Akwizycja i przetwarzanie

sygnałów cyfrowych

Tadeusz Chmaj

Instytut TeleinformatykiITI PK Kraków

21 luty 2011

Tadeusz Chmaj Wykład II

Reprezentacje sygnału

Jak reprezentujemy sygnał:wybieramy sygnały wzorcowe (baze)rozwijamy sygnał w wybranej bazie (sygnał – kombinacjaliniowa wektorów wzorcowychreprezentacja sygnału (w danej bazie) - podaniewspółczynników rozkładu (w tej bazie)

wybór wzorców niejednoznaczny – prowadzi do róznejjakosci reprezentacjico to znaczy dobra jakosc reprezentacji?

taka, w której kilka współczynników wystarczaw której energia skupiona jest w kilku tylko składowychmozna zapisac tylko te znaczace skladowe, resztezaniedbac – łatwosc kompresji

Przykład - sygnał - wektor w R2; naturalna baza to wektorye0, e1:

e0 =

(

10

)

, e1 =

(

01

)

, ~A =

(

ab

)

= ae0 + be1

Tadeusz Chmaj Wykład II

Reprezentacje sygnału - c.d.

Gdy sygnał wolno zmienny (skorelowany) - czyli a ≃ b (n.p.a = 52, b = 50 - obie składowe równie wazne, podobnywkład do energii

gdy inny wybór bazy:

f0 =1√2

(

11

)

, f1 =1√2

(

1−1

)

, ~A =

(

5250

)

=102√

2f1+

2√2

f1

energia - tu nie zalezy od wyboru bazy, sposób jejkoncentracji - tak

podobnie - dla obrazów dwuwymiarowych. Przykład -obrazy 2x2:

wybór bazy: gdy vi - baza sygnału jednowymiarowego wR2, to aij = vi vT

j - baza w przestrzeni obrazów 2x2

Tadeusz Chmaj Wykład II

Reprezentacje sygnału - 2-D

wektory ~e0, ~e1 generuja baze obrazów aij :

a00 = e0 eT0 =

[

1 00 0

]

a01 = e0 eT1 =

(

0 10 0

)

a10 = e1 eT0 =

[

0 01 0

]

a11 = e1 eT1 =

[

0 00 1

]

gdy wezmiemy wektory ~f0, ~f1 - dostaniemy zupełnie inne

macierze bazowe: bij = ~fi~fjT

w przestrzeni obrazów:

b00 =

[

1/2 1/21/2 1/2

]

b01 =

[

1/2 −1/21/2 −1/2

]

b10 =

[

1/2 1/2−1/2 −1/2

]

b11 =

[

1/2 −1/2−1/2 1/2

]

Tadeusz Chmaj Wykład II

Reprezentacje sygnału - 2-D

wnioski – reprezentacja wolno zmienego obrazu znacznieprostsza w bazie b niz a; na przykład gdy dane to 52 53 5251 to reprezentacje maja postac:

baza a: [52 53 52 51],baza b: [104 0 1 − 1]w drugim przypadku - koncentracja energi znakomita;mozliwosc kompresji danychzastosowanie liniowej transformacji – podstawowy elementkodowania transformacyjnego (np. JPEG)

jak mozna uzyskac nowa reprezentacje sygnału x napodstawie starej y ?

zawsze -jako wynik rozwiazania problem liniowego:

Ax = y , czyli : x = A−1y

gdzie A - macierz zmiany bazygdy bazy ortonormalne i mamy okreslony iloczyn skalarny -gwarancja zachowania energii i ułatwienie w odczytaniuskładowych

Tadeusz Chmaj Wykład II

Reprezentacje sygnału - baza DCT

Realny przykład - baza DCT przestrzen 8-mio wymiarowa(x0, ..., x7)losowo wybrany obszar 8 x 8 – zapis w bazie standardowej105 110 103 116 108 110 109 107113 108 106 109 108 107 112 109112 116 106 108 106 107 110 109109 102 104 109 110 106 105 115110 101 105 109 107 108 110 109107 106 102 112 108 107 108 108105 113 106 105 109 108 108 117107 106 105 107 109 106 113 111współrzedne w bazie DCT

753 −209 167 −58−200 60 −46 18166 −46 38 −13−59 14 −19 6

Tadeusz Chmaj Wykład II

Reprezentacje sygnału - baza DCT

64

Tadeusz Chmaj Wykład II

Reprezentacje sygnału - baza DCT

10

Tadeusz Chmaj Wykład II

Reprezentacje sygnału - baza DCT

6

Tadeusz Chmaj Wykład II

Przestrzenie sygnałów

Potrzeba okreslenia własnosci matematycznych sygnałówCzego nam potrzeba ?

mozliwosc pomiaru sygnału, okreslenia jego długosci,odległosci od innego, pomiar kata pomiedzy sygnałami –własnosci metrycznemozliwosc manipulowania sygnałami: mnozenie sygnałuprzez liczbe, dodawania sygnałów, okreslenia sygnałówbazowych – własnosci algebraicznezupełnosc zbioru sygnałów (czy ciagi Couchy’egoelementów zbioru sygnałów maja granice w tym zbiorze)

Minimum własnosci metrycznych – wyposazenie zbiorusygnałów w metryke czyli funkcjonał, który kazdej parzesygnałów x , y przypisze nieujemna liczbe rzeczywista(x , y) ≥ 0 o własnosciach:

(x , y) = 0 ⇔ x = y (identycznosc nierozróznialnych)(x , y) = (y , x) symetria(x , z) ≤ (x , y) + (y , z) nierównosc trójkata

Tadeusz Chmaj Wykład II

Własnosci algebraiczne

Przestrzen sygnałów jest przestrzenia liniowa (wektorowa)gdy okreslimy dla niej dwie operacje: dodawanie sygnałów(opreacja "+") oraz mnozenia przez liczbe (operacja "*") owłasnosciach:

przemiennosc dodawania: x + y = y + xłacznosc dodawania: ((x + y) + z) = (x + (y + z))łacznosc mnozenia: (α(βx)) = ((αβ)x)rozdzielnosc mnozenia wzgledem dodawania:(α(x + y)) = (αx + αy) oraz (α + β)x = (αx + βx)

Przykłady przestrzeni liniowych sygnałów:Zbiór sygnałów o ograniczonej energii, z dołaczonymsygnałem zerowym. Jest to tzw. przestrzen sygnałów(funkcji) całkowalnych z kwadratem i oznaczana L2

Zbiór sygnałów okresowych o okresie T i ograniczonejenergii z dołaczonym sygnałem zerowym – oznaczenie: L2

Tzbiór sygnałów dyskretnych o ograniczonej energii zdołaczonym sygnałem zerowym. Jest to przestrzen ciagówsumowalnych z kwadratem oznaczana przez l2.

Tadeusz Chmaj Wykład II

Liniowa niezaleznosc, baza przestrzeni

Niech XN = {xk (t) : k = 1, 2, . . . , N} – zbiór N sygnałów zprzestrzeni liniowej X . Wtedy kazdy sygnał postaci:

x(t) =N∑

k=1αkxk (t) - liniowa kombinacja sygnałów xk (t).

Mówimy, ze sygnały - elementy zbioru XN sa liniowoniezalezne gdy znikanie kombinacji liniowej pociaga zasoba zerowanie sie wszyskich współczynników αk tejkombinacjiBaza przestrzeni X nazywamy podzbiór B wektorów tejprzestrzeni o własnosciach:

wektory w B sa liniowo niezaleznezbiór B generuje cała przestrzen (kazdy wektor X da siezapisac jako liniowa kombinacja wektorów z B)przedstawienie kazdego wektora jako kombinacji liniowejelementów bazy jest jednoznaczne

Tadeusz Chmaj Wykład II

Norma, iloczyn skalarny

Liniowa przestrzen unormowana - przestrzen liniowawyposazona w norme – odwzorowanie które kazdemusygnałowi x przypisuje nieujemna liczbe rzeczywista ‖x‖ –norme tego sygnału o własnosciach:

‖x‖ = 0 ⇔ x = 0‖ αx‖ = |α|‖x‖‖ x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖

Mozemy miec metryke wyznaczona (indukowana) przezmorme: (x , y) = ‖x − y‖Iloczyn skalarny - odwozorowanie przypisujaceuporzadkowanej parze sygnałów {x , y} liczbe < x , y > tak,ze spełnione sa warunki:

< x , y >=< y , x >∗

< αx + βy , z >= α < x , z > +β < y , z >x 6= 0 ⇒< x , x >> 0x = 0 ⇒< x , x >= 0

Tadeusz Chmaj Wykład II

Przestrzen Hilberta sygnałów

Przestrzen unitarna - przestrzen liniowa z iloczynemskalarnym, unormowanana przez norme zadana przeziloczyn skalarny: ‖x‖ =

√< x , x >

Kat pomiedzy wektorami x i y :cos(ϕxy ) = Re<x,y>

‖x‖‖y‖ dla przestrzeni rzeczywistych

cos(ϕxy ) = <x,y>

‖x‖‖y‖ dla przestrzeni zespolonychPrzestrzen Hilberta sygnałów - przestrzen unitarna,zupełna metrycznie w sensie metryki okreslonej przeziloczyn skalarnyPrzykłady przestrzeni Hilberta sygnałów: L2, L2

T , l2 iiloczynami skalarnymi:

< x , y >L2=∞∫

−∞

x(t)y∗(t)dt

< x , y >L2T= 1

T

T∫

0x(t)y∗(t)dt

< x , y >l2=∞∑

−∞x(n)y∗(n)

Tadeusz Chmaj Wykład II

Bazy w przestrzeniach Hilberta sygnałów

Niech XN = {xk (t) : k = 1, 2, . . . , N} - baza N-wymiarowejprzestrzeni Hilberta sygnałów X (dopuszczamy Nnieskonczone). Taka baze nazywamy:

ortogonalna, gdy kazde dwa rózne elementy z XN saortogonalne (prostopadłe) oraz gdy w X nie istniejeniezerowy sygnał prostopadły do wszystkich xk(t) z XN

ortonormalna, gdy jest ortogonalna i normy wszystkichwektorów bazowych sa równe 1

Nie w kazdej przestrzeni Hilberta istnieje bazaortogonalna. Przestrzen, która na to pozwala nazywamyosrodkowa (przeliczalnie gesta)

Majac zbiór liniowo niezaleznych wektorów - baze wosrodkowej przestrzeni Hilberta mozemy uzyskac bazeortonormalna przy pomocy iteracyjnej proceduryGramma-Schmidta

Tadeusz Chmaj Wykład II