Aislacion sismica tesis pealmave
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Bach. Rafael Arribasplata Díaz Bach. Peter A. Marín Velásquez
RESUMEN.
Los análisis sísmicos convencionales que se realizan en nuestro medio
se hacen a partir de dos análisis ortogonales, hechos por separado en
las direcciones principales del edificio. Las estructuras están
expuestas a recibir la carga sísmica en cualquier dirección. Se plantea
hacer un análisis dinámico sometiendo la estructura a recibir carga
sísmica en distintas direcciones, partiendo de un eje principal “X”
considerándolo como “0º” (cero grados) e ir girando de 10º en 10º
hasta completar una circunferencia, de este modo podremos observar
el comportamiento del edificio; a través de esta comparación se
quiere determinar a que acción de sismo una estructura es mas
vulnerable como también determinar si existe alguna relación entre
las respuesta estructural del edificio para diferentes entradas de
sismo.
En nuestro país no se cuenta con un código sobre sistemas
antisísmicos de aislamiento de base o disipadores de energía. El
siguiente trabajo presenta una investigación analítica de aislamiento
en la base para el Edificio Policlínico de la U.N.C. Se diseña el
aislamiento sísmico en la base del edificio y se hace una comparación
de los resultados de las respuestas dinámicas con el mismo edificio
pero de base fija, previo sometimiento sísmico de ambas estructuras
a señales sísmicas y se pretende abarcar un tema de riesgo sísmico
por que a través de esta tesis de gran importancia pretendemos
demostrar la funcionalidad de una estructura de base aislada
mediante la comparación de desplazamientos de entrepiso y
aceleraciones en los elementos resistentes.
En la presente tesis se hace una conceptualización al tema de
Aislación Sísmica de Base, y evaluamos de forma comparativa un
edificio de base fija y el mismo de base aislada presentando una serie
de conclusiones respecto a los parámetros más representativos como
son periodo, desplazamiento, aceleración y solicitaciones.
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Bach. Rafael Arribasplata Díaz Bach. Peter A. Marín Velásquez
INDICE.
1. CAPITULO I
1.1. Introducción.
1.2. Planteamiento del problema.
2. CAPITULO II MARCO TEORICO.
2.1. Antecedentes.
2.2. Teorías existentes relativas al problema.
2.2.1 Teoría de estructuras convencionales de estructuras de base fija.
3.4.2.1 Elementos de dinámica.
A. Dinámica de una partícula.
B. Principio de D’alembert.
C. Movimiento armónico simple.
D. Vibraciones.
E. Movimiento armónico y una fuerza variando en el tiempo.
F. Fuerza restitutiva lineal con amortiguamiento viscoso.
G. Fuerza restitutiva lineal, amortiguamiento viscoso y excitación armónica.
3.4.2.1 Elementos de dinámica de estructuras.
A. Modelos dinámicos.
B. Ecuaciones del movimiento para edificios con comportamiento lineal.
C. Características dinámicas de las estructuras.
D. Características de amortiguamiento de las estructuras.
E. Respuesta sísmica de sistema lineal con un grado de libertad.
F. Respuesta de sistemas con varios grados de libertad mediante análisis modal.
3.4.2.1 Comportamiento dinámico de las estructuras.
A. Modos de vibración.
B. Espectros de respuesta.
2.2.2 Teoría de aislamiento de base.
D. Base teórica de la aislación sísmica.
D.1. Teoría lineal.
D.2. Extensión de la teoría a los edificios.
D.2.1. Ecuaciones de movimiento para sistemas de varios grados de libertad.
D.2.2. Análisis modal de sistemas de varios grados de libertad.
D.3. Análisis dinámico de ecuaciones acopladas.
E. Características Mecánicas y Modelamiento de Aisladores.
E.1. Introducción.
E.2. Características mecánicas de los apoyos elastoméricos.
E.3. Características mecánicas de los apoyos con núcleo de plomo.
E.4. Características mecánicas de los sistemas de péndulo de fricción (FPS)
E.5. Modelamiento de los apoyos aislados por diseño bilineal.
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F. Pandeo y elasticidad de un aislador elastomérico.
F.1. Introducción.
F.2. Estabilidad bajo un gran desplazamiento lateral.
F.3. Estabilidad al rollout.
G. Diseño sísmico para un movimiento de una señal del suelo.
G.1. Introducción.
G.2. Características del movimiento sísmico del suelo.
H. Provisiones del código Norteamericano para Aislamiento Sísmico.
H.1. Introducción.
H.2. Nivel de daños sísmicos.
H.3. Método de diseño.
H.4. Análisis estático.
H.4.1. Factor sísmico de zona.
H.4.2. Tipo de perfil de suelo del lugar.
H.4.3. Tipo de fuente sísmica A, B, C.
H.4.4. Factor de fuentes cercanas: Na y Nv.
H.4.5. Sistema efectivo de periodos de vibración: TD y TM.
H.4.6. Desplazamiento de diseño: DTD Y DTM.
H.4.7. Fuerzas de diseño.
H.4.8. Distribución de la fuerza vertical.
H.4.9. Limites de desplazamiento de entrepiso.
H.5. Análisis dinámico.
H.5.1. Análisis tiempo Historia.
H.5.2. Escalas.
2.3. Formulación de la hipótesis.
3. CAPITULO III METODOLOGIA DE LA INVESTIGACIÓN.
3.1. Tipo y diseño de investigación.
3.2. Procedimiento y técnicas de recolección de datos.
3.3. Descripción del equipo e instrumentos de medición.
3.4. Procesamiento de datos.
3.4.1 Procesamiento de datos hipótesis I.
3.4.1.1 Secuencia para elaborar el modelo estructura.
A. Levantamiento arquitectónico.
B. Levantamiento estructural.
C. Modelo tridimensional.
D. Definición de las propiedades de los materiales.
E. Cálculo de masas y centro de masas.
F. Calculo de Inercias.
G. Definición de cargas de la estructura.
3.4.1.2 Entrada sísmica a utilizar.
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3.4.1.3 Generación de resultados.
3.4.1.4 Comparación e interpretación de resultados.
3.4.1.4.1 Comparación e interpretación de desplazamientos para el bloque I – III – IV
– V y VI -Hipótesis I.
3.4.1.4.2 Comparación e interpretación de desplazamientos para el bloque II –
Hipótesis I
3.4.2 Procesamiento de datos para la hipótesis 2.
3.4.2.1 Selección de los aisladores.
3.4.2.2 Parámetros utilizados para el diseño de los aisladores.
A. Criterios tomados para la compatibilización de parámetros de la UBC y NTE – 030
a. Tipo de suelo.
b. Factor de zona.
c. Factor de reducción de corte RI, para construcción de base aislada.
3.4.2.3 Diseño del aislador seleccionado.
3.4.2.4 Registros sísmicos a utilizar.
3.4.2.5 Modelamiento de la estructura de base aislada.
3.4.2.6 Generación de resultados.
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1. CAPÍTULO I:
1.1 INTRODUCCIÓN.
En nuestra practica diaria de diseño sísmico siempre consideramos el
análisis en dos direcciones X e Y debido al trabajo tedioso que
representa analizar gran cantidad de datos, pero teniendo en
consideración que en una construcción cualquiera habitan seres
humanos y que mientras tengamos mas conocimiento e información
de cómo se comporta una estructura mejor nos permitirá prevenir
desastres , es por ello la intención de la presente tesis que pretende
abarcar este tema mediante la determinación de los desplazamientos
producidos por señales sísmicas a diferentes direcciones con
referencia a un eje de coordenadas Globales a través del modelo
“Edificio Policlínico UNC”.
También haremos notar algunas diferencias en cuanto al
diseño convencional de estructuras frente a un diseño con aislamiento
de base, como por ejemplo las estructuras sismo resistentes
convencionales fundamentan sus conceptos en la ductilidad y en la
redundancia estructural que hace asimilar la fuerzas inducidas por los
sismos, en este tipo de diseños los elementos estructurales se
encargan de disipar la energía, desarrollando la ductilidad en las
secciones mas esforzadas lo que ocasiona daño en los materiales que
lo conforman, en el diseño de un sistema aislado por la base se
desacopla el movimiento de la base del edificio del movimiento del
terreno mediante conectores, ubicados entre la estructura y su
cimentación. Los edificios convencionales toman las fuerzas del sismo
originando la plastificación de sus elementos estructurales e inclusive
no estructurales mientras que los edificios aislados reducen estos
efectos sobre la estructura por que el aislamiento flexible de la base
hace que se modifiquen las características dinámicas del edificio
aumentando el periodo fundamental alejando ha este de las
frecuencias que predominan en los eventos esperados.
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1.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.
o Evaluación del comportamiento de una estructura sometida a
diferentes direcciones de acción sísmica y falta de información
referente a este tema.
o Evaluación del comportamiento de una estructura aislada por la
base vs. La misma de base fija.
1.3 OBJETIVO DE LA INVESTIGACIÓN.
1.3.1 OBJETIVO GENERALES
o Contribuir con el desarrollo de la ingeniería en el país.
o Contribuir con nuestra región Cajamarca.
1.3.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS
o Determinar los desplazamientos de la estructura provocados por
la aplicación de sismos a diferentes direcciones y evaluarlos su
magnitud mediante gráficos y cuadros.
o Analizar la estructura para saber a que dirección de aplicación de
sismo produce las máximas deformaciones.
o Diseño de apoyos aislados para la estructura.
o Analizar y comparar el comportamiento sísmico de la estructura
aislada por la base vs. La estructura actual de base fija.
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2. CAPÍTULO II: MARCO TEÓRICO
2.1 ANTECEDENTES.
Como antecedentes a la presente tesis solo contamos con el
“Proyecto a nivel de Ejecución Construcción del Edificio Policlínico
UNC” del cual nos apoyaremos con la parte de metrado de cargas y
pre-dimensionamiento de elementos, referente al tema de
investigación se cuenta con teorías referentes a la respuesta sísmica
de un edificio en dos direcciones, mas no hemos hallado bibliografía
en cuanto a la respuesta de un edificio a diferentes direcciones de
sismo de una misma magnitud, también para el análisis se hace
referencia a la Norma Peruana E.0-30 de Diseño Sismo Resistente.
Referente al aislamiento sísmico contamos con bibliografía en
Páginas Web y de un texto que nos servirá de guía para las
comparaciones que se quiere hacer, también aremos uso de algunas
Provisiones del Código Norteamericano de Aislamiento sísmico (UBC)
para el diseño del sistema de aislamiento de base (Aisladores).
2.2 TEORÍAS EXISTENTES RELATIVAS AL PROBLEMA DE
INVESTIGACIÓN.
Las teorías existentes relativas al problema de investigación
son dos una de análisis sísmico de estructuras con base fija y otra es
la teoría de aislamiento sísmico las que describimos dentro de la
presente tesis.
2.2.1 TEORIA DE ESTRUCTURAS CONVENCIONALES DE BASE FIJA
Acá describiremos todo lo referente al análisis sísmico de
estructuras convencionales halladas en los libros, además normas
que mencionaremos en la bibliografía.
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A-ELEMENTOS DE DINÁMICA Para comprender el Comportamiento Dinámico de las Estructuras es conveniente entender algunos conceptos de Dinámica Elemental, en éste acápite nos encargaremos de hacer un repaso breve de éstos conceptos. A.1 DINÁMICA DE UNA PARTÍCULA: Consideremos la partícula de la figura A.1 con masa “M”, a la que se le aplica una fuerza “F”. No existe fricción entre la partícula y el plano de deslizamiento. Sabemos además que el movimiento de este cuerpo está gobernado por la 2º Ley de Newton.
aMF *= (A-1)
Figura A.1
Donde “a” es la aceleración que imprime la fuerza “F” a la masa “M” al ser aplicada sobre ésta. Si “x” es el desplazamiento de la partícula en la dirección de aplicación de la fuerza, la ecuación anterior puede escribirse como:
2
2
dt
xdMF =
O lo que es lo mismo:
M
F
dt
xd =2
2
(A-2)
En un caso general podemos tener a “F”: como constante igual a “F0”; como función del tiempo, “F(t)”; de la velocidad, “F(v)”; o del desplazamiento, “F(x)”. Si integramos la ecuación (A-2) para cada uno de éstos casos nos lleva a distintos resultados. Caso 1 (F = F0): La ecuación de movimiento de la partícula a partir de la ecuación (2) es:
10 Ct
M
Fv
dt
dx +== (A-3)
2120
2CtCt
M
Fx ++= (A-4)
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Siendo C1 y C2 constantes de integración. Considerando t=0, v=v0, x=x0 (condiciones iniciales), podemos obtener las bien conocidas ecuaciones:
tM
Fvv 0
0 += (A-5)
2000 2
1t
M
Ftvxx ++= (A-6)
Caso 2 (F = F(t)): La ecuación (A-2) la podemos expresar como:
M
F
dt
xd t )(
2
2
=
Integrando:
1)( Cdt
M
Fv
dt
dx t +== ∫ (A-7)
y
21)( CdtCdt
M
Fx t +
+= ∫ ∫ (A-8)
Caso 3 (F = F(v)): La fuerza resultante depende de la velocidad de la partícula:
M
F
dt
xd v)(
2
2
=
o lo que es igual:
M
F
dt
dv v)(=
Reescribiendo:
dtMF
dv
v
1
)(
= (A-9)
Integrando:
1)(
1Ct
MF
dv
v
+=∫ (A-10)
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Esta solución da “t” en términos de “v”, sin embargo se puede resolver “v” en términos de “t” como:
( )1,Ctfv = (A-11)
Y volviendo a integrar:
( )∫ += 21, CdtCtfx (A-12)
Caso 4 (F = F(x)): La fuerza depende de la posición de la partícula, podemos escribir:
)(xFdt
dvM = (A-13)
Siguiendo la regla de la cadena:
dx
dvMv
dt
dx
dx
dvM
dt
dvM ==
Sustituyendo en la ecuación (A-13):
)(xFdx
dvMv =
o:
dxFMvdv x)(=
que se puede integrar como:
∫ += 1)(2
2
1CdxFMv x (A-14)
Resolviendo para v:
2/1
1)(
2
+== ∫ CdxFMdt
dxv x
y finalmente:
22/1
1)(
2C
CdxFM
dxt
x
∫∫
+
+= (A-15)
Las ecuaciones (A-14) y (A-15) permiten conocer “v” o “x” como funciones del tiempo para una “F(x)” determinada. En todos los casos C1 y C2 son constantes de integración que se pueden evaluar de condiciones iniciales.
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A.2 PRINCIPIO DE D`ALEMBERT: La 2º Ley de Newton, que rige el movimiento de un cuerpo sometido a la acción de una fuerza, puede expresarse como:
0)(→→→
=−+ aF M (A-16)
Siendo:
aF→→
, = Vectores de fuerza y aceleración del cuerpo.
0→
= Vector nulo.
Si consideramos que el término aM→
− es una fuerza, ésta ecuación es una
ecuación e equilibrio de la partícula y el problema del movimiento de la masa se puede trabajar como un problema de la Estática.
A la fuerza aM→
− se la conoce como fuerza de D`Alembert, y a la ecuación
(A-16) como principio de D`Alembert. Cuando el problema se refiere a un cuerpo rígido y no a una partícula, el principio de D`Alembert puede escribirse como:
0*→→→
=
−+∑ aF Mi
i
(A-17)
Siendo:
∑→
iiF = Suma de las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo.
M = Masa total del cuerpo rígido.
→*a = Vector de aceleración del centro de masa del cuerpo.
Así, la resultante de las fuerzas externas y la fuerza de D`Alembert para centro de masa forman un vector nulo para un cuerpo rígido. A.3 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE:
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Tomaremos como ejemplo de fuerza que actúa como función de la posición sobre una partícula a la figura A.2.
Figura A.2
En la figura se muestra el cuerpo en su posición original cuando el resorte no se ha deformado. La fuerza horizontal del resorte sobre la masa depende de la posición de ésta (o sea, del alargamiento del resorte) y se dirige hacia el origen. Una solución alternativa de la 2º Ley de Newton puede ser:
02
2
=+ xM
k
dt
xd (A-18)
Donde: k: Rigidez (constante del resorte) En esta forma la ecuación (A-18) es una ecuación diferencial de 2º orden con coeficientes constantes, dándole solución a ésta ecuación:
tM
kCt
M
ksenCx cos21 += (A-19)
Diferenciando:
tM
ksen
M
kCt
M
k
M
kCv 21 cos −= (A-20)
Las ecuaciones (A-19) y (A-20) definen el llamado “Movimiento Armónico Simple” y las constantes C1 y C2 se calculan de las condiciones iniciales del problema.
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A.4 VIBRACIONES: Consideremos la figura A.2 representada por la ecuación (A-19). Cada una de las funciones que aparecen en ésta ecuación puede representarse por medio de vectores de magnitud que corresponden a los coeficientes de las funciones.
Figura A.3
Si t=0, el vector C2 se encuentra sobre el eje x. Para cualquier valor de t, la proyección de C2 sobre el eje horizontal representa la función:
tM
kC cos2
Trigonométrica mente determinamos que:
tM
ksenC1
Puede ser reemplazada por:
Π− 2/cos1 t
M
kC
Representaremos ésta última función en la figura A.4.
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Figura A.4
Acá la representación de la función es un fasor de magnitud C1, con
velocidad angular: Mk y que está desfasado por Π/2 respecto al vector C2.
Como C1 y C2 giran a la misma velocidad angular, la combinación de ambas funciones puede representarse por la suma de los vectores C1 y C2, tomando la proyección del vector resultante sobre el eje x, como se muestra en la figura A.5.
Figura A.5
Observemos que:
22
213 CCC += (A-21)
2
1arctanC
C=β
Como C1, C2 son constantes arbitrarias, C3 y β también son constantes arbitrarias, lo que nos dice que la ecuación (A-19) podemos escribirla como:
−= βt
M
kCx cos3 (A-22)
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La ecuación (A-22) representa la forma general del movimiento armónico simple, para estudiar la ecuación anterior se dan a continuación algunas definiciones: CICLO: Parte del movimiento que al repetirse configura todo el movimiento. FRECUENCIA: Número De ciclos que se dan en una unidad de tiempo. La frecuencia está dada por:
π2M
k
f = (A-23)
sus unidades son ciclos por unidad de tiempo. La frecuencia natural o frecuencia circular se obtiene expresando la frecuencia en radianes por unidad de tiempo:
M
k=ω (A-24)
PERIODO: Tiempo en el cual ocurre un ciclo, por ello es recíproco a la frecuencia:
M
kT
π2= (A-25)
AMPLITUD: Es el máximo desplazamiento que sufre una partícula durante un ciclo, o sea C3. ANGULO DE FASE: Ángulo comprendido entre el fasor y el eje x para t=0 o sea el ángulo β.
Figura A.6 La ecuación (A-22) es representada por la figura A.6 cuando se grafica “x” en función del tiempo.
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Evaluaremos a continuación las constantes arbitrarias C1, C2 o C3, β. Las condiciones iniciales para las ecuaciones (A-19) y (A-20) son: Para t = 0, x = x0, v = v0
Sabemos que:
0)0( =sen
1)0cos( =
Reemplazando:
)1()0( 210 CCx +=
)0()1( 210 M
kC
M
kCv −=
Por lo tanto:
02 xC =
(A-26)
M
k
vC 0
1 =
Por ultimo la ecuación del movimiento quedará como:
tM
ksen
M
k
vt
M
kxx 0
0 cos += (A-27)
tM
kvt
M
ksen
M
kxv cos00 +−= (A-28)
Podemos generalizar este último resultado para cualquier acción que produzca una fuerza sobre una masa dependiente de la posición de ésta en lugar del resorte de la figura A.2. Para esto encontraremos una constante equivalente del resorte, “ke” que puede obtenerse si conocemos la deflexión δ producida por una acción “F” conocida, decimos entonces:
δF
ke = (A-29)
Entonces la frecuencia natural del sistema queda como:
π2M
k
w
e
n = (A-30)
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Notemos que la frecuencia natural depende sólo de la masa y la rigidez del sistema, ésta frecuencia natural depende es el número de ciclos que el sistema repetirá en una unidad de tiempo. A.5 MOVIMIENTO ARMÓMICO Y UNA FUERZA VARIANDO EN EL TIEMPO: Llamaremos a la fuerza xkF e= “Fuerza Restitutiva de Sistema”. Puede
presentarse el caso de que sobre las partículas esté actuando simultáneamente una fuerza que varía en el tiempo, como se ve en la figura A.7.
Figura A.7
En éstas condiciones, la ley de newton toma la forma:
)(2
2
tFkxdt
xdM +−== (A-31)
Reacomodando términos y dividiendo entre “M”:
M
tFx
M
k
dt
xd )(2
2
=+ (A-32)
Si el miembro derecho de la ecuación (A-32) es cero, se trata de una ecuación homogénea y la ecuación (A-32) se convierte en la ecuación (A-18) (Movimiento Armónico Simple). Si en éste miembro aparece algún valor constante o alguna función de “t” la ecuación es no homogénea. Consideremos el caso en que:
tsenFtF ω0)( = (A-33)
Donde ω es la frecuencia con la cual se presenta una fuerza de amplitud “F0” que varía en forma senoidal con el tiempo. La ecuación diferencial correspondiente es:
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tsenM
Fx
M
k
dt
xd ω02
2
=+ (A-34)
Cuya solución general es:
tsen
Mk
MF
tM
kCt
M
ksenCx
e
ωω 2
21 cos
−++= (A-35)
Para 0
..
0 ,,0 xxxxt === :
Encontramos:
02 xC =
(A-36)
Mk
Mk
MF
Mk
xC
)( 2
0.
1
ω
ω
−−=
En la ecuación (A-35) podemos observar que tenemos la superposición de dos movimientos armónicos. Uno con la frecuencia natural ωn, del sistema y el otro con la frecuencia de la fuerza de excitación ω. En un caso general estas 2 frecuencias no son iguales, haciendo una representación con fasores de éstos movimientos veríamos que la superposición no es un movimiento armónico ya que al no tener la misma velocidad angular, su suma no puede representarse por otro fasor. A la parte del movimiento con frecuencia ω la llamaremos estado estacionario y a la parte con frecuencia ωn la llamaremos transiente. Veamos la parte la parte del estado estacionario del movimiento:
tsen
Mk
MF
xp ωω 2
0
−= (A-37)
Dividiendo el numerador y denominador entre k/M, o sea ωn
2, encontramos:
tsenkF
tsen
kMk
F
x
n
p ωω
ωωω 2
0
2
0
)(1)(1 −=
−= (A-38)
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Figura A.8
En la figura A.8 se ve la variación del valor absoluto 2)(1
1
nωω−
respecto a
ω/ωn. Fácilmente se observa que cuando la frecuencia de la excitación se acerca a la
frecuencia natural del sistema el término: 2)(1
1
nωω−
tiende al infinito y por lo tanto, la
amplitud de la vibración forzada tiende también al infinito. Esta es la conocidísima condición de resonancia. Realmente la fricción despreciada hasta el momento reduce la amplitud, sin embargo la condición de resonancia ω = ωn indica la posibilidad de tener amplitudes muy grandes en el movimiento. Estas amplitudes pueden ser peligrosas porque producen esfuerzos muy grandes tanto en el sistema restitutivo como en el cuerpo que está moviéndose, lo que puede originar el colapso. A.6 FUERZA RESTITUTIVA LINEAL CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO:
Figura A.9
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La figura A.9 representa un caso particular de la fricción que es el amortiguamiento viscoso. La fuerza de fricción entre “M” y la superficie sobre la cual desliza es independiente de los materiales de que estén compuestos pero depende de la naturaleza del fluido que se encuentra entre ellos. Esta fuerza es proporcional a la velocidad relativa de los dos cuerpos separados por el fluido.
reldt
dxf
−= η (A-39)
Donde η es el coeficiente de amortiguamiento del fluido y el signo menos indica que la fuerza de fricción se opone al movimiento. En éste caso la ley de newton puede expresarse en la forma:
dt
dxkx
dt
xdM η−−=
2
2
(A-40)
Arreglando los términos:
02
2
=++ kxdt
dx
dt
xdM η (A-41)
Que es una ecuación diferencial homogénea de segundo orden con coeficientes constantes; su solución tiene la forma:
pteCx 1= (A-42)
Siendo:
M
k
MMp −
±−=2
22
ηη (A-43)
Pueden presentarse 3 casos distintos para el valor de “p” y en consecuencia para la ecuación del movimiento.
PRIMER CASO: M
k
M⟩
2
η si se cumple ésta condición, el valor de “p” es
real, y la ecuación (A-42) toma la forma:
−+=
−
−
− tM
kMtM
kMtM eCeCex
22
22
21
2ηηη
(A-44)
Siendo C1 y C2 constantes arbitrarias. Como:
M
k
MM−
⟩
2
22
ηη
En la ecuación (A-44) al aumentar el tiempo “t”, el movimiento es el de una exponencial de amplitud decreciente, esto es, no se pueden presentar oscilaciones. Este movimiento, mostrado en la figura A.10, recibe el nombre de sobre amortiguado.
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Figura A.10
SEGUNDO CASO: M
k
M⟨
2
η en esta condición, el término encontrado
dentro del radical de la ecuación (A-43) es negativo, y las raíces son imaginarias. Sabemos
que: 1−=i entonces:
2
22
−±−=MM
ki
Mp
ηη (A-45)
Y la ecuación del movimiento resulta:
−+
−= −t
MM
ksenCt
MM
kCex
tM
2
4
2
32
22cos
ηηη (A-46)
En donde C3 y C4 son constantes arbitrarias, teniendo la particularidad de que C4 es compleja. La cantidad encerrada en los corchetes es un movimiento armónico con frecuencia menor que la frecuencia natural no amortiguada del sistema, y el término exponencial a la izquierda sirve para disminuir continuamente la amplitud del movimiento. En la figura A.11 se representa éste movimiento.
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Figura A.11
TERCER CASO: M
k
M=
2
η caso límite entre el movimiento sobre
amortiguado y aquel que si permite oscilaciones, y recibe el nombre de movimiento con amortiguamiento crítico. Aquí la ecuación (A-43) se convierte en:
Mp
2
η−= (A-48)
Y la ecuación del movimiento queda como:
( ) tMetCCx 221
η−+= (A-49)
Al no tener los términos trigonométricos es obvio que no se presente el movimiento oscilatorio, además cuando “t” tiende al infinito la exponencial tiende a cero más rápidamente que C2t tiende al infinito. Éste movimiento tiene la misma gráfica que la figura A.10. La constante de amortiguamiento en este caso recibe el nombre de constante crítica de amortiguamiento y se presenta como ηcr y de la ecuación (A-47) deducimos que:
kMcr 2=η (A-50)
A.7 FUERZA RESTITUTIVA LINEAL, AMORTIGUAMIENTO VISCOSO Y EXCITACIÓN ARMÓNICA: Acá combinaremos los 3 últimos tipos de movimiento que hemos visto: Fuerza Restitutiva Lineal (F = kx), Amortiguamiento Viscoso: (F = -η dx/dt) y excitación armónica (F = F0 cosωt). La ecuación diferencial, ya ordenada, que representa la ley de Newton es:
tM
Fx
M
k
dt
dx
Mdt
xd ωηcos0
2
2
=++ (A-51)
Ésta es una ecuación no homogénea, su solución, es resolver la ecuación homogénea (solución particular) tratada anteriormente, más una solución particular.
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Usando el método de los coeficientes indeterminados se llega a la siguiente solución general:
( )( ) ( )
tsen
M
MF
t
M
MF
xx
nn
n
c ωωηωω
ωηω
ωηωω
ωω2
222
20
2222
220
cos
+−
+
+−
−
+= (A-52)
Acá xc es la solución complementaria que se encontró en la ecuación (A-42), en alguno de sus tres casos. La solución complementaria es un transiente y la solución particular (estado estacionario) es un movimiento armónico que tiene la misma frecuencia que la excitación y cuya amplitud se afecta por la presencia del amortiguamiento. Vamos a ver lo que ocurre con el estado estacionario si lo representamos con fasores así como en la figura A.12.
Figura A.12
Ya que las velocidades angulares son las mismas, se puede sumar los 2 fasores:
( )αω −= tAxp cos (A-53)
Donde:
( ) ( )222
0
ωηω +−=
kM
FA (A-54)
2arctan
ωωηαMk −
= (55)
Dividiendo el numerador y denominador de la ecuación (A-54) entre “k” y además de la ecuación (A-50):
12 =
cr
kM
η
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Obtenemos:
( )2
2
2
22
0
211 ωη
ηωω
+
−
=
crn
kM
k
kF
A
(A-56)
222
21
+
−
=
ncrn
estA
ωω
ηη
ωω
δ
Siendo δest = F0/k la flexión estática. El término:
222
21
1
+
−
ncrn ωω
ηη
ωω
es al factor de amplificación, adimensional, que da la amplitud del movimiento del estado estacionario por unidad de deflexión estática.
Figura A.13
En la figura A.13 se grafica el factor de amplificación contra ω/ωn para distintos valores de η/ηcr. Podemos notar que cuando ω se mantiene lejos del valor de ωn o cuando el
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amortiguamiento es grande, la vibración resulta ser pequeña. La amplitud máxima no se presenta exactamente en la resonancia sino un poco antes excepto para el caso de amortiguamiento nulo. Sin embargo, para amortiguamientos pequeños podemos aceptar que para ω/ωn = 1, la amplitud es muy cercana a la amplitud máxima posible del sistema.
B-ELEMENTOS DE DINÁMICA DE ESTRUCTURAS
B.1 MODELOS DINÁMICOS: ESTRUCTURAS Y MODELOS ESTRUCTURALES: Numéricamente la respuesta sísmica es el resultado de filtrar la señal sísmica a través de la misma estructura. El análisis sísmico requiere que se defina previamente tanto el movimiento del terreno como las características estructurales. El sujeto de análisis no es la propia estructura, sino un modelo mecánico de la misma, en este caso vendría a ser uno dinámico. La definición del modelo depende del tipo de estructura analizada y pretende además de proporcionar una descripción realista de su comportamiento, desarrollar una serie de relaciones entre las acciones y la respuesta que describe el modelo matemático del problema. La modelización de una estructura debe seguir los pasos que pueden verse en el diagrama de bloques de la figura B.1.
Figura B.1
Para definir un modelo matemático, las características físicas que se deben tener en cuenta son la masa, el amortiguamiento y la rigidez de la estructura. Un cálculo completo supone determinar la respuesta sísmica en todos los puntos de la estructura, esto es, en un número infinito de puntos y en un número también infinito de instantes de tiempo, lo cual impide que se pueda dar una solución numérica al problema a resolver. Para poder darle una solución numérica al problema, se definen los modelos dinámicos con un número finito de puntos en los cuales se pretende calcular la respuesta. En resumen el método introduce estimaciones físicas durante la fase de desarrollo del modelo dinámico, da una formulación acorde a su modelo matemático y, posteriormente, calcula la respuesta mediante procedimientos numéricos apropiados. GRADOS DE LIBERTAD: En una estructura podemos definir como grados de libertad a los desplazamientos que identifican su posición deformada a lo largo del tiempo. La figura B.2 tiene un número infinito de grados de libertad, y sólo un número infinito de desplazamientos x(y) definen, en general, su posición deformada durante la vibración.
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Figura B.2 En el caso de estructuras uniaxiales con masa distribuida, como en la figura B.2, también es posible utilizar una simplificación que reduzca el número de grados de libertad. La simplificación consiste en admitir la hipótesis que los desplazamientos de la estructura, descritos por la función x(y,t), pueden definirse como una combinación lineal de un número finito de funciones de la forma elemental Ψi(y), como las que pueden verse en la figura B.3, con amplitudes βi(t) que dependen del tiempo.
Figura B.3
∑=
=n
iii tytyx
1
)()(),( βψ (B-1)
Las funciones de forma Ψi(y) deben ser compatibles con las condiciones de apoyo de la estructura. Las funciones βi(t) son conocidas con el nombre de coordenadas generalizadas y este método de discretización es el de los desplazamientos generalizados. En el caso de los edificios, la masa de la estructura está habitualmente concentrada en unas zonas de la estructura fácilmente identificables. Es posible modelar una estructura continua como un sistema discreto de masas concentradas, conectadas entre si mediante resortes. Las masas se concentran en puntos predeterminados de la estructura y simulan el efecto de las fuerzas reales que se producen en la estructura durante su vibración. El número de grados de libertad puede definirse como el número total de componentes de desplazamiento según los cuales las masas concentradas vibran.
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Figura B.4
La figura B.4 muestra en (a) un pórtico plano sometido a un movimiento sísmico de aceleración a(t) en su plano. Si despreciamos las deformaciones axiales de los pilares y forjados, el pórtico puede modelarse mediante el sistema con varios grados de libertad con masas concentradas de la figura B.4 (b). La figura B.4 muestra en (c) un pórtico tridimensional sometido a un movimiento sísmico que produce vibraciones en la dirección “X” que como podemos darnos cuenta está en el plano de simetría del pórtico. La hipótesis de forjado flexible supone que la estructura tendría 10 grados de libertad (x1, x2, … x10), si suponemos que los forjados son rígidos, el número de grados de libertad queda reducido a 2, siendo éstos los desplazamientos de los pisos X1 y X2 de la figura B.4 (d). Si el pórtico no tuviera un plano de simetría o la dirección del terremoto no estuviera en dicho plano, en el modelo se tendría que adicionar grados de libertad con el fin de incluir en el análisis la posibilidad de giros de los forjados en su propio plano, es decir el fenómeno de torción global del edificio que se muestra en la figura B.5.
Figura B.5
Identificar los grados de libertad de una estructura es de gran importancia ya que de esto dependen los resultados del análisis dinámico. El método de las masas concentradas es eficiente en estructuras que se caracterizan por concentrar realmente su masa en algunos puntos discretos. En tal caso, el modelo dinámico se
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obtiene concentrando toda la masa en éstos puntos, suponiendo que el resto de la estructura tiene rigidez pero no masa. B.2 ECUACIONES DEL MOVIMIENTO PARA EDIFICIOS CON COMPORTAMIENTO LINEAL: GENERALIDADES: Las ecuaciones de movimiento son expresiones matemáticas que rigen la respuesta dinámica de las estructuras. Las que se obtienen aplicando principios de mecánica clásica. En edificios los modelos dinámicos más usuales son el edificio de cortante y el pórtico tridimensional. EDIFICIOS DE CORTANTE: Éste es el modelo más sencillo con varios grados de libertad que se puede usar para describir el comportamiento dinámico de un edificio.
Figura B.6 El modelo de la figura B.6 está basado en la hipótesis de que el edificio es simétrico, los forjados son infinitamente rígidos, los pilares no sufren deformación por axial y, por tanto, los únicos movimientos de los nudos son horizontales. En la figura B.6 podemos definir: a(t): Aceleración horizontal de origen sísmico. v(t): Velocidad del movimiento sísmico del terreno. d(t): Desplazamiento del movimiento sísmico del terreno. La figura B.6 (b) muestra el equilibrio dinámico de la masa mr mediante el
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Principio de d`Alembert:
),...,2,1(,0)()()( nrtFtFtF arerir ==−− (B-2)
Donde: irF : Fuerzas de inercia referidas al grado de libertad r.
erF : Fuerzas elásticas referidas al grado de libertad r.
arF : Fuerzas de amortiguamiento referidas al grado de libertad r.
Para cada masa tenemos:
0)()()(
0)()()(
0)()()(
0)()()(
222
111
=−−
=−−
=−−=−−
tFtFtF
tFtFtF
tFtFtF
tFtFtF
anenin
arerir
aei
aei
M
M (B-3)
En forma matricial tenemos:
0)()()( =−− tFatFetFi (B-4)
Definiendo los vectores:
)()(
)()(
)(1)()(
.
..
tXCtFa
tKXtFe
tatXMtFi
=
=
+−=
(B-5)
Donde: )(tFi : Vector de fuerzas de inercia.
)(tFe : Vector de fuerzas elásticas.
)(tFa : Vector de fuerzas de amortiguamiento.
X : Vector de desplazamientos respecto a la base del edificio de cortante. 1 : Vector formado por unos.
K : Matriz de rigidez. Para el caso particular es tridiagonal:
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−+−
−+−−+−
−+
=
++
n
rrrr
k
kkkk
kkkk
kkkk
kkk
K
0
00
00
000
000
11
4433
3322
221
LLLLLLLLL
LLLLLLLLL
Donde:
3
12
r
rr h
EIk = : Rigidez de cortante en el grupo de pilares “r”
rI : Suma de momentos de inercia de los pilares situados entre
los pisos “r” y “r-1”. rh : Altura de los pilares.
M : Matriz de masas (diagonal para el edificio de cortante). C : Matriz de amortiguamiento (proporcional a la matriz “M” o “K” o a una combinación lineal de las 2). Si reemplazamos (B-5) en (B-4):
)(1)()()(...
taMtKXtXCtXM −=++ (B-6)
Para sistemas de un solo grado de libertad (una sola masa):
)()()()(...
tmatkxtxctxm −=++ (B-7)
Donde: m : Masa. c : Coeficiente de amortiguamiento. k : Rigidez del modelo. x(t) : Desplazamiento según el grado de libertad. MODELO GENERAL DE PÓRTICOS: Se deben considerar en el modelo 6 grados de libertad por nudo, 3 desplazamientos y 3 giros. Además es conveniente incluir en las ecuaciones del movimiento el efecto de la propagación del terremoto en una dirección arbitraria respecto a la estructura. Por ello descomponemos a(t) en 3 componentes:
→)(
)(
)(
)(
ta
ta
ta
ta
z
y
x
De lo anterior para un grado de libertad en la ecuación (B-7) tenemos para una masa “r”:
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[ ])()()()()()(...
tajtajtajmtdktdctdm zzyyxxrrrrrrr ++−=++ (B-8)
Donde: rm : Masa en el grado de libertad “r”.
Rotaciones
esTraslacionzyxz
y
x
tdzryrxr
rrr
zr
yr
xr
r
r
r
r →→
→
=),,(
),,()(
ϕϕϕ
ϕϕϕ
=
=
=
0
0
0
1
0
0
,
0
0
0
0
1
0
,
0
0
0
0
0
1
zyx jjj Incluyendo algunos grados de libertad.
En todo el edificio de cortante:
[ ])()()()()()( 111
.
111
..
1 tajtajtajmtdktdctdm zzyyxx ++−=++
[ ])()()()()()( 2222
.
22
..
2 tajtajtajmtdktdctdm zzyyxx ++−=++
M
[ ])()()()()()(...
tajtajtajmtdktdctdm zzyyxxrrrrrrr ++−=++ (B-9)
M
[ ])()()()()()(...
tajtajtajmtdktdctdm zzyyxxnnnnnnn ++−=++
Expresado en forma matricial:
[ ])()()()()()(...
taJtaJtaJMtKDtDCtDM zzyyxx ++−=++ (B-10)
En la ecuación (10) D(t) tiene 6 elementos por cada grado de libertad.
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ]Tn
Tr
TTT
n
r
tdtdtdtdtD
td
td
td
td
tD )(...)(...)()()(
)(
)(
)(
)(
)( 21
2
1
=⇒
=
M
M
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[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]znynxnnnnzryrxrrrrzyxzyxT zyxzyxzyxzyxtD ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ ,,,,,...,,,,,...,,,,,,,,,,)( 222222111111=
(B-11)
Las matrices M, K y C de la ecuación (B-10) fueron ampliadas de acuerdo a la ecuación (B-11) es decir de acuerdo a la definición de D(t). La ecuación (B-10) puede expresarse de la forma:
)(...
tMJaKDDCDM −=++ (B-12)
Donde J es el vector que realiza la descomposición de a(t) en las tres direcciones (x, y, z) y tiene valores diferentes de cero (0) sólo en los grados de libertad del modelo correspondientes a una traslación. En general los elementos diferentes de cero (0) de J son cosenos directores.
n
r
j
j
j
j
J
n
r
j
j
j
j
J
n
r
j
j
j
j
J
z
z
z
z
z
y
y
y
y
y
x
x
x
x
x
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
2
1
;
2
1
;
2
1
=
=
=
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=
=
=
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
00
0
0
1
0
0
;
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
00
0
0
0
1
0
;
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
10
0
0
0
0
1
M
M
M
M
M
Mzyx JJJ
Si hablamos de vibraciones libres tenemos:
0...
=++ KDDCDM (B-13)
Si no tomamos en consideración el amortiguamiento:
0..
=+ KDDM (B-14)
Tanto en las ecuaciones (B-10), (B-12), (B-13) y (B-14) K es la misma matriz que en el caso estático, M es una matriz diagonal y si D(t) estaría incluyendo giros se incluiría la inercia rotacional en la matriz M, pero la influencia de esos giros en la solución del problema es en general pequeña.
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B.3 CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LAS ESTRUCTURAS: MODELOS CON UN GRADO DE LIBERTAD: Considerando un solo grado de libertad y sin tener en consideración el amortiguamiento las vibraciones libres están gobernadas por la ecuación:
0)()(..
=+ tkxtxm (B-15)
Definiendo las características dinámicas del sistema:
ω : Frecuencia circular o frecuencia de vibración del modelo (rad/seg), T : Período natural (seg) y f : Frecuencia cíclica (hertz) como:
mk /=ω
ωπ2=T
πω2
1 ==T
f
Podemos dividir entre m a toda la ecuación (B-15) y tendríamos:
0)()( 2..
=+ txtx ω (B-16)
La solución general de la ecuación (B-16) puede escribirse de la
siguiente forma:
)()( ψω += tAsentx (B-17)
Donde: A : Amplitud del movimiento. Ψ : Angulo de fase. Demás A y Ψ se calculan a partir de las condiciones iniciales es decir
cuando t = 0.
Para 0)0( xx = y .
0
.
)0( xx = tenemos:
0
.
0
2.
020 tan;
x
xxxA
ωψ
ω=
+= (B-18)
MODOS NATURALES DE VIBRACIÓN: Las características dinámicas de los modelos con varios grados de libertad se definen analizando sus vibraciones libres, que están gobernadas por la ecuación (B-14) que se reescribe aquí:
0..
=+ KDDM (B-19)
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Esta ecuación tiene soluciones particulares del tipo:
tiAetD ω=)( (B-20)
El vector A contiene las amplitudes del desplazamiento, ω es la pulsación y Ψ el ángulo de fase. Aplicando la ecuación (B-20) en la ecuación (B-19):
0)( 2 =− AMK ω (B-21)
Este sistema de ecuaciones algebraicas lineales y homogéneas constituye un problema de autovalores. Para que el modelo vibre A deberá tener soluciones distintas a la trivial o sea:
02 =− MK ω (B-22)
Si el determinante se desarrolla en su forma polinómica se obtiene la ecuación característica:
0... 21
422
221
2 =+++++ −−−
nnnnn αωαωαωαω (B-23)
Para el caso de modelos estructurales, la matriz de rigidez K y la de masa M son reales y simétricas. Además, K es definida positiva y M es semidefinida positiva como mínimo. En el caso de que M sea definida positiva, la ecuación característica proporciona n soluciones de 2
iω por lo tanto n valores de iω reales. Si la matriz M
es semidefinida positiva, el número de soluciones iω es menor. Los n autovalores
iω son frecuencias propias o pulsaciones del modelo estructural.
Las pulsaciones iω pueden ser ordenadas en la diagonal principal de la
matriz espectral Ω donde la pulsación más baja 1ω se llama frecuencia
fundamental. Los períodos propios del sistema se definen como:
niTi
i ,...,2,1,2 ==ωπ
(B-24)
A partir de la frecuencia fundamental 1ω se calcula el período fundamental
1T .
El autovector Ai se obtiene de la ecuación (B-21), expresamos todos los Ai en función de todos los Ai1. Entonces definimos los autovectores normalizados como:
niA
A
i
,..,2,1,1
11 ==ϕ donde: 11 =ϕ .
Otro modo de normalizar los autovectores es haciendo la relación siguiente:
*ii
Ti MMAA = (B-25)
Lo que nos permite aplicar la siguiente fórmula:
niMA iii ,...,2,1;)( 2/1* == −ϕ (B-26)
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Lo que asegura que: 1=i
Ti Mϕϕ .
Los autovectores se ordenan en la matriz modal Φ, representan las formas del sistema durante la vibración en cada una de sus autofrecuencias. Los autovectores son las formas naturales de vibración o las formas modales. Los modos naturales de vibración están dados por un autovalor ωi con su respectivo autovector ϕi. La condición de ortogonalidad de 2 vectores está dada por:
jijTi ≠= ;0ϕϕ (B-27)
Aplicamos la condición de ortogonalidad respecto a M:
jiM jTi ≠= ;0ϕϕ (B-28)
Aplicamos la condición de ortogonalidad respecto a K:
jiK jTi ≠= ;0ϕϕ (B-29)
Las condiciones de normalidad y ortogonalidad pueden expresarse de manera compacta como condición de ortonormalidad respecto a la matriz de masa
IMT =ΦΦ , donde I es la matriz identidad. Si no se utiliza esta última condición, puede escribirse la siguiente ecuación para la matriz de masa y de rigidez:
*MMT =ΦΦ (B-30)
*KKT =ΦΦ (B-31)
Donde:
*M : Es diagonal. *K : Es diagonal donde los términos diferentes de cero (0) son
iTiii KK ϕϕ=* .
Luego tenemos el problema de los autovalores:
0)( 2 =Φ− MK ω (B-32)
se resuelve mediante técnicas numéricas pero en muchos casos no es necesario calcular todos los autovalores contenidos en la ecuación. De hecho, es posible obtener una aproximación a la solución del problema dinámico utilizando solamente los autovalores más bajos de la estructura.
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B.4 CARACTERISTICAS DE AMORTIGUAMIENTO DE LAS ESTRUCTURAS: DEFINICIÓN DEL AMORTIGUAMIENTO EN SISTEMAS CON UN SOLO GRADO DE LIBERTAD: La ecuación que describe las vibraciones libre amortiguadas de un modelo con un solo grado de libertad es:
0)()()(...
=++ tkxtxctxm (B-33)
Si suponemos un amortiguamiento del tipo viscoso podemos definir:
ωβ mmc cc 22 == que es el amortiguamiento crítico. En estructuras de ingeniería
civil sometidas a acciones dinámicas el amortiguamiento es inferior al crítico ccc < .
Este tipo de amortiguamiento puede definirse mejor mediante la fracción de amortiguamiento crítico:
ωξ
m
c
c
c
c 2== (B-34)
De la ecuación (B-34) podemos definir la frecuencia de vibración amortiguada como:
21 ξωωξ −= (B-35)
Podemos escribir la solución general de la ecuación (B-33) como:
)()( ψωξξω += − tsenAetx t (B-36)
Donde A y Ψ se calculan a partir de las condiciones iniciales del problema. SISTEMAS CON VARIOS GRADOS DE LIBERTAD CON AMORTIGUAMIENTO PROPORCIONAL: Una hipótesis que se aplica en las estructuras de edificaciones para simplificar la matriz de amortiguamiento, para obtener una representación numérica razonable de las propiedades de amortiguamiento de la estructura, consiste en suponer que existe un mecanismo de pérdida de energía homogéneo en toda la estructura. Por ello puede desarrollarse una matriz de amortiguamiento que cumpla la condición de ortogonalidad respecto a la matriz modal.
ΦΦ= CC T* (B-37)
En la ecuación C* es la matriz diagonal de amortiguamiento generalizado. Esta condición define el amortiguamiento proporcional que indica la manera de obtener la matriz de amortiguamiento; ésta se considera proporcional a la matriz de masa, a la de rigidez o se obtiene a partir de una combinación lineal de ambas. Hacemos C proporcional a la matriz de masa y tenemos:
MC 1α= (B-38)
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Donde se puede verificar la condición de ortogonalidad: jic jTi == ;0ϕϕ
sustituyendo la ecuación (B-38) en la ecuación (B-37), obtenemos la ecuación de definición de la matriz de amortiguamiento generalizado:
*11
* MMC T αα =ΦΦ= (B-39)
Expresando la fracción de amortiguamiento iξ en cada modo de vibración i
tenemos:
niM
c
ii
ii ,...,2,1;
2 *
*
==ω
ξ
Ahora hacemos C proporcional a la matriz de rigidez KC 2α= entonces se
obtienen las condiciones de ortogonalidad *2
* KC α= donde C*es diagonal. La
combinación lineal de los 2 casos sería:
KMC 21 αα += (B-40)
B.5 RESPUESTA SÍSMICA DE SISTEMAS LINEALES CON UN GRADO DE LIBERTAD: RESPUESTA TEMPORAL: Considerando un solo grado de libertad el movimiento de un sistema está dado por la ecuación:
)()()()(...
tmatkxtxctxm −=++ (B-41)
Dividiendo todo entre “m” obtenemos:
)()()(2)( 2...
tatxtxtx −=++ ωξω (B-42)
Usando la respuesta del sistema amortiguado la respuesta puede expresarse como:
[ ] ττωτω ξ
τξω
ξ
dtseneatxt
t∫ −−= −−
0
)( )()(1
)( (B-43)
La ecuación (43) se conoce con el nombre de integral de Duhamel y proporciona la respuesta en el dominio del tiempo de un sistema con un solo grado de libertad sometido a una carga cualquiera. Esta respuesta no considera el efecto de las condiciones iniciales. Si al aplicarse la excitación a(t) el sistema no parte del reposo la solución general )0(gx de la ecuación (42) es calculada a partir de las condiciones iniciales
0)0( xxg = y .
0
.
)0( xxg = es:
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[ ]∫ −−++= −−−t
ttg dtseneatxtsen
xxetx
0
)(0
0
.
0 )()(1
)cos()( ττωτω
ωωωξω
ξτξω
ξξξ
ξ
ξω (B-44)
La integral de Duhamel tiene solución analítica solamente para ciertas funciones particulares que describen la excitación, por lo que en general debe resolverse numéricamente. ESPECTROS SÍSMICOS DE RESPUESTA: La respuesta estacionaria en desplazamientos de un sistema con un solo grado de libertad viene dada por la ecuación (B-43), donde x(t) es una función de
ωξ , y a(t).
Derivando la ecuación (B-43) respecto al tiempo obtenemos la historia de la respuesta en velocidades.
∫ +−−= −−t
t txdteatx0
)(.
)()(cos)()( ξωττωτ ξτξω (B-45)
Derivando (B-45) obtenemos la historia de la respuesta en aceleraciones totales del sistema.
)()()(2)()()()( 2
0
.)(
..
txtxdtseneatatxt
t ξωξωττωτω ξτξω
ξ −−−=+ ∫ −− (B-46)
Los espectros en desplazamientos, velocidades y aceleraciones que corresponden a un cierto acelerograma se definen como los valores máximos en respuesta puestos en función de ω y ξ .
máx
rd txS )();( =ξω
máx
rv txS )();(
.
=ξω (B-47)
máx
ra tatxS )()();(
..
+=ξω
Reemplazando en las ecuaciones (B-47) las expresiones (B-43), (B-45) y (B-46) tenemos:
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)50()()()(2)()();(
)49()()(cos)();(
)48()()(1
);(
0
2.
)(
0
)(
0
)(
−−−−=
−+−−=
−−=
∫
∫
∫
−−
−−
−−
BtxtxdtseneaS
BtxdteaS
BdtseneaS
máx
ttr
a
máx
ttr
v
máx
ttr
d
ξωξωττωτωξω
ξωττωτξω
ττωτω
ξω
ξτξω
ξ
ξτξω
ξτξω
ξ
Las ecuaciones (B-48), (B-49) y (B-50) son las respuestas máximas para un modelo de un solo grado de libertad. Como en estructuras de ingeniería civil ξ = 2% a 20% entonces ωωξ = es
decir que podemos despreciar los términos que están fuera de las integrales (B-49) y (B-50). En la ecuación (B-49) el seno se deberá reemplazar por coseno. Estas aproximaciones se basan en la aleatoriedad de a(t) y se obtienen los seudoespectros de respuesta:
máx
tt
d dtseneaS ∫ −−= −−
0
)( )()(1
);( ττωτω
ξω τξω (B-51)
máx
tt
v dtseneaS ∫ −−= −−
0
)( )()();( ττωτξω τξω (B-52)
máx
tt
a dtseneaS ∫ −= −−
0
)( )()(1
);( ττωτω
ωξω τξω (B-53)
De lo que deducimos:
dva SSS 2ωω == (B-54)
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B.6 RESPUESTA DE SISTEMAS CON VARIOS GRADOS DE LIBERTAD MEDIANTE ANÁLISIS MODAL: DESACOPLAMIENTO MODAL: Considerando un modelo regido por la ecuación (B-12).
)(...
tMJaKDDCDM −=++ (B-12)
Sus vibraciones libres no amortiguadas están regidas por la ecuación (B-14).
0..
=+ KDDM (B-14)
Al solucionar el sistema homogéneo de ecuaciones algebraicas resulta la ecuación (B-32):
0)( 2 =Φ− MK ω (B-32)
Donde se encuentran las “n” frecuencias naturales jω y las “n” formas
propias de vibración jϕ . Los vectores jϕ son ortonormales a K y M, al formar la
matriz modal Φ una base completa es posible escribir la ecuación.
∑=
Χ=n
jjj tD
1
)(ϕ (B-55)
Donde )(tjΧ es la respuesta generalizada.
Aplicando la ecuación (B-55) en la ecuación (B-12):
)()()()(11
.
1
..
tMJatKtCtMn
jjj
n
jjj
n
jjj −=Χ+Χ+Χ ∑∑∑
===ϕϕϕ (B-56)
Premultiplicando la ecuación (B-56) por T
iϕ :
)()()()(11
.
1
..
tMJatKtCtM Ti
n
jjj
Ti
n
jjj
Ti
n
jjj
Ti ϕϕϕϕϕϕϕ −=Χ+Χ+Χ ∑∑∑
=== (B-57)
Usando condiciones de ortogonalidad en M, K y C:
==
==
==
∑
∑
∑
=
=
=
n
ji
Tij
Ti
n
ji
Tij
Ti
n
ji
Tij
Ti
cCCC
bKKK
aMMM
1
*
1
*
1
*
).58(
).58(
).58(
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
(B-58)
Poniendo las ecuaciones (B-58) en la ecuación (B-57):
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)()()()(.
*.
*..
* tMJatKtCtM Tiiiiiii ϕ=Χ+Χ+Χ (B-59)
Así la ecuación (B-12) se reduce a “n” ecuaciones diferenciales independientes, si dividimos la ecuación (B-59) entre *
iM tenemos:
)()()()(2)( 2...
taQtaM
MJttt i
iTi
Ti
iiiiii −=−=Χ+Χ+Χϕϕ
ϕωωξ (B-60)
Donde:
iTi
Ti
i M
MJQ
ϕϕϕ= (B-61)
Es el coeficiente de participación modal.
C-COMPORTAMIENTO DINAMICO DE LAS ESTRUCTURAS.
Un sistema vibratorio es un conjunto de elementos que tienen capacidad de
desarrollar movimientos oscilatorios o periódicos, ocasionados por solicitaciones
externas o interacciones. Podemos decir que sus elementos son: Masas o
elementos inertes, elementos restitutivos y elementos amortiguadores.
Usando leyes de la dinámica Newtoniana, y en especial el principio de D’Alembert,
podemos obtener conclusiones de sumo interés. Considerando que en las masas
actúan fuerzas actúan fuerzas efectivas y fuerzas de inercia exclusivamente, y que
una partícula no es capaz de alterar por si misma el estado de reposo o movimiento
en que se encuentre, lo que equivale a decir que la derivada con respecto al tiempo
de la cantidad de movimiento de una partícula es igual a la fuerza que produce el
movimiento, y se puede escribir:
Fdt
VMd =)*( (C-1)
Donde:
M= Masa de la partícula.
V = Velocidad de la partícula.
F = Fuerza que produce el movimiento.
Para estos efectos “M” es una constante en el tiempo y.
adt
Vd =)( (C-2)
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Entonces.
aMF *= (C-3)
Y considerando el principio de D’alembert:
0)*( =−+ aMF (C-4)
En los sistemas vibratorios que estudiaremos los elementos de restitución se
consideran con un comportamiento elástico lineal y con una masa despreciable: Su
función es transformar energía de deformación en energía cinética sin que haya
pérdidas. En base a sus características elásticas y al hecho de que restringen los
desplazamientos del sistema se obtiene que la fuerza generada en tales elementos,
cuando hay un movimiento vibratorio, es una función lineal del desplazamiento de
sus extremos y su sentido será aquel que tienda a restablecer el equilibrio.
Matemáticamente esto se expresa.
xKFr *−= (C-5)
Donde
Fr = Fuerza restitutiva.
K = Constante de proporcionalidad (Constante equivalente del
resorte)
x = Desplazamiento.
Hay que notar que la constante de proporcionalidad puede tener
varias interpretaciones como serian: La rigidez angular o lineal de una barra
de sección determinada, la rigidez al cortante, etc.
Los elementos amortiguadores son aquellos que disipan la energía
que se induce al sistema vibratorio. La fuerza que se provoca en una
partícula durante está disipación será proporcional a la velocidad relativa de
la misma, y de signo contrario:
xFd &*η−= (C-6)
Siendo.
Fd = Fuerza disipadora.
η = Constante de amortiguamiento.
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x& = Velocidad.
Este tipo de amortiguamiento recibe el nombre de viscoso o de Newton y en
Ingeniería Sísmica se denomina lineal.
Si consideramos ahora las fuerzas externas, llamadas de excitación que
pueden actuar en un sistema vibratorio tal como se muestra en la fig C.1:
Fig. C.1 SISTEMA VIBRATORIO
De la condición de equilibrio de fuerzas tenemos.
∑ = 0F
0=+++ FrFdFiFe
0*** =−−− xKxxMFe &&& η
xKxxMFe *** ++= &&& η (C-7)
Por inspección se ve que la ecuación C-7 es una ecuación diferencial lineal y
debido a esto el sistema toma el nombre de sistema vibratorio lineal.
Puede presentarse el caso de que el lugar donde se apoya el sistema
vibratorio se encuentra también en movimiento con desplazamiento x o,
velocidad x& o y aceleración x&& o, entonces la ecuación C-7 nos queda:
)(*)(** xoxKoxxxMFe −+−+= &&&& η (C-8)
En esta ecuación, el término xM &&* corresponde a la fuerza de inercia y
como esta es independiente del sistema de referencia, la aceleración x&& o del
terreno no interviene en el.
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Los sistemas vibratorios pueden tener diversos tipos particulares de
movimiento, dependiendo de las acciones que obren en sus masas, entre
ellos están los siguientes:
2) La vibración libre, que es cuando el sistema tiene oscilaciones en
ausencia de acciones y movimientos externos a el. Puede ser
amortiguada o no dependiendo si existen o no los elementos
amortiguadores. Entonces.
Si 0==== oxoxxoFe &&&
Si 0≠η , Hay amortiguamiento.
Si 0=η , no hay amortiguamiento.
2) Si existe en un intervalo de tiempo un agente mecánico que actué en el
sistema vibratorio o bien el lugar donde este se apoya tiene un
movimiento, entonces se presenta la vibración forzada que puede ser
amortiguada o no.
La analogía que se tiene entre los sistemas vibratorios sujetos a fuerzas
de excitación y las estructuras sujetas a solicitaciones sísmicas es de
especial interés. Se ha observado que cuando una estructura esta bajo la
acción de un fenómeno sísmico, su base se mueve tanto horizontalmente
como verticalmente. Por medio del estudio de acelerogramas registrados
en las partes inferiores de las estructuras (los sótanos) se deduce que las
dos componentes horizontales del movimiento de la base son
perpendiculares, tienen casi la misma intensidad que las registradas en
el terreno. Las aceleraciones verticales suelen producir esfuerzos que son
fracciones de los debidos a fuerza gravitacional de la estructura y por
esto solo en algunos casos se considera necesario analizar estas
oscilaciones verticales.
En base a lo anterior, podemos como sistema vibratorio a una estructura
de un grado de libertad, de comportamiento lineal y con cierto
amortiguamiento. El estudio de sus características ayuda a la
comprensión de la forma en que pueden vibrar estructuras más
complejas, con varios grados de libertad, durante un temblor.
Para hacer un análisis un análisis de la estructura en movimiento
debemos hacer algunas hipótesis, entre ellas las siguientes.
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a) La masa esta concentrada en el centro de gravedad del cabezal.
b) Los elementos restitutivos del sistema tienen comportamiento
lineal, son las barras que tienen como constante equivalente del
resorte la rigidez a la fuerza horizontal.
c) Existe un amortiguamiento viscoso, lo cual se indica con el
amortiguador de la fig. C.2
Entonces, si en el sitio de apoyo sufre desplazamiento en dirección X
tal como se muestra en la fig.C-2, podemos usar la ecuación C-8 y si
hacemos:
uxox =−
uoxx &&& =−
oxüx &&&& += (C-9)
Sustituyendo las ecuaciones C-9 en la ecuación C-8 se tiene:
uKuoxMüMFe **** +++= && η
Como 0=Fe ,
oxMuKuüM && **** −=++η (C-10)
Podemos constatar que C-1 es una ecuación diferencial lineal no
homogénea de segundo orden, y para su solución podemos proceder
a los siguientes pasos:
1. Obtener la solución de la ecuación homogénea.
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0*** =++ uKuüM &η (C-11)
2. Encontrar una solución particular de la ecuación:
oxMuKuüM &&& **** −=++η (C-12)
3. Hacer la combinación lineal de ambas.
Si se presenta el caso de una vibración libre tendríamos:
0*** =++ uKuüM &η
Dividiendo entre M:
0** =++ uM
Ku
Mü &
η (C-13)
Si en C-13 introducimos:
MKWn /2 =
y WnM **2
ηξ = (C-14)
llegamos a.
0*** 2 =++ uWnuWnü &ξ (C-15)
Que, nos permite decir que Wn es la frecuencia circular natural o
angular, del movimiento no amortiguado (en radianes por unidad de
tiempo), y ξ es la fracción del amortiguamiento crítico.
Para valores de ξ comprendidos entre 0.0 y 0.10, el periodo natural
T, del sistema puede considerarse con suficiente aproximación (Biggs, 1961)
como:
Wn
Tπ
*2=
O bien
Wn
MT **2 π= (C-16)
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Y la frecuencia natural del movimiento, en ciclos por unidad de
tiempo, será:
M
KWnfn *
*2
1
*2 ππ== (C-17)
C.1- MODOS DE VIBRACIÓN
Queda claro que los efectos de las excitaciones sísmicas en
estructuras de varios grados de libertad no pueden ser analizados
satisfactoriamente mediante el modelo de un grado de libertad. Para estas
estructuras tendremos un modelo de las siguientes características:
1. La masa de la estructura, y la de todos los elementos que
soporta (muebles, canceles, muros aparentes, etc.), esta
concentrada en el nivel de cada piso.
2. La rigidez lateral de la estructura depende de las
características mecánicas y geométricas de las columnas y
de los elementos que las unen.
3. Los pisos de la estructura no giran cuando ocurren
movimientos laterales, solo se desplazan horizontalmente.
4. La rigidez de los elementos estructurales del sistema de piso
ante deformación horizontal es muy grande en comparación
con la de los elementos verticales.
5. La rotación de la estructura por deformación del suelo de
cimentación es despreciable.
Consideremos el caso de un sistema elástico no amortiguado
de n grados de libertad, donde xi (t) es el desplazamiento de
la masa Mi en cierto instante t de una vibración libre, tal
como se muestra (para n=3) en la fig. C.3
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De la ecuación C-3, en forma matricial, tenemos:
)(* tXMF &&= (C-18)
Donde
F = Vector fuerzas.
M = Matriz diagonal de las masas del sistema.
)(tX&& = Vector de aceleraciones.
Y recordando que podemos calcular las fuerzas elásticas que
ejercen los elementos de rigidez sobre las masas Mi mediante la
relación.
Fuerza = (Rigidez)x(Desplazamientos)
Como se vio en la ecuación C-5, o bien:
)(* tXKF −= (C-19)
Siendo
K la matriz de rigideces del sistema, entonces:
)(*)(* tXKtXM −=&&
Ordenando.
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0)(*)(* =+ tXKtXM && (C-20)
Ahora bien, toda estructura elástica puede vibrar libremente
en forma tal que el desplazamiento de cada una de sus
masas con respecto a su posición de equilibrio estático es
igual al producto de una función de la posición de la masa
considerada por una función del tiempo, que es la misma
para todas las masas. En otras palabras, los
desplazamientos se pueden expresar como
ZttX *)()( ϕ= (C-21)
Siendo:
)(tX = Vector de los desplazamientos de las masas.
)(tϕ = Función del tiempo.
Z = Vector que da la forma a la vibración.
A estas formas de vibrar se le llama modos naturales, al
vector Z se le llama configuración del modo (constantes
independientes del tiempo), y el periodo de la función del tiempo
)(tϕ , en caso de que exista, se llama periodo natural.
Escojamos )(tϕ de manera que:
)(*)( 2 tt ϕρϕ −=&& (C-22)
Donde ρ es una constante arbitraria que después
determinaremos. Derivando C-21 dos veces y tomando en cuenta a
C-22 se obtiene.
ZttX *)(*)( 2 ϕρ−=&& (C-23)
Sustituyendo a C-21 y a C-23 en C-20, y simplificando
tenemos
0***2 =+− ZKZMρ
Que podemos escribir como:
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0*)*( 2 =− ZMK ρ (C-24)
Para que el sistema de ecuaciones de 2.24 tenga solución diferente
de la trivial debe cumplirse que:
0*2 =− MK ρ (C-25)
La expresión C-25 al desarrollarse formara un polinomio en
2ρ de grado n con n raíces ( ),....,,,22
3
2
2
2
1ρρρρ
n
las cuales al
sustituirse una a una en C-24 servirán para obtener los n vectores
zn) .z3, z2, (z1, … que darán la forma de cada uno de los modos de
vibración (este problema en matemáticas se conoce como problema
de valores y vectores característicos).
Consideremos la expresión C-22 que es una ecuación
diferencial homogénea, de 2º orden, con coeficiente constante,
cuya solución es de la forma:
)*cos(*)*(*)( tpBtsenAt += ρϕ (C-26)
De acuerdo con lo anterior existen modos de libración que
satisfacen la ecuación C-21 y como se ve de C-26 el movimiento es
armónico simple de periodo ρπ
*2=T ; a ρ le llamaremos
frecuencia circular natural del modo.
Es fácil demostrar (Newmark y Rosenblueth, 1973) que:
0** =jTi ZMZ Para ji ≠ (C-27)
A esta propiedad se le conoce como ortogonalidad de los
modos con respecto a las masas. En el caso de que ji = el
producto de C-27 es igual a una constante arbitraria.
La importancia de lo anterior se manifiesta en el hecho de
que una configuración cualquiera Y puede expresarse como una
combinación lineal de las formas de los modos, esto es que.
∑= ii ZcY *
Si multiplicamos C-28 por MZTj * tenemos que:
iij
n
ii
Tj ZMZCYMZ ***** ∑=
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Y como para ji ≠ el segundo miembro de C-29 se anula por
la propiedad de ortogonalidad (C-27) podemos escribir que:
jTjj
Tj ZMZCYMZ ***** =
De donde:
j
Tj
Tj
j ZMZ
YMZC
**
**=
A jC se le conoce como el factor de participación del modo “j” en una
configuración arbitraria Y.
C.2- ESPECTROS DE RESPUESTA.
La ecuación que gobierna el movimiento de una estructura cuando la fuerza
externa es nula es.
oxMuKuüM &&& **** −=++η (C-31)
Esta ecuación, como se ha mencionado puede integrarse por distintos
métodos. Cuando no hay movimiento del terreno )0( =ox&& la ecuación C-31
corresponde a una vibración libre no amortiguada. El valor del coeficiente η
que corresponde al caso limite de movimiento periódico es llamado
coeficiente de amortiguamiento critico y su magnitud esta dada por.
ncr wM **2=η (C-32)
Donde nw es la frecuencia natural no amortiguada, esta dada por la
ecuación:
M
Kwn =2
Ó
M
Kwn = (C-33)
La frecuencia, nf y el periodo, T, naturales están dados por las relaciones:
π*2n
n
wf =
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nw
Tπ*2=
Definiremos la fracción de amortiguamiento crítico,ξ como la razón entre η
y su valor crítico dado en C-32:
nwM **2ηξ = (C-34)
Aunque la obtención de la respuesta dinámica como
función del tiempo de un sistema con características
particulares es una labor tediosa, es posible realizarla. Como
ejemplo para el temblor de la fig. C.4 se obtuvo por
integración numérica.
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Fig. C.4 RESPUESTA DE UN SISTEMA CON T=0.005 seg. , %5=ξ
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Los resultados dibujados son de un sistema que tiene un periodo
de vibración T=0.005, un amortiguamiento critico del 5% ( %5=ξ ) y
propiedades elásticas.
La característica más significativa de graficas como la de la fig.
C.4 es el máximo desplazamiento (o deformación) relativa del sistema. Si
el desplazamiento relativo máximo en una estructura es conocido, la
fuerza en las columnas o el máximo cortante pueden ser determinados, y
estos valores son útiles directamente para el diseño.
Para una excitación específica en un sistema simple (de un grado
de libertad) que tiene cierto porcentaje de amortiguamiento critico, la
respuesta máxima es una función del periodo natural de vibración del
sistema. Una grafica de la respuesta máxima (Por ejemplo, del
desplazamiento relativo, u; del desplazamiento absoluto ; X ;
aceleración, X&& ; fuerza cortante, V; etc.), contra el periodo de vibración,
T; o contra la frecuencia natural de vibración , nf ; o la frecuencia circular
de vibración nw ; es llamado espectro de respuesta.
Un espectro de respuesta es una curva que relaciona periodos de
oscilación de varias estructuras de un grado de libertad, con la máxima
respuesta o efecto máximo promedio que produce en cada movimiento
conocido en su base (por ejemplo sismo), igual para todas ellas como se
observa en la figura C.5. Este tipo de graficas relacionan entre si las
características de las estructuras, expresadas por medio de los
parámetros del movimiento vibratorio (periodo, frecuencia) y las
características de las ondas sísmicas que se obtienen de los registros de
los temblores.
A manera de ejemplo veamos la fig. C.5
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Fig. C.5 ESPECTROS DE RESPUESTA PARA DISTINTO AMORTIGUAMIENTO
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2.2.2 TEORIA DE AISLAMIENTO DE BASE
D-BASE TEORICA DE LA AISLACION SISMICA
D.1 TEORIA LINEAL
Para explicar esta teoría haremos uso de la grafica que se muestra en la fig. D.1. En la
cual m representa la masa de la superestructura, bm representa la masa sobre el
sistema aislado (masa de la subestructura), además la rigidez y el amortiguamiento
están representados por sk y sη (sistema estructural) y en tanto del sistema de
aislamiento por bk y bη .
m
kη
s sk
s
bk bη; ; ηbkb
mbgx
xb
sx
Fig. D.1 SISTEMA AISLADO POR LA BASE
Los desplazamientos absolutos están representados por sx y bx pero es conveniente
representar estos por desplazamientos relativos.
bss xxu −=
gbb xxu −=
Donde gx es el máximo desplazamiento, la utilización de estos desplazamientos
relativos ( su y bu ) es particularmente conveniente para el análisis por que nos muestra
dos resultados importantes del sistema aislado representado por bu y la intensidad de
desplazamiento de entrepiso representado por su .
En términos de ecuaciones, las ecuaciones básicas del movimiento de un sistema de
dos grados de libertad como la del modelo son:
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gbbbbbsbb ummukuumumm &&&&&&& )()( +−=++++ η (D-1)
gsssssb umukuumum &&&&&&& −=+++ η (D-2)
Cuya denotación matricial es.
m
M
m
m
s
b
ü
ü+
0bη
sη0
s
b
u
u
&
&+
0bk
sk
0
s
b
u
u= -
m
M
m
m
0
1gu (D-3)
Donde.
bmmM +=
La notación matricial de D-3 es.
,,,,, guMrkuuuM &&&&& −=++η
Definiendo la relación de masa por:
M
m
mm
m
b
=+
=γ (D-4)
Y las frecuencias nominales bw y sw dadas por.
b
bb mm
kw
+=2
m
kw s
s=2 (D-5)
Y asumimos que 2
2
s
b
w
w=ε y )10(0 2−=ε
Los factores de amortiguamiento bβ y sβ dados por.
b
bbb mm
w+
= ηβ2 m
w sss
ηβ =2 (D-6)
En términos de ecuaciones. Volviendo a las ecuaciones básicas del
movimiento (D-1 y D-2) tenemos.
gbbbbbbs uuwuwuu &&&&&&& −=+++ 22 βγ (D-7a)
gssssssbs uuwuuwuu &&&&&&&& −=+++ 22 β (D-7b)
Los modos clásicos de la combinación del sistema están denotados por 1φ y 2φ ,
donde.
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),( is
ib
iT φφφ = i=1,2
Con frecuencias 1w y 2w , la ecuación característica de las frecuencias es.
0)()1( 222224 =++−− sbbs wwwwwwγ (D-8)
Cuya solución es:
( ) 2/122222222
1 4)1(2
1
+−−+
−= sbsbsb wwwwwww γ
γ
( ) 2/122222222
2 4)1(2
1
+−++
−= sbsbsb wwwwwww γ
γ (D-9)
Cuyas ecuaciones en función de ε están dadas por.
)1(221 γε−= bww )1(
)1(
222 γε
γ+
−= sw
w (D-10)
Y la forma modal con )1( =ibφ , i=1,2, esta dado por
),1(1 εφ =T
−−−= εγ
γφ )1(1
1,12T
(D-11)
La expresión original del desplazamiento en coordenadas modales la
escribimos por:
22
11 bbb qqu φφ += 2
21
1 sss qqu φφ +=
Donde 1q , 2q son coeficientes modales dependientes del tiempo.
Las cantidades modales Mi, Li los denotamos por.
iii MM
T
φφ= MrLMTi
ii φ=
El primer termino esta dado por.
)21(1 γε+= MM γ
εγγ )1(21)1(2
−−−=
MM (D-12)
y
γε−= 11L γε=2L (D-13)
Cuando ),( sb uu en las ecuaciones D-1 y D-2 son expresados en términos
de 1φ y 2φ , tenemos dos ecuaciones en la forma modal con los coeficientes
),( 21 qq .
guLqwqqwq &&&&&& 1121211111 2 −=+++ λβ (D-14)
guLqwqwqq &&&&&& 2222222122 2 −=+++ βλ (D-15)
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Los términos 112 βw y 222 βw se calculan de la siguiente forma.
=
02 bi
iii
T
wMη
φβ i
s
φη
0
De donde obtenemos:
)21(22 11 γεββ −= bbww
)22(1
12 22 bbss www βγβ
γβ +
−=
Lo que nos lleva a.
)23
1(1 γεββ −= b (D-16)
)2
1()1( 2/1
2/12
2
γεγ
εγβββ −−
+= s (D-17)
El par de coeficientes 1λ y 2λ están calculados de la
forma.
=
01
11bT
Mη
φλ 20φ
η
s
=
02
22bT
Mη
φλ 1110
Ms
λφη
=
De este modo.
=
0),1(11
bMη
ελ sbs
aa
εηηη
−=
−
10
[ ])1(11 γεγ
−−=a
Usando ),( 21 MM la ecuación D-12 toma la forma.
[ ][ ])21(
2)1(1)/1(21 γε
βεγγεβλ+
−−−=M
mwMw ssbb
[ ]γ
γεγβεβ−
−+−=1
)1(2122 ssbb wMw
[ ] γ
γβεεγβ−
−−+=1
)1(212 2/1sbbw (D-18)
Y
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εγγγ
βεγγεβλ
)1(21/)1(
2)1(1)/1(22 −−−
−−−=
M
mwMw ssbb
[ ]γ
γεγβεβ−
−+−=1
)1(21)22( ssbb wMw
[ ] γ
γβεεγβ−
−−+=1
)1(212 2/1sbbw (D-19)
En más aplicaciones estructurales se asume que el amortiguamiento es
bastante pequeño tal que el efecto de las componentes diagonales ),( 21 λλ es
despreciable. Y que la solución puede obtenerse por la combinación modal de las
ecuaciones de movimiento, mostradas.
gxLqwqwq &&&&& 11211111 2 −=++ β
gxLqwqwq &&&&& 22222222 2 −=++ β
Si el tiempo historia de un movimiento, )(txg&& , es conocido, entonces las
componentes modales )(1 tq , )(2 tq pueden ser calculadas por la siguientes
ecuaciones.
τττ τβ dwsenetxw
Lq wt
g )()( 101
11
11−−= ∫ && (D-20a)
τττ τβ dwsenetxw
Lq wt
g )()( 202
22
22−−= ∫ && (D-20b)
Los máximos de 1q y 2q pueden estar dados por.
),( 111max1 βwSLq D= (D-21a)
),( 222max2 βwSLq D= (D-21b)
Donde ),( βwSD es el desplazamiento de respuesta para un movimiento
sísmico. )(tug&& , con frecuencia w y factor de amortiguamiento β .Para estimar varias
cantidades de respuesta espectral pico, es necesario utilizar el método SRSS
(CUADRATICO). Los valores máximos de desplazamiento y deformación estructural en
un sistema aislado están dados por.
2/12
max222
2
max112max
)()( qqus φφ += (D-22a)
2/12
max22
12
max111max
)()( qqub φφ += (D-22b)
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Insertando los resultados obtenidos en las ecuaciones (D-12), (D-13), (D-22a) y
(D-22b) obtenemos.
2/12
111
2
111max),(),( ββ wSLwSLu DDb +=
2/12
11222
112 ),(),()1( βεγβγε wSwS DD +− (D-23)
Y
2/12
22
2
2222
1122
max),()1(1
1,()1( βεγ
γεγβγεε wSwSu DDs −−+−=
2/12
22
22
112 ),()1(21,()21( βεγβγεε wSwS DD −−+−= (D-24)
Generalmente el término 2
212 ),( βε wSD puede despreciarse con espectros de
sismo donde el desplazamiento a las frecuencias altas ).,.( 2wei es mucho más pequeño
que a las frecuencias bajas ).,.( 1wei , Esto nos da
),()1( 11maxβγε wSu Db −= (D-25)
Si despreciamos algunos términos mayores que 2ε , entonces la deformación
estructural o intensidad de drift de entrepiso, esta dado por.
2/12
22
2
11max),(,( ββε wSwSu DDs += (D-26)
Similarmente el coeficiente de cortante en la base sC dado por.
max
2
maxss
sss uw
m
ukC ==
Se vuelve.
2/1222
211
2 ),(),( ββε wSwSwC DDss +=
2/12
22422
114 ),(),( βεβ wSwwSw DsDb +=
2/12
2222
11 ),(),( βεβ wSwS AA += (D-27)
Si solo consideramos los primeros términos, obtenemos
),(max bbD
b
Vs wS
w
Su βεε == (D-28a)
),(max bbD
b
Vb wS
w
Su β== (D-28b)
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Y el coeficiente de diseño por cortante en la base sC definido por.
ssss
s uwm
ukC 2==
Se vuelve
),(1
1),(12
12
1
21
222
bbAbbAVbs wSwSw
wSwC β
γεβε =
−+=
+= (D-29)
Indicando que para ε pequeño y para un espectro de diseño típico, el sistema
de aislamiento puede diseñarse, al menos en la fase inicial para un desplazamiento
relativo bajo de ),( bbD wS β y el edificio para un coeficiente de cortante bajo de
),( bbA wS β . La reducción en el cortante de base es comparada con una estructura de
base fija. Donde ),( ssAS wSC β= , esta dado por ),(/),( bbAbbA wSwS ββ , que para una
constante del espectro de velocidad es sb ww / , que es aproximadamente del orden de
2/1ε , Esta subestimación de la reducción del cortante en la base es por que en
general, bβ es mas grande que sβ .
D.2 EXTENSION DE LA TEORIA A LOS EDIFICIOS
D.2.1 ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA SISTEMAS DE VARIOS
GRADOS DE LIBERTAD
El análisis simple desarrollado para un sistema de dos grados de libertad puede
extenderse para el caso de varios grados de libertad. Si nosotros representamos el
sistema estructural de un edificio por la matriz de masas M , el amortiguamiento por la
matriz η , y la rigidez por la matriz K , para una estructura convencional, el
desplazamiento relativo u de cada grado de libertad con respecto al suelo esta dado
por.
gMrükuuMü −=++ &η (D-30)
Donde r es un vector que acopla cada grado de libertad al movimiento del
suelo. Cuando este modelo estructural es superpuesto a un sistema de base aislada con
masa bm , amortiguamiento bη , y rigidez bk , la ecuación D-30 viene dada por.
)( bg vüMrkvvvM &&&&& +−=++η (D-31)
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Donde v es el desplazamiento relativo a la plataforma y bv es el desplazamiento
relativo de la plataforma a la base del suelo. La ecuación general de movimiento para
el edificio en conjunto y la plataforma de la base es.
0)()( =++++++ bbbbgbbgbT vkvüvmrüvrvMr &&&&&&& η (D-32)
Que puede escribirse de la forma.
gbbbbbbbT ummvkvvrmmvMr &&&&&&& )()( +−=++++ η (D-33)
En la ecuación (D-33) identificamos a Mrr T como la masa total m del edificio;
Por consiguiente, bmm+ es la masa sobre el sistema de aislamiento, la forma matricial
de estas ecuaciones es.
gurMvKvvM &&&&&******** −=++η (D-34)
+=
Mr
mmM b*
M
Mr T
=
0* bη
η
C
0
=
0* bk
K
K
0
=
0
1*r
=
v
vv b*
D.2.2 ANALISIS MODAL DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE
LIBERTAD
Los modos naturales de una estructura de base fija se asumen conocidos y se
denotan por iφ , donde .,.....1 ni = y se refiere a las formas del modo de vibración, el
desplazamiento de cada grado de libertad de la estructura esta representado por.
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in
iiqv φ∑
=
=1
(D-35)
Las frecuencias naturales 2iw están dadas por.
ii
i KwM φφ =2
Y asumiendo que 0=jiηφφ si ji ≠ .
Las ecuaciones matriciales de movimiento se reduce a 1+n ecuaciones.
gbbbbbbbii
n
i
T vmmvkvvmmqMr &&&&&&& )()(1
+−=++++∑=
ηφ (D-36a)
y
)(2 2gbiiiiiii uvLqwqwq &&&&&& +−=++ β ni .,,.........1= (D-36b)
Donde iL define los factores de participación de los modos de base fija. Que son.
ii
i
iM
MrL T
T
φφφ=
La masa generalizada o masa modal de base fija viene dada por.
iii MM
T
φφ=
Podemos escribir estas ecuaciones de la forma.
gbbbbbbi
n
i b
ii uvwvwvqmm
ML&&&&&&& −=+++
+∑=
2
1
2 β (D-37a)
y
giiiiiiibi uLqwqwqvL &&&&&&& =+++ 22 β (D-37b)
El análisis modal completo de 1+n ecuaciones esta desarrollado en Kelly (65),
donde el cálculo de las frecuencias y formas modales se describe. En la mayoría de los
casos el primer modo es muy superior tal que los otros modos no juegan un papel
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importante en el diseño de los sistemas aislados, por consiguiente solo necesitamos
incluir el primer modo de vibración.
Comparando las ecuaciones de movimiento (Ecs. D-37 a y D-37 b), con las
ecuaciones anteriores de una estructura de un grado de libertad (Ecs. D-7 a y D-7
b).las ecuaciones pueden corresponder si nosotros remplazamos bv en el análisis
elemental con ,1 bvL gü con güL1 , y.
M
m
mm
m
b
=+
=γ
con
bmm
ML
+= 1
21
1γ
Nos da.
gbbbbbbb
uLvLwvLwvLqmm
ML&&&&&&& 11
2111
121 )()(2)( −=++++
β
gb uLqwqvL &&&&&&&& 111111 2)( −=++ β
En la solución de esta ecuación, el resultado de 1q sigue al de sv en un sistema
simple de un grado de libertad.
Los resultados de un sistema básico de un grado de libertad lo podemos escribir
de la forma que.
),(1
2max bAb
b wbSw
v β= (D-38)
Y
[ ] 21
**222** ),()1(),( ssAbbAs wSwSC βγεβ −+= (D-39)
Si reemplazamos de la forma que sigue. El mayor desplazamiento relativo en la base
esta dado por.
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),(1
12max1 bAb
b wbSLw
vL β= (D-40)
Y por que 1L aparece en ambos lados, el resultado es el mismo que antes.
Para obtener el cortante en la base nosotros tenemos.
21
*
**221
2
*
**221
2
max1 44
),(),(
+=
s
ssA
b
bbA
w
wSL
w
wSLq
βεβε (D-41)
Con *sw , *
sβ calculados antes y ε remplazando por 21
21 / wwb=ε , El vector de
desplazamientos relativos v esta dado por.
11φq=v (D-42)
Y si nosotros despreciamos la contribución del amortiguamiento, la fuerza de
inercia en cada elemento es.
21
11
11 wMqKqKvF φφ === (D-43)
La fuerza total horizontal en la superestructura es
11211 MLwq=Fr T (D-44)
Y esta expresada en términos del coeficiente de cortante de base sC tenemos.
Fr T=mCs (D-45)
21
*
**221
22
122
111
4
),()1(),(
−+=
s
ssAbbAs
w
wSLwSL
m
MLC
βεγβ
[ ] 21
**2221
2121 ),()1(),( ssAbbA wSwSm
ML βεγβ −+= (D-46)
Con 21
21 / wwb=ε , establecido previamente.
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D.3 ANALISIS DINÁMICO DE ECUACIONES ACOPLADAS
En la mayoría de aplicaciones estructurales se asume que el
amortiguamiento es bastante pequeño tal que el efecto de las
componentes diagonales es despreciable y requiere una solución que
puede obtenerse del acoplamiento modal de las ecuaciones de
movimiento. El análisis previo despreciando las componentes de la
diagonal, se realiza llevando todos lo resultados simples como
desplazamiento de base, Cortante de base, e intensidad de
desplazamiento drift.
bbww ββ 22 11 = ssww βγ
β 21
12 22 −
=
bbw βλ 21 = γ
γβλ−
=1
22 bbw
Para que las componentes fuera de la diagonal, sean del mismo orden
que los términos de la diagonal. Y recordando que )1(01 ≈L y )(02 ε≈L ,
asumimos que la influencia de 11q&λ sobre los resultados de 1q es
despreciable pero la influencia de 12q&λ sobre 2q pueden ser significantes.
Así, asumimos que las ecuaciones (D-14 y D-15) son modificadas, pero
que )(1 tq esta dado por la solución.
gb uLqwqwq &&&&& 1121111 2 −=++ β
Y )(2 tq por.
1222222222 2 quLqwqwq g &&&&&& λβ −−=++
Para simplificar la solución, Es útil usar la transformación de Laplace en
estas ecuaciones.
[ ] ∫∞
− ==0
)()()( sfdttfetfLT st
En términos de la transformación de Laplace tenemos.
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2111
21
1 2
)()(
wsws
saLsq
++−=
β
)2)(2(
)(
2
)()(
2111
22222
212
2111
22
2 wswswsws
sasL
wsws
saLsq
+++++
++−=
ββλ
β
)()()()( 21212 sasALsasAL λ+−=
Donde [ ]gs üLTsa =)( . El termino )(2 sA puede reducirse en fracciones
parciales a.
22
22111
22 22)(
wsws
dsc
wsws
bsasA
ss ++++
+++=
ββ
Donde después de desarrollos obtenemos.
D
wwwa
)22( 112221 ββ −=
D
wwb
21
22 −=
D
wwwc
)22( 112222 ββ −=
D
wwd
21
22 −−= (D-47)
Y
)22)(22()( 112222
211122
221
22 ββββ wwwwwwwwD −−+−= (D-48)
La inserción de los dos términos de )(2 sA viene de.
)cos()( 22
1 tes
sLT t γ
γαα α=
+−−−
y
)(1
)(
122
1 tsenes
LT t γγγα
α=
+−−
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Pero que la inserción de )2/()( 2111
2 wswsbsa +++ β es.
1
1111
)()()cos(
11
11
w
twsenewbatwbe
twtw
ββ β
−− −+
Y que de )2/()( 2222
2 wswsdsc +++ β es
2
2222
)()()cos(
22
22
w
twsenewbctwde
twtw
ββ β
−− −+
Donde.
212
111 )1( β−= ww 212
222 )1( β−= ww
El resultado final de )(1 tq y )(2 tq es obtenido por el desarrollo y
substitución de a, b, c y d en la ecuación D-47.
τττ τβ dwsenetuw
Ltq
tw
g )()()( 1
01
11
11∫ −−−= &&
ττττβ dutwsenew
Ltq g
ttw )())(()( 2
0
)(
2
22
22&&−−= ∫ −− (D-49)
−−+ ∫ −−t
gtw dutwe
D
wwL
0 1)(
21
22
12 )())(cos(11 τττλ τβ&&
τττββ τβ dxtwsenewD
wwwww t
gtw )())((
1)()2(0 1
)(
1
1122
2122
21 11∫ −+−+ −−
&&
ττττβ dutweD
ww t
gtw )())(cos(
)(0 2
)(22
21 22∫ −−− −−
&&
−−++ ∫ −− τττββ τβ dutwsenewD
wwwww t
gtw )())((
12)(0 2
)(
2
112222
22
21 22
&& (D-50)
El desarrollo de estas integrales puede calcularse para cualquier elección de )(tüg , pero
para propósitos de esta demostración, es necesario solamente tener un orden de la
magnitud de los resultados.
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En términos de 21,ww pueden expresarse las frecuencias nominales sb ww , para
usar la ecuación (D-9), de la que nosotros tenemos.
[ ] 21
2222221
22 4)(
1
1sbbs wwwwww γ
γ−−
−=−
γ−+=+
1
2221
22
bs wwww
γ−=
1
2222
21
bswwww
El denominador D de cada termino en la ecuación (D-50) puede ser escrita como.
2122
2121
22
21
22
21
221
22 )(4)(4)( ββββ wwwwwwwwD +++−−=
Que se reduce a.
[ 22
21
22222222
)1(44)()1(
1 ββγγγ bsbsbs wwwwwwD −−+−
−=
]21222/1 )()1(4 ββγ bsbs wwww +−+
Una reducción extensa de cada término es posible si nosotros asumimos los siguientes
órdenes de magnitud:
)1(0=γ 12
2
<<= εs
b
w
w
El primer termino de orden en ε , seria
[ ]εγγ
)21(21)1( 2
4
−−−
= swD
Y los multiplicadores de cada integral se vuelven.
[ ]D
w
D
ww s 1)21(1
1
221
22 εγ
γ−−
−=−
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[ ]εγγ)21(1
12
−+−−=sw
121
1122
2122
21 1)()2( βγββ
swDw
wwwww −−=−−
222
112222
22
21 12)( βγββ
swDw
wwwww −=−+
Dando las cuatro condiciones en los paréntesis en la ecuación (D-50).
[ ]
−−+−∫ −−t
gtw
s
dütwew 0 1
)(2 )())(cos()21(1
111 τττεγγ τβ
−− ∫ −−t
gtw dütwe
0 2)( )())(cos(22 ττττβ
τττβ τβ dütwsenet
gtw )())((
0 1)(
111∫ −− −−
∫ −+ −−t
gtw dütwsene
0 2)(
2 )())((22 τττβ τβ
Los resultados para 1q y 2q al primer orden en ε es.
τττ τβ dtüwsenetw
Ltq g
tw )()()()( 1
01
11
11∫ −−−= (D-52)
ττττβ dütwsenew
Ltq g
ttw )())(()( 2
0
)(
2
22
22 −−= ∫ −−
[ ]
−−+−+ ∫ −−t
gtw
s
dütwew
L0 1
)(212 )())(cos()21(1
111 τττεγγλ τβ
−− ∫ −−t
gtw dütwe
0 2)( )())(cos(22 ττττβ
τττβ τβ dütwsenet
gtw )())((
0 1)(
111∫ −− −−
∫ −− −−t
gtw dütwsene
0 2)(
2 )())((22 τττβ τβ (D53)
Es conveniente denotar el desarrollo de las integrales ecuaciones (D-52) y (D-53) por
,,, 321 III y ,4I donde:
ττττβ dütwseneIt
gtw )())((
0 1)(
111∫ −= −−
∫ −= −−t
gtw dütwseneI
0 2)(
2 )())((22 ττττβ
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∫ −= −−t
gtw dütweI
0 1)(
3 )())(cos(11 ττττβ
∫ −= −−t
gtw dütweI
0 2)(
4 )())(cos(22 ττττβ
En este análisis las cantidades de interés son la intensidad de desplazamiento (drift) y
la aceleración del suelo, que están representados por sv y .sü las cuales están
relacionados por.
m
vkü ss
smax
max=
Para que la evaluación de sv también proporcione la aceleración del suelo. La intensidad
de desplazamiento (drift) sv viene dado por.
22
11 sss qqv φφ +=
Llevando a.
[ ] 22
21
1
1 )1(11
Iw
LI
w
Lvs εγ
γε −−+−=
[ ] 221143212 )()21(11
)1(11
IIIIw
Ls
ββγεγλεγγ
+−−−+−−−− (D-54)
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Es útil aquí separar las tres contribuciones desplazamiento de entrepiso como sigue:
(i) Es producido por el esfuerzo generado en la base por el sistema de aislamiento.
11
1)1( Iw
Lvs ε−= (D-55)
(ii) Que da las ecuaciones desacopladas.
[ ] 22
2)2( )1(11
Iw
Lvs εγ
γ−−= (D-56)
Y
(iii) Que el acoplamiento de términos, que es generalmente despreciable en la
mayoría de los análisis
[ ] [ ] 221143222)3( )()21(1
1)1(1
1IIII
wLv
ss ββγεγλεγ
γ+−−−+−−−−= (D-57)
El desarrollo de las integrales ,,, 321 III y 4I puede ser estimado con el propósito
de demostración con el método de análisis del espectro de respuesta.
Reconociendo que.
),(1
11max11
βwSIw D= ),(
122max2
2
βwSIw D=
Donde DS es la respuesta de espectro de desplazamiento.
La expresión.
max0
)()())(cos(∫ −−−t
g
twdütwe ττττβ
Es la velocidad relativa de respuesta espectral ),( βwSRV para un solo grado de
libertad de vibración con frecuencia w y el factor de amortiguamiento β . Esta
aproximación para la pseudo-velocidad del espectro de respuesta ),( βwSV está dado
por ).,( βwwSD El valor pico del desarrollo de las cuatro integrales en paréntesis en la
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ecuación (D-53) ocurrirá en momentos diferentes y debe sumarse por el método de
SRRS. Primero estimando el máximo de las tres contribuciones a sv .
Tenemos.
),( 111max
)1( βε wSLv Ds =
[ ] ),()1(11
222max
)2( βεγγ
wSLv Ds −−=
[ ] [ ] [ ] ),(),()21(11
)1(11
2222
21122
12
222max
)3( ββγεγλεγγ
wSwwSww
Lv DDs
s +−+−−−=
21
2222
22211
221
21 ),(),( ββββ wSwwSw DD ++ (D-58)
Todos los códigos de diseño de estructuras aisladas están basados en constantes de la
velocidad espectral. Pero que varios de los términos anteriores pueden relacionarse a
través de.
)(),( ββ HSwS VV =
Donde VS es constante y )(βH es una función modificada del amortiguamiento que
convenientemente disminuye al incremento de β y es igual a la unidad para 05.0=β .
Se han usado muchas funciones continuas o tablas en los códigos. Una forma particular
y simple es el de Kawashima-Aizawa cuya función es.
5.04015.1
)( ++
=β
βH (D-59)
Donde si 2)0( =H , 1)05.0( =H , y 5.0→H cuando ∞→β , usando una constante de
velocidad espectral y los resultados de las cantidades modales ...,,, 2121 wwLL después
de varios desarrollos, obtenemos los resultados.
)( 1max
)1( βε Hw
Sv
b
Vs =
)()1( 22/13/2
max
)2( βγε Hw
Sv
b
Vs −=
[ ] )()21(212 122
1max
)3( ββεγεβ Hv bs +−+=
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[ ] b
V
w
SH 2
1
222
2 )()21(21 ββεγ +−++ (D-60)
Claramente, para valores pequeños de bβ , para 10.0≈β , el primer termino max
)1(sv ,
es el dominante. Para todos los valores el segundo término max
)2(sv es siempre más
pequeño que el primer termino y es despreciable. El significado del tercer termino
max
)3(sv depende del valor de bβ . Para valores usuales de sβ el valor de 2
2β es pequeño
comparado con la unidad, la relación entre ellos se vuelve.
)(
)()()1(2
1
21
22
122
1)2(
)3(
βββββ
H
HHR
v
vb
s
s ++== (D-61)
Ahora si bββ ≈1 y.
)()1(
1 2/12/12 bs βγεβ
γβ +
−≈
Supongamos que adoptamos la fórmula de Kawashima-Aizawa para )(βH y tomamos
25/1=ε , 2/1=γ y 02.0=sβ la relación de los dos términos es de 0.33 cuando
10.0=bβ e incrementa a 80.1 cuando 5.0=bβ .Para poner esto en números
apropiados por ejemplo, suponemos que el código manda un desplazamiento de 76.00
cm , un amortiguamiento del 5% y un periodo de 2.5 segundos , la reducción es muy
aceptable, supongamos que los amortiguadores viscosos lineales se colocan para
proporcionar un amortiguamiento alrededor del 50% al punto que el factor de
reducción es 0.57. El desplazamiento es nuevamente aceptable, y la notación en los
códigos para el cortante en la base viene dada por KDFs = , qué antes era.
Wg
WD
M
KFs 50.0==
Reduciendo ahora a W285.0 , qué nuevamente es bastante razonable; sin embargo, la
fuerza amortiguadora es.
DMwFv&β2=
Qué está fuera de fase con sF si 50.0=β y wDD =& , exactamente igual que sF , el
máximo cortante en la base es.
WFs 40.02 =
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La máxima aceleración correspondiente al suelo es.
max
2
max sss vwü =
Es.
)()( 12)1(
maxββε HSwwH
w
Sü Vbs
b
Vs ==
y
)()( 12)3(
maxββε HSwwH
w
Sü Vbs
b
Vs ==
[ ] b
V
w
SH 2
1
222
2 )()21(21 ββεγ +−++
[ ] 122
1 )()21(212 ββεγβ Hw bb +−+=
Para el mismo ejemplo las dos componentes )1(
maxsü , )3(
maxsü y su suma
como una función de bβ se muestran en la fig. D.2. Vemos ese )1(
maxsü se
hace igual a )3(
maxsü cuando bβ esta al rededor de 0.26, pero su suma tiene
un valor mínimo a aproximadamente de 0.12.
Este resultado implica que el incremento de amortiguamiento
(lleva a valores grandes de bβ ), mientras controlamos el desplazamiento
del aislador reduciendo bv . Tiene el efecto opuesto de incrementar la
intensidad de desplazamiento y las aceleraciones del suelo. Para una
constante de velocidad generamos el espectro de aceleraciones por el
acoplamiento de términos dominantes. Esto no es ampliamente
apreciable en las estructuras aisladas de modos altos. Que tienen las
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aceleraciones del suelo y las intensidades de desplazamiento (drift) casi
ortogonales a la base de corte. Para que un corte bajo en la base no sea
garantía de un sistema de aislamiento eficaz. Respecto al esfuerzo por
mejorar la respuesta del sistema añadiendo un amortiguamiento excesivo
es un esfuerzo inevitablemente contraproducente
E-CARACTERÍSTICAS MECÁNICAS Y MODELAMIENTO DE AISLADORES
E.1 INTRODUCCIÓN:
El proceso de diseño para un sistema de aislamiento generalmente empieza con
un diseño preliminar que usa los parámetros de un proyecto anterior o los datos de un
fabricante para estimar el posible desplazamiento máximo del sistema y valores
máximos de varias cantidades (como el esfuerzo cortante) y también para estimar el
cortante basal de la estructura, estabilidad de los aisladores, y posibilidad de
levantamiento. Después de que el proceso de éste diseño preliminar se completa, se
tomará como diseño final del aislador y se sujetarán al código asignado del programa
de prueba de prototipo. Dependiendo de los resultados de las pruebas del prototipo, el
diseño preliminar puede o no necesitar ser modificado. Para minimizar el número de
iteraciones en el diseño, depende de tener los datos exactos y que tan buenos sean los
procedimientos de cálculo en la fase del diseño preliminar.
E.2 CARACTERÍSTICAS MACÁNICAS DE LOS APOYOS ELASTOMÉRICOS:
La propiedad mecánica más importante de los apoyos elastoméricos es su
rigidez horizontal y está dada por:
rH t
GAK =
Donde:
G : Modulo de corte del elastómero.
A : Área llena de la sección del elastómero.
tr : Espesor total del caucho.
El desplazamiento horizontal máximo D se relaciona a la deformación por corte
máximo γ como:
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rt
D=γ
La rigidez vertical Kv y la rigidez de torsión expresadas como EI por analogía con
la teoría de vigas también son dadas por una teoría elástica lineal simple que se
necesitan para diseñar un apoyo.
La frecuencia vertical de una estructura aislada, a menudo es un criterio
importante de diseño y es controlada por la rigidez vertical de los apoyos que
comprende el sistema. Para encontrar esta frecuencia vertical, es necesario para el
diseñador calcular sólo la rigidez vertical de los apoyos bajo una carga muerta
especificada, y para esto un análisis lineal es adecuado. La respuesta inicial de un
apoyo bajo una carga vertical es no lineal y depende de varios factores. Normalmente,
los apoyos tienen un desplazamiento sustancial antes que la rigidez vertical se
desarrolle por completo. Estos desplazamientos son fuertemente influenciados por la
alineación del refuerzo del apoyo y otros aspectos de calidad en el proceso de
fabricación, éstos detalles no pueden predecirse en el análisis pero generalmente puede
ser de poca importancia para el cálculo de la respuesta vertical de un apoyo.
Otra propiedad importante que debe analizarse para el diseño es el
comportamiento de pandeo del aislador. Para hacer este análisis es necesaria, la
respuesta del apoyo al momento generado por la compresión. La rigidez torcional,
puede determinarse por una extensión del mismo análisis que se hace para determinar
la rigidez vertical.
La rigidez vertical del elastómero está dada por la formula:
r
cv t
AEK =
donde A es la sección transversal del apoyo (en este caso es normal que se tome como
el área del plato), tr es el espesor total del elastómero del apoyo, y Ec es el módulo
compuesto de elasticidad instantáneo de caucho-acero bajo el nivel especificado de
carga vertical. El valor de Ec para una sola capa de caucho es controlado por el factor
de la forma S, definió por:
S=Área cargada/Área libre de carga
qué es una medida adimensional respecto a una sola capa del elastómero. Por ejemplo,
en una tira infinita de ancho 2b y con espesor de capa t,
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t
bS = (E-1)
para un apoyo circular de diámetro Φ o de radio R y espesor t,
t
R
tS
24=Φ= (E-2)
Y para una capa cuadrada de lado a y espesor t,
t
aS
4= (E-3)
Para una sola capa en forma de círculo completo el módulo de elasticidad Ec
está dado por:
26GSEc=
y para una forma cuadrada el resultado es:
273.6 GSEc=
En algunos casos los apoyos se diseña con agujeros centrales llenos. El
resultado para un apoyo de radio interior a y radio exterior b es:
26 GSEc λ=
donde:
2
2222
)(
)(ln)(
ab
ababab
−
−−+=λ
Si 0→ba , entonces 1→λ ; y, Ec=6GS2 que es el resultado para una apoyo
circular lleno. Si 1→ba , podemos escribir ε−=1ba y permitiendo 0→ε , nosotros
encontramos que 3/2→λ y 24GSEc → que es el resultado para una tira infinita. Es
interesante evaluar rápidamente el resultado para los λ aproximados a 2/3. Para
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ilustrar esto, la solución para λ se grafica versus la relación a/b en el intervalo
1/0 ≤≤ ba en la figura E.1 claramente se nota que para el caso cuando a/b>0.1, el
valor de λ es casi dos tercios, mientras que la presencia incluso de un agujero
pequeño conlleva a un gran efecto en Ec; por consiguiente, en la mayoría de los casos
para los apoyos con agujeros centrales, el valor de (Ec) debe tomarse como 4GS2 en
lugar de 6GS2.
Figura E.1 Reducción del módulo de elasticidad Ec para un apoyo anular.
Bajo compresión directa el confinamiento proporcionado por el vínculo de acero
produce una deformación al cortante en el caucho que se denota por cγ . La
deformación de compresión nominal cε se da por:
rc t
∆=ε
donde ∆ es el desplazamiento vertical, entonces:
cc Sεγ 6=
Ésta es la deformación máxima por corte desarrollada en los bordes del apoyo y a
menudo es usado en el diseño.
La deformación de corte máxima debida a la compresión no es la única cantidad de
interés para el diseñador. También es útil estimar la deformación medida de la manera
siguiente: Debido a que el caucho es un poco sensible al esfuerzo, G se modifica a
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menudo según el nivel de esfuerzo, particularmente en los cauchos muy llenos. En
compresión el esfuerzo de corte varía ampliamente sobre del volumen del apoyo; por
consiguiente, el valor apropiado del módulo se estima por la media de deformación
basada en un cálculo de la energía elástica almacenada en el apoyo.
De este cálculo la media de deformación al corte aveγ se da por:
cave Sεγ 6=
Aunque se necesita un cierto grado de ensayo y error, los cálculos de este tipo le
permiten al diseñador estimar el valor apropiado de G que puede usarse para calcular
la rigidez vertical. Primero nosotros debemos asumir un valor de G para calcular εc y de
eso calcular aveγ ; podemos modificar entonces G e iterar cuanto sea necesario. Debido
a que el módulo no es muy sensible al esfuerzo anterior, aproximadamente 20%, se
necesitan pocas iteraciones.
El esfuerzo de torción de un apoyo se calcula usando una aproximación similar
con el mismo tipo de desplazamientos asumidos. El apoyo se supone cargado por un
momento puro M, y se asume que la deformación es una rotación de la cabeza y base
unidas por platos, como se muestra en la figura E.2. El ángulo relativo entre la cabeza
y los platos de la base se denotan por α , y el radio de curvatura ρ generado por la
deformación se relaciona con α por:
r
αρ
=1
Por analogía con la teoría de vigas, donde:
ρEI
M =
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Figura E.2 Apoyo de caucho entre las placas rígidas de confinamiento en puro momento
de torción.
tEIM eff
α)(=
Para un apoyo circular de
radio R, el resultado es
y para una viga de sección circular
4
4RI
π=
Pero en este caso, tomando E en EI como Ec=6GS, tenemos el resultado
124Rπ para I que es un tercio del momento de inercia de la viga. La diferencia es
causada por el hecho que la distribución de presión varía como una parábola cúbica por
el apoyo, considerando que en una viga, la distribución de esfuerzo de torción es lineal.
En el caso de un apoyo circular, el EI efectivo es muy cercano de un tercio del EI de la
viga, siendo
)3291.0()( Ceff EEI =
Para un bloque circular con un agujero en el centro, tenemos
22
22 )(
2)(ab
abIGSEI eff −
+=
La deformación al corte inducida por la torción está dada por
bb Sεγ 6=
1223 6
3
R
t
GM
πα=
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Donde )/( tRb αε = es el borde sometido a una fuerza de compresión producida por la
torción. El promedio de la deformación por corte (respecto a la energía de deformación
por corte) está dada por:
αγ 22Saveb =
t
RSave
b
αγ4
2 2=
baveb Sεγ 2=
Cuando el factor de forma del apoyo es grande, el efecto en compresión del apoyo de
caucho es importante. La compresión puede ser aproximada en las formulas previas
por medio de la modificación ad hoc. (73)
KEE cc
111`
+=
donde cE`1 es el módulo en compresión asumiendo un comportamiento de
incompresibilidad y K es el módulo volumétrico del material. Fórmulas más exactas han
sido desarrolladas para este efecto pero el módulo volumétrico es una cantidad difícil
de medir, pero usando la fórmula simple ad hoc es bastante buena para los propósitos
de diseño. El valor de K varía ampliamente en referencia al material, para un rango de
1000 MPa a 2500 Mpa. El valor comúnmente usado, que se muestra en las pruebas de
laboratorio sobre apoyos, es de 2000 Mpa.
Reescribiendo para Ec la ecuación ad hoc:
KE
KEE
c
cc +
=`
`
y para un apoyo circular, tenemos 26` GSE c = , así
KGS
KGSEc +
=2
2
66
+
=KGS
GSEc /61
16 2
2
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Cuando S es pequeño, tenemos
−=
K
GSGSEc
22 6
16
Pero para decir que, S tiene un 10% de exactitud, es semejante a:
G
KS
606 2 <
con K = 2000 Mpa y G = 0.7 Mpa, S<7.
Cuando S es grande y KGS26 es mucho más grande que la unidad,
−= 261
GS
KKEc
Vemos que K es superior a un límite de Ec y aproximadamente determinamos Ec con
una certeza menor a un 10%
101
6 2<
GS
K
O
706.0
2/1
≈
>G
KS
Los factores de forma de ésta magnitud son inciertos, pero las fórmulas vistas para una
tolerancia en compresión es necesaria para los factores de forma aproximadamente
sobre 10.
E.3 CARACTERÍSTICAS MECÁNICAS DE LOS APOYOS CON NÚCLEOS DE PLOMO:
Los apoyos con núcleo de plomo son siempre modelados como elementos bilineales,
con características basadas en 3 parámetros: K1, K2 y Q (vistas más adelante en la
figura E.4). La rigidez K1 elástica es difícil de medir, usualmente se toma un múltiplo
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empírico de K2, la rigidez posterior a la rotura, que puede ser estimada con precisión
para el módulo de corte del caucho y en el diseño de un apoyo. La característica de la
fuerza Q es la intersección de un lazo de histéresis y la fuerza axial es estimada con
precisión para el esfuerzo a la fluencia del plomo (10.3 Mpa en el área de un núcleo de
plomo).
La rigidez efectiva de un apoyo con núcleo de plomo, definida en base a un pico
de cargas pico, firmemente reducidas con desplazamientos; en términos de los
parámetros básicos K1, K2 y Q, esta dada por
D
QKKeff += 2 yDD ≥ (E-4)
donde Dy es el desplazamiento a la fluencia. La frecuencia natural ω está dada por
W
gKeff=ω
D
gµωω += 20
donde WQ=µ , WgK20 =ω , y el periodo efectivo T está dado por
ωπ2=T
D
gT
µω
π
+=
20
2
El amortiguamiento efectivo effβ para yDD ≥ está definido por
2effK2
histéresis de curva la de áreaDeff π
β = (E-5)
El área de la curva de histéresis está dado por )(4 yDDQ − ; para colocar effβ en
términos de estos parámetros básicos, notamos que
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1K
FD y
y = yy DKQF 2+=
Pero que
21 KK
QDy −
= (E-6)
Usando la definición de effβ y el resultado de la ecuación (E-4) para effK tenemos
DQDK
DDQ yeff )(2
)(4
2 +−
=π
β
Como regla general manejamos que la rigidez elástica K1 es tomada como 10K2, para
que )9( 2KQDy = obtenemos.
DQDK
KQDQeff )(2
)9(4
2
2
+−=
πβ
E.4 CARACTERÍSTICAS MECÁNICAS DE LOS SISTEMAS DE PENDULO DE FRICCIÓN
(FPS):
Si la carga en un aislador de péndulo de fricción es W, el desplazamiento horizontal es
D, y el coeficiente de fricción es µ, entonces la fuerza de resistencia F se da por
)(sgnDWDR
WF µ+=
Donde R es el radio de curvatura del plato. El primer término es la fuerza restauradora
debido al levantamiento de la masa, proporcionando una rigidez horizontal
R
WKH =
qué produce un período T a la estructura aislada dado por
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gRT π2=
Que es independiente de la masa movida. El segundo término es la fuerza de fricción
entre la superficie cóncava y el deslizador. El coeficiente de fricción µ depende de la
presión p y de la velocidad de deslizamiento D. El coeficiente decrece con el incremento
de la presión y se torna independiente de la rapidez para velocidades por encima de 51
mm/s con presiones mayores que aproximadamente 14 Mpa. Un típico laso de
histéresis para sistemas de péndulo de fricción en el simulador de sismos es mostrado
en la figura (E.3). La naturaleza muy lineal de la fuerza restauradora, la alta rigidez
antes que ocurra el deslizamiento, y la disipación de la energía a la fricción deslizante
están claras en la figura. La rigidez equivalente (pico a pico) está dada por
D
W
R
WKeff
µ+=
Figura E.3 Laso de histéresis de prueba en el simulador para FPS.
El amortiguamiento producido por la fricción en las superficies deslizantes puede
estimarse por la fórmula del código
2effK4
histéresis de curva la de áreaDeff π
β =
El área del lazo de histéresis es WDµ4 ; así
( )[ ] µµ
πµπµβ
+=
+=
RDdWDRW
Wd 22
4
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Con rangos desde π2 para un pequeño D a )//(2 DRπµ cuando D aumenta. Por
ejemplo, si D = 254mm y R = 1m con µ = 0.06, tenemos %12=β .
Para entender la geometría del sistema de péndulo de fricción, es conveniente
invertir la ecuación anterior que relaciona T con R. Para períodos T estables tenemos
( )2
2
2
102
TgT
R ≈=π
Para esto requerimos un radio de alrededor 1m para 2 segundos de período. Si el
desplazamiento horizontal D de el sistema es 254mm, entonces el desplazamiento
ascendente Vδ está dado por
−=R
DarcsenRv cos1δ
será alrededor de 32mm. De este modo el desplazamiento horizontal de mm254± con
un período de alrededor de 2 segundos también genera un movimiento vertical con un
rango 32mm a un período de 1 segundo. La formula aproximada para el
desplazamiento vertical es
R
Dv
2
21=δ
lo que indica que el desplazamiento vertical es aproximadamente cuadrático respecto al
desplazamiento horizontal.
Otro aspecto del sistema de péndulo de fricción es que si el desplazamiento es
menor que un cierto factor del radio, la fuerza restauradora puede ser menor que la
fuerza de fricción y el sistema no será equilibrado. Este factor es obtenido de igualar
los dos términos en la ecuación de la fuerza. Así el sistema no quedará equilibrado si
µ≤RD . Éste puede ser un problema en los sistemas de períodos largos; por ejemplo,
si T = 5 segundos, R = 6.35m, con µ = 0.06, el sistema no quedará en equilibrio si
mmD 381≤ .
El sistema extremadamente sencillo del péndulo friccionante lo hace muy
atractivo; no obstante, su misma simplicidad es la desventaja principal del sistema. Es
esencialmente un sistema de un parámetro, y ese parámetro se controla por el radio de
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la superficie cóncava. Para que las varias superficies articuladas se deslicen juntas,
todas las superficies tienen que ser esféricas. De este modo, la respuesta es lineal en
todo el rango de desplazamientos.
E.5-MODELAMIENTO DE APOYOS AISLADOS POR DISEÑO BILINEAL:
En la practica todos los apoyos aislados son diseñados por un modelo bilineal basado
sobre los tres parámetros K1, K2 y Q, como se muestra en la figura (E.4). La rigidez
elástica K1 es estimado o por los lazos de histéresis de la prueba del apoyo
elastomérico o como un múltiplo de K2 por apoyos con núcleo de plomo y apoyos de
péndulo friccionante. La fuerza característica Q es calculada de los lazos de histéresis
de el apoyo elastomérico. Para apoyos con núcleo de plomo Q está dado por el esfuerzo
producido en el plomo y el área del plomo, mientras que en el apoyo de péndulo
friccionante está dada por el coeficiente de fricción de la superficie deslizante y la carga
movida por el apoyo. La rigidez post falla puede estimarse con precisión o puede
predecirse para los tres tipos de apoyos.
La rigidez efectiva, se define como la secante inclinada de los valores picos de
un laso del histéresis, está dada por
D
QKKeff += 2 yDD ≥
Figura E.4 Parámetros básicos de un laso histerético
Donde Dy es el desplazamiento producido. En término de parámetros primarios,
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21 KK
QDy −
=
Y el área del lazo de histéresis (energía disipada por ciclo), WD, está dada por
)(4 yD DDQW −=
El amortiguamiento efectivo effβ es definido por
22
)(4
DK
DDQ
eff
yeff π
β−
=
Esto puede ser expresado en cantidades adimensionales definiendo un desplazamiento
adimensional
yD
Dy =
Y una fuerza característica adimensional
yDK
Qa
2
=
Con lo que el amortiguamiento efectivo se convierte en
yay
yaeff )(
12
+−=
πβ 1≥y (E-7)
Para ajustar 0, =βa con 1=y y tendiendo a cero como ∞→y el máximo valor de β
está dado por 0/ =dydβ ocurre a causa de
2/1)1(1 ay ++=
Con
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)2()1(2
122/1 aa
amáx +++
=π
β (E-8)
Ahora yDKQa 2= de este modo por la ecuación (E-6) tenemos
2
21
K
KKa
−= (E-9)
Esto lleva al curioso resultado que el máximo valor del amortiguamiento efectivo
depende sólo de la relación K1 a K2. La segunda pendiente, K2, es fácil de determinar
para cualquier tipo de sistema aislado, pero la primera pendiente, K1, normalmente
pasa por el origen y puede variar sobre un rango amplio. Puesto que la fuerza
característica Q también puede ser determinada con precisión, el valor de K1 no tiene
influencia en la rigidez efectiva pero obviamente tiene una fuerte influencia sobre el
amortiguamiento y, en particular, sobre el máximo valor, qué puede ser un valor
promocional importante por el sistema propio.
Para ilustrar el efecto de la selección de K1 en el amortiguamiento, consideramos
un sistema con los mismos valores de Q y K2 (así el mismo período efectivo para todos
los valores de D y el mismo lazo de histéresis) pero modelado para diferentes valores
de K1. (figura E.4).
Asumimos Q = 44.5kN y K2 = 350kN/m:
ientoamortiguamgran con caucho de apoyoun de ejemplo Otro3
ientoamortiguamgran con caucho de apoyoun a ienteCorrespond6
plomo de nucleocon apoyoun a ienteCorrespond21
fricción de péndulo de sistemaun a ienteCorrespond51
241
231
221
211
KK
KK
KK
KK
====
Los valores de Dy para éstos son
mmD
mmD
mmD
mmD
y
y
y
y
5.63225.44
4.2525
5.44
35.62205.44
5.22505.44
4
3
2
1
=⋅
=
=⋅
=
=⋅
=
=⋅
=
0.2
0.5
0.20
0.50
4
3
2
1
====
a
a
a
a
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Los valores picos de β y los desplazamientos son como sigue
170.0
268.0
410.0
480.0
4
3
2
1
====
máx
máx
máx
máx
ββββ
mmparaD
mmparaD
mmparaD
mmparaD
5.173
6.87
6.35
8.20
====
Figura E.5 Amortiguamiento efectivo en función de los desplazamientos para diferentes
valores de K1.
La variación de β con D para los tres casos se muestra en la figura (E.5), ilustrando
cómo el amortiguamiento para desplazamientos pequeños pueden ser muy altos si K1
es seleccionado para ser grande. Esto también muestra que como D se torna grande,
todas las curvas β Vs. D tienden a tornarse iguales. El punto es que el mismo lazo de
histéresis cuando se diseña por un modelo bilineal puede tener un patrón muy diferente
de valores de amortiguamiento, dependiendo sólo de la rigidez inicial seleccionada.
Para poner los valores usados en la figura (E.5) en proyección, suponemos que
la segunda pendiente, K2 =350kN/m, corresponde a un aislador en un sistema con un
período de 3 segundos. El peso soportado por un aislador es
kNgK
W 786386*)2(
9*222
2 ===πω
La fuerza característica Q = 44.5kN entonces
%6.5==W
Qµ
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Que representa el coeficiente de fricción para un sistema de péndulo friccionante o la
relación de fuerza para un apoyo con núcleo de plomo.
E-6 IMPLICANCIAS DEL MODELAMIENTO BILINEAL:
El problema que enfrenta el diseñador de aisladores es que habiendo obtenido el valor
de VMC para el lugar y supuestos posibles valores del período y amortiguamiento, es
inmóvil el confinamiento de máximo valor aceptable para el MCE desplazamiento DM.
Suponiendo que ,,βT y D se especifican y es necesario calcular los parámetros del
modelo, es decir, K2 y Q, para proporcionar estos valores.
Con el período especificado, la rigidez efectiva Keff está dada por
22
=Tg
WKeff
π
Entonces
βπ 22 DKW effD =
Puede calcularse
βππ 22
22)(4 D
Tg
WDDQ y
=−
En éste punto olvidamos Dy y calculamos Q con
βπDK
D
WQ eff
D
24==
Llegando a un valor inicial de WQ . Esto es entonces posible de calcular
DQKK eff −=1 y Dy, asumiendo, por ejemplo para un apoyo con núcleo de plomo
21 10KK = o para un sistema de péndulo friccionante 21 100KK = . Con un valor
aproximado de Dy, el cálculo de Q y K2 puede mejorarse, y con estos valores el diseño
del sistema puede proceder.
Por ejemplo, suponiendo para la formula DM del código un desplazamiento del
plomo de 76cm para un período de 2.5 segundos y 5% de amortiguamiento. Para
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reducir esto a un nivel factible de desplazamiento, digamos, 50cm, requerimos que
5.1=B y 30.0=β . El valor de effK para segundosT 5.2= es
mWkNKeff /644.0=
Y el valor de WD está dado por
mWkNWWD /308.0)25.0)(644.0(2)3.0( == π
De lo que conseguimos (dejando Dy de la primera estimación)
154.0)5.0(4
303.0
4===
D
W
W
Q D
La primera estimación para K2 es
WK
WK
366.0
5.0154.0
644.0
2
2
=
−=
Y
mDy 51.0)336.0(9
154.0 ==
Un recalculo de Q, incluyendo el cálculo de Dy, es 171.0=WQ , con una segunda
estimación de K2 tal como
mWkNK /306.02 =
Así necesitamos un núcleo de plomo que produzca una fuerza característica del 17% de
W para conseguir éste nivel de amortiguamiento. Nos suponemos ahora sometidos a un
nivel de terremoto (SLE), por ejemplo, ese terremoto que podría tener un 50% de
probabilidad de retorno en 50 años, y asumimos que para este nivel de entrada el
coeficiente sísmico CV es la mitad que el DBE, que es, DCC VVS 21= , entonces
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VMVS CC4.2
1= . Por consiguiente podemos prever un desplazamiento Ds lo que no es
más que MD)4.2/1( . Asumiendo que en este caso D es aproximadamente 125mm de
éste nivel de desplazamiento tenemos.
mkNK
WWK
eff
eff
/1674125.0171.0
306.0
=
+=
Y
mkNW
W
DDQW
D
D
yD
/0506.0
)51.0125.0)(171.0(4
)(4
=−=
−=
Dando
31.0=β
Y
52.1101*20.05.1 =+=B
El período T = 1.56 segundos. Asumiendo que VMVS CC )4.21(= y que VMC lleva a 76cm
para T = 2.5 segundos y %5=β tenemos
mmDS 13052.11
5.256.1
4.230 ==
El no reducido cortante basal en este desplazamiento es
WkNDK
WDK
Seff
Seff
22.0
13*674.1
=
=
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Que está sólo un poco por encima de la fuerza característica WQ 171.0= ; por
consiguiente con este diseño, es posible un efecto de aislamiento muy pequeño.
Para un dispositivo de péndulo friccionante los resultados son similares. Ya que
Dy para el sistema del péndulo friccionante normalmente es despreciable, el Q
requerido es sólo 0.154W correspondiendo a un factor de fricción de 15.4%. El K2
requerido en éste caso es
mWkNK
K
/34.0508.0154.0
644.0
2
2
=
−=
Si asumimos eso para un SLE tenemos un desplazamiento DS de alrededor 125mm
encontramos
mWkNK
WK
/573.1125.0
154.0341.0
2
2
=
−=
Y
mWkNW
WW
D
D
/077.0
125.0)154.0(4
==
Dando
496.0=β .61.1 segT = 0.2=B
Llevando a
mmDS 100230
50.261.1
4.21 ==
Y el cortante basal no reducido es WKeff 189.0*4 = , que excede a la fuerza de
deslizamiento, 0.154W, por consiguiente, para este nivel de entrada, el sistema no se
moverá.
F-PANDEO Y ESTABILIDAD DE UN AISLADOR ELASTOMERICO
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F.1 INTRODUCCION
Un apoyo con varias capas puede ser susceptible a un tipo de pandeo de
inestabilidad similar al de una columna pero dominada por la baja rigidez del apoyo.
El análisis previo del conjunto de deformaciones de un apoyo simple puede ser
usado en un análisis de pandeo que trata de los apoyos como un sistema
compuesto y continuo. Este análisis considera al apoyo como una viga y la
deformación se asume tal que las secciones planas perpendiculares a la deformada
del eje central permanecen planas pero no necesariamente perpendiculares al eje
de deformación.
La teoría del pandeo de un apoyo aislado deriva del trabajo de Hanringx en
1947 sobre las características mecánicas de resortes de acero helicoidales y varas
de caucho usadas para la vibración. Este trabajo fue publicado en series de
reportes, la tercera parte trata de la estabilidad de un sólido de caucho. La teoría de
Hanringx después fue aplicada por Gent(1944) al problema de la estabilidad en
compresión del resorte de varias capas de caucho, y es esta aplicación que forma la
teoría básica descrita acá.
El método parecido al análisis lineal elástico del Pandeo de una columna de Euler
para modelar el aislador de caucho como una viga continua, para esto es necesario
introducir ciertas modificaciones a las cantidades definidas previas ha esta sección.
Considerando que el apoyo es una columna de longitud h con un área de sección de
corte A y definiendo la rigidez de corte por unidad de longitud como SS GAP = . Donde
es el área de corte efectiva dada por.
rS t
hAA =
Donde h es la altura total del apoyo (caucho y acero) y rt simplemente la altura
total del caucho. El incremento de Aes necesario para considerar que el acero
no se deforma en el sistema compuesto. La rigidez torcional es modificada
similarmente tal que .)( efectEIpara un único bloque de espesor t esta dado por
SEI . Donde.
r
CS t
hIEEI )
31
(=
En términos de estas cantidades, el conjunto de rigideces horizontales
HK ( )rtGA/ viene dado por.
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h
GAK S
H =
Y la carga de pandeo de Euler para una columna sin deformación al corte es.
2h
EIP S
E π=
La situación usual para un apoyo en un sistema aislado se observa en la
fig. F.1. El apoyo esta restringido a la rotación en ambos extremos y es libre
para moverse lateralmente en la parte superior. El resultado para la carga crítica
del pandeo critP es la solución de la ecuación.
02 =−+ ESS PPPPP (F-1)
De lo cual la carga critica critP esta dado por.
2
42ESSS
crit
PPPPP
++−= (F-2)
Si nuevamente asumimos que GAPS = y.
≈≈
A
ISGA
h
IGSPE
22
2
22 2631 ππ
Además, para muchos casos de apoyos tenemos 5≥S , SE PP >> , la carga critica puede
aproximarse a.
2/1)( EScrit PPP = (F-3)
Fig. F.1 Condiciones de contorno para un apoyo asilado sobre el cual actúa una carga P.
Usando esta expresión y calculando nuevamente que
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rS t
hGAP =
rCE t
hIE
hP
31
2
2π= (F-4)
Tenemos
=
r
rrcrit
t
GASr
t
hArGS
ht
hGA
Pπ
π
2
631
2/1
222
22/1
Donde el radio de giro esta denotado por 32/ar AI == Para un apoyo cuadrado de
lado a y 4/φ para un apoyo circular de diámetro φ .
La presión critica APp critcrit /= puede expresarse en términos de Sy la
cantidad 2S , referido b
rr t
ao
tS
φ=2
Así
cuadradoapoyounpara
circularapoyounpara
SS
SS
G
Pcrit
=
2
2
6
22π
π
(F-5)
En el diseño actual la carga que llega al apoyo (W), será menor que la carga critica, y
despreciando el efecto de la carga vertical sobre la rigidez horizontal HK del apoyo, que
esta dado por rH tGAK /= que a su vez esta relacionado con la frecuencia horizontal
Hw a través de.
gW
Kw H
H =2
Así, el factor de seguridad SF contra el pandeo, es definido por WPSF crit /= , dado por
g
rSwSF H
22π= (F-6)
Siendo todo lo demás igual, los incrementos del factor de seguridad con el factor de
forma S, frecuencia Hw , o tamaño del apoyo (como φoa ).
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El tamaño que el apoyo tendrá, dependerá de la carga que lleva. Si la presión
AWp /= esta especificada, entonces.
−−−
−−−
=
)8(32
1
)7(2
2/1
2/1
FcuadradoapoyoParap
W
FcircularapoyoParap
W
r
π
Si la presión es fijada, el factor de seguridad disminuirá a 2/1W , llegando al resultado
inesperado que el pandeo puede llegar a ser un problema para apoyos que están
ligeramente cargados.
Obtener una opinión de la magnitud de las cantidades involucradas supone que
el factor de seguridad debe ser al menos 3, el factor de forma S es 10, y la frecuencia
es π radianes por segundo (Periodo 2 segundos), todos estos valores típicos, en este
caso, r deben al menos ser.
mmr 0.67*10*2
9810*32
==ππ
Si el apoyo es circular, entonces mm268=φ . Esta dimensión mínima es independiente
de la carga aplicada o la presión. Pero si la presión esta especificada, por ejemplo
digamos unos 6.9 MPa, Esto traducido en una carga mínima de 390KN. Para la mayoría
de edificios los apoyos tienen dimensiones mayores a las mínimas y las cargas
aplicadas están por debajo de las que resiste, por lo cual probablemente para este caso
el pandeo no es un problema de diseño.
Sin embargo ha habido casos, cuando ha sido necesario diseñar el aislador
debido a cargas ligeras, por ejemplo, los interruptores de circuito en una planta de
energía eléctrica en donde cambian de patios. Estos componentes pesan pocas
toneladas y el apoyo bajo diseño debería ser estable que soporte cargas de 10 hasta
50KN. Apoyos desarrollados similarmente para aplicaciones referidos como ha
“Incrementar la estabilidad del apoyo”. En apoyos esta rigidez al pandeo es aumentada
ya sea haciendo al apoyo una unión de pequeñas apoyos conectados por láminas de
acero (69) o por discos del caucho individuales conectados por láminas de acero (128).
La primera aplicación conocida de un apoyo de este tipo, fue ejecutada en la Planta de
Energía Edmunson cerca de Bakersfield, California (69). El análisis de estabilidad dado
acá para un apoyo simple es aplicable a este incrementando la estabilidad del apoyo.
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Influencia de la Carga vertical Sobre la Rigidez Horizontal. Cuando la carga
vertical aplicada es similar a la carga de pandeo, la rigidez horizontal HK se reduce. La
reducción es obtenida usando algún análisis lineal elástico y esta dado por.
−=
2
1crit
SH P
P
h
GAK (F-9)
Si la carga es menor que 0.32 veces la carga de pandeo, La exactitud de la fórmula
usual para HK es mejor en 10%, en la mayoría de diseños se garantizara que este sea
el caso.
El desplazamiento vertical Vδ de la parte superior de un apoyo producido por la
aplicación de una carga vertical P y un desplazamiento D en la parte superior del
apoyo producido por un movimiento lateral es también dado por el análisis al pandeo
en la forma.
h
D
P
PP
E
SV
2+=δ (F-10)
En la mayoría de casos; SPP >> ; entonces.
h
D
P
P
P
P
E
s
crit
2
= (F-11)
Nuevamente.
22
2
2
2
2 IS
Ah
EI
hGA
P
P
S
S
E
s
ππ== (F-12)
En términos de 2/1)/( AIr = , tenemos.
2
2
2 h
D
rS
h
P
P
h crit
V
πδ = (F-13)
Este desplazamiento vertical es una adición al producido por la compresión pura del
aislador y es causado por la rotación del acero en el centro del aislador. Esta rotación
produce un esfuerzo cortante causado por la componente de la carga vertical junto con
la rotación de las capas, y el resultado de los esfuerzos de corte produce el movimiento
vertical de la parte superior del apoyo.
F.2 ESTABILIDAD BAJO UN GRAN DESPLAZAMIENTO LATERAL
El análisis del pandeo para un aislador elastomerito esta basado en la teoría lineal que
es análoga al análisis de pandeo de una columna, como es el caso en la teoría usual,
Prever la carga de pandeo o el esfuerzo de pandeo en la posición de un
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desplazamiento pero no contar con ninguna información de la estabilidad de un apoyo
en la posición desplazada, la inestabilidad se manifestará por la pérdida de rigidez
horizontal incremental positiva. Este tipo de inestabilidad es de importancia crucial en
el diseño del apoyo desde la carga máxima sobre un aislador, ocurrirá alguna vez el
desplazamiento máximo horizontal y en combinación será una de los estados límite
para las cuales el aislador necesitará estar diseñado.
En principio un análisis no lineal complejo necesitara predecir el comportamiento
del apoyo bajo la carga vertical máxima y el máximo desplazamiento horizontal. Hay
dos hipótesis simples para una aproximación al estado límite, el que se produce cuando
un aislador es cargado lateral y verticalmente.
La primera hipótesis es que el desplazamiento crítico, esta definido como el
desplazamiento debajo el cual el apoyo tiene rigidez horizontal incremental cero
también es el desplazamiento lateral el cual reduce el de esfuerzo a compresión
calculado por la carga axial dividida por rA (El área de traslape entre la base y la parte
superior) alcanza la presión critica critp dada por la ecuación (F-5).
La segunda hipótesis es que el área A en la expresión para la carga crítica en la
configuración deformada (Ecuación F-4) es remplazada por el área reducida rA .
Posiblemente esto sea lo mas cierto de las dos posibilidades como la concentración del
esfuerzo vertical debido al desplazamiento esto no afectaría la resistencia a la torsión
pero puede reducir la resistencia lateral.
Para un apoyo cuadrado de lado B el área reducida esta dada por.
)( DBBAr −= (F-14)
Pero la primera hipótesis es correcta, el desplazamiento critico critD bajo una carga
especifica P esta dada por.
rcrit ApP =
)(6 2 critDBBGSS −= π
(F-15)
Que es.
2)6/( GSS
PBDcrit π
−=
critP
P−= 1 (F-16)
Por otra parte, si la segunda hipótesis es correcta, el desplazamiento critico viene dado
por.
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2
2 )(
r
efecr t
EIGAP
π=
critr P
A
A2/1
= (F-17)
2
=
crit
r
P
P
A
A
22
2 1)(
−=
=−
crit
crit
crit
crit
P
P
g
Do
P
P
B
DBB(F-18)
Ambos resultados son lo mismo para P cerca a critP , ambos difieren para el rango de
la aplicación practica donde critPP < .
La mejor evidencia empírica para el uso de la segunda hipótesis es una serie de
pruebas en apoyos pequeños de caucho que se dirigieron en el EERC por I.G Buckle en
1995. Los resultados experimentales fueron reportados por Nagarajiah (98). Los
apoyos usados en estas pruebas fueron de 127mm*127mm y 5.1mm de elastómero. El
elastómero de caucho natural fue de bajo amortiguamiento con un modulo al corte de
0.74 MPa sobre el rango al esfuerzo de corte en 50 a 200%. El bajo amortiguamiento y
el modulo constante significa que el efecto histerético del material sobre la estabilidad
fueron minimizadas. Los apoyos fueron cargados bajo una carga vertical constante y
desplazado bajo un desplazamiento controlado en la maquina de prueba. El
desplazamiento critico generado por la fuerza horizontal en la maquina de pruebas ya
no incrementa con los desplazamientos incrementados que se registraron. Los
resultados muestran que la primera hipótesis es más conservadora, Y el segundo,
también conservador, es bastante exacto para el rango de cargas y desplazamientos
que se pondrán en servicio en diseños prácticos. Los resultados para cargas verticales
muy altas y pequeños desplazamientos laterales críticos no son previstos por la
formula, Pero el hecho está que en estas pruebas los apoyos son cargados para niveles
axiales de carga que exceden la carga prevista del pandeo sin desplazamiento del
apoyo. Esto puede ocurrir desde que el apoyo en la máquina de prueba esté bajo
desplazamiento controlado y las condiciones de borde no son aquellas descritas en la
teoría del capítulo F.1.
El área de traslape de un poyo cuadrado es muy fácil calcularlo pero es mas
difícil calcular esta en un apoyo circular de radio R . Con la notación que se muestra en
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la figura F.2, donde θ es la mitad del ángulo por el centro de la intersección de los
círculos superior e inferior y θφ π −= 2 , el desplazamiento D y el área reducida rA
están dados por:
θθ RsenRcosD 2== (F-19)
y
)(2 2 θθθ cossenRAr −=
−−= )2
2 2 θθφπcossenR (F-20)
Fig. F.2 Notación del área reducida
Es conveniente adimensionar estas definiciones como.
22 R
Aay
R
Dd r
π==
Lo que nos conduce a.
θθ sencos ==d
( )θθθπ
cossen2 −=a
φφπ
φπ
cossen22
1 −−= (F-21)
La única curva que resulta de la solución simultánea de estas dos ecuaciones esta
dada en el cuadro F.1 y que se muestra en la figura (F.3) una forma rápida de cálculo
de los resultados a falta de un cuadro o grafico, es útil para ampliar las dos ecuaciones
para los valores pequeños de φ correspondientes a un valor pequeño d y pequeños
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desplazamientos o para valores pequeños de θ corresponden valores pequeños de a y
desplazamientos muy grandes.
TABLA F.1 Normalizacion del Area reducida
d θ rads a p0.10 1.471 0.87289 0.87289 0.9340.20 1.369 0.74706 0.74706 0.8640.30 1.266 0.62384 0.62384 0.790.40 1.159 0.50463 0.50461 0.710.50 1.047 0.39100 0.39090 0.6250.60 0.927 0.28476 0.28437 0.5340.70 0.795 0.18812 0.18687 0.4340.80 0.644 0.10409 0.10049 0.1074 0.3230.85 0.555 0.06815 0.0697 0.2610.90 0.451 0.03739 0.0380 0.1930.95 0.318 0.01332 0.0134 0.1931.00 0.000 0.00000 0.0000 0.193
aaa 1 a
aa 2
Note: πππ 10
33241 5
1 dda da ++−= y ( ) 2
33
282 1 daa −=π
Cuando φ es pequeño, la primera ecuación puede ser escrita como.
dsen1−=φ
.....403
6
53
+++= ddd
Y
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10
D/R
a
Fig. F.3 Normalización del Área reducida 2RAr/a π= como una función de D/2R
)2(21
cossen φφφ sen=
++−= .....
12032
68
221 53 φφφ
Así.
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51523
322cossen φφφφφφ +−=+
51526
613
325
4033
61 )1()(2 dddddd ++−+−=
52013
312 ddd −−=
Aproximando 1aa a a de la forma.
πππ 103
241
531 d
dd
aa ++−= (F-22)
Esta ampliación es correcta en un 4 % hasta d = 0.80 y mejora para valores de
menores que éste, como se muestra en cuadro F.1. Más allá de estos se usara una
expansión para valores pequeños de θ , con.
)1(22
12
dd −=−= θθ (F-23)
Buscando una segunda aproximación para 2aa dada por.
−−= 32
68
2212 θθθ
πaa
3
322 θ
π=
[ ] 23
)1(234
d−=π
( ) 23
13
28d−=
π (F-24)
Esto es cierto en 3 % para 0.80 d = y mejora para los valores de d mayor que este.
Para un apoyo circular el desplazamiento crítico, critD es dado por crit2Rd , donde el critd
es el valor de d que lleva a.
2
=
critP
Pa (F-25)
Dando.
2
2/3)1(3
2
=−
critP
Pd
πδ
(F-26)
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3/23/2
2
31
−=critP
Pd
δπ
3/43/2
43
21
1
−=critP
Pπ (F-27)
Esto debería ser razonablemente cierto para estos valores de d para lo cual 2aa fue
exacto (ósea 1≤≤ d0.8 y 01.0 ≥≥ a ), Desde que 2)/( critPPa = , esto quiere decir que
esta dentro el rango.
3.00 ≤
≤
criP
P
Por otro lado la aproximación.
πd
a4
1−= (F-28)
Es muy buena para 5.0≤d y bastante buena (10% de certeza) para 8.0≤d , esto nos
lleva a.
)1(4
ad −= π
−=
2
14 critP
Pπ (F-29)
Desde que 0.5 d = quiere decir que 0.4a = , esto debería ser cierto para 1 p 0.6 ≤≤ .
La respuesta exacta para el valor de critPP / que hace una especificación del
valor crítico de d es obtenida en la tabla F.1. y la curva producida por esta solución
inversa puede ser comparada con las dos aproximaciones. Cuando plateamos en
conjunto (Fig. F.4) esta claro que para critPP / pequeño, los valores falsos encima de la
curva exacta son exactos hasta 5.0/ =critPP y para critPP / con valores mas cercanos a
1 los valores falsos debajo la curva exacta son exactos para 6.0/ ≥critPP .
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Figura F.4 Desplazamiento crítico normalizado vs. Carga crítica normalizada.
F.3. ESTABILIDAD AL ROLLOUT.
Un apoyo aislado aun si intrínsicamente es estable bajo su carga de diseño,
puede experimentar otra forma de inestabilidad si este es conectado bajo la fundación
y la superestructura de arriba a través de llaves de esfuerzo al corte que no pueden
sostener cargas de tensión. Entonces Inicialmente los diseñadores consideraron que el
caucho no debería estar supeditado a la tensión; Por consiguiente, los primeros diseños
de apoyos de caucho usados sujetaron con clavija de conexión al esfuerzo al corte en
vez de conexiones fijadas con pernos.
HhFbP =− )( maxδ
Donde b es el ancho del apoyo ( a si es cuadrado φ si es circular), la relación
entre la fuerza lateral HF y el desplazamiento δ se muestra en la figura F.5b.
Tomando δHH KF = tenemos.
hKP
P
b H+=maxδ
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Fig. F.5 Mecánica de rollout para apoyos de clavija.
Si tomamos HK como rt y la presión APp /= , viene dado por.
)/)(/(1
1max
rthpGb +=δ
En apoyos típicos donde MPaG 828.0≈ (120 psi), MPap 90.6≈ (1000 psi), y
rth 2.1= . Por ejemplo:
88.0max =b
δ
Así mismo, si el desplazamiento lateral es menos del 88% del ancho del apoyo de la
clavija. Esto puede esperarse para la estabilidad contra rollout. Inversamente, si el
apoyo es fijado con pernos dentro del lugar. Ninguna tensión significante se
desarrollara en el apoyo hasta que el desplazamiento exceda este valor. Recientes
encuestas hechas al EERC y en Japón demostraron que el caucho es capaz de soportar
esfuerzos de tensión muy altos, actualmente su uso mas común es el de fijación con
pernos en vez de conexiones con clavija para apoyos aislados. Investigaciones
adicionales sin embargo necesitan ser terminadas conforme al proceso de falla en
tensión, que todavía no esta entendida; en apoyos esto implica cavitación en el caucho
o perdida de elasticidad Aunque muchas encuestas muestran que han sido casos donde
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el desplazamiento ha excedido el diámetro del apoyo, ciertamente esto es una buena
practica de diseño para limitar el desplazamiento al valor rollout, aun cundo estas
conexiones empernadas sean usadas.
G-DISEÑO SÍSMICO PARA UN MOVIMIENTO DE UNA SEÑAL DEL SUELO
G.1. INTRODUCCIÓN.
Cada sistema estructural es diseñado para tener una capacidad sísmica que exceda la
demanda sísmica anticipada. La capacidad es una función compleja de la Fuerza,
rigidez, y de la deformada supuesta, por la configuración del sistema y propiedades del
material del sistema de aislamiento y de la súper estructura. La demanda sísmica por
otro lado para una estructura dada es controlada por lo que comúnmente se llama el
criterio de diseño para una señal sísmica del suelo. Este criterio puede ser definido por
uno o más de las siguientes tres distintas formas:
• Estática del esfuerzo cortante en la base y formulas de distribución de fuerzas
laterales.
• Un conjunto de espectro de diseño y.
• Un conjunto de registros tiempo historias de sismos.
El diseño para una señal sísmica del suelo puede ser definido en la forma más simple
de aplicación de ecuaciones de diseño codificadas de esfuerzo al corte en la base y
formulas de la estática de distribución de fuerza lateral. Estas formulas son en esencia
interpretaciones simplificadas de un espectro de diseño de cierta forma y amplitud al
periodo de vibración correspondiente a una estimación conservadora de un periodo
fundamental de una estructura aislada.
Para análisis más complejos, el criterio de diseño para una señal sísmica del
suelo puede ser definido por series de cualquier código especificado o un punto
especifico del espectro de diseño y reglas sobre como aplicar este espectro y como
interpretar los resultados. Si el diseño sísmico de un proyecto requiere la aplicación de
un análisis dinámico Tiempo Historia entonces un apropiado conjunto de registros
sísmicos tienen que ser seleccionados y las reglas tienen que ser establecidas sobre
como estos registros son aplicados en el análisis y diseño y a los registros sísmicos en
este caso, son necesarios en adición a un punto especifico del espectro de diseño y las
reglas tienen que ser un conjunto sobre como estos registros producen una demanda
que es consistente con el punto especifico de peligro sísmico, lo cual es usualmente
resumido en la forma del espectro de diseño.
Mientras establecemos un criterio de diseño para una señal sísmica del suelo, se
espera proporcionar una expresión consistente de demanda independiente de su forma,
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haremos un énfasis cuidadoso en una forma sobre las otras, sin comprender correcta la
fuerza y limitaciones de cada forma, pueden resultar diseños poco realista y a veces
ridículos requerimientos para el movimiento del suelo. Tales requisitos irrazonables
pueden ser contraproducentes cuando son aplicados ciegamente al diseño de
estructuras sísmicas aisladas.
El objetivo de este capitulo es familiarizarnos con las suposiciones básicas y
procedimientos involucrados en el desarrollo del diseño para una señal sísmica del
suelo en proyectos sísmicos aislados y los peligros comunes asociados a tales
esfuerzos. Todas las aplicaciones del diseño para una señal sísmica están basadas en
observaciones del movimiento sísmico del suelo; una breve revisión de las
características y limitaciones de datos existentes en observaciones del movimiento
sísmico son presentado en Kelly, James M y Farzad Naeim, 1999 (Design of seismic
isolated structures). Diseños contemporáneos de estructuras sísmicas aisladas parecen
ser inseparables desde la aplicación del análisis del Espectro de Respuesta en una
forma u otra. Para un buen entendimiento de conceptos son introducidos y
contrastados los principios básicos del Espectro de Respuesta Sísmico y Espectro de
diseño que son esenciales para un diseño significativo de una estructura aislada.
Una evaluación de peligro sísmico en un sitio dado requiere probablemente una
estimación del movimiento sísmico del suelo en el sitio, esto es por que: (a) Es
sumamente raro que para los sitios que se registró el movimiento sea fácilmente
disponible. (b) Incluso para sitios donde tales registros estén disponibles, no hay
garantía que futuros movimientos de suelo tengan las mismas características de los
movimientos previamente observados.
Posibles movimientos de suelo para un sitio son estimados mediante el uso de
varias técnicas de análisis de regresión en un subconjunto seleccionado de registros
sísmicos disponibles considerados propiamente para tal estimación. El resultado de las
formulas matemáticas que proveen estimaciones de parámetros de respuesta máximos
como picos de aceleración del suelo o espectros de respuesta ordinarios para un sitio
son llamados relaciones predictivas o relaciones de atenuación. El termino atenuación
es usado por que estas relaciones empíricas de hecho representan formulas para la
atenuación de ondas sísmicas originadas desde una fuente dada a una distancia dada a
través de un medio dado. Se han desarrollado docenas de relaciones de atenuación,
introducimos un pequeño número de estas relaciones ampliamente usadas.
El análisis del espectro de respuesta, aun cuando relativamente simple y veraz,
tiene ciertas limitaciones si es aplicado a estructuras sísmicas aisladas. Examinaremos
estas limitaciones explorando la energía contenida en los movimientos sísmicos del
suelo, particularmente en las regiones de fuentes cercanas, y evaluando la influencia
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de valores altos de amortiguamiento con la precisión de suposiciones comunes que
rutinariamente acompañan al análisis del espectro de respuesta.
Una vez que la fuente de peligro sísmico cercano al sitio (fallas activas y
semiactivas en un radio de 100Km del sitio) y las condiciones de suelo del sitio son
establecidas el postulado de peligro sísmico en el sitio puede ser establecido por
técnicas de análisis de peligro sísmico determinístico y/o probabilístico. Los principios
de estas técnicas de análisis de peligro sísmico y la naturaleza de incertidumbres
involucradas son descritos con las consecuencias del diseño de incertidumbres de
movimientos del suelo.
Al menos en California, el diseño de estructuras sísmicas aisladas requiere la
realización de un análisis de Tiempo Historia no lineal. Tales análisis requieren una
selección cuidadosa de un conjunto de registros de tiempo historias apropiadas, para
escalas Tiempo Historia en cualquier dominio de tiempo o dominio de frecuencia para
aproximarse al punto específico de peligro sísmico comúnmente representado en la
forma del espectro de diseño. La escala de tiempos historia ha sido, y continúan siendo
el aspecto mas problemático del desarrollo y aplicación del criterio de diseño de
movimiento del suelo para estructuras sísmicas aisladas. En algunas instancias, los
requisitos gobernantes del código han publicado diseños irracionales estrictamente
apegándose a procedimientos absurdos de escala. Presentaremos series de tiempo
historia que consideramos adecuados para el diseño de estructuras aisladas por la base
en adición analizaremos los procedimientos actuales usados para las escalas de tiempo
historia equivalentes a un espectro de diseño dado, y nos centraremos en los diseños
inconsistentes y pobres que pueden resultar al seguir ciegamente algunos de estos
procedimientos. Y también evaluaremos algunos de los requerimientos del código
actual para el diseño por técnicas de análisis de tiempo historia y nos centraremos en
los aspectos más problemáticos de estos requerimientos mientras sugerimos más
alternativas racionales.
G.2 CARACTERISTICAS DEL MOVIMIENTO SISMICO DEL SUELO
El número de registros sísmicos disponibles ha crecido rápidamente durante la década
pasada. En tanto que obtener acelero-gramas sísmicos no fue simple a mediados de la
década de 1980 cientos de registros sísmicos ahora pueden ser filtrados, vistos y
bajados desde Internet, u obtenidos a un costo nominal desde varias agencias publicas
(en el Perú CISMID) la figura G.1 muestra el intervalo y las distribuciones acumulativas
de registros sísmicos disponibles de importancia para aplicaciones de diseños
)5.5( >M ; [la aceleración pico del suelo (PSA )>0.05g] para América del Norte y
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Central durante el periodo 1933 – 1974. El número de registros, menores que 100
antes del evento de San Fernando de 1971, ahora sobrepasa los 2000.
Figura G.1 Record de sismos de Amerita del Norte y del Centro (M>5.5;
PGS>0.05g) durante el período de 1933-1944).
Un staff del Centro Nacional de Investigación en Ingeniería Sísmica (NCEER) de
la universidad de Bufalo en New York, el centro de investigación en Ingeniería Sísmica
(EERC) de la Universidad de Berkeley, en California y la U.S. Geological Survey
(USGS) rutinariamente monitorea y documenta procedencias de registros de sismos.
El instituto del mundo de investigación de ingeniería sísmica de banda ancha de Web
(World Wide Web WWW) también provee muchos de estos recursos. Un listado
moderno de enlaces para páginas conteniendo tal información puede obtenerse de
estas agencias. Con la revolución de información actualmente en camino, se espera
que la facilidad de vía de entrada para bases de datos globales de registros de
terremoto mejorara exponencialmente durante los siguientes años.
Los parámetros que pueden usarse para caracterizar la severidad y el daño
potencial de movimientos del suelo de un sismo pueden ser agrupados en tres
categorías principales: (a) Los valores de dominio del tiempo obtenidos directamente o
por algún de cálculo simple son digitalizados y la versión corregida del instrumento de
registro.(b) Los valores del espectro obtenidos por parámetros de integración de la
ecuación de movimiento en el rango elástico e inelástico para sistemas de un grado de
libertad y (c) Los valores del espectro obtenidos usando ecuaciones del balance de
energía tanto para sistemas elásticos como inelásticos.
En el dominio del tiempo se incluyen parámetros de aceleración máxima del
suelo (PA), velocidad máxima (PV), y el desplazamiento máximo del suelo (PD). De
estos que más a menudo es asociado con la severidad registrada en un movimiento del
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suelo por sismo es la aceleración máxima del suelo, sin embargo este generalmente
viene a ser reconocido como un parámetro pobre de evaluación del daño potencial,
esto es particularmente cierto para estructuras aisladas . La aceleración máxima del
suelo es generalmente asociada con frecuencias altas de vibración (Periodos bajos), Las
cuales está lejos de los períodos efectivos de vibración de una estructura aislada típica.
Estudios realizados por Naeim y Anderson (91,92) muestran que la velocidad espectral
máxima del suelo es un mejor indicador de daño potencial que la aceleración máxima.
Anderson y Berter (9) Han sugerido el uso de la velocidad máxima incremental
(IV) y el desplazamiento máximo incremental (ID) para la caracterización del daño
potencial por movimientos de sismo cerca de la región. La velocidad incremental
representa el área bajo un pulso de aceleración, por lo tanto, el cambio mas largo en
velocidad, es el pulso más largo en aceleración, de manera similar, el área bajo un
pulso de velocidad es igual a un desplazamiento incremental.
Otro parámetro importante en el dominio del tiempo es la duración de un
movimiento sísmico fuerte. Hay varios métodos para asignar un movimiento fuerte en
un acelerograma (82). McCann y Shah (77) usan una relación común de Energía de
llegada. Bolt en la pagina 25 a la pag. 105 estimó un rango de duración definida como
el intervalo de tiempo entre la primera y ultima aceleración mas grande que un valor
especificado, usualmente seleccionando como un valor (tal que 0.05g) debajo el cual el
daño no se espera. Esta definición implica un acoplamiento entre el nivel de
movimiento del suelo (nivel de aceleración del suelo especificada) y la duración de
este. Como consecuencia que la escala de un registro cambie se estima el rango de
duración.
Husid (50) define la duración de un movimiento fuerte como el intervalo de
tiempo en el cual una contribución significante del cuadrado de la serie del tiempo,
tiene lugar (vea la fig.G.2). Si el comienzo del tiempo historia es una banda ancha de
Tiempos Historias de velocidad, entonces la cantidad medida por el cuadrado de la
velocidad es energía verdadera. Husid definió que la duración independiente del nivel
de movimiento del suelo y puede ser usado en conjunto con mediciones de niveles de
movimientos del suelo como la aceleración máxima, velocidad máxima, y la respuesta
de las ordenadas espectrales en las frecuencias especificadas para proveer una
caracterización más completa del movimiento del suelo. La escala del tiempo historia
no cambia la duración medida por este método.
Pero Bolt y Husid definieron los incrementos de duración con los incrementos de
magnitud como un resultado del incremento de las dimensiones de rotura del sismo.
Sin embargo en otras estimaciones las dos definiciones de duración se comportan en
forma que son bastante diferentes y en algunas formas opuestas para otros. Por
ejemplo el rango de duración decrece fuera del origen del sismo por su dependencia
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con el nivel de movimiento del suelo. Mientras Husid define que la duración del
movimiento incrementa fuera de la fuente porque la energía tiende a disiparse
conforme aumenta la distancia.
Los parámetros de movimiento de la tierra basados en los Espectros de
Respuesta, incluye la aceleración efectiva Pico (EPA), y una velocidad efectiva pico
(EPV) estos parámetros, que fueron inicialmente definidos en la Publicación del Concilio
de Tecnología Aplicada (ATC – 3-06), están basados en las ordenadas promedio del
Espectro de Respuesta en Bandas de Periodos seleccionados (0.1-0.5 seg. para EPA y
alrededor de 1.0 para EPV) y son extensamente usados en códigos de diseño sísmico
contemporáneo.
El espectro de Fourier y el Espectro de Respuesta elástica e Inelástica calculado
de un conjunto de periodos distintos son la representación más comunes de registros
sísmicos en el dominio de frecuencia. El análisis del Espectro de Respuesta es la técnica
mas común usada para el análisis dinámico de estructuras. Incluso si se necesitarían
análisis más elaborados se procedería a un análisis detallado de la Respuesta Espectral.
Debido a la importancia del espectro de respuesta y su equivalente del diseño, el
espectro de diseño, estos tópicos son discutidos con más detalle en la sección 8.3.
El espectro inelástico es un intento de extender el análisis del espectro de
respuesta en un rango no lineal de respuesta estructural. Una de las más significativas
fallas del actual espectro de diseño elástico e inelástico, es el hecho de que ellos no
consideren adecuadamente para la duración de la entrada del movimiento del suelo.
Esta es una característica significante que puede ser direccionada por el uso del
espectro de energía que refleja la posibilidad de demanda de disipación de alta energía
con larga duración.
El tipo de impulso de movimiento del suelo resulta en una repentina explosión
de energía dentro de la estructura que debe ser disipada inmediatamente. Esta energía
usualmente se caracterizada por un largo recorrido producido con pocos cambios de
sentido. Por otro lado un movimiento de tierra sinusoidal de larga duración requiere
disipación mas estable de energía para un largo periodo de tiempo con numerosos
cambios de sentido Las características del Dominio del Tiempo de esta manera no son
adecuadamente representadas por métodos actuales del espectro de respuesta sísmico.
Los atributos de energía de un fuerte movimiento tal como la relación de la
entrada y la energía histérica así como la entrada y el espectro de energía histérica
proveen indicadores más confiables de daño potencial. Sin embargo la tecnología para
la aplicación directa de conceptos de energía en el diseño de estructuras complejas
todavía no está totalmente desarrollada.
H PROVICIONES DEL CODIGO PARA AISLAMIENTO SISMICO
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H.1 INTRODUCCION
Los nuevos edificios diseñados sísmicamente aislados por la base están gobernados por
cualquiera de estos dos códigos:
La edición de 1997 del Uniform Building Code UBC-1997 publicado por la conferencia
internacional de construcciones oficiales (55) titulo 24 parte II del código de
regulaciones de California división III (115) referido al OSHPD-96.
El titulo 24 es muy similar al de 1994 UBC pero incluye mas requerimientos
rigurosos para hospitales de base aislada y otras construcciones del estado en
California. Para el tiempo que este libro alcancé el Marketing esta anticipado que
OSHPD-96 será revisado para ser compatible con los requerimientos del UBC-91
tratando de regular los diseños de nuevos edificios, la UBC y OSHPD-96 no cubre el
diseño previo de los edificios existentes usando aislamiento, aunque muchos de los
proyectos previos siguen las regulaciones de UBC muy de cerca sumado ha esto la UBC
no dirige el tema de aislamiento vertical ni tampoco cubre el aislamiento de equipos o
artefactos tales como objetos de arte en los museos.
Las regulaciones están escritas de tal manera que nos son especificas con
respecto a los sistemas de aislamiento, ningún sistema de aislamiento particular esta
identificado como aceptable pero las regulaciones requieren que cualquier sistema de
aislamiento debe ser estable para el desplazamiento requerido, provee aumento de
resistencia con aumento de desplazamiento y tienen propiedades que no se degradan
bajo repetido cargamento cíclico. La causa de la filosofía de estos códigos es que en un
edificio aislado diseñado usando estas regulaciones se espera que mejoren las
construcciones de base fija en terremotos moderados y largos.
El objetivo de los códigos no es reducir el costo de la estructura si no controlar
los daños de las estructuras y sus contenidos, tomando ventaja del hecho que la
aislación sísmica permita una respuesta elástica en la estructura y las aceleraciones
bajo el suelo para una entrada grande de sismo.
Cada vez mas el diseño sísmico de versión mejorada esta influenciada por el
programa nacional de reducción de daños por sismos (NEHRP) son directrices para la
rehabilitación sísmica de edificios (FEMA-273) y su comentario (FEMA-274) las cuales
son publicadas por la agencia de manejo general de emergencias (41,42), las
provisiones de FEMA-273 son muy similares a la de UBC-91 con una excepción FEMA-
273 permite un nuevo análisis del enfoque llamado análisis estático o el método de
“PUSHOVER”.
Estos códigos y guías han evolucionado para diseñar previsiones que fueran
desarrolladas en los años 1980 por un subcomité de la Asociación Estructural de
Ingenieros del norte de California (SEAONC). Es en 1986 (SEAONC) publicó un
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documento [121] conocido como el libro amarillo, titulado “Tentative Seismic Isolation
Designed Requeriments” estas previsiones han servido como base para varios
procedimientos recomendado por la asociación estructural de ingenieros de California
(SEAONC) e implementado en varias ediciones de la UBC el Código mas usado para el
Diseño Sísmico de edificios resistentes en Estados Unidos.
En el libro amarillo, se puso énfasis en los procedimientos equivalentes a la
fuerza lateral y el nivel de demanda sísmica que fue requerido para el diseño de
estructuras de base fija, un nivel de movimiento del suelo que tiene un 10% de
probabilidad de ser excedido en un periodo de 50 años, métodos dinámicos de análisis
fueron permitidos (y para algunos tipos de estructuras requeridas), pero las simples
formulas estáticamente equivalentes dieron como resultado un nivel mínimo para el
diseño.
En este capitulo presentamos y evaluamos críticamente los procedimientos
requeridos de 1997 UBC, donde apropiadamente compararemos y contrastaremos los
requerimientos de UBC -97 con aquellos del OSHPD-96, FEMA-273 y otros documentos
importantes.
H.2 NIVEL DE DAÑOS SISMICOS
El criterio sísmico adoptado por modelos de códigos actuales abarca un enfoque de
dos niveles para daños sísmicos y son los siguientes:
o Bases de diseño para sismo (DBE) : .-Es el nivel de movimiento del suelo
que tiene 10% de probabilidad de ser excedido en 50 años.
o Capacidad máxima de sismos (MCE): .-Es el máximo nivel de movimiento
del suelo que se puede encontrar en el sitio de construcción.
Este puede ser tomado como el nivel de movimiento del suelo que tiene
10% de probabilidad de ser excedido en 100 años.
Los documentos NEHRP-97 [100] y FEMA-273 se refieren al DBE como
BSE-2 (Seguridad básica para terremotos 2). El documento de SEAOC
visión-2000 [120] describe un DBE como raro y un MCE como eventos muy
raros, respectivamente.
H.3 METODO DE DISEÑO
Versiones anteriores del código UBC enfatizan un método simple
estáticamente equivalente que toma ventaja del hecho que para una
estructura aislada los desplazamientos están concentrados en el nivel de
aislación y por lo tanto la estructura se mueve como un cuerpo rígido. El
diseño basado en un modo simple de vibración y las fuerzas de diseño para
la superestructura fueron calculados para las fuerzas en los aisladores en
el desplazamiento de diseño. Esto resulta en un proceso simple de diseño.
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Como el código ha evolucionado, sin embargo, las situaciones donde más
debe ser usado un análisis dinámico han incrementado, e incentivos han
sido insertados en el código para motivar el uso del análisis dinámico en
los casos donde no puede ser requerido.
Para todos los diseños sísmicos de aislamiento hay que realizar un análisis
estático. Esto establece un nivel mínimo de desplazamientos de diseño y
fuerzas. El análisis estático es útil también para el diseño preliminar del
sistema de aislación y la estructura cuando el análisis dinámico es
requerido y para revisar el diseño bajo ciertas circunstancias que puede
ser el único método de diseño usado.
El análisis dinámico es requerido en muchos casos (en todos los casos
por OSHPD-96) y puede efectuarse en la forma de análisis del espectro de
respuesta o de un análisis tiempo historia. Sitios específicos de movimiento
del suelo son requeridos en los siguientes casos:
o La estructura aislada esta localizada en un suelo suave, suelo tipo
S3 o S4.
o La estructura aislada esta localizada a una distancia de 10Km (6.2
millas) de una falla activa [15 km (9.3millas) en la OSHPD-96].
o El periodo para la estructura aislada (MCE) es mayor a los 3
segundos.
Un análisis con Espectro de Respuesta es requerido en los siguientes
casos.
o Los espectros específicos en el sitio son requeridos.
o La estructura es irregular ya sea vertical u horizontalmente.
o La estructura es mayor de 4 pisos o 19.8 m en altura.
o El periodo de la estructura aislada (DBE) es menor en 3 veces que
el periodo elástico de base fija (i.e., 9/1>ξ )
El análisis tiempo historia puede ser usado en lugar del Análisis del
Espectro de Respuesta, pero si el sistema de aislación o
superestructura es altamente no lineal, un análisis tiempo historia es
necesario.
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H.4 ANÁLISIS ESTÁTICO
Las formulas del Análisis Estático proveen desplazamientos y fuerzas que
son basadas en un espectro de velocidad constante sobre el periodo en
un rango de 1.0 – 3.0 segundos.
En UBC-94[54] y OSHPD-96, el valor del espectro de velocidad
constante es derivada de la tecnología aplicada al conjunto de
provisiones ATC-306 [13] y para Z=0.40 un factor de suelo S=1 y 5% de
amortiguamiento es de 0.60m/s, llevando a un espectro de
desplazamiento SD dado por.
mTZZT
w
SS V
D *25.0)60.0(4
**2
≈==π
El espectro es entonces modificado por un factor de suelo y un factor de
amortiguamiento ajustado para otras zonas sísmicas, conduciéndonos al
desplazamiento requerido de diseño D. Los tres niveles de
desplazamiento a ser calculados son los siguientes:
o El desplazamiento de diseño D, Siendo este el desplazamiento en
el centro de rigidez del sistema de aislamiento en el DBE.
o El desplazamiento total DT , Siendo este el desplazamiento de un
apoyo en una esquina de un edificio y incluyendo los componentes
del desplazamiento a torsión en la dirección D; y
o El máximo desplazamiento DTM, Siendo este el desplazamiento
total de diseño evaluado en el MCE.
El desplazamiento de diseño D en UBC-94, es el punto de partida para
todo proceso de diseño y siempre debe ser calculado así el análisis
dinámico no sea usado. Se basa en la suposición que las deformaciones
de la superestructura son insignificantes y está dado por.
mB
TSNZD 11 ****25.0= (H-1)
Donde
Z= Factor de Zona.
N=Coeficiente de proximidad al sitio.
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S1=Coeficiente de suelo.
T1=Periodo efectivo en segundos.
B = Coeficiente de amortiguamiento.
Mientras el concepto sigue siendo el mismo, la formulación de UBC-97
es más compleja. Un gran número de términos nuevos que han sido
añadidos al código. Por ejemplo, ahora hay seis desplazamientos
diferentes que tienen que ser calculados. El número de tipos de suelo ha
sido aumentado a 6 de los cuales 3 son para roca dura, roca y roca suave.
Hay cuatro coeficientes sísmicos para calcular, pero en la zona 4 donde la
mayoría de edificios aislados en EE.UU. están localizados, Es necesario
calcular los siguientes factores: aN y vN , los cuales dependen del tipo de
fuente sísmica y distancia al epicentro, MM depende de VZN y AMC y
VMC , los cuales dependen del MM , aN y vN . El resultado es que el
cálculo de un análisis estático simple de versiones anteriores del código
han sido reemplazadas por una secuencia de definiciones, de tablas y
fórmulas.
Aunque todos los proyectos aislados están actualmente diseñados usando
un análisis dinámico (Basados en un análisis tiempo historia, como hay
muchos programas de computo ahora disponibles para este propósito), El
análisis estático es requerido para asegurar que el diseño no caiga bajo
ciertos niveles mínimos determinados por el análisis estático.
De acuerdo al UBC-97 los dos desplazamientos básicos a ser calculados
son DD y MD o DBE y MCE al centro de rigidez del sistema de aislación.
Ellos son calculados usando las fórmulas.
mmB
TCgD
D
DVDD
)*4/( 2π= (H-2)
mmB
TCgD
M
MVMM
)*4/( 2π= (H-3)
Donde:
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g es la aceleración gravitacional, VDC y VMC son los coeficientes
sísmicos, DT y MT son periodos aislados, DB y MB son coeficientes de
amortiguamiento correspondientes a los niveles de respuesta DBE y
MCE respectivamente. Los términos VDC y VMC son funciones del factor
Z de la zona sísmica, el tipo de suelo en el sitio y uno de los factores de
proximidad al sitio VN
H.4.1 FACTOR SÍSMICO DE ZONA Z:
El factor sísmico de zona varía de 0.075 para la zona 1 a 0.4 para la zona 4
mostrado en la figura H.1 (UBC-97, Tabla 16-I). Este factor se mantiene con respecto a
lo establecido en versiones anteriores del código.
Figura H.1 Factores sísmicos de zona UBC-97
H.4.2 TIPO DEL PERFIL DE SUELO DEL LUGAR:
Los perfiles de suelo de Sa a Se se basan en el promedio de la velocidad de las
hondas de corte a una profundidad de 30.5m del suelo (ver figura E.2 o UBC-97, tabla
16-J). Estas velocidades varían desde las más bajas 180m/s en suelos sueltos (Se)
hasta las más altas 1500m/s para suelos de roca dura (Sa). Otra clase de suelo es el
perfil tipo (Sf), que requiere evaluación específica del lugar, esta clasificación no está
basada en la velocidad de las hondas de corte sino constituye suelos de muy bajas
condiciones, propensos a problemas de licuefacción.
H.4.3 TIPOS DE FUENTE SÍSMICO: A, B Y C.
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Las fallas sísmicas están agrupadas en tres categorías basadas en la seriedad de
daños que ellas representan. Fallas capaces de producir terremotos de grandes
magnitudes ( )0.7≥M y tienen un alto nivel de actividad sísmica [promedio anual
sísmico SR va de 5mm a más] están clasificados como tipo de fuente A.
Fallas capaces de producir terremotos de moderada magnitud ( )5.6<M con un
bajo nivel relativo de actividad sísmica [SR ≤ 2mm] están clasificados como fuentes del
tipo C. Todas las fallas fuera de los tipos A y C están clasificadas como fuentes del tipo
B.
H.4.4 FACTORES DE FUENTES CERCANAS: Na Y Nv:
Dos factores son usados para modelar la amplificación del movimiento del suelo
elaborado para efectos de fuentes cercanas. El primero no está previsto para el rango
de período corto correspondiente a un segmento de aceleración constante del espectro
de respuesta. El segundo factor Nv, el cual corresponde al rango del periodo medio o
segmento de velocidad constante del espectro de respuesta, es el primer factor de
fuente de cercanía usado en aplicaciones de aislamiento sísmico y el tipo de fuente
sísmica (ver Fig. H.3 y Fig. H.4 ) UBC-97
Figura H.2 UBC-97, categorías del tipo de suelo
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Figura H.3 Factor de cercanía Na
Que define la distancia del lugar de la fuente como la distancia más cercana entre el
sitio y la proyección vertical de las fallas en la superficie.
La proyección de la superficie no necesita incluir porciones de fuentes a profundidad 10
Km. O más, por lo tanto un lugar ubicado directamente en la cima de una falla más
profunda que 10 km. Es considerada un sitio de fuente cercana.
Figura H.4 Factor de fuente de cercanía Nv
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H.4.5 MCE COEFICIENTE DE RESPUESTA MM
El MCE coeficiente de respuesta MM intenta estimar la respuesta MCE basado en las
características del DBE tales como MM es definida como una función ZNV = 0.075 a
1.20 para ZNV ≥ 0.50 (ver Fig. H.5).
La lógica para asignar valores más grandes MM a eventos más pequeños DBE proviene
del hecho que en regiones con bajo nivel de sismos, el espacio entre los eventos DBE y
MCE generalmente mucho mas grandes que aquellos en las zonas de alto nivel
sísmico, valores de MM están listados en UBC-97 , tabla A-16-D .
H.4.6 COEFICIENTES SISMICOS ESPECTRALES: CVD, CVM y CAD CAM
Estos coeficientes intentan definir el espectro mínimo para ser usado en el diseño. Los
términos CVD y CAD corresponden a la velocidad constante, en regiones del espectro
MCE.
Para las estructuras sísmicas aisladas CVD y CAD son los mismos como CV y CA definidas
para estructuras convencionales por UBC-97, tablas16-Q y 16-R, los valores de CVM y
CAM sin embargo están dados en el apéndice de aislación sísmica de UBC-97 (tabla A-
16-G y A-16-F).
Como se muestra en las figuras H.6 y H.7, CVD y CAD son funciones de factor de zona
sísmica y tipo de perfil de tipo de suelo.
También se nota que para zona 4 los valores mostrados en éstas figuras, deben ser
multiplicados por el factor de fuente de cercanía apropiado NV o NA.
Figura H.5 Coeficiente de respuesta Mm
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Figura H.6 Coeficiente sísmico Cv
Información similar para CVM y CAM está mostrada en las figuras H.8 y H.9, aquí el
coeficiente de respuesta MCE entran en juego. Los valores mostrados en éstas figuras
para MMZNV o MMZNa valores más grandes que 0.40 deberían ser multiplicados por el
factor indicado en la figura.
H.4.7 COEFICIENTES DE AMORTIGUAMIENTO: BD Y BM.
El amortiguamiento β efectivo en el sistema, a los niveles de respuesta DBE y MCE
(referidos como βD y βM) son calculados por las siguientes fórmulas:
= 2
D ,K
histéresis de lazo del totalÁrea
2
1
DD máxDπ
β (H-4)
= 2
M ,K
histéresis de lazo del totalÁrea
2
1
MM máxDπ
β (H-5)
Figura H.7 Coeficiente sísmico Ca
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Figura H.8 Coeficiente sísmico Cvm
Donde: KD,máx y KM,máx son términos efectivos definidos en la sección H.4.8.
El factor de reducción de amortiguamiento β (βD para el DBE y βM para el MCE) están
dados en términos de β en forma tabular (UBC-97, tabla A-16-C) con interpolación
lineal para usar valores intermedios. Una aproximación muy cercana a los valores de
esta tabla está dada por:
)1(25.01 ββ
Ln−= (H.6)
Donde β está dado como una fracción de amortiguamiento crítico (no como
porcentaje).
Valores de β del código y la fórmula están mostrados en la figura H.10.
Figura H.9 Coeficiente sismico Cam
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H.4.8. SISTEMA EFECTIVO DE PERÍODOS DE VIBRACIÓN: TD Y TM.
Los períodos TD y TM que corresponden a las respuestas DBE y MCE son calculados de:
gK
WT
DD
min
2π= (H-7)
gK
WT
MM
min
2π= (H-8)
Donde:
W = Peso del edificio.
g = Gravedad.
KD,eff = )/()( −+−+ −− DDDD DDFF
KM,eff = )/()( −+−+ −− MMMM DDFF
KD,min = Valor minimo de KD,eff a DD como determinado por prueba.
KD,max = Valor máximo de KD,eff a DD como determinado por prueba.
KM,min = Valor minimo de KM,eff a DM como determinado por prueba.
KM,max = Valor máximo de KM,eff a DM como determinado por prueba.
Los valores de KD,min, KD,máx, KM,min y KM,máx no son conocidos por el diseñador durante la
fase de diseño preliminar.
El procedimiento de diseño comenzará con un valor asumido de Keff, el cual es obtenido
de ensayos previos en componentes similares o usando características similares del
material y un esquema del aislador propuesto.
Después el diseño preliminar es satisfactoriamente completado. prototipos de aislador
serán ordenados y probados, y los valores de KD,min, KD,máx, KM,min y KM,máx serán
obtenidos de los resultados del programa prescrito de pruebas en los prototipos.
Los términos −+−+MMDD FFFF ,,, y −+−+
MMDD DDDD ,,, son las fuerzas máximas y mínimas y
desplazamientos en los prototipos, correspondientes a los niveles de respuesta DBE y
MCE, usados para determinar las características mecánicas del sistema.
Los resultados de las pruebas del prototipo son usados para refinar el diseño
preliminar, y cuando el análisis dinámico es usado, ellos establecen límites en las
cantidades de diseño, porque la rigidez efectiva y el amortiguamiento efectivo son
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usualmente dependientes del desplazamiento, el proceso de cálculo de períodos
efectivos del sistema y amortiguamientos es reiterativo.
H.4.9. DESPLAZAMIENTO TOTAL DE DISEÑO: DTD Y DTM.
El desplazamiento total de diseño DTD y DTM (el cual incluye torción) están dados por:
+
+=22
121
db
eyDD DTD (H.9)
+
+=22
121
db
eyDD MTM (H.10)
Donde “e” es la excentricidad actual más 5% de excentricidad accidental y “y” es la
distancia a una esquina perpendicular a la dirección de la carga sísmica.
Esta fórmula asume que la carga sísmica KeffD es aplicada a través del centro de masa,
la cual está localizada a una distancia “e” del centro de rigidez (mostrado en la figura
H.11) asumiendo un diseño rectangular, con dimensiones bxd y una distribución
uniforme de aisladores, la rigidez torcional del sistema de aisladores es
12/)( 22 dbKeff + y la rotación θ de igual manera.
[ ] 2222
1212/)( db
De
dbK
DeK
eff
eff
+=
+=θ
El aporte adicional de desplazamiento a rotación es:
ydb
De22
12+
Guiándonos a las ecuaciones (H.9) y (H.10) arriba mostradas, si la rigidez torcional
actual del sistema es calculada y el aporte adicional de desplazamiento a KeffD a través
de “e” se convierte en un menor valor que el dado por las ecuaciones (H.9) o (H.10)
entonces éste valor puede ser usado, pero debe ser al menos 1.1 veces DD y 1.1 veces
DM respectivamente.
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El desplazamiento total máximo DTM es requerido para verificación de la estabilidad del
sistema de aislación.
Figura G.10 Dimensiones en planta para el cálculo de DTD y DTM
H.4.10. FUERZAS DE DISEÑO
Las fuerzas de diseño, de la súper estructura y les elementes inferiores de la interfase de aislación se diseñan para un desplazamiento, de diseña D. Los elementes inferiores del sistema de aislación se calculan usando la formula.
DDb DKVMAX
*= (H-11)
Los niveles de esfuerzo para el diseño de les elementos inferiores del sistema aislado en términos de la mínima fuerza sísmica lateral de cortante, esta dada par la formula.
1/* RDKV DDS MAX
= (H-12)
Donde R1 es el factor de reducción de la fuerza de diseño, en un rango de 1.4 a 2 mostrando. Este factor puede ser elegido de acuerdo al factor de reducción R de sistemas estructurales con base fija. En todos los casos el valor de Vs debería ser menor que:
♦ La fuerza sísmica requerida para el código UBC para estructuras de base fija.
♦ Al cortante de base correspondiente a las cargas de diseño por viento. Y.
♦ 1.5 veces la fuerza lateral requerida para activar totalmente la aislación.
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Los factores de reducción para el diseño de base fija son mucho más altos que los de base aislada. Por una razón; Un el elemento importante es el cambio de período. Como la estructura cede el periodo aumenta y la demanda de fuerza se reduce. Simultáneamente el amortiguamiento de la estructura se incrementa, por que debido a la acción histerética el sistema estructural cede. En adición, el sobreesfuerzo y la redundancia tienden a propagar la deformación a otros elementos. En el caso de una estructura aislada, solo el sobreesfuerzo y la redundancia son aplicables.
H.4.11 DISTRIBUCION DE LA FUERZA VERTICAL
En anteriores versiones del código, la distribución vertical de fuerzas de inercia
sobre el sistema estructural estaba basada en la suposición que la
participación de los modos superiores eran insignificantes y que las
aceleraciones eran aproximadamente las mismas en todos los niveles de la
estructura. Sin embargo Existió algún interés, este no podría ser
suficientemente conservador, y la distribución vertical se varió en ediciones
subsiguientes del código UBC a uno donde las fuerzas laterales en el nivel x
denotadas por xF son calculadas a partir de la fuerza de corte en la base sV
por.
∑=
=N
iii
xxSx
hw
whVF
1
*
** (H-13)
Donde xw y iw son los pesos al nivel i o x , xh y ih son las alturas respectivas de la
estructura sobre el nivel de aislación.
Esta formula nos conduce a una distribución triangular de la fuerza, mientras
que la teoría básica indicaría que la distribución debería estar cercana a una uniforme,
una distribución triangular es especificada Para dar una explicación a contribuciones de
modos superiores generadas por no linealidades en el sistema aislado. Por ejemplo, por
barras de plomo en los apoyos elastomeritos, o el efecto de fricción en apoyos
friccionantes.
Que son las implicaciones de este código requerido en términos de un
coeficiente sísmico de cortante de base SC , Encontramos.
I
SS RTB
SZN
W
VC
1*
1*
**==
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Por ejemplo, si N=1, Z=0.40, y S=1.40 (UBC-94 Suelo tipo S2 , el que es
aproximadamente equivalente para UBC-97 suelo con perfil tipo SE ) y el sistema tiene
un amortiguamiento viscoso equivalente al 10%, entonces.
=
lS RT
C1
*1
*)47.0(
Que para un elemento estructural con 2=lR y un periodo de 2 segundos, el código
estableció una norma que SC es 0.1175. SC comparable para una estructura de base
fija en la misma zona y tipo de suelo esta dado por.
l
S RTC
1*
60.03/2
=
Y por que R=8.5 cuando 2=IR , el coeficiente de diseño por corte es igual a 0.0706
para un periodo de 1.00 segundo de un edificio de base fija, claramente, las
reducciones en la fuerza sísmica que se esperan por el aislamiento (Aproximadamente
2/1ξ ) no se encuentra disponible en el diseño.
H.4.12 LIMITES DE DESPLAZAMIENTO DE ENTREPISO
El máximo desplazamiento de entrepiso para un edificio aislado es también mas
riguroso que los limites para un edificio de base fija y no debe exceder a lR
01.0 (i.e.,la
deformación elástica debido a DD DK max, aplicado en un modelo triangular para la
estructura no debería exceder al 1%). Este limite es mas pequeño que la mitad de
2.5% permitido para un edificio de base fija con un periodo fundamental mas pequeño
que 0.7 segundos y la mitad del 2% limite permitido para edificios de base fija con un
periodo fundamental mas grande.
H.5 ANALISIS DINAMICO
Espectro de Diseño: Los espectros específicos en el sitio son requeridos si.
• 0.3≥MT segundos o
• El tipo de suelo es ES , FS o
• La estructura esta localizada dentro de los 10 Km de una falla activa.
Un análisis dinámico es también requerido si el periodo efectivo de la estructura
aislada, DT , es mas grande en tres veces que el periodo elástico de la estructura de
base fija sobre el sistema de aislación. Si un espectro de sitio especificado se usa, este
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puede ser mayor o menor, pero este no puede ser menor que el 80% del espectro de
respuesta dado en el código.
H.5.1 ANALISIS TIEMPO HISTORIA
Los pares de componentes horizontales de al menos tres eventos registrados
son necesarios para un análisis de tiempo historia. Los eventos deben ser
representativos del sitio, suelo, características de la fuente, y duraciones consistentes
con el DBE y MCE. El tiempo historia desarrollado para un sitio dentro de los 15 km de
una falla activa principal están obligados a incorporarse los fenómenos cercanos a la
falla. Aunque cerca a la falla los fenómenos no están definidos.
H.5.2 ESCALAS
Para cada par de movimiento del suelo, el SRSS para un 5% de
amortiguamiento es calculado el espectro. Los movimientos son modificados a escala
(multiplicados por un factor) A fin de que el promedio de los espectros SRSS no caigan
por debajo de 1.3 veces el espectro de diseño para el DBE o MCE por más que el 10 %
este encima de DT5.0 segundos para los MT25.1 segundos. Cuando se usa un análisis
dinámico, los valores de diseño son calculados de la siguiente manera.
• Si se usan tres Historias tiempo, el diseño debe basarse en cantidades máximas
de respuesta.
• Si se usa siete historias de tiempo, el diseño puede basarse en cantidades de
respuesta excedente.
Cuando se hace un análisis dinámico, es posible tener desplazamientos y fuerzas de
diseño menores que aquellas dadas por las formulas estáticas equivalentes. Los limites
especificados en los códigos, limitan el rango de valores de diseño pueden caer por
debajo de los valores estáticos, que están resumidos en tabla H.2.
El desplazamiento total de diseño TDD para el sistema aislado puede ser
reducido hasta el 90% que da la formula estática, y el máximo desplazamiento total
TMD puede ser reducido hasta el 80% del resultado obtenido por la formula estática,
los desplazamientos TDD y TMD son calculados a partir de DD y MD por el uso de
múltiplos, y el código permite una reducción adicional reemplazando DD y MD en las
formulas estáticas por 'DD y '
MD , donde:
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2
'
1
+
=
D
DD
TT
DD H-14
2
'
1
+
=
M
MM
TT
DD H-15
SiendoT el periodo de base fija de la superestructura calculada por la formula empírica
del código.
Esta es una reducción adicional a la flexibilidad de la Superestructura. Las
formulas de estática [Eqs. (H-2) y (H-3))] asume que la superestructura es rígida y que
si alguna deformación tiene lugar en la superestructura, el desplazamiento en el
sistema aislado se reduce. Pero usando el modelo de los dos-grado-de-libertad
desarrollado fácilmente e ignorando las aproximaciones muy pequeñas. Es posible ver
que esta formula no es realmente correcta. Así del análisis simple resulta, con
dependencias en la relación de masas γ y relación de frecuencias sb ww / visto en la fig.
H.12, demostrando que la formula correspondiente al resultado para 1=γ y para
1/ ≤sb ww , Las funciones de análisis que la corrección [ Eqs. H-14 y H-15] Estiman
demasiado la reducción en DD y MD debido a la flexibilidad en la superestructura.
TABLA H.2 Valores mínimos del codigo, Cuando se usa un análisi Dinámico.
PARAMETRO ESTÁTICO RESPUESTA ESPECTRAL TIEMPO HISTORIA
DTD DTD≥ 1.10 DD 0.90DTD 0.90DTD
DTM DTM≥ 1.10 DM 0.80DTM 0.80DTM
Vb Vb≥ k DmaxDD ≥0.9Vb ≥0.90Vb
Vs regular Vs≥ k DmaxDD/R1 ≥ 0.8Vs ≥ 0.60VsVs irregular Vs≥ k DmaxDD/R2 ≥ 1.0Vs ≥ 0.80VsDrift 0.010/R1 0.015/R1 0.02/R1
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2.3 FORMULACIÓN DE HIPÓTESIS.
En la presente tesis estamos analizando dos temas:
_Respuesta dinámica a diferentes direcciones de acción sísmica de una
estructura convencional de base fija.
_Respuesta sísmica de un edificio de base Fija vs. Base Aislada a
acciones sísmicas.
Por lo cual tendremos dos hipótesis las cuales son.
Hipótesis 1:
Demostrar si la estructura puede ser mas vulnerable en
otras direcciones que no sean las principales X e Y en base
a los desplazamientos producidos por una acción sísmica de
la misma magnitud pero actuando a diferentes direcciones.
Hipótesis 2:
Demostrar si una estructura aislada tiene mejor
comportamiento que una estructura de base fija.
Estas demostraciones se harán en base a comparaciones de
desplazamientos laterales (drift) y aceleraciones. La demostración de
estas hipótesis se lo efectuara mediante un análisis dinámico utilizando el
Programa SAP 2000.
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3. CAPÍTULO III: METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN
3.1 TIPO Y DISEÑO DE INVESTIGACIÓN.
El tipo de investigación realizada es DOCUMENTAL, aunque se realizaron
las mediciones del edificio en campo, esto no es tan relevante ya que la
tesis tiene su tema principal elaborado en bases documentales, (modelo
matemático del problema).
3.2 PROCEDIMIENTOS Y TÉCNICAS DE RECOLECCIÓN DE DATOS.
La recolección de datos se basa en acumular la mayor cantidad de
información de la estructura en estudio así como también información
sobre la teoría, procedimientos, técnicas, métodos, etc necesarios para el
desarrollo de éste trabajo.
3.3 DESCRIPCIÓN DEL EQUIPO E INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN.
Las mediciones realizadas en el presente trabajo son de dos tipos
de campo y de gabinete.
EQUIPO DE CAMPO E INSTRUMENTOS
Wincha.
Libreta de campo.
Lapicero.
Papel Bond.
Cámara fotográfica.
EQUIPO DE GABINETE E INSTRUMENTOS
Planos.
Escalimetro.
Computadora.
Impresora.
Windows XP.
AutoCAD.
Excel.
Sap 2000 student V 9.1.6.
Útiles de escritorio.
Bibliografía.
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3.4 TECNICAS DE PROCESAMIENTO Y ANALISIS DE DATOS.
3.4.1 PROCESAMIENTO DE DATOS PARA LA HIPOTESIS 1.
Con esta hipótesis se quiere demostrar si la estructura puede ser
mas vulnerable en otras direcciones que no sean las principales X e Y en base
a los desplazamientos producidos por una acción sísmica de la misma
magnitud pero actuando a diferentes direcciones. Para entender mejor el
tema haremos una explicación breve y sencilla del procesamiento en base a
vectores los cuales serán usados en SAP 2000.
Sea )(tP→
una acción externa que varia en función del tiempo (Fuerza
Dinámica), θ es el ángulo que define la dirección de la entrada de dicha
acción con respecto al eje Global X, m es la masa concentrada del sistema
estructural mostrado, esta fuerza puede ser descompuesta en sus dos
componentes ortogonales paralelas a los ejes globales (X , Y) (t)Px y
(t)Py , que son la componente en el eje X e Y respectivamente. De lo
expuesto podemos decir lo siguiente.
Que la fuerza externa )(tP→
al ser aplicada en el centro de masa nos
produce un desplazamiento →D , cuyas componentes son Dx y Dy tal que
D^2=Dx^2+Dy^2.
Que la componente de la fuerza (t)Px multiplicada por un vector unitario
paralelo al eje X nos da el vector (t)Px
→
, y esta fuerza al ser aplicada en el
centro de masas nos produce un desplazamiento 1→D cuyas componentes
son Dxx y Dyx.
Que la componente de la fuerza (t)Py multiplicada por un vector unitario
paralelo al eje Y nos da el vector (t)Py
→
, y esta fuerza al ser aplicada en el
centro de masas nos produce un desplazamiento 2→D cuyas componentes
son Dxy y Dyy.
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Por descomposición vectorial sabemos que )(tP→
=(t)Px
→
+(t)Py
→
, por lo
tanto →D = 1
→D + 2
→D reemplazando 1
→D y 2
→D tenemos que:
→D =
++
=
DyyDyx
DxyDxx
Dy
Dx, por lo cual para la presente tesis se analiza la
respuesta sísmica aplicando el método de superposición descrito, cabe
indicar que para obtener los resultados se seguirán procedimientos y
conceptos descritos en el marco teórico.
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Para demostrar o rechazar esta hipótesis se procedió del siguiente
modo:
3.4.1.1) SECUENCIA PARA ELABORAR EL MODELO ESTRUCTURAL:
A. LEVANTAMIENTO ARQUITECTONICO:
Para el levantamiento arquitectónico del edificio se contó con los planos de
distribución arquitectónica del proyecto profesional: “EDIFICIO POLICLÍNICO
U.N.C.” y además se hizo mediciones de la estructura existente, quedando los
planos de distribución tal como se presenta en el ANEXO PLANOS.
B. LEVANTAMIENTO ESTRUCTURAL:
Se verificó las secciones de los elementos estructurales de la estructura
existente respecto a los planos, como también distancia entre ejes de vigas,
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columnas, zapatas, placas, losas; no existiendo variaciones en la edificación
actual respecto a la del proyecto.
C. MODELO TRIDIMENCIONAL:
Haciendo uso de herramientas CAD se elaboró un modelo en tres dimensiones
con los datos recolectados de los levantamientos antes mencionados, para lo
cual se trabajó con los ejes de la estructura, tomando un punto de referencia
con coordenadas (0,0,0), como podemos apreciar en el ANEXO PLANOS. Para la
exportación del modelo tridimensional al SAP 2000 se optó por exportar el
modelo con extensión DXF.
D. DEFINICIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LOS MATERIALES:
Para definir las propiedades de los materiales se hizo uso de las normas de
Estructuras Peruanas, de la información recolectada apreciamos que todos los
elementos estructurales (Vigas, Columnas, Placas, losas) son de concreto
armado f’c=210kg/cm2 y de una resistencia a la fluencia del acero
fy=4200Kg/cm2.
Para la determinación del modulo de elasticidad del concreto se uso la siguiente
ecuación.
cfEc '15000= (Norma E. 060: Concreto Armado - Parte 4: Requisitos
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Generales - Capitulo 9: Requisitos generales para el
Análisis y diseño)
E. CÁLCULO DE MASAS Y CENTROS DE MASA:
Para la obtención del centro de masa se utilizo las ecuaciones de la estática para
cada nivel:
∑
∑
=
==n
i
n
i
Pi
PiXi
Xcm
1
1
*
∑
∑
=
== n
i
n
i
Pi
PiYiYcm
1
1
*
g
PiM
n
i∑
== 1
Donde:
Xcm : Coordenada del centro de masa en la dirección “X”.
Ycm : Coordenada del centro de masa en la dirección “Y”.
M : Masa.
Xi, Yi : Coordenadas del centro de masa de cada elemento.
Pi : Peso de cada elemento.
g : Valor de la gravedad (9.81 m/s2)
Se calculo el centro de masa de Albañilería, Ventanearía, Losas y Cargas Vivas
(Según Norma E. 030: Diseño Sismorresistente - Capitulo 4: Análisis de Edificios
- Artículo 16: Generalidades).
F. CÁLCULO DE INERCIAS:
Se aplicó el teorema de los ejes paralelos conocido con el nombre de teorema de
Steiner.:
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MdIxcmIx *2+=
MdIycmIy *2+=
IyIxJ +=
Donde:
Ix, Iy : Momento de inercia en la dirección X, Y respecto a un eje paralelo.
J : Momento polar de inercia.
d2 : Distancia entre ejes paralelos.
Ixcm : Momento de inercia respecto a su centroide dirección X.
Iycm : Momento de inercia respecto a su centroide dirección Y.
El cálculo de las inercias sólo se efectuó de los diafragmas de piso rígido.
G. DEFINICIÓN DE CARGAS DE LA ESTRUCTURA:
Se tomó como base para definir las cargas de la estructura, la distribución
arquitectónica del edificio así como las cargas ya establecidas en el proyecto
original según Reglamento Nacional de Construcciones.
Cargas Muertas o permanentes:
Las que están en función de las dimensiones de los diferentes elementos
y del tipo de material:
Aligerado de e = 25 cm 350 Kg/m2
Aligerado de e = 20 cm 300 Kg/m2
Carga uniforme equivalente a tabiquería 100 Kg/m2
Peso volumétrico del concreto armado 2400 Kg/m3
Unidades de albañilería sólida 1800 Kg/m3
Cobertura 40 Kg/m2
Cargas Vivas o Sobrecargas:
Las que estarán en función del uso al que han sido destinados los diferentes
ambientes del edificio:
Salas de operación, laboratorios 300 Kg/m2
Consultorios 250 Kg/m2
Bibliotecas 300 Kg/m2
Oficinas 250 Kg/m2
Auditorios 300 Kg/m2
Cuartos de proyección 500 Kg/m2
Museos 300 Kg/m2
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Corredores y escaleras 500 Kg/m2
Baños 200 Kg/m2
Cobertura liviana 150 Kg/m2
Fuerzas de sismo y/o viento:
Se consideran sólo las fuerzas de sismo horizontales que actúan concentradas a
nivel de cada piso (Centros de Masa), para el cálculo de éstas fuerzas se lo ha
hecho utilizando el análisis modal y tiempo historia, mediante el programa SAP
2000 haciendo actuar el sismo a diferentes direcciones horizontales para el caso de
la estructura convencional de base fija, haciendo uso de la Norma E. 030.
ENTRADA SÍSMICA A UTILIZAR:
La totalidad de la selección de los parámetros sísmicos se hizo haciendo uso de la
Norma E. 030, para poder diseñar el espectro de diseño; los parámetros elegidos
según reglamento fueron:
g.R
ZUSCSa=
25.1
*5.2
=T
TpC ; 5.2≤C
Donde:
Sa : Aceleración espectral.
Z : Factor de Zona.
U : Factor de uso e importancia.
S : Factor de suelo.
C : Factor de amplificación sísmica.
R : Coeficiente de reducción de solicitación sísmica.
g : Aceleración de la gravedad.
T : Periodo de un modo en el análisis dinámico.
Tp : Periodo que define la plataforma del espectro para cada tipo
de suelo.
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Para el caso específico de la tesis de acuerdo al reglamento se eligió los siguientes
valores.
De acuerdo a la zonificación Cajamarca se encuentra ubicada en la zona 3
Z = 0.4
De acuerdo a la categoría de las edificaciones podemos ubicar a nuestro edificio
en estudio dentro de la categoría A - Edificaciones esenciales – cuya función no
debería interrumpirse inmediatamente después que ocurra un sismo (Policlínico).
U=1.5
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ESPECTRO DE ACELERACIONES RNC-PERU
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0 2 4 6 8 10 12 14
T
Sa/
g
Para el factor del suelo de acuerdo al análisis de suelos tomado del “Proyecto
Edificio Policlínico UNC” nuestro suelo es de perfil tipo S3: Suelos flexibles con
estratos de gran amplitud.
S3=1.4
Para el caso del Factor de amplificación sísmica “C” el Periodo Tp que define la
plataforma del espectro para perfil de suelo tipo S3, Tp es igual a 0.9 segundos
quedando definido el coeficiente como:
5.29.0
*5.225.1
≤
=T
C .
El Coeficiente de reducción de solicitación sísmica R de acuerdo al sistema
estructural es un sistema porticado de concreto armado.
R=8.
Quedando definida la aceleración espectral por.
gga 2625.0*T
0.9*0.105S
25.1
≤
=
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3.4.2 PROCESAMIENTO DE DATOS PARA LA HIPOTESIS 2.
Con esta hipótesis se quiere demostrar que una estructura aislada
por la base tiene mejor comportamiento estructural que una estructura
de base fija. Para demostrar la hipótesis se tuvo que hacer el modelo de
la misma estructura tanto para base aislada como para base fija. Estos
modelos serán sometidos a señales sísmicas de tiempo historia y
aceleraciones del espectro del RNC, en las dos direcciones principales de
análisis convencional. Para poder hacer las comparaciones deseadas, la
estructura de base fija y la aislada por la base tendrán que ser las
mismas, es decir los elementos estructurales que la conforman son los
mismos.
Para demostrar esta hipótesis se precedió del siguiente modo en la
estructura de base aislada:
3.4.2.1 SELECCIÓN DE LOS AISLADORES:
Para la presente tesis el tipo de aislador a utilizara es el Neocelandés con
Núcleo de Plomo.
3.4.2.2 PARAMETROS UTILIZADOS PARA EL DISEÑO DE LOS
AISLADORES:
Los parámetros utilizados para el diseño de aisladores se tomaron
del Uniform Building Code (UBC del 97). Estos parámetros fueron
descritos en el marco teórico.
Fue necesario compatibilizar y adaptar estos parámetros sísmicos
a nuestro medio de acuerdo al tipo de Suelo, Tipo de estructura, cercanía
de Fallas activas, Factor de Zona, coeficiente de reducción sísmica para
este tipo de estructuras aisladas por la base, A continuación se presentan
los criterios para compatibilizar parámetros del RNC – Norma Técnica E-
030 y la UBC 97 de Estados Unidos.
A. CRITERIOS TOMADOS PARA LA COMPATIBILIZACIÓN DE
PARÁMETROS DE LA UBC Y NT E-030:
a. TIPO DE SUELO (S): Para la elaboración del proyecto profesional
de Edificio Policlínico UNC, se tomó correctamente el tipo de suelo S3
de la NTE-030 de acuerdo a las características del suelo del lugar.
Una de las descripciones a las que hace referencia la norma E-030
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para la decisión del tipo de suelo es la velocidad de onda de corte
menor que de una roca. La UBC 97` en la tabla 16-J Soil Profile
Types muestra 6 tipos de suelo, el tipo de suelo Sc está justo debajo
de la velocidad de ondas de corte de una roca, se tomó por optar el
suelo Sc de la UBC como equivalente del S3 de la NTE ya que en las
referencias de el Proyecto profesional del policlínico toman una
resistencia del suelo de 1.00 kg/cm2 que significa mejorar bastante el
tipo de suelo existente en el sitio.
b. FACTOR DE ZONA (Z): Para calcular el cortante basal de un
edificio, la norma peruana tiene la misma concepción lógica que la
UBC, por no decir que usa la misma ecuación con algunas pequeñas
variaciones en los períodos y en el límite superior del factor de
amplificación sísmica (C). La NTE-030 establece 3 factores de zona
los que varían de 0.15 para la zona 1 hasta 0.4 para la zona 3. La
UBC (tabla 16-I Seismic Zone Factor Z) establece 5 factores de zona
que varían desde 0.075 para la zona 1 hasta 0.4 para la zona 4, es
fácil notar que la zona 4 de la UBC es equivalente a la zona 3 de la
norma peruana.
La UBC 94` propone parámetros adicionales necesarios para el diseño
de aisladores, en la presente tesis se utiliza éstos parámetros.
El uso de estos parámetros comienza cuando se desea obtener el
desplazamiento máximo de los aisladores que tiene una probabilidad de
10% para ser excedido en 50 años, este desplazamiento está dado por
Bd)*^2*Td/(4*Cvd*g=Dd π y se requiere conocer el coeficiente de
amortiguamiento (Bd), factor de cercanía (Nv) y coeficiente sísmico
espectral (Cvd) de la estructura aislada
Coeficiente sísmico espectral (Cvd): este valor depende del factor
de cercanía a una falla activa (Nv) y de una constante; el coeficiente está
dado por: Cvd=0.56Nv según la tabla 16-R Seismic Ciefficient Cv, que
relaciona el tipo de suelo (S) con el factor de zona (Z) para determinar la
constante.
Tipo de Fuente Sísmica: Es necesario saber el tipo de fuente para
determinar el factor de cercanía (Nv), la UBC en su tabla 16-U Seismic
Source Type describe 3 tipos de fuente sísmica, la descripción se basa en
la capacidad de las fallas de producir eventos sísmicos de grandes
magnitudes, tasas de actividad sísmica y tasas de deslizamiento anuales,
se optó por seleccionar un tipo de fuente sísmica tipo A.
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Factor de cercanía: Para calcular este valor la UBC cuenta con la
tabla 16-T Near Source Factor Nv, que relaciona el tipo de fuente sísmica
con la distancia a una falla sísmica activa, se consideró que no existe una
falla sísmica activa a menos de 15km del lugar en estudio, lo que nos
lleva a un Nv=1.00.
Factor de amortiguamiento: La UBC propone calcular este factor
de la tabla A-16-C Damping Coefficients, Bd y Bm, en esta tabla el factor
de amortiguamiento se toma acorde con el amortiguamiento efectivo.
Kelly y Naeim por su parte proponen usar la fórmula (). Se optó por
tomar la fórmula ya que en el rango de nuestros amortiguamientos ésta
formula arroja muy buenas aproximaciones.
Otros parámetros se usan cuando se desea saber el
desplazamiento máximo de los aisladores que tienen una probabilidad de
10% para ser excedido en 100 años, este desplazamiento es
Bm)*^2*Tvm/(4*Cvm*g=Dm π .
Coeficiente de respuesta (Mm): Para calcular el coeficiente sísmico
espectral Cvm = Mm*Z*Nv es necesario tener el valor de Mm, la UBC da
un valor de Mm en función de el factor de cercanía (Nv) y el factor de
zona (Z) en su tabla A-16-D Maximum Capable Earthquake Responce
Coefficient Mm. En nuestro caso se tomó un criterio aproximado
propuesto por Naeim y Kelly que dice que Dm es mayor en 25% a Dd.
c. Factor de reducción de cortante RI, para construcciones de
base aislada: Este factor es tomado acorde con el sistema
estructural de la construcción igual que el factor R para edificios de
de base fija, la tabla A-16-E Estructural Systems Above the Isolation
Interface, en nuestro caso RI=1.6.
La selección de las características mecánicas del caucho se la hizo
de acuerdo a valores establecidos por fabricantes, como es el modulo
de corte y amortiguamiento.
Para el diseño de un aislador elastomérico de Caucho con núcleo
de plomo es de suma importancia la selección del periodo de
vibración que se desea asignar a la estructura, generalmente este
periodo deseado esta en un rango de 2 a 3 segundos. Para el diseño
seleccionamos un periodo adecuado de 2.5 segundos.
La selección de la carga axial es muy importante para el diseño de
estos aisladores, si tomamos una carga axial por debajo de la ideal
puede ocasionar que sea muy flexible ocasionando desplazamientos
muy elevados, lo contrario puede ocurrir si la carga de diseño es muy
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Disminucion de fuerzas sismicas gracias al aumento del periodo logrado por el aislamiento de base (Periodos del Bloque estruct ural II)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0 2 4 6 8 10 12 14
T
Sa/
g
RNC-ESPECTRO T-Base fija T-Base Aislada
superior a la adecuada puede rigidizar al aislador ocasionando que el
periodo fundamental no sea tal que permita a la estructura alejarla
de las aceleraciones máximas del suelo. La figura muestra la
disminución de fuerzas sísmicas debido al aumento del período
logrado por el aislamiento, de la comparación del bloque II.
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3.4.2.3 DISEÑO DEL AISLADOR SELECCIONADO: Se muestra a
continuación el diseño del grupo de aisladores del bloque
estructural I.
¡Error! Vínculo no válido.
¡Error! Vínculo no válido.
¡Error! Vínculo no válido.
¡Error! Vínculo no válido.
¡Error! Vínculo no válido.
¡Error! Vínculo no válido.
¡Error! Vínculo no válido.
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5.- CORTANTE DE BASE REDUCIDO
Vs=KH*D/Rw1
Vs= 0.289
Cuando calculamos el maximo nivel de desplazamiento (MCE)
DM= g*CVM*TVM/(4*π^2*BM)
Donde:g (m/s^2): 9.81 (Aceleración de la gravedad)
Z= 0.40 Factor de zonaMM= 1.25 Coeficiente de respuestaNv: 1.00 (Factor de cercanía)
CVM= 1.40 (Coeficiente sísmico espectral)
MM*ZV*NV= 0.50
CVM= 0.70 PARA UN SOLO AISLADORTIPO AISLADOR KEFF
A 0.330
Keff=Kr+Q/D
Kr= 1.508Q= 0.082
DM= 0.315 SE ASUME QUE DM ES MAYOR EN 25% MAS QUE DD
Keff= 1.768
la energia total disipada por ciclo es WD=4*Q*(DM-DY)
PARA UN SOLO AISLADORDy=Q/(9KR) TIPO AISLADOR DY
Dy= 0.006 A 0.009
WD= 0.101
βefec=WD/(2*π*Kefec*DM^2) 9.15% (Coeficiente de amortiguamiento)
BM=1/(0.25(1-Ln(βefec))): 1.18 (Coeficiente de amortiguamiento)
Donde el nuevo periodo es TM=2*π/(K/M)^0.5
TM= 2.22
Conduciendonos a
DM= 0.327m
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Recalculandoi Keff con DM 0.327m PARA UN SOLO AISLADORTIPO AISLADOR KEFF
A 0.328Keff= 1.76MN/m
T= 2.22seg
βefec=WD/(2*π*Kefec*DM^2) 8.54%
DTD=(m) 0.285
DTM=(m) 0.370Estos desplazamientos no exeden la dimensión del aislador, lo que hace omitir el problema del Rollout.
+
+=22
121
db
eyDD DTD
+
+=22
121
db
eyDD MTM
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Keff(MN/m): 0.347K1(MN/m): 2.627
K2/K1: 0.100Fy(MN): 0.024βefec(%): 12.69%
Keff: Rigidez efectivaK1: Rigidez antes de la fluenciaK2: Rigedez posterior a la fluencia Fy: Fuerza de fluenciaβefec: Amortiguamiento efectivo
Parámetros de Diseño delAislador
HISTERESIS DEL AISLADOR A
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3
DESPLAZAMIENTO m
FU
ER
ZA
MN
LAZO DE HISTERESIS RIG. EFECTIVA
Grafico que muestra la envolvente del lazo de histéresis del Aislador A del Bloque
estructural I, se puede observar claramente el comportamiento bilineal de este mismo.
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3.4.2.4 REGISTROS SÍSMICOS A UTILIZAR: Para notar mejor la
diferencia de respuestas del sistema de base fija vs sistema de
base aislada, se introdujo 3 señales sísmicas una espectral que
es el espectro del RNC y dos señales de tiempo historia una que
es representativa en Perú Huaraz 1970, y otra registrada en la
presa de Lexington – Loma Prieta – Estado de California - USA
en 1989. En los anexos se muestra los acelerogramas de dichos
registros.
3.4.2.5 MODELAMIENTO DE LA ESTRUCTURA DE BASE AISLADA:
El modelamiento de la estructura se hizo usando el programa SAP
2000 el cual hace uso del análisis matricial, y de elementos finitos,
para lo cual tuvimos que introducir, las propiedades mecánicas de
los elementos (vigas, Columnas, Placas y Aisladores), además de
introducir las tres señales sísmicas descritas en el acápite anterior,
para el espectro del RNC se uso los criterios de superposición que
se obtienen de la respuesta máxima esperada (r) tanto para las
fuerzas internas en los elementos componentes de la estructura,
para los parámetros Fuerza cortante en la base y desplazamientos
totales.
La respuesta máxima elástica esperada (r) correspondiente al
efecto conjunto de los diferentes modos de vibración empleados
ir . Se determino usando la siguiente
expresión. ∑∑==
+=m
ii
m
ji rrr
1
2
1
75.025.0 .
para modelar también es importante dar los grados de libertad a
analizar el cual para la estructura aislada solo se analizo en las
direcciones X, Y, y la rotación alrededor del eje Z.
3.4.3 ANALISIS DE DATOS HIPOTESIS Nº 01.
Para la hipótesis Nº 01 se analizará desplazamientos versus entrada de
sismo, este análisis se efectuara en los 360º de la circunferencia, con un
incremento de 10º, iniciando en 0º que coincide con el eje global de las
absisas (X) y finalizando el análisis a los 350º, como se muestra en la
figura 3.4.3 (a). Efectuándose una comparación de magnitud entre los ejes
principales (0º y 90º) y los demás ejes, este análisis se efectuara en los
cuatro extremos de los bloques estructurales.
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Los resultados generados, tema de interés en la hipótesis 1 de la presente
tesis, son los desplazamientos laterales, los cuales se obtienen a través de
un análisis dinámico (modal) utilizando como herramienta fundamental el
programa SAP 2000. Que utiliza el análisis matricial, modal y elementos
finitos.
La respuesta que deseamos tener de la estructura, para generar los
desplazamientos laterales, está directamente relacionada con la dirección
de entrada de la señal sísmica.
Figura 3.4.3 (a)
Figura 3.4.3 (b)
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3.4.4 ANALISIS DE DATOS HIPOTESIS Nº 02
Para este ítem se analizara parámetros de interés en la respuesta
sísmica de una estructura como desplazamientos, aceleraciones y periodo
de vibración.
Desplazamientos: Para poder analizar y comparar los
desplazamientos de la estructura con Aislamiento de Base y la estructura
de base Fija, es necesario medir los desplazamientos máximos con
respecto a los desplazamientos máximos de la base de un modelo
respecto al otro, la finalidad es ver cual de las estructuras tiene mayor
deformación, Es decir el parámetro a comparar será:
.maxmaxmax bii DDD −=∆
.minminmin bii DDD −=∆
Donde
minmax,iD∆ =Desplazamiento relativo a la base.
minmax,iD =Desplazamiento absoluto del nivel i.
minmax,bD =Desplazamiento absoluto de la base.
Este parámetro maxiD∆ y miniD∆ es tanto para la base fija y
también para la estructura con aislamiento sísmico de base.
Estos desplazamientos serán presentados mediante
cuadros y gráficos para una mejor visualización.
Aceleraciones: Para poder analizar y comparar la aceleración de
la estructura con Aislamiento de Base y la estructura de base Fija, es
necesario medir las aceleraciones máximas con respecto a las
aceleraciones máximas en la base de un modelo respecto al otro, la
finalidad es ver cual de las estructuras tiene mayor aceleración relativa.
Es decir el parámetro a comparar será:
.maxmaxmax bii aaa −=∆
.minminmin bii aaa −=∆
Donde
minmax,ia∆ =Aceleración relativa a la base del nivel i.
minmax,ia =Aceleración absoluta del nivel i.
minmax,ba =Aceleración absoluta de la base.
Este parámetro maxia∆ y minia∆ es tanto para la base fija y
también para la estructura con aislamiento sísmico de base.
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Este parámetro de interés se representara mediante cuadros y
gráficos para una mejor visualización.
Períodos de vibración: Se hará una comparación del período
fundamental de vibración de la estructura aislada por la base con la
de base fija, para cada bloque estructural. Este período corresponde
al modo representativo de vibración. Se verificará si la estructura
aislada por la base logró su objetivo de desacoplar el movimiento
de la estructura respecto a su base aumentando su período de
vibración. Éste será un indicador que comprueba el buen diseño de
los aisladores y el buen comportamiento de la estructura aislada.
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4. CAPITULO IV: PRESENTACION Y DISCUCIÓN DE RESULTADOS
4.1. RESULTADOS DE LA INVESTIGACIÓN
En este ítem se presenta los resultados obtenidos de la investigación los cuales
se presentan mediante cuadros y gráficos tanto para la hipótesis nº 01 y nº 02.
4.1.1 RESULTADOS PARA LA HIPOTESIS Nº 01
En este ítem se presentan los desplazamientos para cada extremo
generados por el programa SAP 2000, los cuales están representados
mediante el uso de cuadros y gráficos radiales por bloque extremo y nivel,
las unidades en las que se representan estos desplazamientos es en el
sistema M.K.S.
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CUADROS Y GRAFICOS PARA LA HIPOTESIS 1
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CUADROS COMPARATIVOS DE LOS
DESPLAZAMIENTOS GENERADOS POR
SISMOS A DIFERENTES DIRECCIONES EN
LOS EXTREMOS
BLOQUE-I
¡Error! Vínculo no válido.
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¡Error! Vínculo no válido.
¡Error! Vínculo no válido.
¡Error! Vínculo no válido.
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GRAFICOS COMPARATIVOS DE LOS
DESPLAZAMIENTOS GENERADOS POR
SISMOS A DIFERENTES DIRECCIONES EN
LOS EXTREMOS
BLOQUE-I
¡Error! Vínculo no válido.¡Error! Vínculo no válido .¡Error! Vínculo no válido.¡Error! Vínculo no
válido.
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GRÁFICAS COMPARATIVAS DE LOS
DESPLAZAMIENTOS GENERADOS POR
SISMOS A DIFERENTES DIRECCIONES EN
LOS EXTREMOS
BLOQUE-II
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GRAFICO RADIAL DE LOS DESPLAZAMIENTOS GENERADOS POR SISMOS A DIFERENTE DIRECCION
B-II Extremo 1
0.00E+00
1.00E-02
2.00E-02
3.00E-02
4.00E-02
5.00E-02
010
20
30
40
50
60
70
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100
110
120
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160170
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200
210
220
230
240
250
260
270
280
290
300
310
320
330
340350
2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL 5º NIVEL 6º NIVEL 7º NIVEL
GRAFICO DE LOS DESPLAZAMIENTOS GENERADOS POR SISMOS A DIFERENTE DIRECCION
B-II Extremo 1
0.00E+00
1.00E-02
2.00E-02
3.00E-02
4.00E-02
5.00E-02
6.00E-02
0 50 100 150 200 250 300 350 400
DIRECCION DE SISMO
DE
SP
LAZ
AM
IEN
TO
S (
m)
2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL 5º NIVEL 6º NIVEL 7º NIVEL
Tesis para obtener el Titulo Profesional
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GRAFICO RADIAL DE LOS DESPLAZAMIENTOS GENERADOS POR SISMOS A DIFERENTE DIRECCION
B-II Extremo 9
0.00E+00
5.00E-03
1.00E-02
1.50E-02
2.00E-02
2.50E-02
3.00E-02
3.50E-02
4.00E-02
4.50E-02
5.00E-02
010
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30
40
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160170
180190
200
210
220
230
240
250
260
270
280
290
300
310
320
330
340350
2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL 5º NIVEL 6º NIVEL 7º NIVEL
GRAFICO DE LOS DESPLAZAMIENTOS GENERADOS POR SISMOS A DIFERENTE DIRECCION
B-II Extremo 9
0.00E+00
5.00E-03
1.00E-02
1.50E-02
2.00E-02
2.50E-02
3.00E-02
3.50E-02
4.00E-02
4.50E-02
5.00E-02
0 50 100 150 200 250 300 350 400
DIRECCIÓN DE SISMO
DE
SP
LAZ
AM
IEN
TO
(m
)
2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL 5º NIVEL 6º NIVEL 7º NIVEL
Tesis para obtener el Titulo Profesional
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GRAFICO RADIAL DE LOS DESPLAZAMIENTOS GENERADOS POR SISMOS A DIFERENTE DIRECCION
B-II Extremo 14
0.00E+00
1.00E-02
2.00E-02
3.00E-02
4.00E-02
5.00E-02
010
20
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40
50
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180190
200
210
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240
250
260
270
280
290
300
310
320
330
340350
2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL 5º NIVEL 6º NIVEL 7º NIVEL
GRAFICO DE LOS DESPLAZAMIENTOS GENERADOS POR SISMOS A DIFERENTE DIRECCION
B-II Extremo 14
0.00E+00
1.00E-02
2.00E-02
3.00E-02
4.00E-02
5.00E-02
6.00E-02
0 50 100 150 200 250 300 350 400
DIRECCION DE SISMO
DE
SP
LAZ
AM
IEN
TO
(m)
2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL 5º NIVEL 6º NIVEL 7º NIVEL
Tesis para obtener el Titulo Profesional
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Bach. Rafael Arribasplata Díaz Bach. Peter A. Marín Velásquez
GRAFICO DE LOS DESPLAZAMIENTOS GENERADOS POR SISMO S A DIFERENTE DIRECCION B-II Extremo 21
0.00E+00
1.00E-02
2.00E-02
3.00E-02
4.00E-02
5.00E-02
6.00E-02
0 50 100 150 200 250 300 350 400
DIRECCION DE SISMO
DE
SP
LAZ
AM
IEN
TO
(m)
2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL 5º NIVEL 6º NIVEL 7º NIVEL
GRAFICO RADIAL DE LOS DESPLAZAMIENTOS GENERADOS PO R SISMOS A DIFERENTE DIRECCION B-II Extremo 21
0.00E+00
5.00E-03
1.00E-02
1.50E-02
2.00E-02
2.50E-02
3.00E-02
3.50E-02
4.00E-02
4.50E-02
5.00E-020
1020
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150160
170180
190200
210
220
230
240
250
260
270
280
290
300
310
320
330340
350
2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL 5º NIVEL 6º NIVEL 7º NIVEL
Tesis para obtener el Titulo Profesional
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Bach. Rafael Arribasplata Díaz Bach. Peter A. Marín Velásquez
Tesis para obtener el Titulo Profesional
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GRAFICO RADIAL DE LOS DESPLAZAMIENTOS GENERADOS POR SISMOS A DIFERENTE DIRECCION
B-III Extremo 1
0.00E+00
5.00E-03
1.00E-02
1.50E-02
2.00E-02
2.50E-02
3.00E-02
3.50E-02
010
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160170
180190
200
210
220
230
240
250
260
270
280
290
300
310
320
330
340350
2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL
GRAFICO DE LOS DESPLAZAMIENTOS GENERADOS POR SISMOS A DIFERENTE DIRECCION
B-III Extremo 1
0.00E+00
5.00E-03
1.00E-02
1.50E-02
2.00E-02
2.50E-02
3.00E-02
3.50E-02
4.00E-02
0 50 100 150 200 250 300 350 400
DIRECCION DE SISMO
DE
SP
LAZA
MIE
NTO
S (m
)
2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL
Tesis para obtener el Titulo Profesional
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GRAFICO RADIAL DE LOS DESPLAZAMIENTOS GENERADOS POR SISMOS A DIFERENTE DIRECCION
B-III Extremo 2
0.00E+00
5.00E-03
1.00E-02
1.50E-02
2.00E-02
2.50E-02
3.00E-02
3.50E-02
010
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160170
180190
200
210
220
230
240
250
260
270
280
290
300
310
320
330
340350
2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL
GRAFICO RADIAL DE LOS DESPLAZAMIENTOS GENERADOS POR SISMOS A DIFERENTE DIRECCION
B-III Extremo 2
0.00E+00
5.00E-03
1.00E-02
1.50E-02
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DIRECCION DE SISMO
DE
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B-III Extremo 3
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340350
2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL
GRAFICO RADIAL DE LOS DESPLAZAMIENTOS GENERADOS POR SISMOS A DIFERENTE DIRECCION
B-III Extremo 3
0.00E+00
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DIRECCION DE SISMO
DE
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GRAFICO RADIAL DE LOS DESPLAZAMIENTOS GENERADOS POR SISMOS A DIFERENTE DIRECCION
B-III Extremo 4
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2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL
GRAFICO DE LOS DESPLAZAMIENTOS GENERADOS POR SISMOS A DIFERENTE DIRECCION
B-III Extremo 4
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DIRECCION DE SISMO
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B-IV Extremo 3
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330340
350
2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL
GRAFICO DE LOS DESPLAZAMIENTOS GENERADOS POR SISMOS A DIFERENTE DIRECCION
B-IV Extremo 3
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DIRECCION DE SISMO
DE
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GRAFICO RADIAL DE LOS DESPLAZAMIENTOS GENERADOS POR SISMOS A DIFERENTE DIRECCION
B-IV Extremo 4
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2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL
GRAFICO DE LOS DESPLAZAMIENTOS GENERADOS POR SISMOS A DIFERENTE DIRECCION
B-IV Extremo 4
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GRAFICO RADIAL DE LOS DESPLAZAMIENTOS GENERADOS POR SISMOS A DIFERENTE DIRECCION
B-IV Extremo 6
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2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL
GRAFICO DE LOS DESPLAZAMIENTOS GENERADOS POR SISMOS A DIFERENTE DIRECCION
B-IV Extremo 6
0.00E+00
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0 50 100 150 200 250 300 350 400
DIRECCION DE SISMO
DE
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LAZ
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TO(m
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2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL
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GRAFICO RADIAL DE LOS DESPLAZAMIENTOS GENERADOS POR SISMOS A DIFERENTE DIRECCION
B-V Extremo 1
0.00E+00
5.00E-03
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2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL
GRAFICO DE LOS DESPLAZAMIENTOS GENERADOS POR SISMOS A DIFERENTE DIRECCION
B-V Extremo 1
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DIRECCION DE SISMO
DE
SP
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S(m
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2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL
Tesis para obtener el Titulo Profesional
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GRAFICO RADIAL DE LOS DESPLAZAMIENTOS GENERADOS POR SISMOS A DIFERENTE DIRECCION
B-V Extremo 6
0.00E+00
5.00E-03
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1.50E-02
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2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL
GRAFICO DE LOS DESPLAZAMIENTOS GENERADOS POR SISMOS A DIFERENTE DIRECCION
B-V Extremo 6
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0 50 100 150 200 250 300 350 400
DIRECCION DE SISMO
DE
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2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL
Tesis para obtener el Titulo Profesional
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GRAFICO RADIAL DE LOS DESPLAZAMIENTOS GENERADOS POR SISMOS A DIFERENTE DIRECCION
B-V Extremo 13
0.00E+00
5.00E-03
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340350
2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL
GRAFICO DE LOS DESPLAZAMIENTOS GENERADOS POR SISMOS A DIFERENTE DIRECCION
B-V Extremo 13
0.00E+00
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0 50 100 150 200 250 300 350 400
DIRECCION DE SISMO
DE
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2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL
Tesis para obtener el Titulo Profesional
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GRAFICO RADIAL DE LOS DESPLAZAMIENTOS GENERADOS POR SISMOS A DIFERENTE DIRECCION
B-V Extremo 18
0.00E+00
5.00E-03
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250
260
270
280
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310
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340350
2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL
GRAFICO DE LOS DESPLAZAMIENTOS GENERADOS POR SISMOS A DIFERENTE DIRECCION
B-V Extremo 18
0.00E+00
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3.50E-02
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0 50 100 150 200 250 300 350 400
DIRECCION DE SISMO
DE
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2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL
Tesis para obtener el Titulo Profesional
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GRAFICO RADIAL DE LOS DESPLAZAMIENTOS GENERADOS POR SISMOS A DIFERENTE DIRECCION
B-VI Extremo 1
0.00E+00
5.00E-03
1.00E-02
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2.50E-02
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180190
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240
250
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300
310
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340350
2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL
GRAFICO DE LOS DESPLAZAMIENTOS GENERADOS POR SISMOS A DIFERENTE DIRECCION
B-VI Extremo 1
0.00E+00
5.00E-03
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0 50 100 150 200 250 300 350 400
DIRECCION DE SISMO
DE
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AM
IEN
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(m)
2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL
Tesis para obtener el Titulo Profesional
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GRAFICO RADIAL DE LOS DESPLAZAMIENTOS GENERADOS POR SISMOS A DIFERENTE DIRECCION
B-VI Extremo 3
0.00E+00
5.00E-03
1.00E-02
1.50E-02
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3.50E-020
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60
70
80
90
100
110
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140
150
160170
180190
200
210
220
230
240
250
260
270
280
290
300
310
320
330
340350
2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL
GRAFICO DE LOS DESPLAZAMIENTOS GENERADOS POR SISMOS A DIFERENTE DIRECCION
B-VI Extremo 3
0.00E+00
5.00E-03
1.00E-02
1.50E-02
2.00E-02
2.50E-02
3.00E-02
3.50E-02
4.00E-02
0 50 100 150 200 250 300 350 400
DIRECCION DE SISMO
DE
SP
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MIE
NT
O(m
)
2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL
Tesis para obtener el Titulo Profesional
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Bach. Rafael Arribasplata Díaz Bach. Peter A. Marín Velásquez
0.6
00
0.300
90º
0º
4.2. ¡Error! Vínculo no válido. ANALISIS DE LA INFORMACIÓN
4.2.1 ANALISIS DE LA INFORMACIÓN HIPOTESIS Nº 01
4.2.1.1 COMPARACIÓN DE RESULTADOS:
Una vez generado los resultados estos serán comparados según su
Desplazamiento absoluto )Dy(DxD 22 += , las comparaciones se
harán en las cuatro esquinas y por nivel de cada bloque estructural
teniendo en consideración que para cada entrada de sismo le
corresponde desplazamientos diferentes, objeto de análisis.
Para las comparaciones hacemos uso de cuadros y gráficos, que
relacionan los desplazamientos con la dirección de entrada de sismo,
presentados anteriormente por bloque estructural, solo se describirá los
gráficos y donde se ha necesario se hará análisis adicionales.
4.2.1.1.1 COMPARACION DE DESPLAZAMIENTOS PARA EL
BLOQUE I- III-IV- V y VI HIPOTESIS 1
De los gráficos y cuadros de los bloques estructurales I – III –IV - V y VI,
podemos apreciar que los desplazamientos máximos para una entrada de
sismo según el RNC y con la configuración estructural simétrica dada
ocurren a la dirección de 0º y 180º con desplazamientos menores a la
dirección de 90º y 270º, estos indicadores nos da a conocer que la los
bloques estructurales son mas vulnerables a la dirección de 0º y 180º,
analizando la distribución de columnas podemos apreciar que
estructuralmente el bloque I tiene cuatro columnas distribuidas tal como
se muestra en la figura 4.1.I (Ver anexos Planos Bloque I) de donde
podemos manifestar que la rigidez estructural del bloque es mayor en la
dirección de 90º y 270º y menor a la dirección de 0º y 180º , esta
condición de desplazamientos es igual en los cuatro extremos como
vimos anteriormente en los gráficos para este bloque y sus cuatro
extremos de columnas (Esquinas).
En estos bloques estructurales los desplazamientos máximos y mínimos
coinciden con los ejes principales 0º y 90º.
Fig. 4.1.I columna típica del bloque I
F90º
F0º
Tesis para obtener el Titulo Profesional
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Bach. Rafael Arribasplata Díaz Bach. Peter A. Marín Velásquez
En la figura 4.1.I se puede apreciar que F90º Y F0º son fuerzas
sísmicas actuantes a diferente dirección pero de igual magnitud, los
elementos resistentes (columnas) tienen mayor inercia para la dirección a
90º (cuando se aplica F90º lo que nos indica a grandes rasgos que la
estructura tendrá desplazamientos mayores en la dirección de 0º mas que
en la dirección a 90º. También se puede apreciar que a medida que varia
el ángulo de entrada del sismo de 0º a 90º manteniendo la misma
magnitud de fuerza sísmica de entrada el desplazamiento varia en una
forma radial las graficas mostradas generadas para los desplazamientos se
aproximan a una lemniscata de Bernoulli cuya ecuación es
( ) )(*)cos(* θθθρ SenBA +=
Donde:
:)(θρ Es el desplazamiento lateral de la estructura
producida por la fuerza sísmica de igual magnitud pero
actuando a diferente dirección.
:ByA Son constantes que están en función de la
magnitud de la fuerza sísmica y de la rigidez de la
estructura.
:θ Define el ángulo de entrada del sismo.
4.2.1.2 COMPARACION DE DESPLAZAMIENTOS PARA EL BLOQUE
II- HIPOTESIS 1
En este bloque estructuralmente es asimétrico mientras que
geométricamente es simétrico, esta asimetría en cuanto a rigieses es
causada por las placas donde se ubica el ascensor por lo cual los gráficos
de los desplazamientos en sus cuatro extremos no se asemejan por ello
se hará una comparación de cada extremo de este bloque.
Extremo 1
Este extremo presenta sus máximos desplazamientos a la dirección de
los 310º y 130º ,y sus menores desplazamientos a los 220º y 40º se
puede apreciar que estos desplazamientos máximo y mínimo son
ortogonales para este extremo, otro parámetro de comparación es la
relación entre el desplazamiento máximo y las direcciones principales 0º
y 90º, el cuadro siguiente muestra esta relación del cual podemos
observar que los desplazamientos máximos para todos los niveles esta
en el orden del 30% mas que los desplazamientos máximos en las
direcciones principales.
Tesis para obtener el Titulo Profesional
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Bach. Rafael Arribasplata Díaz Bach. Peter A. Marín Velásquez
PISO Nº DESP.2º NIVEL 40 220 0.004993º NIVEL 50 230 0.012994º NIVEL 60 240 0.021415º NIVEL 60 240 0.029646º NIVEL 60 240 0.037027º NIVEL 60 240 0.04206
MINIMOS BLOQUE II EXT. 9DIRECCIONES
PISO Nº DESP.2º NIVEL. 120 300 0.006553º NIVEL. 120 300 0.016134º NIVEL. 120 300 0.025315º NIVEL. 120 300 0.033726º NIVEL. 110 290 0.040947º NIVEL. 0 180 0.04615
DIRECCIONESMAXIMOS BLOQUE II EXT. 9
NIVEL RELACION VALOR2º DMAX/D0º 1.0792E+002º DMAX/D90º 1.0978E+003º DMAX/D0º 1.0577E+003º DMAX/D90º 1.0766E+004º DMAX/D0º 1.0372E+004º DMAX/D90º 1.0557E+005º DMAX/D0º 1.0195E+005º DMAX/D90º 1.0383E+006º DMAX/D0º 1.0066E+006º DMAX/D90º 1.0270E+007º DMAX/D0º 1.0000E+007º DMAX/D90º 1.0263E+00
RELACIÓN DMAX/(D0º O D90º)
NIVEL RELACIÓN VALOR2º DMAX/D00º 134.4040%2º DMAX/D90º 132.8479%3º DMAX/D00º 132.9975%3º DMAX/D90º 130.7149%4º DMAX/D00º 131.4500%4º DMAX/D90º 128.9442%5º DMAX/D00º 129.8871%5º DMAX/D90º 127.6660%6º DMAX/D00º 128.2600%6º DMAX/D90º 126.6701%7º DMAX/D00º 126.9411%7º DMAX/D90º 126.1475%
Extremo 9
A diferencia del extremo anterior que en todos sus niveles los
desplazamientos máximos y mínimos ocurren a la misma dirección, en
este extremo hay cierta variación como se muestra en los siguientes
cuadros.
La relación entre los desplazamientos máximos y los desplazamientos
máximos en la dirección principal (0º y 90º) son mayores en un rango
que va de 0% a 10% más q ue en las direcciones principales, como se
muestra en el cuadro adjunto.
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NIVEL RELACION VALOR2º DMAX/D00º 137%2º DMAX/D90º 129%3º DMAX/D00º 136%3º DMAX/D90º 126%4º DMAX/D00º 135%4º DMAX/D90º 124%5º DMAX/D00º 133%5º DMAX/D90º 123%6º DMAX/D00º 132%6º DMAX/D90º 121%7º DMAX/D00º 131%7º DMAX/D90º 121%
RELACIÓN DMAX/(D0º O D90º)BLOQUE II EXT. 14
PISO Nº DESP.2º NIVEL. 120 300 0.006963º NIVEL. 120 300 0.017074º NIVEL. 110 290 0.026785º NIVEL. 110 290 0.035686º NIVEL. 100 280 0.043177º NIVEL. 100 280 0.04779
MAXIMOS BLOQUE II EXT. 21DIRECCIONES
PISO Nº DESP.2º NIVEL 40 220 0.005073º NIVEL 40 220 0.013214º NIVEL 40 220 0.021875º NIVEL 40 220 0.030476º NIVEL 40 220 0.038307º NIVEL 150 330 0.04239
MINIMOS BLOQUE II EXT. 21DIRECCIONES
Extremo 14
En este extremo su configuración de desplazamientos es similar al
extremo 1, presenta sus máximos desplazamientos a la dirección de los
310º y 130º ,y sus menores desplazamientos a los 220º y 40º se puede
apreciar que estos desplazamientos máximo y mínimo son ortogonales
para este extremo, otro parámetro de comparación es la relación entre el
desplazamiento máximo y las direcciones principales 0º y 90º, el cuadro
siguiente muestra esta relación del cual podemos observar que los
desplazamientos máximos para todos los niveles esta en el orden del
21% al 37% mas que los desplazamientos máximos en las direcciones
principales.
Extremo 21
Este extremo tiene una configuración de desplazamientos máximos muy
similar al extremo Nº 09, a continuación se presenta unos cuadros que
nos indica a que dirección ocurren los máximos y mínimos
desplazamientos.
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NIVEL RELACION VALOR2º DMAX/D00º 114%2º DMAX/D90º 108%3º DMAX/D00º 112%3º DMAX/D90º 106%4º DMAX/D00º 110%4º DMAX/D90º 104%5º DMAX/D00º 108%5º DMAX/D90º 103%6º DMAX/D00º 107%6º DMAX/D90º 101%7º DMAX/D00º 106%7º DMAX/D90º 101%
BLOQUE II EXT. 21RELACIÓN DMAX/(D0º O D90º)
La relación entre los desplazamientos máximos y los desplazamientos
máximos en la dirección principal (0º y 90º) son mayores en un rango
que va de 0% a 14% más q ue en las direcciones principales, como se
muestra en el cuadro adjunto.
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4.3. COMPROBACIÓN O RECHAZO DE LA HIPOTESIS.
HIPOTESIS Nº 01
La hipótesis nº 01 ha sido comprobada ya que en el bloque
estructural Nº II los desplazamientos máximos, no ocurren por
fuerzas sísmicas en las direcciones principales X y Y (0º y 90º).
HIPOTESIS Nº 02
La hipótesis Nº 02 ha sido comprobada ya que en todos los
casos el periodo fundamental de la estructura aislada es mayor
al de la estructura convencional, además los desplazamientos
relativos obtenidos en el sistema con aislamiento de base son
menores que en el de base fija lo que nos indica que una
estructura con aislamiento de base es menos vulnerable que una
estructura convencional.
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5. CAPITULO V
5.1. CONCLUSIONES
5.1.1 CONCLUSIONES HIPOTESIS Nº 01
• La hipótesis Nº 01 ha sido demostrada ya que no siempre
los máximos desplazamientos producidos por los sismos
ocurren a una entrada de 0º y 90º (X y Y).
• En bloques con asimetría estructural (Ejemplo Bloque Nº
II) es necesario hacer un análisis a diferentes direcciones
de entrada de sismo, por que la asimetría estructural de
un edificio modifica el buen comportamiento de este.
• En el bloque estructural Nº II los desplazamientos
máximos producidos fueron causadas por fuerzas
sísmicas que no fueron aplicadas en las direcciones
principales, esto se explica por que en este bloque existen
placas en el ascensor las cuales modificaron el
comportamiento de este bloque.
• En los bloques con simetría estructural y con la
configuración de columnas dadas como en los bloques I,
III, IV, V y VI, los desplazamientos máximos ocurrieron
por fuerzas sísmicas aplicadas en las direcciones
principales.
5.1.2 CONCLUSIONES HIPOTESIS Nº 02
• La hipótesis Nº 02 ha sido demostrada.
• Los periodos obtenidos para el sistema con aislamiento de
base han sido cercanos a los deseados (2.5 Segundos).
• En todos los bloques estructurales los periodos con
aislamiento de base han sido mayores a los periodos del
sistema de base fija.
• Las aceleraciones relativas del sistema aislado fueron
menores que en el sistema de base fija esto se cumplió
en todos los bloques.
• Los desplazamientos relativos de entrepiso en el sistema
aislado han sido menores que en el sistema de base fija
esto se cumplió en todos los bloques estructurales.
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• Las aceleraciones acumuladas Vs tiempo en el sistema de
base fija es mayor que un sistema con aislamiento de
base.
5.2. RECOMENDACIONES.
• Para hacer un trabajo de investigación como lo es una
tesis es necesario identificar los parámetros directos e
indirectos que influyen en esta.
• Es necesario seguir haciendo este tipo de trabajos ya que
con más investigación nuestro país y región avanzaran.
• Se recomienda hacer pruebas a escala para verificar estas
hipótesis.
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6. CAPITULO VI
6.1. BIBLIOGRAFIA.
• Normas Peruanas de diseño de Estructuras Instituto de la
Construcción y Gerencia. FONDO EDITORIAL ICG.
• Diseño sísmico de edificios – Bazán/Meli. LIMUSA Noriega
Editores.
• Tesis PROYECTO A NIVEL DE EJECUCION “ Edificio
Policlínico de la UNC”. Octavio Benavides Oblitas, Simon
Ramos Lulaico, Vicente Manuel Tavera Burgos.
• ANALISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS Javier Piqué del Pozo,
Hugo Scaletti Farina. Edición Capitulo de Ingeniería Civil.
• Normas Americanas de Aislamiento Sísmico por la Base.
• Norma Chilena 2547c 2002.
• DESING OF SEISMIC ISOLATED ESTRUCTURES From
theory to practice. Farzad Naeim, James M. Nelly./ JOHN
WILEY & SONS, INC.
• DISEÑO SISMO RESISTENTE DE EDIFICIOS Técnicas
convencionales y avanzadas. Luis M. Bozzo. Alex H.
Barbat/ REVERTÉ, S.A.