Alexander I. Bobenko and Tim Hoffmann- Conformally Symmetric Circle Packings: A Generalization of...

8/3/2019 Alexander I. Bobenko and Tim Hoffmann- Conformally Symmetric Circle Packings: A Generalization of Doyles Spirals

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Conformally Symmetric Circle Packings:

A Generalization of Doyles SpiralsAlexander I. Bobenko and Tim Hoffmann

CONTENTS

1. Introduction

2. Geometry of Circle Flowers and Conformally Symmetric

Circle Packings

3. Analytic Description of Conformally Symmetric Circle

Packings

4. Doyle Spirals

5. Airy Functions as Continuous Limit

Acknowledgments

Electronic Availability

References

From the geometric study of the elementary cell of hexagonal

circle packings a flower of 7 circles the class of conformally

symmetric circle packings is defined. Up to Mobius transforma-

tions, this class is a three parameter family, that contains the

famous Doyle spirals as a special case. The solutions are given

explicitly. It is shown that these circle packings can be viewed

as discretization s of the quotient of two Airy functions.

The online version of this paper contains Java applets that let

you experiment with the circle packings directly. The applets

are found at http://www-sfb288.math.tu-berlin.de/Publications/

online/cscpOnline/Applets.html

1. INTRODUCTION

C i r c l e p a c k i n g s ( a n d m o r e g e n e r a l l y p a t t e r n s ) a s d i s -

c r e t e a n a l o g s o f c o n f o r m a l m a p p i n g s i s a f a s t d e -

v e l o p i n g e l d o f r e s e a r c h o n t h e b o r d e r o f a n a l y -

s i s a n d g e o m e t r y . R e c e n t p r o g r e s s w a s i n i t i a t e d b y

T h u r s t o n ' s i d e a 1 9 8 5 ] a b o u t t h e a p p r o x i m a t i o n o f

t h e R i e m a n n m a p p i n g b y c i r c l e p a c k i n g s . T h e c o r -

r e s p o n d i n g c o n v e r g e n c e w a s p r o v e d b y R o d i n a n d

S u l l i v a n 1 9 8 7 ] m a n y a d d i t i o n a l c o n n e c t i o n s w i t h

a n a l y t i c f u n c t i o n s , s u c h a s t h e d i s c r e t e m a x i m u m

p r i n c i p l e a n d S c h w a r z ' s l e m m a R o d i n 1 9 8 7 ] a n d

t h e d i s c r e t e u n i f o r m i z a t i o n t h e o r e m B e a r d o n a n d

S t e p h e n s o n 1 9 9 0 ] , h a v e e m e r g e d s i n c e t h e n .

C i r c l e p a c k i n g s c o n s t i t u t e a n a t u r a l t o p i c f o r c o m -

p u t e r e x p e r i m e n t a t i o n a n d v i s u a l i z a t i o n . C o m p u t e r

e x p e r i m e n t s d e m o n s t r a t e a s u r p r i s i n g l y c l o s e a n a l -

o g y o f t h e c l a s s i c a l t h e o r y i n t h e e m e r g i n g \ d i s c r e t e

a n a l y t i c f u n c t i o n t h e o r y " D u b e j k o a n d S t e p h e n s o n

1 9 9 5 ] . A l t h o u g h c o m p u t e r e x p e r i m e n t s g i v e c o n -

v i n c i n g e v i d e n c e f o r t h e e x i s t e n c e o f d i s c r e t e a n a l o g s

o f m a n y s t a n d a r d h o l o m o r p h i c f u n c t i o n s , D o y l e s p i -

r a l s ( w h i c h a r e d i s c r e t e a n a l o g s o f t h e e x p o n e n t i a l

f u n c t i o n s e e S e c t i o n 4 ) a r e t h e o n l y c i r c l e p a c k i n g s

t h a t h a v e b e e n d e s c r i b e d e x p l i c i t l y .

c A K Peters, Ltd.

1058-6458/2001 $0.50 per pageExperimental Mathematics 10:1, page 141


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142 Experimental Mathematics, Vol. 10 (2001), No. 1

C i r c l e p a c k i n g s a r e u s u a l l y d e s c r i b e d a n a l y t i c a l l y

i n t h e E u c l i d e a n s e t t i n g , t h a t i s , t h r o u g h t h e i r r a d i i

f u n c t i o n . O n t h e o t h e r h a n d , c i r c l e s a n d t a n g e n -

c i e s a r e p r e s e r v e d b y t h e f r a c t i o n a l - l i n e a r t r a n s f o r -

m a t i o n s o f t h e R i e m a n n s p h e r e ( M o b i u s t r a n s f o r -

m a t i o n s ) . I t i s n a t u r a l t o s t u d y c i r c l e p a c k i n g s i n

t h i s s e t t i n g , i . e . , m o d u l o t h e g r o u p o f t h e M o b i u s

t r a n s f o r m a t i o n s . Z . - X . H e a n d O . S c h r a m m 1 9 9 8 ]

d e v e l o p e d a c o n f o r m a l d e s c r i p t i o n o f h e x a g o n a l c i r -

c l e p a c k i n g s , a n d u s e d i t t o s h o w t h a t T h u r s t o n ' s

c o n v e r g e n c e o f h e x a g o n a l c i r c l e p a c k i n g s t o t h e R i e -

m a n n m a p p i n g i s a c t u a l l y C

1

. T h e y d e s c r i b e c i r c l e

p a c k i n g s i n t e r m s o f t h e c r o s s - r a t i o s

q (a b c d ) : =

( a;

b) (

c;

d )

( b;

c) (

d;

a )

o f t h e i r t o u c h i n g p o i n t s .

S c h r a m m 1 9 9 7 ] i n t r o d u c e d c i r c l e p a t t e r n s w i t h

t h e c o m b i n a t o r i c s o f t h e s q u a r e g r i d ( S G p a t t e r n s ) .

I n m a n y a s p e c t s t h e S G t h e o r y i s a n a l o g o u s t o t h e

t h e o r y o f t h e h e x a g o n a l c i r c l e p a c k i n g s . H o w e v e r ,

t h e S G t h e o r y i s a n a l y t i c a l l y s i m p l e r . T h e c o r r e -

s p o n d i n g d i s c r e t e e q u a t i o n s d e s c r i b i n g t h e S G p a t -

t e r n s , i n t h e E u c l i d e a n a s w e l l a s i n t h e c o n f o r -

m a l s e t t i n g , t u r n o u t t o b e i n t e g r a b l e B o b e n k o a n d

P i n k a l l 1 9 9 9 ] . M e t h o d s o f t h e t h e o r y o f i n t e g r a b l e

e q u a t i o n s m a d e i t p o s s i b l e t o n d S c h r a m m ' s c i r c l e

p a t t e r n s t h a t a r e a n a l o g s o f t h e h o l o m o r p h i c f u n c -

t i o n s z

a n d l o g z

A g a f o n o v a n d B o b e n k o 2 0 0 0 ] .

D i s c r e t e z

2

a n d l o g z

h a d b e e n c o n j e c t u r e d e a r l i e r

S c h r a m m 1 9 9 8 ] b y S c h r a m m a n d K e n y o n .

O n e b i g q u e s t i o n i s w h i c h r e s u l t s o n t h e S c h r a m m ' s

c i r c l e p a t t e r n s c a r r y o v e r t o t h e h e x a g o n a l s e t t i n g ,

i n p a r t i c u l a r w h e t h e r s o m e d i s c r e t e s t a n d a r d f u n c -

t i o n s c a n b e d e s c r i b e d e x p l i c i t l y . T h i s i s c l o s e l y

r e l a t e d t o t h e q u e s t i o n o f i n t e g r a b i l i t y o f t h e b a -

s i c d i s c r e t e e q u a t i o n s f o r h e x a g o n a l c i r c l e p a c k i n g s

( t h e H e { S c h r a m m e q u a t i o n s e e S e c t i o n 3 ) . I n t h e

p r e s e n t p a p e r t h e r s t s i m p l e s t e p i n t h i s d i r e c t i o n

i s m a d e . W e s t u d y ( s u r p r i s i n g l y n o n t r i v i a l ) c o n f o r -

m a l g e o m e t r y o f h e x a g o n a l c i r c l e p a c k i n g s . I n t e r m s

o f t h i s a p p r o a c h , a s p e c i a l c l a s s o f c o n f o r m a l l y s y m -

m e t r i c c i r c l e p a c k i n g s , w h i c h a r e g e n e r a l i z a t i o n s o f

D o y l e s p i r a l s , i s i n t r o d u c e d a n d a l l s u c h p a c k i n g s

a r e d e s c r i b e d e x p l i c i t l y .

S i n c e t h i s a r t i c l e d e a l s w i t h f a m i l i e s o f c i r c l e p a c k -

i n g s i t s e e m s n a t u r a l t o s h o w n o t o n l y a r b i t r a r -

i l y c h o s e n m e m b e r s i n t h e g u r e s , b u t t o p r o v i d e

z

6

z

2

z

4

z

3

z

5

z

1

FIGURE 1.A c i r c l e o w e r ( a p p l e t v e r s i o n a v a i l a b l e ) .

a p o s s i b i l i t y t o p r e s e n t t h e m a l l . T h e r e f o r e t h e r e

i s a n i n t e r a c t i v e v e r s i o n o f t h i s p a p e r a v a i l a b l e o n -

l i n e . I t h a s s o m e o f t h e g u r e s r e p l a c e d b y a p p l e t s ,

w h i c h a l l o w o n e t o e x p l o r e t h e f a m i l i e s d i r e c t l y . S e e

t h e s e c t i o n o n E l e c t r o n i c A v a i l a b i l i t y a t t h e e n d f o r

m o r e i n f o r m a t i o n o n t h i s v e r s i o n .

2. GEOMETRY OF CIRCLE FLOWERS ANDCONFORMALLY SYMMETRIC CIRCLE PACKINGS

T h i s p a p e r c o n c e r n s p a t t e r n s o f c i r c l e s i n t h e p l a n e

c a l l e d h e x a g o n a l c i r c l e p a c k i n g s . T h e i r b a s i c u n i t i s

t h e o w e r , c o n s i s t i n g o f a c e n t e r c i r c l e t a n g e n t t o

a n d s u r r o u n d e d b y p e t a l s . A h e x a g o n a l o w e r i s i l -

l u s t r a t e d i n F i g u r e 1 t h e s i x p e t a l s f o r m a c l o s e d

c h a i n w h i c h w r a p s o n c e i n t h e p o s i t i v e d i r e c t i o n

( c o u n t e r c l o c k w i s e ) a b o u t t h e c e n t e r . W h e r e a s n e i g h -

b o r i n g p e t a l s t o u c h , t h e c i r c l e s o f n o n - n e i g h b o r i n g

p e t a l s o f a o w e r m a y i n t e r s e c t . W e c a l l a o w e r i m -

m e r s e d i f n o n e o f i t s c i r c l e s d e g e n e r a t e s t o a p o i n t .

A h e x a g o n a l c i r c l e p a c k i n g i s a c o l l e c t i o n o f o r i e n t e d

c i r c l e s w h e r e e a c h o f i t s i n t e r n a l c i r c l e s i s t h e c e n -

t e r o f a h e x a g o n a l o w e r . O r i e n t a t i o n s o f t h e c i r c l e s

s h o u l d a g r e e : a t t h e t o u c h i n g p o i n t s t h e o r i e n t a t i o n s

o f t h e t o u c h i n g c i r c l e s m u s t b e o p p o s i t e . A h e x a g -

o n a l c i r c l e p a c k i n g c a n b e l a b e l e d b y t h e t r i a n g u l a r

( h e x a g o n a l ) l a t t i c e

H L= n +

m e

i = 3

2C

f o r n m 2Z :

o r b y o n e o f i t s s u b s e t s . A c i r c l e p a c k i n g i s c a l l e d

i m m e r s e d i f a l l i t s o w e r s a r e i m m e r s e d . I m m e r -

s i o n s o f t h e w h o l e H L a r e c a l l e d e n t i r e . F r a c t i o n a l -

l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n s o f t h e c o m p l e x p l a n e ( M o b i u s

t r a n s f o r m a t i o n s ) p r e s e r v e c i r c l e s , t h e i r o r i e n t a t i o n


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Bobenko and Hoffmann: Conformally Symmetric Circle Packings: A Generalization of Doyles Spirals 143

a n d t h e i r t a n g e n c i e s . I n t h i s p a p e r w e s t u d y c i r c l e

p a c k i n g s m o d u l o t h e g r o u p o f M o b i u s t r a n s f o r m a -

t i o n s .

T h e c e n t e r c i r c l e o f a o w e r c o n t a i n s 6 p o i n t s

z

1

: : : z

6

( s e e F i g u r e 1 ) w h e r e i t t o u c h e s t h e p e t a l s .

W e c a l l t h e m c e n t e r t o u c h i n g p o i n t s o f a c i r c l e o w e r .

Proposition 2.1.L e t

z

1

: : : z

6

b e p o i n t s o r d e r e d c o u n -

t e r c l o c k w i s e o n a c i r c l e C .

T h e f o l l o w i n g t h r e e s t a t e -

m e n t s a r e e q u i v a l e n t :

( i) T h e r e e x i s t s a o w e r w i t h t h e c e n t e r C a n d c e n t e r

t o u c h i n g p o i n t s z

1

: : : z

6

.

( ii) T h e m u l t i r a t i o m o f z1

: : : z

6

i s e q u a l t o ; 1 ,

t h a t i s ,

m ( z

1

z

2

z

3

z

4

z

5

z

6

) : =

( z

1

;z

2

) (z

3

;z

4

) (z

5

;z

6

)

( z

2

;z

3

) (z

4

;z

5

) (z

6

;z

1

)

=;

1 : (21)

( iii)T h e r e e x i s t s a n i n v o l u t i v e M o b i u s t r a n s f o r m a -

t i o n M (

M o b i u s i n v o l u t i o n )

s u c h t h a t

M ( z

k

) =z

k + 3

( km o d 6 )

:

z

2

z

5

r

5

r

1

z

1

z

3

z

4

r

2

r

4

r

3

FIGURE 2. A o w e r w i t h o n e c e n t r a l t o u c h i n g p o i n t a t i n n i t y .

Proof.M a p p i n g t h e p o i n t

z

6

t o i n n i t y b y a M o b i u s

t r a n s f o r m a t i o n o n e o b t a i n s t w o p a r a l l e l l i n e s a n d

v e t o u c h i n g c i r c l e s a s i n F i g u r e 2 . A n e l e m e n t a r y

c o m p u t a t i o n y i e l d s

z

k + 1

;z

k

= 2

p

r

k + 1

r

k

f o r

k= 1

: : : 4 (22)

w h e r e r

k

a r e t h e r a d i i o f t h e c o r r e s p o n d i n g c i r c l e s .

T o g e t h e r w i t h r

1

= r

5

a n d ( z

5

;z

6

) = ( z

6

;z

1

) = ;1

t h i s i m p l i e s ( 2 { 1 ) .

O n t h e o t h e r h a n d , g i v e n a r b i t r a r y r

1

>0 a n d

o r d e r e d z

1

: : : z

6

s a t i s f y i n g ( 2 { 1 ) , a f t e r n o r m a l i z i n g

z

6

=1 f o r m u l a ( 2 { 2 ) p r o v i d e s u s w i t h t h e r a d i i o f

t h e t o u c h i n g c i r c l e s a s i n F i g u r e 2 . T h i s p r o v e s t h e

e q u i v a l e n c e o f ( i ) a n d ( i i ) .

T o s h o w t h e e q u i v a l e n c e o f ( i i ) a n d ( i i i ) , d e n e

t h e M o b i u s t r a n s f o r m a t i o n M

t h r o u g h M ( z

1

) =z

4

,

M ( z

2

) =z

5

, M ( z

3

) =z

6

. C o n s i d e r z

= M ( z

4

) .

T h e i n v a r i a n c e o f t h e c r o s s - r a t i o s q ( z

1

z

2

z

3

z

4

) =

q ( z

4

z

5

z

6

z

) i m p l i e s t h e e q u i v a l e n c e o f ( 2 { 1 ) a n d

z

= z

1

. T h e s a m e p r o o f h o l d s f o r M ( z

5

) =z

2

a n d

M ( z

6

) =z

1

.

T o e a c h c e n t e r t o u c h i n g p o i n t z

k

o f a o w e r , o n e

c a n a s s o c i a t e a c i r c l e S

k

p a s s i n g t h r o u g h 4 t o u c h i n g

p o i n t s z

k ; 1

z

k + 1

w

k

w

k ; 1

o f t h e o w e r c o n t a i n i n g

z

k

( s e e F i g u r e 3 ) . H e r e w

k

i s t h e t o u c h i n g p o i n t

o f p e t a l s P

k + 1

a n dP

k

( t h e p e t a l s a r e l a b e l e d b y t h e

c o r r e s p o n d i n g t o u c h i n g p o i n t s z

k

) . I n d e e d , m a p p i n g

t h e p o i n t z

k

b y a M o b i u s t r a n s f o r m a t i o n t o 1 , i t i s

e a s y t o s e e t h a t t h e p o i n t s z

k ; 1

, z

k + 1

, w

k

, w

k ; 1

a r e

m a p p e d t o v e r t i c e s o f a r e c t a n g l e , t h u s l i e o n a c i r c l e .

W e c a l l t h e s e c i r c l e s s - c i r c l e s o f a o w e r .

w

k ; 1

z

k ; 1

S

k

w

k

z

k

z

k + 1

P

FIGURE 3. A c o n f o r m a l l y s y m m e t r i c o w e r ( a p p l e t v e r s i o n a v a i l a b l e ) .

Theorem 2.2. T h e r e e x i s t a o n e - p a r a m e t e r f a m i l y o f

o w e r s w i t h t h e s a m e c e n t e r t o u c h i n g p o i n t s .

M o r e -

o v e r ,t h e r e e x i s t s a u n i q u e o w e r

Fi n t h i s f a m i l y

,

w h i c h s a t i s e s t h e f o l l o w i n g e q u i v a l e n t c o n d i t i o n s :

( i) F i s i n v a r i a n t w i t h r e s p e c t t o a M o b i u s i n v o l u t i o n

Mw i t h a x e d p o i n t

P ,

( ii )A l l s - c i r c l e s o f

Fi n t e r s e c t i n o n e p o i n t

P .

W e c a l l t h e o w e r F

o f t h e t h e o r e m c o n f o r m a l l y

s y m m e t r i c .


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O n e c a n v i e w t h e w h o l e f a m i l y o f o w e r s u s i n g a n

a p p l e t ( s e e E l e c t r o n i c A v a i l a b i l i t y a t t h e e n d ) .

Proof.K e e p i n g t h e p o i n t s

z

1

: : : z

5

i n F i g u r e 2 x e d

a n d v a r y i n g r

1

o n e o b t a i n s a o n e p a r a m e t e r f a m -

i l y o f o w e r s w i t h t h e s a m e t o u c h i n g c e n t r a l p o i n t s .

L e t u s n o w c o n s t r u c t t h e o w e r F

. T h e M o b i u s

i n v o l u t i o n o f P r o p o s i t i o n 2 . 1 p r e s e r v e s t h e c e n t r a l

c i r c l e C

. C o n s i d e r t h e c i r c l e s C

k

, f o r k

= 1 2

3 ,

o r t h o g o n a l t o C

a n d p a s s i n g t h r o u g h t h e p a i r s o f

p o i n t s fz

k

z

k + 3

g . A l l t h e s e t h r e e c i r c l e s i n t e r s e c t

i n 2 p o i n t s P

a n dP

0

, w h i c h a r e t h e x e d p o i n t s o f

Ml y i n g i n s i d e a n d o u t s i d e

C, r e s p e c t i v e l y . B y a

M o b i u s t r a n s f o r m a t i o n , m a p t h e p o i n t P

t o i n n i t y .

T h e M o b i u s i n v o l u t i o n M

b e c o m e s M ( z

) = ;z

a n d

t h e c i r c l e s C

1

C

2

C

3

b e c o m e s t r a i g h t l i n e s i n t e r s e c t -

i n g i n t h e c e n t e r o f C

. T o c o n s t r u c t t h e o w e r F ,

c o n n e c t t h e z

k

- p o i n t s w i t h e v e n ( r e s p e c t i v e l y , w i t h

o d d ) l a b e l s b y s t r a i g h t l i n e s a n d c o n s i d e r t h e i r i n -

t e r s e c t i o n p o i n t s w

k

( s e e F i g u r e 4 ) . T h e c i r c l e s C

k

p a s s i n g t h r o u g h t h e t r i p l e s w

k

, w

k ; 1

, z

k

t o u c h a t

t h e p o i n t s w

k

. L e t u s p r o v e t h i s f a c t f o r C

1

a n dC

2

.

I n d e e d , t h e t r i a n g l e s ( w

1

w

6

z

1

) a n d ( z

3

z

5

z

1

)

a r e s i m i l a r , t h e r e f o r e t h e t a n g e n t l i n e s t o t h e c i r c l e

C

1

a tw

1

a n d t o t h e c i r c l e C

a tz

3

a r e p a r a l l e l . T h e

t a n g e n t l i n e s t o C

2

a tw

1

a n d t o C

a tz

6

a r e a l s o

p a r a l l e l . S i n c e t h e p o i n t s z

3

a n dz

6

a r e o p p o s i t e o n

C, t h e c i r c l e s

C

1

a n dC

2

t o u c h a t w

1

. T h e c i r c l e s C

k

w

6

w

5

w

4

z

1

z

2

z

3

z

4

z

5

z

6

w

3

w

1

w

2

FIGURE 4.A n o r m a l i z e d c o n f o r m a l l y s y m m e t r i c o w e r .

a r e t h e p e t a l s o f t h e d e s i r e d o w e r F

, w h i c h i s o b v i -

o u s l y M

- s y m m e t r i c . T h e s - c i r c l e s o f t h i s o w e r a r e

t h e s t r a i g h t l i n e s ( z

k

z

k + 2

) . T h e l a t t e r o b v i o u s l y i n -

t e r s e c t a t i n n i t y , t h u s a l l t h e s - c i r c l e s o f F

i n t e r s e c t

i n t h e x e d p o i n t P

o fM .

T h e p r o o f o f ( i i ) = ) ( i ) i s s i m i l a r . A f t e r m a p p i n g

t h e p o i n t P

t o i n n i t y t h e s - c i r c l e s b e c o m e s t r a i g h t

l i n e s a n d t h e o w e r i s a s i n F i g u r e 4 . S i n c e t h e

c i r c l e s i n t h i s g u r e t o u c h , t h e i r t a n g e n t l i n e s a t t h e

p o i n t s z

k

z

k + 3

a n dw

k + 1

a r e p a r a l l e l . T h i s i m p l i e s

t h a t z

k

a n dz

k + 3

a r e o p p o s i t e p o i n t s o n C

, a n d t h e

o w e r i s s y m m e t r i c w i t h r e s p e c t t o t h e

- r o t a t i o n

o fC .

Definition 2.3.A h e x a g o n a l c i r c l e p a c k i n g i s c a l l e d

c o n f o r m a l l y s y m m e t r i c o r a n s - c i r c l e p a c k i n g i f i t

c o n s i s t s o f c o n f o r m a l l y s y m m e t r i c o w e r s t h a t i s ,

i f t h e s - c i r c l e s o f e a c h o f i t s o w e r s i n t e r s e c t i n o n e

p o i n t .

3. ANALYTIC DESCRIPTION OF CONFORMALLYSYMMETRIC CIRCLE PACKINGS

I n t h i s s e c t i o n w e d e s c r i b e a l l c o n f o r m a l l y s y m m e t -

r i c c i r c l e p a c k i n g s u s i n g t h e c o n f o r m a l d e s c r i p t i o n o f

c i r c l e p a c k i n g s p r o p o s e d b y H e a n d S c h r a m m 1 9 9 8 ] .

T o e a c h c e n t r a l t o u c h i n g p o i n t z

k

o f a o w e r o n e

a s s o c i a t e s t h e c r o s s - r a t i o

s

k

: =q ( z

k

z

k ; 1

w

k ; 1

w

k

) =

( z

k

;z

k ; 1

) (w

k ; 1

;w

k

)

( z

k ; 1

;w

k ; 1

) (w

k

;z

k

)

:

(31)

( N o t e t h a t o u r n o r m a l i z a t i o n o f s

k

d i e r s f r o m t h e

o n e i n H e a n d S c h r a m m 1 9 9 8 ] . ) M a p p i n g z

k

t o

1 , o n e o b s e r v e s t h a t t r e e o t h e r p o i n t s i n ( 3 { 1 ) a r e

m a p p e d t o v e r t i c e s o f a r e c t a n g l e , w h i c h i m p l i e s t h a t

s

k

i s p u r e l y i m a g i n a r y . M o r e o v e r , t h e c r o s s - r a t i o s o f

a n i m m e r s e d o r i e n t e d o w e r a r e p o s i t i v e i m a g i n a r y ,

; i s

k

>0 . A l s o n o t e t h a t

s

k

=;

q ( z

k + 1

z

k ; 1

w

k ; 1

z

k

) =q ( z

k

w

k

z

k + 1

z

k ; 1

)

(32)

a n d t h a t s

2

k

= q ( z

k + 1

z

k ; 1

w

k ; 1

w

k

) i s t h e c r o s s -

r a t i o o f t h e f o u r t o u c h i n g p o i n t s l y i n g o n t h e s - c i r c l e

S

k

.

Lemma 3.1. T h e c r o s s - r a t i o s sk

o f a o w e r s a t i s f y t h e

H e { S c h r a m m e q u a t i o n

s

k

+ s

k + 2

+ s

k + 4

+ s

k

s

k + 1

s

k + 2

= 0 (33)

f o r a l l k

m o d 6 .


5/10


Proof.L e t

m

k

b e t h e M o b i u s t r a n s f o r m a t i o n t h a t

t a k e s z

k

z

k ; 1

w

k ; 1

t o t h e p o i n t s 1 0

1 , r e s p e c t i v e l y .

B y t h e d e n i t i o n o f s

k

w e h a v e

s

k

= q ( z

k

z

k ; 1

w

k ; 1

w

k

) =q (

1 0 1

m

k

( w

k

) )

;s

k

= q ( z

k + 1

z

k ; 1

w

k ; 1

z

k

) =q ( m

k

( z

k + 1

) 0 1 1 )

t h u s

m

k

( w

k

) = 1 ;s

k

a n d

m

k

( z

k + 1

) = ;s

k

:

F o rM

k

: =m

k + 1

m

; 1

1

t h i s y i e l d s M

k

(;

s

k

) = 1,

M

k

(1 ) = 0 ,

M

k

( 1 ;s

k

) = 1 a n d , n a l l y ,

M

k

=

0 1

1 s

k

i n t h e u s u a l m a t r i x n o t a t i o n f o r t h e M o b i u s t r a n s f o r -

m a t i o n s . T h e e q u a l i t y o f t h e c o r r e s p o n d i n g M o b i u s

t r a n s f o r m a t i o n s i m p l i e s

M

3

M

2

M

1

=

M

; 1

4

M

; 1

5

M

; 1

6

w h i c h i s

s

2

1 +s

1

s

2

1 +s

2

s

3

s

1

+ s

3

+ s

1

s

2

s

3

=

;s

4

;s

6

;s

4

s

5

s

6

1 +s

4

s

5

1 +s

5

s

6

;s

5

:

S i n c e t h e s e t o f i m m e r s e d o w e r s i s c o n n e c t e d a n d

s' s d o n o t v a n i s h t h e s i g n i n t h i s e q u a t i o n i s t h e

s a m e f o r a l l o w e r s . T a k i n g a l l t h e c i r c l e s w i t h t h e

s a m e r a d i u s o n e c h e c k s t h a t t h e c o r r e c t s i g n i s p l u s ,

w h i c h i m p l i e s t h e c l a i m .

I t i s c o n v e n i e n t t o a s s o c i a t e t h e t o u c h i n g p o i n t s o f a

h e x a g o n a l c i r c l e p a t t e r n ( a s w e l l a s t h e c r o s s - r a t i o s

s

k

) t o t h e e d g e s o f t h e h o n e y c o m b l a t t i c e . E q u a t i o n

( 3 { 3 ) i s a p a r t i a l d i e r e n c e e q u a t i o n o n t h e h o n e y -

c o m b l a t t i c e . T h e c r o s s - r a t i o s o n t h e e d g e s o f e a c h

h e x a g o n s a t i s f y ( 3 { 3 ) . M o r e o v e r , i t i s e a s y t o c h e c k

t h a t t h e H e { S c h r a m m e q u a t i o n i s s u c i e n t t o g u a r -

a n t e e t h e e x i s t e n c e o f t h e c o r r e s p o n d i n g c i r c l e p a c k -

i n g .

Proposition 3.2. G i v e n a p o s i t i v e - i m a g i n a r y f u n c t i o n

s : E!

i R

+

o n t h e e d g e s E

o f t h e h o n e y c o m b l a t -

t i c e s a t i s f y i n g ( 3 { 3 ) o n e a c h h o n e y c o m b ,

t h e r e e x -

i s t s u n i q u e (

u p t o M o b i u s t r a n s f o r m a t i o n )

i m m e r s e d

h e x a g o n a l c i r c l e p a c k i n g w i t h t h e c r o s s - r a t i o s g i v e n

b y t h e c o r r e s p o n d i n g v a l u e s o f s .

Theorem 3.3. A c i r c l e o w e r i s c o n f o r m a l l y s y m m e t -

r i c i f a n d o n l y i f i t s o p p o s i t e c r o s s - r a t i o s s

k

a r e e q u a l

s

k

= s

k + 3

( km o d 6 )

: (34)

Proof.T h e p r o p e r t y ( 3 { 4 ) f o r c o n f o r m a l l y s y m m e t r i c

o w e r s f o l l o w s f r o m ( i ) o f T h e o r e m 2 . 2 . A s i m p l e

c o m p u t a t i o n w i t h t h e o w e r s i n F i g u r e 4 s h o w s t h a t

t h e m a p ( s

1

s

2

) o f i m m e r s e d c o n f o r m a l l y s y m m e t r i c

o w e r s t o ( i R

+

)

2

3( s

1

s

2

) i s s u r j e c t i v e . S i n c e a

o w e r i s d e t e r m i n e d t h r o u g h t h e s

' s , t h e c o n v e r s e

s t a t e m e n t f o l l o w s .

T h e g e n e r a l s o l u t i o n o f ( 3 { 3 , 3 { 4 ) o n t h e w h o l e H L

d e p e n d s o n t h r e e a r b i t r a r y c o n s t a n t s a n d c a n b e

g i v e n e x p l i c i t l y . T h e r e i s a J a v a a p p l e t t h a t l e t s y o u

e x p l o r e t h i s t h r e e p a r a m e t e r f a m i l y o f c i r c l e p a c k -

i n g s i n t e r a c t i v e l y ( s e e s e c t i o n o n E l e c t r o n i c A v a i l -

a b i l i t y a t t h e e n d . )

a

; n

c

1

a

0

b

0

a

1

b

1

b

; n

b

n

a

n

a

; 1

c

0

c

n

c

; n

a

; n

a

; n

b

n

b

n

c

n

c

n

a

n

a

n

b

; n

b

; n

c

0

a

0

FIGURE 5.C r o s s - r a t i o s o f c o n f o r m a l l y s y m m e t r i c c i r -

c l e p a t t e r n s .

Theorem 3.4.T h e g e n e r a l s o l u t i o n o f ( 3 { 3 , 3 { 4 ) i s

g i v e n b y

a

n

= it a n (

n + )

b

n

= it a n (

n + )

c

n

= it a n (

n + )

(35)

w h e r e = ;

;

;

a n d t h e c r o s s - r a t i o s s

k

o n t h e

e d g e s o f t h e h e x a g o n a l l a t t i c e a r e l a b e l e d b y a

n

b

n

c

n

a s s h o w n i n F i g u r e 5 (n

v a r i e s o v e r t h e i n t e g e r s ) .


6/10


d

3

d

6

d

1

b

c

a

b

d

5

d

2

d

4

a

c

FIGURE 6.C o n t i n u a t i o n o f c o n f o r m a l l y s y m m e t r i c

s

a b o u t a h o n e y c o m b .

Proof.W e s t a r t w i t h a s i m p l e p r o o f o f t h e c o n s i s t e n c y

o f t h e f o l l o w i n g c o n t i n u a t i o n o f a s o l u t i o n o f ( 3 { 3 ) {

( 3 { 4 ) .

G i v e n s

s a t i s f y i n g ( 3 { 3 ) a n d ( 3 { 4 ) o n a h o n e y -

c o m b H

, t h a t i s , a b c i n F i g u r e 6 s a t i s f y i n g

a + b + c +a b c = 0

(36)

a n d a v a l u e o f s

o n o n e o f t h e e d g e s a t t a c h e d t o

t h e h o n e y c o m b ( f o r e x a m p l e , d

1

i n F i g u r e 6 ) , i t

c a n b e u n i q u e l y e x t e n d e d t o t h e f u l l s i x h o n e y c o m b s

H

1

: : : H

6

n e i g h b o r i n g H

. I n d e e d , ( 3 { 3 ) a n d ( 3 { 4 )

y i e l d

b + d

1

+ d

2

+b d

1

d

2

= 0

t h u s d

2

= M

1

( d

1

) i s a M o b i u s t r a n s f o r m a t i o n o f d

1

.

P a s s i n g o n c e a r o u n d t h e h o n e y c o m b H

i n t h i s w a y

o n e c a n c h e c k t h a t ( 3 { 6 ) i m p l i e s t h e m o n o d r o m y

M o b i u s t r a n s f o r m a t i o n M = M

6

: : : M

1

i s t h e i d e n -

t i t y , t h u s t h i s c o n t i n u a t i o n i m p l i e s n o c o n s t r a i n t s o n

d

1

.

P r o c e e d i n g t h i s w a y , o n e r e c o n s t r u c t s s

o n t h e

w h o l e l a t t i c e H L f r o m i t s v a l u e s o n t h r e e a d j a c e n t

e d g e s ( a b d

1

a b o v e ) . T h e n ( 3 { 3 ) a n d ( 3 { 4 ) i m p l y

a

n

+ b

; n

+ c

1

+ a

n

b

; n

c

1

= 0

a

n + 1

+ b

; n

+ c

0

+ a

n + 1

b

; n

c

0

= 0

a n d s i m i l a r r e l a t i o n s f o r o t h e r a

n

b

n

c

n

. T h e s e i d e n -

t i t i e s b e c o m e j u s t t h e a d d i t i o n t h e o r e m f o r t h e t a n -

g e n t f u n c t i o n , i m p l y i n g t h e f o r m u l a s i n ( 3 { 5 ) , w h i c h

c a n b e c h e c k e d d i r e c t l y .

4. DOYLE SPIRALS

D e n o t e b y R

t h e r a d i u s o f t h e c e n t e r c i r c l e o f a o w e r

a n d b y R

1

: : : R

6

, t h e r a d i i o f i t s p e t a l s . D o y l e

s p i r a l s a r e c h a r a c t e r i z e d t h r o u g h t h e c o n s t r a i n t ( s e e

B e a r d o n e t a l . 1 9 9 4 C a l l a h a n a n d R o d i n 1 9 9 3 ] f o r

a c o m p l e t e a n a l y s i s o f D o y l e s p i r a l s )

R

k

R

k + 3

= R

2

R

k

R

k + 2

R

k + 4

= R

3 (41)

o n t h e r a d i i o f t h e c i r c l e s ( s e e F i g u r e 7 , w h e r e t h e

c e n t r a l r a d i u s i s n o r m a l i z e d t o b e R

= 1 ) . D o y l e

s p i r a l s h a v e t w o d e g r e e s o f f r e e d o m ( f o r e x a m p l e t h e

r a t i o s R

1

= R a n dR

2

= R , w h i c h a r e t h e s a m e f o r t h e

w h o l e s p i r a l ) u p t o s i m i l a r i t i e s . A g a i n , y o u c a n e x -

p e r i m e n t o n l i n e w i t h t h e t w o r a d i i i n a J a v a a p p l e t .

B

1

B

B

A

1

B

A

1

A

A

FIGURE 7.R a d i i o f a D o y l e s p i r a l w i t h t h e n o r m a l -

i z e d c e n t r a l r a d i u s R

= 1 ( a p p l e t v e r s i o n a v a i l a b l e ) .

Proposition 4.1. D o y l e s p i r a l s a r e c o n f o r m a l l y s y m -

m e t r i c .

Proof.T h e c o n g u r a t i o n s o f f o u r t o u c h i n g c i r c l e s

w i t h t h e r a d i i R , R

k ; 1

, R

k

, R

k + 1

a n d w i t h t h e r a d i i

R

k + 3

, R

k + 4

, R , R

k + 2

d i e r b y s c a l i n g . T h i s i m p l i e s

s

k

= s

k + 3

( u s e b o t h ( 3 { 1 ) a n d t h e s e c o n d r e p r e -

s e n t a t i o n o f s

k

i n ( 3 { 2 ) ) a n d t h e c l a i m f o l l o w s b y

T h e o r e m 3 . 3 .

Theorem 4.2.D o y l e s p i r a l s a n d t h e i r M o b i u s t r a n s -

f o r m a t i o n s c a n b e c h a r a c t e r i z e d b y t h e f o l l o w i n g t w o

e q u i v a l e n t p r o p e r t i e s :


7/10


( i) T h e c i r c l e p a c k i n g i s c o n f o r m a l l y s y m m e t r i c , a n d

t h e c o r r e s p o n d i n g s o l u t i o n o f ( 3 { 3 ) i s \ c o n s t a n t " .

I t i s o f t h e f o r m ( 3 { 5 ) w i t h 2 ( 0 = 2 ) a n d

+ + = 0 ( m o d

)o r

,e q u i v a l e n t l y

,

a

n

= a

0

b

n

= b

0

c

n

= c

0

a

0

b

0

c

0

2i R

+

a

0

+ b

0

+ c

0

+ a

0

b

0

c

0

= 0:

( ii) T h e w h o l e c i r c l e p a c k i n g i s i n v a r i a n t w i t h r e s p e c t

t o t h e M o b i u s i n v o l u t i o n o f e a c h o f i t s o w e r s .

Proof.A l l t h e o w e r s o f a D o y l e s p i r a l d i e r b y s c a l -

i n g , w h i c h i m p l i e s ( i ) . C o n s i d e r t h e D o y l e s p i r a l a s

i n F i g u r e 7 . C o m p u t i n g t h e c r o s s - r a t i o s t h r o u g h t h e

r a d i i , o n e s h o w s t h a t t h e m a p

(A B

)2

R

2

+

!

(a b c

)2

( i R

+

)

3

: a + b + c +a b c = 0

:

i s s u r j e c t i v e t h u s ( i ) c h a r a c t e r i z e s D o y l e s p i r a l s a n d

t h e i r M o b i u s t r a n s f o r m s . T h e p r o o f o f t h e e q u i v -

a l e n c e ( i ) ( ) ( i i ) i s e l e m e n t a r y a n d i s l e f t t o t h e

r e a d e r .

I t i s a n o p e n p r o b l e m w h e t h e r D o y l e s p i r a l s a r e t h e

o n l y e n t i r e c i r c l e p a c k i n g s . F o r m u l a s ( 3 { 5 ) i m p l y

t h a t i t i s p o s s i b l e t o h a v e a l l c r o s s - r a t i o s b e i n g p o s -

i t i v e i m a g i n a r y ( n e c e s s a r y c o n d i t i o n f o r e n t i r e n e s s )

o n l y w h e n = 0 .

Corollary 4.3. D o y l e s p i r a l s a r e t h e o n l y e n t i r e c o n -

f o r m a l l y s y m m e t r i c c i r c l e p a c k i n g s .

5. AIRY FUNCTIONS AS CONTINUOUS LIMIT

B e c a u s e o f t h e p r o p e r t y ( 4 { 1 ) , D o y l e s p i r a l s a r e i n -

t e r p r e t e d a s a d i s c r e t e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n .

I n t h e c o n f o r m a l s e t t i n g t h i s i n t e r p r e t a t i o n c a n

a l s o b e e a s i l y o b s e r v e d . I n d e e d , l e t P

"

b e a f a m i l y o f

c i r c l e p a c k i n g s a p p r o x i m a t i n g a h o l o m o r p h i c m a p -

p i n g i n t h e l i m i t "

! 0 . H e a n d S c h r a m m 1 9 9 8 ]

i n v e s t i g a t e d t h e b e h a v i o r o f t h e c r o s s - r a t i o s s

k

i n

t h i s l i m i t :

s

k

= i

p

3 ( 1 + "

2

h

"

k

)

w h e r e h

k

i s c a l l e d t h e d i s c r e t e S c h w a r z i a n d e r i v a -

t i v e ( S c h w a r z i a n ) o f P

"

a t t h e c o r r e s p o n d i n g e d g e

o f t h e h e x a g o n a l l a t t i c e . T h e d i s c r e t e S c h w a r z i a n s

c o n v e r g e t o t h e S c h w a r z i a n d e r i v a t i v e

S ( f) : =

f

0 0

f

0

0

;

1

2

f

0 0

f

0

2

(51)

o f t h e c o r r e s p o n d i n g h o l o m o r p h i c m a p p i n g . M o r e

p r e c i s e l y , t h e r e e x i s t c o n t i n u o u s l i m i t s

a= l i m

" ! 0

h

"

1

b = l i m

" ! 0

h

"

2

c = l i m

" ! 0

h

"

3

f o r t h e s m o o t h f u n c t i o n s a b c . ( N o t e t h a t w e h a v e

l i m

" ! 0

h

"

k

= l i m

" ! 0

h

"

k + 3

. ) B e c a u s e o f ( 3 { 3 ) t h e s e

f u n c t i o n s s a t i s f y

a + b + c= 0

(52)

a t e a c h p o i n t . T h e S c h w a r z i a n e q u a l s

S ( f) = 4 (

a + !

2

b +! c

) w i t h

! = e

2 i = 3

a n d , u s i n g ( 5 { 2 ) , t h i s a l s o y i e l d s

6 a= R e

S ( f )

6 b= R e ( ! S

( f) )

6 c= R e (

!

2

S ( f) )

:

9

>

=

>

(53)

W e s e e t h a t , b e c a u s e o f T h e o r e m 4 . 2 , D o y l e s p i r a l s

c o r r e s p o n d t o h o l o m o r p h i c f u n c t i o n s w i t h c o n s t a n t

S c h w a r z i a n d e r i v a t i v e S ( f

) = c o n s t . T h e g e n e r a l

s o l u t i o n o f t h e l a s t e q u a t i o n i s t h e e x p o n e n t i a l f u n c -

t i o n a n d i t s M o b i u s t r a n s f o r m a t i o n s .

I t i s n a t u r a l t o a s k w h i c h h o l o m o r p h i c f u n c t i o n s

c o r r e s p o n d t o g e n e r a l c o n f o r m a l l y s y m m e t r i c c i r c l e

p a c k i n g s . I n F i g u r e 5 o n e o b s e r v e s t h a t e a c h o f t h e

c r o s s - r a t i o s a

n

b

n

c

n

i s c o n s t a n t a l o n g o n e l a t t i c e

d i r e c t i o n . F o r t h e f u n c t i o n s a b c a b o v e , t h i s i m p l i e s

a = a( R e

z )

b = b( R e ( ! z ) )

c = c( R e (

!

2

z) )

w h e r e z

i s t h e c o m p l e x c o o r d i n a t e . C o m p a r i n g t h e s e

e q u a t i o n s w i t h ( 5 { 3 ) w e s e e t h a t t h e S c h w a r z i a n i s

a l i n e a r f u n c t i o n o f z :

S ( f) = A z

+B A 2

R B 2

C : (54)

E q u a t i o n ( 5 { 4 ) c a n b e e a s i l y s o l v e d b y s t a n d a r d

m e t h o d s . T h e g e n e r a l s o l u t i o n o f S ( f

) =u ( z

) w i t h

h o l o m o r p h i c u ( z

) i s g i v e n b y

f ( z) : =

1

=

2

w h e r e

1

( z) a n d

2

( z) a r e t w o i n d e p e n d e n t s o l u -

t i o n s o f t h e l i n e a r d i e r e n t i a l e q u a t i o n

0 0

= u ( z ) .

B y a s h i f t a n d s c a l i n g o f t h e v a r i a b l e z

, e q u a t i o n

( 5 { 4 ) w i t h A

6= 0 c a n b e b r o u g h t t o t h e f o r m

S ( f) = z :

(55)


8/10


A s s o l u t i o n s o f t h e c o r r e s p o n d i n g l i n e a r e q u a t i o n

0 0

=z

w e h a v e t h e A i r y f u n c t i o n s A i ( z

) a n d B i ( z

) . O n t h e

r e a l l i n e t h e r s t o f t h e s e i s g i v e n b y

A i (x

) =

1

Z

1

0

c o s

x t+

t

3

3

d t

S p a n i e r a n d O l d h a m 1 9 8 7 ] , w h i l e t h e s e c o n d i s r e -

l a t e d t o i t b y

B i (z

) = i q

2

A i (!

2

z ); i q A i ( ! z

) :

I n t h e c o r r e s p o n d i n g M o b i u s c l a s s o f s o l u t i o n s o f

( 5 { 5 ) i t i s n a t u r a l t o c h o o s e

f ( z) : =

B i (z )

;

p

3 A i ( z )

B i (z

) +

p

3 A i ( z )

(56)

w h i c h i s t h e m o s t s y m m e t r i c o n e , f (

q z ) = q f( z

) .

T h e c o r r e s p o n d i n g c i r c l e p a c k i n g , s y m m e t r i c w i t h

r e s p e c t t o t h e r o t a t i o n z

! q z , i s s h o w n i n F i g u r e 8 .

Remark.O n e o b s e r v e s t h a t t h e a p p r o x i m a t i o n i n F i g -

u r e 8 i s e x c e l l e n t . O n t h e o t h e r h a n d t h e r e s u l t s

o f S e c t i o n s 3 a n d 4 i m p l y t h a t t h i s a p p r o x i m a t i o n

h o l d s i n n i t e d o m a i n s o n l y . F o r s o m e l a r g e n

2N ,

s o m e c r o s s - r a t i o s b e c o m e n e g a t i v e i m a g i n a r y , w h i c h

o n e c a n i n t e r p r e t a s p a s s i n g t h r o u g h i n n i t y . T h u s ,

t h e c i r c l e p a c k i n g a r r i v e s a t i n n i t y f o r n i t e n .

B y r e n i n g t h e d i s c r e t i z a t i o n | t a k i n g ! 0 i n

( 3 { 5 ) | o n e c a n a p p r o x i m a t e t h e a b o v e - m e n t i o n e d

r a t i o o f t w o A i r y f u n c t i o n s i n a n a r b i t r a r y n i t e d o -

m a i n .

A s m e n t i o n e d i n t h e i n t r o d u c t i o n , i n c o n n e c t i o n

w i t h e x p l i c i t e x a m p l e s , S c h r a m m ' s S G - p a t t e r n s a r e

r i c h e r t h a n t h e p a c k i n g s w i t h h e x a g o n a l c o m b i n a -

t o r i c s . S G - p a t t e r n s c o r r e s p o n d i n g t o r a t i o s o f t w o

A i r y f u n c t i o n s w e r e c o n s t r u c t e d i n S c h r a m m 1 9 9 7 ]

( c o m p a r e F i g u r e 8 . 1 . a o f t h a t p a p e r w i t h F i g u r e 8 ) .

I n c o n t r a s t w i t h o u r c o n f o r m a l l y s y m m e t r i c c i r c l e

p a c k i n g s , t h e S c h r a m m c i r c l e p a t t e r n s c o r r e s p o n d -

i n g t o t h e m a r e e n t i r e , t h a t i s , t h e y h a v e r e g u l a r

b e h a v i o r f o r a l l ( n m)

2Z

2

.

ACKNOWLEDGMENTS

T h e a u t h o r s t h a n k U . H e r t r i c h - J e r o m i n , U . P i n k a l l ,

Y u . S u r i s a n d E . T j a d e n f o r h e l p f u l d i s c u s s i o n s .

ELECTRONIC AVAILABILITY

S i n c e t h e f a m i l i e s o f c i r c l e p a c k i n g s d i s c u s s e d i n t h i s

p a p e r h a v e a n i t e ( a n d e v e n s m a l l ) n u m b e r o f p a -

r a m e t e r s , i t s e e m e d n a t u r a l t o l o o k f o r a w a y t o

v i s u a l i z e w h o l e f a m i l i e s a n d e x p e r i m e n t d i r e c t l y .

J a v a a p p l e t s h a v e b e e n p r o v i d e d t o i l l u s t r a t e t h e

f a m i l i e s o f c i r c l e p a c k i n g o w e r s , t h e w h o l e c l a s s o f

c o n f o r m a l l y s y m m e t r i c c i r c l e p a c k i n g s , a n d t h e s p e -

c i a l c a s e o f D o y l e s p i r a l s . T h e y a l s o l e t t h e v i e w e r

w e a r \ M o b i u s g l a s s e s " , a l l o w i n g t h e a p p l i c a t i o n o f

a r b i t r a r y M o b i u s t r a n s f o r m a t i o n , w h i c h c a n h e l p

g a i n i n t u i t i o n . ( E x c e p t f o r D o y l e s p i r a l s , t h e f a m -

i l i e s a r e o n l y d e n e d m o d u l o a n a r b i t r a r y M o b i u s

t r a n s f o r m a t i o n . ) T h e s e a p p l e t s c a n b e f o u n d a t

h t t p : / / w w w - s f b 2 8 8 . m a t h . t u - b e r l i n . d e / P u b l i c a t i o n s /

o n l i n e / c s c p O n l i n e / A p p l e t s . h t m l .

T h e p a g e h t t p : / / w w w - s f b 2 8 8 . m a t h . t u - b e r l i n . d e /

P u b l i c a t i o n s / o n l i n e / c s c p O n l i n e / i n d e x . h t m l i n c l u d e s

t h e s e a p p l e t s a n d t h e t e x t o f t h i s p a p e r , w i t h i n -

s t r u c t i o n s f o r t h e i n t e r a c t i v e g u r e s . T h i s o n l i n e

v e r s i o n r e n d e r s a d v i l e i n s i d e a J a v a a p p l e t . I t

r e q u i r e s a w e b b r o w s e r t h a t i n c l u d e s a J a v a v i r t u a l

m a c h i n e ( a n y r e c e n t b r o w s e r d o e s ) . N o t e , h o w e v e r ,

t h a t r e n d e r i n g t h e p a g e s i s s l o w o n o l d e r m a c h i n e s

t h a t ' s w h y w e a l s o p r o v i d e t h e a p p l e t s s e p a r a t e l y .

REFERENCES

A g a f o n o v a n d B o b e n k o 2 0 0 0 ] S . I . A g a f o n o v a n d

A . I . B o b e n k o , \ D i s c r e t e z

a n d P a i n l e v e e q u a t i o n s " ,

I n t e r n a t . M a t h . R e s . N o t i c e s 2 0 0 0 : 4 ( 2 0 0 0 ) , 1 6 5 { 1 9 3 .

B e a r d o n a n d S t e p h e n s o n 1 9 9 0 ] A . F . B e a r d o n a n d K .

S t e p h e n s o n , \ T h e u n i f o r m i z a t i o n t h e o r e m f o r c i r c l e

p a c k i n g s " , I n d i a n a U n i v . M a t h . J . 3 9 : 4 ( 1 9 9 0 ) , 1 3 8 3 {

1 4 2 5 .

B e a r d o n e t a l . 1 9 9 4 ] A . F . B e a r d o n , T . D u b e j k o , a n d

K . S t e p h e n s o n , \ S p i r a l h e x a g o n a l c i r c l e p a c k i n g s i n

t h e p l a n e " , G e o m . D e d i c a t a 4 9 : 1 ( 1 9 9 4 ) , 3 9 { 7 0 .

B o b e n k o a n d P i n k a l l 1 9 9 9 ] A . I . B o b e n k o a n d U .

P i n k a l l , \ D i s c r e t i z a t i o n o f s u r f a c e s a n d i n t e g r a b l e

s y s t e m s " , p p . 3 { 5 8 i n D i s c r e t e i n t e g r a b l e g e o m e t r y a n d

p h y s i c s , e d i t e d b y A . I . B o b e n k o a n d R . S e i l e r , O x f o r d

L e c t u r e S e r . M a t h . A p p l . 1 6 , O x f o r d U n i v . P r e s s ,

O x f o r d , 1 9 9 9 .

C a l l a h a n a n d R o d i n 1 9 9 3 ] K . C a l l a h a n a n d B . R o d i n ,

\ C i r c l e p a c k i n g i m m e r s i o n s f o r m r e g u l a r l y e x h a u s t i b l e

s u r f a c e s " , C o m p l e x V a r i a b l e s T h e o r y A p p l . 2 1 : 3 - 4

( 1 9 9 3 ) , 1 7 1 { 1 7 7 .


9/10


FIGURE 8. A c o n f o r m a l l y s y m m e t r i c c i r c l e p a c k i n g ( w i t h = = i n ( 3 { 5 ) ) a n d i t s s m o o t h c o u n t e r p a r t . T h e v e r t i c e s o f t h e h e x a g o n s a r e t h e i m a g e s o f t h e p o i n t s o f a s t a n d a r d h e x a g o n a l g r i d u n d e r t h e m a p

ff r o m ( 5 { 6 ) .

D u b e j k o a n d S t e p h e n s o n 1 9 9 5 ] T . D u b e j k o a n d K .

S t e p h e n s o n , \ C i r c l e p a c k i n g : e x p e r i m e n t s i n d i s c r e t e

a n a l y t i c f u n c t i o n t h e o r y " , E x p e r i m e n t . M a t h . 4 : 4

( 1 9 9 5 ) , 3 0 7 { 3 4 8 .

H e a n d S c h r a m m 1 9 9 8 ] Z . - X . H e a n d O . S c h r a m m ,

\ T h e C

1

- c o n v e r g e n c e o f h e x a g o n a l d i s k p a c k i n g s t o

t h e R i e m a n n m a p " , A c t a M a t h . 1 8 0 : 2 ( 1 9 9 8 ) , 2 1 9 {

2 4 5 .

R o d i n 1 9 8 7 ] B . R o d i n , \ S c h w a r z ' s l e m m a f o r c i r c l e

p a c k i n g s " , I n v e n t . M a t h . 8 9 : 2 ( 1 9 8 7 ) , 2 7 1 { 2 8 9 .

R o d i n a n d S u l l i v a n 1 9 8 7 ] B . R o d i n a n d D . S u l l i v a n ,

\ T h e c o n v e r g e n c e o f c i r c l e p a c k i n g s t o t h e R i e m a n n

m a p p i n g " , J . D i e r e n t i a l G e o m . 2 6 : 2 ( 1 9 8 7 ) , 3 4 9 { 3 6 0 .

S c h r a m m 1 9 9 7 ] O . S c h r a m m , \ C i r c l e p a t t e r n s w i t h t h e

c o m b i n a t o r i c s o f t h e s q u a r e g r i d " , D u k e M a t h . J . 8 6 : 2

( 1 9 9 7 ) , 3 4 7 { 3 8 9 .

S c h r a m m 1 9 9 8 ] O . S c h r a m m , \ C i r c l e p a c k i n g s a n d c o n -

f o r m a l g e o m e t r y , a s u r v e y o f s e l e c t e d t o p i c s " , 1 9 9 8 . S e e

h t t p : / / w w w . m a t h . w e i z m a n n . a c . i l /

~

s c h r a m m / t a l k s .

S p a n i e r a n d O l d h a m 1 9 8 7 ] J . S p a n i e r a n d K . B .

O l d h a m , A n a t l a s o f f u n c t i o n s , H e m i s p h e r e P u b .

C o r p . , W a s h i n g t o n , 1 9 8 7 .

T h u r s t o n 1 9 8 5 ] W . P . T h u r s t o n , \ T h e n i t e R i e m a n n

m a p p i n g t h e o r e m " , 1 9 8 5 . I n v i t e d a d d r e s s , I n t e r n a -

t i o n a l S y m p o s i u m i n C e l e b r a t i o n o f t h e P r o o f o f t h e

B i e b e r b a c h C o n j e c t u r e , P u r d u e U n i v e r s i t y .


10/10


A l e x a n d e r I . B o b e n k o , F a c h b e r e i c h M a t h e m a t i k , T e c h n i s c h e U n i v e r s i t a t B e r l i n , S t r . 1 7 J u n i 1 3 6 , 1 0 6 2 3 B e r l i n ,

G e r m a n y ( b o b e n k o @ m a t h . t u - b e r l i n . d e )

T i m H o m a n n , F a c h b e r e i c h M a t h e m a t i k , T e c h n i s c h e U n i v e r s i t a t B e r l i n , S t r . 1 7 J u n i 1 3 6 , 1 0 6 2 3 B e r l i n , G e r m a n y

( t i m h @ s f b 2 8 8 . m a t h . t u - b e r l i n . d e )

R e c e i v e d J u l y 1 1 , 2 0 0 0 a c c e p t e d i n r e v i s e d f o r m S e p t e m b e r 9 , 2 0 0 0

Alexander I. Bobenko and Tim Hoffmann- Conformally Symmetric Circle Packings: A Generalization of...

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