Algebra de conjuntos unal
-
Upload
1pachocardona -
Category
Education
-
view
9.566 -
download
1
Transcript of Algebra de conjuntos unal
1.4 El álgebra de conjuntos
Uno de lo resultados más importantes acerca de conjuntos es que bajo las operaciones de
unión, intersección y complemento se satisfacen ciertas leyes algebraicas a partir de la cuales
podemos desarrollar un álgebra de conjuntos. El álgebra de conjuntos es un ejemplo de una
estructura conocida como un álgebra de Boole; otro ejemplo es el álgebra de la lógica, donde
son las operaciones que actúan sobre proposiciones.
En esta sección trataremos las leyes básicas del álgebra de conjuntos.
Teorema 1.4.1 Si A y B son conjuntos, entonces
( i )
( ii )
Demostración:
( i) Para demostrar que debemos mostrar que .
.Definición de
( ii) Para demostrar que debemos mostrar que .
Definición de
Teorema 1.4.2SiA y B son conjuntos, entonces
( i )
( ii )
Ejercicio: Demostrar el teorema anterior.
Teorema 1.4.3SiA y B son conjuntos, entonces
( i )
( ii )
Demostración:
( i ) Hay que demostrar dos implicaciones: 8
Supongamos que . Para demostrar la igualdad debemos mostrar las
dos contenencias:
(a.1) DefiniciónU.
hipótesis
9
(a.2) Es verdadera por el teorema (1.4.4.i i ).
Supongamos que
por el teorema (1.4.4.i ).
De esta forma, reemplazando por B por la contenencia anterior obtenemos:
.
Ejercicio: Demostrar la parte ( ii ) del teorema anterior.
Teorema 1.4.4 Leyes de absorción Para cualesquier conjuntos A y B,
( i ) .
(ii ) .
Demostración:
( i ) teorema ( 1.4.2.i )
Por lo tanto,
teorema ( 1.4.3.i )
Ejercicio: Demostrar la parte ( ii ) del teorema anterior.
Teorema 1.4.4 Leyes de absorción Para cualesquier conjuntos A, B y C, se cumple lo siguiente:
( i ) Leyes conmutativas
( a )
( b )
( i i )Leyes asociativas
( a )
( b )
( i ii ) Leyes distributivas
( a )
( b )
( i v ) leyes idempotencia
( a )
( b )
( v ) leyes deidentidad
( a )
( b )
( c )
( d )
( v i ) leyes decomplemento
( a )
( b )
( c )
( d )
( e )
( v i i ) leyes de Morgan
( a )
( b )
Demostración:
( i ii.a ) hay que demostrar las dos contenencias:
( 1 )
( 2 )
( 1 )
( 2 )
Ejercicio: Demostrar las demás partes del teorema anterior.
Usando las leyes del álgebra de conjuntos que hemos desarrollado anteriormente, podemos
probar todas las propiedades elementales sobre conjuntos sin referirnos a las definiciones de lo
símbolos . El siguiente es un ejemplo de como tales pruebas se pueden realizar.
Ejemplo:
o Demostrar
Demostrar
Principio de dualidad
Si en una proposición se intercambian en todos los casos en que se presente por y
viceversa, y donde aparezca U por y viceversa, entonces la nueva proposición que resulta se
llama dual de la primera.
Ejemplo:
El dual de,
Obsérvese que la frase dual de cada una de las propiedades enunciadas anteriormente, sobre
álgebra de conjuntos, está también enunciada como una propiedad.
Teorema 1.4.6 Si t es un teorema que trata de conjuntos e incluye sólo entonces el dual
de t también es un teorema de la teoría de conjuntos.
La utilización de este teorema reduce el trabajo de forma considerable en la demostración de
propiedades. En cada una de las propiedades enunciadas anteriormente sobre álgebra de
conjuntos, para cada par de proposiciones duales sólo se necesita demostrar una de ellas y
recurrir a este teorema para quede establecida la demostración de la otra proposición del par.
El teorema anterior está basado en el siguiente principio:
El principio de dualidad: Si ciertos axiomas implican sus propios duales, entonces el dual de
cualquier teorema que sea consecuencia de los axiomas, es también consecuencia de los
axiomas. Pues dado cualquier teorema y su demostración, el dual del teorema se puede
demostrar del mismo modo empleando el dual de cada paso de la primera demostración.
Ejemplo:
Demostrar:
El dual de este teorema fue demostrado en un ejemplo anterior; por tanto, este teorema es
cierto por el principio de dualidad.
Familia de conjuntos
Ocurre a veces que los elementos de un conjunto son a su vez conjuntos. Para evitar decir
“conjunto de conjuntos”, se suele decir ”familia de conjuntos” o “colección de conjuntos” .
Utilizaremos letras como
A, B, C,… , para denotar familias o colecciones de conjuntos
Ejemplo:
El conjunto es una familia de conjuntos.
Sus elementos son los conjuntos .
Una colección de conjuntos importante es el conjunto de todos los subconjuntos de un
conjunto dado.
Definición: 1.4.1 Conjunto potencia. Sea A un conjunto. Al conjunto de todos los subconjuntos
de A se le llama el conjunto potencia de A o las partes de A,y se denota P(A). Es decir,
Por lo tanto,
En consecuencia:
Recordemos que dado un conjunto A se cumple que:
.
Por lo tanto, para cualquier conjunto A se tiene que:
y .
Ejemplo:
Intersección y unión generalizadas
Puesto que la unión e intersección de conjuntos satisfacen las leyes asociativas, los conjuntos
y están bien definidos cuando A, B, y C son conjuntos. Obsérvese que
contiene aquellos elementos que están en por lo menos uno de los conjuntos A, B, y
C, y que contiene aquellos elementos que están en A, B, y C.
Ejemplo:
Sean
Entonces,
En general, podemos considerar uniones e intersecciones de un número arbitrario de conjuntos.
Para esto, introducimos las siguientes definiciones.
Definición: 1.4.2 Unión generalizada de conjuntos. La unión de la colección de conjuntos
es el conjunto de elementos que pertenece a por lo menos un conjunto de la
colección.
Si usamos la notación . Para denotar la unión de los conjuntos o
de manera más abreviada, la notación
Entonces
Por lo tanto,
En consecuencia:
Ejemplo:
Sean
Entonces,
Sean
Entonces,
Ahora generalizamos la intersección de conjuntos
Definición: 1.4.3 Intersección generalizada de conjuntos. La intersección de la colección de
conjuntos , es el conjunto de elementos que pertenece a todos los conjuntos de
la colección.
Si usamos la notación . Para denotar la intersección de los conjuntos
o de manera más abreviada, la notación
Entonces,
Por lo tanto,
En consecuencia:
Ejemplo:
Sean
Entonces,
Sean
Entonces,
Familia de conjuntos con índices
En la ultima sección al considerar la colección de conjuntos tenemos lo que se
llama una familia de conjuntos con índices. Si llamamos entonces vemos que a
cada elemento le corresponde un conjunto . En este caso se dice que es el conjunto
de índices, y que la suscrita de , es decir, cada , es un índice de la colección conjuntos.
Más generalmente, utilizamos un conjunto cuyos elementos (no necesariamente
números) sirven como índices para designar los elementos de una colección . La
familia es llamada una familia de conjuntos con índices, es llamado su
conjunto de índices y los elementos de son llamados índices. Una notación compacta para
designar la familia es:
Ejemplo:
Sea , donde
Entonces,
Sea , donde
Entonces,
Obsérvese que puede suceder que , con .
Sea , donde
Entonces,
Sea el conjunto de palabras en español.
Si definimos , entonces,
Obsérvese que los elementos del conjunto de índices, en este caso, no son números.
Sea
Entonces,
Nótese que en la sección anterior las operaciones de intersección y unión de conjuntos fueron
generalizadas para la familia con índices, con conjuntos de índices
. Ahora extendemos estas definiciones a cualquier familia de conjuntos con
índices
Definición: 1.4.4. Sea una familia de conjuntos con índices. La unión de la familia
consiste en aquellos elementos que pertenecen al menos a uno de los de la familia.
En símbolos,
Por lo tanto,
En consecuencia:
Ejemplo:
Sea , donde .
Entonces,
Sea , donde .
Entonces,
Sea , donde .
Entonces,
Sea , donde .
Entonces,
Sea el conjunto de palabras en español.
Si definimos,
Entonces,
Sean para .
Entonces,
Ahora definimos la intersección generalizada para una familia con índices:
Definición: 1.4.5. Sea una familia de conjuntos con índices. La intersección de la familia
consiste en aquellos elementos que pertenecen a todos los de la familia. En
símbolos,
Por lo tanto
En consecuencia:
.
Ejemplo:
Sea , donde .
Entonces,
Sea , donde .
Entonces,
Sea , donde .
Entonces,
Sea , donde .
Entonces,
Sea el conjunto de palabras en español.
Si definimos, .
Entonces,
Sean para .
Entonces,
CAPITULO II: RECURSIÓN Y MATRICES
1.5 Sucesiones
Las sucesiones son un modelo matemático importante en computación para representar
estructuras de datos, como son las listas de objetos.
Es decir, las sucesiones sirven para representar conjuntos de objetos donde interesa tener una
noción de orden lineal entre ellos. El orden en este caso está definido en términos de la
“posición” que ocupan los elementos dentro de la sucesión. Para fijar la posición de un
elemento dentro de una sucesión se utilizan los números naturales o un subconjunto de ellos,
asociando cada número natural con un elemento y sólo un elemento del conjunto de objetos.
Definición: 1.5.1 Sucesión finita. Sea A un conjunto. Una sucesión finita con valores en A es una
correspondencia que asocia con cada número un elemento y sólo un elemento
de A. Utilizamos la representación
para referirnos a la sucesión finita que asocia el elemento con . Gráficamente esta
correspondencia la podemos ilustrar de la siguiente forma:
Decimos en este caso que:
N es la longitud de la sucesión. (el número de elementos)
es el primer elemento.
es el último elemento.
precede a para .
está en la posición .
es el conjunto de valores.
Ejemplo:
Considérese la sucesión
De acuerdo a las definiciones anteriores para esta sucesión tenemos que: 1 es el primer
elemento; 1/6 es el último elemento; 1/3 precede a 1/2; 1/2 sucede a 1/3y 1/4 está en la
posición 4. La longitud de la sucesión es 6 y su conjunto de valores es .
La sucesión es una sucesión finita de longitud 7 con elementos repetidos.
Es decir;
En este caso el conjunto de valores es Además el elemento 0 aparece en las posiciones 2,
3, 4 y 5 Por consiguiente el elemento 0 en la posición 2 precede al elemento 0 en la posición 4.
Dos sucesiones y son iguales si sus correspondientes elementos
son iguales, es decir,
Ejemplo:
Las sucesiones
Son distintas. Obsérvese, sin embargo, que el conjunto de valores de las tres sucesiones es el
mismo: .
Una sucesión que asocia con cada número natural un objeto se le llama sucesión
infinita.
Definición: 1.5.2 Sucesión infinita. Sea A un conjunto. Una sucesión infinita con valores en A es
una correspondencia que asocia con cada número un elemento y sólo un elemento de A.
Utilizamos la representación
para referirnos a la sucesión infinita que asocia el elemento con . Gráficamente
esta correspondencia la podemos ilustrar de la siguiente forma:
Las mismas definiciones dadas para sucesiones finitas se utilizan para las sucesiones infinitas. A
excepción de los conceptos de último elemento y longitud. En este caso no están definidos.
En la sucesión infinita
Es decir,
Su primer elemento es 1; 1/50 está en la posición 50; precede a 1/20 y 1/30 sucede a 1/10. Su
conjunto de valores es: .
En matemáticas es costumbre nombrar las sucesiones por letras minúsculas como a, b, s, y
referirnos a las sucesiones y de manera abreviada por
respectivamente. Con frecuencia llamamos al elemento ,que está en
la posición n de la sucesión s, el término n-esimo de la sucesión.
En computación es más usual nombrar una sucesión por un identificador, por ejemplo, “fact.”.
También se prefiere la notación para el término n-esimo de la sucesión s. Así
representa el término n-ésimo de la sucesión fact.
Ejemplo:
Consideremos la sucesión donde .Esta es la sucesión
Consideremos la sucesión dada por para .Es decir, donde
.Esta es la sucesión .En este caso, su conjunto de
valores es .
Una sucesión importante en computación que se utiliza en problemas de conteo es la
sucesión factorial, definida por . Es decir, el
término n-ésimo de la sucesión factorial es el producto de los primeros n números. Por
ejemplo, ,
.Es costumbre considerar esta sucesión definida a partir de 0, y definir . Una
notación tradicional para denotar esta sucesión es . De esta forma, por ejemplo,
0!=1, 1!=1, 2!=2x1=2, 3!=3x2x1=6
1.6 Sucesiones definidas recursivamente
Los valores de los términos de una sucesión pueden definirse explícitamente mediante fórmulas
como . Hay sucesiones que se definen implícitamente mediante reglas que
permiten encontrar un término de la sucesión utilizando otros términos que lo preceden en la
sucesión.
Definición: 1.6.1 Definición recursiva de sucesión Una sucesión está definida
recursivamente siempre que:
(B)Cláusula base: Los valores de algunos términos de la sucesión, generalmente el primero, o los
primeros, se especifiquen explícitamente.
(R)Cláusula recursiva: Los valores de los otros elementos de la sucesión están definidos en
término de valores previos en la sucesión.
En la cláusula base se dan los valores de los elementos a partir de los cuales se generan los
demás valores de la sucesión.
La cláusula recursiva nos describe la manera (reglas o fórmulas) para obtener los otros valores
de la sucesión (de manera “recurrente”).
Ejemplo: Sucesiones aritméticas
La sucesión definida por , es decir,
Es un ejemplo de sucesión aritmética, en donde cada término se obtiene del anterior
sumándole 2.
Una definición recursiva de esta sucesión es:
(B)
(R) .
En general, una sucesión aritmética es una sucesión en la cual cada término después del primero
se obtiene sumando al término precedente un mismo número fijo d, llamado diferencia común.
Es decir, una sucesión aritmética es de la forma
Teniendo en cuenta la definición anterior, una manera de definir recursivamente una sucesión
aritmética con diferencia común d es:
(B)
(R) .
Utilizando esta definición para la sucesión aritmética con primer término y diferencia
común , podemos calcular por ejemplo,
,
,
,
.
Ejemplo: Sucesiones geométricas
La sucesión definida por , es decir,
Es un ejemplo de sucesión geométrica, donde cada término se obtiene del anterior
multiplicándolo por 2.
Una definición recursiva de esta sucesión es:
(B)
(R) .
En general, una sucesión geométrica es una sucesión en la cual cada término después del
primero se obtiene multiplicando el término precedente por un mismo número fijo r, llamado
razón o cociente común.
Es decir, una sucesión geométrica es de la forma
Teniendo en cuenta la definición anterior, una manera de definir recursivamente una sucesión
geométrica con razón común r es:
(B)
(R)
Utilizando esta definición para la sucesión geométrica con primer término y razón
común podemos calcular por ejemplo,
,
Ejemplo:Potencia entera positiva
Una sucesión importante es el caso particular de sucesión geométrica, en el cual la razón de la
sucesión coincide con el valor del primer término. Por ejemplo,
En este caso el término general de la sucesión es la potencia n-ésima de 2, y como es costumbre
se denota por .
Su definición recursiva es: .
Utilizando la otra notación tenemos .
En general, la potencia entera positiva de un número real se define de manera recursiva por:
(B)
(R) . Utilizando esta definición podemos calcular, por ejemplo,
.
,
,
,
,
.
Ejemplo:Factorial de un número
Como mencionamos antes, el factorial de un número n natural es el producto de los n primeros
números naturales, y el factorial de 0 es 1. Estos números definen la sucesión factorial fact,
donde el término n-ésimo es
La definición recursiva de esta sucesión es
(B)
(R)
Utilizando esta definición podemos calcular, .
,
,
,
,
Utilizando la notación para el factorial de n. La definición recursiva de la sucesión fact se
puede escribir como
(B)
(R)
Teniendo en cuenta la definición recursiva de y podemos tratar de expresar en
términos de su predecesor.
Para obtenemos
Luego .
Haciendo en la formula inicial, obtenemos que . Luego se define recursivamente
por:
(B)
(R)