1

Aleksandra RavasJovan Knežević

januar 2012. Republički seminar o nastavi matematike

2

funkcije

meni?meni?

EksponencijalneEksponencijalne

šta će to

Nema profesora matematike koji se bar jednom u svom radnom veku nijesreo sa sličnim pitanjem nekog od đaka kojima je predavao.Kako suština matematičkog načina razmišljanja podrazumeva da se onomože primeniti u raznim oblastima ljudskog delovanja, cilj ovog predavanjaje da pruži profesorima srednjoškolske matematike pregršt primera izstvarnog života kojima bi mogli otpočeti nastavnu temu o eksponencijalnimfunkcijama, uz ideje kako se ona može učiniti zanimljivijom kroz saradnju sakolegama koji predaju druge predmete, poput biologije, informatike, hemijeili fizike.Pored toga, biće predstavljen izbor zadataka za koje autori smatraju da ih jedobro uraditi kako bi tema bila kvalitetno prezentovana učenicima.

3

⋅ x0

f(x)=P (1+r)

P0 – početna vrednostr- stopa rasta/opadanja (100·r – procenat rasta/opadanja)1+r – faktor rasta/opadanja

4

Biologija

Biološka reprodukcija je jedan od odličnih primera eksponencijalnog rasta. Organizmi koji se reprodukuju u pravilnim generacijskim periodima će se, u idealnim uslovima, razmnožavati eksponencijalno.Eksponencijalni rast u populaciji se pojavljuje u situaciji kada je natalitet veći od mortaliteta, a stope rađanja i umiranja su konstantne.

5

Deoba ćelijaProces deobe ćelije bi učenicima trebalo da bude poznat, ali se, po potrebi, u pomoć može pozvati profesor biologije. Ovo je prirodan primer eksponencijalno rastuće funkcije sa stopom rasta od 100%.

6

Kolonija bakterija

Gaji se u laboratoriji pod idealnim uslovima.Ako posle 3h ima 10000 jedinki, koliko ih je bilo na početku?

P0=10000:23=1250

Funkcija koja modeluje rast: ⋅ x0f(x) = P (1+1)

7

Populacija

8

Populacija Novog Pazara*

Popis 1981. - 41099Popis 1991. - 51749

Decenijsko uvećanje 25,91%

Predvideti populaciju 2001. i 2011?

Funkcija koja modeluje rast: ⋅ xf(x) = 41099 1,2591

*Podaci upotrebljeni u primeru uzeti sa internet prezentacije Republičkog zavoda za statistiku (www.stat.gov.rs)

9

Popis 2002. - 61179

⋅f(1) = 41099 1,2591= 51748

⋅ 2f(2) = 41099 1,2591 = 65155

Popis 2002. (nova metodologija) - 54604

Populacija Novog Pazara

10

Popis 1991. - 50362Popis 2002. - 54604

Decenijsko uvećanje 8,42%

Funkcija koja modeluje rast: ⋅ x1f (x) = 50362 1,0842

Predvideti populaciju 2011?

Populacija Novog Pazara

11

⋅ 21f (2) = 50362 1,0842 = 59200

Popis 2011. (nova metodologija) - 60638

Populacija Novog Pazara

⋅1f (1) = 50362 1,0842 = 54602

12

Da li je to sve?

13

Ekonomija

Složeni kamatni račun – kamata koju donosi štedni račun je konstantna proporcija stanja na njemu, ukamaćena na fiksnim vremenskim intervalima. Ukoliko efektivna kamatna stopa, korigovana za stepen inflacije, ostane konstantna, stanje na računu se eksponencijalno uvećava.

14

ŠtednjaMarija je uložila 300€ u banku po kamatnoj stopi od 5% sa godišnjim pripisom kamate. Koliko će godina biti potrebno da se ulog utrostruči? (22,5)

Milica ima 25 godina i planira da se penzioniše sa 60. Želela bi da u tom trenutku ima 1000000 dinara ušteđevine, i planira da ulaže mesečno u penzioni fond sledećih 35 godina. Ukoliko je kamatna stopa koju joj nudi fond 6% p.a, a pripis kamate mesečni, kolika treba da bude mesečna uplata da bi Milica ispunila zadati cilj? (701,40)

Istraživački zadatak: da učenici skupe iz reklama stvarne ponude banaka, i daodrede u kojoj bi bilo najisplativije uložiti izvesnu ušteđevinu, ili podići kredit.

15

⋅ rx0

f(x)=P e

Kada se kamaćenje radi n puta godišnje, tokom x godina, polazna formula postaje:

Ukoliko kapitalisanje postane kontinulano, neprekidno, formula prelazi u:

⋅nx

0rn

f(x) =P (1+ )

⋅rx

0 ef(x) =P

16

InflacijaPretpostavimo da posedujete u svojoj slamarici 10.000 evra, koje čuvate za penzionerske dane. Koliko će novac kojim danas raspolažete vredeti za 20 godina ako je godišnja inflacija:a) 3%? b) 7%?Ako je inflacija 3% godišnje, ono što danas košta 1€, sledeće godine će koštati 1,03€. Da bi se novac iz sledeće godine sveo na vrednost tekuće godine, potrebno ga je pomnožiti sa 1/1,03≈0,971 što će mu smanjiti vrednost.

Za godinu dana, 10.000€ će vredeti 0,971·10.000€=9.710€, a kako je 0,971 faktor opadanja, za x =20, ušteđevina će imati vrednost 5.550€ (ako je inflacija 7%, ušteđevina će izgubiti oko 75% vrednosti, odnosno, vredeće 2.610€).

Istraživački zadatak: da učenici nađu na prezentaciji zavoda za statistiku tačne podatke o mesečnoj inflaciji, pa da modeluju funkciju i predvide npr. cenu hleba ili bioskopske karte ili benzina na osnovu nje.

17

Gubitak vrednosti

Slobodan je kupio novi auto po ceni od 25.000€, koji približno gubi 15% svoje vrednosti godišnje. Odrediti faktor gubitka vrednosti. Odrediti funkciju koja modeluje gubitak vrednosti. Izračunati vrednost automobila 10 godina posle kupovine. (0,85; f(10)=25000·0,8510=4921,86)

Predlog za kreativnu radionicu: učenici mogu da prikupe iz novina, časopisa ili sa interneta, podatke o ceni novih modela automobila zadatog proizvođača, kao i cene polovnih modela u odnosu na njihove godine proizvodnje, i da na osnovu njih modeluju odgovarajuće funkcije pada vrednosti, a da zatiman aliziraju dobijene podatke – koji je model najisplativije kupiti nov, a koji polovan, u kom trenutku je najbolje prodati auto?

18

Broj gledalaca

Veliki procenat zarade u Holivudu dolazi od prodatih bioskopskih karata, a neki od najpoznatijih filmova u istoriji su zaradili milijarde dolara, poput “Avatara”, “Ratova zvezda” ili “Titanika”.Jedan od najboljih pokazatelja koliko će film zaraditi u distribuciji je podatak o prodatim bioskopskim ulaznicama za vreme prvog vikenda nakon što je film premijerno prikazan u bioskopima.Film “Mračni vitez” (The Dark Knight, 2008) Kristofera Nolana je među filmovima koji su imali najveću zaradu u toku prve nedelje prikazivanja, pa iako mu je gledanost u toku narednih sedmica drastično opadala, zaradio je više od milijardu dolara u distribuciji.

Internet stranica na kojoj je moguće naći podatke o zaradi velikog broja filmova na dnevnom nivou: www.the-numbers.com/movies/records

Istraživački zadatak: učenici mogu da odaberu neki film i da na osnovu podataka koje pronađu modeluju eksponencijalnu funkciju kojoj je P0 zarada u toku prvog vikenda, a r stopa opadanja. Zatim mogu da, pomoću Excel-a, provere na celokupnom skupu podataka za izabrani film da li su dobro odredili funkciju.

Takođe, mogu da slično urade za film koji je nedavno imao premijeru, i da provere nakon nekoliko nedelja da li njihova procena modeluje stvarnu zaradu.

19

Ko umije njemu dvije

20

Pravilo dupliranja

Deci se ponekad priča priča u kojoj treba da zamisle jezero u kome rastu lokvanji čiji se broj svakog dana udvostručava, i ukoliko se ne uništavaju, za 30 dana će prekriti površinu celog jezera, ubijajući na taj način sav živi svet u njemu. Kako se dan za danom čini da je prekrivač od lokvanja relativno mali, odlučeno je da se krene sa njihovom sečom tek kada prekriju tačno polovinu jezera. Kog dana će se to desiti? Kako odgovor objasniti detetu?

Ukoliko se komad običnog papira debljine 0,1mm počne presavijati na pola, pa još na pola, i tako dalje, a pod pretpostavkom da se može nastaviti do u beskonačnost, kako bi glasila funkcija koja modeluje njegovu debljinu? Sa koliko presavijanja bi se stiglo do visine čoveka? Do visine švajcarske planineMaterhorn (4478m)? Do Sunca? Do kraja Sunčevog sistema? (do visine 1,63m potrebno je 14 presavijanja, sa 26 papir je viši od Materhorna, sa 51 stiže do Sunca, sa 54 do ivice Sunčevog sitema)

Interesantan link:http://www.blic.rs/Slobodno-vreme/Zanimljivosti/301052/Neko-se-toalet-papirom-brise-a-neko-resava-slozene-matematicke-zadatke

21

Odrediti x tako da je f(x)=2P0.

2P0=P0(1+r)x (2P0=P0erx),pa je x=ln2/ln(1+r) (x=ln2/r).*

x≈70/r ili x≈72/r zbog više delilaca.

Dobro za stope 6%-10% uz godišnje kapitalisanje.

Za ostale stope i neprekidno kapitalisanje bolje 69/r (ln2≈0,693).

Pravilo 70, pravilo 72, pravilo 69

*Za male vrednosti r, ln(1+r) je aproksimativno jednako r (prvom članu Tejlorovog reda).

Ovo pravilo se može naći u knjizi Summa de Arithmetica Luke Pačolija(1445–1514). Spominje se u diskusiji o proceni vremena potrebnog za dupliranje uloga, ali se ne izvodi niti objašnjava, zbog čega se pretpostavlja da je bilo uveliko poznato u Pačolijevo vreme.“A voler sapere ogni quantita a tanto per 100 l'anno, in quanti anni saràtornata doppia tra utile e capitale, tieni per regola 72, a mente, il qualesempre partirai per l'interesse, e quello che ne viene, in tanti anni saràraddoppiato. Esempio: Quando l'interesse è a 6 per 100 l'anno, dico che siparta 72 per 6; ne vien 12, e in 12 anni sarà raddoppiato il capitale.”U prevodu:

“Ukoliko želiš da znaš za proizvoljnu glavnicu, i poznat godišnji prinos, za koliko godina će se udvostručiti dodavanjem interesa na glavnicu, imaj kao pravilo (broj) 72 na pameti, koji ćeš uvek podeliti sa interesom, i ono što dobiješ za rezultat, kazuje za koliko godina će se udvostručiti. Primer: ako je interes 6 posto godišnje, kažem da treba podeliti 72 sa 6; 12 je rezultat, i za12 godina će se glavnica udvostručiti. ”

22

Medicina

23

Apsorpcija lekaLjudsko telo eliminiše supstance koje se u njega unesu pomoću metabolizma i izlučivanjem. Da bi odredio kojom dinamikom će pacijent uzimati lek i u kojoj dozi, lekar treba da proceni koliko će dugo lek ostati u telu pacijenta. Ovo se obično radi merenjem vremena potrebnog da se ukupna količina leka u organizmu smanji za jednu polovinu.Za većinu lekova se smatra da su eliminisani iz organizma posle pet ciklusa poluraspada, pošto je tada količina koja preostane verovatno previše mala dabi izazvala bilo kakav koristan ili štetan efekat. Posle pet ciklusa, koji procenat od originalne doze leka je ostao u organizmu?

Ubrzo po uzimanju aspirina, u krvi bolesnika je bilo 500mg leka. Ako se njegova količina smanjuje tako da ga je svaka 2 sata upola manje, koliko će ga biti u organizmu posle 6h? (62,5 miligrama)

Nakon što je popio nekoliko alkoholnih pića, u krvi vozača bilo je 2,5‰alkohola. Ako se ta količina eksponencijalno smanjuje za 25% svakog sata, za koliko sati će biti 0,08‰? (0,75)x=0,08/2,5 x≈12hInteresantan link: http://www.alkoholizam.com/organizam5.htmwww.pernod-ricard-serbia.com/odgovorno-konzumiranje-alkohola

24

Zarastanje raneNeka je f(x) površina rane izražena u kvadratnim centimetrima, x dana nakon što je počeo proces zarastanja, a neka je Po njena originalna površina.Funkcija je zadata formulom:

Pretpostavimo da je posle utakmice u kojoj je povređen, košarkašu rečeno da neće moći da igra sve dok mu se rana na nozi ne zaleči bar 90%.Da li će on moći da učestvuje na turniru koji počinje za dve nedelje?

Posle koliko vremena će moći da se vrati na teren? (Posle 16 dana.)

⋅-0,15x

0f(x) =P e

≈⋅ 00 0,122456428 12,24%Pf(14) =P

25

Širenje zarazeU prvim danima širenja epidemije, broj obolelih ljudi raste eksponencijalno. Poznato je da je na početku (x=0) bilo bolesno 40 ljudi. Trećeg dana je taj broj porastao na 200. Koliko će ih biti bolesno šestog dana? Koliko obolelih će biti posle nedelju dana? Posle koliko dana će biti 7000 zaraženih?

Za približno 9,63 dana.

Interesantna računica na ovu temu se može videti u filmu “Zaraza” (Contagion, 2011) Stivena Soderberga sa Metom Dejmonom, Gvinet Paltrou, Džud Loom i Kejt Vinslet u glavnim ulogama.

⋅≈

xf(x) = 40 1,709976f(6) = 1000, f(7) 1710

26

Hemija

Poluživot atomskog oružjaPlutonijum, koji se koristi kao gorivo za atomsko oružje, ima vreme poluraspada od oko 24.400 godina. Atomsko oružje je obično konstruisano tako da ima marginu mase od 1%, što znači da će biti funkcionalno sve dok originalno gorivo ne smanji svoju masu za više od 1%, ostavljajući manje od 99% originalne količine. Proceniti koliko godina će plutonijuska bomba biti funkcionalna. Zašto postoji zabrinutost oko postojećih skrovišta atomskog oružja?

27

PoluraspadSpontanom emisijom subatomskih čestica radioaktivni elementi i izotopiprelaze u drugačiji izotop. To je slučajan proces pojedinačnih atoma, aliukupna masa supstance se smanjuje prema formuli za eksponecijalnoopadanje.Itrijum90 je radioaktivni izotop koji se koristi u lečenju nekih vrsta kancera.Uzorak koji je na početku sadržao 5mg itrijuma90 je ponovo izmeren posle 20h i utvrđeno je da teži 4mg. Odrediti vreme poluraspada ovog izotopa?

Jod131 je izotop koji se koristi u dijagnostikovanju poremećaja funkcije tiroidne žlezde. Njegovo vreme poluraspada je približno 8 dana. Pacijentu je data nijekcija koja sadrži 8 mikrograma joda131. Odrediti nivo izotopa u telu pacijenta posle 5 dana. Koliko će vremena biti potrebno da se količina spusti na 3 mikrograma? (5,187 mikrograma; 11 dana i 7 sati).

⋅x/k

012

f(x) =P (1- )

⇒ ⇒ ≈20/k 20

5 log0,8 = log0,5 k 62hk

4 = ×(0,5)

28

DatiranjeProces radioaktivnog raspada je osnova za tehniku datiranja pomoću izotopaC14.Zemljina atmosfera sadrži malu količinu radioaktivnog izotopa ugljenika C14, pa živi organizmi takođe sadrže izvesnu količinu tog elemeta, zbog svojeinterakcije sa atmosferom. Kako ona završava smrću organizma, izotoppočinje da se raspada po stopi 0,012%.Starost uzorka se određuje upoređivanjem količine izotopa u njemu sanormalnom količinom.

Ukoliko je u kosti ostalo samo 1,5% normalne količine C14, koliko je ona stara?

Ova tehnika se koristi samo za datiranje ostataka organskog porekla, dok se za stene i druge neorganske materije koriste neki drugi radioaktivni izotopi.

⋅ ⇒ ≈-0,00012x

0 00,015P = P e x 34998

29

Fizika

30

Promena pritiskaAtmosferski pritisak eksponencijalno opada sa porastom nadmorske visine.p – atmosferski pritisak u barimah – razlika u nadmorskoj visinip0 – pritisak na visini h0

Površinski pritisak na Zemlji je približno 1 bar, a visina atmosfere je približno 7km, tj. p0=1, h0=7.

Proceniti vazdušni priisak na vrhu planine Kilimandžaro (5895m).p=e-5,895/7≈0,4252 bara

Barometar na Karaburmi pokazuje pritisak 1014,4 milibara, a u isto vreme na Košutnjaku je izmeren pritisak od 1001,4 milibara. Ako je nadmorska visina stanice na Karaburmi 100m, kolika je nadmorska visina stanice naKošutnjaku?

Proceniti vazdušni pritisak na vrhu pet najviših tačka na Zemlji. Uraditi isto sa pet najviših tačaka u Srbiji (ovde se može pozvati u pomoć profesor geografije).

Najviša tačka je Mont Everest, sa 8848 metara, gde je pritisak 0,282 bara.

⋅0

h-h

0p = p e

≈⋅

-4

ln1001,4 - ln1014,4h = 103

-1,25 10

31

HlađenjeNjutnov zakon hlađenja modeluje promenu temperature objekta koji se nalazi u okolini sa nižom temperaturom. Stopa promene temperature je proporcionalna razlici temperatura objekta i okruženja.T – temperatura objekta u vremenu tR – temperatura okruženja (konstanta)k – konstanta proporcionalnostiJednačina se rešava razdvajanjem promenjlivih, integracijom obe strane i rešavanjem dobijene jednakosti po T:

Ako je t=0, dobija se da je , i, konačno je

Tvrdo kuvano jaje temperature 980C je spušteno u sudoperu napunjenu vodom temprature 180C. Posle 5 minuta, temperatura jajeta je 380C. Pod pretpostavkom da se voda u sudoperi nije značajno zagrejala, koliko će vremena biti potrebno da se tempratura jajeta spusti na 200C?38=(98-18)·e5k+18k=-0,2·ln4t=5ln40/ln4≈13 minuta

( )dT= k T -R

dt

d T= k d t

T - Rln(T -R) = kt +c

kt+cT = e +R

c

0e = T - R ⋅kt

0T = (T -R) e +R

32

C. S. I.Jedan od važnih elemenata kojima se bavi forenzika je utvrđivanje tačnog vremena smrti. Ono se može odrediti primenom Njutnovog zakona hlađenja, tj. korišćenjem telesne temperature žrtve.

U ponoć je otkriveno telo žrtve, čija je telesna temperatura bila 310C. Sat vremena kasnije, temepratura se spustila na 290C. Pod pretpostavkom da je temperatura okoline konstantno 210C, i da je normalna temperatura čoveka oko 370C (između 360C i 36,90C), odrediti približno vreme zločina.

Trebalo je 2 sata da se temperatura tela spusti sa 370C na 310C, što znači da se zločin odigrao oko ponoći.

⋅ ⇒ ≈k 4

2 9 = (3 1 - 2 1 ) e + 2 1 k = ln -0 , 2 3 35

⋅⋅ ⇒ ≈

t ln 0 ,8

5ln83 1 = (3 7 - 2 1 ) e + 2 1 t = 2 h4ln5

33

Informatika

34

MejloviTipičan lančani mejl koji je svako dobio bar jednom kaže: pošalji ovaj e-mail nanajmanje 10 adresa u roku od sat vremena. Ako posaljes, zelja ce se ostavariti. Akone, primaocu se smeši godina loše sreće. Ili mu se tri najdraže želje neće ostvariti. Ili...

Dobili ste mejl u kome se traži da ga prosledite na 7 adresa u roku od pola sata kakobiste imali sreće u ljubavi. U naslovu mejla stoji Fwd: Fwd: Fwd: Fwd: Probajte, ovoradi! Ako pretpostavimo da ste ga dobili u petom krugu, i da su svi primaoci zaista prosledili mejl na tačno 7 adresa, koliko ljudi je ukupno dobilo ovaj mejl? U roku odnajviše koliko sati? (28672, u roku od 2 sata)

Korak dalje su lančana pisma u kojima se traži slanje novca, poznata kao"piramidalne šeme". Prva osoba šalje pismo na N adresa, tražeći dalje prosleđivanjena novih N adresa... Takođe traži da se pošalje npr. 5€ prvoj osobi na listi od desetimena i da se u novo pismo prepiše prerađeni spisak - prva osoba se briše, a nadno spiska svoje ime dodaje onaj ko šalje pismo.

Neka je N=2. Kako glasi funkcija koja modeluje količinu novca koju će primiti osobakoja je započela lanac? Ukoliko je potrebno poslati pisma u roku od 3 dana, i lanacnije prekinut: koliko će najmanje novca dobiti prva osoba posle mesec dana? Kolikoće ljudi dobiti pismo u 25. krugu? Ako je prva osoba na prva tri mesta na listaupisala imena koja su sa njom povezana, koliko će novca zaraditi?

35

Kapacitet memorija

Cena jednog megabajta diskovne memorije je 1981. godine bila oko 700dolara. Međutim, 2010. je cena pala na 0,00002 dolara.Ukoliko se pretpostavi da je cena opadala eksponencijalno, odrediti odgovarajuću funkciju koja će vraćati cenu po megabajtu f(x), x godina posle 1981, i zaokružiti koeficijent uz x na tri decimale.Odrediti zatim koje je godine jedan megabajt koštao 10 centi?

36

Istorija

37

Zečja epidemija

Tomas Ostin je 1859. pustio 24 zeca na svoju farmu u zapadnoj Australiji kako bi se mogao baviti svojim omiljenim hobijem – lovom, ne shvatajući da će, u odsustvu prirodnih predatora poulacija zečeva procvetati, rastući po stopi od 2,5 svakih 6 meseci.U periodu od 1865. i 1866, Tomas i njegovi gosti su odstrelili više od 34.000 zečeva na imanju. Od januara do avgusta 1887, više od 10 miliona je ubijeno samo u jednoj koloniji. Početkom dvadesetog veka, Australijanci su napravili ogradu dugu 3200km kako bi sprečili razmnožavanje zečeva, ali su je oni prelazili ispod zemlje. Polovinom dvadesetog veka pušteni su virusi koji su smanjili zečju populaciju za 99%, ali su preživele jedinke postale otporne na viruse i ponovo su počele da se razmnožavaju. Do 1990. bilo ih je 600 miliona, a novi razvijeni virusi su smanjili populaciju na 100 miliona.

I pored različitih mera kojima je 1926. pokušano da se smanji broj zečeva, procenjuje se da ih je tada bilo 10 milijardi. Proceniti za koliko godina je od početnih 24 populacija mogla da stigne do 10 milijardi zečeva?

⋅ ⋅≈ ≈

2x xf(x) = 24 2,5 = 24 6,25f(10) 2.182.787.284, f(11) 13.642.420.527

38

Černobilj

Černobiljska katastrofa je nuklearna nezogda koja se odigrala 26. aprila 1986. kada je najpre eksplozija napravila štetu na reaktoru nuklearne elektrane u blizini grada Černobilj u Ukrajini, a zatim je on otpustio velike količine radioaktivne prašine koja je vetrom razneta širom bivšeg Sovjetskog Saveza i država Severne Evrope.Procenjuje se da je oko 1000kg radioaktivnog cezijuma137 dospelo u atmosferu. Ako je vreme poluraspada cezijuma137 30 godina, kako glasi funkcija koja modeluje njegovu preostalu količinu na mestu katastrofe, x godina posle 1986? Smatra se da oblast nije sigurna za život ljudi ako je u njoj ostalo čak samo i 100kg Cezijuma137. Odrediti f(80) i proceniti da li će Černobilj biti siguran za ljude 2066. godine?

⋅

⋅ ≈

x/30

8/3

f(x) = 1000 0,5

f(80) = 100 0,5 157,49kg

39

Politika jednog deteta

Kineska politika jednog deteta, doneta 1979. i uvedena početkom osamdesetih godina dvadesetog veka, je bila reakcija na brigu da populacija Kina prebrzo raste. Cilj je bio da se smanji broj ljudi na 700 miliona do 2050. Na tridesetu godišnjicu prve značajne primene politike, 2010, Kina je imala približno 1,3 milijarde stanovnika. Iako je tokom tih godina populacija rasla,stopa rasta je 2009. godine bila samo 0,494% i očekivalo se da će neminovno početi da opada u skorijoj budućnosti. Pretpostavimo da je broj stanovnika 2010. počeo da opada po stopi od 0,5% godišnje. Da li će to biti dovoljno da se postigne zadati cilj?Ako je stopa opadanja 0,5% godišnje, faktor opadanja je 1 - 0,005 = 0,995.Uzevši da je početna populacija 1300 miliona ljudi, i da je x=40, očekivani broj stanovnika je 1064 miliona.

40

Svuda oko nas...

Radeći preko omladinske zadruge u jednom restoranu, Marko je imao zaduženje da skuva veću količinu supe kasno uveče, neposredno pred zatvaranje, kako bi sutradan bilo dovoljno za sve stalne goste. Znao je da, iako je stavljanje supe u frižider bilo važno da bi se sprečilo njeno kvarenje, nije bilo moguće da to uradi kada završi sa kuvanjem pošto je supa vrila na 1000C, a frižider nije bio dovoljno snažan da izdrži veliku količinu supe topliju od 200C. Marko je otkrio da bi hlađenjem supe u sudoperi punoj hladne vode uz odvrnutu slavinu kroz koju voda neprekidno teče kako bi temperatura vode u sudoperi približno bila konstantno 50C, i povremeno mešanje, mogao da spusti temperaturu supe na 600C za 10 minuta. Koliko pre zatvaranja bi trebalo da bude završeno kuvanje supe, kako bi Marko mogao da je stavi u frižider i izađe sa posla na vreme?

60=(100-5)·e10k+5k=-0,1·ln(11/19)≈-0,0546

20=(100-5)e-0,0546t+5 pa je t≈34 minuta.

41

Dodatak

42

Funkcija

Nacrtati u istom koordinatnom sistemu grafike funkcija:

uporediti dobijeni crtež sa prethodnim zadatkom.

Koristeći grafik funkcije nacrtati grafik funkcije

Nacrtati grafike sledećih funkcija:

Rešiti grafički sledeće jednačine:

x x xy = 2 , y = 2 +1, y = 2 - 2

x x+1 x-2y = 2 , y = 2 , y = 2

xy = 2 - 3

xy = 2 - 3

− x-2y = 2

- x+1 1

2y = 2 -

- x +2y = 2 - 3 -1

− x+32x = 2

xx -1 = 21- x

2 = 2- x

x2 = 1+ 2x

43

Jednačine

Rešiti jednačinu u skupu realnih brojeva.

Korišćenjem osobine monotonosti eksponencijalne funkcije rešiti jednačine:

Rešiti jednačinu u zavisnosti od realnog parametra a:

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

20,22x -2x-21

2 12 + 3 3 +6 = 33

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2x-93= 0,00243

10

⋅ ⋅x+1 x-2

2 3 - 4 3 = 450

⋅x+1 x-2 x-1

10 - 2 5 = 950

⋅2 2

x+ x -2 x-1+ x -24 -5 2 = 6

⋅x x x x x x

6 - 2 = 32; 12 + 3 = 153; 3 4 + (3x -10)×2 = x - 3

⋅- x-2 - x-2

9 - 4 3 = a

⋅5 4 3

x x 4 x2 + 4 + 256 = 3 16

44

Nejednačine

Rešiti nejednačine:2

x -32 > 2

⎛ ⎞ ≥⎜ ⎟⎝ ⎠

x11

2

≤

2x -x

1< 3 9

≤1 1-2x x

4 - 2 - 3 0

⋅ ⋅ ⋅ ≤

22 1x +12x+2 x -1 x2

9 3 -10 3 9 -3

⎛ ⎞ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

1x+1 -x4 3

1,5 <9 2

45

Ako je: koliko je xy?

Za koje a Є R sledeći sistem ima bar jedno rešenje (x, y), x, y Є R?

Sistemix y

2x 2y

2 +3 = 19

2 +3 = 265

1+ xy x+y-1

1+ xy x+y-1 3 2

2 +3 = a

8 +27 = a -3a +3a ⎡ ⎤∈ ⎣ ⎦Rešenje : a 3,1+2 2

46

Za koje vrednosti parametra a funkcijaRaste za svako x? (a≥0)

Rešiti nejednačinu (x Є R )

Rešiti jednačine:

Razni zadaci

x - xf (x ) = 2 e - a e + (2 a + 1 )x - 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x-1 x+11 1+ 26

5 5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

x24 5

= -2x - 4x - (x = -1)3 4

⋅2 x-1 x-1

x - x +1= 2 2 - 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 x 1 x 2 x- x +5 3 3 2 2 1

2= (x = 3 )0 , 5

⎧⎪⎨⎪⎩

2 2

- x

- x-12 2

1+ x 1+ x+1- -1 22x 2x =1+ x 1+ x 2+1+ -1

2x 2x

2 3 23x -2x x +1

2 = x

47

Hvala na pažnji!Hvala na pažnji!www.domacizadaci.com zadaci.domaci@gmail.com