva Esparza J. Socorro Loera Daz Mara del Pilar Yudiche Paz Mara Eugenia Noriega Trevio Mara Irene Liliana Gallegos Garca Mara Isabel Zermeo Mantante Miguel ngel Viramontes Reyna PUEBLA Instituto Tecnolgico de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Puebla Departamento Acadmico de Administracin Escuela de Negocios y Ciencias Sociales Jorge Alberto Gonzlez Mendivil Miguel Guadalupe Daz Snchez Instituto Tecnolgico de Puebla Departamento Ingeniera Industrial Escuela de Ingeniera Alfonso Serrano Glvez Universidad De Las Amricas Puebla Departamento de Turismo Escuela de Negocios y Economa Alfonso Rocha Herrera Universidad Popular Autnoma del Estado de Puebla Departamento Administracin Escuela de Negocios Claudia Malcn Cervera SINALOA Instituto Tecnolgico de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Sinaloa Departamento de Ingeniera Cruz Evelia Sosa Carrillo Universidad de Occidente, Unidad Culiacn Departamento de Ingeniera Ral Soto Murray Pearson agradece a los profesores usuarios de esta obra y a los centros de estudio por su apoyo y retroalimentacin, elementos fundamentales para esta nueva edicin de lgebra lineal y sus aplicaciones. AGRADECIMIENTOS 17. Nota para los estudiantes Este curso es potencialmente el ms interesante y valioso de los cursos de matemticas de licenciatura. De hecho, algunos estudiantes me han escrito o han hablado conmigo despus de la graduacin para decirme que an utilizan este libro de cuando en cuando como una referencia en su carrera en las grandes corporaciones y en las escuelas de posgrado de ingeniera. Los siguientes comentarios ofrecen algunos consejos prcticos e informacin para ayudarle a dominar el material y disfrutar del curso. En lgebra lineal, los conceptos son tan importantes como los clculos. Los sencillos ejercicios numricos que se incluyen al principio de cada conjunto de ejercicios solo le ayudarn a comprobar su comprensin de los procedimientos bsicos. Ms adelante en su carrera, las computadoras harn los clculos, pero usted tendr que elegir cules son perti- nentes, saber interpretar los resultados, y despus explicar los resultados a otras personas. Por esta razn, muchos ejercicios en el libro le piden que explique o justifique sus clculos. Con frecuencia se solicita una explicacin por escrito como parte de la respuesta. Para los ejercicios con numeracin impar, se incluye ya sea la explicacin deseada o, al menos, una buena sugerencia. Debe evitar la tentacin de consultar esas respuestas antes de haber tra- tado de escribir la solucin. De lo contrario, es probable que crea que entiende algo cuando en realidad no es as. Para dominar los conceptos de lgebra lineal, tendr que leer y releer el texto con cuidado. Los nuevos trminos aparecen en negritas, a veces dentro de un recuadro de definicin. Al final del libro se incluye un glosario. Algunos hechos importantes se establecen como teoremas o se destacan en recuadros sombreados, para una fcil localizacin. Le animo a que lea las primeras cinco pginas del prefacio para aprender ms acerca de la estructura de este libro. Esto le dar una idea para comprender cmo puede continuar el curso. En un sentido prctico, el lgebra lineal es un lenguaje. Usted tiene que aprender este lenguaje de la misma manera que un idioma extranjero, esto es, con el trabajo diario. El material que se presenta en una seccin no es fcil de entender a menos que haya estudiado a fondo el libro y que haya trabajado los ejercicios de las secciones anteriores. Mantenerse al da con el curso le ahorrar mucho tiempo y angustia! Notas numricas Espero que lea las notas numricas en el texto, incluso si no est utilizando una computadora o una calculadora grfica con el libro. En la vida real, la mayora de las aplicaciones del l- gebra lineal implican clculos numricos que estn sujetos a algn error numrico, aunque quizs este sea muy pequeo. Las notas numricas le advertirn las posibles dificultades en el uso del lgebra lineal ms adelante en su carrera, y si usted estudia las notas ahora, es ms probable que las recuerde despus. Si le gusta leer las notas numricas, es posible que desee tomar un curso ms tarde en lgebra lineal numrica. Debido a la gran demanda de mayor capacidad para realizar clculos, cientficos de la computacin y matemticos trabajan en lgebra lineal numrica para desarrollar algoritmos de clculos ms rpidos y ms confiables, mientras que los ingenieros elctricos disean computadoras pequeas y rpidas para ejecutar algoritmos. Este es un campo emocionante, y su primer curso de lgebra lineal le ayudar a prepararse para ello. xvi 18. 1 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal EJEMPLO INTRODUCTORIO Modelos lineales en economa e ingeniera Al final del verano de 1949, Wassily Leontief, profesor de Harvard, introduca con cuidado la ltima de sus tarjetas perforadas en la computadora Mark II de la universidad. Las tarjetas contenan informacin acerca de la economa de Estados Unidos; se trataba de un resumen de ms de 250,000 datos generados por la Oficina de Estadstica Laboral (U.S. Bureau of Labor) durante dos aos de intenso trabajo. Leontief dividi la economa estadounidense en 500 sectores, que incluan las industrias carbonfera, automotriz, de comunicaciones, etctera. Para cada sector, escribi una ecuacin lineal que describa cmo la industria en cuestin distribua su producto hacia los otros sectores de la economa. Como la computadora Mark II, una de las ms grandes de su poca, no poda manejar el sistema resultante de 500 ecuaciones y 500 incgnitas, Leontief redujo el problema a un sistema de 42 ecuaciones y 42 incgnitas. Programar la Mark II para manejar las 42 ecuaciones de Leontief requiri varios meses de trabajo, y l estaba ansioso por ver cunto tardara la computadora en resolver el problema. La mquina emiti zumbidos y sus luces parpadearon durante 56 horas antes de que finalmente arrojara un resultado. En las secciones 1.6 y 2.6 se analizar la naturaleza de esa solucin. Leontief, galardonado en 1973 con el Premio Nobel de Economa, abri la puerta a una nueva era en la elaboracin de modelos matemticos en economa. Sus esfuerzos en Harvard, en 1949, representaron uno de los primeros usos significativos de las computadoras para analizar lo que, en esa poca, era un modelo matemtico de gran escala. Desde entonces, investigadores en muchos otros campos han empleado computadoras para analizar modelos matemticos. Debido a las enormes cantidades de datos implicados, los modelos, por lo regular, son lineales; es decir, se describen mediante sistemas de ecuaciones lineales. La importancia del lgebra lineal para diversas aplicaciones ha crecido en proporcin directa al incremento de la capacidad de las computadoras, y cada nueva generacin de hardware y software dispara la demanda de capacidades aun mayores. Por ello, la ciencia de la computacin est fuertemente vinculada con el lgebra lineal a travs del explosivo crecimiento de los procesamientos en paralelo y el clculo a gran escala. Ahora los cientficos e ingenieros trabajan en problemas cada vez ms complejos, lo que era impensable hace algunas dcadas. Actualmente, el lgebra lineal tiene mayor valor potencial para estudiantes de muchos campos cientficos y de negocios que cualquier otra materia de matemticas! El material que se presenta en este libro ofrece el fundamento para un trabajo posterior en muchas reas interesantes. A continuacin se mencionan unas cuantas posibilidades; otras se describirn ms adelante. Exploracin petrolera. Cuando un barco busca depsitos submarinos de petrleo, sus computadoras resuelven todos los das miles de sistemas de ecuaciones lineales. Los datos ssmicos de las 19. 2 CAPTULO 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal Los sistemas de ecuaciones lineales constituyen el corazn del lgebra lineal, y este captulo los utiliza para introducir, de manera sencilla y concreta, algunos de los conceptos centrales del lgebra lineal. Las secciones 1.1 y 1.2 presentan un mtodo sistemtico para resolver sistemas de ecuaciones lineales. En este libro se emplear dicho algoritmo para realizar diversos clculos. Las secciones 1.3 y 1.4 muestran cmo un sistema de ecuaciones lineales es equivalente a una ecuacin vectorial y a una ecuacin matricial. Esta equivalencia reducir problemas que implican combinaciones lineales de vectores a preguntas acerca de sistemas de ecuaciones lineales. Los conceptos fundamentales de generacin, independencia lineal y transformaciones lineales, que se estudiarn en la segunda mitad de este captulo, desempearn un papel esencial a lo largo del libro conforme se explore la belleza y el poder del lgebra lineal. ecuaciones se obtienen a partir de las ondas de cho- que submarinas generadas por explosiones de pistolas de aire. Las ondas rebotan en las rocas bajo el agua, y los gefonos conectados a la popa del barco mediante cables de varios kilmetros se encargan de medirlas. Programacin lineal. Actualmente, muchas decisiones empresariales importantes se toman con base en modelos de programacin lineal que utilizan cientos de variables. La industria de las aerolneas, por ejemplo, utiliza la programacin lineal para organizar los itinerarios de las tripulaciones de vuelo, monitorizar la ubicacin de los aviones o planear la variada agenda de los servicios de apoyo, como las actividades operativas y de mantenimiento en las terminales areas. Redes elctricas. Los ingenieros utilizan software de simulacin para disear circuitos elctricos y microchips, lo que implica millones de transistores. Dicho software se basa en tcnicas de lgebra lineal y en sistemas de ecuaciones lineales. WEB Una ecuacin lineal en las variables x1,, xn es una ecuacin que puede escribirse en la forma a1x1 C a2x2 C C anxn D b (1) donde b y los coeficientes a1,, an son nmeros reales o complejos, que generalmente se conocen de antemano. El subndice n puede ser cualquier entero positivo. En los ejemplos y ejercicios del libro, n normalmente est entre 2 y 5. En problemas de la vida real, n podra ser 50 o 5000, o incluso mayor. Las ecuaciones 4x1 5x2 C 2 D x1 y x2 D 2 p 6 x1 C x3 son lineales porque se pueden reordenar algebraicamente en la forma de la ecuacin (1): 3x1 5x2 D 2 y 2x1 C x2 x3 D 2 p 6 Las ecuaciones 4x1 5x2 D x1x2 y x2 D 2 p x1 6 no son lineales debido a la presencia de x1x2 en la primera ecuacin y de p x1 en la segunda. Un sistema de ecuaciones lineales (o sistema lineal) es una coleccin de una o ms ecuaciones lineales que implican las mismas variables, por ejemplo, x1,, xn. Un ejemplo es 2x1 x2 C 1:5x3 D 8 x1 4x3 D 7 (2) 1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 20. 1.1 Sistemas de ecuaciones lineales 3 Una solucin del sistema es una lista de nmeros (s1, s2,, sn) que da validez a cada ecuacin cuando se utilizan los valores s1,, sn en lugar de x1,, xn, respectivamente. Por ejemplo, (5, 6.5, 3) es una solucin del sistema (2) porque al sustituir estos valores en (2) para x1, x2, x3, respectivamente, las ecuaciones se simplifican a 8 8 y 7 7. El conjunto de todas las posibles soluciones se llama conjunto solucin del sistema lineal. Se dice que dos sistemas lineales son equivalentes si tienen el mismo conjunto solucin. Es decir, cada solucin del primer sistema es una solucin del segundo sistema, y cada solucin del segundo sistema tambin es una solucin del primero. Es fcil encontrar el conjunto solucin de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables porque equivale a obtener la interseccin de dos rectas. Un problema comn es x1 2x2 D 1 x1 C 3x2 D 3 Las grficas de esas ecuaciones son lneas rectas, las cuales se denotan como /1 y /2. Un par de nmeros (x1, x2) satisface ambas ecuaciones del sistema si y solo si el punto (x1, x2) est sobre /1 y /2. En el sistema anterior, la solucin es el nico punto (3, 2), lo que puede com- probarse fcilmente. Vase la figura 1. Desde luego, dos rectas no necesitan intersecarse en un solo punto; podran ser parale- las, o coincidir y, as, intersecarse en todos los puntos de la recta. La figura 2 muestra las grficas que corresponden a los siguientes sistemas: a) x1 2x2 D 1 x1 C 2x2 D 3 b) x1 2x2 D 1 x1 C 2x2 D 1 FIGURA 1 Exactamente una solucin. 2 3 x2 x1 l1 l2 FIGURA 2 a) No hay solucin. b) Nmero infinito de soluciones. 2 3 x2 x1 l1 l2 a) 2 3 x2 x1 l1 b) Las figuras 1 y 2 ilustran el siguiente hecho general acerca de los sistemas lineales, el cual se comprobar en la seccin 1.2. 21. 4 CAPTULO 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es consistente si tiene una solucin o un n- mero infinito de soluciones; un sistema es inconsistente cuando no tiene ninguna solucin. Notacin matricial La informacin esencial de un sistema lineal puede registrarse de forma compacta en un arreglo rectangular llamado matriz. Dado el sistema x1 2x2 C x3 D 0 2x2 8x3 D 8 4x1 C 5x2 C 9x3 D 9 (3) con los coeficientes de cada variable alineados en columnas, la matriz 2 4 1 2 1 0 2 8 4 5 9 3 5 se llama matriz coeficiente (o matriz de coeficientes) del sistema (3), y 2 4 1 2 1 0 0 2 8 8 4 5 9 9 3 5 (4) se llama matriz aumentada del sistema. (Aqu la segunda fila contiene un cero porque la segunda ecuacin podra escribirse como 0 x1 2x2 8x3 8). La matriz aumentada de un sistema consiste en la matriz de coeficientes con una columna adicional que contiene las constantes de los miembros derechos de las ecuaciones. El tamao de una matriz indica su nmero de filas y columnas. La matriz aumentada (4) tiene 3 filas y 4 columnas, por lo que es una matriz de 3 4 (que se lee 3 por 4). Si m y n son enteros positivos, entonces una matriz de m n es un arreglo rectangular de nmeros con m filas y n columnas. (Siempre va primero el nmero de filas). La notacin matricial simplificar los clculos en los ejemplos que siguen. Solucin de un sistema lineal Esta seccin y la siguiente describen un algoritmo, o un procedimiento sistemtico, para resolver sistemas lineales. La estrategia bsica es remplazar un sistema por otro equivalente (es decir, uno con el mismo conjunto solucin) y que sea ms fcil resolver. En general, use el trmino x1 de la primera ecuacin de un sistema para eliminar los trminos x1 en las ecuaciones restantes. Despus, utilice el trmino x2 en la segunda ecuacin para eliminar los trminos x2 en las dems ecuaciones, y as sucesivamente, hasta que finalmente obtenga un sistema equivalente de ecuaciones muy sencillo. Se utilizan tres operaciones bsicas para simplificar un sistema lineal: remplazar una ecuacin por la suma de esta y un mltiplo de otra ecuacin, intercambiar dos ecuaciones, y multiplicar todos los trminos de una ecuacin por una constante distinta de cero. Despus del primer ejemplo, resultar claro por qu esas tres operaciones no alteran el conjunto solucin del sistema. Un sistema de ecuaciones lineales tiene 1. ninguna solucin, o 2. exactamente una solucin, o 3. un nmero infinito de soluciones. 22. 1.1 Sistemas de ecuaciones lineales 5 EJEMPLO 1 Resuelva el sistema (3). SOLUCIN Aqu se muestra el procedimiento de eliminacin, con y sin notacin matricial, y los resultados se colocan uno al lado del otro para facilitar la comparacin: x1 2x2 C x3 D 0 2x2 8x3 D 8 4x1 C 5x2 C 9x3 D 9 2 4 1 2 1 0 0 2 8 8 4 5 9 9 3 5 Mantenga x1 en la primera ecuacin y elimnela en las otras ecuaciones. Para hacerlo, sume la ecuacin 1 multiplicada por 4 a la ecuacin 3. Despus de cierta prctica, estos clculos se podrn efectuar mentalmente: 4[ecuacin 1]: [ecuacin 3]: [nueva ecuacin 3]: 4x1 8x2 C 4x3 D 0 4x1 C 5x2 C 9x3 D 9 3x2 C 13x3 D 9 El resultado de este clculo se escribe en lugar de la tercera ecuacin original: x1 2x2 C x3 D 0 2x2 8x3 D 8 3x2 C 13x3 D 9 2 4 1 2 1 0 0 2 8 8 0 3 13 9 3 5 Ahora, multiplicamos la ecuacin 2 por 12 para as obtener 1 como coeficiente de x2. (Este clculo simplificar la aritmtica en el siguiente paso). x1 2x2 C x3 D 0 x2 4x3 D 4 3x2 C 13x3 D 9 2 4 1 2 1 0 0 1 4 4 0 3 13 9 3 5 Utilice x2 de la ecuacin 2 para eliminar 3x2 en la ecuacin 3. El clculo mental es 3[ecuacin 2]: [ecuacin 3]: [nueva ecuacin 3]: 3x2 12x3 D 12 3x2 C 13x3 D 9 x3 D 3 El nuevo sistema tiene forma triangular:1 x1 2x2 C x3 D 0 x2 4x3 D 4 x3 D 3 2 4 1 2 1 0 0 1 4 4 0 0 1 3 3 5 Finalmente, se desea eliminar el trmino 2x2 de la ecuacin 1, pero es ms eficiente usar primero x3 de la ecuacin 3 para eliminar los trminos 4x3 y x3 en las ecuaciones 2 y 1. Los dos clculos mentales son 4[ec. 3]: [ec. 2]: [nueva ec. 2]: 4x3 D 12 x2 4x3 D 4 x2 D 16 1[ec. 3]: [ec. 1]: [nueva ec. 1]: x3 D 3 x1 2x2 C x3 D 0 x1 2x2 D 3 1 En la siguiente seccin se remplazar el trmino intuitivo triangular por uno ms preciso. 23. 6 CAPTULO 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal Es conveniente combinar los resultados de esas dos operaciones: x1 2x2 D 3 x2 D 16 x3 D 3 2 4 1 2 0 3 0 1 0 16 0 0 1 3 3 5 Ahora, una vez que se ha eliminado la columna que est sobre x3 en la ecuacin 3, regrese a x2 en la ecuacin 2 y utilcela para eliminar 2x2 sobre ella. Gracias al trabajo previo con x3, ahora no hay operaciones que impliquen trminos con x3. Sume dos veces la ecuacin 2 a la ecuacin 1 para obtener el sistema: 8 < : x1 D 29 x2 D 16 x3 D 3 2 4 1 0 0 29 0 1 0 16 0 0 1 3 3 5 En esencia, el proceso est terminado. Se observa que la nica solucin del sistema original es (29, 16, 3). Sin embargo, puesto que son muchos los clculos realizados, es recomendable comprobar los resultados. Para comprobar que (29, 16, 3) es una solucin, sustituya esos valores en el lado izquierdo del sistema original, y calcule: .29/ 2.16/ C .3/ D 29 32 C 3 D 0 2.16/ 8.3/ D 32 24 D 8 4.29/ C 5.16/ C 9.3/ D 116 C 80 C 27 D 9 Los resultados concuerdan con el lado derecho del sistema original, de manera que (29, 16, 3) es una solucin del sistema. El ejemplo 1 muestra cmo las operaciones con las ecuaciones de un sistema lineal corresponden a las operaciones en las filas adecuadas de la matriz aumentada. Las tres operaciones bsicas mencionadas con anterioridad corresponden a las siguientes operaciones en la matriz aumentada. 2 Una forma alternativa de expresar la operacin de remplazo de filas es: Sume a una fila un mltiplo de otra fila. Cada una de las ecuaciones originales determina un plano en el espacio tridimensional. El punto (29, 16, 3) pertenece a los tres planos. (29, 16, 3) OPERACIONES ELEMENTALES DE FILA 1. (Remplazo) Sustituir una fila por la suma de s misma y un mltiplo de otra fila.2 2. (Intercambio) Intercambiar dos filas. 3. (Escalamiento) Multiplicar todos los elementos de una fila por una constante diferente de cero. Las operaciones de fila pueden aplicarse a cualquier matriz, no solo a las matrices aumentadas de un sistema lineal. Dos matrices son equivalentes por filas si existe una secuen- cia de operaciones elementales de fila que transforme una matriz en otra. Es importante observar que las operaciones de fila son reversibles. Si dos filas se intercambian, es posible hacerlas retornar a sus posiciones originales mediante otro intercambio. Si una fila se multiplica por una constante c distinta de cero, entonces al multiplicar la nueva fila por 1c se obtiene la fila original. Por ltimo, considere una operacin de remplazo que implica a dos filas por ejemplo, las filas 1 y 2 y suponga que a la fila 2 se le suma la fila 1 multiplicada por c para producir una nueva fila 2. Para revertir esta operacin, sume la fila 1 multiplicada por c a la nueva fila 2 para as obtener la fila 2 original. Vase los ejercicios 29 al 32 al final de esta seccin. 24. 1.1 Sistemas de ecuaciones lineales 7 Por el momento, estamos interesados en las operaciones de fila sobre la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales. Suponga que un sistema se transforma en otro mediante operaciones de fila. Considerando cada tipo de operacin de fila, puede verse que cualquier solucin del sistema original contina siendo una solucin del nuevo sistema. A la inversa, puesto que el sistema original se puede obtener mediante operaciones de fila sobre el nuevo sistema, cada solucin del nuevo sistema tambin es solucin del sistema original. Este anlisis justifica el siguiente enunciado. DOS PREGUNTAS FUNDAMENTALES ACERCA DE UN SISTEMA LINEAL 1. El sistema es consistente, es decir, al menos existe una solucin? 2. Si existe una solucin, solo hay una, es decir, la solucin es nica? A pesar de que el ejemplo 1 es largo, despus de cierta prctica se desarrollar habilidad para realizar los clculos con rapidez. En el texto y en los ejercicios de este libro, las operaciones de fila por lo general sern muy fciles de efectuar, lo que permitir al lector enfocarse en los conceptos subyacentes. Pero debe aprender a realizar con exactitud las operaciones de fila porque se utilizarn a lo largo del libro. El resto de esta seccin muestra cmo emplear operaciones de fila para determinar el tamao de un conjunto solucin, sin resolver completamente el sistema lineal. Preguntas de existencia y unicidad La seccin 1.2 mostrar por qu un conjunto solucin de un sistema lineal puede no contener ninguna solucin, o bien, tener una solucin o un nmero infinito de soluciones. Las respuestas a las siguientes dos preguntas determinarn la naturaleza del conjunto solucin de un sistema lineal. Para determinar qu posibilidad es verdadera para un sistema particular, nos planteamos dos preguntas. Si las matrices aumentadas de dos sistemas lineales son equivalentes por filas, entonces los dos sistemas tienen el mismo conjunto solucin. Estas dos preguntas se presentarn a lo largo del libro, en diversas circunstancias. Esta seccin y la siguiente le mostrarn cmo responder a esas preguntas usando operaciones de fila sobre la matriz aumentada. EJEMPLO 2 Determine si el siguiente sistema es consistente x1 2x2 C x3 D 0 2x2 8x3 D 8 4x1 C 5x2 C 9x3 D 9 SOLUCIN Este es el sistema del ejemplo 1. Suponga que se han efectuado las operaciones de fila necesarias para obtener la forma triangular x1 2x2 C x3 D 0 x2 4x3 D 4 x3 D 3 2 4 1 2 1 0 0 1 4 4 0 0 1 3 3 5 En este punto, conocemos x3. Si se sustituyera el valor de x3 en la ecuacin 2, entonces se podra calcular x2 y, por lo tanto, se podra obtener x1 de la ecuacin 1. As que existe una solucin; el sistema es consistente. (En efecto, x2 est determinada de manera unvoca por la 25. 8 CAPTULO 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal ecuacin 2 ya que x3 slo tiene un valor posible, y en consecuencia x1 est determinada de forma unvoca por la ecuacin 1. Por lo tanto, la solucin es nica). EJEMPLO 3 Determine si el siguiente sistema es consistente x2 4x3 D 8 2x1 3x2 C 2x3 D 1 5x1 8x2 C 7x3 D 1 (5) SOLUCIN La matriz aumentada es 2 4 0 1 4 8 2 3 2 1 5 8 7 1 3 5 Para obtener una x1 en la primera ecuacin, se intercambian las filas 1 y 2: 2 4 2 3 2 1 0 1 4 8 5 8 7 1 3 5 Para eliminar el trmino 5x1 en la tercera ecuacin, a la fila 3 se suma la fila 1 multiplicada por 52: 2 4 2 3 2 1 0 1 4 8 0 1=2 2 3=2 3 5 (6) Ahora, use el trmino x2 en la segunda ecuacin para eliminar el trmino (12)x2 en la tercera ecuacin. A la fila 3, sume la fila 2 multiplicada por 12: 2 4 2 3 2 1 0 1 4 8 0 0 0 5=2 3 5 (7) Ahora la matriz aumentada est en forma triangular. Para interpretarla correctamente, con- viene regresar a la notacin con ecuaciones: 2x1 3x2 C 2x3 D 1 x2 4x3 D 8 0 D 5=2 (8) La ecuacin 0 52 es una forma abreviada de 0x1 0x2 0x3 52. Este sistema en forma triangular, evidentemente, tiene una contradiccin inherente. No existen valores de x1, x2, x3 que satisfagan la ecuacin (8) porque la ecuacin 0 52 nunca es vlida. Como (5) y (8) tienen el mismo conjunto solucin, entonces el sistema original es inconsistente (es decir, no tiene solucin). Preste atencin a la matriz aumentada en (7). Su ltima fila es caracterstica de un sistema inconsistente en forma triangular. Este sistema es inconsistente porque no existe un punto que pertenezca a los tres planos de manera simultnea. 26. 1.1 Sistemas de ecuaciones lineales 9 PROBLEMAS DE PRCTICA A lo largo del libro, es conveniente resolver los problemas de prctica antes de trabajar los ejercicios. Las soluciones se presentan despus de cada conjunto de ejercicios. 1. Exprese con palabras la siguiente operacin elemental de fila que debe efectuarse en el sistema para resolverlo. [En a) es posible ms de una respuesta]. a) x1 C 4x2 2x3 C 8x4 D 12 x2 7x3 C 2x4 D 4 5x3 x4 D 7 x3 C 3x4 D 5 b) x1 3x2 C 5x3 2x4 D 0 x2 C 8x3 D 4 2x3 D 3 x4 D 1 2. La matriz aumentada de un sistema lineal se transform, mediante operaciones de fila, en la forma que se indica a continuacin. Determine si el sistema es consistente. 2 4 1 5 2 6 0 4 7 2 0 0 5 0 3 5 3. (3, 4, 2) es una solucin para el siguiente sistema? 5x1 x2 C 2x3 D 7 2x1 C 6x2 C 9x3 D 0 7x1 C 5x2 3x3 D 7 4. Para qu valores de h y k es consistente el siguiente sistema? 2x1 x2 D h 6x1 C 3x2 D k En problemas del mundo real, los sistemas de ecuaciones lineales se resuelven en computadora. Para una matriz de coeficientes cuadrada, los programas computacionales casi siempre utilizan el algoritmo de eliminacin presentado aqu y en la seccin 1.2, aunque ligeramente modificado para obtener mayor exactitud. La gran mayora de los problemas de lgebra lineal en los negocios y en la industria se resuelven con programas que emplean aritmtica de punto flotante. Los nmeros se representan como decimales .d1dp 10r , donde r es un entero, y el nmero p de dgitos a la derecha del punto decimal, por lo general, est entre 8 y 16. La aritmtica con dichos nmeros normalmente es inexacta, porque el resultado debe redondearse (o truncarse) al nmero de dgitos almacenados. Se introduce el error de redondeo cuando un nmero como 13 ingresa a la computadora, ya que su representacin decimal debe ser aproximada por una cantidad finita de dgitos. Por fortuna, las inexactitu- des en la aritmtica de punto flotante rara vez causan problemas. Las notas numricas en este libro ocasionalmente le advertirn sobre asuntos que deber considerar ms adelante en su carrera profesional. NOTA NUMRICA 27. 10 CAPTULO 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal En los ejercicios 1 a 4 resuelva cada sistema utilizando operaciones elementales de fila sobre las ecuaciones o sobre la matriz aumentada. Siga el procedimiento de eliminacin sistemtico explicado en esta seccin. 1. x1 C 5x2 D 7 2x1 7x2 D 5 2. 3x1 C 6x2 D 3 5x1 C 7x2 D 10 3. Encuentre el punto (x1, x2) que pertenece tanto a la recta x1 2x2 4 como a la recta x1 x2 1. Observe la figura. 1.1 EJERCICIOS 10. 2 6 6 4 1 3 0 2 7 0 1 0 3 6 0 0 1 0 2 0 0 0 1 2 3 7 7 5 En los ejercicios 11 a 14 resuelva los sistemas. 11. x2 C 5x3 D 4 x1 C 4x2 C 3x3 D 2 2x1 C 7x2 C x3 D 2 12. x1 5x2 C 4x3 D 3 2x1 7x2 C 3x3 D 2 2x1 C x2 C 7x3 D 1 13. x1 3x3 D 8 2x1 C 2x2 C 9x3 D 7 x2 C 5x3 D 2 14. 2x1 6x3 D 8 x2 C 2x3 D 3 3x1 C 6x2 2x3 D 4 En los ejercicios 15 y 16 determine si los sistemas son consistentes. No resuelva por completo dichos sistemas. 15. x1 6x2 D 5 x2 4x3 C x4 D 0 x1 C 6x2 C x3 C 5x4 D 3 x2 C 5x3 C 4x4 D 0 16. 2x1 4x4 D 10 3x2 C 3x3 D 0 x3 C 4x4 D 1 3x1 C 2x2 C 3x3 C x4 D 5 17. Las tres rectas 2x1 3x2 1, 6x1 5x2 0, y 2x1 5x2 7 tienen un punto comn de interseccin? Explique su respuesta. 18. Diga si los tres planos 2x1 4x2 4x3 4, x2 2x3 2, y 2x1 3x2 0 tienen al menos un punto comn de interseccin. Explique su respuesta. En los ejercicios 19 a 22, determine el valor o los valores de h tales que la matriz sea la matriz aumentada de un sistema lineal consistente. 19. 1 h 4 3 6 8 20. 1 h 5 2 8 6 21. 1 4 2 3 h 6 22. 4 12 h 2 6 3 En los ejercicios 23 y 24, se citan enunciados clave de esta seccin, con ligeras modificaciones (pero manteniendo su validez), o se al- teraron de manera que, en algunos casos, son falsos. Marque cada enunciado como verdadero o falso, y justifique su respuesta. (Si el 4. Obtenga el punto de interseccin de las rectas x1 2x2 13 y 3x1 2x2 1. En los ejercicios 5 y 6 considere que cada matriz es la matriz aumentada de un sistema lineal. Exprese con palabras las siguientes dos operaciones elementales de fila que deben realizarse para resolver el sistema. 5. 2 6 6 4 1 4 3 0 7 0 1 4 0 6 0 0 1 0 2 0 0 0 1 5 3 7 7 5 6. 2 6 6 4 1 6 4 0 1 0 2 7 0 4 0 0 1 2 3 0 0 4 1 2 3 7 7 5 En los ejercicios 7 a 10, la matriz aumentada de un sistema lineal se redujo mediante operaciones de fila a la forma indicada. En cada caso, contine con las operaciones adecuadas de fila y describa el conjunto solucin del sistema original. 7. 2 6 6 4 1 7 3 4 0 1 1 3 0 0 0 1 0 0 1 2 3 7 7 5 8. 2 6 6 4 1 5 4 0 0 0 1 0 1 0 0 0 3 0 0 0 0 0 2 0 3 7 7 5 9. 2 6 6 4 1 1 0 0 5 0 1 2 0 7 0 0 1 3 2 0 0 0 1 4 3 7 7 5 x1 x2 = 1 x1 + 2x2 = 4 x2 x1 28. 1.1 Sistemas de ecuaciones lineales 11 enunciado es verdadero, entonces indique la ubicacin aproximada donde se presenta un enunciado similar, o haga referencia a una definicin o un teorema. Si la afirmacin es falsa, indique la ubicacin de un enunciado que se haya citado o empleado incorrectamente, o cite un ejemplo que muestre la falsedad del enunciado en todos los casos). Preguntas similares de falso/verdadero se presentarn en muchas secciones del libro. 23. a) Todas las operaciones elementales de fila son reversibles. b) Una matriz de 5 6 tiene seis filas. c) El conjunto solucin de un sistema lineal que incluye a las variables x1,, xn es una lista de nmeros (s1,, sn) que da validez a cada ecuacin del sistema cuando se sustitu- yen los valores s1,, sn por x1,, xn, respectivamente. d) Las dos preguntas fundamentales acerca de un sistema lineal incluyen existencia y unicidad. 24. a) Dos matrices son equivalentes por filas si tienen el mismo nmero de filas. b) En una matriz aumentada, las operaciones elementales de fila no modifican nunca el conjunto solucin del sistema lineal asociado. c) Dos sistemas lineales equivalentes pueden tener diferentes conjuntos solucin. d) Un sistema consistente de ecuaciones lineales tiene una o ms soluciones. 25. Encuentre una ecuacin que incluya a g, h y k, y que permita que esta matriz aumentada corresponda a un sistema consistente: 2 4 1 4 7 g 0 3 5 h 2 5 9 k 3 5 26. Suponga que el sistema que aparece a continuacin es consistente para todos los posibles valores de f y g. Qu puede decir- se acerca de los coeficientes c y d? Justifique su respuesta. 2x1 4x2 f cx1 dx2 g 27. Suponga que a, b, c y d son constantes tales que a es diferente de cero y el sistema que aparece a continuacin es consistente para todos los posibles valores de f y g. Qu podra decir acerca de los nmeros a, b, c y d? Justifique su respuesta. ax1 bx2 f cx1 dx2 g 28. Construya tres diferentes matrices aumentadas para los sistemas lineales cuyo conjunto solucin es x1 3, x2 2, x3 1. En los ejercicios 29 a 32, encuentre la operacin elemental de fila que transforme a la primera matriz en la segunda, y luego encuentre la operacin de fila inversa que transforme a la segunda matriz en la primera. 29. 2 4 0 2 5 1 3 5 3 1 6 3 5 2 4 3 1 6 1 3 5 0 2 5 3 5 30. 2 4 1 3 4 0 2 6 0 5 10 3 5 2 4 1 3 4 0 2 6 0 1 2 3 5 31. 2 4 1 2 1 0 0 5 2 8 4 1 3 6 3 5 2 4 1 2 1 0 0 5 2 8 0 7 1 6 3 5 32. 2 4 1 2 5 0 0 1 3 2 0 4 12 7 3 5 2 4 1 2 5 0 0 1 3 2 0 0 0 15 3 5 Un importante asunto en el estudio de transferencia de calor es determinar la distribucin de temperatura de estado estable de una placa delgada cuando se conoce la temperatura en los bordes. Suponga que la placa que se ilustra en la figura representa una seccin transversal de una viga de metal, con flujo de calor despreciable en la direccin perpendicular a la placa. Sean T1,, T4 las temperaturas en los cuatro nodos interiores de la malla en la figura. La temperatura en un nodo es aproximadamente igual al promedio de las temperaturas de los cuatro nodos ms cercanos, esto es, a la izquierda, arriba, a la derecha y abajo.3 Por ejemplo, T1 (10 20 T2 T4)4, o 4T1 T2 T4 30 3 Vase Frank M. White, Heat and Mass Transfer (Reading, MA: Addison- Wesley Publishing, 1991), pp. 145-149. SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE PRCTICA 1. a) Para efectuar clculos a mano, la mejor eleccin es intercambiar las ecuaciones 3 y 4. Otra posibilidad es multiplicar la ecuacin 3 por 15. O bien, remplazar la ecuacin 4 por su suma con la fila 3 multiplicada por 15. (En cualquier caso, no utilice x2 en la ecuacin 2 para eliminar 4x2 en la ecuacin 1. Espere hasta que se haya lo- grado una forma triangular y los trminos x3 y x4 se hayan eliminado de las primeras dos ecuaciones). 33. Escriba un sistema de cuatro ecuaciones cuya solucin d estimaciones de las temperaturas T1,, T4. 34. Resuelva el sistema de ecuaciones del ejercicio 33. [Sugerencia: Para conseguir rapidez en el clculo, intercambie las filas 1 y 4 antes de iniciar las operaciones de remplazo]. 10 10 40 40 20 20 30 30 1 2 4 3 29. 12 CAPTULO 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal b) El sistema tiene forma triangular. La simplificacin ulterior inicia con x4 en la cuarta ecuacin. Utilice x4 para eliminar todos los trminos x4 sobre ella. Ahora el paso adecuado es sumar la ecuacin 4, multiplicada por 2, a la ecuacin 1. (Luego, vaya a la ecuacin 3 y multiplquela por 12, y despus utilice la ecuacin para eliminar los trminos x3 sobre ella). 2. El sistema correspondiente a la matriz aumentada es x1 C 5x2 C 2x3 D 6 4x2 7x3 D 2 5x3 D 0 La tercera ecuacin hace x3 0, el cual, desde luego, es un valor permitido para x3. Des- pus de eliminar los trminos x3 en las ecuaciones 1 y 2, se podra continuar para obtener valores nicos de x1 y x2. As que existe una solucin, y es nica. Esta situacin contrasta con la del ejemplo 3. 3. Es fcil comprobar si una lista especfica de nmeros es una solucin. Sean x1 3, x2 4, y x3 2, y encuentre que 5.3/ .4/ C 2. 2/ D 15 4 4 D 7 2.3/ C 6.4/ C 9. 2/ D 6 C 24 18 D 0 7.3/ C 5.4/ 3. 2/ D 21 C 20 C 6 D 5 Aunque las primeras dos ecuaciones se satisfacen, no sucede lo mismo con la tercera, por lo que (3, 4, 2) no es una solucin del sistema. Observe cmo se utilizan los parn- tesis cuando se realizan las sustituciones; su uso es muy recomendable para protegerse contra errores aritmticos. 4. Cuando la segunda ecuacin se remplaza por su suma con la primera ecuacin multiplicada por 3, el sistema se convierte en: 2x1 x2 D h 0 D k C 3h Si k 3h es diferente de cero, el sistema no tiene solucin. El sistema es consistente para cualesquiera valores de h y k que produzcan k 3h 0. 1.2 REDUCCIN POR FILAS Y FORMAS ESCALONADAS En esta seccin se perfecciona el mtodo de la seccin 1.1 para obtener un nuevo algoritmo de reduccin por filas que permitir analizar cualquier sistema de ecuaciones lineales.1 Las preguntas fundamentales de existencia y unicidad planteadas en la seccin 1.1 podrn res- ponderse utilizando la primera parte del algoritmo. El algoritmo es aplicable a cualquier matriz, sin importar si esta se considera o no como la matriz aumentada de un sistema lineal. As, la primera parte de esta seccin se ocupa de una matriz rectangular arbitraria y empieza introduciendo dos importantes clases de matrices, que incluyen a las matrices triangulares de la seccin 1.1. En las definiciones que siguen, una fila o columna distinta de cero (o no nula) de una matriz ser una fila o columna que contenga al menos un elemento diferente de cero; una entrada principal de una fila se refiere a la entrada o el elemento diferente de cero que se encuentra ms a la izquierda (en una fila distinta de cero). 1 El algoritmo es una variante de lo que se conoce comnmente como eliminacin gaussiana. Un mtodo de eliminacin similar para sistemas lineales fue utilizado por matemticos chinos en el ao 250 a. C. El proceso era des- conocido en la cultura occidental hasta el siglo xix, cuando el famoso matemtico alemn, Carl Friedrich Gauss, lo descubri. El ingeniero alemn, Wilhelm Jordan, dio a conocer el algoritmo en un libro sobre geodesia publicado en 1888. Como (3, 4, 2) satisface las dos primeras ecuaciones, est sobre la recta de interseccin de los primeros dos planos. Puesto que (3, 4, 2) no satisface las tres ecuaciones, se concluye que no pertenece a los tres planos. (3, 4, 2) 30. 1.2 Reduccin por las y formas escalonadas 13 Una matriz escalonada (o bien, una matriz escalonada reducida) est en forma de escaln (o en forma escalonada reducida, respectivamente). La propiedad 2 dice que las entradas principales forman un patrn escalonado (esto es, en forma de escalera) que avanza hacia abajo y hacia la derecha de la matriz. La propiedad 3 es una simple consecuencia de la propiedad 2, pero se incluy para darle mayor nfasis. Las matrices triangulares de la seccin 1.1, tales como 2 4 2 3 2 1 0 1 4 8 0 0 0 5=2 3 5 y 2 4 1 0 0 29 0 1 0 16 0 0 1 3 3 5 estn en forma escalonada. De hecho, la segunda matriz est en forma escalonada reducida. A continuacin se presentan ms ejemplos. EJEMPLO 1 Las siguientes matrices estn en forma escalonada. Las entradas principales () pueden tener cualquier valor diferente de cero; las entradas con asterisco (*) pueden tener cualquier valor (incluyendo al cero). 2 6 6 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 7 7 5; 2 6 6 6 6 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 7 7 7 7 5 Las siguientes matrices estn en forma escalonada reducida porque las entradas principales son nmeros 1, y hay ceros abajo y arriba de cada entrada principal 1. 2 6 6 4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 3 7 7 5; 2 6 6 6 6 4 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 7 7 7 7 5 Cualquier matriz distinta de cero puede reducirse por filas (es decir, transformarse mediante operaciones elementales de fila) para producir ms de una matriz en forma escalonada, utilizando diferentes secuencias de operaciones de fila. Sin embargo, la forma escalonada reducida que se obtiene a partir de una matriz es nica. El siguiente teorema se demuestra en el apndice A al final del libro. Una matriz rectangular est en forma escalonada (o forma escalonada por filas) si tiene las siguientes tres propiedades: 1. Todas las diferentes de cero estn arriba de las filas que solo contienen ceros. 2. Cada entrada principal de una fila est en una columna a la derecha de la entrada principal de la fila superior. 3. En una columna todas las entradas debajo de la entrada principal son ceros. Si una matriz de forma escalonada satisface las siguientes condiciones adicionales, entonces est en forma escalonada reducida (o forma escalonada reducida por filas): 4. La entrada principal en cada fila diferente de cero es 1. 5. Cada entrada principal 1 es la nica entrada distinta de cero en su columna. DEFINICIN Unicidad de la forma escalonada reducida Cada matriz es equivalente por filas a una, y solo a una, matriz escalonada reducida. TEOREMA 1 31. 14 CAPTULO 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal Si una matriz A es equivalente por filas a una matriz escalonada U, entonces U se llama una forma escalonada (o una forma escalonada por filas) de A; si U est en forma escalonada reducida, entonces U es la forma escalonada reducida de A. [La mayora de los programas de matrices y de las calculadoras con capacidades para trabajar con matrices emplean la abreviatura RREF (por las siglas de reduced row echelon form) para referirse a la forma escalonada reducida por filas. Algunos utilizan REF (por las siglas de row echelon form) para designar la forma escalonada por filas]. Posiciones pivote Cuando las operaciones de fila sobre una matriz producen una forma escalonada, las operaciones de fila posteriores para obtener la forma escalonada reducida no cambian la posicin de las entradas principales. Como la forma escalonada reducida es nica, entonces las entradas principales siempre estn en las mismas posiciones en cualquier forma escalonada obtenida a partir de una matriz dada. Esas entradas principales corresponden a los nmeros 1 principales de la forma escalonada reducida. Una posicin pivote en una matriz A es una ubicacin en A que corresponde a un 1 principal en la forma escalonada reducida de A. Una columna pivote es una columna de A que contiene una posicin pivote. DE F INICIN En el ejemplo 1, los cuadrados () identifican las posiciones pivote. Muchos conceptos fundamentales en los primeros cuatro captulos estarn relacionados de una u otra manera con las posiciones pivote en una matriz. EJEMPLO 2 Reduzca por filas la matriz A que se muestra a continuacin hasta la forma escalonada, y localice las columnas pivote de A. A D 2 6 6 4 0 3 6 4 9 1 2 1 3 1 2 3 0 3 1 1 4 5 9 7 3 7 7 5 SOLUCIN Utilice la misma estrategia bsica de la seccin 1.1. La entrada superior de la columna diferente de cero ms a la izquierda de la matriz es la primera posicin pivote. En esta posicin debe colocarse una entrada diferente de cero, o pivote. Una buena opcin es intercambiar las filas 1 y 4 (porque los clculos mentales en el siguiente paso no implicarn fracciones). 2 6 6 4 14 5 9 7 1 2 1 3 1 2 3 0 3 1 0 6 3 6 4 9 3 7 7 5 Cree ceros debajo del pivote, 1, sumando mltiplos de la primera fila a las filas inferiores, para as obtener la matriz (1) que se muestra a continuacin. La posicin pivote en la segunda fila debe estar tan a la izquierda como sea posible, es decir, en la segunda columna. Se elige el 2 en esta posicin como el siguiente pivote. 2 6 6 4 1 4 5 9 7 0 24 6 6 0 5 10 15 15 0 3 6 6 4 9 3 7 7 5 (1) Pivote Pivote Columna pivote Siguiente columna pivote 32. 1.2 Reduccin por las y formas escalonadas 15 Sume la fila 2 multiplicada por 52 a la fila 3, y sume la fila 2 multiplicada por 32 a la fila 4. 2 6 6 4 1 4 5 9 7 0 2 4 6 6 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 3 7 7 5 (2) La matriz en (2) es diferente de las que se incluyen en la seccin 1.1. No hay manera de crear una entrada principal en la columna 3! (No podemos emplear las filas 1 o 2 porque, al hacerlo, se destruira el arreglo escalonado de las entradas principales ya obtenidas). Sin embargo, si se intercambian las filas 3 y 4, se puede obtener una entrada principal en la columna 4. 2 6 6 4 1 4 5 9 7 0 2 4 6 6 0 0 0 5 0 0 6 6 6 0 0 0 0 3 7 7 5 2 6 6 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 7 7 5 La matriz est en forma escalonada y as revela que las columnas 1, 2 y 4 de A son columnas pivote. A D 2 6 6 4 0 3 6 4 9 1 2 1 3 1 2 3 0 3 1 1 6 6 6 4 5 9 7 3 7 7 5 (3) Un pivote, como el que se muestra en el ejemplo 2, es un nmero distinto de cero en una posicin pivote que se utiliza conforme se necesite crear ceros mediante operaciones de fila. Los pivotes en el ejemplo 2 fueron 1, 2 y 5. Observe que esos nmeros no son los mismos que los elementos reales de A en las posiciones pivote indicadas en (3). Con el ejemplo 2 como gua, es posible describir un procedimiento eficiente para transformar una matriz en una matriz escalonada o escalonada reducida. El estudio cuidadoso y el dominio de este procedimiento rendirn valiosos frutos en este curso. Algoritmo de reduccin por filas El algoritmo que sigue consta de cuatro pasos y produce una matriz en forma escalonada. Un quinto paso da por resultado una matriz en forma escalonada reducida. Demostraremos este algoritmo con un ejemplo. EJEMPLO 3 Aplique operaciones elementales de fila para transformar la siguiente matriz a la forma escalonada y, luego, a la forma escalonada reducida: 2 4 0 3 6 6 4 5 3 7 8 5 8 9 3 9 12 9 6 15 3 5 SOLUCIN PASO 1 Se inicia con la columna diferente de cero del extremo izquierdo. Esta es una columna pivote. La posicin pivote se ubica en la parte superior. Pivote Columnas pivote Forma general: Posiciones pivote Columnas pivote 33. 16 CAPTULO 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal 2 4 0 3 6 6 4 5 3 7 8 5 8 9 3 6 9 12 9 6 15 3 5 PASO 2 Seleccione como pivote una entrada diferente de cero en la columna pivote. Si es nece- sario, intercambie filas para mover esta entrada a la posicin pivote. PASO 3 Utilice operaciones de remplazo de filas para crear ceros en todas las posiciones ubi- cadas debajo del pivote. PASO 4 Cubra (o ignore) la fila que contiene la posicin pivote y cubra todas las filas, si las hay, por encima de esta. Aplique los pasos 1 a 3 a la submatriz restante. Repita el proceso hasta que no haya filas diferentes de cero por modificar. Intercambie a las filas 1 y 3. (O bien, tambin se podran intercambiar las filas 1 y 2). 2 4 3 9 12 9 6 15 3 7 8 5 8 9 0 3 6 6 4 5 3 5 Como paso preliminar, se podra dividir la fila superior entre el pivote, 3. Pero con dos nmeros 3 en la columna 1, esto es tan fcil como sumar la fila 1 multiplicada por 1 a la fila 2. 2 4 3 9 12 9 6 15 0 2 4 4 2 6 0 3 6 6 4 5 3 5 Con la fila 1 cubierta, el paso 1 muestra que la columna 2 es la prxima columna pivote; para el paso 2, seleccione como pivote la entrada superior en esa columna. 2 4 3 9 12 9 6 15 0 24 4 2 6 0 3 6 6 6 4 5 3 5 En el paso 3, se podra insertar un paso adicional de dividir la fila superior de la submatriz entre el pivote, 2. En vez de ello, se suma la fila superior multiplicada por 32 a la fila de abajo. Esto produce 2 4 3 9 12 9 6 15 0 2 4 4 2 6 0 0 0 0 1 4 3 5 Pivote Pivote Pivote Columna pivote Siguiente columna pivote 34. 1.2 Reduccin por las y formas escalonadas 17 Para el paso 4, cuando se cubre la fila que contiene la segunda posicin pivote, se obtiene una nueva submatriz con una sola fila: 2 4 3 9 12 9 6 15 0 2 4 4 2 6 0 0 0 0 14 3 5 Los pasos 1 a 3 no necesitan aplicarse para esta submatriz, pues ya se ha alcanzado una forma escalonada para la matriz completa. Si se desea la forma escalonada reducida, se efecta un paso ms. PASO 5 Empezando con la posicin pivote del extremo derecho y trabajando hacia arriba y hacia la izquierda, genere ceros arriba de cada pivote. Si un pivote no es 1, convirtalo en 1 mediante una operacin de escalamiento. En el paso 2 que se describi antes, un programa computacional por lo general selec- ciona como pivote a la entrada en una columna que tenga el mayor valor absoluto. Esta estrategia, llamada pivoteo parcial, se utiliza porque reduce los errores de redondeo en los diversos clculos. NOTA NUMRICA El pivote del extremo derecho est en la fila 3. Genere ceros sobre l, sumando mltiplos adecuados de la fila 3 a las filas 1 y 2. 2 4 3 9 12 9 0 9 0 2 4 4 0 14 0 0 0 0 1 4 3 5C . 6/C . 2/ El siguiente pivote se encuentra en la fila 2. Se escala esta fila dividindola entre el pivote. 2 4 3 9 12 9 0 9 0 1 2 2 0 7 0 0 0 0 1 4 3 51 2 Cree un cero en la columna 2 sumando la fila 2 multiplicada por 9 a la fila 1. 2 4 3 0 6 9 0 72 0 1 2 2 0 7 0 0 0 0 1 4 3 5C .9/ Finalmente, escale la fila 1 dividindola entre el pivote, 3. 2 4 1 0 2 3 0 24 0 1 2 2 0 7 0 0 0 0 1 4 3 51 3 Esta es la forma escalonada reducida de la matriz original. La combinacin de los pasos 1 a 4 se conoce como fase progresiva del algoritmo de reduccin por filas. El paso 5, que produce la nica forma escalonada reducida, se conoce como fase regresiva. Pivote Fila 1 (6) fila 3 Fila 2 (2) fila 3 Fila 1 (9) fila 2 Fila escalada por 1 2 Fila escalada por 1 3 35. 18 CAPTULO 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal Soluciones de sistemas lineales El algoritmo de reduccin por filas conduce directamente a una descripcin explcita del conjunto solucin de un sistema lineal cuando se aplica a la matriz aumentada del sistema. Suponga, por ejemplo, que la matriz aumentada de un sistema lineal se transform a la forma escalonada reducida equivalente 2 4 1 0 5 1 0 1 1 4 0 0 0 0 3 5 Existen tres variables porque la matriz aumentada tiene cuatro columnas. El sistema de ecuaciones asociado es x1 5x3 D 1 x2 C x3 D 4 0 D 0 (4) Las variables x1 y x2 correspondientes a las columnas pivote se conocen como variables b- sicas2 . La otra variable, x3, se denomina variable libre. Siempre que un sistema es consistente, como en (4), el conjunto solucin se puede describir explcitamente al despejar en el sistema de ecuaciones reducido las variables bsicas en trminos de las variables libres. Esta operacin es posible porque la forma escalonada reducida coloca a cada variable bsica en una y solo una ecuacin. En (4), despeje x1 de la primera ecuacin y x2 de la segunda. (Ignore la tercera ecuacin, ya que no ofrece restric- ciones sobre las variables). 8 : x1 D 1 C 5x3 x2 D 4 x3 x3 (5) El enunciado x3 es libre significa que existe libertad de elegir cualquier valor para x3. Una vez hecho esto, las frmulas en (5) determinan los valores de x1 y x2. Por ejemplo, cuando x3 0, la solucin es (1, 4, 0); cuando x3 1, la solucin es (6, 3, 1). Cada asignacin diferente de x3 determina una solucin (distinta) del sistema, y cada solucin del sistema est determinada por una asignacin de x3. EJEMPLO 4 Encuentre la solucin general del sistema lineal cuya matriz aumentada se redujo a 2 4 1 6 2 5 2 4 0 0 2 8 1 3 0 0 0 0 1 7 3 5 SOLUCIN La matriz est en forma escalonada, pero se desea la forma escalonada reducida antes de despejar las variables. El siguiente paso es completar la reduccin por filas. El smbolo antes de una matriz indica que esta es equivalente por filas a la matriz anterior. 2 4 1 6 2 5 2 4 0 0 2 8 1 3 0 0 0 0 1 7 3 5 2 4 1 6 2 5 0 10 0 0 2 8 0 10 0 0 0 0 1 7 3 5 2 4 1 6 2 5 0 10 0 0 1 4 0 5 0 0 0 0 1 7 3 5 2 4 1 6 0 3 0 0 0 0 1 4 0 5 0 0 0 0 1 7 3 5 2 Algunos libros utilizan el trmino variables principales, ya que corresponden a las columnas que contienen entradas principales. es libre 36. 1.2 Reduccin por las y formas escalonadas 19 Existen cinco variables porque la matriz aumentada tiene seis columnas. Ahora el sistema asociado es x1 C 6x2 C 3x4 D 0 x3 4x4 D 5 x5 D 7 (6) Las columnas pivote de la matriz son 1, 3 y 5, as que las variables bsicas son x1, x3 y x5. Las variables restantes, x2 y x4, deben ser libres. Se despejan las variables bsicas para obtener la solucin general: 8 : x1 D 6x2 3x4 x2 x3 D 5 C 4x4 x4 x5 D 7 (7) Observe que el valor de x5 ya estaba establecido por la tercera ecuacin del sistema (6). Descripciones paramtricas de conjuntos solucin Las descripciones en (5) y (7) son descripciones paramtricas de conjuntos solucin en los cuales las variables libres actan como parmetros. Resolver un sistema significa encontrar una descripcin paramtrica del conjunto solucin o determinar que el conjunto solucin est vaco. Siempre que un sistema sea consistente y tenga variables libres, el conjunto solucin tendr muchas descripciones paramtricas. Por ejemplo, en el sistema (4), se puede sumar la ecuacin 2 multiplicada por 5 a la ecuacin 1 para obtener el sistema equivalente x1 C 5x2 D 21 x2 C x3 D 4 Se podra tratar a x2 como un parmetro y despejar x1 y x3 en trminos de x2, y se tendra una descripcin exacta del conjunto solucin. Sin embargo, para ser consistentes, se establece la convencin (arbitraria) de utilizar siempre las variables libres como parmetros para describir un conjunto solucin. (La seccin de respuestas al final del libro tambin refleja esta convencin). Cuando un sistema es inconsistente, el conjunto solucin es un conjunto vaco, aun cuando el sistema tenga variables libres. En este caso, el conjunto solucin no tiene representacin paramtrica. Sustitucin regresiva Considere el siguiente sistema, cuya matriz aumentada est en forma escalonada, pero no en forma escalonada reducida: x1 7x2 C 2x3 5x4 C 8x5 D 10 x2 3x3 C 3x4 C x5 D 5 x4 x5 D 4 Un programa computacional resolvera este sistema mediante sustitucin regresiva, en vez de calcular la forma escalonada reducida. Es decir, el programa despejara x4 de la ecuacin 3 en trminos de x5, y sustituira la expresin para x4 en la ecuacin 2; luego, despejara x2 de esta ltima, sustituira las expresiones para x2 y x4 en la ecuacin 1 y despejara x1. Nuestro formato matricial para la fase regresiva de reduccin por filas, el cual produce la forma escalonada reducida, tiene el mismo nmero de operaciones aritmticas que la sustitucin regresiva. Pero la disciplina del formato matricial reduce de forma sustancial los errores es libre es libre 37. 20 CAPTULO 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal posibles en los clculos a mano. La mejor estrategia es utilizar solamente la forma escalonada reducida para resolver un sistema! La Gua de estudio que acompaa a este libro ofrece varias sugerencias tiles para efectuar operaciones de fila de manera exacta y rpida. Preguntas de existencia y unicidad Aunque una forma escalonada no reducida es una herramienta poco eficiente para resolver un sistema, esta forma es justamente el medio correcto para responder las dos preguntas fundamentales planteadas en la seccin 1.1. EJEMPLO 5 Determine la existencia y unicidad de las soluciones del sistema 3x2 6x3 C 6x4 C 4x5 D 5 3x1 7x2 C 8x3 5x4 C 8x5 D 9 3x1 9x2 C 12x3 9x4 C 6x5 D 15 SOLUCIN La matriz aumentada de este sistema se redujo por filas en el ejemplo 3 a: 2 4 3 9 12 9 6 15 0 2 4 4 2 6 0 0 0 0 1 4 3 5 (8) Las variables bsicas son x1, x2 y x5; las variables libres son x3 y x4. No existe ninguna ecuacin del tipo 0 1 que indique la inconsistencia del sistema, as que se podra emplear sustitucin regresiva para encontrar una solucin. Pero en (8) ya es evidente la existencia de una solucin. Adems, la solucin no es nica porque hay variables libres. Cada diferente asignacin de x3 y x4 determina una solucin distinta. Por lo tanto, el sistema tiene un n- mero infinito de soluciones. Cuando un sistema est en forma escalonada y no contiene ecuaciones del tipo 0 b, con b diferente de cero, entonces cada ecuacin no nula tiene una variable bsica con un coeficiente distinto de cero. Es posible que las variables bsicas estn completamente de- terminadas (sin variables libres) o que al menos una de las variables bsicas pueda expresarse en trminos de una o ms variables libres. En el primer caso, existe una solucin nica; en el ltimo caso, hay infinidad de soluciones (una para cada asignacin de valores a las variables libres). En general, la fase progresiva de reduccin por filas es ms larga que la fase regresiva. Por lo regular, un algoritmo para resolver un sistema se mide en flops (u operaciones de punto flotante). Un flop es una operacin aritmtica (, , *, ) que se realiza sobre dos nmeros reales de punto flotante.3 Para una matriz de n (n 1), la reduccin a la forma escalonada puede requerir 2n3 3 n2 2 7n6 flops (que es aproximadamente 2n3 3 flops cuando n es moderadamente grande, por ejemplo, n 30). En contraste, una reduccin adicional a la forma escalonada reducida nece- sita, a lo sumo, n2 flops. NOTA NUMRICA 3 Tradicionalmente, un flop era solo una multiplicacin o divisin, ya que la suma y la resta tomaban mucho menos tiempo y podan ignorarse. Ahora se prefiere la definicin de flop que aqu se presenta, debido a los avances en la arquitectura computacional. Vase Golub y Van Loan, Matrix Computations, 2a. ed. (Baltimore: The Johns Hopkins Press, 1989), pp. 19-20. 38. 1.2 Reduccin por las y formas escalonadas 21 El siguiente procedimiento indica cmo encontrar y describir todas las soluciones de un sistema lineal. USO DE LA REDUCCIN POR FILAS PARA RESOLVER UN SISTEMA LINEAL 1. Escriba la matriz aumentada del sistema. 2. Emplee el algoritmo de reduccin por filas para obtener una matriz aumentada equivalente en forma escalonada. Determine si el sistema es consistente o no. Si no existe solucin, detngase; en caso contrario, contine con el siguiente paso. 3. Prosiga con la reduccin por filas para obtener la forma escalonada reducida. 4. Escriba el sistema de ecuaciones correspondiente a la matriz obtenida en el paso 3. 5. Rescriba cada ecuacin no nula del paso 4 de manera que su nica variable bsica se exprese en trminos de cualquiera de las variables libres que aparecen en la ecuacin. Teorema de existencia y unicidad Un sistema lineal es consistente si y solo si la columna ms a la derecha de la matriz aumentada no es una columna pivote, es decir, si y solo si una forma escalonada de la matriz aumentada no tiene filas del tipo [0 0 b] con b diferente de cero Si un sistema lineal es consistente, entonces el conjunto solucin contiene: i. una nica solucin, cuando no existen variables libres, o ii. una infinidad de soluciones, cuando hay al menos una variable libre. TEOREMA 2 PROBLEMAS DE PRCTICA 1. Encuentre la solucin general del sistema lineal cuya matriz aumentada es 1 3 5 0 0 1 1 3 2. Obtenga la solucin general del sistema x1 2x2 x3 C 3x4 D 0 2x1 C 4x2 C 5x3 5x4 D 3 3x1 6x2 6x3 C 8x4 D 2 1.2 EJERCICIOS En los ejercicios 1 y 2, determine cules matrices estn en forma escalonada reducida y cules se encuentran solo en forma escalonada. 1. a) 2 4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 3 5 b) 2 4 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 3 5 c) 2 6 6 4 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 7 7 5 d) 2 6 6 4 1 1 0 1 1 0 2 0 2 2 0 0 0 3 3 0 0 0 0 4 3 7 7 5 Esas observaciones justifican el siguiente teorema. 39. 22 CAPTULO 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal 2. a) 2 4 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 3 5 b) 2 4 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 1 3 5 c) 2 6 6 4 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 3 7 7 5 d) 2 6 6 4 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 3 7 7 5 En los ejercicios 3 y 4 aplique la reduccin por filas a las matrices para llevarlas a la forma escalonada reducida. En las matrices original y final encierre en un crculo las posiciones pivote, e indique las columnas pivote. 3. 2 4 1 2 4 8 2 4 6 8 3 6 9 12 3 5 4. 2 4 1 2 4 5 2 4 5 4 4 5 4 2 3 5 5. Describa las posibles formas escalonadas de una matriz de 2 2 diferente de cero. Utilice los smbolos , * y 0, como en la primera parte del ejemplo 1. 6. Repita el ejercicio 5 para una matriz de 3 2 diferente de cero. Encuentre las soluciones generales de los sistemas cuyas matrices aumentadas se presentan en los ejercicios 7 a 14. 7. 1 3 4 7 3 9 7 6 8. 1 3 0 5 3 7 0 9 9. 0 1 2 3 1 3 4 6 10. 1 2 1 4 2 4 5 6

Algebra lineal y sus aplicaciones

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