algebra 08

Exercices résolus de mathématiques.

ALG 8EALG080 – EXALG089

http://www.matheux.be.tf

Jacques Collot

Juillet 03

www.matheux.be.tf - ALG 8 - 1 -

EXALG080 – Bruxelles, septembre 2001.

Résoudre dans C, l’équation :

2 2 6 15 0 avec module de z z i z z− + − = =

2 2 2

2 22 2

12

2

1

2

SoitL'équation devient :

2 15 02 2 6 15 0

2 6 0

3.64583 2 6 0

1.645Solutions

3.6548 31.645 3

z a bi z a b

a b aa b a bi i

b

ab a a

a

z iz i

= + → = +

+ − − =+ − − + − = → − + =

=→ = → − − = → = −

= + = − +



Résoudre dans R, l’inéquation :

( ) ( )21 ln 3 ln 2 3x x x+ + > + −

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

2

2

2

3CE : 1

2 3 1 3 0 3; 1

L'équation devient :

ln . 3 ln 2 3

. 3 2 3 1 3On peut simplifier par 3 puisque 1

1 1

Conclusion : 1 1

xx

x x x x x x

e x x x

e x x x x xx x

e x x e

x e

> − → > + − = − + > → < − >

+ > + −

+ > + − = − ++ >

> − → < +

< < +



Trouver un réel m tel que les 4 racines de l’équation :

( )4 2 23 1 0x m x m− + + =

soient quatre réels distincts en progression arithmétique.Quelles sont alors ces quatre racines ?

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )3

2

Soient les quatres racines : ; ; 2 ; 3L'équation peut s'écrire : 2 3 0

2Le coefficient du terme en est la somme des racines: 4 6 0 13

Le coefficient du terme en est ég

a a r a r a rx a x a r x a r x a r

x a r r a

x

+ + +

− − + − + − + =

→ + = → = −

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )

2 2

2

2

2

2

ale à 3 1 6 18 11 3 19Compte tenu de 1 3 1 2

10Le terme indépendant est le produit des racines et égal à

2 3

Compte tenu de 1 3 3

De 2 et 39) 3 3 1 3

10L'équation devient

m a ra r m

a m

ma a r a r a r m

a m

A m m m

− + → + + = − +

→ = +

+ + + =

→ = ±

→

= + → =

( ) ( )

( )

4 2 2

4

: 10 9 1 9 0

Ce qui donne les racines : 3, 1, 1, 3 qui sont bien en progressionarithmétique

9 3B) 3 3 110 19

L'équation devient : 0.5263 0.0249 0Ce qui donne les racines : 0.688247, 0.2294

x x x x

m m m

x x

− + = − − =

− −

− = + → = −

− + =− − 17, 0.229417, 0.688247

qui sont bien en progression arithmétique

Note : On peut faire aussi l'exercice en considérant que les racines sont en progression géométrique.

1 1On trouve : Les racines sont : 5 5

m = − ± (2 ) La raison : 1r× = −



Résoudre dans R³ et discuter en fonction du paramètre réel a le système :

( )( )

( )

3 02 2 2 0

1 0

a x y zx a y zx y a z

− + − = + − − = − + − =

( ) ( )

C'est un système homogène.3 1 1

= 2 2 2 4 21 1 1

) 03 0

0Le système devient: 2 2 2 0 Système simplemen t indéterminé.

0) 2

0Le système devient: 2 2 0

0

aa a a a

aA a

x y zx

x y zy z

x y zB a

x y zx zx y z

− −∆ − − = − − −

− −

=+ − =

= + − = → = − + ==

+ − = − = − − =

Systéme simplement indéterminé0

) 40

Le système devient: 2 2 2 0 Systéme simplemen t indéterminé0

3 0

0) Dans les autres cas : 0

0

x zy

C ax y z

x yx y z

zx y z

xE y

z

=→ =

=− + − =

= − − = → = − − ==

= =

Corrigé le 2 avril 2006 (Sabine Bouzette)


EXALG084 – Bruxelles, juillet 2002.

Trouver un polynôme du 4ème degré P(x) sachant qu’il est divisible par x etx²+5, que le reste de sa division par x-1 vaut –30 et que le reste de sa divisionpar x-2 vaut –54.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

2

4 3 2

Le polynôme peut se mettre sous la forme :

5

On a :1 1. 1 5 30 6

2 2. 2 5 2 54 2 3On déduit : 2 7

2 7 10 35

P x x x ax b

P a b a b

P a b a ba b

P x x x x x

= + +

= + + = − → + = −

= + + = − → + = −= = −

→ = − + −



Déterminer toutes les valeurs réelles de a pour lesquelles :

2 0 , 0ax x a x− + ≥ ∀ >

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

2

22

Pour que soit toujours 0, pour tout , il faut que la concavité de la

fonction soit 0

De plus, il faut que le soit 0.1 4 1 2 1 2 0

1 1,2 2

1 1 1 1Si 1 qui est toujo2 2 2 2

P x x

P x a o

a a a

a a

a P x x x x

≥

> → >

∆ <→ ∆ = − = − + <

→ < − <

= → = − + = − urs 0

1Conclusion :2

a

≥

≥



Si a et b sont deux nombres réels, quelle condition doivent-ils vérifier pour quel’équation :

2 0az bz a+ + =

admette deux solutions complexes conjuguées ?Dans ce cas, calculer le module de ces solutions ?

( ) ( )

2

2

2 2

2 22 21 2

0 Avec 0, sinon 0

1 0

Cette équation admettera deux racines co mplexes conjuguées si :

4 0 1 ou 22

Soient et , on a : Or le produit des racines e

az bz a a zbz za

bb a b aa

i i i i z z

+ + = ≠ =

→ + + =

∆ = − < → < <

α + β α − β α + β α − β = α + β = =

1 2

st aussi égal au terme indépendant de l' équation

1z z→ = =



Résoudre dans R³, en discutant par rapport au paramètre réel a, le système

3 3

2 0

ax y z ax az ax ay

+ + = + = + =

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

3 3 3 31 0 3 3 0 32 0 0 0

3 31 2 3 1 0 2 32 0 0 2 0

Discussion3 3 0

01) 0 0

2 0

33 3 3 332) 3 3 32

2 3 0 33 3 3 3

3) 3 3

x

y z

a aa a a a a a a a

a a

a a a aa a a a a a a a

a

y zx

a xy z

x

xx y z za x z

xyx y

x y za x z

∆ = = − + − ∆ = = − −

∆ = = − ∆ = = − + −

+ === → = → = − =

−+ + = = = → + = → = −+ = − + + =

= → − = 3 Système impossible2 3 0

324) Dans les autres cas :

323

x y

axa

yaa

za

→ − =

= + = − +

+ = +



Résoudre dans C et discuter en fonction des paramètres réels a et b

( ) 22 2 0a z iz b+ + =

( )( )

( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( )

22 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

22 2

0 2 0

1 2 0

' 1

11 1 1 1

1) 1

L'équation devient : 0 2Si 0 indéterminé

Si 0 1seule racine.2

2) 1

L'équation dev

a z iz b a z z ibz b

a z ibz b

b a b a b

ib aib abiza a a a

a

z iz b bi z bb

bib z

a

+ + = → − + + =

− + + =

∆ = − − − = −

− ±− ±= =+ − + −

=

+ + = → = −=

≠ =

= −

( ) 22 2

2 2 21 2

1 2

ient : 0 2Si 0 indéterminé

Si 0 1seule racine.2

3) 0 1L'équation devient : 0 0

4) Dans les autres cas :

1 1

z iz b bi z bb

bib z

b aa z z z z

bi biz za a

+ + = → = −=

≠ =

= ≠ ±− = → = =

= =− +



Décomposer3 32 3a b ab+ −

en facteurs polynomiaux du premier degré.

( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3

1 2 3

1 3 2 2 3 1 1 2 3

3 1 2 1 2 3 2 1 3

1 2 3

Le polynôme peut se mettre sous la forme :

Ce qui donne le système suivant :2

30

1Système de quatre équations à 6 inco

a b a b a bα + β α + β α + β

α α α =α α β + α α β + α α β = −α β β + α β β + α β β =β β β =

( )

( )( )

1 2 3

2 311 2 3

1 3 2 3 1 2 1 2 3 1 2

3 1 2 3 2 1

2 31 1 1

1

1

nnues.Posons 1 1. Le système devient :

22

3 30

2 3 3 2 0

Ce polynôme est divisible par 2 car P 2 0

Horner

β = β = → β =α α = αα α α = α α + α α + α α = − → α α + α + α α = −

α + α + α = α + α = −α

→ − α + = − → α − α − =α

α − =

( ) ( )

( ) ( )

21 1

1

2 3

3 2 3 2

3 2

1 2 3

2

1

2 3

3 2 3 2

3 2

1 3 2 : 2 2 4 2 2 1

1 2 1 0

1) 21

2 2 3 Système simplement indéterminé dont u ne2

solution est 2; 1

Le polynôme s'écrit donc : 2

2) 12

31

a b a b

− −→ α − α +

α =α α =

α + α α + α = −α + α = −

α = α = α = −

+ −

α = −α α = −−α + α α − α = −α + α =

( ) ( )1 2 3

2

Système simplement indéterminé dont une

solution est 1; 2

Le polynôme s'écrit donc : 2 Solution iden tique.a b a b

α = α = − α =

+ −


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