ALG 15[1]

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Exercices résolus de mathématiques.

ALG 15

EALG150 – EXALG159

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Jacques Collot

Juillet 08


EXALG150– Louvain, juillet 2003, série 1.

Résoudre, dans les nombres réels, le système suivant, lequel est constitué

d’une équation et d’une inéquation :

2 3 1

2

x y

y

x

− =

<

( )

( )

CE : et doivent être de même signe et 0

2 1 2 1On a : 2 1

3 3

10

2

3 0Ce qui rajoute une nouvelle CE :

2 1 0

2 10

3

10 et

2

2 1 10 1Elevons 1 au carré : 4 0

3 3

10

10

3Le tableau :

x y x

x xy

x

x

x

x

x

x x

x x

x x

x

≠

− −= → <

− + + +

− − − − +

−+ ∴ − +

→ < >

− +< → >

−

→0

20 1 0

10 10

3

1 1Ce qui donne : et

10 2

1 1 2 1En tenant compte des CE: et ;

10 2 3

x

x

x

x x

xx x y

− − − +

+ − + + +

++ − ∴ +

< − >

−< − > =

Résolu le 24 juin 2004



On considère l’équation suivante, dans laquelle p est un paramètre réel et i

représente l’unité imaginaire :

( ) ( )2 4 2 3 4 0z i z p i− + + + =

-1- Calculer les racines de cette équation, sous la forme a + bi , en

fonction du paramètre p.

-2- Déterminer p pour que le carré du module de chacune des racines

soit égal à 65 ( la même valeur pour les deux racines).

Rappel : le module de a + bi est égal à 2 2a b+

( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2 22 2

22 2

22

2 2 2

1

1) Le radicant de cette équation est : 2 2 3 4

12 3 16 4

Calculons la racine carrée de :

5 43 4

2 4 4 1 4 4

5 4 4 4 0

45 4 25 4 16 4

2

i p i

p p i

a b pa b p

ab p a b p

X p X p

X ap p pX

∆ = + − + → ∆ = − + −

∆

+ = − − = − →

= − = −

→ − − + − =

= =+ − ± − − −→ = →

( )

( )( )

( ) ( )

2

2

2 2

1

2

2

4

4

Ce qui implique que 4 et doivent être positifs

En vertu de 1 , et sont de même signe.

2 4 4Les solutions sont donc :

2 4 4

652) 4 4 4 65 4 841

5

p

X b p

p a b

a b

z p i p

z p i p

p p p p

−

= = −

≤

→

= − + −

= − − − −

− + − = → − = → = −




L’armée du général Lee marchait d’un pas paisible et s’étirait sur dix

kilomètres. Lee n’était pas tranquille, car il devait traverser un défilé dans

lequel il avait perdu ses trois précédentes armées. Aussi avait-il commandé à

l’officier placé à l’arrière du convoi de lui envoyer un cavalier un message dès

que le dernier homme serait sorti du défilé. Tout alla bien cette fois et l’officier

envoya un cavalier avertir Lee (qui se trouvait en tête de l’armée). Lorsque le

cavalier rejoignit l’officier à l’arrière-garde pour lui dire qu’il avait accompli sa

mission, cet officier se trouvait à l’endroit où était passée la tête de l’armée lors

du départ du cavalier. On demande la longueur du trajet parcouru par le

cavalier. Préciser les notations choisies et indiquer clairement les différentes

étapes du raisonnement.

t1

t2

10 km

Officier Lee Cavalier

vC

vC

vA

L1


1

2

: la vitesse de déplacement de l'armée

: La vitesse de déplacement du cavalierSoit :

: le temps mis par le cavalier pour rejoindre Lee

: le temps mis par le cavalier pour revenir près de l'offic

A

C

v

v

t

t

( ) ( )( )( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

1 2

1 1

2 1

1 1

1 2 2 1

12 1

1

11 1

1

2

1 2

1 1 1

1

1

ier.

10 1

2On a :

10 3

10 4

de 1 et 2 , 10 10 20 5

10de 2 et 3 , 6

10de 5 et 6 , 20 7

10de 4 et 7 , 20 2 40 100 0

10 50 8

de

A

C

C

A

A A

A

v t t

v t L

v t L

L v t

L v t v t L

Lt t

L

Lv t L

L

LL L L

L

L

+ =

=

= − = +

− + = → = −

−=

−= −

−= − → − + =

→ = +

→ ( ) ( ) 2 3 et 8 , 50

La distance parcourue par le cavalier est donc 10 2 50

Cv t

km

=

+




Soit a un paramètre réel. Discuter et résoudre, dans les nombres réels, le

système d’équations que voici :

2 2

2

4

x y

x y y

e e a

e e e

+ =

− =

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2CE : 0

4

2 2

2 2 2 2 1 0

Le de ce système est : 4 1 qui n'est jamais nul puisque 0

2

0 2 1 2 1

4 2 4

x y

x y y

x y x y x y

x y x y y x y y x y

x

e e aa

e e e

e e a e e a e e a

e e e e e a e e e ae a e

a a

a

a a ae

a a

+ =>

− =

+ = + = + = → → →

+ − = − = − + = ∆ ∆ = − − >

− + += =

− −→

( )

2

2

2 1ln

4 11

1ln

4 10

4 2 4 1

x

a ax

a

a ay

aa ae

a a

+ = ++ → = + = =

− − +




Déterminer le(s) polynôme(s) P ( x ) de degré 6 ayant les propriétés suivantes :

-1- Le coefficient de x6 dans P ( x ) est égal à 1

-2- Les coefficients de x3 et de x

4 dans P ( x ) sont égaux

-3- P ( x ) est divisible par 2 21 et par 1x x x x+ + − +

-4- Le polynôme ( ) ( )

2 21 1

P x P x

x x x x−

+ + − + est divisible par x

2 – x

Ensuite, calculer toutes les racines complexes de P ( x ), y compris les racines

réelles, bien sûr.


( ) ( )( )

( )

( )( )

6 5 4 3 2

5 4 4 2 1 0

2

6 5 4 3 2 1 0 2

4

5 4 4 2 1 0

3

5

2

5 4 4 5

5 5 5

En vertu de 1 et 2 , le polynôme peut s'écrire :

Effectuons la division euclidienne de par 1

1

1

1 1 1 1

0 1 1

1 1

P x x a x a x a x a x a x a

P x x x

x x x x x x x x x

a a a a a a x

a x

a a a a x

a a a

= + + + + + +

+ +

+ +

+ −

− − + −

− −

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

4 5 4 5 2 4 5

4 5 4 5 4 5

2 4 5

2 4 5 1

2 4 5 2 4 5 2 4 5

1 2 4 5 0 2 4 5

2 4 3 2

5 4 5 2 4 5

1 2 4 5 0 2 4 5

1

0 1 1

0 1

1 1 1

0 1 1

1 1 1

0 1

1 1 1

1

De même

x

a a a a a a a

a a a a a a

a a a

a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a

P x x x x a x a a x x a a a

a a a a x a a a a

− +

− − + + − + −

− − −

− +

− + − −

− + − − + − − + −

− + − − + − +

→ = + + + − + − + + − + −

+ − + − + − + − +

( )( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )

2

6 5 4 3 2 1 0 2

4

5 4 4 2 1 0

3

5

2

5 4 4 5

5 5 5 4

4 5 4 5 2 4 5

4 5 4 5 4 5

4 2 4 5

4 4 4

effectuons la division euclidienne par 1

1

1

1 1 1 1

0 1 1

1 1 1 2 1

0 1 1

0 2 1

2 1 2 1 2 1

0

x x

x x x x x x x x x

a a a a a a x

a x

a a a a x

a a a a x

a a a a a a a

a a a a a a

a a a a

a a a

− +

− +

− + +

+ − + +

+ − + + + −

+ − − + + − −

+ − + +

− − −

− − − −

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )

2 4 5 1 4

2 4 5 2 4 5 2 4 5

1 4 2 5 0 2 4 5

2 4 3 2

5 4 5 4 2 4 5

1 4 2 5 0 2 4 5

1 2 1

1 1 1

0 1

1 1 2 1 1

1

a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a

P x x x x a x a a x a x a a a

a a a a x a a a a

+ − − − +

+ − − − + − − + − −

− + − − − + +

→ = − + + + + + + − + + − −

+ − + − + − − + +


( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )( ) ( )

2 2

3 2

5 4 5 4

2

3 2 0 2

5 4 5 4

5

5

5 5

4 5 5 4

2

Le polynôme est 1 1

2 2 2 2 2 2

Efectuons la division euclidienne par

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 1

0 2 2

2 2 2 2

0 2 2 2

2 2

P x P xG x

x x x x

G x x a x a x a a

x x

x x x x x x

a a a a x

a

a

a a

a a a a

G x x x x a

= −+ + − +

= − − + − + + −

−

−

− − − + + − −

− + − +

− −

− − + +

− + −

→ = − − − ( )( ) ( ) ( )5 4 5 5 4

5 4 2 1 0

1 2 2

Puisque les restes de toutes ces divisions sont nulles, on en déduit

le système suivant

eq

1 1 1 1 1 0

2 1 1 1 1 1

3 1 1 1 1 0

4 1 1 1 1 1

5 1 1 0

6 1 1 0

Ce système est très facile à résoudre

a a x a a

a a a a a X

+ + − + + −

− −

− − −

− −

− − −

−

→ ( )

( )

6

5 4 2 1 0

6

0 et 1 1

sinRésolvons : 1 cos 2 sin 2 cos

3 3

0 1

1 31

2 2

1 32

2 2

3 1

1 34

2 2

1 35

2 2

a a a a a P x x

k kP x x k i k x i

k x

i

i

i

i

= = = = = − → = −

π π= = π + π → = +

+

− +→

−

− −

−

Résolu le 24 juin 2004. Modifié le 7 septembre



Soit c un paramètre réel. Discuter et résoudre, dans les nombres réels,

l’équation suivante.

( )2 21 4 1x c x x c− − − − = −

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

2

2

2 2

2

2

Etudions les conditions d'existence :

1)

2) 1 1 1

13) 4 1 0

4

4) Le deuxième membre doit être positif

1 4 1 1 4 1

13 1 1

3

11En vertu de la CE 3)

4 3

4 4

x c c x c

x c c x c

x x

x c x x c x

c cx c x

c c

c c

≥ → − ≤ ≤

≥ − → − − ≤ ≤ −

− ≥ → ≥

→ − − ≥ − → − − ≥ −

−→ ≤ − − → ≤

−→ ≤

→ − + 3 0 Ce qui est impossible car ce trinôme est

toujours positif.

Conclusion

Sur simple considération des conditions d'existence, il n'est pas

nécessaire d'essayer de résoudre l'équation : elle est impossible

≤

.




Deux cyclistes, A et B, n’ayant à leur disposition qu’une bicyclette ont à

parcourir ensemble, en un temps égal à 188/63 h, une certaine distance mesurée

par un nombre entier pair de km. Ils conviennent de monter à tour de rôle et de

km en km sur la machine qui est laissée à chaque borne kilométrique jusqu’à

l’arrivée de celui qui marche à pied. A et B partent en même temps. B monte le

premier et sa vitesse à bicyclette est le double de sa vitesse de marche à pied ;

la vitesse de A à bicyclette est la même que celle de B. Les deux hommes se

retrouvent au même moment au kilomètre sept ; ils estiment alors nécessaire

d’augmenter leur vitesse et ils conviennent de la faire en marchant ½ km de

plus par heure. C’est encore B qui monte le premier mais cette fois-ci sa vitesse

à bicyclette est le double de la vitesse de A marchant à pied ; A à bicyclette a

encore la même vitesse que B. Les deux hommes arrivent à destination au

même moment. On demande la distance parcourue. Préciser les notations

choisies et indiquer clairement les différentes étapes du raisonnement :

(i) mise en équation ;

(ii) méthode de résolution ;

(iii) calcul effectif de la solution (s’il reste du temps).


Désignons par :

= La vitesse pendant la première étape de à bicyclette

= La vitesse de marche de pendant la première étape

= La vitesse pendant la deuxième étape de à bicyclette

=

AB

AM

AB

AM

V A

V A

V A

V

′

′ La vitesse de marche de pendant la deuxième étape

On désignera les vitesse correspondantes pour , en remplaçant par .

Soit encore les sous-temps de la première étape :

Example: temps de marchAM

A

B A B

t

t

7

e de

Soit encore les sous-temps de la deuxième étape pour faire 1 km

Example: le temps nécessaire pour en fasse 1 km

en marchant.

Soit finalement : le temps pour parcourir la première é

AM

A

t

t A

t

′

′ =

( )

( )

( ) 7

tape

le temps pour parcourir le deuxième étape

le temps total

Nous exprimerons les autres variable en fonction de

1

2On a :

41

7

1 En effet,

Puisque

BB BB

BM BB

AB BB

AM BB

AB AM BB BM

t

T

V V

V V

V V

V V

t t t t t

=

=

=

= + = +

parcourt 3 km, et 4 kmA B


( )

( )

( )

( ) ( )

'

3 4 4 3 3 4 4 6 4

7

Pour la deuxième étape, on a

4 12 2

7 2

1 11

2 2

4 12 3

7 2

1 4 1

2 7 2

2 et 3 car 2 2

AM BB

AB AM BB BM BB AM BB BB

BB BB

BM BM BB

AB BB BB

AM AM BB

BB AM

V VV V V V V V V V

V V

V V V

V V V

V V V

V V

+ = + → + = + → =

′ = + ′ = + = +

′ ′= = + = + = +

′ ′= =4 1

7 2

Au total, et vont parcourir un nombre entier pair de km.

Comme démarre la deuxième étape, il faut donc que arrive

en marchant au point de rencontre.

Soit le nombre de km que va

BBV

A B

B A

n A

+

( ) ( )

( )

faire en marchant pendant la

deuxième étape.On a , puisque et arrivent en même temps:

. 1 . 1 . .

1 1

1 1

4 1 14 1 4 112 2

7 2 27 2 7 2

AM AB BM BB

AM AB BM BB

BB BBBB BB

A B

n t n t n t n t

n n n n

V V V V

n n n n

V VV V

′ ′ ′ ′+ − = − +

− −+ = +

′ ′ ′ ′

− −+ = +

+ ++ +

( ) ( )

7

7Après calcul :

2 9

Le temps mis pour parcourir la première étape est :

4 3 10

Le temps mis pour faire la deuxième étape est :

2 111 .

412

7

BB

BB BM

BB BM BB

BM BB

BM BB BBB

Vn

t t tV V V

nn n nt n t n t

V V VV

=−

= + = + =

−−′ ′= − + = + = +

′ ′ + 1

2B

+


( )

7

3 2

188Le temps total est de

63

2 110 188

4 11 632

7 2

On remplace , et on développe :

252 1656 1667 1565 0

Les solutions sont: 5, 2.1493, 0.577

5

Finalement, on calcule

BB BBBB

BB

T t t h

n n

V VV

V

n n n

n n n

n

= + =

−→ + + =

+ +

→ − + + =

= = = −

→ =

7

7 /

9 /7/

4 /2

7 / et 9 /

4 / 9/

210

147

9

La distance parcourue est : 7 5 4 16

BB

BB

BMBM

AB AB

AMAM

V km h

V km hV km h

V km h

V km h V km h

V km hV km h

t h

t h

km

= ′ = = ′ =

′= = = ′ =

= =

+ + =



EXALG157– Louvain, septembre 2003.

Considérons l’équation suivante, dans laquelle k est un paramètre réel :

( ) ( )2 2 21 1 2 0k x k x k− − − + =

Montrer que si elle admet deux racines réelles, alors une de ces racines est le

sinus et l’autre le cosinus d’un même angle. Ensuite, donner les valeurs de cet

angle en fonction de k

2 2 2 2

1 2

2

1

On notera la CE : 1

Si l'une des racines est sinus d'un angle et l'autre cosinus du même angle, alors

1 puisque sin cos 1

Soit l'équation : 0. Il est facile de montrer que si et

k

x x

ax bx c x x

≠

+ = ϕ + ϕ =

+ + = 2

22 2

1 2 2

2 2 2 22

1 1 2 2

2 2 2 22

1 1 2 2

2 2 22 2

1 2 2 2 2

sont les

2deux racines, on a :

4 4

2 2 4 2 4En effet,

4 4

2 2 4 2 4

2 2

Appliquons

b acx x

a

b b ac b b b ac b acx x

a a a a a

b b ac b b b ac b acx x

a a a a a

b b ac b acx x

a a a

−+ =

− − − −= − = + +

→

− − − − = + = + +

− −→ + = + =

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 22

2 2

1 2 4

2 22 22

2

2

cette formule à notre équation:

1 4 11

1

Donc les racines sont le sinus et le cosinus d'un même angle.

1 1 8 1 1 6 1On a :

2 12 1

Avec les conditions : 0 6 1 0

k k kx x

k

k k k k k k kx

kk

k k k

− − −+ = =

−

− ± − − − + ± − += =

−−

∆ ≥ → − + ≥ → 3 2 2; 3 2 2 k≤ − + ≥


( )1 2

2

1 2

Discussion

Il nous faut encore déterminer à quel(s) quadrant(s) appartient l'angle cherché :

Etudions les signes des racines qui sont donnés par :

. 2 le terme indépendant

1 le coefficient

x x k

x x k

ϕ

=

+ = − −( )

( )

( )

1 2

2

2

de

) 1

C'est-à-dire en fait, 3 2 2. Alors, et sont positifs

est situé dans le premier quadrant, et on a

1 6 1arcsin 2

2 1

ou bien

1 6 1arccos 2

2 1

Appelons

x

a k

k x x

k k kt t

k

k k kt t

k

>

> +

→ ϕ

+ ± − ++ π ∈

−

ϕ =

+ ± − + + π ∈ −

ℕ

ℕ

1

1 2

3 3 1

cet angle du premier quadrant :

) 0 1

C'est-à-dire en fait, 0 3 2 2 0.1715. Alors, et sont négatifs

est situé dans le troisième quadrant. Appelons le , et on a :

) 0

Par exemple :

b k

k x x

c k

x

ϕ

< <

≤ ≤ −

→ ϕ ϕ ϕ = π + ϕ

=

→

≃

1 2

2 1

4 1

0 et 1

2

3= 2

2

) 0

Les racines sont de signes contraires et appartient au deuxième ou au

quatrième quadrant, et on a

x

t

t

d k

= = −

ϕ = π + π

→ πϕ + π

<

ϕ

ϕ = π − ϕ

ϕ = −ϕ

Résolu le 24 juin 2004. Modifié le 7 septembre 2004



Résoudre, dans les nombres réels, l’inéquation suivante :

( )22log 8 564x

x x≥

( )

( )( )

22 log 8 5

2 2 2 2

3 6

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

2

64

CE : 0

Si 0 l'équation est toujours vérifiée.

Il reste donc à étudier pour 0

2log 8 . log log 64 5log

2 log 2 log . log log 2 5log

2 3 log . log 6 5log

2log log 6 0

log

xx x

x

x

x

x x x

x x x

x x x

x x

≥

≠

<

>

→ ≥ +

→ + ≥ +

→ + ≥ +

→ + − ≥

→

2

32 2

2

1log 2

4

1Conclusion : , 2 2 avec 0

4

x x

x x

x x x

= → = = − → =

≤ ≥ ≠




Soit m un paramètre réel. Résoudre et discuter, dans les nombres réels, les

systèmes d’équations que voici :

( ) ( )

( )( ) ( )( )2 2

2 1 3 0

3 1 1 1 3 0

mx m y m

x m y x m y

+ + − + =

+ + − − − − + =

( ) ( )

( )( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )( )

( )

2 2

2 1 3 0

3 1 1 1 3 0

2 1 3 0

3 1 1 1 3 3 1 1 1 3 0

2 1 3

4 2 1 2 0

On arrive donc à devoir étudier deux systèmes

2 1 31)

mx m y m

x m y x m y

mx m y m

x m y x m y x m y x m y

mx m y m

x y x my

mx m y m

+ + − + =

+ + − − − − + =

+ + − + =→

+ + − + − − + + + − − − − + =

+ + = +→

+ + + − =

+ + = +

( )( )

( ) ( )

( )( )

2 2

2

2 11 2 1

1

) 1 Le système devient

2 2 42 Système simplement indeterminé

2

Revenons au système initial. Remplacons 1

2 2 4 0

3 2 1 3 0

2 0

2 1 2 0

x my

m mm m

m

a m

x yy x

x y

m

x y

x y x

x y

x y x y

+ =+

∆ = = − +

=

+ =→ = −

+ ==

+ − =

+ − − + =+ − =

→ + + + − =

Notons que la deuxième équation, peut s'interpréter comme

une conique dégénérée en deux droites.


( )( )

( ) ( )

( )

1) Le système devient

2

1 5

2 2Système impossible.

12

2

) Dans les autres cas

3 1

2 2

1 2 1 2 1

2 3

1 2 3

1 2 1 2 1

2 1 32)

2 1

2 12

2 1

3 112

1 12

1

2

b m

x y

x y

c

m m

m mx

m m m

m m

ym m m

mx m y m

x y

m m

m mx m

y

= −

− + =→

− =

+ +

+= =

− + +

+

= =− + +

+ + = +

+ = −+

∆ = = −

+ += − = − −

−

= −2 3

2 32 1

m mm

+= +

−


ALG 15[1]

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