Algebra Lineal U5

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    signatura Algebra Lineal

    Unidad: 5

    Trabajo:  Investigación

    Tema:  Transformaciones Lineales 

    Docente:  M.G.T.I Erick Alberto Cupul Burgos 

    Alumnos:  José Ignacio Chí Chuc 

    José Artemio Couoh Pech

    Fausto Oliverio Noh Dzul

    Carrera:    Ingeniería Civil

    Grado y grupo:  2º Semestre “B” 

    Fecha:  Viernes 12 De Junio del 2015

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    5.1 INTRODUCCIÓN A LAS TRANSFORMACIONES LINEALES

    Las transformaciones lineales son las funciones y tratan sobre K-espacios

    vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir, con la operación y la acción) de estos espacios. Aquí se presentan las

    funciones entre espacios vectoriales que preservan las cualidades de los

    espacios vectoriales. Es decir, de funciones que preservan la suma y la

    multiplicación por escalares.

    Nosotros usaremos el concepto de la función para darle un tratamiento a los

    sistemas de ecuaciones lineales. La restricción que haremos sera sobre el tipo de

    funciones: solo estaremos interesados en funciones que preserven las operaciones

    en el espacio vectorial. Este tipo de funciones serán llamadas funciones lineales.

    Primeramente las definiremos, veremos algunas propiedades generales y después

    veremos cómo se aplican estos resultados a sistemas de ecuaciones.

    Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales.

    Una transformación lineal o mapeo lineal de V a W es una función

    T: V → W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c:  a) T (u + v) = T (u) + T (v)

    b) T (c u) = c T (u) 

    Demuestre que la transformación T: R2 →R2 definida por  

    es lineal.

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    Teniendo en cuenta que las transformaciones lineales son funciones entre

    conjuntos, tiene sentido estudiar la validez de las propiedades usuales de funciones:

    inyectividad, suryectividad y biyectividad.

    Las transformaciones lineales que verifican alguna de estas propiedades reciben

    nombres particulares: 

    Definición 3.6 Sean V y W dos K-espacios vectoriales, y sea f: V → W una

    transformación lineal. Se dice que: 

      f es un monomorfismo si f es inyectiva. 

      f es un epimorfismo si f es suryectiva. 

      f es un isomorfismo si f es biyectiva.

    En algunos casos, consideraremos transformaciones lineales de un K-espacio

    vectorial en s ́ı mismo: 

    Sea V un K-espacio vectorial. Una transformación lineal f: V → V se llama un endomorfismo de V. Si f es un endomorfismo que es además un isomorfismo,

    entonces se dice que es un automorfismo. 

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    En términos generales, una transformación es una función que permite transformar

    un vector que pertenece a un espacio vectorial (dominio) en otro vector que

    pertenece a otro espacio vectorial (codominio). Por esta razón, dicha función es una

    función vectorial de variable vectorial, es decir, depende de vectores, y es del tipo

    w fv = ( ).

    Una transformación se representa como T: V→W, donde V es el “dominio” y W el

    “codominio” de la transformación T. 

    Una aplicación T: R n → R m es llamada transformación lineal si preserva la

    estructura lineal (suma y producto por escalar): 1 Si ~x, ~y ∈ R n, entonces T (~x +

    ~y) = T (~x) + T (~y). 2 Si ~x ∈ R n y α ∈ R, entonces T (α~x) = αT (~x).

    Como consecuencia de esta definición es fácil observar que una transformación

    lineal toma combinaciones lineales α1~x1 + α2~x2 + · · · +αk~xk de vectores en R

    n y las lleva a transformaciones lineales de vectores en R m: T (α1~x1 + α2~x2 + ·

    · · + αk~xk) = α1T (~x1) + α2T (~x2) + · · · + αkT (~xk).

    En particular, por ejemplo, podemos probar que la imagen del cero ~0 ∈ R n bajo

    una transformación lineal debe ser el cero ~0 ∈ R m: T (~0) = T (~x + (−~x)) = T (~x)

    − T (~x) = ~0.

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    1). Si V1 = (1,-1), V2 = (2,-1), V3= (-3,2) y W1= (1,0), W2= (0,-1), W3= (1,1). ¿Existe

    una transformación lineal T: R2à R, tal que T (vi) = Wi para i = 1, 2,3?

    Solución: Si { v1, v2 , v3 }es base de R 2 , entonces existe una única transformación

    lineal T: R2 à R Pero: (-3,2) = -(1,-1)  – ( 2,-1) Þ { v1, v2 , v3 } no es linealmente Independiente Þ { v1, v2 , v3 }no es base de R 2 Þ no existe tal transformación lineal

    2). Sea T: R3 à R3 , transformación lineal , tal que : T (1,1,1) = (1,0,2) ; T ( 1,0,1) =

    ( 0,1,1) ; T ( 0,1,1) = ( 1,0,1) Encontrar T (x,y,z) Solución: Por demostrar que el

    conjunto {(1,1,1), (1,0,1),(0,1,1)} es base de R 3 Sea a.b.c Î R, tal que . a(1,1,1) +

    b(1,0,1) + c(0,1,1) = (0,0,0) a + b = 0 a + c = 0 Þ a = b = c = 0 a + b + c = 0 Luego

    {(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)} es linealmente Independiente Sea (x,y,z) Î R 3 , entonces

    existen escalares a,b,c Î R tal que: a(1,1,1) + b( 1,0,1) + c(0,1,1) =(x,y,z) a + b = x a

    + c = y Þ a = x + y - z ; b = z - y ; c = z - x a + b + c = z

    Ejemplos:

    1.

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    2.

    5.2 NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

    En esta sección se desarrollan algunas propiedades básicas de las

    transformaciones lineales.

    Teorema 1. Sea T: V W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores

    u, v, v1, v2,….vn en V y todos los escalares

    Nota en la parte i el 0 de la izquierda es el vector cero en v; mientras que el cero

    de la derecha es el vector cero en W.

    i. T (0) = T (0 + 0)= T (0) + T (0). Así 0= T (0)  – T (0) = T (0) + t (0) – T (0) = T (0)

    ii.T (u-v) = T [u + (-1) v] = Tu + T [(-1) v] = Tu + (-1) Tv = Tu  – Tv.

    iii.Esta parte se prueba por inducción (vea el apéndice 1). Para n = 2 se tiene T

    (α1v1 + α2v2) = T (α1v1) + T (α2v2) = α1Tv1 + α2Tv2. Así, la ecuación (1) se cumple

    para n = 2. Se supone que se cumple para n = k y se prueba para n=k + 1: T (α1v1 +

    α2v2+….+ αkvk+αk+1vk-1) = T (α1v1 + α2v2+….+αkvk) + T (αk+1vk+1), y usando

    la ecuación en la parte iii para n= k, esto es igual a (α1Tv1 + α2Tv2+….αkTvk) +

    αk+1Tvk+1, que es lo que se quería demostrar. Esto completa la prueba. 

    http://2.bp.blogspot.com/-os0Ups43mzw/T9f3RWiwcOI/AAAAAAAAAfk/3d7muFRHPF4/s1600/Imagen1.jpg

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    Observación. Los incisos i) y ii) del teorema 1 son casos especiales del inciso

    iii). Un dato importante sobre las transformaciones lineales es que están

    completamente determinadas por el efecto sobre los vectores de la base.

    Teorema 2  Sea v un espacio vectorial de dimensión finita con base B= {v1,

    v2,….vn}. Sean w1, w2,….en vectores en W. Suponga que T1y T2 son dos

    transformaciones lineales de V en W tales que T1vi = T2vi = wi para i = 1, 2,…, n.

    Entonces para cualquier vector v ϵ v, T 1v = T2v; es decir T1 = T2.

    Como B es una base para V, existe un conjunto único de escalares α1, α2,…., αn.

    Tales que v = α1v1 + α2v2 +…+ αn vn.

    Entonces, del inciso iii) del teorema 1, T1v = T1 (α1  v1 + α2v2  +…+ αnvn)

    = α1T2v1 + α2T2v2 +… + αnTnvn= α1w1 + α2w2 +…+ αnTnvn 

    De manera similar T2v = T2 (α1v1 + α2v2 +…+ αnvn)  = α1T2v1 + α2T2v2 +…+ αnTnvn  =

    α1w1 + α2w2 +…+ αnvn 

    Por lo tanto, T1v =T2v.

    El teorema 2  indica que si T: v W y V tiene dimensión finita, entonces sólo es necesario conocer el efecto que tiene T sobre los vectores de la base en V. Esto es,

    si se conoce la imagen de cada vector básico, se puede determinar la imagen de

    cualquier vector en V. Esto determina T por completo. Para ver esto, sean v1,

    v2,….vn una base en V y sea v otro vector en V. Entonces, igual que en l aprueba

    del teorema 2, Tv = α1Tv1 + α2Tv2 +…+ αnTvn 

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     Así, se puede calcular Tv para cualquier vector vϵ V si se conocen Tv1, Tv2,….Tvn 

    Ejemplo 1 Si se conoce el efecto de una transformación lineal sobre los vectores

    de la base, se conoce el efecto sobre cualquier otro vector.

    Sea T una transformación lineal de R3 en R2 y suponga que

    Solución. Se tiene

    Entonces

    Surge otra pregunta; si w1, w2,…., wn son n vectores en W, ¿existe una

    transformación lineal T tal que Tv1 = w1 para i = 1,2,…, n? La respuesta es sí. Como

    lo muestra el siguiente teorema.

    http://1.bp.blogspot.com/-y8gx2t0cwXk/T9f5Ecy2e9I/AAAAAAAAAf8/a9ooIVssInw/s1600/Imagen4.jpg http://3.bp.blogspot.com/-tYayZUI-_9U/T9f45j5VY5I/AAAAAAAAAf0/mecOYSDjMA0/s1600/Imagen3.jpg http://3.bp.blogspot.com/-KzGbaBU7gzs/T9f4qzKKuoI/AAAAAAAAAfs/Yx620-vIN-s/s1600/Imagen2.jpg