Alessandra Frabetti- Simplicial Properties of the set of Planar Binary Trees

8/3/2019 Alessandra Frabetti- Simplicial Properties of the set of Planar Binary Trees

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S i m p l i c i a l p r o p e r t i e s o f t h e s e t o f p l a n a r b i n a r y t r e e s

A l e s s a n d r a F r a b e t t i

N o v e m b e r 6 , 1 9 9 7

A b s t r a c t

P l a n a r b i n a r y t r e e s a p p e a r a s m a i n i n g r e d i e n t o f a n e w h o m o l o g y t h e o r y r e l a t e d t o d i a l g e b r a s ,

c . f . L ] . H e r e w e i n v e s t i g a t e t h e s i m p l i c i a l p r o p e r t i e s o f t h e s e t o f t h e s e t r e e s , w h i c h a r e

i n d e p e n d e n t o f t h e d i a l g e b r a c o n t e x t t h o u g h t h e y a r e r e e c t e d i n t h e d i a l g e b r a h o m o l o g y .

T h e s e t o f p l a n a r b i n a r y t r e e s i s e n d o w e d w i t h a n a t u r a l ( a l m o s t ) s i m p l i c i a l s t r u c t u r e

w h i c h g i v e s r i s e t o a c h a i n c o m p l e x . O u r m a i n i d e a c o n s i s t s i n d e c o m p o s i n g t h e s e t o f

t r e e s i n t o c l a s s e s , b y e x p l o i t i n g t h e o r i e n t a t i o n o f t h e i r l e a v e s . T h i s d e c o m p o s i t i o n y i e l d s

a c h a i n b i c o m p l e x w h o s e t o t a l c h a i n c o m p l e x i s t h a t o f b i n a r y t r e e s . O u r m a i n t h e o r e m

c o n c e r n s a f u r t h e r d e c o m p o s i t i o n o f t h i s b i c o m p l e x . E a c h v e r t i c a l c o m p l e x i s t h e d i r e c t s u m

o f s u b c o m p l e x e s w h i c h a r e i n b i j e c t i o n w i t h t h e p l a n a r b i n a r y t r e e s . T h i s d e c o m p o s i t i o n i s

u s e d i n t h e c o m p u t a t i o n o f d i a l g e b r a h o m o l o g y a s a d e r i v e d f u n c t o r , c . f . F 2

I n t r o d u c t i o n

T h e p l a n a r b i n a r y t r e e s h a v e b e e n w i d e l y s t u d i e d f o r t h e i r c o m b i n a t o r i a l p r o p e r t i e s , w h i c h r e l a t e

t h e m t o p e r m u t a t i o n s , p a r t i t i o n o f c l o s e d s t r i n g s a n d o t h e r n i t e s e t s . I n f a c t , t h e c a r d i n a l i t y

o f t h e s e t Y

n

o f p l a n a r b i n a r y t r e e s w i t h n + 1 l e a v e s a n d o n e r o o t i s t h e C a t a l a n n u m b e r

c

n

=

2 n

n ( n + 1 ) !

, w h i c h i s w e l l k n o w n t o h a v e m a n y c o m b i n a t o r i a l i n t e r p r e t a t i o n s G

I n 1 9 9 4 , i n t h e p a p e r L ] w r i t t e n b y J . - L . L o d a y , t h e s e t r e e s a p p e a r a s t h e m a i n i n g r e d i e n t i n

t h e h o m o l o g y o f a n e w k i n d o f a l g e b r a s , c a l l e d d i a l g e b r a s , e q u i p p e d w i t h t w o b i n a r y a s s o c i a t i v e

o p e r a t i o n s . I n s t e a d o f t h e s i n g l e c o p y A

n

, w h i c h f o r m s t h e m o d u l e o f H o c h s c h i l d n - c h a i n s o f

a n a s s o c i a t i v e a l g e b r a A , L o d a y n d s o u t t h a t t h e m o d u l e o f n - c h a i n s o f a d i a l g e b r a D c o n t a i n s

c

n

c o p i e s o f D

n

. T h e c r u c i a l o b s e r v a t i o n i s t h a t l a b e l l i n g e a c h c o p y o f D

n

b y a n n - t r e e l e a d s

t o a v e r y n a t u r a l a n d s i m p l e d e n i t i o n o f t h e f a c e m a p s : t h e i - t h f a c e o f a n n - t r e e i s o b t a i n e d

b y d e l e t i n g i t s i - t h l e a f . H e n c e t h e s e t o f r o o t e d p l a n a r b i n a r y t r e e s a c q u i r e s a n i m p o r t a n t

r o l e i n t h e s i m p l i c i a l c o n t e x t o f d i a l g e b r a h o m o l o g y . T h e s t u d y o f t h i s h o m o l o g y l e a d s t o t h e

i n v e s t i g a t i o n o f t h e s i m p l i c i a l s t r u c t u r e o f t h e s e t o f t r e e s , w h i c h i s c o m p l e t e l y i n d e p e n d e n t o f

t h e d i a l g e b r a c o n t e x t a n d c o n s t i t u t e s t h e c o n t e n t o f t h i s p a p e r .

T h e s e t o f t r e e s c a n b e e q u i p p e d w i t h d e g e n e r a c y o p e r a t o r s s

j

w h i c h s a t i s f y a l l t h e s i m p l i c i a l

r e l a t i o n s e x c e p t t h a t s

i

s

i

6= s

i + 1

s

i

. F o r s u c h a s e t , w h i c h i s c a l l e d a l m o s t - s i m p l i c i a l , s o m e o f t h e

p r o p e r t i e s o f s i m p l i c i a l s e t s s t i l l h o l d , f o r i n s t a n c e t h e E i l e n b e r g - Z i l b e r T h e o r e m , c . f . I

O u r m a i n i d e a c o n s i s t s i n d e c o m p o s i n g t h e s e t o f t r e e s i n t o c l a s s e s , b y e x p l o i t i n g t h e o r i e n -

t a t i o n o f t h e i r l e a v e s . T h i s t r i c k i s p u r e l y c o m b i n a t o r i a l ( s e t - t h e o r e t i c a l ) , a n d i t i s e x p l a i n e d i n

s e c t i o n 1 . I n s e c t i o n 2 w e s h o w t h a t t h i s d e c o m p o s i t i o n i s c o m p a t i b l e w i t h t h e a l m o s t - s i m p l i c i a l

s t r u c u r e a n d y i e l d s a c h a i n b i c o m p l e x w h o s e t o t a l c h a i n c o m p l e x i s t h a t o f b i n a r y t r e e s . C o n s e -

q u e n t l y , i n t h e a p p l i c a t i o n , w e o b t a i n a c a n o n i c a l s p e c t r a l s e q u e n c e c o n v e r g i n g t o t h e d i a l g e b r a

h o m o l o g y .

O u r m a i n t h e o r e m c o n c e r n s a f u r t h e r d e c o m p o s i t i o n o f t h i s b i c o m p l e x . W e s h o w t h a t e a c h

v e r t i c a l c o m p l e x i s i n f a c t t h e d i r e c t s u m o f s u b c o m p l e x e s , t h a t w e c a l l t o w e r s . I t t u r n s o u t t h a t

1


2/20


3/20

T h e c a r d i n a l i t y o f t h e s e t Y

n

i s g i v e n b y t h e C a t a l a n n u m b e r ( s e e K , A , B ] a n d G )

c

n

=

2 n !

n ! ( n + 1 ) !

H e n c e t h e s e t s Y

0

, Y

1

, Y

2

, . . . h a v e c a r d i n a l i t y 1 , 1 , 2 , 5 , 1 4 , 4 2 , 1 3 2 a n d s o o n .

I n t h e s e q u e l w e a b b r e v i a t e \ p l a n a r b i n a r y t r e e " i n t o \ t r e e " .

1 . 2 - C l a s s e s o f t r e e s . F o r a n y c o u p l e o f n a t u r a l n u m b e r s p ; q , l e t Y

p q

b e t h e s e t o f ( p + q + 1 ) -

t r e e s w i t h p l e a v e s o r i e n t e d l i k e n ( e x c l u d e d t h e 0 - t h l e a f ) , a n d q l e a v e s o r i e n t e d l i k e = ( e x c l u d e d

t h e l a s t o n e ) . T h e c l a s s o f a n n - t r e e i s s p e c i e d b y t h e c o m p o n e n t Y

p q

Y

n

, w i t h n = p + q + 1 ,

t o w h i c h t h e t r e e b e l o n g s . F o r e x a m p l e :

2 Y

2 1

Y

4

a n d 2 Y

1 3

Y

5

F o r a n y p ; q 0 , t h e s e t Y

p 0

( r e s p . Y

0 q

) c o n t a i n s o n l y o n e t r e e ( r e s p . ) , c a l l e d c o m b

T h e s e t s Y

p q

a r e o b v i o u s l y d i s j o i n t , f o r d i e r e n t c o u p l e s ( p ; q ) , a n d t h e i r d i s j o i n t u n i o n c o v e r s

t h e s e t Y

p + q + 1

. H e n c e w e h a v e

Y

n

=

G

p + q + 1 = n

Y

p q

; n 1

F o r e x a m p l e , Y

1

= Y

0 0

, Y

2

= Y

1 0

t Y

0 1

a n d Y

3

= Y

2 0

t Y

1 1

t Y

0 2

. N o t i c e t h a t t h e n u m b e r o f

c l a s s e s i n t h e s e t Y

n

i s p r e c i s e l y n = c a r d f ( p ; q ) 0 p ; q n ? 1 ; p + q + 1 = n g

1 . 3 - P r o p o s i t i o n . L e t c

p q

b e t h e c a r d i n a l i t y o f t h e s e t Y

p q

. T h e n

c

p q

= c

q p

=

( p + q ) !

p ! q !

( p + q + 1 ) !

( p + 1 ) ! ( q + 1 ) !

c

p q

0

1

2

3

q

0 1 2 3 4 5 6 p

1 1 1 1 1 1 1 . . .

1 3 6 1 0 1 5 2 1 . . .

1 6 2 0 5 0 1 0 5 . . .

1 1 0 5 0 1 7 5 . . .

F i g u r e 1 : T h e c a r d i n a l i t y o f t h e c l a s s e s o f r o o t e d p l a n a r b i n a r y t r e e s .

1 . 4 - L e m m a . T h e c a r d i n a l i t y c

p q

o f t h e s e t Y

p q

i s c

0 0

= 1 w h e n p = q = 0 , c

p 0

= 1 f o r a n y

p > 0 , c

0 q

= 1 f o r a n y q > 0 a n d n a l l y , f o r a n y p ; q 1 , i t s a t i s e s t h e r e l a t i o n

c

p q

= c

p ? 1 q

+ c

p q ? 1

+

X

p

1

+ p

2

= p ? 1

q

1

+ q

2

= q ? 1

c

p

1

q

1

c

p

2

q

2

3


4/20

P r o o f . W h e n p = q = 0 , t h e r e e x i s t s o n l y o n e ( 0 ; 0 ) - t r e e , n a m e l y . T h u s c

0 0

= 1 . S i m i l a r l y ,

w h e n p > 0 a n d q = 0 , t h e r e e x i s t s o n l y o n e ( p ; 0 ) - t r e e , n a m e l y t h e c o m b t r e e . T h e s a m e f o r

p = 0 a n d q > 0 . T h u s c

p 0

= 1 f o r a n y p > 0 a n d c

0 q

= 1 f o r a n y q > 0

W h e n p ; q 1 , a n y ( p ; q ) - t r e e y c a n h a v e o n e o f t h e f o l l o w i n g t h r e e s h a p e s :

y =

y y1 2

, w h e r e , f o r i = 1 ; 2 , y

i

i s a ( p

i

; q

i

) - t r e e s u c h t h a t p

1

+ p

2

= p ? 1 a n d q

1

+ q

2

= q ? 1 ;

y =

y1, w h e r e y

1

i s a ( p

1

; q

1

) - t r e e w i t h p

1

= p a n d q

1

= q ? 1 ;

y =

y2, w h e r e y

2

i s a ( p

2

; q

2

) - t r e e w i t h p

2

= p ? 1 a n d q

2

= q

T h u s , f o r a n y p ; q 1 , c

p q

i s t h e s u m o f t h e c a r d i n a l i t y o f t h e s e t h r e e d i s j o i n t s e t s . 2

P r o o f o f ( 1 . 3 ) . W e h a v e t o c o u n t t h e n u m b e r c

p q

o f ( p ; q ) - t r e e s , f o r p ; q 0 . C o n s i d e r t h e v a l u e s

c

p q

a s c o e c i e n t s o f T a y l o r ' s e x p a n s i o n o f a f u n c t i o n o f t w o v a r i a b l e s x a n d y , a r o u n d t h e p o i n t

( 0 ; 0 ) , a n d p u t

f ( x ; y ) : = 2 x y

X

p q 0

c

p q

x

p

y

q

I t i s s t r a i g h t f o r w a r d t o s h o w t h a t t h e r e l a t i o n s o f l e m m a ( 1 . 4 ) l e a d u s t o t h e q u a d r a t i c e q u a t i o n

f

2

( x ; y ) + 2 ( x + y ? 1 ) f ( x ; y ) + 4 x y = 0 i n t h e i n d e t e r m i n a t e f ( x ; y ) . T h e s o l u t i o n o f t h i s e q u a t i o n

i s t h e f u n c t i o n f ( x ; y ) = ? ( x + y ? 1 ) ( x + y ? 1 )

2

? 4 x y

1

2

. B y d i r e c t c o m p u t a t i o n s , c h o o s i n g

t h e s i g n \ ? " b e f o r e t h e r o o t , w e o b t a i n t h e v a l u e s

f ( 0 ; 0 ) = 0 ;

1

n !

@

n

f ( 0 ; 0 )

@ x

n

= 0 ;

1

m !

@

m

f ( 0 ; 0 )

@ y

m

= 0

I n f a c t

@

n

f ( x ; y )

@ x

n

= 2 n ! y 1 + g

n 0

( x ; y ) ] ( x ; y )

?

1

2

? ( n ? 1 )

;

w h e r e g

n 0

( x ; y ) i s a p o l y n o m i a l w i t h g

n 0

( 0 ; 0 ) = 0 , ( x ; y ) : = ( x + y ? 1 )

2

? 4 x y

1

2

i s s u c h

t h a t ( 0 ; 0 ) = 1 , a n d s i m i l a r l y f o r

@

m

f ( x y )

@ y

m

. T h e r e f o r e t h e f u n c t i o n f ( x ; y ) h a s i t s e l f T a y l o r ' s

e x p a n s i o n

f ( x ; y ) =

X

n m 1

1

n ! m !

@

n + m

f ( 0 ; 0 )

@ x

n

@ y

m

x

n

y

m

a n d t h e c o e c i e n t s c

p q

s a t i s f y

2 c

n ? 1 m ? 1

=

1

n ! m !

@

n + m

f ( 0 ; 0 )

@ x

n

@ y

m

A g a i n b y d i r e c t c o m p u t a t i o n w e o b t a i n

@

n + m

f ( x ; y )

@ x

n

@ y

m

= 2

( n + m ? 2 ) ! ( n + m ? 1 ) !

( n ? 1 ) ! ( m ? 1 ) !

1 + g

n m

( x ; y ) ] ( x ; y )

?

1

2

? ( n + m ? 1 )

;

w h e r e g

n m

( 0 ; 0 ) = 0 a n d ( 0 ; 0 ) = 1 . H e n c e w e g e t t h e n a l f o r m u l a

c

p q

=

1

2

1

( p + 1 ) ! ( q + 1 ) !

@

( p + 1 ) + ( q + 1 )

f ( 0 ; 0 )

@ x

p + 1

@ y

q + 1

=

( p + q ) ! ( p + q + 1 ) !

p ! q ! ( p + 1 ) ! ( q + 1 ) !

2

4


5/20

1 . 5 - R e m a r k . T h e C a t a l a n n u m b e r c

n

c a n b e g i v e n i n t e r m s o f b i n o m i a l c o e c i e n t s , c

n

=

1

n + 1

?

2 n

n

. H e n c e t h e d i s c r e t e c o n v o l u t i o n f o r m u l a f o r b i n o m i a l c o e c i e n t s , n a m e l y

i + j

k

!

=

k

X

h = 0

i

h

!

j

k ? h

!

;

e v a l u a t e d a t i = n ? 1 , j = n + 1 a n d k = n , y i e l d s e x a c t l y t h e i d e n t i t y

c

n

=

X

0 p n ? 1

1

n + 1

n ? 1

p

!

n

p

!

=

X

p + q = n ? 1

( p + q ) !

p ! q !

( p + q + 1 ) !

( p + 1 ) ! ( q + 1 ) !

=

X

p + q = n ? 1

c

p q

2 S i m p l i c i a l s t r u c t u r e o n t h e s e t o f b i n a r y t r e e s

I n t h i s s e c t i o n w e r e c a l l t h e e x i s t e n c e o f a n a l m o s t - s i m p l i c i a l s t r u c t u r e o n t h e f a m i l y o f p l a n a r

b i n a r y t r e e s w h i c h w a s p r e v i o u s l y i n t r o d u c e d i n L ] a n d F 1 ] , a n d s h o w t h a t i t g i v e s r i s e t o a n

a c y c l i c c o m p l e x .

T h e f a c e s a n d d e g e n e r a c i e s a r e c o m p a t i b l e w i t h t h e d e c o m p o s i t i o n o f t h e s e t Y

n

i n t o t h e

c l a s s e s Y

p q

. A s a r e s u l t , t h e r e e x i s t s a c h a i n b i c o m p l e x w h o s e t o t a l c h a i n c o m p l e x i s t h a t o f

p l a n a r b i n a r y t r e e s . A n i m p o r t a n t a p p l i c a t i o n , g i v e n i n F 2 ] , c o n c e r n s t h e d i a l g e b r a h o m o l o g y

d e n e d i n L ] : t h e b i c o m p l e x o f t r e e s i n d u c e s a n o n t r i v i a l s p e c t r a l s e q u e n c e c o n v e r g i n g t o t h e

d i a l g e b r a h o m o l o g y .

F a c e s a n d d e g e n e r a c i e s

2 . 1 - P s e u d o a n d a l m o s t - s i m p l i c i a l s e t s . W e r e c a l l t h a t a p r e - s i m p l i c i a l s e t E i s a c o l l e c t i o n

o f s e t s E

n

, o n e f o r e a c h n 0 , e q u i p p e d w i t h f a c e m a p s d

i

: E

n

? ! E

n ? 1

, f o r a n y i = 0 ; : : : ; n ,

s a t i s f y i n g t h e r e l a t i o n s

( d ) d

i

d

j

= d

j ? 1

d

i

; i < j :

G i v e n a e l d k , w e c o n s i d e r t h e k - l i n e a r s p a n k E

n

] o f t h e e l e m e n t s o f t h e s e t E

n

. T h e f a c e s g i v e

r i s e t o t h e b o u n d a r y o p e r a t o r d : k E

n

? ! k E

n ? 1

, d =

P

n

i = 0

( ? 1 )

i

d

i

w h i c h s a t i s e s d d = 0

T h e r e f o r e a n y p r e - s i m p l i c i a l s e t f E

n

; d

i

g a l w a y s g i v e s r i s e t o a c h a i n c o m p l e x ( k E

; d )

W e a l s o r e c a l l t h a t a s i m p l i c i a l s e t i s e q u i p p e d w i t h d e g e n e r a c y m a p s s

j

: E

n

? ! E

n + 1

, f o r

a n y j = 0 ; : : : ; n , w h i c h s a t i s f y t h e r e l a t i o n s

( d s ) d

i

s

j

=

8

j + 1 ,

( s ) s

i

s

j

= s

j + 1

s

i

; i j

B y d e n i t i o n , a p s e u d o - s i m p l i c i a l s e t i s a f a m i l y o f s e t s e n d o w e d w i t h f a c e s a n d d e g e n e r a c i e s

s a t i s f y i n g r e l a t i o n s ( d ) a n d ( d s ) b u t n o t n e c e s s a r i l y r e l a t i o n s ( s ) ( s e e T - V ] a n d I )

W e c a l l a l m o s t - s i m p l i c i a l a p s e u d o - s i m p l i c i a l s e t w h o s e d e g e n e r a c i e s s a t i s f y r e l a t i o n s ( s )

e x c e p t f o r i = j , w h i c h m e a n s t h a t s

i

s

j

= s

j + 1

s

i

f o r i < j a n d i n g e n e r a l ( b u t n o t n e c e s s a r i l y )

s

i

s

i

6= s

i + 1

s

i

C l e a r l y a l l s i m p l i c i a l o r a l m o s t - s i m p l i c i a l s e t s a r e p s e u d o - s i m p l i c i a l ,

f s i m p l i c i a l s e t s g f a l m o s t - s i m p l i c i a l s e t s g f p s e u d o - s i m p l i c i a l s e t s g f p r e - s i m p l i c i a l s e t s g

5


6/20

L e t u s c o n s i d e r n o w t h e s e t o f b i n a r y t r e e s d e s c r i b e d i n s e c t i o n 1 . T r e e s c a n b e o b t a i n e d o n e

f r o m a n o t h e r b y r e p e a t i n g t w o b a s i c o p e r a t i o n s : d e l e t i n g a n d a d d i n g l e a v e s . T h e o p e r a t i o n o f

d e l e t i n g l e a v e s a l l o w s u s t o d e n e f a c e m a p s Y

n

? ! Y

n ? 1

a n d t h u s t o c o n s i d e r t h e a s s o c i a t e d

c h a i n c o m p l e x k Y

] f o r a n y g i v e n e l d k . T h e o p e r a t i o n o f a d d i n g l e a v e s a l l o w s u s t o d e n e

d e g e n e r a c y m a p s Y

n

? ! Y

n + 1

2 . 2 - F a c e m a p s o n t r e e s . F o r a n y n 0 , a n d a n y i = 0 ; : : : ; n , w e c a l l i

t h

f a c e t h e m a p

d

i

: Y

n

? ! Y

n ? 1

w h i c h a s s o c i a t e s t o a n n - t r e e y t h e ( n ? 1 ) - t r e e d

i

( y ) o b t a i n e d b y d e l e t i n g t h e i

t h

l e a f f r o m y

F o r e x a m p l e :

d

0

( ) = = a n d d

3

( ) = =

2 . 3 - L e m m a . T h e f a c e m a p s d

i

s a t i s f y t h e a b o v e r e l a t i o n s ( d ) . H e n c e , g i v e n a e l d k , t h e

s e q u e n c e

k Y

0

? k Y

1

? k Y

2

? ? k Y

n

?

i s a c h a i n c o m p l e x , w i t h b o u n d a r y o p e r a t o r d : k Y

n

? ! k Y

n ? 1

g i v e n b y d =

P

n

i = 0

( ? 1 )

i

d

i

P r o o f . I n f a c t , s i n c e t h e l e a f n u m b e r j o f t h e t r e e y i s t h e l e a f n u m b e r j ? 1 o f t h e t r e e d

i

( y ) , t h e

m a p s d

i

d

j

a n d d

j ? 1

d

i

p r o d u c e t h e s a m e m o d i c a t i o n : t h e y d e l e t e t h e l e a v e s n u m b e r i a n d j 2

2 . 4 - D e g e n e r a c i e s o n t r e e s . F o r a n y n 0 , a n d a n y j = 0 ; : : : ; n , w e c a l l j

t h

d e g e n e r a c y t h e

m a p

s

j

: Y

n

? ! Y

n + 1

w h i c h b i f u r c a t e s t h e j

t h

l e a f o f a n n - t r e e , i . e . w h i c h r e p l a c e s t h e j

t h

l e a f b y t h e b r a n c h . F o r

e x a m p l e :

s

0

( ) = ; s

1

( ) = ; s

2

( ) =

2 . 5 - L e m m a . T h e d e g e n e r a c y m a p s s a t i s f y t h e a b o v e r e l a t i o n s ( d s ) . T h e y a l s o s a t i s f y ( s ) f o r

i < j , h e n c e t h e m o d u l e o f b i n a r y t r e e s f k Y

n

; d

i

; s

j

g i s a l m o s t - s i m p l i c i a l .

P r o o f . ( d s ) T h e o p e r a t i o n s d

i

s

j

o n a t r e e y r s t a d d s a l e a f r e p l a c i n g t h e l e a f n u m b e r j b y t h e

b r a n c h , a n d t h e n d e l e t e s t h e l e a f n u m b e r i . S o , w h e n i < j , i t i s c l e a r t h a t w e o b t a i n t h e

s a m e t r e e i f w e r s t d e l e t e t h e i

t h

l e a f a n d t h e n b i f u r c a t e t h e o r i g i n a l j

t h

l e a f , w h i c h i s n o w

l a b e l e d b y j ? 1

W h e n i = j o r j + 1 , t h e o p e r a t o r d

i

e v i d e n t l y b r i n g s t h e t r e e s

j

( y ) ( w i t h b r a n c h l a b e l e d b y

j ; j + 1 ) b a c k t o t h e o r i g i n a l t r e e .

F i n a l l y , w h e n i > j + 1 , w e c a n i n v e r t t h e o p e r a t i o n s a f t e r h a v i n g o b s e r v e d t h a t t h e l e a f n u m b e r

i o f t h e t r e e s

j

( y ) i s t h e l e a f n u m b e r i ? 1 i n t h e t r e e y

( s ) T h e o p e r a t i o n s

i

s

j

o n a t r e e y r s t b i f u r c a t e s t h e l e a f n u m b e r j a n d t h e n b i f u r c a t e s

t h e l e a f n u m b e r i . S o i t i s c l e a r t h a t i f i < j t h e s a m e t r e e c a n b e o b t a i n e d p e r f o r m i n g t h e

t w o b i f u r c a t i o n s i n i n c e r t e d o r d e r , o b s e r v i n g t h a t t h e j

t h

l e a f o f y i s t h e l e a f n u m b e r j + 1 o f

s

i

( y ) . ( N o t i c e t h a t f o r i = j t h e o p e r a t o r s

i

s

i

r e p l a c e t h e i

t h

l e a f w i t h t h e b r a n c h , w h i l e t h e

o p e r a t o r s

i + 1

s

i

p r o d u c e s t h e b r a n c h , h e n c e t h e y d o n o t c o i n c i d e . ) 2

2 . 6 - T h e o r e m . F o r a n y e l d k , t h e c h a i n c o m p l e x o f b i n a r y t r e e s i s a c y c l i c , t h a t i s

H

n

( k Y

; d ) =

k ; f o r n = 0 ,

0 ; f o r n > 0

6


7/20

P r o o f . I t i s s t r a i g h t f o r w a r d t o c h e c k t h a t t h e m a p

h : Y

n

? ! Y

n + 1

; h ( y ) : =

y

s a t i s e s d

0

h = i d a n d d

i

h = h d

i ? 1

f o r a n y i > 0 , t h a t i s , h i s a n e x t r a - d e g e n e r a c y ( i . e . h = s

? 1

s a t i s e s r e l a t i o n s ( s ) ) f o r t h e a l m o s t - s i m p l i c i a l s e t o f b i n a r y t r e e s . I t f o l l o w s t h a t d h + h d = i d ,

h e n c e t h e i n d u c e d m a p h : k Y

n

? ! k Y

n ? 1

] i s a h o m o t o p y b e t w e e n t h e m a p s i d a n d 0 . 2

B i c o m p l e x o f t r e e s

T h e o r i e n t a t i o n o f t h e l e a v e s o f a n n - t r e e , g i v e n b y t h e n u m b e r s p a n d q o f n - a n d = - l e a v e s ,

p e r m i t s u s t o d e n e a d o u b l e c o m p l e x o f b i n a r y t r e e s , b y c o n s i d e r i n g m a p s w h i c h d o n o t c h a n g e

o n e o f t h e t w o n u m b e r s p , q

H o w e v e r , i n g e n e r a l , a m a p d e n e d o n a s e t o f t r e e s c a n n o t b e s p e c i e d t o p r e s e r v e g l o b a l l y

o n e o r i e n t a t i o n , s i n c e i t u s u a l l y c h a n g e s b o t h v a l u e s p a n d q a c t i n g o n d i e r e n t t r e e s . T h i s

h a p p e n s , i n p a r t i c u l a r , t o t h e f a c e d

i

: Y

n

? ! Y

n ? 1

, f o r a x e d i 2 f 0 ; : : : ; n g : w h e n r e s t r i c t e d t o

e a c h c o m p o n e n t Y

p q

Y

n

, i t t a k e s v a l u e i n o n e o f t h e t w o c o m p o n e n t s Y

p ? 1 q

, Y

p q ? 1

o f Y

n ? 1

,

d e p e n d i n g o n t h e t r e e y o f Y

p q

. C o n s i d e r , f o r e x a m p l e , t h e f a c e d

0

r e s t r i c t e d t o t h e c o m p o n e n t

Y

1 1

= f ; ; g Y

3

. T h e n d

0

: Y

1 1

? ! Y

1 0

t Y

0 1

t a k e s v a l u e i n Y

0 1

o n , a n d i n Y

1 0

o n a n d .

d

0

: Y

1 1

3

1

1

P

P

Pq

2

2

Y

1 0

Y

0 1

T h i s m o t i v a t e s t h e f o l l o w i n g d e n i t i o n .

2 . 7 - O r i e n t e d m a p s . L e t f : k Y

n

? ! k Y

m

] b e a l i n e a r m a p , a n d c o n s i d e r i t s r e s t r i c t i o n t o

e a c h c o m p o n e n t Y

p q

Y

n

. W e c a l l o r i e n t e d m a p s o f f t h e f o l l o w i n g

h o r i z o n t a l f

h

: k Y

p q

? ! k Y

p ? ( n ? m ) q

] d e n e d a s

f

h

( y ) : =

f ( y ) ; i f f ( y ) 2 k Y

p ? ( n ? m ) q

,

0 ; o t h e r w i s e ,

v e r t i c a l f

v

: k Y

p q

? ! k Y

p q ? ( n ? m )

] d e n e d a s

f

v

( y ) : =

f ( y ) ; i f f ( y ) 2 k Y

p q ? ( n ? m )

,

0 ; o t h e r w i s e .

I n p a r t i c u l a r , w e c a n c o n s i d e r t h e o r i e n t e d m a p s d e n e d b y t h e f a c e s d

i

a n d t h e d e g e n e r a c i e s s

j

2 . 8 - B i c o m p l e x o f t r e e s . F o r a n y n a t u r a l n u m b e r s p ; q , t a k e k Y

p q

] a s t h e m o d u l e o f ( p ; q ) -

c h a i n s , a n d d e n e h o r i z o n t a l a n d v e r t i c a l b o u n d a r y o p e r a t o r s d

h

: k Y

p q

? ! k Y

p ? 1 q

, d

v

:

k Y

p q

? ! k Y

p q ? 1

] r e s p e c t i v e l y a s

d

h

: =

n

X

i = 0

( ? 1 )

i

d

h

i

a n d d

v

: =

n

X

i = 0

( ? 1 )

i

d

v

i

; n = p + q + 1

2 . 9 - L e m m a . T h e o r i e n t e d b o u n d a r i e s d e n e d a b o v e s a t i s f y d

h

d

h

= 0 a n d d

v

d

v

= 0 , h e n c e

( k Y

p

; d

v

) a n d ( k Y

q

; d

h

) a r e c h a i n c o m p l e x e s f o r a n y p ; q 0

7


8/20

P r o o f . I t s u c e s t o s h o w t h a t t h e o r i e n t e d f a c e s d

h

i

a n d d

v

i

s t i l l s a t i s f y t h e s i m p l i c i a l r e l a t i o n s

( d ) o f ( 2 . 1 ) . L e t u s s h o w , f o r i n s t a n c e , t h a t d

v

i

d

v

j

= d

v

j ? 1

d

v

i

f o r a n y i < j . I t s u c e s t o p r o v e t h a t

d

i

d

j

i s a v e r t i c a l m a p ( i . e . d

i

d

j

: k Y

p q

? ! k Y

p q ? 2

] ) i f a n d o n l y i f d

j ? 1

d

i

i s v e r t i c a l . A f a c e d

i

d e l e t e s a = - l e a f i f t h e i

t h

- l e a f i t s e l f i s o r i e n t e d l i k e = , i . e .

i

, o r i f i t i s a n - l e a f s u c h t h a t

i i+1

. T h e n

i t i s e a s y t o s e e t h a t b o t h d

i

d

j

a n d d

j ? 1

d

i

d e l e t e t w o = - l e a v e s o n l y o n t h e f o u r c o m b i n a t i o n s o f

t h e s e t w o p o s s i b i l i t i e s f o r t h e l e a v e s i a n d j 2

2 . 1 0 - R e m a r k . B y a s s u m p t i o n , i n a p r e - s i m p l i c i a l m o d u l e t h e f a c e s a r e a l l n o n - z e r o m a p s .

T h e r e f o r e , e v e n i f t h e h o r i z o n t a l ( r e s p . v e r t i c a l ) f a c e s s a t i s f y r e l a t i o n s ( d ) , t h e h o r i z o n t a l f a m i l i e s

k Y

q

] ( r e s p . v e r t i c a l f a m i l i e s k Y

p

] ) a r e n o t c o n s i d e r e d t o b e p r e - s i m p l i c i a l m o d u l e s .

2 . 1 1 - P r o p o s i t i o n . T h e t r i p l e ( k Y

; d

v

; d

h

) f o r m s a c h a i n b i c o m p l e x , w h o s e t o t a l c o m p l e x

i s t h e s h i f t e d c o m p l e x o f b i n a r y t r e e s ( k Y

+ 1

; d )

k Y

0

?

?

k Y

0 0

k Y

0 1

k Y

0 2

k Y

1 0

k Y

1 1

k Y

1 2

k Y

2 0

k Y

2 1

k Y

2 2

p p p

p p p

p p p

F i g u r e 2 : B i c o m p l e x o f r o o t e d p l a n a r b i n a r y t r e e s .

P r o o f . O n a n y t r e e y , t h e m a p d

i

a c t s e i t h e r a s d

h

i

( b e c a u s e d

v

i

( y ) = 0 ) , o r a s d

v

i

( w h e n

d

h

i

( y ) = 0 ) . T h u s , f o r a n y i = 0 ; : : : ; n , w e h a v e a n o b v i o u s i d e n t i t y d

i

= d

h

i

+ d

v

i

. C o n s e q u e n t l y ,

t h e b o u n d a r y o p e r a t o r d : k Y

p q

? ! k Y

p ? 1 q

k Y

p q ? 1

] i s t h e s u m d = d

h

+ d

v

. T h e n w e h a v e

d d = d

h

d

h

+ d

h

d

v

+ d

v

d

h

+ d

v

d

v

= 0 . F r o m ( 2 . 9 ) i t f o l l o w s t h a t d

h

d

v

+ d

v

d

h

= 0 . T h i s s h o w a t

t h e s a m e t i m e t h a t ( k Y

; d

h

; d

v

) i s a b i c o m p l e x , a n d t h a t k Y

+ 1

] = T o t ( k Y

) 2

2 . 1 2 - R e m a r k . T h e b i c o m p l e x o f t r e e s g i v e s r i s e t o a s p e c t r a l s e q u e n c e

E

2

p q

= H

p

H

q

( k Y

) = ) H

p + q

( k Y

+ 1

)

w h i c h i s z e r o e v e r y w h e r e , s i n c e t h e c o m p l e x o f t r e e s i s a c y c l i c a n d t h e E

1

- p l a n e , i n a s i m i l a r w a y ,

c a n b e s h o w n t o b e z e r o . H o w e v e r t h e p e c u l i a r s t r u c t u r e o f t r e e s b e c o m e s i n t e r e s t i n g w h e n k Y

n

a p p e a r a s t e n s o r c o m p o n e n t s o f s o m e c h a i n s m o d u l e , a s f o r t h e c h a i n c o m p l e x o f d i a l g e b r a s ( s e e

L , F 1 ] a n d F 2 ] ) . I n t h i s c a s e , t h e b i c o m p l e x o f t r e e s p e r m i t s u s t o n d a s p e c t r a l s e q u e n c e

w h i c h c o n v e r g e s t o t h e h o m o l o g y o f t h e g i v e n c o m p l e x .

3 D e c o m p o s i t i o n o f t h e b i c o m p l e x o f t r e e s i n t o t o w e r s

I n t h i s s e c t i o n w e s h o w a t e c h n i c a l r e s u l t w h i c h h e l p s d r a s t i c a l l y i n t h e c o m p u t a t i o n o f d i a l g e b r a

h o m o l o g y a s a d e r i v e d f u n c t o r ( s e e F 2 ] ) . T h e m a i n t h e o r e m s a y s t h a t a n y v e r t i c a l c o m p l e x

k Y

p

] i s a d i r e c t s u m o f s u b c o m p l e x e s w h o s e h o m o l o g y c a n b e c o m p u t e d f o r s o m e d i a l g e b r a s .

8


9/20

A t t h e s a m e t i m e , b e i n g r e l a t e d t o i n t r i n s i c a l p r o p e r t i e s o f t h e t r e e s , t h i s r e s u l t c l a r i e s t h e

s i m p l i c i a l s t r u c t u r e o f t h e b i c o m p l e x . E a c h s u b c o m p l e x , c a l l e d v e r t i c a l t o w e r a n d d e n o t e d b y

T

( y ) , i s c o n s t r u c t e d o n a s i n g l e t r e e , p r o v i d e d t h a t i t h a s a l l z e r o v e r t i c a l f a c e s a n d c a l l e d b a s e

t r e e , b y a p p l y i n g a l l p o s s i b l e v e r t i c a l i n c r e a s i n g m a p s o f d e g r e e 1 , i . e . b y a d d i n g = - l e a v e s i n a l l

p o s s i b l e d i s t i n c t w a y s . I t t u r n s o u t , d u e t o t h e p a r t i c u l a r s h a p e o f p l a n a r b i n a r y t r e e s , t h a t

s u c h t o w e r s a r e a l l d i s j o i n t o n e f r o m e a c h o t h e r a n d t h a t t h e y c o v e r t h e w h o l e b i c o m p l e x . T h i s

s t r u c t u r e y i e l d s a d e c o m p o s i t i o n o f t h e b i c o m p l e x o f t r e e s w h i c h h a s m a n y r e g u l a r i t i e s :

T h e b a s e t r e e s a r i s i n g i n t h e v e r t i c a l c h a i n c o m p l e x k Y

p

] , f o r x e d p 0 , a r e i n b i j e c t i o n

w i t h p - t r e e s ( s e e l e m m a ( 3 . 1 0 ) ) , i . e . t h e y a r e c o u n t e d e x a c t l y b y c

p

= c a r d Y

p

T h e v e r t i c a l t o w e r T

( y ) , a s s o c i a t e d t o a p - t r e e y , i s a m u l t i - c o m p l e x w i t h d i m e n s i o n

d = 2 p + 1 ( s e e p r o p o s i t i o n ( 3 . 1 2 ) ) .

T h e v e r t i c a l t o w e r T

( y ) , a s s o c i a t e d t o a p - t r e e y , i s a s u b c o m p l e x o f k Y

p

] s h i f t e d b y

t h e n u m b e r o f = - l e a v e s o f y ( e x c l u d e d i t s l a s t l e a f ) . T h i s m e a n s t h a t i f y b e l o n g s t o t h e

c l a s s Y

p q

o f Y

p

, t h e n T

m

( y ) k Y

p q + m

] f o r a n y m 0 ( s e e a g a i n l e m m a ( 3 . 1 0 ) ) . A

g e o m e t r i c a l m e a n i n g o f t h e n u m b e r q

0

i s g i v e n i n t h e a p p e n d i x .

W e d r a w i n g . 3 a s u m m a r i z i n g p i c t u r e o f t h e v e r t i c a l t o w e r s a t s m a l l d i m e n s i o n . T h e

d e t a i l s o f t h e d e n i t i o n s a n d p r o o f s a r e g i v e n i n t h e r e m a i n i n g p a r t o f t h i s s e c t i o n .

b a s e t r e e

q = 0

q = 1

q = 2

q = 3

p = 0 p = 1 p = 2 p = 3

( c

0

= 1 ) ( c

1

= 1 ) ( c

2

= 2 ) ( c

3

= 5 )

T

0

( )

T

1

( )

T

2

( )

T

3

( )

T

0

( )

T

1

( )

T

2

( )

T

0

( )

T

1

( )

T

0

( )

T

1

( )

T

0

( )

T

1

( )

T

0

( )

T

1

( )

T

0

( )

T

0

( )

T

0

( )

F i g u r e 3 : D e c o m p o s i t i o n o f t h e b i c o m p l e x o f t r e e s i n t o v e r t i c a l t o w e r s .

N e w k i n d o f d e g e n e r a c i e s : g r a f t i n g o p e r a t o r s .

I n o r d e r t o c o n s t r u c t a v e r t i c a l c o m p l e x o n a g i v e n t r e e , w e n e e d t o i n t r o d u c e a s e c o n d k i n d o f

i n c r e a s i n g m a p s Y

n

? ! Y

n + 1

, b e s i d e s t h e u s u a l d e g e n e r a c i e s s

j

T h e o p e r a t i o n o f a d d i n g a l e a f t o a t r e e c o n s i s t s , m o r e p r e c i s e l y , i n g r a f t i n g a n e w l e a f i n t o a

g i v e n e d g e o f t h e t r e e . T h e d e g e n e r a c y o p e r a t o r s d e n e d i n ( 2 . 4 ) , i n f a c t , g r a f t a n e w l e a f i n t o

t h e e d g e w h i c h s t a r t s f r o m a n y e x i s t i n g l e a f . T h u s , t o d e n e t h e r e m a i n i n g i n c r e a s i n g o p e r a t o r s ,

w e n e e d a r u l e t o l a b e l t h e i n t e r n a l e d g e s o f a t r e e .

3 . 1 - L a b e l s o f i n t e r n a l v e r t i c e s a n d i n t e r n a l e d g e s . A n y b i n a r y t r e e w i t h n + 1 l e a v e s

a n d o n e r o o t h a s p r e c i s e l y n i n t e r n a l v e r t i c e s . L e t u s c h o o s e t h e f o l l o w i n g r u l e t o l a b e l t h e m .

9


10/20

A n i n t e r n a l v e r t e x i s l a b e l e d b y i i f i t c l o s e s a d e s c e n d i n g p a t h w h i c h s t a r t s b e t w e e n t h e l e a v e s

n u m b e r i ? 1 a n d i

A n i n t e r n a l e d g e o f t h e t r e e i s t h e b r a n c h d e l i m i t e d b y t w o a d j a c e n t v e r t i c e s , i n c l u d e d t h e

r o o t . W e l a b e l b y i t h e e d g e w h o s e ` u p p e r ' e x t r e m e i s a v e r t e x l a b e l e d b y i . ( I f w e e x t e n d t h i s

r u l e t o t h e e x t e r n a l e d g e s , e a c h l e a f i s l a b e l l e d a s t h e e d g e w h i c h s t a r t s f r o m i t . ) F o r i n s t a n c e :

@

@

@

@

?

?

?

?

?

?@ @

1

2

3

4

a n d

@

@

@

@

?

?

?

?

?

?@ @

@

@

?

?

??

1

2

3

4

L a b e l s o f i n t e r n a l v e r t i c e s . L a b e l s o f i n t e r n a l e d g e s .

I n c o n c l u s i o n , a n y n - t r e e h a s n + 1 e x t e r n a l e d g e s ( t h e l e a v e s ) , l a b e l e d f r o m 0 t o n , a n d n i n t e r n a l

e d g e s ( i n c l u d e d t h e o n e w h i c h e n d s w i t h t h e r o o t ) , l a b e l e d f r o m 1 t o n

3 . 2 - G r a f t i n g o p e r a t o r s . F o r a n y n 0 , a n d f o r a n y i = 1 ; : : : ; n , w e c a l l i

t h

l e f t a n d r i g h t

g r a f t i n g o p e r a t o r t h e m a p s

l

i

; r

i

: Y

n

? ! Y

n + 1

;

w h i c h g r a f t a n e w l e a f i n t o t h e i

t h

i n t e r n a l e d g e o f a t r e e , r e s p e c t i v e l y f r o m t h e l e f t a n d f r o m

t h e r i g h t . F o r e x a m p l e

l

3

( ) = ; r

3

( ) =

N o t i c e t h a t t h e o p e r a t i o n o f g r a f t i n g a n e w l e a f i n t o a n e x t e r n a l e d g e p r o d u c e s t h e s a m e

r e s u l t w h e t h e r i t i s p e r f o r m e d f r o m t h e l e f t o r f r o m t h e r i g h t : i t c o n s i s t s i n b i f u r c a t i n g t h e l e a f .

T h u s , a s w e s a i d , t h e g r a f t i n g o p e r a t o r s o n e x t e r n a l e d g e s c o i n c i d e w i t h t h e d e g e n e r a c i e s .

W e w i s h t o d e t e r m i n e w h e t h e r i n c r e a s i n g m a p s a r e h o r i z o n t a l o r v e r t i c a l . W e s h o w i n t h e

n e x t l e m m a t h a t t h e o r i e n t a t i o n o f g r a f t i n g o p e r a t o r s d o e s n o t d e p e n d o n t h e i n d e x i n o r o n

t h e t r e e o n w h i c h t h e m a p i s a c t i n g . I n s t e a d , t h e o r i e n t a t i o n o f t h e d e g e n e r a c y s

i

c h a n g e s w i t h

t h e i n d e x i = 0 ; : : : ; n d e p e n d i n g o n t h e p a r t i c u l a r t r e e o n w h i c h i t i s a c t i n g .

3 . 3 - L e m m a . L e t p ; q b e n a t u r a l n u m b e r s , a n d n = p + q + 1

1 . T h e l e f t g r a f t e r s l

i

a r e h o r i z o n t a l m a p s , i . e . l

i

: Y

p q

? ! Y

p + 1 q

f o r a n y i = 1 ; : : : ; n

S i m i l a r l y , t h e r i g h t g r a f t e r s r

i

a r e v e r t i c a l m a p s , i . e . r

i

: Y

p q

? ! Y

p q + 1

f o r a n y i = 1 ; : : : ; n

2 . F o r a n y ( p ; q ) - t r e e y , a n d f o r a n y i n d e x i 2 f 0 ; : : : ; n g , t h e d e g e n e r a c y s

i

i s h o r i z o n t a l o n

y , i . e . s

v

i

( y ) = 0 , i f a n d o n l y i f t h e i

t h

l e a f o f y i s o r i e n t e d l i k e = . S i m i l a r l y , s

i

i s v e r t i c a l o n y ,

i . e . s

h

i

( y ) = 0 , i f a n d o n l y i f t h e i

t h

l e a f o f y i s o r i e n t e d l i k e n

P r o o f . 1 . A n y l e f t g r a f t e r l

i

a c t s b y a d d i n g a n - l e a f , w h i c h w i l l b e l a b e l e d , i n t h e ( n + 1 ) - t r e e ,

b y a n i n t e g e r j 2 f 0 ; 1 ; : : : ; n g . T h e t e r m i n a l v e r t e x o f t h e n e w l e a f w i l l b e c o n s e q u e n t l y l a b e l e d

b y j + 1 . S i m i l a r l y , a n y l e f t g r a f t e r r

i

a c t s b y a d d i n g a = - l e a f , w h i c h w i l l b e l a b e l e d , i n t h e

( n + 1 ) - t r e e , b y a n i n t e g e r j 2 f 1 ; 2 ; : : : ; n + 1 g . T h e t e r m i n a l v e r t e x o f t h e n e w l e a f w i l l b e

c o n s e q u e n t l y l a b e l e d b y j

2 . T h e m a p s

i

a c t s o n t h e l e a f

i

a s

i i+1

, t h u s s

i

a d d s a n - l e a f ( i t i s h o r i z o n t a l ) . S i m i l a r l y , s

i

a c t s o n t h e l e a f

i

a s

i i+1

, t h u s s

i

a d d s a = - l e a f ( i t i s v e r t i c a l ) . 2

S i n c e w e w i s h t o d e a l w i t h v e r t i c a l c o m p l e x e s k Y

p

] , t h r o u g h o u t t h e r e m a i n i n g p a r t o f t h i s

s e c t i o n w e x a p 0 , a n d o b s e r v e ( p ; q ) - t r e e s f o r d i e r e n t v a l u e s o f q 0

T h e n e x t l e m m a s a y s w e a t h e r a n i n c r e a s i n g m a p i s d i s t i n c t f r o m a n y o t h e r o r p r o d u c e s t h e

s a m e t r e e a s s o m e o t h e r m a p .

1 0


11/20

3 . 4 - L a b e l s o f o r i e n t e d l e a v e s . L e t y b e a ( p ; q ) - t r e e , a n d n = p + q + 1 . W e d e n e a m a p

a

y

: f 1 ; : : : ; p g ? ! f 1 ; : : : ; n g , a

y

( i ) = a

y

i

, b y a s s i g n i n g t o t h e i n t e g e r i t h e l a b e l o f t h e i

t h

n - l e a f

o f y , c o u n t i n g l e a v e s f r o m l e f t t o r i g h t a n d e x c l u d i n g t h e 0

t h

l e a f .

A n y n - l e a f ( e x c e p t t h e r s t o n e ) i s g r a f t e d i n t o a = - l e a f ( i n c l u d e d t h e l a s t o n e ) . T h u s t h e r e

i s a m a p b

y

: f 1 ; : : : ; p g ? ! f 1 ; : : : ; n g , b

y

( i ) = b

y

i

, w h i c h a s s i g n s t o t h e i n t e g e r i t h e l a b e l o f t h e

= - l e a f i n t o w h i c h t h e i

t h

n - l e a f i s g r a f t e d , i . e .

a bi i

C a l l A ( y ) : = f a

y

1

; : : : ; a

y

p

g f 1 ; : : : ; n g t h e i m a g e o f a . S i n c e t h e p n - l e a v e s o f y a r e d i s t i n c t b y

a s s u m p t i o n , t h e m a p a

y

i s a b i j e c t i o n b e t w e e n t h e s e t f 1 ; : : : ; p g a n d t h e s e t A ( y ) . T h u s w e c a n

a l s o d e n e a m a p b : A ( y ) ? ! f 1 ; : : : ; n g b y b ( a

y

i

) = b

y

i

. C a l l B ( y ) : = f b

y

1

; : : : ; b

y

p

g f 1 ; : : : ; n g t h e

i m a g e o f b

S o m e p r o p e r t i e s o f t h e m a p s a a n d b a r e g i v e n i n s e c t i o n A .

3 . 5 - L e m m a . L e t y b e a ( p ; q ) - t r e e , a n d n = p + q + 1

1 . T h e d e g e n e r a c y m a p s a r e a l l d i s t i n c t f r o m e a c h o t h e r , i . e . f o r a n y i ; j 2 f 0 ; : : : ; n g , i f i 6= j

t h e n s

i

( y ) 6= s

j

( y ) . ( I n p a r t i c u l a r t h i s h o l d s f o r a n y i n d e x i n t h e s e t A ( y ) )

2 . A n y r i g h t g r a f t i n g m a p i n t o a n i n t e r n a l e d g e l a b e l e d a s a = - l e a f p r o d u c e s t h e s a m e t r e e a s

s o m e d e g e n e r a c y m a p o r a r i g h t g r a f t i n g m a p i n t o a n e d g e l a b e l e d a s a n - l e a f . I n o t h e r w o r d s , f o r

a n y i n d e x i 2 f 1 ; : : : ; n g n A ( y ) , t h e r e e x i s t s a n a 2 A ( y ) s u c h t h a t r

i

( y ) = s

a

( y ) o r r

i

( y ) = r

a

( y )

3 . A l l r i g h t g r a f t i n g m a p s i n t o i n t e r n a l e d g e s l a b e l e d a s a n - l e a f a r e d i s t i n c t f r o m e a c h o t h e r

a n d f r o m a n y d e g e n e r a c y m a p . T h a t i s , f o r a n y a 2 A ( y ) , r

a

( y ) 6= s

a

( y ) a n d r

a

( y ) 6= r

a

( y ) f o r

a n y a

0

6= a 2 A ( y )

T h u s , f o r a n y ( p ; q ) - t r e e y , t h e r e a r e p r e c i s e l y p + 1 d i s t i n c t v e r t i c a l n o n - z e r o d e g e n e r a c i e s

a c t i n g o n y , n a m e l y s

0

; s

a

1

; : : : ; s

a

p

, a n d p d i s t i n c t v e r t i c a l g r a f t i n g m a p s , n a m e l y r

a

1

; : : : ; r

a

p

P r o o f . T h e a s s e r t i o n 1 . i s o b v i o u s .

2 . S u p p o s e t h a t a n i n t e r n a l e d g e i s l a b e l e d a s a = - l e a f , b y i . T h e n t h e r e a r e t w o p o s s i b l e

s h a p e s o f t h e b r a n c h a r o u n d t h e i

t h

l e a f :

i

i a n d

i

i

I n t h e r s t c a s e , w e h a v e i = b ( a ) f o r s o m e a 2 A ( y ) . T h e n , i f t h e r e i s n o a

0

b e t w e e n a a n d b ,

w e h a v e r

b

( y ) = s

a

( y ) . O t h e r w i s e , i f t h e r e a r e a

0

; a

0 0

; : : : 2 A ( y ) s u c h t h a t a < a

0

< a

0 0


12/20

s h a p e s o f t h e b r a n c h a r o u n d t h e a

t h

l e a f , a n d r

a

a c t s a s f o l l o w s :

f o r b = b

0

:

( 1 ) =

a a b=b

a! r

a

( 1 ) =

a a b b

a n d f o r b < b

0

:

( 2 ) =

a a b b

a! r

a

( 2 ) =

a a b b

I t i s t h e n c l e a r t h a t r

a

( y ) c a n n e v e r b e o b t a i n e d b y b i f u r c a t i n g a l e a f : t h e b r a n c h

a b

o b s t r u c t s

i t . S o r

a

( y ) 6= s

a

( y ) f o r a n y a

0 0

6= a

N o w c o n s i d e r t h e r i g h t g r a f t e r i n t o a n o t h e r n - l e a f . A g a i n t h e i n t e r n a l e d g e i s p l a c e d i n a

p e c u l i a r p o s i t i o n , s u c h a s t h e o n e l a b e l e d b y a . L e t u s c o n s i d e r t h e 8 m u t u a l p o s i t i o n s o f t w o

i n t e r n a l e d g e s l a b e l e d b y a a n d a

0

. S u p p o s e a

0

< a I f b b

0

:

( 1 1 ) =

a a b=b

a

a

( 1 2 ) =

a a b=b

a

a

( 2 1 ) =

a a b b

a

a

( 2 2 ) =

a a b b

a

a

I f b > b

0

:

1 1 ] =

a b a b

a a

1 2 ] =

a b a b

aa

2 1 ] =

a b a b

aa

2 2 ] =

a b a b

a a

O n e c a n c h e c k t h a t o n t h e s e 8 t r e e s w e a l w a y s h a v e r

a

6= r

a

, s o n a l l y r

a

i s a l w a y s d i e r e n t

f r o m r

a

2

S i n c e a n y m a p r

i

c o i n c i d e w i t h s o m e d e g e n e r a c y , f o r i 2 f 1 ; : : : ; n g n A ( y ) , w e g i v e t h e

c o m m u t a t i o n r e l a t i o n s b e t w e e n r

a

a n d t h e f a c e s d

i

o n l y f o r a 2 A ( y )

1 2


13/20

3 . 6 - L e m m a . T h e r i g h t g r a f t i n g o p e r a t o r s s a t i s f y t h e r e l a t i o n s

( d r ) d

i

r

a

=

8

>

>

>

:

r

a ? 1

d

i

; f o r 0 i < a ,

r

a

d

i

; f o r a i b ( a ) ,

i d ; f o r i = b ( a ) + 1 ,

r

a

d

i ? 1

; f o r i > b ( a ) + 1 ,

( r ) r

a

r

a

=

8

b + 1 , t h e e d g e l a b e l e d b y a i n ( 1 ) r e m a i n s l a b e l e d b y a i n d

i

( 1 ) , b u t t h e l e a f n u m b e r

i d e l e t e d i n r

a

( 1 ) b y t h e f a c e d

i

w a s l a b e l e d b y i ? 1 i n ( 1 ) .

T h e s a m e o b s e r v a t i o n s h o l d f o r t h e t r e e ( 2 ) .

( r ) C h e c k d i r e c t l y o n t h e 8 t r e e s ( i j ) a n d i j ] , f o r i ; j = 1 ; 2 , o f l e m m a ( 3 . 5 ) . 2

D e c o m p o s i t i o n o f t h e v e r t i c a l c o m p l e x e s i n t o t o w e r s .

3 . 7 - V e r t i c a l t o w e r s . L e t y b e a ( p ; q ) - t r e e . W e c a l l v e r t i c a l t o w e r o v e r y t h e f a m i l y T

y ,

w h e r e T

0

y : = f y g , a n d

T

m

y : = f s

0

( y

0

) ; s

a

( y

0

) ; r

a

( y

0

) i = 1 ; : : : ; p ; y

0

2 T

m ? 1

y g Y

p q + m

; m > 0

F o r e x a m p l e , t h e t r e e y = 2 Y

1 2

h a s a

1

= 2 , s

0

( ) = , s

2

( ) = a n d r

2

( ) = .

T h u s

T

0

y =

n o

; T

1

y =

; ;

;

a n d s o o n . T o s i m p l i f y t h e n o t a t i o n , w e u s e t h e s a m e s y m b o l T

m

y ] t o d e n o t e t h e s u b s e t o f t r e e s

a n d t h e k - m o d u l e s p a n n e d b y t h e s e t r e e s . I n g e n e r a l , a v e r t i c a l t o w e r i s n o t a v e r t i c a l c o m p l e x .

3 . 8 - L e m m a . F o r a n y ( p ; q ) - t r e e y , t h e v e r t i c a l t o w e r T

y i s c l o s e d f o r t h e v e r t i c a l f a c e s d

v

i

i f a n d o n l y i f d

v

i

( y ) = 0 f o r a n y i = 0 ; : : : ; p + q + 1

P r o o f . ( i ) A s s u m e t h a t d

v

i

( y ) = 0 f o r a l l i = 0 ; : : : ; p + q + 1 . W e s h o w t h a t i f y

0

b e l o n g s t o T

m

y

f o r s o m e m > 0 , t h e n f o r a n y i n d e x k 2 f 0 ; : : : p + q + m + 1 g s u c h t h a t d

v

k

( y

0

) 6= 0 , t h e t r e e d

v

k

( y

0

)

b e l o n g s t o T

m ? 1

y ] . W e p r o c e e d b y i n d u c t i o n o n m

F i r s t a s s u m e t h a t y

0

2 T

1

y ] . T h e n b y d e n i t i o n o f v e r t i c a l t o w e r w e k n o w t h a t y

0

= s

0

( y )

o r t h e r e e x i s t s a n i n d e x i 2 f 1 ; : : : ; p g s u c h t h a t y

0

i s e q u a l e i t h e r t o s

a

( y ) o r t o r

a

( y ) . N o w

c o n s i d e r a k 2 f 0 ; : : : ; p + q + 2 g s u c h t h a t d

v

k

( y

0

) 6= 0 , t h e n e i t h e r

d

v

k

( y

0

) = d

v

k

s

a

( y ) =

8


14/20

f o r a

i

p o s s i b l y e q u a l a l s o t o 0 , o r

d

v

k

( y

0

) = d

v

k

r

a

( y ) =

8

>

>

>

>

>

:

r

a ? 1

d

v

k

( y ) = 0 ; i f k < a

i

r

a

d

v

k

( y ) = 0 ; i f a

i

k b

i

y ; i f k = b

i

+ 1

r

a

d

v

k ? 1

( y ) = 0 ; i f k > b

i

+ 1

I n c o n c l u s i o n w e h a v e t h a t d

v

k

( y

0

) = 0 o r d

v

k

( y

0

) = y b e l o n g s t o T

0

y

A s s u m e n o w t h a t f o r a n y t r e e y

0 0

2 T

m ? 1

y ] , w e h a v e d

v

k

( y

0 0

) 2 T

m ? 2

y ] f o r a n y k =

0 ; : : : p + q + m ? 1 s u c h t h a t d

v

k

( y

0 0

) 6= 0 . W e s h o w t h a t t h e s a m e h o l d s f o r a n y t r e e y

0

2 T

m

y

I n f a c t y

0

m u s t b e e q u a l e i t h e r t o s

0

( y ) , s

a

( y ) o r t o r

a

( y ) , f o r a n i n d e x i 2 f 1 ; : : : ; p g , w i t h

y 2 T

m ? 1

y ] . T h u s , i n t h e r s t c a s e ( f o r a

i

a l s o e q u a l t o 0 )

d

v

k

( y

0

) = d

v

k

s

a

( y ) =

8

>

>

>

>

:

r

a ? 1

d

v

k

( y ) ; i f k < a

i

r

a

d

v

k

( y ) ; i f a

i

k

i

y ; i f k = b

i

+ 1

r

b

j

d

v

k ? 1

( y ) ; i f k > b

i

+ 1

b e l o n g s t o T

m ? 1

y ] f o r t h e s a m e r e a s o n .

( i i ) A s s u m e n o w t h a t t h e r e e x i s t s a n i n d e x k 2 f 0 ; : : : ; p + q + 1 g s u c h t h a t d

v

k

( y ) 6= 0 i n Y

p q ? 1

W e s h o w t h a t t h e t o w e r o v e r y i s n o t c l o s e d f o r t h e v e r t i c a l f a c e s . I n f a c t :

I f k = 0 , w e h a v e s

a

( y ) 2 T

1

y ] f o r a n y i = 1 ; : : : ; p . T h e n d

v

0

( s

a

( y ) ) = s

a ? 1

d

v

0

( y ) i s a t r e e

i n Y

p q

w h i c h i s d i e r e n t f r o m y , i . e . i t d o e s n o t b e l o n g t o T

0

y

I f k = a

i

f o r s o m e i 2 f 1 ; : : : ; p g , w e h a v e s

0

( y ) 2 T

1

y ] . T h e n d

v

a

( s

0

( y ) ) = s

0

d

v

a + 1

( y ) i s a

t r e e i n Y

p q

d i e r e n t f r o m y

I f a

i

< k b

i

f o r s o m e i 2 f 1 ; : : : ; p g , t h e n s

a

( y ) 2 T

1

y ] a n d d

v

k

( s

a

( y ) ) = s

a ? 1

d

v

k

( y ) i s a

t r e e i n Y

p q

d i e r e n t f r o m y 2

3 . 9 - B a s e t r e e s . F o r a n y p 0 , w e c a l l ( p ; ) - b a s e t r e e a n y ( p ; q ) - t r e e y s u c h t h a t d

v

i

( y ) = 0

f o r a l l i = 0 ; : : : ; n . B y ( 3 . 8 ) , t h e v e r t i c a l t o w e r c o n s t r u c t e d o n a b a s e t r e e i s a v e r t i c a l c o m p l e x .

3 . 1 0 - L e m m a - N o t a t i o n . T h e r e i s a b i j e c t i v e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n t h e s e t Y

p

a n d t h e

s e t o f ( p ; ) - b a s e t r e e s . T h e r e f o r e w e d e n o t e b y T

( y ) t h e t o w e r T

~y o n t h e ( p ; ) - b a s e t r e e ~y

c o r r e s p o n d i n g t o t h e p - t r e e y . M o r e o v e r , t h e n u m b e r o f = - l e a v e s o f a p - t r e e y i s e q u a l t o t h e

n u m b e r o f = - l e a v e s o f i t s a s s o c i a t e d b a s e t r e e ~y

P r o o f . L e t

' : Y

p

? ! f y 2

G

0 s p ? 1

Y

p s

d

v

i

( y ) = 0 8 i = 0 ; 1 ; : : : ; p + s + 1 g

b e t h e m a p w h i c h s e n d s a t r e e y i n t o t h e t r e e ' ( y ) o b t a i n e d b y b i f u r c a t i n g a l l t h e = - l e a v e s . T h e

m a p ' i s c l e a r l y i n j e c t i v e , l e t u s s h o w t h a t i t i s w e l l d e n e d .

I f y i s a p - t r e e , t h e n t h e t r e e ' ( y ) h a s e x a c t e l y p l e a v e s o r i e n t e d l i k e n . I n f a c t , s u p p o s e

t h a t t h e p - t r e e y l i e s i n t h e c o m p o n e n t Y

r s

o f Y

p

, i . e . y h a s r i n t e r n a l n - l e a v e s a n d s i n t e r n a l

1 4


15/20

= - l e a v e s , w i t h r + s + 1 = p . T h e n t h e t r e e ' ( y ) h a s t h e o r i g i n a l r n - l e a v e s , a n d t h e n e w s + 1

n - l e a v e s a p p e a r i n g a f t e r t h e b i f u r c a t i o n o f t h e s + 1 t o t a l = - l e a v e s .

I f y i s a p - t r e e , t h e n t h e t r e e ' ( y ) c a n h a v e a t m o s t p ? 1 i n t e r n a l = - l e a v e s . I n f a c t , t h e

= - l e a v e s o f ' ( y ) a r e e x a c t e l y t h e s o r i g i n a l = - l e a v e s o f t h e p - t r e e y b e l o n g i n g t o t h e c o m p o n e n t

Y

r s

, a n d c l e a r l y 0 s p ? 1 . H e n c e ' ( y ) b e l o n g s t o t h e u n i o n

F

0 s p ? 1

Y

p s

L e t u s s h o w t h a t i f ' ( y ) b e l o n g s t o t h e s e t Y

p s

, t h e n d

v

i

( ' ( y ) ) = 0 f o r a n y i = 0 ; 1 ; : : : ; p + s + 1

I f t h e i n d e x i l a b e l s a = - l e a f o f ' ( y ) , i t c o m e s b y c o n s t r u c t i o n f r o m a b i f u r c a t e d = - l e a f o f y , t h u s

d

v

i

p r o d u c e s a t r e e w i t h t h e s a m e n u m b e r o f = - l e a v e s , a n d a n - l e a f l e s s . W h e n t h e i n d e x i l a b e l s

a n - l e a f o f ' ( y ) , t h e f a c e d

i

c l e a r l y d e l e t e s a n - l e a f u n l e s s t h e i + 1

t h

l e a f i s a = l e a f w h i c h i s

g r a f t e d i n t o t h e i

t h

l e a f , a n d t h i s i s i m p o s s i b l e i n t h e t r e e ' ( y ) , b e c a u s e b y c o n s t r u c t i o n a n y

= - l e a f i s p r e c e d e d b y a n - l e a f w h i c h i s g r a f t e d i n t o t h e = - l e a f , a n d n o t t h e o p p o s i t e .

F i n a l l y , t o p r o v e t h a t t h e m a p ' i s a b i j e c t i o n , w e s h o w t h a t t h e s u r j e c t i v e m a p

:

G

q 0

Y

p q

? ! Y

p

w h i c h d e l e t e s a l l t h e = - l e a v e s , i n c l u d e d t h e l a s t o n e , i s i n v e r s e t o ' w h e n r e s t r i c t e d t o t h e s u b s e t

o f t r e e s w i t h d

v

i

( y ) = 0 f o r a l l i = 0 ; : : : ; p + q + 1 . T h e c o m p o s i t i o n ' i s c l e a r l y t h e i d e n t i t y

m a p o n Y

p

. O n t h e o t h e r s i d e , l e t y b e a ( p ; q ) - t r e e , f o r s o m e q 0 . B y c o n s t r u c t i o n , t h e t r e e

' ( y ) i s o b t a i n e d b y d e l e t i n g a l l t h e = - l e a v e s f r o m y , a n d t h e n r e p l a c i n g a l l t h e n e w = - l e a v e s

w i t h b i f u r c a t i o n s . T h u s y a n d ' ( y ) c a n o n l y d i e r f o r s o m e = - l e a f , s a y l a b e l e d b y k , s u c h

t h a t t h e l e a f l a b e l e d b y k ? 1 i s n o t a n - l e a f g r a f t i n g i n t o i t . A n y s u c h l e a f p r o d u c e s a v e r t i c a l

n o n - z e r o f a c e d

v

k

. S i n c e t h e d o m a i n o f i s r e s t r i c t e d t o t h e t r e e s w i t h o n l y z e r o v e r t i c a l f a c e s ,

t h e t r e e s y a n d ' ( y ) m u s t c o i n c i d e . 2

3 . 1 1 - T h e o r e m . F o r a n y p 0 , t h e v e r t i c a l c o m p l e x ( k Y

p

; d

v

) i s t h e d i r e c t s u m o f t o w e r s ,

k Y

p

=

M

y 2 Y

p

T

+ q

y

( y ) ;

s h i f t e d b y t h e n u m b e r q

y

o f = - l e a v e s o f y .

P r o o f . B y c o n s t r u c t i o n , t h e s u m o f t h e t o w e r s T

( y ) i s d i r e c t . W e s h o w t h a t i t c o v e r s t h e

w h o l e v e r t i c a l c o m p l e x k Y

p

] , i . e . t h a t f o r a n y y 2 Y

p q

, t h e r e e x i s t s a t r e e y

0

2 Y

p

s u c h t h a t

y 2 T

m

( y

0

) f o r s o m e m 0 . P u t y

0

: = ( y ) 2 Y

p

a n d l e t

~

y

0

2 Y

p q

y

b e i t s ( p ; ) - b a s e t r e e . T h e n

y d i e r s f r o m

~

y

0

f o r s o m e = - l e a v e s w h i c h a r e n o t l a b e l l e d b y a n y b

i

, w i t h i = 1 ; : : : ; p . I n f a c t ,

b y d e n i t i o n , a n y t r e e i n d e g r e e m i s o b t a i n e d b y a d d i n g a = - l e a f t o a t r e e i n d e g r e e m ? 1 , b y

m e a n s o f t h e m a p s s

a

o r r

a

. T h u s y b e l o n g s t o T

m

~

y

0

= T

m

( y

0

) , w i t h m = q ? q

y

2

3 . 1 2 - P r o p o s i t i o n . T h e t o w e r T

( y ) , a s s o c i a t e d t o a p - t r e e y , i s t h e t o t a l c o m p l e x o f a m u l t i

c o m p l e x w i t h d i m e n s i o n d = 2 p + 1 . H e n c e t h e n u m b e r o f i t s d i r e c t s u m m a n d s , a t a n y d e g r e e

m 0 , i s g i v e n b y t h e b i n o m i a l c o e c i e n t

d + m ? 1

m

!

=

( 2 p + m ) !

m ! ( 2 p ) !

P r o o f . A p p l y d e n i t i o n ( 3 . 7 ) a n d r e m a r k , a f t e r ( 3 . 6 ) a n d ( 3 . 5 ) , t h a t 2 p + 1 i s p r e c i s e l y t h e

n u m b e r o f d i s t i n c t m a p s w h i c h c a n a c t o n a t r e e w i t h p n - l e a v e s b y a d d i n g a = - l e a f . 2

1 5


16/20

D r a w i n g s o f v e r t i c a l t o w e r s .

3 . 1 3 - V e r t i c a l t o w e r f o r p = 0 T h e v e r t i c a l c o m p l e x k Y

0

] c o i n c i d e s w i t h t h e t o w e r T

( )

w i t h b a s e , a n d i t i s p r e - s i m p l i c i a l s i n c e a l l t h e f a c e s a r e n o n - z e r o ( g . 4 ) .

? !

d

? ! ? ! ? ! ? ! ? !

F i g u r e 4 : V e r t i c a l t o w e r T

( ) w i t h b a s e .

3 . 1 4 - V e r t i c a l t o w e r f o r p = 1 T h e v e r t i c a l c o m p l e x k Y

1

] c o i n c i d e w i t h t h e t o w e r T

( )

w i t h b a s e . T h i s c o m p l e x i s t h e t o t a l o f a m u l t i - c o m p l e x w i t h d i m e n s i o n d = 3 ( g . 5 ) .

6

I

-

I I

I I I

d

0

? d

1

d

0

? d

1

+ d

2

d

0

? d

1

d

0

? d

1

? d

1

+ d

2

? d

3

d

2

? d

3

+ d

4

? d

1

+ d

2

? d

3

? d

1

+ d

2

? d

3

+ d

4

? d

3

d

4

d

4

? d

3

+ d

4


( ) w i t h b a s e .

3 . 1 5 - V e r t i c a l t o w e r s f o r p = 2 T h e s e t Y

2

c o n t a i n s t w o t r e e s , a n d , a s s o c i a t e d

r e s p e c t i v e l y t o t h e b a s e t r e e s a n d . H e n c e k Y

2

= T

( ) T

+ 1

( ) , w h e r e t h e t w o

t o w e r s a r e m u l t i - c o m p l e x e s w i t h d i m e n s i o n d = 5 ( g . 6 a n d g . 7 ) .

3 . 1 6 - V e r t i c a l c o m p l e x f o r p 3 T h e s e t Y

3

c o n t a i n s v e t r e e s , , , , a n d ,

w h i c h c o r r e s p o n d , r e s p e c t i v e l y , t o t h e v e f o l l o w i n g b a s e t r e e s :

; ; ; ; :

H e n c e k Y

3

] i s t h e d i r e c t s u m o f v e v e r t i c a l t o w e r s , b a s e d o n t h e s e v e t r e e s , w h i c h a r e

m u l t i - c o m p l e x e s w i t h d i m e n s i o n d = 7

I n a s i m i l a r w a y o n e c a n p r o c e e d f o r p > 3 . E a c h v e r t i c a l c o m p l e x k Y

p

] i s t h e d i r e c t s u m o f

c

p

v e r t i c a l t o w e r s ( w h e r e c

p

i s t h e n u m b e r o f p - t r e e s ) , a n d e a c h v e r t i c a l t o w e r i s a m u l t i - c o m p l e x

w i t h d i m e n s i o n d = 2 p + 1

1 6


17/20

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Qk

I

6

I I

3

I I I

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@R

I V

?

?

?

?

?

?

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?

?

V

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Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

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@

@

@

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@

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?

@

@

@

@

@

@

@

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

d

0

? d

1

d

0

? d

1

+ d

2

? d

1

+ d

2

? d

1

+ d

2

? d

3

d

2

? d

3

+ d

4

d

2

? d

3

+ d

4

? d

5

d

4

d

4

? d

5

d

4

d

4

? d

5


( ) w i t h b a s e .

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Qk

I

6

I I

3

I I I

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@R

I V

?

?

?

?

?

?

?

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?

?

V

?

?

?

?

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Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

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@

@

@

@

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?

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?

@

@

@

@

@

@

@

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

d

0

? d

1

d

0

? d

1

+ d

2

? d

1

+ d

2

? d

3

? d

1

+ d

2

? d

3

+ d

4

? d

3

+ d

4

? d

5

? d

3

+ d

4

? d

5

+ d

6

? d

3

? d

3

+ d

4

? d

5

? d

5

+ d

6


( ) w i t h b a s e .

1 7


18/20

A A p p e n d i x . A n i n v a r i a n t o f t h e t o w e r s

I n t h i s a p p e n d i x w e s h o w t h a t t h e c l a s s e s o f t r e e s a r e i n b i j e c t i o n w i t h c e r t a i n c l a s s e s o f s e t

m a p s . F r o m t h i s c o n s t r u c t i o n i t i s t h e n c l e a r t h a t t h e n u m b e r o f = - l e a v e s o f a t r e e y c h a r a c t e r i z e s

t h e s h a p e o f a l l t r e e s b e l o n g i n g t o t h e v e r t i c a l t o w e r T

( y ) a s s o c i a t e d t o y

A . 1 - P r o p o s i t i o n . F o r a n y p ; q 0 , t h e r e i s a b i j e c t i v e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n ( p ; q ) - t r e e s

a n d p a i r s o f s e t m a p s a ; b : f 1 ; : : : ; p g ? ! f 1 ; : : : ; n g , w i t h n = p + q + 1 , s a t i s f y i n g t h e f o l l o w i n g

c o n d i t i o n s :

1 . i f i < j t h e n a ( i ) < a ( j ) , h e n c e t h e m a p a i s m o n o t o n e s t r i c t l y i n c r e a s i n g ;

2 a ( i ) < b ( i ) f o r a n y i , i n p a r t i c u l a r t h e m a p s a a n d b h a v e d i s j o i n t i m a g e ;

3 . i f i < j a n d a ( j ) < b ( i ) , t h e n b ( i ) b ( j ) ( e q u i v a l e n t l y , i f i < j a n d b ( i ) < b ( j ) t h e n b ( i ) < a ( j ) )

P r o o f . ( i ) L e t u s s h o w t h a t f o r a n y ( p ; q ) - t r e e y , t h e s e t m a p s a ; b : f 1 ; : : : ; p g ? ! f 1 ; : : : ; n g d e n e d

i n ( 3 . 4 ) , w i t h n = p + q + 1 , w h i c h l a b e l t h e o r i e n t e d l e a v e s o f y , s a t i s f y c o n d i t i o n s 1 , 2 , 3 . T h e

r s t t w o c o n d i t i o n s a r e e v i d e n t : 1 m e a n s t h a t t h e p n - l e a v e s a r e d i s t i n c t , a n d 2 m e a n s t h a t a n y

n - l e a f i s d i s t i n c t f r o m t h e = - l e a f i n t o w h i c h i s g r a f t e d . C o n d i t i o n 3 i s d u e t o t h e f a c t s t h a t a n y

n - l e a f c a n n o t c o i n c i d e w i t h a n y = - l e a f , s o b

i

6= a

j

, a n d t h a t f o r i < j a n d b

i

< b

j

, t h e r e l a t i o n

b

i

> a

j

w o u l d c o r r e s p o n d t o t h e f o l l o w i n g i m p o s s i b l e p i c t u r e :

a ba bi ij j

( i i ) L e t a ; b : f 1 ; : : : ; p g ? ! f 1 ; : : : ; n g b e t w o m a p s s a t i s f y i n g c o n d i t i o n s 1 , 2 , 3 a b o v e , w i t h

n = p + q + 1 . T h e n w e c a n c o n s t r u c t a t r e e y w i t h t h e f o l l o w i n g a l g o r i t h m .

D r a w p + q + 2 p o i n t s , a n d l a b e l t h e m f r o m 0 t o p + q + 1 . D r a w a n e d g e n f r o m t h e 0 - t h

l e a f , a n e d g e = f r o m t h e l a s t l e a f a n d t h e r o o t .

F r o m a n y l e a f l a b e l l e d b y a ( i ) , d r a w a n e d g e n a n d g r a f t i t i n t o a n e d g e = d r a w n f r o m t h e

l e a f l a b e l l e d b y b ( i ) . E x t e n d a l l t h e e d g e s u n t i l l t h e y r e a c h a n e d g e o f o p p o s i t e o r i e n t a t i o n .

F r o m a n y r e m a i n i n g l e a f , d r a w a n = - e d g e , a n d r e a c h a n n - e d g e .

N o n e o f t h e s e o p e r a t i o n s h a s a n y f r e e d o m o f c h o i c e , s o t h e t r e e t h u s o b t a i n e d i s u n i q u e l y d e t e r -

m i n e d , a n d i t i s c l e a r l y d e s c r i b e d b y t h e g i v e n m a p s a ; b 2

H e r e i s a n e x a m p l e o f t h e a l g o r i t h m a b o v e . L e t n = p + q + 1 b e 7 , a n d p = 2 . C h o o s e t w o

m a p s a c c o r d i n g t o c o n d i t i o n s 1 , 2 , 3 o f ( A . 1 ) , f o r i n s t a n c e ,

a ( 1 ) = 2 ; a ( 2 ) = 3 ; b ( 1 ) = 5 ; b ( 2 ) = 5

N o w f o l l o w t h e t h r e e s t e p s i n t h e d r a w i n g .

0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7

1 8


19/20

A . 2 - B l o c k s . T h e m a p b i s n o t n e c e s s a r i l y m o n o t o n e . H o w e v e r w e c a n s a y t h a t i t i s \ b l o c k "

m o n o t o n e , s i n c e i t s a t i s e s

4 . F o r a n y t r i p l e o f i n d i c e s i < j < k s u c h t h a t b ( i ) < b ( j ) , i t i s i m p o s s i b l e t h a t b ( k ) b ( i )

T h i s c o n d i t i o n s a y s t h a t w h e n e v e r t h e m a p b s a t i s e s b ( i ) < b ( j ) , f o r i < j , t h e i n e q u a l i t y s i g n

\


20/20

I ] I n a s a r i d z e , K . N . H o m o o p y y o f p s e u d o s i m p l i c i a l g r o u p s , n o n a b e l i a n d e r i v e d f u n c t o r s ,

a n d a l g e b r a i c K - t h e o r y , M a t h . S b o r n i k , T . 9 8 ( 1 4 0 ) , 3 ( 1 1 ) , ( 1 9 7 5 ) , 3 3 9 - 3 6 2 .

K ] K n u t h , D . E . T h e a r t o f c o m p u t e r p r o g r a m m i n g I . F u n d a m e n t a l a l g o r i t h m s , A d d i s o n -

W e s l e y , N e w Y o r k , 1 9 6 8 .

L ] L o d a y , J . - L . A l g e b r e s a y a n t d e u x o p e r a t i o n s a s s o c i a t i v e s ( d i g e b r e s ) , C . R . A c a d . S c i .

P a r i s 3 2 1 ( 1 9 9 5 ) , 1 4 1 - 1 4 6 .

T - V ] T i e r n e y , M . - V o g e l , W . S i m p l i c i a l D e r i v e d F u n c t o r s i n \ C a t e g o r y t h e o r y , h o m o l o g y

t h e o r y a n d a p p l i c a t i o n s " , S p r i n g e r L . N . M . 6 8 ( 1 9 6 9 ) , 1 6 7 - 1 7 9 .

Alessandra Frabetti- Simplicial Properties of the set of Planar Binary Trees

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