Algebra

Jr. Espinar Nº 150. Telf.: 281515-282759. Av. Bolognesi Nº 274. Telf.: 282747

Tema: Polinomios, Productos Notables y Valor Numérico

División de Polinomios

Definición: Es aquella operación que tiene por finalidad hallar una expresión denominada cociente dadas otras dos (dividendo y divisor) de tal forma que el dividendo es igual al producto de divisor por el cociente más el resto.

Algoritmo de la división Algebraica

Se pueden presentar:

Primer Caso: División de monomios:

Segundo Caso: División de un polinomio entre un monomio:

Tercer Caso: División de dos polinomios:Se debe tener en cuenta que los polinomios deben ser completos y ordenados en forma decreciente con respecto a una letra llamada ordenatriz, si faltase alguna variable se reemplazará por coeficientes ceros.

Para dividir dos polinomios se utilizan los siguientes métodos:

1. Método clásico o general2. Método de los coeficientes separados3. Método de los coeficientes indeterminados4. Método de Horner5. Método de Ruffini

Propiedades:1. El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.

2. El número de términos del cociente está dado por:

3. El grado del residuo es siempre menor que el grado del divisor, su máximo grado es una unidad menor que el grado del divisor.

Ejercicios1. Efectuar la siguiente división:

a)

b)

c)

d)

INFORMES: Jr. Espinar Nº 150. Telf.: 281515-282759. y Av. Bolognesi Nº 274. Telf.: 282747. Quillabamba

Academia Albert Einstein Álgebra

e)

2. Determinar m y n de manera que el polinomio: ; sea

divisible entre a) 14 y 13 b) 15 y 16 c) 13 y 12d) 16 y 15 e) 11 y 12

3. Calcular (m+n), si: , es

una división exacta.

a) –2 b) –1 c) 2d) 3 e) 0

4. El resto de la división:

Es igual a –16; cuando “y” es igual a:a) 3 b) 2 c) 1d) 5 e) 6

5. Si en una división:

el dividendo; el

divisor el cociente y el residuo, resolver la siguiente ecuación:

a) 2 b) 4 c) 1d) 6 e) 5

6. Hallar si la división es exacta:

a) 81 b) 82 c) 83d) 84 e) 80

7. Sabiendo que la división:

Es exacta, halle el residuo de la división:

;

a) 8 b) 7 c) 6d) 9 e) 58. En el esquema de Horner mostrado, hallar el valor de:

a) 20 b) 18 c) 15d) 5 e) –3

9. Cuando: se

divide entre , se obtiene un cociente cuyos coeficientes van disminuyendo de 1 en 1 a partir del primer término y un residuo igual a . Hallar: .a) 2 b) 21 c) 15d) 12 e) 13

10. Si el cociente que se obtiene de dividir:

Es equivalente al residuo, determine este, siendo .a) b) c) d) e)

11. Al efectuar la división:

se observa que la suma de los coeficientes del cociente y el resto es cero, el valor de éste último es:a) –1 b) –4 c) –2d) –8 e) 2


2

Calidad Educativa ... con Tecnología y Modernidad

12. En la división:

calcular la suma de coeficientes del cociente:a) b) c)

d) e) 0

13. En la siguiente división:

Hallar el T. I. del cociente.a) 10 b) 12 c) 8d) 4 e) –1

14. Dividir:

Dar como respuesta el término independiente del cociente.a) 6 b) c)d) 5 e) 8

15. Encontrar la suma de los coeficientes del cociente en la siguiente división:

si el resto es 64.a) 60 b) 51 c) 52d) 53 e) 68

Teorema del Resto o de Descartes

El teorema del resto o de Descartes se utiliza con la finalidad de hallar el residuo en una división sin efectuar la operación; entre un divisor binomio de la forma

o cualquier otra expresión transformable a esta.

RECOMENDACIONES:a) Igualar el divisor a cerob) Calcular un valor para xc) El valor de “x” se reemplaza en el

dividendo y el valor obtenido es el resto de la división.

Se pueden presentar los siguientes:

CASO I:

Ejemplo: Hallar el resto de dividir

Solución: Igualamos el divisor a cero:

Este valor de , reemplazamos en el

Dividendo

Residuo =

Residuo=

CASO II:

Ejemplo: Hallar el resto de dividir:

Solución:Primero procedemos a hacer un cambio de variable Luego trataremos de colocar el dividendo en función de :


3


Reemplazando:

De la misma forma con el divisor:

Ahora igualamos el divisor a cero:

Este valor , reemplazamos en el dividendo para hallar el resto:

Residuo=

CASO III: Divisiones de la forma:

En estos caso también es posible aplicar el cambio de variable.

Ejercicios1. Hallar el resto en la división:

a) 10 b) 12 c) 15d) 18 e) 20

2. Hallar el resto de la división:

a) 40 b) c) d) e)

3. El resto de dividir:

entre es:

a) 20 b) 48 c)

d) e)

4. Calcular “m” si la división es exacta:

a) 5 b) 4 c) 3d) 6 e) 8

5. Hallar el residuo de la siguiente división:

a) 64a6 b) –64a6 c) 46a6 d) –4a e) 4a7

6. Calcular el resto de dividir: entre a) b) c) d) e)

7. Hallar el resto de la división:

a) 40 b) 41 c) 42d) 28 e) 30

8. Hallar el resto en la división

a) 8 b) 16 c) 15 d) 18 e) 256

9. Hallar el resto en:

a) –2 b) –4 c) 4d) 2 e) 41

10. Señalar el residuo en la siguiente división:

a) b) c) INFORMES: Jr. Espinar Nº 150. Telf.: 281515-282759. y Av. Bolognesi Nº 274. Telf.: 282747. Quillabamba

4


d) e)

11. Calcular el resto de dividir:

a) 129 b) 513 c) 257d) 255 e) 128

12. Hallar el resto de dividir:

entre a) b) c) d) e)

13. El resto de dividir

; es:

a) 34 b) 35 c) 64 d)3 e) 30

14. Hallar , si en la división:

se obtiene como resto :a) 2 b) 4 c) 8d) 10 e) 5

15. Hallar el resto de dividir:

a) 310 b) 320 c) 280d) 360 e) 630

Cocientes NotablesDefinición: Son aquellas divisiones algebraicas en las cuales el cociente y el residuo de la división se obtienen sin

necesidad de efectuar la operación (resto igual a cero). Estos casos especiales son de la forma general:

; donde: “x” y “a” son las bases y

.Condiciones que deben de cumplir:

a) Deben tener las bases igualesb) Deben tener los exponentes iguales.

Se presentan 4 casos:

CASO I:

= C.N.; donde “n” es par o

impar.

CASO II:

= C.N. ; donde “n” es impar

CASO III:

= C.N. ; donde “n” es par

CASO IV:

; No es C. N.

Fórmula del término general del desarrollo de los cocientes notables:

Donde “k” es el lugar pedido y “n” es el exponente de los bases en el numerador.

Regla para el signo:


5


a) Cuando el divisor es de la forma todos los términos son

positivos.

b) Cuando el divisor es de la forma los términos de lugar par son

negativos y los términos de lugar impar son positivos.

Propiedad:

Si: ; origina un cociente notable

Entonces se cumple:

Además:

Ejercicios1. Hallar el coeficiente del cuarto término del desarrollo de:

a) 24 b) 52 c) –34d) 34 e) –54

2. Hallar el término octavo en el desarrollo

de:

a) b) c)

d) e)

3. Del cociente notable ;

calcular:I) Número de términos del C.N.II) Hallar el y .

a) 50, ,

b) 51, ,

c) 51, ,

d) 50, ,

e) 40, ,

4. ¿Qué lugar ocupa el término de grado 34 en el cociente notable generado por:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5. Si: A es el penúltimo término del C.N.

generado por: ; hallar A.

a) b) c)

d) e)

6. La suma de todos los exponentes de las variables del desarrollo de:

; es:

a) 2400 b) 2500 c) 2600d) 2700 e) 2800

7. Simplificar:

a) b) c)

d) e)

8. Calcular:

a) 0,8 b) 0,1 c) 0,9INFORMES: Jr. Espinar Nº 150. Telf.: 281515-282759. y Av. Bolognesi Nº 274. Telf.: 282747. Quillabamba

6


d) 1 e) 9

9. Simplificar:

a) b) c)

d) 1 e) x–110. Hallar el número de términos del C.N.:

a) 12 b) 13 c) 18d) 15 e) 10

11. Si el grado absoluto del octavo

término del Cociente Notable es

12; el número de términos de su desarrollo es:a) 12 b) 36 c) 8d) 10 e) 29

12. En el siguiente cociente notable:

el V.N. del tercer término de

su desarrollo para: , y =

a) 1 b) 32 c) 64d) 8 e) 16

13. Calcular el término independiente en el cociente notable:

a) 9 b) 19 c) 27d) e)

14. Hallar ( ) en el cociente notable:

si:

a) 20 b) 84 c) 48

d) 36 e) 72

15. El G.A. del término de lugar 6 del

siguiente CN: es:

a) 9 b) 10 c) 18d) 19 e) 21

Tarea para tu Domicilio

AUTOEVALUACIÓN

1. Si al efectuar:

el residuo es 1. Calcular: a) 9 b) 11 c) 13d) 15 e) 17

2. Calcular: “ ” si la división deja como resto:

a) 4 b) 3 c) 5d) 1 e) 2

3. Determinar (a + b + c) que al dividir:

el resto sea: a) 11 b) 5 c) 10d) 6 e) 3

4. Calcular: , si la división:

; no deja resto.

a) 25 b) 20 c) 30d) 10 e) 50


7


5. En la división:

El término independiente del cociente es ; ¿De qué grado es el dividendo?

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11

6. Hallar el resto de dividir:, entre

Sabiendo que la suma de coeficientes del cociente es 37.a) 46 b) 45 c) 44d) 43 e) 42

7. Calcular si la suma de los coeficientes del cociente es 256 y el resto es 24.

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

8. Al efectuar la división:

se observa que la suma de los coeficientes del cociente y el resto es cero, el valor de éste último es:a) –1 b) –4 c) –2d) –8 e) 2

9. En la división:

calcular la suma de coeficientes del cociente:a) b) c)

d) e) 0

10. En la siguiente división:

Hallar el T. I. del cociente.a) 10 b) 12 c) 8d) 4 e) –1

11. Si el resto en , es de

la forma: . Hallar .a) 10 b) 15 c) 20d) 25 e) 30

12. El resto de dividir es

a) 2 b) –2 c) 3d) –3 e) 1

13. Calcular el en el siguiente C.N.:

a) b) c)

d) e)

14. Hallar el décimo término del C. N.:

a) b) c)

d) e)

15. Si: es cociente de:

a) b) c)

d) e)

16. Simplificar:

a) b) c)


8


d) e)

17. Hallar el valor de “a” si se sabe que el penúltimo término de la expansión de

es; x2 y82.

a) 36 b) 41 c) 84d) 128 e) 86

www.unicusco.org


9

http://www.unicusco.org/

Algebra

Documents

Transcript of Algebra