SEMANA 15

LOGARITMOS E INECUACIONES

LOGARÍTMICAS

1. Determine el valor “N”, si 9

100 512Log N 1,5 Log 2

A) 10 B) 100 C) 1 000

D) 2 200 E) 512

RESOLUCIÓN

100 512 100

3 3Log N Log 512 Log N

2 2

3

2N = 100

3

2 2N = 10 1 000

RPTA.: C

2. Calcule 0,5

1 225

k Log 0,00032 Log 2

A) 5

2 B)

3

2 C)

3

2

D) 7

2 E) 3,7

RESOLUCIÓN

1

5 21 2

25

k L og 32 10 L og 2

x 1

x

5512 2 5

25

2x 5 5 55 2 2 5

2x 55 5

-2x=-5

5

x2

5 7

K 12 2

RPTA.: D

3. La expresión:

1 1

antilog L oga L ogb 2L ogc3 2

es

igual a:

A)ab

c B)

2

a b

c C) 3

ab

2c

D) 32

a b

c E) 3

2

ab

c

RESOLUCIÓN

21antilog L oga L og b L ogc

3

2

1 a bantilog L og

3 c

3 32 2

a b a bantilog L og

c c

RPTA.: D

4. Halle el valor de

2 3 3 1,5W=Log Log antilog Log 2,25

A) 0 B) 1 C) 2 D) 1,5 E) 0,75

RESOLUCIÓN

2

2 3 3 1,5w Log Log antilog Log 1,5

2

2 3 3w Log Log antilog 2 1

RPTA.: B

5. Resolver 2

3 3Log x 2Log x 3 , e

indicar el producto de sus raíces.

A) -4 B) 9 C) 1

9

D) -3 E) 1

RESOLUCIÓN

2

3 3Log x 2 Log x 3 0

a

2a 2a 3 0

a 3 a 1 0

1

a = -3 a = 1

3Log x 3 3Log x 1

1

1x

27 2x 3

x1x2 = 1 1

32 9

RPTA.: C

6. Resolver: xx x 2

x 2

xLog x x

, e

indicar el valor 2x 1

A) 15 B) 8 C) 24

D) 37 E) 48

RESOLUCIÓN

xx x 2x 4

xx Log x x

x

2x

x

4

xx x

x

x 4 2xx x x x

x 5 2xx x x + 5 = 2x x = 5

25 1 24

RPTA.: C

7. Resolver Ln 12 Ln x 1 Ln(x 2) ,

e indicar su conjunto solución:

A) 5; 2 B) 2 C) 5

D) 1;5 E) 3; 2

RESOLUCIÓN

Ln12 Ln x 2 Ln x 1

Ln12 Ln x 2 x 1

212 x 3x 2

20 x 3x 10

x -5

x 2 (x-5)(x+2)=0

x = 5 x = -2

Verificando, no será valor de la ecuación

C.S.= 5

RPTA.: C

8. Calcule el logaritmo de 2 2 en

base 48 2

A) 7

2 B)

11

3 C)

6

13

D) 8

7 E)

9

4

RESOLUCIÓN

1 3

2 2Log2 2 Log2 2 Log2

1 13

34 4 48 2 2 2 2

4 1

3 4

13

4

1

2

8 22 2

3

2

2

Log 2 2 Log 2 2

Log 2

3

213

4

6

13

RPTA.: C

9. Señale el valor de x que satisface

a la igualdad.

5

2Log (x 3) 7x 1

57x 3

A) 12

5

B) 5

12

C) Indeterminado D) Incompatible

E) x

RESOLUCIÓN

27x 1

x 37x 3

2 27x 3x 21x 9 7x 1

- 24 x +9 = - 1

10 = 24 x

5

x12

RPTA.: B

10. Resolver la ecuación

2

2

x x

x xLog x Log x 24

A) 3 B) 4 C) 6 D) -8 E) C ó D

RESOLUCIÓN

Como: n

m

a

mLog a

n

2x

x 242

22x x 48

2x 2x 48 0

x 8 x 6 0

x = - 8 ó x = 6

x = 6 RPTA.: C

11. Resuelva la ecuación

1

Logx Log x2

A) 6 B) 8 C) 10 D) 100 E) Incompatible

RESOLUCIÓN

x

1 1Log a a a

2 2

2 a a 1

2 a a 1

Elevando al cuadrado

24a a 2a 1

20 a 2a 1

a = 1 Logx = 1 x = 10 Incompatible

RPTA.: E

12. Señale el producto de las raíces

de la ecuación: xLog 381 27x

A) 1

3 B)

1

9 C)

1

27

D)1

81 E)

1

243

RESOLUCIÓN

1. Tomando logaritmo en base “x”

x x x xLog 3 Log 81 Log 27 Log x

x x xLog 3 4Log 3 3Log 3 1

2. 2

xLog 3 z 4z 3z 1

24z 3z 1 0

4z 1 z

z -1-4z

- 3z

4z 1 z 1 0

a) z = 1 x=3

b) z =1

4

1

42x 3

x2=1

81

1 2

1x x

27

RPTA.: C

13. Señale el valor de “x” que verifica la igualdad

n

nlog x n

nnlog x n

A) n B) nn C) n 1n

D) n 1n E) n 1nn

RESOLUCIÓN

Elevando a la potencia “n”

n

nnnLog x n

nnLog x n

n

nnLog x n

n 1

nLog x n

n 1nx n

RPTA.: E

14. Halle la suma de las raíces de la siguiente ecuación

2 2Log x Log x

A) 16 B) 17 C) 19 D) 21 E) 32

RESOLUCIÓN

2Log x z

2 z z

24z z z = 0 z = 4

2Log x 0 2Log x 4

0x 2 4x 2

x = 1 x = 16

16 + 1 = 17 RPTA.: B

15. Indicar el producto de las raíces

de la siguiente ecuación

5Log x 2x 125

A) 5 B) 15 C) 125

D) 25 E) 1

5

RESOLUCIÓN

Tomando logaritmos en base “x”

5 x xLog x 2 Log x Log 125

5 xLog x 2 3Log 5

Haciendo 5Log x z; se tiene

z- 2= 3

z

2z 2z 3 0

z 3 z 1 0

5Log x 3

x = 125

5Log x 1

x = 1

5

Por consiguiente: Producto = 25

RPTA.: D

16. Resolver el sistema:

2 2 xLog xy Log 8

y ,

Logx Logy2 4

e indicar el producto de valores “x”

A) 10 B) 100 C)1

10

D) 1 E) 0

RESOLUCIÓN

Losx 2Logy2 2 Logx 2Logy

2Logx Logy

2x y

2 2 xLog xy Log 8

y

2

2 2 2 yLog y y Log 8

y

2 3 2Log y Log y 8

3 3Logy Logy Logy Logy 8

3Logy Logy 3Logy Logy 8

2Logy 4Logy 8

2Log y 1

Logy 1

Logy 1 Logy 1

1y 10 1

2y 10

2

1x 10 2

2x 10

2 2 0

1 2x x 10 10 10 1

RPTA.: D

17. Si a;b distintos de la unidad y

además: ab = 1 averigüe el valor

de: b aLog 0,5 Log 0,2a b

A) 2 B) 5 C) 7

D) 10 E) 12

RESOLUCIÓN

De: ab= 1 11b b a

a

Ahora reemplazando:

1 1a ba b

5 2Log Log

10 10 Log 2 Log 5a b a b 2 5 7

RPTA.: C

18. Halle el Log 6!, sabiendo que Log 2=a; Log 3=b

A) 2a+3b+1

B) 3a+2b+1

C) 4a+b+1 D) a+2b+1

E) 3a+b+1

RESOLUCIÓN

Log 6!= Log 1 2 3 4 5 4 6

Log 6!= Log 1 Log2 Log3 Log4 Log5 Log6

Pero la necesidad es expresado en términos de 2 y 3. Por ello.

2

2

10Log 6!=0 a b Log 2 Log Log2 3

2

Log 6!=a b 2Log2 1 Log2 Log2 Log3

Log 6!=3a+2b+1

RPTA.: B

19. El valor de la expresión:

LogLog 9 44 3Log 279

10 ; será:

A) 0,001 B) 0,1 C) 10 D) 1 000 E) 100 000

RESOLUCIÓN

Aplicando la regla del sombrero

dos veces en: Log 43Log 9 34

3 32 Log 4 Log 3Log 27

4 910 10 Log 9 Log 27 10

310 1 000

RPTA.: D

20. Halle el producto de los raíces de:

xLog 2x 2x 2

A) 2 B) 4 C) 8

D) 2 E) 2

2

RESOLUCIÓN

2

2 2

x

1Log x Log 2

Log 2x

2 22

2

Log 2xLog x

Log x

2

2 22 Log x 1 Log x

2 22Log x Log x 1 0

22Log x +1

2Log x - 1

2Log x 1 x 2

2

1Log x

2

1 2

x22

1 2x x 2

RPTA.: D