Algebra i

43

LEYES DE EXPONENTES:Son aquellas definiciones y teoremas que estudian a los exponentes a través de las operaciones de potenciación y radicación.

POTENCIACIÓN:Es una operación matemática que consiste en hallar una expresión llamada potencia, partiendo de otras expresiones llamadas base y exponente.

Notación:

a : basean = P n: exponente

P: potencia

Definiciones:Exponente natural

an =

Exponente cero

Si a 0 se define:a0 = 1

Nota:* 00 no está definido

Exponente negativoSi a 0 n N se define:

a-n =

Nota:* 0– n no existe

Teoremas:Sean “a” y “b” números reales y “m”, “n” enteros positivos, entonces se cumple:

1. Multiplicación de bases iguales.

an . am = am+n

2. División de bases iguales.

3. Potencia de potencia.

Nota:*

4. Potencia de una multiplicación.

5. Potencia de una división.

44

; b 0

Nota:* Si “b” es un número real y m, n, p son enteros,

entonces:

Se efectúa las potencias de arriba hacia abajo

RADICACIÓN EN :Es una operación matemática que consiste en hacer corresponder dos números llamados índice y radicando con un tercer número llamado raíz, el cual es único, según:

= r rn = b

n : índice (n 2 ; n N)b : radicandor : raíz n-ésima principal de b

Teoremas:

Si y existen, entonces se cumple:

1. Raíz de una multiplicación:

=

2. Raíz de una división:

si b 0

3. Raíz de una radicación:

Exponente fraccionario:Si existe en se define:

Ejercicios

1. Efectuar:

P =

Rpta……………

2. Ordenar en forma decreciente:A = B = C =

D = E =

Rpta……………

3. Simplificar:

R=

Rpta……………

4. Hallar el valor de “M”:

M =

Rpta……………

5. Reducir:

P =

Rpta……………

6. Calcular:

A =

Rpta……………

7. Hallar el valor de W:

W =

Rpta……………

8. Hallar el valor de:

Rpta……………

9. Reducir la expresión:

P =

A) 1 B) 3x C) 2,3x

D) 3x+1 E) N.A.

10. Si , hallar: R =

A) 64 B) 16 C) 256D) 128 E) N.A.

11. Decir cuáles son falsas:I. 3a0 + 3b0 – 8(x + y)0 = 0II. (5x0 – 5y0 + 1)–0 = 0

45

III. (15a0 – 11b0 – 4x0)0 = 1A) Solo I C) I y II E) TodasB) Solo II D) I y III

12. Simplificar:

E =

A) 3 B) 3–3 C) 33

D) 3–5 E) 35

13. Calcular:

A) 2 B) 1 C) 0D) 4 E) 8

14. Si:

hallar: F = A) 2 B) 4 C) 8D) 12 E) 16

TAREA1. Calcular:

A) 10 B) 8 C) 9D) 2 E) 7

2. Si:; calcular

A) 27 B) 81 C) 9D) 3 E) 1

3. Si aa = 2, hallar

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

4. Calcular:

M =

A) –100 B) –10 C) –50B) 5x E) 5–x

5. Reducir:

A) 3 B) C)

2

D) E) 6

TÉRMINO ALGEBRAICOEs una expresión algebraica donde no están presentes las operaciones de adición y sustracción.

Ejemplo:

M(x,y) = –4 x5 y3

TÉRMINOS SEMEJANTESDos o más términos serán semejantes si a los

exponentes de las respectivas variables son iguales.

Ejemplos:P(x;y) = 4x2y7 y Q(x;y) = –2x2y7

P(x;y) = 5x2y3 y S(x;y) = 2xy7

M(x;y) = – y N(x) =

POLINOMIOSon expresiones algebraicas racionales

enteras en las cuales las variables están afectadas solo de exponentes enteros positivos.

Ejemplos:P(x;y) = 5x3y7 (monomio)R(x;z) = 2x2z + 5z5 (binomio)F(x) = 3 – 5x + x2 (trinomio)

GRADO DE UN MONOMIOA. Grado Relativo:

Es el grado respecto de una de sus variables y el valor es el exponente que afecta a dicha variable.

Ejemplo:Sea P(x;y;z) = x5y3zGR(x) =GR(y) =GR(z) =

B. Grado Absoluto:Es la suma de los grados relativos.

Ejemplo:Sea R(x;y;z) = 2x4y5z3

GA =

Exponentes

VariablesCoeficiente

46

GRADO DE UN POLINOMIOA. Grado Relativo:

Es el grado del polinomio respecto de una de sus variables y el valor es el mayor de los grados relativos de la variable en cada término.

Ejemplo:Sea P(x,y) = 3x3y5 – 7x2y9 + 5x7

GR(x) =GR(y) =

B. Grado Absoluto: (Grado del polinomio)Es el mayor de los grados absolutos de cada término.

Ejemplo:Si F(x;y) = 2x2y3 – 7x6y + 4x4

Polinomios Especiales

POLINOMIO MÓNICO:Un polinomio de una variable que tiene coeficiente principal 1 se le denomina mónico.

Ejemplos:A(x) = 1 + x2 + 3xB(x) = 7 –2x2+x3

C(x) = x

POLINOMIO ORDENADO:Con respecto a una variable es aquel que presenta a los exponentes de dicha variable colocados en forma ascendente o descendente.

Ejemplos:P(x) = 4x4 + 12x2 – 3x + 7

Es un polinomio ordenado descendentemente respecto a x.

P(x,y,z) = 21xz4 – 34x5y2z + 41x7y4

Es un polinomio ordenado ascendentemente respecto a x e y, además es ordenado descendentemente respecto a z.

POLINOMIO COMPLETO:Es aquel polinomio que presenta todos sus exponentes desde el mayor hasta el de grado cero.

Ejemplos:A(x) = 4x3 + 12x – 7x2 + 16B(x,y) = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

Nota: Si un polinomio tiene una sola variable y además es completo, entonces el número de términos será igual a su grado aumentado en una unidad.

POLINOMIO HOMOGÉNEO:Es aquel en el cual todos sus términos tienen el mismo grado absoluto, al cual se le llama grado de homogeneidad.

Ejemplo:P(x,y) = 3x3y12 + 23x8y7 – 15x15 – 13y15

R(x) = 7xy3 + 8x2y2

POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO:Es aquel polinomio cuyos coeficientes son todos ceros.

Ejemplo:P(x) = (n – m) x2 + (p – q) x, si es idénticamente nulo:

n – m = 0 m = np – q = 0 p = q

POLINOMIOS IDÉNTICOS:Dos polinomios son idénticos si sus términos

semejantes tienen coeficientes iguales.

Ejemplo:p(x) = ax2 + bx + cq(x) = dx2 + ex + fSi: p(x) = q(x) Entonces: a = d ; b = e ; c = f

EJERCICIOS

1. Hallar el valor de “b” para que el grado de:P(x,y) = (3abx3b+3y2) sea 20

A) 5 B) 8 C) 10D) 3 E) 12

2. Dado el monomio:M(x,y) = 4mnx2m+3ny5n–m

Se tiene: GA(M) = 10 GR(x) = 7Señalar su coeficienteA) 2 B) 4 C) 8D) 64 E) 16

3. Hallar el coeficiente de:

M(x,y) =

Cuyo grado absoluto es 20 y el grado relativo a “x” es 14.A) 4/625 C) 2/25 E) 16/25B) 16/125 D) 8/625

4. Si: P(x–2) = x + 1P(Q(x)) = 5x + 9 Indicar Q(3)

A) 19 B) 20 C) 21D) 22 E) 23

5. Siendo: G(x) = xAdemás: P(x) + Q(x) = 2x2 + 8

P(x) – Q(x) = 8xCalcular: G(Q(P(0)))A) 1 B) 4 C) 8D) 3 E) 5

6. Dado el polinomio: P(x) = x3 – 5x2 + 4x + 1Hallar: P(2) + P(–1)

A) 5 B) 9 C) –25 D) –16 E) –12

7. Si el polinomio:P(x;y) = 7xa+5 yb–1 + xa+2 yb+1 – xa+3 yb+2

tiene GA = 16 y GR(x) = 12, hallar a – bA) 6 B) 2 C) 4

4 4

15 15 1515

47

D) 5 E) 3

8. Si Q = axb ya + bxa yb + x3 y4. Es un polinomio homogéneo en “x” e “y”, la suma de sus coeficientes es:A) 7 B) 8 C) 9D) 12 E) 13

9. El polinomio xa+b + xa ya–b + xb+2 y2, es homogéneo. ¿De qué grado es?A) 4 B) 6 C) 8D) 10 E) 12

10. Dado el polinomio homogéneo:P(x,y) = x2m – 4xm yn–1 – y15–m, hallar el valor de:(m + n)2 – (m – n)2

A) 110 B) 120 C) 240D) 115 E) N.A.

11. Determinar los valores de “m” y “n” en el siguiente polinomio homogéneo:P(x,y) = x3m+2n y4 + 3x2m–1 y–3n + 5x2m yn+7

A) 5, –2 C) 2, –5 C) N.A.D) 2, –5 E) –2, 5

12. Indicar la suma de coeficientes del polinomio:P(x)=(5x4 –3)n +(4x5–3)n–1 +(7x3–5)n–2

+5(x7+1)n–2(x–2)A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 0

13. Los polinomios:P(x) = (x + 2)2 + ax + 7nQ(x) = (x + a)2 + nx + 2Son idénticos. Si a < 0 hallar n – a.A) 24 B) 36 C) 15 D) 10 E) 16

14. En la siguiente expresión:

tiene el grado igual a 13, hallar a.A) 5 B) 7 C) 8 D) 10 E) N.A.

15. Se definen:P(x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6

Q(x) = 1 – x + x2 – x3 + x4 – x5 + x6

halle:

A) 0 B) –1 C) 1 D) 2 E) 17

TAREA1. Siendo el polinomio:

P(x) = x24 + 128x17 + 2x11 + 64x6 + 4x + 2Hallar P(–2)A) 2 B) -6 C) 5D) 8 E) 12

2. Sea el polinomio: P(2x – 1) = (5x – 1)m +(2x + 1)m – 2x + 1 ¿Qué valor toma “m” si se cumple en el polinomio que la suma de coeficientes y su término independiente suman:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3. Indicar el valor de “a+b”, si el polinomioP(x) = (a3–27)x2 + (b3–7)x+5Es lineal y mónico.A) 5 B) 4 C) 9D) 11 E) 15

4. Si P(x+5) = 3x–2, calcular “m”, si P(2x+m) = 6x+7A) 1 B) 3 C) 5D) 8 E) 7

5. Se tiene:P(x + 2) = 3x + 8Q(x – 1) = 5x + 3 Calcular:

M =

A) x + 1 B) –4 C) –4xD) x – 1 E) – (x + 1)

Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obtienen en forma directa, sin necesidad de efectuar la operación de multiplicación.

PRINCIPALES IDENTIDADES:Trinomio cuadrado perfecto:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

* Identidades de Legendre:

(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab

Diferencia de cuadrados:

(a + b) (a – b) = a2 – b2

Desarrollo de un binomio al cubo:

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)(a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)

Suma y diferencia de cubos:

48

(a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3

(a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3

Multiplicación de binomios con término común:

(x + a) (x + b) = x2 + (a+b)x + ab

Desarrollo de un trinomio al cuadrado:

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)

Desarrollo de un trinomio al cubo:

(a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+b) (b+c)(a+c)(a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+b+c)(ab+bc+ac) - 3abc

Identidad trinómica (Argan´d):

x2 + x + 1) (x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1

IGUALDADES CONDICIONALES:Si: a + b + c = 0 , se cumple:

I. a3 + b3 + c3 = 3abcII. a2 + b2 + c2 = –2(ab + ac + bc)III. (ab + bc + ac)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2

EJERCICIOS1. Reducir:

C = [ (m + n)2 – (m – n)2 ]2 – 16 m2n2

A) mn B) m+n C) 0D) 1 E) –1

2. Reducir:M =

A) 2ª B) 0 C) 2a – 2b D) 2b E) 2a + 2b

3. Reducir:(x – 1)3 – x3 + 1

A) x B) x + 1 C) 2x D) 3x (1 – x) E) 3x

4. Reducir:W= ; a > 0

A) b B) a C) D) E) 0

5. Simplificar: R = (x + y + 1) (x + y – 1) – (x – y + 1) (x – y – 1)

A) xy C) x + y E) 4xyB) 2xy D) x – y

6. Si a+ b = 1 y a2 + b2 = 3

hallar: P = (a + 1)(b + 1)A) 4 B) 1 C) 3D) 2 E) N.A.

7. Si: a+b = ab = 3

Calcular R = a(a + a2 + a3) + b(b + b2 + b3)

A) 1 B) 2 C) –3D) –6 E) N.A.

8. Reducir:

A = A) x B) x–1 C) x+1D) –x E) 1

9. Si x + = 4, calcular:

A) 26 B) 18 C) 52D) 36 E) N.A.

10. Si: a + b = 4; ab = 3.hallar: W = a3 + b3 ; si a > bA) 64 B) 28 C) 26D) –26 E) –27

11. Si x + y = a, x.y = b, hallar: x3 + y3 A) a3 B) a3 + 3ab C) N.A.D) a2 + 3ab E) a3 – 3ab

12. Efectuar:(x + y – 2z)2 – (x – y – 2z)2

A) –4xz – 4yz B) 4xy – 4xz E) N.A.D) 4xy – 8xz E) 4xy – 8yz

13. Si: a + b + c = 0, calcular:

P =

A) 1 B) 3 C) 1/3 D) 9 E) 1/9

14. Reducir:

si se sabe que: a + b + c = 0A) 1 B) 9 C) 16D) 25 E) N.A.

15. Si: a + b + c = 0, calcular:

E =

A) 1 B) –1 C) 2D) –2 E) N.A.

TAREA1. Si: a+b = 2 y ab=3

Halla : a3+b3

49

A) –1 B) 6 C) -8D) –10 E) 26

2. Si: a+b = 3 y ab = 1Halla : a2-b2

A) 6 B) 3 C) 2D) 4 E) 6

3. Si: a+b = 2 y ab=3Halla : a3+b3

A) –1 B) 6 C) -8D) –10 E) 26

4. Si: a+b = 3 y ab = 1Halla : a2-b2

A) 6 B) 3 C) 2D) 4 E) 6

5. Reduce :

A) 1 B) 1/2 C) 0D) –1 E) –1/2

DIVISIÓN ALGEBRAICA: Operación que se realiza entre polinomios y consiste en hallar dos polinomios llamados cociente y residuo, conociendo otros dos polinomios denominados dividendo y divisor que se encuentran ligados por la relación:

D(x) = d(x).Q(x) + R(x)

Donde:D(x): Dividendod(x) : DivisorQ(x): CocienteR(x): Residuo o Resto

GRADO DEL COCIENTE

Q(x)° = D(x)° - d(x)°

GRADO DEL RESIDUO

R(x)° = d(x)° - 1

PRINCIPALES MÉTODOS DE DIVISIÓN

1. MÉTODO DE HORNER:

Ejemplo: Efectuar la siguiente división:

Q(X)=…………………………….R(X)=………………………………

2. MÉTODO DE RUFFINI

Ejemplo: Efectuar la siguiente división:

Primer paso:

Segundo paso:

Q(X)=…………………………..R(X)=……………………………

OBSERVACIÓN: Si el coeficiente principal del divisor es diferente de la unidad, el cociente obtenido se deberá dividir entre este valor.

3. TEOREMA DEL RESTOSe utiliza para obtener el resto de unadivisión. Consiste en igualar a cero al divisory despejar la mayor potencia de la variable,para que sea reemplazado en el dividendo.

OBSERVACIÓN: Después de realizar el reemplazo, debe comprobarse que el grado del polinomio obtenido sea menor que el grado del divisor.Ejemplo:Calcular el resto en:

Solución:X – 2 = 0 x = 2

Reemplazando “x” en D(x)R(x) = (2)3 + 2(2) – 9R(x) = 3

EJERCICIOS01. Calcular la suma de coeficientes del residuo

de dividir:

50

A) – 27 B) 29 C) 21D) 19 E) 11

02. Divide:

Indica el cociente:

A) x2-x-1 B) x2+2x+1 C) x2+1D) x2-2x-1 E) x2+2x-1

03. Indica el cociente de:

A) x3-3x-1 B) 3x2+4x-1 C) 3x3+2x2+4x-1 D) 3x2+2x-1 E) x3+2x+1

04. Indica el cociente de:

A) 2x3-x2+x-1 B) x3+x2+x-3C) 2x3+x2+3x-1 D) 2x3-x2+x-3E) 2x3+x2+x-3

05. Halla el resto en :

A) 11x+1 B) 11x+3 C) 11x+6D) 10x+5 E) 11x+2

06. Calcula el resto en:

A) 5 B) 3 C) x+2D) x+1 E) x – 3

07. Calcular m + n + p; si la división deja como resto:

2x2 + x – 5.

A) 3 B) 2 C) – 1D) 0 E) 10

08. Cuando el polinomio: 8x4 – Ax3 + Bx2 + Cx + DSe divide entre: 2x2 –x + 1; se obtiene un cociente cuyos coeficientes van disminuyendo de 1 en 1 a partir del primer término y un residuo igual a 5x + 1. Hallar: A + B + C + D. A) 24 B) 21 C) 15D) 12 E) 16

09. Hallar “m + n” en la división exacta:

A) 1 B) 3 C) 2

D) 5 E) –1/3

10. Si a y b son mayores que cero. Calcular E = a + m, sabiendo que el resto de la división:

es R = 8x –2.

A) 13 B) 3 C) 5D) 10 E) 16

11. Calcular (A + B) para que el polinomio Ax4 + Bx3 + 1 sea divisible por (x – 1)2

A) 1 B) - 1 C) 2 D) – 2 E) 3

12. En la división:

. Calcular la suma de

coeficientes del cociente.

A) 62 B) 42 C) 32D) – 1 E) - 62

13. Hallar el valor de “ANI” para que el polinomio: F(x) = x4– 5x3+ Ax2+ Nx+ I; al dividirse entre: K(x) = (x –1)3 deje un resto idénticamente nulo.

A) 54 B) – 65 C) - 126D) 145 E) – 24

14. En el siguiente esquema de Horner:

1 a 3 -20

1 f

p -7 b3 4 c

d e7 -4 5 -

16

10

Determine: P = a + b + c + d + e + f A) 20 B) 21 C) 22D) 23 E) 25

15. Hallar un polinomio P(x) de segundo grado divisible por (2x + 1); sabiendo además que su primer coeficiente es 4 y que al ser dividido por (x – 2) el resto es 5, reconocer el menor coeficiente de P(x).

A) – 4 B) – 3 C) – 5 D) 4 E) 2

TAREA1. Divide:

Indica el término lineal del cociente obtenido:A) 2x B) –7x C) xD) –2x E) –x

51

2. Divide :

Indica el residuo:A) 14 B) –16 C) -8D) 6 E) 4

3. Divide:

Halla (p+q) si la división es exacta.A) 1 B) –2 C) 2D) –1 E) 8

4. Divide :

Indica el término cuadrático del cociente:

A) –8x2 B) –12x2

C) 4x2

D) –4x2 E) x2

5. Calcula el resto en:

A) 5 B) 3 C) x+2D) x+1 E) x – 3

CONCEPTOSon aquellos cocientes que se pueden obtener en forma directa sin necesidad de efectuar la operación de división.Condiciones que debe cumplir:

Donde x; y bases igualesm Z+; m 2

DEDUCCIÓN DE LOS COCIENTESCASO I: (para n=par o impar)

=………………………………………

CASOII: (para n=impar)

=…………………………………………

CASOIII: (para n=par)

=………………………………………

CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTEPARA OBTENER UN C.N.

De: se debe cumplir:

; r Z+

………………………………………………

FORMULA DEL TÉRMINO GENERAL DE UN C.N.Es una fórmula que nos permite encontrar un

término cualquiera en el desarrollo de los C.N., sin necesidad de conocer los demás.

De la división:

Tenemos:. .

Donde:tk término del lugar kx 1er. término del divisor.y 2do. término del divisor.n número de términos de q(x)NOTA:

……………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………….

EJERCICIOS01. Si la siguiente división:

es un C.N., determinar el valor de

“n”.A) 5 B) 4 C) 2D) 6 E) N.A.

02. Hallar el valor de “m” si la expresión:

es un C.N.

A) 10 B) 30 C) 40 D) 11 E) 20

03. Encontrar la relación que deben cumplir m, n,

p y q para que es un C.N.

A) mn = pq B) mq = np C) mp = nq D) m/q = n/p E) N.A.

04. ¿Cuál es el cociente que dio origen al desarrollo?.

x8 + x6 + x4 + x2 + 1

A) B) C)

D) E) N.A.

05. ¿Cuál es el cociente que dio origen al desarrollo?.

52

x80 + x78 + x70 + ..... + x4 + x2 + 1

A) B) C)

D) E) N.A.

06. Calcular el número de términos del C.N.

A) 10 B) 12 C) 13D) 14 E) 15

07. Calcular el t11 en el C.N.

A) x6 y390 B) x8 y380 C) x4 y280

D) x9 y280 E) N.A.

08. Hallar el término independiente al efectuar:

A) 2 B) 1 C) –1 D) – 2 E) N.A.

09. Calcular el término idéntico de:

; y ;

A) x40 y B) x40 y2 C) x40 y3

D) x20 y2 E) N.A.

10. Simplificar:

A) x8 + 1 B) x8 – 1 C) x6 + 1 D) x6 – 1 E) x10 + 1

11. Simplificar:

A) x 40 B) x 40 C) x 20 – 1 D) x 20 + 1 E) N.A.

12. Hallar el valor numérico del término de lugar 29 del cociente:

para x = - 1

A) 16 B) 32 C) 64D) 128 E) 256

13. Calcular:

A) 0, 8 B) 0, 1 C) 0,9 D)1 E) 9

14. Si: es una división notable exacta,

calcular el valor numérico de:

A) 58 B) 59 C) 60 D) 61 E) 62

15. Hallar “K” si el décimo término del desarrollo:

tiene G.A. = 185

A) 20 B) 40 C) 50D) 10 E) N.A.

TAREA

1. Para qué valor de “n” la división:(xn+1 - y3n-4) (x – y2)Origina un C.N.

Rpta…………..

2. Cuántos términos posee el cociente notable originado por:

(x2 + y)

Rpta…………..

3. Hallar el grado absoluto del décimo primer término en el cociente notable que se obtiene al dividir.

A) 25 B) 30 C) 40D) 60 E) 66

4. En el cociente notable generado por la división:

,

determinar el, valor de “m” e indicar el número de términos.A) 2 ; 22 B) 4 ; 23 C) 6 ; 24D) 8 ; 25 E) 10 ; 26

5. Hallar el número de términos del siguiente cociente notable........ + x195 a140 – x190 a147 + ...

A) 50 B) 60 C) 70D) 80 E) 40

53

FACTORIZACIÓNEs el proceso de transformación de un

polinomio en una multiplicación indicada de sus factores primos o sus potencias.

Multiplicación

P(x) = x2 + 3x + 2 (x + 1) (x + 2)

Factorización

FACTOR PRIMOUn polinomio “F” será primo de otro polinomio

“P” si “F” es factor algebraico de “P” y primo a la vez.Nota ……………………………………………………………………………………………………………………

Ejemplos: P(x) = (x + 2)3 (x + 1)2 (x + 5)6

Son factores primos de P(x): P(x) = (x) (x + 2)6 (x – 1)2

Son factores primos de P(x).

CRITERIOS PARA FACTORIZAR POLINOMIOS1. Factor Común

Consiste en buscar factores comunes a todos los términos de un polinomio para luego extraerlos a su menor exponente.

Ejemplos:1. Factorizar:

P(x,y) = 2x2y + 3xy2 + xy

2. Factorizar:A(x,y) = (x + 2) y + (x + 2) x + (x + 2)

2. AGRUPACIÓNConsiste en agrupar términos

convenientemente tratando que aparezca algún factor común.


x2 + x + xy + y – xz – z

2. Factorizar:x2 + ax + x + xy + ay + y

3. ASPA SIMPLE

Forma general de polinomio a factorizar: m, n N

P(x,y) = Ax2n + Bxn ym + Cy2m

P(x) = Ax2n + Bxn + C


2x2 + 7xy + 6y2

2. Factorizar:(x + y)2 – 2 (x + y) + 1

3. Factorizar:(x + y)2 – 2 (x + y) + 1

TEOREMASean f(x) y g(x) polinomios primos y primos entre sí, tal que:

P(x) =

I) Números factores primos = 2II) Números factores algebraicos = (n + 1)(p

+ 1)–1

Ejemplo:Sea P(x) = (x + 2)3 (x + 4)

I. Números factores primos = II. Números factores algebraicos =

4. ASPA DOBLE:Se utiliza para factorizar polinomios de la forma:

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + FEjemplos:

……………………………………………………………………………………………………………………

* 20x2 + 22xy + 6y2 – 33x – 17y + 7

…. … …

…. … …

……………………………………………………………………………………………………………………

5. ASPA DOBLE ESPECIALSe utiliza para factorizar polinomios de la forma:

Ax4 + Bx3 + Cx2 Dx + E.1. Ejemplos: Factorizar

54

………………………………………………………………………………………………………………

6. Método De Los Divisores Binómicos. Con éste método se busca uno o más factores binomios primos

Consideraciones:1. Si P(x0) = 0; entonces: (x- x0) es un factor

primo de P(x).

2. Los demás factores se encuentran al efectuar:

3. Los valores que anulan a P(x); se pueden encontrar:

Ejemplo:Factorizar: P(x) = x3 + 6x2 + 11x – 6

EJERCICIOS

1. Un factor primo de :m3 – mn2 + m2n – n3 + m2 – n2

A) m + n + 2 B) m+1 C) n-1D) m+n E) m-n+1

2. Factoriza r : mn+p + mnnp + nm mp+ nm+p

y da un factor primo :A) mn + pn B) mn + np C)

mp + nm

D) mp + nm E) mp + np

3. Factorizar:x3 + x2 + x + 1

A) (x2 + 1)(x - 1) B) (x2 + 1)(x + 1)C) (x2 + 1)(1 - x) D) (1 + x)(1-x2)

E) N.A.

4. Factorizar:x2 – 4xy + 4y2

A) (x-2y)2 B) (x+y)(x-y) C) x2+yD) (x+2y)2 E) N.A.

5. Halla la suma de los coeficientes de uno de los F.P. de

4(2x +1) (x +1) (2x+3) (x+ 2) - 3A) 15 B) 17 C) -3 D) 5 E) -2

6. Cuántos factores primos tiene la expresión : xy6 – 5x2y5 – 4x3y4 + 20x4y3

A) 10 B) 2 C) 3D) 5 E) 4

<7. Halla la suma de coeficientes de los F.P. de :

(x2 + 7x - 3)2 - 2(x2 + 7x) – 29A) 10 B) -10 C) 7 D) -7 E) 8

8. Indicar el factor primo que tiene el mayor término independiente:

6x2 – 7xy – 3y2 + 14x – 10y + 8A) 2x + y + 4 B) 3x + y + 4 C) 2x – 3y + 4 D) 3x – y – 4E) 2x – 3y + 8

9. Factorizar:23xy + 17(x + y) + 6(2x2 + 1)+5y2

Dar la suma de coeficientes de un factor primo

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 5

10. Indicar un factor de:4x(x + 2) - 6y (y - 1) – 5xyA)2x + 3x – 2 B) x – 3y

+ 2C) x – 2y + 2 D)4x – 2y

+– 1E) 4x + 3y + 2

11. Determinar el número de factores primos del M.C.M. de los polinomios:P(x) = x5 – x3 + x2 – 1Q(x) = x6 – 1

Rpta…………..

12. Determinar el grado del M.C.M. de los polinomios:A(x) = x2 – 15x + 36B(x) = x2 – 9C(x) = x3 + 6x2 + 63x + 108

Rpta…………..

13. Hallar la suma de los coeficientes del M.C.D, de los polinomios:P(x) = x3 + x2 + x + 1Q(x) = x3 + 3x2 + 5x + 3

Rpta…………..

14. Si los polinomios

P(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + n

55

R(x) = 2mx3 + 2nx2 + px – qadmiten como M.C.D. a:2x2 + 2x + 1.Hallar un divisor de R(x)

Rpta…………..15. Sea

señale la suma de los términos independientes de sus factores irreductibles.A) a B) b C) 2aD) 2b E) a+b

TAREA1. Un factor primo de :

m3 – mn2 + m2n – n3 + m2 – n2

A) m + n + 2 B) m+1 C) n-1D) m+n E) m-n+1

2. Cuántos factores primos tiene la expresión :

xy6 – 5x2y5 – 4x3y4 + 20x4y3

A) 10 B) 2 C) 3D) 5 E) 4

3. Cuántos factores primos tiene :

L = 8x6 + 7x3 - 1A) 2 B) 4 C) 5D) 6 E) 3

4. Cuántos factores primos hay en : x6 - y6

A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 7

5. Cuántos F.P. tiene :

(a2 - b2) (x2 + 1) + 2(a2 - b2)x

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

PRÁCTICA Nª 1

1. Hallar x si

A) –2 B) –1/2 C) –1D) –3 E) N.A.

2. Resolver: . Una de las raíces es:A) 1 B) 3 C) 5D) 4 E) N.A.

3. Hallar el valor de x si

A) 1 B) –1 C) 4/7D) 7/4 E) N.A.

4. Sabiendo que:

A =

B =

Hallar A / BA) – 1/2 B) – 1 C) ½D) 1 E) 2

5. Simplificar:

E =

A) aa B) a–1 C) aa–1

D) aa+1 E) –a

6. Simplificar:

E=

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

7. .Simplificar:

A) 3 B) 3 –1 C) 3 –3

D) 3 E) N.A.

8. Simplificar:

A) 3125 B) 625 C) 25D) 5 E) N.A.

9. Si sabemos que: ;

Hallar: A) 57 B) 60 C) 32D) 55 E) 50

10. Siendo x 0 simplificar la siguiente expresión:

E =

A) x B) –x C) x2

D) 1/x E) xx

11. Calcular la sumatoria de los coeficientes del desarrollo del siguiente polinomio:P(x–1) = (3mx – 4m)2 + (3x – 4)2m – x2 + 4 ; m ZSabiendo que es cuádruplo de su término independiente.A) 512 B) 256 C) 128D) 32 E) ½

12. Dado el polinomio ordenado y completo:

56

Hallar el término independiente.A) 13 B) 12 C) 10D) 14 E) 11

13. Si el polinomio es idénticamente nulo, hallar “m.n”P(x,y) = (m+n)xy2 + 2x2y – 18xy2 + (n–m)x2yA) 70 B) 79 C) 81D) 90 E) 80

14. Calcular: si el polinomio:

Donde: n 0 b > 0 ; es completo y ordenado, además tiene 4aa; términos.A) 2 B) 3 C) 4 D) 16 E) 5

15. En el polinomio: P(x + 1) = (2x + 1)n + (x + 2)n – 128(2x + 3), donde “n” es impar, la suma de coeficientes y el T.I. suman 1 ; luego el valor de “n” es: A) 5 B) 7 C) 9 D) 11 E) N.A.

16. Si: a2 + b2 + c2 = 49. Calcular:C = (a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2 – (a + b + c)2

A) 5 B) 6 C) 7 D) 36 E) 49

17. Si: a = 3 + 5; b = 2 – 5 ; c = 2 – 7

Hallar:M =

A) 4 B) 3 C) 7 D) 12 E) 1

18. Si: a–1 + b–1 = 4(a + b) –1

calcular: E =

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) N.A

19. Si: A + B = ; A.B = 2Hallar: A6 + B6<

A) 8 B) –8 C) –16 D) 16 E) N.A.

20. Si: (a + b + c + d)2 = 4 (a + b) (c + d)

calcular: M=

A) 0 B) 1 C) –1 D) 3 E) –3

PRÁCTICA Nª 2

1. Al efectuar: (9x9 + x2 + x + 1) (x2 – x + 1), se obtiene un residuo: x + 9. determinar la suma de coeficientes de cociente. A)1 B)2 C) 3 D)4 E)5

2. Al dividir P(x) (2x + 3) se obtiene como resto 7, un cociente cuya suma de

coeficientes es 2. Hallar el resto de dividir P(x) entre (x – 1). A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E)19

3. En el esquema de Ruffini:

Calcular: E = (e + h + q – r) a + b + c + d + m + n + pA) – 12 B) 2 C) – 2 D) 12 E) 13

4. Si la división:

es exacta, calcular:

A) 1 B) 2 C) 1/2 D) 3/2 E) 4/3

5. Hallar: “m + n” si el t(25) del desarrollo de:

es x270 a288

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) N.A.

6. Simplificar:

A) (a – x) – 2 B) (a – x) – 1 C) ax D) a/x E) (a – x)2

7. Si al efectuar: se encontró

que: T(100) . T(200) . T(250)= 2-47

Determinar “x”A) B) C) D) E)

8. Simplificar:

A)2 B)3 C)1 D)4 E)5

9. Calcular el resto de:

A) 1 B) X+1 C) D) 0 E) NO SE

a b c e h n q1 2 c d g m p

a 8 d f 7 10

r

57

10. Si indique la suma de sus factores primos.A) 2by B) 2ax+b C) 2(ax+b)D) 2(bx+a) E) ax+b

11. Si es factor del

polinomio halle “ab”A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

12. Factorizar: dando uno de los factoresA) b–c–a+d B) b–c-a C) b+c-aD) b+c–a –d E) b+c+a+d

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