Aerodinamika I, Propeleri - unizg.hrSlika 8-2: Primjer definicije geometrija kraka NACA propelera...
Transcript of Aerodinamika I, Propeleri - unizg.hrSlika 8-2: Primjer definicije geometrija kraka NACA propelera...
8. Propeler
8.1. Uvod i polazne definicije
S aerodinamickog aspekta za propelere je od intresa odrediti pogonskusilu T i potreban okretni moment Q propelera. I to pri poznatoj kutnojbrzini propelera Ω = n · 2π gdje je n [1/s] brzina okretanja propelera (brojokretaja u sekundi) te je V brzina leta zrakoplova (ili brzinu napredovanja),jednaka brzini neporemecene struje zraka u odnosu na propeler za slucaj kadaje brzina vjetra jednaka nuli.
8.1.1. Konstruktivne karakteristike propelera
Konstrukcijom propeler nalikuje na vijak – tocka na kraku propelera samaksimalnim radijusom R = D/2 pri jednom okretaju propelera napravijedan korak (engl. pitch), put Hg. Pri tome je putanja promatrane tocke tzv.konstruktivna helikoidna linija pod konstantnim kutom – kutom uvijanja β(engl. blade angle, pitch angle). Kako opseg cilindra radijusa R promatranetocke iznosi 2πR tako je
β =Hg
2πR=
Hg
πD.
Lokalni presjek kraka propelera na radijusu r od osi rotacije ima oblikaeroprofila i uvijen je pod lokalnim kutom uvijanja β(r) s lokalnim geome-trijskim korakom Hg(r) = 2πr · tgβ(r). Lokalni geometrijski korak mozebiti konstanantan ili promjenjiv po radijusu propelera od korijena do vrha.Cesce je u primjeni propeler s konstantnim korakom duz kraka (slika) za kojise kut uvijanja sa radijusom mijenja prema relaciji
β(r) =Hg
2πr.
Lokalni kut uvijanja kraka propelera tako je kut izmedu ravnine rotacijepropelera i tetive lokalnog aeroprofila na promatranom presjeku kraka.
Za propelere s promjenjivim korakom duz kraka definira se nominalni ge-ometrijski korak koji je jednak lokalnom geometrijskom koraku za referentniradijus i pripadajuci kut uvijanja. Uobicajeni referentni radijus rref = 0.75R(ili rjede 0.7R). Kod takvih propelera lokalni kut uvijanja definira se zbrojems kutom za referentni radijus β(r) + βrref
.Osim promijene kuta uvijanja lokalnog profila duz kraka propelera i sami
aeroprofili se mijenjaju. Stoga je pri opisu kraka propelera bitno poznavatii lokalni tip aeroprofila, promjenu tetive i debljine. Uobicajeno je da su
1
ββ2β1
Rrr2r10
Hg
2π
Slika 8-1: Korak propelera: konstantan duz kraka
svi lokalni presjeci evolutivni aeroprofili jedne serije aeroprofila. Time je zapoznatu seriju aeroprofila, poznatu promjenu c(r) = c/D relativne tetive,te promjenu t(r) = t/D relativne debljine po radijusu, krak propelera upotpunosti definiran. Jedan uobicajeni prikaz konstruktivnih karakteristikapropelera dan je na slici (8-2) za NACA propelere 5868-9 i 5868-R6.
Pored ovako definirane konstrukcije kraka potrebno je definirati i brojkrakova propelera N .
Prema smjeru okretanja propelera propeleri mogu biti lijevi i desni. Pro-matrano iz smjera kretanja (sa vrha x osi zrakoplova; ispred zrakoplova gle-dano prema njegovom vrhu), propeler je desni ako je smjer okretanja supro-tan smjeru kazaljke na satu (pozitivna rotacija oko osi x). Propeler je lijeviukoliko se gledano sa vrha osi x okrece u smjeru kazaljke na satu (negativnarotacija oko osi x).
Za geometrijsku konstrukciju propelera jos je bitan njegov polozaj u od-nosu na motor. Promatrano u smjeru leta (duz osi x zrakoplova), vucnipropeler nalazi se ispred motora dok je potisni propeler smjesten iza mo-tora.
8.1.2. Kinematika propelera
Promatrajmo propeler kao kruto tijelo na mirujucem zrakoplovu, daklepropeler rotira bez brzine napredovanja (brzina vjetra jednaka je nuli). Pro-peler rotira oko simetrale glavcine propelera, odnosno simetrale osovine mo-tora sto predstavlja os
Brzina tocke na propeleru s vektorom polozaja ~r od osi simetrije imat cebrzinu uslijed rotacije kutnom brzinom ~Ω prema Eulerovoj formuli
~Vt = ~Ω× ~r .
U aerodinamickom razmatranju propelera od interesa je brzina okolnog zrakau odnosu na promatrani lokalni presjek kraka propelera: ona je istog inten-
2
Slika 8-2: Primjer definicije geometrija kraka NACA propelera 5868-9 i 5868-R6 (za duljinu tetive je oznaka b, za debljinu h, za geometrijski korak p)
ziteta Vt = Ω · r, ali suprotnog smjera brzini tocke na lokalnom presjekupropelera u odnosu na zrak.
Kada je zrakoplov u pokretu odnosno kada leti, pored brzine rotacijeimamo i brzinu leta. Tocka na promatranom lokalnom presjeku kraka uda-ljena r od osi rotacije giba se u smjeru gibanja propelera, odnosno u smjerugibanja zrakoplova, brzinom ~V u odnosu na okolni zrak. Pri tome pret-postavljamo da nema vjetra i da se smjer gibanja zrakoplova poklapa s osirotacije propelera. Apsolutno gibanje promatrane tocke na propeleru dobivase vektorskim zbrojem ~V brzine okolnog zraka u odnosu na propeler i ~Vt br-zine okolnog zraka u odnosu na mirujuci propeler uslijed rotacije. Apsolutnabrzina je prema slici (8-3)
~VR = ~Vt + ~V = ~Ω× ~r + ~V .
3
dok je njen intenztitet na promatranom presjeku
VR =√
V 2t + V 2 =
√(Ω · r)2 + V 2
Od interesa je kut ove brzine u odnosu na ravninu rotacije: φ kut napredo-vanja i definira korak propelera. Taj kut definira i kut helikoide pod kojimtrag propelera napusta izlazni rub na lokalnom presjeku kraka propelera.Kut napredovanja, odnosno kut brzine ~VR u odnosu na ravninu rotacije je
φ = arc tgV
Vt
= arc tgV
Ω · r.
V
Ωr
VR
φ
α
β
ravnina rotacije
osro
taci
je
Slika 8-3: Brzine na lokalnom presjeku kraka na radijusu r: kut napredovanjaφ
Ovaj kut napredovanja ne uzima u obzir inducirane brzine na kraku pro-pelera kada je (slika 8-4) Θ stvarni kut napredovanja. Detaljnije o indu-ciranoj brzini i kutu Θ kasnije.
Znacajka kojom se uzima u obzir i brzina okretanja i brzina napredovanjapropelera je koeficijent napredovanja ili korak napredovanja (engl. andvanceratio) definira se kao
J =V
nD.
Uz geometrijski, konstruktivni korak propelera Hg definira se aerodi-namicki korak (efektivni korak, engl. effective pitch) koji predstavlja putkojeg promatrana tocka na propeleru prode pod djelovanjem brzina sa slike(8-3) pod kutom φ
H = 2π · r · tgφ = 2π · r · V
2π · r · n=
V
n.
4
V
Ωr
ViVE
VR
φ
αi
α
βΘ
ravnina rotacije
osro
taci
je
Slika 8-4: Brzine na lokalnom presjeku kraka na radijusu r: stvarni kutnapredovanja Θ
Razlika izmedu Hg geometrijskog koraka i H aeodinamickog koraka nazivase klizanje.
Napadni kut α na promatranom lokalnom presjeku kraka je kut izmeduukupne aerodinamicke brzine i linije nultog uzgona aeroprofila. Kako biostvarili silu uzgona za pozitivnu pogonsku silu propelera nuzno je da napadnikut na lokalnom presjeku bude pozitivan.
Sa smanjivanjem r udaljenosti od osi rotacije, smanjuje se Vt = Ω · rbrzina sto uz jednaku V brzinu napredovanja povlaci povecanje φ kuta na-predovanja. Kako bi zadrzali napadni kut pozitivan nuzno je da se β kutuvijanja propelera povecava. Na taj nacin osigurava se pozitivan napadnikut na svakom presjeku kraka propelera. Pozeljno je da napadni kut, na sva-kom presjeku kraka, bude izmedu 2 i 4, dok su kutovi veci od 15 neefikasnibuduci da dolazi do gubitka uzgona aeroprofila (engl. stall).
5
8.2. Teorija diska
8.2.1. Polazne pretpostavke
Klasicna teorija kolicine gibanja propelera poznata kao teorija diska dajeosnovne koncepte performansi propelera. Originalna teorija kako ju je formu-lirao Rankine 1865. godineopisuje propeler kao beskonacno tanki disk prekokojeg se staticki tlak skokovito mijenja. Pretpostavke ovog modela su:
• brzina na disku je konstantna,
• tlak na disku je konstantan,
• rotacija struje zraka koji prolazi kroz propeler je zanemarena,
• struja zraka koja prolazi kroz propeler odvaja se od okolnog zrakazamisljenom strujnom cijevi,
• strujanje je nestlacivo.
Promotrimo propeler i pripadajucu strujnu cijev prema slici (8-5). Pro-matramo presjeke 1, 2, 3 i 4 s pripadajucim velicinama: tlakom p, povrsinomA. Na mirujuci propeler nastrujava zrak brzinom V sto je istovjetno razma-tranju propelera koji se giba brzinom V kroz atmosferu bez vjetra.
8.2.2. Osnovne relacije teorije diska
Jednadzba kontinuiteta
Za pretpostavljenu strujnu cijev sa slike (8-5) primjenjiva je jednadzbakontinuiteta (jednadzba ocuvanja mase fluida, pogledaj predavanja “Osnovaaerodinamike i mehanike leta”) kojom se m maseni protok, odnosno masazraka koja prolazi kroz propeler u jedinici vremena definira da je konstantan.Ukoliko se jednadzba kontinuiteta primjeni na propeler skiciran na slici (8-5)za presjeke 1, 2, 3 i 4 moze se zapisati
m = ρ1A1V1 = ρ2A2V2 = ρ3A3V3 = ρ4A4V4 . (1)
Buduci da je pretpostavljeno nestlacivo strujanje gornja jednadzba kontinu-iteta ima oblik
A1V1 = A2V2 = A3V3 = A4V4 . (2)
Ako za povrsinu diska vrijedi A = A2 = A3 iz jednadzbe (2) slijedi da sebrzina struje pri prolasku kroz sami disk ne mijenja
V2 = V3 . (3)
6
aktuator disk
strujna cijev
1 2 3 4
V VV
V
pa pa
p2
V4
T
V1 = V
p1
V2 V3
p3 V4
p4
A4A1
A = A2 = A3
Slika 8-5: Idealni propeler: aktuator disk i strujna cijev
Jednadzba ocuvanja kolicine gibanja
Propeler uzima odredenu kolicinu zraka ispred njega koja se prolaskomkroz disk propelera ubrzava prema natrag. Na propeler, odnosno dovoljno is-pred njega (u presjeku 1) nastrujava struja neporemecenog zraka brzinom Vkoja se nakon prolaska kroz propeler ubrza za iznos ∆V = V4−V1. Prema jed-nadzbi ocuvanja kolicine gibanja moze se reci da je brzina promjene kolicinegibanja jednaka pogonskoj sili propelera.
Za ovu analizu propelera koja predstavlja jednodimenzionalno strujanjeu stacionarnim uvjetima, vrijedi da je produkt masenog protoka i promjenebrzine struje kroz propeler jednaka brzini promjene kolicine gibanja
T = m∆V . (4)
U skladu s ranijom definicijom masenog protoka (1), pogonska sila se mozezapisati kao
T = ρA2V2(V4 − V1) . (5)
7
A = A2 = A3
1 2 3 4
p2
V4
T
V1
p1
A1
V2 V3
p3 V4
p4
A4
Slika 8-6: Brzine na idealnom propeleru
Bernulijeva jednadzba
Za slucaj nestlacivog strujanja duz strujnice za presjeke 1 i 2 (slika 8-6)moze se primijeniti Bernulijeva jednadzba
p1 +1
2ρV 2
1 = p2 +1
2ρV 2
2 , (6)
kao i za presjeke 3 i 4
p3 +1
2ρV 2
3 = p4 +1
2ρV 2
4 . (7)
Kako je atmosferski tlak upravo jednak tlaku na presjecima 1 i 4: pa = p1 =p4 te je brzina na samom disku propelera V2 = V3 slijedi
p3 − p2 =1
2ρ(V 2
4 − V 21 ) . (8)
Pogonska sila na propeleru jednaka je umnosku razlike tlaka i povrsine diskapropelera
T = A(p3 − p2) =1
2ρA2(V
24 − V 2
1 ) . (9)
Izjednacavanjem izraza (5) i (9) dobiva se da je brzina struje zraka na diskupropelera
V2 =1
2(V4 + V1) . (10)
Promotrimo povecanje brzine izmedu presjeka 1 i 2 primjenom relacije (10)
V2 − V1 =1
2(V4 + V1)− V1 =
1
2(V4 − V1) =
1
2∆V
8
i izmedu presjeka 3 i 4 primjenom (3) i (10)
V4 − V3 = V4 − V2 = V4 −1
2(V4 + V1) =
1
2(V4 − V1) =
1
2∆V .
Dakle teorija diska pokazuje da je povecanje brzine struje zraka daleko izadiska dva puta vece od povecanja brzine na samom disku
V2 = V3 = V1 +1
2∆V ,
V4 = V1 + ∆V .(11)
Jednadzba ocuvanja energije
Potrebna snaga na propeleru jednaka je povecanju kineticke energije ma-senog protoka zraka kroz propeler
P =1
2m[(V + ∆V )2 − V 2] (12)
P = m∆V (V +1
2∆V ) .
Primjenom izraza (4) za pogonsku silu propelera moze se pokazati da jepotrebna snaga propelera jednaka zbroju
• korisne snage koju cini produkt pogonske sile propelera i brzine struje,odnosno brzine gibanja propelera i
• gubitka zbog ubrzavanja struje:
P = TV +1
2T∆V . (13)
Ubrzanje struje
Struja zraka se prolaskom kroz disk propelera na presjeku 4 ubrza za iznos∆V = V4 − V1. Relacija za pogonsku silu (5) primjenom rezultata za brzinuV2 (10) moze se zapisati u obliku
T = ρA(V +1
2∆V )∆V .
Za ovako definiranu pogonsku silu moze se definirati povecanje brzine
∆V = −V +
√V 2 +
2T
ρA. (14)
9
8.2.3. Ucinkovitost idealnog propelera
Iako ova teorija ne ukljucuje sve gubitke, kao npr. one uzrokovane trenjemna krakovima propelera, ili gubitke zbog prenosenja rotacije na struju zraka,. . . No i ovakav idealni propeler ima odredene gubitke zbog ubrzanja strujezraka 1
2T∆V . Koeficijent ucinkovitosti definira se kao omjer korisne snage i
ukupno ulozene snage te bi za idealni propeler prema teoriji diska bio
ηi =TV
P=
TV
TV + 12T∆V
. (15)
Gornji izraz moze se zapisati kao
ηi =1
1 + 12
∆VV
. (16)
0 1 2 3 4 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
∆ V / V
η i
Slika 8-7: Ucinkovitost idealnog propelera kao funkcija omjera ∆VV
Na slici (8-7) prikazana je ucinkovitost idealnog propelera kao funkcijaomjera ∆V
Vubrzanja struje zraka i neporemecene brzine struje zraka. Ko-
eficijent ucinkovitosti je uvijek manji od 1, odnosno 100%. Kako bi imaliucinkovitost sto vecu (sto blizu jedinici) potrebno je da ∆V povecanje brzinebude sto manji. No za malu velicinu ∆V mala je i pogonska sila propelerasto cini kontradiktorni efekt.
10
Prema gornjim relacijama takoder je vidljivo da je ucinkovitost idealnogpropelera jednaka nuli kada zrakoplov miruje V = 0 te u ovom posebnomslucaju definicije ucinkovitosti (15) i (16) nisu primjenjive.
Koeficijent opterecenja od pogonske sile
Koeficijent opterecenja od pogonske sile propelera definira se kao
kT =T
12ρV 2A
(17)
sto je ekvivalent po definiciji aerodinamickom koeficijentu sile uzgona. Zatako definirani koeficijent, primjenom relacije za pogonsku silu (9) moze senapisati
kT = (V4
V1
)2 − 1 . (18)
Za poznato povecanje brzine moze se zapisati
V2
V1
=12(V4 + V1)
V1
=1
2(1 +
V4
V1
) =1
2(1 +
√1 + kT ) (19)
Ucinkovitost idealnog propelera moze se zapisati i kao
ηi =1
1 + 12
∆VV
=2V
2(V + 12∆V )
=V1
V2
te je primjenom relacije za koeficijent opterecenja od pogonske sile
ηi =2
1 +√
1 + kT
. (20)
Iz gornjeg zapisa, te prikaza koeficijenta ucinkovitosti kao funkcije od ko-eficijenta opterecenja od pogonske sile (slika 8-8), moze se zakljuciti da bi100% ucinkovitost dobili samo kada je kT = 0. Ako bi promatrali dva pro-pelera razlicitog promjera sa stanovista koeficijenta opterecenja od pogonskesile za ucinkovitost bi bio povoljni propeler veceg promjera. S druge stranepostoje i ogranicenja po pitanju D promjera propelera:
• strukturalna – za male zrakoplove kriticno je zadovoljavanje kriterijaminimalne udaljenosti propelera od terena, dok je za vece zrakoplovebitna optimizacija tezine (velika strukturalna opterecenja);
• aerodinamicka – veci promjer propelera nuznu uzrokuje povecanje bri-zine na vrhu propelera odnosno Machova broja Matip = D/2Ω
aza koji
11
0 1 2 3 4 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
kT
η i
Slika 8-8: Ucinkovitost idealnog propelera kao funkcija koeficijenta op-terecenja od pogonske sile
je pozeljno da bude manji od 0.8 cime se izbjegava znacajan porastotpora i ulazak u transoniku sto bi sve smanjilo ucinkovitost propelera,osim toga tada se povecava i buka od propelera sto takoder moze bitijedno od ogranicenja.
Pored koeficijenta opterecenja od pogonske sile uobicajena je i definicijaopterecenja diska (engl. disk loading)
DL =T
A. (21)
Uvodenjem ovako definirane velicine moze se reci da je dinamicki tlak utragu dovoljno daleko od propelera jednaka je zbroju dinamickog tlaka ne-poremecene struje i opterecenja diska.
Koeficijent pogonske sile i snage
Za propeler najcesca je primjena koeficijenata pogonske sile i snage kojise definiraju na sljedeci nacin:
CT =T
ρn2D4,
CP =P
ρn3D5.
(22)
12
Za tako definirane koeficijente pogonske sile i snage ucinkovitost propeleraprema (15) definira se kao
η =CT
CP
J . (23)
13
8.3. Osnove teorije elementarnog kraka pro-
pelera
Teorijom diska mozemo odrediti idealnu ucinkovitost propelera kod kojegnema gubitaka uslijed rotacije zraka u njegovom tragu, otpora profila krakauslijed radijalnog strujanja ili interferencije izmedu krakova propelera. Je-dini je gubitak obuhvacen ovom teorijom gubitak kineticke energije. Teorijadiska ne obuhvaca nikakve informacije o samom kraku propelera. Uvodenjegeometrije kraka u analizu propelera inicira Froude 1878. godine kroz teorijuelementarnog kraka, te je Drzewiecki detaljno postavlja.
Teorija elementarnog kraka razmatra sile na dr infinitezimalnom radijal-nom dijelu kraka propelera kao na slici (8-9) na radijusu r, odnosno bezdi-menzionalnom radijusu r = r
R. Pretpostavlja se da je svaki element kraka
neovisan od ostalih elemenata, tj. da se moze analizirati kao aeroprofil u dvo-dimenzionalnom strujanju. Na takav profil (slika 8-10) optjecan brzinom VR
djeluje elementarna aerodinamicka sila dFp. Ukupna sila na kraku jednakaje sumi svih elementarnih sila na svim elementima duz kraka — integral poradijusu kraka od glavcine do vrha kraka.
r
dr
Ω
Slika 8-9: Elementarni presjek dr kraka propelera na radijusu r
14
V
Ωr
VR
φ
α
β
dFz
dT
dL
dD
dFp
ravnina rotacije
osro
taci
je
Slika 8-10: Brzine i sile na elementarnom presjeku dr kraka propelera naradijusu r
Za pogonsku silu i tangencijalnu silu na elementu kraka dr (prema slici 8-10) doprinos je
dT = dL · cos φ− dD · sin φ
dFz = dL · sin φ + dD · cos φ .(24)
Za moment propelera elementarni doprinos je
dQ = dFz · r .
Za elementarnu silu uzgona i nultog otpora vrijedi
dL =1
2ρV 2
R · c · dr · cl
dD0 =1
2ρV 2
R · c · dr · cd0
(25)
Nakon uvrstavanja elementarnih sila uzgona i otpora u (24) elementarni do-prinos pogonske sile i momenta na propeleru su
dT =1
2ρV 2
R · c · (cl · cos φ− cd0 · sin φ) · dr
dQ =1
2ρV 2
R · c · (cl · sin φ + cd0 · cos φ) · rdr(26)
U ovim relacijama inducirana brzina je zanemarena sto u slucajevimamanjeg opterecenja propelera moze biti zadovoljavajuca pretpostavka. Nou opcem slucaju (slika 8-11) potrebno ih je uzeti u obzir – na nacin da se
15
umjesto kuta napredovanja φ razmatra stvarni kut napredovanja Θ = φ+αi.Pored toga ukupna brzina na elementarnom kraku je VE
dT =1
2ρV 2
E · c · (cl · cos Θ− cd0 · sin Θ) · dr
dQ =1
2ρV 2
E · c · (cl · sin Θ + cd0 · cos Θ) · rdr(27)
V
Ωr
Vi
VE
VR
φ
αi
α
βΘdFz
dT
dL
dD
dFp
ravnina rotacije
osro
taci
je
Slika 8-11: Brzine i sile na elementarnom presjeku dr kraka propelera naradijusu r sa induciranom brzinom
Problem koji se namece pri pokusaju primjene relacija (27) je odredivanjeinducirane brzine Vi te pripadajuceg induciranog napadnog kuta αi, odnosnokuta napredovanja Θ.
Prva je aproksimacija pretpostavka da je inducirani napadni kut mali teda je VE = VR. Tada su elementarna pogonska sila i elementarni okretnimoment svih elementarni presjeka dr na N krakova
dT =1
2ρV 2
R · c · [cl · cos(φ + αi)− cd0 · sin(φ + αi]) · dr
dQ =1
2ρV 2
R · c · [cl · sin(φ + αi) + cd0 · cos(φ + αi]) · rdr(28)
Za brzinu VR vrijedi
VR · cos φ = Ωr = 2πnr ,
gdje je kut φ
tgφ =V
2πnr=
J
πr.
16
Kako je
cos φ =1√
1 + tg2φ,
za brzinu VR dobiva se relacija
VR =2πnr
cos φ= 2πR
√π2r2 + J2 .
Time bi elementarni doprinos propelera s N krakova bio
dT = 2ρπ2R2Nc(π2r2 + J2) · [cl · sin(φ + αi) + cd0 · cos(φ + αi)] Rdr
Elementarni doprinos koeficijenta pogonske sile na elementarnom presjekusvih krakova dr na radijusu r je
dCT =dT
ρn2D4
dCT =π
8σ(π2r2 + J2) · [cl · sin(φ + αi) + cd0 · cos(φ + αi)] dr ,
(29)
gdje je σ = NcπR
omjer solidifikacije definiran kao omjer povrsine proplera(uz pretpostavku konstantne tetive) i diska proplera. Nakon integracije po
radijusu propelera dobiva se ukupni koeficijent pogonske sile CT =∫ 1
rhdCT .
Slicno je za elementarni doprinos koeficijenta snage propelera na elemen-tarnom presjeku dr na radijusu r
dCP =dP
ρn3D5=
Ω · dQ
ρn3D5
dCP =π
8σr(π2r2 + J2) · [cl · sin(φ + αi) + cd0 · cos(φ + αi)] dr ,
(30)
Nakon integracije po dobiva se ukupni koeficijent pogonske snage CP =∫ 1
rhdCP .
Kako bi odredili koeficijent pogonske sile (29) i snage (30) potrebno jeodrediti raspodjelu induciranog kuta po radijusu, α(r), zbog eksplicitne ovis-nosti, ali i zbog implicitne ovisnosti aerodinamickog koeficijenta cl o napad-nom kutu α = β − φ− αi.
17
18
8.4. Primjena teorije vrtloga
Postoje analitičke metode koje određuju približno ( )i rα , ali danas se najviše koriste
numeričke metode. Jedna od tih numeričkih metoda je diskretizacija kraka propelera po
rasponu R. Krak podijelimo na m segmenta kao na slici 8-13, a zatim primjenjujemo VLM
kao u slučaju krila. Napadni kut u presjeku "r" bit će
( ) irα β φ α= − −
Kut φ je različit od presjeka do presjeka i ovisi o režimu rada
rVΩ
=φtan
a inducirani kut indα određujemo pomoću metode VLM.
Rωφ
β
n
C
h
Slika 8-12
Krak se dijeli na "m" segmenata. Ort normale na segment "k" ima komponente prema slici 8.3
19
[ ]Tkkk ββ sin0cos−=n
Na sredini "k" segmenta po razmahu i na 4k
kc h+ od vrha tetive, postavljamo kontrolnu točku
Ck čije su koordinate
sin
cos
k k k
k k
k k k
x hy rz h
β
β
===
Svaki segment ima pridruženi jedan Π vrtlog, intenziteta Γ. Centralni dio П vrtloga leži
na 41 tetiva tog segmenta, a bočni kraci idu po tetivama do izlaznog ruba, a zatim po
strujnicama. Svaki krak propelera zbog simetrije ima isti set Π vrtloga.
r
R
hr
Slika 8-13
8.4.1 Trag iza propelera
Iza kraka propelera ostaje vrtložna plahta koju čine vrtložne niti na strujnicama. Kada smo
proučavali krilo pretpostavili smo da su strujnice iza krila u pravcu x osi (korijene tetive
20
krila). Nismo uzeli u obzir da vrtložne niti koje se nalaze na strujnicama mijenjaju oblik tih
strujnica. Zbog tog među utjecaja oblik vrtložne plahte koji je na početku bio ravanski sve
više i više se mijenjao u neku složenu površinu. Međutim, što su te promjene bile veće one su
bile sve dalje od krila pa je utjecaj tih promjena oblika vrtložne plahte bio neznatan na
aerodinamičke značajke krila. Tako isto i sad u slučaju propelera, zanemarit ćemo utjecaj
vrtložnih niti na oblik strujnica poslije silaska sa propelera. To znači da se niti koje započinju
na izlaznom rubu kraka propelera, protežu po putanjama točaka izlaznog ruba.
Na slici 8-14 prikazan je koordinatni sustav vezan za krak propelera, koji ide u
naprijed i okreće se sa propelerom. U trenutku t koordinatni sustav čini kut φ s koordinatnim
sustavom u početnom položaju oko osi x kao na slici 8-14
ϕx
y
z
0x
0y
r
0z
ϕ
r
y
z
Slika 8-14
21
Točka koja je u početnom trenutku napustila noseću liniju poslije vremena t imat će
koordinate za novi položaj koordinatnog sustava (koji se pomjerio za tV i zaokrenuo za kut
ϕ kao na slici 8-14)
ϕϕ
sincos
rzry
tVx
==
⋅=
Eliminacijom vremena iz jednadžba tVx = i tΩ=ϕ dobivamo
ϕ⋅Ω
=Vx .
Kad promatramo kao na slici 8-14 vrh kraka propelera (gledamo u vrh osi y ) onda je
RV
t Ω=φtan
pa sve točke u presjeku x vrtložne plahte imaju istu apscisu
ϕφϕϕ ⋅=⋅Ω
=⋅Ω
= tRRVRVx tan
Zato su parametarske jednadžbe putanje točke noseće linije na udaljenosti r od osi propelera:
ϕϕ
ϕφ
sincostan
rzryRx t
==
⋅=
Istu takvu spiralnu putanju ima i točka na izlaznom rubu kraka propelera, samo je njena
udaljenost od x osi veća
( )22 0.75 cosr r c β′ = +
i ona ima već jedan polazni kut
00.75 cosarctan c
rβϕ =
pa su jednadžbe spiralne putanje točke izlaznog ruba
( )00.75 sin tancossin
tx c Ry rz r
β φ ϕ ϕϕϕ
= + ⋅ −
′=′=
Usvajamo da vrtložna nit leži na toj spirali. Za različite vrijednosti r imamo različite vrtložne
niti ( Rrrh << ). Parametar r pokazuje o kojoj se vrtložnoj niti radi, a parametar ϕ koju
točku na toj vrtložnoj niti promatramo.
22
8.4.2 Inducirana brzina u kontrolnoj točki
Koordinatni sustav postavili smo na slici 8-14 П vrtlog intenziteta jΓ segmenta "j" inducira
u kontrolnoj točki segmenta "k" brzinu koja je zbroj tri dijela: inducirana brzina od centralnog
dijela i inducirane brzine od dva kraka П vrtloga.
U poglavlju 2.3.2 izveli smo na temelju Biot - Savartovom zakonu da je inducirana
brzina u točki C od srednjeg dijela П vrtloga
( ) 21212121
21
4rr
rrrrrrrrVAB ×
⋅++Γ
=π
i napravili smo rutinu ind.m koja računa induciranu brzinu u točki C od segmenta AB.
Ulazni parametri su koordinate točaka A, B i C.
x
z
RV
VΩ
Rωφ
β
n
C
h
Slika 8-15 Položaj brzine zraka RV u odnosu na profil propelera
Po istom obrascu možemo izračunati induciranu brzinu od dijelova AD i BE krakova П
vrtloga koji se nalaze na kraku propelera (slika 8-16). Inducirana brzina u kontrolnoj točki C
jednaka je zbroju induciranih brzina:
23
• od pravocrtnog dijela AB vrtloga
• od pravocrtnog dijela AD
• od pravocrtnog dijela BE,
• od vrtložne niti iz točke D i
• od vrtložne niti iz točke E
Inducirane brzine od vrtložnih niti računa rutina nit.m. On izračunava induciranu brzinu od
jedne vrtložne niti u tragu propelera. Ulazni parametar su koordinate točke na izlaznom rubu
kraka i koordinate kontrolne točke. U toj rutini izračunate su točke na svakih 010=Δϕ , a
između tih točaka je pretpostavljeno da je vrtložna nit pravocrtna, te je na nju primijenjena
rutina za induciranu brzinu od pravocrtnog segmenta.
C
A By
z
0r
D E
Slika 8-16
Inducirana brzina u točki C
• od vrtložne niti iz točke E ( ) Γ⋅CEK ,,… ,
• od vrtložne niti iz točke D ( ) Γ⋅− CDK ,,…
znak - zbog obrnutog smjera vrtloga duž niti iz točke D u odnosu na vrtlog na niti iz točke E.
Konačno ukupna inducirana brzina u kontrolnoj točki Ck od jΠ vrtloga
24
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΓΓΓΓΓΔ ⋅−⋅−⋅+⋅+⋅= ……nitindnitindind rutinaCEK
rutinaCEBK
rutinaCDK
rutinaCDAK
rutinaCBAKV jk ,,,,,,,,,,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] jjk CEKCEBKCDKCDAKCBAKV Γ⋅−−++=Δ ,,,,,,,,,, ……
jjkjk KV ΓΔ ⋅=
gdje je:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )CEKCEBKCDKCDAKCBAKEDCBAK jk ,,,,,,,,,,,,,, …… −−++= .
Rutina vrtlog.m računa vektor jkK za zadane koordinate kontrolne točke Ck i zadani
segment "j" (poznate koordinate točaka: A, B, D i E)
S obzirom da mi promatramo samo slučaj kad je brzina leta u pravcu ose propelera, na
drugom i trećem kraku bit će isti sustav vrtloga Γ1, Γ2, ... , Γj, ... Γm kao na prvom kraku, ali
će koeficijenti jkK biti različiti. Koordinate kontrolne točke C su iste, a koordinate točaka A,
B, D i E se okreću za Nπ2 gdje N broj krakova propelera. Ako označimo koordinate točke
A' na prvom kraku sa
[ ]TAAA zyx ′′′
onda točka A" na drugom kraku ima koordinate:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
′′′
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
′′′′′′
A
A
A
x
A
A
A
zyx
Nzyx
π2L
i isto tako za koordinate B", D" i E". Koordinate točaka na trećem kraku nalazimo kad
koordinate s drugog kraka još jednom okrenemo za Nπ2 . Tako konačno dobivamo
induciranu brzinu u kontrolnoj točki Ck od tri П vrtloga koji imaju intenzitet jΓ na tri kraka
simetrično raspoređena
( ) ( ) ( )[ ] j
kj
jjkjjjjkjjjjkjjjk
K
EDCBAKEDCBAKEDCBAKV Γ⋅′′′′′′′′′′′′+′′′′′′′′+′′′′= ,,,,,,,,,,,,
k jk j jV K= ⋅Γ
i konačno kad zbrojimo u kontrolnoj točki Ck inducirane brzine od svih vrtloga dobivamo
ukupnu induciranu brzinu u kontrolnoj točki
25
1
j m
k jk jj
V K=
=
= ⋅Γ∑
8.4.3 Zadovoljenje rubnih uvjeta
U kontrolnoj točki kC brzina optjecanja bit će zbroj brzine iz beskonačnosti i inducirane
brzine indR VV + , a komponenta te brzine koja je okomita na ravan segmenta kontrolne točke
mora ispunjavati rubni uvjet
( ) 0=⋅+ kindR nVV
Kako je
∑=
=
⋅=mj
jJjkkind KV
1
Γ
mora biti
01
=⋅+⋅ ∑=
m
jjjkkkR KnnV Γ
ili
( ) Rk
m
jjkjk VnKn ⋅−=⋅∑
=1
Γ
Ako uvedemo matrice
Komponente orta normale su [ ]Tkkk ββ sin0cos−=n , a rezultutjuće brzine
[ ]rV ⋅= Ω0RV pa je skalarni produkt na desnoj strani
kk rV βΩβ sincos +−
Uvedimo matrice
kkk
kjkkj
rVEKnA
βΩβ sincos +−=
⋅=
Tako dobivamo jednadžbe
k
m
ijkj EA =∑
=1
Γ
S obzirom da imamo m kontrolnih točaka (na svakom segmentu po jednu) imat ćemo i m
ovakvih jednadžba sa m nepoznatih Π vrtloga mΓΓΓ ,,, 21 … .
26
8.4.4 Inducirana brzina na nosećoj liniji
Kad smo odredili svih m vrtloga možemo izračunati induciranu brzinu na 41 tetive segmenta
"i"
0
0
===
c
c
c
zry
x
od svih m Π vrtloga (računajući i sve krakove). Postupak je isti kao kad smo računali
induciranu brzinu u kontrolnoj točki. Neka je to vektor indV . koji ima komponente ( )xindV i
( )zindV u pravcu osi x i z. Brzina optjecanja profila u presjeku jest
indRE VVV +=
gdje je kao što znamo rVVR ×Ω+= . Napadni kut profila bit će
α β θ= −
gdje je θ kut koji čini brzina optjecanja EV s ravninom rotacije propelera (pravac ose z).
( )( )
tan ind x
in z
V Vr V
θ+
=Ω +
Vβ
α
EV
RVφ
indV
ψ
( )xindV
( )zindV
x
z
Ω
rΩ
Slika 8-17
Inducirana brzina na sredini segmenta AB noseće linije od Π vrtloga ABDE bit će:
27
( ) ( ) ( ) ( ) jjjjjk
rutinaSEK
rutinaSEBK
rutinaSDK
rutinaSDAKV Γ⋅−Γ⋅−Γ⋅+Γ⋅=Δ ……
nitindnitind,,,,,,,,
gdje je S točka na sredni potega AB "k"-og segmenta. Dio AB od bilo kog vrtloga "j" ne
inducira brzinu jer točka S leži na tom pravcu (pravac noseće linije). Zato je napravljena
rutina kraci.m koja poziva rutine ind.m i nit.m te izračunava traženu induciranu brzinu
samo za krake od "j"-og Π vrtloga. Zbrajanjem tih induciranih brzina za sve vrtloge (od
1=j do mj = ) dobivamo konačno induciranu brzinu
28
8.5. Primjer
Jedan vrlo jednostavan oblik dvokrakog propelera je "Purdue" propeler na slici 8.4-1. On ima
konstantnu tetivu, nema strijelu a ima simetričan profil NACA 0010.
crcRc h 5.030508.0 ===
Kut uvijanja 4320 r*)(1271.8/16-r*(1351.5/8)+r*(338.8/4)-r*(105.1/2)-86.3=β
Režim rada je
sokrNsmV 4.5735 ==
U direktoriju programi\Propeler nalazi se program Elisa2.m u MATLABu. On računa u
prvom dijelu ( )rΓ , zatim u drugom dijelu induciranu brzinu ( )rVind a na temelju inducirane
brzine određuje se kut ψ . Konačno u trećem dijelu s tim kutom izračunava se TC i PC .
Program koristi rutinu vrtlog.m za izračun inducirane brzine u kontrolnoj točki C, od
jediničnog П vrtloga jednog kraka i od istog П vrtloga drugog kraka. Za izračun inducirane
brzine u točki na nosećoj liniji program koristi rutinu kraci.m koja je ustvari ista kao i rutina
vrtlog.m samo ne računa induciranu brzinu od centralnog dijela jer je ona nula. Rutine
vrtlog.m i kraci.m , a one za izračunavanje inducirane brzine od pravocrtnih dijelova П
vrtloga koriste rutinu ind.m, a za izračunavanje induciranih brzini od vrtložne niti u tragu
propelera koriste rutinu nit.m.
S tim programom Propeler.m dobiveni su dijagrami na slikama 10, 11 i 12
yΩ
z
C
1A 1B
1D 1E
2A2B
2E 2D
Slika 8-18. Pogled spreda u propelera "Purdue"
29
Slika 8-19
Slika 8-20
30
Slika 8-21