1

Analitika geometrija u prostoru

Prava

Ako prava p prolazi takom 1 1 1 1, ,M x y z i ako je paralelna vektoru , ,p l m n , onda su njene jednaine:

Vektorska vednaina: 1 0r r p ;

Kanonska jednaina: 1 1 1x x y y z z

l m n

;

Parametarske jednaine: 1 1 1, ,x x lt y y mt z z nt .

Prava je jednoznano odreena i ako je data kao presjek dvije ravni:

1 1 1 1

2 2 2 2

0

0

A x B y C z D

A x B y C z D

.

Ako je prava p u prostoru odreena dvjema takama 1 1 1 1, ,M x y z i 2 2 2 2, ,M x y z kroz koje prolazi, njena kanonska i parametarske jednaine imaju oblik:

1 1 1

2 1 2 1 2 1

x x y y z z

x x y y z z

,

1 2 1

1 2 1

1 2 1

x x t x x

y y t y y

z z t z z

.

Vektorska jednaina prave koja prolazi takama 1 1 1 1, ,M x y z i 2 2 2 2, ,M x y z glasi:

1 2 1r r t r r .

Ako su prave 1p i 2p date jednainama:

1 1 1

1 1 1

x x y y z z

l m n

i 2 2 2

2 2 2

x x y y z z

l m n

, onda je ugao izmeu tih pravih ,

jednak uglu izmeu vektora 1 1 1 1, ,p l m n i 2 2 2 2, ,p l m n , tj. vrijedi: 1 2

1 2

cosp p

p p

.

Prave 1p i 2p su paralelne, ako i samo ako je 1 1 1

2 2 2

l m n

l m n , a okomite ako i samo ako je

1 2 1 2 1 2 0l l mm n n .

Ako je prava p data vektorskom jednainom 1 0p r r , onda se udaljenost take

2 2 2 2, ,M x y z od prave p rauna prema formuli: 1 2r r p

dp

, gdje je 2r radijus

vektor take 2M .

1. Ako je prava p data kao presjek dvije ravni 2 3 4 0

3 2 5 4 0

x y z

x y z

, napisati njenu

vektorsku, kanonsku i parametarske jednaine.

2

2. Napisati jednaine ivica tetraedra ija su tjemena: 0,0,2 , 4,0,5 , 5,3,0A B C

i 1,4,2D .

3. Nai kosinuse uglova koje prava 1 1

2 1 2

x y z gradi sa koordinatnim osama.

4. Napisati jednaine pravih u kanonskom obliku i nai ugao izmeu njih:

2 7 0 3 2 8 0

2 5 0 3

x y x yi

x z z x

.

5. Napisati jednainu normale na z osu koja prolazi takom 1 2, 1,2M .

6. Kroz taku 1 1, 2,1M povui pravu: a) paralelnu x osi;

b) paralelnu pravoj 2, 3x y .

7. Izvesti potreban uslov da se prave 1 1 1

1 1 1

x x y y z z

l m n

i 2 2 2

2 2 2

x x y y z z

l m n

sijeku.

8. Odrediti n u jednaini prave 1 2 1

1 1

x y z

n

, da bi se sjekla sa pravom

2 3 4

1 2 3

x y z i u tom sluaju nai koordinate presjene take.

9. Odrediti parametre i tako da prava 1 0

2 0

x y z

x y z

lei u ravni 0x y .

10. Odrediti prodor prave 4 2 1

1 2 2

x y z

kroz koordinatne ravni.

11. Napisati kanonsku i parametarske jednaine prave ija vektorska jednaina glasi:

2 3 5 2 4r i j k i j k .

12. Nai rastojanje izmeu dvije paralelne prave: 1

1 1 2

x y z i

1 1

1 1 2

x y z .

13. Nai najkrae rastojanje izmeu pravih: 1 1

1 1 2

x y z i

1 2

1 3 4

x y z .

14. Na pravoj 8 2

8 6 0

x y z

nai taku ije rastojanje od take 8,2,0 iznosi 10 .