Aldagai Anitzeko Funtzioak Integraketa
description
Transcript of Aldagai Anitzeko Funtzioak Integraketa
Aldagai Anitzeko FuntzioakIntegraketa
Integral bikoitzakIntegral bikoitzak bi aldagaiko z=f(x,y) funtzioen integral
mugatuak dira. D definizio eremu itxi batean definitutakofuntzio jarraien integral bikoitzak aztertuko ditugu. Integral bikoitzaren definizioa Riemann-en batuketen segida baten bidez ematen da. Irudian ikusten da nola funtzioaren D definizio-eremua zatitzen den zati txikietan: Ds1, Ds2,…Dsn.
Integral bikoitzakZatietan (beraien barnean edo mugan) puntu bana
aukeratzen dugu: P1, P2,…, Pn. Puntu horietan funtzioarenbalioak, f(P1), f(P2),…, f(Pn) altuerak bezala hartzen dirazutabe zuzenak eraikitzeko, non zutabeen oinarriak Ds1,Ds2,…,Dsn baitira, hurrenez hurren:
Integral bikoitzakZutabe zuzen horien bolumenak kalkulatzen ditugu (f(P1), f(P2),…, f(Pn)
altuerak bider Ds1, Ds2,…,Dsn, oinarrien gainazalak, hurrenez hurren) etaelkarri batzen dizkiogu:
Batura hau izango da z=f(x,y) funtzioaren azpian eta D eremuan oinarritutadagoen bolumenerako hurbilketa (suposatuz f(x,y) > 0 eremu osoan).
Zenbat eta gehiago Dsi, zatien kopurua, hau da, zenbat eta txikiago Dsi-ren gainazalen balioak; edo, gauza bera dena, zenbat eta xeheago D-ren zatiketa,orduan eta hobea izango da hurbilketa. Hortaz, hurrengo Riemann-enbatuketa segidak izango genituen: Vn1, Vn2,…, Vnk,… non n1<n2<…<nk<… etahurbilketak gero eta zehatzagoak izango ziren. Riemann-en limitea existitzen bada nk ∞ doanean (Dsi 0 doazenean)orduan hurrengo teorema dugu:
€
Vn = f (P1)Δs1 + f (P2)Δs2 +K + f (Pn )Δsn
Integral bikoitzakTeorema: D eremu itxian z=f(x,y) funtzioa jarraia bada, eta D-ren zatiketako Dsi, elementuen diametro handiena zerorantz jotzen
badun ∞ denean, orduan Riemann batuketen segidak badu limiterik.Limitea ez da zatiketa eraren menpekoa, ez eta Dsi elementuetanhartutako Pi puntuen aukeraketaren menpekoa ere.
Limite hori D eremuan (D integrazio-eremua deituko duguzabaldutako f(x,y) funtzioaren integral bikoitza deitzen dugu etahonela adierazten dugu:
€
f (P)D∫∫ ds edo f (x,y)
D∫∫ dxdy
limdiam Δsi → 0
f (Pi)Δsii=1
n
∑ = f (x,y)D∫∫ dxdy
Integral bikoitzak
D integrazio-eremuan f(x,y)>0 bada, integral bikoitzahurrengo hiru gainazal hauek mugatutako gorputzaren bolumena da:
1: z=f(x,y) gainazala.2: z=0 planoa.3: D-ren mugaren gainetik doan lerro bertikal batek sortutako gainazal zilindrikoa.
Gainazal zilindrikoa sortzeko erabiltzen den lerrobertikalari azal zilindrikoaren sortzailea deitzen diogu, etaD-ren muga-lerroari azal zilindrikoaren zuzendaria.
Integral bikoitzaren propietateak
1. Bi funtzioen baturaren integral bikoitza batugai funtzioen integral bikoitzen batura da:
2. Konstante bat bider funtzio baten integral bikoitza, konstantea bider funtzioaren integral bikoitza da:
Aurreneko bi propietate hauengatik integral bikoitzaeragiketa lineala dela esaten dugu.
€
f (x,y) + g(x,y)[ ]D∫∫ dxdy = f (x,y)
D∫∫ dxdy + g(x,y)D∫∫ dxdy
€
af (x,y)D∫∫ dxdy = a f (x,y)
D∫∫ dxdy
Integral bikoitzaren propietateak
3. D integrazio eremuan f(x,y) ≥ g(x,y) bada,orduan
4. D integrazio eremua barne-puntu komunik gabeko D1 eta D2 eremu partzialez osatuta badado, integral bikoitza bitan banatu daiteke:
€
f (x,y)D∫∫ dxdy ≥ g(x,y)
D∫∫ dxdy
€
f (x,y)D∫∫ dxdy = f (x,y)
D1∫∫ dxdy + f (x,y)
D2∫∫ dxdy
Integral bikoitzaren propietateak5. D integrazio eremuan f(x,y)=1 funtzio konstantea integratuz D
eremuko azalera lortuko dugu:
6. D eremuko puntu guztietan m≤f(x,y)≤M betetzen bada, orduan:
7. D eremuko f funtzio jarraiaren integral bikoitza era honetan jar daiteke
non P, D eremeko puntu partikular bat (gutxienez bat) den (batazbestekoaren teorema).
€
1D∫∫ dxdy = A(D)
€
m⋅ A(D) ≤ f (x,y)D∫∫ dxdy ≤ M⋅ A(D)
€
f (x,y)D∫∫ dxdy = f (P)⋅ A(D)
Integral bikoitzaren kalkulua
Integral bikoitzaren kalkulua, neurri batean, Ddefinizio-eremuko formaren menpekoa da. Hurrengo irudikoak integrazio eremu erregularrak edo I motakointegrazio eremuak deitzen dira:
Integral bikoitzaren kalkuluaD eremu erregularra x-ren bi funtzio jarraien kurben artean gelditzen da eta honela adierazi daiteke:
I motako eremu batean f(x,y) funtzio jarrai baten integral bikoitza kalkulatzeko hurrengoerako integralarekin aritzen gara (integral berritua edo integral iteratua):
Ikusten dugunez integral iteratua egitea aldagai bakarreko bi integral egitea da, bata bestearen atzetik,lehenegoa, parentesiaren barrukoa, y-rekiko, eta bigarrena x-rekikoa. Lehenengo integrala xkonstantetzat hartuz egiten da eta hortik ateratzen dena x-ren funtzio jarraia da:
Kanpoko integralaren mugak konstanteak dira, eta integral iteratuaren emaitza zenbaki bat da:
€
D = (x,y) | a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x){ }
€
ID = f (x,y)dyg1 (x )
g2 (x )
∫ ⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
a
b
∫ dx
€
Φ(x) = f (x,y)dyg1 (x )
g2 (x )
∫
€
ID = Φ(x)a
b
∫ dx
Integral bikoitzaren kalkuluaAdibidea:
€
Kalkulatu ID = x 2 + y 2( )dy0
x 2
∫ ⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
0
1
∫ dx
€
Φ(x) = x 2 + y 2( )dy0
x 2
∫ = x 2y +y 3
30
x 2
= x 2x 2 +x 2( )
3
3= x 4 +
x 6
3
€
ID = Φ(x)0
1
∫ dx = x 4 +x 6
3
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
0
1
∫ dx =x 5
5+
x 7
3⋅ 70
1
=15
+121
=26
105
Integral bikoitzaren kalkuluaAdibidea:
€
Kalkulatu ID = x + 2y( )D∫∫ dA non D integrazio eremua y = 2x 2 eta
y =1+ x 2 parabolek mugatzen duten.
€
Parabolek bat egiten dute 2x 2 =1+ x 2 ⇒ x = ±1 denean, hau da (-1,2) eta (1,2) puntuetan. Honek esan nahi du D integrazio eremua dela
D = x,y( ) | −1≤ x ≤1, 2x 2 ≤ y ≤1+ x 2 { } , hurrengo irudian ikusten dena :
Integral bikoitzaren kalkulua
€
Beheko muga y = 2x 2 eta goikoa y =1+ x 2 direnez I motako eremuentzakointegrala erabiliko dugu :
x + 2y( )D∫∫ dA = x + 2y( ) dydx
2x 2
1+x 2
∫−1
1
∫ = xy + y 2
−1
1
∫2x 2
1+x 2
dx =
= x 1+ x 2( ) + 1+ x 2( )2
− x 2x 2( ) − 2x 2( )2
[ ]−1
1
∫ dx =
= −3x 4 − x 3 + 2x 2 + x +1( )−1
1
∫ dx =
= −3x 5
5−
x 4
4+ 2
x 3
3+
x 2
2+ x
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟−1
1
= −65
+43
+ 2 =3215
Integral bikoitzaren kalkuluaII motako integrazio eremuak ere definitu daitezke. Hurrengo
eratakoak dira eta irudian bi adibide erakusten dira:
€
D = x,y( ) | c ≤ y ≤ d, h1(x) ≤ x ≤ h2(x){ }
Integral bikoitzaren kalkulua
II motako integrazio eremuetan egindako integral bikoitza hurrengo integral berritu edo iteratuaren bidez kalkulatzen da:
non, barruko integrala (lehendabizi egiten dena) x-rekikoa den eta kanpokoa y-rekikoa.€
ID = f (x,y) dAD∫∫ = f (x,y) dxdy
h1 (y )
h2 (y )
∫c
d
∫
Integral bikoitzaren kalkuluaAdibidea:
€
Kalkulatu ID = xyD∫∫ dA non D integrazio eremua y = x −1 lerro zuzenak
eta y 2 = 2x + 6 parabolak mugatzen duten.
€
Hurrengo irudian erakusten da D integrazio eremua I motalotzatedo II motakotzat onar daitekela :
Integral bikoitzaren kalkulua
€
Dena den, irudian ikusten den bezala, errazagoa da II motako eremuarekin aritzea; I motakoarekin eremua bi zatitan banandu beharko genuelako. Horregatik, integrazioeremua honela idazten dugu :
D = x,y( ) − 2 ≤ y ≤ 4, y 2
2− 3 ≤ x ≤ y +1
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
eta, ondorioz, integrala honela kalkulatzen dugu :
xydAD∫∫ = xydx dy
y 2
2−3
y+1
∫−2
4
∫ =x 2
2y
−2
4
∫y 2
2−3
y+1
dy = y +1( )
2
2y −
y 2
2− 3
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟2
2y
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
−2
4
∫ dy =
12
−y 5
4+ 4y 3 + 2y 2 − 8y
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
−2
4
∫ dy =12
−y 6
24+ y 4 + 2
y 3
3− 4y 2
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟−2
4
=
12
−45
6+ 44 +
44
6− 43 +
42
6− 42 +
42
3+ 42
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟=
43
−64 + 96 +16 − 24 +1+ 2( ) =43
115 − 88( ) = 36
Integral bikoitzaren kalkulua
€
Aurreneko integralean eremua I motakotzat hartu izan bagenu, hurrengo erara kalkulatubeharko genukeen integrala :
xydAD∫∫ = xydy dx
− 2x+6
2x+6
∫−3
−1
∫ + xydx dyx−1
2x+6
∫−1
5
∫eta, bide horretatik, lan gehiago egin behar da.
€
Batzuetan, eremuaren aldetik antzekoak dira I edo II motakotzatjotzea, baina integrakizunaren aldetik, errazagoa suertatzen da motabat bestea baino. Hori agerian gertatzen da hurrengo adibidean:
Integral bikoitzaren kalkuluaAdibidea:
€
Ebaluatu integral iteratu hau: sin y 2( )x
1
∫0
1
∫ dydx
€
Emandako integral iteratua hurrengo integral bikoitza bihur daiteke:
sin y 2( )x
1
∫0
1
∫ dydx = sin y 2( )dAD∫∫eta, emandako integrazio limitekin asmatu daiteke integrazio eremua zein den.Eremu hori bai I motakotzat, bai II motakotzat har daiteke irudian ikusten den bezala :
Integral bikoitzaren kalkulua
€
I motakotzat hartuta, D = x,y( ) | 0 ≤ x ≤1, x ≤ y ≤1{ }, integrala emandako
ordenenean egingo genuen (lehen y - rekiko integrazioa eta, gero, x - rekikoa).
Hala ere, sin y 2( ) ez da berehalako integrala y - rekiko.
€
Dena den II motakotzat hartuta, D = x,y( ) | 0 ≤ y ≤1, 0 ≤ x ≤ y{ }, orain integrazio
ordena aldatuta, integrala berehala kalkula daiteke:
sin y 2( )0
y
∫0
1
∫ dxdy = x sin y 2( )0
1
∫0
y
dy = y sin y 2( )dy0
1
∫ = −cos y 2( )
20
1
=12
1− cos1( )
Azalera eta bolumenen kalkulua integral bikoitzaren bidez
€
Lehen esan dugunez D eremuan f funtzioa positibo denean, integral bikoitzak :
f (P)dAD∫∫
z = f (x,y) gainazalaren azpiko zilindro baten bolumena ematen du, zilindroarenlerro zuzendaria D eremuaren mugalerroa izanik. Bestaldetik, aipatu dugu, baita ere, OXY planoko azal zati baten azalera honelakalkulatu daitekeela :
A = dAD∫∫
Erabil ditzagun formula hauek hurrengo adibideetan:
Azalera eta bolumenen kalkulua integral bikoitzaren bidez
Adibidea:
€
Aurkitu z = x 2 + y 2 paraboloidearen azpian eta OXY planoko hurrengo D eremuarengainean gelditzen den solidoaren bolumena: D - ren mugak y = 2x lerro zuzena eta
y = x 2 parabola dira.
€
Muga lerroek bat egiten dute 2x = x 2 denean, hau da, x = 0 eta x = 2 direnean. D eremuaren adierazpena, I motako eremutzat hartuta, ondorengoa da :
D = x,y( ) | 0 ≤ x ≤ 2 , x 2 ≤ y ≤ 2x{ }
Azalera eta bolumenen kalkulua integral bikoitzaren bidez
€
Ondorioz, eskatutako bolumena, honela kalkulatzen da :
V = x 2 + y 2( )D∫∫ dA = x 2 + y 2( )x 2
2x
∫0
2
∫ dydx
= x 2y +y 3
3
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
0
2
∫x 2
2x
dx = x 2(2x) +(2x)3
3− x 2(x 2) −
(x 2)3
3
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
0
2
∫ dx =
= −x 6
3− x 4 +
143
x 3 ⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
0
2∫ dx = −x 7
21−
x 5
5+
76x 4
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟0
2
=
= 24 −821
−25
+76
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟=
16210
−80 − 84 + 245( ) =16210
81 =21635
Azalera eta bolumenen kalkulua integral bikoitzaren bidez
€
Baina emandako eremua II motakotzat ere onar daiteke:
€
D = x,y( ) | 0 ≤ y ≤ 4 , y /2 ≤ x ≤ y{ }
Azalera eta bolumenen kalkulua integral bikoitzaren bidez
€
eta, eskatutako bolumena, honela ere kalkula daiteke :
V = x 2 + y 2( )D∫∫ dA = x 2 + y 2( )y2
y
∫0
4
∫ dxdy =
=x 3
3+ y 2x
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
0
4
∫y2
y
dy =y 3 / 2
3+ y 5 / 2 −
y 3
24−
y 3
2
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
0
4
∫ dy =
=2y 5 / 2
15+
2y 7 / 2
7−
13y 4
96
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟0
4
=26
15+
28
7−
13⋅ 28
96
= 26 115
+47
−1324
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟=
26
84056 + 480 − 455( ) =
16210
81 =21635
Azalera eta bolumenen kalkulua integral bikoitzaren bidez
Adibidea:
€
Aurkitu x +2y + z = 2, x = 2y, x = 0 eta z = 0 planoek mugatutako tetraedoren bolumena
€
Askotan lagungarriak dira eskatutako solidoaren bolumenaren marrazkiaeta integrazio eremuarena ere bai. Hona hemen bi irudi horiek:
Azalera eta bolumenen kalkulua integral bikoitzaren bidez
€
Ondorioz, integrazio eremua da D = x,y( ) | 0 ≤ x ≤1 , x /2 ≤ y ≤1− x /2{ } eta
eskatutako bolumena, honela kalkulatzen da :
V = 2 − x − 2y( )D∫∫ dA = 2 − x − 2y( )
x2
1−x2
∫0
1
∫ dydx
= 2y − xy − y 2( )0
1
∫x2
1−x2dx = 2 − x − x 1−
x2
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟− 1 −
x2
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟2
− x +x 2
2+
x 2
4
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
0
1
∫ dx =
= x 2 − 2x +1( )0
1∫ dx =x 3
3− x 2 + x
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟0
1
=13
Azalera eta bolumenen kalkulua integral bikoitzaren bidez
Adibidea:
€
Kalkulatu jatorrian zentratutako x 2
a2 +y 2
b2 =1, elipsearen azalera.
€
Ezaguna den bezala, a eta b elipsearen ardatz erdiak deitzen dira:
Azalera eta bolumenen kalkulua integral bikoitzaren bidez
€
Integrazio eremua honela aukera genezake : D = x,y( ) | − a ≤ x ≤ a , −b 1 −x 2
a2 ≤ y ≤ b 1 −x 2
a2
⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪
⎭ ⎪
baina elipsearen simetria kontutan hartuta, horren laurdena har dezakegu :
D* = x,y( ) | 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ b 1−x 2
a2
⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪
⎭ ⎪ eta bider lau egin :
A = dAD∫∫ = dydx
−b 1−x 2
a 2
b 1−x 2
a 2
∫−a
a
∫ = 4 dAD*∫∫ = 4 dydx
0
b 1−x 2
a 2
∫0
a
∫ = 4 y0
a
∫0
b 1−x 2
a 2
dx =
= 4b 1−x 2
a20
a
∫ dx = →x = asin t , aldagai - aldaketarekin →( )
= 4b 1− sin2 t0
π2
∫ acos t dt = 4ab cos2 t0
π2
∫ dt =4ab
21+ cos2t( )
0
π2
∫ dt =
= 2ab t +sin2t
2 ⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟0
π2
= 2abπ2
= πab
Aldagai aldaketa integral bikoitzetan
Integral bikoitzaren definizioan esan genuen bere balio ez zela D eremuko zatiketa motaren menpekoa, hau da, Dsi, elementuen forma edozein izan zitekeen.
Integral bikoitza, integral iteratuaren bidez, x-rekiko eta y-rekiko bi integral sinple bilakatzen zen. Horrela, bolumen totala lortzen da dxdy oinarri infinitesimala duten paralelepipedoen bolumenak elkarri batuz (integratuz).
Koordenatu kartesiar hauek ez dira beti suertatzen egokienak (edo errazenak) integralak kalkulatzeko, eta horregatik definitzen dira beste koordenatu-sistema batzuk.
Aldagai aldaketa integral bikoitzetan
Koordenatu polarrak: OXY planoko puntuakdeskribatzeko beste sistema da:
€
x = ρ cosϕ , y = ρ sinϕ c
ρ = x 2 + y 2 , tanϕ =yx
ρ ↔ [0,∞) , ϕ ↔ [0,2π )
Aldagai aldaketa integral bikoitzetan
Koordenatu polar hauek oso egokiak dira hurrengo motako eremuetan integralak kalkulatzeko:
Aldagai aldaketa integral bikoitzetan
D integrazio eremuaren zatiketa egin zitekeen lauki kartesiar (dA=dxdy) infinitesimalen bidez, edo, hurrengo irudianErakusten den lauki polar (dA=rdrdq) infinitesimalen bidez:
€
f (x,y)dAD∫∫ = f (ρ cosϕ,ρ sinϕ )ρdρdϕ = f (ρ cosϕ,ρ sinϕ)dϕρdρ
ϕ =α
ϕ =β
∫ρ =a
ρ =b
∫ρ =a
ρ =b
∫ϕ =α
ϕ =β
∫
Aldagai aldaketa integral bikoitzetan
Adibidea:
€
Kalkulatu 3x + 4y 2( )D∫∫ dA non D OXY goi - planoerdiko zatia den,
x 2 + y 2 =1 eta x 2 + y 2 = 4 zirkuluen artekoa.
€
Eskatutako eremua D = x,y( ) | 0 ≤ y , 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4{ } lehen irudikatu dugu,
eta koordenatu polarretan honela adieraz daiteke : D = ρ,ϕ( ) | 1 ≤ ρ ≤ 2 , 0 ≤ ϕ ≤ π{ }
3x + 4y 2( )D∫∫ dA = 3ρ cosϕ + 4ρ 2 sin2ϕ( )ρdρdϕ1
2
∫0
π
∫ =
= 3ρ 2 cosϕ + 4ρ 3 sin2ϕ( )dρdϕ1
2
∫0
π
∫ =
= ρ 3 cosϕ + ρ 4 sin2ϕ( )0
π
∫1
2
dϕ = 7cosϕ +15sin2ϕ( )0
π
∫ dϕ =
= 7cosϕ +151 − cos2ϕ
2 ⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
0
π
∫ dϕ =15π
2
Aldagai aldaketa integral bikoitzetan
Adibidea:
€
Aurkitu z = 0 planoak eta z =1− x 2 − y 2 paraboloideak mugatutako solidoaren bolumena.
€
z = 0 planoak eta z =1− x 2 − y 2 paraboloideak
mozten diote elkarri 0 =1− x 2 − y 2 denean hau da OXY planoan jatorrian zentratuta dagoen 1 erradiodun zirkunferentzian. Beraz gure solidoaparaboloidearen azpiko eta zirkulu horren gainekosolidoa da.
Aldagai aldaketa integral bikoitzetan
€
Integrazio eremua koordenatu polarretan hauxe da : D = ρ,ϕ( ) | 0 ≤ ρ ≤1 , 0 ≤ ϕ ≤ 2π{ }
eta integrakizuna, 1 − x 2 − y 2, koordenatu polarretan 1 − ρ 2 idazten da :
V = 1− x 2 − y 2( )D∫∫ dA = 1− ρ 2( )ρdρdϕ0
1
∫0
2π
∫ =
= dϕ ρ − ρ 3( )dρ0
1
∫0
2π
∫ = 2πρ 2
2−
ρ 4
4
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟0
1
=π2
Aldagai aldaketa integral bikoitzetan
Integrazio eremuak konplexuagoak ere izan daitezke koordenatu polarrekin. Adibidez hurrengo irudikoa:
€
D = ρ,ϕ( ) | α ≤ ϕ ≤ β, h1(ϕ) ≤ ρ ≤ h2(ϕ ) { }
f (x,y)dAD∫∫ = f (
h1 (ϕ )
h2 (ϕ )
∫α
β
∫ ρ cosϕ,ρ sinϕ)ρdρdϕ
Aldagai aldaketa integral bikoitzetan
Edo beste hurrengo irudikoa:
€
D = ρ,ϕ( ) | a ≤ ρ ≤ b, g1(ρ ) ≤ ϕ ≤ g2(ρ) { }
f (x,y)dAD∫∫ = f (
g1 (ρ )
g2 (ρ )
∫a
b
∫ ρ cosϕ,ρ sinϕ)dϕρdρ
Aldagai aldaketa integral bikoitzetan
Koordenatu kartesiarrekin egiten genuen bezala, integrazio eremuaren gainazala kalkulatu nahi badugu, f(x,y)=1 funtzioa integratuko dugu:
€
D = ρ,ϕ( ) | α ≤ ϕ ≤ β, 0 ≤ ρ ≤ h(ϕ ) { }
A(D) = dAD∫∫ = ρdρdϕ
0
h(ϕ )
∫α
β
∫ =ρ 2
20
h(ϕ )
dϕα
β
∫
A(D) =12
h(ϕ)[ ]2dϕ
α
β
∫
Azalera eta bolumenen kalkulua integral bikoitzaren bidez
Adibidea:
€
Integral bikoitz baten bidez aurkitu, ρ = cos2ϕ ekuazioa duen, lau hostoko hirustarenhosto baten azalera.
€
D = ρ,ϕ( ) | −π /4 ≤ ϕ ≤ π /4, 0 ≤ ρ ≤ cos2ϕ { }
A(D) = dAD∫∫ = ρdρdϕ
0
cos2ϕ
∫−π / 4
π / 4
∫ =ρ 2
20
cos2ϕ
dϕ−π / 4
π / 4
∫
A(D) =12
cos2 2ϕ dϕ−π / 4
π / 4
∫ =14
1+ cos4ϕ( ) dϕ−π / 4
π / 4
∫
A(D) =14
ϕ +14
sin4ϕ ⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟−π / 4
π / 4
=π8
Azalera eta bolumenen kalkulua integral bikoitzaren bidez
Adibidea:
€
Aurkitu z = x 2 + y 2 paraboloidearen azpiko, OXY planoaren goialdeko, eta x 2 + y 2 = 2xzilindroaren barruko solidoaren bolumena.
€
D eremua zilindroari dagokion zirkuluarena da :
x 2 + y 2 = 2x, honela ere berridatz daitekena :
x −1( )2 + y 2 =1
Azalera eta bolumenen kalkulua integral bikoitzaren bidez
€
x −1( )2 + y 2 =1 berridazten badugu koordenatu polarretan:
ρ cosϕ −1( )2
+ ρ 2 sin2ϕ =1⇒ ρ 2 cos2ϕ +1− 2ρ cosϕ + ρ 2 sin2ϕ =1⇒⇒ ρ 2 = 2ρ cosϕ ⇒ ρ = 2cosϕ eta, ondorioz, integrazio eremu hau dugu :
D = ρ,ϕ( ) | −π /2 ≤ ϕ ≤ π /2, 0 ≤ ρ ≤ 2cosϕ { } eta, eskatutako bolumena :
V = x 2 + y 2( )D∫∫ dA = ρ 2
0
2 cosϕ
∫−π / 2
π / 2
∫ ρdρdϕ =ρ 4
40
2 cosϕ
dϕ−π / 2
π / 2
∫ =
= 4 cos4 ϕ dϕ−π / 2
π / 2
∫ = 8 cos4 ϕ dϕ0
π / 2
∫ = 81+ cos2ϕ
2 ⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟2
dϕ0
π / 2
∫ =
= 2 1+ 2cos2ϕ +12
1+ cos4ϕ( ) ⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ dϕ
0
π / 2
∫ = 232ϕ + sin2ϕ +
18
sin 4ϕ ⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥0
π2
=3π2
Bestelako aplikazioakIntegral bikoitzak, Zientzian, arlo askotan agertzen zaizkigu. Magnitude
batzuren kalkuluak integral bikoitzen bidez egin behar dira. Adibidebatzuen laburpena aipatuko dugu:
1. Xafla mehe bati dagozkion hainbat propietate, besteak beste, bere masa, beraren karga elektrikoa eta abarrekoak, kalkula daitezke bi aldagaiko funtzioen integral bikoitzen bidez:
€
D eremu lau bateko masa - dentsitatea ezagutuz, ρ(x,y), bere masa, m, honela
kalkula dezakegu : m = ρ(x,y)dAD∫∫ . Kasu honetan dentsitatearen definizioa
hau litzateke : ρ = limΔa→ 0
ΔmΔa
, non Δm masa Δa azalerako zatiaren masa da, zatia
gero eta txikiagoa hartuz. Dentsitatea ρ(x,y) = ρ 0 konstantea izango balitz :
m = ρ(x,y)dAD∫∫ = ρ 0dAD∫∫ = ρ 0 dA
D∫∫ = ρ 0A(D)
Bestelako aplikazioak
€
Kasu berdintsua da xafla baten karga elektrikoaren kalkulua, oraingo honetan
karga - dentsitatea ezagutuz, σ (x,y), σ = limΔa→ 0
ΔQΔa
, non ΔQ karga Δa azalerako
zatiaren karga da, zatia gero eta txikiagoa hartuz. Xaflaren karga totala da:
Q = σ (x,y)dAD∫∫
Bestelako aplikazioakAdibidea:
€
Karga elektrikoa irudiko hirukian banatuta dugu, zeinen (x,y) puntuko karga dentsitatea
σ (x,y) = xy ekuaziokoa den (C/m2, Coulomb zati metro karratuko unitateetan).Aurkitu banaketaren karga totala.
€
Q = σ (x,y)dAD∫∫ = xydydx
1−x
1
∫0
1
∫
= xy 2
2∫1−x
1
dx =x2∫ 12 − 1− x( )2
[ ]dx
=12
2x 2 − x 3( )0
1
∫ dx =12
2x 3
3−
x 4
4
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟0
1
=5
24C
Bestelako aplikazioak
2. Integral bikoitzaren bidez, xafla baten grabitate-zentrua, G, non dagoen kalkula daiteke ere:
€
Grabitate - zentruaren koordenatuak, xG,yG( ), honela
kalkulatzen dira :
xG =1m
xρ (x,y)dAD∫∫
yG =1m
yρ (x,y)dAD∫∫
Bestelako aplikazioakAdibidea:
€
Zirkulu erdi xafla baten puntuen masa dentsitatea dagokion zirkuluaren zentrurainokodistantziaren proportzionala da. Aurkitu xaflaren masa zentrua.
€
Demagun xafla x 2 + y 2 = a2 ekuazioko
zirkuluaren goi erdia dela. x,y( ) puntutik
zirkuluaren erdira 0,0( ) puntura( ) doan
distantzia x 2 + y 2 da. Beraz dentsitatea hau da :
ρ(x,y) = K x 2 + y 2
non K konstante bat den.
Bestelako aplikazioak
€
Bai dentsitate funtzioagatik, bai xaflaren formagatik, egokia da koordenatu polarren
erabilera. Orduan ρ x,y( ) = K x 2 + y 2 = Kr eta D integrazio eremua hurrengoa da:
D = r,ϕ( ) | 0 ≤ r ≤ a , 0 ≤ ϕ ≤ π { }
Hortaz xaflaren masa hauxe da :
m = ρ x,y( )dAD∫∫ = K x 2 + y 2dA
D∫∫
= Kr( )0
a
∫0
π
∫ rdrdϕ = K dϕ0
π
∫ r2dr0
a
∫
= Kπr3
30
a
= Kπa3
3
Bestelako aplikazioak
€
Bestaldetik, xafla bera eta dentsitate funtzioa ere bai OY ardatzarekiko simetrikoakdira, eta, ondorioz masa zentrua OY ardatz honen gainean egongo da. Horrek esan nahi du xG = 0 dela. Bere y koordenatua hurrengo hau izango da :
yG =1m
yρ x,y( )dAD∫∫ =
3Kπa3 rsinϕ Kr( )
0
a
∫0
π
∫ rdrdϕ
=3
πa3 sinϕdϕ0
π
∫ r3dr0
a
∫ =3
πa3 −cosϕ( )0
π r4
40
a
=3
πa3 2a4
4=
3a2π
Beraz, masa zentrua 0,3a2π
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ puntuan dago.
Bestelako aplikazioak3. Inertzia momentuak: m masako partikula baten inertzia momentua (edo bigarren momentua) ardatz batekiko mr2 da definizioz, non r partikularen eta ardatzaren arteko distantzia den. Kontzeptu hau zabaldu daiteke xafla baterako, suposatuz xafla elementu infinitesimalez osatuta dagoela eta elementu infinitesimal horiek elkarri batuz. Horrela, OX eta OY ardatzekiko inertzia momentuak honela kalkulatuko genukituzke hurrenez hurren:
Bi hauen arteko baturari deitzen ohi zaio jatorriarekiko inertzia momentuaedo inertzia momentu polarra, I0:
€
Ix = y 2ρ(x,y)dAD∫∫
Iy = x 2ρ(x,y)dAD∫∫
€
I0 = x 2 + y 2( )ρ (x,y)dAD∫∫
Bestelako aplikazioakAdibidea:
€
Kalkulatu a erradiodun diska homogeneo ρ (x,y) = ρ( ) baten Ix, Iy eta I0
inertzia momentuak.
€
Zirkuluaren ekuazioa da x 2 + y 2 = a2 eta, argi eta garbi, komeni da koordenatu polarrak
erabiltzea. D integrazio eremua hurrengoa da: D = r,ϕ( ) | 0 ≤ r ≤ a , 0 ≤ ϕ ≤ 2π { }Hortaz, I0 honela kalkulatuko dugu :
I0 = x 2 + y 2( )ρdAD∫∫ = ρ r2
0
a
∫0
2π
∫ rdrdϕ = ρ dϕ0
2π
∫ r3dr0
a
∫ = 2πρr4
40
a
=πρa4
2
eta, ondorioz Ix eta Iy kalkulatzeko kontutan izango dugu I0 = Ix + Iy eta zirkuluaren
simetriagatik Ix = Iy . Ondorioz : Ix = Iy =I0
2=
πρa4
4.
Bestaldetik diskaren masa m = dentsitatea × azalera = ρ πa2( ) dela
eta, jatorriarekiko momentua honela ere jar daiteke: I0 =12ma2
Integral hirukoitzakIntegral hirukoitzak hiru aldagaiko u=f(x,y,z) funtzioen integral
mugatuak dira. V definizio eremu itxi batean definitutakofuntzio jarraien integral hirukoitzak aztertuko ditugu. Integral bikoitzaren antzera, definizioa Riemann-en batuketen segida baten bidez ematen da. Irudian ikusten da nola funtzioaren V definizio-eremua zatitzen den zati txikietan: DV1, DV2,…DVn.
Integral hirukoitzakRn Riemann batuketa bat da, n batugaietakoa, eta DVi, n
elementuekin V osoa betetzen da. Elementuen forma edozein da eta elementu bakoitzean (barruan edo mugan) Pi puntu bana aukeratzen da. Puntu horretan ebaluatzen da funtzioa f(Pi) DVi eta Riemannbatuketa gaien batura da. Riemann batuketen segida osatzen da V-ren zatiketa gero eta xeheagoa eginda, hau da, gero eta elementugehiagotan zatituz V eta, ondorioz, gero eta txikiago hartuz elementuen banakako bolumenak DVi,. Bolumen hauek infinitesimalak eginda, heuren bolumena zerorantz joango da.
Honelako segida bat izango dugu:
€
Rn1, Rn2, K , Rnk, K non n1 < n2 <K < nk <K
Integral hirukoitzak
f jarraia bada horrelako edozein segidak badulimiterik eta beti limite bera lortzen da (berdin du zein elementuen itxura edo zein Pi aukeratzun ditugun).Limitearen balio horri f-ren integral hirukoitza Vintegrazio eremuan deitzen diogu eta honela idazten da
Beste idazkera hauek ere erabiltzen dira: €
f (x,y,z)dVV∫∫∫ = lim
diam Vi → 0f (Pi)ΔVi
i=1
n
∑
€
f (x,y,z)dVV∫∫∫ = f (P)dV
V∫∫∫ = f (x,y,z)dxdydzV∫∫∫
Integral hirukoitzen propietateak
1. Integral hirukoitza eragiketa lineala da, hau da, hurrengo bi propietateak baieztatzen dira:
2. V eremuan bada, orduan:
€
f (x,y,z) + g(x,y,z)[ ]dVV∫∫∫ = f (x,y,z)dV
V∫∫∫ + g(x,y,z)dVV∫∫∫
€
cf (x,y,z)dVV∫∫∫ = c f (x,y,z)dV
V∫∫∫
€
f (x,y,z)dVV∫∫∫ ≥ g(x,y,z)dV
V∫∫∫€
f (x,y,z) ≥ g(x,y,z)
Integral hirukoitzen propietateak
3. S gainazal baten bidez V integrazio eremua barne-puntukomunik gabeko V1 eta V2 eremuetan zatitzen bada, orduan:
€
f (x,y,z)dVV∫∫∫ = f (x,y,z)dV
V1∫∫∫ + f (x,y,z)dV
V2∫∫∫
Integral hirukoitzen propietateak4. V integrazio eremuan f(x,y,z)=1 funtzioa integratuz, integral
hirukoitzak V-ren bolumena ematen du: Hortaz, badaukagu bide berria (lehen integral bikoitzen bidez egin genuen) bolumenak kalkulatzeko.
5. V eremuko puntu guztietan bada, orduan:
€
1dVV∫∫∫ =V (integrazio eremuaren bolumena)
€
m⋅V ≤ f (x,y,z)dVV∫∫∫ ≤ M⋅V
€
m ≤ f (x,y,z) ≤ M
Integral hirukoitzen propietateak6. Batezbestekoaren Teorema: f(x,y,z) funtzio jarrai baten integral hirukoitzaren V integrazio eremuan badago gutxienez, honelako P puntu bat:
Teoremaren izena (batezbestekoarena) hobeto ulertzen da aurrekoberdintza baliokidea den hurrengo eratara idatziz:
€
f (x,y,z)dVV∫∫∫ = f (P)⋅V
€
f (P) =1V
f (x,y,z)dVV∫∫∫
Integral hirukoitzen kalkulua
Integral hirukoitza, praktikan, integral bikoitzaren kasuan bezala, integral berritu (iteratua) bilakatzen da eta, ondorioz, hiru integral sinple egitea, bata bestearen atzetik, bihurtzen da.
Integral bikotzarekin gertatzen zen bezala, aukera anitz dauzkago integrazio eremua koordenatu desberdinekin adierazteko eta integral sinpleen ordena hautatzeko. Izan ere, integral hirukoitzaren kasu honetan aukera gehiago izango ditugu, dimentsio gehigarri batdugulako.
Integral hirukoitzen kalkuluaKoordenatu kartesiarrekin hasiko gara. Demagun f(x,y,z) funtzioaren V
integrazio eremua hurrengo irudikoa dela:
Integral hirukoitza, hurrengo integral iteratuaren bidez kalkuladaiteke:
€
f (x,y,z)dVV∫∫∫ = f (x,y,z)dxdydz
a
b
∫c
d
∫r
s
∫
Integral hirukoitzen kalkulua
Integral sinple hauek bata bestearen atzetik egin behar dira. Goiko formularen arabera lehenengo x-rekiko integrala egingo genuke, gero y-rekikoa eta, azkenik, z-rekikoa. Emaitza zenbaki huts bat da. Integrala egin ahala, V bolumena osatzen ari gara. Lehenbizi, x-rekiko integratuz ziri bat lortzen dugu (x ardatzaren norabidekoa etab-a luzerakoa). Bigarren y-rekiko integralaz xafla bat osatzen dugu (OXYPlanoarekiko paraleloa eta (b-a)x(d-c) azalerakoa. Azkenik, hirugarrenintegralak (z-renak) V emango du, aurreko xaflen bidez osotua.
€
f (x,y,z)dVV∫∫∫ = f (x,y,z)dxdydz
a
b
∫c
d
∫r
s
∫
Integral hirukoitzen kalkulua Integral berrituaren ordena aldatu daiteke.
Adibidez:
ordena aukeratuta, integraketa hurrengo irudiaren araberakoa izango zen:
Integral bikoitzarekin gertatzen zen bezala, integrazio-ordenak kalkuluak erraztu edo zaildu ditzake.
€
f (x,y,z)dVV∫∫∫ = f (x,y,z)dxdzdy
a
b
∫r
s
∫c
d
∫
Integral hirukoitzen kalkuluaAdibidea:
€
Ebaluatu xyz2dVV∫∫∫ integral hirukoitza, non V hurrengo kaxa angeluzuzena den:
V = x,y,z( ) | 0 ≤ x ≤1 , −1≤ y ≤ 2 , 0 ≤ z ≤ 3{ }
€
Kasu honetan integral iteratiboaren ordena ez da oso garrantzitsua:
xyz2dVV∫∫∫ = xyz2dxdydz =
x 2yz2
2−1
2
∫0
3
∫0
1
∫−1
2
∫0
3
∫0
1
dydz
=yz2
2−1
2
∫0
3
∫ dydz =y 2z2
4−1
2
dz =0
3
∫ 3z2
4dz
0
3
∫
=z3
40
3
=274
Integral hirukoitzen kalkuluaIntegrazio eremuaren gainazalak kurbatuak direnean V-ren
osaketa hainbat modutan egin daiteke. Irudiak erakusten du eremu erregular bat. Eremu erregularretan barneko puntu batetik pasatzenden lerro paralelo batek (OX ardatzarekiko, OY ardatzarekiko edo OZ ardatzarekiko) V-ren muga bakarrik bi puntutan ebakiko du:
Integral hirukoitzen kalkuluaIntegrazio eremua, berriz, erregularra ez denean, irregularra deitzen da eta,
integratu aurretik, eremu erregularretan zatitu behar da.Aurreko irudiaren eremu erregularrean integratzeko hiru era ezberdinetan egin
daiteke (koordenatu kartesiarretan).Hiru era horiek lotuta daude integral iteratiboaren hiru ordena desberdinekin:
I era- V eremua OXY planoan proiektatzen dugu, proiekzioa OXY planoko DI eremu itxia izanik. V eremuko puntu guztien x eta y koordenatuetako (x,y) puntuak DI eremuan daude. V-ren puntuetako multzoaren adierazpen hau da:
DI eremuaren mugalerroa V-ren gerriko lerro baten (ez derrigorrean horizontala)
proiekzioa da eta V-ren gainazala bi zatitan banatzen du, goiko tapa (ekuazioa z=u2(x,y)) eta beheko tapa (ekuazioa z=u1(x,y)).
Era honetan, integral iteratua honela hasiko genuke:
€
V = x,y,z( ) | x,y( )∈DI , u1(x,y) ≤ z ≤ u2(x,y){ }
€
f (x,y,z)dVV∫∫∫ = f (x,y,z)dz
u1 (x,y )
u2 (x,y )
∫ ⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥D I
∫∫ dA
Integral hirukoitzen kalkuluaII era- Era honetan OYZ planoan proiektatzen dugu, proiekzioa OYZ
planoko DII eremu itxia izanik. V eremuko puntu guztien y eta z koordenatuetako (y,z) puntuak DII eremuan daude. V-ren puntuetako multzoaren adierazpen hau da:
DII eremuaren mugalerroa V-ren inguru lerro baten (ez
derrigorrean bertikala) proiekzioa da eta V-ren gainazala bi zatitan banatzen du, alde bateko tapa (ekuazioa z=s2(x,y)) eta bestaldeko tapa (ekuazioa z=s1(x,y)).
Era honetan, integral iteratua honela hasiko genuke:
€
V = x,y,z( ) | y,z( )∈DII , s1(y,z) ≤ x ≤ s2(y,z){ }
€
f (x,y,z)dVV∫∫∫ = f (x,y,z)dx
s1 (y,z )
s2 (y,z )
∫ ⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥D II
∫∫ dA
Integral hirukoitzen kalkuluaIII era- Era honetan OXZ planoan proiektatzen dugu, proiekzioa OXZ
planoko DIII eremu itxia izanik. V eremuko puntu guztien x eta z koordenatuetako (x,z) puntuak DIII eremuan daude. V-ren puntuetako multzoaren adierazpen hau da:
DIII eremuaren mugalerroa V-ren inguru lerro baten (ez
derrigorrean bertikala) proiekzioa da eta V-ren gainazala bi zatitan banatzen du, alde bateko tapa (ekuazioa z=t2(x,z)) eta bestaldeko tapa (ekuazioa z=t1(x,z)).
Era honetan, integral iteratua honela hasiko genuke:
€
V = x,y,z( ) | x,z( )∈DIII , t1(x,z) ≤ y ≤ t2(x,z){ }
€
f (x,y,z)dVV∫∫∫ = f (x,y,z)dy
t1 (x,z )
t2 (x,z )
∫ ⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥D III
∫∫ dA
Integral hirukoitzen kalkulua
Ikusten dugunez, edozein eratan hasita, lehenengo integrala egiten dugunean, integral bikoitz bat geratzen zaigu. Hori egiteko integrazio eremu laua bi era ezberdinetan osotu daiteke. Hortaz, guztira hiru integraletako integral iteratiboa sei era ezberdinetan burutu daiteke. Integral bikoitza egiteko koordenatu polarretara pasa gaitezke ere. Kontutatn izan behar da ere, aipatutako sei integraletako batzuk besteak baino errazagoak edo zailagoak suerta daitezkeela.
Integral hirukoitzen kalkuluaAdibidea:
€
Ebaluatu zdVV∫∫∫ integral hirukoitza, non V tetaedro bat den, mugak x = 0,
y = 0, z = 0, x + y + z =1 planoak diren.
€
Irudian ikusten da V integrazio eremua eta bere proiekzioa OXY planoan.I erako integral iteratua egingo dugu eta integral bikoitzeko integrazio eremuaere I erako moduan burutuko dugu:
Integral hirukoitzen kalkulua
€
zdVV∫∫∫ = zdzdydx
0
1−x−y∫0
1−x∫0
1∫ =z2
20
1−x∫0
1∫0
1−x−y
dydx =12
1− x − y( )2
0
1−x∫0
1∫ dydx =
=12
−1 − x − y( )
3
30
1∫0
1−x
dx =16
1− x( )3
0
1∫ dx =16
−1− x( )4
4
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥0
1
=1
24
€
V = x,y,z( ) | 0 ≤ x ≤1 , 0 ≤ y ≤1− x , 0 ≤ z ≤1− x − y{ }
Integral hirukoitzen kalkuluaAdibidea:
€
Ebaluatu x 2 + z2dVV∫∫∫ integral hirukoitza, non V eremua y = x 2 + z2 paraboloideak
eta y = 4 planoak mugatutako eremua den.
€
Irudian ikusten da V integrazio eremua eta bere proiekzioa OXY planoan.Hasierako asmoa I eran integratzea izan litzateke:
Integral hirukoitzen kalkulua
€
Hasierako asmoa I eran integratzea izan litzateke :
V = x,y,z( ) | − 2 ≤ x ≤ 2 , x 2 ≤ y ≤ 4 , − y − x 2 ≤ z ≤ y − x 2{ }
x 2 + z2
V∫∫∫ dV = x 2 + z2
− y−x 2
y−x 2
∫x 2
4∫−2
2∫ dzdydx
eta z - rekiko integrala egiteko hurrengo bi aldagai aldaketak erabili genitzake:z = x tan t, lehendabizi eta u = tan(t /2) ondoren. Horiek egin eta gero :
x 2 + z2dz = x 2 dtcos3 t∫∫ = x 22
1+ u2( )2
1 − u2( )3∫ du
Azken integrala funtzio errazional baten integrala da, eta luzea izan daiteke.
Integral hirukoitzen kalkulua
€
II eran integratzea berdintsua suertatuko litzateke, OXY eta OYZ planoekikoproiekzioak antzekoak direlako. Hortaz, III erara saiatuko gara : OXZ planoanproiektatuz zirkulu bat lortzen da :
€
x 2 + z2V∫∫∫ dV = x 2 + z2dy
x 2 +z 2
4
∫ ⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥ y x 2 + z2
D III∫∫D III
∫∫x 2 +z 2
4
dA = 4 − x 2 − z2( ) x 2 + z2dAD III
∫∫
€
V = x,y,z( ) | x,y( )∈DIII , x 2 + z2 ≤ y ≤ 4{ }
€
eta orain, geratzen zaigun integral bikoitza hau, koordenatu polarretan egingo dugu :
Integral hirukoitzen kalkulua
€
x 2 + z2
V∫∫∫ dV = 4 − x 2 − z2( ) x 2 + z2dAD III
∫∫ = 4 − ρ 2( )ρρdρdϕD III∫∫
0
2
∫0
2π
∫ =
=43ρ 3 −
15ρ 5 ⎛
⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟
0
2π
∫0
2
dϕ = 3213
−15
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ dϕ0
2π
∫ =128π
15
€
DIII = ρ,ϕ( ) | 0 ≤ ρ ≤ 2 , 0 ≤ ϕ ≤ 2π{ }
x = ρ cosϕz = ρ sinϕ
Aldagai aldaketa integral hirukoitzetan
Integral hirukoitz batzuk, integral bikoitzetan gertatzen zen bezala,errazago kalkulazten dira kartesiarrak ez diren koordenatuetan, batik bat, koordenatu zilindrikoetan eta koordenatu esferikoetan, alegia. Azter ditzagunbi koordenatu-sistema garrantzitsu hauek:Koordenatu zilindrikoak
Espazioko puntu bati dagozkion koordenatu zilindrikoak (r, j,z) hirukote dira, bi luzera, r eta z, eta angelu bat, j. Irudian agerian geratzen da heuren definizioa:
€
r ∈[0,∞) , ϕ ∈[0,2π ) , z∈(−∞,∞)
x = ρ cosϕ ρ = x 2 + y 2
y = ρ sinϕ ϕ = arctan y / xz = z z = z
Aldagai aldaketa integral hirukoitzetan
Beheko irudian erakusten da nolako elementu infinetesimalak erabiltzen diren V integrazio eremua osotzeko:
€
"Kutxa zilindriko" infinitesimal honidagokion bolumena, dV , honela kalkula daiteke :dV = dρ ⋅ dz⋅ ρdϕ = ρdρdϕdz
Aldagai aldaketa integral hirukoitzetan
Beraz f(x,y,z) funtzioa integratu behar badugu honelako “kutxa zilindriko” itxura duen V integrazio eremuan, honela egingo dugu:
€
V = ρ,ϕ,z( ) | a ≤ ρ ≤ b , α ≤ ϕ ≤ β , c ≤ z ≤ d{ }
€
f (x,y,z)dVV∫∫∫ = f (
c
d
∫a
b
∫α
β
∫ ρ cosϕ,ρ sinϕ,z)dzρdρdϕ
Aldagai aldaketa integral hirukoitzetan
Noski, koordenatu kartesiarretan gertatzen bezala, integrazio-ordena aukeraketak kalkuluak zaildu edo erraztu ditzake.
Era berean, integralen kausistika, koordenatu kartesiarrekin bezain zabala izan daiteke. Adibidez, lehengo Vintegrazio eremuan, “kutxa zilindrikoaren” goiko eta beheko tapak kurbatuak balira (lauak izan beharrean), honela arituko ginen:
€
V = ρ,ϕ,z( ) | a ≤ ρ ≤ b , α ≤ ϕ ≤ β , u1(ρ,ϕ) ≤ z ≤ u2(ρ,ϕ){ }
f (x,y,z)dVV∫∫∫ = f (
u1 (ρ ,ϕ )
u2 (ρ ,ϕ )
∫a
b
∫α
β
∫ ρ cosϕ,ρ sinϕ,z)dzρdρdϕ
Aldagai aldaketa integral hirukoitzetan
Adibidea:
€
V gorputz bat dugu x 2 + y 2 =1 zilindroaren barruan, z = 4 planoaren azpian eta
z =1− x 2 − y 2 paraboloidearen gainean. Gorputzaren puntuen dentsitatea, puntutikOZ ardatzairano doan distantziaren proportionala da. Kalkulatu V - ren masa.
€
Irudian ikusten da V gorputza (hau da, V integrazio eremua). Zilindro bat da, bere goiko tapa laua eta behekoa paraboloidea direla:
€
V = ρ,ϕ,z( ) | 1− ρ 2 ≤ z ≤ 4 , 0 ≤ ρ ≤1 , 0 ≤ ϕ ≤ 2π { }
Aldagai aldaketa integral hirukoitzetan
€
Masa kalkulatzeko, integratu behar dugun funtzioa dentsitatea da, eta,esan diguten bezala, OZ ardatzarainoko distantziaren (ρ - ren) proportzionala da :d = Kρ . Beraz hurrengo integral hirukoitza kalkulatu behar dugu:
KρdVV∫∫∫ = Kρ
1−ρ 2
4∫0
1∫0
2π∫ dzρdρdϕ = K0
1∫0
2π∫ ρ z 1−ρ 24 ρdρdϕ =
= K0
1∫0
2π∫ ρ 2 3+ ρ 2( )dρdϕ = K ρ 3 +ρ 5
5
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
0
2π∫0
1
dϕ =
= K 1+15
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ dϕ
0
2π∫ =6K5
2π =12π
5K
€
V = ρ,ϕ,z( ) | 1− ρ 2 ≤ z ≤ 4 , 0 ≤ ρ ≤1 , 0 ≤ ϕ ≤ 2π{ }
Aldagai aldaketa integral hirukoitzetan
Adibidea:
€
Kalkulatu hurrengo integral iteratua: x 2 + y 2( )x 2 +y 2
2∫− 4 −x 2
4 −x 2
∫-2
2∫ dzdydx
€
V integrazio eremuaren adierazpena hurrengo hau da:
V = x,y,z( ) | x 2 + y 2 ≤ z ≤ 2 , − 4 − x 2 ≤ y ≤ 4 − x 2 , − 2 ≤ x ≤ 2 { }
€
Ikusten den bezala z aldagaiari dagokion beheko
tapa da z = x 2 + y 2 (kono bat) eta goiko tapa,z = 2 (plano bat). z − ri dagokion integrazio eginondoren, integral bikoitza geratzen zaigu OXY planoko eremu batetan. Eremu hori da 2 erradiodunzirkulua, irudian egiaztatzen den bezala :
Aldagai aldaketa integral hirukoitzetan
€
V - ren forma ikusita, argi eta garbi dago koordenatu zilindrikoak hobesten direla integral hirukoitz hau kalkulatzeko:
x 2 + y 2 = ρ 2 cos2ϕ + ρ 2 sin2ϕ = ρ 2
z = x 2 + y 2 = ρ
x 2 + y 2( )x 2 +y 2
2∫− 4 −x 2
4 −x 2
∫-2
2∫ dzdydx = x 2 + y 2( )dV = ρ 2dzρdρdϕρ
2∫0
2∫0
2π∫V∫∫∫ =
= ρ 3
0
2∫0
2π∫ 2 − ρ( )dρdϕ =ρ 4
4−
ρ 5
5
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
0
2π∫0
2
dϕ =24
2−
25
5
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ dϕ
0
2π∫ =16π
5
Aldagai aldaketa integral hirukoitzetan
Koordenatu esferikoakEspazioko puntu bati dagozkion koordenatu esferikoak (r, q, j) hirukote dira, luzera bat, r, eta bi angelu, q eta j. Irudian agerian geratzen da heuren definizioa:
€
r∈[0,∞) , θ ∈[0,π ] , ϕ ∈[0,2π )
x = rsinθ cosϕ r = x 2 + y 2 + z2
y = rsinθ sinϕ θ = arctanx 2 + y 2
z
z = rcosθ ϕ = arctanyx
Aldagai aldaketa integral hirukoitzetan
Beheko irudian erakusten da nolako elementu infinetesimalak erabiltzen diren V integrazio eremua osotzeko:
€
"Kutxa esferiko" infinitesimal honidagokion bolumena, dV , honela kalkula daiteke :
dV = dr⋅ rdθ ⋅ rsinθdϕ = r2 sinθdrdθdϕ
Aldagai aldaketa integral hirukoitzetan
Beraz f(x,y,z) funtzioa integratu behar badugu honelako “kutxa esferiko” itxura duen V integrazio eremuan, honela egingo dugu:
€
V = r,θ ,ϕ( ) | r1 ≤ r ≤ r2, θ1 ≤ θ ≤ θ 2, ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ 2{ }
€
f (x,y,z)dVV∫∫∫ = f (
r1
r2
∫θ 1
θ 2
∫ϕ 1
ϕ 2
∫ rsinθ cosϕ,rsinθ sinϕ,rcosθ )r2drsinθdθdϕ
Aldagai aldaketa integral hirukoitzetan
Berriro ere, koordenatu kartesiarrekin eta zilindrikoekin gertatzen zen bezala, integralen kausistika oso zabala izan daiteke. Adibidez, lehengo V integrazio eremuan, “kutxa esferikoaren” jatorritik gertuago eta urrutiago dauden tapak irregularrak balira (erradio,r,konstante izan beharrean), honela egingo genuen:
€
V = r,θ ,ϕ( ) | u1(θ ,ϕ) ≤ r ≤ u2(θ ,ϕ) , θ1 ≤ θ ≤ θ 2, ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ 2{ }
f (x,y,z)dVV∫∫∫ = f (rsinθ cosϕ,rsinθ sinϕ,rcosθ )r2drsinθdθdϕ
u1 (θ ,ϕ )
u2 (θ ,ϕ )∫θ 1
θ 2∫ϕ 1
ϕ 2∫
Aldagai aldaketa integral hirukoitzetan
Adibidea:
€
Kalkulatu integral hirukoitz hau: e x 2 +y 2 +z 2( )3/2
V∫∫∫ dV , non V , integrazio eremua,
1 erradioko bola den.
€
Integrazio eremua bola bat denez (hau da, "kutxa esferiko" bat) argi dagoegokia dela koordenatu esferikoen erabilera. V integrazio eremua honelaadierazten da :
V = r,θ ,ϕ( ) | 0 ≤ r ≤1 , 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π{ }
eta integratu behar dugun funtzioa: e x 2 +y 2 +z 2( )3/2
= e r 2( )3/2
= er 3
Beraz :
e x 2 +y 2 +z 2( )3/2
V∫∫∫ dV = er 3
r2drsinθdθdϕ0
1∫0
π∫0
2π∫ =er 3
30
π
∫0
2π
∫0
1
sinθdθdϕ =
e −1( )3
−cosθ( )0
2π
∫0
π
dϕ =2 e −1( )
3dϕ
0
2π
∫ =4π3
e −1( )
Aldagai aldaketa integral hirukoitzetan
Adibidea:
€
Koordenatu esferikoak erabiliz kalkulatu z = x 2 + y 2 konoaren gainean eta
x 2 + y 2 + z2 = z esferaren barruan dagoen gorputzaren bolumena.
€
Esferaren ekuazioa honela berridatz daiteke:
x 2 + y 2 + z2 = z⇒ x 2 + y 2 + z2 − z = 0⇒
⇒ x 2 + y 2 + z −12
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟2
=14
eta, honela, hobeto ulertzen da, 1/2 erradiokoesfera dela, bere zentrua (0,0,1/2) puntuan duena. Hortaz, eskatzen diguten gorputzaren bolumena da ondoko irudian erakusten dena:
Aldagai aldaketa integral hirukoitzetan
€
Koordenatu esferikoetan hurrengo adierazpenak ditugu:
(esfera) x 2 + y 2 + z2 = z⇒ r2 = rcosθ ⇒ r = cosθ
(konoa) z = x 2 + y 2 ⇒ rcosθ = rsinθ cosϕ( )2
+ rsinθ sinϕ( )2 ⇒
⇒ rcosθ = rsinθ ⇒ tanθ =1⇒ θ =π4
eta, ondorioz, V , integrazio eremua hurrengo hau da:
V = r,θ ,ϕ( ) | 0 ≤ r ≤ cosθ , 0 ≤ θ ≤ π /4, 0 ≤ ϕ ≤ 2π{ }
eta bolumena : dV = r2
0
cosθ∫0
π / 4∫0
2π∫V∫∫∫ drsinθdθdϕ =
r3
30
cosθ
0
π / 4
∫0
2π
∫ sinθdθdϕ =13
cos3θ0
π / 4
∫0
2π
∫ sinθdθdϕ =13
−cos4 θ
4
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
0
2π
∫0
π / 4
dϕ =
112
1−14
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ dϕ0
2π
∫ =π8
Aldagai aldaketa integral hirukoitzetan
€
Beheko irudian erakusten da nola osotu dugun eskatutako bolumena: