Agrupación Astronómica de Madrid Curso de Física …. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Las funciones...
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Agrupación Astronómica de Madrid
Curso de Física Básica
Apuntes Matemáticas IV
Trigonometría
I. ÁNGULOS Y SUS UNIDADES
Un ángulo es una manera de medir el espacio comprendido entre dos rectas que
se cortan en un punto. Los ángulos se suelen representar mediante letras griegas,
α, β, γ, · · · o con letras mayúsculas de nuestro alfabeto, A, B, C, · · · En la �gura
se representan dos ejemplos de ángulos más o menos abiertos.
Como toda magnitud física, los ángulos hay que expresarlos en alguna unidad de
medida. Una cosa importante a tener en cuenta es que un ángulo no tiene dimen-
siones. Pero, a pesar de no tener dimensiones, se usan unidades de medida para
diferenciar un ángulo de cualquier otra magnitd física adimensional. Las unidades
más comunes son:
• radianes, rad. Un ángulo α puede estar en el intervalo en radianes 0 ≤ α < 2π.
• grados, ◦. Un ángulo α puede estar en el intervalo en grados 0◦ ≤ α < 360◦.
1
• horas, h. En este caso el intervalo es 0 ≤ α < 24h.
Puesto que un ángulo expresa una magnitud alrededor de un origen (por ejemplo un
cuerpo que gira alrededor de otro), un ángulo nos mide vueltas o fracciones de vuelta
alrededor de ese origen. Todos los ángulos que se diferencian en una vuelta exacta
(360◦, 2π o 24h, según queramos expresar la unidad de medida) son en realidad
el mismo. Por tanto, es convencional de�nir un ángulo siempre en los intervalos
[0◦, 360◦), [0, 2π) ó [0, 24). Para ello, si un ángulo se sale de estos intervalos, es
necesario sumar o restar vueltas enteras tantas veces como sea necesario.
Dado un ángulo en unas unidades de medida, se puede transformar a otra unidad
de medida. Puesto que 360◦ equivalen a 2π rad (ambos representan una vuelta
completa), tenemos las equivalencias
1◦ =2π
360rad =
π
180rad, 1 rad =
360
2π◦ =
180
π◦
Para transformar ángulos en h, tenemos en cuenta que 360◦ equivalen a 24h, por lo
que
1◦ =24
360h =
1
15h, 1 h =
(360
24
)◦ = 15 ◦
En el caso de que midamos un ángulo en ◦ ó en h, hay a su vez dos métodos
equivalentes:
2
• grados (◦) u horas (h) decimales: son ángulos expresados en términos de un
número real con sus decimales.
• ◦ ′ ′′ ó h m s: son números dados por dos números enteros y uno real. Por
ejemplo, podemos tener un ángulo expresado como
23◦ 10′ 34.897′′
que se lee como 23 grados, 10 minutos de arco y 34.897 segundos de arco, ó
4h 35m 10.2s
que se lee 4 horas, 35 minutos y 10.2 segundos. Para cambiar de un formato a
otro, sólo tenemos que saber que 1◦ = 60′ = 3600′′ y que 1h = 60m = 3600s
(el factor 15 para pasar entre ◦ y h se mantiene a nivel de los minutos, ′ y m,
y de los segundos, ′′ y s, de manera que 15′ = 1m y 15′′ = 1s).
Como ejemplo de transformación, consideremos el ángulo 45, 67425◦ y pasémoslo al
formato ◦ ′ ′′. Los grados serán 45◦. Para obtener los minutos, hacemos el siguiente
cálculo:
60(′/◦) . (45, 67425◦ − 45◦) = 60 . 0, 67425′ = 40, 45500′
Los minutos son por tanto 40′. Finalmente, para obtener los segundos de arco,
hacemos:
60(′′/′) . (40, 45500′ − 40′) = 60 . 0, 45500′′ = 27, 3′′
de manera que tenemos:
45, 67425◦ = 45◦ 40′ 27, 3′′
Para transformar a la inversa procedemos como sigue:
45◦ +40′
60(′/◦)+
27, 3′′
3600(′′/◦)= 45◦ + 0, 66667◦ + 0, 00758◦ = 45, 67425◦
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A. El arco de un circunferencia
Sea una circunferencia de radio r. Su perímetro (longitud de su arco completo) es
s = 2πr. ¾Cuál es la longitud s de un arco comprendido por un ángulo α? Una
simple regla de tres conduce a la relación
s = rα (1)
Se puede comprobar que, cuando α = 2π, recuperamos el perímetro de la circunfer-
encia completa. Vemos que la longitud de un arco asociado a un ángulo es igual al
ángulo expresado en radianes multiplicado por el radio de la cincumferencia. Aquí
se ve el hecho de que un ángulo no puede tener dimensiones: la expresión s = rα es
dimensionalmente correcta sólo si α no tiene dimensiones (ya que tanto s como r
son distancias). Otra consecuencia de esta relación entre longitud de arco y ángulo
en radianes es que un radian es aquel ángulo para el cual la longitud de su arco es
igual al radio de la circunferencia.
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II. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Las funciones trigonométricas surgen originalmente a partir de la relación entre las
diversas partes de un triángulo rectángulo. Sea el triángulo de la �gura, donde los
lados a y b son los catetos, y el lado c es la hipotenusa. α es el ángulo inscrito entre
los lados a y c. Se de�nen las siguientes dos cantidades:
• seno:
sinα =b
c→ b = c sinα
• coseno:
cosα =a
c→ a = c cosα
Como cantidad derivada de estas dos, de�nimos además:
• tangente:
tanα =sinα
cosα=
b
a→ b = a tanα
Es además costumbre utilizar las siguientes funciones adicionales, aunque son mucho
menos importantes:
• cosecante:
cosecα =1
sinα=
c
b
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• secante:
secα =1
cosα=
c
a
• cotangente:
cotanα =1
tanα=
a
b
A. Ángulos particulares
Es instructivo obtener los valores de las funciones trigonométricas para ciertos án-
gulos particulares. Estos se obtienen sin más que discutir los valores de los lados a,
b y c del triángulo rectángulo cuando �jamos el valor del ángulo.
• 0◦. Del triángulo anterior vemos que, cuando hacemos tender α a cero, la
cantidad b decrece hasta cero también, mientras que a y c tienden a hacerse
iguales. Esto indica que
sin 0◦ = 0, cos 0◦ = 1, tan 0◦ = 0
• 90◦. Este caso hace que a se torne cero comparado con b y c, que tienden a
hacerse iguales. Estonces:
sin 90◦ = 1, cos 90◦ = 0, tan 90◦ → +∞
• 45◦. Ahora a = b, ya que los dos catetos se hacen iguales. Aplicando el teorema
de Pitágoras, c =√a2 + b2 = a
√2 = b
√2, con lo cual
sin 45◦ =b
b√2=
1√2=
√2
2, cos 45◦ =
a
a√2=
1√2=
√2
2, tan 45◦ = 1
• 60◦. En este caso podemos partir de un triángulo equilatero dividido por una
bisectriz (ver la �gura de abajo). Como los ángulos internos de un triángulo
equilatero son iguales a 60◦, surgen entonces dos triángulos rectángulos idén-
ticos, con ángulos de 30◦, 60◦ y 90◦. La hipotenusa c de estos triángulos
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rectángulos se relaciona con su cateto menor, b = c/2, pues los lados del trián-
gulo equilatero inicial son iguales. Tenemos entonces, aplicando el teorema de
Pitágoras, que
a =√
c2 − b2 =√c2 − (c/2)2 =
c√3
2
y
sin 60◦ =a
c=
√3
2, cos 60◦ =
b
c=
1
2, tan 60◦ =
√3
• 30◦. Procediendo como en el caso anterior, pero �jándonos en el ángulo de 30◦,
llegamos a que
sin 30◦ =b
c=
c/2
c=
1
2, cos 30◦ =
a
c=
√3
2, tan 30◦ =
1√3
B. Generalización
Podemos hacer otra construcción que permite generalizar los valores de los ángulos
más allá de 90◦ y dar signi�cado a los valores de las funciones trigonométricas
para estos ángulos. Dibujemos dos ejes, x e y, formados por dos rectas reales
mutuamente perpendiculares con origen común, O, y tal que el eje x mide distancias
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positivas hacia la derecha, y el eje y mide distancias positivas hacia arriba. Además,
dibujemos un círculo de radio r = 1 con origen en O. Los ejes dividen el círculo en
cuatro regiones o cuadrantes, señalados en el dibujo y numerados de 1 a 4.
Consideremos un punto sobre la circunferencia de ese círculo, indicado en el dibujo.
Hemos trazado en azul el radio que separa el origen de este punto, y que de�ne al
punto en términos del ángulo α que forma este radio con el eje x. En rojo hemos
indicado también las proyecciones perpendiculares del punto sobre cada uno de
los ejes. Pues bien, las funciones trigonométricas del ángulo α no son más que
las longitudes desde el origen O de esas proyecciones, sobre el eje x (el cosα) y
el eje y (el sinα). Si lo pensamos en términos del anterior esquema basado en un
triángulo rectángulo, estas nuevas de�niciones tienen perfecto sentido. Al estar
ambas proyecciones sobre los respectivos semiejes positivos de cada eje, concluimos
que las funciones trigonométricas de un ángulo situado en el primer cuadrante, con
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0◦ ≤ α < 90◦, son ambas positivas.
Pero, además, el nuevo esquema nos permite de�nir de manera natural las
funciones trigonométricas de ángulos más allá de 90◦. En la siguiente �gura se
consideran ángulos situados en diferentes cuadrantes. Por ejemplo, si el ángulo
está en el segundo cuadrante, vemos que la proyección del punto correspondiente
sobre el eje y (su función seno) sigue siendo positiva, pero la proyección sobre el
eje x es negativa, con lo que el coseno de ese ángulo es negativo. Si realizamos la
construcción en los cuatro cuadrantes llegamos a la combinación de signos indicada
en la �gura.
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Tenemos pues:
• α en primer cuadrante, 0◦ ≤ α ≤ 90◦ ó 0 ≤ α ≤ π2 ó 0h ≤ α ≤ 6h
0 ≤ cosα ≤ 1, 0 ≤ sinα ≤ 1
• α en segundo cuadrante, 90◦ ≤ α ≤ 180◦ ó π2 ≤ α ≤ π ó 6h ≤ α ≤ 12h
−1 ≤ cosα ≤ 0, 0 ≤ sinα ≤ 1
• α en tercer cuadrante, 180◦ ≤ α ≤ 270◦ ó π ≤ α ≤ 3π2 ó 12h ≤ α ≤ 18h
−1 ≤ cosα ≤ 0, −1 ≤ sinα ≤ 0
• α en cuarto cuadrante, 270◦ ≤ α ≤ 360◦ ó 3π2 ≤ α ≤ 2π ó 18h ≤ α ≤ 24h
0 ≤ cosα ≤ 1, −1 ≤ sinα ≤ 0
Se puede concluir que, globalmente, las funciones trigonométricas seno y coseno
tienen siempre valores en el intervalo [−1, 1].
Con respecto a la función tangente la situación es un poco más delicada. Como
tanα = sinα/ cosα, y el seno no es cero cuando el coseno lo es, vamos a tener una
indeterminación en los ángulos α = 90◦ (ó π/2) y 270◦ (ó 3π/2). Se puede ver que,
si nos aproximamos a α = 90◦ desde valores más pequeños (es decir, desde el primer
cuadrante), sinα tiende a ser 1 desde valores positivos, mientras que cosα tiende
a ser 0 también desde valores positivos; por tanto, tanα tiende a +∞ (escribimos
tanα → +∞). Pero, si nos aproximamos a α = 90◦ desde el segundo cuadrante
(a base de disminuir α), sinα nuevamente tiende a ser 1 desde valores positivos,
pero cosα tiende a ser 0 desde valores negativos. Tenemos pues que tanα → −∞
(estas son las sutilezas de las matemáticas...) La función tangente tiene una seria
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patología en α = 90◦ porque, no sólo carece de un valor �nito, sino que además
su signo es distinto según cómo nos aproximemos a ese ángulo. Lo mismo pasa en
α = 270◦, ya que tanα → +∞ cuando nos acercamos desde el tercer cuadrante
(tanto seno como coseno son negativos), pero tanα → −∞ cuando nos acercamos
desde el cuarto cuadrante (donde el coseno es positivo pero el seno es negativo).
Los valores posibles de la función tanα están en el intervalo (−∞,∞).
C. Cálculo numérico de las funciones trigonométricas
Los valores de las funciones trigonométricas básicas, seno, coseno y tangente, se
obtienen cómodamente con cualquier calculadora. Sólo hay que tener cuidado con
expresar los ángulos en las unidades de�nidas por la calculadora en ese momento
(grados o radianes, unidades que se pueden cambiar en la calculadora en cualquier
momento).
Como resultado importante que podemos comprobar con una calculadora, citamos
una aproximación muy útil para las funciones trigonométricas, válida para ángulos
pequeños. Ya hemos visto que, si α = 0◦, entonces sinα = 0 y cosα = 1. ¾Qué
pasa si el ángulo no es cero pero pequeño? La función seno arranca desde cero
cuando α aumenta desde cero, mientras que la función coseno disminuye (ver la
�gura anterior). Entonces, con el mismo orden de aproximación, se puede demostrar
que
sinα ≃ α, cosα ≃ 1, tanα =sinα
cosα≃ α (2)
Es importante hacer notar que el ángulo α en los segundos miembros hay que expre-
sarlo en radianes; si lo queremos pasar a otra unidad angular, deberemos multiplicar
por el factor apropiado. Por ejemplo, veamos cómo funciona esta aproximación para
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α = 1◦ = 0, 017453293 rad. Tenemos:
sin 1◦ = 0, 017452406, cos 1◦ = 0, 999847695, tan 1◦ = 0, 017455065
Comparando con el valor de α en radianes, vemos que estamos cometiendo un error
que no supera el 0.01%. Este error va aumentando a medida que α se aparta de 1◦,
y disminuyendo a medida que α se acerca a 0◦.
D. Propiedades del ángulo suma y resta
Dos ángulos se pueden sumar y restar (ver �gura). El seno y el coseno de estos
ángulos suma y resta se puede poner como productos y sumas de los correspondientes
senos y cosenos de los ángulos individuales, de acuerdo con las siguientes fórmulas:
sin (α± β) = sinα cos β ± cosα sin β
cos (α± β) = cosα cos β ∓ sinα sin β, (3)
donde α y β son dos ángulos cualesquiera. De acuerdo con estas expresiones, pode-
mos relacionar las funciones trigonométricas de los llamados ángulos complemen-
tarios: dos ángulos α y β se dicen complementarios cuando cumplen la relación
α+ β = 90◦. Entonces, α = 90◦ − β, y:
sinα = sin (90◦ − β) = sin 90◦ cos β − cos 90◦ sin β = cos β
cosα = cos (90◦ − β) = cos 90◦ cos β + sin 90◦ sin β = sin β.
Es decir, los cosenos y los senos de los ángulos complementarios se intercambian.
Aunque ya lo hemos deducido indirectamente a partir del comportamiento de las
funciones trigonométricas en los distintos cuadrantes, podemos también ver cómo
se comportan las funciones cuando el signo del ángulo cambia (pasa de positivo a
negativo o viceversa). A partir de las fórmulas (3), y haciendo α = 0 (con lo que
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sinα = 0, cosα = 1), tenemos:
sin (±β) = ± sin β, cos (±β) = cos β. (4)
Por lo tanto, el seno cambia de signo cuando el ángulo cambia de signo, pero el
coseno se mantiene igual.
E. Funciones trigonométricas inversas
Muy a menudo tenemos que obtener un ángulo α a partir del conocimiento del
valor de una función trigonométrica. Tal cosa no se puede hacer de manera única.
Por ejemplo, imaginemos que sabemos que el valor del coseno de un ángulo α
es cosα = 0, 3491. Al ser el coseno positivo, el ángulo ha de estar en el primer
o en el cuarto cuadrante. Pero, al no tener más información, no podemos dis-
criminar entre los dos valores posibles. En este caso los ángulos posibles serían,
uno α = 69, 6◦, y el otro 360◦ − 69, 57◦ = 290, 43◦ (podemos comprobar que el
coseno de ambos ángulos es igual a 0, 3491). La otra información que necesitamos
sobre el ángulo es, o bien su cuadrante, o bien el valor de su seno (o su signo),
ya que el cuadrante y el signo del seno son distintos para cada uno de los dos
ángulos posibles. En este ejemplo, si nos dijeran que el seno es negativo, entonces
sabríamos con seguridad que el ángulo se encuentra en el cuarto cuadrante,
o sea, el ángulo correcto sería 290, 43◦. Para un ángulo con coseno negativo,
cosα < 0, la incertidumbre aparece nuevamente entre los ángulos α y 360◦ − α
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(que están en el segundo y tercer cuadrantes, respectivamente), ya que ambos
tienen el mismo valor de cosα (no tenemos más que aplicar las fórmulas (3) y
ver que es así), y nuevamente el signo (o valor) del seno nos saca de la incertidumbre.
En caso de que nos den el valor del seno de un ángulo, sinα, vamos a tener
una indeterminación entre los ángulos α y 180◦ − α (en el primer y segundo
cuadrantes si el seno es positivo, o en el tercer y cuarto cuadrantes, si el seno es
negativo), ya que ambos tienen el mismo valor de sinα (no tenemos más que aplicar
las fórmulas (3) y ver que es así). Es el valor o el signo de cosα (que discrimina
entre primer y segundo cuadrantes, o entre el tercer y cuarto cuadrantes) lo que
nos saca de dudas, ya que ambos ángulos tienen distinto signo de su coseno.
A las funciones trigonométricas inversas se les dan nombres especiales. Así,
si nos dicen que x = sinα, entonces α = arcsin x (que se lee `arcoseno de x', o sea,
α es el ángulo cuyo seno es x). Como ya hemos dicho, esta función inversa tiene la
incertidumbre de que corresponde a dos ángulos posibles. Si x = cosα, entonces
α = arccos x (que se lee `arcocoseno de x', o sea, α es el ángulo cuyo coseno es
x). Esta función inversa también tiene la misma incertidumbre. Finalmente, si
x = tanα, entonces α = arctan x (que se lee `arcotangente de x', o sea, α es el
ángulo cuya tangente es x). En este caso la función inversa también tiene una
incertidumbre, ya que tanto α como α+180◦ son ángulos válidos con el mismo valor
de la tangente, y necesitamos o bien el signo del seno o del coseno para averiguar el
ángulo con total certidumbre.
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III. ALGUNOS EJEMPLOS DEL USO DE ÁNGULOS
A. Eratóstenes
El astronómo griego Eratóstenes midió el radio de la Tierra hacia el siglo II a.e.
haciendo la suposición razonable de que el Sol se encuentra muy lejos, de manera
que sus rayos son paralelos cuando llegan a la Tierra. Sabía que en Siena, que se
encuentra cerca del Trópico de Cáncer, el Sol alcanzaba el cénit en el solsticio de
verano y por tanto iluminaba el interior de los pozos a mediodía. Suponiendo además
que Siena y Alejandría tenían la misma longitud, midió el ángulo que proyectaban
las sombras en Alejandría el día del solsticio, obteniendo α = 7, 2◦ (ver �gura).
Aunque no está claro cómo midió la distancia del arco entre ambas ciudades, obtuvo
el equivalente a 924 km (no los 843 km reales). Por tanto, aplicando la ecuación (1),
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obtuvo para el radio terrestre:
r =s
α (rad)=
924 km
7.2◦ × π180 (rad/
◦)= 7353 km
Aunque las suposiciones de Eratóstenes no son completamente correctas, es increíble
como pudo tener el ingenio de llegar a un valor tan cercano al real (6370 km).
B. La paralaje
La paralaje es el ángulo bajo el cual se ve una cierta longitud desde un cierto obser-
vador. Damos dos ejemplos en astronomía. Uno es la llamada paralaje diurna de la
Luna, que se puede de�nir de manera genérica como el ángulo bajo el cual se vería
el radio de la Tierra desde el centro de la Luna. La palabra diurna hace referencia
a la Tierra, ya que, como veremos en otro tema, la paralaje diurna permite calcular
la dirección en la que se ve la Luna para un cierto observador terrestre sabiendo en
qué dirección se vería desde el centro de la Tierra. Su de�nición geométrica aparece
en la �gura.
De la �gura se puede de�nir un triángulo rectángulo, con uno de los catetos igual al
radio de la Tierra R y el otro igual a la distancia geocéntrica de la Luna d. Se in-
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dica también el ángulo de paralaje p. De la de�nición de tangente podemos escribir
directamente
tan p =R
d, d =
R
tan p. (5)
Por tanto, sabiendo p y el radio de la Tierra, podemos calcular la distancia d. Es
costumbre expresar la distancia Tierra-Luna en unidades del radio ecuatorial de la
Tierra, R = 6371 km. Por tanto,
d =1
tan p(radios ecuatoriales de la Tierra)
La paralaje diurna de la Luna ronda el medio grado, 0, 5◦. En radianes, esta cantidad
es 0, 5 . π/180 = 0, 0087 rad. Por lo tanto, es lícito sustituir tan p por p expresado
en radianes, de acuerdo con (2); el error porcentual es
100× tan p− p
p,
que, para p = 0, 5◦, ronda el 0, 003%. Finalmente, pasando los radianes a minutos
de arco con p(rad) = p(′)× π180 ×
160 = 0, 00029p(′),
d =1
0, 00029p(′)=
3437, 7
p(′)(radios ecuatoriales de la Tierra)
Otra paralaje interesante es la llamada paralaje estelar, que se re�ere a las estrellas.
En este caso el radio con el que se compara la distancia al astro es el radio de la
órbita terrestre (ver �gura de abajo). Se veri�ca la misma relación (5), donde ahora
d es la distancia del Sol a la estrella y R es el radio de la órbita de la Tierra. En este
caso la aproximación tan p ≃ p es todavía más correcta que en el caso de la Luna, ya
que p, incluso para las estrellas más cercanas, es una pequeña fracción de segundo
de arco. Expresando p en ′′, teniendo en cuenta que p(rad) = p(′′) × π180 ×
13600 =
4, 848 . 10−6 p(′′), y poniendo R = 1 UA, tenemos:
d =1
4, 848 . 10−6 p(′′)=
206264, 8
p(′′)(UA)
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Es costumbre de�nir una nueva unidad de distancia, el parsec, como 1 pc= 206264, 8
UA = 3, 26 años-luz. Si expresamos d en parsec, la fórmula es:
d =1
p(′′)(pc)
El parsec es la distancia a la que la paralaje es igual a 1′′. Por tanto, sabiendo la
paralaje de una estrella en ′′, obtenemos la distancia en pc calculando el inverso
de la paralaje. Por ejemplo, la paralaje de Capella, α Aur, es de p = 76.20 msa
(milisegundos de arco), o sea, 0, 07620′′. En consecuencia su distancia al Sol en pc
es d = 1/0, 07620 = 13, 12 pc.
C. Azimut en el orto y el ocaso
Como ejemplo adicional en astronomía, consideremos el cálculo aproximado del
azimut del Sol a lo largo del año. En la �gura de abajo se representa un horizonte
típico de latitudes medias del hemisferio boreal terrestre, con el ecuador y el punto
cardinal W, y la situación del Sol en el momento de su ocaso. Suponemos que la
declinacíon del Sol, δ, es negativa, pero los mismos argumentos utilizados en lo
que sigue son válidos en otros momentos del año. En la �gura se puede de�nir
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un triángulo rectángulo de�nido por: una hipotenusa, que es el arco de ecuador
comprendido entre el meridiano celeste del Sol (en línea azul discontinua) y el
meridiano celeste que pasa por el W; un cateto, que es igual a la declinación; y otro
cateto, que es el azimut A del ocaso solar medido desde el W hacia el S. El ángulo
interno del ecuador en el horizonte es igual a 90◦ − φ, siendo φ la latitud del lugar.
En realidad el cálculo que vamos a hacer, basado en la trigonometría plana que
estamos estudiando, es sólo aproximado, ya que el triángulo rectángulo que hemos
de�nido es un triángulo esférico y, sólo en el límite en que un triángulo esférico es
pequeño, la trigonometría plana es una aproximación aceptable. Aquí la desviación
de la realidad asociada a esta aproximación es grande salvo cerca de los equinoccios,
pero sirve a efectos ilustrativos y de hecho, como veremos, es cuantitativamente
razonable.
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Según el dibujo, tenemos la relación
δ = A sin (90◦ − φ) = A cosφ
donde A y δ pueden expresarse en grados o en radianes. Despejando el azimut A:
A =δ
cosφ. (6)
Como, en Madrid, φ = 40◦, tenemos cosφ = 0, 766, y
A =δ
0, 766= 1, 305δ.
Puesto que δ varía entre −23.5◦ en el solsticio de invierno, pasando por 0◦ en el
equinoccio de otoño, y +23.5◦ en el solsticio de verano, el azimut A varía entre
−1, 305 . 23.5 = 30, 7◦ (azimut hacia el S desde el W) en el solsticio de invierno
y +1, 305 . 23.5 = 30, 7◦ (azimut hacia el N desde el W) en el solsticio de verano.
La situación es idéntica en el punto cardinal E a la hora del orto. En realidad, la
fórmula exacta, obtenida de la trigonometría esférica, es
sinA =sin δ
cosφ.
(obsérvese que la fórmula (6) de la trigonometría plana se obtiene de la exacta a
base de suponer que tanto A como δ son ángulos pequeños, de manera que se puede
aproximar el seno por el ángulo). Metiendo números tenemos, para δ = +23.5◦,
sinA = 0, 5205, de donde A = 31, 4◦; el error cometido por la trigonometría plana
es menor que 1◦, lo cual no está nada mal. En otros momentos del año hay que
esperar que el error sea menor, ya que el triángulo esférico implicado es mas pequeño
que en los solsticios.
D. Elongación
Se llama elongación al ángulo en el cielo entre dos astros 1 y 2. La elongación
se puede calcular si conocemos las coordenadas ecuatoriales (ascensión recta α y
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declinación δ) de los astros, digamos α1, δ1 y α2, δ2. La expresión para la elongación
ϵ (obtenida de la trigonometría esférica) es:
cos ϵ = sin δ1 sin δ2 + cos δ1 cos δ2 cos (α2 − α1) (7)
La elongación entre dos astros nunca puede ser mayor que 180◦ (si los astros estu-
vieran diametralmente opuestos en la esfera celeste su elongación sería exactamente
de 180◦). Esto es una ventaja, ya que entre 0◦ y 180◦ la función coseno sólo tiene
un único valor posible, no existiendo ninguna incertidumbre (ϵ está o bien en el
primer cuadrante o bien en el segundo; recordemos que, para el coseno, la incer-
tidumbre ocurre entre el primero y el cuarto cuadrantes, o entre el segundo y el
tercer cuadrantes). Podemos pues hacer
ϵ = arccos (sin δ1 sin δ2 + cos δ1 cos δ2 cos (α2 − α1))
Aquí, salvo que los astros se encuentren a muy poca distancia angular, no se puede
hacer la aproximación de ángulos pequeños.
Por ejemplo, las coordenadas del Sol el 1 de abril de 2017 a las 18:20 UT
son
αS = 0h 44m 54, 3s, δS = +4◦ 49′ 24′′
y las del planeta Marte, en el mismo instante, son:
αM = 2h 54m 38, 2s, δM = +17◦ 04′ 09′′
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Entonces:
sinαS = 0, 19468, cosαS = 0, 98087,
sin δS = 0, 08408, cos δS = 0, 99646,
sinαM = 0, 69036, cosαM = 0, 72346,
sin δM = 0, 29353, cos δM = 0, 95595,
cos (αS − αM) = 0, 84402.
Metiendo los datos en (7), obtenemos cos ϵ = 0, 82867 y, tomando el arcocoseno,
ϵ = arccos(0, 82867) = 0, 59408 rad = 34, 0◦.
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