4.1 DEFINICION DE ESPACIO VECTORIAL Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada apartir de un conjunto no vaco, una operacin interna (llamada suma,definida para los elementos del conjunto) y una operacin externa(llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y uncuerpo matemtico), con 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores ya los elementos del cuerpo, escalares.4.2 DEFINICION DE SUBESPACIO VECTORIAL Y SUS PROPIEDADESSea H un subconjunto no vaco de un espacio vectorial V y suponga que H es en s un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacin por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es unsub espaciode V.Existen mltiples ejemplos de sub espacio, sin embargo, en primer lugar, se demostrar un resultado que hace relativamente sencillo determinar si un subconjunto de V es en realidad sub espacio de VTeorema de sub espacioUn subconjunto no vacio de H de un espacio vectorial V es un sub espacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura:Reglas de cerradura para ver si un subconjunto novacies un sub espacioi)SixHyyH, entoncesx + yH.ii)SixH,entonces xHpara todo escalar .Es obvio que si H es un espacio vectorial, entonces las dos reglas de cerradura se debern cumplir. De lo contrario, para demostrar que es un espacio vectorial, se deber demostrar que los axiomas i) a x) de la definicin cumplen bajo las operaciones de suma de vectores y multiplicacin por un escalar definidas en V. Las dos operaciones de cerradura [axiomas i) y iv)] se cumplen por hiptesis, como los vectores en H son tambin vectores en V, las identidades asociativa, conmutativa, distributiva y multiplicativa [axiomasii),v),vii),viii),ix) yx)] se cumplen.Este teorema demuestra que para probar siHes o no es un sub espacio de V, es suficiente verificar que:x + yy X estn enHcuandoxyyestn enHy es un escalar.PROPIEDADES DE SUB ESPACIO VECTORIAL1). El vector cero deVest enH.22).Hes cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cadauyven H, la sumau+vest enH.3).Hes cerrado bajo la multiplicacin por escalares. Esto es, para cada uenHycada escalarc, el vectorcuest enH.4.3 COMBINACIN LINEALUna combinacin lineal de dos o ms vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares.

Cualquier vector se puede poner como combinacin lineal de otros que tengan distinta direccin.Esta combinacin lineal es nica.Sean v1,v2,,vnvectores en un espacio vectorialV. Entonces cualquier vector de la forma: 1v1+2v2++nvndonde1v1+2v2++nvnson escalares se denominacombinacin linealde v1,v2,,vn.Todo vector V = (a, b, c) en R3se puede expresar comoi= (1,0,0);j =(0,1,0);k=(0,0,1)V = (a, b, c) =a(i) + b(j) + c(k)Entonces se dice que V es una combinacin lineal de los 3 vectoresi,j,k.

4.3 Dependencia e Independencia linealLos vectores sonlinealmente independientessi tienendistinta direcciny sus componentesno son proporcionales.Un conjunto de vectores {v1,v2,,vk} es un espacio vectorial V eslinealmente dependientesi existen escalares c1,c2,,ck,al menos uno de los cuales no es cero, tales que:c1v1+c2v2++ckvk=0Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes.Criterios de Independencia LinealSean u1, u2, ,ukk vectores en Rny A la matriz que tiene como columnas a estos vectores, los vectores son linealmente independientes si el sistema Ax = 0 tiene nicamentesolucin trivial.Los vectores son linealmente dependientes si el sistema Ax=0 tiene solucionesno triviales (solucin mltiple).Si k=nLos vectores son linealmente independientessi A es invertibleSi k>nLos vectores son linealmente dependientes.Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si uno de ellos esmltiplo escalar del otro.Un conjunto de vectores linealmente independientes en n contiene a lo ms n vectores.Tres vectores en 3 son linealmente dependientes si y slo si son coplanares, esto es, que estn en un mismo plano.4.4 Base y dimensin de un espacio vectorialUn conjunto de vectores S={v1, v2,, vn} en un espacio vectorial V se denomina base de V si se cumplen las siguientes condiciones.* S genera a V.* S es linealmente independienteUna base posee 2 caractersticas que se acaban de ver, debe tener suficientes valores para generar a V, pero no tantos de modo que uno de ellos pueda escribirse como una combinacin lineal de los dems vectores en S. Si un espacio vectorial consta de un nmero finito de vectores, entonces V es de dimensin finita. En caso contrario, V es de dimensin infinita.BaseEn trminos generales, una base para un espacio vectorial es un conjunto de vectores del espacio, a partir de los cuales se puede obtener cualquier otro vector de dicho espacio, haciendo uso de las operaciones en l definidas.La base es natural, estndar o cannica si los vectores v1, v2,, vnforman base para Rn.Si S={v1, v2,, vn} es una base para un espacio vectorial V entonces todo vector v en V se puede expresar como:1. V = c1v1+ c2v2++ cnvn2. V = k1v1+ k2v2++ knvnRestar 2-10 = (c1- k1) v1+(c2- k2) v2++(cn- kn) vnEjemplo:demostrar si S = {v1, v2,, v3} es base de R3, v1= (1,2,1); v2= (2,9,0); v3= (3,3,4)Proponer vector arbitrario, combinacin linealb = c1v1+ c2v2+ c3v3(b1, b2, b3) = c1(1,2,1)+ c2(2,9,0)+ c3(3,3,4)(b1, b2, b3) = c1+2c2+3c3;2c1+9c2+3c3; c1+4c3c1+ 2c2+ 3c3= b1det A = [(1*9*4)+(2*3*1)+0]-[(1*9*3)+0+(4*2*2)]2c1+ 9c2+ 3c3= b2 = [36+6]-[27+16] c1+ 4c3= b3 = -1 Si genera a R3

4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades

Producto Interno:

Un producto interno sobre un espacio vectorial V es una operacin que asigna a cada par de vectores u y v en V un nmero real .Un producto interior sobre V es una funcin que asocia un nmero real u, v con cada par de vectores u y v cumple los siguientes axiomas:Propiedades:

i. (v, v) 0ii. (v,v) = 0 si y slo siv= 0.iii, (u, v+w) = (u, v)+ (u, w)iv. (u+v, w) = (u, w)+(v, w)v. (u, v) = (v, u)vi. (u, v) = (u, v)vii. (u,v) = (u, v)

Espacios con producto interior:El producto interior euclidiano es solo uno ms de los productos internos que se tiene que definir en Rn Para distinguir entre el producto interno normal y otros posibles productos internos se usa la siguiente notacin.u v = producto punto (producto interior euclidiano para Rn)u, v = producto interno general para espacio vectorial V.Propiedades de los productos interiores:1. 0, v = v, 0 = 02. u + v, w = u, w + v, w3. u, cv = cu, v.Un espacio vectorial con producto interno se denomina espacio con producto interno.

4.6 Base ortonormal Proceso de ortonormalizacin de Gram-SchmidtUn conjuntoSde vectores en un espacioVcon producto interior se llama ortogonal si todo par de vectores enSesortogonal, adems cada vector en este conjunto es unitario, entoncesSse denominaortonormal.Proceso de ortonormalizacin de Gram-Schmidt1.SeaB= {v1,v2, . . .,vn} una base de un espacioVcon producto interno2.SeaB= {w1,w2, . . .,wn} dondewiest dado por:w1= v1

EntoncesBes una base ortogonal deV.3.Sea ui= wi w1entonces el conjuntoB={ u1, u2, . . ., un} es una base ortonormal deV.5.1 Introduccin a las transformaciones lineales.

Definicin: Las transformaciones lineales son las funciones y tratan sobre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (esdecir, con la operacin y la accin) de estos espacios.Una transformacin lineal preserva combinaciones lineales. Veremos que, debido a esto, una transformacin lineal queda unvoca-mente determinada por los valores que toma en los elementos de una base cualquiera de su dominio.

Teniendo en cuenta que las transformaciones lineales son funciones entre conjuntos, tiene sentido estudiar la validez de las propiedades usuales de funciones: inyectividad, suryectividad y biyectividad.

Las transformaciones lineales que verifican alguna de estas propiedades reciben nombres particulares:Definicin 3.6 Sean V y W dos K-espacios vectoriales, y sea f : V W una transformacin lineal. Se dice que:

1. f es un monomorfismo si f es inyectiva.2. f es un epimorfismo si f es suryectiva.3. f es un isomorfismo si f es biyectiva.

En algunos casos, consideraremos transformaciones lineales de un K-espacio vectorial en s mismo:Sea V un K-espacio vectorial. Una transformacin lineal f : V V se llama un endomorfismo de V . Si f es un endomorfismo que es adems un isomorfismo, entonces se dice que es un automorfismo.

5.2 Ncleo e imagen de una transformacin lineal.https://sites.google.com/site/sistemasalgebralineal/unidad-5---transformaciones-lineales/5-2-nucleo-e-imagen-de-una-transformacion-linealhttp://esfm.egormaximenko.com/linalg/ker_image_es.pdf