INSTITUTO TECNOLOGICO DE TUXTLA GUTIERREZ

INGENIERIA BIOQUIMICA

2° SEMESTRE

ALGEBRA LINEAL

TIPOS DE MATRICES CUADRADAS

ALUMNO:

AGUSTIN LOPEZ SANTIZ

CATEDRATICO:

M. C. SALVADOR HERNANDEZ GARDUZA

TUXTLA GUTIERREZ, CHIAPAS; A 04 DE MARZO DEL 2015

INTRODUCCION

Matriz cuadrada es todo aquello que tiene igual n número de filas y n número de

columnas (n=m), se considera que la matriz es de orden n.

Matriz A= (−3 1 22 2 31 3 2

)

Es cuadrada de 3.

Observamos que todas las matrices cuadradas de orden de n.mn

Los elementos esénciales de la diagonal son aquellos que van de la esquina

superior izquierda a la esquina inferior derecha, quedando la diagonal de matriz

A=(aij). Conformada por los elementos de a11, a22,…ann. del ejemplo anterior

compuesta por:

a11=-3, a22=2, a33=2

DESARROLLO

Se le denomina matriz cuadrada toda A si tiene el mismo número de filas que de columnas. Ejemplos

Puede ser una matriz con valores A € M 3x3(R)

A=(4 7 81 −4 122 −3 2

)

Una matriz con subíndices (Genérica) B € M3x3(R)

B= [𝑏11 𝑏12 𝑏13𝑏21 𝑏22 𝑏23𝑏31 𝑏32 𝑏33

]

Puede ser de otro tamaño e incluso con variables C € M4x4 (R)

C= [

7 6 6 −58 (3 ∗ 𝑤) 3 −1−1 6 (𝑤 + 8) 8−3 (6 − 𝑤) 0 −6

]

Se llama diagonal principal de una matriz A a la diagonal formada por los elementos aii. Se llama diagonal secundaria a la diagonal del cuadrado que no es la principal, tiene por extremos los elementos a1,n y an,1, como características, todos los elementos tienen la particularidad que sus subíndices suman (n+1), por ejemplo a8,n-7, donde 8 + (n - 7 ) = n + 1.

Capitulo 1 propiedad de matrices

MATRIZ CUADRADA TRIANGULO SUPERIOR

En algebra lineal es una matriz cuyos elementos por encima o por debajo de su

diagonal son cero. Debido a que los sistemas de ecuaciones lineales con matrices

triangulares son muy fáciles de resolver, la matrices triangulares son usados para

análisis numérico para la solución se sistema de ecuaciones lineales, calcula

inversa y determinantes de matrices.

El método de descomposición LU permite descomponer matriz invertible como

producto de una matriz inferior L, y una superior U.

Matriz cuadrada de orden n so denomina triangular superior si es de esta manera:

U=

(

𝑢11 𝑢12 𝑢13 . 𝑢1𝑛0 𝑢22 𝑢23 . 𝑢2𝑛0 0 𝑢33 . 𝑢3𝑛. . . . 𝑢4𝑛0 0 0 . 𝑢𝑛𝑛)

Análogamente de la forma

L=

(

𝑙11 0 0 . 0𝑙21 𝑙22 0 . 0𝑙31 𝑙32 𝑙33 . 0𝑙41 𝑙42 𝑙43 . .. . . . .𝑙𝑛1 𝑙𝑛2 . . 𝑙𝑛𝑛)

EJEMPLO

(2 3 40 7 30 0 8

)

Matriz triangular superior

(3 0 07 4 05 5 9

)

Matriz triangular interior

MATRIZ CUADRADA DIAGONAL

Se considera algebraicamente las entradas son todas nulas salvo en la diagonal principal, y éstas pueden ser nulas o no. Así, la matriz D = (dij) es diagonal si:

di,j= 0 si i ≠ j

Ejemplo:

[3 00 5

]

Toda aquella matriz diagonal es también una matriz simétrica, triangular (superior e inferior) y (si las entradas provienen del cuerpo R o C) normal.

Usos de la matriz diagonal

Las matrices diagonales tienen lugar en muchas áreas del álgebra lineal. Debido a la sencillez de las operaciones con matrices diagonales y el cálculo de su determinante y de sus valores y vectores propios, siempre es deseable representar una matriz dada o transformación lineal como una matriz diagonal.

De hecho, una matriz dada de nxn es similar a una matriz diagonal si y sólo si tiene n auto vectores linealmente independientes. Tales matrices se dicen diagonalizables.

En el cuerpo de los números reales o complejos existen más propiedades: toda matriz normal es similar a una matriz diagonal (véase teorema espectral) y toda matriz es equivalente a una matriz diagonal con entradas no negativas.

MATRICES CUADRADAS (ESCALAR)

Matriz escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal

son iguales.

(3 0 00 3 00 0 3

)

Con el termino escalar nos referiremos a un número real.

MATRIZ CUADRADA DE IDENTIDAD

Como el producto de matrices sólo tiene sentido si sus dimensiones son compatibles, existen infinitas matrices identidad dependiendo de las dimensiones. In la matriz identidad de tamaño n, se define como la matriz diagonal que tiene valor 1 en cada una de las entradas de la diagonal principal, y 0 en el resto.

I1=(1), I2=(1 00 1

), I3=(1 0 00 1 00 0 1

), …, In=

(

1 0 . . . 00 1 . . . 0. . . .. . . .. . . .0 0 . . . 1)

Empleando la notación que a veces se usa para describir concisamente las matrices diagonales, resulta:

In=diag(1,1,…, 1)

Si el tamaño es inmaterial, o se puede deducir de forma trivial por el contexto, entonces se escribe simplemente como .

POTENCIA

potencias enteras no negativas de una matriz cuadrada Sea A 2Mn(F) una matriz cuadrada. Las potencias de A se definen de manera recursiva: 8p 2 f0; 1; 2; : : :g Ap+1 := ApA; con la condicion inicial A0 := In. Ejemplo. Si A es una matriz cuadrada, entonces

A𝐴4 = 𝐴3 𝐴 = (𝐴2 𝐴)𝐴 = (𝐴 𝐴)𝐴)𝐴 = ((𝐴 𝐴)𝐴)𝐴.

La multiplicación de matrices cumple con la definición: 𝐴4 = 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴

Ejemplo calcular 𝐴2

A= (2 3−2 4

)= 𝐴2 = A.A= (2 3−2 4

) (2 3−2 4

)=

(2𝑥2 + 3𝑥 − 2 2𝑥3 + 3𝑥4−2𝑥2 + 4𝑥 − 2 −2𝑥3 + −2𝑥4

)=(4 − 6 6 + 12−4 − 8 −6 − 8

)=(−2 18−12 −14

)

PERIODICA

Una matriz es periódica si existe algún p tal que Ap= A si p=2 la matriz se llama indempotente.

NILPOTENTE

Si A es una matriz cuadrada y 0=kA para algún número natural, k se dice que A es nilpotente, si k es tal que 01.-kA y 0=kA, se dice que A es nilpotente de orden k A.

IDEMPOTENTE

Una matriz idempotente1 es una matriz la cual es igual a su cuadrado, es decir:

A es idempotente si A × A = A.

Si representamos el producto A A por 𝐴2, entonces A es idempotente sólo si: 𝐴2 =𝐴

En general, la idempotencia hace referencia a una operación que, si se repite, produce el mismo resultado que si se llevara a cabo una sola vez. En el caso de la

matriz idempotente se cumple que: 𝐴𝑛 = 𝐴2 = 𝐴, lo que es válido, para cualquier valor natural de n (valor entero, no negativo, ni nulo). La ecuación anterior muestra que realizar el producto un número finito de veces produce el mismo resultado que realizarlo una sola vez. Un caso particular de matriz idempotente es una matriz de proyección.

INVOLUTIVA

Una matriz involutiva es una matriz cuadrada (tiene igual número de filas que de columnas) que es su propia inversa. Es decir, la multiplicación por la matriz A es una involución si y sólo si A² = I. Esto es simplemente una consecuencia del hecho de que cualquier matriz no singular multiplicada por su inversa es la identidad.

I= (1 0 00 1 00 0 1

); 𝐼−1 = (1 0 00 1 00 0 1

)

R=(1 0 00 0 10 1 0

); 𝑅−1 = (1 0 00 0 10 1 0

)

S=(1 0 00 −1 00 0 −1

); 𝑆−1 = (1 0 00 −1 00 0 −1

)

SIMETRIA

Uno de los teoremas básicos que concierne este tipo de matrices es el teorema espectral de dimensión finita, que dice que toda matriz simétrica cuyos elementos sean reales es diagonalizable. En particular, es semejante a una matriz ortogonal.

Una matriz es simétrica si es una matriz cuadrada, la cual tiene la característica de ser igual a su traspuesta.

Una matriz de elementos:

A=

(

𝑎11 𝑎12 𝑎13 . 𝑎1𝑚𝑎21 𝑢22 𝑎23 . 𝑎2𝑚𝑎31 𝑎32 𝑎33 . 𝑎3𝑚. . . . .𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛3 . 𝑎𝑛𝑚)

es simétrica, si es una matriz cuadrada (m = n) y aij=aji para todo i, j con i, j =1,2,3,4,...,n. Nótese que la simetría es respecto a la diagonal principal.

Ejemplo para n = 3:

(−8 −1 3−1 7 43 4 9

)

A es también la matriz traspuesta de sí misma:𝐴𝑡 = 𝐴. Esta última igualdad es una definición alternativa de matriz simétrica. Las matrices simétricas son un caso particular de las matrices herméticas.

ANTISIMETRICA

Una matriz antisimétrica es una matriz cuadrada A cuya traspuesta es igual a su negativa, es decir vale la relación AT = -A. Una matriz de m × n elementos (m = filas, n = columnas):

A=

(

𝑎11 𝑎12 𝑎13 . 𝑎1𝑛𝑎21 𝑢22 𝑎23 . 𝑎2𝑛𝑎31 𝑎32 𝑎33 . 𝑎3𝑛. . . . .

𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 . 𝑎𝑚𝑛)

ejemplo

La matriz es antisimétrica, ya que

A= (0 −2 32 0 4−4 −2 0

) A= (0 −2 −3−2 0 −44 2 0

)

Capítulo 2 matrices con coeficientes complejos

MATRICES COMPLEJOS

Sea A matriz compleja cuadrada, entonces es una matriz normal si y sólo si

Donde A* es la matriz traspuesta conjugada de A (también llamado hermitiano)

Esta matriz de orden 2 es normal.

(−𝑖 −𝑖−𝑖 𝑖

)

debido a que

(−𝑖 −𝑖−𝑖 𝑖

) (−𝑖 −𝑖−𝑖 𝑖

)= (−𝑖 −𝑖−𝑖 𝑖

) (𝑖 𝑖𝑖 −𝑖

)=

(2 00 2

)= (𝑖 𝑖𝑖 −𝑖

) (−𝑖 −𝑖−𝑖 𝑖

)= (−𝑖 −𝑖−𝑖 𝑖

)* (−𝑖 −𝑖−𝑖 𝑖

)

CONJUGADO

Una Matriz conjugada es el resultado de la sustitución de los elementos de

una matriz A por sus conjugadas. Es decir, la parte imaginaria de los

elementos de la matriz cambian su signo.

A= A= (2 + i 3 −1 + 4i4 − i 5 −2 + 2i1 3 + i 1 − 3i

), A−= (

2 − i 3 −1 − 4i4 + i 5 −2 + 2i1 3 + i 1 − 3i

)

HERMITIANA

Una matriz Hermitiana (o Hermítica) es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada. Es decir, el elemento en la i-ésima fila y j-ésima columna es igual al conjugado del elemento en la j-ésima fila e i-ésima columna, para todos los índices i y j:

Ai,j= 𝑎𝑗,𝑖____

o, escrita con la traspuesta conjugada A*:

A=A*

Por ejemplo,

A= [3 2 + 𝑖

2 − 𝑖 1]

es una matriz hermítica.

ANTIHERMITIANA

En álgebra lineal, una Matriz antihermitiana es una matriz cuadrada cuya traspuesta conjugada es menos la matriz. Esto es si satisface a la relación:

A*=-A

o en su forma componente, si (A=ai,j):

ai,j=-−𝑎𝑗,𝑖_____

Para todas las i y las j.

Ejemplo

Por ejemplo, la siguiente matriz es una matriz antihermitiana:

(𝑖 2 + 𝑖

−2 + 𝑖 3𝑖)

MATRIZ ORTOGONAL

Una matriz ortogonal es una matriz cuadrada cuya matriz inversa coincide con su matriz traspuesta. El conjunto de matrices ortogonales constituyen una representación lineal del grupo ortogonal O(n,R).

Geométricamente las matrices ortogonales representan transformaciones isométricas en espacios vectoriales reales (o más exactamente espacios de Hilbert reales) llamadas justamente, transformaciones ortogonales. Estas transformaciones son isomorfismos internos del espacio vectorial en cuestión.

Supongamos que la matriz de números reales

M= (𝑎 𝑏𝑐 𝑑

)

es ortogonal y su determinante es +1 ó -1.

(𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) (𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) = = (1 00 1

)

Por lo que: 𝑎2 + 𝑏2 = 1, 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 = 0, 𝑐2 + 𝑑2 = 1

CONCLUSION

(Matrices cuadradas) A las matrices de nxn les llamamos cuadradas. En una matriz cuadrada a los elementos aij los llamaremos elementos en la diagonal o elementos diagonales. Si una matriz cuadrada todos los elementos no diagonales son cero entonces diremos que la matriz es diagonal. Una matriz cuadrada se dice que es triangular si todos los elementos debajo o arriba de la diagonal son cero. La matriz cuadrada es la más importante que los otros tipos de matrices, ya que cuento con muchas propiedades y aplicaciones en diversas áreas, es una gran herramienta en la vida cotidiana de ingenieros, contadores, físicos, y entre otros.

Bibliografías Introducción al algebra lineal; estructuras numéricas; polinomios y ecuaciones. Humberto cárdenas. Segunda edición; México: trillas, 1990 Zegarra, Luis A. , Algebra lineal.-- Chile : McGraw-Hill, 2001 Aguilar, Kubli Eduardo, “Asertividad”, 1994 Árbol Editorial, S.A. Poole, David , Álgebra lineal.-- 2a. ed. -- México : Thomson, 2007.