Algebra Lineal ACT 6 TRACOL 2
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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERÍA TRABAJO COLABORATIVO 2
100408-ALGEBRA LINEAL
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERÍA
TRABAJO COLABORATIVO 2100408-ALGEBRA LINEAL
GRUPO 172
TUTOR: DELFINA REYES
Bogotá D.C. Abril de 2014
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERÍA TRABAJO COLABORATIVO 2
100408-ALGEBRA LINEAL
1. Utilice el método de eliminación de Gauss – Jordán. Para encontrar todas las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales:
1.2−2 x−4 y−z=−5
3 x+2 y−2 z=0−5 x− y+5 z=4
(−2 −4 −13 2 −2
−5 −1 5 |−504 ) F1=F2+F1
F2=−3 F1+F2
F3=5 F1+F3
(1 −2 −30 8 70 −11 −10|
−515
−21)F1=2 F2+F1
F2=18F
2
F3=5 F1+F3
(1 0−54
0 178
0 0−3
8|−54
158
−78
)F1=
−54F
3
+F1
F2=−78F
3
+F2
F3=−83F3
(1 0 00 1 00 0 1|
5548
161962312
)1.2
−5 x+2 y−3 z+4w=−23 x−10 y−z+w=−8
(−5 2 −33 −10 1
41|−2
−8)*[ 3 f 1+5 f 2 ] ⟨−15 6 −915 −50 5
125 |−6
−40⟩
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100408-ALGEBRA LINEAL
(−5 2 −30 −44 −4
417|−2
−46)∗¿ (1 −25
35
0 −44 −4
−45
17 | 25
−46)
2. Resuelva el siguiente sistema lineal, Empleando para ello la inversa (utilice el método que prefiera para hallar A−1
).3 x+ y−7 z=−3
2 x− y−3 z=−2
−x+ y−z=−1
[ 3 1 −72 −1 −3
−1 1 −1]3 1 −72 −1 −3
(3−14+3 )−(−7−9−2 )=−8−18=−26
AS=-26
[−3 1 −7−2 −1 −3−1 1 −1]−3 1
−2 −1−1 1
(−3+3+14 )− (−7+9+2 )=14+4=18
Ax= 18
[ 3 −3 −72 −2 −3
−1 −1 −1]3 1 −72 −1 −3
(6+14+9 )−(−14+9+6 )=29−1=28
Ay=28
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100408-ALGEBRA LINEAL
3 1 −32 −1 −2
−1 1 −1
3 12 −1
−1 1
(3+2−6 )− (−3−6−2 )=−1+11=10
Az=10
x= AxAs
=1816
=98
y= AyAs
=2816
=74
z= AzAs
=1016
=58
X=9/8
Y=7/4
Z=5/8
3. Encuentre las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta que:
3.1 Contiene a los puntos P = (-1,-8,-6) y Q = (-7,5,-6)Ecuación simétrica
Igualamos componentes
PQ=(−7− (−1 )+5−(−8 )−6−(−6 ))
PQ=(−6+13+0)
PQ= X+1−6
=Y +813
=Z+60
Ecuación paramétrica
Igualamos componentes
PQ=(−7− (−1 )+5−(−8 )−6−(−6 ))
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PQ=(−6+13+0)
X=−1±6 t
Y=−8+13 t
Z=−6+0t
3.2 Contiene a
P=(3,7,3)y es paralela a la recta x+5−5
= y−7−1
= z−88
x=−5 t−5 t y=7+1 z=8+8
a=−5b=−1c=8
Ecuación simétrica
x−3−5
= y−7−1
= z−38
Ecuación paramétrica
x=3−5 t y=7−1 z=3+8
4. Encuentre la ecuación general del plano que:
4.1 Contiene a los puntos P= (−1,−8 ,−6 ) ,Q=(10 ,2 ,−9 ) y R=(5 ,−8 ,−6 )
Formamos los vectores PQ y PRo PQ yQR
PQ=(10+1 ) i+(2+8 ) j+ (−9+6 )k
PQ=11 i+10 j−3k
PR=(5+1 )i+(−8+8 ) j+(−6+6 ) k
PR=11 i+10 j−3k
PR=6 i+0 j−0 k
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Ahora hallamos un vector que sea perpendicular a PQ y PRy este nos sirve como vector normal.
PQ x PR| i j k11 10 −36 0 0 |=i|10 −3
0 0 |− j|11 −36 0 |+k|11 10
6 0 |¿ (0−0 ) i−(0+18 ) j+( 0+60 ) k
¿0 i−18 j−60k
0 ( x−10 )−18 ( y−2 )−60 (z+9)=0
0 x−18 y+36−60 z−540=0
−18 y−60 z=−36+540
−18 y−60 z=504
4.2 Contiene al punto P= (9 ,−1−6 )y tiene como vector normal a n=i−2 j−7 k
1(x−9)+(−2 )( y−(−1 ))+ (−7 )(z− (−6 ))=0
1 x−9+(−2 y )−2+ (−7 z )−42=0
1 x+ (−2 y )+(−7 z )=9+2+42
1 x−2 y−7 z=53
5. Encuentre todos los puntos de intersección de los planos:
π1:−9 x+4 y−5 z=9 y π2:−6 x− y−7 z=−2
Hallar la ecuación simétrica de la recta de la forma x−aa1
= y−ba2
= z−ca3
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Vamos a encontrar a X en función de Z y a X en función de Y e igualamos para tener la ecuación simétrica.
Para encontrar a X en función de Z multiplicamos los valores de Y de la primera ecuación en la segunda y Y de la segunda ecuación por la primera.
(π1 )∗1+ (π 2 )∗4
π1: (−9x+4 y−5 z=9 )∗1 = −9 x+4 y−5 z=9
π2: (−6 x− y−7 z=−2 )∗4= −24 x−4 y−28 z=−8
Sumamos (π1 )+(π2 ) = −33 x−0−33 z=1
x=1+33 z−33
Ahora hallamos a X en función de Y
(π1 )∗−7+(π2 )∗5
π1: (−9x+4 y−5 z=9 )∗−7 = 63 x−28 y+35 z=−63
π2: (−6 x− y−7 z=−2 )∗5= −30 x−5 y−35 z=−10
Sumamos (π1 )+(π2 ) = −33 x−33 y−0=−73
x=53+33 y33
Por último escribimos la intersección de los dos planos que es la misma ecuación simétrica de la recta.
x=53+33 y33
=1+33 z−33