Ajustements 2 non-linéaires. Minimisation du 2 On ne peut solutionner analytiquement.
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Ajustements 2 non-linéaires
Minimisation du 2
ijj
i
i j
i
i
ii
Ca
xf
a
xfyxf
)(
0)()(
2
On ne peut solutionner analytiquement
Algorithme
• Calcule localement le 2 et son gradient– On calcule numériquement les Cij
• Change les paramètres dans la direction inverse du gradient
• Recalcule et réitère jusqu’à ce que le 2 ne diminue presque plus
Près du minimum du 2
• Développement parabolique
ijji
ji
i jji
jiii
i
aa
aa
aaaa
aa
122
22
2222
02
2
1
2
1
2
1
est la matrice de courbure du 2
lsqcurvefit
• Moindres carrés non-linéaires
• Erreurs non considérées (i = 1)
• On cherche la solution itérativement
• Nécessite un point de départ (ai)
Moindres carrés pondérés
• On construit soi-même le 2
• On minimise 2 avec fminunc
• x = fminunc(chi2,x0)
i i
ii yxf2
2 )(
Distribution 2
• Soit f(x) la vraie fonction,
• Les mesures yi sont en moyenne à une distance i de la courbe
• En moyenne, 2 = n
• Si on refait souvent les mesures, on obtient une distribution du 2
Distribution 2
• Si on réajuste m paramètres de f(x) sur les données,
• Le 2 va diminuer
12
2
2
2
mn
n
2 normalisé
Distribution 2
• La distribution 2 est donnée par
2
2
222
2
2)2(21
22
);();(
)2(2);(
dpP
n
ep
x
Distribution 2 cumulative
Ajout d’un terme ?
• Le 2 s’améliore avec m
• Il faut voir si m + 1 améliore significativement l’ajustement
• On compare 2 pour m et m + 1
22
21
F
Test F
• En fait, on considère l’amélioration relative du 2
• F est petit si l’ajout d’un terme est inutile
2
2
2
22
)1/()(
)1()(
mnm
mmF