Agente PF 2009

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RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO

PROFESSOR JOSIMAR PADILHA

PROVA COMENTADA: POLÍCIA FEDERAL/2009

CARGO: AGENTE

BANCA: CESPE/UnB

De acordo com o jornal espanhol El País, em 2009 o contrabando de armas disparou nos países da América Latina, tendo crescido 16% nos últimos 12 anos. O crime é apontado como o principal problema desses países, provocando uma grande quantidade de mortes. O índice de homicídios por 100.000 habitantes na América Latina é alarmante, sendo, por exemplo, 28 no Brasil, 45 em El Salvador, 65 na Colômbia, 50 na Guatemala.

Internet: <www.noticias.uol.com.br>.

Tendo como referência as informações apresentados no texto acima, julgue o item que se segue:

01 - Se, em cada grupo de 100.000 habitantes da Europa, a probabilidade de que um cidadão desse grupo seja assassinado é 30 vezes menor que essa mesma probabilidade para habitantes de El Salvador ou da Guatemala, então, em cada 100.000 habitantes da Europa, a probabilidade referida é inferior a10-5

Comentário:

De acordo como texto temos que o índice de homicídios por 100.000 habitantes na América Latina é alarmante, sendo, por exemplo, 28 no Brasil, 45 em El Salvador, 65 na Colômbia, 50 na Guatemala.

Representando a probabilidade de homicídios por 100.000 habitantes nos países/continente pelas respectivas letras: Brasil(B); El Salvador (EL); Guatemala (GU); Colômbia (CO) e Europa(EU). Podemos representar a afirmativa: “em cada grupo de 100.000 habitantes da Europa, a probabilidade de que um cidadão desse grupo seja assassinado é 30 vezes menor que essa mesma probabilidade para habitantes de El Salvador ou da Guatemala” por:

𝐸𝑈

30< 𝐸𝐿 + 𝐺𝑈

𝐸𝑈

30< 45 + 50

𝐸𝑈 < 30 × 95

𝐸𝑈 < 2850, lembrando que 2850 é dividido por 100.000.

𝐸𝑈 < 2,85−4

Logo o item afirma que em cada 100.000 habitantes da Europa, a probabilidade referida é inferior a10-5. . Está errado uma vez que 2,85−4 não é inferior a 10-5. (Assunto – probabilidade).

Item errado.

Observar que o termo “ou”

significa uma soma.

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A Polícia Federal brasileira identificou pelo menos 17 cidades de fronteira como locais de entrada ilegal de armas; 6 dessas cidades estão na fronteira do Mato Grosso do Sul (MS) com o Paraguai.

Internet: <www.estadao.com.br> (com adaptações).

Considerando as informações do texto acima, julgue o próximo item.

02 - Se uma organização criminosa escolher 6 das 17 cidades citadas no texto, com exceção daquelas da fronteira do MS com o Paraguai, para a entrada ilegal de armas no Brasil, então essa organização terá mais de 500 maneiras diferentes de fazer essa escolha.

Comentário:

No item acima temos que uma organização criminosa escolhe seis das dezessete cidades, ou seja, temos onze possibilidades para agrupar as seis cidades.

Pelo princípio multiplicativo: 11

6×

10

5×

9

4×

8

3×

7

2×

6

1= 462

Trata-se de uma questão de combinação, logo podemos utilizar a fórmula

𝐶𝑛,𝑝=

𝑛!(𝑛−𝑝)!𝑝!

𝐶11,6=

11!(11−6)!6!

É comum não utilizar todos os elementos para construção de novos grupos, uma vez que, se

forem utilizados todos os elementos, obteremos apenas um grupo.

“A ORDEM DOS ELEMENTOS NÃO ALTERA A NATUREZA”.

Assunto (Análise combinatória- combinação)

Item errado.

Uma proposição é uma declaração que pode ser julgada como verdadeira — V —, ou falsa — F —, mas não como V e F simultaneamente. As proposições são, frequentemente, simbolizadas por letras maiúsculas: A, B, C, D etc.

As proposições compostas são expressões construídas a partir de outras proposições, usando-se símbolos lógicos, como nos casos a seguir.

AB, lida como “se A, então B”, tem valor lógico F quando A for V e B for F; nos demais casos, será V;

AVB, lida como “A ou B”, tem valor lógico F quando A e B forem F; nos demais casos, será V;





AB, lida como “A e B”, tem valor lógico V quando A e B forem V; nos demais casos, será F;

¬ A é a negação de A: tem valor lógico F quando A for V, e V, quando A for F.

Uma sequência de proposições A¹, A², ..., Ak é uma dedução correta se a última proposição, Ak , denominada conclusão, é uma consequência das anteriores, consideradas V e denominadas premissas.

Duas proposições são equivalentes quando têm os mesmos valores lógicos para todos os possíveis valores lógicos das proposições que as compõem.

A regra da contradição estabelece que, se, ao supor verdadeira uma proposição P, for obtido que a proposição P (¬P) é verdadeira, então P não pode ser verdadeira; P tem de ser falsa.

A partir dessas informações, julgue os itens os itens subsequentes.

03- Considere as proposições A, B e C a seguir.

A: Se Jane é policial federal ou procuradora de justiça, então Jane foi aprovada em concurso público.

B: Jane foi aprovada em concurso público.

C: Jane é policial federal ou procuradora de justiça.

Nesse caso, se A e B forem V, então C também será V.

Comentário: Representando as proposições com seus respectivos operadores lógicos temos:

Premissa A: [(Jane é policial federal) v (Jane é procuradora de justiça)] [(Jane é aprovada em concurso)] = V

Premissa B: [(Jane foi aprovada em concurso)] = V

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Conclusão C: [(Jane é policial federal) v (Jane é procuradora de justiça)]

V V/F

V

V/F





Valorando as premissas com verdadeiro conforme a estrutura acima aplicaremos as tabelas verdade. Desta forma verifica-se que a verdade das proposições A e B não garante a verdade da proposição C. (Assunto: Estruturas lógicas – Lógica de primeira ordem).

Item errado.

04 - As proposições “Se o delegado não prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra não será bem-sucedida” e “Se o delegado prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra será bem-sucedida” são equivalentes.

Comentário:

Representando as proposições temos:

A: O delegado prender o chefe da quadrilha;

B: A operação agarra será bem-sucedida;

Representando a proposição: “Se o delegado não prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra não será bem-sucedida”, temos ¬ A → ¬ B.

Representando a proposição: “Se o delegado prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra será bem-sucedida”, A → B.

Para verificar se a proposições são equivalentes é necessário que suas tabelas verdade produzam os mesmos resultados.

A B ¬ A ¬ B. A B ¬ A ¬ B

V V F F V V

V F F V F V

F V V F V F

F F V V V V

Os resultados não são iguais, logo, as proposições não são equivalentes. (Assunto: Lógica de primeira ordem- Estruturas Lógicas- equivalências lógicas)

Item errado.





05 - Considere que um delegado, quando foi interrogar Carlos e José, já sabia que, na quadrilha à qual estes pertenciam, os comparsas ou falavam sempre a verdade ou sempre mentiam. Considere, ainda, que, no interrogatório, Carlos disse: José só fala a verdade, e José disse: Carlos e eu somos de tipos opostos. Nesse caso, com base nessas declarações e na regra da contradição, seria correto o delegado concluir que Carlos e José mentiram.

Comentário:

Neste tipo de questão, temos apenas dois tipos de indivíduos, logo aplicaremos o método da

experimentação.

Primeiro atribuiremos a Carlos que ele fale sempre a verdade, então iremos realizar a análise;

se houver alguma contradição, atribuiremos a Carlos que ele sempre fale mentira. Uma das

hipóteses dará certo de acordo com as leis do pensamento. Sendo assim temos:

Comparsa: Carlos (Fala a verdade) Comparsa: José ( Fala verdade)

a) Atribuindo a Carlos: V (verdade) acreditaremos no que ele disser, pois fala verdade. Logo, o

indivíduo Carlos ao falar que Jose fala verdade, teremos que José irá falar verdade também

(V).

Analisando: quando José afirma que ele e Carlos são tipos opostos, o mesmo entra em

contradição, o que não deveria acontecer, pois o mesmo só fala a verdade.

Logo, esta análise está inválida.

Comparsa: Carlos (Fala a mentira) Comparsa: José ( Fala mentira )

b) Atribuindo a Carlos: F (mentira) pegamos o oposto do que ele disse, pois ele sempre mente,

logo José: F (mentira) irá mentir também, e ao mentir disse que Carlos fala verdade, o que é

mentira, pois o José é mentiroso, logo os dois mentem. E assim podemos concluir que os dois

mentem. (Assunto: Lógica de primeira ordem – Princípios Fundamentais da Lógica

Proposicional).

Item certo

06 - Se A for a proposição “Todos os policiais são honestos”, então a proposição ¬A estará enunciada corretamente por “Nenhum policial é honesto”.

Comentário:

As quatro proposições categóricas possíveis, em suas formas típicas, são dadas no quadro

seguinte:





Proposições Afirmativas

Proposições Negativas

Proposições Universais

(A) Todo “A”é “B”.

(E) Nenhum “A” é “B”. Todo “A” não é “B”.

Proposições Particulares

(I) Algum “A” é “B”.

(O) Algum “A” não é “B”.

Entre parênteses estão as vogais que representam a quantificação.

Dizemos que estarão sempre em oposição as Proposições contraditórias cada uma delas é a

negação lógica da outra (A-O e E-I). Duas contraditórias terão sempre valores lógicos

contrários, ou seja, não podem ser ambas verdadeiras nem ambas falsas, pois negam tanto a

quantidade quanto a qualidade. Logo podemos inferir que a negação de “Todos os policiais são

honestos”, será “Algum policial não é honesto”. (Assunto: Lógica sentencial- Negação dos

quantificadores lógicos).

Item errado.

07 - A sequência de proposições a seguir constitui uma dedução correta.

Se Carlos não estudou, então ele fracassou na prova de Física. Se Carlos jogou futebol, então ele não estudou. Carlos não fracassou na prova de Física. Carlos não jogou futebol.

Comentário:

Um argumento será válido ou será uma dedução correta quando a conclusão é consequência obrigatória do seu conjunto de premissas. Sendo as premissas de um argumento verdadeiras, isso implica necessariamente que a conclusão será verdadeira. A validade de um argumento depende tão somente da relação existente entre as premissas e a conclusão.

Argumento é a relação que associa um conjunto de proposições P1, P2, P3, ... Pn, chamadas de premissas (hipóteses), a uma proposição C, chamada de conclusão (tese) do argumento, neste caso dedutivo.

Representando as premissas temos e aplicando as tabelas-verdade teremos:





Premissa 1: Carlos não estudou ele fracassou na prova de Física. = V

Premissa 2: Carlos jogou futebol ele não estudou. = V

Premissa 3: Carlos não fracassou na prova de Física. = V

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Conclusão: Carlos não jogou futebol. – SERÁ VERDADEIRA

Valorando as premissas como verdadeiras verificamos que a conclusão foi verdadeira, logo a dedução é correta. (Assunto: Lógica de Argumentação).

Item correto.

Considerando que, em um torneio de basquete, as 11 equipes inscritas serão divididas nos grupos A e B, e que, para formar o grupo A, serão sorteadas 5 equipes, julgue os itens que se seguem.

08 - A quantidade de maneiras distintas de se escolher as 5 equipes que formarão o grupo A será inferior a 400.

Comentário:

Quando formamos agrupamentos com p elementos (p<m), de forma que os p elementos sejam

distintos entre si apenas pela espécie.

Combinação simples: não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p

elementos.

Cm, p = 𝑚!

(𝑚−𝑝)!𝑝!

Atenção!

Nas questões com termos referentes a equipes, times, diretorias, grupos, comissões, turmas

etc., enfim, termos que indicam ideia de conjunto, teremos grupos nos quais a ordem não

importa, ou seja, se a ordem for modificada, não teremos um novo agrupamento. É comum

F F

F F

V

V





não utilizar todos os elementos para construção de novos grupos, uma vez que, se forem

utilizados todos os elementos, obteremos apenas um grupo. “A ORDEM DOS ELEMENTOS

NÃO ALTERA A NATUREZA”.

Respondendo pela fórmula temos:

C11,5 = 11!

(11−5)!5! =

11×10×9×8×7×6!

6! ×5!= 462

Assunto: Análise combinatória- (Combinação)

Item Errado

09 - Considerando que cada equipe tenha 10 jogadores, entre titulares e reservas, que os uniformes de 4 equipes sejam completamente vermelhos, de 3 sejam completamente azuis e de 4 equipes os uniformes tenham as cores azul e vermelho, então a probabilidade de se escolher aleatoriamente um jogador cujo uniforme seja somente vermelho ou somente azul será inferior a 30%.

Comentário:

A questão considera 11 equipes, com 10 jogadores cada, e afirma que os uniformes de 4

equipes são COMPLETAMENTE vermelhos, de 3 equipes são COMPLETAMENTE azuis e as

outras 4 equipes possuem uniformes com as duas cores. Logo após , a questão afirma que a

probabilidade de se escolher aleatoriamente um jogador cujo uniforme seja SOMENTE azul OU

SOMENTE vermelho será inferior a 30%.

Denotando por P(V) a probabilidade de escolher aleatoriamente um jogador de camisa

SOMENTE vermelha; P(A) a probabilidade de escolher aleatoriamente um jogador de camisa

SOMENTE azul e P(AV) a probabilidade de escolher um jogador com a camisa contendo as duas

cores.

Considerando que os três conjuntos (A, V e AV), e sabendo que não há interseção, a

probabilidade de encontrar um jogador SOMENTE de camisa azul OU SOMENTE de camisa

vermelha será dado por:

P(A) + P(V) - P(A^V),

onde P(A^V) é a probabilidade da interseção dos dois conjuntos, ou seja, a probabilidade de

achar um jogador SOMENTE com a camisa vermelha E SOMENTE com a camisa azul que será

igual a zero.

Logo, P(A) + P(V) - P(A^V) = P(A) + P(V) = 30/110 + 40/110 = 7/11 = 63,63 % > 30% (Assunto:

Probablilidade)

Item errado.


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