Álgebra de Boole

Sumário

• Estrutura e Modelos

• Definições e Propriedades

• Isomorfismo

• As mesmas propriedades matemáticas podem ser observadas em contextos diferentes?

Lógica ProposicionalEquivalência Nome da regra

P ∨ QP ∧ Q

Q ∨ PQ ∧ P

Comutatividade

(P ∨ Q) ∨ R(P ∧ Q) ∧ R

P ∨ (Q ∨ R)P ∧ (Q ∧ R)

Associatividade

P ∨ (Q ∧ R)P ∧ (Q ∨ R)

(P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)(P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)

Distributividade

P ∨ 0P ∧ 1

PP Elemento Neutro

P ∨ P’P ∧ P’

10 Complemento

Teoria dos Conjuntos

A∪B = B∪A A∩B = B∩A Comutatividade

(A∪B)∪C = A∪(B∪C) (A∩B)∩C = A∩(B∩C) Associatividade

A∪(B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C) A∩(B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C) Distributividade

A∪∅ = A A∩S = A Existência de elemento neutro

A∪A´=S A∩A´=∅ Propriedades do complemento

• Uma das especialidades do pensamento científico é a busca de padrões entre diversos fenômenos observados.

‣ Seriam, essas semelhanças, manifestações de um mesmo princípio geral subjacente?

‣ Esse princípio pode ser identificado e estudado por si mesmo?

Modelos e Generalizações

• Uma estrutura matemática é um conjunto abstrato de objetos, junto com operações ou relações bem definidas entre eles

‣ modelo formal que descreve propriedades específicas (que podem ser comuns a diferentes sistemas);

‣ generalização que captura um conjunto de caraterísticas essenciais;

• A Álgebra de Boole é uma estrutura matemática.

‣ A Lógica Proposicional é uma álgebra de boole

‣ A Teoria dos Conjuntos é uma álgebra de boole

‣ A Álgebra de Boole caracteriza formalmente as propriedades comuns entre Lógica proposicional e a Teoria dos Conjuntos.

‣ A aritmética de inteiros não é uma álgebra de boole

DefiniçãoUma álgebra de Boole é um conjunto B no qual estão definidas duas operações binárias, + e ⋅, e uma operação unária, ′, e que contém dois elementos distintos, 0 e 1, tais que as seguintes propriedades são válidas, quaisquer que sejam x, y, z ∈ B:

x+y = y+x x⋅y = y⋅x Comutatividade

(x+y)+z= x+(y+z) (x⋅y)⋅z= x⋅(y⋅z) Associatividade

x+(y⋅z)=(x+y)⋅(x+z) x⋅(y+z)=(x⋅y)+(x⋅z) Distributividade

x+0 = x x⋅1 = x Elemento neutro

x+x′ = 1 x⋅x′ = 0 Complemento

Notação

• Podemos denotar uma álgebra de boole por [ B, +, ⋅, ′, 0, 1 ]

• Qualquer modelo matemático que seja uma álgebra de boole possui

‣ as operações +, ⋅ e ′

‣ os elementos 0 e 1

‣ as propriedades especificadas.

Complemento

• Se x é um elemento de uma álgebra de boole, o elemento x′ é denominado o complemento de x.

• O complemento é único.

Propriedades

• A formalização permite identificar as propriedades comuns a todos os modelos

• Se demonstrarmos uma nova propriedade, esta nova propriedade será válida para qualquer álgebra de boole

‣ ela também poderá ser usada para demonstrar outras propriedades.

Idempotência

A propriedade de idempotência da soma

x + x = x

é valida em qualquer álgebra de boole.

Exemplo

• Usando as propriedades de uma álgebra de boole, demonstre que a idempotência da soma é válida.

Exemplo

• Usando as propriedades de uma álgebra de boole, demonstre que a idempotência da soma é válida.

x+x = (x+x)⋅1 = (x+x)⋅(x+x′)

= x + (x⋅x′) = x+0

= x

Propriedade Dual

• Cada propriedade em uma álgebra de Boole tem a sua propriedade dual

• A propriedade dual é obtida permutando-se + com ⋅ e 1 com 0.

• Exemplos

Propriedade Propriedade Dual

x + x = x x⋅x = x

x+0 = x x⋅1 = x

Exemplo

• Como fica a idempotência da soma no contexto de lógica proposicional?

• E no contexto de teoria dos conjuntos?

Exemplo

• Como fica a idempotência da soma no contexto de lógica proposicional?

• E no contexto de teoria dos conjuntos?

P ∨ P = P

Exemplo

• Como fica a idempotência da soma no contexto de lógica proposicional?

• E no contexto de teoria dos conjuntos?

P ∨ P = P

A ∪ A = A

Exemplo

• Prove que propriedade x+1 = 1 é válida em qualquer álgebra de boole.

• Qual é a propriedade dual?

Exemplo

• Prove que propriedade x+1 = 1 é válida em qualquer álgebra de boole.

• Qual é a propriedade dual?

x+1 = x + (x+x′) = (x+x)+x′

= x+x′= 1

Exemplo

• Prove que propriedade x+1 = 1 é válida em qualquer álgebra de boole.

• Qual é a propriedade dual?

x+1 = x + (x+x′) = (x+x)+x′

= x+x′= 1

x⋅0 = 0

Exercício

• Prove que o complemento é único.

Dicas para Demonstrações

• Comece pela expressão mais complexa e tente mostrar que ela se reduz à expressão mais simples.

• Considere somar 0 (x⋅x′) ou multiplicar por 1 (x+x′).

• Lembre-se da idempotência (x⋅x = x e x+x=x) e da distributividade.

Isomorfismo

• Duas instâncias de uma estrutura são isomorfas se existe uma bijeção que relaciona os elementos de uma instância aos elementos da outra, de modo que as propriedades são preservadas.

‣ Cada instância é uma imagem espelhada da outra.

‣ As duas instâncias são, essencialmente, iguais.

Isomorfismo

• Um isomorfismo é uma bijeção que preserva as propriedades relevantes.

• Exemplo: Sejam (S1,ρ) e (S2,σ) dois conjuntos parcialmente ordenados.

‣ S1 = {1,2,3,5,6,10,15,30}; x ρ y ↔ x divide y

‣ S2 = ℘({1,2,3}); A σ B ↔ A ⊆ B

‣ S1 e S2 são isomorfos

• A função bijetora f é um isomorfismo do conjunto parcialmente ordenado (S1,ρ) no conjunto parcialmente ordenado (S2, σ)

‣ as propriedades são preservadas!

f: {1,2,3,5,6,10,15,30} → ℘({1,2,3})

f(1) = ∅f(2) = {1}f(3) = {2}f(5) = {3}f(6) = {1,2}f(10) = {1,3}f(15) = {2,3}f(30) = {1,2,3}

A função f-1 é um isomorfismo de (S2, σ) em (S1, ρ).

É fácil encontrar um isomorfismo entre duas instâncias?

Considere o caso de uma estrutura matemática mais complexa, como uma álgebra de Boole.

O isomorfismo precisa preservar também o comportamento das operações!

efetuar a operação e aplicar a bijeção

aplicar a bijeção e efetuar a operação=

a, b coperação

r, s

bijeção bijeção

toperação

f(a) = rf(b) = sf(c) = t

Isomorfismo de Álgebras de Boole

• Sejam A1 e A2 álgebras de Boole.

‣ A1 = [B, +, ×, ′, 0, 1] e A2 = [C, ⊕, ⊗, ″, ∅, ⊥]

• Uma função f: B→C é um isomorfismo de A1 em A2 se:

1. f é uma bijeção

2. f( x + y) = f(x) ⊕ f(y)

3. f( x × y) = f(x) ⊗ f(y)

4. f(x′) = (f(x))″

Exemplo

• Sejam A1 e A2 álgebras de Boole.

‣ A1 = [ {0, 1, a, a′}, +, ⋅, ′, 0, 1]

‣ A2 = [ ℘(S), ∪, ∩, ′, ∅, S], S = {1,2}

′⋅

Exemplo

• Então a função f, como definida a seguir, é um isomorfismo de A1 em A2

f(0) = ∅f(1) = S

f(a) = {1} f(a′) = {2}

• Não é fácil determinar se duas instâncias de uma estrutura matemática são isomorfas.

• Porém, sabemos que

‣ Se B é uma álgebra de Boole com n elementos e n = 2m para algum m, então B é isomorfa a [℘(S), ∪, ∩, ′, ∅, S], S = {1, 2, ... , m}.