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Iniciativa de la Matemática Progresiva

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Algebra I

PolnomiosParte 1

www.njctl.org

2012-05-03

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Tabla de Contenidos

· Definiciones de Monomio, Polinomio y grados· Adición y sustracción de polinomios· Multiplicación de

Monomios· División de Monomios

· Multiplicación de Polinomios

· Multiplicación de un polinomio por un monomio

· Productos especiales de Binomios (Productos Notables)

· Resolución de ecuaciones por factoreo

Slide 4 / 128

Definiciones de Monomio, Polinomio y grados

Volver

Slide 5 / 128

Un monomio es una expresión de un término formada por un número, una variable, o el producto de números y variables.

Ejemplos de monomios....

81y4z

17x2

4x 28

mn3

rt6

32,457

Slide 6 / 128

a + b - 5

5x + 7 x2(5 + 7y)

6+ 5rs

7x3y5 - 4

Monomios

Arrastra los siguientes términos a la caja seleccionadora correcta. Si seleccionás correctamente, el término será visible. Si seleccionás de modo incorrecto, el término desaparecerá.

48x2yz3

4(5a2bc2)

t

16- 12

15xy4

7

Slide 7 / 128Un polinomio es una expresión que contiene dos o más monomios.

Ejemplos de polinomios... .

5+ a2

8x3 + x2c2 + d

8a3- 2b2

4c- mn3rt6

a4b15

+

7+ b+ c2+ 4d3

Slide 8 / 128

El grado de los MonomiosEl grado de un monomio es la suma de los exponentes de sus variables. El grado de una constante distinta de cero como 5 o 12 es 0. La constante 0 no tiene grado.

Ejemplos:1) El grado de 3x es 1. La variable x tiene grado 1.

2) El grado de -6x3y es 4. La x tiene un exponente de 3 y la y tiene una potencia de 1, así que el grado es 3+1=4.

3) El grado de 9 es 0. Una constnte tiene grado 0, porque no hay variable.

Slide 9 / 128

1 ¿Cuál es el grado de ?

A 0

B 1C 2D 3

Slide 10 / 128

2 ¿Cuál es el grado de ?

A 0

B 1C 2D 3

Slide 11 / 128

3 ¿Cuál es el grado de 3 ?

A 0

B 1C 2D 3

Slide 12 / 128

4 ¿Cuál es el grado ?

Slide 13 / 128

Grado de un polinomio

Ejemplo:Encuentre el grado del polinomio 4x 3y2 - 6xy2 + xy. El monomio 4x3y2 tiene grado 5, El monomio 6xy2 tiene 3, y el monomio xy tiene grado 2. El grado mayor es 5, así que el grado del polinomio es 5.

El grado de un polinomio es el mismo que el del término con el grado más grande.

Slide 14 / 128

Encuentre el grado de cada polinomio

1) 32) 12c3

3) ab4) 8s4t

5) 2 - 7n

6) h4 - 8t

7) s3 + 2v2y2 - 1

Respuestas: 1) 0

2) 3 3) 2 4) 5

5) 1 6) 4

7) 4

Slide 15 / 128

5 ¿Cuál es el grado del siguiente polinomio?

A 3

B 4C 5D 6

Slide 16 / 128

6 ¿Cuál es el grado del siguiente polinomio?

A 3

B 4C 5D 6

Slide 17 / 128

7 ¿Cuál es el grado del siguiente polinomio?

A 3

B 4C 5D 6

Slide 18 / 128

8 ¿Cuál es el grado del siguiente polinomio?

A 3

B 4C 5D 6

Slide 19 / 128

Sumar y restar polinomios

Volver

Slide 20 / 128

Forma Estándar

La forma estándar de una ecuación es poner los términos con los términos ordenados del grado mayor al grado menor.

La forma estándar es el modo esperado comúnmente para escribir polinomios.

Ejemplo: es en forma estándar.

Poner en forma estándar la siguiente ecuación:

Slide 21 / 128

Monomios con las mismas variables y las mismas potencias son términos semejantes.

Términos Semejantes Términos no semejantes 4x y -12x -3b y 3a x3y y 4x3y 6a2b y -2ab2

Slide 22 / 128

Combine estos términos semejantes usando la operación indicada.

Slide 23 / 128

9 Simplificar

A

B

C

D

Slide 24 / 128

10 Simplificar

A

B

C

D

Slide 25 / 128

11 Simplificar

A

B

C

D

Slide 26 / 128

Para sumar polinomios, combinar los términos semejantes de cada polinomio.

Para sumar verticalmente, primero encolumnar los términos semejantes y luego sumar.

Ejemplos:(3x2 +5x -12) + (5x 2 -7x +3) (3x 4 -5x) + (7x4 +5x2 -14x)

Encolumnar términos Encolumnar términos semajntes Semejantes 3x2 + 5x - 12 3x 4 -5x (+) 5x2 - 7x + 3 (+) 7x4 +5x2 - 14x 8x2 - 2x - 9 10x 4 +5x2 - 19x

Slide 27 / 128

Podemos sumar también horizontalmente (3x2 + 12x - 5) + (5x2 - 7x - 9)

Usar las propiedades asociativas y conmutativas para agrupar términos semejantes.

(3x2 + 5x2) + (12x + -7x) + (-5 + -9)

8x2 + 5x - 14

Slide 28 / 128

12 Sumar

A

B

C

D

Slide 29 / 128

13 Sumar

A

B

C

D

Slide 30 / 128

14 Sumar

A

B

C

D

Slide 31 / 128

15 Sumar

A

B

C

D

Slide 32 / 128

16 Sumar

A

B

C

D

Slide 33 / 128

Para restar polinomios, resta los coeficientes de los términos semejantes.

Ejemplo: -3x - 4x = -7x

13y - (-9y) = 22y

6xy - 13xy = -7xy

Slide 34 / 128

Se pueden restar polinomios vertical y horizontalmente.

Para restar un polinomio cambie la resta agregando un -1. Distribuya el -1 aplicando distributiva y luego

siga las reglas para suamr polinomios.(3x2 +4x -5) - (5x 2 -6x +3)

(3x2+4x-5) +(-1) (5x2-6x+3)(3x2+4x-5) + (-5x 2+6x-3)

3x 2 + 4x - 5 (+) -5x2 - 6x + 3

-2x 2 +10x - 8

Slide 35 / 128Se pueden restar polinomios vertical y horizontalmente.

Para restar un polinomio cambie la resta agregando un -1. Distribuya el -1 aplicando distributiva y luego siga las

reglas para suamr polinomios.(4x3 -3x -5) - (2x3 +4x2 -7)

(4x3 -3x -5) +(-1)(2x3 +4x2 -7)(4x3 -3x -5) + (-2x 3 -4x2 +7)

4x 3 - 3x - 5 (+) -2x3 - 4x2 + 7 2x 3 - 4x2 - 3x + 2

Slide 36 / 128

También podemos restar polinomios horizontalmente.

(3x2 + 12x - 5) - (5x 2 - 7x - 9)

Cambia la resta en suma agregando un -1 y distribuyendo es -1 .

(3x2 + 12x - 5) +(-1)(5x 2 - 7x - 9)(3x2 + 12x - 5) + (-5x 2 + 7x + 9)

Usa las propiedades conmutativa y asociativa para agrupar términos semejantes .(3x2 +-5x2) + (12x +7x) + (-5 +9)

-2x2 + 19x + 4

Slide 37 / 128

17 Substraer

A

B

C

D

Slide 38 / 128

18 Substraer

A

B

C

D

Slide 39 / 128

19 Substraer

A

B

C

D

Slide 40 / 128

20 Substraer

A

B

C

D

Slide 41 / 128

21 Substraer

A

B

C

D

Slide 42 / 128

22 ¿Cuál es el perímetro de la siguiente figura (las respuestas están en unidades)

A

B

C

D

Slide 43 / 128

Multiplicción de Monomios

Volver

Slide 44 / 128Recordar: un monomio es una expresión formada por un número, una variable o el producto de números y variables..

Ahora que sabemos cómo sumar y restar polinomios, necesitamos aprender cómo mult iplicarlsos. Comencemos con dos monomios.

Escribe esta expresión en forma expandida. (sin exponentes)

(x x x x )(x x x )

Simplif ica. (x elevada una potencia)

x7

¿Podrías ver la regla que se usa como atajo para encontrar el producto de potencias?

Desliza

Desliza

Slide 45 / 128

Multiplicando monomios sin coeficientes

Regla: am an = am + n

Ejemplos:

x4 x7 = x4 + 7 = x11

a3b5 a2b6 = a3+2b5+6 = a5b11

Slide 46 / 128

Multiplicación de monomios con coeficientes.

6x3 7x4

reagrupar los coeficientes (6 7) (x3 x4)y las variables.

multiplica los números 42x7 usa la regla para multiplicar los exponentes

Slide 47 / 128

Multiplicación de Monomios

-3x7y3 9x4y6

(-3 9) (x7x4) (y3y6)

-27x11y9

Slide 48 / 128

Producto de potenciasAl multiplicar monomios con bases iguales, suma los exponentes.

Ejemplos

1)

2)

3y7

12a8b8

Deslizar

Deslizar

Slide 49 / 128

23 El producto de 4ab2 6a3b es 10a4b3.

True

False

Slide 50 / 128

24 Multiplica

A

B

C

D

Slide 51 / 128

25 Cuál es el coeficiente de ?

Slide 52 / 128

26 ¿Cuál es el grado del producto ?

Slide 53 / 128

27

A

B

C

D

Slide 54 / 128

Ahora intenta esto

Al expandir la expresión, tenemos

¿Podrías ver la regla que puede usarse como atajo para simplificar una potencia de una potencia?

Deslizar

Slide 55 / 128

¿Se aplica tu regla para el ejemplo anterior, a este ejemplo?

Expandiendo la expresión queda

¿Se puede refinar la regla para que pueda usarse como atajo para simplificar la potencia de un producto?

( )( )( )= Deslizar

Slide 56 / 128Potencia de una potencia

Regla:

Ejemplos:

2)

1)

Deslizar

Deslizar

Slide 57 / 128

28 Simplifica

A

B

C

D

Slide 58 / 128

29 Simplifica

A

B

C

D

Slide 59 / 128

30 Simplifica

A

B

C

D

Slide 60 / 128

31 Simplifica

A

B

C

D

Slide 61 / 128

División de Monomios

Volver

Slide 62 / 128

x x x x x x x

x x x

Considera: x7

x3

Escribe en notación expandida.

Simplifica.

x x x x x x x

x x x

1 11

11 1

x4=

¿Podrías dar una regla que sirva como atajo para dividir monomios con base semejante?

Slide 63 / 128

División de monomios de igual base

Regla:

Ejemplos:

Slide 64 / 128

Ahora, considera esto:

x3

x5

x x xxxx x x

Escribe en notación expandida.

Simplifica. 1 11

11 1

=x x x

xxx x x1x2

Si usáramos el atajo restando los exponentes, tendríamos:

= x3 - 5 = x- 2x3

x5

Como es imposible tener dos resultados diferentes a este problema, concluimos que:

Slide 65 / 128

Regla del exponente negativo

Para todos los reales, .

Ejemplos:

Slide 66 / 128

Ahora, considera esto:

x x x x

xx x x

Escribe en notación expandida.

Simplifica. 1 11

1

1

1

x x x x

xx x x11

1=

Si hiciéramos esto usando el atajo de restar los exponentes, tendríamos: x4

x4 = x4 - 4 = x0

Como es imposible tener dos respuestas distintas a este problema, .

Slide 67 / 128

Regla del exponente cero

Para todos los reales distintos de cero, .

Slide 68 / 128

Reglas

Slide 69 / 128

Ejemplos

k9

k31)

h3

h103)

g8

g4)

d5

d52)

6)

p5

p185)

k6

1

g7

1

1p13

1h7Slide to check. Slide to check.

Combina los términos semejantes. En la forma más sencilla de modo que no haya exponentes negativos.

Deslizar

Deslizar Deslizar

Deslizar

Slide 70 / 128

b5

c2d2

1g3h11

g- 2h- 4

gh73)

m- 4n2p5

(mnp8)2

4) m6p11

Ejemplos

j- 4k9

j- 7k- 21)

b0cd- 3

b- 5c3d- 12)

j3k11

Intentemos ahora, unos problemas más:

DeslizarDeslizar

Deslizar Deslizar

Slide 71 / 128

32 Simplifica

A

B

C

D

Slide 72 / 128

33 Simplifica

A

B

C

D

Slide 73 / 128

34 Simplifica

A

B

C

D

Slide 74 / 128

35 Simplifica

A

B

C

D

Slide 75 / 128

36 Simplifica

A

B

C

D

Slide 76 / 128

37 Simplifica

A

B

C

D

Slide 77 / 128

38 Simplifica

A

B

C

D

Slide 78 / 128

39 Simplifica

A

B

C

D

Slide 79 / 128

40 Simplifica

A B

C D

x4

y4z5

x0

y4z5

x4

y3z5

1

y4z5

x2y- 3z0

x- 2yz5

Slide 80 / 128

41 Simplifica

A B

C D

x5y4z0 xy4

x- 5y4z0 xy4z0

x- 2y4zx- 3z

Slide 81 / 128

42 Simplifica

A

B

C

D

1751x4y4z3

13y3z3

13x4y4z3

1751x0y3z3

17x- 2y- 3

51x2yz3

Slide 82 / 128

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Volver

Slide 83 / 128

Hallar el área total de los rectángulos

3

5 8 4

unidades cuadradas

unidades cuadradas

Slide 84 / 128

Para mult iplicar un polinomio por un monomio, se usa la propiedad distribut iva junto con las leyes de los exponentes para la mult iplicación.Ejemplos: Simplificar

- 2x(5x2 - 6x + 8)

- 2x(5x2 + - 6x + 8)

(- 2x)(5x2) + (- 2x)(- 6x) + (- 2x)(8)

- 10x3 + 12x2 + - 16x

- 10x3 + 12x2 - 16x

Slide 85 / 128

Para mult iplicar un polinomio por un monomio, se usa la propiedad distribut iva junto con las leyes de los exponentes para la mult iplicación.

Ejemplos: Simplificar

- 3x2(- 2x2 + 3x - 12)

- 3x2(- 2x2 + 3x + - 12)

(- 3x2)(- 2x2) + (- 3x)(3x) + (- 3x)(- 12)

6x4 + - 9x2 + 36x

6x4 - 9x2 + 36x

Slide 86 / 128

12x4y3 - 15x3y4 + 24x2y5

Intentémoslo Mult iplica para simplif icar.1.

2. 4x2(5x2 - 6x - 3)

3. 3xy(4x3y2 - 5x2y3 + 8xy4)

- 2x4 + 4x 3 - 7x2

20x4 - 24x3 - 12x

Slide to check.

Deslizar

Deslizar

Slide 87 / 128

43 ¿Cuál es el área del rectángulo mostrado?

A

B

C

D

x2x2 + 2x + 4

Slide 88 / 128

44

A

B

C

D

6x 2 + 8x - 12

6x 2 + 8x 2 - 12

6x 2 + 8x 2 - 12x

6x 3 + 8x 2 - 12x

Slide 89 / 128

45

A

B

C

D

Slide 90 / 128

46

A

B

C

D

Slide 91 / 128

47 Hallar el área de un triángulo (A=1/2bh) con una base de 4x y una altura de 2x - 8. Todas las respuestas están en unidades cuadradas.

A

B

C

D

Slide 92 / 128

Multiplicación de Polinomios

Volver

Slide 93 / 128

Encontrar el área total de los rectángulos.5 8

2

6

sq.units

Área del rectángulo grandeÁrea de los rectángulos horizontalesÁrea de cada caja

Slide 94 / 128

sq.units

Observemos el ejemplo del ejemplo anterior,

De a , hemos cambiado el problema para tener un monomio por un polinomio, en vez de un polinomio por un polinomio.Use esto para resolver el siguiente ejemplo.

Slide 95 / 128

Encuentre el área total de los rectángulos2x 4

x

3

Slide 96 / 128Para mult iplicar un polinomio por otro polinomio, se mult iplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo. Luego se suman los términos semejantes.Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

(2x + 4y)(3x + 2y)2x(3x + 2y) + 4y(3x + 2y)2x(3x) + 2x(2y) + 4y(3x) + 4y(2y)6x 2 + 4xy + 12xy + 8y 2

6x 2 + 16xy + 8y 2

Slide 97 / 128

El Método PEIU puede utilizarse para recordar cómo multiplicar dos binomios.Para multiplicar dos binomios, encuentra la suma dePrimero términos Externos, Términos Internos y Últimos

Ejemplo:

Primero Externos Internos Últimos

Slide 98 / 128

x2 - 7x + 12

2x3 + x2 - 14x - 16

¡Inténtalo! Encuentra cada producto

1) (x - 4)(x - 3)

2) (x + 2)(2x2 - 3x - 8)

Deslizar

Deslizar

Slide 99 / 128

8x2 - 2xy - 15y2

x4 + x3 - 8x2 + 24x - 24

3) (2x - 3y)(4x + 5y)

4) (x2 + 3x - 6)(x2 - 2x + 4)

¡Inténtalo! Encuentra cada producto

Deslizar

Deslizar

Slide 100 / 128

48 ¿Cuál es el área total de los rectánglos mostrados?

A

B

C

D

4x 5

2x

4

Slide 101 / 128

49

A

B

C

D

Slide 102 / 128

50

A

B

C

D

Slide 103 / 128

51

A

B

C

D

Slide 104 / 128

52

A

B

C

D

Slide 105 / 128

53 Encuentra el área de un cuadrado con lados que miden:

A

B

C

D

Slide 106 / 128

54 ¿Cuál es el área del rectángulo (en unidades cuadradas)?

A

B

C

D

Slide 107 / 128

¿Cómo podríamos encontrar el área de la región sombreada?

Área sombreada = Área Total - Área sin sombrear

sq. units

Slide 108 / 128

55 ¿Cuál es el área de la región sombreada(en unidades cuadradas?

A

B

C

D

11x 2 + 3x - 8

7x 2 + 3x - 9

7x 2 - 3x - 10

11x 2 - 3x - 8

Slide 109 / 128

56 ¿Cuál es el área de la región sombreada(en unidades cuadradas?

A

B

C

D

2x 2 - 2x - 8

2x 2 - 4x - 6

2x 2 - 10x - 8

2x 2 - 6x - 4

Slide 110 / 128

Productos binomiales especiales(Productos Notables)

Volver

Slide 111 / 128

El cuadrado de una suma

(a + b)2 (a + b)(a + b) a2 + 2ab + b2

El cuadrado de a+ b es el cuadrado de a más el doble del producto de a y be más el cuadrado de b.

Ejemplo: (5x + 3)2

(5x + 3)(5x + 3) 25x2 + 30x + 9

Slide 112 / 128

Cuadrado de una diferencia

(a - b)2 (a - b)(a - b) a2 - 2ab + b2

El cuadrado de a - b es el cuadrado de a menos el doble del producto de a y b más el cuadrado de b.

Ejemplo: (7x - 4)2

(7x - 4)(7x - 4) 49x2 - 56x + 16

Slide 113 / 128

Producto de una suma y una diferencia (a + b)(a - b) a2 + - ab + ab + - b2 Note los - ab y ab a2 - b2 es igual a 0.

El producto de a + b y a - b es el cuadrado de a menos el cuadrado de b.

Ejemplo: (3y - 8)(3y + 8) Recuerde que los términos interior 9y2 - 64 y exterior son igual a 0.

Slide 114 / 128

Intenéntalo! Encontrar cada producto

1. (3p + 9)2 9p2 + 54p + 81

2. (6 - p)2 36 - 12p + p2

3. (2x - 3)(2x + 3) 4x2 - 9

Deslizar

Deslizar

Deslizar

Slide 115 / 128

57

A

B

C

D

x2 + 25

x2 + 10x + 25

x2 - 10x + 25

x2 - 25

Slide 116 / 128

58

A

B

C

D

Slide 117 / 128

59 ¿Cuál es el área de un cuadrado cuyos lados miden 2x + 4?

A

B

C

D

Slide 118 / 128

60

A

B

C

D

Slide 119 / 128

Resolución de ecuaciones

Return toTable ofContents

Slide 120 / 128

Dada la siguiente ecuación, ¿A qué conlusión puede llegarse?

ab = 0

Como el producto es 0, uno de los factores a, o b debe ser 0.

Esto se conoce como Propiedad del elemento neutro.

Slide 121 / 128

Propiedad del elemento nulo

Regla: Si ab=0, entonces o a=0 o b=0

Slide 122 / 128

Dada la siguiente ecuación ¿A qué conclusión se puede llegar?

(x - 4)(x + 3) = 0

Como el producto es 0, uno de los factores debe ser 0. Por lo tanto, o x - 4 = 0 o x + 3 = 0.

x - 4 = 0 o x + 3 = 0 + 4 + 4 - 3 - 3

x = 4 o x = - 3Por lo tanto, nuesro conjunto solución es {- 3, 4}. Para verif icar los resultados,

sust ituye cada solución en la ecuación original.

(x - 4)(x + 3) = 0

(- 3 - 4)(- 3 + 3) = 0(- 7)(0) = 0

0 = 0

Verif icar x = - 3: (x - 4)(x + 3) = 0

(4 - 4)(4 + 3) = 0(0)(7) = 0

0 = 0

Verif icar x = 4:

Slide 123 / 128

¿Qué pasaría si te dieran la siguiente ecuación?

(x - 6)(x + 4) = 0

Por la propiedad del elemento nulo:

x - 6 = 0 or x + 4 = 0 x = 6 x = - 4

Luego de resolver cada ecuación, llegamos a nuestra solución

{- 4, 6}

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61 Resuelve (a + 3)(a - 6) = 0.

A {3 , 6}

B {-3 , -6}

C {-3 , 6}

D {3 , -6}

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62 Resuelve (a - 2)(a - 4) = 0.

A {2 , 4}

B {-2 , -4}

C {-2 , 4}

D {2 , -4}

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63 Resuelve (2a - 8)(a + 1) = 0.

A {-1 , -16}

B {-1 , 16}

C {-1 , 4}

D {-1 , -4}

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Términos Clave

· Suma y resta de Polinomios· Definición de Monomios, Polinomios y Grado

· Multiplicación de Monomios· División por monomios· Multiplicación de un polinomio por un monomio

· Productos binomiales especiales· Multiplicación de polinomios

· Resolución de ecuaciones por Factoreo

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