af de skriftlige prøver i matematik på stx og hf ved...Stx matematik A Karakter ‐3 00 02 4 7 10...

Side 1 af 58

Evaluering af de

skriftlige prøver

i matematik

på stx og hf ved

sommereksamen 2008

Undervisningsministeriet

oktober 2008

Side 2 af 58

Indhold

1. Forord ....................................................................................................................................................... 3

2. Anbefalinger ............................................................................................................................................. 5

3. Den skriftlige prøve i matematik A på stx ................................................................................................ 7 3.1 Karakterfordeling ved eksamen ......................................................................................................... 7 3.2 Pointtal for enkeltopgaver ................................................................................................................. 8 3.3 Sammenligning af pointtal ved prøverne uden og med hjælpemidler ............................................ 11 3.4 Fordeling af pointtal opgjort efter opnået karakter ......................................................................... 12 3.5 Anmeldelse af opgaverne (STX081‐MAA) ........................................................................................ 15 3.6 Klyngeanalyser af elevbesvarelserne ............................................................................................... 23 3.7 Kønsforskelle i opnået resultat......................................................................................................... 24

4. Den skriftlige prøve i matematik‐B på stx .............................................................................................. 27 4.1 Karakterfordeling ved eksamen ....................................................................................................... 27 4.2 Pointtal for enkeltopgaver ............................................................................................................... 28 4.3 Sammenligning af pointtal ved prøverne uden og med hjælpemidler ............................................ 31 4.4 Fordeling af pointtal opgjort efter opnået karakter. ........................................................................ 32 4.5 Klyngeanalyser af elevbesvarelserne ............................................................................................... 35

5. Den skriftlige prøve i matematik B på hf ................................................................................................ 36 5.1 Karakterfordeling ved eksamen ....................................................................................................... 36 5.2 Pointtal for enkeltopgaver ............................................................................................................... 37 5.3 Sammenligning af pointtal ved prøverne uden og med hjælpemidler ............................................ 39 5.4 Fordeling af pointtal opgjort efter opnået karakter. ........................................................................ 40 5.5 Klyngeanalyse af elevbesvarelserne ................................................................................................. 42

6. Sammenligning mellem hf B og stx B .................................................................................................... 44 6.1 Sproget ............................................................................................................................................. 44 6.2 Brug af billeder ................................................................................................................................. 45 6.3 Generel variation i det matematiske indhold .................................................................................. 45 6.4 Prøven uden hjælpemidler ............................................................................................................... 45 6.5 Konkrete sammenligninger i det matematiske indhold ................................................................... 46 6.6 Sammenfatning ................................................................................................................................ 47

7. Den skriftlige prøve i matematik C på hf ................................................................................................ 47 7.1 Karakterfordeling ved eksamen ....................................................................................................... 47 7.2 Pointtal for enkeltopgaver ............................................................................................................... 48 7.3 Fordeling af pointtal opgjort efter opnået karakter ......................................................................... 50 7.4 Klyngeanalyser af elevbesvarelserne ............................................................................................... 53

Bilag 1 ......................................................................................................................................................... 54 Besvarelse af eksamenssæt med udstrakt brug af CAS‐værktøj ............................................................ 54

Bilag 2 ......................................................................................................................................................... 58 Hierarkisk klyngeanalyse ........................................................................................................................ 58

Side 3 af 58

1. Forord Sommeren 2008 var første gang efter reformen, hvor der blev gennemført skriftlige prøver i matematik A ved studentereksamen (stx). Samtidig var det andet år med skriftlige prøver i B‐niveauerne (både stx og hf) og tredje år med skriftlig prøve i matematik C på hf.

Evalueringsrapporten over resultaterne ved sommereksamen 2008 består af tre elementer:

− en kvalitativ analyse af opgavesættene set i relation til læreplanernes krav.

− en detaljeret analyse af, hvorledes eleverne og kursisterne har klaret de enkelte spørgsmål, hvorledes sammenhængen er mellem besvarelserne af de forskellige spørgsmål, og hvorledes sættene differentierer i top og bund.

− en detaljeret kortlægning af sættenes struktur ved hjælp af en række statistiske og grafiske værktøjer.

Den meget detaljerede gennemlysning af eksamenssættene, som her foreligger, kan både anvendes af opgavekommission, censorer og lærere til at få en bedre forståelse af, hvordan en læreplan udmøntes i et eksamenssæt, hvilke opgaver der hører til den lettere del, og hvilke der hører til den sværere del af det faglige stof, samt hvordan eleverne egentlig går til opgaverne.

Resultaterne på stx A, hf B og hf C lå mht. gennemsnit og karakterfordeling, herunder dumpeprocent, på samme niveau som de plejer, mens resultaterne på stx B igen i år lå på et niveau, der nødvendiggjorde en justering af omregningsskalaen.

En væsentlig årsag til det sidste er den betydelige ændring i den population, der slutter med stx B som det højeste matematikniveau. Før reformen udgjorde denne population ca. 3000, efter reformen er det ca. 8000. Tilgangen kommer fra den gruppe elever, der tidligere valgte sproglig linje, og skyldes for en vis del, at samfundsfag A og biologi A nu er bundet til matematik B.

Det giver evalueringsgruppen anledning til at rejse nogle spørgsmål om udformningen af eksamenssæt‐tet på stx B, specielt om abstraktionsniveauet er for højt.

Mere generelt rejses spørgsmålet til alle niveauer, om eksamenssættene i matematik ikke kan opbygges, så vi opnår lavere dumpeprocenter, men stadig evaluerer kernestoffet, og uden at vi slækker på omreg‐ningsskalaen.

Studieretningsgymnasiet har medført en større differentiering mellem holdene på stx mht. fagligt niveau i matematik. Det er et naturligt resultat af, at elevernes talent for/interesse for matematik og naturvi‐denskab er en afgørende parameter i deres valg af studieretning. Det har betydet en større spredning på karaktergennemsnittene for de enkelte hold, end før reformen. Der er over 9 karakterpoint mellem gennemsnittet på de hold, der scorer lavest og de, der scorer højest. Selv om nogle hold har betydeligt vanskeligere vilkår end andre, så er der dog ikke tale om noget skæbnebestemt, man ikke kan gøre no‐get ved. Vi kan alle lære af ’best practice’.

Side 4 af 58

For at understøtte dette er der sideløbende med udarbejdelsen af den egentlige evalueringsrapport gennemført en undersøgelse af disse yderpunkter blandt holdene, med fokus på hold med usædvanligt gode resultater. Resultaterne heraf vil blive fremlagt i en særlig rapport. Der er selvfølgelig mange veje til gode resultater, og bestemte anbefalinger skal altid formes ud fra den enkelte kollegas personlighed. Men der er alligevel punkter, der går igen og igen:

− en fast planlægning, som eleverne er bekendt med, både af den enkelte lektion og af hele forlø‐bet – hvilket bl.a. giver bedre plads til repetitionsforløb

− træning af færdigheder, også til prøven uden, hellere med små dryp i stort set hver lektion (f.eks. i de første 5‐10 minutter af en time) end med længerevarende forløb om brøker osv.

− regelmæssig aflevering næsten hver uge – hellere flere og så lidt mindre sæt end det modsatte − konsekvent at gentage og fastholde gode rutiner mht. mellemregninger, forklarende tekst, illu‐

strationer og konklusioner − systematisk udnyttelse af cas‐værktøjer – i stadig større udstrækning på pc − udnyttelse af mulighederne i det faglige samarbejde i AT og imellem studieretningsfag ”offen‐

sivt”, både til at dække fagligt stof og til at tænde eleverne på faget − en planlægning, der giver plads til af og til at ”gå ud af en tangent”, at ”lege” og eksperimentere,

at dykke ned i fagligt stof, eleverne synes er sjovt og spændende – hvor en ensidig fokus på op‐gaveregning i næsten alle timer kan virke mod hensigten, hvis motivationen stort set kun er ek‐samen.

Dette vil blive uddybet i den særlige rapport.

Til grund for evalueringsgruppens analyse ligger de indberetninger og tilbagemeldinger, censorerne gav i forcensuren. Det er et værdifuldt materiale, og tak til censorerne for det.

Den kvalitative analyse af opgavesættene er Niels Grønbæk fra Matematisk Institut, KU, blevet bedt om at lave. Hensigten hermed har været at få et eksternt blik på disse eksamenssæt, foretaget af en som er uvildig både i forhold til opgavekommissionerne og til det daglige arbejde med at realisere læreplanerne i undervisningen. Analysen er naturligvis drøftet i hele evalueringsgruppen og integreret i den øvrige del af rapporten.

Man kan med fordel have selve eksamenssættene ved hånden, når man orienterer sig i rapporten. De findes på adressen: http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/eksamen/opgaver/matematik.htm?menuid=1530

Evalueringsgruppen bestod af lektor Claus Jessen, Frederiksberg Gymnasium, lektor Morten Overgaard Nielsen, KVUC og lektor Niels Grønbæk, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet foruden undertegnede. En stor tak til de tre. Endvidere tak til lektor Inge Henningsen, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet, for udarbejdelse af klyngeanalyserne.

Bjørn Grøn, fagkonsulent

Side 5 af 58

2. Anbefalinger Evalueringsgruppen fremlægger i denne rapport analyser af eksamensopgaver og eksamensresultater af årets eksamen. Ud fra indholdet i rapporten anbefaler gruppen følgende:

Dumpeprocenterne ved skriftlig eksamen i matematik bør bringes ned. Selv om dumpeprocenterne i 2008 var på niveau med situationen før reformen og på niveau med, hvad man i øvrigt er vant til i ma‐tematikfaget, så bør det overvejes helt principielt, om det er rimeligt, at matematik har en markant hø‐jere dumpeprocent, end man kender fra andre fag. Det er ikke en let øvelse i betragtning af de store ændringer, der er sket i elevpopulationerne til skriftlig eksamen, og i lyset af den stærke tradition, der er i faget for, hvordan eksamenssæt bygges op. Evalueringsgruppen foreslår, at opgavesættene, formuleret lidt skematisk, bygges op af tre kategorier af opgaver. Én kategori rummer spørgsmål fra de indledende dele af de faglige emner og skal være så tilpas elementære, at elever, der nok har lidt svært ved mate‐matik, men som har gjort deres bedste, har fulgt med og afleveret opgaver, skal kunne besvare dem. En anden kategori kan være rettet mod middeleleverne og en tredje kan være rettet mod de dygtigste. Evalueringsgruppen kan konstatere, at der på alle niveauer mangler opgaver, der er nemme og et tilbud til de svagere elever. Der bør være så mange opgaver af første kategori, at elever, der har fulgt med og gjort deres bedste, kan bestå.

Det var i år første gang, der blev stillet eksamensopgaver på stx A‐niveau efter reformen. Generelt er denne eksamen gået godt. Dog anbefaler evalueringsgruppen, at sættet gøres lidt mindre omfangsrigt, og at der stilles opgaver, der klarere kan differentiere i toppen blandt eksaminanderne.

På A‐niveauet indgår flere modelopgaver, også autentiske modeller. Modelopgaverne er godt valgt, og opgaverne lægger fint op til brug af CAS‐værktøj. Evalueringsgruppen anbefaler, at det overvejes, om der kunne stilles flere spørgsmål til selve forståelsen og/eller til en vurdering af de konkrete modeller.

Evalueringsgruppen bemærker, at der ikke er registreret markant forskel i karakter eller pointfordelin‐gerne på stx A i forhold til køn.

Eksamenspopulationen på stx B er som konsekvens af studieretningsgymnasiet med de nye fagbindinger anderledes end den tidligere population på B‐niveau før reformen. Evalueringsgruppen anbefaler, at der foretages en nærmere kortlægning af den nye population, og at denne viden inddrages i udformningen af eksamenssættene.

Formuleringerne i stx‐B‐sættet fremstår i højere grad prægede af traditionen for matematisk præcision end formuleringerne i hf‐B‐sættet. Hf‐B‐sættet fremstår både matematisk og sprogligt mere direkte end stx‐B‐sættet. Der skal være forskel mellem de to uddannelser, men evalueringsgruppen anbefaler allige‐vel, at forskellen mellem opgaveformuleringerne i disse eksamenssæt bliver mindre markant.

Generelt er der meget få elever, der opnår fuldt pointtal i helhedsindtrykket. Evalueringsgruppen undrer sig over dette. Måske skyldes det, at der blandt de skriftlige censorer fortsat er usikkerhed over for den‐ne form for pointgivning. Evalueringsgruppen anbefaler, at der fortsat sættes fokus på vurdering af hel‐hedsindtrykket over for de skriftlige censorer.

Side 6 af 58

Evalueringsgruppen anbefaler, at opgavekommissionerne i stedet for en abstrakt og ”indforstået” opga‐veformulering såsom ”Kommenter…” anvendes en præcis formulering, hvor det eksplicit fremgår, hvad der ønskes kommenteret.

Evalueringsgruppen har ud af opgavesættene vanskeligt ved at se, hvilken funktion de valgfrie opgaver har. Hvis idéen er, at opgavekommissionerne her kan afprøve ting og erindre kollegerne om emner, der ligger i udkanten af pensum, så bør meddeles lærerne af andre kanaler. Evalueringsgruppen anbefaler, at de valgfrie opgaver i den nuværende udformning bortfalder.

Side 7 af 58

3. Den skriftlige prøve i matematik A på stx

3.1 Karakterfordeling ved eksamen Ved sommereksamen blev der af de skriftlige censorer indtastet resultater fra 7400 elever, der var til skriftlig prøve i matematik A på stx. Deres karakterer fordelte sig som vist i tabellen:

Stx matematik A

Karakter ‐3 00 02 4 7 10 12

Frekvens (%) 0,6 17,4 6,8 15,8 20,4 27,8 11,3

Fordelingen kan illustreres med følgende diagram:

Betragter man udelukkende de elever, der bestod eksamen, er karakterfordelingen således:

0

5

10

15

20

25

30

‐3 00 02 4 7 10 12

Procen

t

Karakter

Matematik stx‐A ‐ sommer 2008Karakterfordeling for alle

0

10

20

30

40

02 4 7 10 12

Procen

t

Karakter

Matematik stx‐A ‐ sommer 2008Karakterfordeling for beståede

Side 8 af 58

Karakterfordelingen for de elever, der bestod eksamen, afviger en del fra den ”ideelle” fordeling på 10%, 25%, 30%, 25%, 10% til karaktererne 02, 4, 7, 10, 12. Andelen af elever, der opnår en karakter over mid‐del, er meget høj – som det var på det treårige A‐niveau før reformen.

En forklaring kunne være at opgavesættet ikke har givet mulighed for at differentiere blandt de dygtige elever, fordi der muligvis ikke er så stor variation i sværhedsgraden af de stillede opgaver. En anden mulighed er den måde eleverne fordeler sig på de forskellige matematikniveauer i studieretningsgymna‐siet: Man kunne nemlig forestille sig, at en del af de studieretninger, hvor matematik optræder på A‐niveau, tiltrækker de elever, der har størst interesse og evner for matematik. Karakterfordelingen ved den treårige A‐niveau før reformen var af samme type. Herværende evaluering giver desværre ikke mu‐lighed for yderligere at belyse dette problem. Det vil kræve mere detaljerede undersøgelser af karakter‐fordelingen på forskellige studieretninger.

Evalueringsgruppen bemærker desuden, at 18,0% af de elever, der deltager i den skriftlige prøve, ikke opnår en bestå‐karakter. Dette afviger ikke fra andelen af dumpede elever på tilsvarende niveauer før reformen. Men sammen med den høje andel af elever, der opnår karakteren 10, giver det en udpræget topuklet karakterfordeling. Det fremgår imidlertid af pointfordelingen (se nedenfor), at den topuklede fordeling er et resultat af omregningen fra point til karakterer.

3.2 Pointtal for enkeltopgaver Alle førstecensorerne blev bedt om at indsende resultaterne af deres pointtildeling for de fem første elever på karakterlisterne for de hold, de rettede. Forcensuren bygger på pointtal for 1777 elever. Dette materiale danner udgangspunkt for en nærmere analyse af, hvordan eleverne klarede den stillede prø‐ve. Hvis man anvender samme pointskala som anvendtes ved censormødet, får man en karakterforde‐ling ved forcensuren, der ligger meget tæt op ad karakterfordelingen ved eksamen. Dette indikerer, at forcensuren giver et meget retvisende billede af hele populationen.

Det samlede pointtal, som eleverne opnår ved prøven, fremgår af dette diagram:

0

5

10

15

20

25

30

‐3 00 02 4 7 10 12

Procen

t

Karakter

Matematik stx‐A ‐ sommer 2008Sammenligning alle/forcensur

Alle

Forcensur

Side 9 af 58

Herved ses, at pointfordelingen vokser nogenlunde jævnt op til ca. 85 point (svarende til karakteren 7). Kvartilsættet for pointfordelingen er (59, 84, 105). Dette viser, at opgavesættet har givet mange elever god mulighed for at besvare mange af de stillede enkeltspørgsmål, så de fleste elever har kunnet opnå et passende pointtal, idet medianen er 84. Den øvre kvartil på 105 viser, at der er rigtig mange elever, der opnår høje pointtal, og det gør det vanskeligt at differentiere niveauet for de bedste elever.

Ud fra forcensuren kan man også se, hvordan eleverne klarede de enkelte opgaver og delspørgsmål i opgavesættet. Dette ses i følgende diagram:

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,00

-56

-10

11 -

1516

-20

21 -

2526

-30

31 -

3536

-40

41 -

4546

-50

51 -

5556

-60

61 -

6566

-70

71 -

7576

-80

81 -

8586

-90

91 -

9595

-100

100-

105

105-

110

110-

115

115-

120

120-

125

Frek

vens

i %

Pointtal

Pointfordeling stx A forcensur 2008 (1777 elever)

Side 10 af 58

Generelt set klarer eleverne opgaverne i sættet med hjælpemidler rigtigt godt. På nær nogle enkelte opgaver opnår over 50% af eleverne fuldt pointtal i disse opgaver. Dog er der en tendens til, at de sidste opgaver i sættet klares lidt dårligere. Umiddelbart vurderes disse opgaver ikke til at være vanskeligere end sættets øvrige opgaver, og en forklaring kan være, at opgavesættet har været omfangsrigt, og at en del elever ikke har nået at besvare de sidste opgaver i sættet. Evalueringsgruppen finder det uheldigt, hvis man på denne måde differentierer i toppen ved at lade regnehastighed være afgørende.

0% 25% 50% 75% 100%

1

2

3

4

5

6a

6b

7a

7b

8a

9a

9b

10a

11a

11b

12a

12b

13a

13b

14a

14b

15a

16a

17 (a og b)

Helhedsindtryk

Stx‐A. Pointfordeling for enkeltopgaver (forcensur 2008)

0 point

1 point

2 point

3 point

4 point

5 point

Side 11 af 58

I opgaverne uden hjælpemidler er det specielt én opgave, der klares dårligt. Det er opgave 4 – integrati‐on ved substitution – som meget få elever klarer. Opgaven vurderes ikke til at være specielt vanskelig, men det dårlige resultat kan skyldes, at denne type opgaver er blevet nedtonet i den daglige træning uden hjælpemidler, fordi CAS‐værktøjet som regel bruges til at udregne integraler og finde stamfunktio‐ner.

Vurderingen af helhedsindtrykket er pointmæssigt helt anderledes end bedømmelsen af de enkelte opgaver. I helhedsindtrykket er der meget få elever, der opnår fuldt pointtal. Evalueringsgruppen undrer sig over dette. Måske skyldes det, at de skriftlige censorer ikke har en fælles holdning til denne form for pointgivning, og til hvad der skal til, for at en elev kan tildeles fuldt pointtal?

Det er ikke muligt ud fra forcensuren at afgøre, hvor mange elever der har valgt opgave a) eller b) fra den valgfrie opgave 17, fordi det ikke kan afgøres om et opnået pointtal på 0 betyder, at eleven ikke har valgt opgaven eller har løst den forkert. Men forcensuren viser, at 18,2% af eleverne har opnået 1 point eller mere i opgave 17a, mens 57,2% har opnået 1 point eller mere i opgave 17b. Så langt de fleste ele‐ver har valgt opgave 17b.

3.3 Sammenligning af pointtal ved prøverne uden og med hjælpemidler I nedenstående diagram er opgjort, hvordan de enkelte elever har opnået point i de to delprøver uden og med hjælpemidler. Som forventet er der en sammenhæng mellem opnået pointtal i de to delprøver og kun få elever ligger langt fra diagonalen. Bemærk, at diagrammet kan være vanskeligt at tyde, fordi de enkelte prikker kan repræsentere flere elever. For at tage højde for dette er foretaget lineær regres‐sion på datamaterialet. Resultatet ses her:

Tendenslinjen følger ret nøje diagonalen, dog med lidt mindre hældning, hvilket må tolkes, som at ele‐verne klarer prøven med hjælpemidler bedre end prøven uden.

0

5

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Matematik stx‐A ‐ sommer 2008Pointtal i prøven med og uden

hjælpemidler

Side 12 af 58

3.4 Fordeling af pointtal opgjort efter opnået karakter Det kan være interessant at se, hvilke opgavetyper elever på forskellige niveauer kan honorere. Dette ses af følgende diagrammer.

012345

1 2 3 4 5 6a 6b 7a 7b 8a 9a 9b 10a

11a

11b

12a

12b

13a

13b

14a

14b

15a

16a 17

Helhe

dsind…

Gen

nemsnitlig pointtal

Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter ‐3

012345

1 2 3 4 5 6a 6b 7a 7b 8a 9a 9b 10a

11a

11b

12a

12b

13a

13b

14a

14b

15a

16a 17

Helhe

dsind…

Gen

nemsnitlig pointtal

Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter 00

Side 13 af 58

012345

1 2 3 4 5 6a 6b 7a 7b 8a 9a 9b 10a

11a

11b

12a

12b

13a

13b

14a

14b

15a

16a 17

Helhe

dsindt…

Gen

nemsnitlig pointtal


012345

1 2 3 4 5 6a 6b 7a 7b 8a 9a 9b 10a

11a

11b

12a

12b

13a

13b

14a

14b

15a

16a 17

Helhe

dsind …

Gen

nemsnitlig pointtal


012345

1 2 3 4 5 6a 6b 7a 7b 8a 9a 9b 10a

11a

11b

12a

12b

13a

13b

14a

14b

15a

16a 17

Helhe

dsind…

Gen

nemsnitlig pointtal


Side 14 af 58

Det er tydeligt at se, at en del af opgaverne i prøven med hjælpemidler giver størst pointudbytte for de svagere elever. I prøven uden hjælpemidler skiller opgave 4 sig markant ud igen, idet det er den opgave, som selv de dygtigste elever klarer dårligst. Det er også markant, at de elever der opnår højeste karakte‐rer, scorer forholdsvis lavt i helhedsindtrykket. Pointfordelingen for elever med middelkarakter viser tydeligt et fald i de sidste opgaver i sættet. Det kan skyldes, at disse elever har haft tidsnød og ikke er nået så langt på den givne tid.

012345

1 2 3 4 5 6a 6b 7a 7b 8a 9a 9b 10a

11a

11b

12a

12b

13a

13b

14a

14b

15a

16a 17

Helhe

dsindt…

Gen

nemsnitlig pointtal


012345

1 2 3 4 5 6a 6b 7a 7b 8a 9a 9b 10a

11a

11b

12a

12b

13a

13b

14a

14b

15a

16a 17

Helhe

dsind…

Gen

nemsnitlig pointtal


Side 15 af 58

3.5 Anmeldelse af opgaverne (STX081MAA) Skrevet af lektor Niels Grønbæk, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet

Nedenfor er i punktform angivet, hvilke kompetencer en elev skal mobilisere i de enkelte opgaver. Der er selvfølgelig også andre muligheder end de nævnte, men de vil dog næppe ændre på det samlede billede af sættet.

Uden hjælpemidler

Opgave 1 • At udnytte sammenhæng mellem

ortogonalitet og skalarprodukt. • At løse 1. ordens ligning til be‐

stemmelse af parameterværdi.

Opgave 2 • At indsætte konkrete værdier i sim‐

pelt udtryk med to ubekendte. • Reduktion af udtryk (forkortning i

brøk med toleddet nævner).

Opgave 3 • At beregne afledet af 3. grads poly‐

nomium med konkrete koefficien‐ter.

• At bestemme monotoniforhold ved hjælp af fortegnsvariation for diffe‐rentialkvotient.

• At kunne bestemme fortegnsvaria‐tion for et konkret andengradspo‐lynomium.

Opgave 4 • At beregne bestemt integral vha.

substitution (konkret (genkende 2xdx som d(x2)).

• At indsætte ny grænser. • At kende stamfunktion til 1/x (kon‐

kret genkende ln(2)).

Side 16 af 58

Opgave 5 • At relatere beskrivelse (geometrisk

optik) og retvisende figur. • Identificere relevante ensvinklede

trekanter. • Udnytte proportionalitet af side‐

længder.

Bemærkning Valget af geometrisk optik favoriserer (marginalt?) elever, som har haft det andetsteds og dermed ved at indfaldsvinkel er lig udfaldsvinkel og antageligt har regnet lignende opgaver. Med hjælpemidler

Opgave 6 (bestemmelse af stykker i trekanter) • At kunne benytte formel for sinus i

retvinklet trekant. • At identificere relevante trekants‐

stykker i den opgivne firkant. • At benytte Pythagoras’ sætning til

bestemmelse af hypotenuse. • At benytte cosinusrelation til be‐

stemmelse af sidelængde.

Bemærkninger Opgaven er klassisk og regulær. At trekant CDH er en separat tegnet delfigur, er vel underforstået, men i så fald er en af oplysningerne ”vinkel B er ret” og ”|BA|=5” overflødig. Det har dog næppe lokket ele‐verne til forgæves spekulationer over, hvad den overflødige oplysning skal tjene til.

Side 17 af 58

Opgave 7 (plan og linje i rummet) • At bestemme ligning for plan ud fra

udspændende vektorer og punkt i planen, herunder o at udregne krydsprodukt o at indsætte korrekt i ligning

• At identificere den adspurgte vinkel som komplementærvinkel til vinklen mellem retningsvektor og normal‐vektor.

• At identificere retningsvektor og normalvektor ud fra hhv. parameter‐fremstilling og ligning.

• At kunne beregne vinkel mellem to vektorer i rummet, fx vha. skalarpro‐dukt.

Opgave 8 (stamfunktionsbestemmelse) • At kende kald af stamfunktionsbe‐

stemmelse i relevant CAS‐værktøj. • At kunne indtaste data for opgiven

funktion i relevant CAS‐værktøj. Alternativt • at bestemme stamfunktioner ved

klassiske metoder, dvs. ud fra et pas‐sende bibliotek af stamfunktioner og regneregler at kunne bestemme konkret stamfunktion og justere ar‐bitrær konstant til opfyldelse af be‐gyndelsesbetingelse.

Opgave 9 (lineær model) • At kunne omsætte ”årstal” til ”år

efter 1900”. • At kunne identificere afhængig og

uafhængig variabel som nederste og øverste række i tabel.

• At finde forskrift for lineær funktion ud fra to opgivne punkter (fx ved (misbrug af) lineær regression). (Med misbrug hentydes til at lineær regression benyttes til fastlæggelse af bedst tilpassede rette linje. Når der er to punkter, burde det jo være linjen gennem disse, men at benytte dette kræver, at man går i detaljer med, hvordan den lineære regression faktisk virker (se også generelle be‐mærkninger nedenfor)).

• At afkode ud fra tekst at der adspør‐ges 1. koordinat til skæringspunkt

Side 18 af 58

mellem to rette linjer. • At beregne værdien heraf. Bemærkninger Det ligger implicit i spørgsmålet at tabellen angiver f(0) og f(75). Imidlertid må man formode, at funktio‐nen f er fundet ud fra lineær regression af et større tabelmateriale. Herved bliver opgaveformuleringen uklar om, hvorvidt der er tale om faktiske (målte) værdier eller værdier beregnet ved regression. Dette har næppe forstyrret eksaminanderne, men er uheldigt i forhold til en vigtig pointe i den daglige under‐visning, for hvilken eksamensopgaverne jo i høj grad er paradigmatiske. Fortolkningen af skæringspunktet er: I år 2012 kan både en 65‐årig og en nyfødt forvente at blive ca. 82 år. Dette gør eleven klogt i ikke at spilde tid med at fundere over. Givet to linjer og et spørgsmål om en værdi af en førstekoordinat er det eneste fornuftige svar: Det må være koordinaten til skæringspunktet – uanset hvorledes dette ellers beskrives i opgavens kontekst ‐ en slags omvendt jeopardy. Opgave 10 (vækst med konstant vækst‐rate) • Ud fra opgiven vækstmodel (”fast

årlig procent”) og angivelse af samlet vækst over et antal år at kunne be‐stemme vækstraten i procent.

Opgave 11 (bestemmelse af tangent til parabel, skæring mellem grafer) • At kunne beregne og indsætte data i

ligningen for tangent i et punkt her‐under o at kunne beregne differentialkvo‐

tient for andengradspolynomium i et punkt, fx ved direkte kald i CAS‐værktøj.

• At vide at skæring mellem grafer fås ved løsning af ligning f(x)=g(x).

• At kunne løse denne ligning, fx vha. relevant CAS‐værktøj.

Opgave 12 (deskriptiv statistik) • Ud fra tabel af grupperede observa‐

tioner og frekvenser at kunne tegne sumkurve, herunder o at kumulere frekvenser og afsæt‐

te i korrekt intervalendepunkt • At kunne aflæse kvartilsæt ud fra

sumkurve. Alternativt • At kunne beregne kvartilsæt ud fra

tabel over kumulerede frekvenser. • At kunne afsætte data for boksplot

korrekt. • At kunne sammenligne og kommen‐

tere boksplot (a la ”… større spred‐ning i toppen…)

Side 19 af 58

Opgave 13 (funktionsundersøgelse) • At kunne beregne areal af område

mellem grafer, herunder o at identificere relevant differens

af funktionsudtryk (inklusiv for‐tegn)

o at identificere grænser for inte‐gration

o at udføre integrationen • At udføre ovenstående med ube‐

kendt øvre grænse. • At opstille ligning mellem integraler

der udtrykker at to arealer har sam‐me værdi.

• At løse denne ligning (mht. den ube‐kendte øvre grænse), fx på relevant CAS‐værktøj.

Opgave 14 (logistisk vækst) • At kunne genkende ligning for logi‐

stisk vækst. • At kunne opskrive løsning ud fra lig‐

ningens parametre og begyndelses‐værdi.

Alternativt • At indtaste differentialligningen di‐

rekte i CAS‐værktøj og udføre rele‐vant kald.

• Indsætte konkret variabelværdi i fundne løsning.

• Ud fra ligningen at kunne aflæse værdien af den øvre grænse for vækst.

• At kommentere (”Øvre grænse er nået”), dvs. erkende at i modellen er 313 næsten det samme som 315.

Bemærkning I spørgsmål b’s formulering ”…kommentér resultatet” er det underforstået, hvad der sigtes til. Det bør gøres klart, at der ønskes et svar baseret på matematiske overvejelser. Der er ingen grund til fx at lokke eleverne til trafikpolitiske overvejelser. Opgave 15 (ikke‐klassificeret vækstmo‐del, to variable) • At kunne genkende den sproglige

beskrivelses betegnelser (M og t) i modelligningen.

• At kunne beregne værdi af en varia‐bel ud fra opgivelse af værdi af den anden variabel, fx ved indtastning på relevant CAS‐værktøj.

• Ud fra udtrykket for ln(M) at beregne

Side 20 af 58

udtrykket for M, fx ved indtastning på relevant CAS‐værktøj.

Bemærkning Autentiske modeller er velanbragte i eksamenssæt. Imidlertid stilles der kun matematiktekniske spørgsmål til funktionen M (implicit given). Jeg savner et forståelsesspørgmål. Et sådant kunne være med passende formulering at gøre rede for at funktionen M med rimelighed beskriver vækst (fordi den er voksende). Muligvis er denne konkrete opgave så teknisk set for vanskelig, men så kan man vælge mindre komplicerede modeller. Opgave 16 (differentialligning) • Ud fra sproglig beskrivelse af diffe‐

rentialkvotient og aritmetik, konkret o væksthastighed = differentialkvo‐

tient o proportional med = multiplikati‐

on med konstant o forskel mellem = subtraktion o produkt = multiplikation

At sammenfatte den beskrevne algebra. • Dernæst at nedskrive differentiallig‐

ning. • At beregne værdi af proportionali‐

tetsfaktor ud fra opgivelse af værdier af ligningens andre størrelser.

Opgave 17a (ikke‐lineære ligninger) • At benytte substitutionsmetoden til

elimination af 1. ordens variabel i to ikke‐lineære ligninger med tre ube‐kendte, fx ved at erkende at syste‐met kan opfattes som to lineære lig‐ninger med to ubekendte hvor koef‐ficienterne afhænger af den tredje variable.

• Alternativt at indtaste ligningerne direkte i relevant CAS‐værktøj og kalde relevant applikation.

• At finde minimum for den herved fremkomne funktion, fx ved nul‐punktsbestemmelse af differential‐kvotient i relevant CAS‐værktøj, eller ved direkte kald af applikation.

Bemærkninger Den elev, der vil forsøge at forstå ligningernes betydning i relation til den anførte figur, vil spilde sin tid. Dette til trods for, at figuren ved selve dens anførelse ansporer hertil.

Side 21 af 58

Selvom det ikke er krævet, er det alligevel bemærkelsesværdigt, at tilbundsgående argumentation for at der er bestemt et globalt minimum og ikke blot et lokalt, kræver argumentation ved hjælp af den afle‐dede, for at der kan gives fuldt point. Opgave 17b (rumgeometri) Denne opgave har en taksonomisk højere indgangstærskel end de øvrige. Spørgs‐målet er formuleret åbent og eleven skal selv vælge løsningsmetode (med mindre eleverne har lært en standardtilgang til netop dette problem). Relevante kompe‐tencer kunne omfatte: • At erkende at tangent svare til præcis

et fælles punkt (fordi kuglen er strengt konveks). Har eleverne et veldefineret tangentbegreb eller ap‐pelleres der her til almindelig sund fornuft?

• At opstille metode til afgørelse af dette, fx o indsæt parameterfremstilling i

kuglens ligning, undersøg antallet af løsninger for parameter, fx ved at beregne diskriminant i den fremkomne andengradsligning for parameter.

Alternativt o indtast kuglens ligning og para‐

meterfremstilling som fire lignin‐ger med fire ubekendte, og løs i relevant CAS‐applikation.

Alternativt • At erkende at tangent svarer til at

afstanden fra linjen til kuglens cen‐trum er lig med kuglens radius.

Dernæst at • Identificere kuglens centrum og radi‐

us, fx ved komplettering af kvadrater.• At beregne afstand fra linjen til kug‐

lens centrum. • Foretage sammenligning mellem

denne afstand og kugleradius.

Side 22 af 58

Generelle bemærkninger Pensum er (formelt, dvs. overordnet emnemæssigt) godt dækket ind, men det taksonomiske niveau er lavt. Til gengæld er sættet ret omfangsrigt, og det skønnes at selv ret dygtige elever har været i tidsnød. Specielt kræver en tilbundsgående besvarelse af Opgave 17a ret omfattende undersøgelser.

Sættet udmærker sig ved at løsning af nogle af opgaverne reelt kræver brug af CAS‐værktøjer (og ikke blot, som tidligere, har haft det som en mulighed, der ikke nødvendigvis var særlig attraktiv)

Matematik i anvendelser er formelt dækket ind, men som i tidligere år er der ikke tale om, at eleverne selv skal anvende matematik i en ekstern sammenhæng. Derved kommer anvendelsesaspektet stort set kun til at handle om elevens kompetence til at oversætte frem og tilbage mellem den sproglige beskri‐velse af opgavens kontekst og betegnelserne i opgavens matematiske model, hvilket naturligvis er en væsentlig kompetence at få efterprøvet. Måske skal øvrige anvendelseskompetencer henvises til den mundtlige eksamen. Men det har den uheldige bivirkning, at den (tænksomme) elev der seriøst overve‐jer opgavens kontekst, reelt spilder sin tid. Dette er måske tydeligst i opgave 17a, hvor en overvejelse af hvorfor ligningerne netop er som anført, er helt irrelevant for opgavens løsning. Noget tilsvarende gør sig gældende i opgave 15, hvor modellen dog er helt uigennemskuelig, og derfor næppe inspirerer til overvejelser. I opgave 9 gør eleven ligeledes klogt i ikke at spekulere over betydningen af det adspurgte skæringspunkt.

Bortset fra disse forhold er opgavesættet velkonstrueret og honorerer som første bud på et sæt efter reformen de krav, som de ændrede lærerplaner har stillet. Specielt finder jeg, at der er en fin balance mellem de forskellige områder i kernestoffet.

At sættet i overensstemmelse med reformens intentioner inddrager brug af CAS‐værktøjer mere sub‐stantielt, giver anledning til nogle overvejelser. Med øget fokusering på stadigt mere potente CAS‐værktøjer bliver en nøjere vurdering af det faglige indhold i fremtiden påkrævet. Langt de fleste af op‐gaverne kan løses med en matematikprogrampakke ved hjælp af to‐tre metakompetencer, som stort set er uafhængige af det konkrete matematiske indhold:

• At kunne erkende, at der spørges om løsning til en ligning, herunder at kunne identificere be‐tegnelser, der er eksplicit angivet i den sproglige beskrivelse med ligningens variabelbetegnel‐ser.

• At indtaste ligningens data i et CAS‐værktøj. • At kalde den relevante ”solve”‐applikation. I Maple kan man nøjes med solve og dsolve (for dif‐

ferentialligninger). I fremtidige matematik‐software vil programmet muligvis selv være i stand til at genkende ligningstypen, så man kan nøjes med én applikation.

Der kræves således næsten intet kendskab til ligningernes natur, og hvad den tilhørende model evt. beskriver. Dette forhold har også tidligere i en vis udstrækning gjort sig gældende, men der krævedes dog manipulatoriske kompetencer i et forholdsvist bredt repertoire, og ikke mindst kendskab til det konkrete matematiske indhold. Som det er illustreret ved det vedlagte Maple‐ark (se bilag 1) er de ma‐nipulatoriske kompetencer reduceret til et minimum. Der kræves stort set kun at man kan overholde syntaksen i den anvendte applikation (hvilket ikke behøver at være ubetydeligt, men næppe kan siges at være matematik). Et slående eksempel er, at man faktisk ikke behøver at kende til kvadratrod for at løse en ligning af formen x2 = c, som illustreret ved Maple‐løsningen af opgave 6.

Side 23 af 58

Maple‐løsningen af sættet illustrerer således at inddragelse af potente CAS‐værktøjer kan få den konse‐kvens, at kendskab til matematiske strukturer såvel teknisk som begrebsmæssigt erstattes af kendskab til bibliotek af rutiner og syntaks. Da begge kundskaber kræver megen undervisningstid, er en afvejning påkrævet. Med den signalværdi, der ligger i eksamensopgaverne, bør fremtidige sæt være fokuserede på denne problematik.

For god ordens skyld skal tilføjes: Løsningen på Maple har ikke været tidsbesparende, i hvert fald ikke for mig. Jeg har fx brugt en del tid på at få output på ønsket form og ville ikke kunne have nået en af‐pudset besvarelse inden for de 5 timer. Jeg tror ikke, at dette sæt i højere grad har tilladt pseudoforstå‐else at passere som egentlig forståelse, bl.a. fordi det er første sæt af denne art. Så bemærkningerne om skred i faglighed er ikke direkte møntet på dette sæt, men er påpegning af et fremtidsscenarie.

Et relateret aspekt vedrører prøven uden hjælpemidler. Dennes betydning bliver efter min mening ikke mindre i fremtiden, især ikke hvis der indføres eksamensformer med adgang til internettet. I nærværen‐de sæt afprøves udelukkende færdigheder, hvoraf nogle kunne hævdes at være af et lidt altmodisch tilsnit. Så en omhyggelig overvejelse af, hvilke færdigheder der vitterligt er påkrævet uden hjælpemidler er essentiel. Til gengæld (!) kunne man sagtens inddrage forståelsesspørgsmål i prøven uden hjælpemid‐ler. Sådanne kunne fx dreje sig om geometriske overvejelser om grafer for funktioner uden eksplicit forskrift. En sådan findes i hf‐B‐sættet (opgave 5, som ganske vist ikke gik særlig godt, men burde være klart inden for stx‐A elevers rækkevidde). En anden opgavetype kunne vedrøre egenskaber for en løs‐ning til en differentialligning, beskrevet udelukkende ud fra differentialligningen, fx monotoniforhold, værdier af differentialkvotienten i opgivne punkter osv.

3.6 Klyngeanalyser af elevbesvarelserne I en klyngeanalyse sammenlignes opgaverne ved hjælp af et statistisk afstandsmål på baggrund af de individuelt opnåede pointtal. Hvis alle elever individuelt har opnået ens pointtal i to opgaver, vil de to opgaver have afstand 0. Den maksimale afstand mellem to opgaver fås, hvis hver eneste elev har fået 0 i én af opgaverne og 5 i den anden. For en nærmere redegørelse, se bilag 2.

Side 24 af 58

Det mest bemærkelsesværdige er, at dobbeltspørgsmål klynges meget tidligt, altså at eleverne opnår nogenlunde lige mange points i de to spørgsmål. Den overvejelse man kan gøre er således om spørgsmål b) afprøver eleverne for noget afgørende nyt i forhold til spørgsmål a). Endvidere bemærkes, at den vanskelige opgave 4 (uden hjælpemidler) klynges tidligt med opgave 16a, og at disse sammen med op‐gaverne 13b, 14a og 14b udgør den ene hovedklynge. Det er disse opgaver som elever med karakter 4 har klaret dårligst. De skønnes at være de opgaver, der er mindst rutineprægede matematisk set. Klyn‐geanalysen illustrerer i øvrigt, at idéen om at anskue et eksamenssættets arkitektur ud fra tre kategorier af opgaver allerede i en vis grad er indbygget.

3.7 Kønsforskelle i opnået resultat I datamaterialet er udgør de kvindelige eksaminander 53,6%, de mandlige 40,6% og i 5,8% af tilfældene har den skriftlige censor ikke kunnet afgøre køn ud fra navn. Der er således en markant overvægt af kvindelige eksaminander i datamaterialet.

Betragter man karakterfordelingen i forhold til køn, er den største forskel at 14,5% af de mandlige ek‐saminander dumpede, mens det drejede sig om 19,0% af de kvindelige. Desuden er der en tendens til, at mændene i lidt højere grad opnår topkaraktererne 10 og 12.

Hvis man i stedet betragter karakterfordelingen i forhold til de eksaminander, der er bestået, er forde‐lingen meget mere lige fordelt. Den begrænsede forskel, der er, kan forklares ved den store andel af kvinder i populationen.

0

5

10

15

20

25

30

‐3 00 02 4 7 10 12

Procen

t

Karakter

Karakterfordeling mat A maj 2008 efter køn

Kvinder

Mænd

Side 25 af 58

Hvis man betragter opgaverne hver for sig med hensyn til point efter køn, er der kun meget små forskel‐le. Som eksempel vises her fordelingerne for opgaverne 12b (boksplot) og 15a (Gompertz model):

0

5

10

15

20

25

30

35

40

02 4 7 10 12

Procen

t

Karakter

Karakterfordeling mat A beståede elever

maj 2008 efter køn

Kvinder

Mænd

0

10

20

30

40

0 1 2 3 4 5

Procen

t

Point

Pointfordeling opgave 12befter køn

Mænd

Kvinder

Side 26 af 58

Konklusionen er, at der ikke kan dokumenteres nogen forskel i pointtildelingen efter køn i dette eksa‐menssæt.

0

10

20

30

40

50

0 1 2 3 4 5

Procen

t

Point

Pointfordeling opgave 15aefter køn

Mænd

Kvinder

Side 27 af 58

4. Den skriftlige prøve i matematik‐B på stx Der er ca. 8000 elever, der får en studentereksamen med matematik på B‐niveau. B‐niveau kan afsluttes både efter 2.g, efter 3.g og ved vintereksamen, så et udtræk af en karakterfordeling en given sommer vil rumme forskellige årgange.

Før reformen var der kun ca. 3500 elever fra matematisk linje, der sluttede med et B‐niveau. Hovedpar‐ten af eleverne opgraderede nemlig matematik til A‐niveau og repræsenteres af de 5000 med étårigt A‐niveau. Dertil kom ca. 1800 elever fra sproglig linje, der fik et B‐niveau i matematik ved at tage hf‐tilvalg. Dvs. at hovedparten af populationen, der tager B‐niveau efter reformen, er elever, der før reformen ville have gået i sproglig linje, og ca. 2500 af disse elever ville ikke have taget et B‐niveau før reformen. Det har medført en markant ændring i elevpopulationen.

4.1 Karakterfordeling ved eksamen Ved sommereksamen blev der af de skriftlige censorer indtastet resultater fra 7334 elever, der var til skriftlig prøve i matematik B på stx. Deres karakterer fordelte sig som vist i tabellen:

STX Matematik B

Karakter ‐3 00 02 4 7 10 12

Frekvens (%) 3 25,6 9,3 18,7 19,9 16,9 6,5


Betragter man kun de elever, der bestod eksamen, er karakterfordelingen således:

0

5

10

15

20

25

30

‐3 00 02 4 7 10 12

Procen

t

Karakter

Matematik stx‐B ‐ sommer 2008Karakterfordeling for alle

Side 28 af 58

Karakterfordelingen for de elever, der bestod eksamen, er meget tæt på den ”ideelle” fordeling på 10%, 25%, 30%, 25%, 10% til karaktererne 02, 4, 7, 10, 12. På denne baggrund må opgavesættet have opfyldt sin rolle til at vurdere og differentiere mellem de elever, der består.

Evalueringsgruppen bemærker, at 28,6% af de elever, der deltager i den skriftlige prøve, ikke opnår en bestå‐karakter. Der kan være mange forklaringer på dette forhold. Nogle af årsagerne kan muligvis fin‐des i populationen: Elever kan være tvunget til at have matematik B på en studieretning uden, at de har evner eller interesse for matematik. De bedste elever kan evt. vælge matematik på A‐niveau og deltager derfor ikke i den skriftlige eksamen i matematik. Nogle årsager kan muligvis findes i opgavesættes for‐muleringer, der måske indeholder en barriere, som mange elever ikke klarer. Evalueringsgruppen me‐ner, at det ikke er tilfredsstillende, at over en fjerdedel af eleverne dumper til denne prøve. Man kunne overveje, om der skulle mere variation ind i opgavernes sværhedsgrad, så der er et tilbud til de svagere elever, fx enkle tjekopgaver.

4.2 Pointtal for enkeltopgaver Alle førstecensorerne blev bedt om at indsende resultaterne af deres pointtildeling. Forcensuren bygger på pointtal for 1828 elever. Dette materiale danner udgangspunkt for en nærmere analyse af, hvordan eleverne klarede den stillede prøve. Hvis man anvender samme pointskala, som anvendtes ved censor‐mødet, får man en karakterfordeling ved forcensuren, der ligger meget tæt op ad karakterfordelingen ved eksamen. Dette indikerer, at forcensuren giver et meget retvisende billede af hele populationen.

0

5

10

15

20

25

30

02 4 7 10 12

Procen

t

Karakter

Matematik stx‐B ‐ sommer 2008Karakterfordeling for beståede

Side 29 af 58

Det samlede pointtal, som eleverne opnår ved prøven fremgår af dette diagram:

Pointfordelingen er jævnt stigende op mod 45 point (svarende til karakteren 02), hvorefter den er no‐genlunde konstant indtil 70 point. Men en stor del af eleverne opnår meget få point. Ca. 17% af eleverne er opnår kun 25 point eller derunder. Forbavsende få elever opnår næsten fuldt pointtal, idet kun 1,5% opnår 96 point eller derover.

Ud fra forcensuren kan man også se, hvordan eleverne klarede de enkelte opgaver og delspørgsmål i opgavesættet. Dette ses i følgende diagram:

0

5

10

15

20

25

30

‐3 00 02 4 7 10 12

Procen

t

Karakter

Matematik stx‐B ‐ sommer 2008Sammenligning alle/forcensur

Alle

Forcensur

012345678

0 ‐5

6 ‐1

0

11 ‐15

16 ‐20

21 ‐25

26 ‐30

31 ‐35

36 ‐40

41 ‐45

46 ‐50

51 ‐55

56 ‐60

61 ‐65

66 ‐70

71 ‐75

76 ‐80

81 ‐85

86 ‐90

91 ‐95

96 ‐10

0

Procen

t

Pointtal

Pointfordeling stx B ‐ forcensur 2008 (1828 elever)

Side 30 af 58

De opgaver, som flest elever løser korrekt, er 12a, 6a og 7a. I disse spørgsmål opnår over halvdelen af eleverne fuldt pointtal (5 point). Opgave 6a er beregning af en vinkel i en retvinklet trekant. Opgave 7a er fastlæggelse af regneforskriften for en lineær funktion ved hjælp af lineær regression ud fra data i en tabel. Opgave 12a er at indsætte en værdi i en formel og udregne den fremkomne værdi. Disse operati‐oner er åbenbart noget, de fleste elever behersker.

Særligt vanskelige har opgaverne 5, 10a, 11a og 15 været, idet her opnår op mod halvdelen af eleverne ingen point. Opgave 5 er en opgave om at fortolke integraler som arealer, og den kræver ingen særlige regnekundskaber, men forståelse for fortolkning af integraler som arealer. Opgave 10a er opstilling af en model ud fra en beskrivelse af en sammenhæng mellem variable udtrykt i ord. Opgave 11a er en opga‐ve, hvor man skal bestemme røringspunktet for tangenter med en bestemt hældning. Denne opgave løses nemt ved få tastetryk på CAS‐værktøjet, men dette er ikke klart for alle. Endelig er opgave 15 en opgave, hvor eleverne kan vælge mellem to forskellige. Måske kan det mangelfulde resultat i opgave‐sættets sidste opgaver skyldes, at eleverne har haft tidsnød og ikke har nået at løse disse.

0% 25% 50% 75% 100%

1

2

3

4

5

6a

6b

7a

7b

8a

9a

10a

11a

12a

12b

13a

13b

14a

15

Helhedsindtryk

Stx‐B. Pointfordeling for enkeltopgaver forcensur 2008

0 point

1 point

2 point

3 point

4 point

5 point

Side 31 af 58

En række opgaver i prøven med hjælpemidler løses meget enkelt ved hjælp af CAS‐værktøj. Særligt op‐gaverne 9, 11 og 12 kan klares ved få tastetryk. Men diagrammet viser, at en del elever ikke behersker de elementære operationer på CAS‐værktøjet.

Det er ikke muligt ud fra forcensuren at afgøre, hvor mange elever der har valgt opgavetype a eller b fra de valgfrie opgaver. Men en opgørelsen viser, at 22% af eleverne har opnået 1 point eller mere i opgave 15a, mens 26% har opnået 1 point eller mere i opgave 15b. Så det ser ud til, at et lille flertal af eleverne har valgt 15b. Men 52% af eleverne opnår ingen point i opgave 15.

Vurderingen af helhedsindtrykket er bemærkelsesværdigt, idet det er her færrest elever opnår fuldt pointtal. Netop ved helhedsindtrykket er fordelingen af point meget jævnt, og det er ikke tilfredsstillen‐de, at så mange elever opnår så ringe resultat her. Evalueringsgruppen undrer sig over dette. Måske skyldes det, at de skriftlige censorer ikke har en fælles holdning til denne form for pointgivning. Måske mangler der klarere retningslinjer for anvendelsen af disse point og for, hvilke krav en elev skal opfylde i sin besvarelse for at opnå fuldt pointtal i helhedsindtrykket.

I mange af opgaverne opnår langt de fleste elever enten 0 point eller 5 point. Dette kan betyde, at der er tale om ”knald‐eller‐fald‐opgaver”, men det kan også skyldes, at censorerne giver point på denne måde og ikke giver point for delvist rigtige besvarelser. Kun de spørgsmål, der indeholder to delspørgsmål (fx opgave 6b), giver en mere varieret pointfordeling.

4.3 Sammenligning af pointtal ved prøverne uden og med hjælpemidler I nedenstående diagram er opgjort, hvordan de enkelte elever har opnået point i de to prøver – uden og med hjælpemidler. Som forventet er der en sammenhæng og kun få elever ligger langt fra diagonalen. Diagrammet kan være vanskeligt at tyde, fordi de enkelte prikker kan repræsentere mange elever. For at tage højde for dette foretages lineær regression på datamaterialet. Resultatet ses her:

Side 32 af 58

Tendenslinjen følger ret nøje diagonalen, dog med lidt mindre hældning. Dette må tolkes som eleverne klarer prøven med hjælpemidler bedre end prøven uden.

4.4 Fordeling af pointtal opgjort efter opnået karakter. Det kan være interessant at se, hvilke opgavetyper elever på forskellige niveauer kan honorere. Dette ses i nedenstående diagrammer.

0

5

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50 60 70

Prøven

ude

n hjælpem

idler

Prøven med hjælpemidler

Matematik stx‐B ‐ sommer 2008Pointtal i prøven med og uden

hjælpemidler

0,01,02,03,04,05,0

1 2 3 4 5 6a 6b 7a 7b 8a 9a 10a

11a

12a

12b

13a

13b

14a 15

Helhe

dsind…

Gen

nemsnitlig pointtal

Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter ‐3

Side 33 af 58

012345

1 2 3 4 5 6a 6b 7a 7b 8a 9a 10a

11a

12a

12b

13a

13b

14a 15

Helhe

dsind…

Gen

nemsnitlig pointtal


012345

1 2 3 4 5 6a 6b 7a 7b 8a 9a 10a

11a

12a

12b

13a

13b

14a 15

Helhe

dsin…

Gen

nemsnitlig pointtal


012345

1 2 3 4 5 6a 6b 7a 7b 8a 9a 10a

11a

12a

12b

13a

13b

14a 15

Helhe

dsind…

Gen

nemsnitlig pointtal


Side 34 af 58

Heraf ses, at de fleste af de opgaver, som mange klarer til fuldt pointtal, også er de opgaver, som de svagere elever opnår pointtal i. Men der er ikke så mange af denne opgavetype, hvor de svagere elever kan vise, hvad de kan. Man kunne foreslå opgavekommissionen at vurdere de enkelte opgaver i sættet og differentiere mere på niveau, så der vil være flere enkle opgaver, som de svagere elever kunne be‐svare og færre, men måske vanskeligere opgavetyper, så man får en bredere fordeling af pointtallene.

012345

1 2 3 4 5 6a 6b 7a 7b 8a 9a 10a

11a

12a

12b

13a

13b

14a 15

Helhe

dsind …

Gen

nemsnitlig pointtal


012345

1 2 3 4 5 6a 6b 7a 7b 8a 9a 10a

11a

12a

12b

13a

13b

14a 15

Helhe

dsind …

Gen

nemsnitlig pointtal


012345

1 2 3 4 5 6a 6b 7a 7b 8a 9a 10a

11a

12a

12b

13a

13b

14a 15

Helhe

dsind …

Gen

nemsnitlig pointtal


Side 35 af 58


Som i sættet til stx‐A er der i dette sæt dobbeltspørgsmål, der klynges tidligt, nemlig opgaverne 7 og 13. Ud over dobbeltspørgsmålene bemærkes primærklyngningen, 3‐14a. Disse opgaver afprøver ret åben‐bart det samme (differentialkvotient og monotoniforhold). I øvrigt er der ikke nogen klar forbindelse mellem præstationerne og klyngningen.

Side 36 af 58

5. Den skriftlige prøve i matematik B på hf

5.1 Karakterfordeling ved eksamen Ved sommereksamen var 2478 kursister til skriftlig prøve i matematik B på hf. Deres karakterer fordelte sig som vist i tabellen:

HF Matematik B

Karakter ‐3 00 02 4 7 10 12

Frekvens (%) 4,4 23,8 7,9 17,4 18,2 20,7 7,5


Betragter man kun de kursister, der bestod eksamen, er karakterfordelingen således:

0

5

10

15

20

25

‐3 00 02 4 7 10 12

Procen

t

Karakter

Matematik hf‐B ‐ sommer 2008Karakterfordeling for alle

0

10

20

30

40

02 4 7 10 12

Procen

t

Karakter

Matematik hf‐B ‐ sommer 2008Karakterfordeling for beståede

Side 37 af 58

Karakterfordelingen for de kursister, der bestod eksamen, er forholdsvis tæt på den ”ideelle” fordeling på 10%, 25%, 30%, 25%, 10% til karaktererne 02, 4, 7, 10, 12 – dog med en overvægt af elever, der op‐når karakteren 10. På denne baggrund må opgavesættet have opfyldt sin rolle til at vurdere og differen‐tiere mellem de kursister, der består. Der er dog en overvægt af kursister, der opnår karakter over mid‐del, og det kan muligvis betyde, at opgavesættet ikke i særlig høj grad kan differentiere mellem de dyg‐tigste kursister.

Men evalueringsgruppen bemærker, at 28,2% af de kursister, der deltager i den skriftlige prøve, ikke opnår en bestå‐karakter. Der kan være mange forklaringer på dette forhold. Nogle af årsagerne kan muligvis findes i populationen: Kursister kan være tvunget til at have matematik B, fordi se evt. skal bru‐ge det til videre uddannelse, uden at de har evner eller interesse for matematik. Evalueringsgruppen mener, at det ikke er tilfredsstillende, at over en fjerdedel af kursisterne dumper til denne prøve.

5.2 Pointtal for enkeltopgaver Alle førstecensorerne blev bedt om at indsende resultaterne af deres pointtildeling for de første fem kursister på hvert hold. Forcensuren bygger på pointtal for 810 kursister. Dette materiale danner ud‐gangspunkt for en nærmere analyse af, hvordan kursisterne klarede den stillede prøve. Hvis man anven‐der samme pointskala, som anvendtes ved censormødet, får man en karakterfordeling ved forcensuren, der ligger meget tæt op ad karakterfordelingen ved eksamen. Dette indikerer, at forcensuren giver et meget retvisende billede af hele populationen.

Det samlede pointtal, som kursisterne opnår ved prøven fremgår af dette diagram:

0

5

10

15

20

25

30

‐3 00 02 4 7 10 12

Procen

t

Karakter

Matematik hf‐B ‐ sommer 2008Sammenligning alle/forcensur

Alle

Forcensur

Side 38 af 58

Herved ses, at pointfordelingen er nogenlunde symmetrisk omkring 50 point, dog med en kraftig over‐vægt omkring pointtal mellem 70 og 95 point. Men da opnåede 50 point kun betyder, at der er løst halvdelen af opgaverne, er dette utilfredsstillende. Op mod 15% af kursisterne er kun i stand til at be‐svare en fjerdedel af opgavesættet tilfredsstillende. Forbavsende få kursister opnår næsten fuldt point‐tal.

Ud fra forcensuren kan man også se, hvordan kursisterne klarede de enkelte opgaver og delspørgsmål i opgavesættet. Dette ses i følgende diagram:

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,00

-5

6 -1

0

11 -

15

16 -

20

21 -

25

26 -

30

31 -

35

36 -

40

41 -

45

46 -

50

51 -

55

56 -

60

61 -

65

66 -

70

71 -

75

76 -

80

81 -

85

86 -

90

91 -

95

95-1

00

Frek

vens

i %

Pointtal

Pointfordeling hf-B forcensur 2008 (810 elever)

Side 39 af 58

De opgaver, som flest kursister løser korrekt er 7a, 9a og 10b. I disse spørgsmål opnår over halvdelen af kursisterne fuldt pointtal (5 point).

En række opgaver i prøven med hjælpemidler løses meget enkelt ved hjælp af CAS‐værktøj. Særligt op‐gaverne 9, 11 og 12 kan klares ved få tastetryk. Men diagrammet viser, at en del kursister ikke behersker de elementære operationer på CAS‐værktøjet.

Helhedsindtrykket er der, hvor kursisterne ”klarer” sig dårligst. Meget få opnår fuldt pointtal. Evalue‐ringsgruppen vi opfordre til, at det tydeliggøres, hvad der skal til for at honorere kravene til helhedsind‐tryk. På denne måde kan kursisterne bedre leve op til kravene og censorerne bedre bedømme dem.

5.3 Sammenligning af pointtal ved prøverne uden og med hjælpemidler I nedenstående diagram er opgjort, hvordan de enkelte kursister har opnået point i de to prøver – uden og med hjælpemidler. Som forventet er der en sammenhæng, og kun få kursister ligger langt fra diago‐

0% 25% 50% 75% 100%

1a2a3a4a5a6a6b7a7b7c8a9a9b10a10b10c11a11b12a

Helhedsindtryk

Hf‐B pointfordeling på enkeltopgaver Forcensur 2008

0 point

1 point

2 point

3 point

4 point

5 point

Side 40 af 58

nalen. Diagrammet kan være vanskeligt at tyde, fordi de enkelte prikker kan repræsentere mange kursi‐ster. For at tage højde for dette foretages lineær regression på datamaterialet. Resultatet ses her:

Tendenslinjen følger ret nøje diagonalen, dog med lidt mindre hældning, hvilket må tolkes som, at kursi‐sterne klarer prøven med hjælpemidler bedre end prøven uden.

5.4 Fordeling af pointtal opgjort efter opnået karakter. Det kan være interessant at se, hvilke opgavetyper kursister på forskellige niveauer kan honorere. Dette ses i nedenstående diagrammer.

0

5

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50 60 70

Prøven

ude

n hjælpem

idler

Prøven med hjælpemidler

Matematik hf‐B ‐ sommer 2008Pointtal i prøven med og uden hjælpemidler

0

1

2

3

4

5

1a 2a 3a 4a 5a 6a 6b 7a 7b 7c 8a 9a 9b 10a

10b

10c

11a

11b

12a

Helhe

…Gennemsnitlig pointtal pr. opgave for elever med karakter ‐3

Side 41 af 58

0

1

2

3

4

5

1a 2a 3a 4a 5a 6a 6b 7a 7b 7c 8a 9a 9b 10a

10b

10c

11a

11b

12a

Helhe

…


0

1

2

3

4

5

1a 2a 3a 4a 5a 6a 6b 7a 7b 7c 8a 9a 9b 10a

10b

10c

11a

11b

12a

Helhe

…


0

1

2

3

4

5

1a 2a 3a 4a 5a 6a 6b 7a 7b 7c 8a 9a 9b 10a

10b

10c

11a

11b

12a

Helhe

…


Side 42 af 58

5.5 Klyngeanalyse af elevbesvarelserne I en klyngeanalyse sammenlignes opgaverne ved hjælp af et statistisk afstandsmål på baggrund af de individuelt opnåede pointtal. Hvis alle elever individuelt har opnået ens pointtal i to opgaver, vil de to

0

1

2

3

4

5

1a 2a 3a 4a 5a 6a 6b 7a 7b 7c 8a 9a 9b 10a

10b

10c

11a

11b

12a

Helhe

…


0

1

2

3

4

5

1a 2a 3a 4a 5a 6a 6b 7a 7b 7c 8a 9a 9b 10a

10b

10c

11a

11b

12a

Helhe

…


0

1

2

3

4

5

1a 2a 3a 4a 5a 6a 6b 7a 7b 7c 8a 9a 9b 10a

10b

10c

11a

11b

12a

Helhe

…


Side 43 af 58

opgaver have afstand 0. Den maksimale afstand mellem to opgaver fås, hvis hver eneste elev har fået 0 i én af opgaverne og 5 i den anden. For en nærmere redegørelse, se bilag 2.

I dette sæt er der et dobbeltspørgsmål som klynges tidligt (opgave 7 og 11). Man kan således spørge om delspørgsmål b) afprøver noget væsentligt nyt i forhold til delspørgsmål a). Endvidere klynges opgaverne 5a og 10c tidligt. Disse opgaver er klart gået ringere end de øvrige opgaver. Begge opgaver afprøver fortolkninger af differentialkvotient.

Side 44 af 58

6. Sammenligning mellem hf B og stx B Da der på både på hf og stx eksisterer skriftlig eksamen på B‐niveau, er det nærliggende at foretage en nærmere sammenligning mellem de to stillede eksamenssæt. I en sådan sammenligning er det afgøren‐de at have øje for, at det er eksamenssæt for to forskellige uddannelser, hvor uddannelsesprofilerne er væsensforskellige. Stx har den teoretiske profil og retter sig mod lange videregående uddannelser, mens hf har den anvendelsesorienterede profil og i højere grad retter sig mod mellemlange videregående uddannelser. Derfor skal der selvfølgelig være en forskel mellem to eksamenssæt. Evalueringsgruppen mener, at det er væsentligt, at forskellen diskuteres grundigt og understøtter de to uddannelsers profil.

6.1 Sproget Intet af de to sæt kan betegnes som sprogligt uforståeligt. Alligevel er der forskel i typerne af formule‐ringer. Som vist i det følgende, er der tendens til at formuleringerne i hf‐sættet er mere direkte og enkle, mens stx‐sættet er præget af mere akademisk sprogbrug og er mere abstrakt formuleret. Dermed frem‐står hf‐sættet både matematisk og sprogligt mere direkte end stx‐sættet, og det bør overvejes, om den markante forskel er tilsigtet og hensigtsmæssig.

I begge sæt er der fx en opgave med bestemmelse af model vha. regression. I stx‐sættet er det opgave 7 og i hf‐sættet opgave 6. I stx‐sættet står følgende formulering under tabellen: Tabellen viser sammenhø‐rende værdier af alder og længde for en population af spækhuggere. I hf‐sættet står umiddelbart over tabellen: Tabellen viser verdensrekorder i svømning for mænd (opgjort 17. oktober 2007). Objekterne for de to opgaver er dermed meget konkrete, nemlig henholdsvis spækhuggere og svømning.

Ordet ”sammenhørende værdier” er en formulering, der sprogligt vanskeliggør stx‐opgaven, og den eksisterer ikke i hf‐opgaven. Det er en præciserende formulering, men det kan overvejes, hvorvidt den er nødvendig.

Ordet ”population” optræder i stx‐opgaven. Det kunne overvejes, om ordet fx kunne være erstattet af det mere ligefremme, men mindre præcise ”for nogle spækhuggere” eller ”et antal spækhuggere”. Må‐ske kunne formulering være: ”Tabellen viser alder og længde for nogle spækhuggere.”

I opgave 8 i stx‐sættet står: Det bliver besluttet, at disse bevillinger skal stige med en fast årlig procent, så de i 2020 når op på 60 mia. kr. Med vendingen ”Det bliver besluttet” vanskeliggøres opgaven sprog‐ligt af, at der bliver tale om et fremtidsscenarie. Flere undersøgelser af sprog i lærebøger og i undervis‐ningen (fx Kirsten Paludan fra Århus) påviser, at anvendelse af passiv og indirekte sprog er en barriere for mange elever.

I opgave 12 i stx‐sættet er modellen vanskelig, og den er derfor vanskelig at formidle. Det afspejler sig naturligvis i formuleringen: I det følgende betragtes en model for en bestemt type af bevoksninger af ensartede planter. I modellen betegner w (målt i g) vægten af tørstoffet i den del af en plante, der er over jorden, d betegner antallet af planter pr. m2 i den bevoksning, som planten tilhører, og h (målt i cm) betegner højden af planten. Opgaven omhandler dermed ”en bestemt type af bevoksninger af ensarte‐de planter”. En uhyre abstrakt forklaring. Sætningskonstruktionen i forklaringen bliver lang og tung, og da der ikke er tale om et citat, kunne en mere direkte beskrivelse være valgt uden problemer.

Side 45 af 58

Til sammenligning indledes opgave 10 i hf‐sættet med sætningen: En person har indtaget amfetamin. Dette er en meget konkret formulering, der letter indgangen til opgaven, hvor modellen er enkel at for‐midle.

6.2 Brug af billeder Billeder i eksamenssæt kan optræde af primært to grunde. Den første er, at billederne er en del af opga‐ven, dvs. at billederne er helt nødvendige for en opgave. Den anden grund er, at billeder kan gøre eksa‐menssættet mere læsevenligt, dvs. et rent layoutaspekt, hvor billederne udelukkende er en form for staffage. Udover billeder indgår der ofte grafer og figurer i eksamenssæt.

Anvendelsen af billeder er i de to sæt markant forskellig. Forskellen er næppe tilsigtet, men den er be‐mærkelsesværdig. I hf‐sættet indgår tre farvebilleder, mens der i stx‐sættet udelukkende indgår en en‐kelt sort‐hvid‐tegning. I hf‐sættet indgår ét af billederne i opgave 9 (figur 3) direkte som en del af opga‐ven, mens de to øvrige billeder må betegnes som staffage. I stx‐sættet er sort‐hvid‐tegningen af en at‐lantisk havkat i opgave 13 ren staffage.

Billederne i eksamenssæt i matematik er naturligvis ikke afgørende, men billederne indgår som en del af formidlingen. Billeder kan være medvirkende til at gøre et eksamenssæt i matematik mere imødekom‐mende for eksaminanden – og i denne sammenligning kommer billedbrugen til at underbygge og for‐stærke de øvrige forskelle. Der vil være en tendens til at billeders betydning har størst betydning for eksaminander, der er mindst læse‐ og skolevante. Dette bør sammenkædes med eksamenspopulatio‐nen, der som omtalt andetsteds i denne evaluering er forandret på stx B.

6.3 Generel variation i det matematiske indhold Der er bemærkelsesværdigt højere abstraktionsniveau i stx‐sættet end i hf‐sættet. Dette honorerer som nævnt kravene i stx‐bekendtgørelsen, men det bør overvejes, om forskellen mellem abstraktionsniveau‐erne bør være så markant.

Følgende opgaver i stx‐sættet har højere abstraktionsniveau end i hf‐sættet:

• Opgave 2: Der angives funktionsværdier i stedet for punkter

• Opgave 9: Forklaring med kvadranter

• Opgave 13a: Opgaven spørger ikke eksplicit om kumulerede frekvenser

• Opgave 10a: Første del af spørgsmålet er: Indfør passende variable. Abstraktionsniveauet ville være lavere med en formulering som fx: ”Opstil en model for en havvindmølles energiprodukti‐on som funktion af vindens hastighed. Benyt passende variable.”

• Opgave 11: Her testes, om eksaminanden udover at have indsigt i tangentbestemmelse også kan ræsonnerer sig frem vedrørende differentialregning og tangenter til graf for funktion.

• Opgave 14a: Opgavens andet spørgsmål kræver indsigt i, hvad der kræves for at bestemme mi‐nimum. Der er implicit krav om bestemmelse af monotoniforhold. Opgaven havde været mindre kompleks og abstrakt, hvis der havde været krav om bestemmelse af monotoniforhold som grundlag for redegørelsen for eksistensen af minimum.

6.4 Prøven uden hjælpemidler I opgaverne uden hjælpemidler er der ligeledes markante forskelle mellem de to sæt.

Side 46 af 58

Reduktionsopgaver er traditionelt set vanskelige for eksaminanderne. I stx‐sættet er reduktionsopgaven opgave 1, mens den er opgave 3 i hf‐sættet. Stx‐sættets reduktionsopgave kræver først indsættelse af to konkrete talværdier, hvilket gør opgaven konkret. I anden del af opgaven, selve reduktionsopgaven, testes primært tre regneoperationer: for det første udregning af kvadrat af toleddet størrelse, for det andet at gange ind i parentes og for det tredje at hæve af minusparentes.

I hf‐sættet indeholder reduktionsopgaven to reduktioner. Den første reduktion er udregning af to tals sum gange de samme to tals differens. Den anden reduktion tester primært to regneoperationer: at gange ind i parentes og at hæve en minusparentes.

Stx‐sættets opgave er kompleks, men kompleksiteten er forsøgt blødt op via den konkrete begyndelse. Hf‐sættets opgaver er forsøgt gjort enkle hver for sig. I begge sæt er der således gjort noget for at for‐midle reduktionsopgaverne. Rent grafisk gør hf‐sættets to reduktioner, at det bliver mest overskueligt.

Det er bemærkelsesværdigt, at opgave 3 i stx‐sættet er opfattende til de 5 point den giver.

Stx‐sættets opgave 4 kræver bestemmelse af ”en lille side” ved to ensvinklede trekanter.

Opgave 5 i stx‐sættet kræver forståelse, dvs. at den ikke kan løses vha. rutiner. Opgaven kræver, at man har en grafisk forståelse for f’ , dvs. at man kan skelne grafisk mellem grafen for f og den grafiske betyd‐ning af f’. Kan man overskue dette, er opgave enkel at besvare. Kan man ikke, er opgave umulig at be‐svare (61% af eksaminanderne opnåede 0 point i opgaven).

Hf‐sættets opgave 5 er bemærkelsesværdig, fordi den tester for forståelse af geometrisk forståelse af .

6.5 Konkrete sammenligninger i det matematiske indhold Det er nærliggende at sammenligne, hvordan det matematiske stof testes i de to sæt. Der er i begge sæt opgaver i bestemt integral, bestemmelse af monotoniforhold, tangentbestemmelse og matematiske modeller. Derudover kan man sammenligne, hvilke opgaver der primært dækker stof fra C‐niveau.

Spørgsmål i C‐stof I stx‐sættet er der ni spørgsmål, der primært retter sig mod stof fra C‐niveau, nemlig opgaverne 2, 4, 6a, 7b, 8a, 10a, 12a, 13a og 13b.

I hf‐sættet er der kun seks spørgsmål, nemlig opgave 1, 6b, 9b, 10a, 10b og 12a.

Det er således betydelig flere spørgsmål i stx‐sættet, der retter sig mod stof fra C‐niveau.

Bestemt integral Dette stofområde testes i opgave 4 i hf‐sættet og i opgave 5 og 9 i stx‐sættet. I hf‐sættet er det en opga‐ve uden hjælpemiddel, og opgaven er dermed simpel. I stx‐sættet er opgave 5 som nævnt en opgave, der kræver refleksion (uden hjælpemidler), og opgave 9 kræver bestemmelse af areal mellem to grafer hvor x‐værdierne for skæringspunkterne mellem graferne er oplyst.

Monotoniforhold I hf‐sættet testes monotoniforhold i opgave 11b (hvor 11a kan opfattes som en hjælp), i stx‐sættet te‐stes området i opgave 3 og 14. I hf‐sættes opgave 11b spørges direkte: Bestem monotoniforholdene for

Side 47 af 58

f. I stx‐sættes opgave 14a spørges som nævnt mere indirekte: … og gør rede for, at funktioner har et minimum.

Tangentbestemmelse Også med hensyn til tangentbestemmelse er hf‐sættets opgave 8a helt ligefrem: Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet (1,f(1)), mens stx‐sættes opgave 11a er indirekte og abstrakt, idet opgaven lyder: Bestem førstekoordinaten til røringspunktet for hver af disse tangenter.

Variable i matematiske modeller Med hensyn til angivelsen af de variable i matematiske modeller er der ligeledes markant og bemærkel‐sesværdig forskel i de to sæt. Hf‐sættet anvender i vid udstrækning standardbetegnelserne x og f(x), mens stx‐sættet konsekvent anvender ikke‐standardbetegnelser.

I hf‐sættet indgår matematiske modeller i opgave 6, 10 og 12. Betegnelserne er henholdsvis f(x) = ax + b,

f(t)= 15⋅0,8 t og f(x) = b⋅xa.

I stx‐sættet indgår matematiske modeller i opgave 7 og 12. Betegnelserne er henholdsvis L(t) = at + b samt w = 9670d‐1,49 og h = 970d‐0,443.

Det kan overvejes og måske undersøges, hvordan eksaminanderne reagerer over for typerne af notati‐on.

6.6 Sammenfatning

• Stx‐sættet er gennemgående præget af en højere abstraktionsgrad end hf‐sættet. Er det tilsig‐tet, at dette træk er gennemgående, eller kunne dette i stedet for være rettet mod enkelte op‐gaver?

• Hf‐sættet stiller spørgsmålene mere umiddelbart, og det er dermed mere klart, hvad der testes. Er det tilsigtet, at også formuleringerne af spørgsmålene i stx‐sættet skal have en højere ab‐straktionsgrad, eller kunne disse ikke stilles mere umiddelbart?

7. Den skriftlige prøve i matematik C på hf

7.1 Karakterfordeling ved eksamen Ved sommereksamen var 5572 kursister til skriftlig prøve i matematik C på hf. Deres karakterer fordelte sig som vist i tabellen:

HF Matematik C

Karakter ‐3 00 02 4 7 10 12

Frekvens (%) 2,8 24,5 8,8 18,4 18,0 20,1 7,4


Side 48 af 58

Betragter man kun de kursister, der bestod eksamen, er karakterfordelingen således:

Karakterfordelingen for de kursister, der bestod eksamen, er forholdsvis tæt på den ”ideelle” fordeling på 10%, 25%, 30%, 25%, 10% til karaktererne 02, 4, 7, 10, 12. På denne baggrund må opgavesættet have opfyldt sin rolle til at vurderer og differentiere mellem de kursister, der består. Der er dog en overvægt af kursister, der opnår karakter over middel, og det kan muligvis betyde, at opgavesættet ikke i særlig høj grad kan differentiere mellem de dygtigste kursister. Men evalueringsgruppen bemærker, at 27,3% af de kursister, der deltager i den skriftlige prøve, ikke opnår en bestå‐karakter. Der kan være mange forklaringer på dette forhold. Nogle af årsagerne kan muligvis findes i populationen: Muligvis vælger de bedste kursister matematik på B‐niveau og deltager derfor ikke i den skriftlige prøve på C‐niveau. Evalu‐eringsgruppen mener, at det ikke er tilfredsstillende, at over en fjerdedel af kursisterne dumper til den‐ne prøve.

7.2 Pointtal for enkeltopgaver Alle førstecensorerne blev bedt om at indsende resultaterne af deres pointtildeling for de første fem kursister på hvert hold. Forcensuren bygger på pointtal for 1605 kursister. Dette materiale danner ud‐gangspunkt for en nærmere analyse af, hvordan kursisterne klarede den stillede prøve. Hvis man anven‐

0

5

10

15

20

25

30

‐3 00 02 4 7 10 12

Procen

t

Karakter

Matematik hf‐C ‐ sommer 2008Karakterfordeling for alle

0

5

10

15

20

25

30

02 4 7 10 12

Procen

t

Karakter

Matematik hf‐C ‐ sommer 2008Karakterfordeling for beståede

Side 49 af 58

der samme pointskala, som anvendtes ved censormødet, får man en karakterfordeling ved forcensuren, der ligger meget tæt op ad karakterfordelingen ved eksamen. Dette indikerer, at forcensuren giver et meget retvisende billede af hele populationen.

Det samlede pointtal, som kursisterne opnår ved prøven, fremgår af dette diagram:

Op mod 15% af kursisterne er kun i stand til at besvare en fjerdedel af opgavesættet tilfredsstillende. Forholdsvis få kursister opnår næsten fuldt pointtal.

Ud fra forcensuren kan man også se, hvordan kursisterne klarede de enkelte opgaver og delspørgsmål i opgavesættet. Dette ses i følgende diagram:

0

5

10

15

20

25

30

‐3 00 02 4 7 10 12

Procen

t

Karakter

Matematik hf‐C ‐ Sommer 2008Sammenligning alle/forcensur

Alle

Forcensur

0,01,02,03,04,05,06,07,08,09,0

10,0

0 -5

6 -1

0

11 -

15

16 -

20

21 -

25

26 -

30

31 -

35

36 -

40

41 -

45

46 -

50

51 -

55

56 -

60

61 -

65

66 -

70

71 -

75

Frek

vens

i %

Pointtal

Pointfordeling hf C, forcensur 2008 (1605 elever)

Side 50 af 58

De opgaver, som flest kursister løser korrekt er 7a, 9a og 10b. I disse spørgsmål opnår over halvdelen af kursisterne fuldt pointtal (5 point). Igen er vurderingen af helhedsindtryk markant anderledes end de øvrige spørgsmål.

7.3 Fordeling af pointtal opgjort efter opnået karakter Det kan være interessant at se, hvilke opgavetyper kursister på forskellige niveauer kan honorere. Dette ses i nedenstående diagrammer.

0,0 25,0 50,0 75,0 100,0

1a

2a

3a

4a

4b

5a

5b

6a

6b

6c

7a

7b

8a

8b

Helhedsindtryk

Pointfordeling på enkeltopgaverhf‐C 2008 forcensur

0 point

1 point

2 point

3 point

4 point

5 poiint

Side 51 af 58

012345

1a 2a 3a 4a 4b 5a 5b 6a 6b 6c 7a 7b 8a 8b

Helhe

dsin…

Gennemsnitligt pointtal pr. opgave for elever med karakter ‐3

012345

1a 2a 3a 4a 4b 5a 5b 6a 6b 6c 7a 7b 8a 8b

Helhe

dsind…

Gennemsnitligt pointtal pr. opgave for elever med karakter 00

012345

1a 2a 3a 4a 4b 5a 5b 6a 6b 6c 7a 7b 8a 8b

Helhe

dsind…


Side 52 af 58

012345

1a 2a 3a 4a 4b 5a 5b 6a 6b 6c 7a 7b 8a 8b

Helhe

dsin…


012345

1a 2a 3a 4a 4b 5a 5b 6a 6b 6c 7a 7b 8a 8b

Helhe

dsin…


012345

1a 2a 3a 4a 4b 5a 5b 6a 6b 6c 7a 7b 8a 8b

Helhe

dsin…


Side 53 af 58


Dobbeltspørgsmål, der klynges tidligt, er opgave 5 og opgave 8. Som ved andre sæt rejser dette proble‐met om delspørgsmål b) afprøver noget væsentlig forskelligt fra delspørgsmål a). Opgave 5 er klaret relativt dårligt (under 25% af eleverne har fået fuldt pointtal), så de to delspørgsmål har begge været med til at differentiere i toppen. Endvidere bemærkes, at de opgaver, der er klaret dårligst, nemlig 3a, 4a og 7b bliver klynget tidligt. Opgaverne 1a, 2a og 6a som ca. 75% af eleverne har klaret fuldstændigt, bliver naturligt nok også klynget tidligt.

012345

1a 2a 3a 4a 4b 5a 5b 6a 6b 6c 7a 7b 8a 8b

Helhe

dsin…


Side 54 af 58

Bilag 1 Besvarelse af eksamenssæt med udstrakt brug af CASværktøj Hvad kræver vi af en besvarelse, hvor der anvendes CAS‐værktøj? Det er en helt central diskussion i faget i disse år. Der er i Matematiklærerforeningens regi igangsat et udviklingsarbejde, og som bidrag til disse overvejelser vises her en række opgavebesvarelser fra stx A med udstrakt brug af MAPLE. Neden‐stående er således ikke ment som en eksemplarisk besvarelse, men som et oplæg til debat herom. MAPLE er valgt, fordi det sandsynligvis vil vinde frem i gymnasiet i de kommende år, bl.a. pga. dets an‐vendes på universiteterne, og fordi en besvarelse med brug af denne version i udpræget grad fremstår med maskinsprog, hvis eleven ikke selv gør et arbejde med formuleringen af opgavebesvarelsen.

Opgave 6 > restart:

Trekant DHC er retvinklet, så sinus til vinkel D er (modstående katetae)/hypotenuse, altså 5/6. Så vinkel D fås vha. "solve" som > fsolve(sin(vinkelD)=5/6):vinkelD:=%;

(1.1) eller i grader > evalf(%*180/Pi);

(1.2) Siden BD er hypotenuse i en retvinklet trekant med kateter 5 og 7, så Pythagoras sætning giver BD^2=5^2+7^2 > BD^2=5^2+7^2;

(1.3) hvoraf BD bestemmes med "solve": > fsolve(%,BD);

(1.4) (Den positive løsning skal bruges.)

Vi opskriver cosinusrelationen AC^2=7^2+6^2‐2*cos(vinkelD)*7*6 og finder løsningen (siden AC) med "solve". > AC^2=7^2+6^2-2*cos(vinkelD)*7*6;fsolve(%,AC);

(1.5)

(Den positive løsning skal bruges)

Side 55 af 58

Opgave 9 > restart:

Der indsættes i udtrykket for en ret linje med hældning (70‐46)/(1975‐1900) gennem punktet (0,46) > f :=x->(70-46)/(1975-1900)*(x-0)+46;

(2.1)

Jeg fortæller Maple hvad g er > g:=x->.053*x+76;

(2.2) Der spørges efter hvornår f(x)=g(x). Jeg finder det med "solve": > solve(f(x)=g(x));

(2.3) som svarer ca. til årstallet 1900+112=2012.

Opgave 11 > restart:

Jeg fortæller Maple hvad f er og udregner funktionsværdien i x = 2. > f := x->x^2-x+2; f(2);

(3.1)

(egentlig ikke nødvendigt, der kan indsættes direkte i 3.3)

I Maple er differentialkvotienten angivet ved D(f), så differentialkvotienten i x = 2 er > D(f)(2);

(3.2)

(egentlig ikke nødvendigt, der kan indsættes direkte i 3.3)

Tangentligningen er y‐f(2)=D(f)(2)*(x‐2), når der indsættes direkte i formlen. Jeg isolerer y vha. "solve" > solve(y-f(2)=D(f)(2)*(x-2),y):y=%;

(3.3) Jeg fortæller Maple hvad g er > g:=x->-x^2+5*x-5/2;

(3.4)

så skæringspunkternes førstekoordinater bliver v.hj.a. "solve" > solve(f(x)-g(x));

Side 56 af 58

(3.5)

Som det oplyses, der er kun ét skæringspunkt. Jeg beder Maple om begge koordinater. > <%[1],f(%)>;

(3.6)

Opgave 13 Jeg fortæller Maple hvad funktionerne er. > restart:f := x->sqrt(3*x+9);g:=x->x+3;

(4.1)

Arealet er givet ved integralet med grænser ‐3 og 0. Grafen for f er øverst så det bliver > int(f(x)-g(x),x=-3..0);

(4.2)

Arealet er givet ved integralet fra 0 til k. Grafen for g er øverst. Jeg finder vha. "solve", hvornår dette integral har samme værdi som det jeg lige fandt ovenfor (angivet ved %). > solve({int(g(x)-f(x), x = 0 .. k)-%, k > 0}, k);

(4.3)

Opgave 14 > restart:

Jeg skriver differentialligningen op > P := diff(N(t), t) = 0.4e-3*N(t)*(315-N(t));

(5.1)

og beder Maple om løsning til problemet vha. "dsolve": > dsolve({P, N(0) = 168});

(5.2)

Vha. klip‐og‐klister angiver jeg N som en funktion: > N:=t->2520/(8+7*exp(-(63/500)*t));

(5.3)

og udregner funktionsværdien i t=40, svarende til årstallet 2008.

Side 57 af 58

> evalf(N(40));

(5.4) så grænsen for den logistiske vækst, 315, er ved at være nået!

Opgave 15 Jeg løser ligningen ln(M) = 1.6524‐4.612*exp(‐0.423e‐1*t for M med t=30 ved hjælp af "solve": > restart:solve({t = 30, ln(M) = 1.6524-4.612*exp(-0.423e-1*t)}):%[1];

(6.1)

og så løser jeg for M, hvor t ikke er tildelt en bestemt værdi, vha."solve": > solve(ln(M) = 1.6524-4.612*exp(-0.423e-1*t), M):M=%;

(6.2)

Opgave 16 Ifølge oplysningerne opfylder P differentialligningen > restart:

> LOG:=diff(P(t),t)=C*P(t)*(2600-P(t));

(7.1)

hvor C er en proportionalitetsfaktor. Jeg indsætter det opgivne 10 = 100*a*(2600‐100) til bestemmelse af C vha. "solve" > solve(10 = 100*a*(2600-100), a):C:=%;

(7.2)

så differentialligningen bliver > LOG;

(7.3)

Side 58 af 58

Bilag 2 Hierarkisk klyngeanalyse I en hierarkisk klyngeanalyse undersøges, hvilke opgaver der ligner hinanden mht. individuelt opnåede pointtal. Opgaverne grupperes hierarkisk således, at de to opgaver, hvis svarmønstre ligner hinanden mest, grupperes først. Dernæst foretages en ny sammenligning. Således fortsættes, så man sluttelig har en hierarkisk opdeling af spørgsmålene. Den konkrete procedure er som følger:

Antallet af besvarelser af et eksamenssæt benævnes N og antallet af spørgsmål i sættet benævnes n. Til hvert spørgsmål samt rubrikken helhedsvurdering associeres en streng bestående af samtlige tildelte N pointtal (pointtal for besvarelse 1, …, pointtal for besvarelse N), så det samlede eksamenssæt er repræ‐senteret ved n punkter, nemlig 1 punkt for hvert spørgsmål, i et N‐dimensionalt rum. I dette rum sam‐menlignes spørgsmålene ved hjælp af et passende statistisk afstandsmål mellem de tilsvarende punkter. De to spørgsmål, som er nærmest hinanden, grupperes. Dernæst erstattes denne første gruppe af den N‐dimensionale streng, som fås ved at tage et passende gennemsnit af de to først grupperede spørgs‐mål, så der nu er n‐1 punkter. Med disse n‐1 punkter gentages proceduren, hvorved man får n‐2 punk‐ter. Således fortsættes, til der er 2 punkter tilbage. Disse 2 punkter svarer til, at man har fået de oprin‐delige n spørgsmål delt i to grupper af spørgsmål, der inden for grupperne ”ligner hinanden”, hvad angår overensstemmelse af besvarelser. Der er forskellige valgmuligheder for det statistiske afstandsmål. I den foreliggende analyse giver dette dog ikke anledning til forskellige grupperinger.

af de skriftlige prøver i matematik på stx og hf ved...Stx matematik A Karakter ‐3 00 02 4 7 10...

Documents

Transcript of af de skriftlige prøver i matematik på stx og hf ved...Stx matematik A Karakter ‐3 00 02 4 7 10...