AKULTA STAVEBNI´ F - fast10.vsb.czfast10.vsb.cz/brozovsky/data/sst/p10.pdf · VYSOKA´Sˇ KOLA...

VYSOKA SKOLA BANSKA – TECHNICKA UNIVERZITA OSTRAVA

FAKULTA STAVEBNI

Stavebnı statika

Teziste a kvadraticke momenty obrazcu

Jirı Brozovsky

Kancelar: LP – H 406/3Telefon: 597 321 321

E-mail: [email protected]: http://fast10.vsb.cz/brozovsky

Obsah

1. teziste rovinnych car

2. teziste rovinnych obrazcu

3. kvadraticke momenty rovinnych obrazcu

2

Teziste (1)

Teziste objektu: staticky stred soustavy rovnobeznych sil,

ktere jsou vyvolany tıhou jednotlivych jednodussıch castı to-

hoto objektu.

x

T

yRd

pd

Pipi

Tx

3

Teziste (2)

Predpoklad: studovane objekty jsou tıhove homogennı (napr.

deska konstatnı tloust’ky, prut konstantnıho prurezu: cely objekt

z jednoho materialu)

Merna tıha γ: teleso [ Nm3], rovinna deska [ N

m2], cara/prut [N

m].

4

Teziste (3)

Vypocet: z Varignonovy vety: Rd pd =∑n

i=0Pi pi

x

T

yRd

pd

Pipi

Tx

5

Teziste rovinne cary (1)

Cara tıhove homogennı – tıha nema

vliv na polohu teziste (lze uvazovat

γ = 1):

Delka diferencialnıho useku cary:

ds =

√

√

√

√

1 +dz

dx

2dx

Delka cary:

s =∫

sds =

∫ xb

xa

√

√

√

√

1 +dz

dx

2dx

dz

x

z

dsa

b

dx

6


Staticky moment dılku ds k pocatku:

dSz = x ds

Staticky moment cary k pocatku:

Sz =∫

sx ds =

∫ xb

xax

√

√

√

√1 +dz

dx

2dx

Varignonova veta: xt s = Sz

Tedy:

xt =Sz

s, zt =

Sx

s

z

x

dz

dxa

b

ds

sxt

x

7


Teziste vzdy lezı na ose symetrie (je-li nejaka)!

Cara s 2 nebo vıce osami symetrie ma teziste vzdy v jejich

prusecıku.

T T T

8

Teziste slozene rovinne cary

x1

x2

x3

z1 x

z

z3z2xt =

∑

Sz∑

s

zt =

∑

Sx∑

s

9

Teziste rovinneho obrazce (1)

Obrazec tıhove homogennı – tıha

nema vliv na polohu teziste (lze uva-

zovat γ = 1):

Plocha diferencialnıho obsahu:

dA = dx dz

Plocha obrazce:

A =∫ ∫

AdA =

∫

x

∫

ydx dz z

x

z

dA

dx

dy

x

10


Obrazec tıhove homogennı – tıha

nema vliv na polohu teziste (γ = 1).

Tıha elementarnı plosky:

dP = dx dz γ = dA

Staticky moment k ose x:

Sx =∫ ∫

Az dA =

∫ ∫

Az dx dz

Staticky moment k ose z:

Sz =∫ ∫

Ax dA =

∫ ∫

Ax dx dz

x

z

x

z

y

dP=dA

P

11


Vztahy mezi statickym momentem a

plochou:

Sz = A xt

Sx = A zt

Souradnice teziste obrazce:

xt =Sz

A

zt =Sx

A

z

y

P

z

t

t

x

x

12

Teziste obdelnıku (1)

Plocha:

A =∫ d+b

d

∫ c+h

cdx dz = b h

Staticke momenty:

Sz =∫ ∫

Ax dx dz = d +

b

2b h

Staticky moment k ose z:

Sx =∫ ∫

Az dx dz = c +

h

2b h

x

z

y

d

c

h

b

13

Teziste obdelnıku (2)

Souradnice teziste:

xt =Sz

A=

c + h2 b h

b h= c +

h

2

zt =Sx

A=

d + b2 b h

b h= d +

b

2

h

b

y

z

x

ct

tx

z

d

14

Teziste slozeneho obrazce (1)

Plocha:

A =n∑

i=1Ai

Staticke momenty:

Sx =n∑

i=1Sx,i

Sz =n∑

i=1Sz,i

Souradnice teziste obrazce:

xt =Sz

A, zt =

Sx

A

tz

tx

t

t1

2

x

z

15

Teziste slozeneho obrazce (2)

Obrazec s otvorem: plochu otvoru

vezmeme ve vsech vztazıch

zaporne (−Ai, −Si,x = −Ai y,..):

A =n∑

i=1Ai = A1 − A2

Sx =n∑

i=1Sx,i = Sx,1 − Sx,2

Sz =n∑

i=1Sz,i = Sz,1 − Sz,2

xt =Sz

A, zt =

Sx

A

2

1

tz

t

txt

x

z

16

Momenty setrvacnosti (1)

Fyzikalnı velicina. Moment setrvac-

nosti plochy: jednotka m4.

Moment setrvacnosti k ose x:

Ix =∫ ∫

Az2 dA =

∫ ∫

Az2 dx dz

Moment setrvacnosti k ose z:

Iz =∫ ∫

Ax2 dA =

∫ ∫

Ax2 dx dz

Deviacnı moment k osam x, z:

Dxy =∫ ∫

Ax z dA =

∫ ∫

Ax z dx dz

x

z

x

z

y

dP=dA

P

17


Momenty setrvacnosti k tezisti obdelnıka:


Ix =∫ ∫

Az2 dA =

∫ ∫

Az2 dx dz =

1

12b h3


Iz =∫ ∫

Ax2 dA =

∫ ∫

Ax2 dx dz =

1

12b3 h


Dxy =∫ ∫

Ax z dA =

∫ ∫

Ax z dx dz = 0

z

xh

b

18


Momenty setrvacnosti k tezisti kruhu:


Ix = Iz =∫ ∫

Az2 dA =

1

4π r4


Dxy =∫ ∫

Ax z dA = 0

rz

x

Deviacnı moment je u prurezu symetrickych k alespon 1 ose

roven nule.

19


Je vhodne si pamatovat:

• Deviacnı moment je u prurezu symetrickych

k alespon 1 ose roven nule (kruh, obdelnık,

ctverec).

• Momenty setrvacnosti a deviacnı momenty,

ktere jsou spocıtane k tezisti obrazce nazy-

vame centralnı (tj. „centralnı momenty setr-

vacnosti“ a „centralnı deviacnı momenty“).

rz

x

20

Momenty setrvacnostik posunute ose (1)


Iz =∫ ∫

A(x + d)2 dA = Iz,t +A d2.

kde Iz,t je moment setrvacnosti k tezisti

obrazce (t).

Podobne:

Ix = Ix,t +A c2

Dxz = Dxz,t +A c d

b

t

h x

z

t

c

t

d

x

z

21

Momenty setrvacnostik posunute ose (2)

Steinerova veta:

Ix = Ix,t +A c2

Iz = Iz,t +A d2.

Dxz = Dxz,t +A c db

t

h x

z

t

c

t

d

x

z

Vyuzitı: vypocet charakteristik slozenych prurezu.

22

Momenty setrvacnostik posunute ose – prıklad (1)

Stanovte momenty setrvacnosti k bodu s.

Zadanı [m]: b=0,2, h=0,4, c= 0,1, d=0,1.

Veliciny k tezisti prurezu:

Ix,t =1

12b h3 =

1

120, 2 0.43 = 0, 001067m4

Iz,t =1

12b3 h =

1

120, 23 0.4 = 0, 000267m4

Dxz,t = 0m4b

t

t

z

h x

z

s

c

t

d

x

23


Stainerova veta:

Ix = Ix,t +A c2 = 0, 001067 + 0, 08× 0, 12

= 0.001867m4

Iz = Iz,t +A d2 = 0, 000267 + 0, 08× 0, 12

= 0.001067m4

Dxz = Dxz,t +A c d = 0 + 0, 08× 0, 1× 0, 1

= 0, 0008m4

b

t

t

z

h x

z

s

c

t

d

x

24


• Vysledny deviacnı moment k posunute

ose muze byt nenulovy, i kdyz deviacnı

moment k tezisti obrazce (Dxz,t) nulovy

je!

• Mısto napr.:

0.001867m4

je vhodne psat:

1, 867× 10−3 m4

b

t

t

z

h x

z

s

c

t

d

x

25

Slozene obrazce (1)

Prıklady:

• Bezne ocelove prurezy (tvaru I, H, T,...)

• Slozene drevene prurezy

• Betonove prurezy

tz

tx

t

t1

2

x

z

26

Slozene obrazce (2)

Vypocet:

1. Vhodne rozdelıme na casti (viz obr.)

2. Stanovıme polohu teziste

3. Osy prurezu umıstıme do teziste

4. Stanovıme Ix,i, Iz,i, Dxz,i dılcıch ob-

razcu

5. Pomocı Steinerovy vety spocıtame

Ix,t, Iz,t, Dxz,t k osam prochazejıcım

tezistem („centralnı momenty slozeneho

prurezu“)

tz

tx

t

t1

2

x

z

27

Slozene obrazce (3)

Stanovıme polohu teziste:

A =n∑

i=1Ai

Sz =n∑

i=1Ai xti

Sx =n∑

i=1Ai zti

xt =Sz

A

zt =Sx

A

t

t

t1

t

x

z

x

z

22

1

2

1

h

h

b

b

28

Slozene obrazce (4)

Osy prurezu umıstıme do teziste

2

h

h

t1

t

b

x

z

2

1

2

1b

29

Slozene obrazce (5)

Stanovıme Ix,i, Iz,i, Dxz,i dılcıch obrazcu

(zde obdelnıky):

Ix,i =1

12bi h3i

Iz,i =1

12b3i hi

Dxz,i = 0

2

h

h

t1

t

b

x

z

2

1

2

1b

30

Slozene obrazce (6)

Pomocı Steinerovy vety spocıtame

Ix,t, Iz,t, Dxz,t k osam prochazejıcım

tezistem („centralnı momenty slozeneho

prurezu“):

Ix,t =n∑

i=1

[

Ix,i +Ai c2i

]

Iz,t =n∑

i=1

[

Iz,i +Ai d2i

]

Dxz,t =n∑

i=1

[

Dxz,i +Ai ci di

]

z

d x

1

2

t

t

d

2

1c

c

2

1

31

Momenty k pootocenym osam (1)

Jen kvadraticke momenty (I, D).

Pootocenı o uhel α:

x′ = x cosα − z sinα

z′ = x sinα − z cosα

Dosazenı (naprıklad):

Ix′ =∫ ∫

Az′2dA = Ix cos

2α+Iz sin2α+Dxz sin 2α

Tj. k pootocenym osam dostaneme jine

hodnoty momentu.

x

x’

z’

α

z

32

Momenty k pootocenym osam (2)

Jaky musı byt uhel α, aby byly I ′x, I ′z maximalnı?

• Zjistıme podobne jako extrem funkce:

zderivujeme vyrazy pro I ′x, I ′z, D′xz a po-

lozıme rovny nule.

• Zıskame D′xz = 0, tedy I ′x, I ′z jsou ex-

tremnı pro takovy uhel α pro ktery platı:

D′xz = 0.

• Uhel:

tan 2αo =2Dxz

Ix − Iz

x

x’

z’

α

z

33

Hlavnı momenty setrvacnosti (1)

• I ′x, I ′z jsou extremnı (nejvetsı a

nejmensı) pro takovy uhel α pro ktery

platı: D′xz = 0.

• Znacıme I1, I2, vzdy I1 > I2

• „Hlavnı momenty setrvacnosti“

• Vypocıtame z momentu k osam x, z:

I1,2 =1

2

(

(Ix + Iz)±√

(Ix − Iz)2 + 4D2xz

)

• Uhel: tan 2αo =2DxzIx−Iz

nebo tan 2α1 =I1−IxDxz

x

x’

z’

α

z

34

Hlavnı momenty setrvacnosti (2)

„Soucet momentu setrvacnosti ke dvema vzajemne kolmym

osam setrvacnosti se pri otacenı obou os kolem pocatku ne-

menı, zustava konstantnı (nemenny, invariantnı).“

Ix + Iz = I ′x + I ′z = I1 + I2

Hlavnı momenty stanovene k osam prochazejıcım tezistem

prurezu oznacıme hlavnı centralnı momenty setrvacnosti.

35

Polomer setrvacnosti

Polomery setrvacnosti:

ix =

√

√

√

√

Ix

A, iz =

√

√

√

√

Iz

A.

Hlavnı polomery setrvacnosti:

i1 = imax =

√

√

√

√

I1

A, i2 = imin =

√

√

√

√

I2

A.

36

Polarnı moment setrvacnostiMoment setrvacnosti k bodu (polu) o:

Ip =∫ ∫

Ap2 dA

Protoze p2 = x2 + z2:

Ip =∫ ∫

Ax2 + z2 dA = Ix + Iz

Pro kruhovy prurez lze spocıtat cent-

ralnı polarnı moment setrvacnosti:

Ip =1

2π r4

z

x

z

x

y

o

p

P

dP=dA

37

AKULTA STAVEBNI´ F - fast10.vsb.czfast10.vsb.cz/brozovsky/data/sst/p10.pdf · VYSOKA´Sˇ KOLA...

Documents

Transcript of AKULTA STAVEBNI´ F - fast10.vsb.czfast10.vsb.cz/brozovsky/data/sst/p10.pdf · VYSOKA´Sˇ KOLA...