ALG 6 Dénombrement · 2020-01-15 · PCSI 2 \2019-2020 Laurent Kaczmarek Déﬁnition 6.3....

$: ALG 6 Dénombrement · 2020-01-15 · PCSI 2 \2019-2020 Laurent Kaczmarek Définition 6.3. Ensemble fini, cardinal Soit E un ensemble. On dit que E dit fini (ou encore de cardinal$
ALG 6 Dénombrement

La combinatoire s’intéresse aux méthodes permettant de compter les élémentsdans des ensembles finis (combinatoire énumérative ou analyse combinatoire) età la recherche des optima dans les configurations ainsi qu’à leur existence (com-binatoire extrémale).

PCSI 2 \ 2019-2020 Laurent Kaczmarek

L A combinatoire remonte à l’Antiquité : Plutarque rapporte ainsi un débat entre Chrysippe etHipparque sur le nombre de façons de combiner dix propositions, le résultat n’ayant été com-pris qu’au XXe siècle.

Parmi, les autres précurseurs, on peut citer Bha-skara II au XIIesiècle (nombre de choix de p éléments parmi n), Raymond Lulleau XIIIe siècle, Gersonide au début du XIVe siècle (rapport entrele nombre d’arrangements et le nombre de combinaison), MichaelStifel au XVIe siècle (première approche du triangle de Pascal).

Elle se développe de façon significative à partir du XVIIe siècle, enmême temps que le calcul des probabilités avec Blaise Pascal etPierre de Fermat.

Initialement, elle avait pour objet la résolution des problèmes dedénombrement, provenant de l’étude des jeux de hasard. Plus tard,elle se lia à la théorie des nombres et à la théorie des graphes.

Blaise Pascal

1. Ensembles de cardinal fini

L’approche imposée par le programme est essentiellement intuitive : le cardinal d’un ensemble estson nombre d’élément(s). Dans ce cours, nous formaliserons cependant quelques définitions et don-nerons quelques éléments de preuve 1.

1.1. Équipotence et cardinal

On formalise mathématiquement l’idée que deux ensembles E et F ont « la même taille » par l’exis-tence d’une bijection φ : E → F.

Définition 6.1. Équipotence

Soient E et F deux ensembles. On dit que E est équipotent à F s’il existe une bijection φ : E → F.

Remarque 6.2. Propriétés de l’équipotenceL’équipotence a les propriétés d’une relation d’équivalence 2. Soient E et F des ensembles.

. Puisque l’application identique idE est bijective, E est équipotent à E.

. Soit φ : E → F une bijection. Comme φ−1 : F → E est également bijective, E est équipotent à F si etseulement si F est équipotent à E.

. De plus, si E est équipotent à F et F équipotent à G, alors E est équipotent à G (car la composée dedeux bijections est une bijection).

L’équipotence va nous permettre de fonder la notion d’ensemble fini et de cardinal. Dans ce qui suit,on adopte la convention classique suivante : �1,n� =∅ si n = 0. L’idée est simple, un ensemble E estfini si on peut le mettre en bijection avec un ensemble de la forme �1,n�.

1. Il est conseillé de comprendre les preuves de ce premier paragraphe – ce sera une bonne introduction à l’algèbre plus abstraite que nous dévelop-perons dans la suite du cours – mais on peut se contenter en première approche de la définition naïve et du bon sens qui l’accompagne.

2. Mais n’en est pas une car la collection de tous les ensembles n’est pas un ensemble.

LLG \ PCSI 2 ALG 6 \ 2


Définition 6.3. Ensemble fini, cardinal

Soit E un ensemble.

. On dit que E dit fini (ou encore de cardinal fini) s’il existe n ∈N tel que E soit équipotent à �1,n�.

. Un tel entier naturel n est alors unique et appelé cardinal de E. On le note card(E), #E ou encore |E|.

. Un ensemble E qui n’est pas fini est dit infini.

E �1,4�

π 1

e 2

0 3

p2 4

D’un point de vu intuitif, une bijection

φ : E →�1,n�est tout simplement une numérotation des élé-ments de E : à tout élément de E, on associe bi-jectivement un élément de �1,n�.

On trouvera ci-contre une illustration de la rela-tion

#{π , e , 0 ,

p2}= 4

Exemple 6.4. Quelques calculsAppliquons la définition aux cas élémentaires suivants :

. E0 :=, E1 :=P(E0) et E2 :=P(E1) sont finis et de cardinaux respectifs 0, 2 et 4.

. Pour tout couple d’entiers naturels (p, q) tels que p É q , �p, q� est fini et on a #�p, q� = q −p +1.

Proposition 6.5. (Ensembles équipotents à un ensemble fini).Soient E et F deux ensembles. Si E est fini et si F est équipotent à E, alors F est fini et #E = #F.

La proposition suivante est très intuitive.

Proposition 6.6. (Parties d’un ensemble fini).

Soient E un ensemble fini et A une partie de E.Alors A est finie et #A É #E. De plus A = E si et seulement si #A = #E.

Les deux propositions précédentes se démontrent par les lemmes suivants 3 : s’il existe une injectionde �1,n� dans �1, p�, alors n É p ; toute partie de �1,n� est finie et de cardinal inférieur à n, avec égalitési et seulement si elle est égale à �1,n�.

Ce résultat donne un nouveau moyen 4 de démontrer l’égalité de deux ensembles lorsqu’ils sont finis.

Savoir faire 6.7. Prouver que A = B

Pour montrer que des ensembles finis A et B sont égaux il suffit d’établir que A ⊂ B et que #A = #B.

3. Démonstrations par récurrence sur n.4. Autre que la double inclusion.



1.2. Injections, surjections et bijections

D’un point de vue intuitif, l’existence d’une injection de E dans F, ensembles finis, impose l’inégalité#E É #F. De même, l’existence d’une surjection de E sur F, entraîne l’inégalité #F É #E. On méditerales schémas suivants.

E

Fu φ

π ν

ψ 0

−3

On ne peut « injecter » E dans F que si #E É #F : ily a au maximum #F flèches (par injectivité de f )or il y en a #E (par définition d’une application).

E

Fφ

7ν

ln(2)γ

π

0

On ne peut construire une surjection E sur F quesi #F É #E : il faut au moins #B flèches (par sur-jectivité de f ) or il y en a exactement #E (par dé-finition d’une application).

D’une manière générale, si f : E → F est injective, alors E est équipotent à f (E).

E

Fu φ

π ν

ψ 0

−3

En effet, la co-restriction f | f (E) de f à f (E) estune bijection de E sur f (E) ; f (E) peut se voircomme « une copie » de E dans F.

E

f (E)u φ

π ν

ψ 0

Proposition 6.8. (Injections).

Soient E et F deux ensembles finis et f : E → F une injection. On a # f (E) = #E et donc #E É #F.

Cette proposition permet de formaliser le fameux principe des tiroirs :

Proposition 6.9. (Principe des tiroirs).

Si n +1 chaussettes sont rangées dans n tiroirs, alors deux chaussettes au moins se retrouvent dansle même tiroir.

Exemple 6.10. Utilisation du principe des tiroirs

Soient (ai )1ÉiÉ5 cinq réels distincts de [0,1]. Il existe (i , j ) ∈ �1,5�2 tels que 0 < ai −a j É 1

4.

Il existe une forme de dualité entre les injections et les surjections qui permet de transposer des ré-sultats sur les injections en des propriétés des surjections.



Lemme 6.11. (Injection source-but et surjection but-source).Soient E et F deux ensembles. Il existe une injection de E dans F si et seulement si il existe unesurjection de F sur E.

Un exemple de construction d’une surjection de F sur E à partir d’une injection de E dans F :

E

Fu φ

π ν

ψ γ

0

E

Fu φ

π ν

ψ γ

0

Un exemple de construction d’une injection de E dans F à partir d’une surjection de F sur E :

F

Eφ

uν

πγ

ψ

0 F

Eφ

uν

πγ

ψ

0

Par le lemme, la propriété suivante n’est qu’un corollaire de la proposition ??

Proposition 6.12. (Surjections).

Si E et F sont deux ensembles finis et f : E → F une application surjective, alors #F É #E.

Dans le cas d’ensembles finis, on dispose de la caractérisation suivante des bijections.

Proposition 6.13. (Bijections).

Soient E et F deux ensembles de même cardinal fini et f : E → F. Alors f est bijective si et seulementsi f est injective, si et seulement si f est surjective.

Tests

6.1. On considère cinq points dans [0,2]2.Montrer qu’il existe deux points situé à une distance inférieure à

p2.

1.3. Digression sur les sommes et les produits

Si I est un ensemble fini et (ai )i∈I une famille de nombres complexes indexée par I, on note∑i∈I

ai



la somme des éléments de l’ensemble 5 { ai ; i ∈ I }. Par convention, cette somme est nulle si I est vide.On définit de même le produit des ai pour i dans I (avec la convention d’un produit valant 1 si I estvide). Ces conventions sont naturelles : elles permettent d’écrire que, pour I et J finis et disjoints, on a∑

k∈ItJak = ∑

k∈Iak +

∑k∈J

ak et∏

k∈ItJak =

(∏k∈I

ak

)×

(∏k∈J

ak

)dans tous les cas, y compris le cas où l’un des deux ensembles d’indices est vide.

Voici une formule intéressante qui fait le lien entre les fonctions indicatrices et la notion de cardinal :

Savoir faire 6.14. Calcul du cardinal d’une partie par la fonction indicatrice

Pour tout ensemble fini et A ⊂ E, on a

#A = ∑x∈E

1A(x) , où 1A est la fonction indicatrice de A

Voici une autre formule importante, celle du développement par distributivité :

Savoir faire 6.15. Développement par distributivité

La formule la plus générale de distributivité peut se formaliser ainsi : pour I fini et (Ei )i∈I une familled’ensembles finis, on a ∏

i∈I

∑x∈Ei

x = ∑(ei )i∈I∈

∏i∈I Ei

∏i∈I

ei

où∏i∈I

Ei est l’ensemble des familles indexées (ei )i∈I telles que ∀i ∈ I, ei ∈ Ei .

On est le plus souvent confronté à des cas particuliers : celui où les Ei ont le même cardinal : pour desensembles finis I et J et une famille de nombres complexes (ai , j )(i , j )∈I×J, on a∏

i∈I

∑j∈J

ai , j = ∑f ∈F (I,J)

∏i∈I

ai , f (i )

Si ce cardinal vaut deux, on peut également écrire :

n∏i=1

(ui + vi ) =n∑

k=0

∑I⊂�1,n�

#I=k

(∏i∈I

ui

)∏j∈I

v j

où I est le complémentaire de I dans �1,n�

On en déduit une autre formule encore plus particulière :

(a +b)n =n∑

k=0

∑I⊂�1,n�

#I=k

ak bn−k

qui mène tout droit à la formule du binôme de Newton.

2. Analyse combinatoire

Dans ce paragraphe, nous allons développer des outils permettant de calculer :

. des cardinaux d’ensembles construits au moyen d’opérations ;

. des cardinaux d’ensembles d’applications 6.5. On peut donner une définition plus formelle par récurrence sur le cardinal de l’ensemble { ai ; i ∈ I }.6. Par exemple FE .



2.1. Intersection, réunion et différence d’ensembles

On ne peut rien dire en général de A∩B si ce n’estque #A∩B É min(#A,#B). En revanche, on disposede la formule « d’inclusion-exclusion » :

#(A∪B) = #A+#B−#A∩BA

A∩BB

On la comprend facilement : en calculant #A+#B, on compte deux fois les éléments de A∩B, ce quel’on rectifie en retranchant #A∩B.

Proposition 6.16. Réunion et différence de deux ensembles finis

Pour tous ensembles finis E et F :

a) Si E et F sont disjointes, alors E∪F est fini et #(E∪F) = #E+#F ;

b) E \ F est fini et #(E \ F) = #E−#(E∩F) ;

c) Si F ⊂ E, alors ÙEF est fini et #(ÙEF

)= #E−#F ;

d) E∪F est fini et #(E∪F) = #E+#F−#(E∩F) ;

On généralise sans peine à une réunion finie d’ensembles disjoints.

Proposition 6.17. (Extension à une r éunion disjointe finie et lemme des Bergers).

Soient A1, . . ., An des ensembles deux à deux disjointes.

a) #

(n⊔

i=1Ai

)=

n∑i=1

#Ai ;

b) Lemme des bergers : si de plus les Ai ont le même cardinal p, alors #

(n⊔

i=1Ai

)= np.

L’appellation « lemme des bergers » mérite une petite explication : pour compter ses moutons, unberger peut se contenter de compter le nombre de pattes et diviser par quatre 7.

Exemple 6.18. Utilisations de ces deux résultatsOn commence par le cas typique des partitions.

. Si M est une partition de E, alors #E = ∑A∈M

#A.

. Équation aux classes : si R est une relation d’équivalence sur E, alors #E = ∑c∈E/R

#(c).

. Dénombrer les injections de �1,2� dans �1,10�.

Bien-sûr, dans la pratique, on ne formalise pas nos raisonnements en revenant à la forme ensemblistedu lemme du bergers. Signalons pour finir ce paragraphe que la formule d’inclusion-exclusion admetune généralisation parfois utile.

7. Ici n est le nombre de moutons et p = 4.



Proposition 6.19. (Formule d’inclusion-exclusion, du crible ou encore de Poincaré).

Pour des ensembles finis A1, . . . , Am , on a

#

(m⋃

i=1Ai

)=

m∑k=1

(−1)k−1∑

I⊂�1,m�#I=k

#

(⋂i∈I

Ai

)=

m∑k=1

(−1)k−1∑

1Éi1<···<ikÉm#

(k⋂

j=1Ai j

)

Exemple 6.20. FormulaireVoici quelques utilisations de ces propriétés.

a) Déterminer le nombre d’entiers naturels É 60 pair ou divisible par 3.

b) Soit E un ensemble de cardinal 100 et A,B des parties de E tels que #(A∩B

)= 60 et #A = 15.

Déterminer #(B \ A).

Tests

6.2. Soient E et F deux ensembles finis et f : E → F. Que vaut∑y∈F

#(

f −1 ({y}

))?

6.3. Soient A,B,C des parties d’un ensemble.

a) Sachant que |A∪B| = 50, |A| = 15 et |A∩B| = 5 calculer |B|.b) Si |A∪B| = 60 et |A| = 3×|B| = 45 peut-on déduire que A et B sont disjoints ?

c) Si |A∪B| = 60, |A| = 10 et |B \ A| = 50 peut-on déduire que A ⊂ B ?

2.2. Produit cartésien et p-listes

L’interprétation géométrique d’un couple (a,b) permet de devinerque, si A et B sont finis, alors A×B aussi et

#(A×B) = #A×#B

Voir l’exemple de �1,7�×�1,5� ci-contre.

Proposition 6.21. (Produit cartésien.)

a) Si E et F deux ensembles finis, alors E×F est fini et #(E×F) = #E×#F.

b) Si A1, . . . , Am sont des ensembles finis, alorsm∏

i=1Ai est fini et #

(m∏

i=1Ai

)=

m∏i=1

#Ai .

c) Si E est fini et p ∈N, Ep est fini et #Ep = (#E)p .

Définition 6.22. Listes, p-listes

Soient E un ensemble et p ∈N∗. On appelle p-liste (ou p-uplet) de E tout élément de Ep .



Dans une liste, l’ordre des éléments est important contrairement aux ensembles. Ainsi, (5,2,1) 6=(2,5,1). Un même élément peut figurer plusieurs fois dans une liste. Par exemple, (1,1,2,3) est une4-liste de l’ensemble {1,2,3}.

Savoir faire 6.23. Modélisation d’un tirage avec remise

Les listes sont utilisées pour modéliser des tirages successifs avec remise dans une urne ou un jeude cartes – avec remise car les répétitions sont autorisées.

Exemple 6.24. Tirages avec remiseIl y a 324 tirages avec remise possibles de 4 cartes parmi 32.

Le calcul du cardinal de FE en fonction de ceux de E et F est une application de ce qui précède. C’estd’ailleurs cette propriété qui est à l’origine de la notation FE.

Proposition 6.25. (Applications entre deux ensembles finis).

Si E et F sont deux ensembles finis, alors FE est fini et #FE = #F#E.

On retiendra que définir f ∈ FE où E = {e1, . . . ,en} revient 8 à faire le choisir la n-liste ( f (e1), . . . , f (en))d’éléments de F.

Tests

6.4. Soit b ∈N\ {0,1}. Combien de nombres peut-on coder avec n chiffres en base b ?

2.3. Injections entre ensembles finis et arrangements

Soient n et p deux entiers naturels tels que 1 É p É n. Une injection de �1, p� dans �1,n� se construit enchoisissant f (1) dans �1,n� (n possibilités), puis en choisissant f (2) (n−1 possibilités car f (1) est déjàchoisi), puis en choisissant f (3) (n − 2 possibilités car f (1) et f (2) sont déjà choisis), etc. On trouvefinalement

n(n −1) · · · (n −p +1) = n!

(n −p)!

Ce type de raisonnement consiste à appliquer en cascade le lemme des bergers. On peut donner unepreuve plus formelle au moyen d’un raisonnement par récurrence.

Proposition 6.26. (Injections, bijections et permutations).

Soient E et F deux ensembles finis de cardinaux respectifs p et n. Le nombre d’injections de E dansF est égal à 0 si n < p, et à n!/(n −p)! sinon.

Les arrangements sont aux listes ce que les injections sont aux applications.

Définition 6.27. Arrangements

Soit E un ensemble et p ∈ N∗. On appelle p-arrangement de E toute p-liste de E formée d’élémentsdistincts de E.

8. C’est-à-dire que l’application φ : FE → Fn , f 7→ ( f (e1), . . . , f (en )) est bijective.



Les arrangements sont importants car ils modélisent l’une des situations typiques de tirage.

Savoir faire 6.28. Arrangements et modélisation

Les p-arrangements de E ensemble à n éléments sont utilisés pour modéliser :

. des tirages successifs sans remise dans une urne ou un jeu de cartes – sans remise car les répéti-tions sont interdites.

. le choix de p objets parmi n avec ordre et sans répétition.

Exemple 6.29. Tirages sans remiseIl y a 32×31×30×29 tirages sans remise possibles de 4 cartes parmi 32.

Définition 6.30. Permutation

Soit E un ensemble. On appelle permutation de E toute bijection de E sur E. On note S(E) ou encoreS(E) l’ensemble des permutations de E.

Proposition 6.31. (Bijections, permutations).

Soient E et F des ensembles finis de même cardinal n.

a) Le nombre de bijections de E dans F est égal à n!.

b) En particulier, #S(E) = n!.

Tests

6.5. Une télévision privée décide d’opter pour le système de « programmes à péage » en utilisantdes décodeurs commandés par des codes à huit chiffres. Calculer le nombre maximal d’abonnés.

2.4. Parties d’un ensemble et combinaisons

L’ensemble P(E) est en bijection avec {0,1}E par A 7→ 1A. On en déduit le résultat suivant.

Proposition 6.32. (Ensemble des parties d’un ensemble).

Si E est un ensemble fini, alors P(E) est fini et #P(E) = 2#E.

Définition 6.33. Combinaisons

Soit E un ensemble fini et k ∈N. On appelle k-combinaison de E toute partie de E de cardinal k.

La différence entre k-arrangements et k-combinaisons de E est que les premiers sont ordonnéscontrairement aux seconds. Pour construire un k-arrangement de E, on commence par :

. choisir les éléments qui vont y figurer : il y a(n

k

)possibilités ;

. puis on choisit un ordre pour ses k éléments : il y a k ! permutations possibles de ces éléments.

On conclut donc par le lemme des bergers que(n

k

)k ! = n!/(n −k)!.



Proposition 6.34. (Parties à k éléments).

Soient E un ensemble de cardinal n et k ∈ �0,n�.

Le nombre de k-combinaisons de E vaut

(n

k

):= n!

k !(n −k)!.

Savoir faire 6.35. Combinaisons et modélisation

Les combinaisons sont utilisées pour modéliser :

. le choix de k objet(s) parmi n sans ordre ni répitition.

. les tirages simultanés dans une urne ou un jeu de cartes.

Exemple 6.36. Utilisation des combinaisonsVoici quelques situations où les combinaisons interviennent.

. Tirage simultané. Nombre de tirages simultanés de 4 cartes parmi 32.

. Anagrammes. Déterminer le nombre d’anagramme du mot ANAGRAMME.

. Applications strictement croissantes. Pour k É n, quel est le nombre d’applications strictementcroissantes de �1,k� dans �1,n� ?

Le lecteur est renvoyé au cours ALG 1 pour les aspects numériques comme le triangle de Pascal oules preuves au moyen de l’expression comme quotient de factorielles. On retiendra les propriétés sui-vantes :

Proposition 6.37. (Propriétés des coefficients binomiaux).

a) Pour tout n ∈N et k ∈ �0,n�, on a

(n

k

)=

(n

n −k

).

b) Pascal : pour tout (n,k) ∈N2, on a

(n +1

k +1

)=

(n

k

)+

(n

k +1

).

c) Vandermonde : pour (p,n,m) ∈N∗,p∑

k=0

(n

k

)(m

p −k

)=

(m +n

p

)en part.

n∑k=0

(n

k

)2

=(

2n

n

).

Ces formules peuvent être obtenues par du calcul sur les factorielles mais également par des argu-ments combinatoires. La méthode est classique et très largement répendue :

Savoir faire 6.38. Prouver une formule par double comptage

On calcule de deux manières différentes un même cardinal.

Prenons l’exemple du cas particulier de la formule de Vandermonde.

Exemple 6.39. La formule de Vandermonde :n∑

k=0

(n

k

)2

=(

2n

n

).

Newton démontra la formule du binôme par des arguments combinatoires. Commençons par le casoù n = 3. En développant (a +b)3 par distributivité, on obtient 23 termes :



(a +b)3 = (a +b)(a +b)(a +b) = aaa +aab +aba +abb +baa +bab +bba +bbb

= a3 +3a2b +3ab2 +b3

Plus généralement, le développement de (a + b)n comporte 2n termes de la forme F1F2 · · ·Fn avecFi = a ou b pour tout i ∈ �1,n�. Le nombre de termes F1F2 · · ·Fn où a apparaît k fois est

(nk

)(on choisit

les k facteurs Fi valant a parmi les n). Pour un tel terme, on a F1F2 · · ·Fn = ak bn−k . On en déduit laformule du binôme.

Proposition 6.40. (Formule du binôme).

Pour tout (a,b,n) ∈C2 ×N, on a (a +b)n =n∑

k=0

(n

k

)ak bn−k .

Exemple 6.41. ImmatriculationEn France, depuis le 15 avril 2009, les véhicules sont immatriculés à l’aide d’un « numéro » forméd’une série de deux lettres, suivie d’une série de trois chiffes (de 0 à 9), elle-même suivie d’une sériede deux lettres (par exemple BC 112 DA). Quel est le nombre de numéros d’immatriculation :

a) possibles?

b) constitués de lettres et de chiffres deux à deux distincts ?

c) dont les trois chiffres sont dans l’ordre strictement croissant?

d) qui sont des palindromes (par exemple BC 121 CB) ?

e) qui contiennent une seule lettre apparaissant exactement deux fois?

Exemple 6.42. La course.Une association sportive compte dix coureurs de 100 m.

a) Combien peut-on former d’équipes de relais 4× 100 m ? L’ordre dans lequel les coureurs inter-viennent est à prendre en considération.

b) Soit A l’un des dix coureurs. Combien de ces équipes contiennent le coureur A?

c) Soit B un autre des dix coureurs. Combien de ces équipes contiennent le coureur A ou le cou-reur B?

Tests

6.6. Soit n ∈N. Prouver par un double comptage quen∑

k=0k

(n

k

)= n2n−1.

On pourra compter les couples (x, A) ∈ �1,n�×P(�1,n�) tels que x 6∈ A.

2.5. Combinaisons avec répétitions

On veut modéliser le choix de k objets parmi n, sans ordre comme pour les combinaisons, mais avecla possibilité de prendre plusieurs fois le même élément. Par exemple, les 3-combinaisons avec répé-titions des objets α, β et γ sont :

[α,α,α], [β,β,β], [γ,γ,γ], [α,α,β], [α,α,γ], [β,β,α], [β,β,γ], [γ,γ,α], [γ,γ,β], [α,β,γ]



Attention, la notation entre crochet n’est absolument pas standard. D’un point de vue abstrait, définirune 3-combinaison avec répétitions revient à se donner une fonction de comptage f : {α,β,γ} →�0,3�telle que∑

x∈{α,β,γ}f (x) = 3 (pour tout x ∈ {α,β,γ}, f (x) est égal au nombre de fois que l’on choisit x)

Définition 6.43. k-combinaisons avec répétition

Soient k ∈N∗ et E un ensemble. On appelle k-combinaison avec répétitions de E toute application def : E →�0,k� telle que ∑

x∈Ef (x) = k

Considérons le cas des 9-combinaisons avec répétitons de E = {α,β,γ}. On peut se représenter une 9-combinaison avec répétitions de la manière suivante. On considère trois urnes : la première contientun nombre de boules indiscernables ègal au nombre de α, la deuxième contient un nombre de boulesindiscernables égal au nombre de β etc. Il y a autant de 9-combinaisons avec répétitions qu’il y a demanières de remplir ces trois urnes avec 9 boules indiscernables :

Urne no 1 Urne no 2 Urne no 3

Exemple 6.44. Nombre de k-combinaisons avec répétitons.Combien dénombre-t-on de 9-combinaisons avec répétitons de 3 objets distincts ? Généraliser auxk-combinaisons de n objets distincts.

Exemple 6.45. Cas classiques.Quelques situations où interviennent les combinaisons avec répétition.

a) Combien de dominos peut-on former avec des numéros de 1 à 6 ?

b) Combien dénombre-t-on d’applications croissantes de �1,m� dans �1, p� ?

c) Soient n ∈N∗ et m ∈N. Combien y-a-t-il de solution dansNn de x1 +·· ·+xn = m ?

Tests

6.7. Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On effectue p tirages successifs, avec remise,et on considère les numéros obtenus dans leur globalité (sans tenir compte de l’ordre dans lequelils sont apparus). Combien y-a-t-il de tirages possibles ?

3. Méthodes de dénombrement

On peut dégager trois grandes stratégies de dénombrement d’un ensemble E :

. mettre en bijection E avec un ensemble de cardinal connu ;

. décomposer la construction d’un élément quelconque de E en plusieurs choix élémentaires où l’onreconnaît une des situations type (listes, combinaisons, etc). Le lemme des bergers et la formule ducardinal d’une union disjointe permettent de conclure.

. rechercher une relation de récurrence.



3.1. Dénombrer à coups de bijections

Le résultat fondamental est la proposition ?? : si E est équipotent à un ensemble F de cardinal fini,alors E est fini et #E = #F.

Par exemple, l’application suivante

φ : Cn,m −→ S C n,m+n−1

f 7−→

�1,n� −→ �1,m +n −1�x 7−→ f (x)+x −1

réalise une bijection de l’ensemble Cn,m des fonctions croissantes de �1,n� dans �1,m� dans l’en-semble S C n,m+n−1 des fonctions strictement croissantes de �1,n� dans �1,m +n −1�. On retrouve lerésultat suivant :

#Cn,m = #S C n,m+n−1 =(

m +n −1

n

)=

(m +n −1

m −1

)

Tests

6.8. Calculer le cardinal de{

(x1, . . . , xn) ∈Nn ; 1 É x1 É x2 É ·· · É xn É m}.

3.2. Dénombrer sans bijection

Exhiber des bijections est parfois très long et délicat à formaliser pour un résultat souvent simple ;bref, ce n’est pas toujours très efficace.

Dans la pratique, on n’utilise pas toujours des bijections explicites, il est préférable de construire lesobjets à dénombrer par des choix successifs se ramenant à des modèles simples (listes, combinaisons,etc).

Exemple 6.46. AnagrammesCombien d’anagrammes d’un mot à m lettres A1, . . ., Am où Ai apparaît Ni fois pour tout i dénombre-t-on ?

Exemple 6.47. Classement d’un concours.A l’issue d’un concours, 160 candidats sont admis dont 70 garçons. Déterminer le nombre de classe-ments possibles des 10 premiers admis qui contiennent autant de filles que de garçons.

Exemple 6.48. Mots ternaires.On note A = {0,1,2}. Pour tout n ∈ N∗, on appelle mot ternaire de longueur n tout nombre à nchiffres dont les chiffres appartiennent à A . Par exemple, 00102 et 11211 sont des mots ternaires delongueur 5.

a) Combien y-a-t-il de mots ternaires de longueur n ∈N∗ ?

b) Combien y-a-t-il de mots ternaires de longueur n ∈N∗ ne comportant que des 0 et des 1 ?

c) Combien y-a-t-il de mots ternaires de longueur n ∈N∗ dont deux chiffres consécutifs sont dis-tincts ?



d) Combien y-a-t-il de mots ternaires M de longueur n ∈N∗ ne comportant que des 0 et des 1, etdont les chiffres sont rangés dans l’ordre croissant ?

e) Combien y-a-t-il de mots ternaires M de longueur n ∈N∗ dont les chiffres sont rangés dans l’ordrecroissant ?

Exemple 6.49. Mains d’un jeu de cartes.On considère les mains de 5 cartes que l’on peut extraire d’un jeu de 52 cartes.

a) Combien y a-t-il de mains différentes ?

b) Combien y a-t-il de mains comprenant exactement un as ?

c) Combien y a-t-il de mains comprenant au moins un valet ?

d) Combien y a-t-il de mains comprenant (à la fois) au moins un roi et au moins une dame ?

Tests

6.9. On considère des matrices de M4(R) à coefficients dans {0,1}.

a) Combien existe-t-il de matrices dont chaque ligne contient exactement un coefficient « 1 » ?

b) Combien existe-t-il de matrices dont chaque ligne et chaque colonne contient exactement uncoefficient « 1 » ?

6.10. À partir d’un alphabet de p lettres, combien de mots de n lettres peut-on former ne contenantjamais deux lettres identiques consécutives ?

3.3. Dénombrer par récurrence

Il est parfois possible de déterminer une relation de récurrence pour faciliter le dénombrement.

Exemple 6.50. Nombre de pavages d’une bande 2×n par des dominosVoici un problème classique de pavage.

Le damier 2×n

On souhaite dénombrer les pavages sans recouvrementsd’un damier 2×n par des dominos 2×1 :

On notera un le nombre de configurations possibles.

Exemple 6.51. Parenthésages et nombres de CatalanDénombrer les différentes façons de parenthéser correctement le produit a1 · · ·an . Voici quelquessolutions pour n = 4 :

((a1a2)(a3a4)), (a1 ((a2a3)a4)), ((a1(a2a3)) a4)

On notera un le nombre de configurations possibles.



4. Solutions des tests

6.1. On applique le lemme des tiroirs. Ondécoupe le carré [0,2]2 en quatre sous-carrés(cf. la figure ci-dessous).

p2

A

B

L’un au moins des quatre sous-carré contientdeux points A et B et donc AB Ép

2 (longueurde la diagonale de ce sous-carré).

6.2. Comme les éléments deM = {

f −1 ({y}

); y ∈ F

}sont deux à deux

disjoints et ⋃A∈M

A = E

on a∑y∈F

#(

f −1 ({y}

))= #E.

6.3.

a) |B| = |A∪B|+ |A∩B|− |A| = 50+5−15 = 40.

b) |A∩B| = |A∪B|− |A|− |B| = 60−45−15 = 0.Donc A∩B =∅, c’est-à-dire A et B sontdisjoints.

c) Non. Contre-exemple A = �1,10� etB = �2,60�.

6.4. Il y a b choix possibles pour chaquechiffres, donc bn nombres au total.

6.5. Un abonné avec code composé de huitchiffres différents correspond à une suite dehuit chiffres différents pris parmi les dixchiffres possibles �0,9�. On reconnaît un8-arrangement de �0,9�. Il y a donc 10!/(10−8)!codes composés de huit chiffres différents.

6.6. Notons A l’ensemble des couples(x, A) ∈ �1,n�×P(�1,n�) tels que x 6∈ A.

. Il y a n choix possibles pour x dans �1,n�.Puis on choisit une partie de �1,n�\ {x}, il y a2n−1 possibilités. Ainsi #A = n2n−1.

. On choisit d’abord le cardinal de A : on fixek ∈ �0,n�. On choisit ensuite les éléments deA :

(nk

)possibilités. Et finalement, on choisit

x ∈ A : n −k possibilités. Ainsi,

n2n−1 =n∑

k=0(n −k)

(n

k

)=

n∑k=0

k

(n

k

)

par un changement de variable évident.

6.7. Un tirage est la donnée d’unep-combinaison avec répétitions. Il y a donc Γp

ntirages possibles.

6.8. L’ensemble E suivant{(x1, . . . , xn) ∈Nn ; 1 É x1 É x2 É . . . É xn É m

}est clairement en bijection avec Cn,m par

E −→ Cn,m

(x1, . . . , xn) 7−→

�1,n� −→ �1,m�i 7−→ xi

Ainsi #E =(

n +m −1

n

).

6.9.

a) Il y a 4 possibilités pour chaque ligne donc44 configurations.

b) On construit une telle matrice enchoisissant la première ligne : 4 possibilités ;puis la seconde ligne : 3 possibilités ; puis 2pour la troisième ligne et, bien-sûr, une seulepour la dernière ligne. Il y a donc 4!configurations.

6.10. On choisit d’abord la première lettre : ppossibilités. À partir de la deuxième lettre, il y ap −1 choix possibles (tout sauf la lettreprécédente). Ainsi, on a donc p(p −1)n−1 motspossibles.


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