ANALISISFUNCIONALUnaintroduccionelementalM.A.RodrguezDepartamentodeFsicaTeoricaIIUniversidadComplutensedeMadrid16denoviembrede2007Indicegeneral1. LaintegraldeLebesgue 11.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.1. Medidas en intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2. Medidas en anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3. Medidas exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.4. Medidas interiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.5. La medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.6. Propiedades de la medida de Lebesgue. . . . . . . . . . . 131.3. Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4. Integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.1. Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.2. La integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.3. La integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4.4. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5. Productos de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302. Topologa,distanciaynorma 332.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2. Espacios topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3. Espacio metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4. Espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423. EspaciosdeBanach 513.1. Espacios normados de dimension nita. . . . . . . . . . . . . . . 513.2. Espacios de sucesioneslp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3. EspaciosLp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574. EspaciosdeHilbert 654.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2. Deniciones y propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.3. Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.4. Polinomios ortogonales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.5. Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77iiiINDICEGENERAL5. OperadoresenespaciosdeHilbert 795.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.2. Operadores acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.3. Funcionales lineales continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.4. Funcionales bilineales hermticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.5. Operadores autoadjuntos y unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . 855.6. Operadores positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.7. Operadores compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.8. Operadores de clase de traza y Hilbert-Schmidt . . . . . . . . . . 935.9. Ecuaciones integrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946. Espectrosdeoperadores 976.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.2. El espectro puntual y el espectro continuo. . . . . . . . . . . . . 986.3. El resolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.4. El espectro de un operador y de su adjunto . . . . . . . . . . . . 1006.5. Espectro de operadores acotados normales. . . . . . . . . . . . . 1006.6. Espectro de operadores compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.7. Ecuaciones integrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017. Distribuciones 1037.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037.2. Los espacios de funciones prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037.3. Distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.4. Ejemplos de distribuciones en T

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.5. Propiedades elementales de distribuciones . . . . . . . . . . . . . 1077.6. Soluciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.7. Convolucion de funciones y distribuciones . . . . . . . . . . . . . 1117.8. Distribuciones temperadas (o

) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.9. Operaciones con distribuciones temperadas . . . . . . . . . . . . 1147.10. Transformada de Fourier y convolucion . . . . . . . . . . . . . . . 1158. Ejercicios 1199. SolucionesalosEjercicios 133PrologoEstas notas son un resumen de los cursos explicados en la Facultad de Cien-cias Fsicas de la UCM los a nos 2003-04, 2004-05, 2005-06 y 2006-07. No todo loque aqu aparece fue explicado y se dijeron cosas que estas notas no contienen.Como suele ocurrir.Madrid, 29 de septiembre de 2005iiiCaptulo1LaintegraldeLebesgue1.1. IntroduccionEl objetivodeestecaptuloesunestudiodelaintegral deLebesgue. Losespacios vectoriales topologicos mas utilizados en Fsica son los espacios de fun-ciones, y en particular (al menos en Mecanica Cuantica) los espacios de funcionesintegrables Lebesgue (o cuya potenciap sea integrable Lebesgue). Se hace ne-cesarioportantopresentar, aunqueseasomeramenteel conceptodeintegralde Lebesgue y previamente a este (por razones ademas de aplicacion a ciertoselementos de calculo funcional de operadores) una introduccion al concepto demedida. Lapreguntaes, si queremosespaciosdefuncionesdecuadradointe-grable (por ejemplo en Mecanica Cuantica), por que no usamos la integral deRiemann? Una de las respuestas es que esta integral es insuciente, en particularen lo que respecta a su comportamiento en relacion con sucesiones. El ejemplomas inmediato es el siguiente.Ejemplo1.1Sea r1, r2, . . . , rm, . . . el conjuntoden umerosracionalesdelintervalo (0, 1). Consideremos la siguiente sucesion de funciones:fn(x) =_1, x r1, . . . rn0, x [0, 1] r1, . . . rn(1.1)Las funcionesfn son integrables Riemann (tienen un n umero nito de disconti-nuidades, son continuas a trozos). Ademas la integral en [0, 1] es cero. Cuandose toma el lmite (puntual) de la sucesionfnse tiene la funcion:f(x) =_1, x Q0, x [0, 1] Q(1.2)Pero la funcion fno es integrable Riemann. En cualquier particion del intervalo[0, 1], los subintervalos contienen puntos racionales e irracionales, por lo que lafuncion oscila entre 0 y 1 y las sumas inferiores y superiores son constantementeiguales a 0 y 1.Otro ejemplo que tambien, aunque no de manera tan clara, obliga a extenderel concepto de integral es el siguiente relativo a la complecion de ciertos espaciosde funciones.12 CAPITULO1. LAINTEGRALDELEBESGUEEjemplo1.2Sea la sucesion de funciones en [0, 1] denidas por (n 2):fn(x) =___0, x 12(1.3)Es evidente que se trata de una sucesion de funciones continuas. Pero su lmite(de nuevo puntual) es una funcion discontinua:f(x) =___0, x 1/2. En cuanto al primero, cuandon , el extremo superiortiendea1/2,yporlotantof(x) = 0,x< 1/2.Peroentoncesfno puedesercontinua.1.2. MEDIDAS 3SedicequeelespacioC[0, 1]noescompletoconestadistancia.Comove-remoslacompleciondeesteespacioconestadistancia,esdecirquefuncioneshayquea nadirparaconseguirunespaciocompleto, seconsigueal incluirlasfunciones integrables Lebesgue (no basta con las integrables Riemann).1.2. MedidasNuestro objetivo es como hemos dicho denir la integral de Lebesgue y estu-diar sus propiedades. Para ello necesitamos unas nociones basicas de teora de lamedida que iremos introduciendo a medida que se necesiten, teniendo siemprecomo gua la mencionada integral de Lebesgue.1.2.1. MedidasenintervalosConsideremos una clase de conjuntos en la recta real,T = [a, b) : < a b < es decir, los intervalos semicerrados acotados de la recta real. En esta clase deconjuntos denimos una funcion (de conjuntos) con valores en la recta real:([a, b)) = b a (1.8)que tiene unas propiedades claras:Proposicion1.2.1La funcion verica (I T):1. (I) 02. () = 03. (I) < Notese que la clase Tno es cerrada bajo la union de conjuntos (la union de dosintervalos no es en general un intervalo) ni bajo la diferencia de conjuntos.Veamos algunas propiedades mas de esta funcion y la clase T.Proposicion1.2.2SeaI0 = [a0, b0) T,Ij= [aj, bj) T, j = 1, . . . , n, unaclase de conjuntos disjuntos, contenidos enI0. Entonces,n

j=1(Ij) (I0)La demostracion es muy sencilla y responde a una idea intuitiva de la medida deunintervalo.PuestoquelosintervalosIjsondisjuntospodemosconsiderarlosordenados:a0 a1 b1 a2 bn b0Por denicion de:n

j=1(Ij) =n

j=1(bj aj) n

j=1(bj aj) +n1

j=1(aj+1 bj) = bn a1 (I0)4 CAPITULO1. LAINTEGRALDELEBESGUENotese que en este caso se tiene una union de conjuntos de Tque estan dentrode otro (tambien en T) y se comparan las medidas. Veamos ahora la situacionen la que un conjunto esta contenido en la union de otros. En primer lugar con-sideraremos el caso de un conjunto cerrado contenido en una union de abiertos.Proposicion1.2.3Sea F= [a0, b0] un intervalo cerrado contenido en la unionde una familia nita de intervalos abiertos acotados, Aj = (aj, bj),j = 1, . . . , n.Entonces:b0 a0b0. Parasimplicar, reordenamoslosintervalosyeliminamoslosposteriores alAkmpues no juegan ning un papel en la proposicion (es decir, seam = n). Tenemos entonces:a1< a0< b1, an< b0< bny para los intermedios (si es que existen):aj+1< bj< bj+1, j = 1, . . . , n 1Ahora es muy sencillo obtener la desigualdad del enunciado:b0 a0< bn a1 = b1 a1 +n1

j=1(bj+1 bj) n

j=1(bj aj)Con este resultado podemos pasar ahora a uno similar en la clase T.Proposicion1.2.4SeaI0= [a0, b0) T, Ij= [aj, bj) T, j= 1, 2, . . .unasucesion de conjuntos, tales queI0 j=1Ij. Entonces,(I0)

j=1(Ij)Supongamos queb0> a0(en otro caso el resultado es trivial). Entonces, existe con 0 0 denimos:Aj =_aj 2j, bj_EntoncesF0 I0,Ij Aj, y se tieneF0 _j=1Aj1.2. MEDIDAS 5Pero F0 es un compacto, y por tanto de todo recubrimiento por abiertos podemosextraer un subrecubrimiento nito:F0 n_i=1AiAhora estamos en las condiciones del teorema anterior, y entonces:b0 a0 13lo que es evidente. Pero ademas:13 + 0, tal que para todo conjunto medibleA, con(A) < , entoncesg(A) < ).Elobjetivoesdenirlaintegralparafuncionesmasgeneralesquelasfun-ciones simples. Para ello estudiaremos las sucesiones de funciones escalon.Proposicion1.4.2Seanunasucesiondecrecientedefuncionesescalonquetiendea0(casidoquiera).Entonceslasucesiondelasintegralesdenesde-crecienteytiendea0. Yporlotanto, si unasucesioncrecientedefuncionesescalon tiende a una funcion escalon, tambien la sucesion de las integrales escreciente y tiende a la integral de esa funcion.1.4.2. LaintegraldeLebesgueDenicion1.4.3Unafuncionsellamasuperiorsi existeunasucesioncre-ciente de funciones escalonn(x), con integral nita, que converge a ella (casidoquiera).Llamaremossucesiongeneradoradeunafuncionsuperior ualasucesiondefunciones escalon n. Recordemos que una funcion escalon se escribe como:(x) =n

i=1ciAidonde a1, . . . , anes unacoleccionden umeros reales ylos conjuntos Aisondisjuntos y medibles, de medida nita.Unafuncionsuperiortienedistintassucesionesgeneradoras.Peroellmite_n d (que existe) es el mismo para todas ellas. Debido a esto, se puede denir;20 CAPITULO1. LAINTEGRALDELEBESGUEDenicion1.4.4La integral de una funcion superioru, con una sucesion ge-neradoranse dene como_ud =lmn_n dLa integral as denida es lineal:_(u +v) d =_ud +_v dpero solo es homogenea cuando el coeciente es no negativo:Proposicion1.4.3Si uesunafuncionsuperiorya R, auesunafuncionsuperior si y solo sia 0. Entonces:_af d = a_f d, a 0El problema con a < 0 es que la sucesion pasa de ser creciente a ser decreciente,con lo que no se cumple la denicion de funcion superior. Se tiene tambien queel maximo y el mnimo de dos funciones superiores es una funcion superior.La integral de funciones superiores es monotona:u v, c.d. _ud _v dParademostrarlobastaconsiderardossucesionesgeneradoras nyndeuygrespectivamente. Entonces, al ser gmenoroigual quef (casi doquiera,porsupuesto), lasucesiondefuncionesescalonmn n, nestambienunasucesion generadora dev. Peron mn n, ndedondeseconcluyeel resultado. Enparticular laintegral deunafuncionsuperior mayor o igual a cero es tambien mayor o igual a cero.Las sucesiones crecientes de funciones superiores (con integrales nitas) sonfunciones superiores.Sinembargo, lasfuncionessuperioresnoformanunespaciovectorial. Elconceptodeintegral seextiendeafuncionesmasgenerales(ques formanunespacio vectorial).Denicion1.4.5Sedicequeunafuncionesintegrablesiesladiferenciadedos funciones superiores (c.d.). La integral se dene como:_f d =_ud _v dLaintegraldeLebesgue-StieltjessedenecomolaintegraldeLebesgue,peroasociada a la medida de Lebesgue-Stieltjes.El valordelaintegral esindependientedelasfuncionessuperioresqueseusen para calcularla. Una funcion integrable es medible (las funciones superioresson medibles como lmites de funciones escalon).1.4. INTEGRACION 21Las funciones integrables forman un espacio vectorial. Si una funcion es inte-grable, su valor absoluto es integrable, as como sus partes positiva y negativa.En particular una funcion es integrable si y solo si lo son sus partes positiva ynegativa.La integral es nita. Al igual que con las funciones escalon, la suma de fun-ciones integrables es integrable, el valor absoluto y la parte positiva y negativadeunafuncionsonintegrables. Sepuededenirtambienlaintegral sobreunconjunto tal y como se ha hecho en el caso de la integral de funciones escalon.Proposicion1.4.4La integral es lineal:_(af +bg) d = a_f d +b_g dSe tiene el siguiente resultado sobre funciones positivas (que se puede usarpara introducir la integral):Teorema1.4.1Si unafuncionintegrableesnonegativa(c.d.), entoncesesuna funcion superior.Comofes integrable, existen dos funciones superiores tales quef= u v. Ladiferencia de las sucesiones generadoras deu yvtiende af(aunque no sea enprincipiounfunciongeneradoradef). ComoFesnonegativa, tenemosunasucesion de funciones escalon no negativas que tiende af:+ f, c.d.Un resultado previo 1.3.2 asegura que toda funcion medible es el lmite de unasucesion creciente de funciones simples. En nuestro caso:0 sn f, c.d.Tomemos la sucesionn = mn sn, max +i, i = . . . , n Ahora solo queda probar que las integrales _n d estan acotadas. Se tiene lasiguiente cadena de desigualdades (usando la monotona de la integral:n +v f +v = u_n d +_v d _ud_n d _ud _v d < Proposicion1.4.5La integral tiene las siguientes propiedades:1. Dada una funcion integrable no negativa casi doquiera, la integral es cerosi y solo si la funcion es igual a cero (c.d.)2. La integral de una funcion integrable sobre un conjunto de medida cero escero.22 CAPITULO1. LAINTEGRALDELEBESGUE3. Si una funcion integrable y positiva c.d.tiene integral cero sobre un con-junto, la medida de este conjunto es cero.4. Si unafunciontieneintegral cerosobrecualquierconjuntomedible, en-tonces es cero c.d.5. Si una funcion medible esta acotada entre dos funciones integrables (c.d.)es integrable.6. Seanfygintegrables. Entonces,f g _f d _g d7. Sifes integrable se tiene: [_f d[ _ [f[ d8. Seanfmedible ygintegrable. Si [f[ [g[ c.d., entoncesfes integrable.9. Un funcion medible es integrable si y solo si su valor absoluto es integrable.10. Si fesesencialmenteacotada(acotadac.d)yel conjuntoAesmedible,entoncesfes integrable sobreA.Si fesintegrable, supartepositivaynegativasonfuncionessuperioresypor tanto para calcular la integral se pueden usar como una descomposicion defen una diferencia de funciones superiores:_f d =_f+d _fdVeamos a continuacion algunos resultados concernientes al comportamientode la integral frente a sucesiones. Nos interesa especialmente el comportamientodelassucesionesdefuncionesintegrables.Comoserecordara estafueunadelas razones para justicar la introduccion de la integral de Lebesgue.Teorema1.4.2Sea fn una sucesion creciente de funciones integrables, talque lm_fn d < . Entonces, existe una funcion integrable que es el lmite dela sucesionfn fy se tiene:_fn d _f dTeorema1.4.3(LemadeFatou)Seafnuna sucesion de funciones integra-bles no negativas (como siempre, c.d.) y tal que lminfn_fn d < . Entonces,lminf fnes una funcion integrable y_lminfnfn d lminfn_fn dEllmiteinferiordeunasucesionanesellmitedelos nmosdelosconjun-tos an, an+1. . ..Elresultadomasimportanteeselteoremadeconvergenciadominada de Lebesgue:Teorema1.4.4Sea fnunasucesiondefuncionesintegrablesqueverican[fn[ g, n = 1, 2 . . ., casi doquiera, siendoguna funcion integrable. Sifn fc.d., entoncesfes integrable y se tiene:lm_fn d =_lmfn d =_f d1.4. INTEGRACION 23Demostracion. Puestoquetodaslasfuncionesestanacotadasporg, el lmitetambienloesta. Perogesintegrable, luego [f[ yportantof, tambienloes.Veamos ahora la cuestion del lmite. A la sucesion g fn se le aplica el lema deFatou (pues es positiva y lminfn_(g fn) d < ). Ademaslminfn(g fn) = g f, c.d.Por tanto:_g d _f d =_(g f) d =_lminfn(g fn) lminfn_(g fn) d =_g d lmsupn_fn des decirlmsupn_fn d _f dLos mismos razonamientos se aplican a la sucesiong +fn:_g d +_f d =_(g +f) d =_lminfn(g +fn) lminfn_(g +fn) d =_g d + lminfn_fn dy se tiene:_f d lminfn_fn dPeroesoimplicaqueloslmitesinferiorysuperiorsonigualesyportantoellmite existe y es el que arma el teorema.Todas las integrales denidas hasta ahora son nitas. Pero la integral de unafuncion simple con coecientes positivos se puede denir, aunque posiblementesea innita (depende de la medida de los conjuntos sobre los que no es cero). Sepuede decir que estas funciones tienen una integral que es igual a innito. En-tonces, si una funcion es el lmite de una sucesion creciente de funciones simplespositivas, el lmite de las integrales de esa sucesion existe aunque posiblemen-teseainnito.Sediceentoncesquelaintegraldelafuncionlmiteesinnito(aunque no es usual llamarla integrable). De acuerdo con esta idea, toda funcionmedible positiva tiene una integral (nita o no).1.4.3. LaintegraldeRiemannLa integral de Riemann se construye introduciendo unas particiones del in-tervalo (cerrado y acotado) donde se dene la funcion (que es acotada). A con-tinuacion se denen las sumas superiores (e inferiores), sumando los productosdel valor maximo (mnimo para la suma inferior) de la funcion en cada subin-tervalodelaparticionporlalongituddel intervalo. Si laparticionserena(se introducen mas puntos), las sumas superiores no crecen y las inferiores nodecrecen. Paradosparticionesarbitrarias, lasumainferiordeunadeellasesmenoroigualquelasumasuperiordelaotra.Deestaformaseconstruyelaintegral de Riemann inferior como el supremo de las sumas inferiores sobre to-das las particiones y la integral superior como el nmo de las sumas superioressobre todas las particiones. La integral inferior siempre es menor o igual que lasuperior. Con estos resultados se puede hacer la siguiente denicion.24 CAPITULO1. LAINTEGRALDELEBESGUEDenicion1.4.6Unafuncionf acotadaenunintervalo[a, b] es integrable(Riemann)si laintegral superioreinferior, coinciden. Al valorcom unselellama integral de Riemann de esa funcion.El valor de la integral se denota por:_baf(x) dxEl criteriodeRiemannproporcionaunacaracterizaciondelas funcionesintegrables en un intervalo.Proposicion1.4.6(Riemann)Una funcion acotada en un intervalo [a, b] esintegrable (Riemann) si para todo > 0 existe una particion del intervalo [a, b]talqueladiferenciaentrelasumasuperioreinferiorasociadaaeseintervaloes menor que.Para una funcion integrable (Riemann), si en las sumas superiores e inferioressetoma unpuntodelsubintervaloyelvalordelafuncionenesepunto (ynoelsupremooel nmodelafuncionenelsubintervalo),setienequeellmitedelasumadelosvaloresdelafuncionenesepuntoporlaslongitudesdelossubintervalos tiende a la integral Riemann cuando la longitud del mayor de lossubintervalos tiende a cero.Pues bien, las funciones integrables Riemann son integrables Lebesgue.Teorema1.4.5Una funcion denida en un intervalo [a, b] integrable Riemannes integrable Lebesgue y los valores de las integrales coinciden:_f d =_baf(x) dxConsideremos una particion del intervalo [a, b] en 2nsubintervalos de la mismalongitud:Pn = x0, x1, . . . , xn, xi = a +i(b a)2nDenimos dos familias de funciones escalon por:n =2n

i=1mi[xi1,xi), n =2n

i=1Mi[xi1,xi)dondemi =nf f(x) : x [xi1, xi] , Mi = sup f(x) : x [xi1, xi] Deestaforma n(n) es unasucesioncreciente(decreciente) defuncionesescalon que acotan a la funcionf:n(x) f(x) n(x), x [a, b)Supongamos que n(x) g y n(x) h. Entonces g y h son integrables Lebesguey acotan af:g(x) f(x) h(x), x [a, b)1.4. INTEGRACION 25Perotalycomosehandenidolassucesionesdefuncionesescalonestaclaroquecoincidenconlassumasinferiorysuperiorparalaparticionconsiderada.Se tiene:0 _(h g) d = lm_(n n) d = lm_n d lm_n) d =lmS(f, Pn) lmS(f, Pn) = 0dondeS(f, Pn) (S(f, Pn)) es la suma superior (inferior) de la funcionfen laparticionconsiderada. Pero, porlaspropiedadesdelaintegral Lebesgue, estoimplica queh =g =fcasi doquiera, as quefes integrable Lebesgue (es unafuncion superior). Ademas:_f d = lm_n d = lmS(f, Pn) =_baf(x) dxLebesguediouncriterioquepermiteestablecerbajoquecondicionesunafuncion acotada es integrable (Riemann) en un intervalo:Teorema1.4.6Unafuncionacotadaenel intervalo[a, b] esintegrableRie-mannsiysolosiesunafuncioncontinuacasidoquiera(esdecir,salvoenunconjunto de medida nula).Las funciones continuas son entonces integrables (Riemann) y su calculo se hacemediante el teorema fundamental del calculo innitesimal.1.4.4. IntegralesimpropiasPara una funcion denida en un intervalo no acotado, es posible en ocasionesdenir la integral Riemann como:_af(x) dx =lmb_baf(x) dxcuando este lmite existe. Se habla de una integral impropia.Si f (denida en [a, )) es integrable en todo subintervalo cerrado y acotadode [a, ), la integral (impropia) en [a, ) existe si para todo> 0 existe M> 0tal que_b1a1f(x) dx< , a1, b1 MEs facil ver entonces que si f es integrable en todo subintervalo cerrado y acotadode [a, ), y la integral_a[f(x)[ dxexiste, entonces tambien existe _af(x) dx.El resultadoinversoesfalso(hayfuncionesquesonintegrablesRiemann,ensentidoimpropio,perosuvalorabsolutonoloes).Enelcasodefuncionesintegrables Lebesgue se tiene:26 CAPITULO1. LAINTEGRALDELEBESGUETeorema1.4.7Supongamosqueunafunciondenidaenel intervalo[a, )esintegrableRiemannentodosubintervalocerrado.Entonces, fesintegrableLebesguesiysolosilaintegral deRiemann(impropia) _ [f(x)[ dxexisteysetiene en este caso:_f d =_af(x) dxEl comportamiento de la integral frente a lmites y derivaciones (parametri-cas) se reeja en los dos siguientes resultados.Teorema1.4.8Sea(X, o, ) unespaciodemedidae I unintervalodeR.Consideremos una funcion f: XI R, tal que f(x, t) es una funcion medibleensuprimeravariableparatodot I.Supongamosqueexisteunafunciong,integrable, que acota af: [f(x, t)[ g(x) para casi todox y para todot y seat0un punto en el cierre deI, que puede ser igual a . Entonces, si para alg unpuntot0existe el lmite def(x, t) cuandot t0, siendoh(x) = lmtt0 f(x, t)para casi todox, se tiene queh es integrable y ademas:lmtt0_f(x, t) d(x) =_lmtt0f(x, t) d(x)Teorema1.4.9Sea(X, o, )unespaciodemedidaeI unintervaloabiertoacotado de R. Consideremos una funcionf: X I R, tal quef(x, t) es unafuncion integrable Lebesgue en su primera variable para todot I. Supongamosqueparaalg unt0 I existeladerivadaparcial tf(x, t0), paracasi todox.Supongamos que existe una funcion integrableg, y un entorno det0,U, tal quese da la siguiente acotacion:f(x, t) f(x, t0t t0 g(x)paracasi todoxyparatodot U. Enestecaso, tf(t0, x)esunafuncionintegrable enx y la funcionF: I R, dada por la integral:F(t) =_f(x, t) d(x)es diferenciable ent0y su derivada es:F

(t0) =_ft (x, t0) d(x)Con estos resultados es posible evaluar la integral de ciertas integrales im-propias.Ejemplo1.3(Euler)Queremos calcular (si existe) el valor de la integral_0ex2dxLaintegral deRiemannexisteporlaacotacion0 ex2ex, teniendoencuenta que esta ultima funcion es integrable en la semirrecta positiva. La integral1.4. INTEGRACION 27estambienunaintegralLebesgue,pueslafuncionex2espositivaentodalasemirrecta. Consideremos ahora dos funciones denidas por:f(t) =__t0ex2dx_2, g(t) =_10et2(x2+1)x2+ 1dxLaderivadadelaprimerafuncionnoofrecedicultades.Ladependenciaentesta en el extremo superior de la integral y por tanto (teorema fundamental delcalculo):f

(t) = 2et2_t0ex2dx, t > 0Paralaotrafuncion, g(t),sepuedeverquesesatisfacenlascondicionesparapoder aplicar la derivacion parcial bajo el signo integral y se tiene:g

(t) = 2et2_10tex2t2= 2et2_t0ex2, t > 0Por lo tanto,f

(t) = g

(t), luegof(t) y g(t) dieren en una constante parat 0 (pues son continuas). Pero la constante se puede calcular muy facilmente:f(t) = g(t) +4Usando las propiedades de calculo del lmite bajo el signo integral, se tiene:4=lmtf(t) +lmtg(t) =__0ex2dx_2y por tanto_0ex2dx =2Ejemplo1.4La integral que nos proponemos evaluar a continuacion es:F(t) =_0ex2cos(2xt) dxLaintegraldeRiemannexiste(ensentidoimpropio),pueselcosenoestaaco-tadopor1envalorabsolutoyhemosprobadoquelaintegraldeex2existe.Por la misma razon que en el ejemplo anterior, existe la integral de Lebesgue.Derivemoslaintegral conrespectoatbajoel signointegral (secumplenlascondiciones adecuadas para poder hacerlo):F

(t) = 2_0xex2sen(2xt) dx = 2t_0ex2cos(2xt) dxSe tiene entonces:F

(t) = 2tF(t)Estaecuaciondiferencial es inmediataderesolver ycomoF(0) = /2seobtiene:F(t) =2et228 CAPITULO1. LAINTEGRALDELEBESGUEEjemplo1.5Calculemos ahora parat 0 la siguiente integral:F(t) =_0extsen xxdxSupongamos que t > 0. Acotando el valor absoluto del integrando por la funcionextse ve que la integral de Riemann en sentido impropio existe y tambien laintegral Lebesgue. La funcionF(t) verica las dos propiedades siguientes:lmtF(t) = 0, F

(t) = 11 +t2Para la primera, basta ver que se cumplen las hipotesis para poder calcular ellmite bajo el signo integral. Para la segunda, hay que vericar que se cumplenlascorrespondientesapoderderivarbajolaintegral. Parapoderllegaraeseresultado hay que integrar por partes:_r0extsen xdx = ert1 +t2(t sen r + cos r) +11 +t2y tomar el lmite cuandor . Ahora basta con integrar y obtener:F(t) = arctan t +CCuandot ,F(t) 0. Por lo tantoC = /2.Veamos ahora que pasa cuandot = 0. La integral es:_0sen xxdxynoesintegrableLebesgue.Laintegralimpropiadelvalorabsolutodelinte-grando no existe. En un intervalo [(k 1), k] se tiene_k(k1)[ sen x[xdx 1k_k(k1)[ sen x[ dx =2kEn un intervalo [0, n] la integral se obtiene como una suma de de las anteriores:_n0[ sen x[xdx =n

k=1_k(k1)[ sen x[xdx 2n

k=11ky la suma no es convergente.Sin embargo es integrable Riemann en sentido impropio, debido a las cance-laciones entre las partes negativas y positivas. En efecto:_basen xxdx =cos aa cos bb_bacos xx2dxy acotando:_basen xxdx1b + 1a +_ba1x2 dx =2a1.4. INTEGRACION 29Seg un hemos visto anteriormente esto implica que la funcion es integrable Rie-mann. Si ponemosa = n,b = n + 1, tenemos:_n+1nsen xxdx2ny por tanto,_n+1nsen xxdx 0, n Vamos a calcular ahora el valor de esa integral (en sentido Riemann). Denamosla sucesion de funciones:fn(t) =_n0extsen xxdx, t 0que verica:lmnfn(n) = 0ya que:[fn(n)[ _n0enxdx =1n(1 en2) 1nTengase en cuenta quefn(0) =_n0sen xxdxSecumplenlascondicionesnecesariasparapodercalcularladerivadabajoelsigno integral:f

n(t) = _n0extsen xdx =ent(t sen n + cos n) 11 +t2y esta sucesion de funciones se puede acotar por una funcion que es integrableLebesgue en [0, ):[f

n(t)[ 11 +t2_1 + (1 +t)et_Ademas:lmnf

n(t) = 11 +t2Consideremos la sucesionf

nrestringida a los intervalos [0, n]:gn(x) = f

n(x)[0,n]AhoratenemosunasucesiondefuncionesintegrablesLebesgue, denidasentodalasemirrectapositiva. Lasucesiongn(t)estaacotadaenvalorabsolutoporf

n(t)ytieneelmismolmiteque esta.Entonces,aplicandoelteoremadeconvergencia dominada de Lebesgue:lmn_n0fn(t) dt =lmn_0gn(t) dt =_0lmngn(t) dt =_0lmnf

n(t) dt = _011 +t2 dt = 230 CAPITULO1. LAINTEGRALDELEBESGUEFinalmente en la relacion:_n+10sen xxdx =_n0sen xxdx +_n+1nsen xxdx = fn(0) +_n+1nsen xxdxse toma el lmite cuandon y se sustituyelmnfn(0) =2igualdad que se obtiene del teorema fundamental del calculo:_n0f

n(t) dt = fn(n) fn(0)y tomando el lmite cuandon .Tenemos por tanto:_0sen xxdx =2que coincide con el valor deF(t) cuandot 0.1.5. ProductosdemedidasNos interesa en esta seccion el estudio de medidas en espacios que son pro-ductocartesianodedos(omas)espaciosdemedida. El primerresultadosereere a estructuras de anillos en espacios producto.Proposicion1.5.1Si oy T son dos anillos de subconjuntos en dos conjuntosXeY respectivamente,enelespacioXY laclaseformadaporlasunionesnitasdisjuntasderectangulos, esdecirconjuntosdelaformasAB, A X,B Yes un anillo, que se llama o T .Entonces si (X, o) e (Y, T ) son dos espacios medibles, el espacio (XY, o T )es un espacio medible. Recuerdese que X e Yson uniones de conjuntos mediblesen cada medida.Para conjuntos que no sean rectangulos (es decir, de la formaAB) nece-sitamos relacionarlos de alguna forma con conjuntos en los espacios que formanel producto. Introducimos la siguiente denicion:Denicion1.5.1Sean (X, o) e (Y, T ) dos espacios medibles, con espacio pro-ducto(X Y, oT ). Sea UX Y . Dado xX, el conjuntode X,Ux= y: (x, y) U sellamalasecciondeUdeterminadaporx.Deigualforma se determinan secciones en el espacioY :Uy= x : (x, y) U De forma similar se dene lo que es una seccion de una funcion:Denicion1.5.2Sean (X, o) e (Y, T ) dos espacios medibles, con espacio pro-ducto (X Y, o T ). Seafuna funcion denida en un conjuntoUdeX Y .Sellamasecciondef porxalafuncionfx(y)=f(x, y),y Ux. Deformasimilar se denen las seccionesfy.Los resultados que relacionan los conjuntos y funciones medibles en el espacioproducto con los espacios que lo forman son:1.5. PRODUCTOSDEMEDIDAS 31Teorema1.5.1Toda seccion de un conjunto medible es un conjunto medible.Teorema1.5.2Toda seccion de una funcion medible es una funcion medible.Pasemos ahora a resultados sobre las medidas y.Teorema1.5.3Sean (X, o, ) e (Y, T , ) dos espacios de medida, con espacioproducto (X Y, o T ). SiUes un conjunto medible deX Y , las funcionesf(x) = (Ux), g(y) = (Uy) son funciones medibles no negativas y_f d =_g dEn el espacio (XY, o T ) se dene la medida producto de la formasiguiente:Teorema1.5.4Sean (X, o, ) e (Y, T , ) dos espacios de medida, con medidas-nitas y espacio producto (X Y, o T ). La funcion denida por:(U) =_(Ux) d(x) =_(Uy) d(y)es una medida-nita y para todo rectangulo medible:(AB) = (A)(B)Se llama la medida producto cartesiano de las medidas y, = .La ultima condicion determina a de forma unica.El teorema mas importante relativo a la integracion con medidas productoes el teorema de Fubini, que relaciona la integral en el espacio producto con lasintegrales en los espacios que lo forman. Supongamos que h(x, y) es una funcionintegrable denida en el espacio XY , con la medida = (como siempresetienendosespaciosdemedida(X, o, ) e(Y, T , ) yel espacioproducto(X Y, o T , )). La integral (la integral doble) es:_h(x, y) d(x, y) _h(x, y)( d(x) d(y))Supongamos quehx(y) es la seccion deh enx X, y seaf(x) =_hx(y) d(y)en el caso en que este bien denida. Sif(x) es integrable, se tiene:_f(x) d(x) =_ __h(x, y) d(y)_ d(x) _d(x)_h(x, y) d(y)De manera similar se puede repetir el argumento con la otra seccion deh(x, y),hy(x), yg(y) =_hy(x) d(x)32 CAPITULO1. LAINTEGRALDELEBESGUE_g(y) d(y) =_ __h(x, y) d(x)_ d(y) _d(y)_h(x, y) d(x)Estasintegralessellamaniteradas.Tenemostrestiposdeintegralesdenidaspara una funcion: la doble (asociada al espacio de medida producto) y las dositeradas. El problema es si tienen alguna relacion. Este es el contenido del teo-remadeFubini,queestablecelaigualdaddeestastresintegralesbajociertascondiciones.Proposicion1.5.2UnsubconjuntodeXY esdemedidacerosi ysolosicasi todaX-seccion (o bien casi todaY -seccion) tiene medida cero.Lademostracionesunasimpleconsecuenciadeladenicionde, lamedidaproducto:(A) =_(Ax) d(x) =_(Ay) d(y)Proposicion1.5.3Paratodafuncionmedibleynonegativaenel productoX Yse tiene:_hd( ) =_ __hd_ d =_ __hd_ dy como conclusionTeorema1.5.5(Fubini)Sea h(x, y) una funcion integrable en XY , tal quetoda seccion deh es integrable. Entonces, las funciones:f(x) =_h(x, y) d(y), g(y) =_h(x, y) d(x)son integrables y se tiene:_hd( ) =_ __hd_ d =_ __hd_ dCaptulo2Espaciostopologicos,metricosynormados2.1. IntroduccionEnestecaptuloseestudianconjuntosdepuntosconciertaspropiedadesderivadasdelaexistenciadeunatopologa. Comoloquenospreocupaesen-cialmente son los espacios de Hilbert, introduciremos unas nociones elementalesdelosespaciostopologicosymetricosparadetenernosconmasdetalleenlosespacios normados.Esta claro que no pretendemos hacer una introduccion pormenorizada sinosimplemente esbozar las ideas fundamentales y las relaciones que existen entreestos conceptos2.2. EspaciostopologicosSeaXun conjunto. Llamaremos puntos a sus elementos. Como se ha vistoen R, la nocion de valor absoluto de un n umero real da lugar a la de distanciaentre dos n umeros reales (como el valor absoluto de la diferencia) y esto a unaserie de relaciones de proximidad de los puntos, a nociones de convergencia desucesiones, deintervalosabiertosycerrados, deconjuntosacotados, etc. Sinembargo, lanociondedistancianoes esencial paradenir estos conceptos.Acontinuacionintroducimosladeniciondeunatopologayveremoscomoaparecenencualquierespaciodotadodeellamuchosdelosconceptosquesehan visto en R.Denicion2.2.1SeaXun conjunto de puntos. Una topologa T enXes unaclase de subconjuntos deXque verican las siguientes propiedades:1. ,X T2. A1, . . . , An T

ni=1Ai T3. Ai T ,i I

iI Ai T3334 CAPITULO2. TOPOLOGIA,DISTANCIAYNORMAEsdecirlasinterseccionesnitasdeelementosde T estanen T ylasunionesarbitrariasdeelementosde T estanen T . Sediceque(X, T )esunespaciotopologico. A los elementos de T se les llama abiertos.Haydostopologastrivialesentodoconjunto.Una,enlaquesonabiertostodos los subconjuntos deX. Otra, en la que los unicos conjuntos abiertos sonel total y el vaco: , X. Pero hay topologas mas interesantes. Por ejemploen R, con la distancia euclidiana, donde un conjunto es abierto si para cada unode sus puntos existeunintervalo abierto que lo contieney que esta contenidoen el conjunto. Es facil ver que se cumplen las propiedades que deben vericarlos conjuntos abiertos.Denicion2.2.2Unsubconjuntode Xes cerradosi sucomplementarioesabierto.Para los conjuntos cerrados se tienen las siguientes propiedadesProposicion2.2.1En un espacio topologico se verica:1. ,Xson cerrados2. F1, . . . , Fncerrados, entonces ni=1Fies cerrado3. Fi,i Icerrados, entonces iI Fies cerrado.La demostracion es muy sencilla pues basta aplicar las leyes de complementarie-dad (el complementario de la union es la interseccion de los complementarios).LanociondeproximidadqueenR(yentodoespaciometrico, vermasadelante) da la distancia, se realiza aqu mediante la nocion de entorno.Denicion2.2.3Sea (X, T ) un espacio topologico. Se dice que el conjuntoVes un entorno de un puntox Xsi existe un abierto deXtal quex A VNotese que el entorno no tiene por que ser abierto. En particular un abierto esun entorno de cada uno de sus puntos.Dado un puntox Xse puede denir lo que se entiende por una base deentornos dex.Denicion2.2.4Seax un punto de un espacio topologico. Se dice que la clasedeconjuntosVi,i Iesunabasedeentornosdexsidadocualquierentornodex,U, existei Ital quex Vi U.Se dice que el espacio verica el primer axioma de numerabilidad (ANI) si paratodo punto del espacio existe una base de entornos numerable. Una denicionsimilar se puede hacer para todo el espacio.Denicion2.2.5Sea(X, T ) unespaciotopologico. SedicequelaclasedeconjuntosVi,i Ies una base de la topologa si son abiertos y para todo puntox Xy para todo entorno dex,U, existei Ital quex Vi U.2.2. ESPACIOSTOPOLOGICOS 35Sedicequeel espaciovericael segundoaxiomadenumerabilidad(ANII)sila topologa tiene una base numerable. Si un espacio es ANII tambien es ANI,pues la clase de conjuntos de base de la topologa que contiene a un puntox esuna base de entornos de ese punto. Sin embargo hay espacios que son ANI perono ANII.Clasicaremos ahora los puntos en relacion con sus propiedades respecto aconjuntos.Denicion2.2.6SeaBun subconjunto deX. Se dice quex Xes un puntointerior deBsi existe un entorno dex contenido enB.Estoimplicaevidentementequex B. Todoslospuntosdeunabiertosoninteriores (inmediato de la denicion). Pero un cerrado puede no tener puntosinteriores (por ejemplo en R con la topologa anteriormente denida, los puntosson cerrados y, obviamente, no contienen puntos interiores). El conjunto de lospuntos interiores de un conjunto B es un abierto, que se llama el interior de eseconjunto, B. Es el mayor abierto contenido en ese conjunto. En efecto, si A B,Aabierto,paratodopuntoxdeAexisteunentornodexqueestacontenidoenA y por tanto enB. De acuerdo con la denicionx B. LuegoA B.Unconjuntoesabiertosi ysolosi coincideconel conjuntodesuspuntosinteriores (una facil consecuencia de lo dicho anteriormente).Denicion2.2.7SeaB X. Sedicequeel puntox Xesunpuntodeadherencia(odecierre)del conjuntoBsiparatodoentornoV dexsetieneV B ,= El conjunto de los puntos de adherencia de un conjuntoB se llama el cierrede ese conjuntoB. El cierre de un conjunto es un conjunto cerrado. Para demos-trarlo hay que probar que su complementario es abierto. Si x X B, entoncesx/ B lo que quiere decir que hay un entorno de x que esta contenido en XB,pues es evidente queB B. Es el menor cerrado que contiene al conjunto (lademostracion es similar a la que hemos hecho con el interior). Un conjunto escerrado si y solo si coincide con su cierre.Denicion2.2.8Se dice que un conjunto B es denso en X si su cierre coincideconX.Por ejemplo, los racionales y los reales. En todo intervalo abierto que contengaunn umeroreal hayunn umeroracional. Luegolosrealessonel cierredelosracionales.Denicion2.2.9Sedicequeunespaciotopologicoes separablesi tieneunsubconjunto numerable denso.Elejemploanteriormuestraquelosracionalesconstituyenunconjuntodensoen los reales y son numerables, luego R es separable.Denicion2.2.10SedicequeunpuntoxesdeacumulaciondeunconjuntoBsitodoentornodexexcluidoel propiopuntoxtieneinterseccionnovacacon el conjunto:(V x) B ,= 36 CAPITULO2. TOPOLOGIA,DISTANCIAYNORMAUnejemplosencilloeslasucesion 1/nenlosreales. El 0esunpuntodeacumulacion. El conjunto de los puntos de acumulacion es un conjunto cerradoysellamael conjuntoderivado, B

. El cierredeunconjuntoeslauniondelconjunto derivado con el propio conjunto.Denicion2.2.11Se dice que un punto x es frontera de un conjunto B si todoentorno dex tiene interseccion no vaca con el conjunto y su complementario:V B ,= , V (X B) ,= El intervalo (0, 1] tiene dos puntos frontera en R, el 0 que no esta en el intervaloy el 1 que s lo esta. El conjunto de puntos frontera de un conjunto se llama lafrontera de ese conjunto. Un conjunto es cerrado si contiene a su frontera y esabierto si es disjunto con ella. El intervalo anterior no es abierto ni cerrado: nicontiene a su frontera ni es disjunto con ella.Aunqueenunespaciotopologicolassucesionesnojueganel papel funda-mental que realizan en un espacio metrico, no por ello dejan de ser importantes.Denicion2.2.12SeaunasucesionxnenX. Sedicequexnconvergeax0cuandontiendeainnito, si paratodoentornoV dex0existen0tal quesin n0entoncesxn V .En un espacio topologico se pueden introducir lo que se llama los axiomas deseparacion. Nos restringiremos a la separacion de tipo Hausdor. Los espaciosde tipo Hausdor son los mas utilizados en las aplicaciones.Denicion2.2.13Un espacio topologico se dice que es de Hausdor si dadosdos puntosx ,= yenX, existen dos entornosV yWdex eyrespectivamentetal queV W= .EstaclaroqueResunespaciodeHausdor. PerounconjuntoXconlato-pologaquesolotienecomoabiertoselvacoyelconjuntototalnopuedeserHausdor (si tiene dos puntos o mas). Denamos nalmente, en lo que a con-juntos se reere, lo que es un conjunto compacto. Primero denimos que es unrecubrimiento.Denicion2.2.14SeaXun espacio topologico yB X. Se dice que la colec-cion de conjuntos abiertosAi,i Ies un recubrimiento deBsiB Ai I.y a continuacion lo que es un subrecubrimiento.Denicion2.2.15SeaXunespaciotopologico, B XyAi,i Iunrecu-brimiento deB. Un subrecubrimiento deAi,i Ies una familiaAi,i J, conJ I, tal queB iJAi.para acabar con la denicion de un compacto.Denicion2.2.16SedicequeK Xesunconjuntocompactositodorecu-brimiento abierto admite un subrecubrimiento nito.2.2. ESPACIOSTOPOLOGICOS 37Para ser precisos, la nocion de compacto se establece sobre espacios topologicosy no sobre subconjuntos. La denicion sobre subconjuntos se hace estudiando latopologa relativa inducida sobre el subconjunto (en ella un conjunto es abiertosi es la interseccion de un abierto del espacio ambiente con el subconjunto).El intervalo (0, 1) R no es un compacto. Se pueden construir recubrimien-tosabiertosquenocontenganning unsubrecubrimientonito.Elproblemaesque los extremos del intervalo no estan en el. Como veremos en la siguiente pro-posicion, este ejemplo se resuelve de manera inmediata. Pero vamos a discutirun ejemplo de recubrimiento abierto de (0, 1) que no admite subrecubrimientosnitos. SeaAn = (1/(n + 1), 1),n = 1, 2, . . . una familia de intervalos abiertosque recubren a (0, 1), es decir:(0, 1) _n=1_1n + 1, 1_Supongamos que tenemos una subfamilia nita. Entonces existe un n0 maximo,tal queAn0esta en la subfamilia peroAn0+1no. Esta claro que hay puntos de(0, 1) que no son cubiertos por el subrecubrimiento (los menores que 1/(n0+2).Los conjuntos cerrados no son en general compactos. Pero el inverso es cierto.Proposicion2.2.2Sea Kuncompactodeunespaciotopologico(X, T ) deHausdor. Entonces Kes cerrado. Ademas los subconjuntos cerrados deunconjunto compacto son compactos.DemostremosqueX Kesabierto. Seay X K. Paracadax K, alserXun espacio de Hausdor, existe un entorno abierto dex a cuyo cierre nopertenecey. La coleccion de esos abiertos es un recubrimiento abierto deK, yal serKcompacto, podemos extraer un subrecubrimiento nito. El cierre de launion (que es la union de los cierres al ser nita) contiene aKy no contiene ay. Luego su complementario es un abierto que contiene ay y esta contenido enX Kque es un abierto. En cuanto a la segunda parte, seaKun compacto yF Kcerrado. Dado un recubrimiento abierto deF, consideramos el recubri-miento de K a nadiendo al anterior el abierto KF. Pero K es compacto, luegopodemos extraer un subrecubrimiento nito. Eliminando XFde ese subrecu-brimiento obtenemos un recubrimiento deFque es un subrecubrimiento nitodel recubrimiento inicial. LuegoFes compacto.Comohemosdichoantes, estapropiedadimplicaque(0, 1)nopuedesercompacto, al no ser cerrado. La recta real (que es cerrada) no es compacta (conla distancia usual no esta acotada). Un caso mas interesante desde el punto devista de las aplicaciones a espacios vectoriales normados (en particular a espaciosde Hilbert) es que la bola unidad cerrada, es decir, el conjunto de los vectoresde ese espacio cuya norma es menor o igual que 1, es cerrada y acotada pero noes compacta cuando la dimension es innita (como veremos mas adelante, haysucesiones innitas que no tienen puntos de acumulacion).El siguiente resultado es fundamental en topologa.Teorema2.2.1(Tychono)El producto de espacios compactos es un espaciocompacto.Como consecuencia, el conjunto [0, 1]Ies un compacto (Ies un conjunto cual-quiera). Sinembargolaesferaunidadenunespacionormado(verseccionsi-guiente) de dimension innita no es un compacto.38 CAPITULO2. TOPOLOGIA,DISTANCIAYNORMAAunqueunespacionoseacompactopuedeteneresapropiedaddesdeunpunto de vista local.Denicion2.2.17Sea (X, T ) un espacio topologico. Se dice que es localmentecompacto si todo punto posee un entorno cuyo cierre es compacto.Aunque R no es compacto, es localmente compacto. Todo punto tiene un entor-no cuyo cierre es compacto (porque en Rlos cerrados y acotados son compactos).Como veremos mas adelante, los espacios vectoriales de dimension nita (comoR), conlatopologaqueleshaceespaciosvectorialestopologicos, sonlocal-mente compactos, pero este resultado no es cierto cuando se trata de espaciosvectoriales de dimension innita.Introducimos ahora la nocion de funcion continua entre espacios topologicos.Denicion2.2.18Seaf: (X1, T1) (X2, T2)unafuncion.Sedicequefescontinua en un puntox X1si para todo entornoVdef(x) existe un entornoUdex tal quef(U) V .Una funcion continua entre dos espacios topologicos se caracteriza de la formasiguiente:Denicion2.2.19Seaf: (X1, T1) (X2, T2). La funcionfes continua si ysolo si la imagen inversa de un abierto es un abierto.Esta claro que sifes continua enX1 lo es en cada punto deX1. Dadox X1,yunentornocualquieradef(x), tenemosentoncesunabiertodeX2, A2talque, f(x) A2 V .Porserfcontinua, f1(A2)esunabiertodeX1yportanto un entorno dex. Entonces,f(f1(A2)) V . Y sifes continua en todoslos puntos delespacioX1,setiene quefescontinua enX1.En efecto, seaVunabiertoenel segundoespacio, X2. Hayqueprobarquesuimageninversamediantef1esunabiertodeX1.Seax f1(V ).Porserfcontinuaenx,y serf(x) V , que es un abierto y por tanto un entorno def(x), se tiene queexisteU, entorno dex tal quef(U) V . PeroU f1(f(U)) f1(V ), quepor lo tanto es abierto.Se tiene el siguiente resultado en cuanto a los conjuntos compactos:Proposicion2.2.3Seaf: (X1, T1) (X2, T2) continua. Entonces siKes uncompacto deX1, se tiene quef(K) es un compacto deX2.Lademostracionesmuysencilla.Setomaunrecubrimientoabiertoarbitrariodef(K). La imagen inversa de cada elemento del recubrimiento es un abiertodel primer espacio, puesfes continua. Pero la union de esas imagenes inversases ciertamente un recubrimiento abierto deK. ComoKes compacto se puedeextraerunsubrecubrimientonito. Losconjuntosdel recubrimientodef(K)correspondientes al subrecubrimiento (deK) escogido son tambien un subrecu-brimiento nito def(K), que por lo anterior es compacto.Notesequelaimagendeunabiertobajounaaplicacioncontinuanotienepor que ser abierta. Sin embargo se puede denir el siguiente concepto.Denicion2.2.20Sea funa aplicacion entre dos espacios topologicos. Se diceque es abierta si la imagen de un abierto es abierta.2.3. ESPACIOMETRICOS 39Si entre dos espacios topologicos se puede establecer una aplicacion biyectivaytantoellacomosuinversasoncontinuas,sedicequesonhomeomorfosylaaplicacion se llama un homeomorsmo. Un homeomorsmo es claramente unaaplicacion abierta.Finalmentesean(X1, T1) y(X2, T2). Enel conjuntoproductocartesianoX1X2sepuededenirunatopologa, latopologaproducto. Unabasedeesta topologa esta formada por los productos cartesianos de abiertos deX1yX2. Es decir un conjuntoA X1X2es un abierto en la topologa productosi paratodopunto(x1, x2) Asetienendosentornos U1yU2dex1yx2respectivamente tales que:(x1, x2) U1 U2 AProposicion2.2.4Las proyeccionespi : X1X2 Xison continuas cuandoen el espacio producto se usa la topologa denida anteriormente.Lademostracionesunaconsecuenciadirectadeladeniciondelatopologaproducto.ConsideremosunabiertoA1deX1.Suimageninversamediantelaproyeccion,p11(A1) = A1 X2es un abierto en la topologa producto.2.3. EspaciometricosConsideremos nuevamente un espacioXy en el una distancia, es decir unaaplicacion deX Xen R vericando las propiedades que se detallaran a con-tinuacion. Estudiaremos entonces que es posible denir una topologa asociadaa esta metrica y determinaremos sus propiedades mas importantes.Denicion2.3.1SeaXun conjunto yd una aplicacion:d : X X Rque verica:1. d(x, y) 0,d(x, y) = 0 x = y2. d(x, y) = d(y, x)3. d(x, y) d(x, z) +d(z, y) (desigualdad triangular)Un espacio metrico es un conjunto de puntos con una distancia. El conjunto Rcon la distancia denida a partir del valor absoluto es un espacio metrico:d(x, y) = [x y[, x, y RLa aplicaciond(x, y) =_0 six = y1 six ,= ydenida en un conjuntoXlo convierte en un espacio metrico.Sid(x, y) es una distancia, la aplicacion:(x, y) =d(x, y)1 +d(x, y)40 CAPITULO2. TOPOLOGIA,DISTANCIAYNORMAes tambien una distancia, con valores entre 0 y 1.Veamos como denir una topologa a partir de la metrica. Primero denimoslo que se entiende por bola abierta:Denicion2.3.2Sea(X, d)unespaciometrico. Sedenelabolaabiertadecentroa Xy radior > 0 por:B(a, r) = x X : d(x, a) < r y a continuacion lo que entendemos por un abierto en (X, d).Denicion2.3.3Sea(X, d) unespaciometrico. Sediceque A Xesunabierto(enlatopologadelametrica)si paratodox Aexisteunaboladecentrox y radiorcontenida enA.Lo que hay que hacer ahora es comprobar que esta coleccion de abiertos as de-nidos es una topologa enX. Es claro que yXson abiertos (trivialmente deladeniciondeabierto). Veamosahoraquelaintersecciondedosabiertosesun abierto. SeanA1 yA2 abiertos enX. Seax A1A2. Existen dos bolas decentrox y radiosr1yr2tales que:B(x, r1) A1, B(x, r2) A2Sear = mn r1, r2. Es claro queB(x, r) A1 A2Encuantoalaunion, si x iIAientoncesexistei0 I tal quex Ai0que, porserabierto, contieneaunaboladecentroxyradior, quetambienestara contenida en la union.Luego efectivamente estos abiertos constituyen una topologa enX. El con-juntodebolasdecentroencualquierpuntodeXyradiosarbitrariosesunabasedelatopologa,ascomoelconjuntodebolasdecentroxjadoyradioarbitrario es una base de entornos de ese punto. Lo que se tiene ademas es quela familiaB_x, 1n_, n = 1, 2, . . .estambienunbasedeentornosdelpuntox,yesnumerable,porloquetodoespacio metrico verica el primer axioma de numerabilidad.De forma similar a las bolas abiertas, se denen las cerradasB(a, r) = x X : d(x, a) r Toda bola cerrada es un cerrado como es facil de ver. Podemos ahora dar unacaracterizacion de la convergencia de una sucesion en terminos de la metrica.Proposicion2.3.1Sea (X, d) un espacio metrico y xn una sucesion en eseespacio. Se dice que xn converge ax0(en la topologa de la metrica) si paratodo>0existen0tal quesi n n0setiened(xn, x0) 0 existen0tal que sin, m n0se tiene qued(xn, xm) < .UnasucesiondeCauchyestaacotada. Esfacil demostrarquetodasucesionconvergente es de Cauchy, pero el inverso no siempre es cierto (el ejemplo massencilloeseldelosracionalesconlatopologadelametricaheredadadeR).Esto nos lleva a la introduccion del concepto de espacio metrico completo.Denicion2.3.6Se dice que un espacio metrico es completo si toda sucesionde Cauchy es convergente.Por ejemplo, R es completo.Denicion2.3.7Sean (X1, d1), (X2, d2) dos espacios metricos yf: X1 X2una aplicacion. Se dice quefes una isometra sid2(f(x), f(y)) = d1(x, y), x, y X142 CAPITULO2. TOPOLOGIA,DISTANCIAYNORMAEs obvio que una isometra es continua. Las isometras son siempre inyectivas(si f(x) =f(y)entonces d2(f(x), f(y)) =0yporserisometra, d1(x, y) =0, luegox=y). Si laaplicacionessobreyectivasedicequelosespaciossonisometricos (la isometra es un homeomorsmo, es decir, dos espacios isometricosson homeomorfos).Es posible demostrar que todo espacio metrico no completo admite un com-pletado (es decir existe un espacio metrico completo que lo contiene y del que esun subespacio denso, y cuya metrica restringida al primer espacio es la metricadepartida).Elcompletadoes unico(salvoisometra).Sedicequeunespaciometrico es precompacto si su completado es compacto.Para los espacios metricos la caracterizacion de compactos puede hacerse deotras formas. Se tiene el siguiente resultado.Teorema2.3.1(Bolzano-Weierstrass)Sea(X, d)unespaciometrico. UnconjuntoKescompactosi ysolosi todosubconjuntoinnitodeKtieneunpunto de acumulacion enK.Lacondicionesnecesariaencualquierespaciotopologico. Lapartesuciente(para la que se necesita la estructura metrica) no es facil de probar.Como consecuencia se tiene:Proposicion2.3.4Sea (X, d) un espacio metrico. Un conjunto K es compactosiysolositodasucesionenKtieneunasubsucesionconvergenteaunpuntodeK.LosconjuntoscompactosenRntienenunacaracterizacionmuysencilla.Como veremos en la seccion siguiente, todo espacio vectorial topologico de di-mensionnitaesisomorfo(enel sentidoalgebraicoyenel topologico)aKndonde K es el cuerpo sobre el que esta construido (en nuestro caso R o C). Setiene el resultado siguiente.Teorema2.3.2(Heine-Borel)Un subconjunto de un espacio Knes compac-to si y solo si es cerrado y acotado (en la metrica usual).Supongamos queK Knes compacto. De acuerdo con la proposicion 2.2.2 escerrado. Veamos que tambien es acotado. Si no lo estuviera se podra construiruna sucesion de puntos xn tales que |xn| > n para todo n N (|x| es la normausual enKn, verseccionsiguiente). Estasucesion(quetieneinnitospuntosdistintos) no tiene subsucesiones convergentes, lo que es una contradiccion conel hecho de queKsea compacto.Supongamos ahora que K es cerrado y acotado. Al ser acotado, toda sucesioncontenida en el esta acotada. Pero de toda sucesion acotada es posible extraeruna subsucesion convergente (ver 2.3.3). Como K es cerrado el lmite esta en K(ver 2.3.1).2.4. EspaciosnormadosSupongamos que el conjunto de puntos que estudiamos ahora es un espaciovectorialL (real o complejo, K = R o C). Este es el caso fundamental a tratarenestas notas (enparticular cuandoademas tenemos unproductoescalar).2.4. ESPACIOSNORMADOS 43Enel espaciovectorial sepuededenirunatopologa. CuandoestatopologavericaciertaspropiedadesenrelacionconlasoperacionesdeLsedicequetenemos un espacio vectorial topologico (e.v.t.). Los espacios normados son uncaso particular de los e.v.t. (y los espacios de Hilbert un caso particular de losnormados como veremos mas tarde).Denicion2.4.1SeaLunespaciovectorial y T unatopologaen el.Sediceque (L, T ) es un espacio vectorial topologico si se verica:1. La aplicacion (x, y) x +ydeL L enL es continua.2. La aplicacion (, x) x de KL enL es continua.La topologa en el cuerpo es la usual (dada por la distancia asociada al modulo).Y en los casos de un producto, la topologa es la producto.Los entornos de un punto en un e.v t. estan directamente relacionados conlos entornos del vector 0. En efecto, sea U un entorno de 0. Entonces, el conjuntox +U= x +y : y U es un entorno dex. Y viceversa, todos los entornos dex son de esta forma: seaV un entorno dex. Entonces, U= x + V es un entorno de 0 y por lo tantoV= x +U.Aldisponerdeunaestructuraadicional(ladeespaciovectorial),haycon-juntos importantes desde este punto de vista, como son los subespacios. Estosconjuntos no tienen por que ser cerrados (lo son si la dimension es nita), perose verica:Proposicion2.4.1Si (L, T ) es un espacio vectorial topologico yMun subes-pacio, el cierre deMen la topologa deL es tambien un subespacio.La suma es una aplicacion continua, luegoM +Mesta contenido enM. Notesequeloqueseestaaplicandoesqueparaunaplicacioncontinua,si f(A) Bentoncesf( A) B. Por razones semejantes, K M M.Dado un subespacio, el espacio vectorial cociente es tambien un e.v.t. (aun-que no insistiremos en como determinar la topologa cociente de este espacio).Pero, paraverlaimportanciaquetieneel quelossubespaciosseancerradospara satisfacer ciertas propiedades, enunciaremos la siguiente proposicion.Proposicion2.4.2SeaLunespaciovectorial topologicoyMunsubespaciodeL. Entoncesel espaciovectorial cocienteL/MconlatopologacocienteesHausdor si y solo siMes cerrado.La dimension de un espacio vectorial es el cardinal de una de sus bases (al-gebraicas),quesepuededemostrarqueexisten(sellamanbasesdeHamel)ytienen todas el mismo cardinal. Los espacios vectoriales de dimension nita jue-gan un papel muy particular. Todo e.v.t. de Hausdor de dimensionn sobre K(que es R o C) es isomorfo a Kn(isomorfo quiere decir que existe un isomor-smo algebraico que es tambien homeomorsmo). La demostracion se basa enel isomorsmo algebraico que se puede establecer entre ambos espacios. Fijadauna base deL, u1, . . . , un, seafla siguiente aplicacion:f: L Kn, f(x) = (a1, . . . , an)44 CAPITULO2. TOPOLOGIA,DISTANCIAYNORMAdondex=a1u1 +anun. Estaaplicacionesbiyectiva. Esfacil verqueescontinua y abierta.Ademas, en este caso las aplicaciones lineales tienen la siguiente propiedadquenoesciertaenel casodedimensioninnita, dondeexistenaplicacioneslineales que no son continuas.Proposicion2.4.3SeaMune.v.t. dedimensionnitayLune.v.t. dedi-mension arbitraria. Entonces, toda aplicacion lineal deMenL es continua.La demostracion se puede hacer usando el isomorsmo anterior (de esa forma,unaaplicacionlineal vienedadaporunamatriz, yenel espaciodematricessepuededenir unanorma). Veremos mas tardecomolaacotaciondeunaaplicacion lineal usando una norma permite demostrar la continuidad.La propiedad de compacidad local esta directamente relacionada con la di-mension nita.Teorema2.4.1Si Lesune.v.t.deHausdorlocalmentecompacto,entoncestiene dimension nita.Otros conjuntos importantes en la teora de e.v.t. son las variedades lineales.Dado un e.v.L y un subespacioM, una variedad lineal es un conjuntox + Mdondex L, denido por:x +M= x +y : y M Ladimensiondeunavariedadlineal es ladel subespacioqueladene. Unhiperplano es una variedad lineal propia (distinta de L) de dimension maximal.LoshiperplanosestanrelacionadosconlasformaslinealesenL(esdecirlasaplicaciones lineales deL en K).Proposicion2.4.4Un subconjuntoHdeL, e.v., es un hiperplano si y solo siexiste una forma lineal fy un escalara K tales que:H = x : f(x) = a La formafy el escalara determinanHsalvo un factor.En particular siL es un espacio vectorial topologico, un hiperplano es cerradoo denso enL. Es cerrado si y solo si la formafque lo dene es continua.A pesar de no tener denida una distancia es posible denir un concepto deacotacion en un e.v.t.Denicion2.4.2SedicequeunsubconjuntoAdeune.v.t. estaacotadosipara todo entorno de 0,U, existec K tal que:A c USepuedeprobarquetodasucesiondeCauchyestaacotadaenel sentidoanterior. Resulta muy interesante ver como propiedades de acotacion, tan ele-mentales comolaquesigue, implicanquelatopologadeune.v.t sepuedeasociar a una metrica2.4. ESPACIOSNORMADOS 45Teorema2.4.2Todoe.v.t. deHausdorlocalmenteacotado(esdecir, tieneun entorno de 0 acotado) es metrizable (es decir, existe una metrica tal que lasbolas abiertas son una base de la topologa deL).En la teora de e.v.t. los conjuntos convexos juegan un papel fundamental.Denicion2.4.3Se dice que un subconjunto de un espacio vectorial es convexosidadosdospuntoscualquieradel conjunto, el segmentoquelosunetambienesta en el.Es decir: six, y A L, entoncestx + (1 t)y A para todot (0, 1).Denicion2.4.4Se dice que un espacio vectorial topologico es localmente con-vexo si es Hausdor y todo entorno de un puntox contiene un entorno convexodex.Los espacios localmente convexos estan asociados a seminormas.Denicion2.4.5SeaLune.v.ypunaaplicaciondeLenR.Sedicequepes una seminorma si se verica:1. p(ax) = [a[p(x), a K,x L2. p(x +y) p(x) +p(y), x, y LUnafamiliadeseminormasdeterminaenLunatopologaqueeslocalmenteconvexa. Pero no entraremos en estos detalles ahora.Lo que mas nos interesara en estas notas es una clase particular de seminor-mas. Una norma en un espacio vectorialL se dene por:Denicion2.4.6SeaLune.v.Unaaplicacion ||: L Rsedicequeesuna norma si se verica:1. |x| = 0 x = 02. |ax| = [a[ |x|, a K,x L3. |x +y| |x| +|y|, x, y LSe tiene entonces que dada una norma es posible denir una distanciad(x, y) = |x y|Se dice que un espacio vectorial topologico es un espacio normado, si esta dotadode una norma y la topologa es la derivada de la norma (de la distancia asociadaa la norma). Un espacio normado completo se llama un espacio de Banach.Entre otras caracterizaciones de un espacio normable (es decir un e.v.t. cuyatopologa proviene de una norma) se tiene la siguienteProposicion2.4.5Une.v.t. deHausdoresnormablesi ysolosi tieneunentorno de 0 que es convexo y acotado.La topologa de un espacio normado puede venir denida por diferentes normas.Dos normas son equivalentes si dan lugar a la misma topologa.46 CAPITULO2. TOPOLOGIA,DISTANCIAYNORMAProposicion2.4.6Dosnormas ||1y ||2enunespaciovectorial Lsonequivalentes si y solo si existen dos constantesk1, k2> 0 que verican para todox X:k1|x|1 |x|2 k2|x|1Basta probar que toda bola abierta en una norma contiene una bola abierta dela otra norma. Sea Bi(0, r) una bola abierta en la norma | |i (para otros puntosel resultado se obtiene por traslacion). Entonces, debido a las desigualdades dela proposicion, se tienen los contenidos:B2(0, k1r) B1(0, r), B1_0,rk2_ B2(0, r)lo que implica la igualdad de las topologas. Supongamos ahora que las normasson equivalentes. Entonces la bola B2(0, 1) contiene una bola B1(0, r) para alg unr.Esdecirsi |x|2< 1entonces |x|1 0. Eligiendok = |x|2se tiene:|x|1< r|x|2La otra desigualdad se demuestra de modo similar (notese que se ha empleadoen la demostracion la propiedad de homogeneidad de la norma).Como se ha visto, todo e.v.t. de Hausdor de dimension nita es isomorfo aKn. Ademas se tiene el siguiente resultado.Proposicion2.4.7Todas las normas enunespacionormadodedimensionnita son equivalentesLademostracionenunsentidoesmuysencilla.LoharemosenKn.Tomemosla base canonica de Kn, u1, . . . , un. Sea || una norma arbitraria y || lanorma del supremo. Se tiene:|x| = |n

i=1xiui| n

i=1[xi[ |ui| |x|n

i=1|ui| = k1|x|conk1= ni=1|ui|. Sinembargo, enel otrosentidolasituacionesbastantemascomplicada. Sehaceporinduccionenladimensiondel espaciovectorial.Paran = 1 es trivial. Supongamos que es cierta paran 1. Consideremos Kny supongamos que no existe una constantek2tal que|x| k2|x|, x KnEs decir, dado un n umero naturalm, es posible hallarx Kndistinto de cerotal que:|x|> m|x|, x KnSeaj 1, . . . , n, tal que [xj[ = |x|> 0. Entonces, sixm =1|x|xse tiene:|xm| = 1, |xm| 0 y un n umero natural n0tal que>2n0.paran, m S,n, m n0se tiene:|yn ym| |xn xm| |xn| +|xm| 1n +1m 2n0 Por lo que ym,m S es de Cauchy tambien en la norma del supremo. Al serel espacio Wcompleto, su lmite (cuando m , m S) es un vector y W.Pero|uj +y| |uj +y +ym ym| |uj +ym| +|y ym| 1m +C|y ym|Cuando m , el segundo miembro tiende a cero y por tanto y = uj, lo quees imposible, puesy Wperouj/ W.Los conjuntos acotados denidos anteriormente adquieren ahora, en un es-pacionormado,unaspectomascercano.Unconjuntodeunespacionormadoes acotado si la norma esta acotada en ese conjunto.Las aplicaciones continuas en un e.v.t. tienen la siguiente propiedad.Proposicion2.4.8SeanL, Mdosespaciosvectorialestopologicos.Unaapli-cacion lineal T: L Mes continua si y solo si es continua en 0.Obviamentesi escontinuaescontinuaen0. Supongamosqueescontinuaenx = 0. Para todo entorno de 0 M,U, existe un entorno de 0 L,V , tal queT(V ) U. SeaWun entorno deTx M. Entonces Tx + Wes un entornode 0 M, por lo que existe un entorno V

de 0 L tal queT(V

) Tx +W.Pero entoncesx +V

es un entorno dex yT(x +V

) W.Las aplicaciones lineales continuas entre espacios normados pueden caracte-rizarse en terminos de la norma.Proposicion2.4.9SeanL, Mdos espacios vectoriales normados. Una aplica-cion lineal T: L Mes continua si y solo si existec > 0 tal que:|Tx| c|x|, x LSi Tescontinua,loesenx = 0.PortantoexistenbolasenLyMdecentro0, tal queT(BL(0, r)) BM(0, r

), es decir |T(x)| r

si |x| r. Pero, paratodox L (x ,= 0),r2xx esta enBL(0, r), luego____T_r2|x|x_____ r

48 CAPITULO2. TOPOLOGIA,DISTANCIAYNORMAes decir:r2|x||T(x)| r

|T(x)| 2r

r |x|Es inmediatoprobar quelaaplicacionT es continuaen0si secumpleesaacotacion. Se dice que la aplicacion lineal esta acotada.Laproposicionanteriorpermitedenirlanormadeunaaplicacionlinealcontinua entre espacios normados.Denicion2.4.7SeanL, Mdos espacios normados yu : L Muna aplica-cion lineal continua. Entonces, el n umero real denido por:|u| = sup |u(x)| : |x| 1 es nito y se tiene una norma en el espacio de las aplicaciones lineales continuasdeL enN, L(L, N)Si MesunespaciodeBanach, entonces L(L, M)estambienunespaciodeBanach. Para el caso en queM= K, se tiene el espacio de las formas linealescontinuas deL, es decir, lo que se llama el dual topologico deL. En este caso,L

= L(L, K) es un espacio de Banach (aunque L sea solo un espacio normado).Tengase en cuenta que en el caso de dimension innita hay formas lineales quenosoncontinuas, porloqueel dual algebraiconocoincideconel espaciodeformas lineales continuas (dual topologico).En el espacio de las aplicaciones continuas entre dos espacios de Banach sepuedendenirdiferentestopologas. Ademasdeladelanorma(quesesuelellamartopologadeoperadoresuniforme),haydostopologasparticularmenteimportantes, relacionadas con la accion de la aplicacion. Una de ellas se llamala topologa de operadores fuerte. Se dene como la mas debil de las topologasquehacequelasevaluaciones(esdecir, lasaplicacionesTx: L(L, M) M,Tx(T) =Tx) seancontinuas. Loqueimplica, unadesus propiedades masinmediatas, queunasucesionTndeoperadoresconvergeaunoperadorTenesta topologa si y solo si las sucesiones de vectores deM, Tn(x) convergen aTx para todox deL (por supuesto en la norma deM).La ultimatopologaquevamosamencionareslatopologadeoperadoresdebil. Como anteriormente, se dene como la mas debil de las que hacen que lasaplicaciones Tx,fde L(L, M) en C, denidas para cadax L yf L(M) porTx,f(T) = f(Tx), sean continuas. Como antes, esto implica que una sucesion deoperadores Tn converge en esta topologa a un operador Tsi y solo si f(Tnx)converge a (Tx) (en C) para cadax L yf L(M).En todo espacio de Banach se puede denir una topologa (no la de la nor-ma), comolamas debil quehacequelos funcionales lineales acotados seancontinuos (es decir, todos los funcionales continuos en la topologa de la normason continuos en esta topologa). Una sucesion en el espacio xn converge enlatopologadebil si lassucesiones f(xn)lohacenenCparatodofuncionalacotado. Sepuedeprobarqueunfuncional lineal escontinuodebilmentesi ysolosiloesennorma.Latopologadebilnoesmetrizablesielespacioesdedimension innita.Comoejemplodelapotenciadelosresultadosqueseobtienenconestosconceptos, enunciaremos a continuacion el teorema de Hahn-Banach, uno de lospilares del analisis funcional. Este teorema establece que, bajo cierta condiciones,2.4. ESPACIOSNORMADOS 49existen formas lineales continuas no triviales sobre un espacio vectorial. Veamosprimeramente un lema.Proposicion2.4.10SiL e un e.v.t. real de Hausdor de dimension mayor oigual que 2 y B es un conjunto abierto de L que no contiene al vector 0, entoncesexiste un subespacio de dimension 1 que no corta aB.Una formulacion geometrica de este teorema es la siguiente:Teorema2.4.3(Mazur)SeaL un e.v.t. yMuna variedad lineal enM. SeaA un subconjunto deL, convexo, abierto y no vaco, tal que su interseccion conMseaelvaco.EntoncesexisteunhiperplanocerradodeLquecontieneaMy que no corta aA.Lademostracionnoestrivial enabsoluto, peronorequieremasconocimien-tosquelosexpuestosenestasnotas(apartedealg unresultadodelateorade conjuntos). Supongamos primero que el espacio es real. Podemos tomar unsubespacioenvezdeunavariedadlineal (bastahacerunatraslacion). Consi-deremoslossubespacioscerradosdeLquecontienenal subespacioMyqueno cortan al abiertoA. Se trata de una clase de conjuntos, /, no vaca, puesel cierredeM(queesunsubespaciocerradoquecontieneaM)estaenA.Estaclasesepuedeordenarporinclusion. Consideremosunsubconjuntodelconjunto / que este totalmente ordenado. Tiene un supremo (que es el cierrede la union) y por el Lema de Zorn existe un elemento maximal. Sea H0. Al sercerrado, el espacio cociente es de Hausdor, de dimension mayor o igual que 1(porqueA es no vaco). Supongamos que fuera de dimension mayor o igual que2. La proyeccion canonica de L sobre L/H0 es abierta, por lo que 1(B) es unabierto y convexo, que no contiene al vector 0. H0 no corta a A. Entonces, existeunsubespaciounidimensionalquenocortaaB,conloquelaimageninversade este subespacio mediante es un espacio vectorial deL que no corta aA yy contiene aH0(siendo distinto de el). Esto es contradictorio con el hecho dequeH0 sea el supremo y por tanto la dimension de L/Hes igual a 1. Por tantoH0es un hiperplano cerrado que cumple el teorema.En el caso complejo se usa simplemente la complejizacion de un espacio realdeL/H0Como resultado de este teorema, se tiene que en un e.v.t. que contenga unsubconjuntoabiertoconvexoynovacoexistenformaslinealescontinuasnotriviales (y viceversa).La forma de este teorema para espacios normados es la siguiente.Teorema2.4.4(Hahn-Banach)Sea(L, ||)unespacionormadoyMunsubespacio. Seafuna forma lineal que verique [f(x)[ |x| para todox M(portantocontinua). Entoncesf admiteunaextension(lineal), f1, atodoLcon la misma acotacion [f1(x)[ |x| para todo x en L (por tanto, continua conla misma norma).Veamos a continuacion otro de los teoremas fundamentales del analisis fun-cional, el teoremadeBanach-Steinhaus. SeanL, Mdos espacionormados yA L(L, M). Se dice que A es un conjunto puntualmente acotado si para cadax A el conjunto T(x) : T A50 CAPITULO2. TOPOLOGIA,DISTANCIAYNORMAes un conjunto acotado. Todo conjunto acotado en norma es puntualmente aco-tado. El problema, que resuelve el principio de la acotacion uniforme o teoremade Banach-Steinhaus, es el inverso.Teorema2.4.5(Banach-Steinhaus)SeaLunespaciodeBanachyMunespacio normado. Un subconjunto de L(L, M) es acotado en norma si y solo sies puntualmente acotado.Paraacabar estaintroduccionenunciaremos dos teoremas quecierranelconjunto de teoremas fundamentales del analisis funcional.Teorema2.4.6(Aplicacionabierta)SeanL, Mdos espacios de Banach, yT L(L, M). SiTes sobreyectiva, entoncesTes abierta (es decir transformaabiertosenabiertos).Portanto,si Testambieninyectivaesunisomorsmo(topologico).Teorema2.4.7(Grafocerrado)SeanL, MdosespaciosdeBanach,yT L(L, M). Si el grafo deT, (GT= (x, T(x)) : x L LM), es cerrado enL MentoncesTes acotado.Captulo3EspaciosdeBanachEstudiaremos enestecaptuloespacios vectoriales reales ocomplejos, dedimension nita o innita dotados de una norma y en especial espacios normadoscompletos (espacios de Banach).3.1. EspaciosnormadosdedimensionnitaSeaK=R, C. ConsideremoslosespaciosvectorialesKnyenelloslasi-guiente norma:|x|2 =_n

i=1[xi[2_12, x KnDemostraremos que se trata de una norma. La unica propiedad difcil es latercera, la desigualdad triangular (Minkovski). Seanx, y Kn.|x +y|2=n

i=1[xi +yi[2=n

i=1( xi + yi)(xi +yi)= |x|2+|y|2+ 2n

i=1Re( xiyi)pero esta claro queRe( xiyi) [ xiyi[as que solo tenemos que usar la desigualdad de Cauchy-Schwarz (Holder):n

i=1[ xiyi[ _n

i=1[xi[2_12 _n

i=1[yi[2_12pues entonces|x +y|2 |x|2+|y|2+ 2|x| |y| = (|x| +|y|)2Pero hay otras normas en Knque (como sabemos) llevan a la misma topo-loga.|x|1 =n

i=1[x[i5152 CAPITULO3. ESPACIOSDEBANACHesunanormaenKn. Comoantes, la unicadicultadseencuentraenlade-sigualdadtriangular. Peroenestecasoesunaconsecuenciainmediatadeladesigualdad triangular para el modulo de un n umero real o complejo. La expre-sion|x| = max [x[i : i = 1, 2, . . . , nes tambien una norma. La desigualdad triangular es inmediata de las propieda-des del maximo. Que estas tres normas son equivalentes proviene de las siguien-tes desigualdades:|x| |x|2 n|x||x| |x|1 n|x|En general, la siguiente aplicacion es una norma:|x|p =_n

i=1[xi[p_1pdondep 1. Como en el casop = 2, la dicultad mayor esta en la desigualdadtriangular.Para demostrarla, utilizaremos la desigualdad de Holder (queparap = q = 2 es la de Cauchy-Schwarz).Proposicion3.1.1(DesigualdaddeHolder)Sea x, y Kny p, q> 1 talesque:1p + 1q= 1(se dice quep yqson conjugados). Entoncesn

i=1[xi[ [yi[ _n

i=1[xi[p_1p_n

i=1[yi[q_1qPodemos demostrarlo de la forma siguiente. Esta claro que basta probarlo parados vectoresa,b con coordenadas mayores que 0. Consideramos los vectores: a =a(

ni=1api)1p,b =b(

ni=1bqi)1qque verican:n

i=1 api= 1,n

i=1bqi= 1Como las componentes de a e b son positivas, se tiene: ai = eri/p,bi = esi/q, i = 1, . . . , nparaciertosn umerosrealesri, si. Perolafuncionexponencial esconvexa, esdecir, verica:f(r + (1 )s) f(r) + (1 )f(s), 0 13.1. ESPACIOSNORMADOSDEDIMENSIONFINITA 53(ver en la seccion 3.3 algunos resultados elementales sobre funciones convexas).Sea = 1/p, lo que implica 1 = 1/q. Entonces:erip+siq1peri+ 1qesiy sustituyendo los valores deriysi: aibi 1p api+ 1qbqiSi ahora sumamos eni, se tiene:n

i=1 aibi 1pn

i=1 api+ 1qn

i=1bqi=1p + 1q= 1Sustituyendo los valores de aiy bi:n

i=1ai(

ni=1api)1pbi(

ni=1bpi)1q 1que es la desigualdad buscada. Evidentemente, cuando p = q = 1/2 se obtiene ladesigualdad de Cauchy-Schwarz. En realidad, la desigualdad de Cauchy-Schwarzes la siguiente:n

i=1 xiyi |x|2|y|2pero es una consecuencia inmediata de la anterior:n

i=1 xiyin

i=1[xi[ [yi[En el caso general (p 1), la desigualdad triangular es:|x +y|p |x|p +|y|pPara demostrarlo (parap > 1, sip = 1 es inmediata) aplicamos la desigual-dad de Holder:n

i=1[xi[ [xi +yi[p1_n

i=1[xi[p_1p_n

i=1[xi +yi[(p1)q_1qn

i=1[yi[ [xi +yi[p1_n

i=1[yi[p_1p_n

i=1[xi +yi[(p1)q_1qSi ahora sumamos las desigualdades, se obtiene ((p 1)q = p):n

i=1([xi[ +[yi[)[xi +yi[p1___n

i=1[xi[p_1p+_n

i=1[yi[p_1p___n

i=1[xi +yi[p_1q54 CAPITULO3. ESPACIOSDEBANACHy por lo tanto:n

i=1[xi +yi[pn

i=1([xi[ +[yi[)[xi +yi[p1___n

i=1[xi[p_1p+_n

i=1[yi[p_1p___n

i=1[xi +yi[p_1qFinalmente_n

i=1[xi +yi[p_1p_n

i=1[xi[p_1p+_n

i=1[yi[p_1pPara0 1. Lo que ocurreahora es que la desigualdad de Holder se ve sustituida por la desigualdad queacabamos de demostrar.Sin embargo, si 0 < p < 1d(x, y) = |x y|ppes una distancia aunque no proceda de una norma.3.2. EspaciosdesucesioneslpPasemosahoraal casodedimensioninnita. Consideremosel espaciodelas sucesiones para las que la suma de los modulos a la potenciap> 0 de susterminos es convergente:lp= xn : xn K,

n=1[xn[p< Consideremos enprimer lugar el caso p1. Demostraremos enprimerlugar que se trata de un espacio vectorial. El unico problema es probar que lasuma de dos elementos de este conjunto esta tambien en el conjunto. Para ello,comprobemos que la siguiente expresion es una norma enlp.|x|p =_

n=1[xn[p_1pComo siempre la desigualdad triangular es la unica complicacion. Pero podemosrepetir los pasos que dimos en el caso de dimension nita y llegar a_n

i=1[xi +yi[p_1p_n

i=1[xi[p_1p+_n

i=1[yi[p_1pPero_n

i=1[xi[p_1p_

i=1[xi[p_1p< Porlotantoel miembrodelaizquierdadeladesigualdadestaacotadoparatodon y la desigualdad es valida cuandon . De esta forma se prueba quelpes un espacio vectorial y ademas |x|pes una norma.Los espacioslpconp 1 son espacios normados de dimension innita (nonumerable).Si0 0 existen0tal que|xnxm|p< , n, m n0Esto implica que cada una de las sucesiones xnkn=1es de Cauchy en K, pues[xnk xmk [ |xnxm|p< luego convergen al ser K completo. Seax = (x1, x2, . . .) el vector de los lmites.Hay que probar que esta enlpy que es el lmite de la sucesion. Al ser xn deCauchy, para todo, por ejemplo = 1, existen0tal que para todon, m n0y para todoN, se tiene:N

k=1[xnk xmk [p |xnxm|pp< 1Enlasumanitapodemoshacern ysetieneunaacotacionparatodom n0y para todoN:N

k=1[xk xmk [p 1y por lo tanto es cierta cuandoN :

k=1[xk xmk [p< 1De esta forma hemos demostrado quex xmesta enlpcuandom n0. Peroxm lp, luegox lp. Probemos ahora que es el lmite de la sucesion. Hacemoslo mismo que antes con arbitrario:

k=1[xk xmk [p , m n0luego|x xm|pp< Lademostracionesvalidaparacualquier p. Porlotantotodolp, 0 1 y 1/n2si p 1.Para ver que es denso, se hace con 1 p < . Pero ademas este espacio tieneun cierre en la norma innito que esta contenido enc0 y entonces no puede serdenso en l. La dimension de este espacio es 0. Los espacios lp, con 1 p < yc0son separables (porque el espacio de las sucesiones de tipo nito es densoenlp(con su norma) y enc0(con la norma del supremo). Sin embargolnoes separable.Los espacios lpguardan unas relaciones de dualidad. El dual de lpes lq, conp,q conjugados. El dual del1esl, perol1no es el dual del, sino dec0.3.3. EspaciosLpDadocualquierconjuntoX, sepuedeconsiderarlasfuncionesdeXenKacotadas. LlamaremosB(X) a este conjunto de funciones:B(X) = f: X K : facotada El conjunto B(X) es un espacio vectorial sobre K en el que se puede denir unanorma:|f| = sup[f(x)[ : x XSe llama la norma de la convergencia uniforme. Es ademas un espacio de Banach.Para probarlo, consideremos una sucesion fn de funciones que sea de Cauchy.Por tantosupxX[fn(x) fm(x)[ 0, n Como en el caso de las sucesiones, es sencillo ver que fn(x) es tambien unasucesiondeCauchyenK.AlserKcompleto,tienelmite.Seaf(x)ellmitepara cadax X. Veamos quefes una funcion acotada y que es el lmite de la58 CAPITULO3. ESPACIOSDEBANACHsucesion en el sentido de la convergencia uniforme. El razonamiento es similaral usado en las sucesiones. Al ser fn de Cauchy,|fn fm| 1, n, m n0y por lo tanto, para cualquierx X:[fn(x) fm(x)[ 1, n, m n0Cuandon , se tiene:[f(x) fm(x)[ 1, m n0Por lotanto, lafuncionf fmestaacotadayenB(X) queesunespaciovectorial, luego f B(X). Veamos que es el lmite. Basta tomar unarbitrarioy repetir el razonamiento:[f(x) fm(x)[ , m n0implica que|f fm| , m n0PodemosdemostrarahoraquelesunespaciodeBanach. BastatomarX = N y la medida discreta. Ademas se puede probar quelmp|x|p = |x|Como sabemos, cualquier subespacio cerrado de un espacio de Banach es unespacio de Banach. Sea X un espacio topologico compacto. Entonces, el conjuntode funciones continuas deXenK es un subespacio del conjunto de funcionesacotadas (pues X es compacto). Ademas es un subespacio cerrado (en la normadel supremo deB(X)), pues la norma es la de la convergencia uniforme y portanto el lmite de una sucesion de funciones continuas es una funcion continua.LuegoC(X) = f: X K : fcontinua es un espacio de Banach (en la norma del supremo).Consideremos un espacio de medida, (X, o, ), (que sera en lo que respecta alas aplicaciones la recta real y la medida de Lebesgue). Si fes una funcion (convalores en R o C) medible de este espacio, se tiene que [f[p,p> 0 es tambienmedible. Lpes el conjunto de las funciones medibles tales que [f[pes integrable,con 0 < p < .El conjunto Lpes un espacio vectorial. Para ver que la suma de dos funcionesde Lpesta en este espacio, se puede usar la siguiente desigualdad (ver la Notamas adelante):[a +b[p 2p([a[p+[b[p)Entonces_[f +g[pd _2p([f[p+[g[q) d < 3.3. ESPACIOSLP59Nota.FuncionesconvexasLasfuncionesconvexasdanlugaradesigualdadesinteresantes, porloquedaremos aqu una breve noticia de sus propiedades. Se dice que una funcion realde variable real es convexa en un intervalo (a, b) sif(x + (1 )y) f(x) + (1 )f(y), x, y (a, b), 0 < < 1LasfuncionesconvexasvericanladesigualdaddeJensen, quenoesmasque la generalizacion de la denicion an puntos:f_n

i=1ixi_n

i=1if(xi), xi (a, b),n

i=1i = 1Se puede demostrar la siguiente propiedad, relativa a la relacion entre funcionesconvexas y derivadas:Si existeladerivadaprimeradeunafuncionf yesnodecrecienteenunintervalo abierto, entoncesfes convexa en ese intervalo.Para probarlo basta usar el teorema del valor medio. Seay> x, 0 1.f(x) + (1 )f(y) f(x + (1 )y)= [f(x) f(x + (1 )y)] + (1 )[f(y) f(x + (1 )y)]Pero, por el teorema del valor medio, al serfderivable:f(x + (1 )y) f(x) = (1 )(x y)f

(c), c (x, x + (1 )y)f(y) f(x + (1 )y) = (x y)f

(d), d (x + (1 )y, y)Por tanto,f(x) + (1 )f(y) f(x + (1 )y) =(1 )(x y)f

(c) + (1 )(x y)f

(d) =(1 )(x y)(f

(d) f

(c)) 0Como consecuencia, si existe la derivada segunda y es no negativa en un intervaloabierto, la funcion es convexa en ese intervalo.Como aplicacion, sia, b 0,p > 1 se tiene:(a +b)p 2p1(ap+bp)Bastausarelhechodequeh(x) =xpesconvexa(suderivadasegundap(p 1)xp1enel casoenquep>1esclaramentepositivaencualquierintervaloabierto de la semirrecta positiva). Entonces:(a +b)p= 2p_12a + 12b_p 2p_12ap+ 12bp_= 2p1(ap+bp)De manera evidente:(a +b)p 2p(ap+bp)60 CAPITULO3. ESPACIOSDEBANACHpues 2p1 2p. Pero esta desigualdad es tambien correcta cuando 0 1En este espacio vectorial de funciones Lp, se verica la desigualdad de Holder.Si1p +1q= 1, 1 < p, q< , entonces_[fg[ d __[f[pd_1p__[g[qd_1q, f Lp, g LqParaprobarlo, veamosenprimerlugarquesi a, bsondosn umerosrealesnonegativos, entonces, para todo 0 < < 1 se tiene:ab1 a + (1 )bSupongamos quea, b > 0. Entonces, la funcion:f(x) = 1 +x xes positiva para todox> 0. La funcion tiene solo un mnimo en la semirrectax 0 (f(0) = 1 > 0), pues su derivada es:f

(x) = (1 x1) = 0 x = 1Pero enx = 1,f(1) = 0 y por tanto se tiene la desigualdad buscada.ParademostrarladesigualdaddeHolder, supongamosquef ygnosonnulas casi doquiera (en caso contrario la desigualdad es trivial). Seaa =[f(x)[p_[f[pd, b =[g(x)[q_[g[qdAplicando la desigualdad anterior con = 1/p, tenemos:[f(x)g(x)[__[f[pd_1p__[g[qd_1q1p[f(x)[p_[f[pd+ 1q[g(x)[q_[g[qd3.3. ESPACIOSLP61Debido a esta acotacion,fg L1, con lo que podemos integrar y obtener:_ [f(x)g(x)[ d__[f[pd_1p__[g[qd_1q1p + 1q= 1yla desigualdaddeHolder queda probada.Usando esta desigualdad podemosprobar la de Minkovski:__[f(x) +g(x)[ d_1p__[f[pd_1p+__[g[pd_1pSupongamos que p > 1 (pues es inmediato en el caso p = 1). Sea q el coecienteconjugado de p. Debido a la relacion entre p y q se tiene que [f +g[p1 Lq(pues(p 1)q = p). Aplicando la desigualdad de Holder a las funciones [f[ [f +g[p1y [g[ [f +g[p1, que estan en L1, se tiene:_[f[ [f +g[p1d __[f[pd_1p__[f +g[(p1)qd_1q=__[f[pd_1p__[f +g[pd_1q_[g[ [f +g[p1d __[g[pd_1p__[f +g[(p1)qd_1q=__[g[pd_1p__[f +g[pd_1qy sumando_[f +g[pd ___[f[pd_1p+__[g[pd_1p___[f +g[pd_1qque lleva a la desigualdad de Minkovski. La aplicacionf __[f[pd_1pno es una norma, porque el hecho de que la integral sea cero no implica que lafuncionlosea,yaquepuedesercerocasidoquiera.Laideaesintroducirunarelaciondeequivalenciaenel conjunto Lpdeformaquedosfuncionesestanenlamismaclasesi sonigualescasi doquiera. Deestaformaseconstruyeelespacio de clasesLpy la aplicacion anterior es una norma en este espacio. Hayque tener en cuenta esta circunstancia en las aplicaciones de esta teora. En lapractica seguiremos llamando a estas clases de funciones con el mismo nombreque a una funcion, aunque prestando atencion a que todo lo que se diga de unadeestasfuncionesserasiempresalvoequivalencia,esdecir,salvounafuncionque es cero casi doquiera. Por tanto, los espacios Lpson espacios normados para1 p < . Se puede demostrar que estos espacios son de Banach.62 CAPITULO3. ESPACIOSDEBANACHTeorema3.3.1Sea 1 p < . El espacioLpes un espacio de Banach.Parademostrarlo, consideremosunasucesiondefuncionesenLpqueseadeCauchy, y supondremos que:|fn+1 fn|p 12n(lo que siempre se puede conseguir considerando subsucesiones si es necesario).A partir de esta sucesion construimos otra sucesion por:g1 = 0, g2 = [f1[, g3 = [f1[+[f2f1[,, gn = [f1[+[f2f1[++[fnfn1[, . . .Esta sucesion es de funciones no negativas y creciente. Ademas:_[gn[pd _|f1| +

i=2|fi fi1|p_p (|f1|p + 1)pEstoquieredecir(porelteoremadeLevi,verbibliografa)quelasucesiongnconvergecasidoquieraaunfunciongcuyapotenciapesintegrable(g Lp).Ademas:[fn+k(x) fn(x)[ =n+k

i=n+1(fi(x) fi1(x))n+k

i=n+1[fi(x) fi1(x)[= gn+k(x) gn(x)Por lo tanto, la sucesionfn(x) es de Cauchy yfnconverge puntualmente casidoquieraaunafuncionf. SolofaltaprobarqueestafuncionestaenLpylasucesionfnconverge a ella en la norma deLp. Pero[fn(x)[ = [f1(x) +n

i=2(fi(x) fi1(x))[ gn(x) g(x)casi doquiera para todon, luego [f(x)[ g(x) y por tantof Lp. Ademas:[f(x) fn(x)[ 2g(x) c.d.Como lmn[f(x) fn(x)[p= 0, el lmite de la norma de la diferencia es ceropor el teorema de la convergencia dominada:lmn|f fn|p = 0Hayquetenerencuentaqueel queunasucesiondefuncionesdeLpcon-verja en norma a una funcion, no quiere decir que la convergencia sea puntual(incluso casi doquiera). Tambien es posible construir sucesiones que convergencasi doquiera a una funcion enLppero que no convergen en norma.La desigualdad (cierta para 1 p < ya, b 0) (a +b)p 2p1(ap+bp)y el lema de Fatou permiten demostrar la siguiente propiedad:Proposicion3.3.1Seafnuna sucesion de funciones en el espacio de BanachLpyf Lp.Si fn(x)convergeaf(x)casidoquieraylasucesiondenormas|fn|pconverge a |f|p, entoncesfnconverge en norma af(|fn f| 0).3.3. ESPACIOSLP63Hasta ahora nos hemos limitado en la construccion de estos espacios de fun-ciones al intervalo 1 p < . Pero es posible denir un espacio que llamaremosL. Para ello denimos primero el supremo de una funcion f. Se dice que K esuna cota (esencial) de una funcion (de valores reales o complejos) f si [f(x)[ Kcasidoquiera.Deestaforma,unafuncionestaesencialmenteacotadasitieneunacota(esencial). Llamaremosel supremo(esencial)al nmodelascotas(esenciales), cuando la funcion esta esencialmente acotada:|f| =nfK : [f(x)[ K, c.d.El conjunto de las funciones medibles esencialmente acotadas se llama L y esunespaciovectorial.Comoantesesnecesarioestablecerunarelaciondeequi-valenciaparapodertenerunanorma. El espaciodeclasessellamaraLyesunespaciovectorial normadoconlanormadel supremo(enloquesigueprescindiremosdelapalabraesencial).EsteespacioesunespaciodeBanach.La demostracion es inmediata, bas andose como es usual en el hecho de que lassucesiones de n umeros reales (o complejos)fn(x) son de Cauchy sifnlo es enL.Entre las propiedades interesantes de estos espacio Lp, 1 p < , podemoscitar que las funciones escalon estan contenidos en ellos y que incluso son densasen la norma correspondiente. Igual les pasa a las funciones continuas de soportecompacto (con algunas restricciones sobre el espacio y la medida, que obviamen-te cumplenR y la medida de Lebesgue). Con estas condiciones la complecionde los espacios de funciones continuas con soporte compacto son los espacios Lp(cuando se considera la norma ||p). El conjuntoC([0, 1]) con la normap noes,deacuerdoconloanterior,completo.Laconvergenciaesmasdebilquelauniforme y al completarlo se obtienen los espacios Lp. Sin embargo, el conjuntode las funciones que tienden a cero en el innito C0(X) (con X un espacio local-mente compacto) es un subconjunto cerrado del conjunto de funciones acotadas(L) y por lo tanto es un espacio de Banach.Se tiene tambien un resultado que relaciona unos espacios con otros:Proposicion3.3.2Si el espacio tiene medida nita y 1 p < q , entoncesLq Lpy |f|p |f|q.La demostracion usa el hecho de que la funcion constante igual a 1 esta en todoslosespaciosLpenestecaso(porquelamedidadelespaciototalesnita).Esevidente queL Lppara todop con 1 p (de nuevo porque el espacio totaltiene medida nita). Si q< , sea r = q/p > 1, y sea s su coeciente conjugado.Toda funcion enLqtiene su modulo a la potenciap enLr. Por la desigualdadde Holder el producto de esta funcion por la funcion 1 (que esta enLs) esta enL1. Por lo tantof Lp.Perosi el espacionotienemedidanitalasituacionnoestansimple. Elsiguiente ejemplo muestra una funcion que esta enLppero en ning un otroLqconp ,= q. Seaf(x) =1x(1 +[ log x[)2Probemos en primer lugar que esta funcion esta en L1(0, ), aunque la funciondivergecuandox 0yelintervaloesinnito.Laintegraldelvalorabsoluto64 CAPITULO3. ESPACIOSDEBANACH(la funcion es positiva) es (haciendot = log x):_01x(1 +[ log x[)2 dx =_1(1 +[t[)2 dt =_01(1 t)2 dt +_01(1 +t)2 dt = 1 + 1 = 2Porlotanto, lafunciong(x) =(f(x))1pestaenLp, pues [g(x)[p=f(x)esintegrable.Sinembargo,consideremosgq= (f(x))qpconq ,=pyveamossilaintegral ( = q/p)_01x(1 +[ log x[)2 dx =_101x(1 log x)2 dx +_11x(1 + log x)2 dxconverge (si lo hiciera,g Lq). El integrando de la primera integral es singularenx=0. Deloscriteriosusualesdeconvergenciasetienequesi >1esaintegral diverge(lasingularidadqueenx=0tienexesdemasiadofuertepara la convergencia y el logaritmo no puede compensarla, aunque este elevadoa 2). El punto singular para la segunda integral es y ahora el criterio es quela integral diverge si < 1 (en este caso,xno tiende a cero sucientementedeprisaylacontribuciondel logaritmotampocoessuciente). Encualquiercaso,para ,= 1(esdecirp ,=q)laintegraldivergeenunouotroextremoypor tantog/ Lq.Los espacios Lpy Lqcorrespondientes a coecientes conjugados tienen unasrelaciones interesantes cuando se estudian sus funcionales. Existe un teorema deRiesz (que estudiaremos en el caso en que p = q = 2) que asegura que cualquierfuncional lineal acotado de Lpse puede representar por una funcion de Lqen elsiguiente sentido:F(g) =_fg d, g Lp, f Lqdondefviene jada unvocamente por el funcional F. Sin embargo este no esel caso (en general) para los espaciosL1yL.LosespaciosLp(R)yLq(R)sonduales(conp, qconjugados,mayoresque1). Sin embargo, de forma similar a como ocurra con los espacioslp, el dual deL1(R) esL(R), pero eldual deL(R) no esL1R (hay funcionales linealescontinuos sobre L(R) que no estan en L1R). Se puede probar que este ultimoespacio no es el dual de ning un espacio de Banach.LosespaciosdesucesioneslpquehemosestudiadopreviamentesepuedenconsiderarcomouncasoparticulardelateoradelosespaciosLpcuandolamedida es la medida discreta en el espacio N.Captulo4EspaciosdeHilbert4.1. IntroduccionLos espacios de Hilbert constituyen el punto central de este curso. Aunqueen los tratados elementales no ocupan demasiado lugar (reservado a los espaciosvectorialestopologicosyalosespaciosdeBanach)desdeelpuntodevistadelas aplicaciones fsicas constituyenunaherramientafundamental. Enloquesiguedesarrollaremoslateoraelemental, conespecialenfasisenlosaspectosgeometricos, para luego, en captulos posteriores estudiar la teora de operadoressobre estos espacios.4.2. DenicionesypropiedadesDenicion4.2.1SeaLunespaciovectorial sobreK=R, C. Consideremosla siguiente aplicacion:L L Kx , y (x, y)que verica las siguientes propiedades:1. (x, x) 0,x H; (x, x) = 0 x = 02. (x, y +z) = (x, y) + (x, z), x, y, z L3. (x, y) = (x, y), K, x L4. (x, y) = (y, x) x, y LLaspropiedades2,3,4equivalenadecirque( , )esunaformasesquilinealhermtica(simetricasi K=R). Lapropiedad1quieredecirquelaformaesdenidapositiva. Sedicequeel espacio Les unespaciopre-Hilbert conelproducto escalar ( , ).Proposicion4.2.1(DesigualdaddeCauchy-Schwarz)SeaLunespaciopre-Hilbert. Para todo par de vectoresx, y H se tiene:[(x, y)[ _(x, x)(y, y)6566 CAPITULO4. ESPACIOSDEHILBERTPara todo C,x, y