Bole~~n de Ma~emd~ica~Vol. XI (1911), ptfg~. 243 - 266

HISTORIA DE LA MATEMATICALA HISTORIA SOCIAL DE LAS MATEMATICAS (*>

por

Alberto Gonzalez

"El caso de las ma t emjit I>cas es de los que obl igana tomar partido".

L.G.des Lauriers

1. Introduccion.

Existen diversos puntos de vista cuando se trata dedar cuenta de la historia de una ciencia. Hay quie-nes conciben la historia de las ciencias como unalarga cadena de descubrimientos cuyo nexo serla so10 una clara perc sospechosa "ley de la casual idad"de gran sabor teleologico; hay tambien quienes con-funden la historia con la cronica historica, y la

(*) Conferencia presentada por el aut or en el V Co-loquio Colombiano de Matematicas, Medellin 1975.

N.del E.243

historia de las ciencias con la historJa de loscientificos. Esta Gltima concepc~6n es la mas gr~ta a la mayoria de los historiadores de la matema-tica y es facil darse cuenta de la razon de dichatendencia: debido a sus mismas maneras de proceder,la ciencia ma t.emji t I'ca. al crea:run:as-erie de entesy nociones que se enlazan en un gran encadenamien-to l6gico de proposiciones cuyo fin es el de configurar una teoria matematica, es corriente no veren las matematicas mas que un indefinido desplie-gue de especulaciones construidas sobre la basede conveniencias totalmente arbitrariaso Esta representacion se ve reforzada al comprobar que elalejamiento de la realidad concreta no impide almatematico producir una obra valida y a veces hasta fecunda en aplicaci6nes de indole practica,aunque el mismo afirme su desinteres por dichasconsecuenciaso Por esta via se puede llegar aS1a las conocidas posiciones idealistas en el terreno de la historia de la matematica cuyo l5gico crolario es la af~rmaci6n segGn l~ cua~ el motordel desarrollo de la historia ser1anlos "hombresde genio". Pero las cosas son muy distintas; nose puede emitir ningGn juicio valido sobre el desarrollode las matematicas aislando arbitraria-mente este acaecer de su contexte, de su medioambiente. Realmente e~ nuestro prop6sito en estebreve y necesariamente parcial esbozo, aunque seaa grandes rasgo~, mostrar de que manera se han d~do las interacciones entre el'desarrollo social y

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el de las matematicas y ver hastaque punta aque-llos desarrollos han hecho posible dicha cienciatal como la conocemos hoyo

20 1 pensamiento matematico primOtivo.

Si en algunas epocas ha existido una cierta inde-pendencia relativa entre el desarrollo de la mate-matica y las condiciones de vida sabre las cualesse erige aquella, se puede afirmar con certeza queen ningun momento como en sus com enzos, las mate-mAticas han sido tan directamente tributarias dedichas condiciones. En las llamadas "sociedadesprimitivas'l (que par otra parte s n tan "primiti-vasIl como las nuest~ag) la aritmetica conlleva untransparente sentido antropomorfic09 mientras quela Geometria practicamente no existeo La Etnogra-fia nos pone en clar dicho fenomeno: los hombresen dichas saciedades necesitan contar objetos ta-les como piezas de caZB, etco, y es precisamentepar sus modos de subsistencia por 10 general cazay recolecci6n -nomadismo- ) por 10 que la geometrlano tiene sentido ya que no hay nada que medira Res-pecto a la aritmetica hay que decir que el ~oncep-to de numero es el de correspondencia y que el nu-mere cardinal 5e capta a traves del ordinal, Por10 coman para 11egar al nGmero cardinal de un con-junto de objetos se hace corresponder cada uno deestos objetos con un elemento de un conjunto previ~mente ordenado cas! siempre las distintas partesdel cuerpo humano: los dedos de las manos, los pi 9,

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la muneca, el codo, la axila etc.) y al coincidirel ultimo termino de este conjunto ordenado con latotalidad de los objetos del primer conjunto, elnumero ordinal se identifica con el cardinal de dicho conjuntoo Es logico pues, que aparezcan losprimeros sistemas de numeracion en base cinco

(cinco son los dedos de una mano) diez (diezdedos de las manos) 0 veinte como en los chibchas(veinte es el numero total de dedos en el cuerpohumano). Paralelamente a esta aritmetica rudimentaria que serviria para contar los objetos, sedan otros desarrollos no menos interesanteso Esun hecho que las mas rudiment arias de las econo-mias agricolas necesita informes numericos acercade las estaciones; esto implica la resoluclon deproblemas ligados al establecimiento de calenda-rios. Es sabido cuan estudiadas han side las cuestiones de cronologfay astronomia. en las mas t emp r-anescivilizaciones. Con el afianzamiento de las so-ciedades de clase estas tecnicas se iran a comple-tar y la matem&tica debera de dar respuesta a nue-vos problemas.

3. La remota antiguedado

La aparicion de la geometria y de ciertas tecnicasaritmeticas que sobrepasan el nivel ya descrito,estan intimamente ligadas al medio social que pla~tean las primeras sociedades clasistas. Fue en elsene de sociedades fuertemente jerarquizadas, como

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era el caso de la Egipcia, en la cual, por las ne-cesi~ades tecnicas que planteaban las constantes reconstituciones de los l1mites de los territoriosborrados peri6dicamente por el limo de las inunda-ciones del Nilo aparece la geometriao Sin embargoaunque esta explicacion "inmediata" es justa~ elverdadero orlgen de la geometrla h~y que ubicarloen e1 contexto social de un cierto modo de produc-cion en el eual unos miembros se eximen del traba-jo material a traves de la explotacion economicaque ejercen sobre al resto de la poblacion. Es notable a este respecto la reflex ion de Arist5telessobre este hecha; en efecto dice el pensador grie-go~

"Por 10 cual~ ademas, una vez definida ya ladirectriz propia de cada una de todas estas a~tes~ aquel1as ciencias que no van encaminadasni a los placeres de la vida oi a ateoder susTIecesidades~ vieron entonces 1a luz primeraprecisamente en aquellos lugares en que loshombres podlan dedicarse al ocioo As! ocu-rrio con las matematicas nacidas de Egipto,porque en aquel pais, las castas sacerdotalesestaban libres de todo trabajo"

Metafisica (A 1~ 981 623 ).

Ahora bien~ co~siderando cuales fueron los prime-ros usos de la matematica, vemos que estos son si~milares a los de la escritura~ y estos usos fueronen primer lugar los del poder constituido: inventa

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rios,' censos, calculos de impuestos, mediciones deterrenos,etc.; en otras palabras la matematica apa-rece como manifestacion de poder de unos hombres sobre otros. Las tecnicas matematicas reciben aSlsu primer desarrollo importante, y pronto pasa a ungrade de complejidad tal; que solo acceden a su conocimiento los especialistas; las clases dirigen~tes se incorporan aestos especialistas que formanaSl una casta privilegiada dentro del aparato deestadoo Las matematicas toman entonces un carac-ter esoterico, y as1 tenemos que los hombres quedetentan los secretos de las "cosas ocultas" segunla expresion delescriba del papiro de Rhind, dis-ponen de un monopolio que acrecienta aun mas su p~der. Entre los hechos matematieos que eonstituianla base del saber cientifico de los antiguos egip-cios hay que mencionar primeramente la gran destr~za desarrollada para el calculo de las fracciones,luego el conocimiento del volumen del tranco depiramide de base cuadrada, el area de la semiesfera la resolucion de ecuaciones de primer grade yuna buena aproximacion de ~ : 3,160 Los babilo-nios por su parte desarrollan una aritmetica conmetodoa a veces bastante eLegant es , se dan soLwc Lones enteras para ciertas ecuaciones de primer y segundo grado, construyen un funcional sistema de numeracion de base sexagesimal que 10 combinan conel de base decimal,

nes aritm~ticas. Es de observar a este respectoque tanto egipcios como babilonios utilizan hechosmatematicos, empleandolos a la manera de formu1a-rio de resultados 0 s1 se quiere como un recetario,y aiinque:!n sus escritos no se advierte nada pare-cido a una "demostracion", pOl' 10 menos un minimode teoria y de ideas generales debia presidir 1aelaboracion de los calculos, que en ocasiones al-can zan tantas complicaciones que imposibilitan depOl' s1 el uso de tanteos emp!ricos para hallar losresultados.

40 Los griegoso

A pesar de que se hubiera alcanzado cierto nivelmatematico aceptable en el antiguo Egipto, no hayall! todav1a una concepcion cientifica 0 idealcientificoo Es en Grecia donde este ideal aparecede una manera clara, marcando as! un punta de rup-tura con respecto a todos los desarrollos anterio-res, y si bien es cierto que Grecia recibe la in-fluencia de la matematica oriental (recordemos quePitagoras, Platen, Tales y otros viajan a oriente)esta influencia no puede explicar los rasgos espe-c!ficos y fundamentales de la matematica griega.Entre la t&cnica utilitaria del calculo, que fu&sin duda transmitida a los griegos y la concepcioncientifica que produjeron existe una ruptura, unvacto que hay que lIenal'. La originalidad de losgriegos estriba en que pudieron atravesar las fronteras de la t~cnica de los calculistas orient~les

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hacia concepciones cientificas mas amplias, dandolugar al surgimiento de conceptos novedosos comolos de "demostracion, "analisis" y "generaliza-ci6n",

Pero antes de describir los rasgos peeuliares dela matem~ica en Grecia, vearnos brevernente los condlftl0namientos soc:ales en los cuaies surge estanueva concepci6n. Bien as sabido que la sociedadgriega era una sociedad esclavista coronada peruna capa a 'stocratica de ciudadanos libres. Unasociedad basaas en el trabajo de los esclavos, f!eiles de obtener y cuyo endimiento nc importabamejorar por medic de perfeccionamientos tecnicosen los instrumentos de trabajo, sino per el acre-centamiento numerico de la mana de obru, impoDfacomo es naturalLn tipo especial de representacio-nes de la realidad en e1 seno de c1ase dominantsoPrecisamsnte, esta estructura social imprime uncaracter de gran originalidad a las matematicasgriegas seftalado en el hecho de cCDcebir las nociones matem~ticas como puramente abstractas Cteori-cas) y enfatizando el desdin pOl' las aplicacionesde indole practica, Parece ser que en el sene dela escuela pitagorica es en donde per vez primerase indaga acerca de las nociones de "numero" y"figura". El numero natural es concebido comoun ente mental, como una "idea", En cuanto a lasfiguras, Plat6n, Arist6teles y otros, insisten enla naturaleza puramente raclonal de la noclon, a-pareciendo en consecuencia el concepto de "cons-250

tructibilidad" en la Geometriao (es de notar entreotras cosas, que "Geometria" es un termino contrael cual Platon se yergue con fuerza por las alusi~nes emplricas que conlleva). Es entonces apenasl6gico que en base a este modo de concebir la matematica se desarrollase en el sene de ella misma,un interes creciente por los metodos logicos de e~posiciono Es asi como aparece otro de los rasgoscaracterfsticos de la nueva matematica: a partirde los griegos en matematica no hay enunciado ver-dadero que no conlleve su demostracion logica. Laconfianza en la potencia del razonamiento pure pa-ra la verdad lleva a los griegos a realizar formi-dables desarrollos en el campo de la L6gica y queson aplicados con exito en ~a matematicao Reeor-demos aquf solamente que es en Grecia en donde seconstruye el primer sistema axiomatico coherenteque conocemos: la geometrfa euelidea, empleando enella toda una gama de reCUFSOS logicos como 10 sonlos Mversos metodos de demostraci6n (hipotesis auxiliares, silogismo, reduce ion al absurdo, tereeroexcluldo etco) y que han conservado su vigencia atraves de los desarr01los ulteriores de esta cien-

Sin embargo por notables que hubieran sido estoslogros, la base sobre los que fueron erigidos ene~rraba e1 germen de 1a destrucei6n de esa misma ma-tematica. En efeeto: los incomparables exitos dela Geometria afianzaron aun mas a los griegos ensus punt os de vista; vemos como restringen deli-

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beradamente su campo de operaciones limitandose aestudiar en Geometria los problemas susceptiblesde ser resueltos por la regIa y el compas, y si aesto agregamos su preconizacion de la excelenciadel numero entero con menospreclo de las cantida-des irracionales, y la exclusion de los metodos a-proximados en el tratamiento de sus problemas ma-tematicos que les impide al final de cuentas abor-dar los problemas del continuo, tenemos claras lasrazones de la esterilidad de la matematica griegaen su momenta final.

Solamente Arquimedes con la utilizacion de las"pruebas" (aunque no demostraciones) por exhauci6nen sus escritos de mecanica y Geometria y Diofantocon su intento de la creacion de un algebra (aun-que no simbolica) parecen escapar de la esclerosisque invade el pensamiento matematico griego en laepoca Alejandrina. No obstante hay que pensar tambien que estos matematicos'estan inscritos en unmedio social del todo diferenteo Siracusa p.e. esuna colonia romana con un gran comercio maritimoen la cual se desarrolla una preocupacion crecien-te por las aplicaciones de la ciencia a la defensade la ciudad y otros asuntos practicos.

Como conclusion diremos que la matematica griegadebe mucho al ideal de belleza y armonia de ese g~nio que se nutre de la contemplacion, propugnandopor el cultivo de la teoria desinteresada; perctambien Ie debe ese gus~o por los metodos de expo-

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sici6n artificiosas, la desconfianza a lo~ mitodosde investigaci6n no finitistas, que a la postre Ieimpidi6 lanzarse por los oscuros caminos que se a-brian ante ella. Pero a pesar de todo esto, des-pues de los griegos la ciencia matematica debia esperar varios siglos antes de a1canzar un similardesarrollo.

5. Los Romanos -el Medioevo- el Renacimiento.

La decadencia en el campo de las matematicas empieza con el surgimiento de una de las mayores civil!zaciones que el mundo ha conocido; el imperio roma

El caracter practicista de las clases dominantesromanas preocupadas por un lado de acrecentar elpoder politico mediante el sojuzgamiento de otrospueblos con miras a la consecuci6n de abundantefuerza de trabajo esclava y por otra parte el pe~samiento jurfdico y social que origina el Derechodestinado a "organizar" la ciudads da por resulta-do que se considere el conocimiento por el s6loprovecho que pueda sacarse de el.

En e1 campo matematico, los romanos practicamenteno crearon nada digno de ser recordado. Aparte delos engorrosos numeros romanos que s6lo benevola-mente se les puede llamar creaci6n matematicas nosirviendo hoy mas que para inscripciones de monume~tos, los romanos se 1imitan a tomar de los griegos

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10 poco que necesitaban para la guerra, el levantamiento de pIanos y la ingenieria.

En la Europa medioeval hay que considerar que supunto de partida en materia cientifica fue la esterilidad del pensamiento romano incapaz de asim!lar los saberes alejandrinoso No obstante estehecho hay que saber que e1 mismo modo de produc-cion feudal no necesitaba de 1a ciencia para sumantenimiento y desarrolloo En efecto la apropi~cion de plustrabajo se hacia a traves de la coac~cion economica combinada con una necesaria coac-cion extraeconom1ca (tributos, impuestos en espe-cie, diezmos, etco )0 La acumu1acion privada enuna economfa en 1a cual los intercambios meneta-rios eran minimes hace innecesaria Is especulacioncientifica profunda, y aunque no faltan los nom-bres ya consagrados de Isidoro de Sevilla, Boecio,Adelardo, e1 venerable Bed~~ etco como representa~tes del pensamiente matematico medieval, el nivelde esta ciencia Ilacia el siglo XI es bajisimo: s~10 se escriben textos elementales y sa reali~antradu~ciones parciales de Euclideso Tal vez ha sido EoT. Bell quien de manera mas clara ha expres~do e1 rasgo fundamental de las matematicas en es-te periodo cuando afirma: ~ Una lamentable listade homunculos matematicos cuyas santas vidas yausencia de obras constituyen la historia oficialde 1a Europa cristiana de 1a Edad Media"o

Sin embargo con los primero resquebrajamientos del

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sistema feudal va apareciendo una clase de mercad~res que se emancipan de los sefiores feudales y queacrecienta dia a dia su influjo economico a travesdel comercio. El desarrollo de las ferias y merc~dos en las ciudades comerciales de la Alta Edad Media plantea numerosos problemas tecnicos, especialmente los relacionados con las operaciones de cam-bio y de credito y tambien con el mejoramiento delas rutas comerciales terrestres. En las ciudadesi talianas sobre el Medi terraneo y en las de 1a ligaHanseatica cuyo comercio era fundamentalmente maritima recib!an un continuado impulso: las tecnicasrelativas a lanavegaci6n. A comienzos del sigloXV un principe portugu's: Enrique el Navegante.crea una escuela de navega~i6n y son las tab las astron6micas confeccibnadas pOI" sabies judios que u-tilizan el sistema de Ptolomeo las que hacen posi-ble la navegaci6n transoceanica. Se plantea el prblema de la posicion en alta mar~ problema que nopuede resolverse satisfactoriamente m~que pOI" undesarrollo de conocimientos matematicos que conll~van necesariamente a la creaci6n de la mecanica celeste.

E1 Renacimiento marca una epoca de transicionen10 que respecta al desarrollo del pensamiento maternatLc o , El auge del poder pol iticomili tar de losarabes deja su huella al sintetizar los conocimien'tos de los sabios griegos y los calculadores hin-dues, transmitiendo dichos resultados a Europa. Suaporte mas notable 10 con$tituye el haber sido los

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iniciadores de el Algebra (de Algabr: restaura-cion 0 transposicion de terminos) que considera-ban como "un aporte cientifico cuyo objeto es elnumero absoluto y las magnitudes mensurables desconocidas, perc relacionadas con algo conocidode modo que se puedan encontrar".

Desde el punto de vista social hay que enmarcarestos hechos en una epoca de profundas trans formaciones historicas: La monarqu1a apoyandose enla burguesia urbana quiebra definitivamente elpoder de la nobleza feudal y funda los grandesreinos basados en la idea de nacionalidad. Losnuevos condicionamientos sociales y politicoshacen desarrollar con vigor las tecnicas guerr~ras, asi p.e. la balistica que empieza a desa-rrolarse en Italia con los estudios de Galileova a recibir un decisivo impulso en el sigloXVII con la aplicacion de la Geometr1a Analiti-ca y la utilizacion del concepto de funcion.

Hacia el siglo XVI el ~lgebra sincopada de losarabes pasa a ser un algebra simbolica (FrancoisViete ) permitiendo as! una mayor precision enel tratamiento de los problemas matem~ticos y ungran ahorro de pensamiento. Para completar elcuadro en el renacimiento hay que agregar que lastecnicas de navegaci6n hacen completar la trigonometria tal como la conocemos hoy.

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6. La ~poca cl~sica (Siglo XVII).

El siglo XVII que h~ sido llamado el "siglo delas grandes sintesis", debido al hecho de que sonde naturaleza sint~tica dos descubrimientos de capital importancia que tienen lugar en este sigloy que marc an el inicio de la matem&tica moderna.

E1 tratamiento algebraico de la geometria (Geome-tria Analitica) y el c&lculo solo fueron posiblesporque los matem&ticos no buscaban aplicacionesinmediatas sino que segulan 1a dialectica internade 1a propia matematica. Son sintesis grandiosasya que establecen nuevas relaciones entre camposantes separados: entre e1 algebra y 1a geometria,entre el prohlema de la tangente y la rectifica-cion de una curva, entre el finito y 10 infinito.

El hecho de que se desarrollen las matematicas demanera autonoma a partir del siglo XVI! no quieredecir que de ninguna manera se pierda 1a eonexionentre esta ciencia y las condiciones historico sociales que en ultima instancia enmarean su desa-rrollo. Lo que sucede es que a partir del capit~lismo se vuelven mas complejas las relaciones en-tre las diferentes instancias de una determinadaformacion social, y no son ya las corresponden-cias naturales entre medio social y proceses te~ricos las que gobiernan la evolucion de estes 61timos.

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As! per ejemplo en el siglo XVII las matematicasa los ojos de los grandes ~at~maticos desde Des-cartes hasta Leibniz constitulan la clave para lamecanica y esta la clave para el entendimiento dela naturaleza. La matemitica no solo es el modelade teda ciencia sino que trasciende su dominio yproporciona la clave para los inventos -(AGn mas:la filosofia en unos pensadores toma de la maternatica sus metodos de exposicion cfr~ 1a Etica deSpinoza). Durante 1a epoca de racionalismo quese ha denominado a Ilustracion (explicable en elcontexte de las revoluciones burguesas que SaCU-den a Europa en el siglo XVIII) 1a rnatem&tica an-te todo es un instrurnento para la cornprension delcosmos. Esto se pone de manifiesto en la gran 0-bra del siglo XVII: Los "Principia" de N'ewton yen las obr s culm'nantes del siglo siguiente: La"Mechanique analitique" de Lagrange y la "Mechanique Celeste" cie Laplace.

Volviendo a las dos grandes sintesis del per1odoelasico: 1a Geowetrla analitiea y el calculo infinitesimal, diremos con respecto a la primera quesa hac!a necesaria refor-mar los principios del Algebra para que esta adquiera una verdadera inde-pendencia. Esta labor fue objeto de muchos mate-maticos siendo Descartes el que la IlevQ a su fe-liz termino. Para Descartes el Algebra precede atodas las otras ramasde la matematica y no estacondicionada pon 1a naturaleza de los problemas a

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los cuales se aplica. Pero para Descartes el Al-gebra no es una ciencia, es un metodo que nos en-sena a razonar con cantidades abstractas e inde-terminadas. El Algebra es el m~todo de la "cien-cia universal". Al preocuparse poco por la bell~za y la armonia de las nociones que estudia e 1 Al-gebra y al concentrar su atencion en un metodoabstracto de combinaciones logicas, Descartes rompe con el ideal griego y abre nuevas perspectivasa la ciencia matematica: la sintesis del algebray la Geometria 0 sea la Geometria Analitica es elresultado.

Respecto al Calculo infinitesimal hay que decirque para algunos su aparicion senala el nacimien-to de una nueva epoca en el pensamiento cientifi-co. Si bien en un principio su aplicacion a losproblemas mecanicos hace pensar que se trata deun mero "calculo" como 10 es por ejemplo el alg~bra, los posteriores desarrollos sobre todo en elcontinente europeo muestran que el naciente calcu10 es un formidable instrumento de pre~iccion ycontrol como antes no habia tenido la matematica.Se inicia asi una larga serie de descubrimientosen analisis, fruto de un paciente trabajo realiz~.do sobre los problemas de la mecanica racional.Nacen todauna s~rie de problemas sobre las ecua-ciones diferenciales'que son suceptibles de descubrir realidades fisicas bastantes complejas, bas-ta citar aqui la ecuacion de d'Alembert ~~ = 0

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de donde arranca toda la teoria del potencial, a-briendo el camino para la solucion de muchos pro-blemas de fisica matematica.

7. El_~igl0 XVIII Y el Siglo XIX.

El caleulo infinitesimal, la geometr1a analitieay el ealeulo de series brindaron a los matemati-cos un tal perfeccionamiento de las herramientasdel matematieo que para ~stos hacia comienzos delsiglo XVII todo parecia posible. Los matematicosdesarrollan la tficniea operativa a limites insos-pechados~asi van apareeiendo teorias que sobrepa-san ampliamente las coneepeiones del algebra ele-mental pero que proceden directamente de la grantransformacion acaeeida en el siglo anterior: lateoria de los determinantes, el caleulo de matri-ces, el calculo vectorial que simplifiea los eal-culos de la geometria analitiea, la geometr1a di-ferencial clasica; son algunos de los nuevos dominios explorados. Con la revolucion francesa se abre un nuevo periodo en la historia politics europea inf1uyendo decisivamente en 1a evolueion delpensamiento matematieo. La burguesia con un int~res manifiesto en la promocion de la edueaciontecnica y en el ensanehamiento de la base materialdel capitalismo industrial funda institutos eien-tificos y academias.,La Ecole Poly technique ~e Paris (1795) es el prototipo de institueion para lapreparaei6n de los ingenieros, la ensefianza cien-

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tifica y la investigaci6n fundamental en el terrenode las matematicas y de las ciencias naturales. Es-te nuevo contexte permite abordar desarrollosmate-maticos de gran importancia futura y cas1 siempreen relaci6n a investigaciones de orden fIsico, co~signemos aqu! los resultados de la geometria dife-rencial clSsica desarrollados bajo la influenciade los estudios sebre la elasticidad, e incluse hasta la tendencia al rigor en la matematica modernarecihi6 un poderoso impulse del estudio de las se-ries trigonometricas introducidas por Fourier ena teor!a del calor No obstante el vigor del de-

sarrollo de la matem~tica y de la ciencia en el siglo XVIII, 11ega un momento en que los matem&ticostestimonian u~ cierto cansancio. El horizonte ma-tematico va apareciendo obstruido y S1 a esto agre-gamos la crisis que la matematica en ren a a prin-cioios del siglo XIX, crisis producida Dor la pues-ta en duda de las nocion~s us ales leI an~]~sis clfisica tenemos un panorama hacia 1820 alga desalenta-dor. La matematica en el siglo XIX differe netamene de los desarrollos Que se prolljeron en los s1-

glos precedentes. La originalidad del siglo XIXno consiste en la creaci6n de nuevas t~cnicas ope-rativas como en la profundizaci6n y la critica delas nociones fundamentales de lImite, continuidad,funci6n, etc. En particular, se cre1a que todafunci6n continua era derivable en todos sus puntos,con excepci6n quiza de un numero fin ito de puntos.Cauchy fue el primero en abordar al problema de definir precisamente 10 que es una funci6n continua.

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Otros matematicos tales como Abel y Weiertrasstrabajan en direcciones similares: ya no se tratade forjar nuevos. medios de calculo sino de anali-zar conceptos considerados hasta entonces como intuitivos. Esta verdadera labor de saneamiento e-ra absolutamente necesaria ya que la vaguedad fuerodeada a nociones como continuidad, infinitesimo, convergencia, limite, etc. no habia sido eli-minada del analisis; esto condujo a resultadosteoricos falsos los cuales a su vez pod ian haberllevado a erroneas aplicaciones en la mecanica yen la fisica.

Acerca de la tarea emprendida pOI' los matemAticosde la primera mitad del siglo XIX en relacion conlas aplicaciones en los dominios de la mecanica yen general de las aplicaciones fisicas se pcdriapensar a primera vista que la realizacion de esteprograma de sutiles razonamientos sobre nocionestan alejadas del mundo sensible (como vgro 10 pu~de sel' la "convergencia uniforme") condujera a unlibre juego de la mente humana ent er-amenre.arbitrario. A este respecto conviene traer la eita deStruik que nos aclara dicho asunto: dice el nota-ble matemAtico: "racil es ver tambien, restrospetivamente, que estaban edificando el calculo comoun instrumento mas perfecto para establecer rela-ciones objetivas, y gracias a su obra el calculopuede aplicarse ahora con gran confianza a probl~mas extraordinal'iamente sutiles de la mecanica ce

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1este, de 1a fisica matematica y de 1a teorla deprobabilidades".

Esta labor sobre los fundamentos del calculo cons-tituye un aspecto importante de todo el rep1antea-miento de 1a matematica que se inicia en el sigloXIX y que continua hasta hoy. El balance mas inmeaiato de todo este panorama parece ser este: porprimera vez en 1a historia se aborda la construc-cion de una matematica que siendo 16gilca (ie: acode con 1a razon humana) no parece natu~al(o sea a-decuada con la estructura de la natu aleza sensi-ble segun 1a idea que desde Newton se tiene de e-lla).

8. Las matematicas modernas.

Las matematicas del s'glo XX hay que enmarcarlasen el cuestionamiento general iniciado en el siglopasado donde 1a cr!tica de los conceptos tradicio-nales y 1a creacion de otros nuevos imponen unrasgo distintivo al pensamiento matematico moder-no: su alejamiento cada vez mAs marcado de la~ nociones usuales que nos brinda la experiencia sen-sible. Ya desde 1840 aparecen las famosas curvascontinuas sin tangente en ningun punto (Weierstrass)y otras no menos espectaculares curvas "patologi-cas". Como si esto fuera poco, en el dominio de laGeometria, aparece una creciente desconfianza a1empleo de 1a intuicion espacial ordinaria de la

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geometria euclidiana, la creaci6n de nuevas geom~trias no-euclidiana, no-arquimedeanas etc.~ de 1a~ulminaci6n de esta sospe~ha. A principios delsiglo XX parecfa como si no hubiera ningun terr~no s6lido en la Matem~tica sobre el cual pudierahablarse con relativa seguridad excepcion hechade la Aritmetica de los numeros naturaieso 5precisamente e1 intento de la aritmetizacion delas matematicas cl~sicas 1a unicd vfa posible pa-ra salir de la encrucijada en que se encuentra 1amatematica. Esta labor, ya iniciada por Cauchy yWeierstrass, culmina con la construccion del nu-mero real (Dedekind. Weierstrass, Cantor, Meray).Sin embargo 1a garant!a que buscan los matem~ti-cos no la en uentran en la ~~itm~tica, y al pla~tear 1a axioma+izaci6n :e ~5ta, aparece 1a nuevateoria de conjuntos como e1 dominio preferido so-bre e1 cual ir~n a recaer los principales esfue~.OS, en virtud que en dicha teor~a se resume encierto sentido el pico contenido de todos los de-sarrolles precedentes de 1a matemStica.

Una segunda caracterfstica de la mrttematica mode~na 10 constituye la multiplicidad de losestudiosy el numero considerable de rama~ en las que sehan diversificado, hay que agregar a esto los contactos profundos y frecuentes entre todos los do-minies que brinda la axiomatita moderna. A estamayor extensi6n y profundizaci6n han contribu!dode manera notable los extraordinarios avances que

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a partir de finales del siglo XIX han tenido lugaren el sena de la Logica Sirnbolica (maternitiea, teoria de la Dernostracion, rnodelos etc_ ).

Finalrnente para cancluir estas breves obse vacio-nes sabre la maternitiea en 1 presente si~lo, anernos que hacer me nc Lo n de la gran r-e vo Lu c idn que seha operado a partir de la d~eada del cuarenta enel campo de los m~tedos num~ricos de cmputo. Losm@todos de clculo num~ricn de que traaicionalrnen-te disDanfan los matem&tieos era sunremamente limi

4. .....:..,

tados: la re~la de calculo, las tab las de logar!!mes y las calculadoras mecanicas enc~llas eranlas herramientas basicas de clculo has a el atlocuarenta"

Ahora bien, e1 vertiginoso crecim:ento de las ecnomfas contemporaneas, e despliegudesarrollado a par r de 1a segunda gu rra m-ndial.los proyectos de investigaci6n de espacio exte-rior y las ne~~sidades politicos de las naclonesaltamente industrializadas han hecho surgir nuevasnecesidades en el te ren de la matemAtica aplic~dao Se ha desarrollado no solamente 1a investiga-cion teorica de infinidades de problemas matematO-cos relacionados con 1a industria, 18 guerra, 1aeconemia y 1a dorninacion sino que tambien han sidecreadas nuevas y refinadas t~cnicas de c~lculo. E~tas nuevas tecnicas no solo permiten 11evar a cabo~nvestigaciones hasta ahara impracticables sinoque tambi~n han hecho rnodificar el juicio que sa

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tenia sobre el valor de muchos resultados matema-ticos conocidosc Por ejemplo, dichas tecnicashan dado un impulso especial al desarrollo de losmetodos aproximados, 0 sea metodos que permitenalcanzar mediante una cadena de operaciones ele-mentales e1 resultado numerico deseado con una pr~cisi6n~suficientemente alta. Hoy en dia,ademas esprtciso valorar los metodos matematicos desde elpunto de vista de su adaptabilidad a las maquinascalcu1adoras correspondientesc

No seria exagerado decir que con e1 desarrollo vertiginoso de estas tecnicas de calculo ha comenzadoun nuevo periodo en la matemitica moderna caracte-rizado por el hecho de que su objetivo no es soloe1 estudio de determinados entes matematicos sinoLambien e1 estudio de los carninos y medios por loscuales dichos entes pueden ser definidos.

De todos modos cualquiera sea e1 desarrollo futu~ro de la matematica del siglo XX, esta pareee confirmar plenamente 1a frase de Felix Klein:

"Las co~cepcione~ de las que nos ocupamos y cuyaconexi6n 1nLima estudiamos~ son elIas mismas pro-ducto de un trabajo prolongado del pensamiento m~tematico y estan muy alejadas de los pensamientosque son de uso corriente en 1a vida ordinaria".

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Unive~~idad Nae~onal de ColombiaMedellin.266