AKCIJŲ PORTFELIO FORMAVIMO MODELIŲ TYRIMAI...Portfelis – subjekto turimas vertybinių popierių...

LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS

EKONOMIKOS IR VADYBOS FAKULTETAS

Apskaitos ir finansų katedra

Aivaras BAGDONAS

AKCIJŲ PORTFELIO FORMAVIMO MODELIŲ TYRIMAI

Magistrantūros studijų baigiamasis darbas

Studijų sritis: Socialiniai mokslai

Studijų kryptis: Vadyba ir verslo administravimas

Studijų programa: Žemės ūkio buhalterinė

apskaita ir finansai

Akademija, 2006

2

Valstybinė kvalifikacinė komisija:

(Patvirtinta Rektoriaus įsakymu Nr.)

Pirmininkas: prof.habil. dr. Vytautas Boguslauskas, Kauno technologijos universitetas

Nariai:

1. Prof. habil. dr. Povilas Domeika, Lietuvos žemės ūkio universitetas

2. E. prof.p. dr. Vilija Aleknevičienė, Lietuvos žemės ūkio universitetas

3. Doc. dr. Astrida Savickienė, Lietuvos žemės ūkio universitetas

4. Doc. dr. Danutė Zinkevičienė, Lietuvos žemės ūkio universitetas

Mokslinė vadovė: doc. dr. N. Žaltauskienė, Lietuvos žemės ūkio universitetas

Recenzentas: e. prof.p. dr. Vilija Aleknevičienė, Lietuvos žemės ūkio universitetas

Katedros vedėja: doc. dr. Danutė Zinkevičienė, Lietuvos žemės ūkio universitetas

Oponentas: lekt. dr. D. Jatkūnaitė

3

TURINYS

SANTRAUKA............................................................................................................................4

SUMMARY ...............................................................................................................................5

PAGRINDINIŲ SĄVOKŲ ŽODYNĖLIS...................................................................................6

ĮVADAS.....................................................................................................................................7

1. VERTYBINIŲ POPIERIŲ PORTFELIO FORMAVIMO TEORINIAI ASPEKTAI ...............9

2. AKCIJŲ PORTFELIO FORMAVIMO MODELIAI .............................................................17

2.1. Markowitz modelis.........................................................................................................17

2.2. Ilgalaikio turto įkainojimo modelis .................................................................................19

2.3. Faktoriniai modeliai .......................................................................................................23

2.3.1. Vienfaktoriniai modeliai ..........................................................................................24

2.3.2. Daugiafaktoriniai modeliai ......................................................................................27

3. AKCIJŲ PORTFELIO FORMAVIMAS LIETUVOJE..........................................................32

3.1. Markowitz modelio sudarymas .......................................................................................32

3.2. Rinkos modelio sudarymas.............................................................................................35

3.3. Daugiafaktorinio modelio sudarymas .............................................................................42

3.4. Akcijų portfelio formavimo modelių palyginimas...........................................................50

IŠVADOS IR PASIŪLYMAI ...................................................................................................53

LITERATŪROS SĄRAŠAS.....................................................................................................55

PRIEDAI ..................................................................................................................................57

4

SANTRAUKA

Aivaras BAGDONAS

Akcijų portfelio formavimo modelių tyrimai

Magistro studijų baigiamasis darbas, 54 puslapiai, 20 paveikslų, 12 lentelių, 41

literatūros šaltiniai, 6 priedai, lietuvių kalba.

RAKTINIAI ŽODŽIAI – vertybiniai popieriai, akcijos, portfelis, modelis.

Tyrimo objektas – akcijų portfelio formavimo modeliai.

Tyrimo tikslas – išnagrinėti akcijų portfelio formavimo modelius bei jų pritaikomumą

Lietuvos sąlygomis. Šiam tikslui pasiekti numatoma išspręsti šiuos uždavinius:

• išanalizuoti vertybinių popierių portfelio formavimo teorinius aspektus;

• išnagrinėti šiuolaikinius akcijų portfelio formavimo modelius;

• sudaryti akcijų portfelio formavimo modelius ir įvertinti jų pritaikomumą

Lietuvos sąlygomis.

Tyrimo metodai – statistinis, monografinis, dedukcija ir indukcija.

Tyrimo laikotarpis – 2001 – 2005 metai.

5

SUMMARY

Aivaras BAGDONAS

Research of the Models of Shares Portfolio Formation

Final work of Master Studies, 54 pages, 20 figures, 12 tables, 41 references, 6 appendix,

lietuvių kalba.

KEY WORDS – securities, stock, portfolio, models.

Research object – stock portfolio formatting models.

Research aim - to analyze stock portfolio formatting models and their adaptability under

conditions of Lithuania.

Objectives:

• to research theoretical aspects of securities portfolio formatting;

• to explore modern stock portfolio formatting models;

• to construct stock portfolio formatting models under conditions of Lithuania.

Research methods - statistical, monographic, deduction and induction.

6

PAGRINDINIŲ SĄVOKŲ ŽODYNĖLIS

Akcija – akcinės bedrovės išleidžiamas nuosavybės vertybinis popierius, pažymintis akcijos

turėtojo (savininko, akcininko) dalį akcinės bedrovės kapitale ir patvirtinantis jo teisę dalyvauti

valdant įmonę ir gauti pelno dalį dividendais, taip pat likviduojamos įmonės dalį.

…

Portfelis – subjekto turimas vertybinių popierių rinkinys.

…

Vertybiniai popieriai – nuosavybę, skolą, teisę ar įsipareigojimą patvirtinantys dokumentai:

akcijos, obligacijos, vekseliai ir kt.

…

Rizika – nepageidaujamo rezultato tikimybė.

…

Modelis – pavyzdys, pagal kurį kas nors gaminama, kuriama, tiriama[38].

7

ĮVADAS

Finansinės investicijos tikslas pelnas. Rinkos ekonomikos sąlygomis pelno siekimas, kaip

,žinia, betarpiškai susijęs su rizika. Todėl investuojančių į vertybinius popierius įmonių

finansininkams reikia palyginti daromos investicijos norimo pelningumo lygį su investicine

rizika. Tai gana sudėtingas uždavinys bet kuriuo atveju ir ypač mūsų, t.y. besivystančios,

augančios vertybinių popierių rinkos sąlygomis. Investavimas į augančias rinkas visada siejamas

su didesne rizika.

Investicinio portfelio formavimui yra naudojami taip vadinami vertybinių popierių

portfelio formavimo modeliai, kurių pagalba galima nustatyti optimalų vertybinių popierių

portfelį, šių modelių pritaikomumas Lietuvos sąlygomis nėra labai plačiai nagrinėjamas Lietuvos

autorių darbuose, tai ir paskatino mane imtis šios temos.

Šiame darbe pamėginsime plačiau išnagrinėti šių modelių pritaikymą Lietuvos

sąlygomis.

Tyrimo objektas – akcijų portfelio formavimo modeliai.

Tyrimo tikslas – išnagrinėti akcijų portfelio formavimo modelius bei jų pritaikomumą

Lietuvos sąlygomis. Šiam tikslui pasiekti numatoma išspręsti šiuos uždavinius:

• išanalizuoti vertybinių popierių portfelio formavimo teorinius aspektus;

• išnagrinėti šiuolaikinius akcijų portfelio formavimo modelius;

• sudaryti akcijų portfelio formavimo modelius ir įvertinti jų pritaikomumą Lietuvos

sąlygomis

Tyrimo metodika.

Naudojant monografinį, dedukcijos ir indukcijos metodus išanalizuoti vertybinių popierių

portfelio formavimo pagrindai, Išnagrinėtos mokslinėje ekonominėje literatūroje pateikti

vertybinių popierių portfelio formavimo modeliai.

Grafinio, lyginimo būdo pagalba išanalizuotas optimalaus vertybinių popierių portfelio

pasirinkimas.

Statistinio metodo pagalba išanalizuoti pagrindiniai akcijų portfelio formavimo modeliai.

Lyginimo, detalizavimo ir apibendrinimo, koeficientų būdais ištirtas akcijų portfelio

formavimo modelių sudarymas.

Pasinaudojus koreliacinės – regresinės analizės, indeksų, grafinio, dispersinės analizės,

eliminavimo, lyginimo, detalizavimo ir apibendrinimo būdais patikrintas akcijų portfelio

formavimo modelių pritaikomumas Lietuvos sąlygomis.

8

Studijuojant Lietuvos bei kitų šalių mokslinę bei metodinę ekonominę literatūrą apie

akcijų portfelio formavimo modelius, atlikus loginę analizę ir sintezę nustatyta, kad akcijų

portfelio formavimui dažniausiai naudojami Markowitz, rinkos ir daugiafaktoriniai modeliai.

Tyrimo laikotarpis – 2001 – 2005 metai.

Tyrimo rezultatai buvo publikuoti studentų mokslinėje konferencijoje „Jaunasis

mokslininkas 2006“ straipsnyje „Vertybinių popierių portfelio sudarymas ir valdymas

Lietuvoje“.

9

1. VERTYBINIŲ POPIERIŲ PORTFELIO FORMAVIMO TEORINIAI ASPEKTAI

Kiekvienas vertybinių popierių rinkos instrumentas, pvz., akcija, atstovauja konkretų

emitentą. Nuo pastarojo esamos ir būsimos finansinės padėties priklauso esama ir būsima

emitentą atstovaujančio vertybinio popieriaus rinkos kaina, o tuo pačiu ir to vertybinio

popieriaus pelningumo lygis. Pirkdamas vieno, o dažniausiai kelių skirtingų emitentų vertybinius

popierius, investuotojas ateityje tikisi gauti tam tikro dydžio (investuotojo pageidaujamą) pelno

normą. Tačiau niekas nežino kas ir kaip bus ateityje. Investuotojas dažniausiai priverstas veikti

ateities požiūriu nepatikimoje ūkinės veiklos aplinkoje. Todėl jis niekada nėra visiškai (pilnai)

apsaugotas nuo šiandieną daromos investicijos galimų nuostolių ateityje. Tai reiškia, priimdamas

investicinį sprendimą investuotojas, beveik visada daugiau ar mažiau rizikuoja negauti

investavimo metu pageidaujamo rezultato. Trumpai tai vadinama investicine rizika[9].

Įvairūs autoriai rizikai įvertinti siūlo įvairius metodus. Nuo metodų parinkimo priklauso

ir reikiamos informacijos apimtis bei sudėtis. Kai kurie ekonomistai rizikai įvertinti siūlo

jautrumo bei vertybinių popierių portfelio metodus. Vienas paprasčiausių investicijų į

vertybinius popierius rizikos įvertinimo metodų, kurį pripažįsta daugelis ekonomistų yra

vertybinio popieriaus pelningumo standartinio nuokrypio skaičiavimas. Pagrindas skaičiuoti šį

rodiklį, o kartu įvertinti riziką, yra patikimos informacijos apie vertybinių popierių pelningumą

surinkimas ir jos analizė[39, 5].

Investicijų į akcijas pelningumas paprastai yra išreiškiamas per metus investuotojo gautų

pinigų ir rinkos kainos pasikeitimo suma arba jų santykiu su investicijomis. Kadangi tiek grynųjų

pinigų įplaukos, tiek ir kapitalo augimas traktuojami kaip gaunamas pelnas, tai jie sujungiami.

Taigi investuotojo gaunamas pelnas gali būti apskaičiuotas taip:

( )1-t

1-tt

kaina Rinkoskaina Rinkos - kaina Rinkos Dividendai

Pelnas+

=

Jei norime iš anksto priimti sprendimą, tiksliai nežinome, kokios bus pajamos,

dividendai, rinkos kainų pasikeitimai, todėl kiekvienas šių dydžių turi būti įvertintas kaip

galimybių skirstinys. Taip įvertinami ir galimi dividendai, ir kapitalo augimas ir mažėjimas.

Taigi ir mūsų vertinamas pelnas yra laukiamas. Jis yra matomas kaip galimybių tikimybės

skirstinys, nors suprantama, kad realiai bus tik viena iš šių galimybių[34, p. 128].

Suprantama, busimąjį akcijų pelną neįmanoma prognozuoti. Galima remtis tik ankstesniu

akcijų pelnu. Buvusių pajamų duomenis galima naudoti kaip informaciją apie ateities galimybes

(jei nėra patikimesnės informacijos). Tačiau to negalima sutapatinti: praeitis žinoma, o ateitis

nežinoma. Iš esmės praeities ir ateities sugretinimo problema filosofiškai sudėtinga. Tam, kas jau

įvyko, turėjo įtakos mūsų pastangos, kurios ateityje nuolat keisis. Taigi nepastovumas praeityje

10

nėra adekvatus rizikos matas ateityje, ir ateities sprendimai turi remtis sisteminiu požiūriu į

atskirus įvykius bei dialektiniu praeities, ir ateities sąveikos suvokimu[34, 20].

Sakykime, kad turime tokius duomenis apie galimus pelningumus.

1 lentelė

Akcijų planuojamo pelningumo apskaičiavimas

(1)

Galimas pelningumas

(2)

Tikimybė (1) x (2)

0,60 0,4 0,24

0,15 0,2 0,03

0,05 0,2 0,01

-0,15 0,2 -0,03

Iš viso 1 0,25

Vienos akcijos laukiamas pelningumas yra apskaičiuojamas pagal tokią formulę:

∑ ×==

m

kkki PRPr

1, (1)

čia ri – laukiamas i – tosios akcijos pelningumas;

PRk – laukiamas pelningumas duotai galimybei Pk;

Pk – tikimybė, jog gautas laukiamas pelningumas;

m – tikimybių skaičius.

Šiuo atveju i – tosios akcijos laukiamas pelningumas bus:

Akcijų portfelio planuojamas pelningumas skaičiuojamas kaip atskirų akcijų planuojamų

pelningumų svertinis vidurkis. Įvertinama kiekvienos akcijos procentinė dalis (svoris) bendroje

investuojamų lėšų sumoje, kuri atitinka portfelio vertę (100 proc.).

Akcijų portfelio pelningumas yra atskirų portfelio sudedamųjų dalių laukiamo

pelningumo svertinis vidurkis. Jis apskaičiuojamas pagal formulę:

(2)

čia ri – i-tųjų akcijų pelningumas;

n – visų akcijų kiekis portfelyje;

xi – i-tųjų akcijų lyginamoji dalis, išreiškiama jiems pirkti išleistų pinigų santykiu su

bendra akcijoms pirkti išleistų pinigų suma, kur Σ xi = 1.

.25)15(2,052,0152,0604,0 procri =−×+×+×+×=

,1

i

n

iip xrr ×∑=

=

11

2 lentelė

Keturių įmonių akcijų portfelio planuojamas pelningumas

Įmonės Laukiamas

pelningumas

Investuotų į įmonių akcijas

pinigų suma Lt

Svoris

1 0,60 40 000 0,4

2 0,15 20 000 0,2

3 0,05 20 000 0,2

4 -0,15 20 000 0,2

Iš viso 100 000 1,0

Laukiamas pirmoje lentelėje pateikto akcijų portfelio pelningumas:

Kad išmatuoti kiekvienos akcijos riziką panaudosime jo laukiamų pelningumų variaciją

(standartinį nuokrypį). Statistiškai, variacija parodo laukiamų pelningumų dispersiją aplink jų

vidurkį. Kuo didesnė laukiamų pelningumų dispersija, tuo didesnė rizika ir didesnė variacija, ar

standartinis nuokrypis. Todėl variacija yra logiškas bei tinkantis vertybinio popieriaus rizikos

matas[2,21]. Kad paskaičiuoti kiekvienos akcijos laukiamą standartinį nuokrypį gali būti

panaudota sekanti formulė:

(3)


ir - vidutinis laukiamas i – tosios akcijos pelningumas;

Pr – tikimybė, kad bus laukiamas konkretus pelningumas

Portfelio rizika – jei portfelio pelningumą galima apskaičiuoti taikant paprastą svertinį

vidurkį, tai standartinių nukrypimų vidurkis neskaičiuojamas portfelio rizikai nustatyti, nes būtų

ignoruojamas koreliacinis ryšys tarp vertybinių popierių, todėl tų duomenų, kurie tiko pavienio

turto rizikai nustatyti jau per maža norint nustatyti portfelio riziką[8]

Formuojant vertybinių popierių portfelį, jame gali būti ir rizikingų vertybinių popierių.

Tačiau kaip opozicija jiems turi būti įgyjami ir tokie vertybiniai popieriai, kurių pelningumo

koreliacija su rizikingais vertybiniais popieriais yra labai maža arba neigiama. Jeigu vertybinių

popierių portfelyje yra skirtingų vertybinių popierių, bet iš vienos ūkio šakos, tai tarp jų bus

didelis koreliacinis ryšys.

Taigi diversifikaciją arba investicijų į įvairius vertybinius popierius sąvoka yra viena

svarbiausių sudėtinių vertybinių popierių portfelio formavimo dalių. Diversifikacija reiškia, kad

tiktai įvairių firmų ir pramonės sektorių akcijos gali sumažinti portfelio riziką. Tais atvejais, kai

.25)15(2,052,0152,0604,0 procrp =−×+×+×+×=

( ) ,2

1rii

n

ii Prr −∑=

=δ

12

akcijų poros koreliacijos koeficientas yra neigiamas, kruopščiai paskirstant investuojamas lėšas,

portfelio rizikos galima visiškai išvengti. Statistinis koreliacijos koeficientas įvertina ryšių tarp

kintamųjų dydžių lygį ir kryptį. Todėl jei norima, kad vertybinių popierių portfelis būtų

veiksmingas, akcijas reikia pasirinkti tokių bendrovių, kurios turi skirtingas charakteristikas[5].

Analizuojant tiek Lietuvos, tiek užsienio autorių literatūrą yra išskiriami trys pagrindiniai

akcijų portfelio formavimo modeliai:

• Markowitz modelis;

• Rinkos modelis;

• Faktoriniai modeliai.

Visų šių modelių tikslas yra tas pats t.y. surasti efektyvių vertybinių popierių portfelių

aibę. H. Markowitz buvo pirmasis pasiūlęs “efektyvaus portfelio” terminą. Efektyvus portfelis

apibūdinamas kaip portfelis, kuris turi mažiausią riziką duotam pelningumui arba didžiausią

pelningumą duotam rizikos lygiui. Investuotojai gali nustatyti efektyvius portfelius, apibrėžiant

laukiamą portfelio pelningumą bei minimizuojant portfelio riziką šiame pelningumo lygyje. Arba

kitaip, jie gali nusistatyti portfelio rizikos lygį, kurį jie pasiruošę prisiimti ir maksimizuoti

laukiamą portfelio pelną šiame rizikos lygyje[16,14].

Labiausiai tinkamo investicinio portfelio parinkimui, gali būti panaudotos taip vadinamos

abejingumo kreivės. Šios kreivės atspindi investuotojo požiūrį į riziką ir pelningumą. Tai

nesunku pavaizduoti grafiškai, kur horizontali ašis būtų rizika (standartinis nuokrypis) (σp), o

vertikali ašis planuojamas pelningumas (rp).

1 pav. Abejingumo kreivių grafikas[35, 32]

Rizika (σp)

Plan

uoja

mas

pel

ning

umas

(

)

I1

I2 I3

A

C

D

B

10% 20%17%

11%

14%

12%

8%7%

13

Kiekviena kreivė grafike, atspindi atspindi vieną investuotojo abejingumo kreivę ir

parodo visas kombinacijas portfelių, kurie užtikrina norimą pelningumą. Pavyzdžiui,

investuotojui, investiciniai portfeliai A ir B pavaizduoti vienoje abejingumo kreivėje I2, yra

vienodos vertės, nors jie turi skirtingus rizikos bei pelningumo dydžius. Portfelio B rizika yra

didesnė (20 proc.), negu portfelio A (10 proc.), todėl jis yra mažiau priimtinas rizikingumo

požiūriu. Tačiau šis trūkumas yra kompensuojamas didesniu pelningumo lygiu (12 proc.), o

portfelio A (8 proc.). Šis pavyzdys padeda suprasti pirmą abejingumo kreivių savybę:

investuotojui, visi investiciniai portfeliai, esantys ant tos pačios abejingumo kreivės, yra

vienodos vertės.

2 pav. Susikertančios abejingumo kreivės[35, 32]

Dar viena abejingumo kreivių savybė yra ta, kad abejingumo kreivės negali kirstis. Tam

kad, įsitikintume tuo, tarkim, kad susikirto dvi abejingumo kreivės I1 irI2. Atsiradusį susikirtimo

tašką pavadinkime X. Kadangi vienoje ir kitoje abejingumo kreivėse esantys investiciniai

portfeliai yra vienodi, tai taškas X priklauso abiems kreivėms ir yra vienodos vertės. Kadangi X

priklauso tiek I2 tiek I1 kreivėms, reiškiasi, jog visi portfeliai esantys ant I2 ir I1 kreivės yra

vienodai vertingi, o taip būti negali, nes kreivės skiriasi, ir atspindi visai skirtingus investuotojo

poreikius rizikos ir pelningumo atžvilgiu. Tokiu būdu, tam, kad nebūtų prieštaravimų

abejingumo kreivės negali kirstis.

Nors investiciniai portfeliai A ir B yra vienodos vertės, tačiau investuotojas turėtų rinktis

investicinį portfelį C, kurio laukiamas pelningumas yra 11 proc., o rizika 14 proc. Investicinis

portfelis C yra pelningesnis nei portfelis A ir B. Tai paaiškinama tuo, jog portfelis C yra ant

abejingumo kreivės I3, kuri yra aukščiau ir kairiau negu abejingumo kreivė I2. Tokiu būdu,

portfelis C turi didesnį laukiamą pelningumą, negu portfelis A, tai kompensuoja jo didesnę

riziką, ir todėl jis yra patrauklesnis. Analogiškai portfelis C turi mažesnę riziką, negu portfelis B,

Rizika (σp)

Plan

uoja

mas

pel

ning

umas

(

)

I1I2

X

rp

rp

14

tai kompensuoja jo mažesnį laukiamą pelningumą, ir todėl jis yra šiek tiek patrauklesnis negu

portfelis B. Šią situaciją paaiškina trečia abejingumo kreivių savybė, kuri teigia, kad

investuotojas visada rinksis tą investicinį portfelį, kurio abejingumo kreivė yra aukščiau ir

kairiau, lyginant su kitomis abejingumo kreivėmis.

Kaip elgtis, jeigu egzistuoja begalinis skaičius galimų investicinio portfelio pasirinkimo

variantų. Ar reikia investuotojui įvertinti visus tuos variantus? Investuotojas turi išnagrinėti tiktai

dalį galimų variantų. Tai teigia efektyvaus pasirinkimo teorema. Pagal šią teoremą, investuotojas

pasirenka optimalų investicinį portfelį iš daugelio variantų, kuris:

• užtikrina maksimalų pelningumą prie tam tikro nustatyto rizikos lygio;

• užtikrina minimalią riziką prie tam tikro laukiamo pelningumo.

Investiciniai portfeliai atitinkantys šias sąlygas vadinami efektyvia aibe arba efektyvia

riba. 8 paveiksle pavaizduotas galimo pasirinkimo pavyzdys. Galimas pasirinkimas – tai daug

galimų variantų iš kurių gali būti išskirtas efektyvus pasirinkimas. Tai reškia, jog visi

investiciniai portfeliai, kuriuos galima suformuoti iš N akcijų gali būti pavaizduoti “galimo

pasirinkimo” ribose arba ant tos pačios ribos (šiuo atveju tai akcijų portfeliai pažymėti raidėmis

G,E,S ir H). Bendru atveju duotas pasirinkimas turės “lietsargio” formą. Priklausomai nuo

pasirinktų akcijų, forma gali būti pasislinkus į kairę arba į dešinę , arba aukščiau ar žemiau,

tačiau ji vis tiek liks panaši į formą pavaizduotą 8 paveiksle.

3 pav. Galimas ir efektyvus pasirinkimas[32, 35]

Pavaizdavus “galimą pasirinkimą”, reikia pabrėžti “efektyvų pasirinkimą’. Iš pradžių

reikia atrinkti tuos akcijų portfelius, kurie atitinka pirmą, efektyvaus pasirinkimo teoremos

Rizika (σp)

Plan

uoja

mas

pel

ning

umas

(rp)

E

H

S

G

15

sąlygą. Pažiūrėjus į paveikslą, galime pamatyti, jog nėra mažiau rizikingo akcijų portfelio už E

portfelį. Tai galima paaiškinti tuo, jog per tašką E nubrėžus vertikalią tiesę, nei vienas “galimo

pasirinkimo” taškas nebus kairiau už tiesę. Taip pat, nėra rizikingesnio akcijų portfelio už H

portfelį, nes per tašką H nubrėžus vertikalią tiesę, nei vienas “galimo pasirinkimo” taškas nebus

dešiniau už tiesę. Taigi, vertybinių popierių portfelių, užtikrinančių maksimalų pelningumą prie

besikeičiančios rizikos, pasirinkimas galimas prie viršutinės “galimo pasirinkimo” ribos tarp

taškų E ir H.

Nagrinėjant antrą, efektyvaus pasirinkimo teoremos sąlygą, matome jog nėra akcijų

portfelio, kuris užtikrintų didesnį pelningumą nei portfelis S. Taip yra todėl, kad nei vienas

“galimo pasirinkimo” taškas nebus aukščiau už per tašką S išvestos horizontalios tiesės.

Analogiškai dėl tų pačių priežasčių, nėra tokio akcijų portfelio, kurio pelningumas būtų mažesnis

už G portfelį. Taigi, vertybinių popierių portfelių, užtikrinančių minimalią riziką prie

besikeičiančio pelningumo, pasirinkimas galimas prie dešinės “galimo pasirinkimo” ribos tarp

taškų S ir G[28].

Iš akcijų portfelių sudarančių “efektyvų pasirinkimą”, investuotojas rinksis sau optimalų

portfelį. Visi kiti likę akcijų portfeliai sudarys “neefektyvų pasirinkimą”.

4 pav. Optimalaus vertybinių popierių portfelio pasirinkimas[32, 35]

Kaip investuotojas pasirinks optimalų portfelį ? Investuotojas “efektyvaus pasirinkimo”

grafike turi nubrėžti abejingumo kreives. Šis portfelis atitiks tašką, kuriame abejingumo kreivė

liečiasi su “efektyviu pasirinkimu”. Šiuo atveju tai bus portfelis 0, kuris yra ant I2 abejingumo

Rizika (σp)

Plan

uoja

mas

pel

ning

umas

(rp)

I1I2I3

E

H

O

S

G

16

kreivės. Be abejo, investuotojas rinktųsi akcijų portfelį esantį ant kreivės I3, tačiau toks portfelis

šiuo atveju neegzistuoja, nes ši kreivė nesikerta su “galimo pasirinkimo” užimamu plotu.

Investuotojas linkęs mažiau rizikuoti, abejingumo kreivėje, optimalų akcijų portfelį pasirinks

arčiau taško E, o tas, kuris mėgsta rizikuoti, optimalų portfelį pasirinks arčiau taško S[35, p.

173].

Investuotojas, turėdamas efektyvių portfelių aibę bei nusibrėžęs abejingumo kreives gali

matyti su kokia rizika jis susidurs jei investuos norėdamas gauti atitinkamą akcijų portfelio

pelningumą.

Tam, kad nustatyti efektyvių portfelių aibę gali būti panaudoti trys anksčiau minėti akcijų

portfelio formavimo modeliai.

Sekančiame skyriuje išnagrinėsime pagrindinius šiuolaikinius akcijų portfelio formavimo

modelius, kurių pagalba galima surasti efektyvių portfelių aibę ir toliau nustatyti investuotojui

labiausiai priimtiną optimalų akcijų portfelį.

Trumpai apibendrinant šį poskyrį galima padaryti tokias išvadas:

• akcijų pelningumas yra laukiamas akcijos pelningumas prie tam tikro rizikos lygio;

• akcijų rizikai įvertinti šiuolaikinėje portfelio teorijoje yra naudojamas standartinis

nuokrypis;

• investuotojo požiūrį į riziką ir pelningumą atspindi abejingumo kreivės, jis visada rinksis

ta akcijų portfelį, kurio abejingumo kreivė yra aukščiau ir kairiau, lyginant su kitomis

abejingumo kreivėmis;

• investuotojas visada rinksis tą akcijų portfelį, kuris patenka į efektyvių portfelių aibę;

• optimalus portfelis bus tas, kuris bus tame taške, kuriame investuotojo abejingumo kreivė

bus liestinė su efektyvumo aibės kreive.

17

2. AKCIJŲ PORTFELIO FORMAVIMO MODELIAI

Moderniosios portfelio teorijos pradininku laikomas Harry Markowitz, kuris 1952 metais

parašė straipsnį “Portfelio sudarymas”. Markowitz pirmasis matematiškai pagrindė, kaip

portfelio diversifikacija mažina portfelio riziką. Dauguma vertybinių popierių portfelių valdytojų

remiasi moderniąja portfelio teorija, todėl šiame darbe didžiausias dėmesys bus skirtas šios

teorijos analizei.

2.1. Markowitz modelis

Markowitz modelis yra klasikinis finansinių instrumentų portfelio modelis. Šį modelį

šeštajame dešimtmetyje pasiūlė Harry Markowitz. Jo modeliu pagrįsta šiuolaikinė portfelio

teorija. Anksčiau, nors investuotojai suvokė rizikos sąvoką, tačiau jos nematavo.

Markowitz buvo pirmas kuris formaliai išvystė portfelio diversifikacijos sąvoką. Jis

kiekybiškai parodė, kodėl, ir kaip, portfelio diversifikacija mažina vertybinių popierių portfelio

riziką. Markowitz siekė sudėlioti egzistuojančias idėjas ir praktikas į labiau formalią sistemą ir

atsakyti į pagrindinį klausimą: Ar portfelio rizika yra lygi sumai visų vertybinių popierių rizikų

sudarančių vertybinių popierių portfelį? Markowitz taip pat buvo pirmas, kuris išvystė specifinį

vertybinių popierių portfelio rizikos matą ir nustatė laukiamą vertybinių popierių portfelio

pelningumą bei riziką. Jo modelis yra paremtas laukiamu vertybinių popierių pelningumu ir

rizika[7].

Norint nustatyti efektyvių portfelių aibę, yra būtina apskaičiuoti kiekvieno vertybinių

popierių portfelio laukiamą pelningumą ir pelningumo standartinį nuokrypį[9].

Markowitz padarė keletą prielaidų, kad investuotojai:

1. Mėgsta pelną ir vengia rizikos;

2. Sprendimus priima racionaliai;

3. Daro sprendimus, kad maksimizuotų būsimą naudą. Investuotojo nauda yra planuojamo

pelningumo ir rizikos funkcija[12].

Tačiau pats Markowitz manė, kad realybėje prie tam tikrų sąlygų investuotojas teiks

pirmenybę neefektyviam portfeliui. Markowitz modelis yra pagrįstas planuojamo pelningumo ir

rizikos sąvokomis. Markowitz modeliui reikalingi tam tikri duomenys:

1. Planuojamas kiekvienos akcijos pelningumas, rp;

2. Standartinis pelningumų nukrypimas, σ, kaip kiekvienos akcijos rizikos matas;

3. Kovariacija – akcijų pelningumų normų santykio matas[15, p. 329]

18

Nors akcijų portfelio laukiamas pelningumas yra apskaičiuojamas kaip svertinis vidurkis

kiekvienos akcijos laukiamų pelningumų sudarančių tą portfelį, akcijų portfelio rizika nėra

svertinis vidurkis individualių akcijų rizikų.

(4)

čia δp, δi, δj–atitinkamai portfelio, akcijos i ir j laukiamo pelningumo standartinis nukrypimas;

xi, xj – atitinkamai investicijų į akcijas i ir akcijas j lyginamoji dalis;

pij – koreliacijos koeficientas tarp i ir j akcijų laukiamų pelningumų kintamumo.

Portfelio rizika priklauso ne vien tik nuo svertinių individualių akcijų vidurkių įeinančių į

akcijų portfelį, bet ir nuo ryšių, t.y. kovariacijos tarp akcijų pelningumo[1, 30].

Taip pat reikėtų apibrėžti du pagrindinius portfelio rizikai skaičiuoti naudojamus

rodiklius kovariaciją ir koreliaciją.

Kovariacija – tai absoliutus (ne santykinis) asociacijos laipsnio tarp dviejų instrumentų

pelningumų rodiklis. Kovariacija yra dydis, kuriuo per tam tikrą laiko tarpą du kintamieji (pvz.,

pelningumai) kovarijuoja (juda kartu). Kovariacija gali būti:

• teigiama, kai dviejų akcijų pelningumai tuo pačiu metu juda ta pačia kryptimi;

• neigiama, kai dviejų akcijų pelningumai juda priešingomis kryptimis;

• nulinė, kai dviejų akcijų pelningumai yra nepriklausomi.


ir – vidutinis laukiamas i – tosios akcijos pelningumas;

rj- laukiamas j – tosios akcijos pelningumas;

jr - vidutinis laukiamas j – tosios akcijos pelningumas;

Pr – tikimybė, kad bus laukiamas konkretus pelningumas.

Kad būtų galima apskaičiuoti kovariacijų tarp akcijų efektą, reikia nustatyti koreliacijos

koeficientą tarp akcijų instrumentų (i ir j) poros. Koreliacijos koeficientas (rij) yra statistinis

santykinio dydžio, kuriuo susiję dviejų akcijų pelningumai, matas[10,34].

čia δi, δj – atitinkamai portfelio, akcijos i ir j laukiamo pelningumo standartinis nukrypimas;

ir – vidutinis laukiamas i – tosios akcijos pelningumas;

jr - vidutinis laukiamas j – tosios akcijos pelningumas;

,22222jiijjijjiip pxxxx δδδδδ ++=

( ) ( ) ( ) ,,1

rjj

n

iiiji PrrrrrrCov ×−×∑ −=

=(5)

.ji

jijiij

rrrrp

δδ−

= (6)

19

Jis matuoja koks yra linijinis bendrakryptis dviejų dydžių judėjimas. Koreliacijos

koeficiento ribos yra nuo + 1.0 (tobula teigiama koreliacija) iki –1.0 (tobula neigiama

(atvirkštinė) koreliacija). Rezultatas 0,0 reiškia, kad koreliacijos nėra (nulinė koreliacija).

Ryšys tarp koreliacijos ir kovariacijos yra toks:

( ) jiijji prrCov σσ=, ,

čia δi, δj – atitinkamai portfelio, akcijos i ir akcijos j laukiamo pelningumo standartinis

nukrypimas;

pij – koreliacijos koeficientas tarp akcijų i ir j pelningumo.

Dažnai akcijų portfelis formuojamas iš daugiau negu dviejų įmonių akcijų. Tuomet rizika

apskaičiuojama pagal šią formulę:

čia δp, δi, δ –atitinkamai portfelio, akcijos i ir j laukiamo pelningumo standartinis nukrypimas;

xi, xj – atitinkamai investicijų į akcijas i ir akcijas j lyginamoji dalis;

pij – koreliacijos koeficientas tarp i ir j akcijų laukiamų pelningumų kintamumo.

Tobulos teigiamos koreliacijos atveju vienos įmonės akcijų elgesys tiksliai leis spėti

investuotojui apie kitos įmonės akcijų elgesį. Tobulai neigiama koreliacija taip pat leidžia

numatyti iš vienos akcijos pelningumo elgsenos kitos pelningumo elgseną. Nulinės koreliacijos

atveju nėra jokio ryšio tarp dviejų įmonių akcijų pelningumų ir žinant apie vieno įmonės akcijų

pelningumą, nieko negalima spėti apie kitos įmonės akcijų pelningumą [1,40,41].

Markowitz modelis nenustato optimalaus investuotojui portfelio, jis tik apibrėžia

efektyvią ribą, kurioje visi portfeliai yra optimalūs. Pagrindinė Markowitz modelio problema yra

ta, kad jam reikia apskaičiuoti visų portfelio akcijų pelningumų kovariacijas tarp visų akcijų. Kol

Markowitz modelis nebuvo supaprastintas, jis liko daugiausia teorija.

2.2. Ilgalaikio turto įkainojimo modelis

Investicijų į vertybinius popierius rizika skirstoma į sisteminę (nediversifikuojamą) riziką

ir nesisteminę (diversifikuojamą) riziką. Nesisteminės rizikos lygį galima sumažinti didinant

vertybinių popierių portfelio diversifikavimo laipsnį. Teoriškai, maksimaliai diversifikuotas

vertybinių popierių portfelis, o tuo pačiu ir mažiausias investicijų į tokį portfelį nesisteminės

rizikos lygis bus tada, kai į portfelį bus įtraukti visi vertybinių popierių biržos sąraše esantys

vertybiniai popieriai[27].

Norint suprasti kaip vertybių popierių portfelio dydis įtakoja jo riziką, paanalizuokime 1

paveikslą.

.1 1

ijjij

n

i

n

jip pxx δδδ ∑ ∑=

= =

(8)

(7)

20

5 pav. Sisteminė ir nesisteminė rizika[14]

Lenkta kreivė vaizduojanti bendrą riziką, leidžiasi žemyn, diversifikuojant paketą. Tačiau

ji nusileidžia tik iki tam tikro lygio – rizikos visiškai išvengti diversifikacijos būdu neįmanoma.

Bendroji rizika = Sisteminė (nediversifikuota) + Nesisteminė (diversifikuota)

Investuotojų vertybinių popierių rizika susijusi su galimu laukiamų pajamų sumažėjimu.

Akcijų pelningumas priklauso nuo akcijų rinkos kainų svyravimų ir mokamų dividendų dydžio.

Pastaruosius veiksmus įtakoja akcijų emitento pinigų srautų pasikeitimas. Tuo būdu, kuo

didesnis neapibrėžtumas dėl įmonės būsimų pinigų srautų, tuo didesnę riziką patiria

investuotojas pirkdamas tokios įmonės akcijas. Tačiau atskirų įmonių pinigų srautus įtakoja

dažnai skirtingi veiksmai. Norint apskaičiuoti sisteminės rizikos įtaką, tenka iš visų įmonės

būsimus srautus įtakojančių veiksnių atskirti sisteminės rizikos veiksnius[26].

Investicinėje veikloje sisteminės rizikos veiksniams dažniausiai priskiriami

makroekonominiai veiksniai, kurie įtakoja kompanijų būsimų pinigų srautų pasikeitimą. Atskira

bendrovė negali išvengti ar pakeisti tokių veiksnių poveikio. Ekonomikos smukimas, infliacija,

mokesčių pakeitimas ir pan., paveiks visą vertybinių popierių rinką, kurios pasikeitimo

neįmanoma išvengti vertybinių popierių portfelio diversifikavimo pagalba. Todėl tokie veiksniai

priskiriami sisteminės rizikos veiksnių grupei.

1960 m. Stenfordo universiteto profesorius William Sharpe sukūrė Ilgalaikio turto

įkainojimo modelį (Capital Asset Pricing Model). Tai modelis skirtas rizikos analizei. Be to, jis

dažnai taikomas priimant su investavimu susijusius sprendimus.

Ilgalaikio turto įkainojimo modelis gali būtu išvestas padarius tokias prielaidas:

• visi investuotojai disponuoja vienoda informacija;

• investuotojai domisi tik rizika ir įplaukomis;

• vertybinių popierių pirkimui ir pardavimui nėra jokių komisinių;

• kiekvienas investuotojas gali investuoti arba skolinti standartine nerizikinga

norma;

• investuotojų sprendimai nepriklauso nuo mokesčių[30].

Vertybinių popierių skaičius portfelyje

Vertybiniųpopierių

portfelio rizika

Bendroji rizika

Nesisteminė rizika

Sisteminė rizika

21

Ilgalaikio turto įkainojimo modelis numato ryšį tarp kiekvienos akcijos pelningumo ir

rizikos. Kai rinkoje yra pusiausvyra, akcijų planuojamas pelningumas yra tiesiai proporcingas

sisteminei rizikai – rizikai, kurios investuotojas neišvengia diversifikuojant portfelį. Kuo didesnė

sisteminė rizika, tuo didesnio akcijos pelningumo tikisi investuotojas. Taikant šį metodą, yra

nustatomas reikalaujamo pelningumo priedas už padidėjusią riziką[7].

Yra dvi investavimo galimybės:

• nerizikingi vertybiniai popieriai, kurių pelningumas yra iš anksto žinomas;

• paprastųjų akcijų rinkos portfelis, kurį atstovauja visos paprastosios akcijos; jo

pelningumas apskaičiuojamas kaip visų akcijų pelningumo vidutinis svertinis

vidurkis[15].

Vietoje rinkos akcijų pelningumo dažniausiai vertinami akcijų indeksai. Akcijos

pelningumas gali būti nustatomas taip:

rit=ai+btβ+εit (9)

čia rit – i –tosios akcijos pelningumas per t laikotarpį;

ai – pelningumas, kai β reikšmė lygi nuliui;

bi – i-tosios akcijos jautrumas β;

Ft – β reikšmė per periodą t;

εit – atsitiktinė klaida[6]

William Sharp pasinaudodamas β koeficientu sudarė taip vadinamą rinkos modelį, kurio

esmė tame, jog manoma, kad akcijos pelningumas priklauso nuo β koeficiento reikšmės. Rinkos

modelį, galima vadinti vienfaktoriniu modeliu, kur akcijų pelningumas tiesiogiai priklauso tik

nuo vieno faktoriaus, šiuo atveju β koeficiento.

Beta parodo vertybinio popieriaus sisteminę riziką. Betą galima apskaičiuoti taip.

,δ

pδβ

m

jmjj

×= (10)

čia δj – j–tosios įmonės vertybinių popierių standartinis nuokrypis proc.;

δm – rinkos vertybinių popierių portfelio standartinis nuokrypis proc.;

pjm – j-tosios įmonės vertybinių popierių ir rinkos vertybinių popierių portfelio

pelningumų koreliacija[1].

Visos vertybinių popierių rinkos beta koeficientas lygus 1. Kuo didesnis beta

koeficientas, tuo rizikingesnis vertybinis popierius.

22

3 lentelė

Beta koeficiento reikšmių interpretacija Beta koeficiento reikšmės Vertybinių popierių pelningumo

pokyčio kryptis Reikšmių interpretacija

2,0 Tokia pati kaip ir rinkos Vertybinis popierius dvigubai rizikingesnis nei rinka

1,0 Tokia pati kaip ir rinkos Vertybinio popieriaus rizika lygi rinkos rizikai

0,5 Tokia pati kaip ir rinkos Vertybinio popieriaus rizika perpus mažesnė už rinkos riziką

0 Nėra priklausomybės Vertybinio popieriaus rizika nesusijusi su rinkos rizika

-0,5 Priešinga nei rinkos Vertybinio popieriaus rizika perpus mažesnė nei rinkos rizika, tik priešinga kryptimi

-1,0 Priešinga nei rinkos Vertybinio popieriaus rizika lygi rinkos rizikai

-2,0 Priešinga nei rinkos Vertybinio popieriaus rizika dvigubai didesnė už rinkos riziką, bet priešinga kryptimi

Esant teigiamai β koeficiento reikšmei, akcijos pelningumas kinta ta pačia kryptimi kaip

ir ir rinkos pelningumas. Augant rinkos pelningumui, auga ir konkrečios įmonės akcijų

pelningumas. Esant neigiamai β koeficiento reikšmei, augant rinkos pelningumui, akcijos

pelningumas mažėja[29, p. 34].

Reikalaujamas akcijos pelningumas yra lygus nerizikingų investicijų pelningumui plius

papildomam pelningumui už riziką. Tai galima parodyti grafiškai 11 paveiksle.

6 pav. Vertybinių popierių rinkos linija[16]

Ši schema yra vadinama vertybinių popierių rinkos kreive (linija). Jos vertikalioje ašyje

yra išdėstytas planuojamas vienerių metų tam tikro vertybinio popieriaus pelningumas.

Horizontaliai yra pavaizduota β - sistemingos rizikos reikšmė. Šioje schemoje nulinė rizika

atitinka ir tam tikrą to meto rinkos pelningumą. Tai reiškia, kad ir visiškai neplanuojant rizikos,

Pelningumas %

Nerizikingas pelningumas

Rinkos rizikaPriedas už riziką

Rizika, β

A

B

C

D

0 0 5 1 1 5

rr=12

rm=10

rr=8

rf=6

23

investuotojas norės kompensacijos už pinigų laiko vertę. Didėjant rizikai didėja ir reikalaujamas

pelningumas[42].

Kadangi β atspindi akcijų jautrumą rinkos pokyčiams, ji yra savrbus atitinkamos rizikos

rodiklis bendru ekonominiu požiūriu. Bendras rinkos indeksas nusako bendras ekonmomikos

perspektyvas.

Ilgalaikio turto įkainojimo modelis turi tą privalumą, kad jis rinkos rizikos atžvilgiu turi

tiesinę priklausomybę. Tai sudaro galimybę įmonių vadovams, taikant svertinį vidurkjį,

apskaičiuotą pagal konkrečių akcijų β koeficientus, nustatyti portfelio β koeficientą[11,12,29].

2.3. Faktoriniai modeliai

Faktoriniuose (arba indeksiniuose) modeliuose akcijų pelningumas reaguoja į įvairių

faktorių (indeksų) pokyčius. Rinkos modelio atveju tariama, kad yra tik vienas faktorius, t.y.

pelningumas pagal rinkos indeksą. Tiksliai įvertinus laukiamą pelningumą, dispersiją ir akcijų

kovariacijas, kur kas tiksliau atspindėtų daugiafaktoriniai modeliai nei rinkos modelis. Tai

galima paaiškinti tuo, kad faktiškas akcijų pelningumas priklauso ne tik nuo rinkos indekso

pokyčio, bet ir nuo kitų faktorių, kurių ekonomikoje yra kur kas daugiau nei vienas.

Faktorinis modelis įvertina pagrindines, sistemingai akcijų pelningumą veikiančias, jėgas.

Nagrinėjant faktorinius modelius, teigiama, kad dviejų ar daugiau akcijų pelningumai yra

koreliuoti, t.y. keičiasi kartu ir vienodai reaguoja tik į tam tikrus (vieną ar kelis) nagrinėjamame

modelyje apibrėžtus faktorius. Šiame modelyje laikoma, kad kiekvienas pelningumo aspektas,

kuris nėra apibrėžtas kaip faktorius, yra unikalus, arba specifinis, akcijos pelningumas. Šis

unikalus arba specifinis pelningumas nekoreliuoja su kitų akcijų specifiniu pelningumu. Taigi

faktoriniai modeliai yra galingas instrumentas tiek pačioms investicijoms, tiek investiciniams

portfeliams sudaryti ir valdyti. Pasitelkę šiuos modelius, galime gauti duomenis, pagal kuriuos

apskaičiuotume kiekvienos akcijos dispersiją, kovariacijas, reikalingas Markowitz efektyvios

aibės kreivėms gauti. Faktorinis modelis gali būti panaudotas ir portfelio charakteristikų

jautrumui atskiriems faktorių pokyčiams, apskaičiuoti.

Praktiškai beveik visi investuotojai tiesioginiu ar netiesioginiu būdu taiko faktorinius

modelius. Tai paaiškinama tuo, kad neįmanoma įvertinti visų įmonių akcijų ryšio su kiekvienos

kitos įmonės akcijomis , nes skaičiavimų apimtys su kiekvienos įmonės akcijų įtraukimu į

portfelį auga. Sunku įsivaizduoti tikslius dispersijos ir kovariacijų apskaičiavimus, turint keletą

dešimčių įmonių akcijų, o ką jau kalbėti apie šimtus, net tūkstančius norimų analizuoti įmonių

akcijų. Netgi esant gerai išvystytai informacinei ir kompiuterinei technikai, sunku nustatyti

efektyvią aibę, jei norim įvertinti daugelį akcijų. Todėl Markowitz efektyvios aibės kreivės

24

nustatymas įgyja abstrakčią reikšmę; šią abstrakciją gali sumažinti faktoriniai modeliai. Jie

leidžia investicijų valdytojams išskirti ekonomikoje svarbiausius faktorius ir įvertinti, kokiu

lygiu atskirų įmonių akcijos jautrūs šių faktorių pokyčiams. Jei tarsime, kad akcijų pelningumas

priklauso nuo vieno ar kelių faktorių poveikio, tai pirmiausia reikėtų išsiaiškinti, kokie yra šie

faktoriai, t.y. rasti faktorius, nuo kurių poveikio priklauso akcijų pelningumas ir koks yra akcijų

jautrumas šiems faktoriams. Šių faktorių nustatymas – gana sunkus procesas ir įvairiose

vertybinių popierių rinkose bei šalyse gali skirtis. Faktoriai, kurie žinomi gerai išvystyto kapitalo

rinkos šalyse, visiškai ar beveik netinka, tarkim, menkai išvystytai . Todėl šių faktorių

išaiškinimas naujose ir dar neištirtose rinkose yra didelis ir ilgas darbas. Juo labiau, kad šie

faktoriai dažniausiai būna susiję ne su ekonominiais, o su politiniais, logikai sunkiai

suprantamais įvykiais ir sprendimais. Tačiau jei sutiksime, kad tokie faktoriai egzistuoja, tai šį

ryšį galime vadinti faktoriniais akcijų pelningumo modeliais[28].

2.3.1. Vienfaktoriniai modeliai

Daugelis investuotojų įsitikinę, kad akcijų pelningumą galima aprašyti vienu faktoriumi.

Daroma prielaida, kad akcijų pelningumas priklauso nuo bendrojo vidinio produkto (BVP).

Ryšys tarp tariamo BVP augimo ir bendrovės akcijų pelningumo išreikiamas šia lygybe:

rt=a+bBVPt+εt (11)

čia rt – akcijų pelningumas per t laikotarpį;

b – pelningumo jautrumas BVP augimui;

a – pelningumas, kai faktorius (BVP) reikšmė lygi nuliui (nulinis faktorius

bendrajam vidiniam produktui);

BVPt – bendro vidinio produkto augimas per t laikotarpį;

εt – atsitiktinė paklaida.

Taigi vienfaktorinis modelis, pavaizduotas formulėje (11) yra trijų elementų suma:

• nulinis faktorius bendrajam nacionaliniam produktui (jis visais periodais - const.);

• elementas bBVPt kuris kiekvienu periodu t keičiasi priklausomai nuo BVP augimo;

• elementas εt kuris yra specifinis arba unikalus per kiekvieną t periodą.

Šis vienfaktorinis pavyzdys gali būti apibendrintas, bet kokios įmonės i akcijoms per

laikotarpį t ir išreiškiamas šia lygybe:

rit=ai+biFt+εit (12)

čia rit – i – tosios įmonės akcijų pelningumas per t laikotarpį;

ai – pelningumas, kai faktorius reikšmė lygi nuliui;

bi – i-tosios įmonės akcijų jautrumas Ft faktoriui;

25

Ft – faktoriaus reikšmė per periodą t;

εit – atsitiktinė paklaida.

Jei faktoriaus Ft reikšmė būtų lygi nuliui, tai akcijų pelningumas būtų ai+εit.

Pažymėsime, kad εit – tai atsitiktinė klaida, t.y. atsitiktinis kintamasis su nuline matematine

tikimybe ir iεσ standartiniu nuokrypiu.

Vienfaktoriniuose modeliuose galima parodyti, kad bet kurios įmonės akcijų dispersija

yra: 22

F2i

2i ib ε+= (13)

čia 2i – i-tosios įmonės akcijų pelningumo dispersija;

bi – i-tosios įmonės akcijų pelningumo jautrumas F faktoriui;

2Fσ – faktoriaus F dispersija;

2

iεσ – atsitiktinės klaidos dispersija.

Dviejų skirtingų i ir j įmonių akcijų pelningumų kovariacija vienfaktoriniuose

modeliuose yra ši: 2Fjiij σbbσ = (14)

čia ijσ – i ir j įmonių akcijų pelningumų kovariacija;

bi – i įmonės akcijų pelningumo jautrumas F faktoriui;

bj – j įmonės akcijų pelningumo jautrumas F faktoriui;

2Fσ – faktoriaus F dispersija.

(15) ir (16) lygybės paremtos keliomis prielaidomis. Pirma – daroma prielaida, kad

visiškai nėra koreliacijos tarp atsitiktinės klaidos ir faktoriaus. T.y. faktoriaus reikšmė neturi

jokio poveikio atsitiktinės klaidos reikšmei. Antra – kad nėra koreliacijos tarp dviejų skirtingų

įmonių akcijų pelningumų atsitiktinės klaidos. T.y. vienos įmonės akcijų atsitiktinės klaidos

dydis neturi jokio poveikio kitos atsitiktinės klaidos reikšmei. Iš lygybių matome, kad

vienfaktorinis modelis yra analogiškas rinkos modeliui, kur faktorius yra pelningumas pagal

rinkos indeksą. Tačiau faktoriniai modeliai šiek tiek pranašesni nei rinkos modelis, kadangi

šiuose modeliuose faktoriai gali būti įvairios charakteristikos, tuo tarpu rinkos modelyje

faktorius yra rinkos indeksas.

Vienfaktorinių modelių pagrindinės savybės: pirma – prielaida, kad akcijų pelningumas

priklauso tik nuo vieno faktoriaus, žymiai supaprastina uždavinius, susijusius su investicijų

portfelio pasirinkimu ir optimizavimu. Sudarant akcijų portfelį, investuotojas turi įvertinti visų

įmonių akcijų pelningumus, dispersijas ir kovariacijas. Vienafaktoriniuose modeliuose tai galima

26

padaryti, įvertinus kiekvieno vertybinio popieriaus ai, bi, iεσ . Taip pat reikia turėti laukiamą

faktoriaus F ir jo standartinio nuokrypio σF reikšmę. Turint šias reikšmes ir įrašius į (14), (15) ir

(16) lygybes, galima apskaičiuoti laukiamus vertybinių popierių pelningumus, dispersijas ir

kovariacijas. Šie rodikliai gali padėti nustatyti efektyvių portfelių aibės kreivę. Pasitelkus šią

kreivę, atsižvelgiant į norimą rizikos laipsnį, galima rasti optimalų vertybinių popierių portfelį.

Bendras akcijų jautrumas faktoriui šiame modelyje panaikina kovariacijų apskaičiavimą tarp

atskirų įmonių akcijų. Šios kovariacijos įvertintos pačių akcijų jautrumu konkrečiam faktoriui ir

jo dispersijai.

Antra įdomi vienfaktorinių modelių savybė yra siejama su diversifikacija. Rinkos

modeliuose teigiama, kad diversifikacija suvienodina rinkos riziką ir sumažina savąją

(diversifikuojamą) akcijos riziką. Ši savybė taikoma ir vienafaktoriniuose modeliuose, jei

pakeisime sąvokas iš “rinkos” ir “savosios” rizikos į “faktorinę” ir “nefaktorinę”. Iš (15) lygybės

narys 22Fib σ vadinamas faktorine vertybinio popieriaus rizika, o narys iεσ – nefaktorine

vertybinio popieriaus rizika.

Vienfaktoriniuose modeliuose akcijų portfelio dispersija aprašoma tokia lygybe: 2ε

2F

2p

2p p

σσbσ += (15)

čia 2pσ – akcijų portfelio dispersija;

bp – akcijų jautrumas F faktoriui;

2Fσ – faktoriaus F dispersija; 2ε pσ – atsitiktinės klaidos dispersija.

Lygybė rodo, kad bet kokio akcijų portfelio bendrą riziką lemia du nariai, t.y. faktorinė ir

nefaktorinė portfelio rizika. Diversifikacija leidžia suvidurkinti faktorinę riziką.

Magistranto nuomone, vienfaktoriniai modeliai nėra visiškai patikimi siekiant suformuoti

akcijų portfelį, kadangi akcijų kainoms poveikį turi daug didesnė įvairovė veiksnių, todėl

apsiribojimas vienu veiksniu sumažina investuotojo galimybę nustatyti efektyvių portfelių aibę.

Magistranto nuomone rinkos modelis yra labiausiai priimtinas iš vienfaktorinių modelių, kadangi

β koeficientas, kuris yra naudojamas, kaip akcijų pelningumo veiksnys, atspindi akcijos

pelningumo ryšį su visos vertybinių popierių rinkos pelningumu, o visą vertybinių popierių rinką

atitinkamai veikia daug didesnė įvairovė veiksnių[23, 28,2].

27

2.3.2. Daugiafaktoriniai modeliai

Kaip žinome, ekonomikoje ir finansų rinkose veikia daugelis faktorių, galinčių turėti

įtakos akcijų pelningumui. Šiose rinkose be paliovos vyksta įvairūs procesai, kurie nėra lengvai

nuspėjami, žinomi bei įvertinami. Tačiau galima išskirti keletą pagrindinių faktorių, tokių kaip

bendrasis vidinis produktas, palūkanų normos, infliacijos lygis, nedarbo lygis, naftos kainų lygis

ir kt., kurie turi įtakos praktiškai visose ekonomikos bei finansų sferose.

Skirtingai nei vienfaktoriniuose modeliuose, daugiafaktoriniuose modeliuose akcijų

pelningumas gali būti apskaičiuojamas daug tiksliau. Panagrinėkime pavyzdį, kuris susideda iš

dviejų faktorių.

Dvifaktoriniame modelyje bet kokių įmonių i akcijų laukiamą pelningumą galime

aprašyti tokia formule:

ri=ai+bi1F1+bi2F2+ei (16)

čia ri – i-tosios įmonės akcijų pelningumas;

ai – laukiamas i –tosios įmonės akcijų, kai faktorių reikšmės lygios nuliui;

bi1 – išreiškia i-tosios įmonės akcijų pelningumo jautrumą faktoriui F1;


F1 ir F2 – du faktoriai, turintys įtakos akcijų pelningumui;

εit - atsitiktinė paklaida.

Akcijų dispersiją dvifaktoriniame modelyje galime aprašyti šia lygybe: 2

21i2i12F

2i2

2F

2i1

2i i21

σ)F,COV(Fb2bσbσbσ ε+++= (17)

čia 2iσ – i –tosios įmonės akcijų dispersija;

bi1 – išreiškia i –tosios įmonės akcijų pelningumo jautrumą faktoriui F1;

2

1Fσ – faktoriaus F1 dispersija;


2

2Fσ – faktoriaus F2 dispersija;

)F,COV(F 21 – dviejų faktorių kovariacija; 2εiσ – atsitiktinės paklaidos dispersija.

Kaip ir vienfaktoriniuose modeliuose, ši lygybė padeda apskaičiuoti laukiamą

pelningumą, dispersiją, kovariacijas, o tada galima pereiti prie optimizavimo. Tai matematinė

procedūra, padedanti gauti efektyvių portfelių aibės kreivę. Turint šią kreivę, randamas

optimalus akcijų portfelis.

Kaip vienfaktoriniuose bei dvifaktoriniuose, ir daugiafaktoriniuose modeliuose:

28

• pasitelkus diversifikaciją, galima suvidurkinti faktorinę riziką;

• diversifikacija gali žymiai sumažinti nefaktorinę riziką;

• gerai diversifikuotame vertybinių popierių portfelyje nefaktorinė rizika bus labai nežymi.

Portfelio jautrumas konkrečiam faktoriui daugiafaktoriniuose modeliuose yra svertinis

vidutinis akcijų jautrumas, kur svoriniai koeficientai priklauso nuo to, kokiomis dalimis

investuotojas investuoja lėšas į atskirų įmonių akcijas. Tai galima pavaizduoti, prisiminus, kad

portfelio pelningumas yra lygus svertiniam vidutiniam akcijų, iš kurių jis sudarytas,

pelningumui:

rpt= ap+bp1F1t+bp2F2t+εpt (18)

čia rpt – akcijų portfelio pelningumas per t laikotarpį;

ap – laukiamas akcijų portfelio pelningumas, kai faktorių reikšmės lygios nuliui;

bp1 – išreiškia į p akcijų portfelį įeinančių akcijų svertinius, vidutinius,

individualius jautrumus faktoriui F1;

bp2 – išreiškia į p akcijų portfelį įeinančių akcijų svertinius, vidutinius,

individualius jautrumus faktoriui F2;

F1t ir F2t – du faktoriai, turintys įtakos akcijų portfelio pelningumui;

εpt – atsitiktinė paklaida.

Tarkime, kad turime k faktorių. Tada daugiafaktorinis modelis gali būti užrašytas šia

lygybe:

rit=ai+bi1F1t+bi2F2t+...+ bikFkt εit (19)

čia rit – i –tosios įmonės akcijų pelningumas per t laikotarpį;

ai – laukiamas i-tosios įmonės akcijų pelningumas, kai faktorių reikšmės lygios

nuliui;

Fkt – k faktoriai turintys įtakos akcijų pelningumui;

bik – akcijų jautrumai kiekvienam k faktoriui;

εit – atsitiktinė paklaida.

Kiekvienos įmonės akcijos apibūdinamos jautrumu, kiekvienam k faktoriui.

Atliekant apskaičiavimus, taikant faktorinius modelius, tiksliai nėra žinomos faktorių

reikšmės k akcijų jautrumai šiems faktoriams. Norint parinkti faktorius ir nustatyti faktorių

skaičių bei jų jautrumą akcijoms, atliekami statistiniai metodai, vadinami faktorine analize.

Taikant šį metodą, akcijų pelningumai imami ilgesnio laikotarpio, ir atrenkami tie faktoriai, kurie

turėjo didžiausią įtaką akcijų pelningumui[2,23].

Tiek Markowitz modelio, tiek faktorinių modelių galutinis tikslas yra tas pat, t.y. rasti

efektyvių portfelių aibę. Apibendrinant pagal modelių atsiradimo istoriją, pirmiausiai buvo

29

sukurtas Markowitz modelis, toliau tobulinat Markowitz modelį, Williams Sharp sukurė rinkos

modelį, ir vėliau buvo sukurti faktoriniai modeliai.

7 pav. Akcijų portfelių formavimo modelių raida

Siekiant įvertinti faktorinių modelių pritaikomumą Lietuvos sąlygomis, magistranto

nuomone yra būtina gautus rezultatus palyginti su rezultatais gautais sudarius Markowitz modelį.

Todėl sekančiame skyriuje bus visi trys akcijų portfelių formavimo modeliai, ir jų rezultatai

palyginti tarpusavyje.

Markowitz modelis

Rinkos modelis

Faktoriniai modeliai

30

8

pav.

Mar

kow

itz, r

inko

s bei

dau

giaf

akto

rini

o m

odel

ių fo

rmav

imo

eiga

Įmon

ių a

kcijų

pel

ning

umų

apsk

aiči

avim

as

Įmon

ių a

kcijų

pel

ning

umų

apsk

aiči

avim

as

Įmon

ių a

kcijų

pel

ning

umų

apsk

aiči

avim

as

Įmon

ių a

kcijų

vid

utin

ių

peln

ingu

mų

ir st

anda

rtinių

nuok

rypių

apsk

aiči

avim

asĮm

onių

akc

ijų v

idut

inių

pe

lnin

gumų

ir st

anda

rtinių

nuok

rypių

apsk

aiči

avim

as

Kor

elia

cijo

s tar

p ki

ekvi

enos

ak

cijų

por

os a

pska

ičia

vim

as

Fakt

orių

atri

nkim

as

Kov

aria

cijo

s tar

p ki

ekvi

enos

ak

cijų

por

os a

pska

ičia

vim

as

Kor

elia

cijo

s tar

p ki

ekvi

enos

fa

ktor

ių p

oros

aps

kaič

iavi

mas

A

kcijų

inde

kso

disp

ersij

os

apsk

aiči

avim

as

Įmon

ių a

kcijų

vid

utin

ių

peln

ingu

mų

ir st

anda

rtinių

nuok

rypių

apsk

aiči

avim

as

Kov

aria

cijo

s tar

p ki

ekvi

enos

ak

cijų

por

os a

pska

ičia

vim

as

Akc

ijų p

ortfe

lio ri

ziko

s ap

skaiči

avim

as

Akc

ijų p

ortfe

liope

lnin

gum

o ap

skaiči

avim

as

Akc

ijų p

ortfe

lio p

elni

ngum

o ap

skaiči

avim

as

Akc

ijų p

ortfe

lio ri

ziko

s ap

skaiči

avim

as

Efek

tyvių

portf

elių

aibės

suda

rym

as

Fakt

orin

io m

odel

io p

atik

imum

o įv

ertin

imas

Akc

ijų p

ortfe

lio p

elni

ngum

o ap

skaiči

avim

as

MA

RK

OW

ITZ

MO

DE

LIS

RIN

KO

S M

OD

EL

IS

DA

UG

IAFA

KT

OR

INIS

M

OD

EL

IS

Akc

ijų p

ortfe

lio ri

ziko

s ap

skaiči

avim

as

31

Trumpai apibendrinant šį poskyrį galima padaryti tokias išvadas:

• Markowitz modelis yra klasikinis, akcijų portfelio formavimo modelis,

didžiausias jo trūkumas yra labai didelį skaičiavimų apimtis;

• faktoriniai modeliai įvertina pagrindinius vertybinių popierių pelningumą

veikiančius veiksnius. Vieno faktoriaus modelio atveju daroma prielaida, kad vertybinių popierių

pelningumas priklauso tik nuo vieno faktoriaus pvz., BVP, infliacijos, rinkos indekso pokyčio ir

kt. Tačiau praktikoje vertybinių popierių pelningumas dažniausiai priklauso ne nuo vieno, bet

nuo kelių faktorių. Todėl yra naudojami ir daugiafaktoriniai modeliai, kurie apskaičiuoja

vertybinių popierių pelningumo priklausomybę nuo kelių faktorių.

• faktoriniai modeliai žymiai supaprastina akcijų portfelio pelningumo ir rizikos

apskaičiavimą lyginant su Markowitz modeliu Ilgalaikio turto įkainojimo modelio pagalba

galima išmatuoti vertybinių popierių sisteminę riziką, t.y. tą riziką kurios neįmanoma

diversifikuoti, ir kuri būdinga visiems vertybiniams popieriams;

• Ilgalaikio turto įkainojimo modelio pagalba galima apskaičiuo β koeficientą, kuris

parodo ryšį tarp atskiros įmonės vertybinių popierių pelningumo ir visos rinkos pelningumo

kintamumo;

32

3. AKCIJŲ PORTFELIO FORMAVIMAS LIETUVOJE

Šiame skyriuje bus sudaromas akcijų portfelis iš Lietuvos įmonių akcijų, remiantis

šiuolaikiniais akcijų portfelių formavimo modeliais. Pirmoje šio skyriaus dalyje akcijų portfelis

bus sudarytas remiantis Markowitz modeliu, antroje dalyje bus rinkos modelis, trečioje dalyje

bus sudarytas daugiafaktorinis modelis. Tyrimo tikslas yra sudaryti modelius ir jų pagalba surasti

efektyvių akcijų portfelių aibę, ir įvertinti ar sudarytas rinkos bei daugiafaktorinis modelis yra

patikimi. Kaip žinome tiek rinkos, tiek daugiafaktoriniai modeliai buvo sukurti tam, kad

sumažinti skaičiavimo apimtis, lyginant su Markowitz modeliu, todėl rezultatų skirtumai turėtų

būti nežymūs.

3.1. Markowitz modelio sudarymas

Šiame skyriuje bus sudaromas akcijų portfelis pagal Markowitz modelį. Tyrimo tikslas

yra sudaryti akcijų portfelį remiantis Markowitz modeliu, ir surasti efektyvių akcijų portfelių

aibę. Per analizuojamą 5 metų laikotarpį, per visus periodus (ketvirčius) tik 15 įmonių akcijos

buvo įtrauktos į Vilniaus vertybinių popierių biržos Oficialų ir Einamąjį sąrašą, todėl tyrimui

buvo panaudotos šių 15 įmonių akcijos.

Sudarant modelį visų pirma reikia apskaičiuoti akcijų pelningumą. Apskaičiuojant akcijų

pelningumą yra daroma prielaida, jog akcijos yra perkamos ketvirčio pradžioje, ir parduodamos

ketvirčio pabaigoje. Pelningumas yra apskaičiuojamas sekančiai:

0

01

PPP

ri−

= , (20)

čia ri – i-tųjų akcijų pelningumas;

P0 – akcijos kaina periodo (ketvirčio) pradžioje;

P1 – akcijos kaina periodo (ketvirčio) pabaigoje.

Taip yra apskaičiuojami visų įmonių akcijų pelningumai. Skaičiavimo rezultatai yra

pateikti 2 priede.

Kuomet turime visų įmonių akcijų pelningumus, galime apskaičiuoti, portfelio sudaryto

iš šių akcijų pelningumą. Portfelio pelningumas apskaičiuojamas pagal 2 formulę.

Jeigu darytume prielaidą, jog į akcijas yra investuojama lygiomis dalimis, tuomet

portfelio sudaryto iš visų įmonių akcijų pelningumas būtų 11.32 proc.

Sekančiame etape apskaičiuojame akcijų portfelio sudaryto iš visų įmonių akcijų

lygiomis dalimis riziką. Rizikos matas, kaip buvo aptarta ankstesniuose skyriuose yra akcijų

portfelio pelningumų standartinis nuokrypis.

33

Akcijų portfelio standartinis nuokrypis yra apskaičiuojamas sekančiai:

( ).,xxδn

1i

n

1ijip ∑∑=

= =ji rrCov (21)

čia pδ – i-tųjų akcijų standartinis nuokrypis;


xi – i-tosios įmonės akcijų lyginamoji dalis portfelyje;

xj – j-tosios įmones akcijų lyginamoji dalis portfelyje;

( )ji rrCov , - kovariacija tarp i-tosios įmonės akcijų pelningumo ir j-tosios įmonės akcijų

pelningumo.

Tam, kad būtų galima nustatyti kovariacijos koeficientus tarp įmonių akcijų pelningumų

būtina, apskaičiuoti kiekvienos įmonės akcijų poros koreliacijos koeficientus. Koreliacijos

koeficientai yra apskaičiuojami yra apskaičiuojama pagal 6 formulę.

Visų įmonių akcijų koreliacijos koeficientų matrica yra priede nr. 2

Kuomet yra žinoma kiekvienos įmonės akcijų poros koreliacijos koeficientai, galima

apskaičiuoti kovariacijos koeficientus tarp kiekvienos įmonės akcijų poros, ryšys tarp

koreliacijos koeficientų ir kovariacijos koeficientų parodytas 7 formulėje.

Kiekvienos įmonės akcijų poros kovariacijų koeficientų matrica yra priede nr. 3

Apskaičiavus kiekvienos įmonės akcijų poros kovariacijos koeficientus, galime

apskaičiuoti akcijų portfelio sudaryto iš visų įmonių akcijų, investuojant į portfelį lygiomis

dalimis, standartinį nuokrypį. Kuomet į portfelį yra investuojama lygiomis dalimis skaičiavimai

supaprastėja, ir standartinis nuokrypis yra apskaičiuojamas taip:

( )∑=n

ijijip rrCovxx ,δ , (22)

čia pδ – i-tųjų akcijų standartinis nuokrypis;


xi – i-tosios įmonės akcijų lyginamoji dalis portfelyje;

xj – j-tosios įmones akcijų lyginamoji dalis portfelyje;

( )ji rrCov , - kovariacija tarp i-tosios įmonės akcijų pelningumo ir j-tosios įmonės akcijų

pelningumo.

Mūsų atveju gauname 36.14067.0067.046418 =××=pδ

Investuojant į akcijų portfelį skirtingomis proporcijomis, skaičiavimai tampa

sudėtingesni. Tuomet portfelio standartinis nuokrypis skaičiuojamas taip:

34

δ =X1(X1·Cov11+ X2·Cov12+ X3·Cov13+ X4·Cov14+ X5·Cov15+ X6·Cov16+ X7·Cov17+

X8·Cov18+ X9·Cov19+ X10·Cov110+ X11·Cov111+ X12·Cov112+ X13·Cov113+ X14·Cov114+

X15·Cov115)+ ………………………..+X15(X1·Cov151+ X2·Cov152+X3·Cov153+ X4·Cov154+

X5·Cov155+ X6·Cov156+ X7·Cov157+ X8·Cov158+ X9·Cov159+ X10·Cov1510+X11·Cov1511+

X12·Cov1512+ X13·Cov1513+ X14·Cov1514+ X15·Cov1515)

Kuomet apskaičiuojame akcijų portfelio riziką, galime surasti efektyvių portfelių aibę,

kuri tenkintų šias 2 sąlygas:



Sudarant optimizavimo uždavinį, yra sudaroma keletas apribojimų

• kuomet norime rasti maksimalų pelningumą, prie pageidaujamo rizikos lygio;

(23)

∑ ==

n

iix

1

1 (24)

0≥ix (25) • kuomet norime rasti minimalią riziką prie pageidaujamo pelningumo lygio;

( ) .min,xxδn

1i

n

1ijip ∑∑ →=

= =ji rrCov (26)

∑ ==

n

iix

1

1 (27)

0≥ix (28) Pasinaudojus Microsoft Excel skaičiuote galima apskaičiuoti aibę portfelių, kurie tenkina

bent vieną iš šių sąlygų[18, 26, 37].

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

30.00

35.00

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 40.00 45.00 50.00

Rizika

Portf

elio

pel

ning

umas

9 pav. Efektyvių portfelių aibė sudarius Markowitz modelį

max,1

→×∑==

i

n

iip xrr

35

9 paveiksle visi portfeliai yra optimalūs, t.y tenkina bent viena iš aukščiau aprašytų sąlygų.

Jeigu akcijų portfelį sudarytume iš visų įmonių akcijų lygiomis dalimis galėtume uždirbti

11,52 proc. pelno, tačiau patirtume 14,36 proc. rizika. Tačiau investuodami į portfelį

skirtingomis proporcijomis mes galime gauti didesnį pelningumą patirdami mažesnę riziką. Tą

patį 11,52 proc. pelningumą mes galime gauti patirdami tik 10,83 proc. riziką.

Grigiškės, 33.09%

Rokiškio suris, 22.17%

Šiauliu bankas, 23.47%

Stumbras, 2.94%

Ūkio bankas, 1.74%

Alita, 8.84%

Panevėžio statybos trestas, 1.22%

Klaipėdos baldai, 6.51%

10 pav. Markowitz modelio akcijų portfelio struktūra, esant 11,52 proc. pelningumui ir

10,83 proc. rizikai

10 paveiksle parodyta kokiomis proporcijomis reikėtų investuoti į akcijų portfelį, kad

gautume 11.52 proc. pelningumą, ir patirtume tik 10,83 proc. riziką.

Kiekvienas investuotojas rinksis sau priimtiną optimalų akcijų portfelį, priklausomai nuo

jo poreikių. Investuotojas “efektyvaus pasirinkimo” grafike turi nubrėžti abejingumo kreives. Šis

optimalus portfelis atitiks tašką, kuriame abejingumo kreivė liečiasi su efektyvių portfelių aibe.

Reikia pabrėžti, jog sudarant Markowitz modelį apskaičiuojame bendrą įmonės riziką,

t.y. tiek sisteminę, tiek nesisteminę. Tai yra svarbu, kadangi sekančioje darbo dalyje bus

sudaromas rinkos modelis, kurio pagalba bus sudaroma efektyvių akcijų portfelių aibė, šis

modelis apskaičiuoja rinkos (sisteminę) riziką.

3.2. Rinkos modelio sudarymas

Matematinėje statistikoje ir tikimybių teorijoje koreliacine priklausomybe susijusių

reiškinių statistikos modelis yra vadinamas regresiniu modeliu ir gali būti išreikštas matematine

lygtimi, jų sistemomis arba nelygybėmis. Pagrindinė regresinės analizės metodo matematinė

procedūra, kurią atliekant apskaičiuojami regresinio modelio parametrai, vadinama mažiausių

kvadratų metodu. Šis metodas paremtas prielaida, jog, modeliuojamą reiškinį įforminantis

36

modelis geriausiai reprezentuos faktinę padėtį, jei modelio atsitiktinė komponentė bus pati

mažiausia: ( )∑ →− minˆ 2yy [3, 4].

Šiame poskyryje sudarysime regresinį akcijų portfelio formavimo modelį, kur veiksnys

bus akcijų indeksas. Tam tikslui naudosime OMX Vilnius akcijų indeksą. OMX Vilnius akcijų

indeksas skaičiuojamas kiekvieną dieną realiu laiku pagal naujausias akcijų, kurios yra įtrauktos

i Vilniaus vertybinių popierių biržos Oficialųjį ir Einamąjį prekybos sąrašus, kainas, lyginant

bendra rinkos kapitalizacija (bendra rinkos kapitalizacija atėmus išmokėtus dividendus) su

atitinkamais praėjusios prekybos dienos duomenimis. OMX Vilnius indeksas buvo pasirinktas,

todėl, kad į šį indeksą yra įtrauktos visos listinguojamos įmonės, t.y. į Oficialųjį ir Einamąjį

sąrašą įtrauktos įmonės. Kadangi tyrimui buvo atrinktos akcijos visų įmonių įtrauktų į Oficialųjį

ir Einamąjį sąrašą, kurių kainos buvo skelbiamos per analizuojamą laikotarpį, todėl šis indeksas

labiausiai tinka tyrimui.

Rinkos modelis bus sudaromas kaip vienfaktorinis modelis, nors dauguma autorių

nepabrėžia, jog rinkos modelis yra vienfaktorinis modelis, ir Beta koeficientą apskaičiuoja

atskirai, nesudarydami regresijos lygties, šiame tyrime Beta koeficientą apskaičiuosiu

sudarydamas regresijos lygtį. Duomenų patikrinimui, Beta koeficientas buvo apskaičiuotas

pasinaudojant 10 formule, rezultatai palyginti su regresijos lygčių reikšmėmis, Beta koeficientas

abiems atvejais buvo gautas tas pats, palyginimo rezultatai yra pateikti 6 priede.

4 lentelė

OMX Vilnius akcijų indekso reikšmės[31]

Metai Ketvirčiai OMX Vilnius indeksas

1 87.39 2 82.13 3 68.81

2001

4 75.56 1 89.78 2 83.52 3 87.21

2002

4 84.78 1 96.7 2 134.97 3 176.21

2003

4 174.48 1 217.8 2 206.31 3 223.71

2004

4 293.44 1 346.39 2 413.37 3 523.04

2005

4 448.76

37

Rinkos modelis yra statistinis regresinis modelis, kur akcijų pelningumas priklauso nuo

vieno faktoriaus t.y. rinkos pelningumo. Pasinaudojus Microsoft Excel skaičiuote buvo surastos

regresijos lygties reikšmės.

5 lentelė

Rinkos modelio regresijos lygčių reikšmės

Nulinis

faktorius Beta koeficientas Alita 3.57 0.04 Ekranas 8.83 -0.07 Grigiškės 31.35 -0.07 Invalda 32.56 -0.01 Klaipėdos baldai 31.24 -0.08 Linas 1.79 0.02 Lietuvos telekomas -4.64 0.04 Panevėžio statybos trestas -7.15 0.18 Pieno žvaigždės 14.24 -0.02 Rokiškio sūris 10.27 -0.01 Šiaulių bankas -11.25 0.07 Stumbras 8.04 0.01 Ūkio bankas -21.81 0.19 Utenos trikotažas 8.71 -0.01 Žemaitijos pienas 24.84 -0.06 Vidurkis 8.71 0.01

Investuojant į akcijų portfelį lygiomis dalimis regresijos lygtis atrodytų taip:

askoeficientBetap Fr _0144.071.8 ×+=

Turint rinkos modelio regresijos lygtį, galima apskaičiuoti akcijų portfelio pelningumą.

Jeigu akcijų portfelį sudarytume iš visų įmonių akcijų lygiomis dalimis, tai akcijų

portfelio pelningumas būtų:

.52.11718.1950144,071,8 procrp =×+=

Akcijų portfelio rizika sudarant rinkos modelį priklauso nuo faktoriaus (šiuo atveju β)

standartinio nuokrypio, ir akcijų portfelio jautrumo β faktoriui. Akcijų portfelio jautrumas β yra

svertinis visų įmonių įeinančių į akcijų portfelį jautrumų β vidurkis.

∑==

n

iiip x

1ββ (29)

čia pβ - akcijų portfelio beta koeficientas;

xi – i- tosios įmonės dalis akcijų portfelyje;

iβ - i – tosios įmonės beta koeficientas.

Jeigu į akcijų portfelį investuotume lygiomis dalimis, gautume 11.52 proc. portfelio

pelningumą, tačiau patirtume riziką, kuri lygi:

38

( ) .54.140144,0136222 procp =×=δ

Tačiau investuodami į akcijų portfelį skirtingomis proporcijomis, galima tą patį 11,52

proc. pelningumą gauti su žymiai mažesne rizika. Pasinaudojus Microsoft Excel skaičiuote

galima rasti efektyvių akcijų portfelių aibę.



min→+= ββ Far pp (30)

∑ ==

n

iix

1

1 (31)

0≥ix (32) • kuomet norime rasti minimalią riziką prie pageidaujamo rizikos lygio;

min→= 22i

2i ββ (33)

∑ ==

n

iix

1

1 (34)

0≥ix (35)

Išsprendus šį uždavinį gavome, jog tą patį 11,52 proc. pelningumą galime gauti

nepatirdami beveik jokios rizikos. Tokio portfelio struktūra yra pavaizduota 11 paveiksle.

Alita6% Ekranas

12%Grigiskes

7%

Klaipedos baldai

7%

Linas6%

Pieno zvaigzdes6%

Rokiskio suris6%

Siauliu bankas5%

Stumbras6%

Ukio bankas4%

Zemaitijos pienas

7%

Invalda11%

Lietuvos telekomas

6%

Utenos trikotazas

6%

Panevezio statybos trestas

5%

11 pav. Akcijų portfelio sudaryto pagal rinkos modelį struktūra pelningumui esant

11.52 proc., ir rizikai 0 proc.

39

Sudarius rinkos modelį galime surasti efektyvių akcijų portfelių aibę, į kurią įeinantys

visi portfeliai tenkina bent iš sąlygų:



29.83

29.84

29.85

29.86

29.87

29.88

29.89

29.90

29.91

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00

Rizika, proc.

Akc

ijų p

ortfe

lio p

elni

ngum

as, p

roc

12 pav. Efektyvių portfelių aibė sudarius rinkos modelį

12 paveiksle matyti, jog galima gauti 29,86 proc. pelningumą beveik nepatiriant jokios

rizikos, jeigu norėsime gauti didesnį negu 29,86 proc. pelningumą, rizika pradeda labai smarkiai

didėti.

Apskaičiavus akcijų portfelio pelningumo ir rizikos regresijos lygtis, rezultatus reikia

patikrinti t.y. ar gauti rezultatai yra statistiškai patikimi. Regresijos lygties reikšmingumas yra

patikrinamas naudojant Fišerio kriterijų. Regresinio modelio statistinis pagrįstumas įvertinamas

faktorinės ir liekamosios kvadratų sumų, tenkančių vienam jų laisvės laipsniui, tarpusavio

santykiui, vadinamu F (Fišerio) kriterijumi.

Didėjant F kriterijaus reikšmei, t.y. didėjant pagrindinių sąlygų poveikiui, lyginat su

atsitiktinėmis, gerėja modelio kokybė. Regresinis modelis laikomas statistiškai pagrįstu, jei šio

kriterijaus reikšmė, viršija kritinę, atitinkančią iš anksto pasirinktą tikslumo laipsnį[24,30,33].

13 paveiksle yra pavaizduoti visų įmonių akcijų Fišerio kriterijai.

40

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

Alit

a

Ekra

nas

Grig

iske

s

Inva

lda

Kla

iped

os b

alda

i

Lina

s

Liet

uvos

tele

kom

as

Pane

vezi

o st

atyb

os tr

esta

s

Pien

o zv

aigz

des

Rok

iski

o su

ris

Siau

liu b

anka

s

Stum

bras

Uki

o ba

nkas

Ute

nos t

rikot

azas

Zem

aitij

os p

iena

s

Faktinis fiserio kriterijus Teorinis fiserio kriterijus

13 pav. Sudaryto rinkos modelio Fišerio kriterijai

Regresinio modelio parametrų statistinis pagrįstumas įvertinamas modelio parametrų bi

ir jų paklaidų ibµ tarpusavio santykiu, vadinamu t (Stjudento kriterijumi).

Modelio parametrai bi laikomi statistiškai pagrįstais, jei t kriterijaus reikšmė viršija

kritinę, atitinkančią iš anksto pasirinktą tikslumo laipsnį. Didėjant ibt , .y. didėjant parametrų bi

reikšmėms, lyginat su jų paklaidomis, gerėja modelio kokybė[22, 33].

0.000.501.001.502.002.503.003.504.00

Alit

a

Ekra

nas

Grig

iskes

Inva

lda

Kla

iped

os b

alda

i

Lina

s

Liet

uvos

tele

kom

as

Pane

vezi

o sta

tybo

s tre

stas

Pien

o zv

aigz

des

Roki

skio

suris

Siau

liu b

anka

s

Stum

bras

Uki

o ba

nkas

Ute

nos t

rikot

azas

Zem

aitij

os p

iena

s

Teorinis stjudento kriterijus Nulinis faktorius

14 pav. Rinkos modelio nulinio faktoriaus Stjudento kriterijaus reikšmės

41

Iš visų analizuojamų įmonių tik vienos įmonės regresijos lygties nulinio faktoriaus

Studento kriterijaus reikšmė viršijo teorinę. Tai rodo, jog daugumos apskaičiuotų regresijos

lygčių nulinių faktorių statistinis patikimumas yra labai mažas.

0.000.50

1.001.502.00

2.503.00

Alit

a

Ekra

nas

Grig

iskes

Inva

lda

Kla

iped

os b

alda

i

Lina

s

Liet

uvos

tele

kom

as

Pane

vezi

o sta

tybo

s tre

stas

Pien

o zv

aigz

des

Roki

skio

suris

Siau

liu b

anka

s

Stum

bras

Uki

o ba

nkas

Ute

nos t

rikot

azas

Zem

aitij

os p

iena

s

Teorinis stjudento kriterijus Beta koeficientas

15 pav. Rinkos modelio Beta koeficiento Stjudento kriterijaus reikšmės

Iš sudarytų regresijos lygčių apskaičiuotų Beta koeficientų, tik 2 įmonių viršijo teorines

Studento kriterijaus reikšmes, tai rodo, jog ir daugumos įmonių Beta koeficientas nėra statistikai

patikimas. Žemiau pateiktame paveiksle yra įmonių akcijų pelningumo priklausomybės nuo

rinkos kainų indekso determinacijos koeficientai.

0.00%

5.00%

10.00%

15.00%

20.00%

25.00%

30.00%

Alit

a

Ekra

nas

Grig

iske

s

Inva

lda

Kla

iped

os b

alda

i

Lina

s

Lietu

vos

telek

omas

Pane

vezi

o st

atyb

os tr

esta

s

Pien

o zv

aigz

des

Rok

iskio

sur

is

Siau

liu b

anka

s

Stum

bras

Uki

o ba

nkas

Ute

nos

triko

taza

s

Zem

aitij

os p

iena

s

Determinacijos koeficientas

16 pav. Rinkos modelio įmonių akcijų pelningumo priklausomybės nuo akcijų kainų

indekso determinacijos koeficientai

42

Visų įmonių determinacijos koeficientai yra labai maži, tai reiškia, kad nagrinėjamas

faktorius t.y. akcijų rinkos kainų indeksas, turi labai mažą įtaką įmonių akcijų pelningumui

3.3. Daugiafaktorinio modelio sudarymas

Daugiafaktorinio modelio sudarymui bus naudojami tie patys duomenys, kaip ir

Markowitz, bei rinkos modelyje.

Sudarant daugiafaktorinį modelį labai svarbus etapas yra faktorių atrinkimas, nes modelio

rezultatai ir patikimumas priklauso nuo faktorių tinkamumo.

Sudaromame modelyje atrinkau 8 makroekonominius rodiklius.

6 lentelė

Daugiafaktorinio modelio makroekononominių rodiklių reikšmės[18, 19]

Metų ketvirčiai

Tiesioginės investicijos Lietuvoje, tūkst. Lt

Užsienio investicijos į nuosavybės vertybinius popierius, tūkst. Lt

Eksportas, tūkst. Lt

Importas, tūkst. Lt

Pinigų kiekis,

tūkst. Lt

BVP, mln. Lt

VKI, proc

GKI proc.

2001 1 9,549.24 513.01 4,510.62 5,439.68 10,611.90 10889 100.4 97.32001 2 10,167.29 431.18 5,022.53 5,925.00 10,937.70 12238 101.1 99.72001 3 10,458.51 414.25 4,923.08 5,697.01 11,712.10 12691 100.1 102.82001 4 10,661.93 382.24 5,099.32 6,926.02 12,690.60 12745 100.5 1012002 1 10,741.81 360.64 4,748.59 5,757.83 12,826.40 11319 100.8 100.72002 2 12,048.55 357.15 5,733.61 6,981.25 13,010.90 13085 99.1 100.32002 3 12,586.73 375.01 5,595.02 6,540.63 13,968.80 13810 98.8 102.62002 4 13,183.80 367.37 5,935.76 7,601.03 14,834.60 13734 100.3 94.82003 1 13,783.66 375.17 5,830.43 6,347.23 14,829.30 12442 100.1 1042003 2 14,046.45 391.31 5,311.66 6,914.18 15,581.00 14121 100 105.12003 3 13,262.87 381.80 5,932.47 7,129.67 16,335.20 14956 98.6 97.12003 4 13,699.41 397.66 6,310.52 8,134.76 17,536.80 15252 100 99.22004 1 14,363.86 400.32 5,520.71 6,874.26 17,948.90 13367 100.2 101.42004 2 14,977.68 401.46 6,114.97 8,052.73 18,848.10 15346 101.7 102.92004 3 15,365.67 449.34 6,733.17 8,411.53 19,601.20 16660 100.5 1062004 4 16,192.56 437.16 7,450.21 9,111.40 21,765.40 17067 100.7 96.72005 1 16,696.85 505.37 6,819.08 7,967.81 23,107.70 14735 100.2 99.52005 2 17,682.56 446.81 7,854.86 10,155.36 24,561.10 17639 101 1012005 3 18,370.97 500.52 8,553.85 10,649.51 25,719.50 19070 100.4 101.32005 4 18,802.45 514.09 9,579.54 11,972.23 28,935.10 19641 101.3 100.5

Tam, kad atrinkti labiausiai tinkamus veiksnius buvo išvestos regresijos lygtys tarp

kiekvienos įmonės akcijų pelningumo bei kiekvieno makroveiksnio. Taip buvo apskaičiuota 120

regresijos lygčių. Taip pat buvo apskaičiuota 120 determinacijos koeficientų. Kaip buvo minėta

aukščiau determinacijos koeficientas, parodo kokią įtaką analizuojamam rodikliui daro faktorius,

šiuo atveju makroveiksnys.

43

7 lentelė

Daugiafaktorinio modelio akcijų pelningumo priklausomybės nuo makroveiksnių

determinacijos koeficientai

Rodikliai GKI

Uzsienio investicijo

s i nuosavyb

es vertybinius popierius

VKI BVP Importas

Tiesioginės

investicijos Lietuvoje

Pinigu kiekis

Eksportas

Alita 0.03 0.01 0.01 0.01 0.01 0.05 0.04 0.01Ekranas 0.01 0.10 0.21 0.15 0.20 0.20 0.20 0.23Grigiskes 0.00 0.03 0.19 0.16 0.18 0.08 0.14 0.17Invalda 0.02 0.00 0.05 0.00 0.01 0.00 0.00 0.02Klaipedos baldai 0.00 0.05 0.11 0.17 0.17 0.12 0.15 0.17Linas 0.00 0.06 0.05 0.03 0.00 0.04 0.01 0.02Lietuvos telekomas 0.00 0.00 0.00 0.02 0.02 0.10 0.07 0.01Panevezio statybos trestas 0.07 0.12 0.00 0.01 0.02 0.11 0.14 0.05Pieno zvaigzdes 0.03 0.00 0.08 0.03 0.05 0.03 0.02 0.07Rokiskio suris 0.01 0.05 0.10 0.00 0.02 0.00 0.00 0.03Siauliu bankas 0.10 0.07 0.02 0.03 0.04 0.05 0.08 0.06Stumbras 0.01 0.00 0.05 0.03 0.02 0.01 0.00 0.01Ukio bankas 0.00 0.06 0.01 0.14 0.10 0.14 0.12 0.11

Utenos trikotazas0.18 0.03 0.05 0.00 0.01 0.01 0.00 0.01

Zemaitijos pienas0.05 0.02 0.01 0.15 0.10 0.11 0.08 0.13

Vidurkis 0.03 0.04 0.06 0.06 0.06 0.07 0.07 0.07

Kaip matosi iš 7 lentelės, mažiausias determinacijos koeficientų vidurkis yra gamintojų

kainų indeksų (GKI) bei užsienio investicijų į vertybinius popierius. Todėl šių dviejų veiksnių į

sudaromą modelį netrauksime. Tokiu atveju lieka 6 veiksniai:

• Vartotojų kainų indeksas (VKI);

• Bendrasis vidaus produktas (BVP);

• Importas;

• Eksportas

• Tiesioginės investicijos Lietuvoje;

• Pinigų kiekis.

Makroekonominiai rodikliai:

1. VKI (Vartotojų kainų indeksas) – rodiklis, atspindintis vartojimo prekių ir paslaugų,

kurias įsigyja, už kurias sumoka ir kuriomis namų ūkiai tiesiogiai tenkina vartojimo poreikius.

44

Jis taip pat parodo vidutinį kainų lygio pokytį per tam tikrą laikotarpį. Vartotojų kainų indeksas

neapima prekių ir paslaugų, skirtų gamybai. Tai vienas pagrindinių infliacijos rodiklių.

2. BVP (Bendrasis vidaus produktas)– per tam tikrą laikotarpį sukurtų galutinio vartojimo

prekių ir paslaugų piniginė išraiška. Tai galutinis visų šalies teritorijoje veikiančių ūkinių vienetų

gamybinės veiklos rezultatas. BVP gali būti skaičiuojamas galiojančiomis kainomis – taip

gaunamas nominalusis BVP. Kai BVP skaičiuojamas palyginamosiomis kurio nors bazinio

laikotarpio kainomis, gaunamas realusis BVP.

3. Prekių ir paslaugų importas – prekių, paslaugų, darbo ir kapitalo įvežimas (pirkimas iš

užsienio šalies).

4. Prekių ir paslaugų eksportas – prekių pardavimas užsienio pirkėjams, paslaugų

tiekimas užsienio subjektams.

5. Tiesioginės užsienio investicijos – užsienio fizinių ir juridinių asmenų šalyje šalies

fizinių ir juridinių asmenų užsienyje įsigyjamas ilgalaikis turtas, pvz., žemė, pastatai, įrenginiai

ar veikiančios įmonės (jų akcijos). Jei šalyje sparčiai daugėja ar nuolat yra didelių tiesioginių

užsienio investicijų, tai verslo aplinka, investicijų atsipirkimo galimybės ir darbo našumas yra

didesni nei kitose šalyse.

6. Pinigų kiekis – pinigų suma šalyje tam tikru momentu. Pinigų kiekiui matuoti

dažniausiai vartojami siaurasis (P1), tarpinis (P2) ir platusis (P3) junginiai. Pinigų kiekis P2 yra

P1 (monetos, banknotai ir lėšos centriniame banke) ir indėliai iki pareikalavimo. Pinigų kiekis P3

apima P2 ir kvazpinigus, t.y terminuotus indėlius bankuose ir indėlius užsienio valiuta. Pinigų

kiekis P4 yra pinigų kiekis P3 ir įvairios pinigų rinkos priemonės pvz., indėlių sertifikatai[39].

Kaip žinome, regresinio modelio parametrai (bi) surandami pritaikius mažiausių kvadratų

metodą, kuris remiasi prielaida, jog modeliuojamą reiškinį įforminantis modelis geriausiai

reprezentuos faktinę padėtį, jei modelio liekana bus pati mažiausia.

Tiesinio daugiaveiksnio modelio parametrai apskaičiuojami išsprendus lygčių sistemą,

gautą minimizavus modelio liekaną:

∑ ∑ ∑ ∑ ∑+++=

∑ ∑ ∑ ∑++++∑ =∑ ∑ ∑ ∑ ∑++++=

∑ ∑ ∑++∑ += +

222110

2222211202

12122

11101

22110

.............................................................................................

...

......

nnnnnn

nn

nn

nn

xbxxbxxbxbyx

xxbxbxxbxbyxxxbxxbxbxbyx

xbxbxbnby

(36)

Parametrai bi, tiesiniame regresiniame modelyje atstovaujantys veiksnius xi, atskleidžia

modelio statistinį turinį – tiriamo pasekmės kintamojo y vidutinį absoliutinį prieaugį ar

sumažėjimą, tam tikriems veiksniams xi padidėjus vienu jų vienetu, kai kitos sąlygos nesikeičia.

45

Naudojantis Microsoft Excel skaičiuote, suskaičiuotos kiekvienos įmonės akcijų

priklausomybės nuo makroveiksnių regresijos lygtys. 8 lentelėje yra pateikti visų įmonių

regresijos lygčių rodikliai.

8 lentelė

Daugiafaktorinio modelio regresijos lygčių reikšmės

RodikliaiNulinis

faktorius

Tiesioginės


Eksportas ImportasPinigų kiekis BVP VKI

Alita -384.02 0.00 0.00 -0.02 0.01 0.00 4.05Ekranas 1,352.17 -0.01 -0.03 0.01 0.00 0.00 -12.90Grigiskes 1,094.44 0.01 -0.01 0.01 0.00 -0.01 -10.54Invalda 2,017.24 0.02 -0.09 0.03 0.00 0.00 -19.52Klaipedos baldai 1,229.26 0.00 -0.01 0.01 0.00 -0.01 -11.38Linas -258.31 0.01 0.02 -0.03 -0.01 0.01 1.23Lietuvos telekomas 346.60 0.01 -0.03 0.01 0.00 -0.01 -3.26Panevezio s tatybos tres tas 3,821.66 -0.03 -0.01 -0.03 0.05 -0.03 -34.21Pieno zvaigzdes 1,528.24 -0.01 -0.04 0.01 0.01 0.00 -14.13Rokiskio suris 1,142.19 -0.01 -0.04 0.00 0.01 0.01 -10.95Siauliu bankas 3.32 -0.01 0.02 -0.02 0.01 -0.01 0.57Stumbras 1,206.71 0.00 0.00 -0.01 0.01 -0.02 -10.94Ukio bankas 872.22 0.01 0.00 -0.01 0.00 0.01 -10.21Utenos trikotazas 147.66 0.02 -0.01 0.00 -0.01 0.00 -2.15Zemaitijos pienas 1,724.57 -0.01 -0.05 0.04 0.01 -0.02 -14.74

Kitaip nei Markowitz modelyje, sudarant daugiafaktorinį modelį, akcijų portfelio rizika

priklauso nuo regresijos lygčių parametrų bei nuo kovariacijos tarp kiekvienos makroveiksnių

poros.

Parametrų dydis regresijos lygtyje yra svertinis visų įmonių atitinkamų parametrų

rodiklis, kur svertas yra įmonės akcijų dalis sudaromame portfelyje. Mūsų atveju, jeigu darytume

prielaidą, jog į portfelį yra investuojama visų įmonių akcijų lygiomis dalimis, regresijos lygtis

būtų tokia:

46

Apskaičiavus regresijos lygtį galima apskaičiuoti akcijų portfelio pelningumą.

Akcijų portfelio rizika (standartinis nuokrypis) daugiafaktoriniame modelyje yra

apskaičiuojama pagal tokią formulę:

( )jiji FFCovbbpn

j

n

i∑∑=== 11

δ (37)

čia pδ - portfelio pelningumų standartinis nuokrypis;

bi – parametras prie koeficiento Fi;

bj – parametras prie koeficiento Fj;

Cov(FiFj) – kovariacija tarp faktoriaus F1 ir faktoriaus F2.

Norint apskaičiuoti kovariacijos koeficientus tarp kiekvienos makroveiksnių poros, reikia

apskaičiuoti koreliacijos koeficientus tarp kiekvienos makroveiksnių poros. Skaičiavimai yra

analogiški kaip ir Markowitz modelyje t.y. apskaičiuojami kiekvieno makroveiksnio standartiniai

nuokrypiai, bei surandami koreliacijos koeficientai. 9 lentelėje yra parodyti koreliacijos

koeficientai tarp kiekvienos makroveiksnių poros.

9 lentelė.

Koreliacijos koeficientai tarp makroveiksnių

Rodikliai

Tiesioginės


Eksportas ImportasPinigų kiekis BVP VKI

Tiesioginės investicijos Lietuvoje

1.00 0.93 0.91 0.97 0.91 0.26

Eksportas 0.93 1.00 0.98 0.95 0.95 0.29Importas 0.91 0.98 1.00 0.94 0.96 0.35Pinigų kiekis 0.97 0.95 0.94 1.00 0.93 0.34BVP 0.91 0.95 0.96 0.93 1.00 0.25VKI 0.26 0.29 0.35 0.34 0.25 1.00

52.1129.100*9383.935.15450*0036.012.17268*0066.0

46.7629*0004.06179*0189.014.13832*0004.023.1056

=−−+

+−+=pr

VKIFBVPFkiekis PiniguF

FEksportas FosinvesticijsTiesiogineF pr portas

9383.9\0036.0_0066.0

0004.00189.0_0004.023.1056 Im

−−+

+ −+=

47

Kuomet yra žinomi koreliacijos koeficientai, galima apskaičiuoti kovariacijos

koeficientus tarp kiekvieno makroveiksnio.

10 lentelė.

Kovariacijos koeficientai tarp makroveiksnių

RodikliaiTiesioginės investicijos Lietuvoje

Eksportas Importas Pinigų kiekis BVP VKI

Tiesioginės investicijos Lietuvoje

7307710 3224579 4179181 13487242 5879204 537

Eksportas 3224579 1662139 2142678 6292921 2925375 285Importas 4179181 2142678 2886609 8211220 3902117 455Pinigų kiekis 13487242 6292921 8211220 26203035 11309263 1312BVP 5879204 2925375 3902117 11309263 5664501 452VKI 537 285 455 1312 452 1

Investuojant į akcijų portfelį lygiomis dalimis, gauname tokią portfelio riziką:

δ =btiesiogines_investicijos(btiesioginės_investicijos_tiesiog.invest.·Covtiesiogines_investicijos+beksportas·Covtiesiog.inv

est._eksportas+bimportas·Covtiesiog.invest_importas+bpinigu_kiekis·Covtiesiog_invest_pinigu_kiekis+bBVP·Covtiesiog_invest_BV

P+ bVKI·Covtiesiog_invest_VKI)+ ………………………..+beksportas(btiesiog._invest.·Coveksportas_tiesiog_invest.+

beksportas·Coveksportas_eksportas+bimportas·Coveksportas_importas+bpinigu_kiekis·Coveksportas_pinigu_kiekis+bBVP·Covek

sportas_BVP+ bVKI·Coveksportas_VKI) = 11.08

Sekančiame etape surandame efektyvių portfelių aibę, kuri tenkintų šias 2 sąlygas:





rit=ai+bi1F1t+bi2F2t+...+ binFnt min (38)

∑ ==

n

iix

1

1 (39)

0≥ix (40) • kuomet norime rasti minimalią riziką prie pageidaujamo rizikos lygio;

( ) min11

→∑∑===

jiji FFCovbbpn

j

n

i

δ (41)

∑ ==

n

iix

1

1 (42)

0≥ix (43)

48

17 paveiksle yra pavaizduoti visi portfeliai, kurie tenkina bent vieną iš aukščiau minėtų

portfelių. Tokiu atveju apskaičiuojame efektyvių portfelių aibę.

Kaip ir Markowitz modelyje investuotojas sau priimtiną optimalų portfelį rinksis iš

efektyvių portfelių aibės nusibrėžęs savo abejingumo kreives, optimalus akcijų portfelis bus

tame taške kur abejingumo kreivė bus liestinė efektyvių portfelių aibės kreivei.

0

5

10

15

20

25

30

35

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00

Rizika

Akc

ijų p

elni

ngum

as, p

roc

17 pav. Efektyvių portfelių aibė sudarius daugiafaktorinį modelį

Investuojant į akcijų portfelį lygiomis dalimis galima uždirbti 11,52 proc.

pelningumą, tačiau patirtume 11,08 riziką. Išsprendus kvadratinio optimizavimo uždavinį galima

sudaryti tokį portfelį, kurio pelningumas būtų 11,52 proc., tačiau rizika būtų žymiai mažesnė

t.y.6,28 proc. Tokio portfelio sudėtis yra parodyta 6 paveiksle.

Alita, 9.68%

Klaipėdos baldai, 32.40%

Linas, 9.75%Šiauliu bankas,

18.92%

Ūkio bankas, 17.44%

Žemaitijos pienas, 11.81%

18 pav. Daugiafaktorinio modelio akcijų portfelio struktūra, esant 11,52 proc.

pelningumui ir 6,28 proc. rizikai

49

19 pav. Daugiafaktorinio modelio akcijų portfelio priklausomybės nuo atrinktų

makroveiksnių determinacijos koeficientai

Regresinio modelio vertinimas yra jo statistinio pagrįstumo pripažinimas, sudarantis

prielaidas praktiškai modelį pritaikyti priimant tam tikrus sprendimus, populiarinant statistines

išvadas bei prognozuojant tiriamo reiškinio elgesį būsimais laiko momentais ar iš anksto žinant jį

lemiančių veiksnių lygį.

Determinacijos koeficientas parodo, kokia dalimi analizuojami veiksniai apsprendžia

rezultatinį rodiklį. Kaip matyti iš 19 paveikslo, daugumos įmonių šis rodiklis yra labai nedidelis.

Tai reiškia, jog, analizuojami makroveiksniai, įmonių akcijų pelningumui turi nedidelę įtaką.

0.000.501.001.502.002.503.003.504.004.505.00

Alit

a

Ekr

anas

Grig

iske

s

Inva

lda

Kla

iped

os b

alda

i

Lina

s

Liet

uvos

tele

kom

as

Pan

evez

io s

taty

bos

trest

as

Pie

no z

vaig

zdes

Rok

iski

o su

ris

Sia

uliu

ban

kas

Stu

mbr

as

Uki

o ba

nkas

Ute

nos

triko

taza

s

Zem

aitij

os p

iena

s

Fak t inis fis erio k riterijus Teorinis fis erio k riterijus

20 pav. Daugiafaktorinio modelio fišerio kriterijų palyginimas

0.00%10.00%

20.00%30.00%40.00%

50.00%60.00%

70.00%80.00%

Alit

a

Ekra

nas

Grig

iske

s

Inva

lda

Kla

iped

os b

alda

i

Lina

s

Liet

uvos

tele

kom

as

Pane

vezi

o st

atyb

os tr

esta

s

Pien

o zv

aigz

des

Rok

iski

o su

ris

Siau

liu b

anka

s

Stum

bras

Uki

o ba

nkas

Ute

nos t

rikot

azas

Zem

aitij

os p

iena

s

Determinacijos koeficientas

50

Iš visų analizuojamų įmonių, tik 1 įmonės faktinis Fišerio kriterijus yra didesnis negu

teorinis. Tai reiškia, jog regresinio modelio statistinis pagrįstumas yra labai mažas.

Analizuojant Stjudento kriterijų, kuris parodo modelio parametrų statistinį pagrįstumą,

matome, jog iš visų apskaičiuotų regresijos lygčių parametrų, nei vienos įmonės regresijos

lygties parametrų neviršijo teorinio Studento kriterijaus reikšmės. Tai reiškia, jog apskaičiuoti

regresijos lygties parametrai statistikai nėra pagrįsti.

Kadangi dauguma modelio kokybės charakteristikų neviršija teorinių reikšmių, galima

teigti, jog modelis nėra pagrįstas, ir jo taikyti praktikoje negalima. Tai reiškia, jog analizuojamų

įmonių akcijų pelningumui didelę įtaką turi veiksniai, kurie neįtraukti į modelį.

3.4. Akcijų portfelio formavimo modelių palyginimas

Lyginant Markowitz, rinkos bei faktorinius modelius reikia prisiminti, jog Markowitz

modelius įvertina visą vertybinio popieriaus riziką (tiek sisteminę, tiek nesisteminę), o rinkos bei

faktoriniai modeliai tiesiogiai įvertina tik faktorinę riziką, rinkos modelis rinkos (sisteminę)

riziką, o faktoriniai modeliai riziką faktorių įtrauktų į modelį. Todėl rezultatų neatitikimas

rizikos požiūriu yra galimas, kadangi tiriame skirtingas rizikas. Tačiau skirtumai tarp

analizuojamų modelių turėtų būti labai nežymūs, nes tiek rinkos, tiek daugiafaktoriniai modeliai

siekia to paties tikslo, sudaryti efektyvių portfelių aibę, tačiau su mažesnėmis skaičiavimų

apimtimis.

Lyginant gautus rezultatus apskaičiuotus šiuos modelius matosi keletas skirtumų.

Visų pirma investuojant į akcijų portfelį lygiomis dalims gauname tokį pat pelningumą,

tačiau riziką, kurią patiriame investuodami lygiomis dalims skiriasi

11 lentelė

Markowitz, rinkos ir daugiafaktorinio modelio rezultatai, investuojant į akcijų portfelį

lygiomis dalimis

Rodikliai Markowitz modelis Rinkos modelis Daugiafaktorinis modelis

Pelningumas 11,52 11,52 11,52

Rizika 11,08 14,54 14,36

Iš 11 lentelės matosi, jog tiek rinkos modelio, tiek daugiafaktorinio modelio rizika,

investuojant į akcijų portfelį lygiomis dalimis skiriasi nuo rizikos, kurią patirtume pagal

Markowitz modelį. Tai rodo, jog sudaryti modeliai (rinkos bei daugiafaktorinis) nėra visiškai

patikimi, nes rizika turėtų būti labai artima Markowitz modeliui. Sudarydami faktorinius

51

modelius darome prielaidą, jog akcijų pelningumą veikia tik faktoriai, tačiau rezultatai rodo, jog

akcijų pelningumui šie faktoriai didelės įtakos neturi, todėl gavome tokį rizikos nukrypimą nuo

Markowitz modelio. Tai, taip pat patvirtina apskaičiuoti modelių (rinkos bei daugiafaktorinio)

patikimumo kriterijai. Tiek rinkos modelio, tiek daugiafaktorinio modelio determinacijos

koeficientai parodė, jog veiksniai daro labai nedidelę įtaką akcijų pelningumu. Taip pat

daugumos įmonių Fišerio kriterijus neviršijo teorinių reikšmių.

Analizuojant visų modelių efektyvių portfelių aibių išsidėstymą, taip pat matosi dideli

skirtumai, kaip buvo minėta anksčiau investuotojas optimalų portfelį renkasi tame taške, kur jo

nusibraižytos abejingumo kreivės yra liestinė su efektyvių akcijų portfelių aibe. Todėl, efektyvių

portfelių aibių skirtingas išsidėstymas sąlygos skirtingą optimalaus portfelio pasirinkimą.

Kaip matosi iš 9, 12 ir 17 paveikslų efektyvių portfelių aibės yra skirtingai išsidėsčiusios

pagal skirtingus modelius, tai savaime suprantama, investuotojas pasirinks skirtingus optimalius

portfelius ir jų struktūrą bus skirtinga. Tai dar viena priežastis, dėl ko rinkos bei daugiafaktorinis

modeliai nėra patikimi, nes pagal juos sudaryti optimalūs akcijų portfeliai savo sudėtimi skirsis

nuo sudaryto pagal Markowitz modelį.

12 lentelėje yra pavaizduota akcijų portfelių sudėtis, pagal kiekvieną modelį, jeigu

norėtume gauti tą patį 11,52 proc. pelningumą. Tai tik patvirtina aukščiau išsakytą mintį, kadangi

akcijų portfelių sudėtį pagal analizuojamus modelius gauname skirtingą.

12 lentelė

Akcijų portfelių sudėtis, norint gauti 11,52 proc. pelningumą

Įmonės Markowitz

modelis, proc.

Rinkos modelis,

proc.

Daugiafaktorinis modelis, proc.

Alita 8.87 5.86 9.68 Ekranas - 10.96 - Grigiškės 33.09 6.99 - Invalda - 11.22 - Klaipėdos baldai 6.51 7.05 32.4 Linas - 5.97 9.75 Lietuvos telekomas - 5.71 - Panevėžio statybos trestas 1.22 4.55 - Pieno žvaigždės - 6.45 - Rokiškio sūris 22.17 6.30 - Šiauliu bankas 23.47 5.38 18.92 Stumbras 2.94 6.13 - Ūkio bankas 1.74 4.27 17.44 Utenos trikotažas - 6.27 - Žemaitijos pienas - 6.88 11.81

Suma 100 100 100

52

Sudarius visus tris modelius galima padaryti tokias išvadas:

• sudarius daugiafaktorinį ir rinkos modelį gavome, jog norėdami gauti tą patį

pelningumą patirsime skirtingą riziką negu pagal Markowitz modelį, todėl rinkos

bei daugiafaktorinis modelis nėra patikimi;

• tiek daugiafaktorinio, tiek rinkos modelio efektyvių portfelių aibė yra išsidėsčiusi

skirtingai, negu Markowitz modelį, todėl investuotojas visų modelių atvejais

rinksis skirtingus optimalius portfelius, ir atitinkamai akcijų portfelių sudėtis taip

pat skirsis;

• apskaičiavus rinkos, bei daugiafaktorinio modelio patikimumo rodiklius,

dauguma iš jų neviršijo teorinių reikšmių, tai rodo, jog sudaryti modeliai nėra

statistikai patiki.

53

IŠVADOS IR PASIŪLYMAI

Išanalizavus akcijų portfelio modelius bei jų pritaikomumą Lietuvos sąlygomis, galima

padaryti tokias išvadas bei pasiūlymus:

1) Šiuolaikinė portfelio teorija, yra paremta standartinio nuokrypio, kaip rizikos mato,

skaičiavimu, visi akcijų portfelio formavimo modeliai, rizikai įvertinti naudoja standartinį

nuokrypį;

2) Visų analizuojamų modelių tikslas yra sudaryti efektyvių portfelių aibę. Efektyvių

portfelių aibę sudaro visi portfeliai, kurie tenkina, bet vieną iš sąlygų:



3) Investuojas optimalų akcijų portfelį rinksis, efektyvių portfelių aibės grafike nusibraižęs

abejingumo kreives, optimalus portfelis bus tas portfelis, kuris bus abejingumo kreivės liestinė

su efektyvių portfelių aibės kreive;

4) Markowitz modelis yra klasikinis, akcijų portfelio formavimo modelis, didžiausias jo

trūkumas yra labai didelį skaičiavimų apimtis;

5) Faktoriniai modeliai žymiai supaprastina akcijų portfelio pelningumo ir rizikos

apskaičiavimą lyginant su Markowitz modeliu;

6) Rinkos modelį, galima vadinti vienfaktoriniu modeliu, kur akcijų pelningumas tiesiogiai

priklauso nuo Beta koeficiento;

7) Markowitz modelis įvertina visą vertybinio popieriaus riziką, rinkos modelis tiesiogiai

įvertina rinkos (sisteminę) riziką, o faktoriniai modeliai tiesiogiai įvertina faktorinę riziką;

8) Tiek rinkos modelio, tiek daugiafaktorinio modelio rizika, investuojant į akcijų portfelį

lygiomis dalimis skiriasi nuo rizikos, kurią patirtume pagal Markowitz modelį. Tai rodo, jog

sudaryti modeliai (rinkos bei daugiafaktorinis) nėra visiškai patikimi, nes rizika turėtų būti labai

artima Markowitz modeliui;

9) Analizuojant visų modelių efektyvių portfelių aibių išsidėstymą, taip pat matosi dideli

skirtumai, investuotojas optimalų portfelį renkasi tame taške, kur jo nusibraižytos abejingumo

kreivės yra liestinė su efektyvių akcijų portfelių aibe. Todėl, efektyvių portfelių aibių skirtingas

išsidėstymas sąlygos skirtingą optimalaus portfelio pasirinkimą;

10) kadangi efektyvių portfelių aibės yra skirtingai išsidėsčiusios pagal skirtingus modelius, tai

savaime suprantama, investuotojas pasirinks skirtingus optimalius portfelius ir jų struktūrą bus

skirtinga. Todėl rinkos bei daugiafaktorinis modeliai nėra patikimi, nes pagal juos sudaryti

optimalūs akcijų portfeliai savo sudėtimi skirsis nuo sudaryto pagal Markowitz modelį;

54

11) Sudarius daugiafaktorinį ir rinkos modelį, gavome, jog dauguma modelių kokybės

charakteristikų neviršija teorinių, todėl galima teigti, jog modeliai nėra pagrįsti, ir jų taikyti

praktikoje negalima. Tai reiškia, jog rinkos modelio ir daugiafaktorinio modelio taikymas

Lietuvos sąlygomis yra netinkamas.

55

LITERATŪROS SĄRAŠAS

1. Aleknevičienė V. Įmonės finansų valdymas. – Akademija, 2004.

2. Adams A., Bloomfield D., Booth P., England P. Investment mathematics and statistics. –

London: Kluver Law International, 1993.

3. Boguslauskas V. Ekonometrika. - Kaunas: Technologija, 1999.

4. Boguslauskas V. Ekonometrikos pagrindai. Kaunas: Technologija, 2004.

5. Cyril Pat Obi. Verslo finansų pagrindai. – Kaunas: Technologija, 1998.

6. Francis J. Clark. Management of investments. - New York:McGraw-Hill book co.,1998.

7. Frank. J Fabozzi. Управление инвестициями. – Москва: Инфра, 2000.

8. Frank J. Fabozzi., F. Modigliani., Frank F. Jones., Michael G. Ferri. Foundations of financial

markes and institutions. – New Jersey: Upper Saddle River, 2002

9. Gaidienė Z. Finansų valdymas. – Kaunas: Pasaulio lietuvių kultūros, mokslo ir švietimo

centras, 1998.

10. Genienė M. Bendroji ir žemės ūkio statistika. – Vilnius: Margi raštai, 1998.

11. Gitman J. Lawrence., Joehnk D Michael. Fundamentals of investing. – New York:

HarperCollins college publishing, 1996.

12. Johnson E. Timothy. Investment principles. – New Jersey: Prentice Hall, 1983.

13. John M. Cheney., Edward A. Moses. Fundamentals of investments. – St. Paul: West

publishing company, 1992.

14. Jones Ch. P. Investments: analysis and management. – New York: John Wiley and Sons,

1985.

15. Kancerevyčius G. Finansai ir investicijos - Kaunas: Smaltijos leidykla, 2004.

16. Koch R. Менеджмент и финансы. - Санкт-Петербург : Питер, 1999.

17. Leonavičienė B. Microsoft Excel XP. - Kaunas: Smaltijos leidykla, 2003.

18. Lietuvos Bankas statistika.

<http://www.lb.lt/lt/statistika/index.htm>(2006 05 01)

19. Lietuvos statistikos departamentas statistika.

<http://www.std.lt/lt/pages/view/?id=1109>

20. Mackevičius J., Poškaitė D. Finansinė analizė. – Vilnius: Katalikų pasaulis, 1998.

21. Mayo B. Herbert. Investments. – Chicago. – The Dryden Press, 1991.

22. Martinėnas B. Eksperimento duomenų statistinė analizė. - Vilnius: Technika, 2004.

23. Martirosianienė L., Masionytė G., Žaltauskienė N. Investicijų į vertybinius popierius rizikos

vertinimo metodai. LŽŪU Mokslo darbai. 2002. Nr. 56

24. Martišius S. Ekonometrika ir prognozavimas. – Vilnius: Vilniaus universiteto leidykla, 2000.

56

25. Microsoft office. Microsoft office excel 2003.

<http://office.microsoft.com/lt-lt/assistance/CH790018021063.aspx>(2006 05 01)

26. Mituzienė R. Finansų pagrindai.-Šiauliai: Šiaulių kolegijos leidybos centras, 2005.

27. Nedzveckas J., Rasimavičius G. Beta koeficiento taikymo Lietuvos vertybinių popierių

rinkos analizei problema. Ekonomika ir vadyba. – Kaunas: Technologija, 2000.

28. Nedzveckas J., Rasimavičius G. Faktoriniai modeliai ir vertybinių popierių pajamingumas.

Inžinerinė ekonomika, 2000. Nr. 1

29. Norvaišienė R.Įmonės investicijų valdymas. – Kaunas: Technologija, 2004.

30. Ollson U., Engstrand U., Rupšys P. Statistiniai metodai. – Kauno r.: LŽŪU leidybos centras,

2000.

31. OMX vertybinių popierių birža. Prekybos informacija.

<http://market.lt.omxgroup.com/?pg=stats>(2006 05 01)

32. Rasimavičius G. Akcijų portfelio sudarymas ir valdymas besikuriančioje rinkoje. Socialiniai

mokslai, 2000

33. Rauluškevičienė J. Ekonometrika. Praktikos darbų medžiaga. – Kauno r.: LŽŪU leidybos

centras. 2005.

34. Rutkauskas A.V. Finansų valdymas. – Šiauliai: Šiaulių universiteto leidykla, 2002.

35. Sharpe F. Williams., Alexander J. Gordon., Bailey V. Jeffery. Инвестиция. – Москва:

Инфра – М, 1998.

36. Šakys V. Microsoft Excel 2000 ir 2002. – Kaunas: Smaltija, 2002.

37. Tarptautinių žodžių žodynas. – Vilnius: Vyriausioji enciklopedijų redakcija, 1985.

38. Vainienė R. Ekonomikos terminų žodynas. – Vilnius: Tyto alba, 2005.

39. Valančiauskas R. Akcijų portfelio sudarymas ir valdymas (1)// Kauno diena. – 1997, spalio

25.

40. Valakevičius E. Investicijų mokslas. – Kaunas: Technologija, 2001.

41. Valakevičius E.. Žolytė R. Lietuvos firmų akcijų portfelio statistinis modelis ir jo tyrimas.

Inžinerinė ekonomika, 2003. Nr. 4.

57

1 priedas

Imonių akcijų kainos

Metai Ketvirčiai

Alita Ekranas

Grigiškės

Invalda

Klaipėdos baldai

LinasLietuvos telekoma

s

Panevėžio

statybos trestas

Pieno žvaigždės

Rokiškio sūris

Šiauliu bankas

Stumbras Ūkio bankas

Utenos trikotaža

s

Žemaitijos

pienas

2000.00 4 0.67 6.76 0.18 0.21 0.8 0.58 2.1 0.55 1.04 20.8 50 2.41 3.86 3.39 4.61 0.57 8.4 0.3 0.35 1.4 0.46 1.92 0.52 1.55 18.8 50 2.4 3.28 3.37 10.52 0.59 6.2 0.23 0.24 1.28 0.42 1.55 0.44 1.32 18.95 50 2.1 2.98 2.9 7.953 0.55 5 0.27 0.23 1.2 0.38 1.22 0.37 1.27 23.5 50 1.95 3.05 2.76 84 0.64 5.9 0.31 0.27 1.21 0.36 1.24 0.33 1.5 30.45 50 2.05 3.1 3.9 10.91 0.85 5.73 0.36 0.3 2 0.35 1.52 0.54 1.52 28 47.5 2.7 3.5 2.75 11.32 0.83 5.85 0.37 0.34 2.7 0.33 1.13 0.4 1.38 27 47.5 3.43 3.6 2.4 11.53 0.91 6.5 0.46 0.35 3 0.42 0.84 0.36 1.3 26.99 47.5 3.93 3.2 2.82 9.54 0.95 5.9 0.63 0.37 3.15 0.42 0.9 0.5 1.17 24 47.5 4.2 3.07 2.65 9.41 0.9 5.01 0.97 0.47 4.14 0.57 1 0.5 1.2 22.15 49 4.86 3.3 4.1 102 1.25 4.91 1.63 1.47 7.56 0.56 1.41 0.51 1.4 29.9 1.07 5.45 4.45 5.6 13.13 1.15 6.56 2.3 2.23 11.5 0.75 1.49 1 2.02 44.55 1.03 5.41 6.12 6.5 14.414 0.98 5.75 2.38 2.76 9.1 0.55 1.57 1.25 3.05 46 1.1 5.48 6.5 6.25 20.51 1.05 7 3 4.6 10.98 0.71 2.27 1.7 4.79 70.5 1.55 5.55 7.15 7 34.52 1.15 7.11 2.74 4.41 9.1 0.8 1.84 1.6 4.3 67 1.85 5.5 6.5 8.2 22.53 1.04 7.3 3 4.8 9.03 0.84 1.89 1.5 4.9 69.1 1.78 5.45 6.07 8.87 23.54 2.03 7.2 3.55 7.5 11 1.37 2.15 1.69 5.7 76 2.17 6.5 7.28 8.87 271 3.4 5.15 3.7 11.4 8.8 1.01 2.35 6.99 5.38 74 3.05 13.51 9.2 9.2 25.72 2.95 2.25 3.6 10.94 8.71 0.94 2.18 7.2 5.25 77.77 3.25 12.1 11 8.49 29.953 3.37 1.83 3.9 11.4 9 1.23 2.79 8.65 4.78 71.3 4.5 13 35 10.6 20.814 3.2 1.43 3.6 13.85 8.8 1 2.71 14 4.48 75 4 10 21.3 8.96 19.5

2005.00

2001.00

2002.00

2003.00

2004.00

58

2 priedas

Įmonių akcijų pelningumai

Metai Ketvirčiai Alita Ekranas Grigiškės InvaldaKlaipėdos

baldai LinasLietuvos telekomas

Panevėžio statybos trestas

Pieno žvaigždės

Rokiškio sūris

Šiauliu bankas Stumbras

Ūkio bankas

Utenos trikotažas

Žemaitijos pienas

1 -14.93 24.26 66.67 66.67 75.00 -20.69 -8.57 -5.45 49.04 -9.62 0.00 -0.41 -15.03 -0.59 128.262 3.51 -26.19 -23.33 -31.43 -8.57 -8.70 -19.27 -15.38 -14.84 0.80 0.00 -12.50 -9.15 -13.95 -24.293 -6.78 -19.35 17.39 -4.17 -6.25 -9.52 -21.29 -15.91 -3.79 24.01 0.00 -7.14 2.35 -4.83 0.634 16.36 18.00 14.81 17.39 0.83 -5.26 1.64 -10.81 18.11 29.57 0.00 5.13 1.64 41.30 36.251 32.81 -2.88 16.13 11.11 65.29 -2.78 22.58 63.64 1.33 -8.05 -5.00 31.71 12.90 -29.49 3.672 -2.35 2.09 2.78 13.33 35.00 -5.71 -25.66 -25.93 -9.21 -3.57 0.00 27.04 2.86 -12.73 1.773 9.64 11.11 24.32 2.94 11.11 27.27 -25.66 -10.00 -5.80 -0.04 0.00 14.58 -11.11 17.50 -17.394 4.40 -9.23 36.96 5.71 5.00 0.00 7.14 38.89 -10.00 -11.08 0.00 6.87 -4.06 -6.03 -1.051 -5.26 -15.08 53.97 27.03 31.43 35.71 11.11 0.00 2.56 -7.71 3.16 15.71 7.49 54.72 6.382 38.89 -2.00 68.04 212.77 82.61 -1.75 41.00 2.00 16.67 34.99 -97.82 12.14 34.85 36.59 31.003 -8.00 33.60 41.10 51.70 52.12 33.93 5.67 96.08 44.29 49.00 -3.74 -0.73 37.53 16.07 10.004 -14.78 -12.35 3.48 23.77 -20.87 -26.67 5.37 25.00 50.99 3.25 6.80 1.29 6.21 -3.85 42.261 7.14 21.74 26.05 66.67 20.66 29.09 44.59 36.00 57.05 53.26 40.91 1.28 10.00 12.00 68.292 9.52 1.57 -8.67 -4.13 -17.12 12.68 -18.94 -5.88 -10.23 -4.96 19.35 -0.90 -9.09 17.14 -34.783 -9.57 2.67 9.49 8.84 -0.77 5.00 2.72 -6.25 13.95 3.13 -3.78 -0.91 -6.62 8.17 4.444 95.19 -1.37 18.33 56.25 21.82 63.10 13.76 12.67 16.33 9.99 21.91 19.27 19.93 0.00 14.891 67.49 -28.47 4.23 52.00 -20.00 -26.28 9.30 313.61 -5.61 -2.63 40.55 107.85 26.37 3.72 -4.812 -13.24 -56.31 -2.70 -4.04 -1.02 -6.93 -7.23 3.00 -2.42 5.09 6.56 -10.44 19.57 -7.72 16.543 14.24 -18.67 8.33 4.20 3.33 30.85 27.98 20.14 -8.95 -8.32 38.46 7.44 218.18 24.85 -30.524 -5.04 -21.86 -7.69 21.49 -2.22 -18.70 -2.87 61.85 -6.28 5.19 -11.11 -23.08 -39.14 -15.47 -6.30

Vidurkis 10.96 -4.94 18.48 29.91 16.37 5.23 3.17 28.86 9.66 8.12 2.81 9.71 15.28 6.87 12.26

2005

2001

2002

2003

2004

59

3 priedas Koreliacijos koeficientai tarp įmonių akcijų pelningumų

Įmonės Alita Ekranas Grigiškės InvaldaKlaipėd

os baldai

Linas Lietuvos telekomas


Pieno žvaigždės

Rokiškio sūris

Šiauliu bankas


Utenos trikotažas

Žemaitijos pienas

Alita 1.00 -0.03 0.01 0.35 0.07 0.33 0.37 0.43 -0.14 0.02 0.08 0.62 0.18 0.03 -0.16Ekranas -0.03 1.00 0.49 0.29 0.49 0.32 0.13 -0.16 0.60 0.43 -0.08 -0.08 -0.13 0.28 0.43Grigiškės 0.01 0.49 1.00 0.68 0.76 0.22 0.40 -0.08 0.46 0.24 -0.45 0.05 0.02 0.47 0.57Invalda 0.35 0.29 0.68 1.00 0.63 0.05 0.61 0.14 0.44 0.46 -0.61 0.19 0.06 0.36 0.45Klaipėdos baldai

0.07 0.49 0.76 0.63 1.00 0.18 0.36 -0.16 0.35 0.20 -0.55 0.00 0.02 0.11 0.49

Linas 0.33 0.32 0.22 0.05 0.18 1.00 0.28 -0.22 0.07 0.23 0.21 -0.09 0.33 0.42 -0.20Lietuvos telekomas

0.37 0.13 0.40 0.61 0.36 0.28 1.00 0.26 0.41 0.38 -0.10 0.18 0.44 0.30 0.26


0.43 -0.16 -0.08 0.14 -0.16 -0.22 0.26 1.00 -0.01 0.00 0.30 0.77 0.10 -0.12 -0.10

Pieno žvaigždės

-0.14 0.60 0.46 0.44 0.35 0.07 0.41 -0.01 1.00 0.56 -0.01 -0.15 -0.08 0.15 0.80

Rokiškio sūris

0.02 0.43 0.24 0.46 0.20 0.23 0.38 0.00 0.56 1.00 -0.21 -0.20 -0.03 0.28 0.28

Šiauliu bankas

0.08 -0.08 -0.45 -0.61 -0.55 0.21 -0.10 0.30 -0.01 -0.21 1.00 0.24 0.23 -0.15 -0.11

Stumbras 0.62 -0.08 0.05 0.19 0.00 -0.09 0.18 0.77 -0.15 -0.20 0.24 1.00 0.14 0.03 -0.10Ūkio bankas 0.18 -0.13 0.02 0.06 0.02 0.33 0.44 0.10 -0.08 -0.03 0.23 0.14 1.00 0.28 -0.23Utenos trikotažas

0.03 0.28 0.47 0.36 0.11 0.42 0.30 -0.12 0.15 0.28 -0.15 0.03 0.28 1.00 0.04

Žemaitijos pienas

-0.16 0.43 0.57 0.45 0.49 -0.20 0.26 -0.10 0.80 0.28 -0.11 -0.10 -0.23 0.04 1.00

60

4 priedas

Kovariacijos koeficientai tarp įmonių akcijų pelningumų

Įmonės Alita Ekranas Grigiškės Invalda Klaipėdos baldai

Linas Lietuvos telekomas


Pieno žvaigždės

Rokiškio sūris

Šiauliu bankas


Utenos trikotažas

Žemaitijos pienas

Alita 734 -18 6 458 59 205 195 827 -86 10 56 427 230 18 -148Ekranas -18 405 231 284 292 148 51 -221 265 160 -42 -41 -127 113 305Grigiškės 6 231 547 759 528 120 183 -125 236 102 -282 28 28 222 470Invalda 458 284 759 2,302 905 60 571 479 460 410 -793 230 149 350 757Klaipėdos baldai

59 292 528 905 885 120 206 -327 230 111 -440 -1 35 64 508

Linas 205 148 120 60 120 526 125 -349 37 98 132 -52 369 192 -159Lietuvos telekomas

195 51 183 571 206 125 377 352 175 137 -51 88 415 115 174


827 -221 -125 479 -327 -349 352 4,966 -14 3 579 1,376 328 -171 -240

Pieno žvaigždės

-86 265 236 460 230 37 175 -14 483 227 -3 -85 -89 67 620

Rokiškio sūris

10 160 102 410 111 98 137 3 227 344 -104 -96 -25 105 180

Šiauliu bankas

56 -42 -282 -793 -440 132 -51 579 -3 -104 730 166 301 -81 -106

Stumbras 427 -41 28 230 -1 -52 88 1,376 -85 -96 166 640 169 15 -90Ūkio bankas 230 -127 28 149 35 369 415 328 -89 -25 301 169 2,358 269 -396Utenos trikotažas

18 113 222 350 64 192 115 -171 67 105 -81 15 269 400 28

Žemaitijos pienas

-148 305 470 757 508 -159 174 -240 620 180 -106 -90 -396 28 1,235

61

5 priedas Daugiafaktorinio modelio Stjudento kriterijai

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

Alit

a

Ekra

nas

Grig

iske

s

Inva

lda

Kla

iped

os b

alda

i

Lina

s

Liet

uvos

tele

kom

as

Pane

vezi

o st

atyb

os tr

esta

s

Pien

o zv

aigz

des

Rok

iski

o su

ris

Siau

liu b

anka

s

Stum

bras

Uki

o ba

nkas

Ute

nos

triko

taza

s

Zem

aitij

os p

iena

s

Teorinis stjudento kriterijus Nulinis faktorius

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50A

lita

Ekra

nas

Grig

iske

s

Inva

lda

Kla

iped

os b

alda

i

Lina

s

Liet

uvos

tele

kom

as

Pane

vezi

o st

atyb

os tr

esta

s

Pien

o zv

aigz

des

Rok

iski

o su

ris

Siau

liu b

anka

s

Stum

bras

Uki

o ba

nkas

Ute

nos

triko

taza

s

Zem

aitij

os p

iena

s

Teorinis stjudento kriterijus Tiesiogines investicijos Lietuvoje

62

5 priedo tęsinys

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

Alit

a

Ekra

nas

Grig

iske

s

Inva

lda

Kla

iped

os b

alda

i

Lina

s

Liet

uvos

tele

kom

as

Pane

vezi

o st

atyb

os tr

esta

s

Pien

o zv

aigz

des

Rok

iski

o su

ris

Siau

liu b

anka

s

Stum

bras

Uki

o ba

nkas

Ute

nos

triko

taza

s

Zem

aitij

os p

iena

s

Teorinis stjudento kriterijus Pinigu kiekis

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

Alit

a

Ekra

nas

Grig

iskes

Inva

lda

Kla

iped

os b

alda

i

Lina

s

Liet

uvos

tele

kom

as

Pane

vezi

o sta

tybo

s tre

stas

Pien

o zv

aigz

des

Roki

skio

suris

Siau

liu b

anka

s

Stum

bras

Uki

o ba

nkas

Ute

nos t

rikot

azas

Zem

aitij

os p

iena

s

Teorinis stjudento kriterijus Eksportas

63

5 priedo tęsinys

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

Alit

a

Ekra

nas

Grig

iskes

Inva

lda

Kla

iped

os b

alda

i

Lina

s

Liet

uvos

tele

kom

as

Pane

vezi

o sta

tybo

s tre

stas

Pien

o zv

aigz

des

Roki

skio

suris

Siau

liu b

anka

s

Stum

bras

Uki

o ba

nkas

Ute

nos t

rikot

azas

Zem

aitij

os p

iena

s

Teorinis stjudento kriterijus BVP

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

Alit

a

Ekra

nas

Grig

iskes

Inva

lda

Kla

iped

os b

alda

i

Lina

s

Liet

uvos

tele

kom

as

Pane

vezi

o sta

tybo

s tre

stas

Pien

o zv

aigz

des

Roki

skio

suris

Siau

liu b

anka

s

Stum

bras

Uki

o ba

nkas

Ute

nos t

rikot

azas

Zem

aitij

os p

iena

s

Teorinis stjudento kriterijus VKI

64

6 priedas

Beta koeficientų palyginimas

Įmonė

Įmonės akcijų

pelningumo standartinis nuokrypis

Koreliacijos koeficientas, tarp

akcijų pelningumo ir akcijų indekso

Akcijų indekso standartinis nuokrypis

Beta koeficientas

Beta koeficientas iš

regresijos lygčių

Alita 27.76 0.18 135.937 0.038 0.038 Ekranas 20.63 -0.46 135.937 -0.070 -0.070 Grigiškės 23.96 -0.37 135.937 -0.066 -0.066 Invalda 49.17 -0.04 135.937 -0.014 -0.014 Klaipėdos baldai 30.49 -0.34 135.937 -0.076 -0.076 Linas 23.51 0.10 135.937 0.018 0.018 Lietuvos telekomas 19.90 0.27 135.937 0.040 0.040 Panevėžio statybos trestas 72.21 0.35 135.937 0.184 0.184 Pieno žvaigždės 22.52 -0.14 135.937 -0.023 -0.023 Rokiškio sūris 19.00 -0.08 135.937 -0.011 -0.011 Šiauliu bankas 27.69 0.35 135.937 0.072 0.072 Stumbras 25.93 0.04 135.937 0.009 0.009 Ūkio bankas 49.76 0.52 135.937 0.190 0.190 Utenos trikotažas 20.49 -0.06 135.937 -0.009 -0.009 Žemaitijos pienas 36.01 -0.24 135.937 -0.064 -0.064

AKCIJŲ PORTFELIO FORMAVIMO MODELIŲ TYRIMAI...Portfelis – subjekto turimas vertybinių popierių...

Documents

Transcript of AKCIJŲ PORTFELIO FORMAVIMO MODELIŲ TYRIMAI...Portfelis – subjekto turimas vertybinių popierių...